Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden.
Rechnen in Restklassen
Unterrichtseinheit
In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle.
- Mathematik
- Sekundarstufe I
- 7 Zeitstunden
- Arbeitsblatt interaktiv, Arbeitsblatt, Lernkontrolle
- 6 Arbeitsmaterialien
Beschreibung der Unterrichtseinheit
Didaktisch-methodischer Kommentar
In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt.
- Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien
Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion.
Unterrichtsmaterial "Rechnen in Restklassen" zum Download (PDF-Dateien)
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-01.pdf
Dieses Arbeitsblatt dient zur Einführung in die Restklassen.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02.pdf
Dieses Arbeitsblatt enthält Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02-schuelerbeitraege.pdf
Die erwarteten Schülerbeiträge zu Arbeitsblatt 2 sind in diesem Dokument zu finden.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03.pdf
Dieses Arbeitsblatt behandelt die Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen sowie die phi-Funktion.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03-beobachtungen.pdf
Dieses Arbeitsblatt enthält Beobachtungen und Beweise zu Arbeitsblatt 3.
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Unterrichtsmaterial "Rechnen in Restklassen" zum Download (Word-Dateien)
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-01.docx
Dieses Arbeitsblatt dient zur Einführung in die Restklassen.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02.docx
Dieses Arbeitsblatt enthält Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02-schuelerbeitraege.docx
Die erwarteten Schülerbeiträge zu Arbeitsblatt 2 sind in diesem Dokument zu finden.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03.docx
Dieses Arbeitsblatt behandelt die Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen sowie die phi-Funktion.
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rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03-beobachtungen.docx
Dieses Arbeitsblatt enthält Beobachtungen und Beweise zu Arbeitsblatt 3.
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rechnen-in-restklassen-produkte.xlsx
Die programmierte Excel-Datei dient zur Erzeugung und Einfärbung von Multiplikationstafeln modulo n (bis 36).
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Alle Materialien
Alle Arbeitsmaterialien der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" können mit diesem ZIP-Ordner heruntergeladen werden.
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Vermittelte Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler
- kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an.
- stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich.
- beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal.
- entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise.
- erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal.
- lösen lineare Kongruenzen.
- bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n.
