Rechnen in Restklassen

In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle.

Mathematik
Sekundarstufe I
7 Zeitstunden
Arbeitsblatt interaktiv, Arbeitsblatt, Lernkontrolle
6 Arbeitsmaterialien

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden.

Didaktisch-methodischer Kommentar

In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt.

Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien
Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion.

Unterrichtsmaterial "Rechnen in Restklassen" zum Download (PDF-Dateien)

rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-01.pdf

Dieses Arbeitsblatt dient zur Einführung in die Restklassen.

Vorschau
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02.pdf

Dieses Arbeitsblatt enthält Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien.

Vorschau
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02-schuelerbeitraege.pdf

Die erwarteten Schülerbeiträge zu Arbeitsblatt 2 sind in diesem Dokument zu finden.

Vorschau
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03.pdf

Dieses Arbeitsblatt behandelt die Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen sowie die phi-Funktion.

Vorschau
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03-beobachtungen.pdf

Dieses Arbeitsblatt enthält Beobachtungen und Beweise zu Arbeitsblatt 3.

Vorschau

Unterrichtsmaterial "Rechnen in Restklassen" zum Download (Word-Dateien)

rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-01.docx

Dieses Arbeitsblatt dient zur Einführung in die Restklassen.
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02.docx

Dieses Arbeitsblatt enthält Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien.
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-02-schuelerbeitraege.docx

Die erwarteten Schülerbeiträge zu Arbeitsblatt 2 sind in diesem Dokument zu finden.
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03.docx

Dieses Arbeitsblatt behandelt die Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen sowie die phi-Funktion.
rechnen-in-restklassen-arbeitsblatt-03-beobachtungen.docx

Dieses Arbeitsblatt enthält Beobachtungen und Beweise zu Arbeitsblatt 3.
rechnen-in-restklassen-produkte.xlsx

Die programmierte Excel-Datei dient zur Erzeugung und Einfärbung von Multiplikationstafeln modulo n (bis 36).
Alle Materialien

Alle Arbeitsmaterialien der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" können mit diesem ZIP-Ordner heruntergeladen werden.

Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler

kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an.
stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich.
beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal.
entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise.
erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal.
lösen lineare Kongruenzen.
bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n.