Mathematik: Unterrichtsmaterial für die Sekundarstufen

Mit Bildbearbeitungsprogrammen werden Fotografien der Sonne im H-alpha-Licht – selbst aufgenommen oder aus dem Internet – genutzt, um einen Umrechnungsfaktor zu ermitteln (Kilometer/Pixel), mit dem die Dimensionen von Protuberanzen in einer einfachen mathematischen Fingerübung bestimmt werden können. Unsere Sonne erscheint nur äußerst selten als makellose Kugel am Firmament, obwohl dies über viele Jahrhunderte angenommen wurde. Bereits mithilfe einfacher und gefahrloser Projektionsmethoden lassen sich dunkle Sonnenflecken auf ihrer Oberfläche deutlich erkennen. Neben diesen Flecken sind Protuberanzen beliebte Objekte der Sonnenbeobachtung. Diese können mit H-alpha-Filtern beobachtet werden, die speziell für die Beobachtung der Sonne entwickelt wurden. Wenn keine eigenen Beobachtungen durchgeführt und so die notwendigen Sicherheitsmaßnahmen nicht "vorgelebt" werden können, sondern lediglich beeindruckende Sonnenbilder aus dem Internet zum Einsatz kommen, besteht die Gefahr, dass insbesondere junge Schülerinnen oder Schüler auf die Idee kommen, einen Blick durch das Fernglas zu "riskieren". Die Bedingungen einer gefahrlosen Sonnenbeobachtung sollten daher - auch, und oder gerade wenn sie nicht praktiziert werden kann - eindringlich thematisiert werden. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Informationen zur Durchführung eigener Beobachtungen und Beschreibung der Aufgabenstellung Die Schülerinnen und Schüler sollen unterschiedliche Protuberanzenarten erkennen. die Größe einer Protuberanz berechnen. die Größe der Protuberanz mit der Größe der Erde vergleichen. Thema Größenbestimmung von Protuberanzen Autor Heinrich Kuypers Fach Astronomie, Astronomie AG Zielgruppe ab Klasse 8 Zeitraum eine Doppelstunde Technische Voraussetzungen Computer mit Bildbearbeitungsprogramm, zum Beispiel Paint oder GIMP ( Infos und Links zu GIMP bei Wikipedia) Wenn Sie Protuberanzen direkt beobachten möchten, benötigen Sie ein Teleskop mit einem H-alpha-Filter. Dieser Interferenzfilter lässt nur das Licht des ionisierten Wasserstoffs durch und gewährleistet so eine gefahrlose direkte Beobachtung der Sonne. Die Sonnenscheibe erscheint dann in einem sattem Rot - Protuberanzen und Filamente werden sichtbar. Leistungsfähige H-alpha-Teleskope, mit denen gute Beobachtungsergebnisse erzielt werden können, werden heute schon für unter 1.000 € angeboten (siehe Zusatzinformationen). Wenn kein geeignetes Teleskop zur Verfügung steht, können Sie für die mathematische Übung Sonnenfotos aus dem Internet nutzen (siehe Internetadressen). Zusammen mit dem zu bearbeitenden Bild wird der Sonnendurchmesser von 1,39 Millionen Kilometern als Maßstab vorgegeben. Die Schülerinnen und Schüler sollen in Partnerarbeit mitmilfe eines einfachen Bildbearbeitungsprogramms (Paint, GIMP) die Gesamtpixelbreite der Sonne bestimmen und so einen Umrechnungsfaktor (Kilometer/Pixel) berechnen. Im nächsten Schritt sollen sie die Pixellänge einer Protuberanz bestimmen und anschließend die Pixellänge der Protuberanz in Kilometer umrechnen. Alternativ kann die Aufgabe auch am Bildausdruck bearbeitet werden. Damit die Schülerinnen und Schüler eine anschauliche Vorstellung von der Größe der Protuberanz bekommen, sollen sie einen Kreis mit dem Durchmesser der Erde im richtigen Maßstab neben die Protuberanz zeichnen. Protuberanzen am Rand der Sonnenscheibe sind im H-alpha-Licht als leuchtende Bögen deutlich zu erkennen. Natürlich gibt es Protuberanzen nicht nur am Sonnenrand, sondern auch direkt vor der Sonnenscheibe. Allerdings sind sie dann im H-alpha-Licht nur als dunkle Linien auf der Sonnenoberfläche erkennbar. Dies liegt daran, dass die Protuberanzen sich in der mehrere Millionen Grad Celsius heißen Sonnenkorona befinden. Vor diesem Hintergrund erscheinen die nur etwa 6.000 Grad Celsius heißen Protuberanzen als dunkle Linien und werden dann Filamente genannt. Man unterscheidet zwei Klassen von Protuberanzen: Stationäre Protuberanzen Diese Protuberanzen sind über sehr lange Zeiträume (bis zu einigen Monaten) stabil und besitzen oft sehr weiträumige, brückenartige Strukturen. Aktive Protuberanzen Diese Protuberanzen treten immer in der Nähe von Sonnenflecken auf. Dabei können sich sogenannte Fleckenprotuberanzen bilden, die sehr enge bogenförmige Formen aufweisen, oder eruptive Protuberanzen. Diese sind geöffnet und entlassen große Mengen an elektrisch geladener Materie (Koronale Massenauswürfe) in das interstellare Medium. Die aktiven Protuberanzen zeigen innerhalb weniger Stunden erhebliche Formveränderungen.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen. Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.

In dieser Unterrichtseinheit entdecken die Schülerinnen und Schüler die Ästhetik der Mathematik, indem sie künstlerische Bilder durch zur leicht verständlichen Aufgabenstellung "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" herstellen. Sie vermittelt viel Mathematik und bereitet Lernenden erfahrungsgemäß viel Freude, weil man sehr schön experimentell arbeiten kann.Die Aufgabe "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" gelingt den Schülerinnen und Schülern auf verschiedenste Weise: per Hand und mit dem Computer, zum Beispiel mithilfe dynamischer Geometriesoftware, mit Computeralgebrasystemen oder Animationssoftware. Die Bearbeitung des Themas bietet vielfältige Variationsmöglichkeiten: Man kann zum Beispiel dazu übergehen, sehr viele Kreise durch mehrere Punkte zu zeichnen. Dabei wird insbesondere der Moiré-Effekt wirksam. Wenn man statt Kreisen andere geometrische Formen als Grundfiguren nutzt (zum Beispiel Strecken, Vierecke, Funktionsgraphen) lassen sich mathematische Kunstwerke produzieren, die ästhetische Aspekte der Mathematik erfahrbar machen.Die Problemstellung und ihre Fortführungen sind in unterschiedlichen Ausprägungen von Klasse 7 bis hin zum Abitur interessant und herausfordernd. Das Thema kann in den normalen Unterricht an verschiedenen Stellen eingebettet werden (zum Beispiel beim Lehrplaninhalt "Kreise" oder in der Analytischen Geometrie). Als Arbeitsform hat sich die Einzel- oder Partnerarbeit bewährt. Eine besondere Relevanz gewinnt die Problematik durch die experimentellen Arbeitsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Relationstypen, auch mit unterschiedlicher Software. Dazu kommen die sich anbietenden Aufgabenvariationen, die dann ein weites Feld von Mathematik eröffnen können. Auch algebraische und analytische Kenntnisse und Fähigkeiten kommen dabei immer wieder zum Tragen, etwa bei der Berechnung von Abbildungen wie Drehungen, zum Beispiel mit Matrizen. Abb. 1 liefert eine Übersicht der didaktischen Aspekte der Unterrichtseinheit.Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Kompetenzen zum Umgang mit digitalen Werkzeugen. schulen ihre Kreativität und die Fähigkeit zur Aufgabenvariation. erleben ästhetische Aspekte der Mathematik. erkennen Verknüpfungen zu Moiré-Bildern. entwickeln Animationsstrategien. nutzen die Konzepte "Mehrfachanwendung" und "Arbeiten mit Modulen". arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Lehmann, Eberhard Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht, Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra, Berlin 2007 ( Infos im Netz ) Lehmann, Hergen; Lehmann, Eberhard Programmsystem Animato, Animationsprogramm, Anwendungen, Berlin 2007 ( Infos zur Software )

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Mittendreiecke und Mittenvierecke" erschließen sich die Schülerinnen und Schüler ausgehend von den Eigenschaften der Punktspiegelung und des Parallelogramms anhand dynamischer Konstruktionen die Zusammenhänge zwischen einem Dreieck und seinem Mittendreieck. Die analoge Thematik bei Vierecken gibt Anlass zu vielfältigen Forschungen und Entdeckungen in der Welt der Vierecke. Die Unterrichtseinheit "Mittendreiecke und Mittenvierecke" besteht aus zwei Teilen: Mit dem ersten Arbeitsblatt und den zugehörigen dynamischen Konstruktionen (hier mit Euklid DynaGeo) erkunden die Schülerinnen und Schüler Mittendreiecke. Indem sie wiederholt das Mittendreieck zum Mittendreieck einzeichnen, finden die Lernenden Gesetzmäßigkeiten, nach denen die Mittendreiecke immer kleiner werden. Anhand entsprechender Figuren entdecken sie, dass die Höhen des Mittendreiecks zugleich die Mittelsenkrechten des ursprünglichen Dreiecks sind und sich somit ebenfalls in genau einem Punkt schneiden. Mit dem zweiten Arbeitsblatt werden die Überlegungen auf Vierecke übertragen: Die Seitenmitten eines Vierecks bilden das Mittenviereck. Es ist immer ein Parallelogramm, unabhängig von der Form des Ausgangsvierecks. Welche besondere Form aber muss das Ausgangsviereck besitzen, damit das Mittenviereck etwa ein Rechteck, eine Raute oder ein Quadrat ist? Diese Problemstellungen lassen sich besonders gut mit dynamischer Geometriesoftware untersuchen. Die Lernenden können die zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten selbst entdecken und die Begründungen finden. Die vorliegende Unterrichtseinheit "Mittendreiecke und Mittenvierecke" ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Klassen 7 bis 9 konzipiert. Im regulären Mathematikunterricht können die Arbeitsblätter als Material zur Binnendifferenzierung genutzt werden. Dabei sollten die Schülerinnen und Schüler Zugang zu einem Computer mit dynamischer Geometriesoftware besitzen (Einzel- oder Partnerarbeit). Daneben bietet die Unterrichtseinheit aber auch eine geeignete Grundlage für Mathematik-Arbeitskreise, die sich speziell der Begabtenförderung widmen. Es empfiehlt sich, den Unterricht methodisch so zu gestalten, dass sich die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenständig in Kleingruppen mit den Arbeitsaufträgen und den dynamischen Konstruktionen befassen. Zur Zusammenschau und Sicherung der Ergebnisse bietet sich eine Phase der Präsentation und Diskussion aller Ideen und Resultate im Klassenplenum beziehungsweise im Arbeitskreis an. Die Schülerinnen und Schüler erkunden Problemstellungen mithilfe dynamischer Geometrie. begreifen Zusammenhänge zwischen Sätzen und deren Umkehrung. entwickeln Argumentationen und geometrische Beweise. übertragen gewonnene Ergebnisse durch Variieren erweitern und auf verwandte Situationen. arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ.

Bei der Suche nach idempotenten Zahlen werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge entdeckt. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler ab der 9. Jahrgangsstufe gedacht, die bereits Erfahrungen mit Tabellenkalkulation, CAS oder gar selbst geschriebenen Programmen besitzen und bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Suche nach so genannten idempotenten Zahlen, also nach Zahlen, deren Ziffernfolge bei all ihren Potenzen am Ende auftritt, wie zum Beispiel bei der 5 oder der 25. Das Problem wird sowohl praktisch (Programmierung, zum Beispiel mit Excel, Pascal und Maple) als auch theoretisch angegangen. Dabei werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge, wie etwa der Chinesische Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten, entdeckt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Programm schreiben und optimieren, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Natürlich bietet es sich auch an, die selbst entwickelten Programme zu testen und zu vergleichen ("Welches ist am schnellsten?"). Die abschließenden Aufgaben (Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen) sind bewusst offen gehalten und sollen die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas selbstständig zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit dem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Das Thema bietet sich eventuell auch für eine Facharbeit an. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Infos zum Einstieg in die Thematik und zum Schreiben eines Programms, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Materialien Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen einfache zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen. Fragestellungen mittels Tabellenkalkulationen, CAS und selbst geschriebenen Computerprogrammen bearbeiten. Modulo-Rechnen und den Chinesischen Restsatz kennen lernen. die Primfaktorzerlegungen wiederholen und durch Computerprogramme ausrechnen lassen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Idempotente Zahlen Autor Dr. Christian Groß Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 9, Mathematik-AG Zeitraum 4-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software CAS (Maple), Tabellenkalkulation (Excel), Programmierumgebung (zum Beispiel Pascal) Groß, Christian Idempotente (automorphe) Zahlen in q-Stellenwertsystemen, Mathematische Semesterberichte 52 (2005), Seite 127-151 Zu Beginn werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, die einfachsten idempotenten Zahlen zu suchen. Gestützt auf diese Beispiele sollen sie verschiedene zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen, zum Beispiel dass es genügt, die Endziffern der Quadrate zu untersuchen, oder dass mehrstellige idempotente Zahlen "Verlängerungen" von ein-, zwei-, dreistelligen idempotenten Zahlen sind. Diese Erkenntnis wird dann auch praktisch umgesetzt: Ein erstes Programm soll geschrieben werden, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Verlassen des Dezimalsystems Das Programm wird im Laufe der Unterrichtseinheit immer mehr ausgebaut und verbessert. Dazu werden die Lernenden in das Modulo-Rechnen eingeführt. Sie lernen den Chinesischen Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten kennen. Zur Vertiefung werden hier auch Tabellenkalkulationen und Computerprogramme eingesetzt (zum Beispiel Pascal). Auf dieser Stufe ist es dann auch angebracht, das gewohnte Dezimalsystem zu verlassen und die im Laufe der Schullaufbahn meist kaum erkundeten alternativen Stellenwertsysteme zu untersuchen. Wenn wir nicht mehr je 10 Einheiten bündeln (beziehungsweise modulo q=10 rechnen), sondern uns ins Zweier-, Sechser-, oder gar 36er-System wagen, stellen sich Fragen wie: Aus welchen Ziffern bestehen die Zahlen und welche Zahlen sind demzufolge idempotent? Optimierung des Programms Schritt für Schritt können die Schülerinnen und Schüler immer tiefer liegende Zusammenhänge erkunden. Sie erkennen die Bedeutung der Primfaktorzerlegung der Stellenwertbasis q und stoßen auf mengenalgebraische Fragestellungen: Auf wie viele Arten lässt sich die Menge aller Primfaktoren von q in zwei disjunkte Teilmengen zerlegen? Jeder solchen Zerlegung entspricht eine andere idempotente Zahl. Wie kann man durch Addition und Subtraktion von idempotenten Zahlen neue idempotente Zahlen gewinnen? All diese Erkenntnisse können zur Verbesserung der selbst geschriebenen Programme herangezogen werden. Selbstständige Entdeckungsreisen Je nach der zur Verfügung stehenden Zeit können am Ende auch noch Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen untersucht werden. Diese letzten Fragestellungen sind offener konzipiert und sollen die Lernenden ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Hinweise zur Nutzung Die drei PAS-Dateien sind die Pascal-Quellcodes von Programmen, die nach ein-, zwei-, beziehungsweise dreistelligen idempotenten Zahlen in q-Stellenwertsystemen suchen. Dabei wird jeweils abgefragt, in welchen Grenzen für q gesucht werden soll. Die EXE-Dateien sind die bereits kompilierten, lauffähigen Pascal-Programme, allerdings mit dem Unterschied, dass in diesen Programmen noch der ältere Name "automorphe Zahl" statt "idempotente Zahl" verwendet wird. Die Ausgabe der Programme erfolgt nicht direkt auf den Bildschirm, sondern in eine Textdatei, deren Namen am Anfang des Programms abgefragt wird (Eingabe zum Beispiel "xyz", wenn die Datei "xyz.txt" heißt). Achtung: Die Programme legen diese Textdatei nicht neu an, sondern öffnen sie nur. Genauer gesagt: Die Programme gehen davon aus, dass die Textdatei bereits im selben Verzeichnis existiert, in dem auch die Programme gespeichert sind. Also vorher neu anlegen! Das Maple-V-Worksheet berechnet N-stellige idempotente Zahlen (N = 50 ist voreingestellt, kann aber variiert werden). Hier muss der Stellenwert q explizit fixiert werden (voreingestellt ist q = 10, das heißt es wird nach idempotenten Dezimalzahlen gesucht). Ebenso muss die Endziffer a der idempotenten Zahl vorher bekannt sein und eingetragen werden (also 0, 1, 5 oder 6 für q = 10). Dann berechnet das Programm die diejenige N-stellige idempotente Zahl, deren letzte Ziffer a ist. Diese Zahl wird in Form einer Liste A ausgegeben, die von links nach rechts zu lesen ist. Zu Beispiel steht A = 5, 2, 6, 0, 9, ... für die (fünf-)stellige idempotente Dezimalzahl 90625.

Mit einer interaktiven Lernumgebung auf der Basis der Tabellenkalkulation Excel erkunden Schülerinnen und Schüler die Monte-Carlo-Methode zur Bestimmung von Flächeninhalten. Ein integriertes Hilfesystem unterstützt die Lernenden beim selbstständigen und kooperativen Arbeiten. Die Monte-Carlo-Methode ist in den vierziger Jahren des 20. Jahrhunderts im Rahmen des Manhattan-Projekts entstanden, um die zufällige Diffusion von Neutronen in spaltbarem Material zu simulieren. Bei der Namensgebung der Methode stand tatsächlich das weltberühmte Casino in Monte-Carlo Pate, denn die ersten Tabellen von Zufallszahlen hat man aus den Ergebnissen der Roulettspiele, die in diesem Casino regelmäßig ausgehängt wurden, gewonnen. Bei der Monte-Carlo-Methode handelt es sich um numerische Verfahren, die mithilfe von Zufallszahlen mathematische Probleme lösen beziehungsweise simulieren. So können Probleme, die deterministischer Art sind, zum Beispiel Berechnungen von Integralen, Berechnung von Summen, im Rahmen einer stochastischen Genauigkeit (Gesetz der großen Zahlen) näherungsweise gelöst werden. Problemstellungen, die probabilistischer Natur sind, zum Beispiel Warteschlangenprobleme, Lagerhaltungskosten, Versicherungsprobleme, können dagegen nur simuliert werden. Im Folgenden wird die Monte-Carlo-Methode genutzt, um Problemstellungen zum Thema Flächeninhalt näherungsweise zu lösen. Voraussetzungen, Ablauf der Unterrichtseinheit, Materialien Die vorliegende Lerneinheit ist zum selbstständigen Arbeiten am Computer konzipiert. Das individuelle Lernen wird durch verschiedene interaktive Elemente unterstützt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Monte-Carlo-Methode erläutern können. den Flächeninhalt eines Kreises mit der Monte-Carlo-Methode näherungsweise berechnen können. erkennen, dass durch die Erhöhung der Anzahl der Zufallspunkte die Wahrscheinlichkeit für das Abweichen des approximativ berechneten Ergebnisses vom algebraisch berechneten Ergebnis abnimmt. mithilfe der Monte-Carlo-Methode den Flächeninhalt unter einer Parabel approximieren können. mithilfe einer Tabellenkalkulation Monte-Carlo-Methoden rechnerisch durchführen können. Thema Bestimmung von Flächeninhalten mit der Monte-Carlo-Methode Autor Thomas Borys Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Einzelarbeit) Software Microsoft Excel Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menu "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Als Lernvoraussetzungen sind grundlegende Kenntnisse im Umgang mit einer Tabellenkalkulation notwendig, wie zum Beispiel die Eingabe von Rechenoperationen. Weiterführende Kenntnisse, wie das Erzeugen von Zufallszahlen, werden nicht vorausgesetzt. Diese können selbstständig erarbeitet werden. Erarbeitung der notwendigen Kenntnisse im Umgang mit EXCEL Auf der Start-Seite der interaktiven Lerneinheit werden die Schülerinnen und Schüler nach ihren Excel-Kenntnissen gefragt. Je nach Antwort werden sie mit Hyperlinks weiter geleitet. Nach entsprechender Auswahl können die Schülerinnen und Schüler die Eingabe von Zufallszahlen und die Eingabe von Wenn-Funktionen erlernen beziehungsweise bereits Bekanntes vertiefen. Auch steht eine weitere zielorientierte Übung zur Verfügung Zentrale Problemstellung Die Einführung in die Monte-Carlo-Methode erfolgt an Hand der näherungsweisen Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises mit einem Radius Eins. Dazu steht den Schülerinnen und Schülern ein ausführliches Aufgabenblatt zur Verfügung. Unterstützt werden sie unter anderem durch ein interaktives Schaubild, nach dem Erzeugen der Zufallspunkte erscheinen diese auch im Schaubild. Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten Zur weiteren Vertiefung der Monte-Carlo-Methode stehen noch sechs weitere Aufgabenblätter zur Verfügung. Die ersten beiden Aufgabenblätter vertiefen die näherungsweise Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises. Des Weiteren wird der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis thematisiert. Die beiden folgenden Arbeitsblätter behandeln die Thematik "Flächeninhalt unter einer Geraden", wobei auch hier der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis möglich ist. Die letzten beiden Aufgabenblätter geben schon einen kleinen Einblick in die Integralrechnung, denn die Schülerinnen und Schüler sollen den Flächeninhalt unter einer Parabel bestimmen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). An dieser Stelle wird die Notwendigkeit der Monte-Carlo-Methode richtig plastisch: Die Lernenden sind durch diese Methode in der Lage, einen Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, den sie algebraischen noch nicht berechnen können. Makros aktivieren Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menü "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Dateien mit und ohne Blattschutz Die erste Tabelle (monte_carlo.xls) ist so angelegt, dass die Lehrperson diese komplett ändern kann. Allerdings können auch die Lernenden Dinge verändern, die sie eigentlich nicht ändern sollten. Die zweite Tabelle (monte_carlo_schutz.xls) ist mit dem für Excel üblichen Blattschutz teilweise geschützt, das heißt die Schülerinnen und Schüler können nur auf gewissen Feldern Eintragungen vornehmen, die nicht geschützt sind. Dopfer, G., Reimer, R. Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht, Klett Verlag, Stuttgart 1995 Engel, A. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1, Klett Studienbücher, Stuttgart 1973 Hermann, D. Monte-Carlo-Integration, in: Stochastik in der Schule, 12 (1), 1992, Seite 18-27

Warum kann man eine Sonnenfinsternis vorausberechnen, die Lottozahlen aber nicht? Gibt es den Wetterbericht für nächstes Jahr? Wann kommt die nächste Heuschreckenplage? Ist alles schon vorausbestimmt? Gibt es eine Ordnung im Chaos? Was hat das alles mit dem "Apfelmännchen" zu tun? Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Hinweise zu den Voraussetzungen und Materialien Das Skript zu dem Kurs soll als Leitfaden dienen. Den Quellcode der im Kurs verwendeten Programme finden Sie hier in Turbo Pascal. Die meisten Programme lassen sich auch per Tabellenkalkulation umsetzen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Erforderlich beziehungsweise hilfreich für die Durchführung dieses Kurses sind folgende Vorkenntnisse: quadratische Funktionen Differentialrechnung, insbesondere Ableitung als Steigung des Funktionsgraphen Grundkenntnisse und Fertigkeiten in Bedienung und Programmierung von Computern (Tabellenkalkulation, Basic, Pascal oder Java) für eine Weiterführung des Unterrichtsprojekts mit fraktaler Geometrie: komplexe Zahlen "Pluskurse" und vergleichbare Rahmen bieten im Vergleich zum Pflichtunterricht viele Vorteile, welche erfahrungsgemäß die Unterrichtsgestaltung wesentlich vereinfachen und die Lerneffizienz steigern: kleine Kursstärken homogene Lerngruppen spontanes und flexibles Agieren und Reagieren aufgrund fehlender Lehrplananbindung motivierte, leistungsbereite Schülerinnen und Schüler Wegfall von zeitaufwändigen Leistungserhebungen Die genannten Gelegenheiten gestatten der unterrichtenden Lehrperson und ihren Schülerinnen und Schülern erheblich mehr individuellen Freiraum zum experimentellen, entdeckenden Lernen und für fächerübergreifende Betrachtungen. Leitfaden statt exakte Unterrichtsplanung Der Natur der "Pluskurse & Co." entsprechend ist der Aufbau des Skripts zu dem Kurs (einblick_ins_chaos.pdf) gestaltet: Es ist als Leitfaden zu verstehen, von dem bei Bedarf abgewichen werden kann. Der Stoff wird in mehreren Kapiteln schülergerecht aufbereitet dargeboten, jeweils gefolgt von didaktischen Hinweisen, ergänzenden Vertiefungen oder Aufgabenvorschlägen. Eine exakte Unterrichtsplanung entfällt. Software zur Darstellung fraktaler Mengen Das Skript enthält eine Liste begleitender und weiterführender Literatur. Von den zahlreichen zum Thema (meist frei) erhältlichen Programmen sei der Real-Time Fractal-Zoomer "XaoS" erwähnt, der mit seinen ästhetischen Bildern fraktaler Mengen auch den affektiven Lernbereich zur Geltung bringt. Hinweise zu den Materialien Im Download-Material zu diesem Beitrag finden Sie die im Kurs verwendeten Programme samt Quellcode in Turbo Pascal, das aufgrund seiner streng strukturierten Syntax immer noch gut zum Erlernen der Grundkenntnisse des Programmierens eingesetzt werden kann. Die Programmstrukturierung mittels Prozeduren erlaubt aber auch eine Portierung in andere Programmiersprachen (zum Beispiel das frei erhältliche QBasic, das sich bei der Grafikprogrammierung sehr unkompliziert zeigt). Die meisten Programme lassen sich alternativ gut in einem Tabellenkalkulationssystem umsetzen (das Endzustandsdiagramm "Feigenbaum" nur mit Einschränkungen).

In dieser Unterrichtseinheit wird am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent gezeigt, wie sich Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsmaterialien die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können.Eigenschaften von Potenzfunktionen anhand ihrer Graphen eigenständig zu entdecken und Funktionsgleichungen zu interpretieren ist eine interessante Alternative zur herkömmlichen Einführung der Potenzfunktion. Die dafür notwendige experimentelle Umgebung, die Lernende im Erkenntnisprozess unterstützt und begleitet, wird mithilfe von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisiert. Die Kombination von Übungen am Computer und schriftlicher Zusammenfassungen schafft eine neue und interessante Unterrichtsform. Am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent soll aufgezeigt werden, wie Schülerinnen und Schüler sich die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können. Durch die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen werden sie in die Lage versetzt, sich ihrem eigenen Lerntempo entsprechend mit den Eigenschaften von Potenzfunktionen aktiv auseinander zu setzen. Die inhaltliche Aufbereitung der einzelnen interaktiven dynamischen Arbeitsblätter bietet eine Vorstrukturierung der zu erarbeitenden Unterrichtsinhalte. So leitet die Unterteilung in geradzahlige und ungeradzahlige Exponenten sowie die Vorgabe von jeweils neun zu prüfenden Aussagen zu zielgerichtetem Experimentieren an und unterstützt den individuellen Lernprozess. Die Zahl n als Exponent steht im Folgenden in allen Funktionsgleichungen stets für eine natürliche Zahl. Voraussetzungen und Hinweise zu den Materialien Inhaltliche und technische Voraussetzungen sowie allgemeine Hinweise zum Aufbau und zur Nutzung der Online-Arbeitsblätter Unterrichtsverlauf Hinweise zur Nutzung der einzelnen Arbeitsblätter mit Screenshots Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x -n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax -n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. können anhand vorgegebener Graphen deren Gleichung ermitteln. Inhaltliche Voraussetzungen Das hier vorgestellte Übungskonzept setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler Begriffe wie etwa Funktion, Definitionsmenge und Wertemenge bereits kennen und über grundlegende Kenntnisse zum Thema Symmetrien von Funktionsgraphen verfügen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Die Bedienung aller Online-Arbeitsblätter ist identisch und ermöglicht somit nach einer kurzen Einführung durch die Lehrkraft ein selbstständiges Arbeiten der Schülerinnen und Schüler. Bei allen Arbeitsblättern wird beim Seitenstart der dynamische Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die in der linken Spalte des Arbeitsblatts stehenden 18 Aussagen überprüfen und die zutreffenden jeweils per Mausklick auswählen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Zur Lösungsfindung können sie mit dem Schieberegler n unterschiedliche Funktionsgraphen erzeugen. Wenn die Schülerinnen und Schüler der Ansicht sind, alle Eigenschaften gefunden zu haben, so können sie ihre Lösung mit einem Klick auf den Button "Auswertung" überprüfen lassen. Je nach Richtigkeit und Vollständigkeit der Schülerbeobachtung wird ein entsprechendes Pop-up-Fenster erzeugt. Sind alle Eigenschaften richtig zugeordnet erscheint die Bestätigung: "Ausgezeichnet! Das hast du sehr gut gemacht! Du hast beide Fälle richtig bearbeitet." (Abb. 2a)." Wurde hingegen keiner der beiden Fälle richtig bearbeitet, erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Leider beide Fälle falsch! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2b). Hat eine Schülerin oder ein Schüler einen der beiden Fälle, zum Beispiel "n ist gerade", richtig analysiert und den Fall "n ist ungerade" falsch oder unvollständig beschrieben, so erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Nur ein Fall ist richtig erkannt! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2c). Bei den Rückmeldungen auf unvollständige oder falsche Eingaben erfolgt keine detaillierte Fehleranalyse. Die Schülerinnen und Schüler werden dadurch gezwungen, alle Aussagen erneut auf ihre Richtigkeit zu überprüfen und ihre Beobachtungen zu präzisieren. Funktionen mit der Gleichung y = ax n In einem weiteren Schritt schließt sich im Unterricht die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax n zu Grunde liegt. Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken) sind identisch zum vorhergehenden. Das dynamische Element besitzt zusätzlich einen Schieberegler für den Parameter a. Neben dem Graphen zur Funktion y = ax n wird der Graph zur Funktionsgleichung y = x n dynamisch erzeugt und grau eingezeichnet. Dadurch lassen sich die Veränderungen der Graphen, die durch den Parameter a veranlasst werden, gezielt beobachten. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht wieder darin, die Eigenschaften der Funktionen zu finden. Funktionen mit der Gleichung y = x -n Die Konzeption der zweiten Unterrichtsstunde orientiert sich am Verlauf der vorhergehenden. Nach einer kurzen Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse anhand der dort angefertigten Folie erfolgt eine Einführung in die Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 4) durch die Lehrkraft. Die Schülerinnen und Schüler experimentieren dann wieder eigenständig, um die Eigenschaften der vorliegenden Funktionen zu erkunden. Im Anschluss werden die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten im Arbeitsblatt "hefteintrag_2.pdf" festgehalten. Die Zuordnung der vier Funktionsgraphen im PDF-Arbeitsblatt kann wieder in Partnerarbeit als Element einer Ergebnissicherung verwendet werden. Funktionen mit der Gleichung y = ax -n Es schließt sich im weiteren Verlauf der Unterrichtsstunde die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax -n zu Grunde liegt (Abb. 5). Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts sind im Wesentlichen wieder identisch zum vorhergehenden. Zusätzlich besitzt das dynamische Element des Arbeitsblatts einen Schieberegler für den Parameter a. Der Graph zur Funktionsgleichung y = x -n wird ebenfalls wieder erzeugt und grau eingezeichnet. Haben die Schülerinnen und Schüler die Eigenschaften gefunden, können sie erneut ihre Angaben mit einem Klick auf den Button "Auswertung" prüfen lassen. Graphen werden Funktionsgleichungen zugeordnet Mit den Übungen der dritten Unterrichtsstunde können die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse bezüglich der Eigenschaften von Potenzfunktionen weiter vertiefen und auf unterschiedliche Graphen anwenden. Das dynamische Arbeitsblatt (Abb. 6) weist die gewohnte Zweiteilung auf. In der linken Spalte sind zwölf Funktionsgleichungen vorgegeben. Beim Seitenstart oder nach dem Klick auf den Button "Neue Aufgabe" wird in der rechten Spalte des Arbeitsblatts der Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Dabei kann zur Lösungsfindung ein Punkt auf dem jeweiligen Graphen bewegt werden, dessen Koordinaten fortlaufend aktualisiert und angezeigt werden. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht darin, die richtige Gleichung für den gezeichneten Graphen anzugeben, in dem sie diese per Mausklick aus den gegebenen Gleichungen auswählen. Nach einem Klick auf den Button "Auswertung" erhält die Schülerin oder der Schüler eine der Eingabe entsprechende Rückmeldung. Differenzierte Auskunft über Schülerleistungen Die Rückmeldung gibt dabei neben der Bewertung der Schülerlösung zusätzlich Auskunft darüber, wie viele Lösungsversuche die Schülerin oder der Schüler für die aktuelle Aufgabe benötigt hat, wie viele Versuche insgesamt unternommen wurden und wie viele Aufgaben bisher gelöst wurden. Die beobachtende Lehrkraft erhält so einen schnellen Überblick über die Leistungsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Schriftliches Formulieren, um Kenntnisse zu festigen und zu vertiefen An diese Übung am Computer schließt sich wieder eine Zusammenfassung mit einer herkömmlichen Übung an. Dabei kommt das Arbeitsblatt "potenzfunktionen_quiz.pdf" zum Einsatz. Auch hier sollen Funktionsgraphen Funktionsgleichungen zugeordnet werden. Doch sollten die Schülerinnen und Schüler nun zusätzlich schriftlich festhalten, an welchen Besonderheiten des Graphen sie die Funktionsgleichung bestimmt haben. Das schriftliche Formulieren von gewonnenen Erkenntnissen ist nach einer am Computer durchgeführten Übung immer notwendig, damit sich die Lernenden mit der den Aufgaben zu Grunde liegenden Struktur auseinandersetzen und so ihre Kenntnisse weiter festigen und vertiefen können.

In dieser Unterrichtseinheit wird am Beispiel der Veranschaulichung der Subtraktion gemischter Zahlen gezeigt, wie tragfähige Grundvorstellungen entwickelt werden können.Die Subtraktion gemischter Zahlen ist einer der Bereiche der Bruchrechnung, der sich durch eine hohe Fehlerquote bei Schülerinnen und Schülern auszeichnet. Grund dafür ist nicht selten die Tatsache, dass die Lernenden über unzureichende Grundvorstellungen verfügen. So ist es oftmals im Unterricht verwunderlich, dass Aufgaben wie zum Beispiel "1 minus 3/5", die allein auf der anschaulichen Ebene ohne jedes formale Rechenkalkül zu lösen wären, zu Fehlern führen. Die hier vorgestellte Lernumgebung möchte Wege aufzeigen, wie Schritt für Schritt Grundvorstellungen aufgebaut werden können, um Aufgaben des Typs "3 2/7 minus 1 4/7" auf der anschaulichen und bildlichen Ebene zu lösen. So erzeugte Grundvorstellungen können ein nachhaltiges Lernen fördern. Die Verwendung von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern unterstützt die Lernenden und ermöglicht ihnen einen individuellen und eigenständigen Zugang zu Grundvorstellungen. Alle dynamischen Darstellungen wurden mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, eignet sich diese Software in besonderer Weise, um algebraische Zusammenhänge dynamisch zu veranschaulichen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Der komplexe und vielschichtige Aufgabentyp "Subtraktion zweier gemischter Zahlen" wird in vier Schritten veranschaulicht. Erste Unterrichtsstunde Die Schülerinnen und Schüler führen Übungen zur Subtraktion eines Bruchs von einer natürlichen Zahl und zur Subtraktion eines Bruchs von einer gemischten Zahl durch. Zweite Unterrichtsstunde Die Lernenden führen Übungen zur Subtraktion einer natürlichen Zahl von einer gemischten Zahl und zur Subtraktion zweier gemischter Zahlen durch. Dritte Unterrichtsstunde In der letzten Stunde der Unterrichtseinheit soll der Aspekt der unterrichtlichen Differenzierung im Mittelpunkt stehen. Die Schülerinnen und Schüler können natürliche Zahlen als Scheinbrüche in die Bruchzahlen einordnen. können Brüche von natürlichen Zahlen und gemischten Zahlen anschaulich und symbolisch subtrahieren. lernen die Subtraktion einer gemischter Zahl als Subtraktion einer natürlichen Zahl und eines Bruchs verstehen. können die Subtraktion gemischter Zahlen symbolisch ausführen. Das hier vorgestellte Übungskonzept setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler die Darstellung von natürlichen Zahlen und gemischten Zahlen als in gleich große Segmente unterteilte Kreisflächen beziehungsweise Kreissegmente kennen. Sollten diese Voraussetzungen nicht gegeben sein, finden sich auf der Webseite des Autors entsprechende Veranschaulichungen und Übungen. Hier ein Beispiel: Bruchrechnen - Gemischte Zahl Die Lernenden müssen eine gemischte Zahl angeben, die in einer per Zufallsgenerator ausgewählten Zeichnung dargestellt ist. Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet insgesamt sieben Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss auf den Rechnern Javascript aktiviert und Java 1.4.2 (oder höher) installiert sein. Da der Aufgabentyp "Subtraktion zweier gemischter Zahlen" sehr komplex und vielschichtig ist, wird eine einzige Veranschaulichung mit interaktiven dynamischen Arbeitsblättern der Problemstellung nicht gerecht. Daher erfolgt die Veranschaulichung der Subtraktion von gemischten Zahlen in vier Schritten: Veranschaulichung der Subtraktion eines Bruchs von einer natürlichen Zahl Veranschaulichung der Subtraktion eines Bruchs von einer gemischten Zahl Veranschaulichung der Subtraktion einer natürlichen Zahl von einer gemischten Zahl Veranschaulichung der Subtraktion zweier gemischter Zahlen. Die Bedienung aller vier hier verwendeten interaktiven dynamischen Arbeitsblätter ist identisch und ermöglicht daher ein flüssiges, selbstständiges Arbeiten der Schülerinnen und Schüler. Die Lehrkraft sollte lediglich bei der Verwendung des ersten Arbeitsblatts dessen Bedienung erläutern: Bei allen Online-Arbeitsblättern werden beim Seitenstart eine Aufgabe und die zugehörige dynamische Zeichnung erstellt (siehe Abb. 1). Durch Betätigen des Schiebereglers "Nimm ... weg" kann die Aufgabe auf bildliche Art gelöst werden. Die Lösung kann dann in die dafür vorgesehenen Felder eingetragen werden. Mittels des Buttons "Lösung prüfen" können die Eingaben geprüft und mittels des Buttons "Neue Aufgabe stellen" viele weitere Aufgaben erzeugt werden. Die Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen ist eine notwendige Grundlage für das Verständnis von gemischten Zahlen und deren Subtraktion. Um möglichen Fehlvorstellungen bei der Einbettung natürlicher Zahlen in die Bruchzahlen zu begegnen, wird zu Beginn eine visuelle Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen vorgenommen. Als Anschauungsmodell zur Visualisierung wird im zugehörigen interaktiven dynamischen Arbeitsblatt (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) die gleichmäßig unterteilte Kreisfläche verwendet. Diese Darstellung nimmt Bezug zur Alltagserfahrung der Schülerinnen und Schüler. So können die Lernenden zum Beispiel mit der Kreisfläche eine Pizza assoziieren. Die bräunliche Farbgebung der Kreisfläche und die gestrichelte Unterteilung in gleich große Stücke soll diese mögliche Assoziation einer vorgeschnittenen Pizza unterstützen. Die durch das interaktive dynamische Arbeitsblatt ermöglichte intuitive und anschauliche Begegnung mit Aufgaben der Art "1 minus 7/5" oder "3 - 1/3" soll die Schülerinnen und Schüler befähigen, Aufgaben dieses Typs - ohne jeden Rechenkalkül - einfach durch Anschauung zu lösen. Bei der Veranschaulichung der Subtraktion eines Bruchs von einer gemischten Zahl stehen zwei Gesichtspunkte im Vordergrund. Zum einen wird die bildliche Darstellung einer gemischten Zahl in Form von ganz gefüllten Kreisen und einem zusätzlichen Kreissegment eingeführt oder aus dem vorangegangenen Unterricht wieder aufgegriffen und zusätzlich die Subtraktion mit und ohne Umwandlung zum ersten Mal problematisiert. Bei der Gestaltung des zweiten interaktiven dynamischen Arbeitsblatts (Abb. 2) wurde auf Kontinuität geachtet, das heißt Aufbau und Funktionsweise entsprechen dem ersten Arbeitsblatt. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich daher nicht erst an eine neue Aufgabenumgebung gewöhnen, sondern können sich unmittelbar mit der mathematischen Problemstellung auseinandersetzen. Ein fließender Übergang zur Bearbeitung von Aufgaben zur Subtraktion eines Bruchs von einer gemischten Zahl ist somit gegeben. Nachdem die Schülerinnen und Schüler die ersten beiden interaktiven dynamischen Arbeitsblätter bearbeitet haben, erfolgt eine Zusammenfassung der Ergebnisse im Heft. Beim Hefteintag ist darauf zu achten, dass die Verbindung zur vorherigen Arbeit der Schülerinnen und Schüler hergestellt wird. Hierzu kann das Arbeitsblatt "ab_hefteintag_1.pdf" verwendet werden, bei dem die Lernenden die Subtraktion eines Bruchs von einer natürlichen Zahl und die Subtraktion eines Bruchs von einer gemischten Zahl noch einmal zeichnerisch durchführen müssen. Damit soll einer allzu schnellen und rein symbolischen Lösung der Aufgaben begegnet und den Lernenden Zeit gegeben werden, ihr Vorgehen zu reflektieren. Den Abschluss der Unterrichtsstunde kann die Bearbeitung der Aufgaben der interaktiven dynamischen Arbeitsblätter ohne Veranschaulichung bilden. Je nach Klassensituation kann aber auch die Bearbeitung von Aufgaben auf bildlicher Ebene mithilfe des Arbeitsblatts "ab_hausaufgabe_1.pdf" fortgesetzt werden. Zur Erstellung von Hausaufgaben auf bildlicher Ebene kann die Kopiervorlage "bruchteile.pdf" verwendet werden. Die Vorgehensweise ist analog zur ersten Unterrichtsstunde. Zuerst setzen sich die Schülerinnen und Schüler mit den Aufgaben der interaktiven Arbeitsblätter auseinander. Die Notwendigkeit einer Veranschaulichung der Subtraktion einer natürlichen Zahl von einer gemischten Zahl (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken) mag auf den ersten Blick verwundern, da diese Subtraktion doch trivial erscheint. Doch sollte man zurückhaltend und vorsichtig sein, Aufgabenstellungen allzu schnell als trivial abzutun. Zudem ist die Veranschaulichung dieses Aufgabentyps für die abschließende Veranschaulichung der Subtraktion von gemischten Zahlen notwendig. Beabsichtigt man, die Subtraktion von gemischten Zahlen anschaulich in zwei Teilsubtraktionen zu zerlegen, nämlich in die Subtraktion einer natürlichen Zahl von der gemischten Zahl und eines Bruchs von der gemischten Zahl, sollte der erste Teilschritt vorher anschaulich als Grundlage gelegt werden. Der zeitliche Aufwand im Unterricht für die Veranschaulichung der Subtraktion einer natürlichen Zahl von einer gemischten Zahl ist gering. Die Einsicht der Schülerinnen und Schüler in den Zusammenhang ergibt sich rasch. Dennoch ist dieser Aufgabentyp für das Verständnis unverzichtbar. Die Bedienung des Online-Arbeitsblatts ist wieder analog zu den bisher verwendeten Arbeitsblättern. Nach den drei vorangestellten Beispielen wird abschließend die Veranschaulichung der Subtraktion zweier gemischter Zahlen mithilfe interaktiver dynamischer Arbeitsblätter dargestellt. Dabei werden die in den vorangegangenen Arbeitsblättern gewonnenen Anschauungen miteinander verbunden und zu einer Veranschaulichung zusammengeführt. Bei der Beschreibung der Veranschaulichung der Subtraktion zweier gemischter Zahlen wird im Folgenden nur auf den Aufgabentyp "Subtraktion mit Umwandlung" eingegangen, da sich die "Subtraktion ohne Umwandlung" aus dem vorgestellten Beispiel selbst erschließt. Das entsprechende Arbeitsblatt (Abb. 4) zeigt den gewohnten Aufbau. In der linken Spalte findet sich neben der Einführung wieder das interaktive Element mit der Aufgabenstellung, den Eingabefeldern, dem Button zur Überprüfung der Eingabe und der Möglichkeit, weitere Aufgaben zu erzeugen. Die beiden Schieberegler "Nimm ... weg" können unabhängig voneinander bewegt werden: Linker Schieberegler - Subtraktion einer natürlichen Zahl Wird der linke Schieberegler bewegt, so wird eine natürliche Zahl von der gemischten Zahl subtrahiert und die zugehörigen Darstellungen angepasst. Eine gefüllte Kreisfläche wird ausgeblendet und die symbolische Darstellung aktualisiert. Rechter Schieberegler - Subtraktion eines Bruchteils Wird der rechte der beiden Schieberegler "Nimm ... weg" nach rechts bewegt, wird jeweils ein Bruchteil subtrahiert. Die Subtraktion zweier gemischter Zahlen entsteht. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln so eine tragfähige Grundvorstellung zur Subtraktion gemischter Zahlen. Die Zusammenfassung als Hefteintrag unterscheidet sich nicht von der der ersten Unterrichtsstunde. Dabei steht wieder das bildlich dargestellte Subtrahieren der gemischten Zahl im Vordergrund (ab_hefteintag_2). Als abschließende Lernzielkontrolle bietet es sich wieder an, die Aufgaben ohne Veranschaulichung zu lösen. Zur Hausaufgabenstellung mit Aufgaben auf bildlicher Ebene kann das Arbeitsblatt "ab_hausaufgabe_2" verwendet werden. Anhand von drei weiteren interaktiven Arbeitsblättern können die Schülerinnen und Schüler gemäß ihrer Kenntnissen und Fertigkeiten unterschiedliche Aufgaben bearbeiten oder bei Bedarf noch einmal zu den Veranschaulichungen zurückkehren, um Defizite aufzuarbeiten. Die Rolle der Lehrperson ist hierbei eine beobachtende. Sie kann bei Schwierigkeiten der Lernenden gezielt helfen, da sie von der unmittelbaren Korrektur der Schülereingaben befreit ist. Bei dieser Aufgabe geht es darum, gemischte Zahlen zu subtrahieren (Abb. 5, Platzhalter bitte anklicken). Im Gegensatz zur vorhergehenden Unterrichtsstunde wird nun auf eine Veranschaulichung verzichtet. Zudem werden die Zähler und Nenner größer, die Brüche bleiben aber gleichnamig. Als Anreiz werden für richtig gelöste Aufgaben Punkte vergeben. Die Summen der erreichten Punkte können in einer Bestenliste gespeichert werden. Bei der zweiten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler den fehlenden Subtrahenden einer Subtraktion gemischter Zahlen angeben (Abb. 6). Dies verlangt bereits eine vertiefte Einsicht in die Subtraktion. In der Rückmeldung auf falsche Eingaben erhalten die Lernenden die richtige Lösung angezeigt. Diese kann dann zum Ausgangspunkt einer Reflexion über die fehlerhafte Eingabe werden und die Schülerinnen und Schüler zu Diskussionen anregen. Auch bei dieser Aufgabe bietet die Punktevergabe und -speicherung einen äußeren Anreiz, mehrere Aufgaben dieses Typs zu bearbeiten. Bei der abschließenden Übung besteht die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler darin, den fehlenden Minuenden einer Subtraktion gemischter Zahlen zu ermitteln (Abb. 7). Dabei wird der Zusammenhang von Subtraktion und Addition vertieft, da zur Lösung der jeweiligen Aufgaben zum Differenzwert lediglich der Subtrahend addiert werden muss. Erstmals werden dabei gemischte Zahlen verwendet, deren Nenner sich unterscheiden können. Damit leitet diese Aufgabe zur Subtraktion gemischter Zahlen mit unterschiedlichen Nennern und zur Arbeit im Klassenzimmer über.

Diese Unterrichtseinheit bietet Einsichten in das System der Römischen Zahlen sowie in die Zahlsysteme von fünf weiteren Hochkulturen. Mit dem Einsatz von Prima(r)WebQuests wird darüber hinaus ein Teil zur Medienerziehung geleistet. Nach einer kurzen Einführung in die Methode des WebQuests erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Gruppen je ein Prima(r)WebQuest zum Zahlsystem einer Hochkultur. Die einzelnen Gruppen erhalten Informationen über die Zahldarstellung verschiedener Völker und stoßen dabei auf ganz unterschiedliche Zahldarstellungen und Systeme. Daraus resultierend stellen die Kinder Überlegungen zu unserem Zahlsystem an und erkennen, dass dies ein sehr vorteilhaftes und leistungsfähiges System ist. Die Einsicht in unser Zahlsystem wird somit erweitert. Um die Recherche der Gruppen im Internet zielgerichtet zu gestalten, bietet sich der Einsatz von WebQuests in den Expertengruppen an. Jede Gruppe bearbeitet ein WebQuest zu ihrem Thema. Für den Einsatz in der Grundschule empfehlen wir, WebQuests für die Grundschule: Prima(r)WebQuest zu verwenden. Der Einsatz verschiedener Prima(r)WebQuests zu einem größeren Themengebiet hat den Vorteil, dass doppelte und ähnliche Präsentationen, wie sie oft beim Einsatz eines einzigen Prima(r)WebQuests vorkommen, vermieden werden. Die einzelnen Prima(r)WebQuests zu den Zahldarstellungen verschiedener Völker behandeln alle eine andere Zahldarstellung, sind aber von ihrer Struktur und dem Aufbau her ähnlich und unterscheiden sich nur in der Komplexität der verschiedenen Zahldarstellungen und Systeme. Technische Ausstattung Da die Arbeit in Kleingruppen am sinnvollsten ist, werden auch entsprechend viele Computer benötigt. Ideal wäre daher ein Computerraum mit einer ausreichenden Anzahl von Computern mit Internetzugang, wobei dieser nicht unbedingt nötig ist, da alle Seiten auch offline zur Verfügung gestellt werden können. Als sehr geeignet haben sich Laptops bei der Arbeit mit Prima(r)WebQuests erwiesen, da sie in unmittelbarer Nähe der Plakatgestaltung eingesetzt werden können. Erforderlich ist ein Drucker, damit die Arbeitsblätter und die Arbeitsanweisung sowie der Bewertungsbogen ausgedruckt werden können. Organisatorisches Aus Platzgründen können die Gruppen auf zwei Räume aufgeteilt werden. Idealerweise erhält jede Gruppe für die Arbeit am WebQuest einen Laptop. Eventuell können Gruppen auch mit zwei Computern gleichzeitig arbeiten. Es ist aber darauf zu achten, dass auch diese Gruppen gemeinsam die Arbeit erledigen. Für die Plakatgestaltung und für die bevorstehende Präsentation wird jeweils ein Plakat mit Tipps im Klassenzimmer aufgehängt. Leere Plakate, dicke Filzstifte und buntes Papier werden für die Gruppen bereitgestellt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen mit Abschluss ihres Prima(r)WebQuests, dass die ausgewählten Völker früher die Zahlen auf eine andere Art und Weise dargestellt haben. lernen die Zahldarstellung eines Volkes zu schreiben und zu lesen. lernen ein anderes Stellenwertsystem kennen. erhalten Einblicke in die Zahldarstellung verschiedener Völker und deren Stellenwertsysteme. erhalten einen Überblick über die verschiedenen Systeme. erreichen anhand der jeweiligen Prima(r)WebQuests Fachkompetenz der jeweiligen Prima(r)WebQuests: Ägypter Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand dieses WebQuests ein anderes System zur Darstellung von Zahlen kennen, bei dem für größere Zahlen immer wieder neue Hyroglyphen gebraucht werden. lernen, dass das Zahlensystem der Alten Ägypter auf einem Dezimalsystem basiert, wobei es jedoch keine Hieroglyphe für die Zahl null gibt. Babylonier Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand dieses WebQuests ein anderes Stellenwertsystem kennen, welches Zahlen in 10er und 60er bündelt. lernen, dass bei dem System der Babylonier für größere Zahlen immer mehr Zeichen gebraucht werden. Chinesen Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand dieses WebQuests ein ähnliches Stellenwertsystem kennen. Die chinesischen Zahlen wurden in zwei Gruppen eingeteilt – senkrechte und waagrechte. Wollte man größere Zahlen darstellen, benutzte man ein Stellenwertsystem, in diesem wurden Einer, Hunderter und Zehntausender senkrecht geschrieben. Alle Zahlen bauten auf der Zehn auf. Wurde eine Stelle nicht besetzt, ließen die Chinesen eine Lücke. Heute benutzen die Chinesen, wie wir, die Ziffern null bis neun. Griechen Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand dieses WebQuests ein anderes Stellenwertsystem kennen, bei dem die Einerreihe (Ziffern von eins bis neun) vorhanden ist und dann in eine Zehnerbündelung übergeht. lernen, dass es für jede Zehner- und Hunderterzahl ein neues Zeichen gibt. Maya Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand dieses WebQuests ein anderes Stellenwertsystem kennen, welches bis zur Zahl zwanzig einer alternierenden Fünfer-Vierer-Bündelung folgt. erfahren, dass die Maya auch schon die Zahl null kannten. Römer Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand dieses WebQuests ein anderes Stellenwertsystem kennen, welches einer alternierenden Fünfer-Zweier-Bündelung folgt. lernen, dass bei dem System der Römer für größere Zahlen immer wieder neue Zeichen gebraucht werden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten eine Lerneinheit am Computer und machen dabei Erfahrungen mit dem Prinzip der Verlinkung. lernen das Internet als Informationsquelle kennen. lernen den Computer als Hilfsmittel im Mathematikunterricht kennen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler organisieren sich in der Gruppenarbeit und führen diese produktiv durch. treffen Absprachen bezüglich der Plakatgestaltung und Präsentation in der Gruppe. helfen sich gegenseitig und nehmen Hilfe an. geben qualifizierte Rückmeldungen. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entnehmen Informationen aus Texten. bereiten Informationen zur Präsentation auf. lernen, Arbeitsergebnisse zu präsentieren. Schreiber, Christof (2007): Prima(r)WebQuests – WebQuests für die Grundschule modifiziert, In: Computer und Unterricht, Friedrich Verlag, Heft 67, S. 38 - 40. Schreiber, Christof / Langenhan, Julia (2007): Hausaufgaben mit WebQuest statt "lost in cyberspace", In: Lernende Schule, Friedrich Verlag, Heft 37. Bescherer, Christine (2005): WebQuests – Mathematik im Internet erforschen, In: mathematik lehren, Heft 132, Friedrich Verlag, S. 20-23.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Steigung einer Geraden" wird durch ein an der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler orientierter Zugang und eine differenzierte Übungsumgebung mit interaktiven dynamischen Arbeitsblättern die Grundlage für das Verständnis linearer Funktionen geschaffen. Die Besonderheit der Übungen mit interaktiven dynamischen Arbeitsblättern ist darin zu sehen, dass von Schülerinnen und Schülern erstellte Zeichnungen per Computer analysiert und bewertet werden. Somit muss sich die Lehrkraft nicht mehr mit der unmittelbaren Korrektur der Schülerarbeiten befassen, sondern kann sich in einer differenzierten Unterrichtssituation leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern zuwenden und diesen bei auftretenden Schwierigkeiten helfend und erklärend zur Seite stehen. Alle dynamischen Zeichnungen innerhalb der HTML-Seiten wurden mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, eignet sich diese Software in besonderer Weise, um interaktive dynamische Lernumgebungen zu erstellen. 1. Stunde: Steigung einer Geraden aus Verkehrszeichen entwickeln Schilder, die vor gefährlichen Steigungen im Straßenverkehr warnen, dienen als anschauliches Beispiel, um die Schülerinnen und Schüler an die Thematik heranzuführen. 2. und 3. Stunde: Ursprungsgeraden, deren Steigung und Gleichung Es erfolgt die schrittweise Abstraktion bis hin zur Bestimmung der Gleichung einer Ursprungsgeraden aus den Koordinaten eines gegebenen Punktes ohne veranschaulichende Zeichnung. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Steigung einer Geraden durch das Steigungsdreieck eindeutig festgelegt ist. können die Gleichung von Ursprungsgeraden anhand der Steigung bestimmen. können Ursprungsgeraden nach einer gegebenen Gleichung zeichnen. können die Gleichung von Ursprungsgeraden aus den Koordinaten eines Punktes bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits den Zusammenhang der direkten Proportionalität und deren Darstellung in Form von Tabellen und Graphen wiederholt und den Begriff lineare Funktion kennen gelernt haben. Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet sechs Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Reale Ausgangssituation und mathematische Bezüge "Im Straßenverkehr begegnet man Verkehrsschildern, die eine gefährliche Steigung oder ein gefährliches Gefälle ankündigen." In der Einleitung des ersten dynamischen Arbeitsblatts (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) wird der Bezug zur Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler hergestellt. Anhand eines konkreten Beispiels - ein Verkehrsschild, das die Steigung von 8 Prozent anzeigt - wird der mathematische Zusammenhang erläutert. "Das Schild bedeutet, dass die Straße eine Steigung von 8 Prozent aufweist. Das heißt, sie steigt auf einer Länge von 100 Metern um 8 Meter an." Diesem Text folgt die mathematische Schreibweise des Zusammenhangs: Vertiefung durch weitere Beispiele Im weiteren Unterrichtsverlauf kann nun die Lehrkraft unterschiedliche Verkehrsschilder mit Steigungen und Gefällen von 8 Prozent, 9 Prozent und 12 Prozent verwenden (folienvorlagen_steigungen.pdf). Dazu sollte die Lehrkraft diese Verkehrschilder auf eine Folie drucken. Nun können die Schülerinnen und Schüler jeweils den zugehörigen Zusammenhang und die mathematische Formulierung verbal wiedergeben. Beispiel: Ein Verkehrszeichen zeigt ein gefährliches Gefälle von 12 Prozent. Die Schülerformulierung könnte dann beispielsweise lauten: "Das Schild bedeutet, dass die Straße ein Gefälle von 12 Prozent aufweist. Das heißt, sie fällt auf einer Länge von 100 Metern um 12 Meter." Oder mathematisch ausgedrückt: Verständnis durch Variation Nach der Klärung unterschiedlicher Verkehrsschilder folgt die Bearbeitung von Online-Arbeitsblatt 1. Durch Experimentieren mit dem Funktionsgraphen können die Lernenden den Wert für x in einem Verkehrsschild ermitteln. Die Aufgabe ist wie folgt gestellt: "Im dynamischen Arbeitsblatt ist eine Straße mit x Prozent Gefälle beziehungsweise x Prozent Steigung gezeichnet. Bewege den blauen Punkt und versuche, x zu ermitteln." Dabei ist zu beachten, dass auf den Verkehrsschildern x stets eine positive Zahl ist. Punktestand zur Kontrolle Mit dem Button "Auswertung" können die Schülerinnen und Schüler ihre Eingabe überprüfen, mit dem Button "neue Aufgabe stellen" erstellt ein Zufallsgenerator einen weiteren Straßenverlauf. Die Klasse soll nun die per Zufallsgenerator erstellten Aufgaben lösen und dabei je mindestens 299 Punkte erreichen. Durch Beobachtung kann die Lehrkraft am erreichten Punktestand sehr schnell erkennen, wer noch Hilfe benötigt. So ist es möglich, die Schülerinnen und Schüler gezielt anzusprechen. Anhand des Arbeitsblatts (geradensteigung_ab.pdf) werden die bisherigen Erkenntnisse schriftlich festgehalten und um die mathematische Komponente der Gleichung von Ursprungsgeraden erweitert. Hier ein Beispieleintrag (vergleiche "geradensteigung_lsg.pdf"): Nach der gemeinsamen Besprechung des ersten Beispiels können die weiteren als Lernzielkontrolle eingesetzt und von den Schülerinnen und Schülern in Partnerarbeit behandelt werden. Schülerstatements mit Erklärungen und Zusammenfassungen sowie eine mögliche Korrektur der Schülererklärungen durch die Lehrkraft beschließen diese Unterrichtsphase. Online-Arbeitsblatt 2 (Abb. 2) greift alle im bisherigen Unterrichtsverlauf gemachten Erfahrungen auf und führt sie zusammen. Wieder geht es um Straßenverläufe, Steigung und Gefälle. Nun sind die sechs Verkehrsschilder, die zu Unterrichtsbeginn anhand einer Overhead-Folie analysiert wurden, in das Web-Arbeitsblatt integriert. Im dynamischen GeoGebra-Applet ist ein möglicher Straßenverlauf nachgebildet. Die Aufgabe für die Schülerinnen und Schüler besteht darin, den Straßenverlauf dem jeweiligen Straßenschild zuzuordnen. Mit dem Button "Auswertung" wird die Eingabe überprüft, mit dem Button "neue Aufgabe stellen" entsteht per Zufallsgenerator ein weiterer Straßenverlauf. Ziel sollte es sein, möglichst viele Punkte zu erreichen. Mit diesem Wettbewerb endet die Unterrichtsstunde. Das dritte Online-Arbeitsblatt (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken) dient zur Veranschaulichung der Steigungsdreiecke von Ursprungsgeraden. Durch die Bewegung von Punkten können die Schülerinnen und Schüler verschiedene Steigungsdreiecke und Ursprungsgeraden einstellen. Aus der dynamischen Darstellung lässt sich so ablesen, dass der Quotient stets konstant ist und es für die Berechnung von m Steigungsdreiecke gibt, aus denen der Steigungsfaktor sehr leicht bestimmt werden kann. Bei der Verwendung dieses Arbeitsblatts sind die Lernenden selbst dafür verantwortlich, wie viele unterschiedliche Geraden und Steigungsdreiecke sie zeichnen wollen, um sich den Sachverhalt zu verdeutlichen. Sind sie der Ansicht, den Sachverhalt verstanden zu haben, so können sie sich mit den unterschiedlichen Übungen beschäftigen. Der zeitliche Umfang der im Folgenden eingesetzten drei Online-Arbeitsblätter und des Arbeitsblatts (steigung_funktionsgleichung.pdf) richtet sich nach der individuellen Zusammensetzung der Klasse. Zwei Unterrichtsstunden sind in den meisten Fällen realistisch. Aus dem Online-Arbeitsblatt 4 (Abb. 4) soll die Lerngruppe die Gleichung einer vorgegebenen Ursprungsgeraden ablesen. Dabei bietet das Arbeitsblatt die Möglichkeit, dass sich die Schülerinnen und Schüler zur Bearbeitung der Aufgabe ein günstiges Steigungsdreieck einzeichnen und so die Gleichung der Ursprungsgeraden bestimmen können. Mit "Gleichung prüfen" wird die Schülereingabe kontrolliert, mit "Neue Aufgabe" werden weitere Aufgaben gestellt. Dabei können leistungsstärkere Klassenmitglieder angehalten werden, die Gleichung der Ursprungsgeraden anzugeben, ohne sich ein Steigungsdreieck zu zeichnen, während andere weiterhin diese Veranschaulichung benutzen. Mithilfe eines Punktes, dessen Koordinaten in Echtzeit angezeigt werden, soll im Online-Arbeitsblatt 5 (Abb. 5) eine Ursprungsgerade gezeichnet werden, deren Gleichung gegeben ist. Die Schülerinnen und Schüler erhalten stets eine Rückmeldung bezüglich ihrer gezeichneten Geraden und können sich bei Bedarf sogar die Lösung einzeichnen lassen. Deshalb eignet sich dieses Arbeitsblatt sehr gut für einen individualisierten Unterricht. Die Lehrkraft greift nur dann ein, wenn die Lernenden mit den Rückmeldungen nicht zurechtkommen. Die Lehrkraft wird damit zu einem Moderator im Lernprozess. Die Möglichkeit, eigenständig Wissen zu erwerben und auch anwenden zu können, steigert dabei in hohem Maße die Eigenverantwortlichkeit der Schülerinnen und Schüler. In Online-Arbeitsblatt 6 (Abb. 6) besteht die Aufgabe darin, die Gleichung einer Ursprungsgeraden anzugeben, von der nur die Koordinaten eines Punktes gegeben sind. Zur Veranschaulichung wird dieser Punkt aber noch in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich anhand der Lage des Punktes ein Steigungsdreieck vorstellen. Diese Übung leitet damit den Abstraktionsprozess ein, durch den später Gleichungen von Ursprungsgeraden ohne konkrete Zeichnung rechnerisch bestimmt werden sollen. Nach der Eingabe der Gleichung und der Betätigung des Buttons "Gleichung prüfen" werden die Berechnung der Gleichung der Ursprungsgeraden und die Gerade selbst eingeblendet. Dies soll den Lernenden den Bearbeitungsweg und die Lösung der Aufgabe verdeutlichen. Die flexible und informative Rückmeldung eröffnet dabei auch die Möglichkeit einer eigenständigen Fehleranalyse. Motivation durch Wettbewerbssituation Die Vergabe von Punkten bei allen Übungen und die damit verbundene Wettbewerbssituation führt zu einer zusätzlichen Motivation. Das so erzeugte spielerische Element innerhalb der mathematischen Übungen ist eines der wesentlichen Merkmale aller zur Lernumgebung gehörenden Aufgaben. Man kann im Unterricht immer wieder beobachten, dass sich Schülerinnen und Schüler bei Wettbewerben in einem Maße engagieren, wie dies im herkömmlichen Unterricht nicht der Fall ist. Vom Belehren und Korrigieren zur Kooperation - die neue Lehrerrolle Für jede gelöste Aufgabe gibt es 15 Punkte. Die Anzeige des Punktestandes und der Aufgabenzahl ermöglicht es der beobachtenden Lehrkraft, die jeweiligen Schülerleistungen schnell einzuschätzen. So ist es möglich, Klassenmitglieder gezielt zu loben, aber auch leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern individuell zu helfen. Die Lehrkraft tritt somit aus der belehrenden, korrigierenden Rolle heraus - dies übernimmt der Computer - und übernimmt eine moderierende, unterstützende und kooperative Rolle. Abschließend kann eine Leistungserhebung durchgeführt werden (geradensteigung_test.pdf), bei der die Inhalte der vorangegangenen drei Übungen abgefragt und die Leistungen der Schülerinnen und Schüler überprüft werden. Dieser Test kann aber auch als Hausaufgabe gegeben oder in Form einer Partnerarbeit im Anschluss an die Online-Arbeitsblätter bearbeitet werden. So mündet die Arbeit am Computer wieder in die herkömmliche Unterrichtsarbeit im Klassenzimmer.