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In diesem Video wird der Zugang zur Atomphysik über Quantenzustände und Operatoren aufgezeigt. Seit Entwicklung des Bohr'schen Atom-Modells sind mehr als 100 Jahre vergangen, in denen sich die Quantenphysik weiterentwickelt hat. Eine wichtige Weiterentwicklung im Vergleich zum Bohr'schen Atom-Modell ist die Einführung von Operatoren und Zuständen zur Beschreibung und Manipulation des Elektrons in der Quantendimension. Wie hängen diese beiden Beschreibungen miteinander zusammen? Eine erste Weiterentwicklung des Bohr'schen Atommodells erfolgte durch De Brogli, der den Elektronenbahnen stehende Wellen zugeordnet hatte. Das Lehrvideo zeigt den Fall l=2 . Entsprechend gibt es in der Quantendimension Ortszustände des Elektrons mit zwei Knotenlinien. Das Postulat L gleich n mal h quer wird in der Quantenphysik neu gedeutet: Der Drehimpuls wird zum Drehoperator. Als Basis für die Elektronzustände wählt man Eigenzustände bezüglich des Drehoperators um die z-Achse. L gleich n mal h quer lässt sich in der Quantenphysik nicht mehr so halten. Allgemeine Superpositionszustände haben keinen definierten Drehimpuls, sondern nur die entsprechenden Eigenzustände! Daher ist h quer der kleinstmögliche messbare Unterschied des Drehimpulses. Im zweiten Teil des Videos werden zunächst klassische Schwingungszustände und Operatoren untersucht. Ziel ist es dann, durch das Abzählen von Knotenlinien zu erklären, warum es genau 2n² Eigenzustände pro Bahn oder Energiestufe n gibt, mit n =1, 2, 3 und so weiter. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird das Bohr'sche Atommodell, das zu einer neuen Interpretation von Balmers Formel führt, diskutiert. Von Rutherfords Streuexperiment an der Goldfolie wissen wir, dass der Atomkern winzig ist im Vergleich zur Atomhülle, in der sich das Elektron befindet. Aber wie bewegt sich das Elektron? Im Jahr 1913 hat Niels Bohr sein berühmtes Atommodell aufgestellt. Laut diesem Modell gibt es nur bestimmte erlaubte Bahnen, auf denen sich das Elektron bewegen kann. Aus Bohrs Annahme, dass nur bestimmte, diskrete Bahnen für das Elektron erlaubt sind, folgt aber, dass nur bestimmte, diskrete elektromagnetische Strahlungsübergänge erlaubt sind. Es wird Strahlung frei, wenn das Elektron in eine tiefere Bahn hüpft. Befindet sich das Elektron auf der innersten Bahn, ist der sogenannte Grundzustand erreicht. Die erlaubten Bahnen sind laut Bohr charakterisiert durch den Drehimpuls: Der Drehimpuls muss ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums h quer sein. Wie es mit der Energie des Elektrons aussieht und was stehende Wellen mit alldem zu tun haben, erklärt das Lehrvideo. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Das Video zeigt den Aufbau des Periodensystems mit dem Modell der Quantenorgel. Die Elemente im Periodensystem sind nach der Anzahl von Elektronen angeordnet. Das Bohr'sche Atommodell liefert uns keine griffige Erklärung für die Anzahl der Elektronen in den jeweiligen Perioden oder Schalen. Aber was ist mit dem Modell der Schwingungsmoden von Elektronen in der Quantendimension? Lässt sich das Periodensystem mit dem Abzählen von Knotenlinien erklären? Das Video versucht sich an einer Erklärung mithilfe eines Modells der Quantenporgel: Dabei ordnet man möglichen Schwingungszustände den Tasten einer Orgel zu. Die Orgelmanuale entsprechen den Energieniveaus n =1, 2, 3 und so weiter. Ein Elektron kann einen bestimmten Schwingungszustand anregen - die Taste ist dann sozusagen gedrückt und die entsprechende Schwingung ist aktiv. Zwei Elektronen drücken - mindestens - zwei Tasten, und je mehr Elektronen vorhanden sind, desto mehr Tasten werden gedrückt. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Dieses Video veranschaulicht, wie verschiedene Atomorbitale aus Eigenzuständen des Drehoperators hervorgehen. Wie werden die Elektronen im Atom von Chemikern beschrieben? Die sogenannten Atomorbitale werden als Visualisierung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Atom eingeführt. Im Video zu sehen sind die Orte maximaler Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das s- p- und d-Orbital. Hinter dieser Wahrscheinlichkeit liegt allerdings die unsichtbare, interferenzfähige Schwingung in der Quantendimension, hier visualisiert durch ein drehendes Rad. Dem s-Orbital liegt die Schwingung ohne Knotenlinie zugrunde. Dem p-Orbital liegt die Schwingung mit einer Knotenlinie zugrunde, also l =1. Im Video wird der Zusammenhang zum p-Orbital genauer betrachtet. Schneidet man den Raum wie eine Zwiebel auf, ergeben sich viele Kugelschalen. Die Knotenlinie wird im Raum zu einer Knotenebene. Die maximale Schwingungsamplitude nimmt bei sehr großem Abstand zum Atomkern wieder ab. In der Chemie wird nicht die gesamte Schwingung im Raum dargestellt, sondern nur der Ort maximaler Aufenthaltswahrscheinlichkeit, was den Orten mit größter Schwingungsamplitude entspricht. So ergibt sich diese Darstellung des p-Orbitals. Dies gilt auch für alle weiteren Orbitale: Die Knotenlinien werden aus der Quantendimension in die Atomorbitale im Raum sozusagen vererbt und lassen sich dort wiederentdecken! Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video erfolgt die mathematische Beschreibung des Wasserstoff-Spektrums durch die Balmer-Formel. Die vier sichtbaren Linien des Wasserstoffspektrums entsprechen elektromagnetischen Schwingungen, deren Frequenzen in der Größenordnung von einer Millionen mal einer Milliarde Schwingungen pro Sekunde liegen. Zur mathematischen Beschreibung des Spektrums hatte der Schweizer Lehrer Johann Jakob Balmer vorgeschlagen, natürliche Zahlen m in der Formel zu verwenden. Man könnte also jeder dieser Frequenzen natürliche Zahlen zuordnen und ausprobieren, ob man damit erfolgreich eine Formel konstruieren könnte. Die sogenannte Balmer-Formel wird im folgenden Video diskutiert. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Der Versuch in diesem Video zeigt, wie mithilfe eines Prismas weißes Licht in die Spektralfarben zerlegt wird. Konkretes Beispiel ist das Spektrum des Wasserstoff-Atoms. Der Versuch in diesem Video zeigt, wie mithilfe eines Prismas weißes Licht in die Spektralfarben zerlegt wird, aus denen das weiße Licht besteht. Wählt man als Lichtquelle allerdings ein bestimmtes Gas - hier Neon, erscheinen nur ganz bestimmte Spektrallinien. Aus diesem Grund ist das Licht der Neonröhre nicht weiß, sondern gelblich orange. Beim Helium ergeben sich andere und bei Wasserstoff wiederum andere Linien, hier nur vier im sichtbaren Bereich. Joseph von Fraunhofer hat mit einem ähnlichen Aufbau das Spektrum von Sonnenlicht untersucht. Er entdeckte schwarze Linien im Farbspektrum - die man heute Fraunhofer-Linien nennt. Dabei werden ganz bestimmte Frequenzen aus dem Spektrum des Sonnenlichts auf dem Weg zu uns absorbiert. Emissionsspektren sind charakteristisch für das jeweilige Element, ähnlich Fingerabdrücken. Man kann also aus den schwarzen Absorptionslinien folgern, welche Elemente auf der Sonnenoberfläche vorkommen. Auf diese Weise wurde Ende des 19. Jahrhunderts das Element Helium auf der Sonnenoberfläche entdeckt. Heutzutage kann man die Sonne in unterschiedlichen Wellenlängen beziehungsweise Spektralbereichen direkt aus dem Weltraum beobachten. Nach der Entdeckung der Spektrallinien, die als Fingerabdruck und charakteristische Eigenschaft jedes Elements vermessen werden können, stellt sich die offensichtliche Frage, was die Ursache für diese Spektren ist. Die wichtigsten Meilensteine bis zur heutigen Erklärung durch die Quantenphysik werden in den nächsten Lehrvideos vorgestellt. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Das Video zeigt die Streu-Experimente von Rutherford, die zur Entdeckung des Atomkerns geführt haben. Um das Spektrum von Atomen zu verstehen, entwickelte Rutherford ein geniales Experiment. Zu seiner Zeit war gerade die Radioaktivität entdeckt worden, und ein Alpha-Strahler, also schnelle Helium-Atomkerne, die von radioaktivem Radium emittiert werden, standen zur Verfügung. Rutherford wählte als Zielscheibe für die schnellen Alpha-Teilchen eine Goldfolie, die extrem dünn war, also nur aus wenigen Atomlagen bestand. Um zu messen, wie die Alphateilchen in der Goldfolie abgelenkt werden, verwendete Rutherford Szintillations-Schirme, die beim Auftreffen des Alphateilchens in kompletter Dunkelheit winzige Lichtblitze erzeugten. Durch die Detektion der gestreuten Alpha-Teilchen in allen Winkeln lässt sich etwas über den Aufbau des Goldatoms herausfinden. Es zeigte sich, dass fast alle Goldatome ungestreut durch die Goldfolie hindurchgingen. Ein unerwartetes Ergebnis: Nur sehr wenige Alphateilchen wurden durch die Goldfolie gestreut. Manche aber erstaunlich stark. Was hatte das zu bedeuten? Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird der Übergang von klassischen Drehoperatoren zu Quantenoperatoren diskutiert und sowie die Bedeutung des Planck'schen Wirkungsquantums für die Quantenphysik herausgestellt. Kerzen und Spiegel stehen als Sinnbild für Zustände und Operatoren. Besonders symmetrische Zustände sind ihr eigenes Spiegelbild; sie befinden sich genau in der Mitte und teilen die Spiegelebene. Alle anderen Zustände werden nicht auf sich selbst gespiegelt, sondern treten paarweise auf. In diesem Fall kann nur eine ungerade Anzahl von Zuständen existieren: einer - drei - fünf - und so weiter. Das Video betrachtet den Fall von sieben Zuständen genauer. Hier gibt es insgesamt l=3 azimutale Knotenlinien, im symmetrischsten Fall drei waagerechte. Die Knotendrehoperatoren drehen eine waagerechte Knotenlinie in die Senkrechte und erzeugen aus dem Zustand m=0 den Zustand m=+1 mit einer rechtsdrehenden Knotenlinie; im Spiegelbild m=-1 mit einer linksdrehenden Knotenlinie. Nochmaliges Anwenden des Knotendrehoperators dreht noch eine Knotenlinie aus der Waagerechten in die Senkrechte. Nochmaliges Anwenden führt zu den Zuständen, bei denen alle Knotenlinien sich rechts, beziehungsweise links um die z-Achse drehen. Mehr waagerechte Knotenlinien gibt es nicht - eine weitere Anwendung der Knotendrehoperatoren führt zur Null. Damit sind alle möglichen Schwingungszustände auf der Kugeloberfläche in drei Dimensionen vorgestellt. Sie lassen sich klassifizieren bezüglich des Dz-Operators, zu dem alle hier gezeigten Zustände Eigenzustände sind. Die Knotendrehoperatoren d plus / d minus drehen Knotenlinien aus der Waagerechten in die Senkrechte und erzeugen so aus dem Zustand m den Zustand m+ eins / m- eins. Ausgehend von den symmetrischsten Eigenzuständen des Dz Operators auf der Spiegelebene ergeben sich alle weiteren Eigenzustände durch das Anwenden der Knotendrehoperatoren. In dem bis hierher gezeigten Bild von Operatoren und Zuständen auf der Kugeloberfläche gibt es noch einen freien Parameter. Verändert man den Abstand zwischen den Zuständen und deren Spiegelbildern, bleibt alles andere wie gehabt bestehen. Dieser Abstand lässt sich also beliebig wählen, ohne die Symmetrie zwischen den Eigenzuständen zu zerstören. Für klassische Operatoren auf der Kugeloberfläche hat dieser Abstand Delta keine tiefere Bedeutung und ist je nach Anwendung unterschiedlich. In der Quantenphysik liegt hier des Pudels Kern: Dieser Abstand ist eine universelle Naturkonstante: ℏ, also 10-34 Joulesekunden. Dieser Wert ist absolut unveränderlich und gilt auf der Erde genauso wie im Sonnenkern oder in einem Schwarzen Loch. Beim Übergang zur Quantenphysik werden die Operatoren also "nur" skaliert, die eigentliche Schwierigkeit für die Physik liegt eher in der Interpretation dieser Skalierung als in der mathematischen Struktur. Vergleicht man Operatoren und Zustände auf der Kugeloberfläche in der Quantenphysik und im klassischen Fall, so ist bei der Quantenphysik der Abstand zwischen den Zuständen eine universelle Naturkonstante, im klassischen Fall beliebig. Wie sieht es mit den Zuständen aus? In beiden Fällen können die Eigenzustände als Schwingungen auf der Kugeloberfläche, und somit durch Anzahl und Position von Knotenlinien klassifiziert werden. Hier der Fall l=2, m=0. Aber es gibt einen entscheidenden Unterschied: In der klassischen Physik sind die Schwingungszustände direkt beobachtbare, reale Schwingungen auf einer Kugeloberfläche, wie zum Beispiel eine schwingende Seifenhaut. In der Quantenphysik handelt es sich um eine nicht direkt beobachtbare Schwingung, die man als Wurzel aus einer Wahrscheinlichkeit, beziehungsweise als Wellenfunktion interpretieren kann. Schneidet man die Kugel auf, erhält man im klassischen Fall die Schwingung auf einer Kreislinie zurück - aber in der Quantendimension erhält man einen Ausschnitt aus einer komplexen Wellenfunktion. Die Operatoren Lz, L+ und L- tragen aus historischen Gründen in der Quantenmechanik den Namen Drehimpulsoperatoren. Mehr Gemeinsamkeiten als die physikalische Einheit Joulesekunde haben diese Operatoren mit dem klassischen Drehimpuls aber nur in sehr wenigen Spezialfällen. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Zustände und Operatoren sind das entscheidende Konzept für den Weg in die Quantendimension. Zum Verständnis einer wichtigen Klasse von Operatoren, den Drehoperatoren, werden in dem Lehrvideo Alltagsgegenstände zur Demonstration verwendet. Mit einfachen Drehoperationen gelingt es, alle möglichen Schwingungsmoden auf der zweidimensionalen Kugeloberfläche zu erzeugen, indem man die Gesamtzahl l von azimutalen Knotenlinien durch geeignete Drehoperationen in m rechts- beziehungsweise linksdrehende Knotenlinien umwandelt. Bei genauerem Blick auf die Drehoperatoren fällt auf, dass ein Operator Eigenschaften eines Zustands manipuliert. Ein Zustand ist allgemein ein komplexer Gegenstand mit vielen verschiedenen Eigenschaften. Dabei könnte es sich auch um einen alltäglichen Gegenstand wie eine Banane handeln. Der Zustand "Banane" hat viele verschiedene Eigenschaften, wie zum Beispiel Form, Farbe, Geschmack und natürlich kann man die Banane auch drehen. In drei Dimensionen gibt es drei verschiedene Drehachsen: Die x- y- oder z-Achse. Der Drehoperator D manipuliert ausschließlich die Dreheigenschaft der Banane. Die Durchführung mehrerer Drehungen nacheinander (erst eine 90° Drehung um die z-Achse und dann eine 90° Drehung um die y-Achse) zeigt, dass die Banane nicht mehr steht, sie liegt auf dem Rücken. Bei den Drehoperationen gibt es eine Besonderheit, denn führt man dieselben Drehoperationen in umgekehrter Reihenfolge durch, also erst eine Drehung um die y-Achse und dann um die z-Achse, ergibt sich bei identischem Ausgangszustand ein anderer Endzustand der Banane. Die Banane liegt nicht mehr auf dem Rücken, sondern auf der Seite. Die Drehoperationen kommutieren nicht, das heißt, die Reihenfolge der Anwendung spielt eine entscheidende Rolle. Zuletzt soll noch ein etwas anderer Zustand betrachtet werden: eine um die z-Achse rotierende Banane, bezeichnet mit RzB. Die Anwendung eines Drehoperators um die Rotationsachse der Banane ändert den Zustand nicht, es liegt ein sogenannter Eigenzustand vor. Allgemein gesprochen ändert sich der Eigenzustand nicht durch Anwendung des zugehörigen Operators. Aber Vorsicht! Nur der Drehoperator, der um die vorgegebene Rotationsachse des Zustands eine zusätzliche Drehung ausführt, ändert den Zustand nicht. Eine Drehung um die falsche Achse ändert den Zustand sehr wohl. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird über das Spektrum von Eigenzuständen des Drehoperators diskutiert. Dieses Lehrvideo untersucht das Spektrum des Drehoperators, also den kompletten Satz seiner Eigenzustände in drei Dimensionen. Dafür wird als Beispiel l=2 gewählt. Der symmetrischste Zustand, m=0, ist komplett rotationsinvariant. Dieser Zustand ändert sich bei Drehung um die z-Achse mit beliebigem Winkel α überhaupt nicht, und ist somit offensichtlich ein Eigenzustand bezüglich des Operators Dz(α) mit Eigenwert Eins. Aber wie sieht es aus für m=1? Dieser Zustand dreht sich selbst um die z-Achse, eine einmalige, zusätzliche Drehung um einen festen Winkel α ändert also nur die Phase der Drehung dieses Zustands, nicht den Zustand als solchen. Es ist also auch ein Eigenzustand des Operators Dz(α).Der Eigenwert ist eiαm, wenn um den Winkel alpha gedreht wird. Dies gilt für alle m. Alle hier gezeigten Zustände sind also Eigenzustände des Drehoperators um die z-Achse. Wenn wir aber einen dieser Zustände, zum Beispiel m=0, um die y-Achse drehen, dann ändert sich der Zustand; es ist also kein Eigenzustand bezüglich des Operators "Drehung um die y-Achse". Dies gilt ebenfalls für alle m. Zusammengefasst: Die Schwingungen auf der Kugeloberfläche in drei Dimensionen lassen sich durch die Anzahl l von azimutalen Knotenlinien klassifizieren. So ergeben sich alle möglichen reellen Eigenzustände des Drehoperators um die z-Achse. Eigenzustände lassen sich nur bezüglich Drehungen um eine Drehachse konstruieren, hier wählen wir die z-Achse. Diese Schwingungszustände auf der Kugel sind also nicht Eigenzustände bezüglich der Drehungen um die x- oder y-Achse. Aus diesen beiden Drehoperatoren Dx und Dy lassen sich aber zwei wichtige, neue Operatoren kombinieren, die sogenannten Knotendrehoperatoren. Deren Funktion wird im nächsten Lehrvideo beschrieben. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.