Die Flash-Animation „Die Grundidee des Differenzierens“ der Website mathe-online.at vermittelt die Grundzüge der Differenzialrechnung in Bild und Ton – dabei können die verschiedenen Sequenzen je nach individuellem Lerntempo beliebig angehalten oder wiederholt werden.Ausgehend von einem Problem der Gewinnmaximierung wird der im Film-Clip dargestellte Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung mithilfe der Programme MS Excel sowie MS PowerPoint anschaulich nachgestellt: Einer ?Animation? der in Excel erstellten Diagramme per Daumenkino schließt sich eine einfache Animation in PowerPoint an.Die Schülerinnen und Schüler haben in früheren Lerneinheiten die Bestimmung der Steigung von Geraden erlernt (Punkt-Steigungsform der Geradengleichung) und damit die Grundlage zur Berechnung von Sekantensteigungen gelegt. Des Weiteren wurde im Rahmen der quadratischen Funktionen die Scheitelform der Parabelgleichung eingeführt. Ablauf des Unterrichts und Einsatz der Materialien Ein zuweilen sperriges Thema der Analysis wird durch anschauliche Unterrichtsmethoden verständlich. Die Schülerinnen und Schüler sollen das Maximum einer gegebenen quadratischen Funktion anhand bekannter Methoden berechnen (Scheitelform der Parabelgleichung). die Steigung einer Sekante berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung verinnerlichen. eine Sekantenfolge in einer Excel-Wertetabelle korrekt (richtige Verwendung von Formeln und Zellbezügen et cetera) darstellen können. die Sekanten und den Graphen der gegebenen Funktion als Diagramm ausgeben können. in der Lage sein, die Diagramme mit MS PowerPoint in eine Animation umzusetzen. schließlich erkennen, dass an der Stelle eines Extremwerts (hier speziell: Gewinnmaximum) die Tangentensteigung beziehungsweise erste Ableitung Null betragen muss Die verschiedenen Medien und Darstellungsweisen (Visualisierung mittels Diagramm, "haptisch-spielerische" Animation, digitale Animation) ermöglichen einen vielfältigen Zugang zu dem zentralen und zuweilen sperrigen Thema der Analysis, so dass eine Bearbeitung der Aufgaben die schnelle Einsicht in die Tatsache bietet, dass die erste Ableitung an einem Extrempunkt Null betragen muss. Thema Multimediale Einführung in die Differenzialrechnung Autor Arim Shukri Fach Mathematik Zielgruppe Kaufmännische Bildungsgänge Zeitraum 4-5 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Person, Browser mit Flash-Player (ab Version 6), MS Word, Excel, PowerPoint, Beamer Planung Differenzialrechnung Im Mathematikunterricht der Klasse wurden in den vorherigen Unterrichtssequenzen folgende Themen behandelt: Einführung in Excel Zellbezüge Erstellen von Formeln Kopieren von Formeln Umsetzung von Werten in Diagramme Einführung in MS PowerPoint Anschaulichkeit des Mediums Der Film-Clip "Die Grundidee des Differenzierens" bietet eine interessante Alternative, um den Lernenden die Grundzüge der Differenzialrechnung näher zu bringen. Ausgehend von dem im Film dargestellten und in der Diskussion vertieften Stoff fördern die sich anschließenden Aufgaben ein aktives Verständnis des Limesprozesses der sich von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung vollzieht. Bezug zur Berufswelt Um einen Bezug zur Anwendung in der Wirtschaft herzustellen, wird den Schülerinnen und Schülern zunächst die Aufgabe gestellt, von einer gegebenen Gewinnfunktion (Polynom zweiten Grades) das Maximum zu berechnen. Dies geschieht mithilfe der bereits aus einer früheren Unterrichtseinheit bekannten Scheitelform der Parabelgleichung. Dass dies auch und gerade anhand der Differenzialrechnung geschehen kann, soll durch die weiteren Aufgaben dynamisch-fassbar erschlossen werden. Berechnung Von Maximalpunkt ausgehend wird also eine geeignete Folge von Näherungspunkten ausgewählt, die sich von rechts dem Extrempunkt annähern. Dann wird jeweils eine Sekante durch Maximalpunkt und Näherungspunkt gelegt. Schließlich werden die jeweiligen Sekanten mit geeigneten Formeln in eine Excel-Wertetabelle umgesetzt. Visualisierung Die so entstehenden Spalten werden nun als Diagramme ausgegeben und einerseits haptisch als Daumenkino sowie digital mittels PowerPoint-Folienübergang animiert. Ziele Diese Vorgehensweise bedient gleich drei Ziele auf einmal: Der Grenzwertprozess wird anschaulich-spielerisch erlebbar gemacht und von den Schülern in eigenständiger Ausarbeitung nachvollzogen. Außerdem wird von den Lernenden selbst erkannt, dass an einem Extrempunkt die Tangentensteigung Null betragen muss und also die Differenzialrechnung als starkes Instrument zur Bestimmung von Gewinnmaxima herangezogen werden kann. Hierbei wird erwähnt, dass noch weitere Bedingungen erfüllt sein müssen. Schließlich wird die Beherrschung verschiedener Medien und Computerprogramme gefördert. Individuelles Lerntempo Zur Umsetzung der Unterrichtseinheit ist ein Computerraum vonnöten. Der Computerraum ist nicht nur für die Bearbeitung der Aufgaben unabdingbar, er bietet auch jedem Lernenden die Möglichkeit, seinem individuellen Lerntempo gemäß die verschiedenen Filmsequenzen des Clips "Die Grundidee des Differenzierens" zu verfolgen und gegebenenfalls zu wiederholen. Ausblick zum Medieneinsatz Später kann - bei entsprechenden Kenntnissen der Lernenden - eine an den Film-Clip angelehnte Flash-Animation erfolgen.

In diesem fächerübergreifenden Unterrichtsprojekt gewinnen die Schülerinnen und Schüler anhand der Parabel "Flächenland" von Edwin A. Abbott grundlegende physikalische und ethisch-moralische Erkenntnisse. Das Buch kann zur Erhellung einiger fundamentaler Zusammenhänge beitragen.Kennen Sie Flächenland? Führen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler in die zweidimensionale Welt eines kleinen Quadrates und lassen Sie sie einiges über Raum und Zeit, über Dimensionen und über ein- und mehrdimensionales Denken in einer ganz besonderen Gesellschaft entdecken. Die Flächenland-Parabel von Edwin A. Abbott (1838-1926), eine Gesellschaftssatire aus dem viktorianischen England, dient in der hier vorgestellten Unterrichtseinheit als Basis für grundlegende physikalische und ethisch-moralische Erkenntnisse. Sie kann zur Erhellung einiger fundamentaler Zusammenhänge beitragen. "Flächenland" bietet sich dabei für fächerübergreifende Unterrichtsprojekte an. Unterrichtsverlauf und Arbeitsmaterialien Die Unterrichtseinheit ist modular aufgebaut, Sie können also beliebig Module weglassen, austauschen oder auch erweitern. Dennoch wird auf den folgenden Seiten ein Unterrichtsverlauf beschrieben, der als Vorschlag zu verstehen ist. Dabei findet ein allmählicher Übergang von dem rein physikalisch-mathematischen Verständnis der Dimensionen zu den sozialkritischen und ethischen Aspekten im Zusammenhang mit eindimensionalem Denken statt. Was ist Flächenland? Für alle, die den Roman noch nicht kennen: Eine Kurzfassung der Story und worum es in der Parabel eigentlich geht. Allgemeine Hinweise, Modul 1 bis 3 Der thematische Einstieg erfolgt über ein Experiment oder die Betrachtung von Stereogrammen. Die Schülerinnen und Schüler lernen den Roman kennen, zeichen und betrachten verschiedendimensionale Formen und klären den Begriff der "Dimension". Modul 4 bis 8 Die Schülerinnen und Schüler beschäftigen sich mit den Verständnisschwierigkeiten zwischen der Kugel und dem Quadrat, der Rolle der Frauen in Flächenland und der politischen Dimension von Vorurteilen. Schließlich schreiben sie eine eigene Geschichte. Fächerverbindender Unterricht - Beispiel Mathematik Der Flächenland-Roman bietet sich auf vielfältige Weise für fächerverbindende Ansätze an. Wie schön (und humorvoll) diese im Fach Religion/Ethik durchgeführte Unterrichtseinheit mit der Behandlung der mathematischen Inhalte des Romans verzahnt werden kann, zeigt der folgende Beitrag aus dem Fachportal Mathematik. Die dort vorgestellte Lernumgebung kann zum Beispiel zwischen den Modulen 3 (Dimensionen) und 4 (Das Quadrat begegnet der Kugel) zum Einsatz kommen. Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Interaktive Applets, die mit der dynamischen Geometriesoftware GEONExT erzeugt wurden, veranschaulichen Schülerinnen und Schülern den mathematischen Hintergrund von Textpassagen aus dem Roman "Flächenland". Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren und verstehen das Prinzip der Dimensionen. definieren den Begriff "Dimension" im physikalisch-mathematischen und im philosophisch-ethischen Sinne. können die (teilweise gefahrvolle) Situation eines "freien" Denkers innerhalb einer engstirnigen Gesellschaft nachvollziehen. lernen das Entdecken neuer Perspektiven und einer neuen, ungewohnten Weltsicht als innovativ und wichtig für den Erkenntnisfortschritt einer Gesellschaft kennen. erkennen Zusammenhänge zwischen eindimensionalem Denken und Vorurteilen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Internet als Medium zur gezielten Recherche. lernen mit der Zeichenfunktion von Word (oder mit einer Geometriesoftware) umgehen. stellen eigene Beiträge ins Internet und diskutieren in einem Forum die Beiträge der Mitschülerinnen und Mitschüler. Der Roman "Flächenland" ("Flatland - A romance of many dimensions") des Briten Edwin A. Abbott erschien 1884 in England. Er zählt längst zu den Klassikern der Science-Fiction-Literatur, ist aber eigentlich eine geometrische Humoreske, ein in viele Richtungen lesbares und interpretierbares Gedankenexperiment, das als Gesellschaftssatire und als Plädoyer für die Freiheit des Denkens verstanden werden kann. Die Erzählung thematisiert die Situation des Denkers, der eine neue, riskante Sicht auf die Welt wagt - in einer Gesellschaft, die diese Perspektive (noch) nicht nachvollziehen kann und will. Physikalisch gesehen kann der Roman auch als Gleichnis für die Entdeckung der für uns schwer vorstellbaren "Raumzeit" dienen. Die Parabel von Flächenland zeigt, dass es Dimensionen gibt, die wir zwar nicht wahrnehmen oder anschaulich verstehen, die aber dennoch existieren können. Ein altes Quadrat, Bewohner der fiktiven 2D-Welt "Flächenland", erzählt von seinem zweidimensionalen Land, in dem Dreiecke, Vierecke und Kreise leben, die bestimmte, genau definierte und geordnete Funktionen und Kompetenzen haben, und von dem Besuch einer Kugel aus der 3D-Welt. Diese zunächst unerklärliche Erscheinung löst bei den einfachen Bewohnern von Flächenland Verwirrung und Panik aus. Dem cleveren und neugierigen Quadrat gelingt jedoch die Kommunikation mit der Kugel, es macht Reisen in das eindimensionale "Linienland" und das dreidimensionale "Raumland" und begreift das Prinzip der Dimensionen. Zurück in der Heimat versucht das Quadrat, von seinen Erlebnissen und Erkenntnissen zu berichten, wird aber von den Priestern, die das Wissen über die Existenz der dritten Dimension dem Volk vorenthalten wollen, bedroht und von deren Justizgewalt ins Gefängnis gebracht. Der Roman "Flächenland" (1884) von Edwin A. Abbott Infos zum Inhalt des Romans auf der Website der Humboldt-Gesellschaft. Flatland - A romance of many dimensions Die englischsprachige Ausgabe des Romans mit Illustrationen des Autors im Internet. Einige Punkte der Unterrichtseinheit setzen im Zusammenhang mit dem Thema Dimensionen einen recht hohen Abstraktionsgrad und auch ein gewisses geometrisches Grundverständnis voraus. Daher wird in diesen Modulen methodisch und inhaltlich zwischen jüngeren (Klasse 6 und 7) und älteren Schülerinnen und Schülern (Klasse 8 bis 10) unterschieden. Die Arbeitsblätter werden in diesen Fällen in zwei Varianten angeboten. Verschiedendimensionales auf dem Schulhof Besonders für jüngere Schülerinnen und Schüler ist es sicher sinnvoll und motivierend, den Unterschied zwischen ein- und mehrdimensionalen Verhältnissen physisch-räumlich zu erfahren. Deshalb schlagen wir hier einen praktischen Versuch auf dem Schulhof vor, der schnell und einfach zu realisieren ist und - ganz im Sinne eines beweglichen Verstandes - ein wenig Bewegung in den Unterricht bringt. Die Klasse wird dazu in vier Gruppen aufgeteilt, die jeweils die Eigenschaften von "Punkt-, Linien, Flächen- und Raumland" erfahren sollen. Arbeit mit Stereogrammen Eine andere Möglichkeit für den Einstieg in das Thema Dimensionen bieten die 3D-Effekte von Stereogrammen, mit deren Hilfe Schülerinnen und Schüler anschaulich erleben und verstehen können, was sich ändert, wenn sich an einem ganz bestimmten Punkt eine dritte Dimension öffnet und eine andere "Welt" zeigt. Die Stereogramme können einzeln oder zu zweit am Bildschirm betrachtet werden. Als Alternative bietet sich aber auch die Projektion ausgewählter Stereogramme per Beamer an. Dabei kann dem Ganzen noch eine sportliche Note gegeben werden: "Wer erkennt als erster das verborgene 3D-Bild?" Anhand von Texten aus dem Internet lernen die Schülerinnen und Schüler Flächenland kennen. Die Internetseiten geben einen Überblick über den Inhalt des Romans und führen direkt in die zweidimensionale Welt des Romanhelden, eines Quadrates, und seiner Mitbewohner ein. Hier geht es um die Lektüre der Kapitel 15 ("Einen Fremden aus Raumland betreffend") und 16 ("Wie der Fremde vergeblich versucht, mit Worten die Geheimnisse von Raumland zu enthüllen") aus der Erzählung "Flächenland" und die Umsetzung des Gelesenen in ein kurzes Rollenspiel. Dabei soll das Verständnis für die konsequent logische Argumentation der Kugel (der das zweidimensionale Quadrat aber nur theoretisch folgen kann) sichergestellt werden. Der vierten - für Nicht-Physiker und Nicht-Mathematiker schwer vorstellbaren - Dimension ist zur Vertiefung im Rahmen der Unterrichtseinheit ein eigenes Modul gewidmet, obwohl das Prinzip bereits in Modul 4 deutlich wurde. Der Transfertext aus "Alice im Wunderland" bietet an dieser Stelle Anknüpfungspunkte für den Deutschunterricht. Das 4. Romankapitel lautet "Über die Frauen". Da diese in Flächenland die Form gerader Linien haben, erscheinen sie von vorne als Punkt, sind also praktisch unsichtbar. Für die Flächenländer stellen sie daher eine große Gefahr dar - Frontalzusammenstöße mit ihnen enden tödlich. Die Frauen unterliegen deshalb "zum Schutze der Bürger" einer besonderen Gesetzgebung, die sie diskriminiert, mit tödlichen Strafen bedroht und ihnen ein normales, gleichberechtigtes Leben unmöglich macht. Der satirische Charakter der Erzählung ist in diesem Kapitel nicht zu übersehen. Die Parallelen zum fundamentalistisch verstandenen Islam sind offensichtlich, dennoch sollten die Schülerinnen und Schüler vor platten Gleichsetzungen gewarnt und zu vielfältigen Interpretationen der Parabel ermuntert werden (zumal Abbot zu seiner Zeit sicher eine etwas andere Perspektive hatte). In einer offenen Debatte könnten diverse Diskriminierungen und Randgruppenprobleme unserer heutigen Gesellschaft angesprochen werden, was zu Modul 7 überleiten könnte. Dieses Modul basiert auf einem relativ langen Text auf der Website von Martin Blumentritt zum Thema Die politische Dimension von Vorurteilen . Es ist deshalb nur für ältere Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I (Klasse 8 bis 10) geeignet. Es empfiehlt sich gegebenenfalls, auf ein Detailverständnis des gesamten Textes zu verzichten und sich nach einer Globallektüre auf den ersten Teil zu konzentrieren, der dann mit den üblichen textanalytischen Verfahren erschlossen werden kann. Hier wird vorgeschlagen, mit Schlüsselwörtern zu arbeiten und ein Strukturskizze anzufertigen. Dafür könnte ein MindMap-Programm benutzt werden. Als kreative Aufgabe im Sinne einer Transferleistung soll von den Schülerinnen und Schülern ein eigener Text mit einer Situation entworfen werden, die mit derjenigen von Flächenland vergleichbar ist. Auch hier gibt es wieder Arbeitsblattvarianten für den Einsatz in Klasse 6 und 7 beziehungsweise Klasse 8 bis 10, wobei bei den älteren Schülerinnen und Schülern schon ein gewisses gesellschaftspolitisches Bewusstsein vorausgesetzt wird. Um die Schreibmotivation zu erhöhen, könnten die Texte im Internet veröffentlicht werden, zum Beispiel im Webspace eines virtuellen Klassenraums im Lehrer-Online-Netzwerk (lo-net). Mithilfe eines Homepagegenerators ist dies problemlos ohne HTML-Kenntnisse möglich. Im Forum des virtuellen Klassenraums können die Texte der Mitschülerinnen und Schüler kommentiert und diskutiert werden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Fibonacci-Zahlen lernen die Schülerinnen und Schüler die Fibonacci-Folge kennen. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können.Im Unterricht werden meist nur Funktionen und Integrale behandelt. Folgen und Reihen spielen – wenn überhaupt – eine untergeordnete Rolle. Dabei ermöglichen sie wichtige mathematische Betrachtungen, die den Lernenden auch nach der Schulzeit noch oft begegnen werden. Die Einfachheit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen ist eine gute Motivation, im Unterricht auch einen Blick auf Folgen und Reihen zu werfen. Die Zahlen lassen interessante Grenzwertbetrachtungen zu - ebenfalls die Formel von Moivre-Binet, die in diesem Zusammenhang auftaucht. Die Beweisidee der vollständigen Induktion wird als wichtige Beweismethode erklärt und angewendet. Ein kurzer Blick über die Inhalte der Schulmathematik hinaus rundet die Unterrichtseinheit ab. Warum die Behandlung von Folgen und Reihen sinnvoll ist Dass für große x-Werte die Funktionswerte f(x) gegen einen endlichen Wert streben, wird den Lernenden häufig vermittelt. Folgen werden im Unterricht dagegen selten erörtert. Einen kurzen Einblick erhält man, wenn das Integral über einer Funktion im ersten Quadraten durch Rechtecke angenähert wird. Dabei ist es wichtig den Grenzwert zu bestimmen, falls die Breite der Rechtecke gegen Null und somit die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich geht. Oft wird nur in diesem Zusammenhang kurz über Folgen und Reihen gesprochen. Viele Alltagsbetrachtungen können jedoch durch Folgen und Reihen verständlicher beschrieben werden. Als Beispiel betrachtet man ein monatliches Ansparen eines festen oder flexiblen Betrages, der in Abhängigkeit zur Anzahl der Monate beschrieben werden kann. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Leonardo da Pisa (etwa 1170-1240), auch Fibonacci genannt, war Rechenmeister in Pisa und gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Neben den nach ihm benannten Zahlen sollen die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit vor allem die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen lernen. Der Funktionsbegriff sowie die Idee der Stamm- und Integralfunktion ist ihnen bereits bekannt. Sollen sie auch erste Erfahrungen mit Folgen und Reihen machen, so ist im ersten Abschnitt der Unterrichtseinheit eine Ergänzung nötig, denn die hier bereitgestellten Materialien setzen voraus, dass auch diese Begriffe bereits bekannt sind. Die Arbeitsblätter vermitteln, dass auch Folgen und Reihen analoge Betrachtungen zu Grenzwerten zulassen. Die Art der Annäherung an einen Grenzwert von beiden Seiten ist eine Besonderheit. Zum Abschluss wird ein Begriff aus der Mathematik vorgestellt, der über den Lehrplan hinaus einen Blick in die Welt der Mathematik bietet: Nachbarbrüche. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

In dieser Unterrichtseinheit planen, testen und führen die Schülerinnen und Schüler eine Mission zum Mond durch, indem sie einen imaginären Rover über den Mond navigieren. Sie verstehen die Bedeutung eindeutiger und präziser Kommunikation beim Schritt-für-Schritt-Programmieren und schulen so unter anderem ihr logisches Denken. Die Unterrichtseinheit "Mission auf dem Mond" führt die Schülerinnen und Schüler hin zu simplen Konzepten des logischen Denkens. Die Lernenden übernehmen in Partnerarbeit die Rolle des "Missionsleiters" und des "Rovers". Aufgabe der Missionsleitung ist es, den blinden Rover über die Mondoberfläche zu navigieren und dadurch seine eigene Kommunikationskompetenz zu schulen. Des Weiteren wird das vorausschauende Denken geübt und das Vertrauen zwischen den Partnerinnen und Partnern gestärkt. Die Lernenden müssen gut zusammenarbeiten und einer genauen Route folgen, um Hindernisse zu umgehen und Missionen auszuführen, um sicher bei ihrem Ziel anzukommen. Die Unterrichtseinheit wurde im Rahmen der Projekte ESERO Germany und "Columbus Eye - Live-Bilder von der ISS im Schulunterricht" an der Ruhr-Universität Bochum entwickelt.Die Unterrichtseinheit bietet einen Einsteig in das logische Denken hin zu einer präzisen und klaren Kommunikation. Vor dem Hintergrund einer Mondmissionen ist es die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler mithilfe einer simplen Programmiersprache als Missionsleitung, ihren Partner oder Partnerin, den Rover, erfolgreich und vorausschauend über die Mondoberfläche zu navigieren. Dabei werden Aufgaben gelöst und Probleme bewältigt. Die Vorraussetzungen für die Durchführung der Unterrichtseinheit innerhalb des Klassenzimmers sind gering. Bei älteren Schülerinnen und Schülern kann auch gerne erst mit der zweiten Übung begonnen werden. Altersgruppe: 8 bis 12 Jahre Unterrichtsfach: Informatik, Mathe, Kunst Schwierigkeitsgrad: Einfach Benötigte Zeit: 45 Minuten Besondere Vorkenntnisse sind nicht notwendig. Die Schülerinnen und Schüler lernen einfache Konzepte des logischen Denkens kennen. planen und testen einfache Aufgaben. lernen die Funktion von einfachem, Schritt-für-Schritt Programmieren. verbessern ihre Kommunikation durch Rollenspiele. lesen Planquadratangaben und geben anschließend klare und bewusste Instruktionen für die Navigation im Referenzraum. lernen die Wichtigkeit eindeutiger Kommunikation. erleben wie wichtig gute Teamarbeit ist.

Warum kann man eine Sonnenfinsternis vorausberechnen, die Lottozahlen aber nicht? Gibt es den Wetterbericht für nächstes Jahr? Wann kommt die nächste Heuschreckenplage? Ist alles schon vorausbestimmt? Gibt es eine Ordnung im Chaos? Was hat das alles mit dem "Apfelmännchen" zu tun? Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Hinweise zu den Voraussetzungen und Materialien Das Skript zu dem Kurs soll als Leitfaden dienen. Den Quellcode der im Kurs verwendeten Programme finden Sie hier in Turbo Pascal. Die meisten Programme lassen sich auch per Tabellenkalkulation umsetzen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Erforderlich beziehungsweise hilfreich für die Durchführung dieses Kurses sind folgende Vorkenntnisse: quadratische Funktionen Differentialrechnung, insbesondere Ableitung als Steigung des Funktionsgraphen Grundkenntnisse und Fertigkeiten in Bedienung und Programmierung von Computern (Tabellenkalkulation, Basic, Pascal oder Java) für eine Weiterführung des Unterrichtsprojekts mit fraktaler Geometrie: komplexe Zahlen "Pluskurse" und vergleichbare Rahmen bieten im Vergleich zum Pflichtunterricht viele Vorteile, welche erfahrungsgemäß die Unterrichtsgestaltung wesentlich vereinfachen und die Lerneffizienz steigern: kleine Kursstärken homogene Lerngruppen spontanes und flexibles Agieren und Reagieren aufgrund fehlender Lehrplananbindung motivierte, leistungsbereite Schülerinnen und Schüler Wegfall von zeitaufwändigen Leistungserhebungen Die genannten Gelegenheiten gestatten der unterrichtenden Lehrperson und ihren Schülerinnen und Schülern erheblich mehr individuellen Freiraum zum experimentellen, entdeckenden Lernen und für fächerübergreifende Betrachtungen. Leitfaden statt exakte Unterrichtsplanung Der Natur der "Pluskurse & Co." entsprechend ist der Aufbau des Skripts zu dem Kurs (einblick_ins_chaos.pdf) gestaltet: Es ist als Leitfaden zu verstehen, von dem bei Bedarf abgewichen werden kann. Der Stoff wird in mehreren Kapiteln schülergerecht aufbereitet dargeboten, jeweils gefolgt von didaktischen Hinweisen, ergänzenden Vertiefungen oder Aufgabenvorschlägen. Eine exakte Unterrichtsplanung entfällt. Software zur Darstellung fraktaler Mengen Das Skript enthält eine Liste begleitender und weiterführender Literatur. Von den zahlreichen zum Thema (meist frei) erhältlichen Programmen sei der Real-Time Fractal-Zoomer "XaoS" erwähnt, der mit seinen ästhetischen Bildern fraktaler Mengen auch den affektiven Lernbereich zur Geltung bringt. Hinweise zu den Materialien Im Download-Material zu diesem Beitrag finden Sie die im Kurs verwendeten Programme samt Quellcode in Turbo Pascal, das aufgrund seiner streng strukturierten Syntax immer noch gut zum Erlernen der Grundkenntnisse des Programmierens eingesetzt werden kann. Die Programmstrukturierung mittels Prozeduren erlaubt aber auch eine Portierung in andere Programmiersprachen (zum Beispiel das frei erhältliche QBasic, das sich bei der Grafikprogrammierung sehr unkompliziert zeigt). Die meisten Programme lassen sich alternativ gut in einem Tabellenkalkulationssystem umsetzen (das Endzustandsdiagramm "Feigenbaum" nur mit Einschränkungen).

Auf dieser Seite haben wir Unterrichtseinheiten und Anregungen für Ihren Mathematik-Unterricht im Bereich Analysis zusammengestellt: Differenzialrechnung, komplexere Probleme der Differenzialrechnung und Integralrechnung. Auch Unterrichtsmaterialien für die Begabtenförderung im Mathematik-Unterricht finden Sie hier. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen einüben. Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen können. den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen können. die Herleitung von Ortskurven vertiefen. grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich wiederholen. kooperieren und sozial interagieren können. Thema Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Die Schülerinnen und Schüler sollen ganz- und gebrochen-rationale Funktionen sicher ableiten können. Funktionswerte berechnen können. Funktionsterme in einen Computer (hier: Mobiltelefon) eingeben. Geradengleichungen bestimmen können. zu einem Punkt des Graphen einer Funktion die Tangente und die Normale bestimmen können. ihr Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung selbst überprüfen. Thema Kurvendiskussionen, hier: Tangenten und Normalen mit Mobiltelefon-Unterstützung Autor Mirko König Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Java-Mobiltelefon pro Person (MIDP 2.0, CLDC 1.1) Software Analysis mobil (JavaME-Programm), möglichst auf jedem Mobiltelefon der Lernenden zu installieren (Shareware, 10 € pro Einzellizenz); Lehrpersonen, die mit ihrem Kurs gemeinsam das Programm nutzen möchten, können sich für eine kostenlose Klassen-Lizenz an den Autor wenden: mail-at-analysismobil.com). Bei den Kurvendiskussionen müssen die Schülerinnen und Schüler das in der Analysis Gelernte anwenden und in komplexer Form umsetzen. Dabei geht einigen schon einmal der Überblick verloren, und es entstehen Fragen wie: "Muss ich jetzt f, f' oder f'' verwenden?". Dies lässt sich durch übersichtliche Schrittfolgen vermeiden. Kommen aber Anwendungsaufgaben wie die zu Tangenten und Normalen hinzu, kann die als erreicht geglaubte Sicherheit wieder schwinden. Hier können Visualisierungen helfen, die Ergebnisse zu kontrollieren. Von den Lernenden mit Bleistift und Millimeterpapier erstellte Graphen reichen hier oft noch nicht aus, da der Erfahrungsschatz an bereits gesehenen Funktionen und deren Graphen noch zu klein ist. Überdies hängt die Richtigkeit des Graphen direkt von den Rechenfertigkeiten ab. Ein Computerprogramm mit einer Funktionseingabe und einer grafischen Funktionsanzeige (Funktionsplotter) kann hier die Anschauung gut unterstützen und eine unabhängige Kontrolle bieten. Der Computer ist in dem hier vorgestellten Fall ein Mobiltelefon, ein Gerät, das die Schülerinnen und Schüler in der Regel ständig parat haben. Allgemeine Hinweise und Materialien Ausgangssituation, Motivation und Zielstellung, allgemeine Anmerkungen zum Softwareeinsatz und Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch positiv sein kann. wissen, dass am "tiefsten" und "höchsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist. erkennen, dass die Steigung der Tangenten einer Parabel, als Funktion abgetragen, eine Gerade ergibt. erkennen, dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades, als Funktion abgetragen, eine Parabel ergibt. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen. Thema Steigung und Ableitung einer Funktion Autor Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin/Schüler Software Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei); GeoGebra zum Erstellen eigener dynamischer Arbeitsblätter (kostenloser Download aus dem Internet) Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer, Netscape, Mozilla) betrachtet werden können. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren, muss Java 1.4 (oder höher) installiert sein. Hinweise zum Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter Falls Ihnen noch die erforderliche Java-Abspielumgebung fehlt, können Sie hier mithilfe von Screenshots einen ersten Eindruck von den Arbeitsblättern gewinnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen lernen. die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten erlernen. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden können. die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen lernen. aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen können (Kurvendiskussion rückwärts). Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den SchülerInnen wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Sekantensteigung berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen können. erläutern können, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen können. den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen können. Thema Vom Differenzen- zum Differenzialquotient Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2 bis 3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer; optional: grafikfähiger Taschenrechner TI-83, OHP-Projektion für Taschenrechner Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen gegebene Größen bestimmen. Zielfunktionen aus gegebenen Größen herleiten. Extremstellen der Zielfunktionen bestimmen und das Verfahren der Kurvendiskussion anwenden (notwendige Bedingung für Extremstellen). gewonnene Lösungen diskutieren und interpretieren. einfache Extremwertprobleme lösen. Titel Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0 Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 Stunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner für zwei Lernende, Beamer Software Derive 5.0 Schullizenz, siehe Zusatzinformationen Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen Aufgaben und Musterlösungen Derive-Dateien und Screenshots Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen können. den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern können. analytisch und geometrisch begründen können, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. eine geeignete Basis a bestimmen können, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion kennen. Thema Einführung der Eulerschen Zahl Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner mit Internetanschluss für je 1-2 Lernende, Java Runtime Environment ; idealerweise Beamer, grafikfähiger Taschenrechner, OHP-Projektion für Taschenrechner, CAS Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". ?Geh weg oder ich differenzier dich!? Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler sollen den Begriff der Ober- und Untersumme kennen und anwenden. erkennen, dass bei einer sehr feinen Unterteilung der Intervalle Ober- und Untersumme gegeneinander konvergieren. erkennen, dass der Unterschied zwischen beiden beliebig klein wird (Grenzwertbegriff) und dass der Grenzwert der Ober- und Untersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. den Unterschied zwischen Integral und Fläche erklären. Integrale und Flächen berechnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen. Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Thema "Ein(-)Blick ins Chaos" - nichtlineare dynamische Systeme Autor Claus Wolfseher Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 10, hochbegabte Schülergruppen (Mathematik-AG, Projektarbeit) Zeitraum abhängig von Behandlungstiefe 10 oder mehr Doppelstunden Technische Voraussetzungen Computer mit einfacher Programmierumgebung (zum Beispiel Basic, Pascal oder Java) und Tabellenkalkulationssystem (zum Beispiel "Calc" - siehe OpenOffice.org - oder Excel) Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können. einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können. ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können. selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren. in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Materialien und Literatur Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple; außerdem finden Sie hier Literaturtipps. Ausgehend von einer elementaren Konstruktion einer Mittelsenkrechten erzeugen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra Geradenscharen, deren Hüllkurve eine Parabel zu sein scheint. Die Lernenden erarbeiten Schritt für Schritt den Beweis dieser Vermutung. Ihr Ergebnis können sie wiederum an der GeoGebra-Konstruktion überprüfen. Indem sie anschließend die allgemeine Gleichung einer Parabeltangente aufstellen, erkennen sie, dass die anfangs konstruierten Mittelsenkrechten gerade die Parabeltangenten sind. Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun ein einfaches Verfahren zur Konstruktion von Parabeltangenten finden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Geradenscharen und deren Hüllkurve mithilfe eines dynamischen Arbeitsblattes erzeugen können. die Parabel als Ortskurve der konstruierten Mittelsenkrechten kennen lernen und die zugehörige Parabelgleichung aus den Konstruktionseigenschaften herleiten können. einen Zusammenhang mit den ihnen bekannten Parabeltangenten herstellen können. aus den gewonnen Erkenntnissen eine einfache Vorschrift zur Konstruktion einer Parabeltangente in einem vorgegebenen Punkt herleiten können. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geradenscharen und Parabeln Autor Birgit Siebe Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik AG Zeitraum 3-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software Java-Plugin (Version 1.4 oder höher, kostenloser Download), GeoGebra (kostenloser Download) Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ f(x) = Ca x untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors k = f '(x)/f(x) eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren. die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken. diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen). die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis). die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen. die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen. Thema Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grund- oder Leistungskurs) Zeitraum 3-5 Stunden Technische Voraussetzungen je ein Computer für 1-2 Lernende Software Webbrowser mit aktiviertem Java, ergänzend (optional) das kostenlos erhältliche GeoGebra Selbstgesteuertes Lernen Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden. Modifizierbare Arbeitsblätter Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden. Optionale Beweise Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage (Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kurvendiskussion von Polynomen durchführen können. mit trigonometrischen Funktionen rechnen können. Linearkombinationen erstellen können. Interpolation durchführen können. algorithmisches Verständnis erwerben. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit GeoGebra lernen. den Umgang mit wxMaxima lernen. kleine Programmroutinen selbst erstellen können. Thema Tschebyscheff-Polynome Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin oder Schüler Software GeoGebra , wxMaxima (kostenloser Download) Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist, dass die Schülerinnen und Schüler Polynome und die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung kennen. Sie sollten über den Hauptsatz der Algebra und die Zerlegbarkeit von Polynomen laut Vieta Bescheid wissen. Grundlegendes Vorwissen über Matrizen und Determinanten wird benötigt und die Nutzung von GeoGebra und wxMaxima sollte keine Probleme bereiten. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Hier finden Sie verschiedene Zugänge und Aufgabenstellungen zu Tschebyscheff-Polynomen. Anregung und Erweiterung Eine Anregung zur Erweiterung des Themas bietet die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur.

In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle. Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden. In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion. Die Schülerinnen und Schüler kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an. stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich. beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal. entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise. erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal. lösen lineare Kongruenzen. bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n. Begriffe und Regeln für das Rechnen in Restklassen Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Zeitstunden) lernen die Schülerinnen und Schüler in Analogie zur Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen die Begriffe "Restklasse", "Modul", "Kongruenz" sowie elementare Regeln für das Rechnen in Restklassen anhand von Arbeitsblättern kennen (restklassen_1.pdf; im Download-Paket der Startseite befinden sich neben den PDFs auch alle Dateien im editierbaren RTF-Format). Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand Im zweiten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) stellen die Lernenden zunächst selbst Multiplikationstafeln modulo n auf. In einem weiteren Arbeitsblatt (alle Arbeitsblätter siehe restklassen_2.pdf) färben sie die bereits fertig ausgedruckten Multiplikationstafeln bis n = 12 von Hand ein (gleiche Reste - gleiche Farben). Dadurch wird der Blick auf die Struktur der Tabellen gelenkt und eine spielerische Analyse ihrer Eigenschaften eingeleitet, die durch ein Arbeitsblatt zur formalen Beschreibung der Symmetrieeigenschaften vertieft wird. Durch die Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand haben die Schülerinnen und Schüler Zeit und sind gehalten, sich eingehend mit den Tafeln und ihrer Struktur zu beschäftigen. Einige interessante Schülerbeobachtungen aus diesem Teil der Unterrichtsreihe sind dokumentiert (restklassen_2_schuelerbeitraege.pdf). Automatische Einfärbung mit Excel Erst nach der händischen Arbeit mit den Tabellen kommt die Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zum Einsatz, um bei der systematischen Erforschung schnell zwischen verschiedenen, auch größeren, Moduln wechseln zu können. Bei Eingabe des Moduls erfolgt die Einfärbung automatisch. Bei kleinen Lerngruppen reicht es, die Datei auf einem Rechner mit angeschlossenem Beamer auszuführen und den jeweils gewünschten Modul auf Zuruf einzugeben. Ergänzend dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler ein Arbeitsblatt mit fertig eingefärbten Tafeln bis n = 10. Besser ist es jedoch (vor allem in Teil 3), wenn die Schülerinnen und Schüler eigene Rechner benutzen und verschiedene Moduln selbst eingeben können. Fortführung der Untersuchung der Multiplikationstafeln Im dritten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) wird die systematische Untersuchung der Multiplikationstafeln fortgesetzt. Die zugehörigen Arbeitsblätter (restklassen_3.pdf) enthalten engere Fragestellungen, die auf die Anzahl und die Verteilung der in einer Tabellenzeile auftretenden Farben beziehungsweise Reste in Abhängigkeit von der Zeilennummer abzielen, also auf die Werteverteilung von a x mod n bei festem a und n. Dabei ist insbesondere der Fall ggT(a,n) = 1 von Interesse. Die Antworten werden mithilfe der Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zunächst empirisch gefunden und dann bewiesen. Lineare Kongruenzen, reduziertes Restsystem, phi-Funktion Die Ergebnisse führen auf die Lösung von linearen Kongruenzen, das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion, die aber im hier dargestellten Rahmen nur ansatzweise behandelt wird. Die praktischen Anwendungen in Form von "handfesten" Rechenaufgaben (lineare Kongruenzen) wurden von den Schülerinnen und Schülern dankbar angenommen. Bei der Bestimmung von phi(n) leistet die Excel-Datei wieder gute Dienste, da man mit der Tastenkombination Strg+R zum reduzierten Restsystem übergehen kann. Auch hier gilt: Computer nicht zu früh einsetzen! Beobachtungen und Beweise Die intendierten Beobachtungen und die zugehörigen Beweise werden hier ebenfalls zum Download angeboten (restklassen_3_beobachtungen.pdf). Die Beweise können in dieser Form auch der Lerngruppe zum Nacharbeiten zur Verfügung gestellt werden, zumal unter Umständen nicht alle im Unterricht vollständig ausgeführt werden können.

In dieser Unterrichtseinheit machen Schülerinnen und Schüler erste Erfahrungen mit dem Programmieren (Coding) eines einfachen digitalen Werkzeugs – dem Bluebot – und sie schulen ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Sie lernen, wie man Algorithmen in Form von Befehlsfolgen entwickelt, wie man Fehler in Befehlsfolgen findet und diese behebt, wie man Muster in Befehlsfolgen erkennt sowie verallgemeinert und wie komplexe Probleme, durch die Zerlegung in Teilprobleme, gelöst werden können. Diese Unterrichtseinheit dient dazu, Schülerinnen und Schülern erste Erfahrungen im algorithmischen Denken zu ermöglichen sowie ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu schulen. Das didaktische Begleitheft für Lehrkräfte und das Aufgabenheft der Kinder zeigen Möglichkeiten auf, wie das digitale Werkzeug Bluebot im Unterricht eingesetzt werden kann. Für den gemeinsamen Beginn der Unterrichtseinheit werden im didaktischen Begleitheft Impulsfragen zum Thema "Roboter" vorgeschlagen. Außerdem wird das "Roboterspiel" vorgestellt, bei dem ein Kind einen Roboter spielt, der von einem anderen Kind gesteuert wird. Unplugged, also ohne Verwendung eines digitalen Werkzeugs, wird die Funktionsweise von Robotern verdeutlicht und die Schülerinnen und Schüler lernen, was ein Algorithmus ist. Im Aufgabenheft finden sich sechs Aufgabenmodule (das Aufgabenheft sowie alle weiteren Materialien finden Sie über den Link am Ende der Seite) zur weiteren Bearbeitung. Diese können den Schülerinnen und Schülern in Form eines ausgedruckten Arbeitshefts oder in Form von Aufgabenkarten (zum Beispiel Lerntheke, Stationenarbeit) zur Verfügung gestellt werden. Die Kinder bearbeiten die Aufgaben in Tandems oder Kleingruppen. Alle Gruppen sollten zunächst die Aufgabenmodule "01 Befehle einführen und visualisieren" und "02 Fahrtwege unterschiedlich darstellen" bearbeiten, da diese grundlegend für die weitere Arbeit sind. Die vier anderen Aufgabenmodule "03 Algorithmen entwickeln", "04 Fehler finden und beheben", "05 Muster erkennen und verallgemeinern" und "06 Probleme lösen" können grundsätzlich in beliebiger Reihenfolge im Anschluss an die beiden ersten Module bearbeitet werden. Je nach verfügbarer Zeit und Materialausstattung (sind zum Beispiel Programmierleisten verfügbar oder wird ausschließlich mit der Setzleiste gearbeitet) kann auch innerhalb der Aufgabenmodule von der Lehrkraft eine Auswahl getroffen werden. Im gemeinsamen Abschluss wird mit den Schülerinnen und Schülern zusammengetragen, worauf bei einer Programmierung des Bluebot geachtet werden muss, beispielsweise die Unterscheidung von Rechts- und Linksdrehung bei unterschiedlicher Ausrichtung des Bluebot. Abschließend wird eine Transferaufgabe gemeinsam bearbeitet. Bei der sogenannten "Spiegelbildaufgabe" sollen die Kinder einen Weg an einer vorgegebenen Achse spiegeln und die entsprechende Programmierung vornehmen. Relevanz des Themas Durch den DigitalPakt Schule werden verstärkt Möglichkeiten der digitalen Bildung auch bereits im Grundschulalter diskutiert. Digitale Kompetenzen sind eine Querschnittsaufgabe, die es fächerübergreifend zu fördern gilt. Die Lernumgebung "Die Käfer sind los" kann dabei ein Baustein sein. Die programmierbaren Käferroboter haben das Potential, Kindern im Grundschulalter die Grundideen algorithmischen Denkens aufzuzeigen. Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler Die Schülerinnen und Schüler benötigen keine spezifischen Vorkenntnisse zur Bearbeitung der Aufgabenmodule der Lernumgebung. Didaktisch-methodische Analyse Algorithmisches Denken, auch Computational Thinking genannt, umfasst das Erstellen von Algorithmen und das Finden und Korrigieren von Fehlern in (Computer-)Programmen. Algorithmisches Denken meint aber auch grundsätzlicher das Zerlegen von Problemen des Alltags in Teilprobleme, um sie mithilfe eines Computers oder anderen digitalen Werkzeugen lösen zu können. Durch die verschiedenen Aufgabenmodule werden die Kinder in die Lage versetzt, einfache Programmierungen (Coding) vorzunehmen. Dazu lernen sie zunächst die verschiedenen Befehle des Bodenroboters Bluebot kennen. Sie stellen Fahrtwege des Bluebot unterschiedlich dar (ikonisch, symbolisch, sprachlich) und vernetzen diese Darstellungen miteinander, indem eine Darstellung in eine andere übersetzt wird. Sie entwickeln zu Fahrtwegen und sprachlichen Beschreibungen Befehls- und Bausteinfolgen und finden und beheben Fehler in Befehls- und Bausteinfolgen. Fahrtwege in Form geometrischer Figuren (Quadrat, Rechteck, Treppen, ...) regen dazu an, Wiederholungen und Regelmäßigkeiten in Befehlsfolgen zu erkennen und diese für die Lösung ähnlicher Probleme zu verwenden. Die Lernumgebung eignet sich außerdem zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens, da die Kinder die Fahrtwege des Bluebot zunächst in der Vorstellung planen, diese dann programmieren und anschließend evaluieren. Bei der Planung des Fahrtwegs lernen die Schülerinnen und Schüler Richtungen und Bewegungen zu beschreiben, aber auch Begriffe wie (Viertel-)Drehung nach links beziehungsweise nach rechts, nach oben, nach unten, nach links/rechts oben/unten, vorwärts und rückwärts kennen und sachgerecht zu verwenden. Die Begriffe unterstützen dabei den Planungsprozess und werden in der Kommunikation über die Lösungswege genutzt. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Die Lehrenden sollten in der Lage sein, die digital gestützte Lernumgebung so in ihrem Unterricht umzusetzen, dass die Schülerinnen und Schüler in den zentralen Zielbereichen Problemlösen, algorithmisches Denken und räumliches Vorstellungsvermögen Kompetenzzuwächse erzielen (3.1. Lehren und 3.2. Lernbegleitung). Insbesondere die Gestaltung des gemeinsamen Beginns sowie Abschlusses sind für eine Sicherung der Kompetenzen zentral. Weiter ist ein grundlegendes Verständnis für das digitale Werkzeug "Bluebot" sowie des ergänzenden analogen und digitalen Zubehörs notwendig. Entsprechend der Lernvoraussetzungen der Schülerinnen und Schüler muss die Lehrkraft in der Lage sein, aus den bereitgestellten Aufgabenmodulen auszuwählen und diese mittels GeoGebra an verschiedene Lernstände anzupassen, zu erweitern oder auch neu zu erstellen (2.1. Auswählen, 2.2. Erstellen und Anpassen, 5.2. Differenzierung). Durch die grundlegenden Aufgabenmodule (01 und 02) wird in den weiterführenden Aufgabenmodulen (03 bis 06) selbstgesteuertes Lernen ermöglicht. Durch die konsequente Konzipierung der Aufgabenmodule zur Bearbeitung in Schülertandems kann die Lehrkraft durchgängig kollaborative Lernprozesse ermöglichen (3.3 Kollaboratives Lernen, 3.4. Selbstgesteuertes Lernen). Weitere Hinweise zu den Materialien und Lernmodulen Begleitheft für die Lehrkraft : Das didaktische Begleitheft informiert die Lehrkräfte über das digitale Werkzeug Bluebot, die zu erwerbenden Kompetenzen sowie das didaktisch-methodische Vorgehen. Im Anhang werden Kopiervorlagen zu Verfügung gestellt und eine Anleitung zur Erstellung eigener Aufgaben mithilfe von GeoGebra. Aufgabenheft für die Kinder : Das Aufgabenheft beinhaltet sechs Aufgabenmodule. Die Aufgaben sind so gestaltet, dass sie von den Schülerinnen und Schülern weitgehend selbstständig bearbeitet werden können. Die Lehrkraft kann aus dem Aufgabenheft eine Aufgabenauswahl zusammenstellen und diese den Schülerinnen und Schülern als Heft oder in Form von Aufgabenkarten zur Verfügung stellen. 01 Befehle einführen und visualisieren : Im ersten Aufgabenmodul lernen die Schülerinnen und Schüler die Befehle des digitalen Werkzeugs Bluebot kennen: Vorwärts (VW), Rückwärts (RW), Rechtsdrehung (RD), Linksdrehung (LD), Pause, Löschen und die Starttaste. 02 Fahrtwege unterschiedlich darstellen : Im zweiten Aufgabenmodul nehmen die Kinder Darstellungswechsel vor. Fahrtwege werden mittels Pfeilfolgen, Wegen im Plan und verbaler Beschreibungen dargestellt. 03 Algorithmen entwickeln : Im dritten Aufgabenmodul stellen die Kinder Bausteine her. Durch Wiederholung von Bausteinen werden regelmäßige Figuren im Plan erzeugt. 04 Fehler finden und beheben : Im vierten Aufgabenmodul müssen Fehler in Befehlsfolgen identifiziert und behoben werden. 05 Muster erkennen und verallgemeinern: Im fünften Aufgabenmodul müssen Muster in Befehlsfolgen und Fahrtwegen erkannt und auf ähnliche Aufgabenstellungen übertragen werden. 06 Probleme lösen : Im sechsten Aufgabenmodul werden beispielsweise kürzeste Wege vom Start zum Ziel gesucht. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler kennen Funktionsweisen und grundlegende Strukturen digitaler Werkzeuge und verstehen einfache Algorithmen. verfügen über räumliches Vorstellungsvermögen. können Darstellungen in andere Formen übertragen. können Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen Funktionsweisen digitaler Werkzeuge kennen. nutzen diese zur Lösung von Problemen. erkennen algorithmische Strukturen in den Programmierungen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Aufgaben gemeinsam. treffen Verabredungen und halten diese ein. tauschen sich mit anderen über Strategien zur Problemlösung aus. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler kennen Funktionsweisen und grundlegende Strukturen digitaler Werkzeuge und verstehen einfache Algorithmen. beschreiben eigene Vorgehensweisen, verstehen die Lösungswege anderer und reflektieren darüber gemeinsam.

Die Unterrichtseinheit "Ängste von Jugendlichen um die Zukunft ihrer Generation" fokussiert Sorgen, Stress und Alltagsprobleme der Jugend pathologisch im Generationenkonflikt, zeigt ihre Bedeutung für das Leben unter sich verändernden Bedingungen auf und stellt Strategien zur Bewältigung vor. Die Heranwachsenden setzen sich kooperativ mit dem Thema Zukunftsängste auseinander und nutzen dabei ein Padlet. Was sind eigentlich Zukunftsängste der heutigen Jugend? Was fürchten junge Erwachsene? Klimawandel, Rechtsextremismus, Terror, Krieg, Perspektivlosigkeit, Mobbing, Armut, Einsamkeit, Rassismus oder Manipulation durch Soziale Netzwerke? Am Beispiel der schwedischen Klimaschutzaktivistin Greta Thunberg sehen wir: Viele aktuelle Entwicklungen und Krisen der Gesellschaft sowie beispielsweise der Einfluss von Donald Trump oder Wladimir Putin machen den Heranwachsenden Angst. Kinder und Jugendliche stehen bereits oft in jungen Jahren unter extremem Druck, sodass Werte wie Rückhalt und emotionale Unterstützung der Familie wieder vermehrt in den Blick genommen werden. In diesen Tagen, an denen in den Medien nahezu täglich von Krisen, Angriffen oder gar Morden an unschuldigen Personen berichtet wird, stellen sich auch viele Jugendliche Fragen wie: In was für einer Welt wachsen wir eigentlich auf? Was ist los mit unserem Land? Wie können wir unsere Zukunft sichern? Um unterschiedlichste Alltagsprobleme und die Katastrophenstimmung der Gesellschaft muss es deshalb auch im modernen Unterricht der Sekundarstufe gehen, der Kinder und Jugendliche ernst nehmen will. Ausgehend von Gerald Hüthers "Biologie der Angst" untersucht diese Einheit für den Unterricht in Ethik die Funktion von Ängsten und die sich von Generation zu Generation ändernden Auslöser. Dazu werden exemplarisch die Ängste der letzten drei Generationen miteinander verglichen. Eine besondere Rolle spielen dabei der Generationenkonflikt der 68er-Bewegung, die Ängste der Eltern, die ganz persönliche Zukunftsangst sowie Szenarien für das 21. Jahrhundert des israelischen Erfolgsautors und Historikers Yuval Noah Harari. Mit dem Wertequadrat lernen die Schülerinnen und Schüler dann ein ethisches Werkzeug kennen, das Generationenkonflikte, sofern sie aus unterschiedlichen (Bewältigungs-)Werten resultieren, in Persönlichkeitsreifung überführen kann. Die Lernenden erkennen somit in dieser Unterrichtseinheit, dass ethische Werte eine wesentliche Ressource zur Stressbewältigung bieten und eher helfen als Verdrängung. Das Thema "Ängste von Kindern und Jugendlichen um die Zukunft ihrer Generation" im Unterricht Im Rahmen dieser Einheit setzen sich die Schülerinnen und Schüler anhand eines Fragebogens zum Thema Ängste von Jugendlichen mit ihren ganz persönlichen Einstellungen auseinander. Im Vergleich dazu sollten die Lernenden zur Sensibilisierung ihre Eltern in Bezug auf deren jugendliche Ängste interviewen. Eine wesentliche Voraussetzung ist es, dafür ein entsprechendes Lernklima zu schaffen. Die Erarbeitung bietet sich für den Unterricht in Ethik der Sekundarstufe an. Gleichermaßen ist das Material durch Anpassung der Aufgaben aber auch für die Fächer Deutsch, Politik und Sowi oder Geschichte interessant. Vorkenntnisse Es ist von Vorteil, wenn die Schülerinnen und Schüler bereits die aristotelische Mesotes-Lehre kennen. Die durchführende Lehrkraft sollte mit den Studentenunruhen der 68er vertraut sein. Dieses Thema zeigt, auch anhand eines Artikels der bpb auf, dass ethische Schulung durchaus imstande ist, nachhaltige Wege aus Ängsten aufzuzeigen. Didaktische Analyse Mit diesem Material können Schülerinnen und Schüler bestenfalls erkennen, dass viele ideologische und materielle Lösungen von Angst auslösenden Problemen neue Probleme schaffen, sofern sie ideologisch erzählt werden und daher heute angesichts globaler Gefahren erweiterte Wege beschritten werden müssen, wobei Ethik wichtige Markierungen liefern kann. Die Schwierigkeit kann darin bestehen, dass die Lernenden realisieren, dass sie einerseits angesichts globaler Probleme fast ohnmächtig sind, andererseits die Hoffnung nicht aufgeben sollten und schließlich auch noch realisieren müssen, dass sich ihre Generation wahrscheinlich unausweichlich mit den Themen Verzicht und Verlust auseinandersetzen muss. Methodische Analyse Ein Versuchsballon mit dem Fragebogen hat ergeben, dass die Lernenden heute ein hohes Vertrauen in ihre sozialen Kompetenzen und Ressourcen haben. Darauf, sich dieser noch mehr bewusst zu werden, sollte der Schwerpunkt in dieser Einheit liegen. Digitale Tools wie Padlet fördern in diesem Sinn die Kollaboration und Teamfähigkeit. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen einen interdisziplinären Ansatz kennen. leisten den Transfer von bisher Gelerntem in einen aktuellen Zusammenhang (Mesotes-Lehre). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen digitale Tools themenbezogen. archivieren ihre Ergebnisse digital oder stellen sie zur weiteren Bearbeitung ins Intranet. fügen methodisch außerschulische und innerschulische "Lebenswelten" zusammen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen Geduld und Aufmerksamkeit beim Lesen anspruchsvoller Texte auf. kooperieren in der Gruppe. üben Toleranz ein. Hüther, Gerald, Biologie der Angst, Göttingen 2013 Harari, Yuval, 21 Lektionen für das 21. Jahrhundert Schulz v. Thun, Miteinander reden Bd. 2, Hamburg 1999 Carini, Marco, Fritz Teufel, Hamburg 2008