Unterrichtsmaterialien → Mathematik Berufsbildung

Tipp der Redaktion

Grundrechenarten

Dieser Videokurs eignet sich für den Unterricht in Berufsintegrationsklassen.

Tipp der Redaktion

Zinsrechnung

Dieses Arbeitsmaterial beinhaltet Übungsaufgaben zur Prozent- und Zinsrechnung, mit Fokus auf der Berechnung von Zinseszinsen.

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Videos zur Bruchrechnung

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In diesem Videokurs für den Mathematikunterricht in Berufsintegrationsklassen erwerben die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Grundkompetenzen im Bereich der Bruchrechnung.Die Videos "Brüche kürzen" und "Brüche erweitern" legen dabei die Basis für die Grundrechenarten mit Brüchen. Hier wird auch erklärt, wie man Brüche durch Kürzen und Erweitern auf den Hauptnenner bringt. Weiterhin erfahren die Schülerinnen und Schüler, wie sie mit Brüchen rechnen. Addition und Subtraktion sind hier vergleichsweise schwierig, weil die beteiligten Brüche (im Gegensatz zur Multiplikation und Division) zunächst gleichnamig gemacht werden müssen. Dass Brüche und Dezimalzahlen unterschiedliche Darstellungsarten des gleichen Zahlwerts sind, wird im Video "Brüche in Dezimalzahlen umwandeln" mit Anleitung erklärt.In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie Brüche kürzen können, indem sie Zähler und Nenner durch ihre gemeinsamen Teiler teilen. Brüche zu kürzen gehört zu den Basiskompetenzen im Bereich der Bruchrechnung. Durch Kürzen werden Brüche einfacher. Man kann damit schriftliche Divisionsaufgaben vereinfachen oder sich den Anteil besser vorstellen, der durch den Bruch beschrieben wird. Will man Brüche kürzen, so werden dazu die Teilbarkeitsregeln der natürlichen Zahlen benötigt. Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl geteilt werden. Der Bruch wird vollständig gekürzt, indem durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner geteilt wird. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie Brüche erweitern, indem sie Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Brüche zu erweitern ist eine Technik, mit der man den Nenner eines Bruches verändern kann, ohne dass sich dessen Wert ändert. Man erweitert Brüche, um beispielsweise Brüche addieren zu können, die unterschiedliche Nenner haben oder um Brüche der Größe nach zu ordnen. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie Brüche mit gleichen Nennern addieren und wie sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, indem sie sie zunächst auf den Hauptnenner bringen. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, indem sie sie auf die nächste Zehnerpotenz erweitern und anschließend ein Komma an der richtigen Stelle einfügen. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln ist erforderlich, um Zahlen besser vergleichen zu können.

  • Mathematik
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Geometrie: Videos zu Längen, Flächen und Winkeln

Video

In diesem Videokurs für den Geometrie-Unterricht erwerben die Schülerinnen und Schüler Basiskompetenzen in der Berechnung von Umfang, Flächeninhalt und Winkeln bei verschiedenen geometrischen Figuren.Im Vordergrund stehen die Berechnung vom Umfang, Flächeninhalt und Winkeln bei verschiedenen geometrischen Figuren. Berechnungen am Viereck bilden die Grundlage für viele weitere Berechnungen in der Geometrie, wie zum Beispiel die Raumgeometrie, denn viele Körper, wie zum Beispiel Quader und quadratische Pyramide, haben viereckige Grundflächen. Die Schülerinnen und Schüler lernen die wichtigsten Formeln zur Berechnung an Vierecken kennen, nämlich die für den Umfang und die für den Flächeninhalt. Außerdem wird die Zerlegungsmöglichkeit eines Rechtecks in zwei gleich große Teildreiecke als Vorbereitung zu Berechnungen am Dreieck thematisiert. Bei den Berechnungen am Dreieck kommen neben den Formeln für Flächeninhalt und Umfang noch die Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck mithilfe des Satzes des Pythagoras hinzu. Schließlich lernen die Schülerinnen und Schüler anhand von Anwendungsaufgaben, wie sie den Flächeninhalt und den Umfang von Kreisen mithilfe der Kreiszahl pi sowie den entsprechenden Formeln berechnen.In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Umfang eines beliebigen Vierecks mit der dazugehörigen Umfangslänge berechnen. Das Video zeigt anschaulich, was Umfang eigentlich bedeutet und wie man über die Summe aller vier Seitenlängen den Umfang eines beliebigen Vierecks berechnen kann. Generell ist der Umfang einer begrenzten Figur die Länge des Weges, der sich aus mehreren geraden Teilstrecken zusammensetzt. Der Umfang eines Vierecks ist die Entfernung, die man zurücklegt, wenn man den Rand des Vierecks einmal komplett durchläuft. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Flächeninhalt eines Rechtecks mithilfe der Flächeninhaltsformel berechnen. Der Lösungscoach liefert Anwendungsbeispiele aus der beruflichen Praxis. Der Flächeninhalt von Rechtecken lässt sich mit der Formel "2 mal Seitenlänge a plus 2 mal Seitenlänge b" berechnen. Rechtecke sind besondere Vielecke mit vier rechten Winkeln und jeweils zwei parallelen und gleich langen Seiten. Die Fläche ist umso größer, je länger die Seiten a und b sind. Sind a und b in derselben Einheit gegeben, so kann man sich die Fläche als Gitter aus Quadraten mit Kantenlänge 1 vorstellen. Die Maßzahl der Fläche ist dann die Anzahl dieser Quadrate. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Umfang eines Dreiecks berechnen, indem sie die Seitenlängen zusammenzählen. Das bedeutet, hier wird der einfache Fall behandelt, bei dem alle drei Seitenlängen bekannt sind. Der Umfang eines Dreiecks ist die Entfernung, die man zurücklegt, wenn man den Rand des Dreiecks einmal komplett durchläuft. Somit ist der Umfang genau die Summe der einzelnen Seitenlängen: Umfang Dreieck = 1. Seite + 2. Seite + 3. Seite. Außerdem werden wichtige Benennungskonventionen für die Bezeichnung der Seitenlängen und des Umfangs eingeführt. Das Rechnen mit Einheiten und Dezimalzahlen sollte schon bekannt sein. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit der entsprechenden Formel berechnen. Flächeninhaltsberechnungen am rechtwinkligen Dreieck gehören zu den einfacheren Flächeninhaltsberechnungen in der Mathematik. Die Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken sowie das Rechnen mit Einheiten und Dezimalzahlen sollten schon bekannt sein. Außerdem wird erläutert, was ein rechtwinkliges Dreieck ist und es werden wichtige Bezeichnungen für rechtwinklige Dreiecke, wie Kathete und Hypotenuse eingeführt. Die Flächeninhaltsformel leitet sich vom Flächeninhalt von Rechtecken ab, da man eine Kopie des Dreieckes so drehen kann, dass sich die beiden Dreiecke zu einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b ergänzen. Dementsprechend lautet die Flächeninhaltsformel für rechtwinklige Dreiecke: ½ mal a mal b. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks mit der entsprechenden Formel berechnen. Um diese Formel anzuwenden, benötigt man eine Seitenlänge und die zugehörige Höhe. Diese sind in der Beispielaufgabe des Videos schon vorgegeben, sodass weder der Satz des Pythagoras noch die trigonometrische Formel zur Ermittlung der Höhe angewendet werden müssen. Die Flächenberechnung bei rechtwinkligen Dreiecken sowie das Rechnen mit Einheiten und Dezimalzahlen wird als bekannt vorausgesetzt. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Satz von Pythagoras zur Längenberechnung im rechtwinkligen Dreieck anwenden. Der Satz von Pythagoras ist die wichtigste Grundlage für Längenmessungen in der Ebene und im dreidimensionalen Raum. Er findet daher in vielfältigen Bereichen Verwendung, zum Beispiel beim technischen Zeichnen, in der Kartographie und in der Architektur. Man kann damit bestimmen, wie weit sich ein Objekt von seinem Ausgangspunkt entfernt, wenn er um vorgegebene Längen nach rechts und nach oben verschoben wird. Die Verschiebungen nach rechts und nach oben bilden die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Das ist auch eine der wichtigsten Regeln, die man sich beim Satz des Pythagoras merken muss: Er kann nur bei rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. Die Formel von Pythagoras stellt folgenden Zusammenhang her: a^2 + b^2 = c^2. Video und auch Lösungscoach veranschaulichen diesen Zusammenhang noch einmal grafisch. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, was der Umfang eines Kreises ist und wie sie ihn mit der zugehörigen Formel für den Kreisumfang berechnen. Außerdem wird erklärt, was der Radius eines Kreises ist und was man sich unter der Kreiszahl pi vorstellen kann. Der Umfang eines Kreises hängt von seinem Radius ab. Stellt man sich den Kreis als Reifen vor, so ist der Umfang gleich der Strecke, die der Reifen beim Abrollen bei einer Umdrehung in Metern zurücklegt. Der Umfang eines Kreises lässt sich mit 2 mal pi mal Radius berechnen. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie den Flächeninhalt eines Kreises mithilfe der zugehörigen Formel berechnen. Anhand einer Textaufgabe mit Anwendungsbeispiel wird gezeigt, was der Flächeninhalt eines Kreises eigentlich ist und wie die Flächeninhaltsformel für Kreise (pi mal Radius zum Quadrat) im Sachzusammenhang angewendet wird. Das Rechnen mit Flächen und Dezimalzahlen und die Anwendung des Dreisatzes sollten schon bekannt sein.

  • Mathematik
  • Berufliche Bildung

Geometrie: Videos zu Körpern

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In diesem Videokurs für den Mathematik-Unterricht werden die gängigsten geometrischen Körper sowie Formeln zur Berechnung von Volumen und Oberfläche vorgestellt.Im Video "Prisma – von einer Fläche zum Körper" lernen die Schülerinnen und Schüler, wie ein Prisma durch "Herausziehen" aus seiner Grundfläche (einem Vieleck) entsteht und wie die verschiedenen Abschnitte der Prismaoberfläche benannt sind. Dieses Video dient als Auftakt für die Beschäftigung mit dem Bereich der Raumgeometrie und veranschaulicht, wie ein dreidimensionaler Körper durch Verdicken einer beliebigen Grundfläche entsteht. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie ein Prisma aus einer vieleckigen Grundfläche entsteht und wie sie die verschiedenen Abschnitte der Oberfläche bezeichnen. Ausgangspunkt eines jeden Prismas ist dabei ein Vieleck, das als Grundfläche dient. Nach dieser Grundfläche werden die Prismen benannt und kategorisiert. Es gibt zum Beispiel dreieckige Prismen mit einer dreieckigen Grundfläche oder auch sechseckige Prismen mit einer sechseckigen Grundfläche. Was diese Körper alle gemeinsam haben ist, dass sie aus einer Grundfläche durch "Herausziehen" entstehen. Ein Prisma entsteht also aus einer eckigen Grundfläche durch Verdicken. Dieses Vorgehen nennt man auch Parallelverschiebung. Die verschobene Grundfläche am anderen Ende des Prismas heißt dann Deckfläche; die Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche. Diese Bezeichnungen werden im Zusammenhang mit Volumenberechnungen und Oberflächenberechnungen benötigt. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie das Volumen eines Quaders mit der zugehörigen Formel "Länge mal Breite mal Höhe" berechnen. Der Quader ist ein besonderes Prisma mit 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten. Beim Quader sind alle Flächen Rechtecke und alle gegenüberliegenden Flächen sind gleich groß. Die Berechnungsformel kann man durch Abzählen der Einheitswürfel (alle Kanten haben die Länge 1), die in den Quader passen, anschaulich nachvollziehen. Video und Lösungscoach visualisieren die Volumenformel für Quader und die Herleitung über den Einheitswürfel noch einmal anschaulich. Die Beispielaufgabe behandelt den einfachsten Fall einer Volumenberechnung beim Quader, dessen Längen alle ganzzahlig und in der gleichen Einheit vorgegeben sind. Dieses Video zeigt anhand eines dreieckigen Prismas, wie der Rauminhalt von Prismen berechnet wird. Was ein Prisma ist und wie es entsteht, sollte schon bekannt sein. Außerdem sollten die Schülerinnen und Schüler mit Flächenberechnungen an Dreieck und Viereck vertraut sein. Im Unterschied zum Quader, einem besonderen Prisma, ist bei einem allgemeinen Prisma die Grundfläche nicht rechteckig. Das bedeutet, dass zur Berechnung des Volumens immer die entsprechende Flächenformel für das zugrunde liegende Vieleck benötigt wird. Anschließend lässt sich der Rauminhalt mit der Formel "Grundfläche mal Höhe" bestimmen. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie Sie das Volumen einer Pyramide mit der entsprechenden Formel berechnen können. Eine Pyramide entsteht aus einem Vieleck (der Grundfläche) und einem darüber liegenden Punkt (der Spitze), indem dieser Punkt mit den Ecken der Grundfläche verbunden wird. Die Entfernung der Spitze von der Ebene, in der die Grundfläche liegt, heißt Höhe der Pyramide. Die Seitenflächen der Pyramide bestehen aus Dreiecken, sie bilden zusammen den Mantel. Für das Pyramidenvolumen, das mit der Formel "ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe" berechnet wird, benötigt man nur die Angaben zur Berechnung der Grundfläche und die Höhe. Dementsprechend sollten die Lernenden bereits mit der Berechnung von Flächeninhalten von Dreieck und Rechteck vertraut sein. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler anhand einer Anwendungsaufgabe, wie sie die Oberfläche von Prisma und Pyramide berechnen. In beiden Fällen besteht die Oberfläche aus einfachen Vielecken, für die Flächenformeln als bekannt vorausgesetzt werden, nämlich Dreiecke und Rechtecke. Eingebettet ist die Aufgabe in folgenden Sachzusammenhang: Ein Schokoladenhersteller bekommt zwei Vorschläge für eine neue Verpackung und möchte sich für die Verpackung entscheiden, bei der weniger Material verbraucht wird. Bei dem Prisma handelt es sich um ein gerades Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche. Die zweite Verpackungsvariante ist eine gerade Pyramide mit rechteckiger Grundfläche. Beide Verpackungen haben das gleiche Volumen. Um die Aufgabe zu lösen, müssen also zuerst die einzelnen Teilflächen berechnet und für jeden Körper zusammengezählt werden.

  • Mathematik
  • Berufliche Bildung

Videos zur Dreisatzrechnung

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Im Videokurs Dreisatzrechnung für den Mathematik-Unterricht lernen die Schülerinnen und Schüler eines der wichtigsten mathematischen Verfahren kennen, die Anwendung des Dreisatzes. Mit ihm lässt sich aus drei Größen, die miteinander in Beziehung stehen, eine vierte unbekannte Größe ermitteln.Bei der Anwendung des Dreisatzes wird generell zwischen zwei Fällen unterschieden: der direkt proportionalen Zuordnung und der indirekt proportionalen Zuordnung. Anhand der Definitionen "je mehr – desto mehr" und "je mehr – desto weniger" werden diese beiden Arten der Zuordnung unterschieden und mit den damit verbundenen Rechenoperationen verknüpft. Die Videos betten die Anwendung des Dreisatzes jeweils in einen beruflichen Sachzusammenhang ein.In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, den Dreisatz bei direkt proportionalen Zuordnungen anzuwenden. Anhand einer praxisbezogenen Beispielaufgabe wird erklärt, was direkte Proportionalität bedeutet und wie mithilfe von drei gegebenen Größen eine vierte unbekannte Größe berechnet werden kann. Im ersten Schritt wird der Wert einer Grundeinheit berechnet, im zweiten Schritt wird der Wert einer Grundeinheit entsprechend der Aufgabenstellung vervielfacht. Indirekte Proportionalität bedeutet kurz: je mehr desto weniger, je weniger, desto mehr. Die praktische Anwendung einer solchen indirekt proportionalen Zuordnung (auch antiproportionale Zuordnung oder umgekehrt proportionale Zuordnung genannt) wird im Video veranschaulicht. Die Schülerinnen und Schüler lernen, was der Begriff eigentlich bedeutet und wie mithilfe von drei gegebenen Größen eine vierte unbekannte Größe berechnet werden kann.

  • Mathematik
  • Berufliche Bildung

Videos zur Prozentrechnung

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In diesem Videokurs für den Mathematik-Unterricht in der Berufsbildung lernen die Schülerinnen und Schüler, was die Prozentschreibweise bedeutet und wie man mit Prozenten rechnet.Im Video "Prozent: Schreibweise und Bedeutung" wird veranschaulicht, wie der Prozentbegriff Größen zum Grundwert Hundert ins Verhältnis setzt. Das Video legt die Basis für das eigentliche Rechnen mit Prozenten. Darauf aufbauend wird erklärt, wie man Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandelt. Weiterhin lernen die Schülerinnen und Schüler die wichtigste Formel der Prozentrechnung, die sogenannte Prozentwertformel, kennen. In ihr kommen die wichtigen und immer wieder benötigten Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz vor. Darüber hinaus wird im Kurs die Zinsrechnung als Anwendung der Prozentrechnung thematisiert. Die Lernenden erfahren, wie sie mithilfe der Zinssatz-Formel den Zinssatz zu einem Ausgangskapital und den Zinsen nach einem Jahr berechnen und wie die Jahreszinsen bei einem vorgegebenen Zinssatz berechnet werden können.In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, was die Prozentschreibweise bedeutet und wie sie den Prozentsatz berechnen. Die Angabe Prozent ist allgegenwärtig, zum Beispiel in den Medien, bei Umfragen, Wahlergebnissen und so weiter. Damit kann man Anteile einheitlich beschreiben, sodass sie leichter zu vergleichen sind. Das Wort "Prozent" kommt vom lateinischen Ausdruck pro centum, was übersetzt so viel heißt wie "für hundert". 20% bedeutet zum Beispiel nichts anderes als 20/100. Die Umrechnung Prozent in Dezimalzahl geht schnell und einfach, wenn man weiß, wie es funktioniert. Für Berechnungen mit dem Taschenrechner oder mit dem Computer sind Dezimalzahlen oft besser geeignet als Prozentsätze, sodass man üblicherweise vor der Eingabe die Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandelt. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, Prozentsätze in Dezimalzahlen zu verwandeln, indem sie das Komma um zwei Stellen nach links verschieben (das entspricht dem Teilen durch 100) und das Prozentzeichen weglassen. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie mithilfe der Prozentwert-Formel den Prozentwert aus dem Grundwert und dem Prozentsatz berechnen. Der Prozentwert gibt an, wie groß der Anteil ist, der durch die Prozentangabe ausgedrückt wird. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie mit der Zinssatz-Formel den Zinssatz zu einem Ausgangskapital und den Zinsen nach einem Jahr berechnen. Zinsen werden immer in Prozent angegeben. Sie bezeichnen den Preis, den man in Prozent bezahlen muss, wenn man sich bei der Bank Geld leiht oder den Preis, den man von der Bank erhält, wenn man sein Erspartes anlegt. Wenn man einen Zinsbetrag und das entsprechende Kapital kennt, kann man den zugehörigen Zinssatz berechnen, indem man die erhaltenen Zinsen durch das Kapital dividiert und dann in Prozent angibt. Der Zinssatz bezieht sich immer auf die Jahreszinsen, das heißt, er gibt an, welcher Anteil des Anfangskapitals am Ende eines Jahres ausbezahlt wird. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie mit der Zinssatz-Formel den Zinssatz zu einem Ausgangskapital und die Zinsen nach einem Jahr berechnen. Der Zinssatz bezieht sich immer auf die Jahreszinsen, das heißt, er gibt an, welcher Anteil des Anfangskapitals am Ende eines Jahres ausbezahlt wird. Dieser Anteil errechnet sich mit der folgenden Formel: Zinssatz gleich Jahreszinsen geteilt durch Anfangskapital. Um den Zinssatz zu erhalten, werden also die Jahreszinsen durch das Anfangskapital geteilt. Da Zinssätze immer in Prozent angegeben werden, wird der so erhaltene Bruch noch in Prozent umgewandelt.

  • Mathematik
  • Berufliche Bildung

Videos zum Rechnen mit Größen

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In diesem Videokurs für den Mathematik-Unterricht lernen und wiederholen Schülerinnen und Schüler das Rechnen mit verschiedenen Größen wie zum Beispiel Geldbeträgen, Zeitangaben und Längenangaben.Erklärt werden die jeweiligen Einheiten sowie die Umrechnungszahlen von einer Einheit in die nächstgrößere oder nächstkleinere. In den Lösungscoaches finden sich jeweils die passenden Tabellen mit Einheiten und Umrechnungsfaktoren. Im Video "Größenvergleich von Dezimalzahlen" geht es um die Benennung der einzelnen Stellen und um die Ordnungskriterien bei Dezimalzahlen: Vorzeichen, führende Stelle und Ziffernfolge. Video und Lösungscoach veranschaulichen die Sachverhalte am Zahlenstrahl. Im Video "Dezimalzahlen addieren" wird die schriftliche Addition von Dezimalzahlen erklärt. Die Summanden werden am Komma ausgerichtet untereinander notiert und die Ziffern von hinten nach vorne zusammengezählt. Abschließend geht es um das Thema Runden, eine Methode, die dazu dient, Rechnungen zu vereinfachen. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Regeln zum Runden kennen und erfahren, wie Zahlen auf ganze Zahlen, eine bestimmte Stellenzahl oder auf eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen gerundet werden. Mit den zum Video passenden interaktiven Übungen testen die Schülerinnen und Schüler mit verschiedenen Tools, ob sie das Gelernte auch wirklich verstanden haben und anwenden können.In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler das Rechnen mit Geldbeträgen. Dabei werden Einheiten umgerechnet und Beträge mit unterschiedlichen Einheiten addiert und subtrahiert. Anhand verschiedener Beispiele werden die Umrechnungsregeln zwischen Euro- und Cent-Beträgen angewendet: Um einen Euro-Betrag in einen gleich großen Cent-Betrag umzuwandeln, multipliziert man den Zahlenwert mit 100 und tauscht die Einheit "Euro" durch "Cent" aus. Um einen Cent-Betrag in einen gleich großen Euro-Betrag umzuwandeln, teilt man den Zahlenwert durch 100 und tauscht die Einheit "Cent" durch "Euro" aus. Mit Zeit zu rechnen bedeutet, dass man zum einen die gängigsten Abkürzungssymbole kennen sollte, zum anderen den speziellen Umrechnungsfaktor 60. Im Lösungscoach findet sich eine Übersicht über die Einheiten, Abkürzungen und Umrechnungsformeln. Die Schülerinnen und Schüler lernen gängige Abkürzungen und Schreibweisen zum Thema Zeit kennen sowie anhand von Beispielaufgaben Zeitangaben in andere Einheiten umzuwandeln und gemischte Einheiten zu addieren und subtrahieren. Dabei kommen folgende Regeln zum Einsatz: Um eine Zeitangabe von Stunden in Minuten oder von Minuten in Sekunden umzurechnen, muss man den Zahlenwert mit 60 multiplizieren und die Einheit austauschen. Um eine Zeitangabe von Sekunden in Minuten oder von Minuten in Stunden umzurechnen, muss man den Zahlenwert durch 60 teilen und die Einheit austauschen. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler das Rechnen mit Längenangaben. Längen umrechnen, zum Beispiel von m in cm, wird in der Praxis häufig gebraucht und ist nur eine von vielen Umwandlungsmöglichkeiten bei Längenangaben. Im Lösungscoach findet sich eine Übersicht über die verschiedenen Längeneinheiten, ihre Abkürzungen und die gängigsten Umrechnungsformeln. Anhand von Beispielaufgaben wird erklärt, wie Längeneinheiten umgewandelt und Längen mit unterschiedlichen Einheiten addiert und subtrahiert werden. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, was eine Dezimalzahl eigentlich ist, wie man ihre Stellen bezeichnet und wie sie sich der Größe nach sortieren lassen. Mit Dezimalzahlen kann man die Zahlengerade immer feiner unterteilen, denn Dezimalzahlen können neben ihrem ganzzahligen Anteil noch beliebig viele Nachkommastellen haben. Bei der Anordnung von Dezimalzahlen werden folgende Eigenschaften berücksichtigt: das Vorzeichen, die führende Stelle und die Ziffernfolge. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie Dezimalzahlen addiert werden. Die schriftliche Addition natürlicher Zahlen sollte hierfür schon bekannt sein. Dezimalzahlen zu addieren funktioniert im Prinzip genau wie die Addition ganzer Zahlen. Will man Dezimalzahlen addieren, müssen nicht nur Einer, Zehner, Hunderter und so weiter genau untereinander notiert werden, sondern auch die Nachkommastellen (Zehntel, Hundertstel, und so weiter). Wichtig ist dabei, dass sie am Komma ausgerichtet werden und das Komma mit in die Lösungszeile übertragen wird. Ansonsten werden wie bei der normalen schriftlichen Addition die Ziffern von hinten nach vorne zusammengezählt. Das Runden von Zahlen hilft, Rechnungen und Darstellungen mit langen Zahlen zu vereinfachen. Damit können zum Beispiel Tabellenwerte leichter verglichen werden. Die gängigste Rundung ist die Rundung einer Dezimalzahl auf die nächstliegende ganze Zahl. Im Video lernen die Schülerinnen und Schüler verschiedene Arten zu runden: Runden auf ganze Zahlen Runden auf eine vorgegebene Stellenzahl Runden auf eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen

  • Mathematik
  • Berufliche Bildung

Videos zu den Grundrechenarten

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In diesem Videokurs für den Mathematikunterricht wiederholen Schülerinnen und Schüler die Grundrechenarten. Ergänzend stehen Lösungen und Übungen zur Verfügung.Erklärt werden die schriftliche Addition und die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen. Darüber hinaus werden die Multiplikation zweier beliebig großer Zahlen und die Division ohne Rest anschaulich erklärt. Visualisierungen des Rechenwegs verdeutlichen das Zehner-Zahlensystem, die Stellenwerttafel und das Entstehen und den Umgang mit Überträgen. Das Video zeigt die Berechnung längerer Terme unter Anwendung der Rechenregeln. Die Lösungscoaches zum Video erklären die Rechenwege Schritt für Schritt und ergänzen sie mit wichtigem und nützlichem Hintergrundwissen und Übersichten, wie zum Beispiel einer Multiplikationstabelle. Mit den zum Video passenden interaktiven Übungen testen die Schülerinnen und Schüler mit verschiedenen Tools, ob sie das Gelernte auch wirklich verstanden haben und anwenden können. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie zwei beliebig große Zahlen schriftlich addieren. Eine kurze Additionstabelle als Unterstützung zur Addition einstelliger Zahlen findet sich im Lösungscoach. Die schriftliche Addition in ihrer einfachsten Form ist die ohne Übertrag. Das heißt, dass beim Zusammenzählen der Stellen die Zahlen nicht größer als 9 werden. Bei dieser Aufgabe kommt hinzu, dass beim Zusammenzählen der Einer eine zweistellige Zahl herauskommt, sodass das Zwischenergebnis in die Zehnerstelle übertragen werden muss. Um die beiden Zahlen schriftlich zu addieren, werden die beiden Summanden so untereinander geschrieben, dass die Einer, Zehner und Hunderter jeweils genau untereinander stehen. Darauf folgt eine freie Zeile für die Überträge. Unter dem Trennstrich wird jetzt stellenweise – beginnend mit den Einer – zusammengezählt, um die Summe zu erhalten. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen für den einfacheren Fall, dass eine kleinere Zahl von einer größeren Zahl abgezogen wird, das Ergebnis also eine positive natürliche Zahl ist. Die schriftliche Addition zweier natürlicher Zahlen sollte schon bekannt sein. Ähnlich wie bei der schriftlichen Addition geht man von rechts nach links Ziffer für Ziffer vor. Anstatt die Ziffern zusammenzuzählen, wird jede Ziffer der zweiten Zahl von der entsprechenden Ziffer der ersten Zahl abgezogen. Auch hier können Überträge auftreten. Das passiert immer dann, wenn eine Ziffer der zweiten Zahl größer ist, als die entsprechende Stelle der ersten Zahl. Die schriftliche Subtraktion wird im Video Schritt für Schritt erklärt, der passende Lösungscoach zeigt, wie man eine Rechenprobe kontrolliert und ob die schriftliche Subtraktion richtig ausgeführt wurde. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, zwei beliebig große Zahlen miteinander zu multiplizieren. Basis dafür ist das kleine Einmaleins. Hierzu findet sich eine Multiplikationstabelle im zum Video passenden Lösungscoach. Die Multiplikation einstelliger Zahlen und die schriftliche Addition sollten schon bekannt sein. Um zwei natürliche Zahlen schriftlich multiplizieren zu können, wird im ersten Schritt ziffernweise multipliziert. Das heißt, jede Ziffer der zweiten Zahl wird mit der ersten Zahl multipliziert. Im zweiten Schritt werden die Ergebnisse zusammengezählt. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler die schriftliche Division zweier natürlicher Zahlen ohne Rest. Schriftliches Dividieren ist ein Verfahren, mit dem beliebig große ganze Zahlen dividiert werden können. Die erste Zahl heißt Dividend, die zweite Zahl heißt Divisor und das Ergebnis wird Quotient genannt. Der Quotient wird von links nach rechts Ziffer für Ziffer berechnet. Beim schriftlichen Dividieren wird der Dividend Ziffer für Ziffer verarbeitet. Die schriftliche Subtraktion zweier Zahlen sollte hierbei schon bekannt sein. In diesem Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie mehrere Grundrechenarten (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren) zur Lösung einer Aufgabe kombinieren und welche Regeln sie dabei beachten müssen. Dabei kommen folgende Regeln und Techniken zum Einsatz: Die Klammerregel, die besagt, dass Klammern zuerst berechnet werden. Außerdem lernen die Schülerinnen und Schüler, wie Klammern aufgelöst werden. Eine weitere wichtige Regel ist die Punkt-vor-Strich-Regel, die besagt, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion gehen. Nach Beachtung dieser Regeln wird von links nach rechts gerechnet.

  • Mathematik
  • Berufliche Bildung

Potenziale von Audio-Podcasts

Fachartikel

Das Audio-Podcast gewinnt als eine von Sendezeiten unabhängige akustische Informationsquelle an Bedeutung und bietet zahlreiche Möglichkeiten zur Nutzung im Unterricht.Wurden bis vor zehn Jahren Informationen hauptsächlich aus Büchern, Radio, Zeitungen und dem Fernsehen gewonnen, so ergänzen und ersetzen die verschiedenen Varianten des sogenannten Web 2.0 die bisherigen Informationsquellen. Seit 2004 spielen bei der Informationsübermittlung auch Podcasts eine Rolle. Bis zum heutigen Tag haben sie sich rasant verbreitet und halten unlängst Einzug in Bildungseinrichtungen. So können beispielsweise Vorträge und Vorlesungen an einigen Universitäten als Audio-Podcasts auf den heimischen Computer heruntergeladen beziehungsweise online abgespielt werden. Bezogen auf die Unterrichtsgestaltung an Schulen scheint das Podcast immer noch weitgehend ein Fremdwort zu sein, dessen Potenziale bisher nicht ausgeschöpft werden. Podcasts im Unterricht Die einfache Handhabung und die vielfältigen Möglichkeiten des Audio-Podcasts machen es zu einem idealen Medium für den Unterricht und können für viele Fächer neue Perspektiven eröffnen: Zum einen durch die Nutzung des reichhaltigen Angebots vorhandener Audiodateien mit aktuellem Inhalt, zum anderen durch die eigenständige Erstellung von Podcasts, die die Schülerinnen und Schüler in die Lage versetzen, Unterrichtsthemen aktiv und kreativ zu erarbeiten und darzustellen. Die selbst produzierten Podcasts können auch an andere Klassen weitergegeben oder veröffentlicht werden. Nutzung bestehender Podcasts Förderung des verstehenden Hörens Audio-Podcasts können auf vielfältige Weise im Unterricht eingesetzt werden und bieten zudem eine willkommene Abwechslung. So können Podcasts beispielsweise in verschiedenen Unterrichtsphasen genutzt werden, wie etwa als Unterrichtseinstieg zu einem aktuellen Thema. Hierbei wird das Hörverständnis der Schülerinnen und Schüler geschult. Die Erfahrung zeigt, dass einige Lernende selbst nach dem wiederholten Hören eines auditiven Beitrags Schwierigkeiten haben, die wichtigsten Inhalte des Hörstücks wiederzugeben. Ein konkret formulierter Hörauftrag kann hier als Hilfestellung notwendig werden. Allein diese Tatsache unterstreicht die Notwendigkeit und Bedeutung einer verstärkten Einbindung von Audio-Podcasts in den Unterricht. Eine Vielzahl von aktuellen und kostenlosen Angeboten Darüber hinaus eignen sich Audio-Podcasts für das fächerübergreifende Lernen. Ein Beispiel für die Verzahnung mit anderen Fächern wäre der Einstieg in das Themengebiet "Beschaffung" mittels einer telefonischen Kundenanfrage in englischer Sprache. Im Internet findet sich eine Vielzahl an Podcasts, die für den Unterricht interessant sind. Sowohl Privatpersonen als auch Zeitungsverlage und Radiosender bieten unzählige kostenlose und aktuelle für den Unterricht verwertbare Podcasts an. Auch verschiedene Podcastportale helfen das unüberschaubare Angebot an Podcasts kategorisiert darzustellen. Die Erstellung von Podcasts Ein- und mehrdimensionale Podcasts Bei der Erstellung von Audio-Podcasts kann zwischen ein- und mehrdimensionalen (Audio-Blogging) Podcasts unterschieden werden. Eindimensionale Podcasts werden nur von einer Person erstellt und aktualisiert. Sie eignen sich zum Beispiel zur Präsentation von Arbeitsergebnissen. Mehrdimensionale Podcasts sind interakiv geführte Podcasts, bei denen mehrere Personen gemeinsam Inhalte online stellen wie bei einer Online-Diskussion. Die Erstellung von Audiodateien im Schulunterricht ist jedoch an bestimmte Voraussetzungen gebunden. Weil diese sich von Schule zu Schule unterscheiden, sind einige Dinge im Vorfeld zu bedenken und abzuklären. Checkliste zur Podcasterstellung Die folgende Checkliste für Lehrerinnen und Lehrer spricht zentrale Punkte der Unterrichtsplanung an: Überlegungen im Vorfeld Gibt es Kolleginnen und Kollegen, die mich unterstützen könnten? Wie viel Zeit soll die Unterrichtseinheit beanspruchen? Ist die Zeitplanung realistisch? Sind die technischen Voraussetzungen vorhanden (Computer, Software, Mikrofon, Lautsprecher, Kopfhörer, eventuell Beamer)? Funktioniert die Aufnahme an allen Schülerrechnern? Kenne ich mich mit den Zugangsberechtigungen (Internet, Verzeichnis) am PC aus? Steht ein PC-Raum für die geplante Zeit zur Verfügung? Beherrsche ich die Aufnahme-Technik? Habe ich Literatur zu den Sendeformen im Radio/Podcast? Habe ich die folgenden Arbeitsschritte bei der Produktion von Podcasts mit Schülerinnen und Schülern berücksichtigt? Arbeitsschritte bei der Produktion von Podcasts mit Lerngruppen Themenfindung vertrautmachen mit der Aufnahmetechnik (Audioeditor) Probeaufnahme Recherche und Auswahl des Materials Texte schreiben falls Audiodateien veröffentlicht werden: Hinweis auf Urheber- und Nutzungsrechte Aufnahme und Bearbeitung Evaluation der Hörstücke Veröffentlichung im Intranet, Internet, Radio Bei der Erstellung von Podcasts werden der Kreativität keine Grenzen gesetzt. So könnte etwa eine Betriebsbesichtigung (Podtour) vertont oder ein Hörspiel aufgenommen werden. Natürlich liegt es bei der "Verpackung von Wissensinhalten" immer nahe, sich an die üblichen Sendeformen des Radios anzulehnen. Ist das "Produkt" Podcast erst einmal erstellt, so kann es vielfältig verwendet werden. Beispielsweise könnten die Schülerpodcasts für den Unterricht in anderen Klassen verwendet oder im Internet veröffentlicht werden. Chancen und Risiken Ein Überblick über die neuen Möglichkeiten und die eventuellen Einschränkungen der Podcast-Nutzung: Die Frage des Mehrwerts in der Nutzung Neuer Medien Prinzipiell gelten viele der für die Neue Medien allgemein bekannten Chancen und Risiken auch für Podcasts. So haben Schülerinnen und Schüler unter anderem Spaß im Umgang mit Neuen Medien und arbeiten daher motivierter und engagierter im Unterricht mit. Andererseits gibt es beispielsweise kritisch anzumerken, dass durch den Einsatz von Neuen Medien die Gefahr besteht, dass die Unterrichtszeit nicht effektiv genutzt wird und kein Mehrwert im Vergleich zum konventionellen Unterricht geschaffen wird. Die besondere Qualität von Audio-Podcasts Das Besondere an Audio-Podcasts ist, dass sie das konzentrierte Zuhören fördern und zudem in einfacher Weise weitergegeben und verbreitet werden können. Dementsprechend können sie bei der Veröffentlichung im Internet, losgelöst von einem bestimmten Ort und einer bestimmten Zeit, abgerufen und verwendet werden. Gerade diese Flexibilität und Variabilität ist für den berufsbildenden Unterricht von besonderer Bedeutung, da die Lernenden mehrere Lernorte haben. Noch mehr Vorteile bietet der Einsatz von selbst erstellten Podcasts im Schulunterricht, denn sie erhöhen die Lernmotivation der Schülerinnen und Schüler, erweitern die Medienkompetenz, bieten Möglichkeiten Medien kritisch zu hinterfragen, fördern die Kooperationsfähigkeit der Lernenden untereinander, können selbstgesteuertes Lernen initiieren, bieten vielfältige Ansatzpunkte für fächerübergreifendes Lernen und öffnen die Schule nach außen, wenn die Ergebnisse beispielsweise im Internet veröffentlicht werden. Fazit Sicherlich wird für die Erstellung von Podcasts zunächst viel Zeit benötigt, vor allem weil die Schülerinnen und Schüler den Umgang mit dem neuen Medium und der Aufnahmetechnik erst einüben müssen. Sind diese Schwierigkeiten aber erst überwunden, überwiegen die oben erwähnten Vorteile. Bei der Veröffentlichung selbst erstellter Podcasts muss beachtet werden, dass bei der Einbindung von fremdem Material in auditiver und schriftlicher Form in das selbst erstellte Podcast keine Urheber- und Eigentumsrechte verletzt werden.

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Lineare Funktionen: Hilfe für den Nikolaus

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit wird das Nikolausfest als Kontext für die Erarbeitung von Funktionsgleichungen aus zwei Punkten einer Geraden genutzt. Dazu kommt die kostenlose Mathematiksoftware GeoGebra zum Einsatz, mit der ein direkter Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Graphen der Funktion visualisiert werden kann.Die Lernenden sollen dem Nikolaus, der wahlweise für den jeweiligen Jahresanlass zum Beispiel auch als Schneemann oder Osterhase abgeändert werden kann, bei seinen Problemstellungen behilflich sein. Die Schülerinnen und Schüler sollen am Beispiel des Nikolaushauses das Aufstellen linearer Funktionen vertiefen und mit Definitions- und Wertemengen arbeiten. Durch die eigenständige Überprüfung der Arbeitsergebnisse mit GeoGebra werden Erfolgserlebnisse und das Vertrauen in die eigenen mathematischen Fähigkeiten bei den Lernenden gestärkt.Die Software GeoGebra bietet die Möglichkeit einen direkten Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Graphen der Funktion zu visualisieren. Änderungen an der Funktionsgleichung im Algebrafenster wirken sich in Echtzeit auf den Funktionsgraphen im Geometriefenster aus. Ebenso ist es möglich, durch manuelle Verschiebung von Funktionsgraphen mit der Maus, die Auswirkung auf die Funktionsgleichung zu beobachten. Zusätzlich bietet GeoGebra den Vorteil, dass es auch für die Lernenden kostenlos verfügbar ist und eine Client-Installation durch den Einsatz von Java-Applets bei Vorhandensein einer Java-Runtime-Umgebung (Standard) entfällt. Unterrichtsablauf Die Aufteilung in Partnergruppen und der Einsatz der Materialien werden hier detailliert für die skizzierte Unterrichtseinheit beschrieben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben und vertiefen das Aufstellen linearer Funktionsgleichungen aus zwei Punkten einer Geraden. festigen ihre Kompetenz, lineare Funktionen aufzustellen und mit Definitions- und Wertemengen zu arbeiten. erfahren, dass ein Werk (in diesem Falle das Nikolaushaus) aus Bausteinen einzelner Teams entstehen kann und somit ihre Erfahrungen zu arbeitsteiligen Prozessen erweitern. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Fähigkeiten im Umgang mit der dynamischen Mathematik-Software GeoGebra und erkennen und bewerten die Vorteile. Als Einstieg in den Unterricht dient der Auftritt des Nikolauses, der die Lernenden um Unterstützung beim Bau seines neuen Nikolaushauses bittet. Er hat das Problem, dass seine Architekten mit der Skizze nichts anfangen können und eine mathematische Beschreibung erwarten. Es ist davon auszugehen, dass die Schülerinnen und Schüler dem Nikolaus, der positive Assoziationen aus der Kindheit hervorruft, gerne helfen. Positiv verstärkend wirkt auch die Situationskomik, wenn die Lehrkraft als Nikolaus die Klasse betritt. Es kann natürlich auch eine andere Identifikationsfigur gewählt werden, dann müssen allerdings die Arbeitsmaterialien darauf abgestimmt werden. Der Nikolaus verlässt die Klasse und die Lehrkraft kommt zurück in den Klassenraum und lässt sich das Problem nochmals von den Schülerinnen und Schülern beschreiben. Die Lernenden sollen erkennen, dass dem Nikolaus mit linearen Funktionen geholfen werden kann. Ihre Vorgehensweise halten sie an der Tafel fest. Die Teams für die Partnerarbeit werden nach dem Zufallsprinzip zusammen gesetzt. Die Erfahrung mit eventuell unbekannten Partnern zusammenzuarbeiten ist wichtig, da die Auszubildenden auch im späteren Berufsleben häufig so agieren müssen. In der Partnerarbeit werden die Lernenden die Aufgabe intensiver analysieren und bearbeiten. Pro Paar wird nur ein Aufgabenblatt verteilt, wobei Abstimmungen mit arbeitsgleichen Teams möglich sind. Sollten Paare bei der Bearbeitung wesentlich schneller voranschreiten, so können weitere Strecken des Nikolaushauses berechnet werden. Nach der Arbeitsphase präsentieren die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse am Overhead-Projektor und diskutieren sie im Plenum. Vier Präsentationen werden durchgeführt, wobei die arbeitsgleichen Teams die zusätzliche Schwerpunktaufgabe der Ergebnisüberprüfung übernehmen. Danach geben die Teams ihre Funktionsgleichungen und die dazugehörigen Intervalle in den Lehrerrechner ein. Die Lernenden können beobachten, wie sich das Haus vom Nikolaus aus Einzelergebnissen aufbaut. Abschließend wird die arbeitsteilige Vorgehensweise unter Einsatz der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra gemeinsam diskutiert. Als Hausaufgabe sind durch die Schülerinnen und Schüler die Abszissen- und Ordinatenschnittpunkte ihrer Geraden unter D = R zu berechnen. Die Stunde abschließend könnte sich der Nikolaus für die Hilfe der Klasse mit Schokoladennikoläusen bedanken.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II, Berufliche Bildung

Quadratische Funktionen interaktiv erarbeiten

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Funktionen" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler diesen Funktionstyp über dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden, und interaktiven Übungen, die mit der Software HotPotatoes angefertigt wurden.Quadratische Funktionen folgen im Lehrplan auf die linearen Funktionen. Während dort nur zwei Parameter Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, spielen bei quadratischen Funktionen drei Parameter eine Rolle. Die folgende Unterrichtseinheit zeigt auf, wie der Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen von Schülerinnen und Schülern mithilfe interaktiver Arbeitsblätter weitgehend eigenständig und durch einen experimentellen Zugang erarbeitet werden kann. An die Erarbeitung schließen sich Lernkontrollen in Form von Lückentexten, Zuordnungsübungen, Kreuzworträtseln und eines Quiz an.Die Arbeit mit dynamischen und interaktiven Arbeitsblättern ermöglicht den Schülerinnen und Schülern im Sinne einer Handlungsorientierung ein experimentelles Herangehen an mathematische Fragestellungen und ein eigenständiges Entdecken von Gesetzmäßigkeiten. Die Lernenden können dabei in ihrem individuellen Lerntempo vorangehen und Übungsmöglichkeiten im Rahmen einer gesetzten Zeitspanne beliebig oft nutzen. Sie erhalten eine unmittelbare Rückmeldung über ihren persönlichen Lernerfolg und üben ihre Stärken und Schwächen selbst einzuschätzen, ohne unter ständiger Beobachtung durch die Lehrkraft zu stehen. Durch dynamische Geometriesoftware lässt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter besser veranschaulichen als durch das Skizzieren einiger ausgewählter Funktionsgraphen im Heft. Die experimentelle Herangehensweise kann auch weniger abstrakt denkende Schülerinnen und Schüler motivieren, die sonst im Unterricht eher zurückhaltend sind. Außerdem trägt sie zu einem besseren Verständnis von Funktionen bei. Unterrichtsablauf Die Voraussetzungen für die Durchführung der skizzierten Unterrichtseinheit, der genaue Ablauf und die Einbeziehung der genannten Medien wird beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e heraus. erkennen, dass der Parameter e eine Verschiebung der Normalparabel nach oben/unten bewirkt. erfassen, dass der Parameter d eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts/links zur Folge hat. begreifen, dass der Vorfaktor a eine Streckung/Stauchung der Normalparabel impliziert. lernen ein Beispiel für eine quadratische Funktion aus der Umwelt kennen. können die gewonnen Erkenntnisse auf neue Situationen und Fragestellungen anwenden. Voraussetzung für die Durchführung der beschriebenen Unterrichtseinheit ist ein genügend großer Computerraum, sodass die Lernenden einzeln oder höchstens zu zweit die Aufgabenstellungen bearbeiten können. Nur so kann ein individueller Lernprozess ermöglicht werden. Auf den Rechnern sollte ein aktueller Internet-Browser und vor allem das kostenlose Plugin Java Runtime Environment installiert sein, damit die mit GeoGebra erstellten dynamischen Arbeitsblätter (Applets) genutzt werden können. Um den organisatorischen Aufwand zu minimieren, empfiehlt es sich, die selbst erstellten Arbeitsblätter auf einem Webserver, zum Beispiel lo-net, abzulegen und diese dann von den Lernenden via Internetzugang herunterladen zu lassen. Ein entsprechendes Beispiel findet man auf der Kommunikationsplattform der ARS-Limburg. Die bereitgestellten Dateien können aber auch lokal mithilfe eines Datenträgers auf jeden Rechner geladen werden. Ferner ist für eine der fakultativen Übungen am Ende das Tabellenkalkulationsprogramm MS-Excel erforderlich. Vor der Durchführung der Lerneinheit sollte die quadratische Funktion zunächst definiert und die charakteristischen Eigenschaften der Funktionsgraphen (Parabeln) an einigen Beispielen herausgearbeitet werden. So könnte man den Schülerinnen und Schülern neben der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x² zwei bis drei weitere Funktionsgleichungen vorgeben und die zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Die Lernenden erkennen bereits hier, dass das Markenzeichen einer quadratischen Funktion der Parabelbogen ist und dass dieser unterschiedliche Lagen im Koordinatensystem einnehmen kann. Zur besseren Verankerung und Steigerung der Motivation kann auch ein Bezug zu Parabeln in der Umwelt (Brücken, Wurfbahn, et cetera) hergestellt werden und einige Beispiele können gezeigt werden. Nun erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partner- beziehungsweise Einzelarbeit etappenweise die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e. Hierzu öffnen Sie jeweils ein mit GeoGebra erstelltes dynamisches Arbeitsblatt. Mithilfe eines Schiebereglers können sie die Größe der jeweiligen Parameter ändern und beobachten, wie sich der Verlauf des Funktionsgraphen und die Funktionsgleichung verändern. Der detaillierte Ablauf geht aus dem Quadratische Funktionen hervor. Am Ende jedes Arbeitsblattes befindet sich ein Lückentext, der vervollständigt und zur Ergebnissicherung ins Heft übertragen werden muss. Die Lernenden haben so die Gelegenheit, Zusammenhänge zwischen Funktionsterm und -graph experimentell und weitgehend eigenständig zu entdecken. Die gewonnenen Erkenntnisse müssen im Anschluss jeweils in einer interaktiven, mit Hot Potatoes erstellten Übungseinheit auf andere Situationen übertragen werden. Die Schülerinnen und Schüler können dabei individuell nach ihrem eigenen Lerntempo vorgehen. Durch die unmittelbare Rückmeldung erhalten sie Aufschluss über ihren Lernstand und können bei Bedarf eine Übung mehrfach durchlaufen. Nachdem die Bedeutung der Parameter erarbeitet wurde, können die Schülerinnen und Schüler in einer abschließenden Übungseinheit ihr Wissen über quadratische Funktionen in zwei Lückentexten, zwei Zuordnungsübungen, einem Kreuzworträtsel und einem Quiz noch einmal unter Beweis stellen. Außerdem sollen die Anpassung einer Funktion an einen vorgegeben Brückenbogen durchgeführt werden.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Das Mooresche Gesetz als Exponentialfunktion

Unterrichtseinheit

Laut Gordon Moore verdoppelt sich die Anzahl von Transistoren auf einem Chip alle zwei Jahre. In dieser Einheit entscheiden Schülerinnen und Schüler, welche Variante des Mooreschen Gesetzes zutrifft, und formulieren "das Gesetz" als Funktion.Das Stundenthema ist exemplarisch für die Untersuchung exponentiell verlaufender Funktionen. In informationstechnisch orientierten Bildungsgängen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit aktuellen Entwicklungen in der Hardwaretechnik von Computern. Die Untersuchung des Mooreschen Gesetzes ermöglicht es, das zukünftige Innovationstempo in diesem Bereich auf der Basis der Entwicklung in den vergangenen vier Jahrzehnten besser beurteilen zu können.Bei der Stunde handelt es sich um eine Anwendungsstunde, in der die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse über Exponentialfunktionen einsetzen, um eine sprachlich formulierte Aussage, das Moore'sche Gesetz, in eine gleichbedeutende mathematische Aussage zu "übersetzen". Anhand der Eigenschaften von Exponentialfunktionen ziehen sie Rückschlüsse auf die Gültigkeit der zugrunde liegenden Aussagen. Ablauf des Unterrichts und Einsatz der Materialien Die Anzahl der Transistoren auf einem Chip verdoppelt sich "alle 18 Monate" schreibt golem.de, "... jedes Jahr" behauptet webopedia.com und bei wikipedia.org heißt es: "alle zwei Jahre". Die Schülerinnen und Schüler überführen einen rein sprachlich formulierten Sachverhalt in eine mathematische Aussage, indem sie die Eigenschaften exponentieller Funktionen überprüfen und anwenden. werden darin gefördert, Excel als geeignetes Hilfsmittel zur Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung zielgerichtet einzusetzen. Sie kennen die dafür nötigen Funktionen, setzen sie zielgerichtet ein und können die programmtypische Ergebnisdarstellung richtig interpretieren. üben die mathematisch korrekte sprachliche Beschreibung mathematischer Sachverhalte. Thema Überprüfung des Mooreschen Gesetzes Autor Edgar Dartenne Fach Mathematik Zielgruppe informationstechnisch orientierte Bildungsgänge Zeitraum eine Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer für zwei Personen, MS Excel Planung Verlaufsplan Mooresches Gesetz Sozialform Da die Schülerinnen und Schüler vorwiegend am PC arbeiten, bietet sich als Sozialform die Partnerarbeit an. Zur Lösung der gestellten Aufgabe wurde das Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel gewählt. Die Lehrkraft sollte auf die Zusammensetzung der Schülerpaare Einfluss nehmen und -in Bezug auf die Erfahrung mit dem Programm Excel- heterogene Gruppen bilden. Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler Die Excel-Funktion "Trendlinie" sollte den Schülerinnen und Schülern ebenso bekannt sein wie die Euler'sche Zahl, die in der Bestimmung der Funktionsgleichung durch Excel auftritt. Bei dem im Unterricht verwendeten Begriff des durchschnittlichen jährlichen Wachstums handelt es sich um das Wachstum der Trendlinie. Da die Trendlinie aber die ihr zugrunde liegende Funktion approximiert (Excel berechnet den so genannten "Pearsonschen Korrelationskoeffizienten"), sollte der Begriff zum einfacheren Verständnis eingeführt sein. Anschließendes Stundenthema Sowohl die Trendlinien-Funktion von Excel als auch andere gängige Rechenverfahren zur Bestimmung des Wachstumsfaktors bilden den Verlauf des tatsächlichen Wachstums der Transistoranzahl nur annähernd nach. Dies ist in der Tatsache begründet, dass das vorhandene Datenmaterial weder konstante Änderungsraten noch gleichlange Zeitintervalle aufweist. Eine Thematisierung dieser Problematik kann in einer der folgenden Stunden erfolgen. Einstieg und Problematisierung Die Lehrkraft präsentiert den Schülerinnen und Schülern zwei PC-Prozessoren mit der Angabe des Herstelljahrs und der Anzahl der darin befindlichen Transistoren. Er schließt die Frage an: Worum geht es heute? Anschließend legt er eine Folie auf, die "Moores Gesetz" in drei verschiedenen Versionen zeigt. Daran schließt sich die Frage an: "Welche der drei Aussagen ist denn nun richtig? Wie können wir die Gültigkeit der Aussage überprüfen?" Erarbeitung Die Schülerinnen und Schüler stellen die drei Versionen des Moore'schen Gesetzes in einem Diagramm dar, ermitteln mit der Trendlinienfunktion die zugehörigen Wachstumsfaktoren und entscheiden, welche Version der Vorhersage von Moore gültig ist. Präsentation Ein oder zwei Schülerpaare ergänzen ein vorbereitetes Plakat und erläutern ihre Lösung. Unterstützend wird der Excel-Bildschirm der jeweiligen Schülerpaare auf die Wand projiziert. Diskussion und Sicherung Schließlich erfolgt eine Plenumsdiskussion über die präsentierten Ergebnisse. Die Sicherung erfolgt in Form von Teilsicherungen während der Diskussion der einzelnen Schülerergebnisse.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Differenzialrechnung zur Gewinnmaximierung

Unterrichtseinheit

Die Flash-Animation „Die Grundidee des Differenzierens“ der Website mathe-online.at vermittelt die Grundzüge der Differenzialrechnung in Bild und Ton – dabei können die verschiedenen Sequenzen je nach individuellem Lerntempo beliebig angehalten oder wiederholt werden.Ausgehend von einem Problem der Gewinnmaximierung wird der im Film-Clip dargestellte Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung mithilfe der Programme MS Excel sowie MS PowerPoint anschaulich nachgestellt: Einer ?Animation? der in Excel erstellten Diagramme per Daumenkino schließt sich eine einfache Animation in PowerPoint an.Die Schülerinnen und Schüler haben in früheren Lerneinheiten die Bestimmung der Steigung von Geraden erlernt (Punkt-Steigungsform der Geradengleichung) und damit die Grundlage zur Berechnung von Sekantensteigungen gelegt. Des Weiteren wurde im Rahmen der quadratischen Funktionen die Scheitelform der Parabelgleichung eingeführt. Ablauf des Unterrichts und Einsatz der Materialien Ein zuweilen sperriges Thema der Analysis wird durch anschauliche Unterrichtsmethoden verständlich. Die Schülerinnen und Schüler sollen das Maximum einer gegebenen quadratischen Funktion anhand bekannter Methoden berechnen (Scheitelform der Parabelgleichung). die Steigung einer Sekante berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung verinnerlichen. eine Sekantenfolge in einer Excel-Wertetabelle korrekt (richtige Verwendung von Formeln und Zellbezügen et cetera) darstellen können. die Sekanten und den Graphen der gegebenen Funktion als Diagramm ausgeben können. in der Lage sein, die Diagramme mit MS PowerPoint in eine Animation umzusetzen. schließlich erkennen, dass an der Stelle eines Extremwerts (hier speziell: Gewinnmaximum) die Tangentensteigung beziehungsweise erste Ableitung Null betragen muss Die verschiedenen Medien und Darstellungsweisen (Visualisierung mittels Diagramm, "haptisch-spielerische" Animation, digitale Animation) ermöglichen einen vielfältigen Zugang zu dem zentralen und zuweilen sperrigen Thema der Analysis, so dass eine Bearbeitung der Aufgaben die schnelle Einsicht in die Tatsache bietet, dass die erste Ableitung an einem Extrempunkt Null betragen muss. Thema Multimediale Einführung in die Differenzialrechnung Autor Arim Shukri Fach Mathematik Zielgruppe Kaufmännische Bildungsgänge Zeitraum 4-5 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Person, Browser mit Flash-Player (ab Version 6), MS Word, Excel, PowerPoint, Beamer Planung Differenzialrechnung Im Mathematikunterricht der Klasse wurden in den vorherigen Unterrichtssequenzen folgende Themen behandelt: Einführung in Excel Zellbezüge Erstellen von Formeln Kopieren von Formeln Umsetzung von Werten in Diagramme Einführung in MS PowerPoint Anschaulichkeit des Mediums Der Film-Clip "Die Grundidee des Differenzierens" bietet eine interessante Alternative, um den Lernenden die Grundzüge der Differenzialrechnung näher zu bringen. Ausgehend von dem im Film dargestellten und in der Diskussion vertieften Stoff fördern die sich anschließenden Aufgaben ein aktives Verständnis des Limesprozesses der sich von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung vollzieht. Bezug zur Berufswelt Um einen Bezug zur Anwendung in der Wirtschaft herzustellen, wird den Schülerinnen und Schülern zunächst die Aufgabe gestellt, von einer gegebenen Gewinnfunktion (Polynom zweiten Grades) das Maximum zu berechnen. Dies geschieht mithilfe der bereits aus einer früheren Unterrichtseinheit bekannten Scheitelform der Parabelgleichung. Dass dies auch und gerade anhand der Differenzialrechnung geschehen kann, soll durch die weiteren Aufgaben dynamisch-fassbar erschlossen werden. Berechnung Von Maximalpunkt ausgehend wird also eine geeignete Folge von Näherungspunkten ausgewählt, die sich von rechts dem Extrempunkt annähern. Dann wird jeweils eine Sekante durch Maximalpunkt und Näherungspunkt gelegt. Schließlich werden die jeweiligen Sekanten mit geeigneten Formeln in eine Excel-Wertetabelle umgesetzt. Visualisierung Die so entstehenden Spalten werden nun als Diagramme ausgegeben und einerseits haptisch als Daumenkino sowie digital mittels PowerPoint-Folienübergang animiert. Ziele Diese Vorgehensweise bedient gleich drei Ziele auf einmal: Der Grenzwertprozess wird anschaulich-spielerisch erlebbar gemacht und von den Schülern in eigenständiger Ausarbeitung nachvollzogen. Außerdem wird von den Lernenden selbst erkannt, dass an einem Extrempunkt die Tangentensteigung Null betragen muss und also die Differenzialrechnung als starkes Instrument zur Bestimmung von Gewinnmaxima herangezogen werden kann. Hierbei wird erwähnt, dass noch weitere Bedingungen erfüllt sein müssen. Schließlich wird die Beherrschung verschiedener Medien und Computerprogramme gefördert. Individuelles Lerntempo Zur Umsetzung der Unterrichtseinheit ist ein Computerraum vonnöten. Der Computerraum ist nicht nur für die Bearbeitung der Aufgaben unabdingbar, er bietet auch jedem Lernenden die Möglichkeit, seinem individuellen Lerntempo gemäß die verschiedenen Filmsequenzen des Clips "Die Grundidee des Differenzierens" zu verfolgen und gegebenenfalls zu wiederholen. Ausblick zum Medieneinsatz Später kann - bei entsprechenden Kenntnissen der Lernenden - eine an den Film-Clip angelehnte Flash-Animation erfolgen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

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