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In dieser Unterrichtseinheit berechnen die Lernenden mit digitalen Hilfsmitteln die Wahrscheinlichkeit für den Achtelfinaleinzug von Deutschland bei der Fußballweltmeisterschaft 2022 mithilfe von Sportwetten. Das Ziel des Materials ist es, die Aufgabe mithilfe von Modellierungstätigkeiten zu lösen und dadurch die Kompetenz des mathematischen Modellierens zu stärken.In dieser Unterrichtseinheit wird die Wahrscheinlichkeit eines Achtelfinaleinzugs von Deutschland bei der Fußball-WM 2022 in Katar bestimmt. Als Ansatzpunkte werden dazu die Wettquoten von Sportwettenanbietern verwendet. Es handelt sich um eine Modellierungsaufgabe, bei der die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Unterrichtseinheit die verschiedenen Teilschritte des mathematischen Modellierens durchlaufen. Die Lernenden werden schrittweise durch die Aufgabe geführt und erarbeiten sich damit Stück für Stück die Lösung der Aufgabe selbstständig. Unterstützt werden sie dabei von einer digitalen Lernumgebung, die Informationstexte, Aufgabenstellungen und Zusatzmaterialien wie GeoGebra-Simulationen und Vorlagen für Tabellenkalkulationen enthält. Zusätzlich erhalten die Lernenden ein Aufgabenheft, in dem sie die Aufgaben schriftlich bearbeiten können. Im Laufe der Unterrichtseinheit wird die Ausgangssituation der Aufgabenstellung zunächst analysiert, vereinfacht und anschließend in das mathematische Modell eines zweistufigen Zufallsexperiments übersetzt. Danach werden die beiden Stufen des Zufallsexperiments getrennt voneinander betrachtet und entsprechende mathematische Überlegungen angestellt. Ein entscheidender Aspekt der mathematischen Überlegungen ist die Übersetzung der Wettquoten in Wahrscheinlichkeiten, wobei im Zuge dessen Begriffe wie Pseudowahrscheinlichkeiten und gewinnbereinigte Wahrscheinlichkeiten eingeführt und voneinander abgegrenzt werden. Anschließend werden in mehreren Teilschritten unter Verwendung der ersten und zweiten Pfadregel und dem Satz über bedingte Wahrscheinlichkeiten schließlich die verschiedenen Probabilitäten berechnet, die schlussendlich zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit des Achtelfinaleinzugs zusammengefasst werden. Zuletzt wird die Aufgabenlösung und damit das erstellte Modell durch den Vergleich mit der bei Sportwettenanbietern angegebenen Wettquote kritisch hinterfragt, was den Modellierungsprozess abschließt. Neben den bereits beschriebenen mathematischen Inhalten werden auch kombinatorische Überlegungen beim Aufstellen der Baumdiagramme angestellt sowie digitale Kompetenzen durch die Verwendung der Simulationen und Tabellenkalkulationen gestärkt. Ziel der Unterrichtseinheit ist es somit, die Modellierungskompetenz und die digitalen Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler zu stärken, wodurch wichtige Aspekte der Bildungsstandards aufgegriffen werden. Das Thema "Mathematisch modellieren" im Unterricht Mathematische Modellierungen erlangen im Kontext interdisziplinärer Aufgaben- und Fragestellungen zunehmende Bedeutung, da zur Beantwortung mathematischer Fragestellungen Realsituationen zunächst in entsprechende Modelle übersetzt werden müssen, bevor eine Aufgabenlösung erfolgen kann. In der vorgestellten Unterrichtseinheit kann die Modellierungskompetenz auf erhöhtem Niveau durch die Bearbeitung einer komplexen, realitätsnahen Aufgabenstellung gefördert werden. Dafür wurde die vorgestellte digitale Lernumgebung auf Grundlage von erprobten und in der Literatur beschriebenen Konzepten für Unterrichtsreihen und Projekttage erstellt, da durch diese der Modellierungsprozess bei Schülerinnen und Schülern schrittweise angeleitet werden kann. Didaktisch-methodische Analyse Durch die vorgestellte digitale Lernumgebung wird die Modellierungskompetenz von Schülerinnen und Schülern gefördert. Sie durchlaufen während der Bearbeitung der Aufgabenstellung die in den KMK-Bildungsstandards geforderten und beschriebenen Teilschritte der mathematischen Modellierung, wodurch die Kompetenz insgesamt gestärkt wird. Um den ebenfalls in den Bildungsstandards geforderten Aspekt der Digitalisierung aufzugreifen, werden in der digitalen Lernumgebung Simulationen und Tabellenkalkulationen verwendet. Die Simulationen helfen zusätzlich, die erarbeiteten Sachverhalte darzustellen und zu visualisieren. Insbesondere die schnelle und einfache Erstellung von Baumdiagrammen mithilfe von Schiebereglern stellt einen enormen Vorteil dar, da nicht die zeichnerische Umsetzung, sondern die Mathematik im Vordergrund steht. Die Verwendung der Tabellenkalkulationen zeigt den Lernenden Chancen von digitalen Programmen in Bezug auf Datensätze auf und erleichtert den Umgang mit diesen. Die vorgestellte und praktisch erprobte Modellierungsaufgabe behandelt Sportwetten als thematischen Schwerpunkt, da dieses Thema einen großen Alltagsbezug für die Lernenden aufweist. Durch die Präsenz des Themas bei Schülerinnen und Schülern steigt die Motivation der Bearbeitung, da die Relevanz der Fragestellung deutlich wird. Dies wurde bei mehreren Durchführungen mit Lernenden im Rahmen des Mathematik-Labors, einem außerschulischen Lernort, beobachtet. Hier bearbeiteten Schülerinnen und Schüler im Rahmen von Workshops und Modellierungstagen erfolgreich die vorgestellte Modellierungsaufgabe. Methodisch wurde eine digitale Lernumgebung erstellt, welche die Lernenden selbstständig zu Hause oder bei entsprechender technischer Ausstattung (Vorhandensein von genügend vielen digitalen Endgeräten) in der Schule verwenden können. Innerhalb der Lernumgebung liegen verschiedenen Kapitel vor, die schrittweise von den Lernenden bearbeitet werden können. Der Vorteil besteht darin, dass alle Schülerinnen und Schüler in ihrem eigenen Tempo arbeiten können und damit der Kompetenzaufbau sichergestellt wird. Zusätzlich werden über entsprechende PopUp-Fenster Hilfestellungen bereitgestellt. Insgesamt ist sowohl eine selbstständige als auch eine durch die Lehrkraft angeleitete Verwendung möglich. Die Bearbeitung der Aufgaben kann, je nach Unterrichtssetting und Ausstattung, entweder in Einzel- oder in Paararbeit erfolgen. Paararbeit hat den Vorteil, dass zusätzlich die Kommunikationskompetenz gestärkt wird. Außerdem kann sich die Einbringung unterschiedlicher Ideen positiv auf den Modellierungsprozess auswirken. Weiterhin ist auch eine Verwendung in der Schule oder zu Hause möglich, sodass die digitale Lernumgebung auch für virtuelle Unterrichtsformen verwendet werden kann. Vorkenntnisse von Lehrenden und Lernenden Bei der digitalen Lernumgebung handelt es sich um eine moodle-basierte Anwendung auf der kostenfreien und öffentlich zugänglichen Webseite "OpenWueCampus". Zur Bearbeitung der Lernumgebung können sich Lehrende und Lernende unter Verwendung eines Gastzugangs mit entsprechendem Passwort (MMS_Sportwetten!) in den zugehörigen Kurs einschreiben. Dort kann dann das Material bearbeitet werden, wobei keine speziellen Kenntnisse zur Bearbeitung notwendig sind. Die GeoGebra-Simulationen sind direkt in die Lernumgebung eingebunden und erfordern nur die Bedienung von Schiebereglern und Text-Werkzeugen. Bei der Bearbeitung der Tabellenkalkulation sind grundlegende Kenntnisse, wie die Rechnung mit Zellenbezügen hilfreich. Dies wird aber auch innerhalb der Lernumgebung nochmals erklärt. Insgesamt können Lehrkräfte die digitale Lernumgebung ohne Vorkenntnisse in den Unterricht einbauen, da alle Simulationen bereits vollständig eingebettet sind und nicht mehr angepasst werden müssen. Schülerinnen und Schüler benötigen technisch ebenfalls keine Vorkenntnisse. Inhaltlich wird die Kenntnis über Zufallsexperimente, Baumdiagramme, die Pfadregeln und die bedingte Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt. In der digitalen Lernumgebung werden sowohl Vorlagen für Tabellenkalkulationen in GeoGebra als auch in Excel verwendet. Der Hintergrund dafür ist, dass für die komplexen Rechnungen und Verknüpfungen die grundlegenden Funktionen der GeoGebra-Tabellenkalkulation nicht ausreichen, weshalb dafür das umfangreichere Programm Excel verwendet wird. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Damit für die Lernenden ein möglichst großer Lerngewinn und Kompetenzaufbau durch die Lernumgebung erfolgen kann, sollen Lehrende die digitale Lernumgebung als innovative Lehrmethode reflektiert in ihren Unterricht einbauen können. Dazu sollen digitale Endgeräte mit Internetzugang zur Verfügung stehen und die Lernumgebung vor Verwendung erprobt werden (3.1 Lehren). Wichtig zur erfolgreichen Implementierung der digitalen Lernumgebung in den Unterricht ist, dass sichergestellt wird, dass alle Lernenden Zugang zu den erforderlichen digitalen Endgeräten mit Internetzugang haben. Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler bei der Handhabung unterstützt werden, damit unterschiedliche Voraussetzungen und Vorkenntnisse kein Hindernis in der Benutzung der digitalen Endgeräte und der digitalen Lernumgebung darstellen. Beide Punkte sollen von Lehrenden sichergestellt werden (5.1 Zugang und Inklusion). Lehrende sollen die Differenzierungsmöglichkeiten, die in der digitalen Lernumgebung in Form von optionalen Hilfestellungen zur Verfügung gestellt werden, geeignet und zielführend in ihren Unterricht einbauen können (5.2 Differenzierung und Personalisierung). Weiterhin sollen Lehrende verschiedene Lernformen (kooperatives und selbstreguliertes Lernen) und Kompetenzerwerbsprozesse (Informations- und Medienkompetenz) der Lernenden, die durch die Lernumgebung initiiert werden, unterstützen und fördern. Dazu müssen sie die Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Medienkompetenz unter anderem bei der Analyse und Verarbeitung von Datensätzen mit digitalen Hilfsmitteln wie Simulationen und Tabellenkalkulationsprogrammen unterstützen. Aus diesem Grund sollen auch Lehrende Kompetenzen in diesen Bereichen aufweisen (3.3 Kooperatives Lernen, 3.4 Selbstreguliertes Lernen, 6.1 Informations- und Medienkompetenz). Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Modellierungskompetenz durch Bearbeitung der stochastischen Sportwetten-Modellierung. vertiefen ihre fachliche Kompetenz in den Bereichen der bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Baumdiagramme und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Pfadregeln. interpretieren Sportwettenquoten unter mathematischen Gesichtspunkten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler analysieren und interpretieren den Datensatz der Sportwettenquoten vor dem Hintergrund der Notwendigkeit für die gegebene Aufgabenstellung. erkennen den Mehrwert der Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen bei der Bearbeitung von Datensätzen. übersetzen ihre mathematischen Überlegungen in die bereitgestellten GeoGebra-Simulationen und nutzen die Simulationen zur Visualisierung von komplexen Inhalten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich bei der Bearbeitung der Aufgabenstellung gegenseitig. beschreiben ihr Vorgehen bei der Aufgabenlösung dem Partner oder der Partnerin und argumentieren hinsichtlich der Vereinfachung der Situation und der Plausibilität der Modellierung. dokumentieren Lösungen schriftlich und stellen sie verständlich dar. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler reflektieren das aufgestellte Modell und die daraus gewonnenen Ergebnisse kritisch. verwenden Daten und Informationen zur Aufgabenlösung zielgerichtet. erkennen den Nutzen von digitalen Medien bei der Visualisierung von und dem Umgang mit Datensätzen. lernen die mathematische Modellierung als Möglichkeit zur Bearbeitung interdisziplinärer Fragestellungen kennen. Literaturhinweise Die Materialien wurden auf Grundlage folgender Publikationen erstellt: Siller, H.-S., Maaß, J. (2009). Fußball EM mit Sportwetten. In: Brinkmann, A., Oldenburg, R. (Hrsg.). Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 14 (S. 95–112), Franzbecker: Hildesheim. Maaß, J., Siller, H.-S. (2015). Wettbetrug – ein aktuelles und realitätsbezogenes Thema zum mathematischen Modellieren. In: Maaß, J., Siller, H.-S. (Hrsg.). Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 2, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 79–85), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-05003-0_1 Siller, H.-S.; Habeck, D.; Salih, A.; Fefler, W. (2015). Sportwetten und Großereignisse als Chance für den Mathematikunterricht. Praxis der Mathematik in der Schule, Nr. 66, 57. Jg. (Dezember 2015), S. 42–46. Habeck, D., Siller, H.-S. (2017). Die 3-Punkte-Regel bei Fußballturnieren mathematisch analysiert – oder: Warum es wahrscheinlicher ist die Hauptrunde mit 5 Punkten anstatt mit 6 Punkten zu erreichen. In: Stochastik in der Schule. Heft 3, S. 2–7. Siller, H.-S., Maaß, J. (2018). Fußball EM mit Sportwetten. In: Siller, H.-S., Greefrath, G., Blum, W. (Hrsg.): Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 4, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 343–356), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-17599-3_25

In dieser Unterrichtseinheit wird anhand verschiedener Beispiele zu ein- und mehrstufigen Raketen aufgezeigt, wie es zum einen möglich wird, Satelliten in eine erdnahe Umlaufbahn zu bringen und zum anderen, welche Voraussetzungen gegeben sein müssen, um den Anziehungsbereich der Erde – beispielsweise für Flüge zum Mond – zu verlassen. Dazu werden die kosmischen Geschwindigkeiten herangezogen, wobei die 3. kosmische Geschwindigkeit es auch ermöglicht, die Anziehungsbereiche von Erde und Sonne zu verlassen. Dieses Material ist eine direkte Anknüpfung an die Unterrichtseinheit "Raketenphysik: Herleitung der Raketengrundgleichung" . An verschiedenen Beispielen mit ein- bis dreistufigen Raketen wird den Lernenden gezeigt, wie man die Raketengrundgleichung für die verschiedenen Aufgabenstellungen anwenden kann. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler neben machbaren und bereits vielfältig durchgeführten Missionen mit Raketen zum Mond und auch zum Mars die Grenzen der Raumfahrt kennen. So erfahren sie, dass interstellare Missionen mit Raketen in die tiefen und extrem weit entfernten Bereiche des Weltalls auch in Zukunft – trotz ständig sich verbessernder technischen Möglichkeiten – aufgrund physikalischer Gegebenheiten wohl nicht möglich sein werden. Raketenphysik: Bedeutung für den Unterricht Die große Bedeutung von Impuls und Impulserhaltungssatz kommt gerade beim Raketenflug im Weltraum voll zum Tragen. So kann gezeigt werden, dass Bewegungen im luftleeren Weltraum allein durch die im Impulserhaltungssatz enthaltenen Gesetzmäßigkeiten ablaufen – auch ohne die uns vertrauten irdischen Kräfte, wie zum Beispiel die Reibungskraft, die für eine Fortbewegung beim Gehen oder Fahren unbedingt nötig sind. Vorkenntnisse Vorkenntnisse von Lernenden können insofern vorausgesetzt werden, dass die Nutzung des Weltraums durch stationäre und uns permanent umkreisende Satelliten ebenso bekannt sein sollte – zum Beispiel die internationale Raumstation ISS , die unsere Erde in einem 90-minütigen Turnus umkreist. Didaktische Analyse Die Möglichkeit der Fortbewegung im luftleeren Raum durch Raketen bildet die Basis für prinzipielle Möglichkeiten zu Raketenflügen über große Distanzen. Allerdings dürfen die physikalischen Grenzen und damit verbundenen technischen Möglichkeiten beim Verlassen – etwa des Sonnensystems – nicht übersehen werden. Methodische Analyse Flüge zum Mond wurden nur möglich durch den Bau mehrstufiger Raketen wie der über 100 m hohen Saturn V Rakete der amerikanischen NASA – mit einstufigen Raketen wäre der Mond nicht zu erreichen gewesen. Diese physikalischen Notwendigkeiten genau zu erläutern, ist von entscheidender Bedeutung für das Verständnis der physikalischen Gegebenheiten und Unterschiede zwischen dem Aussetzen von erdnahen Satelliten und Flügen, mit denen man die Anziehungskraft der Erde und eventuell auch der Sonne überwinden muss. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler kennen die Abläufe und Unterschiede bei Raketenflügen in die verschiedenen Regionen des Weltalls. können die unterschiedlichen Fragestellungen mit mathematisch präzisen Formeln unterlegen. wissen um die Bedeutung von Differential- und Integralrechnung für die Raketenphysik. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten, Hintergründe und Kommentare im Internet. können die Inhalte von Videos, Clips und Animationen auf ihre sachliche Richtigkeit hin überprüfen und einordnen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Paar- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. setzen sich mit den Ergebnissen der Mitschülerinnen und Mitschüler auseinander und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erwerben fachliches Wissen, um mit anderen Lernenden, Eltern und Freunden wertfrei diskutieren zu können.

Die Einführung des Vektorbegriffs und damit die Vektorrechnung wird in dieser Unterrichtseinheit durch dreidimensionale Animationen mit GeoGebra unterstützt und somit die Anschaulichkeit erhöht.Die hier vorgestellte Lernumgebung hilft den Schülerinnen und Schülern der Oberstufe, die komplexe Problematik der Vektorrechnung schrittweise und weitgehend selbstständig zu erarbeiten. Die Lernenden erkennen dabei den Umgang mit Vektoren als wichtiges Mittel zur Darstellung geometrischer (insbesondere linearer) Gebilde und zur Lösung geometrischer Aufgaben. Die Unterrichtseinheit steht als interaktives Arbeitsblatt mit sechs Übungen zur Verfügung und kann unter diesem Link bearbeitet werden. Die im Material integrierten GeoGebra-Dateien stehen für Sie als Lehrkraft zusätzlich als Download zur Verfügung. So können die Dateien auch über die interaktiven Arbeitsblätter hinaus verwendet werden. Passend zu dieser Einheit gibt es vom Autor weitere interaktive Arbeitsmaterialien zu den folgenden Themen: Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren und das Skalarprodukt Kreuzprodukt von Vektoren Spatprodukt von Vektoren Anwendung der Vektorrechnung Der hier vorgestellte interaktive Vektorkurs soll die Grundlage für die Arbeit mit Vektoren in der Oberstufe legen. Der Kurs führt die Schülerinnen und Schüler über einzelne Kapitel und interaktive Übungen zum sicheren Umgang mit der Vektorrechnung. Zunächst wird der Vektorbegriff erläutert und anschließend die Definition eines Vektors beschrieben. Dieser wird dann zwei- und dreidimensional anhand verschiedener Beispiele und Veranschaulichungen erläutert und vertieft. Mithilfe von vier Übungen werden die Inhalte gefestigt. Zu den Übungen stehen jeweils Lösungen für die Lernenden bereit. Im Anschluss erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler noch die Ortsvektoren und Repräsentanten. Hier geht es um die Vermittlung der Einsicht, dass alle Ortsvektoren durch unendlich viele Repräsentanten im Raum dargestellt werden können. Die Ermittlung von Repräsentanten mittels vorgegebener Anfangs- beziehungsweise Endpunkte ist der Schwerpunkt der dazugehörigen interaktiven Übungen. Für diesen Themenabschnitt stehen zwei Übungen bereit. Die Lernenden können die Arbeitsblätter in Einzel- oder Paararbeit nutzen. Vorwissen und technische Voraussetzungen Bei der Einführung des interaktiven Arbeitsblattes sollte der Umgang mit GeoGebra erläutert werden, falls die Software den Lernenden nicht bekannt ist. Diese kann zum Beispiel mithilfe eines Beamers durchgeführt werden. Für die Nutzung der Übungen zur Einführung der Vektorrechung bedarf es Tablets oder Computer mit einer Internetverbindung, da die Informationstexte, Grafiken, Videos, Applets und 3D-Animationen in einer HTML-Seite eingebunden sind. Alle 3D-Konstruktionen (die mit dem 3D Rechner von GeoGebra erstellt worden sind) können mit der GeoGebra-App auch in Augmented Reality betrachtet werden. So kann man diese Konstruktionen direkt in den Klassenraum holen. Fachbezogene Kompetenzen für den Grundkurs Die Schülerinnen und Schüler lernen die Begriffe Koordinatensystem, Vektor und Betrag eines Vektors kennen. lernen die Begriffe Ortsvektor und Repräsentant eines Vektors kennen. berechnen den Betrag eines Vektors und bestimmen Ortsvektoren und Repräsentanten. Erweiterte Lernziele für den Leistungskurs Die Schülerinnen und Schüler wiederholen eigenverantwortlich Grundkenntnisse zu Vektoren. interpretieren mithilfe des Computers räumliche Darstellungen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Vektordarstellungen mithilfe des Computers oder Tablets. verwenden dynamische Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien).