Mathematik: Unterrichtsmaterial für die Sekundarstufen

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Fibonacci-Zahlen lernen die Schülerinnen und Schüler die Fibonacci-Folge kennen. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können.Im Unterricht werden meist nur Funktionen und Integrale behandelt. Folgen und Reihen spielen – wenn überhaupt – eine untergeordnete Rolle. Dabei ermöglichen sie wichtige mathematische Betrachtungen, die den Lernenden auch nach der Schulzeit noch oft begegnen werden. Die Einfachheit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen ist eine gute Motivation, im Unterricht auch einen Blick auf Folgen und Reihen zu werfen. Die Zahlen lassen interessante Grenzwertbetrachtungen zu - ebenfalls die Formel von Moivre-Binet, die in diesem Zusammenhang auftaucht. Die Beweisidee der vollständigen Induktion wird als wichtige Beweismethode erklärt und angewendet. Ein kurzer Blick über die Inhalte der Schulmathematik hinaus rundet die Unterrichtseinheit ab. Warum die Behandlung von Folgen und Reihen sinnvoll ist Dass für große x-Werte die Funktionswerte f(x) gegen einen endlichen Wert streben, wird den Lernenden häufig vermittelt. Folgen werden im Unterricht dagegen selten erörtert. Einen kurzen Einblick erhält man, wenn das Integral über einer Funktion im ersten Quadraten durch Rechtecke angenähert wird. Dabei ist es wichtig den Grenzwert zu bestimmen, falls die Breite der Rechtecke gegen Null und somit die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich geht. Oft wird nur in diesem Zusammenhang kurz über Folgen und Reihen gesprochen. Viele Alltagsbetrachtungen können jedoch durch Folgen und Reihen verständlicher beschrieben werden. Als Beispiel betrachtet man ein monatliches Ansparen eines festen oder flexiblen Betrages, der in Abhängigkeit zur Anzahl der Monate beschrieben werden kann. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Leonardo da Pisa (etwa 1170-1240), auch Fibonacci genannt, war Rechenmeister in Pisa und gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Neben den nach ihm benannten Zahlen sollen die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit vor allem die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen lernen. Der Funktionsbegriff sowie die Idee der Stamm- und Integralfunktion ist ihnen bereits bekannt. Sollen sie auch erste Erfahrungen mit Folgen und Reihen machen, so ist im ersten Abschnitt der Unterrichtseinheit eine Ergänzung nötig, denn die hier bereitgestellten Materialien setzen voraus, dass auch diese Begriffe bereits bekannt sind. Die Arbeitsblätter vermitteln, dass auch Folgen und Reihen analoge Betrachtungen zu Grenzwerten zulassen. Die Art der Annäherung an einen Grenzwert von beiden Seiten ist eine Besonderheit. Zum Abschluss wird ein Begriff aus der Mathematik vorgestellt, der über den Lehrplan hinaus einen Blick in die Welt der Mathematik bietet: Nachbarbrüche. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

Dieses Unterrichtsmaterial führt Schülerinnen und Schüler in die Grundlagen der Tabellenkalkulation ein. In zwei Stufen üben sie den Aufbau eines Tabellenblattes, die Arbeit mit Zellen und Zellbereichen, die Anwendung statistischer Funktionen und vieles mehr.Die Materialien wurden vom MINT EC e. V. in Zusammenarbeit mit dem Learning Lab der Universität Duisburg-Essen entwickelt. Der Verein MINT-EC ist eine Initiative der Wirtschaft zur Förderung mathematisch-naturwissenschaftlicher Gymnasien und zur Qualifizierung von MINT-Nachwuchskräften in Deutschland. Das Duisburg Learning Lab dient der Ausbildung von Studierenden und Lehrenden im Bereich Konzeption und Entwicklung mediengestützter Lernangebote.Die Schülerinnen und Schüler erläutern den Aufbau eines Tabellenblattes und adressieren Zellen. passen Spaltenbreite und Zeilenhöhe an die Bedürfnisse an. tragen Inhalte in Zellen wie Texte und Zahlen ein und formatieren diese grundlegend (Schriftart, Schriftattribute). erklären Fehler bei Formeln und beim Kopieren und korrigieren diese sachgerecht. sortieren Tabellen nach verschiedenen Kriterien. verwenden einfache arithmetische und statistische Funktionen (SUMME, MIN, MAX, MEDIAN, arithmetisches MITTEL). verwenden den Datentyp Prozent richtig und berechnen relative Häufigkeiten. erstellen, formatieren und erläutern zu Daten grafische Darstellungen und wenden diese sachgerecht an (Säulen- und Balkendiagramm, Kreisdiagramm). Materialien zur Informationstechnischen Grundbildung Beiträge und Resultate aus den vielfältigen Aktivitäten des nationalen Excellence-Schulnetzwerks MINT-EC und seiner Netzwerkschulen werden in der Schriftenreihe "Materialien zur Informationstechnischen Grundbildung" zusammengeführt und veröffentlicht. In verschiedenen Themenclustern erarbeiten MINT-EC-Lehrkräfte und Schulleitungen Schul- und Unterrichtskonzepte, entwickeln diese weiter und nehmen dabei neue Impulse aus Wissenschaft und Forschung und aus aktuellen Herausforderungen der schulischen Praxis auf.

In dieser Unterrichtseinheit für den Statistik-Unterricht lernen die Schülerinnen und Schüler ausgehend von eigenen Erhebungen zum Thema "Wie alt sind wir – eine empirische Betrachtung unseres Alters" wichtige statistische Kenngrößen kennen.Bereits in der Mittelstufe kommen die Schülerinnen und Schüler mit dem Thema "Beschreibende Statistik" in Berührung. Hier werden erstmals Begriffe wie Merkmal und Merkmalsausprägung, absolute und relative Häufigkeit, Grundgesamtheit und Urliste verwendet. Dies geschieht jedoch auf einem recht einfachen Niveau. Die Erfahrung der letzten Jahre und Jahrzehnte hat gezeigt, dass das einstige "Stiefkind" im Unterricht, die Beschreibende Statistik, für Studium und Beruf immer wichtiger wird. Daher findet dieser Themenkomplex seit geraumer Zeit Eingang in die Qualifikationsphase als Vorstufe der Beurteilenden Statistik.Im Rahmen der Qualifikationsphase kommen die Schülerinnen und Schüler vertiefend mit dem Thema "Beschreibende Statistik" im Fach Mathematik in Berührung. Hierbei lernen sie statistische Kenngrößen und Verfahren zu deren Berechnung kennen. In dieser Einheit wird der empirische Weg der Beschreibenden Statistik gewählt, aus dem sich zwangsläufig die statistischen Kenngrößen ableiten lassen. Wie alt sind wir? - Ablauf der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler erheben empirische Daten, werten sie aus und ordnen die Ergebnisse in wissenschaftliche Modelle ein. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wenden Fachbegriffe wie Merkmal, Merkmalsausprägung, empirische Grundgesamtheit, Stichprobe, Urliste, absolute und relative Häufigkeit, Median, Modus, Säulendia- oder Histogramm, arithmetische Mittel, Spannweite, Streuung an. veranschaulichen Daten graphisch, zum Beispiel mithilfe von Excel oder einem graphikfähigen Taschenrechner (GTR). berechnen und interpretieren das arithmetische Mittel, den Median, die Spannweite und die Standardabweichung. benennen Ursachen für die Altersverteilung. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler berechnen mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms oder eines graphikfähigen Taschenrechners bestimmte Kenngrößen und stellen sie graphisch dar. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sowohl in Gruppen als auch selbstorganisiert. Erfassen von Altersangaben Jede Schülerin und jeder Schüler erhält die Aufgabe (bei einer Klassen- oder Kursgröße von etwa 20 Lernenden), je fünf Altersangaben aufzuschreiben, ganz egal von wem: Freund, Freundin, Mutter, Vater, Cousine oder andere. Diese Daten werden dann in eine Liste, die sogenannte Urliste, eingetragen. Dies kann mithilfe einer Tabellenkalkulation, beispielsweise Excel, oder auch mithilfe eines graphikfähigen Taschenrechners (GTR) geschehen. Es entsteht ein Datensatz von n=100 Daten, und dieser beschreibt damit die empirische Grundgesamtheit oder Stichprobe n. Geordnete Stichprobe Da die Urliste ungeordnet und recht unübersichtlich ist, entscheiden sich die Schülerinnen und Schüler intuitiv, die Liste zu ordnen (geordnete Stichprobe) und sie ansatzweise auszuwerten, indem sie eine Strichliste anlegen und somit die absolute Häufigkeit jeder Altersangabe bestimmen. An dieser Stelle kann man den Begriff Modus einführen, denn er beschreibt jenen Wert, der am häufigsten vorkommt. Stichprobe kontrollieren Nutzt man zur Auswertung der Daten das Tabellenkalkulationsprogramm Excel, so ist das Ordnen sehr einfach. Nutzt man allerdings einen GTR, so müssen die Daten zunächst per Hand geordnet und dann die übrigen Kenngrößen bestimmt werden. Hier sollte man die Gesamtsumme stets kontrollieren, sodass gesichert ist, dass die Stichprobe noch stimmt. Sinnvolle Klassen bilden Da die erhobenen Daten immer noch recht "unhandlich" zur Auswertung sind, entscheiden die Schülerinnen und Schüler, sinnvolle Klassen zu bilden. Es entstehen gleich große Klassen von "0 bis 10 Jahren" bis "mehr als 90 Jahre". Hier werden die absolute Häufigkeit und die relative Häufigkeit bestimmt, sodass man einen besseren Überblick darüber erhält, welche Altersklassen am häufigsten vertreten sind. Verknüpfung mit dem Fach Geographie An dieser Stelle bieten sich erste Anknüpfungspunkte an das Fach Geographie: Sind die Daten repräsentativ? Stimmt die Häufigkeit des Auftretens mit der Häufigkeit im Bund überein, oder gibt es starke Abweichungen? Diese Phase kann entweder im Unterrichtsgespräch oder aber in Partnerarbeit durchgeführt werden. Entscheidet man sich für Partnerarbeit, ist es hilfreich, diese Phase mit einem Arbeitsblatt zu unterstützen. An dieser Stelle kann man die Daten auch graphisch darstellen lassen, indem man mithilfe von Excel oder Taschenrechner ein Säulendiagramm (Befehl "Diagramm einfügen") oder ein Histogramm zeichnen lässt. Auftreten der verschiedenen Altersklassen Sehr auffällig ist hier, dass die Altersklassen "zwischen 11 und 20 Jahren" und "41 bis 50 Jahren" am stärksten vertreten sind. Die Erklärung dafür ist recht einfach: Die Schülerinnen und Schüler haben ihr Alter und das Alter der Eltern am häufigsten angegeben, sodass eben diese Altersklassen am stärksten vertreten sind. Die Altersklasse "von 0 bis 10 Jahren" und die Klasse "älter als 90 Jahre" ist am geringsten vertreten, da die Geschwister meist in der eigenen Altersklasse auftreten und die Generation der Großeltern jene Altersklasse "über 90 Jahre" noch nicht erreicht hat. Bezug zu Bevölkerungsprognosen und Lebenserwartung Betrachtet man an dieser Stelle den Bundesschnitt, stimmen die Werte gut überein, und die empirischen Daten sind repräsentativ, wie zum Beispiel diese Seite des Statistischen Bundesamtes verdeutlicht. An dieser Stelle kann man auf Bevölkerungsprognosen und Lebenserwartung eingehen und Verbindungen zu den Fächern Erdkunde und Biologie herstellen. Die Lebenserwartung in Deutschland steigt aufgrund einer sehr guten medizinischen Versorgung und Beschäftigungen, die kaum noch körperliche Anstrengungen verlangen. Ebenso gehen die Zahlen der Geburten zurück aufgrund einer zunehmenden Geburtenkontrolle, der Zunahme von Single-Haushalten und der steigenden Gleichberechtigung der Frauen. Diskussion über gesellschaftliche Rahmenbedingungen Die Schülerinnen und Schüler äußern an dieser Stelle vermutlich Kritik in der Form, dass die gesellschaftlichen Rahmenbedingungen nicht stimmen würden. Dabei könnten sie thematisieren, dass Frauen häufig benachteiligt werden oder Einbußen hinnehmen müssen, wenn sie Kinder und Job vereinbaren wollen. Tagesaktuelle Schlagzeilen oder Diskussionsstoff über Frauen in Führungspositionen und eine mögliche gesetzliche Regelung können in die Diskussion einfließen. Je nach Vertiefung und Verfügung von Stunden kann man dies durch ein Arbeitsblatt unterstützen. Bestimmen des Mittelwertes Ausgehend von absoluter und relativer Häufigkeit ergibt es sich, die Daten genauer zu untersuchen und den Mittelwert beziehungsweise das arithmetische Mittel und den Median mithilfe von Excel oder des GTR berechnen zu lassen. An dieser Stelle ist es wichtig, das arithmetische Mittel deutlich vom Median zu unterscheiden. Beide beschreiben so etwas wie den Mittelwert, allerdings muss für den Median die Stichprobe geordnet sein. Beim arithmetischen Mittel ist das nicht erforderlich. Hierzu versetzen sich die Schülerinnen und Schüler in die Rolle von Mitarbeitern der Abteilung für Presse- und Öffentlichkeitsarbeit in einem Unternehmen, die im Rahmen von Pressemitteilungen oder Pressekonferenzen Daten stets kurz und prägnant präsentieren müssen. Berechnung der Spannweite und der empirischen Standardabweichung Hat man den Mittelwert berechnet, folgen nun die Berechnung der Spannweite und der empirischen Standardabweichung. Beide Kenngrößen sind als Streuungsmaße bekannt und ein wichtiges Element der Beschreibenden Statistik. Bei der Berechnung der empirischen Standardabweichung benötigt man den Befehl =STABWN (Zelle1:ZelleEnde). Gerade bei der Berechnung der Kenngrößen ist es wichtig, nach dem Sinn und Nutzen zu fragen und die gewonnenen Daten interpretieren zu lassen. In der Beschreibenden Statistik werden viele Begriffe verwendet, die einen ähnlichen Sachverhalt darstellen, sich aber doch deutlich in der Interpretation unterscheiden. Bei der empirischen Standardabweichung, also der Abweichung vom Mittelwert, sollte die Lehrkraft den Hinweis geben, dass circa 68 Prozent aller erhobenen Daten in einem symmetrischen Intervall um den Mittelwert liegen. Vergleich mit internationalen demografischen Daten Nachdem die erhobenen Daten ausgewertet und interpretiert worden sind, lohnt es sich über den Tellerrand zu schauen und die Daten mit den Daten von Partnerschulen oder aber mit internationalen demografischen Daten zu vergleichen. Auf der Seite www.census.gov finden sich beispielsweise zahlreiche Informationen über die verschiedenen Länder der Erde, mit denen die Werte verglichen werden können. Optional Datenpool vergrößern Um einen größeren "Datenpool" zu haben, ist es möglich, aus anderen Klassen und Kursen Altersangaben hinzuzunehmen. Damit nimmt die Größe der Stichprobe zu, und die Daten sind deutlich repräsentativer. Die Lehrkraft sollte zu Beginn der Reihe mehr Stunden einplanen. Die vorliegende Unterrichtsreihe lässt sich außerdem erweitern, indem neben dem Alter noch das Geschlecht erfasst wird. Einführung in wichtige Funktionen Bei der Arbeit mit Excel ist es sinnvoll, an der ein oder anderen Stelle wichtige Funktionen noch einmal zu wiederholen und zu üben. Das Gleiche gilt für die Arbeit mit dem GTR. Die Schülerinnen und Schüler können mit dem Rechner rechnen, benötigen aber eine Einführungsphase in das Erstellen und Auswerten von Listen beziehungsweise ausreichend Zeit, um ein Histogramm zu zeichnen. Excel-Datei digital zur Verfügung stellen Die Excel-Datei, in der sich die Urliste befindet, sollte den Schülerinnen und Schülern per Netzwerk oder einer für alle zugänglichen Dateiablage in der so genannten "Cloud" (etwa Dropbox) zur Verfügung gestellt und dort immer wieder gesichert werden. Die Listen, mit denen die Schülerinnen und Schüler im GTR arbeiten, sind dagegen stets präsent, da diese sich immer im Rechner befinden. Hierbei sind gegebenenfalls die eintsprechenden Einstellungen anzugeben.

In dieser Unterrichtseinheit zum Volumen eines Quaders werden den Schülerinnen und Schülern durch interaktive Arbeitsmaterialien vielfältige Möglichkeiten eröffnet, um die Grundvorstellungen zum Volumenbegriff zu entwickeln.Bevor im Unterricht die Formel für das Volumen eines Quaders formuliert wird, sollten den Lernenden vielfältige Möglichkeiten eröffnet werden, mit denen sie Grundvorstellungen zum Volumenbegriff entwickeln können. Interaktive Arbeitsblätter unterstützen das Ausbilden von Grundvorstellungen und fördern zugleich Kompetenzen hinsichtlich der Anwendung von Kenntnissen auf neue Problemstellungen. Die dynamischen Zeichnungen innerhalb der Web-Arbeitsblätter zur Exploration und Übung wurden mit GeoGebra realisiert. In der Explorationsphase können die Schülerinnen und Schüler einen zufällig erzeugten Quader mit Einheitswürfeln (cm³-Würfel) füllen. Neben dieser dynamischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung bietet die Unterrichtseinheit eine Übung zur Anwendung der erworbenen Kompetenzen. Dabei soll das Volumen eines Restkörpers berechnet werden, der entsteht, wenn aus einem Quader ein Würfel herausgeschnitten wird. Da alle Ergebnisse der Lernenden überprüft und Hilfestellungen angeboten werden, ist eine eigenständige und eigenverantwortliche Aneignung des mathematischen Sachverhalts möglich.Bei Unterrichtstunden im Computerraum kommt dem Hefteintrag eine Brückenfunktion zu. Einerseits sollte dieser nach Möglichkeit den Verlauf der Unterrichtstunde visuell widerspiegeln. Dazu können zum Beispiel die wesentlichen Schritte mithilfe von Screenshots, also Bildschirmbildern, festgehalten werden. Die so erzeugten Bilder rufen den Unterrichtsverlauf noch einmal ins Gedächtnis der Schülerinnen und Schüler. Andererseits sollten zentrale Unterrichtsinhalte zusammengefasst werden und so zur Bearbeitung von Aufgaben in den jeweiligen Schulbüchern überleiten. Interessierte Eltern erhalten ferner einen Eindruck von den Möglichkeiten, die ein Mathematikunterricht im Computerraum bietet. Technik, Inhalte und Funktionen der Arbeitsblätter Hier finden Sie Informationen zu den technischen Voraussetzungen und zum Aufbau der Seiten. Rückmeldungen der Lernumgebung unterstützen das selbstständige Lernen. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien In der ersten Unterrichtsstunde bestimmen Lernende experimentell das Quadervolumen. In der zweiten Stunde wenden sie ihr Wissen bei der Bestimmung von Restkörpervolumina an. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass jeder Quader mit Einheitswürfeln gefüllt werden kann. erkennen, dass die Anzahl dieser Einheitswürfel von der Länge, Breite und Höhe des Quaders abhängt. können die Anzahl von Einheitswürfeln ohne Veranschaulichung als Produkt aus Länge, Breite und Höhe ermitteln. können die erworbenen Kenntnisse auf das Volumen eines Würfels anwenden und so die Kubikzahlen finden. können das Volumen von Restkörpern durch Subtraktion der Volumina zweier Körper bestimmen. Das hier vorgestellte Unterrichtskonzept verlangt keinerlei besondere Kompetenz in Hinsicht auf eine spezielle Computersoftware. Es kann somit von jeder Lehrkraft und jedem Lernenden verwendet werden. Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet insgesamt drei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla-Firefox) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Aufgabenstellungen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Der Aufbau der Web-Arbeitsblätter folgt einer einheitlichen Grundstruktur. Alle Arbeitsblätter sind in zwei Spalten unterteilt (siehe Abb. 1). In der linken Spalte finden sich Hinweise auf die Bedienung, wie etwa eingegebene Ergebnisse überprüft und neue Aufgaben erzeugt werden können. Ferner befinden sich hier die interaktiven Elemente sowie das Rückmeldefenster mit dem aktuellen Punktestand. In der rechten Spalte wird immer die jeweilige dynamische Zeichnung erzeugt und dargestellt. Bei allen interaktiven dynamischen Arbeitsblättern erhalten Schülerinnen und Schüler für richtig gelöste Aufgaben Punkte. Zusätzlich können die Lernenden die bei den jeweiligen Übungen erreichten Punkte in eine Bestenliste, die sogenannte Highscore-Liste, eintragen. Diese zusätzliche Funktion steht allen Nutzern ohne vorherige Anmeldung zur Verfügung. Sofern Lehrkräfte für die Schülerinnen und Schüler ihrer Schule eine zusätzliche schulinterne Bestenliste wünschen, reicht eine kurze Mitteilung an den Autor (a.meier@realmath.de), um diese zu erhalten. Für die beobachtende Lehrkraft bietet der angezeigte Punktestand eine gute Rückmeldung darüber, wie die Lernenden mit der Aufgabenlösung zurechtkommen. Der zentrale Gesichtspunkt der Unterrichtseinheit ist das Ausbilden von Grundvorstellungen zum Volumen eines Quaders. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass zur Bestimmung des Volumens die Anzahl von Einheitswürfeln (cm*³*-Würfel) von Bedeutung ist. Die dazu erstellte dynamische Lernumgebung ermöglicht es den Lernenden, einen zufällig erzeugten Ausgangsquader nach ihren eigenen Vorstellungen mit cm³-Würfel zu füllen. Dadurch wird offensichtlich, dass die Anzahl der cm³-Würfel von der jeweiligen Länge, Breite und Höhe des Quaders abhängt. Zudem wird der multiplikative Zusammenhang der Größen "Länge, Breite und Höhe" ersichtlich und dass es ohne Bedeutung ist, in welcher Reihenfolge die drei zugehörigen Maßzahlen multipliziert beziehungsweise in welcher Reihenfolge die Einheitswürfel erzeugt werden. Eines der wesentlichen Elemente interaktiver dynamischer Arbeitsblätter ist die Rückmeldung auf Schüleraktivitäten. Ist eine Aufgabe richtig gelöst, so beinhaltet diese eine positive Verstärkung, wie zum Beispiel "Ausgezeichnet! Alles richtig!". Wurde hingegen die Aufgabe fehlerhaft bearbeitet, so gibt es je nach Aufgabenstellung unterschiedliche Rückmeldungen. Dies kann einerseits die Ausgabe der richtigen Lösung sein, die die Schülerinnen und Schüler in die Lage versetzt, ihre Eingabe mit der korrekten Lösung zu vergleichen und so den gemachten Fehler einzuordnen. Ferner kann bei komplexeren Aufgaben die Rückmeldung neben der korrekten Lösung auch Teillösungen beinhalten, die als Impuls für die Suche nach der korrekten Aufgabenlösung dienen sollen. Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler werden Hilfen bereitgestellt, die diese bei ihren Überlegungen und Berechnungen unterstützen. Volumenformel finden und anwenden Nach einer kurzen Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven dynamischen Arbeitsblatts, bei der die Lehrkraft zeigt, wie durch Bewegen der roten Punkte auf den Quaderkanten die cm³-Würfel erzeugt werden können, sollen die Schülerinnen und Schüler das Volumen der jeweils zufällig erzeugten Quader ermitteln, eingeben und prüfen lassen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Lernenden werden im weiteren Verlauf der Unterrichtsstunde aufgefordert, die Aufgaben ohne Veranschaulichung zu lösen und so die von ihnen entdeckte Formel für das Quadervolumen zu prüfen. Anhand des PDF-Arbeitsblatts (quader_volumen_1.pdf) werden dann die unterschiedlichen Vorgehensweisen der Lernenden im Plenum diskutiert und die Volumenformel fixiert. Volumen des Würfels - Kubikzahlen finden Eine Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven dynamischen Arbeitsblatts kann entfallen, da der Aufbau des Arbeitsblatts (Abb. 2) dem vorherigen entspricht. Da sich die zu bestimmenden Volumenwerte eines Würfels bei gegebenen Kantenlängen von 1 Zentimeter bis 10 Zentimeter sehr rasch wiederholen, kann es lohnend sein, sich diese Werte zu notieren, um sie ständig verfügbar zu haben. Die zugehörigen Kubikzahlen können die Schülerinnen und Schüler abschließend im zweiten PDF-Arbeitsblatt (quader_volumen_2.pdf) festhalten. Sollte aus Zeitgründen diese Fixierung nicht mehr möglich sein, könnte dies auch eine mögliche Hausaufgabenstellung sein. Sicherung des Ausgangsniveaus Die für diese Unterrichtsstunde vorgesehene Übung baut auf den Erkenntnissen der vorausgehenden Stunde auf. Daher sollte anhand der in der vorherigen Unterrichtsstunde verwendeten Arbeitsblätter die Grundlagen zur Berechnung des Volumens eines Quaders und die Kubikzahlen wiederholt werden. Lösungswege finden, besprechen und anwenden Nach der Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven dynamischen Arbeitsblatts wird das Problem beschrieben. "Aus einem Quader wird an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten. Berechne das Volumen des Restkörpers V R " (Abb. 3). Der neue Begriff "Restkörper" wird durch die Lehrkraft geklärt. Anschließend sollen die Schülerinnen und Schüler die erste Aufgabe des dritten PDF-Arbeitsblatts (quader_volumen_3.pdf) in Partnerarbeit bearbeiten und Lösungsstrategien schriftlich fixieren. Auf die Diskussion der Ergebnisse folgt dann die Bearbeitung weiterer Aufgaben am Rechner. Die Schülerinnen und Schüler sollten jedoch immer ein Konzeptpapier für Rechnungen verwenden. Die zweite Aufgabe des Arbeitsblatts "quader_volumen_3.pdf" kann als Hausaufgabe verwendet werden. Rückmeldung auf falsche Eingaben Wird das Volumen eines Restkörpers falsch berechnet, so kann dies unterschiedliche Gründe haben. Zum einen kann das Volumen des Ausgangsquaders falsch ermittelt oder die Kantenlänge des herausgeschnittenen Würfels fehlerhaft abgelesen worden sein. Schließlich kann auch die Differenz aus den beiden Volumina nicht korrekt bestimmt worden sein. Um den Lernenden eine eigenständige Fehleranalyse zu ermöglichen, werden in der Rückmeldung detaillierte Angaben zur Berechnung gemacht und alle Teilergebnisse und Rechenschritte eingeblendet (Abb. 4).

In der Einheit "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" soll den Lernenden ein Einblick in das Denken in Strukturen aus der Informatik an einem aus dem Alltag bekannten Problem mit Strichcodes nahegebracht werden.Strichcodes sind auf allen Produkten zu finden; an der Kasse werden über Strichcodes Produkten Preise zugeordnet. Aber wie viele verschiedene Strichcodes gibt es eigentlich? Da gewisse Bedingungen an die Folge von schwarzen und weißen Strichen zu stellen sind, eignen sich Automaten aus der Informatik als Mittel, um hier kombinatorische Fragestellungen zu lösen. Das Thema "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" im Unterricht Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe dieser Unterrichtseinheit Automaten kennenlernen. Sie üben sich außerdem im Umgang mit irrationalen Wurzeln und dem Satz des Pythagoras. Zudem gewinnen sie Einblick in die Lösung kombinatorischer Fragestellungen mit Automaten. Als Hilfsmittel wird dabei Excel (oder ein anderes Tabellenkalkulationsprogramm) verwendet. Vorkenntnisse Grundkenntnisse der Kombinatorik sind für diese Einheit nötig. Allerdings genügen hier schon die Kenntnis der Fakultät, so des Zählprinzips. Mithilfe dieser Grundlagen ist ein einfacher Einstieg in den Bereich möglich. Da Tabellenkalkulationen zur Bestimmung von Werten verwendet werden, sollte diese bekannt und der Umgang vertraut sein. Didaktische Analyse Gelingt es den Lernenden Darstellungen in Automaten in einer Tabellenkalkulation zu nutzen, um Anzahlen von Möglichkeiten zu bestimmen? Während das Mittel "Zustandsautomaten" den Schülerinnen und Schülern neu sein sollte, wird ihnen der Umgang mit Tabellenkalkulationen vertraut sein. Zustandsautomaten bei der bearbeitenden Fragestellungen sind leicht überblickbar. Deswegen eignet sich das Thema zum Kennenlernen dieses Mediums. Methodische Analyse Da die Schülerschaft viel in Anwesenheit der Lehrkraft erarbeiten soll, können Fragen zu verschiedenen Zeitpunkten möglich sein. Dies ist für Lernende motivierend, da sie wissen, dass ihnen bei Schwierigkeiten an der richtigen Stelle geholfen wird. Die Arbeiten außerhalb des Unterrichts werden in den darauffolgenden Stunden ausführlich besprochen, damit auch dort Rückmeldungen zu allen möglichen Schwierigkeiten erfolgen kann. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. verwenden mathematische Darstellungen und Darstellungen aus dem Fachbereich Informatik zu verwenden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation viele Werte bestimmen und darstellen kann. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in Gruppenarbeit ein. geben Hilfeleistungen und fragen nach individuellen Hilfen von anderen. Strichcodes im Alltag An jeder Einkaufskasse werden sie verwendet: Strichcodes. Die Kassiererin, die früher noch Preise in die Tastatur der Kasse eintippte, ist für viele Jugendliche eine Geschichte aus längst vergangener Zeit. In einer Discothek in Barcelona wird nicht mehr nur mit Barem bezahlt. Besucher können sich einen Chip implantieren lassen. Sobald sie eine Bestellung aufgeben, werden sie anhand ihres Chips erkannt und ihr Konto wird via Online-Banking belastet. Strichcodes - Folgen von schwarzen und weißen Strichen - codieren eindeutig, um welches Produkt beziehungsweise um welche Person es sich handelt. Wie viele Objekte können verschlüsselt werden? Aber wie viele verschiede Objekte kann man mit Codes verschlüsseln und wovon hängt diese Anzahl ab? Einen ersten Einblick liefert eine Reihe von schwarzen und weißen Feldern, wie sie in Abb. 1 dargestellt ist. Wenn nun zehn Felder verwendet werden - wie viele verschiedene Muster können entstehen, wenn nur die Farben schwarz und weiß verwendet werden dürfen? Die Antwort, 210, ist schnell gefunden. Jedes Feld hat zwei verschiedene Möglichkeiten. Jedes Feld kann beliebig an jedes Feld angehängt werden. Und deswegen ist pro Feld ein Faktor 2 zu berücksichtigen. Anforderungen an den Code Doch schon bei diesem einfachen Problem kommt schnell folgende Frage auf: Woran kann der Scanner, der die Abfolge schwarzer und weißer Felder entziffern soll, erkennen, ob es zwei oder drei schwarze Felder nebeneinander sind? Dasselbe Problem ergibt sich auch bei den weißen Feldern, denn die schwarzen Trennstriche zwischen den weißen Feldern treten bei Strichcodes nicht auf. Somit werden Bedingungen an den Code gestellt: Das erste und das letzte Feld müssen schwarz sein. Für die Zahl gleicher nebeneinanderliegender Felder muss eine Höchstgrenze festgelegt werden (zwei, drei, vier … ). Erweiterung Eine Erweiterung des Themas ergibt sich daraus, dass nicht nur "Schwarz und Weiß", sondern mehrere Farben für den Aufbau eines Codes zugelassen werden. Dass in diesem Zusammenhang die Fibonacci-Zahlen auftreten ist überraschend - weniger, dass mit Automaten und Zustandsübergängen Lösungen gefunden werden können. Und dass dabei Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel eine wunderbare Hilfe bieten, rundet die Thematik ab.

Dateien im MP3-Format sind heutzutage sehr verbreitet. Dass hinter MP3 jede Menge interessante Mathematik steht, ist vielen nicht bewusst. Wer kennt nicht MP3-Dateien? Mit ihnen ist es möglich, große Mengen von Musik auf kleinstem Raum zu speichern und wieder abzuspielen: denn mit MP3 kann man den Speicherplatz, den man benötigt, um eine Audiodatei zu speichern, auf einen Bruchteil reduzieren. Auf modernen MP3-Playern von der Größe einer Streichholzschachtel ist es möglich, bis zu 200.000 Minuten Musik (das entspricht 130 Tagen) zu speichern. Diese Unterrichtseinheit soll einige der Prinzipien, auf denen MP3 basiert, näher beleuchten und allgemein verständlich darstellen. Dies umfasst biologische, physikalische und mathematische Aspekte. Ausgehend von verschiedenen Hörbeispielen zur Einführung werden die mathematischen Grundlagen betrachtet, die hinter der Zerlegung von Frequenzen liegen. Prinzip von MP3 und Grundlagen Wie lassen sich große Datenmengen von Video- und Audiodateien im MP3-Format platzsparend speichern? Was hört das menschliche Ohr - und was nicht? Die Grenzen des menschlichen Gehörs und welche Rolle dabei der verdeckende Schall und der verdeckte Schall spielen. Prinzip der Multiskalenanalyse Zerlegt man musikalische Töne in ihre Einzelfrequenzen, müssen ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachtet werden. Multiskalenanalyse mithilfe von Rechteckschwingungen Tonsignale lassen sich auch in Rechteckschwingungen zerlegen, deren Skala zunehmend gröber wird. Huffman-Codierung Um in MP3 die verbliebenen Informationen effizient abzuspeichern, nutzt man die Huffman-Codierung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Prinzipien, auf denen MP3 basiert, kennen lernen. ein grundlegendes Verständnis für das Hören von Tönen und Klängen entwickeln. einige Grenzen des menschlichen Gehörs kennen lernen. das Prinzip der Zerlegung eines Klanges in Einzelfrequenzen am Beispiel einer Multiskalenanalyse nachvollziehen. Thema MP3 - ein Beispiel für angewandte Mathematik im Alltag Autoren Dr. Anton Schüller, Prof. Dr. Ulrich Trottenberg, Dr. Roman Wienands Fach Mathematik, Physik, Biologie oder Differenzierungsbereich Mathematik/Naturwissenschaft Zielgruppe ab Klasse 8 oder im Rahmen eines Projektkurses in der Oberstufe Zeitraum 3 bis 4 Stunden oder im Rahmen einer Projektwoche Technische Voraussetzungen Computer mit Soundkarte, Software zur Wiedergabe von Audio- und Videodateien im avi-Format, zum Beispiel Windows Media Player oder Real Player MP3 ist eine Abkürzung von MPEG Audio Layer 3, wobei MPEG für Moving Picture Experts Group steht, die 1988 gegründet wurde, um einen Standard für die effiziente Kodierungvon Videocodes zu entwickeln. MP3 basiert auf dem Prinzip, dass nur der Anteil von einem Musikstück gespeichert werden muss, den das menschliche Ohr auch hören kann. Dies mag auf den ersten Blick ein wenig überraschend klingen. Hören wir denn nicht alles, was in einem Musikstück enthalten ist? Tatsächlich ist das menschliche Ohr nicht in der Lage, alle Details, die in einem Musikstück enthalten sind, wahrzunehmen. Zur Einführung in das Thema eignet sich das Zeigen der Audio-Video-Datei audio_video_kompression.avi. Hier wird gleichzeitig an einem visuellen und auditiven Beispiel demonstriert, wie sich die Qualität von Bildern und Musik verändert, wenn man die zugehörigen Dateien immer weiter komprimiert. Bei der Datenkompression bleibt die Qualität für die menschliche Wahrnehmung zunächst erhalten und man spart große Mengen Speicherplatz. Irgendwann werden jedoch die Qualitätsverluste bemerkbar. Komprimiert man dann immer noch weiter, so verschlechtert sich die Qualität dramatisch. Wieso können wir überhaupt das hören, was jemand sagt, der einige Meter von uns entfernt ist? Der Grund hierfür ist das physikalische Phänomen des Schalls. Schall entsteht, weil die Moleküle eines Mediums (zum Beispiel Luft) zum Schwingen gebracht werden. Dadurch stoßen sie an benachbarte Moleküle, bringen auch diese ins Schwingen und so weiter. Abb. 1 (bitte anklicken) zeigt eine Animation der Molekülbewegungen. Solch eine (mechanische) Schwingung breitet sich in festen, flüssigen oder gasförmigen Stoffen wellenförmig aus. Schall breitet sich als sogenannte Longitudinalwellen aus, also immer parallel zur Ausbreitungsrichtung. Die Animation in Abb. 2 (bitte anklicken) verdeutlicht dies. Entsteht ein Ton dadurch, dass eine Gruppe von Molekülen ganz regelmäßig hin und her schwingt, beispielsweise 400 mal pro Sekunde, so sagen wir auch, der Ton hat eine Frequenz von 400 Hertz, das heisst die Schwingung erfolgt 400 mal pro Sekunde. Das menschliche Ohr kann nur Töne wahrnehmen, die zwischen etwa 16 und 20.000 Hertz liegen. Ist c die Schallgeschwindigkeit in einem Medium, f die Frequenz einer Schallwelle (das heißt einer sich wellenförmig ausbreitenden Schwingung) und λ (sprich lambda) die Wellenlänge, so gilt c = λ * f Sind zwei dieser drei Größen bekannt, so kann man die dritte hiermit berechnen. Je weiter die Moleküle in der Luft hin und her schwingen, desto lauter ist der Ton. Die Lautstärke beschreibt also den Unterschied zwischen Berg und Tal der Schwingung. Geräusche haben keine exakt bestimmbare Tonhöhe mehr. Sie sind nichtperiodische Schallereignisse, die durch Überlagerungen vieler Schwingungen unterschiedlicher Frequenz mit rasch wechselnder Amplitude entstehen. Mit anderen Worten: "Der Unterschied von Ton/Klang zu Geräusch ist in der Regelmäßigkeit der Schwingung zu finden. Bei einem Geräusch ist die Schwingbewegung der Luft sehr ungleichmäßig, bei Tönen dagegen handelt es sich um immer wiederkehrende gleichförmige Luftbewegungen". Alles, was wir hören, besteht aus Überlagerungen von Schwingungen, die sich in einem Medium wie der Luft wellenförmig ausbreiten. Diese wellenförmige Ausbreitung bedeutet physikalisch gesehen, dass das menschliche Ohr Druckschwankungen wahrnimmt, die aus einer Überlagerung von Schwingungen unterschiedlichster Frequenzen resultieren. Diese Druckschwankungen führen zu einem entsprechenden Schwingen des Trommelfells. Das menschliche Ohr ist wiederum imstande, dieses Schwingen des Trommelfells über Sinneshaare im Innenohr, die auf unterschiedliche Frequenzen spezialisiert sind, in einzelne Tonfrequenzen zu zerlegen und als Nervenreize an das Gehirn weiterzuleiten. Diese werden dann vom Gehirn als Töne, Klänge und Geräusche interpretiert. Grenzen des menschlichen Gehörs: Abb. 3 zeigt Hörschwelle, Schmerzgrenze, Musik- und Sprachwahrnehmbarkeit in Abhängigkeit von der Frequenz. Nach rechts ist die Frequenz und nach oben die Lautstärke (in der Maßeinheit "Dezibel") aufgetragen. Man beachte dabei, dass "Dezibel" eine logarithmische Maßeinheit ist. Wegen log 1 = 0 bedeutet 0 Dezibel gerade nicht, dass völlige Stille herrscht. In Abb. 4 werden die Grenzen des menschlichen Gehörs deutlich: Die Hörschwelle wird angehoben durch die Anwesenheit von Tönen mit einer Frequenz von 1 kHz und verschiedenen Lautstärken (in jeweils unterschiedlichen Farben dargestellt). mp3 macht sich zunutze, dass die akustischen Informationen, die das menschliche Ohr überhaupt nicht wahrnehmen kann, auch nicht abgespeichert werden müssen. Für MP3 müssen also die Tonsignale wieder in die einzelnen Frequenzen zerlegt werden, aus denen sie zusammengesetzt sind. Anschließend werden die Anteile, die für das menschliche Gehör ohnehin nicht wahrnehmbar sind, aus der Frequenzdarstellung entfernt, denn nur die hörbaren Anteile müssen überhaupt gespeichert werden. In den Videoclips wird demonstriert, wie MP3 funktioniert. An diesen Hörbeispielen wird deutlich, dass man im MP3-Format nur einen kleinen Teil der ursprünglichen Frequenzen zu speichern braucht. Den überwiegenden Rest der Informationen kann man weglassen, ohne dass das menschliche Ohr einen Unterschied zur Originalversion wahrnimmt. Die Töne im weißen Bereich des dritten Beispiels (musikbeispiel_orig_minus_mp3.avi) werden in der Originalversion durch andere dominantere Töne überdeckt und werden somit im Gesamtzusammenhang des Musikstücks nicht wahrgenommen. Erst wenn die dominanten Töne wegfallen, werden die restlichen Töne für das menschliche Ohr hörbar. Musikalische Töne bestehen aus einer Überlagerung einer Vielzahl von Schwingungen. Wie zuvor bereits erläutert, sind nur die Schwingungen mit Frequenzen zwischen etwa 20 und 20.000 Hertz für den Menschen hörbar. Der Faktor zwischen den niedrigsten und den höchsten hörbaren Frequenzen beträgt damit immerhin 1.000 = 10³, also 3 Zehnerpotenzen. Wenn wir also musikalische Töne wieder in die darin enthaltenen Einzelfrequenzen zerlegen wollen, müssen wir ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachten. Da die Frequenzen in einem bestimmten Medium wie der Luft in direktem Zusammenhang mit den zugehörigen Wellenlängen stehen (wie in der Gleichung zu Prinzip von MP3 und Grundlagen ), können wir ganz analog auch sagen, wir müssen ganz unterschiedliche Skalen von Wellenlängen betrachten. Eine derartige Multiskalenanalyse ist durchaus nicht ungewöhnlich, wenn man die Eigenschaften von Objekten beobachten oder analysieren will. Anhand von zwei Beispielen wird das Prinzip der Multiskalenanalyse verdeutlicht. Im ersten Beispiel wird eine Multiskalenanalyse durch fortgesetzte Mittelwertbildung für eine gegebene Zahlenfolge durchgeführt. Im zweiten Beispiel betrachten wir die Zerlegung eines Tonsignals in sogenannte Wavelets, was der Zerlegung in Rechteckschwingungen entspricht. Wir betrachten als Beispiel folgende Zahlenfolge von Quadratzahlen: 0 1 4 9 16 25 36 49. Fassen wir die Zahlen in Paare zusammen und bilden die Mittelwerte dieser Paare, so erhalten wir die Folge 0,5 6,5 20,5 42,5. Fassen wir diese Zahlen ebenfalls wieder zu Paaren zusammen und bilden die Mittelwerte der Paare, so erhalten wir die Folge 3,5 31,5. Für dieses Zahlenpaar haben wir den Mittelwert 17,5. Wir haben jetzt die ursprüngliche Zahlenfolge in mehrere Skalen von Mittelwerten überführt: Um von einer Mittelwertskala wieder zur vorhergehenden zu gelangen, benötigen wir die Abweichungen der Mittelwerte von den zugehörigen Werten auf der vorigen Skala: 17,5 - 14 = 3,5 beziehungsweise 17,5 + 14 = 31,5 Entsprechend auf der nächstgröberen Skala: 3,5 - 3 = 0,5 3,5 + 3 = 6,5 31,5 - 11 = 20,5 31,5 + 11 = 42,5 Ganz analog können wir auch von der feineren Skala von Mittelwerten zu unserer ursprünglichen Folge zurückkehren: Die gröbste Skala von Mittelwerten und diese Abweichungen können wir uns wie in folgendem Schema merken. Hier ist zusätzlich die ursprüngliche Zahlenfolge nochmals mit aufgeführt: Zu den ursprünglichen Zahlen zurück kommen wir jetzt, indem wir den Mittelwert auf der gröbsten Skala und die entsprechenden gespeicherten Abweichungen auf allen feineren Skalen einfach addieren. Ein Beispiel: Annäherung an die Funktion durch Balken Um Tonsignale in Rechteckschwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu zerlegen, können wir ganz analog vorgehen. Abb. 9 zeigt links eine Funktion, die wir in Rechteckschwingungen zerlegen wollen. Da wir den Funktionsverlauf in der Praxis oft nicht genau kennen, sondern nur an bestimmten Werten messen, nähern wir die Funktion durch die einzelnen Messwerte an. Diese Messwerte werden durch die gefärbten Balken wiedergegeben. Multiskalenanalyse in beide Richtungen möglich Auf der rechten Seite der Abbildung 9 ist der umkreiste Ausschnitt der Funktion vergrößert dargestellt. Wir erläutern das Prinzip unserer Multiskalenanalyse im Folgenden anhand dieses Ausschnitts. Vergröberung der Skalen Die linke Skizze in Abb. 10 zeigt, dass wir wie im vorangegangenen Abschnitt bei der Prinzip der Multiskalenanalyse wieder Mittelwerte der gemessenen Funktionswerte bilden, um auf die nächstgröbere Skala zu kommen. Dieses Vorgehen können wir fortsetzen, um auf gröbere Skalen zu kommen. Die mittlere Grafik von Abb. 10 zeigt den Mittelwert auf der entsprechenden nächstgröberen Skala. Verfeinerung der Skalen Aber auch die andere Richtung ist denkbar: Zurück zur feinen Skala der Funktion können wir wieder kommen, indem wir wieder die Abweichungen zum Mittelwert hinzu addieren. So erhalten wir wieder die ursprünglichen Messwerte der Funktion zurück. Betrachten wir jetzt die rechte Seite in dieser Abbildung genauer, so stellen wir fest, dass wir tatsächlich unseren Funktionsausschnitt in eine Folge von Rechteckschwingungen zerlegt haben. Abweichungen entsprechen der Rechteckschwingung Dabei sind wir ganz genauso vorgegangen wie bei der Multiskalenanalyse unserer Zahlenfolge im vorangegangenen Abschnitt ( Prinzip der Multiskalenanalyse ). Die Zahlenfolge dort können wir auch auffassen als Messwerte für die Funktion f(x) = x 2 . Daher haben wir auch dort bereits eine Zerlegung dieser Funktion in Rechteckschwingungen durchgeführt. Dies wird deutlich, wenn wir die Abweichungen auf den einzelnen Skalen nochmals genauer betrachten. Wir stellen dabei fest, dass je zwei dieser Abweichungen den gleichen Betrag haben, sich aber im Vorzeichen unterscheiden; so können z.B. die Werte ?3 und +3 auf der zweitfeinsten Skala von Abweichungen als eine Rechteckschwingung (der Höhe 3) aufgefasst werden. Prinzip der Codierung Wie bereits zu Beginn dieser Unterrichtseinheit erwähnt wurde, kann das menschliche Ohr insbesondere in polyphoner Musik (wenn viele Töne gleichzeitig erklingen und sich überlagern) viele Informationen nicht wahrnehmen. Daher werden die unhörbaren Anteile in MP3 nur ungenau gespeichert. Zusätzlich wird eine weitere Reduktion des zu speichernden Datenvolumens dadurch erreicht, dass man eine sogenannte Huffman-Codierung verwendet. Die Idee der Huffman-Codierung lässt sich am Beispiel der Codierung eines Textes einfach beschreiben: In einem Text kommen Buchstaben unterschiedlich häufig vor, in der deutschen Sprache beispielsweise das "e" viel häufiger als das "y". Deshalb verwendet man einen sehr kurzen Code für häufig vorkommende Buchstaben, längeren Code hingegen für Buchstaben, die nur selten vorkommen. Gleichzeitig ist aus einer Huffman-Codierung die ursprüngliche Information schnell, eindeutig und exakt reproduzierbar. Beispiele für Codierungen Ein Beispiel für eine derartige Codierung ist das Morsealphabet. Ein negatives Beispiel ist hingegen das Tippen einer SMS. Hier muss für häufig verwendete Buchstaben wie zum Beispiel "e" oder "n" zweimal gedrückt werden. Übertragen auf die Musik bedeutet dies: Meist besteht das ungenau zu speichernde Frequenzspektrum aus wenigen großen und vielen (also häufiger vorkommenden) kleinen Werten (Quantisierungswerte). Die Huffman-Codierung sorgt dann dafür, dass die digitalisierte Darstellung dieses Tons nur sehr wenig Speicherplatz einnimmt. Im Zusammenhang mit mp3 reduziert die Huffman-Codierung den Speicherplatz spürbar. Helmut Neunzert Einführungsvortrag auf dem Kongress Mathematik in der Praxis, Berlin, März 2009.

Wie die Erklärung zur Entstehung von Verkehrsstaus mit mathematischen Mitteln möglich ist, zeigt diese Unterrichtseinheit. Mobilität spielt insbesondere in der modernen Gesellschaft eine wichtige Rolle. Im Alltag sind damit jedoch häufig Verkehrsstaus verbunden. Aber Staus kosten Nerven, verschlingen Zeit und Energie und produzieren zudem überflüssige Schadstoffe. Häufig entstehen bei dichtem Verkehr sogenannte "Staus aus dem Nichts". Wie sie entstehen und was jeder einzelne Verkehrsteilnehmer dazu beitragen kann, sie zu verhindern, zeigen einfache algorithmische Modelle und entsprechende Experimente. Um Verkehr im Detail zu simulieren und zu erklären, wie Stau entsteht, wird das Modell der zellulären Automaten herangezogen. Die Idee wird zunächst am "Spiel des Lebens" eingeführt und anschließend auf ein einfaches Modell zur Verkehrssimulation übertragen. Durch den Alltagsbezug werden auch Lernende angesprochen, die der Mathematik eher skeptisch gegenüberstehen. Die beigefügten Computerprogramme wurden in Python erstellt und können optional zum eigenen Experimentieren und Beobachten eingesetzt werden. Das "Spiel des Lebens": Einführung in zelluläre Automaten Das Modell stammt aus der Biologie und simuliert über Generationen das Entstehen und Vergehen von Zellen. Zelluläre Automaten zur Verkehrssimulation Mit zellulären Automaten lässt sich auch der Straßenverkehr recht einfach und gut simulieren. Einführung eines Trödelfaktors Mehr Realitätsbezug durch die Einführung des "Trödelfaktors" in das Modell, denn der Verkehr bewegt sich nicht absolut gleichmäßig. Die Schülerinnen und Schüler lernen am Beispiel von zellulären Automaten, einfache Algorithmen zu verstehen, anzuwenden und einige ihrer Eigenschaften zu analysieren. lernen Möglichkeiten und Grenzen von einfachen Modellen zur Verkehrssimulation kennen. variieren Eingabedaten für vorgegebene Programme zur Verkehrssimulation systematisch (Verkehrsdichte) und erkennen dabei grundlegende Eigenschaften des Verkehrsflusses in Abhängigkeit von den Eingabedaten. erkennen, dass die durch den Trödelfaktor eingeführte Individualisierung des Verkehrs die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Staus erhöht. Modell aus der Biologie Um in das Prinzip der zellulären Automaten einzuführen, hat sich ein Einstieg über das sogenannte "Spiel des Lebens" bewährt, das 1970 von dem Mathematiker Conway entwickelt wurde. Dieses Modell hat einen völlig anderen Anwendungshintergrund (Biologie) als die Verkehrssimulation, benutzt aber ebenso wie diese einen zellulären Automaten. Zellentwicklung über Generationen Hier geht man aus von einem aus kleinen Quadraten (Zellen) bestehenden Gitter. Die Größe des Gitters kann frei gewählt werden (zum Beispiel 20 × 30 Zellen). Jede Zelle kann leben oder tot sein. Zu Beginn wird eine Anfangsgeneration lebender Zellen auf dem Spielfeld platziert. Die nächste Generation ergibt sich aus einigen einfachen Regeln. Auch diese Regeln entsprechen einem Algorithmus. Mathematisch entspricht das Entstehen jeder neuen Generation einem Iterationsschritt des durch die Regeln definierten Verfahrens. Populationen, die sich nicht (mehr) ändern, sind mathematisch gesehen Fixpunkte des Algorithmus. Bei Vorliegen einfacher Programmierkenntnisse können die (oder einige interessierte) Schülerinnen und Schüler das "Spiel des Lebens" auch selbst programmieren. Für diesen Fall empfiehlt sich der Hinweis, dass die Programmierung wesentlich einfacher ist, wenn man im Programm eine weitere (immer leere, hier gestrichelt dargestellte) Zellschicht rings um das eigentliche Spielfeld vorsieht, um eine Vielzahl sonst erforderlicher Fallunterscheidungen in Randnähe zu umgehen, wenn man die Anzahl der lebenden Nachbarzellen ermittelt. (Die Zellen am Rand oder in der Ecke des Spielfelds haben sonst im Programm weniger Nachbarn). Rahmenbedingungen Dazu wird eine Straße in einzelne Abschnitte einer festen Länge (zum Beispiel 7,50 m, was der Länge eines Autos plus einem Mindestabstand zu anderen Autos entspricht) aufgeteilt. Jeder solche Abschnitt ist eine Zelle. In unserem Modell können diese Abschnitte (oder Zellen) zu einem festen Zeitpunkt entweder genau ein Auto mit einer bestimmten momentanen Geschwindigkeit enthalten, oder sie sind leer. Jedes Auto hat eine individuelle Eigengeschwindigkeit, kann bei freier Strecke beschleunigen und hält bestimmte einfache Abstandsregeln zu dem vorausfahrenden Fahrzeug ein. (Mathematisch gesehen entsprechen diese Regeln bereits einem Algorithmus!) Wann kommt es zum Stau? Fahren jetzt alle Autos mit exakt der gleichen Geschwindigkeit und ist der Verkehr so dünn, dass genügend Abstand zu den jeweils vorausfahrenden Fahrzeugen besteht, entsteht kein Stau. Dies ändert sich jedoch, wenn man individuelle Abweichungen der Geschwindigkeiten zulässt, zum Beispiel durch die Einführung eines (zufallsgesteuerten) "Trödelfaktors" oder durch "Drängler", die beim Abbremsen des vorausfahrenden Fahrzeugs schärfer bremsen müssen, was sich zu einer Kettenreaktion mit anschließendem Stau aufschaukeln kann. Einspurige Ringstraße Wir betrachten eine einfache einspurige Ringstraße, auf der sich Autos nur in eine Richtung fortbewegen. Überholvorgänge und Gegenverkehr sind in dem Modell nicht enthalten. Diese Straße teilen wir in Zellen von 7,50 m Länge ein. Autos können sich in einem Zeitschritt nur um eine ganze Zahl von Zellen vorwärts bewegen. Geht man von einer Zeitschrittdauer von einer Sekunde aus, so entspricht eine Vorwärtsbewegung von einer Zelle pro Zeitschritt einer Geschwindigkeit von 7,5 m / 1s = 27 km/h. Einer Vorwärtsbewegung von 5 Zellen pro Sekunde entspricht dann einer Geschwindigkeit von 5 · 27 km/h = 135 km/h. Da dies in etwa der Richtgeschwindigkeit auf den deutschen Autobahnen entspricht, werden wir dies als Höchstgeschwindigkeit vmax ansetzen. Die Autos können sich also in jedem Zeitschritt um 0 bis 5 Zellen vorwärts bewegen. Ferner muss Kollisionsfreiheit garantiert sein, das heißt auf einer Zelle darf sich immer nur höchstens ein Fahrzeug befinden. Ablauf in drei Schritten Das einfachste Modell, das wir hier betrachten wollen, besteht in jedem Zeitschritt aus drei Teilschritten. In den ersten beiden Teilschritten wird die neue Geschwindigkeit des Fahrzeugs so ermittelt, dass Kollisionen verhindert werden. Erst im dritten Teilschritt bewegen sich die Fahrzeuge vorwärts: 1. Beschleunigen Jedes Fahrzeug erhöht seine Geschwindigkeit um 1 Zelle pro Zeiteinheit, bis es die Maximalgeschwindigkeit erreicht hat. 2. Bremsen Jedes Fahrzeug prüft, ob es mit der gerade berechneten Geschwindigkeit auf ein anderes Fahrzeug auffahren oder dieses überholen würde. Ist dies der Fall, so reduziert es seine Geschwindigkeit sofort so weit, dass eine Kollision vermieden wird. 3. Bewegen Jedes Fahrzeug bewegt sich einen Zeitschritt mit der aktuellen Geschwindigkeit vorwärts. Dies können wir in einem einfachen Algorithmus präzisieren. Wir haben i = 1,...,n Fahrzeuge. Jedes Fahrzeug hat eine individuelle Eigengeschwindigkeit v i . Die Höchstgeschwindigkeit ist v max = 5. Jeder der folgenden drei Teilschritte wird dann gleichzeitig für alle Fahrzeuge durchgeführt: 1. Beschleunigen v i = min {v i+1 ,v max } 2. Bremsen Falls v i > d(i, i+1), so reduziere v i auf v i = d(i, i+1). Hierbei ist d(i, i+1) die Anzahl der leeren Zellen zwischen Fahrzeug i und Fahrzeug i + 1. 3. Bewegen Jedes Fahrzeug i bewegt sich v i Zellen vorwärts. Das bisher dargestellte Modell kann bei einem höheren Verkehrsaufkommen Staus erzeugen. Auch das gleichzeitige Auftreten von Teilstrecken, auf denen mit hohen Geschwindigkeiten gefahren werden kann, und Teilstrecken, auf denen ein Stau entstanden ist, werden vom Modell dargestellt. Das völlig stationäre Verkehrsverhalten (Staus bewegen sich völlig gleichmäßig entgegen der Fahrtrichtung nach hinten fort) und das völlig gleichförmige Verhalten aller Fahrzeuge sind jedoch weit von der Realität entfernt. Herzu wird das Modell im nächsten Schritt noch erweitert. Das gleichförmige Verhalten im Modell entspricht nicht dem Verhalten, wie man es im realen Verkehr beobachten kann: Die Fahrzeuge bewegen sich in der Regel nicht alle mit der gleichen Geschwindigkeit und völlig gleichförmig vorwärts. Es gibt Überreaktionen beim Bremsen, welche die nachfolgenden Fahrzeuge ebenfalls zum heftigen Bremsen zwingen. Oft ist auch, gerade nach Staus oder bei auf Grün schaltenden Ampeln, ein verzögertes Beschleunigen zu beobachten. Ein derartiges Verhalten kann in unserem einfachen Modell durch die Einführung eines sogenannten Trödelfaktors nachgebildet werden. Der Algorithmus sieht dann folgendermaßen aus: 1. Beschleunigen vi = min {vi+1,vmax} 2. Bremsen Falls vi > d(i, i+1), so reduziere vi auf vi= d(i, i+1). Hierbei ist d(i, i+1) die Anzahl der leeren Zellen zwischen Fahrzeug i und Fahrzeug i + 1. 3. Trödeln Mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p wird die Geschwindigkeit vi um 1 reduziert: vi= max {vi-1,0} mit Wahrscheinlichkeit p 4. Bewegen Jedes Fahrzeug i bewegt sich vi Zellen vorwärts. Für p=0 erhalten wir wieder das ursprüngliche Modell. H.-J. Bungartz, S. Zimmer, M. Buchholz und D. Pflüger Modellbildung und Simulation. Springer-Verlag, 2009. K. Nagel und M. Schreckenberg A cellular automaton model for freeway traffic. Journal de Physique I, 2:2221-2229, Dezember 1992.