Mathematik: Unterrichtsmaterial für die Sekundarstufen

Auf der Basis digitalisierter Fotoplatten aus der Sammlung der Sternwarte Sonneberg (Thüringen) erstellen und interpretieren die Schülerinnen und Schüler Lichtkurven veränderlicher Sterne. Und natürlich werden Veränderliche auch im Original beobachtet.Die bereits 1926 gestartete "Sonneberger Himmelsüberwachung" (Sky Patrol) beruht auf der Idee des deutschen Astronoms Paul Guthnick (1879-1947), den gesamten nördlichen Sternenhimmel per Astrofotografie zu überwachen. Nach mehr als 80 Jahren fotografischer Überwachung des Himmels lagern mehr als 275.000 Fotoplatten im Sonneberger Archiv - der zweitgrößten Sammlung der Welt - die die Geschichte des Lichtwechsels der bei etwa 50 Grad nördlicher Breite sichtbaren Himmelsobjekte (bis zur 14. Größenklasse) dokumentieren. Diese ?Chronik des Sternenhimmels? ist ein einmaliger Datenschatz, der noch viele Geheimnisse in sich birgt. Auf seiner Basis erstellen Schülerinnen und Schüler Lichtkurven eines veränderlichen Sterns vom Mira-Typ. Sie vergleichen diese mit Daten von Amateurastronomen aus dem Internet und planen eigene Beobachtungen von Mira und Algol. Das eigene Tun, die Arbeit mit Originaldaten und das Erfolgserlebnis sollen die Motivation und das Interesse an den Naturwissenschaften und der Mathematik fördern.Die an der Sternwarte Sonneberg seit 2004 durchgeführte Digitalisierung von Fotoplatten der Sonneberger Himmelsüberwachung eröffnet die Möglichkeit, Himmelsaufnahmen an jedem Computer "in die Hand zu nehmen" und Veränderlichenforschung in jeder Schule zu betreiben. Für das hier vorgestellte Projekt stellte die Sternwarte eine Auswahl der Plattenscans zur Verfügung. Das Projekt basiert auf didaktischen Materialien, die im Rahmen des Projektes Wissenschaft in die Schulen! entwickelt wurden. Der Einsatz der Argelander Stufenschätzmethode wurde im Rahmen eines Astronomiekurses der deutschen Schülerakademie (Thema: "Lichtsignale aus dem All - Veränderliche Sterne", Marburg 2005) und bei Lehrerfortbildungen (Sonneberg 2004, MNU Karlsruhe 2006) erfolgreich getestet. Methoden, Fertigkeiten und Computereinsatz Im Rahmen des Projektes wird die Nutzung des Computers als nützliches Werkzeug auf vielfältige Art gefördert. In der Astronomie beginnt (fast alles) mit der Beobachtung Mit Sternkarten oder Planetariumsprogrammen werden Positionen und Sichtbarkeiten von Veränderlichen bestimmt. Der Lichtwechsel von Veränderlichen Lichtkurvendiagramme und Ursachen der Veränderlichkeit von Sternen werden vorgestellt und mithilfe einfacher Modelle erklärt. Der fotografierte Himmel Original-Fotoplatten aus dem Sonneberger Archiv werden untersucht. Ein Veränderlicher wird aufgespürt und Helligkeitsschätzungen werden vorbereitet. Die Argelander Stufenschätzmethode Aus 23 Stufenschätzungen erstellen die Schülerinnen und Schüler eine beispielhafte Lichtkurve des Veränderlichen R Cassiopeia. Der Veränderliche R Cassiopeia Auf der Basis von 83 Schätzfeldern werden das Stufenwert-Helligkeit-Diagramm und die Lichtkurve von R Cas dargestellt (Millimeterpapier oder Tabellenkalkulation). Was uns die Lichtkurve verrät Lichtkurven von R Cassiopeia werden interpretiert und verglichen. Details zu den Mira-Sternen und den Ursachen ihres Lichtwechsels werden berichtet. Rückkehr zur Beobachtung: Mira und Algol Die Schülerinnen und Schüler planen die Beobachtung der Veränderlichen Sterne Mira und Algol. Die Schülerinnen und Schüler sollen basierend auf digitalisierten Fotoplatten der Sternwarte Sonneberg die Lichtkurve eines veränderlichen Sterns erstellen und dabei die Argelander Stufenschätzmethode anwenden. eine wissenschaftliche Arbeitsweise erleben, die über Jahrzehnte im Zentrum der Forschungsarbeit vieler Sternwarten stand. sich mit der Messfehlerproblematik auseinandersetzen. die Typen Veränderlicher Sterne kennen lernen und die Ursachen der Veränderlichkeit verstehen. Veränderliche Sterne beobachten. Schätzmethode und Messfehlerproblematik Das hier vorgestellte Projekt knüpft an verschiedene "Wissensbereiche" an und trainiert vielfältige Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler. Ein zentraler Punkt ist die Vermittlung einer grundlegenden Methode zur Helligkeitsbestimmung von Sternen - der Argelander Stufenschätzmethode. Hierbei wird das Prinzip der Relativmessung angewandt und verdeutlicht. Die Funktion des Auges als "Messinstrument" rückt ins Bewusstsein der Schülerinnen und Schüler. Die Subjektivität des Augenmaßes ist gut geeignet, die Messfehlerproblematik (subjektive Fehler) zu belegen. Physikalisch-mathematische Denkweisen Die Frage nach den Ursachen des Lichtwechsels der Sterne bedarf physikalischer und mathematischer Denkweisen. Das Projektergebnis ist eine Lichtkurve, die den zeitlichen Verlauf der Sternhelligkeit präsentiert. Diese Kurve gilt es zu interpretieren, wobei grundlegende Begriffe wie Periode und Amplitude genutzt werden müssen. Mustererkennung und Datenauthentizität Es sei auch erwähnt, dass die Arbeit mit Bildern von Sternfeldern die Fähigkeit der Mustererkennung schult. Der Umgang mit wissenschaftlichen Originaldaten vermittelt Authentizität, die wichtig für die "Anerkennung" des in der Schule Gelernten ist, und ist zudem ein Motivationsfaktor für die Schülerinnen und Schüler. Der Computereinsatz spielt in dem Projekt eine zentrale Rolle. Die zu untersuchenden Sternfelder liegen als Bilddateien vor, wobei die Helligkeitsstufen der Sterne am Bildschirm geschätzt werden können. Weitere Daten können über das Internet (Sternwarte Sonneberg) abgerufen werden. Die Datenauswertung kann durch Excel oder andere Tabellenkalkulationsprogramme unterstützt werden. Zur Interpretation der Ergebnisse kann auf so genannte Lichtkurvengeneratoren zurückgegriffen werde, die aus Daten von verschiedenen Amateurbeobachtern Lichtkurven für viele Veränderliche erstellen. Zur Veranschaulichung der Ursachen der Veränderlichkeit eignen sich Animationen. Zur Planung der Beobachtung von Veränderlichen werden Planetariumsprogramme, Datumsrechner (Umrechnung zwischen Julianischem und Gregorianischem Datum) und verschiedene Informationsseiten (zum Beispiel vorausberechnete Maxima und Minima von bestimmten Veränderlichen) aus dem Internet genutzt. Einstieg und Motivation Die Lernenden sind mit der Definition eines Stern und den Sternbild- und Sternbezeichnungen bereits vertraut. Sie erfahren, dass es im Sternbild Walfisch einen Stern mit dem Namen Mira gibt, was "Die Wunderbare" bedeutet. Per Beamer oder Overheadfolie wird eine historische Karte des Sternbildes gezeigt und gefragt, warum der Stern so heißen könnte. Recherche Die Jugendlichen recherchieren Informationen zu Mira im Internet oder nutzen ausgelegte Printmaterialien (Bücher, Artikel). Sie lernen, dass bestimmte Sterne ihre Helligkeit auch in kurzen Zeiträumen ändern und können diese Zeiträume von langfristigen Änderungen, die mit der Sternentwicklung zusammen hängen, abgrenzen. Erste Bekanntschaft mit den Veränderlichen Die Schülerinnen und Schüler suchen mithilfe detaillierter Sternkarten oder eines Planetariumsprogramms die Positionen der Veränderlichen Sterne Omikron Ceti (Mira), Beta Persei, Delta Cephei, Alpha Orionis und Beta Lyrae auf und tragen diese in die unbeschriftete Sternkarte des Arbeitsblattes ein (sternkarte_veraenderliche.pdf). Sie bestimmen die Jahreszeiten, in denen diese Sterne am Abendhimmel gut zu beobachten sind. Dies kann wiederum mit einem Planetariumsprogramm oder mit einer einfachen drehbaren Sternkarte erfolgen. Die Jugendlichen werden aufgefordert, die zum Zeitpunkt des Projektes beobachtbaren "Originale" auch am Abendhimmel - einzeln oder mit der Gruppe - aufzusuchen. Definition der Veränderlichen Veränderliche Sterne ändern ihre Helligkeit im Laufe der Zeit (Millisekunden bis Jahrhunderte). Die Amplituden liegen zwischen 0,001 und 20 Größenordnungen (mag = magnitudo, Scheinbare Helligkeit). In diesem Sinne ist auch unsere Sonne ein Veränderlicher Stern (11 Jahre, 0,004 mag = 0,4 Prozent). Historisches Der erste Veränderliche wurde im Jahre 1596 durch den in Ostfriesland lebenden Pfarrer David Fabricius entdeckt. Er beobachtete im Sternbild Cetus (Walfisch) einen Stern, den er Monate später nicht mehr und nach weiteren Monaten wieder deutlich sehen konnte. Er nannte diesen Stern Mira (lateinisch "Die Wunderbare"). Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts wurden lediglich 16 weitere Veränderliche gefunden. Erst nachdem man begann, den Himmel zu durchmustern um Sternkataloge zu erstellen, stieg die Zahl der zufälligen Entdeckungen von veränderlichen Sternen. Nach der Einführung der Fotografie in die astronomische Beobachtung hatte man eine Methode zur systematischen Veränderlichensuche, bei der sich in Deutschland die Sonneberger Sternwarte besondere Verdienste erwarb. Die Zahl der bekannten Veränderlichen stieg sprunghaft an. Bis 1968 wurden etwa 10.000 Objekte entdeckt (bis heute etwa 11.000). Printmedien zum Thema "Veränderliche Sterne" für die Recherche (alternativ oder zusätzlich zur Internetrecherche) alternativ zum Planetariumsprogramm eine detaillierte Sternkarte eine drehbare Sternkarte Mira und die Veränderlichen - Ergebnissicherung Die Ergebnisse der Vorstunde (Position von Veränderlichen auf der Sternkarte und ihre Beobachtbarkeit) werden per Schülerdemonstration kurz vorgestellt (vergleiche Ergebnisblatt "sternkarte_veraenderliche_ergebnisse.pdf"; Präsentation per Beamer oder Overhead-Folie). Nach der Zusammenfassung der "Eckdaten" der Mira-Veränderlichkeit (die Helligkeit von Mira schwankt mit einer Periode von etwa 331 Tagen zwischen der 2. und der 9. Größenklasse) führt das Unterrichtsgespräch zu der Forderung nach einem Hilfsmittel zur Vorhersage. In einem Lehrervortrag werden die Größe "Scheinbare Helligkeit", die Julianische Tageszählung und Lichtkurven vorgestellt. Einzelne Schülerinnen und Schüler zeichnen Lichtkurven an die Tafel, die die zeitlichen Verläufe der scheinbaren Helligkeiten folgender Objekte wiedergeben: Stern mit konstanter Helligkeit Mondbedeckung eines Sterns "Sinkender Stern" (Lichtschwächung durch die Atmosphäre) Typen Veränderlicher Sterne Animationen von verschiedenen Veränderlichen (Cepheiden, Algol-Veränderliche, Eruptive Veränderliche) werden per Beamer präsentiert und Lichtkurven an der Tafel vorgegeben. Die Lernenden ordnen diesen Lichtkurven die in den Animationen dargestellten Typen veränderlicher Sterne zu. In einem Lehrervortrag wird mithilfe von Vergleichen und Analogien ein grobes Bild der physikalischen Hintergründe des Lichtwechsels vermittelt. Variable stjerner: Animationen Animationen und Informationen von Erling Poulsen auf der Website des Rundetaarn-Observatoriums in Dänemark. Veränderlichentypen und die Ursache des Lichtwechsels Die Aufzeichnung des Lichtwechsels der Veränderlichen zeigt, dass es verschiedene Gruppen von Sternen mit ähnlichem Verlauf der Lichtkurve gibt. Heute kennt man viele verschiedene Typen veränderlicher Sterne, die sich entsprechend der Hauptursache ihrer Veränderlichkeit drei Familien zuordnen lassen: den pulsierenden Veränderlichen (zum Beispiel Mira-Sterne, Cepheiden), den eruptiven Veränderlichen (zum Beispiel Novae und Supernovae) und den Bedeckungsveränderlichen (zum Beispiel Algol-Sterne). Pulsationssterne "Normale" Sterne verhalten sich wie eine Schaukel auf einem Spielplatz, die nur einmal angeschoben wurde - ihre Schwingung endet schnell infolge der Dämpfung. Pulsationssterne haben einen "Ventilmechanismus", der dafür sorgt, dass die Schwingung durch regelmäßige Energiezufuhr (Strahlungsenergie) aufrechterhalten wird. Eruptive Veränderliche Ursache sind schnelle Fusionsreaktionen (lokal oder global), etwa vergleichbar mit einem gleichmäßig brennenden Feuer, in das schnell entzündlicher Brennstoff gegeben wird oder das eine Temperatur erreicht hat, bei der ein bestimmter Stoff plötzlich zu brennen anfängt. Bedeckungsveränderliche Bedeckt der kleinere Stern eines Doppelsternsystems einen Teil des größeren oder helleren Sterns des Systems, ergibt sich ein schmales Minimum in der Lichtkurve. Wenn der kleinere hinter den größeren Stern gerät, beobachtet man ein weiteres, weniger tiefes Minimum der Leuchtkraft. Die Leuchtkraft der beiden Sterne selbst ist konstant. Der "Mechanismus" entspricht dem Prinzip einer Sonnenfinsternis. Die im Unterricht gezeigten Animationen zu den Veränderlichentypen finden Sie auf der Seite zu den Variable stjerner des Rundetaarn-Observatoriums in Dänemark. Vorkenntnisse Die Schülerinnen und Schüler sind mit der Betrachtung und Bearbeitung digitaler Bilder und im Umgang mit der verwendeten Bildbearbeitungs-Software vertraut. Untersuchung einer Fotoplatte Den Lernenden wird der digitalen Scann der "Platte 300300" aus dem Sonneberger Plattenarchiv aus dem Jahr 1966 vorgestellt (Präsentation per Beamer). Diese Platte zeigt unter anderem das Sternbild Cassiopeia. Die Jugendlichen verbinden am Rechner in Partnerarbeit die hellsten Sterne dieses Sternbildes miteinander (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) und vergleichen das Sternbild mit einer Darstellung auf einer Sternenkarte. Bevor die Arbeit mit den Sternfeldaufnahmen beginnt, müssen die Schülerinnen und Schüler für die "Bildprobleme" sensibilisiert werden. Auch die Orientierung auf der Himmelsaufnahme stellt eine Herausforderung dar. In Partnerarbeit und im Unterrichtsgespräch werden folgende Fragen beantwortet: Woraus kann auf die Sternhelligkeiten geschlossen werden? (Größe und Schwärzung der Scheibchen) Die Schwärzungsscheibchen der Sterne verändern ihr Aussehen mit zunehmendem Abstand vom Plattenzentrum. Wie verändern sie sich und wie lässt sich das erklären? (beste Abbildung auf optischer Achse; mit größer werdendem Abstand wird insbesondere der Astigmatismus wirksam) Untersuchung von "Platte 300308": Wann wurde diese Platte aufgenommen? Was fällt auf dieser Fotoplatte auf? (14. Oktober 1966; die Fotoplatte zeigt einen kleinen Kometen, siehe Abb. 2) Die Ergebnisse werden an der Tafel oder auf einer Folie gesichert. Den Jugendlichen soll bewusst werden, dass ein Archiv von Himmelsaufnahmen eine "Chronik der Geschichte des Sternhimmels" darstellt und dass Sternfeldaufnahmen als Grundlage für die Bestimmung von Lichtkurven genutzt werden können. Aufspüren des Veränderlichen R Cassiopeia Die Lernenden erleben, dass durch den Wechsel zwischen verschiedenen Aufnahmen ein und desselben Sternfeldes Helligkeitsänderungen "ins Auge springen". Zur Erleichterung der Arbeit wird dafür das interessierende Sternfeld (Schätzfeld) aus der digitalen Fotoplatte am Computer ausgeschnitten. Die resultierenden Bilder werden dann mit geeigneter Software "zum Laufen" gebracht (zum Beispiel mit einem GIF-Animator oder durch den schnellen Bildwechsel mit dem Windows Bildbetrachter Image Viewer). Das Ergebnis ist eine kleine Animation, mit deren Hilfe der Veränderliche "R Cas" (ein Mira-Stern), aufgespürt wird (siehe "r_cas_neg.mov"). Vorbereitung der Helligkeitsschätzung Die Schülerinnen und Schüler schneiden aus der Aufnahme "fotoplatte_300308.jpg" den im Bild "fotoplatte_300296_teil.jpg" gezeigten Bildausschnitt um R Cas herum aus und beschriften den Veränderlichen sowie die Vergleichssterne A, B, und C. Abb. 3 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Schätzfelder aus "fotoplatte_300296_teil.jpg" (oben) und "fotoplatte_300307_teil.jpg" (unten). Es handelt sich um zwei Aufnahmen, die in geringem zeitlichen Abstand aufgenommen wurden. Der Helligkeitswechsel von R Cassiopeia (R) ist deutlich zu erkennen. Historischer Einstieg Im Rahmen eines kurzen Lehrervortrags wird berichtet, dass Mitte des 19. Jahrhunderts Friedrich Wilhelm Argelander (1799-1875) seine Methode zur Helligkeitsbestimmung von Sternen entwickelte, die eine systematische Katalogisierung der Sternhelligkeiten ermöglichte. Damit versetzte er auch die Amateurastronomen in die Lage, Helligkeitsänderungen bei Sternen festzustellen und sich in die astronomische Forschungsarbeit einzubringen. Erstellung der Lichtkurve Die Argelander Stufenschätzmethode wird vorgeführt und dann gleich anhand projizierter Sternfeldbilder (siehe Abb. 4 und "stufenschaetzmethode_einfuehrung.pdf") in Zweiergruppen geübt. Die Lehrkraft führt die Präsentation "stufenschaetzmethode_einfuehrung.pdf" per Beamer vor und die Schülerinnen und Schüler schätzen und notieren die Ergebnisse in einer Tabelle (tabelle_r_cas_stufenschaetzung_leer.pdf). Ziel der beiden Unterrichtsstunden ist die beispielhafte Erstellung einer Lichtkurve aus 23 Stufenschätzungen des Veränderlichen R Cassiopeia (R Cas). Es soll noch keine Interpretation der Ergebnisse vorgenommen werden. Die verwendeten Daten werden im folgenden Abschnitt des Projektes, ergänzt durch viele neue Daten, erneut vorkommen. Die Schülerinnen und Schüler sollen dann bewusst diese Sternfelder noch einmal schätzen, um zu erleben, dass subjektive Fehler mit Erfahrung, Tagesform und vielen anderen Faktoren zu tun haben. Schätzungsfelder - Auswertung mit oder ohne Computer Den Schülerinnen und Schülern stehen 83 Schätzfelder des Gebietes um den Stern R Cassiopeia zur Verfügung. Im Rahmen der Auswertung dieser "Rohdaten" können die Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler bei der Nutzung des Computers als Werkzeug intensiv geschult werden. So bietet sich beim Schätzen der Helligkeiten am Bildschirm der Windows Bildbetrachter Image Viewer als Instrument an, das es sehr einfach macht, von einem Schätzungsfeld zum nächsten zu wechseln. Die Schätzungsfelder werden dabei stets auf Bildschirmgröße geweitet. Die Stufenschätzung kann - bei Mangel an Computern - wie beim Einstieg in die Argelander Methode (4. und 5. Stunde) auch frontal am Projektionsbild im gut verdunkelten Raum durchgeführt werden. Alternativ können die Helligkeiten auch auf Ausdrucken der Plattenausschnitte geschätzt werden. Auswertung der Daten per Tabellenkalkulation Excel oder andere Tabellenkalkulations-Software erlauben das praktische Einfügen von Datenkolonnen per "Copy" und "Paste". Sie ermöglichen auch eine automatisierte Berechnung der Helligkeiten aus den Stufenwerten (siehe "mappe_auswertung.xls"). Hierbei kann die zuvor mit Excel bestimmte Formel der Regressionsgeraden im Stufenwert-Helligkeit-Diagramm genutzt werden. Abb. 5 zeigt die von den Schülerinnen und Schülern ermittelte Lichtkurve des Veränderlichen R Cas. 7. Stunde Die Jugendlichen praktizieren die Argelander Stufenschätzmethode am Computerbildschirm oder anhand von Ausdrucken der Schätzungsfelder. 8. Stunde Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Stufendifferenzen, berechnen Mittelwerte, korrigieren die Stufenwerte und ermitteln endgültige Stufenwerte. 9. Stunde Die Lernenden ermitteln Stufenwerte für die Vergleichssterne, zeichnen das Stufenwert-Helligkeit-Diagramm (Millimeterpapier oder Tabellenkalkulation) und bestimmen mit diesem aus den Stufenwerten die Helligkeiten. Sie zeichnen die Lichtkurve auf Millimeterpapier oder mithilfe eines Tabellekalkulations-Programms. Alternativ zur Auswertung mit Excel oder einem anderen Tabellenkalkulationsprogramm können auch Taschenrechner und Millimeterpapier zum Einsatz kommen. Die folgenden Begriffe und Phänomene müssen den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein, um die physikalischen Hintergründe des Pulsationsmechanismus von Mira-Sternen zu verstehen: gedämpfte, ungedämpfte und erzwungene Schwingungen Kompression und Expansion von Gas Wärme und Wärmeenergie Ionisation und Ionisationsenergie Energietransport durch Strahlung Absorption Interpretation der Lichtkurve von R Cas Die Jugendlichen zeichnen eine Ausgleichskurve durch ihre Datenpunkte, beschreiben den Kurvenverlauf, ermitteln die Periodendauer von R Cas (etwa 430,5 Tage) und bestimmen anhand der Lichtkurve den Variablentyp (Mira-Stern). Sie erzeugen mithilfe eines Online-Lichtkurvengenarators eine Vergleichslichtkurve auf der Basis der Daten von geübten Amateurbeobachtern. Die Übereinstimmung wirkt sehr motivierend. Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede werden beschrieben und erörtert: Die Verläufe sind sehr ähnlich, die Helligkeitsbereiche unterscheiden sich jedoch. Dies liegt daran, dass die Sonneberger Daten fotografisch gewonnen wurden, die Amateurdaten aber auf Augenbeobachtungen basieren. Die Empfindlichkeit der fotografischen Emulsion über der Wellenlänge ist etwas anders als die des Auges. Mira-Sterne und ihr Lichtwechsel Der die Stunde abschließende Lehrervortrag zu Mira-Sternen und dem Zustandekommen ihrer Pulsationen erfordert die oben genannten physikalischen Vorkenntnisse. Mira ist ein Roter Riese vom Spektraltyp M. Mira selbst hat einen mittleren Durchmesser von etwa 550 Millionen Kilometern. Der Stern würde damit das Sonnensystem bis hin zum Planetoidengürtel ausfüllen. Die wahre mittlere Sterngröße ist jedoch kleiner, denn eine den Stern umgebende Wolke aus Molekülen täuscht ein größeres Ausmaß vor. "Die Wunderbare" im Walfisch repräsentiert das Endstadium eines Sterns von der Masse unserer Sonne. Der Pulsationsmechanismus von Mira Die Pulsation ist mit einer ungedämpften Schwingung vergleichbar. Dieser Mechanismus funktioniert nur, wenn Energie im richtigen Schwingungszustand (in der richtigen Phase) zugeführt wird. Ein anschauliches Bild dafür bietet eine Spielplatz-Schaukel: Die Schwingung der Schaukel bleibt erhalten, wenn man sie bei der "Auswärtsbewegung" anschiebt. So muss auch der Hülle eines schwingenden Sterns Energie zugeführt werden, wenn sie expandiert. (Wärme-)Energie kann im Stern nur durch Strahlung zugeführt werden. Dazu ist es erforderlich, dass der Stern bei Kompression "undurchsichtiger" wird, das heißt, Strahlungswärme "tankt", die dann bei der Expansion treibend (entdämpfend) frei werden kann. In "normalen" (nicht veränderlichen) Sternen sind die Verhältnisse gerade umgekehrt, so dass Schwingungen schnell ausgedämpft werden. In Riesensternen kann dieser Fall aber in der richtigen Tiefe eintreten. Weitere Details In Mira sind die Bedingungen für die Ionisation von Wasserstoff (Temperatur und Druck) in genau der Tiefe gegeben, die für die Aufrechterhaltung des Pulsationsmechanismus erforderlich ist. Da die Sternmaterie größtenteils aus Wasserstoff besteht (im Zentrum eines Sterns ist in der Endphase seines "Lebens" zwar nur noch Helium oder Kohlenstoff vorhanden, aber rundherum bleibt viel Wasserstoff übrig, der nicht zum Fusionieren kommt) und dessen Ionisationsenergie hoch ist, wird dabei viel Energie gespeichert, die bei der Expansion massiv frei wird. Mira-Sterne pulsieren weitaus stärker als Cepheiden. Ihre starke Helligkeitsänderung beruht auch auf der periodischen Entstehung von absorbierenden Molekülen im Außenbereich. Allgemeine Hinweise Mira soll nun gezielt mit bloßem Auge gesichtet werden (Beobachtungszeit: Herbst und Winter). Dazu ist es wichtig, die Zeit des Maximums und Minimums zu kennen. Diese Zeiten können im Internet recherchiert werden. Mit der Kenntnis des Lichtkurvenverlaufs (hier wird der Einfachheit halber eine Lichtkurve von R Cas zu Grunde gelegt) können die Jugendlichen nun auch den Zeitraum abschätzen, innerhalb dessen die Helligkeit von Mira unterhalb der 6. Größenklasse liegt (Wissenstransfer). Das Julianische Datum findet nochmals Anwendung, indem es ins bürgerliche (gregorianische) Datum umgerechnet werden muss. Ein anderes Beobachtungsprojekt betrifft den Bedeckungsveränderlichen Algol im Sternbild Perseus. Dieser Stern bietet die Möglichkeit, den Helligkeitsabfall innerhalb einiger Stunden mit bloßem Auge zu verfolgen. Dies können die Schülerinnen und Schüler auch an der Lichtkurve ersehen. Damit man das Minimum optimal beobachten kann, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein: möglichst kein Mondlicht während des Minimums möglichst große Höhe über dem Horizont günstige Abendzeit Zusammen mit astronomischen Grundkenntnissen sind hier die planerischen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler gefordert. Ausblickend lässt sich das für R Cas gegebene Sternfeld (27 Grad mal 27 Grad) nach weiteren Veränderlichen durchforsten. Die Plattendaten können beim Autor dieses Artikels, Dr. Olaf Fischer, angefragt werden. Es besteht auch die Möglichkeit einer Verlängerung der Messreihe für R Cas durch weitere Daten. Hier sollte eventuell entstandenes Schülerinteresse weitere Nahrung finden können.

Eine mithilfe der kostenfreien Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht die dynamische Erarbeitung der Bedeutung der Parameter linearer Funktionen. Die hier vorgestellten Materialien ermöglichen es, den Einfluss der Parameter m und t auf die Lage der Geraden mit der Gleichung y = mx + t experimentell zu entdecken. Hierbei verstärkt die Dynamik die Anschaulichkeit entscheidend und trägt so zu einem erleichterten und vertieften Verständnis dieses Funktionstyps bei. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mithilfe eines dynamischen Arbeitsblatts den Stoff weitgehend selbstständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit). Die Lehrerin oder der Lehrer tritt dabei in den Hintergrund und greift nur unterstützend beziehungsweise Impuls gebend ein. Die in den Aufgaben immer wieder verlangte Dokumentation von Erkenntnissen und Ergebnissen trainiert das Verbalisieren und Fixieren mathematischer Kontexte. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Der Einsatz dynamischer Mathematik fördert selbstständiges oder kooperatives Arbeiten sowie die Individualisierung des Unterrichts. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Einfluss des Parameters t auf die Lage der Geraden erarbeiten. den Schnittpunkt einer Geraden mit der y-Achse bestimmen. erkennen, dass der Parameter m die Steigung der Geraden bestimmt. einüben, rechnerisch zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. mathematische Zusammenhänge eigenständig und kooperativ erarbeiten und dokumentieren. Thema Parameter linearer Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Ideale Veranschaulichung Wird der Einfluss der Parameter m und t auf die Lage von Graphen linearer Funktionen an der Tafel oder auf Folie entwickelt, so werden meist mehrere Graphen mit unterschiedlichen Parameterwerten in ein Koordinatensystem eingetragen. Dabei ergibt sich immer das Problem, dass zu viele Graphen die Darstellung unübersichtlich erscheinen lassen. Sind jedoch wenig Graphen eingezeichnet, so ist der Einfluss des jeweiligen Parameters nur noch schwer erfassbar. Dieses Dilemma wird durch die dynamische Darstellung aufgelöst und es entsteht eine ideale Veranschaulichung linearer Funktionen und ihrer Parameter (siehe Abb. 1 bis 3 unten). Selbstständiges oder kooperatives Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mithilfe eines dynamischen Arbeitsblatts den Stoff weitgehend selbstständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit). Die Lehrerin oder der Lehrer tritt dabei in den Hintergrund und greift nur unterstützend beziehungsweise Impuls gebend ein. Die in den Aufgaben immer wieder verlangte Dokumentation von Erkenntnissen und Ergebnissen trainiert das Verbalisieren und Fixieren mathematischer Kontexte. Individualisierung des Unterrichts Durch den bewusst offen gehaltenen Umfang der Übung am Ende des dynamischen Arbeitsblatts wird das jeweilige Lerntempo der Schülerinnen und Schüler berücksichtigt. Daraus resultiert eine Individualisierung des Unterrichts. Der Parameter t Zunächst verändern die Schülerinnen und Schüler den Parameter t und stellen fest, dass damit eine Parallelverschiebung des Graphen einher geht (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Durch die Bestimmung mehrerer Schnittpunkte von Graphen mit der y-Achse und dem Vergleich mit der zugehörigen Geradengleichung erkennen die Lernenden, dass die allgemeinen Koordinaten dieses Schnittpunkts (0/t) lauten. Der Parameter m Anschließend wird der Parameter m untersucht. Dabei wird deutlich, dass damit die Steigung des Graphen festgelegt wird. Viele Schülerinnen und Schüler entdecken auch, dass der Neigungswinkel der Geraden von m abhängt. Durch den Spurmodus des Java-Applets wird veranschaulicht (Abb. 2), dass die Gerade - bei einer Veränderung von m - um den Schnittpunkt mit der y-Achse gedreht wird beziehungsweise dass dieser Schnittpunkt von m unabhängig ist. Anwendung des Gelernten Abschießend folgen Übungen, in denen die Schülerinnen und Schüler das neu erworbene Wissen anwenden müssen. Da die Punkte B und C dieselbe x-Koordinate haben (Abb. 3), kann kein Graph gefunden werden, der durch sie verläuft. Dadurch wird die Definition von Funktionen als eindeutige Zuordnung wiederholt. Der Umfang dieser Übungen ist nicht begrenzt, so dass auch leistungsstarke Schülerinnen und Schüler ausreichend Möglichkeiten haben, Aufgaben zu bearbeiten.

Kerngedanke der hier vorgestellten Versuchsanordnung ist, dass mindestens zwei Schulen aus verschiedenen Regionen oder Ländern zusammenarbeiten, um die Flugbahn und Flughöhe der ISS im Rahmen einer Messreihe zu bestimmen.Das ISS-Triangulations-Experiment wurde im Rahmen der DLR-Initiative School in Space für die 10. Klasse und die Oberstufe konzipiert. Schülerinnen und Schüler ermitteln dabei selbstständig die Parameter Flugbahn, Flughöhe, Geschwindigkeit und die Umlaufzeit der ISS mit einfachen mathematischen Berechnungen und leichtem Gerät. Grundlagen sind die Trigonometrie und die Tatsache, dass die ISS unter bestimmten Bedingungen mit bloßem Auge am Himmel zu beobachten ist. Die Raumstation und die Partnerschulen bilden bei der zeitgleich durchgeführten Beobachtung ein imaginäres Dreieck (oder auch mehrere Dreiecke), dessen Winkel - und somit auch Seiten - auf Grundlage der Trigonometrie bestimmbar sind. Informationen zur Sichtbarkeit der ISS an Ihrem Standort können Sie über die vom DLR gehostete Website Heavens-Above ermitteln. Durch die Aufnahme von Messreihen an aufeinander folgenden Tagen (oder innerhalb mehrerer Tage) können Veränderung der Flughöhe nachgewiesen werden.Triangulation ist die Winkel- und Seitenlängen-Bestimmung unter Ausnutzung der bekannten geometrischen Beziehungen (Sinussatz, Cosinussatz und Tangens-Winkelbeziehung). Die Kenntnis und Beherrschung dieser Grundlagen wird für die Bearbeitung der Aufgaben vorausgesetzt. Die Beobachtungsorte zweier Partnerschulen und die ISS bilden bei beiden Methoden (Theodolit, Fotografie) das Dreieck, welches den Berechnungen zugrunde gelegt wird. Die Berechnungen gestalten sich aber aufgrund der Kugelgestalt der Erde etwas schwieriger. Ausführliche Informationen dazu finden Sie in dem Lehrerheft des DLR zum ISS-Schülerexperiment Triangulation, das von der Website School in Space als PDF heruntergeladen werden kann. Wann ist die ISS zu sehen? Die Sichtbarkeit der ISS kann mithilfe einer Website für jeden möglichen Beobachtungsstandort ermittelt werden. Durchführung des Experimentes Hinweise zur Durchführung der Messreihen und zur Nutzung von Arbeitsplattformen bei der Zusammenarbeit mit Partnerschulen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die ISS mit eigenen Augen beobachten und sich so ihrer Existenz bewusst werden. erkennen, dass Informationen aus der hochtechnisierten Raumfahrt hinterfragt und mit einfachen Mitteln überprüft werden können. aus den Gesetzen der Trigonometrie Algorithmen zur Berechnung der Flughöhe erstellen und so Methoden der Mathematik anwendungsorientiert einsetzen. auf der Grundlage trigonometrischer Konstruktionen einfache Beobachtungsinstrumente selber bauen und gegebenenfalls ein Teleskop ausrichten (Fotografieren der Raumstation). lernen, eine Messreihe zu planen, im Team zu organisieren und sich mit anderen Partnern zu koordinieren. Thema Untersuchung der ISS-Flugbahn Autor Dr. Winfried Schmitz, Dr. André Diesel Fächer Physik, Mathematik, Astronomie-AG Zielgruppe ab Klasse 10 Zeitraum etwa 6 Stunden Vorbereitungszeit (Theorie der Trigonometrie, Bau eines Theodoliten), ein AG-Treffen für die Durchführung einer Testmessungen, etwa eine Stunde für jede Beobachtung der Messreihe; es müssen mehrere Messreihen (an aufeinander folgenden Tagen oder innerhalb mehrerer Tage) aufgenommen werden, um eine Veränderung der Flughöhe nachweisen zu können. Technische Voraussetzungen Computer mit Internetzugang für die Ermittlung der Sichtbarkeitsdaten der ISS, Kompass; Material aus dem Baumarkt für den Bau des Theodoliten (zum Beispiel Holz und Schrauben), Bohrmaschine, Säge und Akku-Schrauber; alternativ: Teleskop mit Möglichkeit zur astronomischen Fotografie oder Digitalkamera mit großer Brennweite und manueller Belichtungszeit, Kamerastativ. Dr. André Diesel ist Diplom-Biologe und Fachredakteur für Naturwissenschaften, Mathematik und Geographie bei Lehrer-Online. Die ISS ist nur bei einem wolkenfreien oder leicht bewölkten Himmel und nur bei der Abend- oder Morgendämmerung sichtbar, wenn sie von der Sonne angestrahlt wird. Als Beobachtungszeitfenster kommen also nur etwa zwei Stunden vor Sonnenaufgang und zwei Stunden nach Sonnenuntergang in Frage. Informationen zur Sichtbarkeit der ISS an Ihrem Standort können über die Website Heavens-Above ermitteln. Dazu müssen Sie sich zunächst registrieren. Sie können dann die Koordinaten Ihrer Position oder mehrerer Beobachtungsorte eingeben (manuell oder per Menüauswahl), für die Sie dann die Sichtbarkeitsdaten der ISS oder von Satelliten, zum Beispiel Envisat, für die jeweils nächsten zehn Tage anzeigen lassen können; bei aktuellen Space-Shuttle-Missionen kann auch dessen Sichtbarkeit am eigenen Ort abgefragt werden. Auch zu Planeten und Kometen, finden Sie hier Informationen. Die Sichtbarkeitsdaten der ISS werden als Himmelskarte und als Tabelle ausgegeben (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Der rote Pfeil markiert die Flugrichtung der Station. Zudem erhält man auch eine detaillierte Sternenkarte des am höchsten über dem Horizont liegenden Flugbahnabschnittes (nicht dargestellt). Als besonderen Service kann man auch eine "Ground Track"-Karte (Subsatellitenbahn) abrufen, die die Flugbahn der ISS über der Erdoberfläche zeigt (Abb. 2). Vom Auftauchen über dem Horizont bis zum Untergang am gegenüberliegenden Horizont beschreibt die Raumstation eine Flugbahn, bei welcher der Höhenwinkel stetig zunimmt, bis ein Maximalwert erreicht ist. Dieser Maximalwert hängt von der relativen Nähe des Beobachtungspunktes zur Subsatellitenbahn ab. Die Subsatellitenbahn ist die Spur der Satellitenbahn in senkrechter Projektion auf die Erde. Je näher der Beobachtungspunkt und die Subsatellitenbahn zusammen liegen, desto größer sind die maximalen Höhenwinkel, die beim Vorbeiflug gemessen werden können. Zieht die Spur des Satelliten direkt über den Beobachtungspunkt hinweg, dann liegt das Maximum des Höhenwinkels bei 90 Grad. Der Winkel zwischen der Bahnebene eines Satelliten und der Äquatorebene wird als Inklination bezeichnet. Der Wendepunkt einer Satellitenbahn liegt in derjenigen geographischen nördlichen und südlichen Breite, die dem Zahlenwert der Bahnneigung, also dem Winkel der Satellitenbahn beim Äquatordurchgang, entspricht. Da die Flugbahn der ISS eine Inklination von 51,57 Grad aufweist, liegt ihr nördlicher und südlicher Wendepunkt in den Breiten von jeweils 51,57 Grad. Darüber hinaus ist eine Sichtbarkeit in höheren Breiten weiterhin gegeben, allerdings nur unter maximalen Höhenwinkeln, die kleiner als 90 Grad sind. Zur Beobachtung und Vermessung der Flugbahnparameter müssen die Schülerinnen und Schüler einen Theodolit bauen. Eine Anleitung dazu finden Sie im Lehrerheft des DLR zum Triangulationsexperiment. Ist der Zeitpunkt für die Beobachtung der ISS festgelegt, beginnen die Messungen im Team an den beiden Partnerschulen. Sind die Daten von allen Teammitgliedern korrekt erfasst worden, können die Berechnungen beginnen. Gleiches gilt für die Flughöhenbestimmung mithilfe eines Fotoapparats. Folgende Aufgaben müssen bewältigt werden: Messinstrumente nach Anleitung selber (auf)bauen ISS beobachten Messwerte erfassen Werte mit der Partnerschule austauschen Berechnungen durchführen Ergebnisse auswerten und gemeinsam mit der Partnerschule publizieren Bei der Beobachtung der ISS muss der Theodolit in Richtung der Partnerschule weisen. Ein Kompass ist daher unerlässlich. Im Verlauf der Messungen wird derjenige Zeitpunkt festgehalten, zu dem der Mittelpunkt der Erde, die eigene Schule, die Partnerschule und die ISS in einer Ebene liegen. Die Flughöhe der Raumstation kann auch durch Fotografieren des Überflugs von zwei verschiedenen Standorten bestimmt werden. Eine Beschreibung dieser Methode ist dem Lehrerheft des DLR zu entnehmen. Bei der Durchführung der Messreihen wird innerhalb von acht Wochen die ISS jeweils in zwei aufeinander folgenden Wochen abends beziehungsweise morgens kurz nach beziehungsweise kurz vor Sonnenaufgang beobachtet. In diesen Zeitraum gibt es jeweils etwa acht Tage mit günstigen Beobachtungskonstellationen. Die Messungen sind witterungsabhängig. Der Zeitaufwand pro Messung (Aufbau, Justierung, Messung, Abbau, Auswertung) beträgt etwa eine Stunde. Durch die Aufnahme von Messreihen an aufeinander folgenden Tagen (oder innerhalb mehrerer Tage) können Veränderungen der Flughöhe nachgewiesen werden. Gegebenenfalls kann auch registriert werden, dass die Flugbahn der ISS nach einem Besuch des Space-Shuttles durch dessen Triebwerke wieder angehoben wurde.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Potenzfunktionen ordnen die Schülerinnen und Schüler mithilfe interaktiver Arbeitsblätter in eigenständiger Arbeit Funktionsgleichungen und Graphen einander zu. Sie erkennen Potenzfunktionen und tragen diese in ein interaktives Koordinatensystem. Schließlich können sie auch Wurzelfunktionen erkennen.Mit den in dieser Unterrichtseinheit genutzten Materialien (Hot-Potatoes-Übung, Multiple-Choice-Verfahren, interaktives Koordinatensystem) erweitern die Schülerinnen und Schüler den Funktionsbegriff auf die Potenzfunktionen. Fünf Arbeitsblätter bieten Möglichkeiten und Anreize, das im Unterricht vorbesprochene Thema eigenständig einzuüben und Kenntnisse zu vertiefen. Die Interaktivität der Materialien ermutigt die Schülerinnen und Schüler dabei zum selbstständigen Arbeiten und Entdecken. Voraussetzungen Für die Nutzung der interaktiven Arbeitsblätter ist das Plugin Java Runtime Environment erforderlich (kostenloser Download aus dem Internet). Zudem müssen interaktive Webinhalte zugelassen sein (Browser mit aktiviertem Javascript). Die Arbeit mit dem hier verwendeten interaktiven Koordinatensystem muss den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein (siehe Unterrichtseinheiten Direkte Proportionalität und Indirekte Proportionalität). Ist die Klasse die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt, empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers. 1. Zuordnen verschiedener Funktionsformen Das Arbeitsblatt enthält eine Hot-Potatoes-Übung, bei der die Schülerinnen und Schüler die Zuordnung verschiedener Funktionsformen erlernen sollen. Aus einer vorgegebenen Liste können die Lernenden die jeweils passende Antwort auswählen. 2. Erkennen von Potenzfunktionen Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand dieses Arbeitsblattes lernen, mehreren vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies erfolgt in Form einer Multiple-Choice-Übung. 3. Darstellung von Potenzfunktionen (I) Mit diesem Arbeitsblatt sollen die Schülerinnen und Schüler üben, Wertetabellen für Potenzfunktionen zu berechnen und die erhaltenen Werte in ein interaktives Koordinatensystem einzuzeichnen. 4. Darstellung von Potenzfunktionen (II) Dieses Arbeitsblatt ist vom Prinzip her so aufgebaut wie Arbeitsblatt 3. Der Unterschied besteht darin, dass hier die Funktion einer anderen Form behandelt wird. Es kommen nun auch gespiegelte (negative) sowie gestreckte und gestauchte Potenzfunktionen ins Spiel. 5. Funktionsgleichungen mit gebrochenen Exponenten Mithilfe dieses Arbeitsblattes sollen die Schülerinnen und Schüler erlernen, verschiedenen vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen mit gebrochenem Exponenten den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies geschieht im Multiple-Choice-Verfahren.Die Schülerinnen und Schüler können Potenzfunktionen erkennen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. können Potenzfunktionen mithilfe von Funktionsplottern darstellen. beherrschen das Berechnen von Wertetabellen für Potenzfunktionen. erarbeiten den Einfluss des Koeffizienten a auf den Verlauf der Potenzfunktionen y = f(x) = ax. können Wurzelfunktionsgraphen erkennen und beschreiben. Für die Nutzung der interaktiven Arbeitsblätter ist das Plugin Java Runtime Environment erforderlich (kostenloser Download aus dem Internet). Zudem müssen interaktive Webinhalte zugelassen sein (Browser mit aktiviertem Javascript). Die Arbeit mit dem hier verwendeten interaktiven Koordinatensystem muss den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein (siehe Unterrichtseinheiten Direkte Proportionalität und Indirekte Proportionalität ). Ist die Klasse die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt, empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers. Das Arbeitsblatt enthält eine Hot-Potatoes-Übung, bei der die Schülerinnen und Schüler die Zuordnung verschiedener Funktionsformen erlernen sollen. Aus einer vorgegebenen Liste können die Lernenden die jeweils passende Antwort auswählen. Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand dieses Arbeitsblattes lernen, mehreren vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies erfolgt in Form einer Multiple-Choice-Übung. Mit diesem Arbeitsblatt sollen die Schülerinnen und Schüler üben, Wertetabellen für Potenzfunktionen zu berechnen und die erhaltenen Werte in ein interaktives Koordinatensystem einzuzeichnen. Dieses Arbeitsblatt ist vom Prinzip her so aufgebaut wie Arbeitsblatt 3. Der Unterschied besteht darin, dass hier die Funktion einer anderen Form behandelt wird. Es kommen nun auch gespiegelte (negative) sowie gestreckte und gestauchte Potenzfunktionen ins Spiel. Mithilfe dieses Arbeitsblattes sollen die Schülerinnen und Schüler erlernen, verschiedenen vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen mit gebrochenem Exponenten den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies geschieht im Multiple-Choice-Verfahren.

In dieser Unterrichtseinheit zu den Beziehungen zwischen Neben- und Scheitelwinkeln üben die Schülerinnen und Schüler anhand von dynamischen Arbeitsblättern das mathematische Argumentieren.Die in der Erarbeitungsphase der Unterrichtseinheit "Neben- und Scheitelwinkel" genutzten dynamischen Java-Applets und die variablen Aufgabenstellungen der Anwendungs- und Differenzierungsphase wurden mit der kostenlosen dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Diese Software eignet sich durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, ausgezeichnet, um interaktive dynamische Lernumgebungen zu erstellen. Einführung, Zusammenfassung und Beweis Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten die Zusammenhänge von Neben- und Scheitelwinkeln an sich schneidenden Geraden. Vertiefende Übungen Einsatz weiterer interaktiver Übungen zur Festigung und zur Unterrichtsdifferenzierung (drei sich schneidende Geraden, zusätzliche Halbgeraden). Motivation durch herausfordernde Aufgaben Begabte Schülerinnen und Schüler werden in einem spielerischen Wettkampf durch Knobelaufgaben herausgefordert. Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass sich Nebenwinkel zu 180 Grad ergänzen. erkennen, dass Scheitelwinkel maßgleich sind. erkennen, dass durch ein Winkelmaß alle vier Winkelmaße festgelegt sind. können ihre Kenntnisse über Neben- und Scheitelwinkel auf unterschiedliche Problemstellungen anwenden. Fachliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits erste Kenntnisse über Winkel und deren Größe und Bezeichnung besitzen. Beispielhafte Aufgaben für die Grundlegung dieser Kenntnisse finden sich auf der Webseite des Autors. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet vier Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Aufbau und Funktion des Arbeitsblatts Das erste Arbeitsblatt dient der Erarbeitung der Zusammenhänge von Neben- und Scheitelwinkeln an sich schneidenden Geraden. Es beinhaltet zwei unterschiedliche Elemente. Zum einen eine mit GeoGebra erzeugte, dynamische geometrische Darstellung, zum anderen eine interaktive Aufgabenstellung: Anhand der dynamischen Darstellung sollen die Schülerinnen und Schüler vorgegebene Aussagen über Neben- und Scheitelwinkel per Klick als richtig oder falsch kennzeichnen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Auswahl der Aussagen beinhaltet zum einen ganz konkrete Aussagen, wie zum Beispiel "Misst alpha = 75 Grad, so ist beta doppelt so groß", deren Wahrheitsgehalt anhand eines speziellen Beispiels ermittelt werden kann. Ferner gibt es Aussagen, wie "beta und delta sind immer gleich groß", deren Wahrheitsgehalt zwar durch zahlreiche Beispiele belegt, aber letztlich ohne mathematischen Beweis nicht verifiziert werden kann. In zwei der Aussagen werden Sonderfälle der Beziehung zwischen Neben- und Scheitelwinkeln angesprochen: Wenn ein Winkel 90 Grad misst, sind alle vier Winkel maßgleich. Misst ein Winkel 60 Grad, so ist sein Nebenwinkel doppelt so groß. Auswertung Haben die Schülerinnen und Schüler alle Aussagen mithilfe des dynamischen Arbeitsblatts untersucht, so können sie nach dem Ankreuzen der wahren Aussagen mit einem Klick auf den Button "Auswertung" ihre Resultate überprüfen lassen. Sind alle richtigen Aussagen gefunden, wird dies in einem Popup-Fenster bestätigt und unterhalb der dynamischen Zeichnung erscheint eine Zusammenfassung. Abschluss der Erarbeitungsphase Im nächsten Unterrichtsschritt stellt ein Schülerpaar im Plenum anhand des per Beamer projizierten Online-Arbeitsblatts sein Ergebnis vor. Die Lernenden sind dabei angehalten, ihre Ergebnisse zu begründen und etwaige Rückfragen ihrer Mitschüler zu beantworten. Auf dem "klassischen" Arbeitsblatt (neben_scheitelwinkel.pdf) werden nun die Bezeichnungen Neben- und Scheitelwinkel festgehalten und der allgemeine Beweis der Zusammenhänge ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen diesen Eintrag in ihr Arbeitsblatt. Damit ist die erste Phase der Unterrichtsstunde - die erarbeitende Phase - abgeschlossen. Fortführung des Themas Das Thema Neben- und Scheitelwinkel ist allerdings damit noch nicht als abgeschlossen anzusehen, da mit der Formulierung und dem Beweis des Zusammenhangs keineswegs sichergestellt ist, dass die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang verstanden haben und dessen Bedeutung abschätzen können. Um das zu gewährleisten, sollten sich eine Reihe von unterschiedlichen Übungen anschließen, anhand derer die Kenntnisse vertieft und kontrolliert werden können. Eine erste Übung stellen die Aufgaben des Arbeitsblattes dar (siehe arbeitsblatt_neben_scheitelwinkel.pdf). Sie können im Anschluss an die erste Unterrichtsphase in Partnerarbeit bearbeitet werden. Bei der sich anschließenden Besprechung im Plenum sollte die Lehrkraft darauf achten, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungen stets begründen. Diese Verbalisierung dient der Strukturierung eigener Gedanken und der Einübung mathematischer Argumentationen. Allgemeine Betrachtungen Dem interaktiven Arbeitsblatt mit der ersten variablen Übungsaufgabe (Online-Arbeitsblatt 2) liegt folgende Aufgabenidee zu Grunde: Drei sich schneidende Geraden erzeugen sechs Winkel (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken). Zwei der zugehörigen Winkelmaße sind gegeben. Durch die Verwendung dreier Geraden soll den Lernenden verdeutlicht werden, dass sich die Erkenntnisse über Neben- und Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden auf andere geometrische Gegebenheiten übertragen und so allgemeiner betrachten lassen. Highscore-Liste als Anreiz zur Fehlerkorrektur Die Aufgabe für die Schülerinnen und Schüler besteht beim zweiten Online-Arbeitsblatt darin, die mit alpha, beta und delta bezeichneten Winkelmaße zu berechnen. Nach der Eingabe der entsprechenden Werte können die Lernenden durch einen Klick auf den Button "Ergebnis prüfen" ihre Eingaben prüfen lassen und bekommen eine entsprechende Rückmeldung. Dabei können durch Betätigen des Buttons "Aufgabe stellen" beliebig viele weitere Aufgaben gleichen Typs erzeugt werden. Der Hinweis, dass es nur dann Punkte gibt, wenn Fehler verbessert werden, soll einen Anreiz schaffen, Fehler zu korrigieren. Der Spiel- und Wettbewerbscharakter der interaktiven Übung - Erzielen von Punkten und deren Speicherung in einer Highscore-Liste - stellt eine zusätzliche Motivation dar, mehrere Aufgaben dieses Typs zu bearbeiten. Die Zweischneidigkeit von Routineaufgaben Eine Aufgabe, die von allen Schülerinnen und Schülern gleich gut bearbeitet und gelöst werden kann, wird von leistungsstärkeren sehr schnell als langweilig und niveaulos empfunden. Unterrichtsstörungen sind nicht selten die Konsequenz dieser Unterforderung. Andererseits schaffen "Routineaufgaben" von der oben beschriebenen Art für schwächere Schülerinnen und Schüler eine Möglichkeit, Selbstbestätigung in einem Fach zu erfahren, dem sie bislang emotional eher ablehnend gegenüber standen. Unterrichtsdifferenzierung als mögliche Problemlösung Eine Möglichkeit zur Lösung dieses unterrichtlichen Problems stellt die innere Differenzierung dar, bei der man versucht, innerhalb einer Klasse die Leistungsunterschiede teilweise dadurch aufzufangen, dass eine gewisse Variation des Lernangebots (inhaltliche Differenzierung) durch unterschiedliche Motivierungen oder Aufgabenstellungen bereitgestellt wird. Wie sich solch eine inhaltliche Differenzierung durch den Einsatz von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisieren lässt, soll an den noch folgenden zwei Übungen aufgezeigt werden. Eine mögliche Variation der obigen Aufgabenstellung ergibt sich durch die Verwendung einer zusätzlichen Halbgeraden in Online-Arbeitsblatt 3 (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken). Diese Aufgabenstellung durchbricht die bisherige Vorstellung, dass es immer Paare gleicher Winkelmaße gibt. Additiver und multiplikativer Vergleich Da es gerade in der Unterstufe zum Teil ganz erhebliche Leistungsunterschiede bei Schülerinnen und Schülern gibt, kann es vorkommen, dass auch die Aufgaben von Online-Arbeitsblatt 3, so interessant sie für einen Großteil der Klasse sind, begabte Schülerinnen und Schüler nicht herausfordern. Deshalb sollten neben diesen Aufgaben mit expliziten Winkelmaßangaben auch Aufgabenstellungen verwendet werden, bei denen lediglich die Beziehungen zwischen zwei Nebenwinkeln gegeben ist. Dabei bieten sich zwei unterschiedliche Aufgabentypen an: Additiver Vergleich Beispielaufgabe: "Welche Nebenwinkel alpha und beta erfüllen die Bedingung beta = alpha + 88 Grad?" Multiplikativer Vergleich Beispielaufgabe: "Für welche Nebenwinkel alpha und beta gilt beta = 2 alpha?" Durch die Angabe des Größenunterschieds sind beide Winkel festgelegt. Abb. 4 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt das Beispiel einer Aufgabenstellung mit additivem Vergleich. Mit dem Button "Auswertung" können die gefundenen und eingegebenen Winkelmaße überprüft und mit dem Button "neue Aufgabe" weitere Aufgaben mit additivem oder multiplikativem Vergleich erzeugt werden. Laut Aufgabenstellung ist nicht etwa beta das gesuchte Winkelmaß, sondern alpha und delta sind zu berechnen. Hilfestellungen Die für Lernende der Unterstufe doch sehr anspruchsvollen Aufgaben von Online-Arbeitsblatt 4 können in der Regel ohne Hilfestellungen nicht bewältigt werden. Daher bietet das interaktive Arbeitsblatt die Möglichkeit, verschiedene Lösungshinweise einzublenden. Wird dabei der "Hinweise"-Button das erste Mal betätigt, so wird der Texthinweis "Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°" eingeblendet und gleichzeitig der Hinweis visuell dadurch unterstützt, dass der rote Winkelbogen des gestreckten Winkels eingezeichnet wird. Reicht dem Lernenden dieser erste Hinweis nicht aus, so können weitere Hinweise durch das erneute Betätigen des "Hinweise"-Buttons angefordert werden (siehe Abb. 4). Die Aufgabe selbst wird dabei aber abschließend nicht gelöst. Spiel- und Wettbewerbssituation als Motivation Je mehr Hilfen die Lernenden verwenden, desto weniger Punkte erzielen sie. Daher werden sie in einer sportlichen Wettbewerbssituation anstreben, möglichst viele Punkte dadurch zu erreichen, dass sie so wenig Hilfen wie möglich in Anspruch nehmen. Sie werden daher versuchen, die algebraischen Argumentationsschemata für additive und multiplikative Vergleiche zu verinnerlichen. In einer normal strukturierten Klasse wird sich in der Übungs- und Differenzierungsphase ein komplett anderer Unterricht ergeben. Schülerinnen und Schüler werden nach ihren jeweiligen Interessen und Leistungsvermögen an unterschiedlichen Aufgaben arbeiten. Da bei allen interaktiven Übungen die Lernenden durch Rückmeldungen beziehungsweise Hilfen unterstützt werden, muss die Lehrkraft keine Bewertungen oder Korrekturen vornehmen. Die Aufgabe der Lehrkraft besteht vielmehr darin, die Schülerinnen und Schüler zu beobachten. Die angezeigten Punkte geben Aufschluss über die Arbeitsweise und den Erfolg der einzelnen Schülergruppen. Die Lehrkraft sollte alle Schülerinnen und Schüler ermutigen, sich jeweils mit Aufgaben der nächsten Anforderungsstufe zu beschäftigen. Hausaufgaben finden sich dazu in allen zugelassenen Schulbüchern. Sollten die im verwendeten Arbeitsblatt enthaltenen Aufgaben nicht verwendet worden sein, so können auch diese als Hausaufgabe gestellt werden.

In der Unterrichtseinheit "Lineare Funktionen" machen die Schülerinnen und Schüler mithilfe des mathematischen Modells der Funktionsmaschine ihre erste Bekanntschaft mit dem Funktionsbegriff. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit wird die lineare Funktion als solche anschaulich und ausführlich mit vielen interaktiven Übungen untersucht. Da der Funktionsbegriff in der weiteren Schullaufbahn der Lernenden einen hohen Stellenwert einnehmen wird, ist es von herausragender Bedeutung frühzeitig fundierte Grundlagen zu schaffen. Deshalb beginnt die Unterrichtseinheit mit dem Modell der Funktionsmaschine (Schmuckbild links bitte anklicken). Die hier vorgestellten interaktiven Übungen der Arbeitsblätter können entweder nach der Behandlung des Themas im Unterricht zur selbstständigen Schülertätigkeit angeboten (eine Unterrichtsstunde pro Arbeitsblatt mit Vorbesprechung und Auswertung) oder bereits für die Erarbeitung des Themas "Lineare Funktionen" verwendet werden. Dabei empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers, wenn die Lernenden die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt sind. Die Unterrichtseinheit dient der Erarbeitung des Funktionsbegriffs. Da sehr viele Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben, den Funktionsbegriff zu verinnerlichen, wird gerade auf die anschauliche Darstellung der Funktion als Maschine, die Zahlen verändert, Wert gelegt. Das Modell der Funktionsmaschine hat sich in der Mathematik-Didaktik als sehr anschaulich und einprägsam für die Lernenden erwiesen. Die auf dem ersten Arbeitsblatt verwendete Animation soll einen Beitrag zur weiteren Erhöhung dieser Anschaulichkeit leisten. Damit die Animation richtig angezeigt wird, muss ein Flash-Player für den Browser installiert sein und interaktive Webinhalte müssen zugelassen werden. Einsatz der Materialien Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter, Links zu den Onlinematerialien und Screenshots. Die Schülerinnen und Schüler verinnerlichen anhand der Funktionsmaschine den Funktionsbegriff. kennen Zuordnungsvorschriften linearer Funktionen und wenden diese an. formulieren Zuordnungsvorschriften der Form y=mx+n. beherrschen das Ablesen von linearen Funktionen aus dem Koordinatensystem. beherrschen das Eintragen von linearen Funktionen in ein Koordinatensystem. erkennen Achsenabschnitte als Hilfsmittel zur Darstellung linearer Funktionen. lernen das grafische Lösen linearer Gleichungssysteme kennen. Das erste Online-Arbeitsblatt (funktionsmaschine.html) demonstriert den Schülerinnen und Schülern anhand einer Funktionsmaschine anschaulich, was hinter dem Begriff "Funktion" steckt und vermittelt erste Grundlagen der Begrifflichkeit (Argument, Funktionswert, … ). Alle Arbeitsblätter dieser Unterrichtseinheit stehen online zur Verfügung, können aber auch im Downloadbereich auf der Startseite des Artikels als ZIP-Ordner heruntergeladen werden. Das zweite Arbeitsblatt (funktionsmaschine_II.html) soll den Lernenden mithilfe des Modells der Funktionsmaschine erste Schritte beim Erkennen und Nachvollziehen von Zuordnungsvorschriften ermöglichen. Nach der Erarbeitung des Begriffs "lineare Funktion" kann anhand von Arbeitsblatt 3 (lineare_funktionen_I.html) mit dem Erkennen vorgegebener linearer Funktionen fortgefahren werden. Dabei erhöht sich der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben sowie die Anforderungen bei der Beantwortung der Fragen. Das Einzeichnen von linearen Funktionen anhand der Achsenabschnitte wird bei der Bearbeitung von Arbeitsblatt 4 verlangt (lineare_funktionen_II.html). Dabei begegnen die Schülerinnen und Schüler erneut dem interaktiven Koordinatensystem, das ihnen bereits aus den Unterrichtseinheiten zur direkten und indirekten Proportionalität bekannt sein könnte (Unterrichtseinheiten Direkte Proportionalität und Indirekte Proportionalität des Autors im Fachportal Mathematik). Das fünfte Arbeitsblatt (lineare_funktionen_III.html) dient der abschließenden Untersuchung zusammenhängender linearer Funktionen. Ziel ist es, Schnittpunkte linearer Funktionen zu bestimmen - als Grundlage für das grafische Lösen linearer Gleichungssysteme.

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Wertetabellen und übertragen die Zahlen in ein interaktives Koordinatensystem. Mit den hier vorgestellten Materialien sollen die Schülerinnen und Schüler nach der direkten Proportionalität die Darstellung umgekehrt proportionaler Zusammenhänge kennen lernen. Am Anfang steht die Wiederholung des Dreisatzes für die indirekte Proportionalität zuerst in Text- und dann in Tabellenform. Das Ausfüllen der Wertetabellen bildet die Grundlage für das anschließende Eintragen der Werte in ein interaktives Koordinatensystem. Hier erfolgt die Auswertung der Ergebnisse nun auch anschaulich: Die richtig eingetragenen Werte werden als Funktion angezeigt! Einsatzmöglichkeiten und Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit zielt in erster Linie auf das Üben des Übertragens von Werten aus einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem. Dazu können diese interaktiven Übungen bereits bei der Behandlung dieses Themas im Unterricht als selbstständige Schülertätigkeit angeboten werden. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die direkte Proportionalität bereits auf diese Weise bearbeitet wurde (siehe Unterrichtseinheit Direkte Proportionalität ). In Klasse 6 empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers, wenn die Kinder die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt sind. Interaktives Koordinatensystem Die Schülerinnen und Schüler sollen den Dreisatzes für die indirekte Proportionalität richtig anwenden. Wertetabellen richtig ausfüllen können. Zuordnungsvorschriften der Form y=m/x formulieren können. das Eintragen von Wertepaaren in ein Koordinatensystem beherrschen. erkennen, dass die Graphen indirekt proportionaler Zuordnungen keine ansteigende Geraden mehr ergeben, sondern bestimmte Arten von Kurven: Hyperbeläste (ohne den Begriff zu kennen). Thema Indirekte Proportionalität Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6 Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplatz (im Idealfall ein Computer pro Kind), Browser mit aktiviertem Javascript

Mithilfe der hier vorgestellten Materialien sollen die Schülerinnen und Schüler in Klasse 6 den Schritt von der direkten Proportionalität zur linearen Funktion nahezu selbstständig erarbeiten.Zu Beginn der Unterrichtseinheit erfolgt eine Wiederholung des Dreisatzes für die direkte Proportionalität, zuerst in Text- und dann in Tabellenform (Arbeitsblatt 1). Das Ausfüllen von Wertetabellen bildet die Grundlage für das anschließende Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem (Arbeitsblatt 2). Bei der Bearbeitung von Arbeitsblatt 3 erfolgt die Auswertung der Ergebnisse nun auch anschaulich: Die richtig eingetragenen Werte werden als Funktion angezeigt! Einsatzmöglichkeiten Die Unterrichtseinheit zielt in erster Linie auf das Übertragen von Werten aus einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem. Dazu können die interaktiven Übungen der Arbeitsblätter entweder nach der Behandlung des Themas im Unterricht zur selbstständigen Schülertätigkeit angeboten werden (eine Unterrichtsstunde), oder bereits für die Erarbeitung des Themas "Darstellung der direkten Proportionalität im Koordinatensystem" verwendet werden (drei Unterrichtsstunden). In Klasse 6 empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers, wenn die Kinder die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt sind. Interaktives Koordinatensystem Die Schülerinnen und Schüler sollen den Dreisatz für die direkte Proportionalität richtig anwenden. Wertetabellen richtig ausfüllen. Zuordnungsvorschriften der Form y=mx formulieren. das Eintragen von Wertepaaren in ein Koordinatensystem beherrschen. erkennen, dass die Graphen direkt proportionaler Zuordnungen ansteigende Geraden ergeben, die durch den Koordinatenursprung verlaufen. Thema Proportionalität Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6 Zeitraum 1-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplatz (am Besten ein Computer pro Kind), Browser mit aktiviertem Javascript

In dieser Unterrichtseinheit wird der Computer benutzt, um die Eigenschaften von Abbildungen herauszuarbeiten und ihr Verständnis zu vertiefen. Die Lernenden erhalten die Möglichkeit, ihr Wissen zu vervollständigen und zu prüfen.Achsen- und Punktspiegelungen sind integrale Bestandteile des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe I. Bereits in der Primarstufe werden symmetrische Figuren thematisiert. In den Jahrgängen 5-7 wird das mathematische Argumentieren und Strukturieren vertieft: Die Schülerinnen und Schüler sollen in der Lage sein, die Eigenschaften der verschiedenen Abbildungen zu benennen und diese Eigenschaften zur Identifikation von gegebenen Abbildungen und zur Konstruktion der Bilder von gegebenen Figuren zu verwenden. Das digitale Material dieser Unterrichtseinheit wurde mit der dynamischen Geometriesoftware Cinderella erstellt. Die Software selbst ist aber nicht notwendig, um das Material zu nutzen, das uneingeschränkt weitergegeben werden kann. Eine erweiterte Schullizenz, die es allen Lehrkräften sowie Schülerinnen und Schülern erlaubt, selbst Konstruktionen mit Cinderella zu erstellen und im Internet zu veröffentlichen, ist für 199 € zu haben (weitere Informationen auf der Cinderella-Homepage ). Fachlicher Kommentar und Mehrwert des Computers Hinweise zu den Voraussetzungen der Schülerinnen und Schüler und dem Nutzen des Computereinsatzes bei den verwendeten Materialien mit Screenshots 1. Stunde - Verlauf und Materialien Achsen- und Punktspiegelungen werden mithilfe dynamischer Cinderella-Applets erkundet. Die Ergebnisse werden auf Plakaten fixiert. 2. Stunde - Verlauf und Materialien Symmetrieeigenschaften von Zahlen und Ziffern werden ohne den Computer untersucht und danach einfache Konstruktionsaufgaben am Rechner bearbeitet. Die Schülerinnen und Schüler sollen gegebene Abbildungen als Punkt- oder Achsenspiegelung identifizieren oder begründen können, weshalb es sich nicht um eine Spiegelung handelt. die Punkt- beziehungsweise Achsensymmetrie von vorgegebenen Figuren begründet bestimmen können. ihr Wissen über diese Abbildungen in geometrische Konstruktionen umsetzen können. den Unterschied zwischen statischen Figuren und dynamischen Figuren erklären können. Thema Achsen- und Punktspiegelungen im Vergleich Autor Prof. Dr. Ulrich Kortenkamp Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5-7 Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Ein Computer für je zwei Lernende, Lehrerrechner mit Beamer; gut geeignet für Tablet-PCs oder Notebooks Software Internet Browser mit Java-2-Unterstützung (zum Beispiel Internet Explorer/Firefox mit Sun Java-Plugin unter Windows oder Safari auf Mac OS X); falls ein Internet-Zugang vorhanden ist, kann das Material online benutzt werden, ansonsten muss es heruntergeladen und auf alle Rechner kopiert werden. Weitere Materialien je zwei rote und zwei blaue Plakate (DIN A2); zur Gestaltung der Plakate: zwei weiße DIN-A4-Blätter, vier mal der Buchstabe F, zwei mal aus blauem, zwei mal aus rotem auf DIN A5 gefaltetem DIN A4-Papier ausgeschnitten; eine Bastelschere pro Arbeitsgruppe (Partnerarbeit), zwei Klebestifte Achsenspiegelungen sind wesentlich allgemeiner als Punktspiegelungen - schließlich kann man durch die Hintereinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen eine Punktspiegelung erzeugen. Auch die Aufgabe, die Abbildung zu zwei kongruenten Figuren zu finden, ist für Achsenspiegelungen trivial (egal wie zwei spiegelverkehrte kongruente Figuren zueinander liegen: Es gibt immer die passende Achsenspiegelung!); im Fall einer Punktspiegelung muss es eine Drehung um exakt 180 Grad sein! Erstaunlicherweise ist aber die Konstruktion einer Punkspiegelung wesentlich einfacher als die einer Achsenspiegelung, bei der zusätzlich noch Senkrechte verwendet werden müssen. Die Unterrichtseinheit ist so konzipiert, dass auch Schülerinnen und Schüler, die noch nicht mit dynamischer Geometriesoftware (DGS) gearbeitet haben, die Aufgaben erfolgreich bearbeiten können. Sie eignet sich so auch für eine erste "Kontaktaufnahme" mit dem Computer im Geometrieunterricht. Die Schülerinnen und Schüler kennen schon seit der Grundschule und aus ihrer Anschauung Punkt- und Achsensymmetrien. In den der Unterrichtseinheit vorangegangenen Stunden sollten die dazu gehörigen Abbildungen und die damit verbundenen Begriffe (Zentrum der Spieglung, Spiegelachse, Punkt und Bildpunkt) eingeführt worden sein. Üblicherweise haben die Schülerinnen und Schüler noch Schwierigkeiten, ihr intuitives Wissen über die Abbildungen in klare Argumentationen umzusetzen. Die Eigenschaften der Abbildung "an sich" entdecken Die Durchführung von Punkt- und Achsenspiegelungen ist durchaus ohne den Computer machbar, und die reine Computerisierung dieser Tätigkeit birgt noch keinen Mehrwert. Vielmehr besteht die Gefahr, dass durch zu rasches Abarbeiten einer Konstruktionsaufgabe die Kontemplation über die Eigenschaften der Achsen- und der Punktspiegelung zu kurz kommt. Daher wird in dieser Stunde ausgenutzt, dass man durch die Dynamisierung einer gegebenen Achsenspiegelung die Eigenschaften der Abbildung "an sich" entdecken kann. Einstieg und Hilfestellungen Zur Systematisierung und als Hilfestellung wird zu Beginn der Unterrichtseinheit ein dynamisches Arbeitsblatt eingesetzt, auf dem Punkt- und Achsenspiegelung dargestellt werden. Dabei stehen zusätzliche Werkzeuge zur Verfügung, so dass nicht nur das Verhalten bei Bewegungen ausprobiert werden kann, sondern dass auch die vermuteten Kriterien überprüft werden können. So kann man beispielsweise über das Geradenwerkzeug Punkte miteinander verbinden. Wenn hierbei Punkt und Bildpunkt miteinander verbunden werden, so wird dies anders dargestellt als bei anderen Verbindungen. Das Kreiswerkzeug kann dafür benutzt werden, um den gleichen Abstand von Punkt und Bildpunkt von der Spiegelachse (oder dem Spiegelzentrum) zu prüfen, indem der Mittelpunkt auf die Achse und der Randpunkt auf eine Ecke des F gesetzt wird. Handlungsorientierte Zugänge Wird eine Figur abgebildet, die nicht punk- oder achsensymmetrisch ist, so kann man an einer statischen Abbildung leicht erkennen, um welchen Typ es sich handelt. Wird hingegen eine punkt- und achsensymmetrische Figur (zum Beispiel ein Rechteck oder gar Kreis) abgebildet, so kann aus dem statischen Bild ohne Hilfslinien nicht geschlossen werden, um welche Abbildung es sich handelt. Es ist also kein handlungsorientierter Zugang zu dieser Thematik möglich! Um dieses Problem zu umgehen, werden dynamische digitale Arbeitsblätter verwendet, auf welchen verschiedene Abbildungen durchgeführt werden, an denen die Schülerinnen und Schüler forschen können. Die Schülerinnen und Schüler bewegen darin den Punkt A. Dabei bewegt sich A' mit, nur um 180 Grad gedreht. Per "Spurmodus" wird die Spiegelung visualisiert. Die Lernenden sollen erkennen, dass es sich um eine Punktspiegelung handelt. Im zweiten Teil der Doppelstunde (der bei Zeitknappheit auch entfallen, oder, da das Material im Internet zur Verfügung steht, wohl dosiert auch als Hausaufgabe verwendet werden kann) werden die Symmetrieeigenschaften von Buchstaben und Ziffern untersucht (als Gegenpol zur Arbeit mit dem Computer). Im zweiten Teil der zweiten Stunde wird dann wieder mit dem Computer gearbeitet (Bestimmung des Zentrums einer Punktspiegelung und Durchführung einer einfachen Konstruktionsaufgabe). Einsatz von Plakaten In Unterrichtsstunden mit Computereinsatz muss viel Wert auf die Ergebnissicherung gelegt werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen daher in den beiden Stunden vier Plakate erstellen, die die gefundenen Kenntnisse konservieren und präsentieren. Die Plakatbeiträge der ersten Stunde werden mit den Namen der Schülerinnen und Schüler gekennzeichnet. Damit erhält die Lehrkraft die Möglichkeit, den Leistungsstand der Lernenden nachträglich zu überprüfen (während der Arbeit mit dem Computer fällt es schwer, den Lernstand der Kinder richtig einzuschätzen!). Es besteht also die Chance, später auf eventuell vorhandene Lücken oder Fehlkonzeptionen einzugehen und schwächere Schülerinnen und Schüler zu fördern. Verwendung von Leitfarben Als "unterschwellige" Hilfestellung und zur besseren Unterscheidung wird auf den Plakaten und in den Applets für Punktspiegelungen die Farbe Rot (Punkte) und für Achsenspiegelungen die Farbe Blau verwendet (Linien). Wenn der Typ der Spiegelung noch nicht bekannt ist, so wird gelb verwendet. Für eventuelle Tafelanschriebe oder -zeichnungen wird empfohlen, dies beizubehalten. Die Klasse wird begrüßt und das Stundenthema vorgestellt. Danach werden Rechner ausgeteilt (Tablet-PCs oder Notebooks) oder die Klasse wechselt in den Computerraum. Je zwei Kinder arbeiten an einem Rechner. Die dynamischen Materialien und die grundlegenden Bedienungsfunktionen werden von der Lehrkraft anhand der Beispiel-Achsenspiegelung vorgestellt. Falls der Browser interaktive Inhalte blockiert, muss erklärt werden, wie diese zugelassen werden können. Arbeitsauftrag Der Arbeitsauftrag findet sich auf dem elektronischen Arbeitsblatt und wird zudem mündlich gestellt: "Erkunde die Achsen- und Punktspiegelung im Beispiel ("Beispiele für Spiegelungen"). Finde dann heraus, um welche Abbildungen es sich bei den in Aufgabe 2 ("Was ist das?") gegebenen zwölf Abbildungen handelt! Erstelle eine Tabelle in deinem Heft, in die du für alle zwölf Abbildungen einträgst, ob es sich um Achsen- oder Punktspiegelungen handelt - mit Begründung! Überlege, wie du Achsen- beziehungsweise Punktspiegelungen erkennst und schreibe es auf den roten beziehungsweise blauen Zettel." (Verwenden Sie für die Erstellung dieser Ergebniszettel die Dateien "begruendung_punktspiegelung_rot" und "begruendung_achsenspiegelung_blau".) Die Zeitvorgabe (etwa 15 Minuten) wird als Uhrzeit angesagt. Arbeitsphase Gehen Sie herum und helfen den Schülerinnen und Schülern bei technischen Schwierigkeiten. Erinnern Sie sie daran, ihre Antworten zu begründen! Falls die Lernenden nicht von selbst darauf kommen, den Punkt A bei den ersten vier Abbildungsbeispielen zu bewegen, fordern Sie sie dazu auf. Vorbereitung der Plakate (Lehrkraft) Ein blaues Plakat (DIN A) wird hochkant mit Magneten an der Tafel fixiert und mit der Überschrift "Achsenspiegelung", ein rotes Plakat mit der Überschrift "Punktspiegelung" versehen. Quer unter diese Überschriften wird auf jedes Plakat ein weißes DIN A4-Blatt geklebt. Aufgaben der Plakatverantwortlichen Aus der Klasse werden zwei Plakatverantwortliche bestimmt, die die Aufgaben bisher zügig gelöst haben. Diese erhalten zwei blaue beziehungsweise zwei rote ausgeschnittene kongruente F-Buchstaben (diese stellt man am besten her, indem man ein farbiges DIN A4-Blatt auf DIN A5 faltet und daraus den Buchstaben ausschneidet) und kleben diese auf die durch aufgeklebte weiße Blätter hergestellten weißen Flächen des blauen beziehungsweise roten Plakates. Dabei sollen eine Punkt- und Achsenspiegelung wie auf dem elektronischen Beispiel-Arbeitsblatt entstehen. Mit blauem und rotem Stift werden von den Plakatverantwortlichen die Achse beziehungsweise das Zentrum der Spiegelung eingezeichnet. Außerdem werden benötigt: ein rotes und ein blaues Plakat (DIN A2) zwei weiße DIN-A4-Blätter je zwei "F", die aus roter beziehungsweise blauer Plakatpappe ausgeschnitten wurden zwei Klebestifte Materialien zur Befestigung der Poster an der Tafel (Magneten, Klebeband) Schülerhefte Die Lehrkraft zeigt nacheinander die zwölf Applets zu Aufgabe 2 ("Was ist das?") des elektronischen Arbeitsblattes (Beamer). Die Schülerinnen und Schüler äußern dazu Ihre Vermutungen (Achsen- oder Punktspiegelung?). Eine Schülerin oder ein Schüler notiert diese an der Tafel. Die Vermutungen werden gemeinsam diskutiert und die Lernenden werden aufgefordert, ihre Behauptungen zu begründen. Bei guten Begründungen werden sie ermuntert, diese auf den (vermutlich noch nicht ausgefüllten) roten und blauen Ergebniszetteln zu notieren ("begruendung_punktspiegelung_rot.rtf" und "begruendung_achsenspiegelung_blau.rtf"). Wahrscheinlich werden die Schülerinnen und Schüler selbst noch einmal auf den eigenen Rechnern die Applets aufrufen, um die Diskussion selbsttätig nachvollziehen zu können. Falls sie dies nicht tun, schadet es nicht, sie dazu aufzufordern. Nun werden noch die roten und blauen Zettel eingesammelt und schnell auf die Plakate geklebt. Die Plakate werden von der Tafel abgenommen und an die Wand gehängt. Im Plenum wird geklärt, was der Zusammenhang zwischen Spiegelung und Symmetrie ist: Wann nennt man eine Figur achsensymmetrisch? Wann punksymmetrisch? Die auf rotes und blaues Papier kopierten Buchstaben und Ziffern (jeweils 36, siehe "buchstaben_ziffern.rtf") werden verteilt. Die Schüler und Schülerinnen sollen in Partnerarbeit klären, welche Buchstaben punkt- und welche achsensymmetrisch sind. Auf ein rotes Plakat werden alle punktsymmetrischen Buchstaben (rotes Papier) und auf ein blaues Plakat alle achsensymmetrischen Buchstaben geklebt. Die roten Buchstaben, die nicht punktsymmetrisch sind, und die blauen, die nicht achsensymmetrisch sind, werden weggeworfen. Die Klasse liest noch einmal die Buchstaben auf den Plakaten vor. ein rotes und ein blaues Plakat (DIN A2) eine Schere pro Arbeitsgruppe zwei Klebestifte Einleitung (5 Minuten) Die beiden Konstruktionsaufgaben zur Punktsymmetrie werden kurz vorgestellt. Die Bedienung des Applets wird kurz vorgeführt (ohne die Konstruktionsaufgabe zu lösen!) und technische Probleme werden geklärt ("aktive Inhalte zulassen"). Arbeitsphase (15 Minuten) Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten selbstständig die Konstruktionsaufgaben. Arbeitsauftag: "Versucht die Konstruktionsaufgaben zu lösen; ihr könnt euch mit dem Fragezeichen-Button Hilfen holen. Versucht dann, die Aufgabe noch einmal zu lösen - ohne Hilfen. Schreibt in euerem Heft genau auf, wie ihr vorgegangen seid. Begründet, wieso ihr so vorgeht!" Die Zeitvorgabe von 15 Minuten wird als Uhrzeit angeben! Besprechung der Lösung (10 Minuten) Eine Schülerin oder ein Schüler führt die Lösung am Beamer vor. Die eigenen Aufzeichnungen können dabei benutzt werden. Bei der Begründung der Lösung muss die Lehrkraft darauf achten, dass die aus der vorherigen Stunde bekannten Eigenschaften von Punktspiegelungen benutzt werden! Außerdem benötigen die Lernenden ihr Mathematikheft für ihre Notizen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Funktionen" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler diesen Funktionstyp über dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden, und interaktiven Übungen, die mit der Software HotPotatoes angefertigt wurden.Quadratische Funktionen folgen im Lehrplan auf die linearen Funktionen. Während dort nur zwei Parameter Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, spielen bei quadratischen Funktionen drei Parameter eine Rolle. Die folgende Unterrichtseinheit zeigt auf, wie der Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen von Schülerinnen und Schülern mithilfe interaktiver Arbeitsblätter weitgehend eigenständig und durch einen experimentellen Zugang erarbeitet werden kann. An die Erarbeitung schließen sich Lernkontrollen in Form von Lückentexten, Zuordnungsübungen, Kreuzworträtseln und eines Quiz an.Die Arbeit mit dynamischen und interaktiven Arbeitsblättern ermöglicht den Schülerinnen und Schülern im Sinne einer Handlungsorientierung ein experimentelles Herangehen an mathematische Fragestellungen und ein eigenständiges Entdecken von Gesetzmäßigkeiten. Die Lernenden können dabei in ihrem individuellen Lerntempo vorangehen und Übungsmöglichkeiten im Rahmen einer gesetzten Zeitspanne beliebig oft nutzen. Sie erhalten eine unmittelbare Rückmeldung über ihren persönlichen Lernerfolg und üben ihre Stärken und Schwächen selbst einzuschätzen, ohne unter ständiger Beobachtung durch die Lehrkraft zu stehen. Durch dynamische Geometriesoftware lässt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter besser veranschaulichen als durch das Skizzieren einiger ausgewählter Funktionsgraphen im Heft. Die experimentelle Herangehensweise kann auch weniger abstrakt denkende Schülerinnen und Schüler motivieren, die sonst im Unterricht eher zurückhaltend sind. Außerdem trägt sie zu einem besseren Verständnis von Funktionen bei. Unterrichtsablauf Die Voraussetzungen für die Durchführung der skizzierten Unterrichtseinheit, der genaue Ablauf und die Einbeziehung der genannten Medien wird beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e heraus. erkennen, dass der Parameter e eine Verschiebung der Normalparabel nach oben/unten bewirkt. erfassen, dass der Parameter d eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts/links zur Folge hat. begreifen, dass der Vorfaktor a eine Streckung/Stauchung der Normalparabel impliziert. lernen ein Beispiel für eine quadratische Funktion aus der Umwelt kennen. können die gewonnen Erkenntnisse auf neue Situationen und Fragestellungen anwenden. Voraussetzung für die Durchführung der beschriebenen Unterrichtseinheit ist ein genügend großer Computerraum, sodass die Lernenden einzeln oder höchstens zu zweit die Aufgabenstellungen bearbeiten können. Nur so kann ein individueller Lernprozess ermöglicht werden. Auf den Rechnern sollte ein aktueller Internet-Browser und vor allem das kostenlose Plugin Java Runtime Environment installiert sein, damit die mit GeoGebra erstellten dynamischen Arbeitsblätter (Applets) genutzt werden können. Um den organisatorischen Aufwand zu minimieren, empfiehlt es sich, die selbst erstellten Arbeitsblätter auf einem Webserver abzulegen und diese dann von den Lernenden via Internetzugang herunterladen zu lassen. Ein entsprechendes Beispiel findet man auf der Kommunikationsplattform der ARS-Limburg. Die bereitgestellten Dateien können aber auch lokal mithilfe eines Datenträgers auf jeden Rechner geladen werden. Ferner ist für eine der fakultativen Übungen am Ende das Tabellenkalkulationsprogramm MS-Excel erforderlich. Vor der Durchführung der Lerneinheit sollte die quadratische Funktion zunächst definiert und die charakteristischen Eigenschaften der Funktionsgraphen (Parabeln) an einigen Beispielen herausgearbeitet werden. So könnte man den Schülerinnen und Schülern neben der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x² zwei bis drei weitere Funktionsgleichungen vorgeben und die zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Die Lernenden erkennen bereits hier, dass das Markenzeichen einer quadratischen Funktion der Parabelbogen ist und dass dieser unterschiedliche Lagen im Koordinatensystem einnehmen kann. Zur besseren Verankerung und Steigerung der Motivation kann auch ein Bezug zu Parabeln in der Umwelt (Brücken, Wurfbahn, et cetera) hergestellt werden und einige Beispiele können gezeigt werden. Nun erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partner- beziehungsweise Einzelarbeit etappenweise die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e. Hierzu öffnen Sie jeweils ein mit GeoGebra erstelltes dynamisches Arbeitsblatt. Mithilfe eines Schiebereglers können sie die Größe der jeweiligen Parameter ändern und beobachten, wie sich der Verlauf des Funktionsgraphen und die Funktionsgleichung verändern. Der detaillierte Ablauf geht aus dem Quadratische Funktionen hervor. Am Ende jedes Arbeitsblattes befindet sich ein Lückentext, der vervollständigt und zur Ergebnissicherung ins Heft übertragen werden muss. Die Lernenden haben so die Gelegenheit, Zusammenhänge zwischen Funktionsterm und -graph experimentell und weitgehend eigenständig zu entdecken. Die gewonnenen Erkenntnisse müssen im Anschluss jeweils in einer interaktiven, mit Hot Potatoes erstellten Übungseinheit auf andere Situationen übertragen werden. Die Schülerinnen und Schüler können dabei individuell nach ihrem eigenen Lerntempo vorgehen. Durch die unmittelbare Rückmeldung erhalten sie Aufschluss über ihren Lernstand und können bei Bedarf eine Übung mehrfach durchlaufen. Nachdem die Bedeutung der Parameter erarbeitet wurde, können die Schülerinnen und Schüler in einer abschließenden Übungseinheit ihr Wissen über quadratische Funktionen in zwei Lückentexten, zwei Zuordnungsübungen, einem Kreuzworträtsel und einem Quiz noch einmal unter Beweis stellen. Außerdem sollen die Anpassung einer Funktion an einen vorgegeben Brückenbogen durchgeführt werden.

Die Flash-Animation „Die Grundidee des Differenzierens“ der Website mathe-online.at vermittelt die Grundzüge der Differenzialrechnung in Bild und Ton – dabei können die verschiedenen Sequenzen je nach individuellem Lerntempo beliebig angehalten oder wiederholt werden.Ausgehend von einem Problem der Gewinnmaximierung wird der im Film-Clip dargestellte Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung mithilfe der Programme MS Excel sowie MS PowerPoint anschaulich nachgestellt: Einer ?Animation? der in Excel erstellten Diagramme per Daumenkino schließt sich eine einfache Animation in PowerPoint an.Die Schülerinnen und Schüler haben in früheren Lerneinheiten die Bestimmung der Steigung von Geraden erlernt (Punkt-Steigungsform der Geradengleichung) und damit die Grundlage zur Berechnung von Sekantensteigungen gelegt. Des Weiteren wurde im Rahmen der quadratischen Funktionen die Scheitelform der Parabelgleichung eingeführt. Ablauf des Unterrichts und Einsatz der Materialien Ein zuweilen sperriges Thema der Analysis wird durch anschauliche Unterrichtsmethoden verständlich. Die Schülerinnen und Schüler sollen das Maximum einer gegebenen quadratischen Funktion anhand bekannter Methoden berechnen (Scheitelform der Parabelgleichung). die Steigung einer Sekante berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung verinnerlichen. eine Sekantenfolge in einer Excel-Wertetabelle korrekt (richtige Verwendung von Formeln und Zellbezügen et cetera) darstellen können. die Sekanten und den Graphen der gegebenen Funktion als Diagramm ausgeben können. in der Lage sein, die Diagramme mit MS PowerPoint in eine Animation umzusetzen. schließlich erkennen, dass an der Stelle eines Extremwerts (hier speziell: Gewinnmaximum) die Tangentensteigung beziehungsweise erste Ableitung Null betragen muss Die verschiedenen Medien und Darstellungsweisen (Visualisierung mittels Diagramm, "haptisch-spielerische" Animation, digitale Animation) ermöglichen einen vielfältigen Zugang zu dem zentralen und zuweilen sperrigen Thema der Analysis, so dass eine Bearbeitung der Aufgaben die schnelle Einsicht in die Tatsache bietet, dass die erste Ableitung an einem Extrempunkt Null betragen muss. Thema Multimediale Einführung in die Differenzialrechnung Autor Arim Shukri Fach Mathematik Zielgruppe Kaufmännische Bildungsgänge Zeitraum 4-5 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Person, Browser mit Flash-Player (ab Version 6), MS Word, Excel, PowerPoint, Beamer Planung Differenzialrechnung Im Mathematikunterricht der Klasse wurden in den vorherigen Unterrichtssequenzen folgende Themen behandelt: Einführung in Excel Zellbezüge Erstellen von Formeln Kopieren von Formeln Umsetzung von Werten in Diagramme Einführung in MS PowerPoint Anschaulichkeit des Mediums Der Film-Clip "Die Grundidee des Differenzierens" bietet eine interessante Alternative, um den Lernenden die Grundzüge der Differenzialrechnung näher zu bringen. Ausgehend von dem im Film dargestellten und in der Diskussion vertieften Stoff fördern die sich anschließenden Aufgaben ein aktives Verständnis des Limesprozesses der sich von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung vollzieht. Bezug zur Berufswelt Um einen Bezug zur Anwendung in der Wirtschaft herzustellen, wird den Schülerinnen und Schülern zunächst die Aufgabe gestellt, von einer gegebenen Gewinnfunktion (Polynom zweiten Grades) das Maximum zu berechnen. Dies geschieht mithilfe der bereits aus einer früheren Unterrichtseinheit bekannten Scheitelform der Parabelgleichung. Dass dies auch und gerade anhand der Differenzialrechnung geschehen kann, soll durch die weiteren Aufgaben dynamisch-fassbar erschlossen werden. Berechnung Von Maximalpunkt ausgehend wird also eine geeignete Folge von Näherungspunkten ausgewählt, die sich von rechts dem Extrempunkt annähern. Dann wird jeweils eine Sekante durch Maximalpunkt und Näherungspunkt gelegt. Schließlich werden die jeweiligen Sekanten mit geeigneten Formeln in eine Excel-Wertetabelle umgesetzt. Visualisierung Die so entstehenden Spalten werden nun als Diagramme ausgegeben und einerseits haptisch als Daumenkino sowie digital mittels PowerPoint-Folienübergang animiert. Ziele Diese Vorgehensweise bedient gleich drei Ziele auf einmal: Der Grenzwertprozess wird anschaulich-spielerisch erlebbar gemacht und von den Schülern in eigenständiger Ausarbeitung nachvollzogen. Außerdem wird von den Lernenden selbst erkannt, dass an einem Extrempunkt die Tangentensteigung Null betragen muss und also die Differenzialrechnung als starkes Instrument zur Bestimmung von Gewinnmaxima herangezogen werden kann. Hierbei wird erwähnt, dass noch weitere Bedingungen erfüllt sein müssen. Schließlich wird die Beherrschung verschiedener Medien und Computerprogramme gefördert. Individuelles Lerntempo Zur Umsetzung der Unterrichtseinheit ist ein Computerraum vonnöten. Der Computerraum ist nicht nur für die Bearbeitung der Aufgaben unabdingbar, er bietet auch jedem Lernenden die Möglichkeit, seinem individuellen Lerntempo gemäß die verschiedenen Filmsequenzen des Clips "Die Grundidee des Differenzierens" zu verfolgen und gegebenenfalls zu wiederholen. Ausblick zum Medieneinsatz Später kann - bei entsprechenden Kenntnissen der Lernenden - eine an den Film-Clip angelehnte Flash-Animation erfolgen.