Magische Quadrate faszinieren die Menschen schon seit Tausenden von Jahren. Zur Untersuchung ihrer Eigenschaften werden Exceltabellenblätter genutzt. Die Materialien richten sich an begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 5. Die frühesten magischen Quadrate werden dem chinesischen Gelehrten Fuh-Hi (2800 v. Chr.) zugeschrieben. Ihre wunderlichen Eigenschaften - gleiche Summen in den verschieden Reihen, Spalten, Diagonalen und noch an vielen anderen Stellen - zu untersuchen, macht Schülerinnen und Schülern von der Grundschule bis zur Oberstufe Spaß. Viele stellen sich dabei die Frage, wie man selbst solche magischen Quadrate erzeugen kann und wie viele es davon gibt. Um sich einen Überblick über die ?4 mal 4?-Quadrate zu verschaffen, werden Linearitätseigenschaften genutzt. Schließlich können über 1.000 (mit etwas mehr Mühe sogar über 3.000) magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 erzeugt werden. Die vorliegende Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit magischen "4 mal 4"-Quadraten, wie sie von der Grundschule bis zur gymnasialen Oberstufe untersucht werden können. Schülerinnen und Schüler können sich oder Freunden ein magisches Geburtstagsquadrat errechnen, sobald ihnen negative Zahlen vertraut sind. Es sind auch schon gute Erfahrungen mit Lernenden in der Primarstufe gesammelt worden, die sich, so weit es bei ihren Daten nötig war, auch an negative Zahlen herangewagt haben. Für Schülerinnen und Schüler höherer Jahrgangsstufen gibt es weiterführende Aufgabenstellungen, die zum einen mit dem Lösen von Gleichungssystemen, zum anderen mit Matrizenaddition und skalarer Multiplikation zu tun haben. Oberstufenschülerinnen und -schüler können mit den Eigenschaften von Vektorräumen arbeiten. Auch in niedrigeren Jahrgangsstufen kann man sich mit manchen Vektorraumeigenschaften - ohne die zugehörigen Begrifflichkeiten - auseinandersetzen. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Neben der Addition der Linearkombinationen von Grundquadraten können magische Quadrate auch auf anderen Wegen gefunden werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen magische Quadrate als solche erkennen können. magische "4 x 4"-Quadrate auf weitere Eigenschaften hin untersuchen können. aus bereits bekannten magischen Quadraten neue erstellen können. ein magisches Geburtstagsquadrat erstellen können. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 erzeugen können (eine nicht ganz einfache Krönung der Arbeit). Thema Magische Quadrate Autorin Dr. Renate Motzer Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 5 Zeitraum 2-10 Stunden, je nachdem wie viele Fragestellungen bearbeitet werden Technische Voraussetzungen Computer mit Tabellenkalkulationssoftware (hier Microsoft Excel) Einsatz der Tabellenkalkulation Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst vorgegebene oder selbst erzeugte Quadrate darauf hin untersuchen, ob sie magisch sind. Um viel Rechenarbeit zu ersparen, können sie selbst eine Exceltabelle erstellen, wenn sie sich schon mit Tabellenkalkulation auskennen. Andernfalls kann ein vorgegebenes Tabellenblatt benutzt werden (magisch.xls). In diesem Fall sollte vorher diskutiert werden, was sinnvollerweise dort berechnet werden soll. (Wie die Operationen mit Excel umzusetzen sind, kann gegebenenfalls von der Lehrkraft erläutert werden.) Linearkombinationen von Grundquadraten Die Grundquadrate aus Nullen und Einsen sollen von den Kindern zunächst per Hand gefunden werden, die Addition von Linearkombinationen der Grundquadrate kann dann wieder von der Tabelle übernommen werden. Andere magische Quadrate Dass nicht alle magischen Quadrate Linearkombination von Grundquadraten sind, kann anhand eines von der Lehrperson vorgegebenen Quadrats (das auf andere Weise konstruierten wurde) entdeckt werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen dazu versuchen dieses Quadrat aus den Grundquadraten zu erzeugen, was jedoch nicht gelingt. Sie können das Nichtgelingen auch dadurch begründen, dass dieses neue Quadrat eine Eigenschaft der Grundquadrate nicht hat, die auf Linearkombinationen übertragen wird. Wenn Sie das nicht sofort erkennen, werden sie von der Lehrperson durch bestimmte Fragen darauf hingeleitet. Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 Schließlich soll untersucht werden, ob man mit den Grundquadraten auch Quadrate erzeugen kann, die genau die Zahlen 1 bis 16 enthalten. Dazu muss manches einfach ausprobiert werden und nach möglichen Koeffizienten und ihrer Verteilung auf die Grundquadrate gesucht werden (man kann zum Beispiel diejenigen des Dürerquadrats nehmen). Die Kinder erleben hier, dass es nicht immer ein Lösungsschema geben muss, sondern dass manches durch systematisches Probieren erreicht werden kann.

Dieses magische Quadrat des Künstlers Eugen Jost hat es in sich: die Zahlen 1 bis 49 sind teilweise etwas verschlüsselt und symbolhaft dargestellt. Mit dem beigefügten kleinen Programm wird daraus eine nette Knobelei, die man auf Zeit spielt.Das Magische Quadrat ist Teil des Kalenders des Künstlers Eugen Jost, der zum Jahr der Mathematik erschienen ist und ein Dutzend bedeutsamer Themen der Mathematik aufgreift. In ästhetisch ansprechender Form wird hier die Kunst mit der Mathematik verbunden. Das hier dargestellte Dezember-Blatt ist als kleines elektronisches Ratespiel für den PC aufbereitet. Hierzu müssen die natürlichen Zahlen erraten werden, die hinter den Symbolen jeder Einzelzelle verborgen sind. Dazu tippt man die Lösungen in ein Eingabefeld. Ob die Eingabe richtig oder falsch ist, erfahren die Schülerinnen und Schüler auch durch akustische Signale. Für zusätzliche Spannung sorgt eine eingeblendete Stoppuhr. Auf die Plätze, fertig, los - die Zeit läuft!Das Programm ist im Grunde altersstufenunabhängig. Es ist ab der Klasse 5 einsetzbar, kann aber ebensogut auch bei älteren Schülerinnen und Schülen genutzt werden. Nutzung und Anpassung des magischen Quadrates Hier finden Sie Erläuterungen zur Funktionsweise des Programms sowie zur Möglichkeit der Darstellung eigener magischer Quadrate. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich magischen Quadraten auf spielerische Weise nähern. die grundsätzlichen Eigenschaften magischer Quadrate kennen lernen. Thema Magisches Quadrat digital Autoren Elfi Petterich Fach Mathematik, auch für Vertretungsstunden geeignet Zielgruppe ab Klasse 5 (für alle Klassenstufen als spielerische Ergänzung zu magischen Quadraten) Zeitraum weniger als 1 Stunde Technik Computerarbeitsplätze zur Nutzung des Computermoduls, Lautsprecher müssen aktiviert sein. Ein magisches Quadrat wird durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert: Die Summen der Elemente aus jeder Zeile sind gleich. Die Summen der Elemente aus jeder Spalte ergeben dieselbe Zahl. Die Summen in jeder der beiden Diagonalen ergeben ebenfalls diese Zahl. Nutzung des Programms Mit dem ausführenden Programm "Kalender.exe" öffnet sich das magische Quadrat von Eugen Jost. Die einzelnen Zellen können mit der Maus angeklickt werden, so dass sich ein Eingabefeld öffnet, in das ein Codewort eingetippt werden kann. Ziel ist es, herauszufinden, welche Zahl hinter den Zeichen und Symbolen jeder Zelle steckt. Bei richtiger Eingabe erscheint ein Bild mit der entsprechenden natürlichen Zahl, und es ertönt ein bestätigendes Signal. Bei falscher Eingabe bleibt das ursprüngliche Bild bestehen und es erfolgt eine entsprechende Tonsequenz. Eine Stoppuhr beginnt beim ersten Klick zu laufen und endet mit der letzten richtigen Eingabe. Außerdem wird die Anzahl der richtigen sowie falschen Eingaben angezeigt. Im Bedienfeld auf der linken Seite stehen die drei Buttons der Reihe nach für: Das Laden einer anderen Datei ("Laden") Startzustand wieder herstellen ("Neu") Adjustieren der Fenstergröße ("Größe", falls sie versehentlich verändert wurde) Mit dem Programm kann nicht nur Eugen Josts Quadrat angezeigt werden. Auch selbst erzeugte magische Quadrate lassen sich so visualisieren. Sie können unterschiedlich große Rechtecke und Quadrate mit verschiedenen Bildern erzeugen. Um das magische Quadrat zu modifizieren, muss man die Datei "default.cal" mithilfe eines Texteditors (zum Beispiel Notepad) umschreiben und unter neuem Namen speichern. Die "default.cal" Datei ist folgendermaßen aufgebaut: Die erste Zeile besteht aus Zeilenzahl und Spaltenzahl des Quadrats (in diesem Beispiel 7,7). Jede weitere Zeile beschreibt eine einzelne Zelle und ist nach folgendem Schema aufgebaut: bild1, bild2, sound1, sound2, lösung. "bild1" entspricht dem Pfad zur Bilddatei1 (wird zu Beginn angezeigt) "bild2" entspricht dem Pfad zur Bilddatei2 (erscheint nach richtiger Antwort) "sound1" ertönt, wenn die Antwort richtig ist "sound2" ertönt, wenn die Antwort falsch ist "lösung" gibt den Text (oder die Zahl) an, die die Benutzerin oder der Benutzer für die richtige Antwort eintippen muss. Das Programmm wurde in C++ mit Hilfe der Open Source Bibliothek QT erstellt. Zu beachten ist, dass JPEG-Dateien (.jpg) nicht richtig geladen werden können. Bitmap-Dateien (.bmp) oder PNG-Dateinen (.png) sind mit dem Programm kompatibel. Für die Sounds müssen WAVE-Dateien (.wav) verwendet werden.

Die Unterrichtseinheit fördert das Verständnis von Zahlensummen, arithmetischen Strukturen und Symmetrien anhand magischer Quadrate und führt schrittweise an Darstellungen mit Matrizen sowie erste Aspekte von Vektorräumen heran. Die Unterrichtseinheit ermöglicht einen motivierenden und handlungsorientierten Zugang zu mathematischen Mustern am Beispiel magischer Quadrate. Bereits in einfachen 3×3-Anordnungen setzen sich die Lernenden mit Zahlensummen, strukturellen Zusammenhängen und Symmetrien auseinander. Diese grundlegenden Einsichten werden schrittweise auf größere Quadrate mit 16 Zahlen übertragen, wodurch sich neue mathematische Herausforderungen und Entdeckungsmöglichkeiten eröffnen. Im weiteren Verlauf erweitern die Lernenden ihr Verständnis, indem sie magische Quadrate mit variablen Summen untersuchen und eigene Lösungsstrategien zur Konstruktion entwickeln. Dabei wird insbesondere die systematische Herleitung von Quadraten aus sogenannten Grundquadraten thematisiert. Diese Herangehensweise eröffnet einen strukturierten Zugang zu komplexeren mathematischen Denkweisen. Darauf aufbauend erhalten die Lernenden erste Einblicke in weiterführende mathematische Konzepte wie Matrizen und Vektorräume. Diese werden anschaulich und altersgerecht eingeführt, um den Blick für abstrakte Strukturen zu schärfen. Ein kurzer Ausblick auf größere Quadrate, etwa 8×8-Anordnungen, verdeutlicht die Erweiterbarkeit der behandelten Prinzipien. Der Einsatz der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra unterstützt die Visualisierung und Exploration der Inhalte. Differenzierte Materialien ermöglichen eine flexible Nutzung auf unterschiedlichen Endgeräten und fördern eigenständiges sowie kooperatives Lernen. Die Unterrichtseinheit nutzt magische Quadrate als motivierenden und niedrigschwelligen Zugang zur Addition ganzer Zahlen und zur Auseinandersetzung mit mathematischen Strukturen. Ausgehend von einfachen 3×3-Quadraten entwickeln die Lernenden grundlegende Strategien zur Bestimmung von Zahlensummen und erkennen erste Symmetrien. Diese Erkenntnisse werden systematisch auf größere Anordnungen (4×4) übertragen und dadurch erweitert. Im weiteren Verlauf eröffnet die Einheit differenzierte Lernwege: Während einige Lernende ihre Kompetenzen im Bereich der Mustererkennung und Summenbildung festigen, erhalten andere die Möglichkeit, tiefergehende mathematische Konzepte wie Matrizen und Vektorräume kennenzulernen. Diese werden bewusst anschaulich und kontextgebunden eingeführt, um einen verständlichen Zugang zu abstrakteren Inhalten zu ermöglichen. Methodisch steht ein entdeckendes und handlungsorientiertes Lernen im Vordergrund. Durch den Einsatz digitaler Werkzeuge wie GeoGebra können die Lernenden eigenständig Strukturen untersuchen, Hypothesen überprüfen und Ergebnisse visualisieren. Offene Aufgabenformate fördern dabei sowohl individuelles Arbeiten als auch kooperative Lernformen. Die Einheit bietet vielfältige Anknüpfungspunkte für Differenzierung und unterstützt die Lernenden darin, mathematische Zusammenhänge eigenständig zu erschließen und anzuwenden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Summe der Zahlen von 1 bis zu einer bestimmen Zahl. üben spielerisch das Rechnen in Matrizen. wenden die Idee von Symmetrien beim Bestimmen von Summen von Zahlen an. lernen einen besonderen Blick auf Vektorräume kennen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren. setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. nutzen Geometrie-Software. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). haben die Möglichkeit in Teamarbeit Hilfsbereitschaft zu zeigen. können sich Herausforderungen stellen, um Gelerntes schnell anzuwenden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Funktionen" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler diesen Funktionstyp über dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden, und interaktiven Übungen, die mit der Software HotPotatoes angefertigt wurden.Quadratische Funktionen folgen im Lehrplan auf die linearen Funktionen. Während dort nur zwei Parameter Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, spielen bei quadratischen Funktionen drei Parameter eine Rolle. Die folgende Unterrichtseinheit zeigt auf, wie der Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen von Schülerinnen und Schülern mithilfe interaktiver Arbeitsblätter weitgehend eigenständig und durch einen experimentellen Zugang erarbeitet werden kann. An die Erarbeitung schließen sich Lernkontrollen in Form von Lückentexten, Zuordnungsübungen, Kreuzworträtseln und eines Quiz an.Die Arbeit mit dynamischen und interaktiven Arbeitsblättern ermöglicht den Schülerinnen und Schülern im Sinne einer Handlungsorientierung ein experimentelles Herangehen an mathematische Fragestellungen und ein eigenständiges Entdecken von Gesetzmäßigkeiten. Die Lernenden können dabei in ihrem individuellen Lerntempo vorangehen und Übungsmöglichkeiten im Rahmen einer gesetzten Zeitspanne beliebig oft nutzen. Sie erhalten eine unmittelbare Rückmeldung über ihren persönlichen Lernerfolg und üben ihre Stärken und Schwächen selbst einzuschätzen, ohne unter ständiger Beobachtung durch die Lehrkraft zu stehen. Durch dynamische Geometriesoftware lässt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter besser veranschaulichen als durch das Skizzieren einiger ausgewählter Funktionsgraphen im Heft. Die experimentelle Herangehensweise kann auch weniger abstrakt denkende Schülerinnen und Schüler motivieren, die sonst im Unterricht eher zurückhaltend sind. Außerdem trägt sie zu einem besseren Verständnis von Funktionen bei. Unterrichtsablauf Die Voraussetzungen für die Durchführung der skizzierten Unterrichtseinheit, der genaue Ablauf und die Einbeziehung der genannten Medien wird beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e heraus. erkennen, dass der Parameter e eine Verschiebung der Normalparabel nach oben/unten bewirkt. erfassen, dass der Parameter d eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts/links zur Folge hat. begreifen, dass der Vorfaktor a eine Streckung/Stauchung der Normalparabel impliziert. lernen ein Beispiel für eine quadratische Funktion aus der Umwelt kennen. können die gewonnen Erkenntnisse auf neue Situationen und Fragestellungen anwenden. Voraussetzung für die Durchführung der beschriebenen Unterrichtseinheit ist ein genügend großer Computerraum, sodass die Lernenden einzeln oder höchstens zu zweit die Aufgabenstellungen bearbeiten können. Nur so kann ein individueller Lernprozess ermöglicht werden. Auf den Rechnern sollte ein aktueller Internet-Browser und vor allem das kostenlose Plugin Java Runtime Environment installiert sein, damit die mit GeoGebra erstellten dynamischen Arbeitsblätter (Applets) genutzt werden können. Um den organisatorischen Aufwand zu minimieren, empfiehlt es sich, die selbst erstellten Arbeitsblätter auf einem Webserver abzulegen und diese dann von den Lernenden via Internetzugang herunterladen zu lassen. Ein entsprechendes Beispiel findet man auf der Kommunikationsplattform der ARS-Limburg. Die bereitgestellten Dateien können aber auch lokal mithilfe eines Datenträgers auf jeden Rechner geladen werden. Ferner ist für eine der fakultativen Übungen am Ende das Tabellenkalkulationsprogramm MS-Excel erforderlich. Vor der Durchführung der Lerneinheit sollte die quadratische Funktion zunächst definiert und die charakteristischen Eigenschaften der Funktionsgraphen (Parabeln) an einigen Beispielen herausgearbeitet werden. So könnte man den Schülerinnen und Schülern neben der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x² zwei bis drei weitere Funktionsgleichungen vorgeben und die zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Die Lernenden erkennen bereits hier, dass das Markenzeichen einer quadratischen Funktion der Parabelbogen ist und dass dieser unterschiedliche Lagen im Koordinatensystem einnehmen kann. Zur besseren Verankerung und Steigerung der Motivation kann auch ein Bezug zu Parabeln in der Umwelt (Brücken, Wurfbahn, et cetera) hergestellt werden und einige Beispiele können gezeigt werden. Nun erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partner- beziehungsweise Einzelarbeit etappenweise die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e. Hierzu öffnen Sie jeweils ein mit GeoGebra erstelltes dynamisches Arbeitsblatt. Mithilfe eines Schiebereglers können sie die Größe der jeweiligen Parameter ändern und beobachten, wie sich der Verlauf des Funktionsgraphen und die Funktionsgleichung verändern. Der detaillierte Ablauf geht aus dem Quadratische Funktionen hervor. Am Ende jedes Arbeitsblattes befindet sich ein Lückentext, der vervollständigt und zur Ergebnissicherung ins Heft übertragen werden muss. Die Lernenden haben so die Gelegenheit, Zusammenhänge zwischen Funktionsterm und -graph experimentell und weitgehend eigenständig zu entdecken. Die gewonnenen Erkenntnisse müssen im Anschluss jeweils in einer interaktiven, mit Hot Potatoes erstellten Übungseinheit auf andere Situationen übertragen werden. Die Schülerinnen und Schüler können dabei individuell nach ihrem eigenen Lerntempo vorgehen. Durch die unmittelbare Rückmeldung erhalten sie Aufschluss über ihren Lernstand und können bei Bedarf eine Übung mehrfach durchlaufen. Nachdem die Bedeutung der Parameter erarbeitet wurde, können die Schülerinnen und Schüler in einer abschließenden Übungseinheit ihr Wissen über quadratische Funktionen in zwei Lückentexten, zwei Zuordnungsübungen, einem Kreuzworträtsel und einem Quiz noch einmal unter Beweis stellen. Außerdem sollen die Anpassung einer Funktion an einen vorgegeben Brückenbogen durchgeführt werden.

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung müssen sich laut Theorie ja mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Aber wie geht das? Eine andere interessante Frage lautet: Wie kann man die komplexen Lösungen einer quadratischen Gleichung sichtbar machen? Der Blick über den reellen Tellerrand schafft dabei eine neue Sicht auf die Lösungen von Gleichungen. Quadratische Funktionen mit reellen Koeffizienten haben in R zwei Nullstellen, eine doppelte oder gar keine Nullstelle. Diese Lösungen kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren, falls diese reell existieren. GeoGebra zeigt, wie es geht. Die analytische Bestätigung dieser Konstruktion stellt sich als sinnvolle algebraische Aufgabe. Im komplexen Zahlenbereich hingegen hat laut Hauptsatz der Algebra eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen (inklusive doppelte Nullstelle), die man im Funktionsgraphen aber nicht zu sehen bekommt, wenn sie komplex sind. Auf zwei verschiedene Arten sollen diese komplexen Lösungen sichtbar gemacht werden. Zum Einsatz kommen dabei die frei zugänglichen Mathematik-Programme GeoGebra und wxMaxima. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind die Voraussetzungen und die verwendeten Materialien für diese Unterrichtseinheit genauer beschrieben. Anregungen und Erweiterungen Weitere Vorschläge zu Anwendungen mit höhergradigen Polynomen sind hier aufgeführt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die Problematik der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bewältigen. das Rechnen mit komplexen Zahlen üben. Funktionen mit zwei Variablen und deren Darstellung als Flächen im Raum kennen lernen. den Einsatz von Funktionen und Ortslinien in GeoGebra trainieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen im Umgang mit verschiedenen Software-Programmen vertraut werden. die Mathematiksoftware wxMaxima anwenden. die Mathematiksoftware GeoGebra anwenden. Thema Quadratische Gleichung Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin und Schüler, die (kostenfreie) Software GeoGebra und wxMaxima sollte installiert sein. Literatur Richard Courant, Herbert Robbins Was ist Mathematik?, 5. Auflage Springer 2000, ISBN 3-540-63777-X, Seite 204 Inhaltliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler können quadratische Gleichungen ohne Mühe lösen. Sie verstehen das Konzept der komplexen Zahlen und können mit ihnen rechnen, etwa den Betrag oder das Einsetzen in einen quadratischen Term. Die Lernenden kennen den Hauptsatz der Algebra und verstehen seine Bedeutung für die Lösbarkeit von Gleichungen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf dem Rechner installiert und Javascript aktiviert sein. Nachdem im komplexen Zahlenbereich eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen hat, sollen diese komplexen Lösungen auf zwei verschiedene Arten sichtbar gemacht werden: Mit der komplexen Funktion wird ein Kreis in eine aufgefaltete Bildkurve transformiert, die dynamisch zu den Lösungen führt. Der Real- beziehungsweise Imaginärteil der zugehörigen komplexen Funktion wird als Fläche im Raum dargestellt. Damit erhält man die Nullstellen in 3D-Ansicht. Kreiskonstruktion Die Methode der Konstruktion der reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung wird mit GeoGebra demonstriert. Der Nachweis kann dann analytisch erfolgen. Das Arbeitsblatt ist als GeoGebra- und HTML-Datei verfügbar. Funktionen als Flächen im Raum Hier werden Funktionen mit zwei Variablen mithilfe von wxMaxima räumlich dargestellt. Der Aufwand mit wxMaxima hält sich dabei in Grenzen, vorausgesetzt, der Umgang mit dieser Software ist entsprechend eingeübt. Die grafische Umsetzung erlaubt Rotationen und somit die Betrachtung der Flächen von allen Seiten. Der Einsatz eines CAS-Programms erspart den manuell sehr mühsamen Weg komplexer Berechnungen, was die Konzentration der Schülerinnen und Schüler auf die theoretischen Zusammenhänge erhöht. Die wesentlichen Sachinhalte bestehen darin, dass der Realteil beziehungsweise der Imaginärteil einer komplexen Funktion je eine Fläche im Raum darstellt. Ein Beispiel sehen Sie in Abb. 1 (bitte zur Vergrößerung anklicken). Ihr Schnitt mit der xy-Ebene liefert die Spuren, auf denen die Lösungen liegen müssen. Sie ergeben sich tatsächlich als Schnitt dieser Spuren. Mit dem Betrag der komplexen Funktion ändert sich nichts am Funktionswert Null, es pointiert aber die Veranschaulichung der Nullstellen. Anwendung des Fundamentalsatzes Ein anderes Konzept ist die topologisch dynamische Umsetzung und Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra mit GeoGebra. Dabei wird ein Punkt P(a,b) mittels der Transformation f(x+iy) auf P' abgebildet. Zunächst soll man den Punkt P so verschieben, dass P' im Ursprung liegt, P stellt dann die Lösung dar. Systematische Untersuchung der Ebene Das für Arbeitsblatt 4 beschriebene Unterfangen ist eher mühsam, wenn man gar keine Ahnung von der Lösung hat, weil man ja die ganze Ebene durchsuchen muss. Es liegt also nahe, eine Kreislinie mit sich änderndem Radius zu wählen, um die Ebene systematisch zu durchwandern. Dies mögen Schülerinnen und Schüler selber überlegen oder aber man stellt das Arbeitsblatt 5 zur Verfügung. Legt man also P auf einen Kreis mit Radius r, so ist dessen Bild eine geschlossene Kurve. Während P den Kreis einmal durchläuft, macht der Bildpunkt P' in der Bildkurve so viele Umläufe, wie der Grad von f beträgt. Der Radius des Kreises ist nun so einzustellen, dass die Bildkurve durch den Ursprung geht. Anschließend dreht man den Punkt solange im Kreis, bis P' im Ursprung liegt. Zeichnerische Konstruktion Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kann man etwa auf die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks zu sprechen kommen. Nullstellenkonstruktion Die Nullstellenkonstruktion im Komplexen funktioniert natürlich auch mit höhergradigen Polynomen, sowohl die Entfaltung mittels Kreistransformation in entsprechende Bildkurven als auch die Flächendarstellung im Raum. Konkret bieten sich primitive Kreisteilungsgleichungen der Form z n - 1 = 0 an. Eine solche Standardgleichung n.ten Grades hat genau n komplexe Lösungen. Das Schöne daran ist, dass diese alle auf einem Einheitskreis liegen und ein regelmäßiges n-Eck darstellen. Exemplarisch seien hier eine Kreisteilungsgleichung 3. und eine 5. Grades präsentiert.

Schülerinnen und Schüler untersuchen mithilfe von Excel den Einfluss der Vorfaktoren a, b und c auf die Lage und das Aussehen von Parabeln.Quadratische Funktionen begegnen den Lernenden das erste Mal in der Jahrgangsstufe 9. Sie lernen hier, wie man Scheitelpunkte von Parabeln berechnen und aus Funktionsvorschriften ablesen kann und wie Parabeln geöffnet und verschoben sind. Erfahrungsgemäß fällt es Schülerinnen und Schülern immer wieder schwer, Funktionsvorschriften quadratischer Funktionen in die Scheitelpunktsform zu bringen. Dass man aber auch einer Funktionsvorschrift, die noch nicht in die Scheitelpunktsform gebracht wurde, ansehen kann, wie die Parabel verschoben und geöffnet ist, kann im Unterricht mithilfe von Excel anschaulich dargestellt werden. Unterrichtsverlauf und Fazit Die Voraussetzungen und der Einsatz der Excel-Datei werden erörtert. Die Darstellung eines Unterrichtsverlaufs gibt einen Einblick in die Anwendung von Excel in der Praxis. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung des Vorfaktors a in der Funktionsvorschrift f(x) = ax 2 + bx + c erkennen und benennen können. erkennen, dass ein negatives (positives) Vorzeichen des Vorfaktors b eine Verschiebung der Parabel nach rechts (links) bewirkt, vorausgesetzt der Vorfaktor a ist positiv (negativ). den Einfluss des Vorfaktors c auf die Lage der Parabel angeben können. anhand vorgegebener Funktionsvorschriften angeben können, wie die Parabel geöffnet und verschoben ist. Thema Untersuchung von Parabeln mit Excel Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zeitraum 1-2 Unterrichtsstunden (je nach Excel-Vorkenntnissen) Zielgruppe Klasse 9 technische Voraussetzungen Rechner in ausreichender Menge für Partnerarbeit, Beamer Software Excel In den vorangegangenen Unterrichtsstunden haben die Schülerinnen und Schüler die Bestimmung der Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion und alle wesentlichen Eigenschaften und "Verschiebemöglichkeiten" von Parabeln kennen gelernt und vertiefend geübt. Dass man einer quadratischen Funktion, die nicht in Scheitelpunktsform gegeben ist, ansehen kann, wie sie geöffnet und ob sie gestreckt oder gestaucht ist, war den Schülerinnen und Schülern anschaulich klar. Dass man aber auch der Funktionsvorschrift bereits ansehen kann, ob die Parabel nach rechts oder links verschoben ist, bereitete den Schülerinnen und Schülern noch große Probleme. Hier sorgte Excel für Abhilfe. Die Schülerinnen und Schüler arbeiteten eine Stunde lang in Partnerarbeit am Rechner. Eine Einführung in Excel war nicht notwendig, da sie bereits mit dem Programm vertraut waren. Eine kurze Anleitung zur Bedienung des Makros war allerdings wichtig. Den Schülerinnen und Schüler wurde dabei erklärt, in welchen Spalten sie sehen, wie groß die jeweiligen Vorfaktoren a, b und c sind (hier B3, C3, D3). Die Schülerinnen und Schüler beobachteten zunächst, wie sich der Vorfaktor a auf eine Parabel auswirkt und welche Verschiebung der Vorfaktor c zur Folge hat. Da die Auswirkung von b auf das Aussehen der Parabel unmittelbar vom Vorfaktor a abhängt, bereitete die Interpretation häufig Probleme. Einige Schülerinnen und Schüler haben diese Differenzierung völlig außer Acht gelassen. Erst die Hilfestellungen der Lehrkraft oder Mitschüler machten sie darauf aufmerksam. Daraufhin konnten sie ihre falschen oder unvollständigen Lösungen selbstständig korrigieren oder ergänzen. Natürlich kann man den Einfluss der Vorfaktoren auf die Lage und das Aussehen der Parabel auch über das einfache Zeichnen verschiedener quadratischer Funktionen oder über rein mathematische Regeln und Gesetzmäßigkeiten erklären. Auch der Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechners wäre an dieser Stelle möglich gewesen. Die Möglichkeit, durch den Einsatz der Excel-Datei und das einfache Verschieben von Scroll-Leisten verschiedene Parabeln unmittelbar zu erzeugen und die Auswirkungen der Vorfaktoren a, b und c zu beobachten, hat sich sehr positiv auf das Verständnis der Zusammenhänge ausgewirkt. Man muss sich jedoch bewusst sein, dass durch das Arbeiten mit der Excel-Datei nur der Grundstein zum Verständnis gelegt wird - das exakte Berechnen muss im Unterricht vertiefend geübt werden.

Die Schülerinnen und Schüler lernen die Grundlagen der Vererbungslehre kennen und erfahren, wie Gregor Mendel durch Kreuzungsversuche die heute noch gültigen Regeln der Vererbung aufstellte. Durch eigene Kreuzungsschemata, digitale Übungen und Diskussionen gewinnen sie ein Verständnis für Genotyp, Phänotyp, Dominanz und Unabhängigkeitsregel. Die Unterrichtseinheit führt die Schülerinnen und Schüler anschaulich in die klassische Genetik ein und macht nachvollziehbar, wie Gregor Mendel aus Kreuzungsversuchen die bis heute gültigen Regeln der Vererbung ableitet. In drei Unterrichtsstunden (eine Doppelstunde und eine Einzelstunde) erarbeiten die Lernenden zentrale Fachbegriffe wie Gen, Allel, Genotyp und Phänotyp sowie die Prinzipien Dominanz und Rezessivität. Die Arbeitsblätter bauen schrittweise vom einfachen zum komplexeren Erbgang auf und trainieren konsequent das Anwenden von Kreuzungsschemata (Punnett-Quadrat): Arbeitsblatt 1 führt über Mendels Experimente in die Uniformitäts- und Spaltungsregel ein (monohybrider Erbgang) und sichert Grundbegriffe. Arbeitsblatt 2 erweitert auf die Unabhängigkeitsregel (dihybrider Erbgang) und lässt Genotyp- und Phänotypverhältnisse systematisch auswerten. Arbeitsblatt 3 vertieft mit Rückkreuzung und intermediärem Erbgang (Wunderblume nach Carl Correns) und eröffnet den Transfer auf Beispiele aus dem Alltag sowie aus Mensch und Tier. Eine begleitende PowerPoint-Präsentation strukturiert die Stunde und visualisiert zentrale Schritte und Kreuzungsschemata. Interaktive H5P-Übungen bieten unmittelbares Feedback, unterstützen die Lernstandsdiagnose und erhöhen die Aktivierung – sowohl zur Sicherung in der Stunde als auch für Wiederholung oder Hausaufgaben. Die klassische Genetik eignet sich hervorragend für einen experimentell-analytischen Unterrichtsansatz. Sie bietet klare Strukturen und wiederkehrende Muster, die den Lernenden ermöglichen, naturwissenschaftliche Denkweisen nachzuvollziehen und anzuwenden. Die Einheit nutzt anschauliche Beispiele (Erbsen, Blütenfarben) und grafische Darstellungen zur Visualisierung abstrakter Konzepte. Die PowerPoint-Präsentation strukturiert die Inhalte und bietet begleitende Illustrationen (Kreuzungsschemata, Fotos, Diagramme). Die Arbeitsblätter führen schrittweise von einfachen zu komplexeren Erbgängen (monohybrid, dihybrid, intermediär) und enthalten multiple-choice- und Transferaufgaben zur Selbstkontrolle. Die H5P-Übungen ermöglichen eine digitale Lernstandserhebung und motivieren durch unmittelbares Feedback. Durch Paar- und Gruppenarbeit wird kooperatives Lernen gefördert; gleichzeitig sind die Aufgaben so differenziert, dass leistungsschwächere Lernende durch Lückentexte und Hilfsgrafiken unterstützt werden, während leistungsstärkere Lernende Transfer- und Anwendungsaufgaben bearbeiten. Die Einheit schult das Verständnis zentraler biologischer Begriffe (Gen, Allel, Phänotyp, Genotyp) und legt das Fundament für weiterführende Themen wie Molekulargenetik, Erbgänge beim Menschen und Gentechnik. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Prinzipien der Vererbung nach Mendel. unterscheiden dominante, rezessive und intermediäre Erbgänge. wenden Kreuzungsschemata (Punnett-Quadrat) sicher an. erläutern die Bedeutung der Mendel’schen Regeln für heutige genetische Forschung. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wenden digitalen Tools (H5P, PowerPoint) an. recherchieren biologischer Zusammenhänge im Internet. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler tauschen sich in Paar- und Gruppenarbeit aus und reflektieren den Umgang untereinander. präsentieren Ergebnisse im Plenum.

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler einen jungen Mann kennen, der vor der Frage steht: Gentest - ja oder nein? Die Lernenden versetzen sich in seine Lage, werten die Fakten und Information aus und treffen dann eine Entscheidung. Bei genetischen Tests kann festgestellt werden, ob eine Person Träger einer bestimmten genetischen Veranlagung ist - aber ist es immer von Vorteil, solch einen Test durchführen zu lassen? In dieser Sequenz erfahren die Schülerinnen und Schüler mehr über das Dilemma eines jungen Mannes, der für sich entscheiden muss, ob er einen Gentest durchführen lässt. Seine Verlobte fand heraus, dass sie Trägerin für eine rezessive Erbkrankheit, die Sichelzellanämie, ist. Die Lernenden nutzen Informationen, die ihnen durch Expertinnen und Experten vorgestellt werden, wägen die Optionen ab und kommen zu einer begründeten Entscheidung. Bezug zum Lehrplan Wissenschaftliches Arbeiten Erklärung alltäglicher und technologischer Anwendung von Wissenschaft Biologie Vererbung, Chromosomen, DNA und Gene: Vererbung als Prozess, in dem genetische Informationen von einer Generation zur nächsten weitergegeben werden Ablauf Ablauf der Unterrichtseinheit "Gentest - ja oder nein?" Der Ablauf der Unterrichtssequenz "Gentest - ja oder nein?" ist auf dieser Seite übersichtlich für Sie zusammengestellt Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Kenntnisse über Vererbungslehre an, um genetische Diagramme, einschließlich Familienbäumen, interpretieren zu können. lernen, eine Entscheidung zu treffen, indem Argumente identifiziert werden, die beachtet werden müssen. Über das Projekt Das Projekt ENGAGE ist Teil der EU Agenda "Wissenschaft in der Gesellschaft zur Förderung verantwortungsbewusster Forschung und Innovation" (Responsible Research and Innovation, RRI). ENGAGE Materialien werden durch das von der Europäischen Kommission durchgeführte Projekt ENGAGE als Open Educational Resources herausgegeben. Matt und Kari Die Schülerinnen und Schüler schauen sich einen kurzen Videoclip (nur auf Englisch verfügbar) an, der ihnen Matts Dilemma erklärt (Folie 3 der PowerPoint-Präsentation). Matt findet heraus, dass seine Verlobte Karis Trägerin von Sichelzellen ist. Sie drängt ihn, sich testen zu lassen, aber er weiß nichts von dieser Krankheit. Er steht vor einer schwierigen Entscheidung: Soll er sich testen lassen? Die Lernenden sollen sich in Matts Rolle versetzen (Folie 4 der PowerPoint-Präsentation) und als erste Reaktion auf das Video in der Klasse darüber abstimmen, was sie tun würden. Video-Clip Anschließend sollen sich die Lernenden erneut einen englischsprachigen Videoclip (Folie 5 der PowerPoint-Präsentation) anschauen, der ihnen aus erster Hand den Schmerz, der mit der Sichelzellanämie verbunden ist, aufzeigt. Zu dem Clip gelangen sie über die Hyperlink-Buttons auf der Folie. Zeigen Sie der Klasse die ersten drei Minuten. Sollten Sie keinen Zugriff auf das Video haben, lesen Sie ihnen das Transkript vor, das Sie am Ende des Leitfadens für Lehrkräfte finden. Informationen zur Sichelzellenerkrankung Der zweite Hyperlink-Button führt zu einer Schein-Webseite, die Informationen über die Sichelzellenerkrankung enthält. Es gibt zwei unterschiedliche Versionen (SI1a für Schülerinnen und Schüler mit Grundkenntnissen und SI1b für Schülerinnen und Schüler mit fortgeschrittenen Kenntnissen). Diese Folien können am Bildschirm gezeigt oder ausgedruckt werden. Die Lernenden sollten einzeln mit SI2 arbeiten und sich Notizen über Ursachen und Symptome der Sichelzellenerkrankung machen. Gruppenarbeit Die Schülerinnen und Schüler erörtern in kleinen Gruppen: Was wissen sie über Sichelzellen und die bereits verwendeten Begriffe (Untersuchung/Testung, erblich bedingte Krankheiten, Träger einer Erkrankung) und was wollen sie noch alles lernen, um eine gut begründete Entscheidung treffen zu können? Sie übertragen und vervollständigen die Tabelle (Folie 6 der Präsentation). Diese Folie kann auch ausgedruckt und an die Gruppen verteilt werden. Telefonat Unterbrechen Sie die Diskussionen mit einem Anruf durch Matts Mutter (Folie 7 der Präsentation). Nehmen Sie den Anruf durch Klicken auf den "Antworten"-Button entgegen. Die Lernenden sollen aus der Diskussion heraus entscheiden, was sie die Mutter fragen wollen und hören dazu ihre Antworten. Sie können eine Frage pro Fragenpaar (gleiche Farbe) auswählen und durch Anklicken hören sie die Antwort. Durch sorgfältige Auswahl soll aufgedeckt werden, dass wahrscheinlich Matts Großvater an Sichelzellen litt. Während der Testphase stellten wir fest, dass man die Antworten, die nicht ausgewählt wurden, trotzdem vorspielen sollte, damit wichtige Informationen nicht verpasst werden. Die Sprachaufnahmen der Mutter sind nur auf Englisch verfügbar. Fragenkatalog Bitten Sie die Schülerinnen und Schüler anschließend eine Liste mit Fragen zu erstellen, die sie vor der Entscheidung, ob der Test durchgeführt werden soll oder nicht (in ihrer Rolle als Matt), gerne beantworten würden. Erstellen Sie gemeinsam mit den Lernenden einen Fragenkatalog, der in der nächsten Stufe beantwortet wird (Folie 8 der Präsentation). Wenn Sie feststellen, dass die Schülerinnen und Schüler manche Bereiche wie beispielsweise den Test weglassen, gibt es die Möglichkeit, entweder den Videoclip, der die schwierige Lage beschreibt, noch einmal anzuschauen, oder Sie spielen den Lernenden noch einmal den Telefonanruf vor und leiten sie an, auch diese Bereiche zu identifizieren. Beachten Sie bitte, dass Frage 6 optional ist; Sie können sie bei Gruppen ohne Grundkenntnisse gerne weglassen. Geben Sie den Schülerinnen und Schülern an dieser Stelle SI3 (die Frage 6 können Sie hier auch weglassen). Punnett-Quadrat Leiten Sie die Schülerinnen und Schüler bei der Anwendung eines Punnett-Quadrats an und erarbeiten Sie, wie Kari eine Sichelzellen-Trägerin werden konnte (Folie 9 der Präsentation). In welchem Maß die Anleitung erfolgt, hängt davon ab, wie geübt die Lernenden bei der Anwendung eines solchen Quadrats sind. Sie können sie bitten, die unterschiedlichen Kombinationen der elterlichen Genotypen zu erarbeiten, die darauf hinausführen, dass sie eine Trägerin ist, und geben ihnen dann ein leeres Punnett-Quadrat mit den Genotypen von Karis' Eltern und fordern sie auf, die möglichen Genotypen ihrer zukünftigen Kinder zu erarbeiten, oder Sie leiten sie vollständig an und verwenden dabei die Animation auf der Folie. Ist Matt Träger der Krankheit? Die Schülerinnen und Schüler sollten nun feststellen, dass Matt nur dann Träger sein kann, wenn er das Allel von einem Elternteil geerbt hat. Zeigen Sie seinen Familienstammbaum (Folie 10 der Präsentation) und fordern Sie die Gruppen auf, diesen für die Erarbeitung, wie hoch die Wahrscheinlichkeit liegt, dass er ein Träger sein könnte, anzuwenden (Beantwortung von Frage 2). SI4 ist als optionales Informationsblatt gedacht, es kann die Schülerinnen und Schülern bei der Sammlung von Ideen unterstützen. Leiten Sie die Lernenden durch die Genotypen jeder Person und erläutern Sie, warum sie dies geerbt haben (Animation auf Folie 10). Beachten Sie: Es wird davon ausgegangen, dass es in der Familie von Matts Vater kein Sichelzellallel gibt. Eventuell möchten Sie mit den Schülerinnen und Schülern darüber sprechen, warum dies so ist (mit Bezug auf die optionale Frage 6). Eventuell möchten die Schülerinnen und Schüler noch erörtern, ob Callum, der Partner von Matts Schwester, sich auch auf Sichelzellen testen lassen sollte und warum. Die Schülerinnen und Schüler können jetzt auch Frage 3 beantworten. Die Gruppen arbeiten nun eigenständig an der Beantwortung der verbleibenden Fragen. Idealerweise arbeiten die Lernenden in Kleingruppen mit Zugang zur PowerPoint-Präsentation und erarbeiten so die verbleibenden Fragen anhand der Quellen, die über Hyperlinks zugänglich sind (Folie 11). Falls dies nicht möglich ist, sollte ein Computer im Klassenzimmer vorhanden sein, auf dem die Videoclips gezeigt und zusammen mit Ausdrucken der SI5 und SI6 angeschaut werden können. Überprüfen Sie in Ruhe die Antworten der Schülerinnen und Schüler auf SI3, ehe Sie fortfahren. In der Rolle von Matt geben die Schülerinnen und Schüler Feedback in Form einer 30 sekündigen Voice-Mail (Folie 12 der PPT) oder Textnachricht. Sie erklären ihre Entscheidung und die Gründe, die dahinterstecken.

Diese Unterrichtseinheit zu den Themen Parkettierung und Spiegelsymmetrie bietet Arbeitsmaterial und Unterrichtsvorschläge zum Online-Lernspiel "Felia legt Fliesen". Es sind keine geometrischen Vorkenntnisse bei den Schülerinnen und Schülern nötig, wenngleich es sinnvoll ist, einfache geometrische Flächenformen zuvor im Unterricht behandelt zu haben. Fliesen gibt es an vielen Orten: im Badezimmer zu Hause oder in der Schule, in vielen Kirchen – manchmal sind sogar ganze Häuserwände gefliest. Schaut man genau hin, lässt sich fast immer ein Muster darin erkennen. Das Lernspiel "Felia legt Fliesen" thematisiert geometrische Muster und Figuren am Beispiel einer gefliesten Badezimmerwand. Felia hat in ihrem Spanienurlaub Fliesen in verschiedenen Formen und Farben gesammelt. Die eignen sich ganz wunderbar dazu, die kahlen Wände eines alten Badezimmers zu verschönern. Mit Quadraten und Dreiecken lassen sich viele Muster und Figuren legen. Das zusätzliche Einblenden von Spiegelachsen kann für eine überraschende Veränderung im Muster sorgen. Das Lernspiel eignet sich als Einstieg in die Themen Parkettierung und Spiegelsymmetrie und ist so konzipiert, dass keine geometrischen Vorkenntnisse erforderlich sind. Es ist für den didaktischen Aufbau aber sicherlich sinnvoll, einfache geometrische Flächenformen zuvor im Unterricht behandelt zu haben. Zum Einstieg sollten die Vorerfahrungen der Kinder abgefragt werden, denn Fliesen kennt jeder aus seinem Alltag. Die spielerischen Erfahrungen der Kinder am Computer sollten im Anschluss mit realen Formen aus beispielsweise Papier oder Pappe vertieft werden. Eine virtuelle Fliesenwand gestalten Die Kinder helfen Felia, passende Fliesen in unfertige Muster oder Figuren zu platzieren und denken sich eigene Fliesenmuster aus. Forschen mit echten Fliesen und Spiegeln Das virtuelle Forschen kann gut mit Aktivitäten abseits des Computers kombiniert werden, zum Beispiel mit Papierfliesen oder Beispielen aus dem Alltag. Die pädagogischen Leitlinien der Stiftung Begleiten und unterstützen Sie die Kinder in ihrer natürlichen Neugier an Phänomenen aus ihrem Alltag. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen die Gesetzmäßigkeiten in geometrischen Mustern (Parkettierung, Spiegelsymmetrie) und setzen diese fort. erfinden eigene geometrische Muster. erfahren, wie sich die Umgestaltung einer Fliese auf das Gesamtmuster auswirkt. entdecken Zusammenhänge zwischen einfachen geometrischen Flächenformen. erkennen, aus welchen Formen sich eine geometrische Figur zusammensetzt. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler platzieren mit einem einfachem Mausklick geometrische Formen an gewünschter Stelle. lernen die Handlungsoptionen des Lernspiels auszuprobieren und anzuwenden. wissen, wie sie ihr selbst erstelltes Fliesenmuster ausdrucken können. lesen gesprochene Texte mit. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler treffen Vereinbarungen über die Nutzung der zur Verfügung stehenden Computer. tauschen sich über ihre selbst erstellten Muster aus. In fast jedem Zuhause sind Wände und Boden im Badezimmer mit Fliesen ausgelegt. Wie sehen die bei den Kindern zu Hause aus? Welche Form und welche Farbe haben die Fliesen? Oft sind geflieste Wände und Böden einfarbig - was würden die Kinder tun, um sie schöner zu machen? Wo haben die Kinder schon einmal geflieste Wände oder Böden gesehen, die schön gemustert waren? Am Computer bekommen die Kinder die Gelegenheit, eine Fliesenwand ganz nach ihrem Wunsch zu gestalten. Zugang zum Lernspiel Das Lernspiel "Felia legt Fliesen" ist integriert in einen interaktiven Forschergarten, der die Kinder zu eigenständigen Entdeckungsreisen animiert. Die Figuren Tim und Juli begleiten sie dabei. Zum Spiel gelangt man über verschiedene Zugänge: Über den Button "Spiele und Wissen", wo Sie über ein Auswahlmenü einen Link zu "Felia legt Fliesen" finden. Oder Sie betreten direkt den Forschergarten und suchen ein Icon mit Felia, die vor einer alten Villa ein buntes Fliesenmuster legt (Abbildung 1, zum Vergrößern bitte anklicken). Technische Hinweise Für die Nutzung der Lernspiele auf der Kinder-Webseite muss Adobe Animation installiert sein. Aufgrund der grafischen Benutzeroberfläche kann es beim erstmaligen Öffnen der Seite zu einer längeren Ladezeit kommen. Die Dauer hängt von Ihrer Internetverbindung ab. Ist die Seite einmal geladen, ist die Navigation einfach und schnell möglich. Einführende Geschichte Wie jedes Lernspiel auf www.meine-forscherwelt.de beginnt auch "Felia legt Fliesen" mit einer kurzen Geschichte, die inhaltlich in das Spiel einführt. Das Intro kann auch übersprungen werden. SPIEL 1: Kannst du das fertig legen? Felia hat sich Muster mit dreieckigen und quadratischen Fliesen ausgedacht. Einige Fliesen hat sie auch schon verlegt - erkennen die Kinder das Muster? Ziel ist es, mit passenden Fliesen die noch vorhandenen Lücken zu schließen. Ein eingeblendetes Raster hilft den Kindern, die Fliesen richtig zu positionieren. Figuren mit Fliesen auslegen Auch Figuren sollen mit dreieckigen und quadratischen Fliesen ausgelegt werden. Welche Formen passen in die Umrisse? Als Hilfestellungen ist zu Beginn ein Raster eingeblendet. Bei höheren Levels gibt es dieses Raster nicht mehr. Auch die zu legenden Figuren werden komplizierter. SPIEL 2: Eigene Muster legen In diesem Spiel können sich die Kinder ihr eigenes Muster ausdenken. Zu Beginn wählen sie eines von drei Rastern. Je nach Raster stehen dreieckige oder quadratische Fliesen zur Auswahl, die über eine Farbpalette eingefärbt werden können. Auf Wunsch können auch eine horizontale oder vertikale Spiegelachse aktiviert werden. Wer weiß schon vorher, wie sein Muster danach aussieht? SPIEL 3: Einzelne Fliesen gestalten Im letzten Spiel gestalten die Kinder einzelne Fliesen, die sich dann automatisch auf der ganzen Wand verteilen. Zu Beginn können die Kinder wieder zwischen drei Rastern auswählen. Je nach Raster stehen ihnen dann Dreiecke oder Quadrate für die Gestaltung zur Verfügung, die sie auf Wunsch einfärben können. Sobald die Kinder eine Form in ihr Fliesenraster legen, sehen sie das Ergebnis an der Wand. Dokumente zum Ausdrucken Wer mag, kann sich am Ende von Spiel 2 und 3 seine selbst erstellten Fliesenmuster als PDF-Dokument ausdrucken. Diskussion der Erfahrungen Sammeln und diskutieren Sie die Erfahrungen der Kinder mit "Felia legt Fliesen". Wie weit sind sie gekommen? Gab es Level, die besonders knifflig waren? Im Spiel wurden ganze Wände mit ein oder zwei Formen ausgelegt. Welche Formen waren das? Warum hat man dazu wohl keine Kreise genommen? Eigene Fliesenmuster Schauen Sie sich gemeinsam die ausgedruckten Muster der Kinder an. Gibt es Muster, die sich ähnlich sind? Wie könnten diese Muster entstanden sein? Es gibt zum Beispiel Muster, in denen sich bestimmte Ausschnitte ständig wiederholen. Können die Kinder zeigen, was sich wiederholt? Nehmen Sie auch die Muster mit Spiegelachse unter die Lupe: Was macht diese Linie denn? Sind die Muster links und rechts von so einer Spiegellinie gleich oder sehen die Kinder auch Unterschiede? Lassen Sie die Kinder auch nach Mustern mit zwei Spiegelachsen suchen. Wie erkennt man die denn? Der Begriff Spiegelachse Ist der Vergleich mit dem Spiegel einmal gezogen, spricht grundsätzlich nichts dagegen, den Fachbegriff Spiegelachse einzuführen. Viele Kinder haben Freude am Lernen neuer Begriffe. Sie sollten danach regelmäßig in die Erklärungen und Beschreibungen der Kinder eingehen. Für besonders wissbegierige Kinder stehen auf der Kinder-Webseite weiterführende Lesetexte zur Verfügung. Sie sind direkt im Spiel über dem Bereich "Hilfe" zugänglich, dort gibt es einen Link "Wissen". Oder über den Knopf "Spielen & Wissen" am unteren Rand des Bildschirms. Die "Knabbertechnik" Im Spiel haben die Kinder ganze Flächen ohne Lücke mit quadratischen oder dreieckigen Fliesen ausgelegt ( Parkettierung ). Welche Form hätten die Fliesen noch haben können? Wie sehen zum Beispiel die Pflastersteine auf dem Schulweg oder der Parkettfußboden zu Hause aus? Manchmal kann man hier ganz ungewöhnliche Formen entdecken - noch ungewöhnlicher sind jedoch die Parkette oder Fliesen, die sich durch die sogenannte Knabbertechnik herstellen lassen. Lassen Sie die Kinder zunächst eine Fliesenschablone basteln. Dazu benötigen Sie nichts weiter als ein Quadrat oder Rechteck aus Pappe. Von einer Seite "knabbern" sie nun etwas ab und kleben es mit etwas Tesafilm an gegenüberliegender Seite wieder an - fertig ist die Schablone! Wer möchte, kann auch an zwei Seiten gleichzeitig knabbern. Fliesen aus buntem Papier Mit ihrer Schablone können die Kinder nun ganz viele Fliesen aus buntem Papier herstellen - zwei Farben reichen schon aus, um schöne Farbmuster zu legen. Mögliche Fortsetzung Lassen Sie die Kinder die "Knabber-Regel" auch auf andere einfache Flächenformen übertragen. Wie würden die Kinder beispielsweise bei einem Dreieck vorgehen? Teilen Sie gleichseitige (!) Papierdreiecke aus und lassen Sie die Kinder ausprobieren. Experimente mit einer Spiegelfliese Lassen Sie die Kinder mit einer Spiegelfliese ausprobieren: Wie muss ich meinen Namen auf ein Blatt Papier schreiben, damit er im Spiegel richtig zu lesen ist? Wie lässt sich ein Lineal verlängern oder verkürzen? Wie male ich ein Gesicht, das einmal fröhlich und einmal traurig guckt? Diese oder ähnliche Anregungen finden Sie übrigens auch auf der Entdeckungskarte "Spieglein, Spieglein" aus dem Kartenset für Kinder "Mathematik - Geometrie mit Fantasie", die Sie kostenfrei als PDF-Dokument auf der Webseite der Stiftung heruntergeladen können: Download Entdeckungskarte "Spieglein, Spieglein" Weitere Spiegel-Experimente Die Kinder können auch vier identische, kleine Klebezettel oder andere flache Objekte wie Legeplättchen oder Ähnliches in eine Reihe legen: Wie viele Zettel können die Mädchen und Jungen mit dem Spiegel sehen? Gelingt es ihnen, auch eine ungerade Anzahl an Zetteln zu sehen? Ein Spiegel macht es möglich, aus vier Zetteln jede Anzahl zwischen Null und Acht zu sehen. Alles vor dem Spiegel wird nämlich verdoppelt - nur eben spiegelverkehrt! Lassen Sie die Kinder ihre Spiegel-Ergebnisse zeichnerisch dokumentieren. Die Position des Spiegels, also die Spiegelachse , markieren sie wie in "Felia legt Fliesen" mit einer geraden Linie. Spiegel-Tangram Stellen Sie mit den Kindern ein eigenes Spiegel-Tangram her. Das Spiel besteht aus Quadraten und Dreiecken zum Legen, einem Handspiegel und einem Satz Karten mit spiegelsymmetrischen Mustern aus bunten Quadraten und Dreiecken. Verteilen Sie zunächst quadratische Notizzettel in zwei Farben an die Kinder. Vierteln sie diese, erhalten sie vier kleine Quadrate und ein passendes Dreieck, indem sie ein kleines Quadrat noch einmal entlang seiner Diagonalen halbieren. Spiegeln von zwei Formen Zu zweit oder in kleinen Gruppen überlegen sich die Kinder nun Spiegelmuster, die durch Spiegeln von zwei Formen entstehen können. Das ist manchmal gar nicht so einfach! Um sich das Positionieren der Formen zu erleichtern, können die Kinder einen Schaschlik-Spieß zu Hilfe nehmen, der die Spiegelachse simuliert und später wieder entfernt wird. Die fertigen Muster werden auf Kärtchen aus Kartonpapier geklebt und untereinander ausgetauscht. Erkennen die Kinder, wo sich die Spiegellinie in den Mustern befindet? Wie müssen sie die Formen vor dem Spiegel anordnen, damit das gleiche Muster wie auf dem Kärtchen entsteht? Naturwissenschaftliche, technische und mathematische Phänomene sind Teil der Erfahrungswelt von Kindern: Morgens klingelt der Wecker, die Zahncreme schäumt beim Zähneputzen, das Radio spielt Musik, der heiße Kakao dampft in der Tasse, Frühstückseier und Äpfel können vom Tisch kullern, die Butter aber nicht. Kinder wollen ihre Welt im wahrsten Sinne des Wortes "begreifen" und mehr über Naturphänomene erfahren. Diese vielfältigen Anlässe im Alltag der Kinder lassen sich auch für die pädagogische Arbeit nutzen. Die Fragen der Kinder spielen deshalb beim Forschen und Experimentieren eine zentrale Rolle. Die Bildungsinitiative "Haus der kleinen Forscher" möchte vor allem Lernfreude und Problemlösekompetenzen fördern. Dabei sollen Kinder gerade nicht nach Erwachsenenverständnis "richtige" Erklärungen für bestimmte Phänomene lernen und diese auf Abruf wiedergeben können. Vielmehr möchte die Stiftung Pädagoginnen und Pädagogen Möglichkeiten an die Hand geben, um die Kinder bei einem forschenden Entdeckungsprozess zu begleiten. Dazu gehören unter anderem das Beobachten, Vergleichen und Kategorisieren, das sich Kinder zunutze machen, um die Welt um sich herum zu erkunden. Die Stiftung "Haus der kleinen Forscher" hat folgendes Bild vom Kind. Es prägt das pädagogische Handeln und beinhaltet die Vorstellung darüber, auf welche Weise Kinder lernen: Kinder sind reich an Vorwissen und Kompetenzen. Kinder wollen von sich aus lernen. Kinder gestalten ihre Bildung und Entwicklung aktiv mit. Jedes Kind unterscheidet sich durch seine Persönlichkeit und Individualität von anderen Kindern. Kinder haben Rechte. Bildung als sozialer Prozess Bildung ist ein sozialer Prozess. Kinder lernen im Austausch mit und von anderen, durch Anregung, durch individuelle Erkundung und durch gemeinsame Reflexion. Kinder lernen nicht nur von Erwachsenen, sondern auch mit und durch Zusammenarbeit mit anderen Kindern. Der pädagogische Ansatz der Stiftung ist von den zwei pädagogischen Leitlinien Ko-Konstruktion und Metakognition geprägt. Ko-Konstruktion Ko-Konstruktion bedeutet, dass Kinder durch die Zusammenarbeit mit anderen lernen. Lernprozesse sollten grundsätzlich von Kindern und pädagogischen Fachkräften gemeinsam "konstruiert" werden. Metakognition Während der gemeinsamen Gestaltung von Bildungsprozessen kann mit den Kindern thematisiert werden, dass sie lernen, was sie lernen und wie sie lernen. Dies geschieht über die Auseinandersetzung mit den eigenen kognitiven Prozessen (Gedanken, Meinungen, Einstellungen und so weiter), also das Wissen einer lernenden Person über ihr Wissen, ihre neugewonnenen Erkenntnisse und den Weg dorthin. An das Vorwissen der Kinder anknüpfen Die pädagogischen Fachkräfte bekommen eine Vorstellung von den Vorerfahrungen und Gedankengängen der Kinder, wenn sie ihnen genau zuhören, sie beobachten und nach ihren eigenen Vermutungen fragen. Mit den Kindern sprechen Die pädagogischen Fachkräfte unterstützen die Kinder durch Dialoge, den nächsten geistigen Entwicklungsschritt zu machen. Nicht erklären, sondern (hinter-)fragen! Die Kinder zum Nachdenken anregen Wenn Kinder einmal vermeintlich "falsche" Konzepte heranziehen, zum Beispiel "Der Strom ist schwarz", dann wird daraus ersichtlich, wo das Kind gerade steht. Aufgabe ist es, Kinder bei geeigneter Gelegenheit darauf aufmerksam zu machen, dass es zum Beispiel auch weiße Kabel gibt. Die pädagogische Fachkraft bringt die Kinder auf diese Weise dazu, selbst eine neue Theorie zu entwickeln. Kindern (Frei-)Raum zum Forschen geben Auf der Internetseite der Stiftung finden Sie unter "Forschen - Pädagogik - Pädagogischer Ansatz" Tipps zur Gestaltung von Forscherräumen in der Kita, welche auch auf Grundschulen übertragbar sind. Die gemeinnützige Stiftung "Haus der kleinen Forscher" unterstützt seit 2006 pädagogische Fachkräfte dabei, den Forschergeist von Mädchen und Jungen qualifiziert zu begleiten. Die Bildungsinitiative startete zunächst mit dem Fokus auf Kindern im Kindergartenalter. Seit 2011 können auch Horte und Grundschulen beim "Haus der kleinen Forscher" mitmachen. Die pädagogischen Leitlinien gelten für beide Zielgruppen. Die Themen und Phänomene, die die Kinder interessieren, bleiben ähnlich oder dieselben - egal ob Kita-Kind, Grundschul-Kind oder große Forscherin. Allerdings nimmt die Komplexität der Inhalte zu, um sie an die Kompetenzen und das höhere Vorwissen der sechs- bis zehnjährigen Kinder anzupassen. Ältere Kinder haben eine andere Verständnisebene - aus Staunen soll Verstehen werden. In den Workshops der Stiftung erleben Pädagoginnen und Pädagogen in Horten, Grundschulen und in der Ganztagsbetreuung, wie viel Spaß Naturwissenschaften machen können und dass man zum Forschen kein Labor braucht. Die Stiftung richtet ihr Angebot an Bildungseinrichtungen mit Ganztagsangeboten, wie Grundschulen und Horte. Das Angebot ist für die Lernbegleitung von sechs- bis zehnjährigen Kindern im außerunterrichtlichen Bereich konzipiert und orientiert sich inhaltlich an den Bildungs- und Lehrplänen der Bundesländer. Fortbildungsangebote der Bildungsinitiative Alle Teilnehmer erhalten umfangreiche Unterlagen zur Pädagogik, zum NaWi-Hintergrund sowie Vorschläge und Ideen für die Umsetzung.

In diesem fächerübergreifenden Unterrichtsprojekt gewinnen die Schülerinnen und Schüler anhand der Parabel "Flächenland" von Edwin A. Abbott grundlegende physikalische und ethisch-moralische Erkenntnisse. Das Buch kann zur Erhellung einiger fundamentaler Zusammenhänge beitragen. Kennen Sie Flächenland? Führen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler in die zweidimensionale Welt eines kleinen Quadrates und lassen Sie sie einiges über Raum und Zeit, über Dimensionen und über ein- und mehrdimensionales Denken in einer ganz besonderen Gesellschaft entdecken. Die Flächenland-Parabel von Edwin A. Abbott (1838-1926), eine Gesellschaftssatire aus dem viktorianischen England, dient in der hier vorgestellten Unterrichtseinheit als Basis für grundlegende physikalische und ethisch-moralische Erkenntnisse. Sie kann zur Erhellung einiger fundamentaler Zusammenhänge beitragen. "Flächenland" bietet sich dabei für fächerübergreifende Unterrichtsprojekte an. Unterrichtsverlauf und Arbeitsmaterialien Die Unterrichtseinheit ist modular aufgebaut, Sie können also beliebig Module weglassen, austauschen oder auch erweitern. Dennoch wird auf den folgenden Seiten ein Unterrichtsverlauf beschrieben, der als Vorschlag zu verstehen ist. Dabei findet ein allmählicher Übergang von dem rein physikalisch-mathematischen Verständnis der Dimensionen zu den sozialkritischen und ethischen Aspekten im Zusammenhang mit eindimensionalem Denken statt. Was ist Flächenland? Für alle, die den Roman noch nicht kennen: Eine Kurzfassung der Story und worum es in der Parabel eigentlich geht. Allgemeine Hinweise, Modul 1 bis 3 Der thematische Einstieg erfolgt über ein Experiment oder die Betrachtung von Stereogrammen. Die Schülerinnen und Schüler lernen den Roman kennen, zeichen und betrachten verschiedendimensionale Formen und klären den Begriff der "Dimension". Modul 4 bis 8 Die Schülerinnen und Schüler beschäftigen sich mit den Verständnisschwierigkeiten zwischen der Kugel und dem Quadrat, der Rolle der Frauen in Flächenland und der politischen Dimension von Vorurteilen. Schließlich schreiben sie eine eigene Geschichte. Fächerverbindender Unterricht - Beispiel Mathematik Der Flächenland-Roman bietet sich auf vielfältige Weise für fächerverbindende Ansätze an. Wie schön (und humorvoll) diese im Fach Religion/Ethik durchgeführte Unterrichtseinheit mit der Behandlung der mathematischen Inhalte des Romans verzahnt werden kann, zeigt der folgende Beitrag aus dem Fachportal Mathematik. Die dort vorgestellte Lernumgebung kann zum Beispiel zwischen den Modulen 3 (Dimensionen) und 4 (Das Quadrat begegnet der Kugel) zum Einsatz kommen. Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Interaktive Applets, die mit der dynamischen Geometriesoftware GEONExT erzeugt wurden, veranschaulichen Schülerinnen und Schülern den mathematischen Hintergrund von Textpassagen aus dem Roman "Flächenland". Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren und verstehen das Prinzip der Dimensionen. definieren den Begriff "Dimension" im physikalisch-mathematischen und im philosophisch-ethischen Sinne. können die (teilweise gefahrvolle) Situation eines "freien" Denkers innerhalb einer engstirnigen Gesellschaft nachvollziehen. lernen das Entdecken neuer Perspektiven und einer neuen, ungewohnten Weltsicht als innovativ und wichtig für den Erkenntnisfortschritt einer Gesellschaft kennen. erkennen Zusammenhänge zwischen eindimensionalem Denken und Vorurteilen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Internet als Medium zur gezielten Recherche. lernen mit der Zeichenfunktion von Word (oder mit einer Geometriesoftware) umgehen. stellen eigene Beiträge ins Internet und diskutieren in einem Forum die Beiträge der Mitschülerinnen und Mitschüler. Der Roman "Flächenland" ("Flatland - A romance of many dimensions") des Briten Edwin A. Abbott erschien 1884 in England. Er zählt längst zu den Klassikern der Science-Fiction-Literatur, ist aber eigentlich eine geometrische Humoreske, ein in viele Richtungen lesbares und interpretierbares Gedankenexperiment, das als Gesellschaftssatire und als Plädoyer für die Freiheit des Denkens verstanden werden kann. Die Erzählung thematisiert die Situation des Denkers, der eine neue, riskante Sicht auf die Welt wagt - in einer Gesellschaft, die diese Perspektive (noch) nicht nachvollziehen kann und will. Physikalisch gesehen kann der Roman auch als Gleichnis für die Entdeckung der für uns schwer vorstellbaren "Raumzeit" dienen. Die Parabel von Flächenland zeigt, dass es Dimensionen gibt, die wir zwar nicht wahrnehmen oder anschaulich verstehen, die aber dennoch existieren können. Ein altes Quadrat, Bewohner der fiktiven 2D-Welt "Flächenland", erzählt von seinem zweidimensionalen Land, in dem Dreiecke, Vierecke und Kreise leben, die bestimmte, genau definierte und geordnete Funktionen und Kompetenzen haben, und von dem Besuch einer Kugel aus der 3D-Welt. Diese zunächst unerklärliche Erscheinung löst bei den einfachen Bewohnern von Flächenland Verwirrung und Panik aus. Dem cleveren und neugierigen Quadrat gelingt jedoch die Kommunikation mit der Kugel, es macht Reisen in das eindimensionale "Linienland" und das dreidimensionale "Raumland" und begreift das Prinzip der Dimensionen. Zurück in der Heimat versucht das Quadrat, von seinen Erlebnissen und Erkenntnissen zu berichten, wird aber von den Priestern, die das Wissen über die Existenz der dritten Dimension dem Volk vorenthalten wollen, bedroht und von deren Justizgewalt ins Gefängnis gebracht. Der Roman "Flächenland" (1884) von Edwin A. Abbott Infos zum Inhalt des Romans auf der Website der Humboldt-Gesellschaft. Flatland - A romance of many dimensions Die englischsprachige Ausgabe des Romans mit Illustrationen des Autors im Internet. Einige Punkte der Unterrichtseinheit setzen im Zusammenhang mit dem Thema Dimensionen einen recht hohen Abstraktionsgrad und auch ein gewisses geometrisches Grundverständnis voraus. Daher wird in diesen Modulen methodisch und inhaltlich zwischen jüngeren (Klasse 6 und 7) und älteren Schülerinnen und Schülern (Klasse 8 bis 10) unterschieden. Die Arbeitsblätter werden in diesen Fällen in zwei Varianten angeboten. Verschiedendimensionales auf dem Schulhof Besonders für jüngere Schülerinnen und Schüler ist es sicher sinnvoll und motivierend, den Unterschied zwischen ein- und mehrdimensionalen Verhältnissen physisch-räumlich zu erfahren. Deshalb schlagen wir hier einen praktischen Versuch auf dem Schulhof vor, der schnell und einfach zu realisieren ist und - ganz im Sinne eines beweglichen Verstandes - ein wenig Bewegung in den Unterricht bringt. Die Klasse wird dazu in vier Gruppen aufgeteilt, die jeweils die Eigenschaften von "Punkt-, Linien, Flächen- und Raumland" erfahren sollen. Arbeit mit Stereogrammen Eine andere Möglichkeit für den Einstieg in das Thema Dimensionen bieten die 3D-Effekte von Stereogrammen, mit deren Hilfe Schülerinnen und Schüler anschaulich erleben und verstehen können, was sich ändert, wenn sich an einem ganz bestimmten Punkt eine dritte Dimension öffnet und eine andere "Welt" zeigt. Die Stereogramme können einzeln oder zu zweit am Bildschirm betrachtet werden. Als Alternative bietet sich aber auch die Projektion ausgewählter Stereogramme per Beamer an. Dabei kann dem Ganzen noch eine sportliche Note gegeben werden: "Wer erkennt als erster das verborgene 3D-Bild?" Anhand von Texten aus dem Internet lernen die Schülerinnen und Schüler Flächenland kennen. Die Internetseiten geben einen Überblick über den Inhalt des Romans und führen direkt in die zweidimensionale Welt des Romanhelden, eines Quadrates, und seiner Mitbewohner ein. Hier geht es um die Lektüre der Kapitel 15 ("Einen Fremden aus Raumland betreffend") und 16 ("Wie der Fremde vergeblich versucht, mit Worten die Geheimnisse von Raumland zu enthüllen") aus der Erzählung "Flächenland" und die Umsetzung des Gelesenen in ein kurzes Rollenspiel. Dabei soll das Verständnis für die konsequent logische Argumentation der Kugel (der das zweidimensionale Quadrat aber nur theoretisch folgen kann) sichergestellt werden. Der vierten - für Nicht-Physiker und Nicht-Mathematiker schwer vorstellbaren - Dimension ist zur Vertiefung im Rahmen der Unterrichtseinheit ein eigenes Modul gewidmet, obwohl das Prinzip bereits in Modul 4 deutlich wurde. Der Transfertext aus "Alice im Wunderland" bietet an dieser Stelle Anknüpfungspunkte für den Deutschunterricht. Das 4. Romankapitel lautet "Über die Frauen". Da diese in Flächenland die Form gerader Linien haben, erscheinen sie von vorne als Punkt, sind also praktisch unsichtbar. Für die Flächenländer stellen sie daher eine große Gefahr dar - Frontalzusammenstöße mit ihnen enden tödlich. Die Frauen unterliegen deshalb "zum Schutze der Bürger" einer besonderen Gesetzgebung, die sie diskriminiert, mit tödlichen Strafen bedroht und ihnen ein normales, gleichberechtigtes Leben unmöglich macht. Der satirische Charakter der Erzählung ist in diesem Kapitel nicht zu übersehen. Die Parallelen zum fundamentalistisch verstandenen Islam sind offensichtlich, dennoch sollten die Schülerinnen und Schüler vor platten Gleichsetzungen gewarnt und zu vielfältigen Interpretationen der Parabel ermuntert werden (zumal Abbot zu seiner Zeit sicher eine etwas andere Perspektive hatte). In einer offenen Debatte könnten diverse Diskriminierungen und Randgruppenprobleme unserer heutigen Gesellschaft angesprochen werden, was zu Modul 7 überleiten könnte. Dieses Modul basiert auf einem relativ langen Text auf der Website von Martin Blumentritt zum Thema Die politische Dimension von Vorurteilen . Es ist deshalb nur für ältere Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I (Klasse 8 bis 10) geeignet. Es empfiehlt sich gegebenenfalls, auf ein Detailverständnis des gesamten Textes zu verzichten und sich nach einer Globallektüre auf den ersten Teil zu konzentrieren, der dann mit den üblichen textanalytischen Verfahren erschlossen werden kann. Hier wird vorgeschlagen, mit Schlüsselwörtern zu arbeiten und ein Strukturskizze anzufertigen. Dafür könnte ein MindMap-Programm benutzt werden. Als kreative Aufgabe im Sinne einer Transferleistung soll von den Schülerinnen und Schülern ein eigener Text mit einer Situation entworfen werden, die mit derjenigen von Flächenland vergleichbar ist. Auch hier gibt es wieder Arbeitsblattvarianten für den Einsatz in Klasse 6 und 7 beziehungsweise Klasse 8 bis 10, wobei bei den älteren Schülerinnen und Schülern schon ein gewisses gesellschaftspolitisches Bewusstsein vorausgesetzt wird. Um die Schreibmotivation zu erhöhen, könnten die Texte im Internet veröffentlicht werden, zum Beispiel im Webspace eines virtuellen Klassenraums im Lehrer-Online-Netzwerk (lo-net). Mithilfe eines Homepagegenerators ist dies problemlos ohne HTML-Kenntnisse möglich. Im Forum des virtuellen Klassenraums können die Texte der Mitschülerinnen und Schüler kommentiert und diskutiert werden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Parabel entdecken und erforschen die Lernenden mithilfe dynamischer Geometriesoftware die Graphen quadratischer Funktionen beziehungsweise ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades." Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind ." " Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die ..." Eine solche Aussage gibt es tatsächlich auch für die Parabel. Sie zu entdecken und zu erforschen, dazu regt die hier vorgestellte Unterrichtseinheit an. Die Parabel als Graph quadratischer Funktionen beziehungsweise ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades, ist ein fester Bestandteil des Mathematik-Unterrichts. Dagegen ist die Behandlung ihrer geometrischen Eigenschaften in den Lehrplänen meist nur fakultativ vorgesehen, obwohl die Ortslinien- und Brennpunkteigenschaft der Parabel vielfältige Anwendungen in der Technik finden. Es lohnt sich eine genauere Betrachtung. Zur Durchführung der Unterrichtseinheit sollten optimaler Weise ein Tablet oder ein PC pro Schülerin und Schüler zur Verfügung stehen. Auf den Endgeräten muss die GeoGebra-Software installiert sein. Zur Verwendung der GeoGebra-Dateien wird kein Internet benötigt.Die Unterrichtseinheit "Die Parabel als Ortslinie" basiert auf interaktiven und dynamischen GeoGebra-Applets. Sie schaffen Visualisierungsmöglichkeiten, die auf Papier oder an der Tafel nicht realisierbar sind und somit das Verständnis erleichtern. Die Lehrkraft und die Lernenden können mithilfe der Maus oder dem Finger die Zeichnungen und Konstruktionen kontinuierlich am Computer oder auf Tablets verändern und so bestimmte Fragestellungen dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Aufgaben mit einblendbaren Hilfestellungen dienen der Lernzielkontrolle. Die Unterrichtseinheit kann zur dynamischen Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Neuerarbeitung des Themas im Unterricht oder zur eigenständigen Erarbeitung der Lerninhalte eingesetzt werden. Die Einheit eignet sich auch zur selbstständigen Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffes, als Ergänzung in Übungsstunden oder als Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte. Erforderliche mathematische Voraussetzungen für die Unterrichtseinheit sind die Kenntnis der Parabel als Graph quadratischer Funktionen (beziehungsweise ganzrationaler Funktionen geradzahligen Grades) und der Satz des Pythagoras zum Beweis der Ortslinieneigenschaft der Parabel. Bei genügend Zeit kann auch auf die Umkehrung des Satzes der Ortslinieneigenschaft sowie auf den Beweis der Brennpunkteigenschaft (mithilfe des Reflexionsgesetzes) eingegangen werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler erfahren experimentell die Parabel als Punktmenge mit besonderen geometrischen Eigenschaften. erklären die Begriffe Brennpunkt und Leitgerade einer Parabel. führen den Beweis der Ortslinieneigenschaft der Parabel. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden computergestützte Software zum Konstruieren. erforschen Konstruktionsanweisungen in interaktiven Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler diskutieren ihre Lösungsstrategien und tauschen ihre Erkenntnisse in Paararbeit aus. passen Kommunikation und Verhalten an die jeweilige digitale Umgebung an.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Funktionen entdecken die Schülerinnen und Schüler in kleinen hands-on-Experimenten mit Alltagsmaterial lineare, quadratische und variierende funktionale Zusammenhänge. Mit dazu passenden GeoGebra-Aktivitäten erarbeiten sie sich dynamisch das Änderungsverhalten der beteiligten Größen und deren Zusammenhang. Die Unterrichtseinheit dient als Einstieg in das Thema Funktionen (Leitidee funktionaler Zusammenhang) und entwickelt für das Funktionen-Konzept notwendige Grundvorstellungen. Dabei wird von Beginn an insbesondere das Änderungsverhalten ins Zentrum gestellt. Die Schülerinnen und Schüler helfen als Architektinnen und Architekten oder Ingenieurinnen und Ingenieure in dieser Unterrichtseinheit Sarah und Max bei deren Projekt, ein Baumhaus zu bauen. Sie erkunden in Partnerarbeit in drei Kontexten Zusammenhänge zwischen zwei Größen mithilfe von Alltagsmaterialien und GeoGebra-Aktivitäten. Dabei erarbeiten die Schülerinnen und Schüler zunächst eine verbale Beschreibung des Zusammenhangs und des Änderungsverhaltens. Die GeoGebra-Aktivitäten ermöglichen die visuelle Verknüpfung der Situation zum Graph und schließlich zur Tabelle. Der Arbeitsablauf ist in allen drei Kontext identisch (siehe Unterrichtsablauf unten) und füllt jeweils etwa zwei Unterrichtsstunden. Die Tipps im Hilfeheft ermöglichen eine eigenständige Bearbeitung der Lerneinheit. Ergänzt werden die Erarbeitungsphasen durch Glühbirnen-Aufgaben zum Austausch und zur Verallgemeinerung, die von zwei unterschiedlichen Zweierteams (Baumhaus-Ingenieurinnen und -Ingenieure plus Baumhaus-Architektinnen und -Architekten) als Vierergruppe zu bewältigen sind. Die Baumhaus-Architektinnen und Architekten sowie Baumhaus-Ingenieurinnen und -Ingenieure arbeiten an unterschiedlichen, aber verwandten Kontexten (erst linear, dann quadratisch, schließlich variierend). In den Austauschphasen werden so durch Vergleich und Abgleich der Entdeckungen Gemeinsamkeiten identifiziert und verallgemeinerte Vorstellungen des Änderungsverhalten entwickelt. Das Thema "Funktionale Zusammenhänge" im Mathematik-Unterricht Funktionale Zusammenhänge bereiten Schülerinnen und Schülern viele Schwierigkeiten. Vor allem das Konzept des Änderungsverhaltens, also die simultane Änderung der beiden in Zusammenhang stehenden Größen ist schwer zugänglich. Hier helfen kleine Experimente, den funktionalen Zusammenhang zu begreifen, jedoch ist auch beim Experimentieren einiges zu beachten. Der Fokus sollte nicht zu numerisch sein, was durch Messen und Protokollieren beim Experimentieren schnell geschehen kann. Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler Voraussetzung für die Unterrichtseinheit sind ein erlernter Umgang mit einem Koordinatensystem, das Anlegen von Tabellen mit Wertepaaren, das Ablesen von Punkten im Koordinatensystem, sowie das Messen von Längen. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Die Lehrkräfte müssen lediglich die Lernenden dabei unterstützen, die auf GeoGebra basierenden Simulationen im Webbrowser aufzurufen und deren vorkonfigurierte Bedienelemente zu nutzen. Bei der Nutzung der Lernumgebung als GeoGebra Classroom sollte die Lehrkraft im Umgang mit solchen vertraut sein. Ein Online-Tutorial dazu finden sie hier . Didaktische Analyse Die Schwierigkeiten mit dem Änderungsverhalten liegen einerseits am ohnehin schwierigen Variablenkonzept, das dieser sogenannten Kovariation zugrunde liegt. Darüber hinaus erschwert jedoch der Einstieg in das Thema über Wertepaare und Tabellen einen angemessenen Konzepterwerb. Dies hat mehrere Gründe: Die Idee einer Funktion als Zuordnung von einem Wert der Eingangsgröße zu einem Wert der Ausgangsgröße erzeugt eine statische Sicht auf den Zusammenhang, also eine Auflistung von Zuständen. Für Schülerinnen und Schüler ist es auch nicht nachvollziehbar beziehungsweise notwendig, für diese Wertepaare einen neuen mathematischen Begriff einzuführen. Die Zuordnung von einzelnen Werten zueinander wirkt für Lernende künstlich. Demgegenüber stellen (mehr oder weniger) gezielte Veränderungen einer Größe und die Beobachtung der Auswirkungen ein vertrautes Vorgehen dar. Der Messprozess und aufwendiges Protokollieren können diese Variation und Beobachtung überlagern und unproduktiv für das Funktionenkonzept machen. Simulationen, die Kontexte modellieren, schaffen in dieser Unterrichtseinheit Abhilfe und machen die simultane Änderung der beiden Größen erkennbar. Sie eröffnen eine dynamische Sicht auf den Zusammenhang. Durch die Bearbeitung eines linearen, eines quadratischen, sowie eines variierenden Zusammenhangs entsteht ein breites Konzept von funktionalen Zusammenhängen, das typischen Fehlvorstellungen der Lernenden (zum Beispiel Illusion der Linearität) entgegenwirkt. Die Austauschphasen zu verwandten Kontexten (lineare, quadratische beziehungsweise variierende Zusammenhänge) ermöglichen eine Verallgemeinerung der Vorstellung vom Zusammenhang über den erfahrenen Kontext hinaus. Methodische Hinweise Die inhaltliche Erarbeitung findet in allen drei Kontexten (linearer, quadratischer sowie variierender Zusammenhang) analog statt. Pro Kontext wird in etwa eine Doppelstunde benötigt, die wie im Unterrichtsverlauf beschrieben durchgeführt wird. Aufgaben zum Weiterdenken puffern unterschiedliches Arbeitstempo vor den Glühbirnen-Aufgaben. Da es sich um eine Selbstlernumgebung handelt, können die Schülerinnen und Schüler in ihren Teams die Kontexte eigenständig nacheinander bearbeiten. Die Glühbirnen-Aufgaben eignen sich auch als Plenumsphasen: Dazu empfiehlt sich dann für die Tabellen ein Think-Pair-Share Setting. Sie können diese Lerneinheit auch im Distanz-Unterricht durchführen. Wenn Sie die bereitgestellten GeoGebra-Bücher (siehe Internetlinks unten) nutzen, können Sie jeweils einen GeoGebra-Classroom erzeugen, in dem sich die individuellen Bearbeitungsstände Ihrer Schülerinnen und Schüler nachvollziehen lassen. Die Gruppenarbeit kann parallel in einer Videokonferenz mit Breakout-Räumen initiiert werden. Die Glühbirnen-Aufgaben eignen sich auch hier als Sammlungsphasen im Plenum. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge. erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form dar. analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verarbeiten Informationen, Inhalte und vorhandene digitale Produkte weiter und integrieren diese in bestehendes Wissen. kennen GeoGebra als digitales Mathematikwerkzeug und wenden es (in vorgegebenen Aktivitäten) an. kommunizieren mithilfe verschiedener digitaler Kommunikationsmöglichkeiten, insofern die Unterrichteinheit im Distanz-Unterricht durchgeführt wird. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler dokumentieren Überlegungen, Lösungswege beziehungsweise Ergebnisse gemeinsam, stellen sie verständlich dar und präsentieren sie, auch unter Nutzung geeigneter Medien. erfahren, dass alle Lernenden ihre individuellen Stärken einbringen können. reflektieren, dass gelungene Kooperation und Kommunikation auch inhaltlich weiterhilft (vor allem in den Glühbirnen-Aufgaben). 21th-Century-Skills Die Schülerinnen und Schüler können mit verschiedenen Repräsentationen von Daten umgehen. können verschiedene Zusammenhänge untersuchen, verbal und grafisch beschreiben und systematisieren. können Hypothesen zu Zusammenhängen bilden, diese miteinander kommunizieren und überprüfen.