Mathematik: Unterrichtsmaterial für die Sekundarstufen

Schülerinnen und Schüler aus Südafrika, Griechenland und Deutschland fotografierten zur selben Zeit Mond, Jupiter und Saturn. Nachdem die Bilder über das Internet ausgetauscht worden waren, wurde die Mondparallaxe bestimmt und die Entfernung des Mondes von der Erde berechnet. Eine günstige Stellung des Mondes wurde genutzt, um in Kooperation mit Schulen in fernen Ländern die Mondentfernung zu bestimmen. Dazu wurde der Winkelabstand Jupiter-Saturn mit einem Jakobsstab gemessen. Der Winkelabstand des Mondes wurde mithilfe von Fotografien bestimmt, die zeitgleich an verschiedenen Orten (Neumünster, Thessaloniki, Johannesburg) aufgenommen, digital bearbeitet und ausgewertet wurden. Aus den ermittelten Werten wurde mithilfe des Sinussatzes die Entfernung der Erde zum Mond mit 372.500 Kilometern bestimmt. Der Literaturwert für die mittlere Entfernung beträgt 384.401 Kilometer. Das hier vorgestellte anspruchsvolle Projekt eignet sich für Astronomie-Arbeitsgemeinschaften und wurde vom Autor im Rahmen des SINUS-Programms in Schleswig-Holstein durchgeführt. Die Auswertung der Messdaten gelingt im Mathematik-Unterricht der 10. Klasse (Sinussatz). Das Thema ist Teil des Unterrichts zur Gravitation in Jahrgangstufe 11 (Mechanik). Die Aufgabe "Bestimme die Entfernung des Mondes" ist schnell formuliert, lässt sich aber nur mit relativ großem Aufwand lösen. Sie erfordert neben vielfältigem Wissen aus verschiedenen Gebieten auch handwerkliche und organisatorische Fähigkeiten und Fertigkeiten Vorbereitung und Softwaretipps Hinweise für die Suche nach Beobachtungspartnern und Tipps zur Softwarenutzung bei der Auswahl des Beobachtungstermins und der Bildbearbeitung Grundlagen und Winkelmessungen Geometrische Grundlagen und praktische Vorschläge zur Durchführung der Winkelmessungen Ergebnisse Vorschläge zur Auswertung der Fotografien und zur Berechnung der Entfernung von der Erde zum Mond Die Schülerinnen und Schüler sollen Kenntnisse über die Positionen und Bewegungen der Körper im Sonnensystem erwerben. ein ziemlich großes Dreieck vermessen. Fotografie für Messzwecke einsetzen lernen. verschiedene Winkelmessverfahren kennen lernen. Thema Messung der Mondentfernung durch Triangulation Autor Bernd Huhn Fach Physik, Astronomie Zielgruppe Astronomie-AGs, Schülerinnen und Schüler ab Klasse 10 Zeitraum Das komplette Projekt dauert sicher mehrere Monate. Wenn man auf vorhandene Fotos zurückgreift, geht es schneller, es verliert aber einen Teil seines Reizes. Technische Voraussetzungen "klassischer" Fotoapparat oder Digitalkamera, Stativ, Drahtauslöser, Winkelmessscheibe, Geodreieck, Kompass, Wasserwaage, Knetgummi, dünner Stab (z.B. Schaschlikspieß), Schiebelehre, doppelseitiges Klebeband, Globus, Telefon- und E-Mail-Anschluss Software, Literatur Bildbearbeitungsprogramm (Corel Photo-Paint, GIMP oder vergleichbare Software), Astronomie-Software wie KStars, XEphem (beide kostenlos), SkyMap, Skyplot oder Tabellenwerke, zum Beispiel das Kosmos Himmelsjahr (Franckh-Kosmos Verlags-GmbH) oder Ahnerts Kalender für Sternfreunde (Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft) Keller, Hans-Ulrich Kosmos Himmelsjahr, Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, erscheint jährlich; alle wichtigen Infos zu Sonne, Mond und Sternen, den Planeten, Finsternissen und sonstigen Himmelsschauspielen sowie den "Monatsthemen" mit aktuellen und interessanten Beiträgen. Neckel, Thorsten; Montenbruck, Oliver Ahnerts Astronomisches Jahrbuch, Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, erscheint jährlich; in den Monatsübersichten wird unter anderem dargestellt, welchen Planeten und hellen Sternen der Mond begegnet und wie die Sichtbarkeitsbedingungen der Planeten sind. Soffel, Michael ; Müller, Jürgen Lasermessungen der Monddistanz, Sterne und Weltraum 7/1997, Seiten 646-651; Die Autoren erläutern das Messverfahren und stellen weit reichende Folgerungen dar, die man aus dem auf wenige Zentimeter genauen Messergebnis ziehen kann. Zimmermann, Otto Astronomisches Praktikum, Spektrum der Wissenschaft Verlag GmbH, ISBN 3-8274-1336-2 (2003); hier werden weitere Methoden zur Messung der Mondentfernung beschrieben (Erdschattendurchmesser auf dem Mond ,Änderung der Mondgröße mit der Höhe, parallaktische Libration, Sternbedeckungen durch den Mond) Gut geeignet für die Triangulation ist eine Kombination von Beobachtungsstandorten mit einer großen Differenz der geographischen Breiten und einer kleinen Differenz der geographischen Längen. Die erste Bedingung sichert eine große Basislänge, die zweite sorgt dafür, dass die fotografierte Himmelsgegend etwa zur gleichen Zeit an beiden Standorten möglichst hoch über dem Horizont steht. Wenn sich ein Standort in Deutschland befindet, sollte der zweite also idealerweise im Süden Afrikas liegen. Auch das östliche Südamerika kommt in Frage. Aufgeschlossene Kolleginnen und Kollegen findet man durch Nachfragen bei den deutschen Auslandsschulen: Bundesverwaltungsamt: Schulverzeichnis Auf der Website des BVA finden Sie das Schulverzeichnis der Zentralstelle für das Auslandsschulwesen. Für die vorbereitenden Verabredungen und den Austausch der Ergebnisse reicht der Kontakt per E-Mail. Zum Zeitpunkt der Aufnahmen selbst ist eine Telefonverbindung nützlich: Wenn der Himmel nur teilweise klar ist und "Wolkenlöcher" genutzt werden müssen, können kurzfristige Absprachen gewährleisten, dass die Aufnahmen möglichst zeitgleich entstehen. Alternativ können dafür auch Chat-Rooms genutzt werden. Für die Aufnahme muss sich der Mond in möglichst geringem Winkelabstand zu zwei hellen und sehr viel weiter entfernten Objekten am Himmel befinden. Günstig dafür ist eine Konjunktion von mindestens zwei der Planeten Venus, Mars, Jupiter und Saturn; der Mond sollte zwischen ihnen stehen. Die Mondphase ist nicht entscheidend; ein zunehmender Mond ist allerdings zu bevorzugen, wenn jüngere Schülerinnen und Schüler mitarbeiten sollen, da er vor Mitternacht kulminiert. Einen geeigneten Zeitpunkt findet man durch systematische Suche in entsprechenden Tabellenbüchern (Kosmos Himmeljahr, Ahnerts Astronomisches Jahrbuch) oder durch Verwendung eines Astronomieprogramms, das ein Planetarium simulieren kann: KStars Diese Software unterliegt der GNU General Public License (GPL) und steht kostenfrei zur Verfügung. XEphem Auf der Website des Clear Sky Institute ist auch dieses Programm kostenlos erhältlich. Skyplot Informationen und Bestellmöglichkeit zur Software auf der Website des Autors Frank P. Thielen. Skyplot ist für 30 € zu haben. SkyMap Die kommerzielle Software ist in der Lite-Version für etwa 37 € und in der Pro-Version für etwa 100 € zu haben. In dem hier beschriebenen Projekt wurden die beiden Planeten Jupiter und Saturn als "Fixpunkte" verwendet. Besser wäre natürlich die Verwendung von Sternen, weil sie der Forderung, unendlich weit entfernte Fixpunkte zu sein, besser entsprechen. Allerdings müssen die Sterne relativ dicht nebeneinander und nahe der Ekliptik stehen und auch noch hell genug sein. Gute Gelegenheiten für Aufnahmen mit Fixsternen bieten totale Mondfinsternisse. Der dann nur schwach beleuchtete Mond überstrahlt auch die schwächeren Sterne in seiner Umgebung nicht. Allerdings bietet sich diese Gelegenheit seltener, wodurch man mehr von günstigen Beobachtungsbedingungen abhängig ist. Probeaufnahmen In dem hier vorgestellten Projekt wurde eine klassische Kamera benutzt, natürlich kann auch eine Digitalkamera verwendet werden. Probeaufnahmen vor dem Aufnahmetermin sind anzuraten. Die Qualität der Aufnahmen sollte immer am Negativ oder an der Rohdatei beurteilt werden. Bildverwackelungen können durch die Nutzung eines Stativs und eines Drahtauslösers vermieden werden. Eine Nachführung ist nicht nötig. Für die spätere Auswertung der Fotos ist es wichtig, die Aufnahmezeitpunkte und die verwendete Zonenzeit zu notieren! Der Winkelabstand Jupiter-Saturn betrug bei unseren Messungen etwa 10 Grad. Dabei ist eine Brennweite von 15 Zentimetern beim Kleinbildformat 24 Millimeter mal 36 Millimeter optimal. Die Auflösung von Standardfilmen reicht völlig, unabhängig davon, ob Farb- oder Schwarz-Weiß-Filme verwendet werden. Verschiedene Belichtungszeiten bei jedem Aufnahmezeitpunkt Die Belichtungszeit soll so gewählt werden, dass die im Vergleich zum Mond lichtschwachen Planeten (oder Sterne) gerade sicher zu erkennen und der Mond nicht unnötig überbelichtet wird. Der Mondrand sollte auf den Bildern noch gut erkennbar sein. Belichtungszeiten zwischen 0,1 und 10 Sekunden sollten bei mittlerer Blende passen. Die Zeiten sind allerdings stark von den aktuellen Dunstverhältnissen und der lokalen Lichtverschmutzung abhängig. Daher ist es sinnvoll, zu jedem Aufnahmezeitpunkt immer mehrere Aufnahmen mit unterschiedlichen Belichtungszeiten zu machen. Lichtschwache und lichtstarke Objekte auf einem Bild? Wie in der Astronomie üblich, werden die Bildnegative bearbeitet, also dunkle Objekte vor hellem Hintergrund. Wenn die punktförmigen Objekte - zwei Planeten oder Sterne - auf den Fotografien sicher abgebildet sind, der Mondrand aber unscharf dargestellt ist, nutzt man ein Bildbearbeitungsprogramm um für die Auswertung der Bilder einen scharfen Mondrand zu erzeugen, ohne dabei die lichtschwachen Objekte zu verlieren. Dabei geht man in zwei Schritten vor. Retusche der lichtschwachen Planeten Zunächst werden die zentralen Pixel der Planetenbilder bei hoher Vergrößerung schwarz eingefärbt. Es reichen Quadrate von vier oder neun retuschierten Bildpunkten. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt ein Beispiel: S-01-03-1 zeigt das stark vergrößerte digitalisierte Bild des Planeten Jupiter aus der linken unteren Ecke des Bildes S-01-03. Darunter sieht man in s-01-03-2 das retuschierte Jupiterbild mit neun zentralen schwarzen Pixeln. Noch wichtiger ist die Retusche beim relativ schwachen Bild des Saturns rechts im oberen Drittel des Bildes S-01-03. Benutzt wurde das Programm Corel Photo-Paint, Version 6.0. "Scharfstellen" des Mondes Im zweiten Schritt wird die Helligkeit des gesamten Bildes angehoben und der Kontrast so verstärkt, dass der "echte" Mondrand scharf erscheint. Das ist dann der Fall, wenn der Mond hellgrau vor weißem Hintergrund erscheint und das Mondbild bei einer weiteren Anhebung der Helligkeit nicht mehr kleiner wird (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken). Mithilfe der Vorschaufunktion von Corel Photo-Paint lässt sich dies gut beurteilen. Anschließend kann der Kontrast des Bildes weiter erhöht werden, bis die Abbildung schwarze scharfe Objekte vor weißem Hintergrund zeigt. Alternativ zu kommerzieller Software kann auch das kostenfreie Bildbearbeitungsprogramm GIMP verwendet werden: Zwei Punkte A und B auf der Erde und der Mittelpunkt M des Mondes bilden ein Dreieck (Abb. 3). Die Längen der Strecken AM beziehungsweise BM sind gesucht. Um sie zu ermitteln, müssen wir drei Stücke dieses Dreiecks messen, ohne die Erde zu verlassen. Eines dieser Stücke muss eine Seitenlänge sein, dafür kommt nur die Länge der Strecke AB in Frage. Zwei Winkel sind also noch zu messen. Da die Messgenauigkeit der gesuchten Längen sehr empfindlich von dem Winkel pi mit dem Scheitelpunkt M abhängt, ist es unerlässlich, diesen direkt zu messen und ihn nicht etwa aus der Differenz 180 Grad - Winkel BAM - Winkel MBA zu errechnen, denn kleine relative Fehler bei den Messungen der Winkel BAM und MBA hätten einen großen relativen Fehler für den Wert von pi zur Folge. Leider können wir uns nicht auf den Mond begeben und von dort einfach die beiden Punkte A und B auf der Erde anpeilen. Wir können pi aber auch auf der Erde messen, denn er ist gleich der Winkeldifferenz der Richtungen, in denen der Mond von den beiden Punkten A und B aus gesehen erscheint, also gleich dem Winkel zwischen BM und der Parallele zu AM durch B. Er heißt daher auch Parallaxenwinkel (Abb. 3). Einer der beiden weiteren Winkel - BAM oder MBA - muss außerdem gemessen werden. Die Genauigkeit dieser Messung ist unkritisch für die Genauigkeit des Ergebnisses, besonders wenn der Wert des Winkels nahe 90 Grad liegt. Mithilfe des Sinussatzes ergeben sich die gesuchten Längen der Seiten MA oder MB. Um die Entfernung des Mondmittelpunktes vom Erdmittelpunkt und nicht von einem Punkt der Erdoberfläche zu erhalten, wäre weiterer Aufwand nötig. Dies erscheint angesichts der erzielbaren Messgenauigkeit jedoch nicht sinnvoll. Das Vorgehen sollte für Schülerinnen und Schüler, die gerade den Sinussatz am ebenen Dreieck verstanden haben, gut nachvollziehbar sein. Jüngere Schülerinnen und Schüler können die Anwendung des Sinussatzes möglicherweise durch eine Dreieckskonstruktion ersetzen, die aber sehr präzise sein muss, da der Parallaxenwinkel naturgemäß recht klein ist. Kenntnisse über astronomische Koordinatensysteme oder sphärische Trigonometrie sind nicht nötig. Es sollte Wert darauf gelegt werden, alle Schritte durch manuelle Tätigkeiten an einem räumlichen Modell (Globus mit aufgesetztem Horizontsystem, Mond in einiger Entfernung davon) zu veranschaulichen. Hinweise zur Aufnahme der Fotos Wir haben den Parallaxenwinkel pi auf fotografischem Weg gemessen. Ideal für die Auswertung ist ein Paar von zwei Aufnahmen des Mondes und der Hintergrundobjekte - hier Jupiter und Saturn -, die an den beiden Positionen A und B exakt zum gleichen Zeitpunkt gemacht werden. Wenn merklich Zeit zwischen den Aufnahmen liegt, weil zum Beispiel die Bewölkung an den Aufnahmestandorten dies erzwingt, könnte das Ergebnis durch die Bewegung des Mondes vor dem Hintergrund (etwa 15 Grad in 24 Stunden) verfälscht werden. Sollte diese Gefahr bestehen, so fotografiert man an einem oder an beiden Standorten mehrfach zu verschiedenen Zeitpunkten, etwa in jedem geeigneten Wolkenloch, und rekonstruiert dann jeweils die Position des Mondes für einen vereinbarten Zeitpunkt aus diesen Aufnahmeserien durch eine lineare Interpolation. Auswertung der Fotos Legt man zwei zeitgleich entstandene Bilder von den Standorten A und B so übereinander, dass die beiden Planetenbilder aufeinander liegen, so sind die Mondbilder gegeneinander verschoben. Diese Verschiebung kann man in den Parallaxenwinkel pi umrechnen, wenn man einen passenden Umrechnungsfaktor hat. Man erhält ihn aus einer Messung des Winkelabstandes delta der beiden Hintergrundobjekte am Himmel und dem Abstand ihrer Abbilder auf den auszuwertenden Fotos. Der Parallaxenwinkel ergibt sich dann per Dreisatz. Zur Kontrolle des Verfahrens kann man damit den Winkeldurchmesser des Mondes bestimmen: er muss etwa 0,5 Grad betragen. Messung des Winkels zwischen den Planeten Für die Messung des Winkels delta zwischen den Planeten Jupiter und Saturn haben wir in unserem Projekt einen improvisierten "Jakobsstab" benutzt (Abb. 4). Er besteht aus Stativmaterial und Längenmessgeräten aus der Physik-Sammlung. Das Durchblicksloch sollte möglichst klein sein. Man schaut durch die Öffnung und verschiebt die Markierungen auf dem Querstab so lange, bis die Peilung zu den Planeten passt. Dann lässt sich der Winkel delta messen beziehungsweise errechnen. Diese Winkelmessung sollte etwa zeitgleich mit den fotografischen Aufnahmen erfolgen. Messung von Azimut- und Höhenwinkel zum Aufnahmezeitpunkt Während wir zur Messung des Parallaxenwinkels pi mindestens zwei zeitgleich aufgenommene Fotografien von verschiedenen Standorten benötigen, kann der zweite Winkel im Dreieck an nur einem der Beobachtungsorte, zum Beispiel am Punkt A, ermittelt werden. Dazu bestimmt man die Position des Mondes im Horizontsystem (Azimut- und Höhenwinkel) zum Aufnahmezeitpunkt. Daraus lässt sich später der Winkel zwischen den Verbindungslinien zum Mond und zum zweiten Standort B mithilfe eines Globus ermitteln. Das kann man so machen: Man legt eine ebene, leichte und dünne Platte, zum Beispiel eine Winkelmessscheibe, wie sie für Schülerübungen in der Optik verwendet wird, horizontal ausgerichtet (Wasserwaage, Dosenlibelle, Untertasse voll Wasser ... ) auf eine feste Unterlage und markiert darauf mithilfe eines Kompasses die Nord-Süd-Richtung. Dabei muss unbedingt die lokale Missweisung beachtet werden, besonders wenn ein Partner im südlichen Afrika beteiligt ist. Dort erreicht nämlich die Missweisung auf Grund einer geomagnetischen Anomalie beträchtliche Werte. Durch ein Lot vom Himmelspol auf den Horizont oder mithilfe einer Landkarte und Landmarken am Horizont lässt sich das Ergebnis überprüfen. Nun befestigt man mit Knetgummi auf dieser Linie das Ende eines dünnen Stäbchens, zum Beispiel einen Schaschlik-Spieß, und richtet das Stäbchen genau auf den Mond, sodass es im Mondlicht keinen Schatten mehr wirft. Dann kann man den Höhenwinkel eta und den Azimutwinkel gamma mit einem Geodreieck messen (Abb. 5). Diese Messung muss man für jeden Aufnahmezeitpunkt wiederholen und protokollieren. Natürlich kann man für die Messungen von Azimut und Höhe auch einen vertikal stehenden Schattenstab benutzen. Dann lässt sich der Azimutwinkel direkt auf der Winkelmessscheibe ablesen. Der Höhenwinkel muss aus der Schattenlänge und der Stablänge berechnet oder an einem Faden von der Stabspitze zum Ende des Stabschattens abgelesen werden. Auch einen Theodolithen kann man verwenden, wenn man damit einen hinreichend großen Höhenwinkel messen kann. Rekonstruktion der Richtungen und Winkelmessung am Globus In einem letzten Schritt wird nun mit doppelseitigem Klebeband die Platte mit der Vorrichtung zur Bestimmung von Höhen- und Azimutwinkel auf einem Globus am Aufnahmeort A angeklebt. Auf den Ort A fällt der Fußpunkt A' des Stäbchens. Dann liegt die Platte in der Tangentialebene an den Globus in A, also in der Horizontebene von A (Abb. 6). Natürlich muss auch die Nord-Süd-Linie die Tangente an den Längenkreis durch A bilden. Wenn nun Azimut- und Höhenwinkel noch oder wieder passend eingestellt sind, so wird die Position des Mondes relativ zum Globus bei der Aufnahme reproduziert. Eine große "Schiebelehre" wird nun so angelegt, dass die Spitzen ihres "Schnabels" auf den Punkten A und B liegen. Ihre Kante bildet mit dem Stäbchen den gesuchten Winkel alpha, der nun mit einem Geodreieck gemessen werden kann (Abb. 7). Nicht notwendig, aber sehr sinnvoll ist es, auch am Ort B den Azimut- und den Höhenwinkel zum Aufnahmezeitpunkt zu messen und die Richtung zum Mond von Punkt B aus ebenfalls auf dem Globus zu rekonstruieren. Wenn diese Richtungen dann sehr voneinander abweichen, ist irgendwo ein Fehler passiert. Wir haben auf diese Weise die große Kompassmissweisung in Johannesburg "entdeckt". Bestimmung von Azimut- und Höhenwinkel aus Tabellendaten Falls Azimut- und Höhenwinkel nicht messbar sind, kann man sie aus Tabellenwerten der Mondephemeriden, der geographischen Breite und der Sternzeit des Aufnahmeortes rekonstruieren. Das gelingt - wenn auch etwas mühsam - mit den Formeln der sphärischen Geometrie. Zwar nicht so genau, aber anschaulicher und für Schülerinnen und Schüler nicht nur manuell begreifbarer, ist ein Kartonmodell. Abb. 8 zeigt die Mondposition (rotes Kügelchen) im Horizontsystem von Thessaloniki am 12. November 2000 um 20:00 Uhr Weltzeit. Dazu wurde auf der Horizontebene zunächst ein Sektor der Äquatorebene um den Winkel von 90 Grad minus geographische Breite gegenüber der Horizontebene geneigt aufgeklebt. Auf der Äquatorebene sind aus gelbem Karton zwei orthogonal zueinander stehende Sektoren für den Stundenwinkel und die Deklination des Mondes befestigt. Die Deklination des Mondes (hier 18 Grad) erhält man aus einem astronomischen Jahrbuch (Kosmos Himmelsjahr, Ahnerts Astronomisches Jahrbuch), ebenso die Rektaszension (hier 4 h 08 min). Der Stundenwinkel ergibt sich dann aus der Beziehung Stundenwinkel = Sternzeit - Rektaszension. Mit der Sternzeit 1 h 01 min, die man ebenfalls einem Jahrbuch entnimmt und auf den Aufnahmeort und -zeitpunkt umrechnet, erhält man den Stundenwinkel von -3 h 07 min, wie in Abb. 8 näherungsweise abzulesen ist. Mit einem Geodreieck misst man nun Azimut- und Höhenwinkel im Horizontsystem. Das Kartonmodell kann man anstelle der Winkelmessscheibe mit dem Schaschlikstäbchen zur Auswertung auch direkt auf den Globus kleben. Prinzipiell macht man dabei allerdings einen kleinen Fehler: Die Angaben für Deklination und Rektaszension beziehen sich auf einen Beobachter im Erdmittelpunkt, während das Kartonmodell auf der Erdoberfläche sitzt. Der so ermittelte Winkel BAM wird also entsprechend verfälscht. Der Fehler dürfte aber angesichts der begrenzten Genauigkeit des Modells zu vernachlässigen sein. Die Länge der Dreiecksseite AB, das heißt die Entfernung zwischen den Beobachtungspunkten wird, wie in Abb. 7 gezeigt, mit einer großen Schiebelehre auf einem Globus ausgemessen und mithilfe des Globus-Maßstabes berechnet. Die Entfernung BM ergibt sich nun leicht aus dem Sinussatz: Es ist sinnvoll, an dieser Stelle weitere Werte für pi, alpha und die Länge von AB in die Berechnung der Mondentfernung einzusetzen und die Auswirkungen auf das Ergebnis zu diskutieren. Dabei sollte sich als kritische Größe der Parallaxenwinkel herausstellen. Beobachtungsnacht Um sicher auswertbares Fotomaterial zu erhalten, wurde die Begegnung des Mondes mit den Planeten Jupiter und Saturn im Abstand von vier Wochen in zwei Vollmondnächten dokumentiert. Am 12. November 2000 standen neun Kollegen in Brasilien, Südafrika, Griechenland und Deutschland mit ihren Schülerinnen und Schülern bereit, um den Mond und die beiden Planeten zu fotografieren. Allerdings spielte das Wetter nur in Thessaloniki und Johannesburg mit: Lediglich Max Ruf (Deutsche Schule Johannesburg) und Wolfgang Hofbauer (Deutsche Schule Thessaloniki) gelangen auswertbare Aufnahmen. Die folgenden vier Abbildungen zeigen je zwei Bilder von diesen Standorten. Das jeweils erste zeigt die Originalaufnahme mit den ergänzten Aufnahmedaten. In der jeweils zweiten Abbildung ist das digitalisierte Foto mit einem Bildbearbeitungsprogramm zu einer Schwarz-Weiß-Grafik verarbeitet worden. Der Grauton, bei dem die Entscheidung zwischen Schwarz und Weiß liegt, wurde dazu so gewählt, dass der Mondrand optimal zu erkennen ist. Damit die Planeten Jupiter und Saturn bei der Bildbearbeitung nicht verloren gingen, wurden diese vorher retuschiert. Winkelabstand und geographische Koordinaten Den Winkelabstand Jupiter-Saturn hat Max Ruf in Johannesburg zu delta = 10,5° gemessen. Die geographischen Koordinaten der Aufnahmeorte sind: Johannesburg: 26° 12' südlicher Breite, 28° 06' östlicher Länge Thessaloniki: 40° 36' nördlicher Breite, 23° 06' östlicher Länge Bilder aus Johannesburg Bilder aus Thessaloniki Bestimmung der Mondparallaxe am Bildschirm Abb. 13 zeigt eine Montage, in der die beiden Aufnahmen aus Abb. 10 und Abb. 12 so gedreht und zentrisch gestreckt wurden, dass die Verbindungsstrecken Jupiter-Saturn horizontal liegen und gleich lang sind. Nun können die Schülerinnen und Schüler die Mondparallaxe am Bildschirm mit der folgenden Anleitung ermitteln: Markiere auf dem Monitor mit einem abwaschbaren Folienschreiber die Positionen von Jupiter, Saturn und Mond aus der oberen Aufnahme. Verändere nicht die Position deines Kopfes! Schiebe das zweite Bild mithilfe der Scroll-Leiste auf dem Bildschirm in die Position, in der Jupiter und Saturn auf "ihren" Markierungen liegen. Zeichne den "zweiten Mond" auf den Bildschirm. Wenn die Scroll-Funktion zu grob arbeitet, kopiere das Bild zuerst auf eine leere neue Seite eines Webseiten-Editors oder eines Bildbearbeitungsprogramms. Verfahre dann so, wie oben beschrieben. Bestimme auf dem Bildschirm den Abstand Jupiter-Saturn und den Abstand der Mondbilder. Der Abstand Jupiter-Saturn entspricht einem Winkelabstand von [ ... ] Grad. Berechne per Dreisatz den Winkelabstand pi der beiden Mondbilder. Bestimmung der Mondparallaxe mithilfe von Ausdrucken Alternativ zu der beschriebenen Bestimmung der Mondparallaxe am Bildschirm können Ausdrucke der Bilder durch die entsprechende Funktion des Druckprogramms auf den gleichen Abstand Jupiter-Saturn gebracht werden. Man kann dazu auch einen Fotokopierer verwenden. Ein Bild wird auf eine Folie kopiert oder per Hand übertragen. Dann wird die Folie auf das zweite Bild gelegt und die Mondparallaxe wie zuvor beschrieben bestimmt. In der Physik-AG der IKS Neumünster haben wir die beiden Fotos vom 12. November 2000 aus Thessaloniki und Johannesburg ausgedruckt und übereinander gelegt. Jupiter und Saturn hatten dort einen Abstand von 171 Millimetern. Die beiden Mondpositionen lagen 18 Millimeter voneinander entfernt. Daraus ergab sich ein Parallaxenwinkel von pi = 10,5° (18 / 171) = 1,1°. Am großen Globus aus dem Erdkunde-Fachraum haben wir als nächstes die Richtung zum Mond von Thessaloniki aus mithilfe der Winkelmessscheibe rekonstruiert (Abb. 14a) und den Winkel Johannesburg-Thessaloniki-Mond zu 103 Grad gemessen. Gleichzeitig ergab sich der Abstand Johannesburg-Thessaloniki zu 36,4 Zentimetern bei einem Globusdurchmesser von 63,2 Zentimetern (Abb. 14b). Mit dem Erddurchmesser von 12.740 Kilometern konnten wir die wahre Entfernung JT Johannesburg-Thessaloniki errechnen: 12.740 km (36,4 / 63,2) = 7.340 km Um den Sinussatz anwenden zu können, benötigten wir noch den Winkel Mond-Johannesburg-Thessaloniki. Er betrug 180° - 103° - 1,1° = 75,9°. Nun konnten wir alles in den Sinussatz einsetzen und erhielten die Entfernung TM Thessaloniki-Mond: (sin 75,9° / sin 1,1°) 7.340 km = 372.500 km. Fertig (Abb. 15)! Später haben wir erfahren, dass der von uns benutzte Messwert von 85 Grad für den Azimutwinkel um 10 Grad zu groß war. Er beträgt nur 75 Grad. Dadurch muss mit einem kleineren Basiswinkel gerechnet werden. Da dieser nahe bei 90 Grad liegt, wo die Sinuskurve nur eine geringe Steigung hat, wirkt sich dieser Fehler aber kaum auf das Ergebnis aus. Der Mond liegt zwar - in astronomischen Maßstäben - vor unserer Haustür. Dennoch ist die in Zahlen gefasste Entfernung nicht mehr anschaulich. Hilfreicher sind für die Veranschaulichung sind grafische Darstellungen, wie zum Beispiel die folgenden, die uns der Amateur-Astronom Thomas Borowski freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat:

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema trigonometrische Funktionen wird die Sinusfunktion fächerübergreifend als Schwingungsfunktion eingeführt. Darauf aufbauend kann die Trigonometrie als Anwendungsbereich behandelt werden.Die Winkelfunktionen werden üblicherweise am Dreieck oder Einheitskreis definiert. Phänomenbetrachtungen oder Experimente sind die Ausnahme und tauchen, wenn überhaupt, erst als Anwendung auf. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit wird die Sinusfunktion dagegen aus der Anwendung heraus als Schwingungsfunktion eingeführt. Die Trigonometrie erscheint als Nebenprodukt dieser Schwingungsfunktion. Dabei können Computeralgebrasysteme, einfache Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets zur schnellen Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler "spielen" dabei mit den Parametern Amplitude, Periodenlänge oder Frequenz, während die Folgen ihrer Experimente am Bildschirm dynamisch dargestellt und analysiert werden können. Mühsame und langwierige Zeichnungen bleiben ihnen erspart. Das Ziel dieser Einführung ist es, ohne größeren Zeitaufwand die vorgegebenen Lernziele auf einem neuen Weg zu erreichen und dabei ein besseres Verständnis der Sinusfunktion als Schwingungsfunktion zu vermitteln.Im herkömmlichen Unterricht wird der Sinus über Streckenverhältnisse im Dreieck eingeführt. Die Sinusfunktion wird mehr oder weniger als Erweiterung der Definitionsmenge plausibel gemacht. Dabei hat die Funktion eine sehr wichtige und auch anschauliche Anwendung: Die Beschreibung periodischer Vorgänge. Die Addition zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied kann zunächst hörbar erfahren werden (zum Beispiel durch das Überblasen zweier ähnlich gefüllter Flaschen oder mithilfe der klassischen Stimmgabeln aus der Physik). Danach experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit einem Funktionenplotter oder einem vergleichbaren digitalen Werkzeug. Unterrichtsverlauf "Sinusfunktion" Zunächst wird als periodischer Vorgang die Sonnenaufgangskurve untersucht. Rein harmonische Schwingungen werden dann mithilfe des Computers betrachtet. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Bedeutung der Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verschiedener Perioden und Amplituden. erhören über das physikalische Phänomen Schwebung ein Additionstheorem. Untersuchung periodischer Vorgänge Nachdem die Schülerinnen und Schüler mit der Beschreibung der Natur durch Potenzfunktionen bereits mehr oder weniger vertraut sind, sollen als neue Funktionsklasse nicht gleich die Sinusfunktionen, sondern erst einmal beliebige periodische Vorgänge untersucht werden. Direkt am Phänomen können Amplitude und Periodenlänge als wichtigste Begriffe erfahren werden (Experimentvorschläge finden Sie auf den Arbeitsblättern 1 und 2). Dabei erscheint mir das Wort Periodenlänge (und nicht Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer) für die Beschreibung der Periode im Mathematikunterricht als am besten geeignet. Hier legt man sich nicht schon im Voraus auf zeitliche Perioden fest. Der Frequenzbegriff ist vom mathematischen Standpunkt aus erst einmal nicht nötig. Auch auf den Begriff der Winkelgeschwindigkeit verzichte ich, auch wenn seine konsequente Verwendung durchaus denkbar ist. Phasenunterschiede sind für das Phänomen an sich primär nicht von großer Bedeutung und werden deshalb vorerst nicht behandelt. Daher wird auch nur die Sinusfunktion und nicht zusätzlich auch noch die Kosinusfunktion eingeführt. Die Sonnenaufgangskurve als nichtphysikalisches Sicherungselement Die Begriffe Amplitude und Periodenlänge sollen erst hinreichend gesichert werden, bevor sich die harmonische Schwingungsfunktion als wichtigste periodische Funktion herauskristallisiert. Dazu eignen sich insbesondere Experimente aus der Akustik. Hier kann man Amplitude und Periodenlänge direkt hören und mit dem Oszilloskop sogar sichtbar machen. Als nichtphysikalische Sicherungselemente bieten sich insbesondere tages- und jahreszeitliche Perioden an. Ich habe mich für die Änderung der Sonnenaufgangszeit im Laufe des Jahres entschieden, weil dieses Problem zum Beispiel im Herbst höchst aktuell und schülernah ist. Die Sonnenaufgangskurve weicht zwar mit zunehmender geographischer Breite von einer Sinuskurve ab, diese Abweichungen betragen in Deutschland jedoch weniger als fünf Prozent. Definition der Funktion Erst nach der beschriebenen Einführung wird die Kreisbewegung ins Spiel gebracht und es erfolgt eine Beschränkung auf die rein harmonischen Schwingungen. Das klassische Experiment dazu ist die synchrone Projektion von Federpendel und Kreisbewegung eines Stiftes. Vor der Definition von sin(x) sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die harmonische Schwingungsfunktion keine Potenzfunktion sein kann. Das erste Mal in ihrer mathematischen Laufbahn können sie eine funktionale Abhängigkeit nicht aus den bekannten Rechenoperationen zusammenstellen. Eine neue Funktion muss definiert werden. Das hört sich einfacher an, als es ist, denn man bekommt bei einer solchen Definition sehr viele Freiheiten mit auf den Weg. Die Kurvenform ist zwar mehr oder weniger festgelegt, doch stehen die Achsenbeschriftungen noch völlig frei. Um hier zu steuern, werden die Schülerinnen und Schüler vorher in einem Arbeitsblatt die harmonische Schwingungskurve für eine Projektion eines Punktes auf einer Kreisbahn mit festem Radius genau zeichnen (Arbeitsblatt 4). Dadurch liegt es nahe, die neue Funktion im Bogenmaß zu definieren, nur der Radius sollte noch normiert werden. Argumente im Winkelmaß führte ich erst später ein. Um schnell von der Kreisbewegung zum Graphen der Sinusfunktion zu gelangen, bietet sich das Applet von Walter Fendt an (siehe externe Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Wer etwas mehr Zeit hat, kann seine Schülerinnen und Schüler natürlich auch auf die herkömmliche Art und Weise die Projektion des Einheitskreises mithilfe des oben genannten Arbeitsblattes durchführen lassen, diesmal allerdings vor dem Hintergrund einer echten Bewegung. Kartierung der Funktion Nach der Definition wird die Funktion zu Hause punktweise kartiert und erst anschließend mit der Taschenrechnertaste "sin" in Verbindung gebracht und als Ganzes möglichst genau gezeichnet. Damit die Schülerinnen und Schüler wirklich das Gefühl einer eigenen Definition haben, soll die Namensgebung sehr offen gestaltet werden. Ein weiterer Vorteil eines vorerst anderen Namens besteht darin, dass die Lernenden bei der Kartierung der Funktion nicht zum "Mogeln" mit dem Taschenrechner gedrängt werden. Einsatz des Computers Die "nackte" Sinusfunktion reicht zur Beschreibung der harmonischen Schwingungen noch nicht aus, sie muss verschoben, gestreckt und gestaucht werden. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler lernen, zu vorgegebenen Funktionen der Art f(x) = A sin(B x) + C den zugehörigen Funktionsgraphen skizzieren zu können und umgekehrt zu festen Periodenlängen, Amplituden und Verschiebungen die zugehörige Funktion nennen zu können. Phasenverschiebungen werden aus den genannten Gründen nur kurz behandelt. Bei dieser Vorgehensweise bietet es sich außerdem an, auch die Überlagerung von Schwingungen und damit das Additionstheorem am Phänomen der Schwebung zu erfahren. Die Lernenden sollen das Additionstheorem hören (langsame Amplitudenschwankungen bei ähnlicher Frequenz wie die Grundtöne) und dann mithilfe eines CAS, eines Funktionenplotters oder eines geeigneten Java-Applets den Funktionsgraphen ermitteln. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Darstellung einer Schwebung mit dem CAS Derive, die durch Addition von sin(12x) und sin(13x) entsteht (verwendbare Online-Materialien wie zum Beispiel Java-Applets finden Sie unter den externen Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Dabei werden die Begriffe Amplitude und Periodenlänge nochmals gesichert und gefestigt. Der Unterricht zur Trigonometrie basiert im Wesentlichen auf Aufgaben, bei dem es um Eigenschaften von Dreiecken geht. Die Einführung der Sinusfunktion bleibt ein Anhängsel. Erst in neuerer Zeit werden in Schulbüchern die periodischen Funktionen in diesem Zusammenhang besprochen. In dieser Unterrichteinheit soll der Spieß umgedreht werden: Die Sinusfunktion wird vor der Trigonometrie als logische Konsequenz aus der Untersuchung von Schwingungen eingeführt, die Trigonometrie folgt als praktische Anwendung. Dabei entstehen völlig neue Aufgabentypen, die die Vielfalt der Aufgabenkultur bereichern. In dieser Einheit sind dies einerseits komplexe Arbeitsblätter mit offenen Fragestellungen unter Einbeziehung des Computers, andererseits kleine Erkennungsaufgaben, wie man sie von den Parabeln kennt. Mathematik und Physik werden meist nur von Physiklehrkräften fächerübergreifend vermittelt. Damit vergeben die Mathematikerinnen und Mathematiker eine große Chance, Anschauliches mit rein Mathematischem zu verknüpfen. Mit dieser Unterrichtseinheit soll auch Nichtphysikern die Möglichkeit gegeben werden, fächerübergreifend zu arbeiten.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Gleichungen und Ungleichungen" wird den Schülerinnen und Schülern durch interaktive, webbasierte Arbeitsmaterialien aufgezeigt, wie sie Fehler produktiv nutzen können. Der "Fehler" ist im Unterricht für viele Schülerinnen und Schüler ein mit negativen Assoziationen belegter Begriff. Wer Fehler macht, der kann etwas nicht. Dabei kann gerade im Mathematikunterricht ein nachhaltiger Lernerfolg erreicht werden, wenn man lernt, Fehler zu erkennen, ihre Ursachen zu beschreiben und das Wissen um Fehler produktiv umzusetzen. Die Verwendung webbasierter interaktiver Arbeitsblätter zum Thema Gleichungen und Ungleichungen ermöglicht Schülerinnen und Schülern in dieser Unterrichtseinheit einen neuen Umgang mit Fehlern. Die eingesetzten Online-Arbeitsblätter sind Bestandteil der umfangreichen Unterrichtsmaterialien von realmath.de . Bei der Bearbeitung des ersten Arbeitsblattes analysieren die Schülerinnen und Schüler die Hausaufgaben des fiktiven Geschwisterpaares Paul und Paula, suchen Fehler und beschreiben deren Ursachen. Anschließend begegnen sie in einem zweiten Online-Arbeitsblatt Aufgabenstellungen, bei denen sie ihre Fehleranalyse produktiv umsetzen können: Sie bauen ganz bewusst Fehler in Gleichungen ein, die ihre Partnerin oder ihr Partner dann korrigieren soll. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Mitarbeit am SINUS-Transfer -Projekt. Sie soll insbesondere aufzeigen, wie Zielsetzungen von SINUS-Transfer durch die Unterstützung webbasierter Arbeitsblätter umgesetzt werden können (Modul 3: Aus Fehlern lernen). Das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen sowie das Inversions- und Distributivgesetz müssen bereits besprochen und an Beispielen behandelt worden sein. Die Unterrichtseinheit selbst basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Methodische Vorgehensweise Wie können die negativen Vorerfahrungen der Schülerinnen und Schüler mit dem Begriff "Fehler" ins Positive gewendet werden? Unterrichtsverlauf "Gleichungen und Ungleichungen" Beschreibung der Unterrichtsphasen, Hinweise zum Einsatz der Arbeitsmaterialien und Screenshots der Online-Arbeitsblätter Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Aus Fehlern lernen - Schwerpunkt von SINUS-Modul 3 ist die Rehabilitierung des Fehlers als Lerngelegenheit. Die Schülerinnen und Schüler sollen Fehler in bearbeiteten Gleichungen und Ungleichungen finden. Fehler und deren Ursachen beschreiben. das Wissen über Fehler kreativ und produktiv umsetzen. Mit Fehlern produktiv umgehen Fehler wirken auf Schülerinnen und Schüler oft demotivierend, da sie häufig Fehler mit Versagen gleichsetzen. Diese negativen Vorerfahrungen gilt es ins Positive zu wenden, wenn Schülerinnen und Schüler lernen sollen, produktiv mit ihren Fehlern umzugehen. Lernen aus fremden Fehlern Dem Problem der Demotivation kann begegnet werden, wenn fremde und nicht eigene Fehler als Lerngegenstand herangezogen werden. Das erste interaktive Online-Arbeitsblatt dieser Unterrichtseinheit bedient sich einer solchen Ausgangslage: Die fiktiven Geschwister Paul und Paula kommen bei ihren Hausaufgaben zu unterschiedlichen Ergebnissen. Diese sollen nun von den Schülerinnen und Schülern analysiert und auf Fehler hin untersucht werden. Die Lernmotivation wird bei dem Online-Arbeitsblatt zusätzlich dadurch erhöht, dass die Suche nach fremden Fehlern als Wettbewerb organisiert ist, in dem die Lernenden Punkte sammeln. Da fremde Fehler auch immer Muster eigener Fehler beinhalten, kann das Analysieren und Beschreiben fremder Fehler zu einem Kompetenzzuwachs für den Umgang mit eigenen Fehlern führen. Fehler machen als Aufgabe Fehler machen ist erwünscht; besonders schöne Fehler bringen Anerkennung durch Mitschüler und Lehrkraft: Dies klingt beim ersten Hinhören für Schülerinnen und Schüler paradox. Doch man kann auch aus Fehlern lernen, wenn man diese ganz bewusst macht. In jedem Fehler stecken verwertbare Ansätze, und das Wissen um einen potentiellen Fehler trägt dazu bei, diesen selbst nicht mehr zu wiederholen. Das Problem Ein Problem beim Einsatz eines interaktiven webbasierten Arbeitsblattes in Verbindung mit Multiple-Choice-Aufgaben besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler einfach per Mausklick alle Möglichkeiten ausprobieren können, ohne sich mit der eigentlichen Problematik der Fehlersuche und der Fehleranalyse auseinander zu setzen. Dem gilt es, methodisch zu begegnen. Technischer Ansatz: Punkte als Anreiz Dies geschieht durch die Gestaltung des interaktiven Arbeitsblattes. Durch die Vergabe von Punkten für das Finden des Fehlers und Punktabzug bei falschen Entscheidungen werden die Schülerinnen und Schüler motiviert, konzentriert und nachhaltig zu arbeiten. Zudem werden die Aufgaben jeweils von einem Schülerpaar bearbeitet, so dass sich die Lernenden auch gegenseitig in ihrem Verhalten kontrollieren. Doch auch dies dürfte das Problem des willkürlichen Klickens noch nicht gänzlich lösen. Methodischer Ansatz: Bearbeitungsvariationen Die Bearbeitung der Aufgaben des Online-Arbeitsblattes geschieht daher in einem Dreierschritt. Zuerst bearbeiten die Schülerinnen und Schüler die Aufgaben am Computer. Anschließend bekommen sie eine Auswahl der Aufgaben mit den Fehlern noch einmal als herkömmliches Arbeitsblatt vorgelegt, verbunden mit der Aufforderung, die Fehler anzukreuzen und als vertiefendes Element den jeweiligen Fehler und dessen Ursache schriftlich zu beschreiben. Abschließend wird das Online-Arbeitsblatt erneut mit einem Beamer projiziert und die Schülerinnen und Schüler tragen im Klassenverband ihre jeweilige Fehleranalyse vor. Durch dieses Vorgehen wird eine nur oberflächliche Bearbeitung der Aufgaben nahezu ausgeschlossen. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Online-Arbeitsblatt 1 (siehe Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) in Partnerarbeit. Anschließend gibt die Lehrkraft das Arbeitsblatt aus. Hier sollen die Schülerinnen und Schüler die Aufgaben lösen und die Fehler sowie deren Ursachen schriftlich auf dem Arbeitsblatt festhalten. Dies geschieht ohne Verwendung des Online-Arbeitsblattes. Die Lehrkraft projiziert die einzelnen Aufgaben des interaktiven Online-Arbeitsblattes per Beamer. Dazu erläutert jeweils eine Schülerin oder ein Schüler vor der Klasse die Art des Fehlers und erklärt die richtigen Umformungen. Das zweite interaktive Online-Arbeitsblatt (Abb. 2) kann aufgrund der Programmierung variabel eingesetzt werden. Das Arbeitsblatt dient eigentlich dazu, Gleichungen durch Äquivalenzumformungen zu lösen. Nach jeder Umformung - egal welcher Art - kann diese durch einen Klick auf den Button "Umformungen prüfen" kontrolliert werden. Das Arbeitsblatt kann aber auch genutzt werden, um Fehler bewusst einzubauen. Dies war die in dieser Unterrichtseinheit durchgeführte Variante. Hier waren die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, in Partnerarbeit Fehler in die Aufgaben einzubauen. Die jeweilige Partnerin beziehungsweise der jeweilige Partner sollte diesen dann finden und korrigieren (Abb. 3). Die Lehrkraft startet Online-Arbeitsblatt 2 erneut und projiziert es per Beamer. Ausgewählte Schülerinnen oder Schüler tragen auf dem Lehrerrechner ihren Fehler ein und präsentieren diesen der Klasse. Die Mitschülerinnen und Mitschüler sind nun aufgefordert, den Fehler zu finden, ihn verbal zu beschreiben und zu verbessern. Die Hausaufgabe besteht darin, dass sich die Schülerinnen und Schüler selbst Aufgaben mit fehlerhaften Umformungen erstellen, diese auf eine leere Hausaufgaben-Folie schreiben und in der darauf folgenden Stunde präsentieren. Fehler als Lerngelegenheiten Wenn die von Schülerinnen und Schülern im Alltag erworbenen Vorstellungen und Deutungsmuster auf die stringenten und prozeduralen Vorstellungen des Mathematikunterrichts stoßen, entwickelt sich Lernen notwendigerweise auch als Prozess des Fehlermachens und der Fehlerkorrektur. Fehler sollten jedoch weniger als Versagen, sondern vielmehr als Lerngelegenheiten gesehen werden, die es zu nutzen und nicht zu verpassen gilt. Lernförderung statt Bewertung Obwohl Fehler immer individuell und im Einzelnen kaum prognostizierbar sind, gibt es gerade beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen häufig Regel-, aber auch Verständnisfehler. Fehler, die sich durch eine gemeinsame Fehlerlogik auszeichnen, sind für eine produktive Nutzung im Unterricht besonders geeignet. Dies setzt jedoch voraus, dass Fehlermachen im Unterricht ohne Bewertung und Beschämung erlaubt ist und adäquate Handlungsroutinen verfügbar sind, um mit Fehlern lernfördernd umgehen zu können. Kreatives Lernen Interaktive und flexibel im Unterricht einsetzbare Online-Arbeitsblätter eignen sich in diesem Zusammenhang sehr gut, um mit Fehlern spielerisch und kreativ umzugehen. Schülerinnen und Schüler können bei Anderen Fehler suchen und deren Ursache erforschen. Sie erfahren so, dass Fehler nicht nur bei Ihnen auftreten, sondern alltäglich sind. Zudem fördert dies die Einsicht, dass es sich lohnt, Fehler zu analysieren und zu verbessern. Darüber hinaus dürfen und sollen sie sogar in dieser Unterrichtseinheit Fehler machen. Für diese Aufgabenstellung bieten flexibel einsetzbare interaktive Arbeitsblätter Raum für einen ungezwungenen und produktiven Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Lineare Funktionen werden durch den Einsatz interaktiver Webseiten die mathematischen Fähigkeiten ausgebildet, Sachverhalte grafisch darzustellen sowie Sachverhalte aus Graphen abzulesen und zu interpretieren. Auf diese Grundfertigkeit wird in unserer modernen Lebenswelt zurückgegriffen und sollte daher auch in einen zeitgemäßen Mathematikunterricht eingehen. In der Verbindung von Alltagssituationen mit dem Thema Lineare Funktionen soll den Schülerinnen und Schülern in dieser Unterrichtseinheit durch den Einsatz von interaktiven Webseiten ein eigenständiger Wissenserwerb ermöglicht werden. Die Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Mitarbeit des Autors am SINUS-Transfer -Projekt. Sie soll insbesondere aufzeigen, wie Zielsetzungen von SINUS-Transfer durch die Unterstützung von webbasierten Arbeitsblättern umgesetzt werden können. Die Unterrichtseinheit basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die Interaktivität möglich wird, muss jedoch Javascript im Browser aktiviert sein. Die Inhalte der Webseiten sind so konzipiert, dass eine Behandlung der Linearen Funktionen als Voraussetzung zur Bearbeitung der Aufgaben nicht zwingend notwendig ist. Die Aufgaben können sogar als Baustein für den Einstieg in die Thematik Lineare Funktion verwendet werden. Interaktive Arbeitsblätter Die grafische Darstellung der bei Regen steigenden Wasserhöhe in einer Regentonne in Abhängigkeit von der Zeit ist das Thema des ersten interaktiven Arbeitsblattes, das in dieser Unterrichtseinheit zum Einsatz kommt. Wird das Arbeitsblatt für den Einstieg in das Themengebiet "Lineare Funktionen" verwendet, kann hier propädeutisch der Begriff der Steigung erarbeitet werden. Kommt das Online-Arbeitsblatt erst im Verlauf des Themas zum Einsatz, so kann der mathematisch erarbeitete Begriff der Steigung mit neuer anschaulicher Bedeutung gefüllt werden. In dem darauf folgenden zweiten interaktiven Arbeitsblatt sind unterschiedliche Preisangebote eines Kartbahnbetreibers grafisch dargestellt. Es ermöglicht den Schülerinnen und Schülern, die eben erworbenen Kenntnisse in einem neuen Aufgabenumfeld anzuwenden und sich in einem Wettbewerb mit den Mitschülern zu messen. Das "ICH-DU-WIR"-Prinzip Das methodische Konzept der Schweizer Didaktiker Peter Gallin und Urs Ruf zeigt einen Weg zur nachhaltigen Anregung individueller Lernprozesse auf. Unterrichtsverlauf Hinweise zum Verlauf des Unterrichts und zum Einsatz der Arbeitsmaterialien (Arbeits- und Hausaufgabenblatt, Online-Arbeitsblätter) Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler ordnen Texte grafischen Darstellungen zu. entnehmen und interpretieren Informationen aus grafischen Darstellungen. erstellen selbstständig Texte zu grafischen Darstellungen. entwerfen eigene grafische Darstellungen zu Sachverhalten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lösen Aufgaben auf interaktiven Arbeitsblättern am Computer. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit einem Partner oder einer Partnerin zusammen. Die Bearbeitung der Regentonnen-Aufgabe ist nach dem Dreischritt "ICH-DU-WIR" aufgebaut. Dies ist ein methodisches Konzept, das auf die beiden Schweizer Didaktiker Peter Gallin und Urs Ruf zurückgeht. Es zeigt einen Weg auf, wie das Lernen in der Schule organisiert und strukturiert werden kann, um individuelle Lernprozesse nachhaltig anzuregen. Dabei sind die einzelnen Elemente ICH, DU und WIR wie folgt zu verstehen: ICH bedeutet individuelles Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler machen sich in dieser Phase eigenständig mit der Problemstellung der Regentonnen-Aufgabe vertraut, stellen Bezüge zum individuellen Vorwissen her und versuchen selbstständig, Zusammenhänge zu erkennen und Lösungen zu finden. Dabei ist darauf zu achten, dass keine Kommunikation unter den Schülerinnen und Schülern erfolgt. DU bedeutet Lernen mit dem Partner Nach der Bearbeitung der Aufgaben in Einzelarbeit tauschen sich die Schülerinnen und Schüler mit ihrer Partnerin oder ihrem Partner aus. Sie erklären sich abwechselnd ihre Ideen und Lösungsvorschläge, vergleichen diese miteinander oder vollziehen die Gedanken des anderen nach. So kann das eigene Wissen vertieft werden. In Partnerarbeit wird weiter an der vollständigen Lösung gearbeitet. WIR bedeutet Kommunikation im Klassenverband Im Rahmen dieser Phase können die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungen im Klassenplenum präsentieren. Sollten noch Unklarheiten hinsichtlich der Aufgabenlösung bestehen, werden diese hier diskutiert. Die individuelle Korrektur der Aufgaben erfolgt dann nicht durch die Lehrkraft, sondern durch den Einsatz von Online-Arbeitsblatt 1. Die Schülerinnen und Schüler rufen erst jetzt die entsprechende Webseite auf, bearbeiten die einzelnen Aufgaben und überprüfen so ihre bisherigen Ergebnisse. Dabei kann es durchaus sein, dass sie ihre Lösungen neu überdenken müssen. Der Computer dient hier als Kontrollinstrument, das zu weiterer Diskussion des Sachverhalts anregen kann. In dieser Phase des Unterrichts sollte es die Lehrkraft vermeiden, sich in die Diskussion der Schülerinnen und Schüler einzuschalten. Ihre Aufgabe besteht ausschließlich im Beobachten, nicht im Bewerten. Die Lehrkraft projiziert die einzelnen Aufgaben des interaktiven Web-Arbeitsblattes zur Regentonne per Beamer. Dazu erläutert jeweils eine Schülerin oder ein Schüler ihre beziehungsweise seine gefundenen Lösungen vor der Klasse. Nun sind die Schülerinnen und Schüler selbst aufgefordert, in Partnerarbeit Texte zu bestehenden Graphen sowie eigene Graphen und dazugehörige Texte zu verfassen. Um eine sich anschließende Diskussion im Klassenverband anschaulich zu gestalten, sollte die Lehrkraft Folien mit den Aufgaben an die einzelnen Teams ausgeben. Anhand dieser Folien kann eine fundierte Bewertung der Ergebnisse erfolgen. Bei der Bearbeitung des interaktiven Arbeitsblattes zur Kartbahn (siehe Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken) sollen die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Preisangebote drei farbigen Graphen zuordnen und anschließend unterschiedliche Aufgaben bearbeiten. Mithilfe des Buttons "Wertung" wird die Eingabe geprüft und Punkte werden vergeben. Mit "Neu fragen" werden neue Aufgaben gestellt. Als besonderer Anreiz besteht dabei die Möglichkeit, die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eintragen zu lassen. Die Unterrichtsstunde beendet die Hausaufgabenstellung (kartbahn_hausaufgabe.pdf), die sich an den zuletzt gestellten Aufgaben des Web-Arbeitsblattes 2 orientiert. Darüber hinaus sollen die Zusammenhänge der Aufgabenstellung, die dem Web-Arbeitsblatt 2 zugrunde liegt, verbalisiert werden. Die Lehrkraft präsentiert den Sachverhalt mithilfe des Online-Arbeitsblattes per Beamer und gibt das Arbeitsblatt (arbeitsblatt_regentonne.pdf) an die Schülerinnen und Schüler aus. Diese sollen dann die zehn darauf formulierten Aufgaben ohne Verwendung des Computers in Einzelarbeit bearbeiten. Im Anschluss daran vergleichen sie mit ihrer Partnerin oder ihrem jeweiligen Partner die gefundenen Ergebnisse, stellen Gemeinsamkeiten fest oder diskutieren unterschiedliche Standpunkte.

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Fourier-Analyse (nach J.B.J. Fourier, 1768-1830) auf experimentelle Art und Weise kennen. Mit der Methode können komplexe Schwingungen, wie sie in der Musik und in der Physik vorkommen, in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden.Nach der Einführung in das Thema der trigonometrischen Funktionen und insbesondere der Sinusfunktion arbeiten die Schülerinnen und Schüler weitgehend selbstständig am Computer. Mit dynamischen Arbeitsblättern, die mithilfe der kostenlosen Software GeoGebra erstellt wurden, finden sie heraus, wie sich die Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel auf eine Sinusschwingung auswirken. Anschließend werden diese Erfahrungen dazu genutzt, Sinusschwingungen gezielt zu beeinflussen, um eine experimentelle Art der Fourier-Analyse durchzuführen. Die dynamischen Arbeitsblätter enthalten auch Erklärungen und Informationen aus der Physik und der Musik, wodurch sie sich für den fächerübergreifenden Unterricht eignen. Da in der Musik Hörerfahrungen nicht fehlen dürfen, stellen neun Hörbeispiele eine direkte Verbindung zur Musik her. Die Hörbeispiele stehen in unmittelbarem Bezug zu den Aufgabenstellungen und vermitteln einen direkten Zusammenhang zwischen den dynamischen Konstruktionen und den musikalischen Entsprechungen. So üben die Schülerinnen und Schüler nicht nur den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, sondern lernen auch deren Bedeutung für die Physik und die Musik kennen. Tipps zum Unterrichtsverlauf Anregungen für den fächerübergreifenden Unterricht und zum selbstständigen, erforschenden Lernen sowie Hinweise zur Bedeutung des "klassischen" Heftes Hintergrundinfos für Lehrkräfte und Experimentiervorschläge Allgemeine Informationen zur Herleitung einer Sinusschwingung und zu Schwebungen sowie Vorschläge zu musikalischen Experimenten mit dem Klavier und der Blocklöte Die Schülerinnen und Schüler festigen den Umgang mit der Sinusfunktion, ihrer Gleichung und ihren Parametern. beeinflussen mithilfe der Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel eine Sinusfunktion gezielt. erkennen die Sinusschwingung als ein Bindeglied der Fächer Mathematik, Physik und Musik. lernen durch die Hörbeispiele eine direkte Verbindung zwischen den Unterrichtsfächern Musikerziehung und Mathematik kennen. kennen die mathematischen Entsprechungen der Begriffe "Tonhöhe" und "Lautstärke". kennen den Aufbau eines Tons durch Überlagerung seiner Partialtöne. lernen das Phänomen der Schwebung kennen. sind mit dem Prinzip der Fourier-Analyse vertraut und kennen Anwendungsgebiete. Mit der Fourier-Analyse können komplexe Schwingungen in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden. Jede dieser Teilschwingungen besitzt dabei die Form einer Sinusschwingung und lässt sich als Graph einer Sinusfunktion der Form mit den Parametern Amplitude a , Frequenz f und Nullphasenwinkel phi sub~0~~ darstellen. Um eine komplexe periodische Schwingung in ihre Einzelkomponenten zu zerlegen, wendet man das Verfahren der Harmonischen Analyse an. Nach ihrem Entdecker, dem französische Physiker und Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) wird diese Methode auch Fourier-Analyse genannt. Fourier zeigte, dass sich jede beliebige periodische Schwingung eindeutig als Summe von endlich oder unendlich vielen Sinusschwingungen darstellen lässt, deren Frequenzen in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen. Die mathematische Durchführung einer Fourier-Analyse ist relativ anspruchsvoll. Man benötigt dafür Kenntnisse über den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, Summen und Integralen, sowie mit komplexen Zahlen. Daher eignet sie sich nicht direkt für den Unterricht. Um den Schülerinnen und Schülern aber das Prinzip einer Fourier-Analyse näher zu bringen, genügt es, diese auf experimentelle Weise durchzuführen. Dies wird durch die hier verwendeten dynamischen Arbeitsmaterialien ermöglicht. Musik Anwendungen der Fourier-Analyse findet man sowohl in der Musik, als auch in der Physik und dem alltäglichen Umgang mit Radio, CD-Player und Fernseher. In der Musik nutzt man diese Methode zum Beispiel zur Analyse von Klängen. Dabei nimmt man die Klänge mit einem Mikrophon auf und setzt den Schwingungsverlauf mithilfe eines Analog-Digital-Wandlers in mathematisch erfassbare Zahlenwerte um. Derartige digitalisierte Schwingungsverläufe können dann zum Beispiel auf eine CD gebrannt werden, wobei sie beim Abspielen als Überlagerung von Sinusschwingungen verschiedener Frequenzen reproduziert werden. Physik In der Physik wird die Fourier-Analyse unter anderem eingesetzt, um zeitabhängige Vorgänge in harmonische Schwingungen zu zerlegen. Zum Beispiel nützt man dies um die Eigenfrequenzen eines Messgerätes zu berechnen. Denn um eine Verzerrung des Messvorgangs durch die Resonanzen der Eigenfrequenzen zu umgehen, darf das Messgerät keine Eigenfrequenzen innerhalb des Messbereichs aufweisen. Auch bei Radio und Fernsehen kommt die Fourier-Analyse zum Einsatz. Hier müssen die Signale erst digitalisiert und in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden, bevor sie mit einer Trägerwelle gesendet werden können. Treten bei der anschließenden Überlagerung der Einzelfrequenzen Störungen auf, so sind sie zum Beispiel im Fernsehen als Bildstörungen wahrnehmbar. Dies tritt unter anderem auf, wenn Moderatoren Kleidungsstücke mit sehr feinen Streifen tragen und kann als flimmernde Bildstörung wahrgenommen werden. Der Verlaufsplan Schwingungen stellt eine Anregung dar und kann natürlich an die jeweiligen Unterrichtsbedingungen angepasst werden. Im Idealfall stehen Ihnen die für jeden Block vorgeschlagenen Unterrichtsstunden hintereinander zur Verfügung. Dies lässt sich eventuell durch das Tauschen von Unterrichtsstunden mit den Kolleginnen und Kollegen erreichen. Ist dies nicht der Fall, können die Blöcke auch in aufeinander folgenden Mathematikstunden behandelt werden. Die Arbeitsblätter können auch im Rahmen von Hausübungen zu Ende bearbeitet werden, damit alle Schülerinnen und Schüler beim nächsten Unterrichtsblock auf dem gleichen Wissensstand sind. Falls nicht alle über einen heimischen Internetanschluss verfügen, lassen sich die Hausübungen auch in Partner- oder Kleingruppenarbeit erledigen. Beim Abspielen der Hörbeispiele ist die Verwendung von Kopfhörern zu empfehlen, da sich die Lernenden sonst gegenseitig stören würden. Dynamische Arbeitsblätter "Schwingungen in Musik und Mathematik" Um mit den interaktiven Applets arbeiten zu können, benötigen Sie Java (Version 1.4.2 oder höher). Die Unterrichtsmaterialien eignen sich für den fächerübergreifenden Unterricht zwischen den Fächern Mathematik, Musikerziehung und Physik. Sie können in Zusammenarbeit mit den entsprechenden Fachlehrkräften zu einem Projekt ausgebaut oder ergänzt werden. So könnte Ihnen zum Beispiel die Musiklehrerin oder der Musiklehrer bei der Durchführung der beiden angeführten musikalischen Experimente in Block 2 (siehe Verlaufsplan Schwingungen und Hintergrundinfos für Lehrkräfte und Experimentiervorschläge ) behilflich sein, während die Physiklehrkraft Experimente zur Veranschaulichung von mechanischen Schwingungen durchführen könnte (Fadenpendel, Stimmgabeln, gekoppelte Pendel, ... ). Selbstständiges und erforschendes Lernen Durch die Kombination der dynamischen Arbeitsblätter mit den Hörbeispielen erleben die Schülerinnen und Schüler eine direkte Verbindung zwischen den Fächern Mathematik und Musik. So werden Informationen aus ganz verschiedenen Fachbereichen gesammelt und miteinander verknüpft. In dieser Unterrichtseinheit geschieht dies vor allem durch selbstständiges und erforschendes Lernen. Durch das Experimentieren mit den Materialien können im individuellen Lerntempo Erfahrungen gesammelt werden, welche in den Plenumsphasen mit den Mitschülern diskutiert und bestätigt werden können. Ergebnissicherung: Das Heft ist unentbehrlich! Zur Ergebnissicherung dient das Heft. Das schriftliche Festhalten der Beobachtungen und Erkenntnisse ermöglicht eine bessere Strukturierung der Ergebnisse und ein späteres Nachvollziehen des Unterrichtsgeschehens. Außerdem kann man als Lehrkraft so die Arbeitsfortschritte einzelner Schülerinnen und Schüler einsehen und gegebenenfalls unterstützend eingreifen. So wird gewährleistet, dass möglichst alle die Lernziele erreichen und vom Unterricht profitieren. Die grafische Darstellung einer harmonischen Schwingung lässt sich von der gleichförmigen Kreisbewegung ableiten, indem man diese auf eine normal zur Rotationsachse liegende Ebene projiziert, in der ein rechtwinkliges Koordinatensystem liegt. Bewegt sich ein Punkt P auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius r , so lässt sich jedem Phasenwinkel phi im Intervall von 0 bis 2 pi der Wert der zugehörigen Auslenkung y zuordnen. Diese Werte werden entlang der Ordinaten-Achse eines Koordinatensystems aufgetragen, wodurch eine Sinuskurve entsteht. Für dieses Experiment benötigen Sie ein Klavier (Flügel oder Pianino). Es soll den Schülerinnen und Schülern verdeutlichen, dass jeder "natürliche" Ton durch die Überlagerung von Teiltönen (Partialtönen) entsteht. Drücken Sie (oder eine Schülerin oder ein Schüler) stumm die Taste des Tones C (in der großen Oktave). Betätigen Sie kurz und kräftig die Taste C 1 (in der Kontra-Oktave) und halten Sie die erste Taste währenddessen gedrückt. Lassen Sie die Klasse aufmerksam zuhören, was nach dem Auslassen der zweiten Taste passiert: Die Saite der Taste C wurde durch die tiefere Saite der Taste C 1 in Schwingung versetzt - der Ton C ist leise wahrnehmbar. Wiederholen Sie diesen Vorgang auch mit dem Stumm-drücken der Tasten c, g (beide in der kleine Oktave), c 1 , e 1 und g 1 (alle in der ersten Oktave). Dabei sind die entsprechenden Töne immer leiser und ihre Wahrnehmung wird somit schwieriger. Möglicherweise sind die letzten beiden Töne auch gar nicht mehr wahrnehmbar. Erklären Sie Ihren Schülerinnen und Schülern, dass jeder Ton des Klaviers durch Überlagerung seiner Partialtöne entsteht. Dies bedeutet für den Ton C 1 , dass er sich aus folgenden Tönen zusammensetzt: C 1 , C, G, c, e, g, b, c 1 , d 1 , e 1 , ... , wobei hier nur die ersten zehn Partialtöne aufgezählt sind. Theoretisch besteht ein natürlicher Ton aus unendlich vielen Partialtönen, wobei nur eine bestimmte Anzahl wahrnehmbar ist. Das Phänomen einer Schwebung tritt bei der Überlagerung zweier Sinusschwingungen gleicher Schwingungsrichtung mit ganzzahligen Frequenzen f sub~1~~ beziehungsweise f sub~2~~ und gleichem Nullphasenwinkel phi sub~0~~ auf. Der Einfachheit halber wählen wir dabei für den Nullphasenwinkel den Wert Null. Die Frequenzen dürfen dabei jedoch keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sein. Ändert sich die Amplitude einer Schwingung periodisch, so nennt man dieses Phänomen in der Akustik eine Schwebung und ihre Frequenz Schwebungsfrequenz f sub~S~~. Liegt die Schwebungsfrequenz im Bereich zwischen 1 Hz und 8 Hz, so werden die einzelnen Schwebungen deutlich als Lautstärkeschwankungen wahrgenommen, was Musiker zum exakten Stimmen ihrer Instrumente nutzen. Stimmen die Amplituden A sub~1~~ und A sub~2~~ der beiden Sinusschwingungen überein, so spricht man von einer "vollkommenen Schwebung". Das heißt, die beiden Schwingungen löschen einander immer wieder aus und die Amplitude A sub~r~~ der resultierenden Schwingung schwankt zwischen den Werten 0 und A sub~1~~ + A sub~2~~. Besitzen die Amplituden der beiden Einzelschwingungen verschiedene Werte, so spricht man von einer "unvollkommenen Schwebung". Die Amplitude A sub~r~~ der resultierenden Schwingung schwankt dabei zwischen den Werten / A sub~1~~ - A sub~2~~ / und A sub~1~~ + A sub~2~~. Ein Klavierstimmer nützt die vielen Obertöne eines Klavierklanges um die Intervalle "rein" zu stimmen. Da die erste Oberschwingung eine doppelt so hohe Frequenz wie ihre Grundschwingung hat, klingt der erste Oberton genau eine Oktave höher als der Grundton. Bei einem einzeln erklingenden Ton nimmt das menschliche Ohr die auftretenden Partialtöne nicht getrennt, sondern als Klanggemisch wahr. Spielt der Klavierstimmer diesen Ton jedoch gleichzeitig mit dem etwas verstimmten Ton im Intervallabstand einer Oktave, so bilden sich Schwebungen zwischen der ersten Oberschwingung des tieferen und der Grundschwingung des höheren Tons. Durch die Veränderung der Saitenspannung lässt sich die Frequenz des höheren nun exakt an die des tieferen Tons anpassen, die Schwebung verschwindet und die Oktave klingt "rein". Für dieses Experiment benötigen Sie zwei Sopranblockflöten: Lassen Sie zwei Ihrer Schülerinnen oder Schüler kräftig denselben Ton auf den beiden Blockflöten spielen, zum Beispiel den Ton d 1 , bei dem auf der Vorderseite der Flöten lediglich das zweite Griffloch von oben verschlossen werden muss. Im Normalfall klingen die beiden Töne nun nicht "rein", da sie durch leicht unterschiedliche Frequenzen erzeugt werden. Ihre Schülerinnen und Schüler sollen nun versuchen, durch Veränderung des Anblasedrucks die Töne anzugleichen. Dabei hält ein Lernender den Luftstrom konstant (mittlere Lautstärke) während der andere seinen Anblasedruck variiert. Sobald die beiden Frequenzen übereinstimmen, klingt der Ton "rein", was deutlich hörbar ist. Das Angleichen der beiden Töne erfordert einige Sensibilität von den Schülerinnen und Schülern. Möglicherweise gibt es aber jemanden, der das Instrument gut beherrscht. Dies würde das "Reinstimmen" der beiden Blockflöten erheblich erleichtern.

Die hier vorgestellten Bausteine sind keine starre Unterrichtseinheit, sondern können auch in Wiederholungsphasen oder in besonderen Unterrichtsformen (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungen genutzt werden. Der Funktionenplotter Kurvenprofi wird dabei als Punkt- und Streckenplotter verwendet.Lange bevor Funktionen im Unterricht thematisiert werden, finden in den Klassen 5 und 6 Übungen im Koordinatensystem statt. So werden Punkte eingezeichnet und abgelesen, Spiegelungen und Verschiebungen vorgenommen und die Eigenschaften von Vierecken angewendet. Dies geschieht durch eine Beschränkung auf Punkte, Geraden, Strecken und eventuell Kreise. Der Computer bietet dabei die Möglichkeit, Schaubilder schnell anzufertigen, Vermutungen zu entwickeln und diese zu überprüfen. So sehr wir uns saubere Koordinatensysteme wünschen - wie viele davon kann eine Schülerin oder ein Schüler in einer Stunde zeichnen? Wie viel Zeit bleibt dann noch für die eigentliche Mathematik? Von diesem Problem befreit uns der Computer als Rechen- und Zeichenknecht. Er schafft Raum für das Experimentieren und ermöglicht eine schnelle Kontrolle der Ergebnisse (zum Beispiel Verwechselung von x- und y-Koordinate). Zudem müssen Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit am Rechner nie fürchten, Falsches in ihren Heften zu ?verewigen?.Computer-Algebra-Systeme (CAS) sind für den Einsatz in Klasse 5 und 6 in ihrer Bedienung zu aufwändig. Ihre Möglichkeiten der graphischen Darstellung fallen gegenüber ihren sonstigen Fähigkeiten oft stark ab. Maßstabsgerechte Zeichnungen und interaktive Elemente (zum Beispiel Punkte, Strecken, Parametervariation, Tangenten, Krümmungskreise) sind - wenn überhaupt - nur mit Programmieraufwand zu erreichen. Funktionenplotter rechnen dagegen nur eingeschränkt oder gar nicht algebraisch. Sie sind auf Funktionsdarstellungen ausgerichtet und in der graphischen Darstellung den CAS oft überlegen, können aber selten für Punkte und Strecken verwendet werden. Dies habe ich zum Anlass genommen, für den von mir entwickelten Funktionenplotter Kurvenprofi Aufgaben zu erarbeiten, die diese Lücke schließen. Mit dem Kurvenprofi steht den Schülerinnen und Schülern nach einer kurzen Einarbeitungsphase ein Werkzeug zur Verfügung, dass in der gesamten Schulzeit bis zum Abitur für fast alle Probleme der zweidimensionalen Graphen eingesetzt werden kann. Einsatz der Arbeitsmaterialien Die Unterrichtsbausteine eignen sich für eine vielfältige Nutzung in Partnerarbeit. Arbeitsblätter und Kurvenprofi-Dateien Materialien und Screenshots zu den Themen "Straßen und Häuser", "Parallel und Senkrecht", "Vierecke" und "Schmetterlinge". Die Schülerinnen und Schüler sollen die Orientierung im Koordinatensystem erlernen. Punkte durch zwei Koordinaten angeben können. ihre Kenntnisse zur Benennung und zu den Eigenschaften verschiedener Vierecke vertiefen. die Eigenschaft "parallel" als Gleichheit der abgezählten Wege erkennen und anwenden. die Eigenschaft "senkrecht" als eine bestimmte Änderung des abgezählten Weges erkennen und anwenden. erkennen, dass Punkte im Koordinatensystem auch durch andere Angaben (Winkel, Länge) festgelegt werden können. Thema Übungen im Koordinatensystem mit Kurvenprofi Autor Ulrich Strautz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 und 6 Zeitraum etwa 1 Stunde pro Aufgabenblatt Technische Vorraussetzungen Windows-Rechner Software Kurvenprofi (kostenfrei für private Nutzung, Schullizenz 50 €) oder andere Funktionenplotter Die Beispielaufgaben für den Einsatz von Funktionenplottern stellen keine starre Unterrichtsreihe dar. Es handelt sich um Bausteine, die auch als Wiederholungseinheiten in Vertretungsstunden oder in besonderen Formen des Unterrichts (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungsformen genutzt werden und viele Diskussionsanreize bieten können. Die hier vorgestellten Aufgaben sind grundsätzlich für eine Partnerarbeit konzipiert. Diese Arbeitsform ist nicht nur wegen der äußeren Rahmenbedingungen (technische Ausstattung der Schule) oft vorgegeben, sondern auch sehr hilfreich, einen inhaltlichen Austausch der Schülerinnen und Schüler über die Aufgabenstellungen anzuregen. Häufig werden spielerische Elemente verwendet, die erreichen sollen, dass nach der gemeinsamen Problemlösungsphase die Fähigkeiten beider Partner gesichert werden, zum Beispiel durch einen Rollenwechsel. Alle Aufgaben, die in diesem Artikel vorgestellt werden, lassen sich außer mit dem Kurvenprofi mit sämtlichen Funktionenplottern umsetzen, die Punkte und Strecken zeichnen können. Für die Nutzung der entsprechenden KRV-(Kurvenprofi-)Dateien müssen Sie jedoch das Programm Kurvenprofi installieren. Dies steht Lehrkräften, Schülerinnen und Schülern für die private Nutzung kostenfrei zur Verfügung, eine Schullizenz ist für 50 € zu haben. Unter Hilfe/Beispiele/Einführung finden Sie im Programm eine leicht verständliche Einweisung. Die Schülerinnen und Schüler üben in den ersten Aufgaben die Bedienung des Programms, das Ablesen und Zeichnen von Punkten und Strecken sowie die Orientierung im Koordinatensystem. Dabei werden die Kenntnisse über die Koordinaten der Punkte wiederholt. Es zeigt sich hier schnell, dass das Schaubild bei einer Verwechselung der beiden Koordinaten unerwartete Ergebnisse zeigt, die schnell bemerkt, diskutiert und behoben werden können. "Das Haus vom Nikolaus" erfordert planvolles Handeln durch eine kleine Skizze und die Überlegung, in welcher Reihenfolge die Punkte abgelaufen werden. Zur inneren Differenzierung kann gefordert werden, nur eine festgelegte Anzahl der Punkte (einen durchgängigen Streckenzug) zu verwenden. Die Anregung, die Farben und Stricharten zu ändern, puffert unterschiedliche Bearbeitungszeiten ab. Mit dem Abzählen der x- und y-Änderungen erkennen die Schülerinnen und Schüler eine weitere Möglichkeit, die Eigenschaft "parallel" nachzuweisen oder parallele Strecken zu zeichnen. Zunächst werden in verschiedenen Übungen durch die Strecken bestimmte Abschnitte angeboten. Die letzten Aufgaben erfordern das Suchen geeigneter Punkte auf einer Geraden. Möglicherweise kann an dieser Stelle im Rahmen der Binnendifferenzierung schon von einigen Schülerinnen und Schülern die Nichteindeutigkeit der Pfeile durch Verdoppelung, Verdreifachung und weitere Vervielfachungen herausgearbeitet werden. Entsprechend wurde die Untersuchung der Eigenschaft "senkrecht" angelegt, wobei die vorangegangenen Aufgaben unter der geänderten Fragestellung gelöst werden sollen. Die Festigung des über die Eigenschaften "parallel" und "senkrecht" Gelernten geschieht in den Aufgaben zu Vierecken. Nach einer spielerischen Vorübung zu Koordinaten werden die Eigenschaften bestimmter Vierecke benötigt, um Figuren durch Änderung einzelner Punkte in vorgegebene Vierecke zu verwandeln und später Streckenzüge zu Vierecken zu ergänzen. Obwohl der Begriff des Steigungsdreiecks nicht verwendet wurde, haben die Schülerinnen und Schüler eine Idee gewonnen, die in späteren Unterrichtsreihen vielleicht mit Rückgriff auf diese Übungen leicht auf die Gerade und deren Senkrechte übertragen werden kann. Für den Fall, dass in Klasse 6 die Winkel und die negativen Zahlen behandelt wurden, bietet das Blatt "Schmetterlinge" eine spielerische Übung im Raten von Winkelgrößen und Längen. Auf höherem Niveau reift die Erkenntnis, dass ein Punkt im Koordinatensystem auch durch Angabe des Winkels und der Länge eindeutig festgelegt werden kann. Dabei wird der Begriff der Polarkoordinaten nicht genannt. (Welche Schülerinnen und Schüler finden heraus, dass Winkel und Länge eines Punktes nicht eindeutig sind?) Durch viele der hier vorgestellten Aufgaben ziehen sich Anknüpfungspunkte an spätere Themen. Explizit zu nennen sind die Steigung, die Steigung einer Senkrechten, Polarkoordinaten, aber auch die negativen Zahlen, die im Gegensatz zum üblicherweise eingeführten Koordinatensystem schon in Form der vier Quadranten auftreten. Durch leichte Variation der Aufgaben können diese auch in späteren Unterrichtsreihen als Einstiege verwendet werden. Wie schnell ragt ein Viereck in einen anderen Quadranten und bietet damit einen Unterrichtsanlass zur Zahlbereichserweiterung? Die hier vorgestellten Arbeitsblätter sind Bestandteil einer Aufgabensammlung für die Klassen 5-10, die auf der Kurvenprofi -Website in verschiedenen Formaten bereit steht (unter "Downloads").

Schülerinnen und Schüler untersuchen mithilfe von Excel den Einfluss der Vorfaktoren a, b und c auf die Lage und das Aussehen von Parabeln.Quadratische Funktionen begegnen den Lernenden das erste Mal in der Jahrgangsstufe 9. Sie lernen hier, wie man Scheitelpunkte von Parabeln berechnen und aus Funktionsvorschriften ablesen kann und wie Parabeln geöffnet und verschoben sind. Erfahrungsgemäß fällt es Schülerinnen und Schülern immer wieder schwer, Funktionsvorschriften quadratischer Funktionen in die Scheitelpunktsform zu bringen. Dass man aber auch einer Funktionsvorschrift, die noch nicht in die Scheitelpunktsform gebracht wurde, ansehen kann, wie die Parabel verschoben und geöffnet ist, kann im Unterricht mithilfe von Excel anschaulich dargestellt werden. Unterrichtsverlauf und Fazit Die Voraussetzungen und der Einsatz der Excel-Datei werden erörtert. Die Darstellung eines Unterrichtsverlaufs gibt einen Einblick in die Anwendung von Excel in der Praxis. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung des Vorfaktors a in der Funktionsvorschrift f(x) = ax 2 + bx + c erkennen und benennen können. erkennen, dass ein negatives (positives) Vorzeichen des Vorfaktors b eine Verschiebung der Parabel nach rechts (links) bewirkt, vorausgesetzt der Vorfaktor a ist positiv (negativ). den Einfluss des Vorfaktors c auf die Lage der Parabel angeben können. anhand vorgegebener Funktionsvorschriften angeben können, wie die Parabel geöffnet und verschoben ist. Thema Untersuchung von Parabeln mit Excel Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zeitraum 1-2 Unterrichtsstunden (je nach Excel-Vorkenntnissen) Zielgruppe Klasse 9 technische Voraussetzungen Rechner in ausreichender Menge für Partnerarbeit, Beamer Software Excel In den vorangegangenen Unterrichtsstunden haben die Schülerinnen und Schüler die Bestimmung der Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion und alle wesentlichen Eigenschaften und "Verschiebemöglichkeiten" von Parabeln kennen gelernt und vertiefend geübt. Dass man einer quadratischen Funktion, die nicht in Scheitelpunktsform gegeben ist, ansehen kann, wie sie geöffnet und ob sie gestreckt oder gestaucht ist, war den Schülerinnen und Schülern anschaulich klar. Dass man aber auch der Funktionsvorschrift bereits ansehen kann, ob die Parabel nach rechts oder links verschoben ist, bereitete den Schülerinnen und Schülern noch große Probleme. Hier sorgte Excel für Abhilfe. Die Schülerinnen und Schüler arbeiteten eine Stunde lang in Partnerarbeit am Rechner. Eine Einführung in Excel war nicht notwendig, da sie bereits mit dem Programm vertraut waren. Eine kurze Anleitung zur Bedienung des Makros war allerdings wichtig. Den Schülerinnen und Schüler wurde dabei erklärt, in welchen Spalten sie sehen, wie groß die jeweiligen Vorfaktoren a, b und c sind (hier B3, C3, D3). Die Schülerinnen und Schüler beobachteten zunächst, wie sich der Vorfaktor a auf eine Parabel auswirkt und welche Verschiebung der Vorfaktor c zur Folge hat. Da die Auswirkung von b auf das Aussehen der Parabel unmittelbar vom Vorfaktor a abhängt, bereitete die Interpretation häufig Probleme. Einige Schülerinnen und Schüler haben diese Differenzierung völlig außer Acht gelassen. Erst die Hilfestellungen der Lehrkraft oder Mitschüler machten sie darauf aufmerksam. Daraufhin konnten sie ihre falschen oder unvollständigen Lösungen selbstständig korrigieren oder ergänzen. Natürlich kann man den Einfluss der Vorfaktoren auf die Lage und das Aussehen der Parabel auch über das einfache Zeichnen verschiedener quadratischer Funktionen oder über rein mathematische Regeln und Gesetzmäßigkeiten erklären. Auch der Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechners wäre an dieser Stelle möglich gewesen. Die Möglichkeit, durch den Einsatz der Excel-Datei und das einfache Verschieben von Scroll-Leisten verschiedene Parabeln unmittelbar zu erzeugen und die Auswirkungen der Vorfaktoren a, b und c zu beobachten, hat sich sehr positiv auf das Verständnis der Zusammenhänge ausgewirkt. Man muss sich jedoch bewusst sein, dass durch das Arbeiten mit der Excel-Datei nur der Grundstein zum Verständnis gelegt wird - das exakte Berechnen muss im Unterricht vertiefend geübt werden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Modellbildung wird die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes genutzt, um mithilfe eines Realexperimentes und einer Simulationsumgebung den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren.Wie viele Tiere leben in einem definierten Gebiet? Diese Frage lässt sich gar nicht so einfach beantworten. Sie stellt sich zum Beispiel, wenn man prüfen möchte, ob natürliche oder vom Menschen verursachte Veränderungen Auswirkungen auf die Population einer bestimmten Spezies haben. Dann kommt man zumindest um ein Schätzen der aktuellen Bestandgröße nicht herum. Die dafür gängigen Verfahren beruhen auf Modellierungsprozessen, die sich auch im schulischen Kontext thematisieren lassen. Diese Unterrichtseinheit liefert dafür neben der Beschreibung eines Realexperimentes ("Bonbons aus einem Eimer fischen") eine kleine Simulation ("Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... "), mit der die Schülerinnen und Schüler das Fang-Wiederfang-Verfahren zur Schätzung einer virtuellen Hasenpopulation selbstständig und explorativ durchführen können.Für die Ermittlung von Schätzwerten zur Größe von Tierpopulationen stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung. Zu diesen zählt das Fang-Wiederfang-Verfahren (auch "capture-recapture-" oder "mark-recapture"-Verfahren). Der Name charakterisiert bereits das Wesen dieser Methode. In einem bestimmten Gebiet werden zu einem konkreten Zeitpunkt Individuen einer Spezies gefangen, gezählt und markiert. Zu späteren Zeitpunkten wird unter möglichst gleichen Bedingungen das Fangverfahren wiederholt (Wiederfang). Dabei wird neben der Gesamtzahl der gefangenen Individuen auch die Anzahl der davon markierten, also wiedergefangenen, Tiere ermittelt. Die Anzahl der durchgeführten Wiederfangverfahren kann variieren. In der Regel wird das Wiederfangverfahren einmal (2-Punktmethode) oder zweimal (3-Punktmethode) durchgeführt. Bei jedem Fang ist ein spezielles Markierungsmuster zu verwenden. Einen Schätzwert für die aktuelle Populationsgröße erhält man, wenn man die ermittelten Daten ins Verhältnis setzt. Realexperiment und Simulation Für den schulischen Kontext ist die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes ein gutes Beispiel, um den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren. Das zur Verfügung gestellte Arbeitsblatt soll den Schülerinnen und Schülern eine möglichst selbstständige Auseinandersetzung mit der Problematik ermöglichen. Das beschriebene Modellexperiment ("Bonbons aus einem Eimer fischen") erlaubt es, sich zunächst nichtvirtuell als "Fänger und Wiederfänger" im Klassenzimmer zu probieren. Für eine intensivere explorative Beschäftigung mit der Thematik wird die Simulationsumgebung "Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... " zur Verfügung gestellt, die das Durchführen des Fang-Wiederfang-Verfahrens in Abhängigkeit der Parameter Anzahl der vorhandenen Individuen (in diesem Fall Hasen) Anzahl der aufgestellten Fallen Anzahl der Wiederfänge in kurzer Zeit erlaubt. Eine kleine Gebrauchsanwesiung für die Installation und die Nutzung der Simulationsumgebung, ausgestattet mit vielen Screenshots, ermöglicht eine selbstständige Arbeit der Schülerinnen und Schüler mit dem Programm. Unterrichtsverlauf "Modellbildung zur Schätzung eines Populationsbestandes" Eine Variante der Unterrichtsdurchführung könnte darin bestehen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen einzuteilen (jeweils zwei bis drei Lernende pro Gruppe) und ihnen das Arbeitsblatt mit den Fragestellungen 1-3 zur Verfügung zu stellen. Den Lernenden wird ausreichend Zeit eingeräumt (etwa 15-20 Minuten), um sich mit der Problematik auseinander zu setzen. Nach der Diskussion der Vor- und Nachteile der von den Schülerinnen und Schülern entworfenen Lösungen kann (falls das Fang-Wiederfang-Verfahren nicht bereits erwähnt oder inhaltlich beschrieben wurde) als weitere Methode das Fang-Wiederfang-Verfahren vorgestellt und mithilfe des Wassereimer-Bonbon-Modells simuliert werden. Im Anschluss daran werden den Schülerinnen und Schülern die Aufgaben 4 bis 6 des Aufgabenblattes und die Simulationsumgebung mit der Bedienungsanleitung für das weitere explorative Arbeiten zur Verfügung gestellt. Die Sequenz endet mit einer Diskussion der gewonnenen Ergebnisse. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Bedeutung von Schätzverfahren für alltägliche Problemstellungen am Beispiel des Fang-Wiederfang-Verfahrens exemplarisch kennen. können den Modellcharakter des Fang-Wiederfang-Verfahrens erkennen und insbesondere die Grenzen dieses Modells beschreiben. erkennen, dass das Fang-Wiederfang-Verfahren mathematisch mithilfe von Verhältnisgleichungen beschrieben werden kann. erfahren, dass sich Zustände und Prozesse aus ihrem unmittelbaren Lebensumfeld, aus Natur und Technik, teilweise mit einfachen Mitteln (abstrakt) modellhaft veranschaulichen lassen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sich selbstständig unter Nutzung einer Dokumentation in die Arbeit mit der vorgegebenen Simulationsumgebung ein. können die gegebene Simulation explorativ zur Beantwortung auch selbst gestellter Fragen nutzen. erkennen, dass Simulationen als Mittel zum Erkenntnisgewinn dienen können. wissen, dass Simulationen als didaktische Mittel zur Veranschaulichung von ausgewählten Modellen eingesetzt werden können. Für den schulischen Kontext ist die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes ein gutes Beispiel, um den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren. Das zur Verfügung gestellte Arbeitsblatt soll den Schülerinnen und Schülern eine möglichst selbstständige Auseinandersetzung mit der Problematik ermöglichen. Das beschriebene Modellexperiment ("Bonbons aus einem Eimer fischen") erlaubt es, sich zunächst nichtvirtuell als "Fänger und Wiederfänger" im Klassenzimmer zu probieren. Für eine intensivere explorative Beschäftigung mit der Thematik wird die Simulationsumgebung "Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... " zur Verfügung gestellt, die das Durchführen des Fang-Wiederfang-Verfahrens in Abhängigkeit der Parameter Anzahl der vorhandenen Individuen (in diesem Fall Hasen) Anzahl der aufgestellten Fallen Anzahl der Wiederfänge in kurzer Zeit erlaubt. Eine kleine Gebrauchsanwesiung für die Installation und die Nutzung der Simulationsumgebung, ausgestattet mit vielen Screenshots, ermöglicht eine selbstständige Arbeit der Schülerinnen und Schüler mit dem Programm. Eine Variante der Unterrichtsdurchführung könnte darin bestehen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen einzuteilen (jeweils zwei bis drei Lernende pro Gruppe) und ihnen das Arbeitsblatt mit den Fragestellungen 1-3 zur Verfügung zu stellen. Den Lernenden wird ausreichend Zeit eingeräumt (etwa 15-20 Minuten), um sich mit der Problematik auseinander zu setzen. Nach der Diskussion der Vor- und Nachteile der von den Schülerinnen und Schülern entworfenen Lösungen kann (falls das Fang-Wiederfang-Verfahren nicht bereits erwähnt oder inhaltlich beschrieben wurde) als weitere Methode das Fang-Wiederfang-Verfahren vorgestellt und mithilfe des Wassereimer-Bonbon-Modells simuliert werden. Im Anschluss daran werden den Schülerinnen und Schülern die Aufgaben 4 bis 6 des Aufgabenblattes und die Simulationsumgebung mit der Bedienungsanleitung für das weitere explorative Arbeiten zur Verfügung gestellt. Die Sequenz endet mit einer Diskussion der gewonnenen Ergebnisse.

In dieser Unterrichtseinheit zur Einführung der Eulerschen Zahl bestimmen und begründen die Schülerinnen und Schüler mithilfe eines Java-Applets und rechnerischer Umformungen die Ableitung der Exponentialfunktion analytisch und zugleich anschaulich.Die barometrische Höhenformel, das Bevölkerungswachstum und der Zerfall von Bierschaum: Als Einstieg in diese Unterrichtseinheit wurden Wachstums- und Zerfallsvorgänge durch die Behandlung von anwendungsorientierten und alltagsbezogenen Aufgaben aufgegriffen. Dies diente zum einen dazu, dass die Schülerinnen und Schüler lernten und übten, Funktionsterme für Exponentialfunktionen aufzustellen. Zum anderen sollten sie erkennen, welche Bedeutung der Wachstumsfaktor und der Streckfaktor für den Grafen einer Exponentialfunktion haben.Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". "Geh weg oder ich differenzier dich!" Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler können für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen. können den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern. können analytisch und geometrisch begründen, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. können eine geeignete Basis a bestimmen, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. kennen die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion. Exponentialfunktionen sind in der Sekundarstufe II ein von den Schülerinnen und Schülern dankbar aufgenommenes Thema. Kommt man doch dabei nach der Behandlung der gebrochen-rationalen "Kurvendiskutiererei" endlich wieder zu Funktionen, die die Lehrkraft mit anschaulichen Anwendungsinhalten füllen kann. Man sollte dabei jedoch die Balance zwischen reinen Anwendungen und analytischen Begründungen bewahren. So ist es wichtig, die Bedeutung der einzelnen "Faktoren" einer Exponentialfunktion immer wieder mit grafischen Inhalten zu füllen. Zu diesem Zweck haben die Lernenden zunächst Exponentialfunktionen zu verschiedenen Inhalten aufstellen und lösen müssen (barometrische Höhenformel, Bevölkerungswachstum, Zerfall von Bierschaum - entnommen aus diversen Lehrbüchern). Als Einstieg in die Ableitung der Exponentialfunktion haben die Schülerinnen und Schüler eine Folie mit dem wohl ältesten Mathematikerwitz, "Geh weg oder ich differenzier dich!", zu sehen bekommen und sollten sich zu dieser Aussage äußern. Dabei wurden zum Beispiel folgende Vermutungen genannt: "Die Exponentialfunktion muss wohl eine besondere Funktion sein." "Die Funktion kann man nicht differenzieren." "Man kann die Funktion unendlich oft differenzieren." Die Schülerinnen und Schüler sollten zunächst der Vermutung nachgehen, dass man die Exponentialfunktion nicht ableiten könne. Mithilfe des TI-83-Taschenrechners leiteten sie verschiedene Exponentialfunktionen ab und erkannten, dass diese Vermutung nicht zutreffen kann (Arbeitsblatt, siehe Download auf der Startseite des Artikels). Dann sollte die Sekantensteigung für eine Exponentialfunktion der Form f(x) = a x aufgestellt werden, wobei die Sekante durch die Punkte P (x / a x ) und Q (x+h / a x+h ) verläuft. Nach einigen analytischen Umformungen, die wegen der Nichtpräsenz der Potenzgesetze immer wieder schwer fielen, stießen die Lernenden auf den Streckfaktor, der bei den bisher mit dem Taschenrechner bestimmten Ableitungen festlegt, welchen Schnittpunkt der Graf der jeweils abgeleiteten Exponentialfunktion mit der y-Achse hat und der dafür sorgt, dass manche Grafen abgeleiteter Exponentialfunktion oberhalb beziehungsweise unterhalb der Ausgangsfunktionen liegen. Den Lernenden war dann aber relativ schnell klar, dass hinter der Aussage "Geh weg oder ich differenzier dich!" noch mehr stecken muss. Schließlich konnte man die Ableitung einer Exponentialfunktion bestimmen. So ging man der Frage nach, ob es nicht vielleicht eine Funktion gäbe, die mit ihrer Ausgangsfunktion übereinstimmt. Wenn es eine solche Ableitung geben sollte, dann müsse der Streckfaktor gleich 1 sein beziehungsweise die Tangente an der Stelle x = 0 die Steigung 1 haben. Die Schülerinnen und Schüler sollten dann mit dem Taschenrechner experimentell eine geeignete Basis a finden, für die der Graf der Ableitungsfunktion mit dem Graf der Ausgangsfunktion übereinstimmt. Relativ schnell wurde dann die Zahl a = 2,71 entdeckt. Das Java-Applet hat das experimentelle Finden der Zahl e in jeder Hinsicht positiv unterstützt. Es muss aber ganz deutlich gesagt werden, dass das Applet von Franz Embacher und Petra Oberhuemer ein durchaus anspruchsvolles Tool ist! So wird von der Tangente f(x) = 1 + x (für die die Steigung an der Stelle x = 0 gleich 1 ist) ausgegangen. Die Veränderung der Sekanten bei veränderten Basen a wird dynamisch dargestellt. Dieser Sachverhalt ist manchen Schülerinnen und Schülern zunächst nicht klar gewesen. Eine gute und in jeder Hinsicht auch mathematisch eindeutige Vorbereitung ist hier erforderlich.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Differenzialquotient wird die erste Ableitung mithilfe eines Java-Applets eingeführt. Die Verknüpfung zwischen grafischer Anschauung und Rechnung führt zu einem sicheren Umgang mit dem Differenzialquotienten.Grenzwerte von Folgen und Funktionen werden heute in der Regel - nach den Richtlinien - nur noch am Rande behandelt. Umso schwieriger ist es für die Lernenden zu begreifen, was ein Grenzwert einer Funktion überhaupt bedeutet und wie dieser graphisch anschaulich, geschweige denn mathematisch korrekt, angegeben werden kann. Beim Übergang vom Differenzenquotienten, also von der Sekantensteigung, zum Differenzialquotienten, also zur Tangentensteigung, kommt es deswegen auf eine möglichst genaue und zugleich verständliche Einführung an. Ein Java-Applet von Walter Fendt lieferte dabei in meinem Unterricht einen wertvollen Beitrag. Das Applet hatte eine Mittlerfunktion: Eine Aufgabenstellung zum Skiabfahrtslauf war der zentrale Aufhänger der Thematik, für die es galt, Ideen und Lösungen zu finden. Das Applet hat die Ideen graphisch veranschaulicht, den späteren Lösungsweg transparent gemacht und den Grenzwertprozess verdeutlicht.Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler können die Sekantensteigung berechnen. können den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen. können erläutern, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. können die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen. können den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen. Die Lernenden haben zu Beginn dieser Unterrichtseinheit den Grenzwertbegriff bei Funktionen kennen gelernt. Bereits hier ist sehr viel Wert auf Anschaulichkeit und eine analytisch einwandfreie Einführung gelegt worden. Das gewählte Einstiegsbeispiel (Geschwindigkeit beim Abfahrtslauf) ermöglichte den Schülerinnen und Schülern, aus einem einfachen Sachverhalt heraus ein anschauliches Beispiel für einen Grenzwert im Alltag zu finden. Durch die Wiederholung von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten wurden Funktionsbeispiele aus den vorangegangenen Schuljahren der Lernenden herangezogen, deren Grenzwert bestimmt wurde. Arbeitsblatt 1: Grenzwertbeispiel "Abfahrtslauf" Bei der Aufgabe des ersten Arbeitsblatts (arbeitsblatt_1_differentialquotient) kam es darauf an, bekannte mathematische Sachverhalte zu verknüpfen und nach bestimmten Strategien und Angaben zu ordnen. Die Schülerinnen und Schüler haben sich dazu zunächst klar machen müssen, worin der Unterschied zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit und der momentanen Geschwindigkeit besteht. Es wurden Ideen gesammelt, wie man bei der Lösung des Problems am besten vorgehen könne. Der sehr gute Ansatz, dass man die Sekantensteigungen in der Umgebung der halben Sekunde bestimmen müsse, um dann ungefähr die Geschwindigkeit nach einer halben Sekunde angeben zu können, wurde schnell gefunden und in der Folgestunde mithilfe des Java-Applets von Walter Fendt umgesetzt. Arbeitsblatt 2 und das Java-Applet Der Einsatz des Java-Applets brachte zwei wesentliche Vorteile mit sich: Zum einen konnten diejenigen Schülerinnen und Schüler in den Unterricht zurückgeholt werden, die die Idee aus der letzten Unterrichtsstunde nicht verstanden hatten. Zum anderen konnte anhand des Applets (mit einer zur Skiaufgabe ähnlichen Funktion) allen Lernenden deutlich gemacht werden, wie man vorgehen muss. Dass die Sekantensteigung in die Tangentensteigung übergeht, war dadurch den meisten Lernenden anschaulich klar. Ebenso war das weitere Vorgehen zum Lösen der Skiaufgabe rechnerisch nahezu klar. Der Ergebnissicherung und dem Erkenntnisgewinn diente das zweite Arbeitsblatt (arbeitsblatt_2_differentialquotient). In meinem Unterricht haben die Schülerinnen und Schüler online mit dem Applet gearbeitet. Die Applikation kann aber auch zur offline-Bearbeitung kostenlos aus dem Netz heruntergeladen werden. Die Lernenden haben zur Lösung des Skiproblems Sekantensteigungen bestimmt, anschließend den Grenzübergang zur Tangentensteigung durchgeführt und so den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen gelernt. Man darf dabei allerdings nicht erwarten, dass allen Schülerinnen und Schülern nach zwei oder drei Stunden bereits klar ist, wie ein Differentialquotient bestimmt wird. Dies muss vertiefend wiederholt und immer wieder grafisch verdeutlicht werden. Denn nur durch die Verknüpfung zwischen grafischer Anschauung und Rechnung (Lernen auf möglichst vielen Kanälen) kann ein fundierter und sicherer Umgang mit dem Differentialquotient gewährleistet werden.