Mathematik: Unterrichtsmaterial für die Sekundarstufen

Dieses magische Quadrat des Künstlers Eugen Jost hat es in sich: die Zahlen 1 bis 49 sind teilweise etwas verschlüsselt und symbolhaft dargestellt. Mit dem beigefügten kleinen Programm wird daraus eine nette Knobelei, die man auf Zeit spielt.Das Magische Quadrat ist Teil des Kalenders des Künstlers Eugen Jost, der zum Jahr der Mathematik erschienen ist und ein Dutzend bedeutsamer Themen der Mathematik aufgreift. In ästhetisch ansprechender Form wird hier die Kunst mit der Mathematik verbunden. Das hier dargestellte Dezember-Blatt ist als kleines elektronisches Ratespiel für den PC aufbereitet. Hierzu müssen die natürlichen Zahlen erraten werden, die hinter den Symbolen jeder Einzelzelle verborgen sind. Dazu tippt man die Lösungen in ein Eingabefeld. Ob die Eingabe richtig oder falsch ist, erfahren die Schülerinnen und Schüler auch durch akustische Signale. Für zusätzliche Spannung sorgt eine eingeblendete Stoppuhr. Auf die Plätze, fertig, los - die Zeit läuft!Das Programm ist im Grunde altersstufenunabhängig. Es ist ab der Klasse 5 einsetzbar, kann aber ebensogut auch bei älteren Schülerinnen und Schülen genutzt werden. Nutzung und Anpassung des magischen Quadrates Hier finden Sie Erläuterungen zur Funktionsweise des Programms sowie zur Möglichkeit der Darstellung eigener magischer Quadrate. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich magischen Quadraten auf spielerische Weise nähern. die grundsätzlichen Eigenschaften magischer Quadrate kennen lernen. Thema Magisches Quadrat digital Autoren Elfi Petterich Fach Mathematik, auch für Vertretungsstunden geeignet Zielgruppe ab Klasse 5 (für alle Klassenstufen als spielerische Ergänzung zu magischen Quadraten) Zeitraum weniger als 1 Stunde Technik Computerarbeitsplätze zur Nutzung des Computermoduls, Lautsprecher müssen aktiviert sein. Ein magisches Quadrat wird durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert: Die Summen der Elemente aus jeder Zeile sind gleich. Die Summen der Elemente aus jeder Spalte ergeben dieselbe Zahl. Die Summen in jeder der beiden Diagonalen ergeben ebenfalls diese Zahl. Nutzung des Programms Mit dem ausführenden Programm "Kalender.exe" öffnet sich das magische Quadrat von Eugen Jost. Die einzelnen Zellen können mit der Maus angeklickt werden, so dass sich ein Eingabefeld öffnet, in das ein Codewort eingetippt werden kann. Ziel ist es, herauszufinden, welche Zahl hinter den Zeichen und Symbolen jeder Zelle steckt. Bei richtiger Eingabe erscheint ein Bild mit der entsprechenden natürlichen Zahl, und es ertönt ein bestätigendes Signal. Bei falscher Eingabe bleibt das ursprüngliche Bild bestehen und es erfolgt eine entsprechende Tonsequenz. Eine Stoppuhr beginnt beim ersten Klick zu laufen und endet mit der letzten richtigen Eingabe. Außerdem wird die Anzahl der richtigen sowie falschen Eingaben angezeigt. Im Bedienfeld auf der linken Seite stehen die drei Buttons der Reihe nach für: Das Laden einer anderen Datei ("Laden") Startzustand wieder herstellen ("Neu") Adjustieren der Fenstergröße ("Größe", falls sie versehentlich verändert wurde) Mit dem Programm kann nicht nur Eugen Josts Quadrat angezeigt werden. Auch selbst erzeugte magische Quadrate lassen sich so visualisieren. Sie können unterschiedlich große Rechtecke und Quadrate mit verschiedenen Bildern erzeugen. Um das magische Quadrat zu modifizieren, muss man die Datei "default.cal" mithilfe eines Texteditors (zum Beispiel Notepad) umschreiben und unter neuem Namen speichern. Die "default.cal" Datei ist folgendermaßen aufgebaut: Die erste Zeile besteht aus Zeilenzahl und Spaltenzahl des Quadrats (in diesem Beispiel 7,7). Jede weitere Zeile beschreibt eine einzelne Zelle und ist nach folgendem Schema aufgebaut: bild1, bild2, sound1, sound2, lösung. "bild1" entspricht dem Pfad zur Bilddatei1 (wird zu Beginn angezeigt) "bild2" entspricht dem Pfad zur Bilddatei2 (erscheint nach richtiger Antwort) "sound1" ertönt, wenn die Antwort richtig ist "sound2" ertönt, wenn die Antwort falsch ist "lösung" gibt den Text (oder die Zahl) an, die die Benutzerin oder der Benutzer für die richtige Antwort eintippen muss. Das Programmm wurde in C++ mit Hilfe der Open Source Bibliothek QT erstellt. Zu beachten ist, dass JPEG-Dateien (.jpg) nicht richtig geladen werden können. Bitmap-Dateien (.bmp) oder PNG-Dateinen (.png) sind mit dem Programm kompatibel. Für die Sounds müssen WAVE-Dateien (.wav) verwendet werden.

Mithilfe von Fotografien des Mondes werden über die beobachteten Schattenlängen die Höhen von Kraterwänden und Mondbergen berechnet. Mit der Ausstattung der Schulsternwarte (Cassegrain Spiegelteleskop, Camcorder) und der Software RegiStax und iMerge (beide kostenfrei) wurde ein detailreiches Bild der Mondoberfläche erstellt. Eine Bildbearbeitungssoftware (hier Adobe Photoshop) wurde genutzt, um daraus eine farbige Darstellung der Mondoberfläche zu erzeugen, die die Verteilung verschiedener Gesteinstypen erkennen lässt. Aus den Schattenlängen auf der Oberfläche und den Positionsdaten von Sonne, Erde und Mond zum Zeitpunkt der Aufnahmen wurden die Höhen von Kraterwänden und Zentralgebirgen bestimmt. Von dem Krater Theophilus wurde zudem - basierend auf den berechneten Daten und Fotos - ein dreidimensionales Modell gebaut. Zum mathematischen Rüstzeug für das Projekt gehören Kenntnisse aus dem Bereich der Trigonometrie und das Rechnen mit Zehnerpotenzen. Hintergrundinformationen, Software, Materialien und Ergebnisse Der Mond als Beobachtungsobjekt Unser Nachbar ist aus vielerlei Gründen ein dankbares Objekt für astronomische Streifzüge. Einsatz von RegiStax, iMerge und Photoshop Aus den Einzelbildern eines Films wird ein hoch auflösendes und farbiges Mondbild erzeugt. Daten, Berechnungen, Ergebnisse Fotos und Berechnungen dienen als Grundlage eines 3D-Kratermodells. Arbeitschritte und Zeitaufwand Das hier vorgestellte Projekt wurde von zwei Schülern mit Unterstützung der Lehrkraft im Rahmen des Freifachs Astronomie am Grazer Kepler-Gymnasium durchgeführt und mit dem Förderpreis der Kepler Gesellschaft ausgezeichnet (2006, zweiter Platz). Der Zeitaufwand für die einzelnen Arbeitsschritte: Aufnahme der Mondbilder Für die Videoaufnahmen der Mondes (in unserm Fall 91 Ausschnitte der Oberfläche) benötigt man als erfahrener Astrofotograf etwa fünf Stunden. Alle Aufnahmen müssen unbedingt an einem Abend gemacht werden! Bearbeitung der Einzelvideos Für die Bearbeitung der Mondbilder aus einem Einzelvideo mit RegiStax sind etwa 30 Minuten zu veranschlagen. In unserem Projekt (91 Einzelvideos) betrug der Gesamtzeitaufwand für diesen Arbeitsschritt somit etwa 45 bis 46 Stunden. Montage der Einzelbilder Für das Zusammenfügen der 91 Einzelbilder zum Gesamtbild des Mondes mit iMerge und der Bildnachbearbeitung benötigen wir acht bis neun Stunden. Messungen und Berechnungen Die für die Berechnungen notwendige Erarbeitung der Theorie nahm uns über einige Wochen in Anspruch. Mithilfe der von uns verfassten detaillierten Dokumentation sollten vier Stunden für die Berechnungen der Daten eines Kraters ausreichen. Modellierung des Kratermodells Die Modellierung und Bemalung des Modells nimmt etwa zwei Stunden in Anspruch. Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe geeigneter Bildbearbeitungssoftware aus Videosequenzen ein hoch auflösendes Bild der Mondoberfläche erzeugen. aus Schattenlängen und den Positionsdaten der Himmelskörper die Höhe von Kraterwänden bestimmen und ein maßstabsgetreues Kratermodell bauen. Thema Höhenberechnung von Kraterwänden des Mondes Autoren Florian Mikulik, Florian Andritsch Fach Astronomie, Mathematik Zielgruppe Astronomie-AGs, Schülerinnen und Schüler ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum Das Projekt wurde über einen Zeitraum von drei Monaten durchgeführt (Zeitaufwand für die einzelnen Arbeitsschritte siehe unten). Technische Voraussetzungen Teleskop (hier Cassegrain Spiegelteleskop, Öffnung 12,5 Zoll/32 Zentimeter, Brennweite 476 Zentimeter), Camcorder oder Webcam mit Adapter; Software: RegiStax , Bildbearbeitungsprogramm (hier Adobe Photoshop), Astronomiesoftware (GUIDE 8.0 oder als kostenfreie Alternative Virtual Moon Atlas ). Florian Andritsch hat als Schüler mehrfach an nationalen und internationalen Physik- und Mathematik-Wettbewerben teilgenommen. Zurzeit studiert er Physik und Mathematik an der ETH-Zürich. Sein Hauptinteresse gilt dabei der Relativitätstheorie und der Kosmologie. Bernd Lackner ist Lehrer für Physik und Mathemathik am Grazer Kepler-Gymnasium und hat das hier vorgestellte Projekt im Rahmen des Freifachs Astronomie betreut. Aufgrund seiner geringen Entfernung zur Erde kann man sich bereits mit "leichtem Gerät" wie einem Fernglas oder einem kleinen Teleskop ein Bild von Kratern und Gebirgen sowie den großen "Meeren" verschaffen. Da der Mond ein sehr helles Objekt ist, können bei seiner Beobachtung hohe Vergrößerungen genutzt werden. Die Lichtverschmutzung macht sich wegen der Helligkeit des Objektes nicht bemerkbar, so dass der Mond auch in Städten gut zu beobachten ist. Gegenüber vielen weiteren Himmelsobjekten hat der Erdtrabant zudem den großen Vorteil, dass er das ganze Jahr über zu sehen ist - Neumondnächte ausgenommen. Eine Beobachtung um die Zeit des Vollmondes ist nicht zu empfehlen. Da die Sonne dann in fast rechtem Winkel auf die Oberfläche trifft, sind die Schatten sehr kurz und selbst markante Strukturen wirken flach. Schöne Beobachtungen kann man an der Licht-Schattengrenze machen, da hier die von den Formationen geworfenen Schatten sehr lang sind und der Oberfläche ein eindrucksvolles Profil verleihen. Mit einem größeren Teleskop und der Möglichkeit zur Astrofotografie gelingen Aufnahmen der Mondoberfläche, auf denen Details wie kleine Rillen oder Gebirgsketten sehr gut zu erkennen sind. Wir verwendeten für unsere Aufnahmen das Cassegrain Spiegelteleskop der Schulsternwarte (Öffnung 12,5 Zoll/32 Zentimeter, Brennweite 476 Zentimeter). Die Videosequenzen wurden mit einem Camcorder aufgenommen (Abb. 1). Prinzipiell kann auch eine handelsübliche Webcam mit Adapter verwendet werden. Luftunruhen können die Bildschärfe deutlich reduzieren. Dieser Effekt lässt sich durch bildtechnische Verfahren ausschalten: Man filmt einen Teil der Mondoberfläche und legt die Einzelbilder der Sequenz mithilfe eines Computerprogramms übereinander ("Stapeln" von Bildern). Entsprechende Software, wie zum Beispiel RegiStax, erzeugt aus den vielen Bildern dann ein scharfes Endergebnis. Zuerst werden die Bitmap-Sequenzen (BMP) geöffnet. Dann wird eine möglichst kontrastreiche Formation gewählt, wobei die Auswahlfelder "Color" und "LRGB" sowie "FFT" und "Graph" aktiviert sind. Die "Processing-Area" wird dimensioniert (in unserem Fall auf 1.024 Pixel). Die Größe der "Alignmentbox" (64 Pixel) und die "Lowest Quality" (50 Prozent) werden festgelegt. Anschließend werden die Funktionen "Align" und "Limit" ausgeführt. Um ein optimales Bild zu erhalten, wird einen "Reference Frame" erzeugt, wobei jedes Mal fünf Bilder berücksichtigt werden. Dann wird die Funktion "Continue" ausgeführt und die "Search Area" eingestellt (vier Pixel). Nun wird der Arbeitsschritt "Optimize" eingeleitet. Dieser nimmt etwas Zeit in Anspruch. Danach wird in der oberen Menüleiste die Kategorie "Stack" gewählt. An den Feineinstellungen nehmen wir an dieser Stelle keine Veränderungen vor. Jetzt wird das Endergebnis abgewartet. Wir wechseln in die Menüauswahl "Wavelet" und können das fertige Bild betrachten. Um noch weitere Details hervorzulocken, werden wir die Schieberegler der ersten beiden Filter verstellt (in unserem Fall auf 4,0 für den 1:1-Filter und 2,0 für den der 1:2-Filter). Nun ist das Bild fertig und wird per "Save Image" gespeichert. Bildränder wegschneiden - "Feathering" Da die Bilder aus RegiStax einen ungenauen Bildrand haben, kann man diesen mit der Funktion "Feathering" wegschneiden. Unter dem Menüpunkt "View/Settings" werden dazu "Feather margin" und "Feather trim" eingestellt (bei unseren Bildern liegt der "Feather margin"-Wert bei 170 und der "Feather trim"-Wert bei 13). "Autobrighten" und "Monochrome" Ist die Funktion "Autobrighten" aktiviert, werden die Bilder, die man übereinander legt, automatisch in ihrer Helligkeit korrigiert. In unserem Fall ist Autobrighten jedoch deaktiviert, da - bedingt durch die Aufnahmetechnik und das Aufnahmeobjekt - die Helligkeit der Bilder bereits korrekt ist. Eine automatische Helligkeitskorrektur würde zudem den dunkleren Terminator (die Licht-Schattengrenze) der Helligkeit der restlichen Mondoberfläche angleichen. Ist "Monochrome" aktiviert, wird das Bild in Graustufen gespeichert. Bei unserem Bild ist diese Einstellung im Prinzip bedeutungslos, weil der Mond im Wesentlichen nur grau ist. Um die schwachen Farbinformationen später jedoch verstärken und so ein farbiges Bild erzeugen zu können, das die Verteilung verschiedener Gesteinsarten auf der Mondoberfläche erkennen lässt, muss das Bild im Farbmodus gespeichert werden. Allgemeine Hinweise Fotos von der Mondoberfläche enthalten schwache Farbinformationen - von Blau über Grün und Gelb bis hin zu Rot kann man nahezu alle Farben finden. Diese Informationen können für die Darstellung der Verteilung verschiedener Gesteinsarten an der Mondoberfläche genutzt werden. Um diese Informationen "herauszukitzeln" haben wird die Farbsättigung des Mondbildes mit der Software Adobe Photoshop erhöht und leichte Änderungen an der Farbbalance vorgenommen. Da das Bild durch diese Manipulationen an Schärfe verliert, ist es notwendig, über das farbige Ergebnis noch einmal das Originalbild zu legen. So werden die Kontrastwerte des Originals mit den Farbwerten des bearbeiteten Bildes kombiniert und man erhält einen ungewohnt farbenfrohen Mond, der einen guten Überblick über die verschiedenen Bodengesteine und ihre Formationen bietet (Abb. 4, zur Vergrößerung anklicken). Blaue Gebiete sind sehr titanhaltig, während orange und violette Farben auf Gesteine hinweisen, die relativ arm an Titan und Eisen sind. Die zum gewünschten Ergebnis führende Vorgehensweise hängt sehr stark von dem für die Aufnahmen verwendeten Teleskop ab. Zur Einstellung der optimalen Farbsättigung und Farbbalance muss man mit den Werten etwas experimentieren. Die Bildbearbeitung erfolgt in drei Schritten: Bearbeiten des Tonwert-Histogramms Anpassen der Farbsättigung Veränderung der Farbbalance Beispiel Theophilus Die für die Berechnungen erforderlichen Daten zu den Positionen von Erde, Mond und Sonne zum Zeitpunkt der Aufnahmen wurden dem Programm "Guide 8.0" entnommen. Eine kostenfreie Alternative bietet der "Virtual Moon Atlas" (siehe Links und Literatur zum Thema ). Erläuterungen und Grafiken zu den Rechenwegen sowie sämtliche Ergebnisse finden Sie in der Datei "mondberge.pdf". Hier ein Beispiel: Die Höhe der Wand des Kraters Theophilus (Abb. 5), vom Kraterboden aus gemessen, wurde mit 4.483 Metern berechnet (beobachtete Schattenlänge: 28.413 Meter). Für die Höhe des Zentralgebirges bestimmten wir einen Wert von 1950 Metern (Schattenlänge: 14.400 Meter). Unsere Ergebnisse stimmen mit den Literaturwerten überein: So liegen die Angaben für die Höhe des Kraters Theophilus in verschiedenen Quellen zwischen 4.300 bis 4.500 Metern (Mondatlas, Antonin Rükl, Dausien Verlag; Virtual Moon Atlas). Um nicht bei jedem Krater die komplette Rechenoperationen auf dem "Fußweg" durchführen zu müssen, haben wir eine Excel-Tabelle erstellt (mondberge.xls), in die wir unsere Daten nur noch eintragen mussten, um verschiedene Formationen berechnen zulassen (Abb. 6, Platzhalter bitte anklicken). Die Erstellung der Tabelle beanspruchte viel Zeit, weil lange Formeln schnell unübersichtlich werden können und es dann sehr schwierig ist, Fehler zu finden und auszubessern. Erschwerend kam noch hinzu, dass Excel den Sinus eines Winkels nicht direkt berechnen kann, sondern der Winkel zuerst in den Radiant umgewandelt werden muss. Später erkannten wir, dass Excel eine Funktion zum Umwandeln von Winkel in Bogenmaß zur Verfügung stellt, was uns die Erstellung der Tabelle erheblich erleichterte [BOGENMASS(?)]. 3D-Modell des Theophilus Unsere Daten nutzten wir als Grundlage für die Erstellung eines maßstabsgetreuen Modells des Kraters Theophilus, um so die Proportionen von Kraterwänden, Zentralberg und Kraterdurchmesser erlebbar zu machen (Abb. 7). Mithilfe einer handelsüblichen Modelliermasse formten wir zuerst einen kreisförmigen Block und ritzten in diesen mit einem Holzstäbchen die Umrisse des Kraters ein. Theophilus hat einen Durchmesser von etwa 100 Kilometern, das Modell einen Durchmesser von 15 Zentimetern. Somit entsprechen der Höhe der Kraterwände von etwa vier Kilometern in unserem Modell etwa sechs Millimeter. Nun entfernten wir aus der Mitte des Blocks die überflüssige Masse und bildeten so die Kraterwände. Abschließend wurde noch das Zentralgebirge geformt und platziert. Um eine originalgetreue Färbung zu erzielen wurde der Krater mit Wasserfarbe bemalt. Schattenwirkungen am Modell Das Modell ermöglichte uns die Simulation verschiedener Mondphasen am Krater. Dazu wurde es auf ein höhenverstellbares Stativ platziert, so dass der Krater stufenlos in andere Positionen gebracht werden konnte. Als Lichtquelle verwendeten wir eine Kohleelektroden-Lampe, die einen recht punktförmigen Lichtbogen und somit einen scharfen Schatten erzeugt. Besonders beeindruckend ist der Moment, in dem fast der ganze Krater im Schatten liegt und nur die Spitze des Zentralgebirges angestrahlt wird (Abb. 8, oben). Außerdem haben wir das Modell aus einer Position fotografiert, aus der man den Krater betrachten könnte, wenn man auf seinem Rand stehen oder mit einem Raumschiff knapp darüber hinweg fliegen würde (Abb. 8, unten). J. W. Ekrutt Höhenmessung auf der Mondoberfläche, Sterne und Weltraum 1968 (10), Seiten 259-260

Sind bei den Feuerbachpunkten und den Eulerpunkten auf und in einem beliebigen Dreieck mathematische Gesetzmäßigkeiten zu entdecken? Welche sind es? Welche Systematik lässt sich herauslesen? Haben die Vermutungen und Entdeckungen mathematischen Bestand? Der Blick auf die Feuerbachpunkte, die auf und in einem beliebigen Dreieck liegen, führt zu vertiefenden durch Entdeckung gewonnenen geometrischen Vermutungen und Erkenntnissen, die durch die Behandlung von drei verschiedenen Beweistypen, abbildungsgeometrisch, kinematisch und ?elementar?, begründet werden können. Es bietet sich an, diese mit einer dynamischen Geometriesoftware, hier GeoGebra, nachzukonstruieren und zu beweisen. Das Konzept lässt sich aber auch ohne den Einsatz Dynamischer Mathematiksoftware durchführen. Behandlung des Feuerbachkreises Den Feuerbachkreis kann man im Unterricht auf unterschiedliche Art behandeln: Der Feuerbachkreis eines Dreiecks berührt seine drei Ankreise und seinen Innenkreis. Der Feuerbachkreis kann als geometrischer Ort definiert werden. Der Zusammenhang des durch die Feuerbachpunkte belegten Feuerbachkreises mit einem Dreieck und seinem Umkreis können untersucht werden. Formulierung und Beweis des Feuerbachsatzes Die zweite und dritte Alternative werden hier vorgestellt. Durch die Vorgabe der Feuerbachpunkte und der Eulerpunkte eines Dreiecks mit seinem Umkreis (Datei: "feuerbach-Euler-Punkte.ggb") wird eine offene Situation geschaffen, in der überraschende Entdeckungen gemacht und vielseitige Vermutungen aufgestellt werden können. Möglich - aber nicht erforderlich - ist es, die Eulerpunkte vorher behandelt zu haben. Die Vermutungen und Entdeckungen führen auf die Formulierung des Feuerbachsatzes, den es zu beweisen gilt. Je nach den Ideen der Schülerinnen und Schüler führt dies zu einem abbildungsgeometrischen, kinematischen und / oder "elementaren" Beweis. Das soll offen gelassen werden. Man kann sich mit der Behandlung eines Beweistyps begnügen. Bei unterschiedlichen Beweisansätzen der Lernenden können sich auch Schülergruppen bilden, die jeweils einen Beweistyp weiter verfolgen, erarbeiten und vorführen. Das Projekt wurde mit begabten Schülerinnen und Schülern in Jahrgangsstufe 8/9 erfolgreich durchgeführt und bei der MNU-Tagung in Köln 2008 von den Lernenden vorgestellt. Hinweis zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Unterrichtseinheit besteht aus drei Teilen: 1. Entdeckung an den Feuerbachpunkten und Formulierung des Satzes über den Feuerbachkreis, 2. Vorbereitung der Beweise, 3. Beweis des Satzes über den Feuerbachkreis. Die Schülerinnen und Schüler sollen Muster und Beziehungen bei den Feuerbachpunkten untersuchen und Vermutungen aufstellen (Lage auf einem Kreis, mathematische Eigenschaften der Punkte). geeignete Werkzeuge zum Erkunden und zur Festigung ihrer Vermutungen wählen (Bleistift und Papier, Dynamische Geometriesoftware). jeweils gleiche Probleme (Höhenfußpunkte, Seitenmitten und Höhenabschnitte) in Teilprobleme zerlegen. aus der Lage der Feuerbachpunkte ihre geometrischen Eigenschaften im Zusammenhang von Vielecken (Dreiecken, Vierecken) und Kreisen (Umkreis, Feuerbachkreis) erkennen (unter anderem elementare geometrische Eigenschaften, Ähnlichkeitsbeziehungen, geometrischer Ort) und diese im Rahmen des Problemlösens zur Begründung der Sachzusammenhänge nutzen. Lösungsansätze vergleichen und bewerten und bei gleichen Lösungsansätzen Beweise in Gruppenarbeit entwickeln (abbildungsgeometrisch, elementar, kinematisch). Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen in kurzen vorbereiteten Beiträgen präsentieren. Thema Mathematische Zusammenhänge an den Feuerbachpunkten entdecken Autor Wolfgang Piechatzek Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8-9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG Zeitraum 6-8 Zeitstunden Technische Voraussetzungen Je ein Computer für 1-2 Lernende, es reicht auch ein Präsentationsrechner mit Beameranschluss; gegebenenfalls Dynamische Geometriesoftware ( GeoGebra , kostenfrei) Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Stunden) sollen die Schülerinnen und Schüler (gegebenenfalls mithilfe einer Dynamischen Geometriesoftware, hier GeoGebra) die Gesetzmäßigkeiten der Lage der Feuerbachpunkte und der Eulerpunkte (Abb. 1) entdecken und formulieren. Die neun Feuerbachpunkte liegen vermutlich auf einem Kreis, dem Feuerbachkreis. Jeweils drei Punkte haben die gleiche Eigenschaft: Drei Punkte liegen auf den Seitenmitten. Drei Punkte liegen auf den Höhenfußpunkten. Drei Punkte liegen auf den Mitten zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks. Damit lässt sich die Aussage des Satzes von Feuerbach formulieren. Abb. 1a (Screenshot der GeoGebra-Datei "feuerbach_euler_punkte.ggb") zeigt alle Feuerbachpunkte und die Punkte zur Eulergeraden, wie sie den Schülerinnen und Schülern vorgelegt wird. Außerdem gibt es noch vier Punkte, die auf einer Geraden liegen, der Eulergeraden (Abb. 1b, Screenshot der GeoGebra-Datei "euler_gerade.ggb"). Suche nach Beweisansätze in Arbeitsgruppen Im zweiten Teil der Unterrichtsreihe (eine Stunde) wird nach Beweisansätzen gesucht. Die Klassifizierung der Punkte (Seitenmitten, Höhenfußpunkte, Punkte auf den Mitten zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks) führt nicht direkt weiter, da die dadurch entstandenen Kreise nicht identisch sein müssen. Abb. 2 (Screenshot der Datei "loesung_feuerbach_euler_punkte.ggb") zeigt, wie die Schülerinnen und Schüler mit Bleistift und Papier oder mit GeoGebra die Feuerbachpunkte konstruieren und somit den mathematischen Hintergrund entdecken können. Sinnvolle "regelmäßige" Figuren sind meist Hilfen für einen Beweisansatz in Geometrie. Deshalb suchen die Schülerinnen und Schüler nach weiteren sinnvollen Figuren innerhalb der Feuerbachpunkte, die für einen Beweis nützlich sein könnten [Abb. 3: Screenshots der Dateien "(MaMbMc)abb.ggb" und "(A'B'C')abb.ggb"; Abb. 4: "beweis_feuerbach_kreis.ggb"]. Einsatz der Materialien Die Unterrichtsreihe soll für die Schülerinnen und Schüler ganz offen gelassen werden, das heißt, die Arbeitsmaterialien müssen in einer starken Lerngruppe gar nicht zum Einsatz kommen. Die Materialien haben zwei Funktionen: Sie dienen zur Information der Lehrperson und kommen dann zum Einsatz (gegebenenfalls nach Entscheidung der Lehrperson auch nur Teile des Materials), wenn die Schülerinnen und Schüler nicht weiter kommen. Ebenso ist mit den vorgegebenen Lösungsansätzen zu verfahren. Will man alle Beweisideen weitertreiben, können entsprechende Arbeitsgruppen gebildet werden. 1. Materialien zur Vorbereitung des abbildungsgeometrischen Beweises Die Lernenden können spezielle Vielecke entdecken, die sich aus Feuerbachpunkten zusammensetzen. Das können zum Ursprungsdreieck ähnliche Dreiecke sein, Rechtecke oder Parallelogramme. Ähnliche Dreiecke führen auf einen abbildungsgeometrischen Beweis. 2. Materialien zur Vorbereitung des elementargeometrischen Beweises Rechtecke oder Parallelogramme führen auf einen elementaren Beweis. (Von den Parallelogrammen ist wegen der Komplexität des Beweises abzuraten.) 3. Materialien zur Vorbereitung des kinematischen Beweises Weiterhin kann eine Gruppe gebildet werden, die sich ein bewegtes GIF (2_2_animation_gross.gif) anschaut, das auf die Definition des Geometrischen Ortes des Feuerbachkreises und einen kinematischen Beweis führt. Beweis und Präsentation Die Beweise werden eigenständig oder auf der Grundlage der Arbeitsmaterialien in Gruppen erarbeitet (zwei bis drei Stunden) und präsentiert (ein bis zwei Stunden).

Was hat es mit Dürers magischem Quadrat oder dem berühmten Möbiusband auf sich? Grundschülerinnen und -schüler gehen mithilfe eines WebQuests auf Entdeckungsreise.Thema dieser Unterrichtseinheit sind die Entdeckungen der Mathematiker Fibonacci, Eratosthenes, Pascal, Gauß, Dürer und Möbius. In Kleingruppen erarbeitet die Klasse je eins von insgesamt sechs PrimarWebQuests zu den berühmten Persönlichkeiten. Für die Projektarbeit stehen der Klasse bis zu acht Schulstunden zur Verfügung. In dieser Zeit soll jede Gruppe ein WebQuest bearbeiten, ein Plakat zu ihrem Thema gestalten, sich Beispielaufgaben oder Aufträge für die Klasse überlegen und die Präsentation üben. Die Ergebnisse werden am Ende der gesamten Klasse vorgestellt. Die Lehrperson sollte für auftretende Fragen bereitstehen und ansonsten im Hintergrund bleiben. PrimarWebQuests im Mathematikunterricht Die PrimarWebQuests wurden im Rahmen des Projektes "Lehr@mt – Medienkompetenz in der Lehrerbildung" am Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik der Goethe Universität Frankfurt erstellt. Die Unterrichtseinheit wurde gemeinsam von einer Lehrerin, zwei Studentinnen und dem Seminarleiter geplant und mit zwölf besonders leistungsstarken Schülerinnen und Schülern einer 3. und 4. Klasse erprobt. Aufbau des WebQuests: sechs Teilaufgaben Doppelungen vermeiden Um die Recherche der Gruppen im Internet zielgerichtet zu gestalten, bietet sich der Einsatz von WebQuests in Expertengruppen an. Jede Gruppe bearbeitet ein eigenes WebQuest zu ihrem Thema. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass doppelte und ähnliche Präsentationen, wie sie oft beim Einsatz einer gemeinsamen Aufgabenstellung vorkommen, vermieden werden. Ähnliche Struktur, unterschiedlicher Inhalt Die einzelnen WebQuests zu den verschiedenen Mathematikern behandeln alle ein anderes Themengebiet, haben aber den gleichen Aufbau. Sie bestehen jeweils aus den Unterseiten Einleitung, Projekt, Quellen, Anforderungen und Ausblick . Zur besseren Unterscheidung hat jedes WebQuest eine eigene Farbgebung. Unterkapitel des WebQuests Einleitung Die Einleitung des WebQuests dient dazu, die Schülerinnen und Schüler auf das Thema einzustimmen. Sie soll das Interesse der Kinder wecken und stellt zugleich die Startseite dar. Alle Unterkapitel sind durch die Navigation miteinander verbunden, so dass man problemlos dazwischen hin und her wechseln kann. Im linken Bereich jeder einzelnen Seite befindet sich der Link zur Lehrerseite. Projekt Unter der Kategorie Projekt finden die Schülerinnen und Schüler ihre Arbeitsaufgaben. Die einzelnen Schritte werden in einer Liste aufgezählt, die sich die Lernenden zum Abhaken der Punkte auch als Arbeitsblatt ausdrucken können. Da Quellen, Material oder Art der Zusammenarbeit angegeben sind, ist das WebQuest so gut wie selbsterklärend. Material In diesem Bereich finden die Kinder verschiedene Quellen für die Informationssuche im Netz: Zum einen handelt es sich um Links zur Biografie der Mathematiker, zum anderem um Arbeitsblätter mit mathematischen Problemstellungen. Sie erläutern die Entdeckung des jeweiligen Mathematikers und bieten Übungsaufgaben an. Anforderungen Die Schülerinnen und Schüler erfahren hier, welche Anforderungen an eine gelungene Arbeit, in diesem Fall die erstellte Präsentation, gestellt werden. Die Tabelle mit den Kriterien können die Kinder auch als Bewertungsbogen ausdrucken, mit dem sie sich selbst und ihr Arbeitsergebnis einschätzen können. Ausblick Hinter dem Menüpunkt Ausblick finden Schülerinnen und Schüler mit schnellerem Arbeitstempo zusätzliche Informationen zum Thema. Sie können ihr neues Wissen in Übungsaufgaben testen. Informationen für Lehrkräfte Neben der Navigation für die Schülerinnen und Schüler enthält das WebQuest auch einen Bereich für Lehrkräfte. Sie finden hier Informationen zur Methodik von WebQuests im Allgemeinen, zum Einsatz dieses WebQuests und weiterführende Literatur. Sechs berühmte Mathematiker und ihre Entdeckungen Die Fibonacci-Zahlenfolge Fibonaccis richtiger Name lautet "Leonardo von Pisa". Er wurde 1170 in Pisa geboren und über sein Leben ist wenig bekannt. Bereits 1202 entstand die Fibonacci-Zahlenfolge für die er noch heute bekannt ist. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... oder allgemein x n+2 = x n+1 + x n. Das Sieb des Eratosthenes Eratosthenes von Kyrene (284-202 vor Christi Geburt) war Mathematiker, Geograph, Geschichtsschreiber, Philologe, Dichter und Direktor der Bibliothek von Alexandria. Sein Name lebt heute in einem Verfahren weiter, mit dem aus der Menge der natürlichen Zahlen die Primzahlen nach und nach herausgefiltert werden, dem Sieb des Eratosthenes. Das Pascalsche Dreieck Blaise Pascal (geboren am 19.06.1623 in Clermont-Ferrand, gestorben am 19.08.1662 in Paris) war ein französischer Philosoph und Naturwissenschaftler. Bei seiner Beschäftigung mit Kombinatorik verwendete er 1654 das heute nach ihm benannte Pascalsche Dreieck und widmete ihm eine Abhandlung. Die Gaußsche Summenformel Johann Carl Friedrich Gauß (geboren am 30. April 1777 in Braunschweig, gestorben am 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker. Gauß' Lehrer stellte dem Neunjährigen als Beschäftigung die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zu summieren. Der begabte Schüler löste das Problem mit einer Formel, die gelegentlich auch als "der kleine Gauß" bezeichnet wird. Die Gaußsche Summenformel ist die Formel für die Summe der ersten n aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, also 1+2+3+4+...+n. Dürers magisches Quadrat Albrecht Dürer (geboren am 21. Mai 1471 in Nürnberg, gestorben am selben Ort am 6. April 1528) ist vor allem als großer Grafiker bekannt. Jedoch hat er sich auch mit den theoretischen Grundlagen seiner Kunst auseinandergesetzt. Eines der berühmtesten magischen Quadrate ist in einem von Dürers Kupferstichen zu finden. Die Besonderheit des magischen Quadrates ist, dass die Summe aller Spalten, aller Zeilen und der beiden Diagonalen immer gleich ist. Das Möbiusband August Ferdinand Möbius (geboren am 17. November 1790 in Schulpforte bei Naumburg an der Saale; gestorben am 26. September 1868 in Leipzig) war Mathematiker und Astronom an der Universität Leipzig. Er gilt als Pionier der Topologie. Das berühmte Möbiusband ist eine zweidimensionale Struktur in der Topologie, die nur eine Kante und eine Fläche hat. Entdeckt wurde es im Jahr 1858. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Entdeckungen eines ausgewählten berühmten Mathematikers kennen. erarbeiten die Besonderheit der Entdeckungen. erhalten durch die Präsentationen Wissen über sämtliche vorgestellte Mathematiker. bearbeiten Beispielaufgaben zu den verschiedenen mathematischen Themenfeldern. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten eine Lerneinheit am Computer und machen dabei Erfahrungen mit dem Prinzip der Verlinkung. nutzen das Internet als Informationsquelle. lernen den Computer als Hilfsmittel im Mathematikunterricht kennen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler organisieren sich in der Gruppenarbeit und führen diese produktiv durch. treffen Absprachen bezüglich der Gestaltung von Plakaten und der Präsentationen in der Gruppe. helfen anderen und nehmen Hilfe an. geben qualifizierte Rückmeldungen und nehmen konstruktive Kritik der Mitschülerinnen und Mitschüler an. reflektieren ihr eigenes Handeln und schätzen die eigene Leistung ein. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entnehmen Informationen aus Texten. bereiten Informationen zu einer Präsentation auf. gestalten ansprechende und strukturierte Plakate. bewerten Arbeitsergebnisse von Mitschülerinnen und Mitschülern mit qualifizierten Rückmeldungen.

In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle. Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden. In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion. Die Schülerinnen und Schüler kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an. stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich. beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal. entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise. erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal. lösen lineare Kongruenzen. bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n. Begriffe und Regeln für das Rechnen in Restklassen Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Zeitstunden) lernen die Schülerinnen und Schüler in Analogie zur Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen die Begriffe "Restklasse", "Modul", "Kongruenz" sowie elementare Regeln für das Rechnen in Restklassen anhand von Arbeitsblättern kennen (restklassen_1.pdf; im Download-Paket der Startseite befinden sich neben den PDFs auch alle Dateien im editierbaren RTF-Format). Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand Im zweiten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) stellen die Lernenden zunächst selbst Multiplikationstafeln modulo n auf. In einem weiteren Arbeitsblatt (alle Arbeitsblätter siehe restklassen_2.pdf) färben sie die bereits fertig ausgedruckten Multiplikationstafeln bis n = 12 von Hand ein (gleiche Reste - gleiche Farben). Dadurch wird der Blick auf die Struktur der Tabellen gelenkt und eine spielerische Analyse ihrer Eigenschaften eingeleitet, die durch ein Arbeitsblatt zur formalen Beschreibung der Symmetrieeigenschaften vertieft wird. Durch die Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand haben die Schülerinnen und Schüler Zeit und sind gehalten, sich eingehend mit den Tafeln und ihrer Struktur zu beschäftigen. Einige interessante Schülerbeobachtungen aus diesem Teil der Unterrichtsreihe sind dokumentiert (restklassen_2_schuelerbeitraege.pdf). Automatische Einfärbung mit Excel Erst nach der händischen Arbeit mit den Tabellen kommt die Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zum Einsatz, um bei der systematischen Erforschung schnell zwischen verschiedenen, auch größeren, Moduln wechseln zu können. Bei Eingabe des Moduls erfolgt die Einfärbung automatisch. Bei kleinen Lerngruppen reicht es, die Datei auf einem Rechner mit angeschlossenem Beamer auszuführen und den jeweils gewünschten Modul auf Zuruf einzugeben. Ergänzend dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler ein Arbeitsblatt mit fertig eingefärbten Tafeln bis n = 10. Besser ist es jedoch (vor allem in Teil 3), wenn die Schülerinnen und Schüler eigene Rechner benutzen und verschiedene Moduln selbst eingeben können. Fortführung der Untersuchung der Multiplikationstafeln Im dritten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) wird die systematische Untersuchung der Multiplikationstafeln fortgesetzt. Die zugehörigen Arbeitsblätter (restklassen_3.pdf) enthalten engere Fragestellungen, die auf die Anzahl und die Verteilung der in einer Tabellenzeile auftretenden Farben beziehungsweise Reste in Abhängigkeit von der Zeilennummer abzielen, also auf die Werteverteilung von a x mod n bei festem a und n. Dabei ist insbesondere der Fall ggT(a,n) = 1 von Interesse. Die Antworten werden mithilfe der Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zunächst empirisch gefunden und dann bewiesen. Lineare Kongruenzen, reduziertes Restsystem, phi-Funktion Die Ergebnisse führen auf die Lösung von linearen Kongruenzen, das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion, die aber im hier dargestellten Rahmen nur ansatzweise behandelt wird. Die praktischen Anwendungen in Form von "handfesten" Rechenaufgaben (lineare Kongruenzen) wurden von den Schülerinnen und Schülern dankbar angenommen. Bei der Bestimmung von phi(n) leistet die Excel-Datei wieder gute Dienste, da man mit der Tastenkombination Strg+R zum reduzierten Restsystem übergehen kann. Auch hier gilt: Computer nicht zu früh einsetzen! Beobachtungen und Beweise Die intendierten Beobachtungen und die zugehörigen Beweise werden hier ebenfalls zum Download angeboten (restklassen_3_beobachtungen.pdf). Die Beweise können in dieser Form auch der Lerngruppe zum Nacharbeiten zur Verfügung gestellt werden, zumal unter Umständen nicht alle im Unterricht vollständig ausgeführt werden können.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Fakultäten und Binomialkoeffizienten schreiben die Lernenden ein Programm, das nach Möglichkeiten sucht, die Trikots beim Trikottausch zwischen zwei Mannschaften in einer bestimmten Art zu vergeben. Der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit wird an einem spannenden Beispiel spielerisch vorgestellt. Auch dazu soll eine zweite kleine Simulation erstellt werden.Die neuen G8-Lehrpläne sehen schon in Unter- und Mittelstufe Einblicke in die Kombinatorik und die Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Schülerinnen und Schüler der Klassen 10 und 11 in G9 werden erst im Grund- oder Leistungskurs Einblicke in diese Thematik erfahren. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit soll eine erste Anwendung derartiger Elemente aufzeigen. Sie lässt sich in Arbeitsgruppen oder Arbeitskreisen außerhalb des Unterrichts realisieren. Die hier angebotenen Materialien bieten eine Möglichkeit, begabte Schülerinnen und Schüler selbstständig arbeiten zu lassen und ihnen immer wieder Aufgaben und Lösungen auszuhändigen. Für Hilfeleistungen und Rückmeldungen sollte ihnen dabei die Lehrperson als Ansprechpartner zur Seite stehen. Lebensweltbezug Als Aufhänger für die Thematik der Aufgabenstellung, Fakultäten und Binomialkoeffizient, können Sport-Events wie Fußball- und Handball-Weltmeisterschaften oder Europameisterschaften genutzt werden. Beim Trikottausch am Ende der Partien spielen sicher vorherige Absprachen eine Rolle und nicht jeder gibt sein Trikot am Ende eines Matches her. Dass der Trikottausch auch etwas mit Mathematik zu tun haben könnte, kann man schnell übersehen... Einstieg in die Thematik Fakultäten und Binomialkoeffizient Am Beispiel einer Mannschaftsstärke von fünf Spielern soll zuerst die Anzahl von Möglichkeiten erarbeitet werden, wie diese fünf Sportler die fünf Trikots der gegnerischen Mannschaft unter sich verteilen können. Das Prinzip ist schnell erkannt. Anschließend soll das Trikottauschen mit einer Bedingung erfolgen: Kein Spieler soll das Trikot mit seiner eigenen Nummer erhalten. Die Bestimmung dieser Anzahl scheint anfangs nur per Suche möglich zu sein. Fortsetzung und Vertiefung Nachdem mithilfe des Computers die Anzahl der Möglichkeiten, wie die Trikots mit der Zusatzbedingung verteilt werden können, bestimmt wurde, wird eine Berechnungsvorschrift vorgestellt. Mit dieser kann dann für beliebige Anzahlen von Spielern die Frage nach der Anzahl der Tauschmöglichkeiten berechnet werden. Da die Wahrscheinlichkeit einer solchen Trikotverteilung gegen 1/e strebt, kann mit einer weiteren Simulation die Zahl der Möglichkeiten für die Verteilung mit dem Computer bestimmt und mit dem exakten Wert verglichen werden.Die Schülerinnen und Schüler lernen die Kombinatorik kennen. lernen ein einfach klingendes und somit leicht verständliches mathematisches Problem kennen, dessen gesamte Lösung aber noch aussteht. lernen mathematische Syntax kennen. lernen Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten kennen. setzen Algorithmen in einfache Programmroutinen um. arbeiten selbstorganisiert.

In dieser Unterrichtseinheit zu linearen Funktionen setzen sich die Lernenden mit dem mathematischen Funktionsbegriff auseinander und wenden ihn in einer anschaulichen Fragestellung aus der Fernerkundung an. Dabei erarbeiten sie Möglichkeiten zur Korrektur verzerrter Scannerbilder mithilfe einer linearen Funktion. Die Materialien sind auf Deutsch und auf Englisch verfügbar und somit auch im englisch-bilingualen Unterricht einsetzbar.Zentrales Element dieser Lerneinheit zu linearen Funktionen ist das Beispiel eines Flugzeugs, das für Scanneraufnahmen über eine Landschaft fliegt und durch eine Windböe vom geraden Kurs abkommt. Die dadurch auf dem Scannerbild entstandene Verzerrung können die Schülerinnen und Schüler durch eine Funktion korrigieren. Zusätzlich zum Verständnis der mathematischen Inhalte lernen die Schülerinnen und Schüler auch Aspekte der Fernerkundung kennen. Das Projekt "Fernerkundung in Schulen" (FIS) des Geographischen Institutes der Universität Bonn beschäftigt sich mit den Möglichkeiten zur Einbindung des vielfältigen Wirtschafts- und Forschungszweiges der Satellitenfernerkundung in den naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei entstehen neben klassischen Materialien auch Anwendungen für den computergestützten Unterricht.Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Aufgaben und die Mechanismen einfacher linearer Funktionen zu verstehen. Durch die praktische Anwendung sollen mögliche Verständnisbarrieren frühzeitig überwunden werden und den Lernenden ein klarer Bezug der mathematischen Inhalte zu realen Situationen aufgezeigt werden, in diesem Fall zur rechnerischen Entzerrung von Scannerbildern. Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Moduls das Verständnis für den Sinn und die Charakteristik von einfachen Funktionen festigen, bevor es lehrplangemäß zur Vertiefung dieser Thematik kommt. Es ist jedoch denkbar, Themen wie den Aufbau einer Funktionsgleichung oder die Herleitung einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten eines Graphen an das Modul anzulehnen und sich im regulären Unterricht sukzessive die Werkzeuge zur Lösung des Moduls zu erarbeiten. Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Funktionsbegriff ist zentrale Aufgabe des Moduls. Zusätzlich lernen die Schülerinnen und Schüler Aspekte der Fernerkundung kennen. Einführung in das Computermodul Das interaktive Modul "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" gliedert sich in ein Startmenü, eine Einleitung und den in drei Bereiche unterteilten Aufgabenteil. Aufgabenteil im Computermodul Hier wird der Aufgabenteil mit den drei Bereichen Analyse, Funktion und Entzerrung des interaktiven Moduls "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" genauer beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler können die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen. stellen einen klaren Bezug zwischen den mathematischen Inhalten und der realen Situation her. kennen die Struktur eines digitalen Bildes und können sie auf die Problemstellung übertragen. formulieren die Anforderung an eine Funktion, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. verstehen den Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes. Nach der Weiterleitung in diesen Bereich sind in der linken Navigationsleiste drei Felder zu erkennen, über welche die Bereiche 1, 2 und 3 frei anwählbar sind. Im Aufgabenteil sollen die Schülerinnen und Schüler den Kern des Problems der Driftverzerrung erfassen und können nun interaktiv arbeiten. Bereich 1: Analyse Hier stehen den Lernenden zwei Bilder zur Verfügung. Ein unverzerrtes Vergleichsbild und das verzerrte Bild, welches im Laufe der Vorgeschichte entstanden ist. Aufgabe ist es die Unterschiede in den Bildern genau zu definieren. Dabei hilft ihnen ein Tool, mit dessen Hilfe sie in beiden Bildern einen Bildausschnitt vergrößern können. Der Button "Aufgaben" öffnet ein Feld mit den drei innerhalb dieses Bereichs zu lösenden Aufgabenstellungen. Im linken Bereich ist ein Schema abgebildet, welches alle für die Lösung der Aufgaben relevanten Angaben enthält (Abbildung 3, bitte auf den Platzhalter klicken). Ziel ist es, eine Aussage über die Anzahl der Bildspalten treffen zu können, um die die erste und die letzte Bildzeile im verzerrten Bild versetzt sind. Dazu muss der Betrag in Meter, um den das Flugzeug am Ende der Aufnahme abgewichen ist, in Pixel umgerechnet werden. Der Betrag in Bildspalten y, um den die erste, also oberste Bildzeile x versetzt ist, wird als Punkt A in das Graphenmodul auf der rechten Seite eingegeben. Punkt B setzt sich aus dem Versatz der letzten, also untersten, Bildzeile x2 um die Anzahl der Bildspalten y2 zusammen. Bei den Berechnungen wird eine Genauigkeit von zwei Nachkommastellen als ausreichend betrachtet. Dieser Bereich dient der Überprüfung der aufgestellten Funktion. Sie kann unten links in die Felder eingetragen werden. Der Button "Bild entzerren" versetzt die Bildzeilen des verzerrten Bildes entsprechend der eingegebenen Funktion. Die richtige Funktionsgleichung führt auch zum richtigen Ergebnis. Zur Überprüfung ist links noch einmal das verzerrte Bild dargestellt. Der Button mit den entgegengesetzten Pfeilen bietet die Möglichkeit, das unverzerrte Kontrollbild einzublenden. In diesem Bereich kann zum besseren Verständnis der Vorgänge auch experimentiert werden. Grundsätzlich führt eine erhöhte Steigung des durch die Funktionsgleichung beschriebenen Graphen zu einer stärkeren Verzerrung. Der y-Achsenabschnitt beschreibt einen Versatz des Bildes in positive oder negative Richtung. Das Programm beachtet dabei nur diskrete Werte. Kommastellen werden gerundet. So findet die Verschiebung nur in ganzen Pixelwerten statt. Stunde 1 Stundenziel: Der fernerkundliche Hintergrund soll verstanden werden und die Überleitung zur mathematischen Fragestellung durchgeführt werden. Feinziele (FZ): FZ 1: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen können. FZ 2: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Struktur eines digitalen Bildes kennen und auf die Problemstellung übertragen können. FZ 3: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Anforderung an eine Funktion formulieren, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Medien / Dateien Einführung Erläuterungen zur Fernerkundung; Abbildungen zur Entstehung von Scannerbildern; Verdeutlichung über den Startbildschirm des Computermoduls Unterrichtsgespräch Folien 1 und 2; Computer und Beamer; Startbildschirm des Computermoduls Problematisierung Einführung der Problemstellung Gruppenarbeit Computer, Punkt "Einführung" im Computermodul Erarbeitung Schülerinnen und Schüler verdeutlichen sich die Verzerrung anhand der Aufgabenstellungen im Bereich "Analyse". Gruppenarbeit Computer, Punkt "Analyse" im Computermodul Bündelung Zusammenfassen der Erkenntnisse Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Analyse" im Computermodul Stunde 2 Stundenziel: Eine lineare Funktion soll aufgestellt werden, mit deren Hilfe das verzerrte Bild entzerrt werden kann. Feinziele (FZ): FZ 1: Die Schülerinnen und Schüler sollen denn Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes verstehen. Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Medien / Dateien Einführung Wiederholung der am Ende der letzten Stunde formulierten Anforderung an die Funktion Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Analyse" im Computermodul Problematisierung 1. Es ist noch nicht bekannt, um wie viele Pixel die Bildreihen maximal verschoben sind. 2. Die Funktion selber ist noch nicht bekannt. 3. Die Funktion muss auf das Bild angewendet werden. Gruppenarbeit Computer, Punkt "Funktion" im Computermodul Erarbeitung Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich anhand der Aufgabenstellungen im Bereich "Funktion" die Funktion und testen sie im Bereich "Entzerrung". Gruppenarbeit Computer, Punkte "Funktion" und "Entzerrung" im Computermodul Bündelung Zusammenfassen der Erkenntnisse, auch durch die Möglichkeit mithilfe beliebiger Funktionen das Bild zu verzerren Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Entzerrung" im Computermodul Um den Kern der Problematik im Modul erfassen zu können, ist eine kurze Erklärung notwendig, denn die hier behandelte Verzerrung ist nur charakteristisch für Scannerbilder. Die Beispiele aus den Hintergrundinformationen und vor allem die interaktive Animation am Anfang des Moduls sollen hier behilflich sein. Folie 1 zeigt klar den Unterschied zwischen einem normalen Luftbild und einem Scannerbild auf. Um zu verdeutlichen, wo die Vorteile eines Scannerbildes liegen, kann Folie 2 gezeigt werden. Die Unterrichtseinheit "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" bedient sich der Möglichkeiten des Computers, um die Thematik durch Animation und Interaktion nachhaltig zu vermitteln. Darüber hinaus ist die durchgeführte Bildkorrektur nur mithilfe eines Rechners durchführbar. Ein Umstand, der den Schülerinnen und Schülern das Medium Computer nicht als reines Informations- und Unterhaltungsgerät, sondern auch als Werkzeug näher bringt. Das Modul ist ohne weiteren Installationsaufwand lauffähig. Es wird durch Ausführen der Datei "FIS_Pixel auf Abwegen.exe" gestartet. Dazu ist ein Adobe Flash Player notwendig. Der erste Bereich des Computermoduls "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" wird nach dem Start automatisch geladen. Die Animation verdeutlicht die Arbeitsweise eines flugzeuggestützten Scanners. Das Flugzeug scannt dabei eine Landoberfläche ab, gleichzeitig wird auf der rechten Seite der gescannte Bildbereich Reihe für Reihe, der aktuellen Flugzeugposition entsprechend, aufgebaut. Abbildung 1 verdeutlicht dies (Platzhalter bitte anklicken). Die mittig angeordneten Pfeile dienen der Beeinflussung des Flugverhaltens. Das gescannte Bild reagiert dabei auf die ausgelösten Manöver und die entstandene Verzerrung wird angezeigt. Wird eine Seitwärtsbewegung ausgelöst, erscheint ein Button. Ein Klick auf den Button "Driftverzerrung bearbeiten" leitet über zum nächsten Menüpunkt. Zur Anpassung der Animation an geringere Rechnerleistung kann die Qualität mithilfe des Buttons im oberen linken Fensterbereich angepasst werden. Der zweite Bereich bietet eine animierte Einführung, in der ein Flugzeug über eine Landschaft fliegt. Abbildung 2 gibt einen Eindruck dieser Animation (bitte auf den Platzhalter klicken). Eine semi-fiktionale Geschichte erzählt kurz, wie es zur Situation der Driftverzerrung gekommen ist, die es auf mathematischem Weg zu lösen gilt. Die "Weiter"-und "Zurück"-Buttons navigieren durch die beiden Abschnitte dieses Bereichs und leiten zum dritten Bereich, dem Aufgabenteil, weiter.

Schülerinnen und Schüler testen das Phänomen der Serien von gleichen Würfelzahlen mit einer Excel-Simulation und erarbeiten eine rekursive Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse. Wie wahrscheinlich ist es, beim 100maligen Würfeln mindestens viermal die gleiche Zahl hintereinander zu werfen? Vielen Menschen scheint das "kein Zufall mehr" zu sein und am Würfel oder am Zufallsgenerator stimmt vielleicht etwas nicht, wenn so ein Ereignis eintritt. Ist es bei einem Laplace-Würfel aber wirklich so selten? Dies können begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 8 mit den hier vorgestellten Aufgaben und Materialien untersuchen. Einsatz von Excel Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst selbst Zufallszahlen erzeugen. Sie simulieren Würfelserien und diskutieren ihre Beobachtungen (serien_beim_wuerfeln_aufgaben.rtf). Die Excel-Tabellenblätter "serien_beim_wuerfeln.xls" zur Simulation von Würfelserien und zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit können von der Lehrkraft vorgegeben oder von den Schülerinnen und Schülern selbst in ähnlicher Weise erstellt werden. Wenn den Lernenden das gebrauchsfertige Tabellenblatt zur Verfügung gestellt wird, sollte zuvor diskutiert werden, was dort sinnvollerweise zu berechnen ist. Gegebenenfalls erfolgt eine Einführung in die Arbeit mit der Exceltabelle durch die Lehrperson. Für die vorgegebenen Blätter gilt: Auf dem Tabellenblatt "Würfelsimulation" wird pro Spalte hundertmal gewürfelt. In der Spalte danach wird gezählt, ob viermal die gleiche Zahl hintereinander gefallen ist. In Zeile 121 werden die Anzahlen der 4er-Serien ermittelt und schließlich wird gezählt, wie groß die Häufigkeit von "mindestens eine Viererserie" ist. Auf dem anderen Tabellenblatt werden die Wahrscheinlichkeiten rekursiv für 4er- und 5er-Serien jeweils auf zwei Arten ermittelt. Rekursionsformel gesucht! Dem Wunsch nach einer einfachen Formel, mit der die gesuchten Wahrscheinlichkeit zu berechnen sind, kann nicht nachgekommen werden. Daher müssen die Schülerinnen und Schüler mit der Idee vertraut gemacht werden, nach einer rekursiven Formel zu suchen. Sie sollen dies zunächst selbstständig tun. Gegebenenfalls kann die Lehrperson Tipps geben, zum Beispiel darauf hinweisen, die Anzahl der Würfe zunächst klein zu halten. Man könnte auch die Anzahl der Wiederholungen kleiner machen ("zweimal die gleiche Zahl hintereinander" oder "dreimal"). Außerdem könnte statt Würfeln ein wiederholter Münzwurf betrachtet werden (bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse). Auf solche Vorgaben kann auch im Nachhinein die gefundene Rekursionsformel abgeändert werden. Realität und Simulation Als Test, ob ihre Formel wirklich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet, können die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse mit den Werten der Excel-Simulation vergleichen und bekommen so einen gewissen Anhaltspunkt für die Richtigkeit ihrer Formel. Bei der Simulation sehen sie aber auch, dass durchaus gewisse Schwankungen auftreten können (die Werte für die Häufigkeit, wie oft eine 4er- Serie auftritt, schwanken oft zwischen 25 und 40 von 100). Die Schülerinnen und Schüler sollen Zufallszahlen in einem Excel-Tabellenblatt erzeugen können. Simulationen von Zufallsexperimenten durchführen und auswerten können. eine rekursive Funktion zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten verstehen und eventuell sogar selbst erstellen können. rekursive Funktionen mithilfe einer Tabellenkalkulation auswerten. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Schall werden Low-Cost-Experimente zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft und Wasser mithilfe von Computer, Soundkarte und Kopfhörer vorgestellt.Die elektronische Messwerterfassung ist eine wichtige physikalische Arbeitsweise, die aus Fachwissenschaft und Industrie nicht mehr wegzudenken ist, die im Schulunterricht - insbesondere in der Sekundarstufe I - jedoch wenig Anwendung findet. Häufig entfallen computergestützte Experimente hier aufgrund fehlender technischer Voraussetzungen. Dieser Beitrag zeigt, wie Lernende in Kleingruppenarbeit mithilfe des Computers die Schallgeschwindigkeiten in Luft und Wasser mit einfachen Mitteln bestimmen können.Beobachtet man den Start eines Wettlaufs aus mehreren hundert Metern Entfernung, so liegt zwischen der optischen Wahrnehmung des Klappenschlags und des zu hörenden Knalls eine merkliche Zeitdifferenz. Dieser Effekt, den die Schülerinnen und Schüler aus dem Sportunterricht kennen, zeigt, dass die Ausbreitung des Schalls mit einer endlichen Geschwindigkeit erfolgt. Weitere Alltagserfahrungen führen zur gleichen Schlussfolgerung. Besonders eindrucksvoll ist die Zeitdifferenz zwischen der Wahrnehmung von Blitz und Donner bei einem weit entfernten Gewitter, aus der die Entfernung des Unwetters geschätzt werden kann. Experimentelle Varianten zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit Verschiedene experimentelle Varianten werden hier vorgestellt. Ein Low-Cost-Arrangement eignet sich zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft und in Wasser. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler kennen die Definitionsgleichung der Geschwindigkeit. wissen, wie die Durchschnittsgeschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers bestimmt werden kann. können die Zeit, die der Schall zur Ausbreitung einer definierten Strecke benötigt, mithilfe eines Computers und eines Kopfhörers experimentell bestimmen. können ein Experiment zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft (optional auch in Wasser) beschreiben und durchführen. kennen den Wert der Schallgeschwindigkeit in Luft (optional auch in Wasser) für eine Temperatur von 20 Grad Celsius und wissen, dass dieser mit der Temperatur variiert. wissen, dass sich die Schallwellen in verschiedenen Materialien unterschiedlich schnell ausbreiten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können mit einer geeigneten Tonanalyse-Software (zum Beispiel Cool Edit) ein aufgenommenes Signal auswerten. können Oszillogramme interpretieren. Erzeugung einer stehenden Welle In einer Glasröhre werden durch Reflexion stehende Wellen erzeugt, deren Schwingungsknoten mit Korkmehl sichtbar gemacht werden können (Kundtsche Röhre). Anschließend bildet man das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz oder man benutzt das so genannte Laufzeitverfahren. Dabei muss lediglich der Quotient aus gemessener Entfernung vom Beobachter zur Schallquelle und der Zeitdifferenz berechnet werden. Letzteres ist sicherlich - insbesondere in der Sekundarstufe I - die für Schülerinnen und Schüler anschaulichere Variante. Nachteil: Technische Voraussetzungen sind nicht immer gegeben Aufgrund der nur geringen maximal zu erreichenden Distanz zwischen Beobachter und Schallquelle stellt das Laufzeitverfahren, wenn es im Fachraum Anwendung finden soll, hohe Anforderungen an die Zeitmessung. Üblicherweise kommt dabei ein computergestütztes Messwerterfassungssystem zum Einsatz. Dies hat jedoch zwei Nachteile: Erstens verfügen die meisten Haupt- und Realschulen nicht über ein solches System und zweitens ist der Versuch auf konventioneller Art nur als Demonstrationsexperiment denkbar. Versuchsaufbau und Software Eine Möglichkeit, das Experiment ohne teures Messwerterfassungssystem mithilfe eines Computers mit Soundkarte, zweier Mikrofone und einer Tonanalyse-Software (zum Beispiel Cool Edit, GoldWave oder Nero Wave-Editor) durchzuführen, wird von Walter Stein beschrieben ("Versuche mit der Soundkarte", siehe Zusatzinformationen ). Die Mikrofone sind in einem Abstand von etwa einem Meter anzuordnen und unter Benutzung eines y-Kabels dem Stereoeingang der Soundkarte (Line-In) zuzuführen (Abb. 1). Ersetzt man die Mikrofone durch handelsübliche Stereokopfhörer, so wird der beschriebene Versuch zum Low-Cost-Experiment und kann insbesondere auch als Schülerversuch zum Einsatz kommen. Abb. 2 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt ein Messbeispiel für einen "Mikrofonabstand" von 0,6 Metern (aufgenommen mit der Software Cool Edit). Bei einer gemessenen Zeitdifferenz von 1,7 Millisekunden errechnet sich die Schallgeschwindigkeit in Luft zu 353 Metern pro Sekunde. Ein Vergleich mit dem Literaturwert (344 Meter pro Sekunde bei 20 Grad Celsius) zeigt, dass die Schallgeschwindigkeit in Luft unter Verwendung von Alltagsgegenständen ausreichend genau bestimmt werden kann. Der Literaturwert liegt im Fehlerintervall der Messung (353 plus/minus zwölf Meter pro Sekunde). Versuchsaufbau Neben der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft kann der von Walter Stein in "Versuche mit der Soundkarte" (siehe Zusatzinformationen ) vorgestellte Versuch zur Ermittlung der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls in Wasser ebenfalls mithilfe gängiger Stereokopfhörer durchgeführt werden. Als Messstrecke kommt dabei zum Beispiel ein mit Leitungswasser gefüllter Blumenkasten zum Einsatz (Abb. 3). Um die Kopfhörer auch als Hydrophone verwenden zu können, werden diese mit Wasserbomben überzogen. Die dünnhäutigen Luftballons sind in Spielzeugwarengeschäften zu erwerben. Erklärung der Ergebnisse mit der Teilchenvorstellung Der Versuchsaufbau stellt eine schöne Transferaufgabe dar, die von den Schülerinnen und Schülern nach der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft gelöst werden kann. Der experimentelle Befund, dass die Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten größer ist als die in Gasen, kann mithilfe der Teilchenvorstellung erklärt werden. Bei einem Mikrofonabstand von 0,57 Meter und einer gemessenen Zeitdifferenz von 0,4 Millisekunden wurde für die Schallgeschwindigkeit in Wasser der Wert 1.425 Meter pro Sekunde ermittelt. Auch dieser Wert stimmt gut mit dem Literaturwert überein (1.484 Meter pro Sekunde bei 20 Grad Celsius). Eine Reihe weiterer ansprechender und für den Schulunterricht aufbereiteter Beispiele zur computergestützten Messwerterfassung mithilfe der Soundkarte haben Walter Stein, Oliver Schwarz und Patrik Vogt beschrieben (siehe Literaturhinweise). Stein, Walter Versuche mit der Soundkarte, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1999 Schwarz, Oliver; Vogt, Patrik Akustische Messung an springenden Bällen, PdN-Ph. 3/53 (2004), Seite 22-25

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilungen lernen die Schülerinnen und Schüler über interaktive GeoGebra-Arbeitsblätter die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung kennen.Die Untersuchung von Binomialverteilungen B (n; p) bei wachsendem n führt über den integralen und lokalen Grenzwertsatz zur Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Mit ihr eröffnet sich den Lernenden ein weites Feld von Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik, in der Wirtschaft und den Sozialwissenschaften. Der hier vorgestellte Online-Kurs bietet eine variabel einsetzbare Methode, die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung zu lehren oder zu lernen. In nahezu jedem Lehrbuch werden zur Darlegung der Beweisidee der lokalen und integralen Näherungsformel von de Moivre-Laplace zahlreiche Histogramme und Dichtekurven präsentiert. Der Einsatz der mit der kostenfreien dynamischen Geometriesoftware GeoGebra entwickelten Applets schafft hier Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern.Erfahrungsgemäß entdecken die Schülerinnen und Schüler sehr schnell alleine die Bedienungsmöglichkeiten der Applets und erkennen, welche unabhängigen Objekte bewegt werden können, so dass auf ausführliche Bedienungshinweise verzichtet werden kann. Zu Beginn der Stunde hat sich bei computergestützten Unterrichtseinheiten eine "Austobphase" bewährt, in der die Lernenden etwa fünf Minuten lang einfach alle Knöpfe und Regler eines Programms ausprobieren dürfen, bevor sie dann (nach einem "Reset") zielgerecht die einzelnen Arbeitsanweisungen befolgen. Voraussetzungen Stochastische Vorkenntnisse Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt. Integralrechnung Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich. Einsatz im Unterricht Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen) Partnerarbeit oder Präsentation Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Materialien zur Binomial- und Normalverteilung Interaktive GeoGebra-Applets Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle. Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Aufgaben und Antworten Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Binomialverteilung. verstehen die Entstehung der standardisierten Dichtefunktion. können die integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace herleiten und anwenden. verstehen mit den Kenntnissen der Integralrechnung die Entstehung der Gaußschen Integralfunktion. verstehen die Herleitung der lokalen Näherungsformel und ihre Abgrenzung zur integralen Näherungsformel. können die lokale Näherungsformel anwenden. können die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung nachvollziehen und die Normalverteilung anwenden. erkennen die Bedeutung des Zentralen Grenzwertsatzes. Stochastische Vorkenntnisse Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt. Integralrechnung Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich. Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen) Partnerarbeit oder Präsentation Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Interaktive GeoGebra-Applets Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle. Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Aufgaben und Antworten Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.

Magische Quadrate faszinieren die Menschen schon seit Tausenden von Jahren. Zur Untersuchung ihrer Eigenschaften werden Exceltabellenblätter genutzt. Die Materialien richten sich an begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 5. Die frühesten magischen Quadrate werden dem chinesischen Gelehrten Fuh-Hi (2800 v. Chr.) zugeschrieben. Ihre wunderlichen Eigenschaften - gleiche Summen in den verschieden Reihen, Spalten, Diagonalen und noch an vielen anderen Stellen - zu untersuchen, macht Schülerinnen und Schülern von der Grundschule bis zur Oberstufe Spaß. Viele stellen sich dabei die Frage, wie man selbst solche magischen Quadrate erzeugen kann und wie viele es davon gibt. Um sich einen Überblick über die ?4 mal 4?-Quadrate zu verschaffen, werden Linearitätseigenschaften genutzt. Schließlich können über 1.000 (mit etwas mehr Mühe sogar über 3.000) magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 erzeugt werden. Die vorliegende Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit magischen "4 mal 4"-Quadraten, wie sie von der Grundschule bis zur gymnasialen Oberstufe untersucht werden können. Schülerinnen und Schüler können sich oder Freunden ein magisches Geburtstagsquadrat errechnen, sobald ihnen negative Zahlen vertraut sind. Es sind auch schon gute Erfahrungen mit Lernenden in der Primarstufe gesammelt worden, die sich, so weit es bei ihren Daten nötig war, auch an negative Zahlen herangewagt haben. Für Schülerinnen und Schüler höherer Jahrgangsstufen gibt es weiterführende Aufgabenstellungen, die zum einen mit dem Lösen von Gleichungssystemen, zum anderen mit Matrizenaddition und skalarer Multiplikation zu tun haben. Oberstufenschülerinnen und -schüler können mit den Eigenschaften von Vektorräumen arbeiten. Auch in niedrigeren Jahrgangsstufen kann man sich mit manchen Vektorraumeigenschaften - ohne die zugehörigen Begrifflichkeiten - auseinandersetzen. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Neben der Addition der Linearkombinationen von Grundquadraten können magische Quadrate auch auf anderen Wegen gefunden werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen magische Quadrate als solche erkennen können. magische "4 x 4"-Quadrate auf weitere Eigenschaften hin untersuchen können. aus bereits bekannten magischen Quadraten neue erstellen können. ein magisches Geburtstagsquadrat erstellen können. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 erzeugen können (eine nicht ganz einfache Krönung der Arbeit). Thema Magische Quadrate Autorin Dr. Renate Motzer Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 5 Zeitraum 2-10 Stunden, je nachdem wie viele Fragestellungen bearbeitet werden Technische Voraussetzungen Computer mit Tabellenkalkulationssoftware (hier Microsoft Excel) Einsatz der Tabellenkalkulation Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst vorgegebene oder selbst erzeugte Quadrate darauf hin untersuchen, ob sie magisch sind. Um viel Rechenarbeit zu ersparen, können sie selbst eine Exceltabelle erstellen, wenn sie sich schon mit Tabellenkalkulation auskennen. Andernfalls kann ein vorgegebenes Tabellenblatt benutzt werden (magisch.xls). In diesem Fall sollte vorher diskutiert werden, was sinnvollerweise dort berechnet werden soll. (Wie die Operationen mit Excel umzusetzen sind, kann gegebenenfalls von der Lehrkraft erläutert werden.) Linearkombinationen von Grundquadraten Die Grundquadrate aus Nullen und Einsen sollen von den Kindern zunächst per Hand gefunden werden, die Addition von Linearkombinationen der Grundquadrate kann dann wieder von der Tabelle übernommen werden. Andere magische Quadrate Dass nicht alle magischen Quadrate Linearkombination von Grundquadraten sind, kann anhand eines von der Lehrperson vorgegebenen Quadrats (das auf andere Weise konstruierten wurde) entdeckt werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen dazu versuchen dieses Quadrat aus den Grundquadraten zu erzeugen, was jedoch nicht gelingt. Sie können das Nichtgelingen auch dadurch begründen, dass dieses neue Quadrat eine Eigenschaft der Grundquadrate nicht hat, die auf Linearkombinationen übertragen wird. Wenn Sie das nicht sofort erkennen, werden sie von der Lehrperson durch bestimmte Fragen darauf hingeleitet. Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 Schließlich soll untersucht werden, ob man mit den Grundquadraten auch Quadrate erzeugen kann, die genau die Zahlen 1 bis 16 enthalten. Dazu muss manches einfach ausprobiert werden und nach möglichen Koeffizienten und ihrer Verteilung auf die Grundquadrate gesucht werden (man kann zum Beispiel diejenigen des Dürerquadrats nehmen). Die Kinder erleben hier, dass es nicht immer ein Lösungsschema geben muss, sondern dass manches durch systematisches Probieren erreicht werden kann.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Stammbrüche suchen die Schülerinnen und Schüler ausgehend einer bekannten mathematischen Erzählung über den arabischen Kaufmann und sein Erbe Stammbrüche, deren Summe den Wert Eins ergibt.Bei der Suche nach den Stammbrüchen werden einfache Zahlenzusammenhänge erarbeitet. Auch der Spaß an Zahlen steht beim spielerischen Finden von Lösungen im Vordergrund. Ausblicke erfolgen so, dass neue Schreibweisen und Methoden der Mathematik vorgestellt werden. Die Arbeitseinheit lässt sich in Arbeitsgruppen oder -kreisen außerhalb des Unterrichts realisieren. Die Arbeitsblätter sind Grundlage für ein selbstgesteuertes Lernen, bei dem die Schülerinnen und Schüler Schritt für Schritt Hilfestellungen erhalten, um die Problemlösungen selbst zu erarbeiten. Die Arbeitsblätter mit Aufgaben und Lösungen werden den Lernenden sukzessive ausgehändigt. Sie können auch zur Gestaltung eines Schul- oder Regionalwettbewerbs genutzt werden. Empfehlenswert sind dabei Rücksprachemöglichkeiten, um den Schülerinnen und Schülern Hilfen und Rückmeldemöglichkeiten geben zu können.Die Schülerinnen und Schüler sollen in dieser Unterrichtseinheit ein Programm schreiben, das nach einer vorgegebenen Zahl von Stammbrüchen sucht, deren Summe den Wert Eins ergibt. Dabei soll die Anzahl von Stammbrüchen veränderlich sein beziehungsweise für verschiedene Anzahlen verschiede Programmroutinen erarbeitet werden. Die Lernenden bemerken dabei, dass moderne Rechner trotz ihrer enormen Geschwindigkeit noch lange Rechenzeiten für die Bewältigung dieser Aufgaben benötigen. Das macht ihnen die Notwendigkeit optimaler Algorithmen bewusst. Einstieg Sensibilisierung für das mathematische Problem Diese Geschichte kann der Gruppe vorgestellt und danach mit den Schülerinnen und Schülern erörtert werden. Alternativ kann den Lernenden die Geschichte auch mit dem Arbeitsblatt 01 ausgehändigt werden. Über das Gespräch, ob nicht auch andere Testamente mit anderen Zahlen von zu vererbenden Kamelen und auch anderen Anzahlen von Söhnen möglich sind, sollen die Schülerinnen und Schüler für das mathematische Problem sensibilisiert werden. So soll der Kern der Geschichte aus mathematischer Sicht aufgearbeitet werden. Vom Kaufmann, seinen Söhnen und seinen Kamelen "Es lebte in Arabien ein alter Vater, der drei Söhne und 17 Kamele hatte. Als der Greis sein Ende nahen fühlte, versammelte er die Söhne um sich und sprach zu ihnen: "Alles, was ich euch hinterlasse, sind meine Kamele. Teilt sie so, dass der Älteste die Hälfte, der Mittlere ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel erhält." Kaum war dies verkündet, da schloss er die Augen, und die Söhne konnten ihn nicht mehr darauf aufmerksam machen, dass sein letzter Wille offenbar unvollstreckbar sei. Siebzehn ist doch eine störrische Zahl und lässt sich weder durch zwei noch durch drei und schon gar nicht durch neun teilen! Doch der letzte Wille des Vaters ist jedem braven Araber heilig. Da kam zum Glück ein weiser Pilger auf seinem Kamel daher geritten, der sah die Ratlosigkeit der drei Erben und bot ihnen seine Hilfe an. Sie trugen ihm den verzwickten Fall vor, und der Weise riet lächelnd, sein eigenes Kamel zu den hinterlassenen zu stellen und die gesamte Herde nach dem letzten Willen des Vaters zu teilen, und siehe da - der Älteste bekam neun der Tiere, der Mittlere sechs, der Jüngste zwei, das waren eben die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel, und auf dem Kamel, das übrig blieb, ritt der Weise - denn es war das seine - lächelnd davon." (Quelle: Manfred Börgens, Mathematische Probleme, FH Gießen-Friedberg) Die Aufgabe Nachdem die Idee der Geschichte gefunden und das mathematische Problem fixiert ist, sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig Lösungen für andere Anzahlen von Söhnen (und Kamelen) finden. Das Finden sämtlicher Lösungen kann für ein, zwei oder drei Söhne noch von Hand erfolgen. Danach soll mit dem Computer simuliert werden - die Anzahl von Möglichkeiten "explodiert" mit der Zahl der Erben! Bei sieben Söhnen ist es kaum noch möglich mit einer einfachen Simulationen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu bestimmen.Die Schülerinnen und Schülern beweisen einfache Gleichungen. arbeiten selbstorganisiert. setzen Algorithmen in einfache Programmroutinen um. lernen ein einfach klingendes und somit leicht verständliches mathematisches Problem kennen, dessen gesamte Lösung aber noch aussteht. gewinnen in diesem Zusammenhang Einblick in Abschätzungen. Sensibilisierung für das mathematische Problem Diese Geschichte kann der Gruppe vorgestellt und danach mit den Schülerinnen und Schülern erörtert werden. (Alternativ kann den Lernenden die Geschichte auch mit dem Arbeitsblatt "stammbrueche_ab_1.rtf" ausgehändigt werden.) Über das Gespräch, ob nicht auch andere Testamente mit anderen Zahlen von zu vererbenden Kamelen und auch anderen Anzahlen von Söhnen möglich sind, sollen die Schülerinnen und Schüler für das mathematische Problem sensibilisiert werden. So soll der Kern der Geschichte aus mathematischer Sicht aufgearbeitet werden. Vom Kaufmann, seinen Söhnen und seinen Kamelen "Es lebte in Arabien ein alter Vater, der drei Söhne und 17 Kamele hatte. Als der Greis sein Ende nahen fühlte, versammelte er die Söhne um sich und sprach zu ihnen: "Alles, was ich euch hinterlasse, sind meine Kamele. Teilt sie so, dass der Älteste die Hälfte, der Mittlere ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel erhält." Kaum war dies verkündet, da schloss er die Augen, und die Söhne konnten ihn nicht mehr darauf aufmerksam machen, dass sein letzter Wille offenbar unvollstreckbar sei. Siebzehn ist doch eine störrische Zahl und lässt sich weder durch zwei noch durch drei und schon gar nicht durch neun teilen! Doch der letzte Wille des Vaters ist jedem braven Araber heilig. Da kam zum Glück ein weiser Pilger auf seinem Kamel daher geritten, der sah die Ratlosigkeit der drei Erben und bot ihnen seine Hilfe an. Sie trugen ihm den verzwickten Fall vor, und der Weise riet lächelnd, sein eigenes Kamel zu den hinterlassenen zu stellen und die gesamte Herde nach dem letzten Willen des Vaters zu teilen, und siehe da - der Älteste bekam neun der Tiere, der Mittlere sechs, der Jüngste zwei, das waren eben die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel, und auf dem Kamel, das übrig blieb, ritt der Weise - denn es war das seine - lächelnd davon." (Quelle: Manfred Börgens, Mathematische Probleme , FH Gießen-Friedberg) Nachdem die Idee der Geschichte gefunden und das mathematische Problem fixiert ist, sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig Lösungen für andere Anzahlen von Söhnen (und Kamelen) finden. Das Finden sämtlicher Lösungen kann für ein, zwei oder drei Söhne noch von Hand erfolgen. Danach soll mit dem Computer simuliert werden - die Anzahl von Möglichkeiten "explodiert" mit der Zahl der Erben! Bei sieben Söhnen ist es kaum noch möglich mit einer einfachen Simulationen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu bestimmen. Falls Sie Probleme mit den RTF-Dateien haben sollten: das Download-Paket auf der Startseite des Artikels enthält alle Arbeitsblätter auch im PDF-Format.