Grenzwerte von Folgen und Funktionen werden heute in der Regel - nach den Richtlinien - nur noch am Rande behandelt. Umso schwieriger ist es für die Lernenden zu begreifen, was ein Grenzwert einer Funktion überhaupt bedeutet und wie dieser graphisch anschaulich, geschweige denn mathematisch korrekt, angegeben werden kann. Beim Übergang vom Differenzenquotienten, also von der Sekantensteigung, zum Differenzialquotienten, also zur Tangentensteigung, kommt es deswegen auf eine möglichst genaue und zugleich verständliche Einführung an. Ein Java-Applet von Walter Fendt lieferte dabei in meinem Unterricht einen wertvollen Beitrag. Das Applet hatte eine Mittlerfunktion: Eine Aufgabenstellung zum Skiabfahrtslauf war der zentrale Aufhänger der Thematik, für die es galt, Ideen und Lösungen zu finden. Das Applet hat die Ideen graphisch veranschaulicht, den späteren Lösungsweg transparent gemacht und den Grenzwertprozess verdeutlicht.
Vom Differenzen- zum Differenzialquotient
In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Differenzialquotient wird die erste Ableitung mithilfe eines Java-Applets eingeführt. Die Verknüpfung zwischen grafischer Anschauung und Rechnung führt zu einem sicheren Umgang mit dem Differenzialquotienten.
- Mathematik / Rechnen & Logik
- Sekundarstufe II
- 2 bis 3 Unterrichtsstunden
- Arbeitsblatt interaktiv, Internetressource
- 2 Arbeitsmaterialien
Beschreibung der Unterrichtseinheit
Didaktisch-methodischer Kommentar
Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen.
- Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets
Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen.
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Unterrichtsmaterial "Vom Differenzen- zum Differenzialquotient" zum Download
- arbeitsblatt_1_differentialquotient.pdf
Die Schülerinnen und Schüler berechnen, wie schnell ein Skiläufer bei der Abfahrt genau eine halbe Sekunde nach dem Start ist. Die Grafiken beider Arbeitsblätter wurden mit TI InterActive erzeugt.
VorschauIm Classroom-Manager speichern - arbeitsblatt_2_differentialquotient.pdf
Die Lernenden machen sich mithilfe eines Java-Applets grafisch klar, was beim Übergang von der Sekanten- (Differenzenquotient) zur Tangentensteigung (Differentialquotient) passiert.
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Alle Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit "Vom Differenzen- zum Differenzialquotient" können Sie mit diesem ZIP-Ordner herunterladen.
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Vermittelte Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler
- können die Sekantensteigung berechnen.
- können den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen.
- können erläutern, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird.
- können die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen.
- können den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen.
Externe Links
- walter-fendt.de
Das Applet "Sekanten- und Tangentensteigung" von Walter Fendt ist auf seiner Homepage zu finden.
- walter-fendt.de
Auf der Seite von Walter Fendt gibt esviele Applets, Infos und Links zur Physik, Mathematik und Astronomie.
