"Ableiten geht doch nach Schema F!" — Schnell wird beim Ableiten von Funktionen in den Hintergrund gestellt, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion besitzt. Diese Veränderung von Werten findet eine große Bedeutung im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, die eine Verbindung zwischen Funktionen und deren Ableitungen herstellen. Und das häufig in einem Kontext, den Schülerinnen und Schüler auch aus ihrer Erfahrungswelt in anderem Zusammenhang kennen. Ein wichtiger Aspekt sind hier Zunahmen und Abnahmen, die im Unterricht meist nur eine Anwendung bei linearer und exponentieller Veränderung finden können. Mit einfachen Differentialgleichungen lassen sich aber auch andere Veränderungen betrachten. Umfangreiches Wiederholen wird durch Betrachtungen zum Aufstellen unter anderem von Regressionsgeraden, Umgang mit einer Tabellenkalkulation und Grenzwerten abgeschlossen.
Differentialgleichungen mit Ableitungsübungen für den Mathe-Unterricht
In der Einheit "Differentialgleichungen" betrachten und interpretieren die Lernenden die Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen. Bei den aufzustellenden Funktionstermen und Übungsaufgaben stehen Bezüge zur Realität im Mittelpunkt, um Ableitungsregeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besser zu verstehen.
- Mathematik / Rechnen & Logik
- Sekundarstufe II
- 3 oder 6 Unterrichtsstunden, einzelne Teile einsetzbar, Selbststudium
- Übung, Ablaufplan
- 10 Arbeitsmaterialien
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Beschreibung der Unterrichtseinheit
Unterrichtsablauf
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Was sind Differentialgleichungen?
Nach der Definition des Begriffs Differentialgleichungen werden erste Ableitungsübungen zur Lösung einfacher Differentialgleichungen durchgeführt.
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Lineares und exponentielles Wachstum (anhand von Differentialgleichungen)
Die besonderen Differentialgleichungen zu den beiden Wachstumsraten werden interpretiert und in Aufgaben erörtert. Ein kurzer Einblick in die Anpassung einer Funktion an Daten erfolgt hier.
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Weitere Arten von Wachstumsprozessen
In der Natur treten oft Einflüsse auf, die eine Beschreibung nur mit linearem oder exponentiellem Wachstum nicht mehr zulassen. Beispiele werden vorgestellt und an Anwendungen Übungen durchgeführt.
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Differentialgleichungen in der Praxis
In der Physik können beispielsweise mit Differentialgleichungen Vorgänge beschrieben werden. Aber auch in anderen Bereichen der "Praxis" lassen Differentialgleichungen Aussagen zu.
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Ausblicke und Übungen
Kurzer Einblick in Integrationsmethoden und weitere Beispiele zu Differentialgleichungen mit Anwendungen und Realitätsbezügen.
Didaktisch-methodischer Kommentar
Das Thema Differentialgleichungen im Unterricht
Die Kenntnis von Ableitungsregeln und deren Anwendungen stellt ein wichtiges Fundament der Infinitesimalrechnung dar. Übungsanwendungen im Zusammenhang mit realen Bezügen sollen in der Unterrichtseinheit dazu dienen, Regeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besseren zu verstehen. Aspekte über dieses Ableiten hinaus (zum Beispiel Lösen von Gleichungssystemen, Aufstellen von Funktionstermen) runden die Einheit ab.
Vorkenntnisse
Die Ableitungsregeln werden teilweise kurz wiederholt. Ein Erarbeiten der Regeln findet nicht statt, sodass diese als Voraussetzungen gelten. Ein sicherer Umgang mit Termen und dem Lösen von Gleichungssystemen wird geübt. Beim Auswerten von Daten sind Kenntnisse einer Tabellenkalkulation nötig.
Didaktisch-methodische Analyse
"Steigung einer Funktion" – Das ist die häufigste Antwort von Lernenden auf die Frage, worin die Bedeutung der Ableitung besteht. Allerdings beschreiben Funktionen häufig reale Zusammenhänge. Und bei diesen realen Gegebenheiten ist der Aspekt, dass die Ableitung die Veränderung einer Größe beschreibt, für den Schüler oder die Schülerin sehr verständlich. Der Begriff hat hier einen viel engeren Bezug zu der Erfahrungswelt. In Differentialgleichungen werden Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen beschrieben.
Die Übungen sind neben dem Abarbeiten von Ableitungsregeln darauf ausgelegt, dass oft die Interpretation der Gleichung wichtig ist. Es erfolgt kein Erarbeiten von Lösungsverfahren für Differentialgleichungen (oder spezielle Integrationsverfahren, nur ein Einblick in partielle Integration und Integration durch Substitution). Neben Ableitungsübungen finden auch Anwendungen zum Anpassen von Vorschriften statt.
Abhängig vom Umfang der Wiederholungen können auch nur einzelne Arbeitsblätter für den Unterricht herangezogen werden. Die Unterlagen eignen sich auch für ein Selbststudium.
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Unterrichtsmaterial "Differentialgleichungen" zum Download (PDF)
- differentialgleichungen-ableitungsuebungen-arbeitsblatt-1.pdf
Auf diesem Infoblatt erfahren die Lernenden, was Differentialgleichungen sind. Mit bekannten Ableitungsregeln werden Fragen zu einfachen Differentialgleichungen gelöst.
VorschauIm Classroom-Manager speichern - differentialgleichungen-ableitungsuebungen-arbeitsblatt-2.pdf
Lineares und exponentielles Wachstum ist den Lernenden bekannt. Aber nicht aus dem Aspekt der Ableitung heraus. Hier soll der Gedanke, dass Ableitung Veränderung bedeutet, thematisiert werden. Daten zu Bevölkerungszahlen werden ausgewertet.
VorschauIm Classroom-Manager speichern - differentialgleichungen-ableitungsuebungen-arbeitsblatt-3.pdf
Neben des beschränkten Wachstums werden mithilfe dieses Arbeitsblatts weitere Arten des Wachstums vorgestellt und die zugehörigen Differentialgleichungen thematisiert. Auch hier werden weitere Daten zu Bevölkerungszahlen betrachtet.
VorschauIm Classroom-Manager speichern - differentialgleichungen-ableitungsuebungen-arbeitsblatt-4.pdf
Das Arbeitsblatt fokussiert Praxisbeispiele aus der Physik und anderen Lebensbereichen, wo Prozesse mit Differentialgleichungen beschrieben werden können. Es werden einige Beispiele vorgestellt und Ideen zum Anpassen von Kurven betrachtet.
VorschauIm Classroom-Manager speichern - differentialgleichungen-ableitungsuebungen-arbeitsblatt-5.pdf
Ein kleiner Einblick in die Integrationsmethoden "Partielle Integration" und "Integration durch Substitution" runden die Aspekte ab. Mit einer speziellen Differentialgleichung soll am Ende thematisiert werden, ob die Lernenden diese passend zur Beschreibung einer Beobachtung finden.
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Auf diesem Infoblatt erfahren die Lernenden, was Differentialgleichungen sind. Mit bekannten Ableitungsregeln werden Fragen zu einfachen Differentialgleichungen gelöst.
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Lineares und exponentielles Wachstum ist den Lernenden bekannt. Aber nicht aus dem Aspekt der Ableitung heraus. Hier soll der Gedanke, dass Ableitung Veränderung bedeutet, thematisiert werden. Daten zu Bevölkerungszahlen werden ausgewertet.
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Neben des beschränkten Wachstums werden mithilfe dieses Arbeitsblatts weitere Arten des Wachstums vorgestellt und die zugehörigen Differentialgleichungen thematisiert. Auch hier werden weitere Daten zu Bevölkerungszahlen betrachtet.
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Das Arbeitsblatt fokussiert Praxisbeispiele aus der Physik und anderen Lebensbereichen, wo Prozesse mit Differentialgleichungen beschrieben werden können. Es werden einige Beispiele vorgestellt und Ideen zum Anpassen von Kurven betrachtet.
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Ein kleiner Einblick in die Integrationsmethoden "Partielle Integration" und "Integration durch Substitution" runden die Aspekte ab. Mit einer speziellen Differentialgleichung soll am Ende thematisiert werden, ob die Lernenden diese passend zur Beschreibung einer Beobachtung finden.
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Hier finden Sie die Lösungen zu den Arbeitsblättern und Ableitungsaufgaben der Einheit "Differentialgleichungen".
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Die Lösungen zum Aufgabenteil "lineares und exponentielles Wachstum" geben einen Einblick in die Anpassung einer Funktion an Daten.
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Die Lösungen nehmen Bezug zu Teil 3 "Arten von Wachstumsprozessen".
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Die Lösungen beziehen sich auf Teil 4 "Differentialgleichungen in der Praxis".
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Diese Excel-Tabelle liefert die Datengrundlage zur Berechnung der Übungsaufgaben der Einheit "Differentialgleichungen mit Ableitungsübungen".
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Hier können Sie alle Arbeitsblätter, Lösungen und Excel-Tabellen der Einheit "Differentialgleichungen mit Ableitungsübungen für den Mathe-Unterricht" als Word- beziehungsweise Excel-Datei im ZIP-Ordner herunterladen.
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Vermittelte Kompetenzen
Fachkompetenz
Die Schülerinnen und Schüler
- argumentieren mathematisch (K1).
- lösen Probleme mathematisch (K2).
- modellieren mathematisch (K3).
- gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um (K5).
Medienkompetenz
Die Schülerinnen und Schüler
- werden sicherer im Umgang mit einer Tabellenkalkulation (bei Bearbeitung der Aspekte zu Bevölkerungszahlen zur Anpassung von Funktionen).
Sozialkompetenz
Die Schülerinnen und Schüler
- bringen sich in die Gruppenarbeit ein (etwa zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten).
- werten Daten kritisch aus.
- fragen andere nach Hilfe und/oder geben anderen Hilfeleistung.
