Dateien im MP3-Format sind heutzutage sehr verbreitet. Dass hinter MP3 jede Menge interessante Mathematik steht, ist vielen nicht bewusst. Wer kennt nicht MP3-Dateien? Mit ihnen ist es möglich, große Mengen von Musik auf kleinstem Raum zu speichern und wieder abzuspielen: denn mit MP3 kann man den Speicherplatz, den man benötigt, um eine Audiodatei zu speichern, auf einen Bruchteil reduzieren. Auf modernen MP3-Playern von der Größe einer Streichholzschachtel ist es möglich, bis zu 200.000 Minuten Musik (das entspricht 130 Tagen) zu speichern. Diese Unterrichtseinheit soll einige der Prinzipien, auf denen MP3 basiert, näher beleuchten und allgemein verständlich darstellen. Dies umfasst biologische, physikalische und mathematische Aspekte. Ausgehend von verschiedenen Hörbeispielen zur Einführung werden die mathematischen Grundlagen betrachtet, die hinter der Zerlegung von Frequenzen liegen. Prinzip von MP3 und Grundlagen Wie lassen sich große Datenmengen von Video- und Audiodateien im MP3-Format platzsparend speichern? Was hört das menschliche Ohr - und was nicht? Die Grenzen des menschlichen Gehörs und welche Rolle dabei der verdeckende Schall und der verdeckte Schall spielen. Prinzip der Multiskalenanalyse Zerlegt man musikalische Töne in ihre Einzelfrequenzen, müssen ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachtet werden. Multiskalenanalyse mithilfe von Rechteckschwingungen Tonsignale lassen sich auch in Rechteckschwingungen zerlegen, deren Skala zunehmend gröber wird. Huffman-Codierung Um in MP3 die verbliebenen Informationen effizient abzuspeichern, nutzt man die Huffman-Codierung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Prinzipien, auf denen MP3 basiert, kennen lernen. ein grundlegendes Verständnis für das Hören von Tönen und Klängen entwickeln. einige Grenzen des menschlichen Gehörs kennen lernen. das Prinzip der Zerlegung eines Klanges in Einzelfrequenzen am Beispiel einer Multiskalenanalyse nachvollziehen. Thema MP3 - ein Beispiel für angewandte Mathematik im Alltag Autoren Dr. Anton Schüller, Prof. Dr. Ulrich Trottenberg, Dr. Roman Wienands Fach Mathematik, Physik, Biologie oder Differenzierungsbereich Mathematik/Naturwissenschaft Zielgruppe ab Klasse 8 oder im Rahmen eines Projektkurses in der Oberstufe Zeitraum 3 bis 4 Stunden oder im Rahmen einer Projektwoche Technische Voraussetzungen Computer mit Soundkarte, Software zur Wiedergabe von Audio- und Videodateien im avi-Format, zum Beispiel Windows Media Player oder Real Player MP3 ist eine Abkürzung von MPEG Audio Layer 3, wobei MPEG für Moving Picture Experts Group steht, die 1988 gegründet wurde, um einen Standard für die effiziente Kodierungvon Videocodes zu entwickeln. MP3 basiert auf dem Prinzip, dass nur der Anteil von einem Musikstück gespeichert werden muss, den das menschliche Ohr auch hören kann. Dies mag auf den ersten Blick ein wenig überraschend klingen. Hören wir denn nicht alles, was in einem Musikstück enthalten ist? Tatsächlich ist das menschliche Ohr nicht in der Lage, alle Details, die in einem Musikstück enthalten sind, wahrzunehmen. Zur Einführung in das Thema eignet sich das Zeigen der Audio-Video-Datei audio_video_kompression.avi. Hier wird gleichzeitig an einem visuellen und auditiven Beispiel demonstriert, wie sich die Qualität von Bildern und Musik verändert, wenn man die zugehörigen Dateien immer weiter komprimiert. Bei der Datenkompression bleibt die Qualität für die menschliche Wahrnehmung zunächst erhalten und man spart große Mengen Speicherplatz. Irgendwann werden jedoch die Qualitätsverluste bemerkbar. Komprimiert man dann immer noch weiter, so verschlechtert sich die Qualität dramatisch. Wieso können wir überhaupt das hören, was jemand sagt, der einige Meter von uns entfernt ist? Der Grund hierfür ist das physikalische Phänomen des Schalls. Schall entsteht, weil die Moleküle eines Mediums (zum Beispiel Luft) zum Schwingen gebracht werden. Dadurch stoßen sie an benachbarte Moleküle, bringen auch diese ins Schwingen und so weiter. Abb. 1 (bitte anklicken) zeigt eine Animation der Molekülbewegungen. Solch eine (mechanische) Schwingung breitet sich in festen, flüssigen oder gasförmigen Stoffen wellenförmig aus. Schall breitet sich als sogenannte Longitudinalwellen aus, also immer parallel zur Ausbreitungsrichtung. Die Animation in Abb. 2 (bitte anklicken) verdeutlicht dies. Entsteht ein Ton dadurch, dass eine Gruppe von Molekülen ganz regelmäßig hin und her schwingt, beispielsweise 400 mal pro Sekunde, so sagen wir auch, der Ton hat eine Frequenz von 400 Hertz, das heisst die Schwingung erfolgt 400 mal pro Sekunde. Das menschliche Ohr kann nur Töne wahrnehmen, die zwischen etwa 16 und 20.000 Hertz liegen. Ist c die Schallgeschwindigkeit in einem Medium, f die Frequenz einer Schallwelle (das heißt einer sich wellenförmig ausbreitenden Schwingung) und λ (sprich lambda) die Wellenlänge, so gilt c = λ * f Sind zwei dieser drei Größen bekannt, so kann man die dritte hiermit berechnen. Je weiter die Moleküle in der Luft hin und her schwingen, desto lauter ist der Ton. Die Lautstärke beschreibt also den Unterschied zwischen Berg und Tal der Schwingung. Geräusche haben keine exakt bestimmbare Tonhöhe mehr. Sie sind nichtperiodische Schallereignisse, die durch Überlagerungen vieler Schwingungen unterschiedlicher Frequenz mit rasch wechselnder Amplitude entstehen. Mit anderen Worten: "Der Unterschied von Ton/Klang zu Geräusch ist in der Regelmäßigkeit der Schwingung zu finden. Bei einem Geräusch ist die Schwingbewegung der Luft sehr ungleichmäßig, bei Tönen dagegen handelt es sich um immer wiederkehrende gleichförmige Luftbewegungen". Alles, was wir hören, besteht aus Überlagerungen von Schwingungen, die sich in einem Medium wie der Luft wellenförmig ausbreiten. Diese wellenförmige Ausbreitung bedeutet physikalisch gesehen, dass das menschliche Ohr Druckschwankungen wahrnimmt, die aus einer Überlagerung von Schwingungen unterschiedlichster Frequenzen resultieren. Diese Druckschwankungen führen zu einem entsprechenden Schwingen des Trommelfells. Das menschliche Ohr ist wiederum imstande, dieses Schwingen des Trommelfells über Sinneshaare im Innenohr, die auf unterschiedliche Frequenzen spezialisiert sind, in einzelne Tonfrequenzen zu zerlegen und als Nervenreize an das Gehirn weiterzuleiten. Diese werden dann vom Gehirn als Töne, Klänge und Geräusche interpretiert. Grenzen des menschlichen Gehörs: Abb. 3 zeigt Hörschwelle, Schmerzgrenze, Musik- und Sprachwahrnehmbarkeit in Abhängigkeit von der Frequenz. Nach rechts ist die Frequenz und nach oben die Lautstärke (in der Maßeinheit "Dezibel") aufgetragen. Man beachte dabei, dass "Dezibel" eine logarithmische Maßeinheit ist. Wegen log 1 = 0 bedeutet 0 Dezibel gerade nicht, dass völlige Stille herrscht. In Abb. 4 werden die Grenzen des menschlichen Gehörs deutlich: Die Hörschwelle wird angehoben durch die Anwesenheit von Tönen mit einer Frequenz von 1 kHz und verschiedenen Lautstärken (in jeweils unterschiedlichen Farben dargestellt). mp3 macht sich zunutze, dass die akustischen Informationen, die das menschliche Ohr überhaupt nicht wahrnehmen kann, auch nicht abgespeichert werden müssen. Für MP3 müssen also die Tonsignale wieder in die einzelnen Frequenzen zerlegt werden, aus denen sie zusammengesetzt sind. Anschließend werden die Anteile, die für das menschliche Gehör ohnehin nicht wahrnehmbar sind, aus der Frequenzdarstellung entfernt, denn nur die hörbaren Anteile müssen überhaupt gespeichert werden. In den Videoclips wird demonstriert, wie MP3 funktioniert. An diesen Hörbeispielen wird deutlich, dass man im MP3-Format nur einen kleinen Teil der ursprünglichen Frequenzen zu speichern braucht. Den überwiegenden Rest der Informationen kann man weglassen, ohne dass das menschliche Ohr einen Unterschied zur Originalversion wahrnimmt. Die Töne im weißen Bereich des dritten Beispiels (musikbeispiel_orig_minus_mp3.avi) werden in der Originalversion durch andere dominantere Töne überdeckt und werden somit im Gesamtzusammenhang des Musikstücks nicht wahrgenommen. Erst wenn die dominanten Töne wegfallen, werden die restlichen Töne für das menschliche Ohr hörbar. Musikalische Töne bestehen aus einer Überlagerung einer Vielzahl von Schwingungen. Wie zuvor bereits erläutert, sind nur die Schwingungen mit Frequenzen zwischen etwa 20 und 20.000 Hertz für den Menschen hörbar. Der Faktor zwischen den niedrigsten und den höchsten hörbaren Frequenzen beträgt damit immerhin 1.000 = 10³, also 3 Zehnerpotenzen. Wenn wir also musikalische Töne wieder in die darin enthaltenen Einzelfrequenzen zerlegen wollen, müssen wir ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachten. Da die Frequenzen in einem bestimmten Medium wie der Luft in direktem Zusammenhang mit den zugehörigen Wellenlängen stehen (wie in der Gleichung zu Prinzip von MP3 und Grundlagen ), können wir ganz analog auch sagen, wir müssen ganz unterschiedliche Skalen von Wellenlängen betrachten. Eine derartige Multiskalenanalyse ist durchaus nicht ungewöhnlich, wenn man die Eigenschaften von Objekten beobachten oder analysieren will. Anhand von zwei Beispielen wird das Prinzip der Multiskalenanalyse verdeutlicht. Im ersten Beispiel wird eine Multiskalenanalyse durch fortgesetzte Mittelwertbildung für eine gegebene Zahlenfolge durchgeführt. Im zweiten Beispiel betrachten wir die Zerlegung eines Tonsignals in sogenannte Wavelets, was der Zerlegung in Rechteckschwingungen entspricht. Wir betrachten als Beispiel folgende Zahlenfolge von Quadratzahlen: 0 1 4 9 16 25 36 49. Fassen wir die Zahlen in Paare zusammen und bilden die Mittelwerte dieser Paare, so erhalten wir die Folge 0,5 6,5 20,5 42,5. Fassen wir diese Zahlen ebenfalls wieder zu Paaren zusammen und bilden die Mittelwerte der Paare, so erhalten wir die Folge 3,5 31,5. Für dieses Zahlenpaar haben wir den Mittelwert 17,5. Wir haben jetzt die ursprüngliche Zahlenfolge in mehrere Skalen von Mittelwerten überführt: Um von einer Mittelwertskala wieder zur vorhergehenden zu gelangen, benötigen wir die Abweichungen der Mittelwerte von den zugehörigen Werten auf der vorigen Skala: 17,5 - 14 = 3,5 beziehungsweise 17,5 + 14 = 31,5 Entsprechend auf der nächstgröberen Skala: 3,5 - 3 = 0,5 3,5 + 3 = 6,5 31,5 - 11 = 20,5 31,5 + 11 = 42,5 Ganz analog können wir auch von der feineren Skala von Mittelwerten zu unserer ursprünglichen Folge zurückkehren: Die gröbste Skala von Mittelwerten und diese Abweichungen können wir uns wie in folgendem Schema merken. Hier ist zusätzlich die ursprüngliche Zahlenfolge nochmals mit aufgeführt: Zu den ursprünglichen Zahlen zurück kommen wir jetzt, indem wir den Mittelwert auf der gröbsten Skala und die entsprechenden gespeicherten Abweichungen auf allen feineren Skalen einfach addieren. Ein Beispiel: Annäherung an die Funktion durch Balken Um Tonsignale in Rechteckschwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu zerlegen, können wir ganz analog vorgehen. Abb. 9 zeigt links eine Funktion, die wir in Rechteckschwingungen zerlegen wollen. Da wir den Funktionsverlauf in der Praxis oft nicht genau kennen, sondern nur an bestimmten Werten messen, nähern wir die Funktion durch die einzelnen Messwerte an. Diese Messwerte werden durch die gefärbten Balken wiedergegeben. Multiskalenanalyse in beide Richtungen möglich Auf der rechten Seite der Abbildung 9 ist der umkreiste Ausschnitt der Funktion vergrößert dargestellt. Wir erläutern das Prinzip unserer Multiskalenanalyse im Folgenden anhand dieses Ausschnitts. Vergröberung der Skalen Die linke Skizze in Abb. 10 zeigt, dass wir wie im vorangegangenen Abschnitt bei der Prinzip der Multiskalenanalyse wieder Mittelwerte der gemessenen Funktionswerte bilden, um auf die nächstgröbere Skala zu kommen. Dieses Vorgehen können wir fortsetzen, um auf gröbere Skalen zu kommen. Die mittlere Grafik von Abb. 10 zeigt den Mittelwert auf der entsprechenden nächstgröberen Skala. Verfeinerung der Skalen Aber auch die andere Richtung ist denkbar: Zurück zur feinen Skala der Funktion können wir wieder kommen, indem wir wieder die Abweichungen zum Mittelwert hinzu addieren. So erhalten wir wieder die ursprünglichen Messwerte der Funktion zurück. Betrachten wir jetzt die rechte Seite in dieser Abbildung genauer, so stellen wir fest, dass wir tatsächlich unseren Funktionsausschnitt in eine Folge von Rechteckschwingungen zerlegt haben. Abweichungen entsprechen der Rechteckschwingung Dabei sind wir ganz genauso vorgegangen wie bei der Multiskalenanalyse unserer Zahlenfolge im vorangegangenen Abschnitt ( Prinzip der Multiskalenanalyse ). Die Zahlenfolge dort können wir auch auffassen als Messwerte für die Funktion f(x) = x 2 . Daher haben wir auch dort bereits eine Zerlegung dieser Funktion in Rechteckschwingungen durchgeführt. Dies wird deutlich, wenn wir die Abweichungen auf den einzelnen Skalen nochmals genauer betrachten. Wir stellen dabei fest, dass je zwei dieser Abweichungen den gleichen Betrag haben, sich aber im Vorzeichen unterscheiden; so können z.B. die Werte ?3 und +3 auf der zweitfeinsten Skala von Abweichungen als eine Rechteckschwingung (der Höhe 3) aufgefasst werden. Prinzip der Codierung Wie bereits zu Beginn dieser Unterrichtseinheit erwähnt wurde, kann das menschliche Ohr insbesondere in polyphoner Musik (wenn viele Töne gleichzeitig erklingen und sich überlagern) viele Informationen nicht wahrnehmen. Daher werden die unhörbaren Anteile in MP3 nur ungenau gespeichert. Zusätzlich wird eine weitere Reduktion des zu speichernden Datenvolumens dadurch erreicht, dass man eine sogenannte Huffman-Codierung verwendet. Die Idee der Huffman-Codierung lässt sich am Beispiel der Codierung eines Textes einfach beschreiben: In einem Text kommen Buchstaben unterschiedlich häufig vor, in der deutschen Sprache beispielsweise das "e" viel häufiger als das "y". Deshalb verwendet man einen sehr kurzen Code für häufig vorkommende Buchstaben, längeren Code hingegen für Buchstaben, die nur selten vorkommen. Gleichzeitig ist aus einer Huffman-Codierung die ursprüngliche Information schnell, eindeutig und exakt reproduzierbar. Beispiele für Codierungen Ein Beispiel für eine derartige Codierung ist das Morsealphabet. Ein negatives Beispiel ist hingegen das Tippen einer SMS. Hier muss für häufig verwendete Buchstaben wie zum Beispiel "e" oder "n" zweimal gedrückt werden. Übertragen auf die Musik bedeutet dies: Meist besteht das ungenau zu speichernde Frequenzspektrum aus wenigen großen und vielen (also häufiger vorkommenden) kleinen Werten (Quantisierungswerte). Die Huffman-Codierung sorgt dann dafür, dass die digitalisierte Darstellung dieses Tons nur sehr wenig Speicherplatz einnimmt. Im Zusammenhang mit mp3 reduziert die Huffman-Codierung den Speicherplatz spürbar. Helmut Neunzert Einführungsvortrag auf dem Kongress Mathematik in der Praxis, Berlin, März 2009.

Wahrscheinlichkeiten sind in der Quantenphysik für die Beschreibung und Berechnung vieler Abläufe von entscheidender Bedeutung. Dabei wird die sogenannte Zeigerdarstellung für Schülerinnen und Schüler zu einem sehr gut nachvollziehbaren Instrument, mit dem man auf relativ einfache Art und Weise Wahrscheinlichkeiten für das Auffinden eines Quantenobjektes an einem gegebenen Ort durch Konstruktion und Abmessen der jeweiligen Zeigerlänge bestimmen kann. Ausgehend von Kenntnissen zur Vektoraddition werden die Lernenden damit vertraut gemacht, wie man in Abhängigkeit der Phasendifferenzen von sich an einer bestimmten Stelle überlagernden Quantenobjekt durch Zeigerkonstruktion eine resultierende Wahrscheinlichkeitsamplitude erstellen kann. Durch das bereits bekannte Quadrieren dieser Größe lassen sich relative Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Orte ermitteln, die aber, trotz der Einfachheit der Bestimmung, sehr aussagekräftig sind. Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik mit der Zeigerdarstellung berechnen Mithilfe der Zeigerdarstellung wird die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik für die Lernenden anschaulicher und nachvollziehbarer. Der abstrakte Wellenbegriff, der bei Quantenobjekten (QO) beim Durchgang durch Mehrfachspalte zur Anwendung kommt, wird durch die wellenförmige Zeigerbewegung geometrisch so dargestellt, dass sie mit bereits aus anderen Teilbereichen der Physik bekannten Gesetzmäßigkeiten gut verstanden werden kann. Vorkenntnisse Physikalische Vorkenntnisse sind dahingehend gegeben, dass die vektorielle Addition – etwa von Kräften – hinreichend bekannt ist. Die Umsetzung auf QO in der Quantenphysik sollte deshalb keine zu großen Schwierigkeiten machen. Didaktische Analyse Mit dem Thema "Zeigerdarstellung in der Quantenphysik" kann ein nur schwer zu verstehender Bereich der Physik – zumindest bei der Vermittlung der wichtigsten Grundlagen – gut erläutert werden und damit sehr hilfreich sein. Methodische Analyse Die "Zeigerdarstellung in der Quantenphysik" stellt für die Lernenden eine sehr gute Möglichkeit dar, ein insgesamt sehr komplexes und schwieriges Thema mit einem einfachen und gleichzeitig aber sehr anschaulichen "Hilfsmittel" gut verstehen zu können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können das wellenförmige Verhalten von Quantenobjekten mit der Zeigerdarstellung beschreiben und einfache Berechnungen ausführen. wissen um die Bedeutung der Zeigerdarstellung für das Verständnis der grundlegenden Gesetzmäßigkeiten der Quantenphysik. bekommen mithilfe der Zeigerdarstellung eine konkrete Vorstellung für die Bedeutung der Wellenfunktion in der Quantenphysik. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten und Hintergründe im Internet. können die Sachinhalte von Videos, Clips und Applets auf ihre Richtigkeit überprüfen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Paar- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. müssen sich mit den Ergebnissen anderer Gruppen auseinandersetzen und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erwerben eine gewissen Fachkompetenz, um mit anderen Lernenden, Eltern, Freunden etc. diskutieren zu können.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Kaufvertragsstörungen im Beschaffungs- und Absatzbereich wird die Magische Wand als Lernerfolgskontrolle und Mittel der spielerischen Vertiefung genutzt.Die Schülerinnen und Schüler lernen durch dieses Quiz eine neue Art der Stoffwiederholung kennen, die ihnen Spaß am Lernen vermittelt. Der Schwerpunkt der Unterrichtsstunde liegt auf der spielerischen Wiederholung und Übung der bisherigen Lerninhalte als Vorbereitung auf die anstehende Klassenarbeit.Das Thema der geplanten Unterrichtseinheit wird legitimiert durch die vorläufigen Richtlinien für die Höhere Berufsfachschule - Typ Wirtschaft und Verwaltung - und ist dort dem Themenbereich "Vertragsrecht am Beispiel von Kaufvertrag und Arbeitsvertrag" zuzuordnen. Rahmenbedingungen und Spielablauf Thematische Einordnung Der hier vorgestellten Unterrichtsstunde ging die Behandlung folgender Inhalte voran: Mängelarten Rechte des Käufers bei Schlechtleistung Voraussetzungen und Rechte des Käufers bei Nicht-Rechtzeitig-Lieferung Voraussetzungen und Rechte des Verkäufers bei Nicht-Rechtzeitig-Zahlung Voraussetzungen und Rechte des Verkäufers beim Annahmeverzug Reduktionsentscheidungen In dieser Unterrichtsstunde wurde die Komplexität des Themenbereiches Kaufvertragsstörungen in folgender Weise reduziert: Die Verjährungsfristen und das Mahnverfahren werden in dieser Stunde nicht betrachtet. Die Schüler brauchen nicht alle Antwortmöglichkeiten zu geben. Es reicht aus, wenn sie beispielsweise zwei der vier möglichen Lösungen geben können. Die Aufgaben und Fälle sind so konstruiert, dass sie in der vorgegebenen Zeit bearbeitet werden können. Stoffinhalte überschaubar Die Stoffinhalte sind für die Schülerinnen und Schüler überschaubar. Die Magische Wand beinhaltet ausschließlich Fragen aus dem Themenbereich Kaufvertragsstörungen. Die einzelnen Kaufvertragsstörungen wurden in den vorangegangenen Stunden ausführlich behandelt. Gruppen Häufig fällt es Schülerinnen und Schülern schwer, sich an Regeln zu halten. Gerne geben sie ihr Wissen kund, obwohl ein anderer Schüler an der Reihe ist. Durch den Wettkampfgedanken und die Sanktionen bei Falschantworten soll das Einhalten der Regeln gefördert werden. Durch die Gruppeneinteilung (in etwa gleich starke Teams) durch die Lehrperson wird einem Leistungsgefälle in den Gruppen entgegengewirkt. Überprüfen des eigenen Kenntnisstands Während die beiden Schülergruppen im Rahmen eines Wettbewerbes gegeneinander antreten, wird das Spiel von der Lehrkraft geleitet. Die Schülerinnen und Schüler erhalten einen Kontroll- und Beobachtungsbogen, auf dem sie festhalten, bei welchen Fragen sie noch Defizite feststellen und welche Fragen sie mühelos beantworten konnten. Hierdurch wird gewährleistet, dass sich die Schülerinnen und Schüler bei der Vorbereitung auf die Klassenarbeit ihre Defizite noch einmal vor Augen halten können. Spielregeln Die beiden Gruppen wechseln sich mit der Beantwortung der Fragen ab. Dabei wird die Bearbeitung der Aufgaben aber gleichzeitig in beiden Gruppen erfolgen, so dass zum einen bei einer Falschantwort die andere Gruppe die Möglichkeit hat, die Aufgabe zu lösen; zum anderen wird somit auch für die andere Gruppe der Übungscharakter sichergestellt. Der Punktegewinn wird in Form von "Werttalern" an die Gruppen bei richtiger Beantwortung der Frage ausgeteilt. Bei Falschantwort hat die Gegenpartei die Möglichkeit, die Frage zu beantworten und erhält dann die Punkte. Das Spiel ist beendet, wenn alle Fragen beantwortet wurden oder die Zeit von 20 Minuten abgelaufen ist. Nach Spielablauf wird die Siegergruppe durch Addition der "Werttaler" ermittelt.Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Wissen hinsichtlich der Voraussetzungen und Rechte bei vorliegenden Kaufvertragsstörungen. überprüfen, ob sie die für die Klassenarbeit relevanten Inhalte beherrschen. sollen durch die gemeinsame Beantwortung der Fragen ihr Sozialverhalten durch die Vorgabe beziehungsweise Einhaltung der Spielregeln üben. treffen gemeinsam eine Lösungsentscheidung. Thematische Einordnung Der hier vorgestellten Unterrichtsstunde ging die Behandlung folgender Inhalte voran: Mängelarten Rechte des Käufers bei Schlechtleistung Voraussetzungen und Rechte des Käufers bei Nicht-Rechtzeitig-Lieferung Voraussetzungen und Rechte des Verkäufers bei Nicht-Rechtzeitig-Zahlung Voraussetzungen und Rechte des Verkäufers beim Annahmeverzug Reduktionsentscheidungen In dieser Unterrichtsstunde wurde die Komplexität des Themenbereiches Kaufvertragsstörungen in folgender Weise reduziert: Die Verjährungsfristen und das Mahnverfahren werden in dieser Stunde nicht betrachtet. Die Schüler brauchen nicht alle Antwortmöglichkeiten zu geben. Es reicht aus, wenn sie beispielsweise zwei der vier möglichen Lösungen geben können. Die Aufgaben und Fälle sind so konstruiert, dass sie in der vorgegebenen Zeit bearbeitet werden können. Stoffinhalte überschaubar Die Stoffinhalte sind für die Schülerinnen und Schüler überschaubar. Die Magische Wand beinhaltet ausschließlich Fragen aus dem Themenbereich Kaufvertragsstörungen. Die einzelnen Kaufvertragsstörungen wurden in den vorangegangenen Stunden ausführlich behandelt. Gruppen Häufig fällt es Schülerinnen und Schülern schwer, sich an Regeln zu halten. Gerne geben sie ihr Wissen kund, obwohl ein anderer Schüler an der Reihe ist. Durch den Wettkampfgedanken und die Sanktionen bei Falschantworten soll das Einhalten der Regeln gefördert werden. Durch die Gruppeneinteilung (in etwa gleich starke Teams) durch die Lehrperson wird einem Leistungsgefälle in den Gruppen entgegengewirkt. Überprüfen des eigenen Kenntnisstands Während die beiden Schülergruppen im Rahmen eines Wettbewerbes gegeneinander antreten, wird das Spiel von der Lehrkraft geleitet. Die Schülerinnen und Schüler erhalten einen Kontroll- und Beobachtungsbogen, auf dem sie festhalten, bei welchen Fragen sie noch Defizite feststellen und welche Fragen sie mühelos beantworten konnten. Hierdurch wird gewährleistet, dass sich die Schülerinnen und Schüler bei der Vorbereitung auf die Klassenarbeit ihre Defizite noch einmal vor Augen halten können. Spielregeln Die beiden Gruppen wechseln sich mit der Beantwortung der Fragen ab. Dabei wird die Bearbeitung der Aufgaben aber gleichzeitig in beiden Gruppen erfolgen, so dass zum einen bei einer Falschantwort die andere Gruppe die Möglichkeit hat, die Aufgabe zu lösen; zum anderen wird somit auch für die andere Gruppe der Übungscharakter sichergestellt. Der Punktegewinn wird in Form von "Werttalern" an die Gruppen bei richtiger Beantwortung der Frage ausgeteilt. Bei Falschantwort hat die Gegenpartei die Möglichkeit, die Frage zu beantworten und erhält dann die Punkte. Das Spiel ist beendet, wenn alle Fragen beantwortet wurden oder die Zeit von 20 Minuten abgelaufen ist. Nach Spielablauf wird die Siegergruppe durch Addition der "Werttaler" ermittelt.

In dieser Unterrichtseinheit zur organischen Chemie nutzen die Lernenden ein Molekül-Zeichenprogramm, recherchieren im Internet und führen selbst entwickelte Experimente durch, um der chemischen Natur der streichweichen Butter auf die Spur zu kommen. Das mit dem Schülerpreis der Deutschen Gesellschaft für Fettwissenschaften ausgezeichnete Material, das sich für den Präsenz- und Distanzunterricht eignet, gibt es hier mit Musterlösungen und einer Handreichung für Lehrkräfte mit nur einem Klick zum Download.Die Unterrichtseinheit "Warum ist die 'Kerrygold'-Butter so weich?" ermöglicht, ausgehend von einer Alltagsfrage, wissenschaftspropädeutisches Arbeiten im Unterricht. Die Schülerinnen und Schüler lernen den Unterschied zwischen qualitativen und quantitativen Experimenten kennen. Inhaltlich stehen Ester und die elektrophile Addition im Mittelpunkt. Exkurse zu Butter-Farbstoffen und Iodzahl sind möglich. Die Unterrichtseinheit wurde mit dem Schülerpreis der Deutschen Gesellschaft für Fettwissenschaften ausgezeichnet. Didaktische Analyse Diese Unterrichtseinheit ermöglicht im Rahmen des Themas Butter die Behandlung von ganz verschiedenen Inhalten und Methoden der Chemie, die vielleicht auf den ersten Blick keinen fachsystematisch sinnvollen Zusammenhang versprechen. Wählt man den Zeitpunkt der Unterrichtseinheit jedoch geschickt, kann man die kontextgebundene Einführung neuer Inhalte und fachwissenschaftlicher Methoden mit integrierten Wiederholungen, zum Beispiel zur Vorbereitung auf das Abitur oder auch im Rahmen eines Projektunterrichts, sehr schön verknüpfen. Das Material untergliedert sich in acht Teile mit unterschiedlichen Arbeits- und Rechercheaufträgen für Schülerinnen und Schüler. Dabei kommen verschiedenste Sozialformen und Zugänge zum Tragen, die es ermöglichen, gruppenspezifisch zu differenzieren und in Präsenz oder Distanz zu unterrichten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erleben, wie sich aus einer einfachen Frage eine kleine Forschungsreihe entwickelt. können einen Strukturformel-Editor nutzen, um auf molekularer Ebene Antworten auf eine chemische Fragestellung zu finden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren im Internet und wählen themenbezogene und aussagekräftige Informationen aus. können zwischen qualitativen und quantitativen Versuchen unterscheiden. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln gemeinsam ein Experiment.

Der Einsatz der Mittelwertfunktion bei der Tabellenkalkulation bildet eine Grundlage in den kaufmännischen Berufen. Daher bietet sich die Durchführung dieser Unterrichtseinheit in kaufmännischen Berufsschulklassen, der Berufsvorbereitung und in der Sekundarstufe II an. Nachdem die Schülerinnen und Schüler die Grundlagen der Tabellenkalkulation, wie Menüaufbau und Formatierung, sowie einige Funktionen wie Addition, Multiplikation und Summenfunktion gelernt haben, wird im Unterricht mit der Mittelwertfunktion die Berücksichtigung verschiedener Fälle innerhalb einer Formel erarbeitet. Die Tabellenkalkulation hat für kaufmännische Ausbildungsberufe und den Bürobereich eine wichtige Bedeutung. Die Mittelwertfunktion wird in verschiedenen Kontexten alltäglich zur Lösung vieler Probleme angewendet. Der fachliche Schwerpunkt besteht in der Erarbeitung und Anwendung der Mittelwertfunktion. Methodisch steht zunächst die Arbeit mit dem Computer (Tabellenkalkulation) und dann die Präsentation der Ergebnisse im Vordergrund. Auf eine Kombination von mehreren Funktionen (zum Beispiel Bildung einer Summe aus mehreren Durchschnittswerten) wird aus Gründen der Reduktion verzichtet. Die Relevanz des Themas ergibt sich aus der Tatsache, dass die Mittelwertfunktion zur Lösung vieler Probleme, insbesondere zur Berechnung von Kennzahlen, verwendet wird. Unterrichtsablauf Die didaktisch-methodischen Überlegungen beinhalten den Einsatz der Arbeitsmaterialien, die auch im tabellarischen Verlaufsplan eingesehen werden können. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Syntax der Mittelwertfunktion erarbeiten und Anwendungsmöglichkeiten erkennen und diese bei entsprechenden Problemfällen anwenden. die Mittelwertfunktion auf neue Problemstellungen übertragen. ihre Präsentationsfähigkeit entwickeln, beziehungsweise erweitern. durch die praktische Arbeit beim Erstellen einer Tabelle ihre Computerkenntnisse verbessern. Thema Mittelwertfunktion in der Tabellenkalkulation Autor Marius Mucyn Fach Wirtschaftsinformatik, Organisationslehre Zielgruppe kaufmännische Berufsschule, Berufsvorbereitung, Höhere Handelsschule, Wirtschaftsgymnasium Zeitumfang 1 Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen ein Computer für 2 Schülerinnen und Schüler, Tabellenkalkulatinsprogramm, Beamer Planung Mittelwertfunktion in Excel Die Problemstellung ist aus dem beruflichen Alltag der fiktiven Mediaworld e.K. gewählt. Das Beispiel kann auch im Hinblick auf eine andere Produktpalette variiert werden. Die Einstiegsfolie wird den Lernenden gezeigt und soll zum Gespräch anregen. Die Lehrkraft moderiert die Beschreibungen und die Diskussion. In Einzelarbeit sollen sich die Schülerinnen und Schüler über die Mittelwertfunktion informieren. In dieser Unterrichtsstunde wird mit MS-Excel gearbeitet. Es kann natürlich auch eine andere Tabellenkalkulationssoftware (zum Beispiel StarOffice- oder OpenOffice-Calc) gewählt werden. In diesem Fall müssen die Arbeitsblätter darauf abgestimmt werden. Im Anschluss an die Einzelarbeit erarbeiten die Lernenden die Syntax der Mittelwertfunktion im Plenum. Die Ergebnisse werden an der Tafel fixiert. Im Anschluss daran wird die Funktion auf die Problemstellung der Einstiegsfolie übertragen. Am Computer sollen die Lernenden dann die Funktion und die Werte in MS-Excel erstellen. Am Ende der Stunde sollen die Ergebnisse präsentiert werden. Ein oder mehrere Schülerinnen und Schüler tragen die Lösungen vor, die dann auf dem Aufgabenblatt festgehalten werden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Größenvorstellungen" beschäftigen sich die Lernenden mit den Einheiten der Länge. In den verschiedenen Übungen finden auch Textverarbeitungs- und Präsentationsprogramme Anwendung.Kinder nehmen ihre Umwelt aus anderen Perspektiven und oftmals in anderen Dimensionen wahr als Erwachsene. Die Größe eines Raumes, vielleicht aber auch Gegenstände aus ihrer Spielwelt, kommen ihnen möglicherweise "riesig" vor. Unterschiedliche Betrachtungsweisen führen zu verschiedenen Erkenntnissen. Das Arbeiten mit Größen - hier mit den Einheiten der Länge - bereitet vielen Kindern immer wieder Schwierigkeiten, vor allem hinsichtlich des Vorstellungsvermögens. Um diese Probleme schrittweise und systematisch abzubauen, sind regelmäßige über das Schuljahr verteilte Übungen und praktische Erfahrungen in verschiedenster Form hilfreich.Eine sehr wichtige Voraussetzung für die Arbeit mit Größen und Längenmaßen bildet die unmittelbare Anschauung und das praktische Umgehen mit den Dingen. Zusätzlich wenden die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit ihre bereits erworbenen Kenntnisse über den Einsatz von PowerPoint-Präsentationen an. Der "traditionelle" Mathematikunterricht wird mit dem Einsatz der neuen Medien verknüpft und ergänzt. Besonders zu benennen sind der Methodenwechsel, die Differenzierung, die Selbstkontrolle und der Bezug zur Lebenswelt der Kinder. Der Computer kann vielen Kindern auch noch einen zusätzlichen Motivationsschub geben. Planung und Durchführung Vorbereitende Arbeit für die Lehrkraft Die vorbereitete Präsentation zur Unterrichtseinheit muss im persönlichen Ordner jeder Schülerin und jedes Schülers abgelegt werden. Weiterhin ist es möglich, die Word-Arbeitsblätter in die Ordner zu kopieren, sodass die Kinder die Aufgaben nur noch auf Nebenrechnungszetteln lösen und die Ergebnisse in das Word-Dokument schreiben. Voraussetzungen bei den Schülerinnen und Schülern Die Schülerinnen und Schüler machen sich nach und nach mit den grundlegenden Funktionen von Word und PowerPoint vertraut. Erste Erfahrungen im Umgang mit den Programmen sind notwendig, damit die Kinder ihre Computerkenntnisse bei der Erarbeitung anderer Lerninhalte anwenden beziehungsweise sich dem Lernstoff intensiver widmen können. Jedes Kind benötigt für die Arbeit am Computer einen eigenen, persönlichen Ordner. Vorbereitung mit der Klasse Eine Schülerin oder ein Schüler erklärt, wie man zum eigenen, persönlichen Ordner gelangt. Die Kinder können gegebenenfalls die Schritte mittels Beamer nachvollziehen und einüben. Anschließend öffnen und starten sie die Präsentation und widmen sich der Folie 1. Das im voraus ausgeteilte Arbeitsblatt 1 "Mein Rechenplan" wird nun gemeinsam besprochen. Besondere Aufmerksamkeit soll der Aspekt "Arbeitsweise" finden. Zuordnung von Längenangaben Durch einen Klick auf den Hyperlink innerhalb der Präsentation gelangen die Kinder zur zweiten Folie. Die hier gestellten Aufgaben lösen die Schülerinnen und Schüler am besten in Partnerarbeit. Jedem Bild wird mittels eines farbigen Strichs (Klick auf rechte Maustaste- Zeigeroptionen- Stiftfarbe) eine Längenangabe zugeordnet. Die Kontrolle findet am Lehrer-Computer statt. Jeweils ein Kind erklärt seine Lösung und zeichnet diese ein. Alle Schülerinnen und Schüler können dies per Beamer über die Leinwand nachvollziehen. Zuschneiden von Längenstreifen Bevor die Kinder auf die nächste Folie schalten, muss die Zeigeroption auf "automatisch" zurückgesetzt werden. Auf der dritten Folie erfahren die Schülerinnen und Schüler, welcher Gruppe sie angehören (die Klassenbezeichnung muss hier noch individuell angepasst werden). Sie arbeiten nun an einem PC gemeinsam weiter. Durch einen Klick auf die Gruppe erfahren die Kinder, welchen konkreten Auftrag sie erledigen müssen. Sie sind dabei praktisch tätig, das heißt, das entsprechende Objekt wird mit Zollstock oder Maßband genau gemessen, dieses Maß wird auf die Pappstreifen übertragen (eventuell erfolgt ein Kleben von mehreren Streifen). Die Arbeitsergebnisse befestigen die Kinder an der Pinnwand. Individuell arbeitet dann jedes Kind nach der Rückkehr an seinen Arbeitsplatz im "Stationsbetrieb" weiter. Der zeitliche Rahmen muss auf dieser Folie nach den örtlichen Bedingungen angepasst werden. Arbeit an Stationen Die jeweiligen Stationen bearbeiten die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Teamarbeit. Die zur Verfügung gestellten Arbeitsblätter können nach den örtlichen Gegebenheiten abgeändert oder ergänzt werden. Die Arbeitsblätter können ausgedruckt und/oder als Dateien bereitgestellt werden. Bei der zweiten Variante sollte jedes Kind sein bearbeitetes Blatt mit neuem Namen abspeichern. Ganz nach dem eigenen Leistungsvermögen und dem individuellen Arbeitstempo lösen die Kinder die Aufträge. Die Arbeitsmaterialien beinhalten Elemente der Selbstkontrolle beziehungsweise ein Ergebnisblatt, welches bei der Lehrkraft eingesehen werden kann. Auswertung Mit einem Klick gelangen die Schülerinnen und Schüler auf die Auswertungsfolie. Nach dem Lesen überprüfen alle im Unterrichtsgespräch die Arbeitsergebnisse der Gruppen. Abschließend schätzt jedes Kind ein: die eigene Arbeitsweise nach der Liste auf dem Rechenplan, die inhaltliche Erledigung. Die Schülerinnen und Schüler addieren beide Teilsummen und notieren sie auf dem Rechenplan. Die Endkontrolle führt die Lehrkraft durch, sodass alle Kinder ihre Ergebnisse einschließlich Plan abgeben. Bei elektronischer Speicherung findet die Ergebnisprüfung am PC statt. Fachspezifische Lernziele Die Schülerinnen und Schüler verwenden die Längeneinheiten km, m, dm, cm, mm. reflektieren Ihre Vorstellungen über die Größen bekannter Objekte. schätzen Streckenlängen durch das Hinzunehmen von "Festgrößen". übertragen Streckenlängen und messen Längen genau auf Pappstreifen. Soziale Lernziele Die Schülerinnen und Schüler lösen in Gruppenarbeit eine gemeinsame Aufgabe. lernen, sich zunehmend kritisch und objektiv einzuschätzen. reflektieren ihr Verhalten und die Lernatmosphäre in der Klasse. Lernziele aus dem Bereich der Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Kenntnisse und Fähigkeiten im Umgang mit den digitalen Medien an und erweitern diese (Anwendung der Funktion beider Maustasten, sicherer Umgang mit den Programmen PowerPoint und Word).

Diese Unterrichtseinheit fokussiert den Verlauf einer Nachfragekurve am Beispiel einer fiktiven neuen App. Die Sequenz zeigt, wie Tablets im Wirtschaftsunterricht eingesetzt werden können.Die Schülerinnen und Schüler erstellen die Nachfragekurve eines fiktiven neuen Produkts (einer neuen App), indem Sie eine eigene Online-Umfrage zum Nachfrageverhalten in der Klasse erstellen, diese auswerten und digital präsentieren. Die Arbeitsmaterialien werden über Tablets zur Verfügung gestellt. In der Vertiefung erfolgt der Übertrag auf das Privatleben der Schülerinnen und Schüler; der Modellcharakter wird thematisiert und die makroökonomische Perspektive der Volkswirtschaftslehre eingebunden. Rollenspiel Die Schülerinnen und Schüler schlüpfen in die Rolle von Praktikanten der fiktiven Firma "App4Fun GmbH". Der Verkauf der neuen App "Karneval4Fun" läuft bisher nicht richtig an, daher wird nach Vorschlägen gesucht, woran dies liegen könnte. Die Idee: Es muss eine Lenkung in Richtung des Preises erfolgen. Die Schülerinnen und Schüler werden selbst in den Prozess der Erstellung einer Nachfragekurve einbezogen, indem Sie eine Online-Umfrage (zum Beispiel mit Doodle ) zum Preis der neuen App erstellen, an der sie selbst teilnehmen. In der Umfrage geben die Lernenden an, wie viel sie maximal für die App ausgeben würden (Staffelung: 0 Euro bis 4,50 Euro). Arbeiten mit Tablets Die Umfrage wird mediengestützt durchgeführt; die Teilnahme an der Umfrage ist die Hausaufgabe. Für die weitere Arbeit mit den Tablets wird die kostenlose App WPS-Office empfohlen. Der Einsatz von Tablet-Stiften erleichtert die Eingabe. Es empfiehlt sich, mit "WPS-Präsentation" zu arbeiten. Hierdurch ist eine Gliederung in sinnvolle Aufgaben-Abschnitte möglich, wobei dennoch der Gesamtzusammenhang übersichtlich einsehbar und eine Präsentation ohne aufwendige Einstellungen am Beamer möglich ist. Fachkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler entnehmen aus den Ergebnissen der Umfrage die erforderlichen Daten und addieren diese auf. stellen die Nachfragekurve aus den gewonnen Daten grafisch dar. erklären den Zusammenhang zwischen der Nachfrage und dem Preis (Gesetz der Nachfrage). beschreiben den Verlauf der Nachfragkurve. übertragen das Zusammenspiel von Nachfrage und Preis auf weitere Situationen. Medienkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler erlernen Fehlertoleranz im Umgang mit dem Tablet. nutzen das Tablet als Präsentationsmedium. sichern sachgerecht die erarbeiteten Ergebnisse in sinnvollen Datenstrukturen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich gegenseitig bei der Lösung der Aufgabenstellung, indem sie in Partnerarbeit an den Tablets arbeiten.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema trigonometrische Funktionen wird die Sinusfunktion fächerübergreifend als Schwingungsfunktion eingeführt. Darauf aufbauend kann die Trigonometrie als Anwendungsbereich behandelt werden.Die Winkelfunktionen werden üblicherweise am Dreieck oder Einheitskreis definiert. Phänomenbetrachtungen oder Experimente sind die Ausnahme und tauchen, wenn überhaupt, erst als Anwendung auf. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit wird die Sinusfunktion dagegen aus der Anwendung heraus als Schwingungsfunktion eingeführt. Die Trigonometrie erscheint als Nebenprodukt dieser Schwingungsfunktion. Dabei können Computeralgebrasysteme, einfache Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets zur schnellen Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler "spielen" dabei mit den Parametern Amplitude, Periodenlänge oder Frequenz, während die Folgen ihrer Experimente am Bildschirm dynamisch dargestellt und analysiert werden können. Mühsame und langwierige Zeichnungen bleiben ihnen erspart. Das Ziel dieser Einführung ist es, ohne größeren Zeitaufwand die vorgegebenen Lernziele auf einem neuen Weg zu erreichen und dabei ein besseres Verständnis der Sinusfunktion als Schwingungsfunktion zu vermitteln.Im herkömmlichen Unterricht wird der Sinus über Streckenverhältnisse im Dreieck eingeführt. Die Sinusfunktion wird mehr oder weniger als Erweiterung der Definitionsmenge plausibel gemacht. Dabei hat die Funktion eine sehr wichtige und auch anschauliche Anwendung: Die Beschreibung periodischer Vorgänge. Die Addition zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied kann zunächst hörbar erfahren werden (zum Beispiel durch das Überblasen zweier ähnlich gefüllter Flaschen oder mithilfe der klassischen Stimmgabeln aus der Physik). Danach experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit einem Funktionenplotter oder einem vergleichbaren digitalen Werkzeug. Unterrichtsverlauf "Sinusfunktion" Zunächst wird als periodischer Vorgang die Sonnenaufgangskurve untersucht. Rein harmonische Schwingungen werden dann mithilfe des Computers betrachtet. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Bedeutung der Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verschiedener Perioden und Amplituden. erhören über das physikalische Phänomen Schwebung ein Additionstheorem. Untersuchung periodischer Vorgänge Nachdem die Schülerinnen und Schüler mit der Beschreibung der Natur durch Potenzfunktionen bereits mehr oder weniger vertraut sind, sollen als neue Funktionsklasse nicht gleich die Sinusfunktionen, sondern erst einmal beliebige periodische Vorgänge untersucht werden. Direkt am Phänomen können Amplitude und Periodenlänge als wichtigste Begriffe erfahren werden (Experimentvorschläge finden Sie auf den Arbeitsblättern 1 und 2). Dabei erscheint mir das Wort Periodenlänge (und nicht Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer) für die Beschreibung der Periode im Mathematikunterricht als am besten geeignet. Hier legt man sich nicht schon im Voraus auf zeitliche Perioden fest. Der Frequenzbegriff ist vom mathematischen Standpunkt aus erst einmal nicht nötig. Auch auf den Begriff der Winkelgeschwindigkeit verzichte ich, auch wenn seine konsequente Verwendung durchaus denkbar ist. Phasenunterschiede sind für das Phänomen an sich primär nicht von großer Bedeutung und werden deshalb vorerst nicht behandelt. Daher wird auch nur die Sinusfunktion und nicht zusätzlich auch noch die Kosinusfunktion eingeführt. Die Sonnenaufgangskurve als nichtphysikalisches Sicherungselement Die Begriffe Amplitude und Periodenlänge sollen erst hinreichend gesichert werden, bevor sich die harmonische Schwingungsfunktion als wichtigste periodische Funktion herauskristallisiert. Dazu eignen sich insbesondere Experimente aus der Akustik. Hier kann man Amplitude und Periodenlänge direkt hören und mit dem Oszilloskop sogar sichtbar machen. Als nichtphysikalische Sicherungselemente bieten sich insbesondere tages- und jahreszeitliche Perioden an. Ich habe mich für die Änderung der Sonnenaufgangszeit im Laufe des Jahres entschieden, weil dieses Problem zum Beispiel im Herbst höchst aktuell und schülernah ist. Die Sonnenaufgangskurve weicht zwar mit zunehmender geographischer Breite von einer Sinuskurve ab, diese Abweichungen betragen in Deutschland jedoch weniger als fünf Prozent. Definition der Funktion Erst nach der beschriebenen Einführung wird die Kreisbewegung ins Spiel gebracht und es erfolgt eine Beschränkung auf die rein harmonischen Schwingungen. Das klassische Experiment dazu ist die synchrone Projektion von Federpendel und Kreisbewegung eines Stiftes. Vor der Definition von sin(x) sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die harmonische Schwingungsfunktion keine Potenzfunktion sein kann. Das erste Mal in ihrer mathematischen Laufbahn können sie eine funktionale Abhängigkeit nicht aus den bekannten Rechenoperationen zusammenstellen. Eine neue Funktion muss definiert werden. Das hört sich einfacher an, als es ist, denn man bekommt bei einer solchen Definition sehr viele Freiheiten mit auf den Weg. Die Kurvenform ist zwar mehr oder weniger festgelegt, doch stehen die Achsenbeschriftungen noch völlig frei. Um hier zu steuern, werden die Schülerinnen und Schüler vorher in einem Arbeitsblatt die harmonische Schwingungskurve für eine Projektion eines Punktes auf einer Kreisbahn mit festem Radius genau zeichnen (Arbeitsblatt 4). Dadurch liegt es nahe, die neue Funktion im Bogenmaß zu definieren, nur der Radius sollte noch normiert werden. Argumente im Winkelmaß führte ich erst später ein. Um schnell von der Kreisbewegung zum Graphen der Sinusfunktion zu gelangen, bietet sich das Applet von Walter Fendt an (siehe externe Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Wer etwas mehr Zeit hat, kann seine Schülerinnen und Schüler natürlich auch auf die herkömmliche Art und Weise die Projektion des Einheitskreises mithilfe des oben genannten Arbeitsblattes durchführen lassen, diesmal allerdings vor dem Hintergrund einer echten Bewegung. Kartierung der Funktion Nach der Definition wird die Funktion zu Hause punktweise kartiert und erst anschließend mit der Taschenrechnertaste "sin" in Verbindung gebracht und als Ganzes möglichst genau gezeichnet. Damit die Schülerinnen und Schüler wirklich das Gefühl einer eigenen Definition haben, soll die Namensgebung sehr offen gestaltet werden. Ein weiterer Vorteil eines vorerst anderen Namens besteht darin, dass die Lernenden bei der Kartierung der Funktion nicht zum "Mogeln" mit dem Taschenrechner gedrängt werden. Einsatz des Computers Die "nackte" Sinusfunktion reicht zur Beschreibung der harmonischen Schwingungen noch nicht aus, sie muss verschoben, gestreckt und gestaucht werden. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler lernen, zu vorgegebenen Funktionen der Art f(x) = A sin(B x) + C den zugehörigen Funktionsgraphen skizzieren zu können und umgekehrt zu festen Periodenlängen, Amplituden und Verschiebungen die zugehörige Funktion nennen zu können. Phasenverschiebungen werden aus den genannten Gründen nur kurz behandelt. Bei dieser Vorgehensweise bietet es sich außerdem an, auch die Überlagerung von Schwingungen und damit das Additionstheorem am Phänomen der Schwebung zu erfahren. Die Lernenden sollen das Additionstheorem hören (langsame Amplitudenschwankungen bei ähnlicher Frequenz wie die Grundtöne) und dann mithilfe eines CAS, eines Funktionenplotters oder eines geeigneten Java-Applets den Funktionsgraphen ermitteln. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Darstellung einer Schwebung mit dem CAS Derive, die durch Addition von sin(12x) und sin(13x) entsteht (verwendbare Online-Materialien wie zum Beispiel Java-Applets finden Sie unter den externen Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Dabei werden die Begriffe Amplitude und Periodenlänge nochmals gesichert und gefestigt. Der Unterricht zur Trigonometrie basiert im Wesentlichen auf Aufgaben, bei dem es um Eigenschaften von Dreiecken geht. Die Einführung der Sinusfunktion bleibt ein Anhängsel. Erst in neuerer Zeit werden in Schulbüchern die periodischen Funktionen in diesem Zusammenhang besprochen. In dieser Unterrichteinheit soll der Spieß umgedreht werden: Die Sinusfunktion wird vor der Trigonometrie als logische Konsequenz aus der Untersuchung von Schwingungen eingeführt, die Trigonometrie folgt als praktische Anwendung. Dabei entstehen völlig neue Aufgabentypen, die die Vielfalt der Aufgabenkultur bereichern. In dieser Einheit sind dies einerseits komplexe Arbeitsblätter mit offenen Fragestellungen unter Einbeziehung des Computers, andererseits kleine Erkennungsaufgaben, wie man sie von den Parabeln kennt. Mathematik und Physik werden meist nur von Physiklehrkräften fächerübergreifend vermittelt. Damit vergeben die Mathematikerinnen und Mathematiker eine große Chance, Anschauliches mit rein Mathematischem zu verknüpfen. Mit dieser Unterrichtseinheit soll auch Nichtphysikern die Möglichkeit gegeben werden, fächerübergreifend zu arbeiten.

Die Unterrichtseinheit fördert das Verständnis von Zahlensummen, arithmetischen Strukturen und Symmetrien anhand magischer Quadrate und führt schrittweise an Darstellungen mit Matrizen sowie erste Aspekte von Vektorräumen heran. Die Unterrichtseinheit ermöglicht einen motivierenden und handlungsorientierten Zugang zu mathematischen Mustern am Beispiel magischer Quadrate. Bereits in einfachen 3×3-Anordnungen setzen sich die Lernenden mit Zahlensummen, strukturellen Zusammenhängen und Symmetrien auseinander. Diese grundlegenden Einsichten werden schrittweise auf größere Quadrate mit 16 Zahlen übertragen, wodurch sich neue mathematische Herausforderungen und Entdeckungsmöglichkeiten eröffnen. Im weiteren Verlauf erweitern die Lernenden ihr Verständnis, indem sie magische Quadrate mit variablen Summen untersuchen und eigene Lösungsstrategien zur Konstruktion entwickeln. Dabei wird insbesondere die systematische Herleitung von Quadraten aus sogenannten Grundquadraten thematisiert. Diese Herangehensweise eröffnet einen strukturierten Zugang zu komplexeren mathematischen Denkweisen. Darauf aufbauend erhalten die Lernenden erste Einblicke in weiterführende mathematische Konzepte wie Matrizen und Vektorräume. Diese werden anschaulich und altersgerecht eingeführt, um den Blick für abstrakte Strukturen zu schärfen. Ein kurzer Ausblick auf größere Quadrate, etwa 8×8-Anordnungen, verdeutlicht die Erweiterbarkeit der behandelten Prinzipien. Der Einsatz der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra unterstützt die Visualisierung und Exploration der Inhalte. Differenzierte Materialien ermöglichen eine flexible Nutzung auf unterschiedlichen Endgeräten und fördern eigenständiges sowie kooperatives Lernen. Die Unterrichtseinheit nutzt magische Quadrate als motivierenden und niedrigschwelligen Zugang zur Addition ganzer Zahlen und zur Auseinandersetzung mit mathematischen Strukturen. Ausgehend von einfachen 3×3-Quadraten entwickeln die Lernenden grundlegende Strategien zur Bestimmung von Zahlensummen und erkennen erste Symmetrien. Diese Erkenntnisse werden systematisch auf größere Anordnungen (4×4) übertragen und dadurch erweitert. Im weiteren Verlauf eröffnet die Einheit differenzierte Lernwege: Während einige Lernende ihre Kompetenzen im Bereich der Mustererkennung und Summenbildung festigen, erhalten andere die Möglichkeit, tiefergehende mathematische Konzepte wie Matrizen und Vektorräume kennenzulernen. Diese werden bewusst anschaulich und kontextgebunden eingeführt, um einen verständlichen Zugang zu abstrakteren Inhalten zu ermöglichen. Methodisch steht ein entdeckendes und handlungsorientiertes Lernen im Vordergrund. Durch den Einsatz digitaler Werkzeuge wie GeoGebra können die Lernenden eigenständig Strukturen untersuchen, Hypothesen überprüfen und Ergebnisse visualisieren. Offene Aufgabenformate fördern dabei sowohl individuelles Arbeiten als auch kooperative Lernformen. Die Einheit bietet vielfältige Anknüpfungspunkte für Differenzierung und unterstützt die Lernenden darin, mathematische Zusammenhänge eigenständig zu erschließen und anzuwenden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Summe der Zahlen von 1 bis zu einer bestimmen Zahl. üben spielerisch das Rechnen in Matrizen. wenden die Idee von Symmetrien beim Bestimmen von Summen von Zahlen an. lernen einen besonderen Blick auf Vektorräume kennen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren. setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. nutzen Geometrie-Software. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). haben die Möglichkeit in Teamarbeit Hilfsbereitschaft zu zeigen. können sich Herausforderungen stellen, um Gelerntes schnell anzuwenden.