Idempotente Zahlen

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II
  • 4-8 Unterrichtsstunden
  • Arbeitsblatt interaktiv, Arbeitsblatt, Software

Bei der Suche nach idempotenten Zahlen werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge entdeckt.

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler ab der 9. Jahrgangsstufe gedacht, die bereits Erfahrungen mit Tabellenkalkulation, CAS oder gar selbst geschriebenen Programmen besitzen und bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Suche nach so genannten idempotenten Zahlen, also nach Zahlen, deren Ziffernfolge bei all ihren Potenzen am Ende auftritt, wie zum Beispiel bei der 5 oder der 25. Das Problem wird sowohl praktisch (Programmierung, zum Beispiel mit Excel, Pascal und Maple) als auch theoretisch angegangen. Dabei werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge, wie etwa der Chinesische Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten, entdeckt.

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Programm schreiben und optimieren, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Natürlich bietet es sich auch an, die selbst entwickelten Programme zu testen und zu vergleichen ("Welches ist am schnellsten?"). Die abschließenden Aufgaben (Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen) sind bewusst offen gehalten und sollen die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas selbstständig zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit dem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Das Thema bietet sich eventuell auch für eine Facharbeit an.

Unterrichtsmaterial "Idempotente Zahlen" zum Download

Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • einfache zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen.
  • Fragestellungen mittels Tabellenkalkulationen, CAS und selbst geschriebenen Computerprogrammen bearbeiten.
  • Modulo-Rechnen und den Chinesischen Restsatz kennen lernen.
  • die Primfaktorzerlegungen wiederholen und durch Computerprogramme ausrechnen lassen.
  • weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaIdempotente Zahlen
AutorDr. Christian Groß
FachMathematik
Zielgruppebegabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 9, Mathematik-AG
Zeitraum4-8 Stunden
Technische Voraussetzungenmöglichst ein Computer pro Person
SoftwareCAS (Maple), Tabellenkalkulation (Excel), Programmierumgebung (zum Beispiel Pascal)

Literatur

  • Groß, Christian

    Idempotente (automorphe) Zahlen in q-Stellenwertsystemen, Mathematische Semesterberichte 52 (2005), Seite 127-151

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