Mathematik: Unterrichtsmaterial für die Sekundarstufen

In der Einheit "Differentialgleichungen" betrachten und interpretieren die Lernenden die Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen. Bei den aufzustellenden Funktionstermen und Übungsaufgaben stehen Bezüge zur Realität im Mittelpunkt, um Ableitungsregeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besser zu verstehen."Ableiten geht doch nach Schema F!" — Schnell wird beim Ableiten von Funktionen in den Hintergrund gestellt, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion besitzt. Diese Veränderung von Werten findet eine große Bedeutung im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, die eine Verbindung zwischen Funktionen und deren Ableitungen herstellen. Und das häufig in einem Kontext, den Schülerinnen und Schüler auch aus ihrer Erfahrungswelt in anderem Zusammenhang kennen. Ein wichtiger Aspekt sind hier Zunahmen und Abnahmen, die im Unterricht meist nur eine Anwendung bei linearer und exponentieller Veränderung finden können. Mit einfachen Differentialgleichungen lassen sich aber auch andere Veränderungen betrachten. Umfangreiches Wiederholen wird durch Betrachtungen zum Aufstellen unter anderem von Regressionsgeraden, Umgang mit einer Tabellenkalkulation und Grenzwerten abgeschlossen. Das Thema Differentialgleichungen im Unterricht Die Kenntnis von Ableitungsregeln und deren Anwendungen stellt ein wichtiges Fundament der Infinitesimalrechnung dar. Übungsanwendungen im Zusammenhang mit realen Bezügen sollen in der Unterrichtseinheit dazu dienen, Regeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besseren zu verstehen. Aspekte über dieses Ableiten hinaus (zum Beispiel Lösen von Gleichungssystemen, Aufstellen von Funktionstermen) runden die Einheit ab. Vorkenntnisse Die Ableitungsregeln werden teilweise kurz wiederholt. Ein Erarbeiten der Regeln findet nicht statt, sodass diese als Voraussetzungen gelten. Ein sicherer Umgang mit Termen und dem Lösen von Gleichungssystemen wird geübt. Beim Auswerten von Daten sind Kenntnisse einer Tabellenkalkulation nötig. Didaktisch-methodische Analyse "Steigung einer Funktion" – Das ist die häufigste Antwort von Lernenden auf die Frage, worin die Bedeutung der Ableitung besteht. Allerdings beschreiben Funktionen häufig reale Zusammenhänge. Und bei diesen realen Gegebenheiten ist der Aspekt, dass die Ableitung die Veränderung einer Größe beschreibt, für den Schüler oder die Schülerin sehr verständlich. Der Begriff hat hier einen viel engeren Bezug zu der Erfahrungswelt. In Differentialgleichungen werden Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen beschrieben. Die Übungen sind neben dem Abarbeiten von Ableitungsregeln darauf ausgelegt, dass oft die Interpretation der Gleichung wichtig ist. Es erfolgt kein Erarbeiten von Lösungsverfahren für Differentialgleichungen (oder spezielle Integrationsverfahren, nur ein Einblick in partielle Integration und Integration durch Substitution). Neben Ableitungsübungen finden auch Anwendungen zum Anpassen von Vorschriften statt. Abhängig vom Umfang der Wiederholungen können auch nur einzelne Arbeitsblätter für den Unterricht herangezogen werden. Die Unterlagen eignen sich auch für ein Selbststudium. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch (K1). lösen Probleme mathematisch (K2). modellieren mathematisch (K3). gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um (K5). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler werden sicherer im Umgang mit einer Tabellenkalkulation (bei Bearbeitung der Aspekte zu Bevölkerungszahlen zur Anpassung von Funktionen). Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in die Gruppenarbeit ein (etwa zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten). werten Daten kritisch aus. fragen andere nach Hilfe und/oder geben anderen Hilfeleistung.

Mathematik- und Informatik-Unterricht kombiniert: In der Einheit "Statistik meets Wahrscheinlichkeitsrechnung" werden in erster Linie mithilfe von Simulationen am PC Daten zu Zufallsexperimenten erfasst. Als Ergänzung werden Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet, um Erwartungswerte und andere Größen bei solchen Experimenten zu berechnen. Mit dem Vergleichen der Werte aus der Datensammlung mit den theoretischen berechneten Werten soll ein tieferes Verständnis für die Größen gefördert werden."Es gibt für alles eine App" - aber einige Fragen lassen sich oft nur mit Programmieren beantworten. Der PC erzeugt Zufallszahlen, mit welchen man reale Experimente simulieren kann. Hat man ein Grundverständnis für dieses Programmieren, kann man schnell eigene Experimente modellieren und anschließend simulieren. Der Informatik-Unterricht sieht den Umgang mit Tabellenkalkulationen und einer Programmiersprache vor. Damit lassen sich auch Zufallsexperimente simulieren. Im Mathematik-Unterricht werden auch Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten erarbeitet. In der Unterrichtseinheit werden Zufallsexperimente simuliert. Der Vergleich mit Daten aus der berechnenden Statistik schließt sich den Simulationen an. So kann das Material einerseits im Informatik-Unterricht eingesetzt werden - die Berechnungen können vorgestellt werden, um den simulierten Wert mit berechnetem zu vergleichen -, andererseits in der Mathematik, um die berechneten Werte mit Ergebnissen aus der Simulation zu vergleichen. Ein tieferes Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs und der Größe des Erwartungswertes stellt sich ein. Das Thema "Statistik meets Wahrscheinlichkeitsrechnung" im Unterricht Digitalisierung wird immer wichtiger - in der Mathematik haben viele Möglichkeiten der Statistik leider wenig Raum im Lehrplan finden können, da diese sehr vielfältig sind. Um den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeiten der Statistik näher zu bringen, sollen hier relativ einfache Probleme erarbeitet werden. Das Anwenden der statistischen Methoden an eigenen Daten soll eine Motivation darstellen, die vorgestellten Größen besser kennen zu lernen. Vorkenntnisse Grundlagen im Umgang mit einer Tabellenkalkulation beziehungsweise einer Programmiersprache sollten vermittelt worden sein. Werden nur fertiggestellte Simulationen in den letzten Klassen des Mathematikunterrichts eingesetzt, können Erwartungswert und Standardabweichung mithilfe der Simulationen nähergebracht werden. Didaktische Analyse Dem Zufall begegnet man täglich. Viele Wahrscheinlichkeitsaussagen werden mithilfe messbarer Größen vorhergesagt. Mit einer Wahrscheinlichkeitsaussage möchte man eine relative Häufigkeit voraussagen. Wie gut gelingt das? Es ist nicht möglich, eine sehr große Anzahl von Versuchsdurchführungen in überschaubarer Zeit in echt durchzuführen - deswegen wird simuliert. Einen Einblick, wie man mit dem PC simuliert und was man aus diesen Daten machen kann, sollen die Themen zeigen. Kombination aus Informatik- und Mathematik-Unterricht Erarbeitet man mit der Programmierung Simulationen, kann die Lösung der Mathe Arbeitsblätter verwendet werden, um relative Häufigkeiten mit berechneten Werten zu vergleichen. Auch umgekehrt: Erarbeitet man die Wahrscheinlichkeitsberechnungen, kann man mit Lösungen der Simulationen die berechneten Werte durch relative Häufigkeiten bei Simulationen prüfen. Methodische Analyse Die Themen müssen nicht alle und nicht chronologisch abgearbeitet werden. Ziel der Art der Aufbereitung ist es, an Stellen im eigenen Unterricht mit einem "Thema" zu ergänzen. Für Lernende der Abschlussklassen werden die kurz vorgestellten Größen im Zusammenhang mit Zufallsgrößen möglicherweise als theoretische Konstrukte empfunden - mit der Verwendung vieler Daten (ohne im Detail zu verstehen, wie der Rechner diese erarbeitet) können diese Größe in ihrer Bedeutung nähergebracht werden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können mathematisch argumentieren (K1). Probleme mathematisch lösen (K2). mathematisch modellieren (K3). können mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik und Informatik umgehen (K5). modellieren und implementieren (Informatik). kommunizieren und kooperieren (Informatik). darstellen und interpretieren (Informatik). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation oder der PC viele Werte bestimmen und darstellen kann. erlernen den Umgang mit einer Programmiersprache. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich bei der Erarbeitung und der Präsentation von Inhalten und Ergebnissen in die Gruppenarbeit ein. werten Daten kritisch aus und kommentieren diese. geben selbst Hilfestellung oder fragen andere nach Hilfe.

In dieser Unterrichtseinheit zum Themenbereich Lagebeziehungen wird beschrieben, wie Grundschullehrkräfte die App "Winkel-Farm" nutzen können, um den Begriff des Winkelfeldes schrittweise einzuführen. Die App und ihr möglicher Unterrichtseinsatz wurden im Rahmen einer Dissertation entwickelt und in einer Grundschulklasse der vierten Klassenstufe erprobt. Der Beitrag entstand im Kontext des von der Deutschen Telekom Stiftung geförderten Programms "Digitales Lernen Grundschule".Mit der App "Winkel-Farm" können Winkelfelder auf anschauliche Weise eingeführt werden. Auf Basis der Betrachtung von Sichtfeldern werden Bestandteile von Winkelfeldern erarbeitet und schrittweise zur dahinter liegenden Mathematik abstrahiert. Ziel dieser Unterrichtseinheit für den Grundschulunterricht ist es, Schülerinnen und Schüler dazu zu befähigen, Winkelfelder zu beschreiben und mit diesen mathematisch zu operieren. Durch konkrete Aufgabenstellungen werden die Schülerinnen und Schüler angeregt, in der App verschiedene Handlungen auszuführen. Anschließend werden diese Handlungen diskutiert und verallgemeinert. Zur App "Winkel-Farm" In der App "Winkel-Farm" ist eine Farm mit Tieren und Menschen dargestellt, die die User ein- und ausschalten können. Je nachdem, ob diese ihre Augen offen oder geschlossen halten, wird ihr Sichtfeld farbig dargestellt. Sowohl die Lebewesen als auch der Hintergrund können verschoben und gedreht werden. Außerdem ist es möglich, über die Tabelle die Reihenfolge der Tiere zu verändern. Des Weiteren können Nutzerinnen und Nutzer in den Winkelfeld-Modus umschalten. Dann werden die Tiere und Menschen nur noch blass dargestellt und ihre Sichtfelder werden deutlich erkennbar als Winkelfelder aufgeführt. Auch diese kann man über ihren Scheitelpunkt verschieben und um den Scheitelpunkt drehen. Abhängig vom Modus kann man Scheitelpunkt und Schenkel an- oder ausschalten und die Sichtbarkeit der Tiere und Menschen beziehungsweise der Gestaltungselemente (wie Grasbüschel, Teich und so weiter) verändern. Didaktisch-methodische Analyse In den im Unterrichtsablauf dargestellten Phasen 1 ("Sichtfelder beschreiben") und 3 ("Sichtfelder vergleichen") führen die Schülerinnen und Schüler verschiedene Handlungen aus. In der ersten Phase geschieht dies noch vorwiegend im Modus der Tiere und Menschen, in der dritten Phase vermehrt im Winkelfeld-Modus. Die App führt die Schülerinnen und Schüler also schrittweise durch den Abstraktionsprozess und ermöglicht dabei stets eine Interaktion mit der realen Winkelsituation. Anschließend werden diese Handlungen diskutiert und verallgemeinert: Was zeichnet sie aus? Wie kann damit die Situation besonders gut beschrieben werden? Dies führt zu einer abstrakteren Sichtweise und ein mathematischer Begriff wird aufgebaut (Phase 2 "Bestandteile von Winkelfeldern") beziehungsweise es wird mit ihm mathematisch operiert (Phase 4 "Operieren mit Winkelfeldern"). Dabei wird auch darauf eingegangen, inwiefern die App die Handlungen der Schülerinnen und Schüler beeinflusst hat und wie dies mit dem mathematischen Begriff in Zusammenhang steht. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Sichtfelder von realen Lebenwesen und vergleichen diese miteinander. lernen, reale Winkelsituationen zu analysieren sowie in einem weiteren Schritt zu kontextualisieren und abstrahieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen Tablets zur Bearbeitung von Aufgaben in einer App. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler halten sich an die Regeln, die für den Umgang mit Tablets im Unterricht von der Lehrkraft vorgegeben wurden. diskutieren und reflektieren ihre Handlungsergebnisse in der Gruppe.

Diese Einheit für den Mathematik-Unterricht zeigt auf, wie Schülerinnen und Schüler mittels sinnlich-visueller Methoden an das Multiplizieren von Brüchen herangeführt werden können. In diesem Fall wird ein aus 32 Einzelstücken bestehendes Ganzes immer weiter geteilt (also jeweils mit ½ mal genommen): Aus einem Halben wird ein Viertel, wird ein Achtel, ein Sechzehntel und so weiter. Dieses Teilen und Verkleinern wird von den Schülerinnen und Schülern selbst ausgeführt, mit dem eigenen Körper erlebt und schließlich reflektiert und präsentiert. Bruchrechnen ist für viele Schülerinnen und Schüler ein abstraktes Feld, das oft nichts mit der eigenen sinnlichen oder körperlichen Erfahrung zu tun hat. Der kreative Zugang zum Lerngegenstand ermöglicht es, die abstrakten Vorgänge der Mathematik mit dem eigenen Körper auf sinnliche Weise erfahrbar und erlebbar zu machen. Dies löst Blockaden, ermöglicht angstfreies, lustbetontes und ganzheitliches und damit nachhaltiges Lernen und die Bezugnahme auf die eigene Person. Didaktische Analyse Die Thematik Bruchrechnen ist für viele Schülerinnen und Schüler ein abstraktes Feld, das oft nichts mit der eigenen sinnlichen oder körperlichen Erfahrung zu tun hat. Da die Lernenden in lockerer und angstfreier Atmosphäre besser lernen, wird das Thema zunächst nicht benannt. Stattdessen finden die Lernenden eine mit Farben, Musik und weiteren Teilnehmenden veränderte Raumsituation vor. Spielerisch gehen sie zunächst mit dem Teilen ihrer eigenen 32er-Gruppe und dann mit dem Teilen der Decken um. Hierbei wird es immer kleinteiliger und endet schließlich im Zusammenschieben der Gruppentische zur gemeinsamen Arbeit und dem Transfer des Erlebten auf den Arbeitsauftrag (vom Körper in die Hände in den Kopf), um schließlich in Form einer Präsentation vor der ganzen Klasse vorgestellt zu werden. Methodische Analyse Das Erlebnis kreativer Unterrichtspraxis ermöglicht es, die abstrakten Vorgänge der Mathematik mit dem eigenen Körper auf sinnliche Weise erfahrbar und erlebbar zu machen. Dies löst Blockaden, ermöglicht angstfreies, lustbetontes und ganzheitliches und damit nachhaltiges Lernen sowie die Bezugnahme auf die eigene Person. Hier arbeiten Lehrkraft und Künstlerin beziehungsweise Künstler an der Umsetzung eines Unterrichtsziels mit unterschiedlichen, sich ergänzenden und ineinandergreifenden Methoden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler führen auf spielerisch-kreative Weise erste Bruchrechnungen durch. lernen den Transfer vom affektiven Erleben zum kognitiven Verstehen (Abstraktion). lernen Formen des interdisziplinären Arbeitens kennen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stimmen kreative Prozesse in Kooperation mit anderen Personen ab und gestalten sie gemeinsam. kommunizieren in kürzester Zeit nonverbal oder verbal miteinander und treffen gemeinsame Entscheidungen in der Gruppe. geben sich gegenseitig wertschätzende Rückmeldungen. präsentieren ihre Ergebnisse vor einer größeren Gruppe.

In dieser Unterrichtseinheit zu Maßstab und Verhältnis üben die Schülerinnen und Schüler, die für eine Aufgabenstellung wichtigen Informationen aus einem Text zu gewinnen, und berechnen dann, wie groß der Mount Everest und der Mons Huygens sind, bevor sie die beiden Berge miteinander vergleichen und in ein Verhältnis zueinander setzen. Die Unterrichtseinheit "Berge auf Mond und Erde" wurde im Rahmen der Projekte ESERO Germany und "Columbus Eye – Live-Bilder von der ISS im Schulunterricht" an der Ruhr-Universität Bochum entwickelt. Das Arbeitsmaterial ist optimal an die deutschen Mathematik-Lehrpläne für die Jahrgangsstufen 5 und 6 angepasst. Es kann sowohl im Unterricht als auch als Hausaufgabe eingesetzt werden. Für die Bearbeitung des Arbeitsblattes sollten die Schülerinnen und Schüler über grundlegendes Wissen zum Thema Maßstab und zum Rechnen mit Verhältnissen verfügen. Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Wissen über Maßstäbe und Verhältnisse. üben schriftliche Rechenverfahren. verstehen, dass die Erde Teil eines größeren Systems ist. lernen unterschiedliche Entstehungsarten von Bergen kennen.

In dieser Unterrichtseinheit für den fächerverbindenden Unterricht in Physik, Mathematik und Wirtschaft entwerfen die Schülerinnen und Schüler eine Mondlandefähre, die eine sichere Landung auf dem Mond ermöglichen soll. In dieser Aufgaben-Reihe planen, gestalten und bauen die Schülerinnen und Schüler eine Mondlandefähre, die eine sichere Landung der Crew (in Form eines "Ei-stronauten") auf dem Mond garantieren soll. Sie erkunden, welche Faktoren bei einer Mondlandung im Gegensatz zu einer Landung auf der Erde berücksichtigt werden müssen. Bei der Gestaltung der Landefähre müssen die Schülerinnen und Schüler Risikofaktoren und das Budget beachten. Altersklasse : 14- bis 16-Jährige Material : Schüleraktivität Schwierigkeitsgrad : mittel benötigte Unterrichtszeit : 150 Minuten Durchführungsort : Klassenzimmer und im Freien Kosten pro Klasse : gering (0-10 Euro) Thematischer Hintergrund: Mondlandung 1969 wurde Apollo 11 zur ersten bemannten Landungsmission auf dem Mond. Nach einer viertägigen Reise von der Erde aus, löste sich die Landefähre, der Eagle (Adler), von der den Mond umkreisenden Kommandokapsel und landete im Mare Tranquilitas, einer relativ ebenen Fläche. Die Landefähre wurde manuell gesteuert, um Felsen und Kratern zu entgehen. "Houston, hier ist der Stützpunkt Tranquility Base. Der Adler ist gelandet!". Diese Worte markierten eine neue Ära menschlicher Exploration. Apollo 12, die zweite bemannte Mondlandung, war eine Präzisionsübung; ein Großteil des Landeanflugs war automatisch und die präzise Landung war von großer Bedeutung, da sie das Vertrauen stärken sollte, in bestimmten Regionen zu landen. Der Landeanflug ist eine der kritischsten und schwierigsten Phasen bei einer Mondlandung. Die Landekapsel muss ihre Geschwindigkeit von 6.000 km/h in der Mondumlaufbahn auf einige wenige Stundenkilometer reduzieren, um eine sanfte Landung zu garantieren. Landezonen in interessanten Gebieten sind oftmals gefährlich, voller Krater, Felsen und Abhänge, und demnach schwer zu erreichen. Insgesamt haben nur 12 Menschen jemals den Mond betreten, das letzte Mal im Jahre 1972. Die ESA (European Space Agency) plant, in Zusammenarbeit mit ihren Partnern den Mond in den nächsten Jahrzehnten mit Robotern und auch Menschen erneut zu besuchen. Methodische Hinweise In dieser Reihe von Aufgaben entwerfen die Schülerinnen und Schüler eine Mondlandefähre und lernen einige Schwierigkeiten der Weltraumforschung kennen. Vertiefende methodische Hinweise finden Sie im Dokument landung-auf-dem-mond-alle-materialien.pdf, das am Ende dieser Seite kostenlos heruntergeladen werden kann. Die Schülerinnen und Schüler identifizieren die involvierten Kräfte bei einer Landung auf dem Mond beziehungsweise auf der Erde. verstehen die Beziehung zwischen Masse und Gravitation. lösen mithilfe von Newtons zweitem Gesetz ein Problem. planen unter Berücksichtigung der Risiken und des Budgets ein Projekt. arbeiten unter Zeit- und Geldeinschränkungen im Team.