Was ist schon normal? Binomial- und Normalverteilung

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilungen lernen die Schülerinnen und Schüler über interaktive GeoGebra-Arbeitsblätter die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung kennen.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II
  • mindestens vier Unterrichtsstunden (am besten Doppelstunden) oder freie Zeiteinteilung bei selbstständiger Bearbeitung außerhalb des Unterrichts
  • Arbeitsblatt interaktiv
  • 32 Arbeitsmaterialien

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Die Untersuchung von Binomialverteilungen B (n; p) bei wachsendem n führt über den integralen und lokalen Grenzwertsatz zur Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Mit ihr eröffnet sich den Lernenden ein weites Feld von Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik, in der Wirtschaft und den Sozialwissenschaften.

Der hier vorgestellte Online-Kurs bietet eine variabel einsetzbare Methode, die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung zu lehren oder zu lernen. In nahezu jedem Lehrbuch werden zur Darlegung der Beweisidee der lokalen und integralen Näherungsformel von de Moivre-Laplace zahlreiche Histogramme und Dichtekurven präsentiert. Der Einsatz der mit der kostenfreien dynamischen Geometriesoftware GeoGebra entwickelten Applets schafft hier Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern.

Didaktisch-methodischer Kommentar

Erfahrungsgemäß entdecken die Schülerinnen und Schüler sehr schnell alleine die Bedienungsmöglichkeiten der Applets und erkennen, welche unabhängigen Objekte bewegt werden können, so dass auf ausführliche Bedienungshinweise verzichtet werden kann. Zu Beginn der Stunde hat sich bei computergestützten Unterrichtseinheiten eine "Austobphase" bewährt, in der die Lernenden etwa fünf Minuten lang einfach alle Knöpfe und Regler eines Programms ausprobieren dürfen, bevor sie dann (nach einem "Reset") zielgerecht die einzelnen Arbeitsanweisungen befolgen.

Voraussetzungen

Stochastische Vorkenntnisse

Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt.

Integralrechnung

Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich.

Einsatz im Unterricht

Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an:

  • begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht
  • selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe
  • Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen)

Partnerarbeit oder Präsentation

Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden.

Materialien zur Binomial- und Normalverteilung

Interaktive GeoGebra-Applets

Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle.

Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups

Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt.

Aufgaben und Antworten

Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.

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Unterrichtsmaterial "Binomial- und Normalverteilung" zum Download

Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler 

  • wiederholen die Binomialverteilung.
  • verstehen die Entstehung der standardisierten Dichtefunktion.
  • können die integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace herleiten und anwenden.
  • verstehen mit den Kenntnissen der Integralrechnung die Entstehung der Gaußschen Integralfunktion.
  • verstehen die Herleitung der lokalen Näherungsformel und ihre Abgrenzung zur integralen Näherungsformel.
  • können die lokale Näherungsformel anwenden.
  • können die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung nachvollziehen und die Normalverteilung anwenden.
  • erkennen die Bedeutung des Zentralen Grenzwertsatzes.

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Claus Wolfseher

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