Differentialgleichungen mit Ableitungsübungen für den Mathe-Unterricht

Unterrichtseinheit

In der Einheit "Differentialgleichungen" betrachten und interpretieren die Lernenden die Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen. Bei den aufzustellenden Funktionstermen und Übungsaufgaben stehen Bezüge zur Realität im Mittelpunkt, um Ableitungsregeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besser zu verstehen.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II
  • 3 oder 6 Unterrichtsstunden, einzelne Teile einsetzbar, Selbststudium
  • Übung, Ablaufplan
  • 10 Arbeitsmaterialien

Beschreibung der Unterrichtseinheit

"Ableiten geht doch nach Schema F!" — Schnell wird beim Ableiten von Funktionen in den Hintergrund gestellt, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion besitzt. Diese Veränderung von Werten findet eine große Bedeutung im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, die eine Verbindung zwischen Funktionen und deren Ableitungen herstellen. Und das häufig in einem Kontext, den Schülerinnen und Schüler auch aus ihrer Erfahrungswelt in anderem Zusammenhang kennen. Ein wichtiger Aspekt sind hier Zunahmen und Abnahmen, die im Unterricht meist nur eine Anwendung bei linearer und exponentieller Veränderung finden können. Mit einfachen Differentialgleichungen lassen sich aber auch andere Veränderungen betrachten. Umfangreiches Wiederholen wird durch Betrachtungen zum Aufstellen unter anderem von Regressionsgeraden, Umgang mit einer Tabellenkalkulation und Grenzwerten abgeschlossen.

Unterrichtsablauf

Inhalt
Sozial- / Aktionsform

Didaktisch-methodischer Kommentar

Das Thema Differentialgleichungen im Unterricht

Die Kenntnis von Ableitungsregeln und deren Anwendungen stellt ein wichtiges Fundament der Infinitesimalrechnung dar. Übungsanwendungen im Zusammenhang mit realen Bezügen sollen in der Unterrichtseinheit dazu dienen, Regeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besseren zu verstehen. Aspekte über dieses Ableiten hinaus (zum Beispiel Lösen von Gleichungssystemen, Aufstellen von Funktionstermen) runden die Einheit ab.

Vorkenntnisse

Die Ableitungsregeln werden teilweise kurz wiederholt. Ein Erarbeiten der Regeln findet nicht statt, sodass diese als Voraussetzungen gelten. Ein sicherer Umgang mit Termen und dem Lösen von Gleichungssystemen wird geübt. Beim Auswerten von Daten sind Kenntnisse einer Tabellenkalkulation nötig.

Didaktisch-methodische Analyse

"Steigung einer Funktion" – Das ist die häufigste Antwort von Lernenden auf die Frage, worin die Bedeutung der Ableitung besteht. Allerdings beschreiben Funktionen häufig reale Zusammenhänge. Und bei diesen realen Gegebenheiten ist der Aspekt, dass die Ableitung die Veränderung einer Größe beschreibt, für den Schüler oder die Schülerin sehr verständlich. Der Begriff hat hier einen viel engeren Bezug zu der Erfahrungswelt. In Differentialgleichungen werden Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen beschrieben.

Die Übungen sind neben dem Abarbeiten von Ableitungsregeln darauf ausgelegt, dass oft die Interpretation der Gleichung wichtig ist. Es erfolgt kein Erarbeiten von Lösungsverfahren für Differentialgleichungen (oder spezielle Integrationsverfahren, nur ein Einblick in partielle Integration und Integration durch Substitution). Neben Ableitungsübungen finden auch Anwendungen zum Anpassen von Vorschriften statt.

Abhängig vom Umfang der Wiederholungen können auch nur einzelne Arbeitsblätter für den Unterricht herangezogen werden. Die Unterlagen eignen sich auch für ein Selbststudium.

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Vermittelte Kompetenzen

Fachkompetenz

Die Schülerinnen und Schüler

  • argumentieren mathematisch (K1).
  • lösen Probleme mathematisch (K2).
  • modellieren mathematisch (K3).
  • gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um (K5).

Medienkompetenz

Die Schülerinnen und Schüler

  • werden sicherer im Umgang mit einer Tabellenkalkulation (bei Bearbeitung der Aspekte zu Bevölkerungszahlen zur Anpassung von Funktionen).

Sozialkompetenz

Die Schülerinnen und Schüler

  • bringen sich in die Gruppenarbeit ein (etwa zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten).
  • werten Daten kritisch aus.
  • fragen andere nach Hilfe und/oder geben anderen Hilfeleistung.

Autor

Portrait von Wolfgang Motzer
Wolfgang Motzer

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