Quantenphysik multimedial: Quantenspiegel

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In diesem Video wird der Übergang von klassischen Drehoperatoren zu Quantenoperatoren diskutiert und sowie die Bedeutung des Planck'schen Wirkungsquantums für die Quantenphysik herausgestellt.

Beschreibung

Kerzen und Spiegel stehen als Sinnbild für Zustände und Operatoren. Besonders symmetrische Zustände sind ihr eigenes Spiegelbild; sie befinden sich genau in der Mitte und teilen die Spiegelebene. Alle anderen Zustände werden nicht auf sich selbst gespiegelt, sondern treten paarweise auf. In diesem Fall kann nur eine ungerade Anzahl von Zuständen existieren: einer - drei - fünf - und so weiter.

Das Video betrachtet den Fall von sieben Zuständen genauer. Hier gibt es insgesamt l=3 azimutale Knotenlinien, im symmetrischsten Fall drei waagerechte. Die Knotendrehoperatoren drehen eine waagerechte Knotenlinie in die Senkrechte und erzeugen aus dem Zustand m=0 den Zustand m=+1 mit einer rechtsdrehenden Knotenlinie; im Spiegelbild m=-1 mit einer linksdrehenden Knotenlinie. Nochmaliges Anwenden des Knotendrehoperators dreht noch eine Knotenlinie aus der Waagerechten in die Senkrechte. Nochmaliges Anwenden führt zu den Zuständen, bei denen alle Knotenlinien sich rechts, beziehungsweise links um die z-Achse drehen. Mehr waagerechte Knotenlinien gibt es nicht - eine weitere Anwendung der Knotendrehoperatoren führt zur Null. Damit sind alle möglichen Schwingungszustände auf der Kugeloberfläche in drei Dimensionen vorgestellt. Sie lassen sich klassifizieren bezüglich des Dz-Operators, zu dem alle hier gezeigten Zustände Eigenzustände sind. Die Knotendrehoperatoren d plus / d minus drehen Knotenlinien aus der Waagerechten in die Senkrechte und erzeugen so aus dem Zustand m den Zustand m+ eins / m- eins.

Ausgehend von den symmetrischsten Eigenzuständen des Dz Operators auf der Spiegelebene ergeben sich alle weiteren Eigenzustände durch das Anwenden der Knotendrehoperatoren. In dem bis hierher gezeigten Bild von Operatoren und Zuständen auf der Kugeloberfläche gibt es noch einen freien Parameter. Verändert man den Abstand zwischen den Zuständen und deren Spiegelbildern, bleibt alles andere wie gehabt bestehen. Dieser Abstand lässt sich also beliebig wählen, ohne die Symmetrie zwischen den Eigenzuständen zu zerstören.

Für klassische Operatoren auf der Kugeloberfläche hat dieser Abstand Delta keine tiefere Bedeutung und ist je nach Anwendung unterschiedlich. In der Quantenphysik liegt hier des Pudels Kern: Dieser Abstand ist eine universelle Naturkonstante: ℏ, also 10-34 Joulesekunden. Dieser Wert ist absolut unveränderlich und gilt auf der Erde genauso wie im Sonnenkern oder in einem Schwarzen Loch. Beim Übergang zur Quantenphysik werden die Operatoren also "nur" skaliert, die eigentliche Schwierigkeit für die Physik liegt eher in der Interpretation dieser Skalierung als in der mathematischen Struktur.

Vergleicht man Operatoren und Zustände auf der Kugeloberfläche in der Quantenphysik und im klassischen Fall, so ist bei der Quantenphysik der Abstand zwischen den Zuständen eine universelle Naturkonstante, im klassischen Fall beliebig. Wie sieht es mit den Zuständen aus? In beiden Fällen können die Eigenzustände als Schwingungen auf der Kugeloberfläche, und somit durch Anzahl und Position von Knotenlinien klassifiziert werden. Hier der Fall l=2, m=0. Aber es gibt einen entscheidenden Unterschied: In der klassischen Physik sind die Schwingungszustände direkt beobachtbare, reale Schwingungen auf einer Kugeloberfläche, wie zum Beispiel eine schwingende Seifenhaut. In der Quantenphysik handelt es sich um eine nicht direkt beobachtbare Schwingung, die man als Wurzel aus einer Wahrscheinlichkeit, beziehungsweise als Wellenfunktion interpretieren kann. Schneidet man die Kugel auf, erhält man im klassischen Fall die Schwingung auf einer Kreislinie zurück - aber in der Quantendimension erhält man einen Ausschnitt aus einer komplexen Wellenfunktion. Die Operatoren Lz, L+ und L- tragen aus historischen Gründen in der Quantenmechanik den Namen Drehimpulsoperatoren. Mehr Gemeinsamkeiten als die physikalische Einheit Joulesekunde haben diese Operatoren mit dem klassischen Drehimpuls aber nur in sehr wenigen Spezialfällen.

Projekt "Quantenspiegelungen"

Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

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In Kooperation mit

Institut für Didaktik der Physik - WWU Münster

Dieser Beitrag wird in Kooperation mit dem Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster angeboten.

SCIENCeMOTION

Dieser Beitrag wird in Kooperation mit SCIENCeMOTION angeboten.