In der Unterrichtseinheit für das Fach Rechnungswesen der Klasse 10-12 lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sich eine Gehaltsabrechnung vom Bruttogehalt bis zum Auszahlungsbetrag zusammensetzt und welche Abzüge dabei eine Rolle spielen. Anhand eines praxisnahen Fallbeispiels und aktueller Beitragssätze berechnen sie selbstständig den Nettoverdienst und verstehen Aufbau und Funktion der eigenen Lohnabrechnung. In dieser Unterrichtseinheit geht es um den Aufbau einer Gehaltsabrechnung. Der Einstieg in das Thema bildet eine Schätzfrage "Wie viel bleibt von 100 € Bruttogehalt übrig?". Die Schülerinnen und Schüler aktivieren Ihr Vorwissen und tauschen ihre Vorstellungen zu Steuern und Sozialabgaben aus. Anschließend lernen sie die wichtigsten Bestandteile der Gehaltsabrechnung kennen: Bruttoentgelt, Steuerabzüge (Lohnsteuer, Solidaritätszuschlag, Kirchensteuer) sowie die Beiträge zur Kranken-, Pflege-, Renten- und Arbeitslosenversicherung. Auf Basis aktueller Werte und Beitragssätze führen die Lernenden eine Gehaltsabrechnung für ein konkretes Fallbeispiel durch. Mit einer vereinfachten Lohnsteuertabelle und vorgegebenen Sozialversicherungsbeitragssätzen berechnen sie Schritt für Schritt die Abzüge und den Auszahlungsbetrag. Die Ergebnisse werden im Plenum mit einem digitalen Brutto-Netto-Rechner abgeglichen, sodass die Lernenden ein realistisches Gefühl für die Differenz zwischen Brutto- und Nettogehalt entwickeln. Im zweiten Schwerpunkt strukturieren die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen mithilfe eines Übersichtsarbeitsblatts zum allgemeinen Aufbau der Gehaltsabrechnung. Sie erklären zentrale Begriffe (Bruttogehalt, Nettoentgelt, Auszahlungsbetrag), ordnen wichtige Positionen zu und benennen die vier Säulen der Sozialversicherung. Digitale Werkzeuge wie TaskCards, Erklärvideos, interaktive Zuordnungsübungen und Online-Rechner unterstützen die eigenständige Erarbeitung. Die erste eigene Gehaltsabrechnung ist für viele ein wichtiger Schritt in die finanzielle Selbstständigkeit, zugleich aber oft schwer verständlich. Diese hohe Alltagsrelevanz wird im Einstieg über eine Schätzfrage genutzt, um Vorerfahrungen, Fehlvorstellungen und Fragen sichtbar zu machen. Die Lernenden werden so motiviert, die „Lücke“ zwischen Brutto- und Nettogehalt eigenständig zu erkunden. Durch Sozialformenwechsel (Einzel-, Paar- und Plenumsphasen) werden Kommunikation, Kooperation und gegenseitige Unterstützung gefördert. Digitale Bausteine wie TaskCards, Erklärvideo und Online-Rechner ermöglichen eine flexible Differenzierung: Leistungsstarke Lernende können vertiefende Aufgaben übernehmen (zum Beispiel Vergleich verschiedener Steuerklassen), während schwächere Lernende durch Visualisierungen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen unterstützt werden. Die Reflexionsphase am Ende stärkt die Urteilsfähigkeit und hilft, das Gelernte auf die eigene Gehaltsabrechnung zu übertragen. So werden fachliche, mediale und personale Kompetenzen gleichermaßen adressiert. Hinweis für die Lehrkraft – Digitale Ergänzung (TaskCards) Die Lehrkraft kann die Einheit durch eine TaskCards-Pinnwand interaktiver gestalten. Ein konkreter Bauplan für die Pinnwand (10 Karten, 4 Spalten) liegt dem Material bei. Die Erstellung dauert ca. 5–10 Minuten. Inhalte der Pinnwand (kurze Übersicht): Schätzfrage + Umfrage Link zum Brutto-Netto-Rechner Aktuelle Beitragssätze 2026 Erklärvideo zur Gehaltsabrechnung Schaubild aus Arbeitsblatt 3 Glossar wichtiger Begriffe Interaktive Zuordnungsübung (z. B. LearningApps) Checkliste für die eigene Gehaltsabrechnung Abschluss-Quiz Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler berechnen ausgehend vom Bruttogehalt die wesentlichen Abzüge (Steuern und Sozialversicherungsbeiträge) und ermitteln den Auszahlungsbetrag. erklären die zentralen Begriffe der Gehaltsabrechnung (Bruttogehalt, Nettoentgelt, Auszahlungsbetrag) und benennen die vier Säulen der Sozialversicherung. prüfen eine Gehaltsabrechnung auf Plausibilität und können Abweichungen oder Fehler begründet hinterfragen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen digitale Werkzeuge (zum Beispiel Brutto-Netto-Rechner, TaskCards), um Informationen zu recherchieren, zu überprüfen und Ergebnisse zu sichern. werten digitale Darstellungen (Tabellen, Schaubilder, Lohnsteuertabellen) aus und übertragen diese auf konkrete Rechenaufgaben. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler tauschen sich sachlich über ihre Ergebnisse aus und begründen ihre Vorgehensweise im Plenum. übernehmen Verantwortung für ihren Lernprozess, indem sie eigene Schätzungen, Annahmen und Fehler reflektieren und korrigieren.

In dieser Unterrichtseinheit zur Einführung der Eulerschen Zahl bestimmen und begründen die Schülerinnen und Schüler mithilfe eines Java-Applets und rechnerischer Umformungen die Ableitung der Exponentialfunktion analytisch und zugleich anschaulich.Die barometrische Höhenformel, das Bevölkerungswachstum und der Zerfall von Bierschaum: Als Einstieg in diese Unterrichtseinheit wurden Wachstums- und Zerfallsvorgänge durch die Behandlung von anwendungsorientierten und alltagsbezogenen Aufgaben aufgegriffen. Dies diente zum einen dazu, dass die Schülerinnen und Schüler lernten und übten, Funktionsterme für Exponentialfunktionen aufzustellen. Zum anderen sollten sie erkennen, welche Bedeutung der Wachstumsfaktor und der Streckfaktor für den Grafen einer Exponentialfunktion haben.Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". "Geh weg oder ich differenzier dich!" Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler können für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen. können den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern. können analytisch und geometrisch begründen, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. können eine geeignete Basis a bestimmen, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. kennen die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion. Exponentialfunktionen sind in der Sekundarstufe II ein von den Schülerinnen und Schülern dankbar aufgenommenes Thema. Kommt man doch dabei nach der Behandlung der gebrochen-rationalen "Kurvendiskutiererei" endlich wieder zu Funktionen, die die Lehrkraft mit anschaulichen Anwendungsinhalten füllen kann. Man sollte dabei jedoch die Balance zwischen reinen Anwendungen und analytischen Begründungen bewahren. So ist es wichtig, die Bedeutung der einzelnen "Faktoren" einer Exponentialfunktion immer wieder mit grafischen Inhalten zu füllen. Zu diesem Zweck haben die Lernenden zunächst Exponentialfunktionen zu verschiedenen Inhalten aufstellen und lösen müssen (barometrische Höhenformel, Bevölkerungswachstum, Zerfall von Bierschaum - entnommen aus diversen Lehrbüchern). Als Einstieg in die Ableitung der Exponentialfunktion haben die Schülerinnen und Schüler eine Folie mit dem wohl ältesten Mathematikerwitz, "Geh weg oder ich differenzier dich!", zu sehen bekommen und sollten sich zu dieser Aussage äußern. Dabei wurden zum Beispiel folgende Vermutungen genannt: "Die Exponentialfunktion muss wohl eine besondere Funktion sein." "Die Funktion kann man nicht differenzieren." "Man kann die Funktion unendlich oft differenzieren." Die Schülerinnen und Schüler sollten zunächst der Vermutung nachgehen, dass man die Exponentialfunktion nicht ableiten könne. Mithilfe des TI-83-Taschenrechners leiteten sie verschiedene Exponentialfunktionen ab und erkannten, dass diese Vermutung nicht zutreffen kann (Arbeitsblatt, siehe Download auf der Startseite des Artikels). Dann sollte die Sekantensteigung für eine Exponentialfunktion der Form f(x) = a x aufgestellt werden, wobei die Sekante durch die Punkte P (x / a x ) und Q (x+h / a x+h ) verläuft. Nach einigen analytischen Umformungen, die wegen der Nichtpräsenz der Potenzgesetze immer wieder schwer fielen, stießen die Lernenden auf den Streckfaktor, der bei den bisher mit dem Taschenrechner bestimmten Ableitungen festlegt, welchen Schnittpunkt der Graf der jeweils abgeleiteten Exponentialfunktion mit der y-Achse hat und der dafür sorgt, dass manche Grafen abgeleiteter Exponentialfunktion oberhalb beziehungsweise unterhalb der Ausgangsfunktionen liegen. Den Lernenden war dann aber relativ schnell klar, dass hinter der Aussage "Geh weg oder ich differenzier dich!" noch mehr stecken muss. Schließlich konnte man die Ableitung einer Exponentialfunktion bestimmen. So ging man der Frage nach, ob es nicht vielleicht eine Funktion gäbe, die mit ihrer Ausgangsfunktion übereinstimmt. Wenn es eine solche Ableitung geben sollte, dann müsse der Streckfaktor gleich 1 sein beziehungsweise die Tangente an der Stelle x = 0 die Steigung 1 haben. Die Schülerinnen und Schüler sollten dann mit dem Taschenrechner experimentell eine geeignete Basis a finden, für die der Graf der Ableitungsfunktion mit dem Graf der Ausgangsfunktion übereinstimmt. Relativ schnell wurde dann die Zahl a = 2,71 entdeckt. Das Java-Applet hat das experimentelle Finden der Zahl e in jeder Hinsicht positiv unterstützt. Es muss aber ganz deutlich gesagt werden, dass das Applet von Franz Embacher und Petra Oberhuemer ein durchaus anspruchsvolles Tool ist! So wird von der Tangente f(x) = 1 + x (für die die Steigung an der Stelle x = 0 gleich 1 ist) ausgegangen. Die Veränderung der Sekanten bei veränderten Basen a wird dynamisch dargestellt. Dieser Sachverhalt ist manchen Schülerinnen und Schülern zunächst nicht klar gewesen. Eine gute und in jeder Hinsicht auch mathematisch eindeutige Vorbereitung ist hier erforderlich.

Diese Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit der Break-even-Point-Analyse (Gewinnschwellenanalyse). Diese stellt sich für Schülerinnen und Schüler als fortgeschrittenes Thema im Reigen der Kosten- und Leistungsrechnung und hier im Speziellen der Deckungsbeitragsrechnung dar. Die Break-even-Point-Analyse bietet als Werkzeug im Rahmen eines entscheidungsorientierten Rechnungswesens die Möglichkeit, zentrale wirtschaftliche Begriffe (Kosten, Umsatz, Gewinn, Preis) in ihrer praxisorientierten Bedeutung zu verstehen und in einer didaktisch reduzierten ökonomischen Entscheidungssituation in ihrer Kombination zu erfahren. Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel aus dem Microsoft-Office-Paket bietet die exzellente Möglichkeit, betriebswirtschaftliche Zusammenhänge in einem didaktisch reduzierten Modell rechnerisch und grafisch und damit inhaltlich nachzuvollziehen. Im Sinne einer Was-wäre-wenn-Analyse können die Schülerinnen und Schüler im spielerischen Umgang mit den Faktoren Verkaufspreis, Beschäftigungsgrad und Ausbringungsmenge die Auswirkungen auf die Kosten, den Umsatz und Gewinn und damit den kritischen Punkt der Gewinnschwelle (Break-even-Point) erkennen. Sachanalytische Hinweise Der Break-even-Point kann rechnerisch durch einfache Gleichungen ermittelt werden. Unterrichtsablauf und Einsatz der Materialien Ein didaktisch reduziertes Fallbeispiel bildet den Kern dieser Unterrichtsstunde. Die Schülerinnen und Schüler wenden kostenrechnerische Kenntnisse zur Lösung einer betriebswirtschaftlichen Problemstellung an. erkennen Kosten, Erlös und Gewinn als wesentliche Erfolgsindikatoren eines marktwirtschaftlich orientierten Unternehmens. erfahren den Verkaufspreis, den Beschäftigungsgrad und die Kapazität als Wirkungsfaktoren. bestimmen den Break-even-Point in einem Ein-Produkt-Betrieb. nutzen eine Tabellenkalkulation als effektives Werkzeug zur Lösung einer betriebswirtschaftlichen und kostenrechnerischen Problemstellung. den Computer als Analyse- und Entscheidungsinstrument nutzen. Da die traditionelle Vollkostenrechnung primär auf die möglichst vollständige Erfassung der in einem Produktionsprozess anfallenden Kosten und deren Kontrolle zielt, ist sie nur bedingt geeignet, diese den hergestellten Produkten oder Leistungen (Kostenträger) verursachungsgerecht zuzuordnen. Eine undifferenzierte Verteilung aller Kosten (Einzel-, Gemeinkosten beziehungsweise fixe oder variable Kosten) auf die Produkte kann zu einer verfehlten Preis- und Sortimentspolitik in einem Unternehmen führen, da keine fundierten Preisuntergrenzen der Kostenträger ermittelt werden können. Einen anderen Weg geht die Deckungsbetragsrechnung durch die Teilung der Kosten in ihre variablen (K v ) und fixen (K f ) Teile, entsprechend der Gesamtkostenfunktion K(x) = K v + K f beziehungsweise analog der Stückkosten (k v ) orientierten Betrachtungsweise: K(x) = (k v * x) + K f , wobei x die Produktionsmenge ist. Ihr Ziel ist es, die Produkte zu identifizieren, die einen maximalen Beitrag zur Deckung der fixen Kosten beitragen. Ausgangspunkt der Überlegung ist die betriebswirtschaftliche Tatsache, dass "Gewinn = Umsatzerlöse - Kosten" ist. Eine Betrachtung des Verkaufspreises pro Stück und der Stückkosten führt zu der Erkenntnis, dass ein "Stückpreis > variable Stückkosten" zu einer positiven Deckungsspanne beiträgt, das heißt, an dem Produkt wird etwas "verdient": d = p - k v Berücksichtigt man in dieser Betrachtungsweise noch den Faktor Menge (x), so lässt sich nachvollziehen, dass mit jeder zusätzlich verkauften Mengeneinheit ein zusätzlicher Beitrag zur Deckung der fixen Kosten geleistet wird (D = d * x), da der gesamte Deckungsbeitrag (D) steigt. Dort, wo der Deckungsbeitrag gleich den Fixkosten ist, D = K f oder d * x = K f überschreitet das Unternehmen rechnerisch die Gewinnschwelle, den Break-even-Point [= K f / (p - k v )]. Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel aus dem Microsoft Office-Paket bietet die exzellente Möglichkeit diese skizzierten betriebswirtschaftlichen Zusammenhänge in einem didaktisch reduzierten Modell rechnerisch und grafisch und damit inhaltlich nachzuvollziehen. Im Sinne einer Was-wäre-wenn-Analyse können die Schülerinnen und Schüler im spielerischen Umgang mit den Faktoren Verkaufspreis, Beschäftigungsgrad und Ausbringungsmenge die Auswirkungen auf die Kosten, den Umsatz und Gewinn und damit den kritischen Punkt der Gewinnschwelle (Break-even-point) erkennen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die gewonnenen Kenntnisse in Verknüpfung mit ihrem bisherigen Know-how aus dem Bereich Tabellenkalkulation (einfache Formeln, WENN-Funktion, Diagrammerstellung) auf ein didaktisch reduziertes Fallbeispiel, das als Excel-Datei vorgelegt wird, anwenden. Nachdem die Schülerinnen und Schüler mit der Problemstellung vertraut gemacht wurden, bietet es sich an, dass sie sich die notwendigen Lösungen in Partnerarbeit erarbeiten. Als ‚roter Faden' für die Partnerarbeit dient ein Arbeitsblatt, das sukzessive die notwendigen Excel-Formeln entwickeln hilft und die Schülerinnen und Schüler bei der grafischen Auswertung der Tabelle unterstützt. Als Abschluss der Unterrichtseinheit sollte ein Lernteam seine Arbeitsergebnisse der gesamten Lerngruppe vorstellen und über Lernerfahrungen berichten.

In dieser Unterrichtseinheit zum Rechnen in Restklassen stellen die Schülerinnen und Schüler nach einer Einführung Multiplikationstafeln modulo n auf und färben diese ein – sowohl von Hand als auch mithilfe einer programmierten Excel-Tabelle. Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden. In der Unterrichtseinheit "Rechnen in Restklassen" arbeiten die Schülerinnen und Schüler überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion. Die Schülerinnen und Schüler kennen grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen und wenden sie an. stellen Multiplikationstafeln für Restklassen auf und beschreiben deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich. beschreiben Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal. entwickeln Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise. erkunden die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln, beschreiben sie und beweisen die Aussagen formal. lösen lineare Kongruenzen. bestimmen Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n. Begriffe und Regeln für das Rechnen in Restklassen Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Zeitstunden) lernen die Schülerinnen und Schüler in Analogie zur Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen die Begriffe "Restklasse", "Modul", "Kongruenz" sowie elementare Regeln für das Rechnen in Restklassen anhand von Arbeitsblättern kennen (restklassen_1.pdf; im Download-Paket der Startseite befinden sich neben den PDFs auch alle Dateien im editierbaren RTF-Format). Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand Im zweiten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) stellen die Lernenden zunächst selbst Multiplikationstafeln modulo n auf. In einem weiteren Arbeitsblatt (alle Arbeitsblätter siehe restklassen_2.pdf) färben sie die bereits fertig ausgedruckten Multiplikationstafeln bis n = 12 von Hand ein (gleiche Reste - gleiche Farben). Dadurch wird der Blick auf die Struktur der Tabellen gelenkt und eine spielerische Analyse ihrer Eigenschaften eingeleitet, die durch ein Arbeitsblatt zur formalen Beschreibung der Symmetrieeigenschaften vertieft wird. Durch die Einfärbung der Multiplikationstafeln von Hand haben die Schülerinnen und Schüler Zeit und sind gehalten, sich eingehend mit den Tafeln und ihrer Struktur zu beschäftigen. Einige interessante Schülerbeobachtungen aus diesem Teil der Unterrichtsreihe sind dokumentiert (restklassen_2_schuelerbeitraege.pdf). Automatische Einfärbung mit Excel Erst nach der händischen Arbeit mit den Tabellen kommt die Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zum Einsatz, um bei der systematischen Erforschung schnell zwischen verschiedenen, auch größeren, Moduln wechseln zu können. Bei Eingabe des Moduls erfolgt die Einfärbung automatisch. Bei kleinen Lerngruppen reicht es, die Datei auf einem Rechner mit angeschlossenem Beamer auszuführen und den jeweils gewünschten Modul auf Zuruf einzugeben. Ergänzend dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler ein Arbeitsblatt mit fertig eingefärbten Tafeln bis n = 10. Besser ist es jedoch (vor allem in Teil 3), wenn die Schülerinnen und Schüler eigene Rechner benutzen und verschiedene Moduln selbst eingeben können. Fortführung der Untersuchung der Multiplikationstafeln Im dritten Teil (zwei bis drei Zeitstunden) wird die systematische Untersuchung der Multiplikationstafeln fortgesetzt. Die zugehörigen Arbeitsblätter (restklassen_3.pdf) enthalten engere Fragestellungen, die auf die Anzahl und die Verteilung der in einer Tabellenzeile auftretenden Farben beziehungsweise Reste in Abhängigkeit von der Zeilennummer abzielen, also auf die Werteverteilung von a x mod n bei festem a und n. Dabei ist insbesondere der Fall ggT(a,n) = 1 von Interesse. Die Antworten werden mithilfe der Excel-Datei (produkte_in_restklassen.xls) zunächst empirisch gefunden und dann bewiesen. Lineare Kongruenzen, reduziertes Restsystem, phi-Funktion Die Ergebnisse führen auf die Lösung von linearen Kongruenzen, das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion, die aber im hier dargestellten Rahmen nur ansatzweise behandelt wird. Die praktischen Anwendungen in Form von "handfesten" Rechenaufgaben (lineare Kongruenzen) wurden von den Schülerinnen und Schülern dankbar angenommen. Bei der Bestimmung von phi(n) leistet die Excel-Datei wieder gute Dienste, da man mit der Tastenkombination Strg+R zum reduzierten Restsystem übergehen kann. Auch hier gilt: Computer nicht zu früh einsetzen! Beobachtungen und Beweise Die intendierten Beobachtungen und die zugehörigen Beweise werden hier ebenfalls zum Download angeboten (restklassen_3_beobachtungen.pdf). Die Beweise können in dieser Form auch der Lerngruppe zum Nacharbeiten zur Verfügung gestellt werden, zumal unter Umständen nicht alle im Unterricht vollständig ausgeführt werden können.

Schülerinnen und Schüler lernen mithilfe des Simulationsprogramms "Schrödingers Schlüssel" wie Informationen mit Quanten abhörsicher verschlüsselt und Abhörversuche entlarvt werden können.Seit Jahrtausenden versuchen Menschen, den Inhalt von Botschaften vor ungebetenen Abhörern zu verbergen. Dies ist in den Zeiten des Internet besonders wichtig und alltagsrelevant, zum Beispiel für eine sichere Übermittlung von Passwörtern und Bankgeheimnissen. Mit den heute verfügbaren numerischen Werkzeugen kann im Prinzip jeder Code in endlicher Zeit geknackt werden, auch wenn diese Zeit - zum Beispiel bei der Verschlüsselung mit großen Primzahlen - Jahrmilliarden in Anspruch nehmen würde. Das hört sich beruhigend an. Allerdings erwartet man, dass diese Zeit in einigen Jahren nur noch wenige Stunden betragen könnte. Erste Schritte auf dem Weg zu den dafür benötigten Quantencomputern, wie die Präparation einzelner Quantenbits, sind bereits gelungen. Die Methode der Quantenverschlüsselung ermöglicht die erste absolut abhörsichere Übertragung von Daten in der Geschichte der Informationsübertragung. Es gibt bereits entsprechende kommerzielle Geräte.Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand einiger Bits (selbst gewählt oder mithilfe des Programms Schrödingers Schlüssel) zeigen können, wie man einen Zufallscode mit einer Polarisationsbasis übermitteln kann. zeigen können, dass diese Übermittlung nicht abhörsicher ist. mithilfe des Programms Schrödingers Schlüssel zeigen können, wie die Übermittlung von Zufallsbits mit zwei Polarisationsbasen funktioniert. mithilfe des Programms demonstrieren können, dass eine abhörende Person durch den Vergleich von Kontrollbits über kurz oder lang "auffliegt". Thema Quantenkryptographie - Simulationsprogramm zur Quantenverschlüsselung Autor Dr. Josef Küblbeck Fach Physik Zielgruppe Sekundarstufe II Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Windows XP-Rechner; im Idealfall Computerraum mit Demonstrationsrechner und Beamer; Rechner für jeweils 1-3 Lernende Vor dem Einsatz des Programms "Schrödingers Schlüssel" sollten die Schülerinnen und Schüler wissen, wie und mit welchen Wahrscheinlichkeiten Photonen beim Auftreffen auf einen Polarisationsfilter umpräpariert werden. Das vom Autor entwickelte Programm steht bei Lehrer-Online kostenfrei zum Download zur Verfügung. Wie üblich wird darin der Sender Alice, der Empfänger Bob und der Abhörer Eve genannt. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt einen Screenshot aus "Schrödingers Schlüssel": Schülerinnen und Schüler können zwischen der Übermittlung mit einer oder zwei Basen wechseln, den Abhörer Eve wahlweise hinzuschalten und die durch Eve verursachten Übermittlungsfehler aufdecken. Das Downloadpaket enthält neben dem Programm auch eine detaillierte Anleitung mit Erläuterungen zum Verschlüsselungsverfahren. Weitere ausführliche Informationen und interaktive Übungen zur Quantenkryptographie finden Sie auf der Webseite QuantumLab (siehe Zusatzinformationen). Scarani, Valerio Physik in Quanten, Eine kurze Begegnung mit Wellen, Teilchen und den realen physikalischen Zuständen, 2007, Spektrum Verlag Singh, Simon Geheime Botschaften, Die Kunst der Verschlüsselung von der Antike bis in die Zeiten des Internet, 2000, Hanser Verlag.

Wie hängen Seitenlängen und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken zusammen? Diese Unterrichts-einheit führt anschaulich mit GeoGebra zu Sinus, Cosinus und Tangens. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Winkel und Längen rechnerisch zu bestimmen und wenden ihr Wissen in besonderen Vierecken und im dreidimensionalen Raum an. Diese Unterrichtseinheit führt Schülerinnen und Schüler systematisch in die Welt der Winkelfunktionen ein – beginnend beim rechtwinkligen Dreieck bis hin zur Anwendung im dreidimensionalen Raum. Ausgehend vom Satz des Pythagoras und der Beobachtung, dass Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken nur vom jeweiligen Winkel abhängen, werden die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens eingeführt. Mithilfe der Begriffe Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse werden diese Verhältnisse definiert und rechnerisch nutzbar gemacht. Die Inhalte werden durch interaktive Aufgaben und anschauliche Darstellungen in GeoGebra vertieft. Besonders betont wird dabei die visuelle Erkenntnis, dass Winkelverhältnisse unabhängig von der Größe des Dreiecks sind. In einem zweiten Abschnitt wenden die Schülerinnen und Schüler die Winkelfunktionen auf besondere Vierecke an und reflektieren deren Grenzen. Den Abschluss bildet die Übertragung ins Dreidimensionale: Hier lernen die Lernenden, wie sich Winkel im Raum verorten lassen und wenden ihr Wissen in praxisnahen Aufgaben an. Die gleichzeitige Nutzung der Grafik- und 3D-Ansicht in GeoGebra ermöglicht einen besonders anschaulichen Zugang und fördert ein nachhaltiges Verständnis der mathematischen Zusammenhänge. Die Unterrichtseinheit baut auf dem bereits bekannten Satz des Pythagoras auf und vertieft das Verständnis für die grundlegenden Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Im Zentrum steht die Erkenntnis, dass Seitenverhältnisse bei gleichen Winkeln unabhängig von der Größe des Dreiecks konstant bleiben. Diese zentrale mathematische Einsicht wird mithilfe von GeoGebra anschaulich visualisiert, um ein nachhaltiges, konzeptuelles Verständnis aufzubauen. Die Visualisierung in GeoGebra ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern, mathematische Zusammenhänge selbst zu entdecken und aktiv zu überprüfen. Durch gezielte Übungen lernen sie, mit den definierten Winkelfunktionen Längen und Winkel rechnerisch zu bestimmen. Darauf aufbauend werden die gelernten Inhalte in vielfältigen Anwendungsszenarien im Zwei- und Dreidimensionalen vertieft. Die Raumvorstellung spielt dabei eine zentrale Rolle: Die Schülerinnen und Schüler lernen Winkel im Raum zu lokalisieren, zu beschreiben und zu begrenzen. Die parallele Nutzung der Grafik- und 3D-Ansicht in GeoGebra unterstützt diesen Prozess wirkungsvoll und trägt zur Förderung einer ganzheitlichen, anschaulich-analytischen Kompetenzentwicklung bei. Die Einheit ist so konzipiert, dass sie differenziertes Lernen erlaubt, sowohl durch unterschiedliche Anforderungsniveaus in den Aufgaben als auch durch den Wechsel zwischen visuellen, rechnerischen und begrifflichen Zugängen. Dadurch werden sowohl leistungsschwächere als auch leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler gezielt gefördert. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler kennen die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. berechnen fehlende Seitenlängen und Winkel im rechtwinkligen Dreieck. wenden das Wissen auf Objekte in der Fläche und im Raum an. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. nutzen eine Geometriesoftware in 2D und 3D. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). arbeiten in Paar- und Gruppenarbeit und unterstützen sich gegenseitig.

Vor 100 Jahren – am 22. Juni 1910 – wurde Konrad Zuse geboren. Das Zuse-Jahr 2010 soll dieses Jubiläum gebührend ehren. In dieser Unterrichtseinheit erhalten Schülerinnen und Schüler Einblicke in die Erfindung des Computers durch Konrad Zuse und in die Funktionsweise seines ersten Rechners - den Z3.Was sind Dualzahlen und warum rechnen Computer mit ihnen? Wie funktioniert binäre Logik und was sind logische Gatter? Wie arbeitete Konrad Zuses Z3? Die Antworten auf diese Fragen können Schülerinnen und Schüler mit einer zum Zuse-Jahr 2010 entwickelten Lernumgebung finden. Die dynamischen Arbeitsblätter enthalten interaktive Übungen und Veranschaulichungen, die mit LogiFlash erstellt wurden. Dieser Logiksimulator für die Darstellung von digitalen Schaltungen wurde am Lehrstuhl für Technische Informatik der Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main entwickelt und steht kostenfrei zur Verfügung. Würdigung der Leistung Konrad Zuses Die hier vorgestellte Lernumgebung kann im Rahmen des Lehrplans genutzt werden. Konzipiert wurde sie vom Autor aber insbesondere zur Würdigung von Konrad Zuse (1910-1995) im Zuse-Jahr 2010. Hier bietet sich ihr Einsatz im Rahmen eingeschobener Unterrichtsstunden an (eine Doppelstunde sollte reichen). Im Verlauf des Unterrichtsgesprächs kann ferner auf die Begriffe Verarbeitungsbreite (Bit) und Speichergröße (Bit und Byte) eingegangen werden. Einführung der Lernumgebung per Beamer Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 sind den Einsatz interaktiver Arbeitsblätter oft noch nicht gewohnt. Daher sollte der Umgang damit zunächst von der Lehrperson per Beamer gezeigt werden. Insbesondere der Umgang mit den interaktiven LogiFlash-Simulationen kann so demonstriert werden. Hinweise zu den Übungen Ein Hinweis auf die Notwendigkeit einer korrekten Zahleneingabe bei den Übungen führt zu erhöhter Konzentration und damit zu weniger Frusterlebnissen. Diese entstehen, wenn Fragen inhaltlich richtig, aber formal fehlerhaft (zum Beispiel durch Leerstellen) in die Arbeitsblätter eingegeben werden. Die Angaben werden dann als falsch bewertet. Auch Partnerarbeiten zwischen Schülerinnen und Schülern mit guten Deutschkenntnissen und Lernenden, denen die deutsche Sprache schwer fällt (Integrationskinder), kann zur Vermeidung von Frusterlebnissen beitragen. Aufbau und Inhalte der Lernumgebung Die Themen der Lernumgebung werden kurz vorgestellt. Screenshots zeigen Ausschnitte aus den interaktiven Übungen. Green IT Von der Erfindung des Computers kann ein Bogen geschlagen werden zum heutigen rasanten Wachstum der Datenströme im Internet, die einen signifikanten Beitrag zum Kohlenstoffdioxidausstoß leisten werden, wenn die Energieeffizienz der heutigen Technologie nicht stark verbessert wird. "Green IT" ist das Schlagwort. Computer Gestern - Heute - Morgen: "Green IT" In Zeiten drastisch wachsender Datenströme muss die Nutzung von Informations- und Kommunikationstechnologie umwelt- und ressourcenschonend gestaltet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen im Lernbereich "Computer verstehen: Daten und Strukturen" den grundlegenden Aufbau eines Computers kennen (Hardware, Prozessor, Bus, Speicher). das Blockschaltbild eines Computers verstehen. das Prinzip "Eingabe - Verarbeitung - Ausgabe" verstehen. die Auswirkungen der Rechentechnik aus historischer Sicht bewerten. ein Modell für Informatiksysteme kennenlernen. im Wahlpflichtbereich "Computer Gestern - Heute - Morgen" die Leistung eines Rechners anhand verschiedener Kriterien beurteilen können. die Lernumgebung für das Fach Mathematik zur Prüfungsvorbereitung zum Thema Stellenwertsysteme (Klasse 10) nutzen. Thema Die Erfindung des Computers - Zuses Z3 Autor Jens Tiburski Fächer Informatik, Mathematik (Stellenwertsysteme) Zielgruppe ab Klasse 7 (Informatik), Klasse 10 (Mathematik) Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Zahl (Einzel- oder Partnerarbeit); aktiviertes Java-Script, Flash Player Zuerst werden die Schülerinnen und Schüler darauf aufmerksam gemacht, dass die Rechenmaschinen vor der Erfindung des Computers noch mechanisch funktionierten. Doch selbst herausragende Konstruktionen demonstrierten lediglich die Unmöglichkeit, analytische Maschinen von hoher Komplexität technisch zu verwirklichen. Das macht die Genialität Zuses deutlich, der mit zwei revolutionären Ideen die Entwicklung des modernen Computers ermöglichte: Durch den Vergleich mit Anlagen aus der Nachrichtentechnik kam er zu dem Schluss, dass Rechenmaschinen ebenfalls elektronisch funktionieren müssten - durch den Einsatz von Relais als Schalter. Da Relais nur zwei Schaltzustände kennen - High und Low - erkannte Zuse, dass Rechenmaschinen auf dem Dualsystem basieren müssten. Boolesche Logik Also stellte er seine Experimente mit mechanischen Rechenmaschinen ein (der Zuse Z1 war noch ein mechanischer Rechner) und arbeitete an der Umsetzung der Rechenregeln für Dualzahlen mittels logischer Operatoren. Dass es die Boolesche Logik schon gab, wusste Konrad Zuse nicht. Er entwickelte jedoch unabhängig dieselben Schlussfolgerungen. Die interaktiven Arbeitsmaterialien der Unterrichtseinheit beginnen mit der Erforschung der Rechenregeln für das Dualsystem (also das Zahlensystem auf der Basis 2). Nach grundsätzlichen Erläuterungen haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, ihr erworbenes Wissen in interaktiven Aufgabenstellungen zu testen. Nach der Konvertierung von Dezimalzahlen in Dualzahlen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) und umgekehrt sind Additions- sowie eine Multiplikationsaufgabe zu lösen. Die Lernumgebung gibt den Schülerinnen und Schülern Rückmeldungen zum Erfolg ihrer Bemühungen. Den nächsten inhaltlichen Schwerpunkt bildet das Verständnis sogenannter logischer Gatter. Es wird gezeigt, wie solche Gatter aufgebaut sind und welche Funktion sie erfüllen. Dabei beschränkt sich die Lernumgebung auf die wesentlichen Gatter: And-Gatter Or-Gatter Xor-Gatter Nand-Gatter Nor-Gatter Xnor-Gatter Interaktive Übungen Mithilfe von Flash-Simulationen logischer Schaltungen (erstellt mit LogiFlash ) können die Schülerinnen und Schüler die Erklärungen nachvollziehen und eigene Überlegungen visualisieren. Das Kapitel enthält interaktive Übungen zu Wahrheitstabellen logischer Gatter. In verschiedenen Aufgaben können die Schülerinnen und Schüler Wahrheitstabellen vorgegebener Gatter erkunden sowie Gatter anhand ihres Verhaltens zuordnen. Abb. 2 zeigt ein Beispiel: In der Übung muss die Wahrheitstabelle ermittelt und dem entsprechenden Gatter zugeordnet werden. Danach werden - mithilfe der Gatter - die Rechenregeln für Dualzahlen digital umgesetzt. Der 1-Bit-Addierer bildet die Grundlage für das Verständnis des Zusammenhangs zwischen Rechenregeln und logischen Gattern. Wenn dieses Funktionsprinzip verstanden wurde, geht es mit dem 8-Bit-Addierer weiter. Hier liegt der Schwerpunkt auf der Weitergabe des Übertrags. Es kann zwar nur der Übertrag 1 entstehen, aber dieser muss gegebenenfalls über mehrere Stellen weitergegeben werden. Die sich daraus ergebenden Überlegungen zum Einsatz verschiedener Gatter führen auf eine schon recht komplexe Schaltung mit einer Vielzahl von Gattern, die - zur optischen Abgrenzung - in verschiedenen Reihen angeordnet sind (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken). Dieser 8-Bit-Addierer ist nun das eigentliche Rechenwerk des Z3. Es wird an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass es sich um ein stark vereinfachtes Modell des Rechenwerks von Konrad Zuse handelt. Im Gegensatz zu Konrad Zuses Rechner wird unser Rechenwerk nun aber noch mit Wandlern zur Ein- und Ausgabe von Dezimalziffern ausgestattet: Dezimal-Dual-Wandler Dieser Wandler basiert komplett auf Or-Gattern, die dafür sorgen, dass eingegebene Dezimalziffern über die Lampen am Ausgang als Dualzahlen weitergegeben werden. Dual-Dezimal-Wandler Dieser Wandler verwendet zwei Gattertypen, das And-Gatter und das Nor-Gatter. Das jeweilige And-Gatter testet die gesetzten richtigen Bits, während das Nor-Gatter falsch gesetzte Bits "herausfiltert". So wird zum Beispiel die Lampe mit der Nummer 7 nur dann auf High-Level gesetzt, wenn die Bits 1, 2 und 3 aktiviert sind und gleichzeitig die Bits 4 und 5 deaktiviert sind (Abb. 4). Wenn man nun den 8-Bit-Addierer mit zwei Dezimal-Dual-Wandlern zur Eingabe von Dezimalziffern und einem Dual-Dezimal-Wandler zur Anzeige der Ergebnisse in Dezimalform ausstattet, erhält man einen einfachen Rechner, der zwei Dezimalziffern addiert und das Ergebnis anzeigt. Der Informationsfluss kann dabei anhand der türkis eingefärbten Hervorhebungen von den Schülerinnen und Schüler nachvollzogen werden, sodass das Funktionsprinzip deutlich wird (Abb. 5) Die Schaltung in Abb. 5 wirkt auf den ersten Blick sicher verwirrend. Deshalb wird dieser Rechner nun modular umgestaltet. Die Hauptbaugruppen werden in Module zusammengefasst. Dann erfolgt die Verdrahtung und man erhält ein Funktionsschema, das wesentlich übersichtlicher wirkt als das vollständige Modell. Dass es sich jedoch um dieselben Schaltungen handelt, kann man durch das Anklicken des Lupen-Symbols sehen. Das Lupensymbol erscheint, wenn Sie den Cursor über die linke oder rechte untere Ecke (4-Bit-Addierer) der Module führen (siehe roter Kreis in Abb. 6). Aufgaben Im letzten Übungsteil sollen die Schülerinnen und Schüler ihr erworbenes Wissen über die logischen Schaltungen testen. Drei vorgegebene Schaltungen sind zu komplettieren: 1-Bit-Addierer Die beiden passenden Logik-Gatter sollen an die richtigen Stellen gezogen und die Schaltungen korrekt verdrahten werden. Per Klick auf das Fragezeichen-Symbol lassen sich Tipps aufrufen. Der Test-Button prüft die Schaltung - das kann bei umfangreichen Schaltungen einige Sekunden dauern - und gibt dann das Ergebnis in Form einer Messagebox aus. 4-Bit-Addierer Neben den vier 1-Bit-Addierern muss die Weiterleitung des Übertrags fehlerfrei funktionieren. Die Aufgabe besteht in der korrekten Verdrahtung der logischen Gatter der Übertragsweiterleitung. Modul-Rechner Der letzte Schaltplan beinhaltet zwei Dezimal-Dualwandler, einen 4-Bit-Addierer sowie einen Dual-Dezimal-Wandler. Die Aufgabe ist es nun, die fertigen Module richtig zu verdrahten, sodass der Modul-Rechner fehlerfrei funktioniert. Im Themenbereich "Computer Gestern - Heute - Morgen" bietet sich ein Ausblick auf die Bestrebungen an, die Nutzung von Informationstechnik (IT) beziehungsweise aller Informations- und Kommunikationstechnologie umwelt- und ressourcenschonend zu gestalten. Dies betrifft die Produktion der Komponenten (Energieeinsatz, Materialien, Produktionsmittel). das Design der Systeme (Energieverbrauch im Betrieb). die Entsorgung oder das Recycling der Geräte. Der letztgenannte Aspekt schließt insbesondere die Schadstoffthematik mit ein, also ob schädliche Stoffe in der Produktion anfallen oder ob Gifte wie Blei oder Brom im Endprodukt enthalten sind und bei dessen Betrieb oder Entsorgung freigesetzt werden. Der Begriff Green IT umfasst auch die Energieeinsparung durch die Nutzung von Informations- und Kommunikationstechnologie. So kann zum Beispiel der Ersatz von Dienstreisen durch Videokonferenzen zur Energie- und Emissionsreduzierung beitragen. Der Verband der Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik e.V. (VDE) hat im Jahr 2009 eine Green-IT-Studie veröffentlicht, die "Aspekte der Reduzierung des Energieverbrauchs und der Verbesserung der Energieeffizienz in Kommunikationsnetzwerken" darstellt. Angesichts des dramatisch ansteigenden Datenverkehrs muss, so die Studie, dem damit zusammenhängenden Energieverbrauch aus Umweltgesichtspunkten (Kohlenstoffdioxidausstoß) - aber auch im Hinblick auf die Betriebskosten für Netzbetreiber und private Kunden - entschieden gegengesteuert werden. Nur wenn Forschung und Entwicklung einen essenziellen Beitrag zur Verbesserung der Energieeffizienz der Informations- und Kommunikationstechnologie leiste, sei das Wachstum des Internets ohne einen signifikanten Beitrag zum Kohlenstoffdioxidausstoß möglich. Auch dies gehört zum Erbe Konrad Zuses … Interessierte Lehrkräfte können die nicht ganz günstige Studie (250 Euro) direkt beim VDE bestellen: VDE Verband der Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik e.V. Stresemannallee 15 60596 Frankfurt am Main Kontakt: itg@vde.com

Auf dieser Seite haben wir Unterrichtseinheiten und Anregungen für Ihren Mathematik-Unterricht im Bereich Analysis zusammengestellt: Differenzialrechnung, komplexere Probleme der Differenzialrechnung und Integralrechnung. Auch Unterrichtsmaterialien für die Begabtenförderung im Mathematik-Unterricht finden Sie hier. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen einüben. Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen können. den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen können. die Herleitung von Ortskurven vertiefen. grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich wiederholen. kooperieren und sozial interagieren können. Thema Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Die Schülerinnen und Schüler sollen ganz- und gebrochen-rationale Funktionen sicher ableiten können. Funktionswerte berechnen können. Funktionsterme in einen Computer (hier: Mobiltelefon) eingeben. Geradengleichungen bestimmen können. zu einem Punkt des Graphen einer Funktion die Tangente und die Normale bestimmen können. ihr Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung selbst überprüfen. Thema Kurvendiskussionen, hier: Tangenten und Normalen mit Mobiltelefon-Unterstützung Autor Mirko König Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Java-Mobiltelefon pro Person (MIDP 2.0, CLDC 1.1) Software Analysis mobil (JavaME-Programm), möglichst auf jedem Mobiltelefon der Lernenden zu installieren (Shareware, 10 € pro Einzellizenz); Lehrpersonen, die mit ihrem Kurs gemeinsam das Programm nutzen möchten, können sich für eine kostenlose Klassen-Lizenz an den Autor wenden: mail-at-analysismobil.com). Bei den Kurvendiskussionen müssen die Schülerinnen und Schüler das in der Analysis Gelernte anwenden und in komplexer Form umsetzen. Dabei geht einigen schon einmal der Überblick verloren, und es entstehen Fragen wie: "Muss ich jetzt f, f' oder f'' verwenden?". Dies lässt sich durch übersichtliche Schrittfolgen vermeiden. Kommen aber Anwendungsaufgaben wie die zu Tangenten und Normalen hinzu, kann die als erreicht geglaubte Sicherheit wieder schwinden. Hier können Visualisierungen helfen, die Ergebnisse zu kontrollieren. Von den Lernenden mit Bleistift und Millimeterpapier erstellte Graphen reichen hier oft noch nicht aus, da der Erfahrungsschatz an bereits gesehenen Funktionen und deren Graphen noch zu klein ist. Überdies hängt die Richtigkeit des Graphen direkt von den Rechenfertigkeiten ab. Ein Computerprogramm mit einer Funktionseingabe und einer grafischen Funktionsanzeige (Funktionsplotter) kann hier die Anschauung gut unterstützen und eine unabhängige Kontrolle bieten. Der Computer ist in dem hier vorgestellten Fall ein Mobiltelefon, ein Gerät, das die Schülerinnen und Schüler in der Regel ständig parat haben. Allgemeine Hinweise und Materialien Ausgangssituation, Motivation und Zielstellung, allgemeine Anmerkungen zum Softwareeinsatz und Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch positiv sein kann. wissen, dass am "tiefsten" und "höchsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist. erkennen, dass die Steigung der Tangenten einer Parabel, als Funktion abgetragen, eine Gerade ergibt. erkennen, dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades, als Funktion abgetragen, eine Parabel ergibt. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen. Thema Steigung und Ableitung einer Funktion Autor Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin/Schüler Software Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei); GeoGebra zum Erstellen eigener dynamischer Arbeitsblätter (kostenloser Download aus dem Internet) Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer, Netscape, Mozilla) betrachtet werden können. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren, muss Java 1.4 (oder höher) installiert sein. Hinweise zum Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter Falls Ihnen noch die erforderliche Java-Abspielumgebung fehlt, können Sie hier mithilfe von Screenshots einen ersten Eindruck von den Arbeitsblättern gewinnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen lernen. die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten erlernen. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden können. die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen lernen. aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen können (Kurvendiskussion rückwärts). Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den SchülerInnen wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Sekantensteigung berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen können. erläutern können, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen können. den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen können. Thema Vom Differenzen- zum Differenzialquotient Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2 bis 3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer; optional: grafikfähiger Taschenrechner TI-83, OHP-Projektion für Taschenrechner Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen gegebene Größen bestimmen. Zielfunktionen aus gegebenen Größen herleiten. Extremstellen der Zielfunktionen bestimmen und das Verfahren der Kurvendiskussion anwenden (notwendige Bedingung für Extremstellen). gewonnene Lösungen diskutieren und interpretieren. einfache Extremwertprobleme lösen. Titel Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0 Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 Stunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner für zwei Lernende, Beamer Software Derive 5.0 Schullizenz, siehe Zusatzinformationen Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen Aufgaben und Musterlösungen Derive-Dateien und Screenshots Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen können. den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern können. analytisch und geometrisch begründen können, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. eine geeignete Basis a bestimmen können, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion kennen. Thema Einführung der Eulerschen Zahl Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner mit Internetanschluss für je 1-2 Lernende, Java Runtime Environment ; idealerweise Beamer, grafikfähiger Taschenrechner, OHP-Projektion für Taschenrechner, CAS Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". ?Geh weg oder ich differenzier dich!? Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler sollen den Begriff der Ober- und Untersumme kennen und anwenden. erkennen, dass bei einer sehr feinen Unterteilung der Intervalle Ober- und Untersumme gegeneinander konvergieren. erkennen, dass der Unterschied zwischen beiden beliebig klein wird (Grenzwertbegriff) und dass der Grenzwert der Ober- und Untersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. den Unterschied zwischen Integral und Fläche erklären. Integrale und Flächen berechnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen. Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Thema "Ein(-)Blick ins Chaos" - nichtlineare dynamische Systeme Autor Claus Wolfseher Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 10, hochbegabte Schülergruppen (Mathematik-AG, Projektarbeit) Zeitraum abhängig von Behandlungstiefe 10 oder mehr Doppelstunden Technische Voraussetzungen Computer mit einfacher Programmierumgebung (zum Beispiel Basic, Pascal oder Java) und Tabellenkalkulationssystem (zum Beispiel "Calc" - siehe OpenOffice.org - oder Excel) Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können. einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können. ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können. selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren. in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Materialien und Literatur Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple; außerdem finden Sie hier Literaturtipps. Ausgehend von einer elementaren Konstruktion einer Mittelsenkrechten erzeugen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra Geradenscharen, deren Hüllkurve eine Parabel zu sein scheint. Die Lernenden erarbeiten Schritt für Schritt den Beweis dieser Vermutung. Ihr Ergebnis können sie wiederum an der GeoGebra-Konstruktion überprüfen. Indem sie anschließend die allgemeine Gleichung einer Parabeltangente aufstellen, erkennen sie, dass die anfangs konstruierten Mittelsenkrechten gerade die Parabeltangenten sind. Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun ein einfaches Verfahren zur Konstruktion von Parabeltangenten finden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Geradenscharen und deren Hüllkurve mithilfe eines dynamischen Arbeitsblattes erzeugen können. die Parabel als Ortskurve der konstruierten Mittelsenkrechten kennen lernen und die zugehörige Parabelgleichung aus den Konstruktionseigenschaften herleiten können. einen Zusammenhang mit den ihnen bekannten Parabeltangenten herstellen können. aus den gewonnen Erkenntnissen eine einfache Vorschrift zur Konstruktion einer Parabeltangente in einem vorgegebenen Punkt herleiten können. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geradenscharen und Parabeln Autor Birgit Siebe Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik AG Zeitraum 3-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software Java-Plugin (Version 1.4 oder höher, kostenloser Download), GeoGebra (kostenloser Download) Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ f(x) = Ca x untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors k = f '(x)/f(x) eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren. die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken. diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen). die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis). die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen. die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen. Thema Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grund- oder Leistungskurs) Zeitraum 3-5 Stunden Technische Voraussetzungen je ein Computer für 1-2 Lernende Software Webbrowser mit aktiviertem Java, ergänzend (optional) das kostenlos erhältliche GeoGebra Selbstgesteuertes Lernen Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden. Modifizierbare Arbeitsblätter Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden. Optionale Beweise Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage (Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kurvendiskussion von Polynomen durchführen können. mit trigonometrischen Funktionen rechnen können. Linearkombinationen erstellen können. Interpolation durchführen können. algorithmisches Verständnis erwerben. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit GeoGebra lernen. den Umgang mit wxMaxima lernen. kleine Programmroutinen selbst erstellen können. Thema Tschebyscheff-Polynome Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin oder Schüler Software GeoGebra , wxMaxima (kostenloser Download) Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist, dass die Schülerinnen und Schüler Polynome und die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung kennen. Sie sollten über den Hauptsatz der Algebra und die Zerlegbarkeit von Polynomen laut Vieta Bescheid wissen. Grundlegendes Vorwissen über Matrizen und Determinanten wird benötigt und die Nutzung von GeoGebra und wxMaxima sollte keine Probleme bereiten. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Hier finden Sie verschiedene Zugänge und Aufgabenstellungen zu Tschebyscheff-Polynomen. Anregung und Erweiterung Eine Anregung zur Erweiterung des Themas bietet die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur.

In dieser Unterrichtseinheit für den Statistik-Unterricht lernen die Schülerinnen und Schüler ausgehend von eigenen Erhebungen zum Thema "Wie alt sind wir – eine empirische Betrachtung unseres Alters" wichtige statistische Kenngrößen kennen.Bereits in der Mittelstufe kommen die Schülerinnen und Schüler mit dem Thema "Beschreibende Statistik" in Berührung. Hier werden erstmals Begriffe wie Merkmal und Merkmalsausprägung, absolute und relative Häufigkeit, Grundgesamtheit und Urliste verwendet. Dies geschieht jedoch auf einem recht einfachen Niveau. Die Erfahrung der letzten Jahre und Jahrzehnte hat gezeigt, dass das einstige "Stiefkind" im Unterricht, die Beschreibende Statistik, für Studium und Beruf immer wichtiger wird. Daher findet dieser Themenkomplex seit geraumer Zeit Eingang in die Qualifikationsphase als Vorstufe der Beurteilenden Statistik.Im Rahmen der Qualifikationsphase kommen die Schülerinnen und Schüler vertiefend mit dem Thema "Beschreibende Statistik" im Fach Mathematik in Berührung. Hierbei lernen sie statistische Kenngrößen und Verfahren zu deren Berechnung kennen. In dieser Einheit wird der empirische Weg der Beschreibenden Statistik gewählt, aus dem sich zwangsläufig die statistischen Kenngrößen ableiten lassen. Wie alt sind wir? - Ablauf der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler erheben empirische Daten, werten sie aus und ordnen die Ergebnisse in wissenschaftliche Modelle ein. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wenden Fachbegriffe wie Merkmal, Merkmalsausprägung, empirische Grundgesamtheit, Stichprobe, Urliste, absolute und relative Häufigkeit, Median, Modus, Säulendia- oder Histogramm, arithmetische Mittel, Spannweite, Streuung an. veranschaulichen Daten graphisch, zum Beispiel mithilfe von Excel oder einem graphikfähigen Taschenrechner (GTR). berechnen und interpretieren das arithmetische Mittel, den Median, die Spannweite und die Standardabweichung. benennen Ursachen für die Altersverteilung. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler berechnen mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms oder eines graphikfähigen Taschenrechners bestimmte Kenngrößen und stellen sie graphisch dar. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sowohl in Gruppen als auch selbstorganisiert. Erfassen von Altersangaben Jede Schülerin und jeder Schüler erhält die Aufgabe (bei einer Klassen- oder Kursgröße von etwa 20 Lernenden), je fünf Altersangaben aufzuschreiben, ganz egal von wem: Freund, Freundin, Mutter, Vater, Cousine oder andere. Diese Daten werden dann in eine Liste, die sogenannte Urliste, eingetragen. Dies kann mithilfe einer Tabellenkalkulation, beispielsweise Excel, oder auch mithilfe eines graphikfähigen Taschenrechners (GTR) geschehen. Es entsteht ein Datensatz von n=100 Daten, und dieser beschreibt damit die empirische Grundgesamtheit oder Stichprobe n. Geordnete Stichprobe Da die Urliste ungeordnet und recht unübersichtlich ist, entscheiden sich die Schülerinnen und Schüler intuitiv, die Liste zu ordnen (geordnete Stichprobe) und sie ansatzweise auszuwerten, indem sie eine Strichliste anlegen und somit die absolute Häufigkeit jeder Altersangabe bestimmen. An dieser Stelle kann man den Begriff Modus einführen, denn er beschreibt jenen Wert, der am häufigsten vorkommt. Stichprobe kontrollieren Nutzt man zur Auswertung der Daten das Tabellenkalkulationsprogramm Excel, so ist das Ordnen sehr einfach. Nutzt man allerdings einen GTR, so müssen die Daten zunächst per Hand geordnet und dann die übrigen Kenngrößen bestimmt werden. Hier sollte man die Gesamtsumme stets kontrollieren, sodass gesichert ist, dass die Stichprobe noch stimmt. Sinnvolle Klassen bilden Da die erhobenen Daten immer noch recht "unhandlich" zur Auswertung sind, entscheiden die Schülerinnen und Schüler, sinnvolle Klassen zu bilden. Es entstehen gleich große Klassen von "0 bis 10 Jahren" bis "mehr als 90 Jahre". Hier werden die absolute Häufigkeit und die relative Häufigkeit bestimmt, sodass man einen besseren Überblick darüber erhält, welche Altersklassen am häufigsten vertreten sind. Verknüpfung mit dem Fach Geographie An dieser Stelle bieten sich erste Anknüpfungspunkte an das Fach Geographie: Sind die Daten repräsentativ? Stimmt die Häufigkeit des Auftretens mit der Häufigkeit im Bund überein, oder gibt es starke Abweichungen? Diese Phase kann entweder im Unterrichtsgespräch oder aber in Partnerarbeit durchgeführt werden. Entscheidet man sich für Partnerarbeit, ist es hilfreich, diese Phase mit einem Arbeitsblatt zu unterstützen. An dieser Stelle kann man die Daten auch graphisch darstellen lassen, indem man mithilfe von Excel oder Taschenrechner ein Säulendiagramm (Befehl "Diagramm einfügen") oder ein Histogramm zeichnen lässt. Auftreten der verschiedenen Altersklassen Sehr auffällig ist hier, dass die Altersklassen "zwischen 11 und 20 Jahren" und "41 bis 50 Jahren" am stärksten vertreten sind. Die Erklärung dafür ist recht einfach: Die Schülerinnen und Schüler haben ihr Alter und das Alter der Eltern am häufigsten angegeben, sodass eben diese Altersklassen am stärksten vertreten sind. Die Altersklasse "von 0 bis 10 Jahren" und die Klasse "älter als 90 Jahre" ist am geringsten vertreten, da die Geschwister meist in der eigenen Altersklasse auftreten und die Generation der Großeltern jene Altersklasse "über 90 Jahre" noch nicht erreicht hat. Bezug zu Bevölkerungsprognosen und Lebenserwartung Betrachtet man an dieser Stelle den Bundesschnitt, stimmen die Werte gut überein, und die empirischen Daten sind repräsentativ, wie zum Beispiel diese Seite des Statistischen Bundesamtes verdeutlicht. An dieser Stelle kann man auf Bevölkerungsprognosen und Lebenserwartung eingehen und Verbindungen zu den Fächern Erdkunde und Biologie herstellen. Die Lebenserwartung in Deutschland steigt aufgrund einer sehr guten medizinischen Versorgung und Beschäftigungen, die kaum noch körperliche Anstrengungen verlangen. Ebenso gehen die Zahlen der Geburten zurück aufgrund einer zunehmenden Geburtenkontrolle, der Zunahme von Single-Haushalten und der steigenden Gleichberechtigung der Frauen. Diskussion über gesellschaftliche Rahmenbedingungen Die Schülerinnen und Schüler äußern an dieser Stelle vermutlich Kritik in der Form, dass die gesellschaftlichen Rahmenbedingungen nicht stimmen würden. Dabei könnten sie thematisieren, dass Frauen häufig benachteiligt werden oder Einbußen hinnehmen müssen, wenn sie Kinder und Job vereinbaren wollen. Tagesaktuelle Schlagzeilen oder Diskussionsstoff über Frauen in Führungspositionen und eine mögliche gesetzliche Regelung können in die Diskussion einfließen. Je nach Vertiefung und Verfügung von Stunden kann man dies durch ein Arbeitsblatt unterstützen. Bestimmen des Mittelwertes Ausgehend von absoluter und relativer Häufigkeit ergibt es sich, die Daten genauer zu untersuchen und den Mittelwert beziehungsweise das arithmetische Mittel und den Median mithilfe von Excel oder des GTR berechnen zu lassen. An dieser Stelle ist es wichtig, das arithmetische Mittel deutlich vom Median zu unterscheiden. Beide beschreiben so etwas wie den Mittelwert, allerdings muss für den Median die Stichprobe geordnet sein. Beim arithmetischen Mittel ist das nicht erforderlich. Hierzu versetzen sich die Schülerinnen und Schüler in die Rolle von Mitarbeitern der Abteilung für Presse- und Öffentlichkeitsarbeit in einem Unternehmen, die im Rahmen von Pressemitteilungen oder Pressekonferenzen Daten stets kurz und prägnant präsentieren müssen. Berechnung der Spannweite und der empirischen Standardabweichung Hat man den Mittelwert berechnet, folgen nun die Berechnung der Spannweite und der empirischen Standardabweichung. Beide Kenngrößen sind als Streuungsmaße bekannt und ein wichtiges Element der Beschreibenden Statistik. Bei der Berechnung der empirischen Standardabweichung benötigt man den Befehl =STABWN (Zelle1:ZelleEnde). Gerade bei der Berechnung der Kenngrößen ist es wichtig, nach dem Sinn und Nutzen zu fragen und die gewonnenen Daten interpretieren zu lassen. In der Beschreibenden Statistik werden viele Begriffe verwendet, die einen ähnlichen Sachverhalt darstellen, sich aber doch deutlich in der Interpretation unterscheiden. Bei der empirischen Standardabweichung, also der Abweichung vom Mittelwert, sollte die Lehrkraft den Hinweis geben, dass circa 68 Prozent aller erhobenen Daten in einem symmetrischen Intervall um den Mittelwert liegen. Vergleich mit internationalen demografischen Daten Nachdem die erhobenen Daten ausgewertet und interpretiert worden sind, lohnt es sich über den Tellerrand zu schauen und die Daten mit den Daten von Partnerschulen oder aber mit internationalen demografischen Daten zu vergleichen. Auf der Seite www.census.gov finden sich beispielsweise zahlreiche Informationen über die verschiedenen Länder der Erde, mit denen die Werte verglichen werden können. Optional Datenpool vergrößern Um einen größeren "Datenpool" zu haben, ist es möglich, aus anderen Klassen und Kursen Altersangaben hinzuzunehmen. Damit nimmt die Größe der Stichprobe zu, und die Daten sind deutlich repräsentativer. Die Lehrkraft sollte zu Beginn der Reihe mehr Stunden einplanen. Die vorliegende Unterrichtsreihe lässt sich außerdem erweitern, indem neben dem Alter noch das Geschlecht erfasst wird. Einführung in wichtige Funktionen Bei der Arbeit mit Excel ist es sinnvoll, an der ein oder anderen Stelle wichtige Funktionen noch einmal zu wiederholen und zu üben. Das Gleiche gilt für die Arbeit mit dem GTR. Die Schülerinnen und Schüler können mit dem Rechner rechnen, benötigen aber eine Einführungsphase in das Erstellen und Auswerten von Listen beziehungsweise ausreichend Zeit, um ein Histogramm zu zeichnen. Excel-Datei digital zur Verfügung stellen Die Excel-Datei, in der sich die Urliste befindet, sollte den Schülerinnen und Schülern per Netzwerk oder einer für alle zugänglichen Dateiablage in der so genannten "Cloud" (etwa Dropbox) zur Verfügung gestellt und dort immer wieder gesichert werden. Die Listen, mit denen die Schülerinnen und Schüler im GTR arbeiten, sind dagegen stets präsent, da diese sich immer im Rechner befinden. Hierbei sind gegebenenfalls die eintsprechenden Einstellungen anzugeben.