Astronomie: Willkommen im Fachportal

In diesem Video wird über das Spektrum von Eigenzuständen des Drehoperators diskutiert. Dieses Lehrvideo untersucht das Spektrum des Drehoperators, also den kompletten Satz seiner Eigenzustände in drei Dimensionen. Dafür wird als Beispiel l=2 gewählt. Der symmetrischste Zustand, m=0, ist komplett rotationsinvariant. Dieser Zustand ändert sich bei Drehung um die z-Achse mit beliebigem Winkel α überhaupt nicht, und ist somit offensichtlich ein Eigenzustand bezüglich des Operators Dz(α) mit Eigenwert Eins. Aber wie sieht es aus für m=1? Dieser Zustand dreht sich selbst um die z-Achse, eine einmalige, zusätzliche Drehung um einen festen Winkel α ändert also nur die Phase der Drehung dieses Zustands, nicht den Zustand als solchen. Es ist also auch ein Eigenzustand des Operators Dz(α).Der Eigenwert ist eiαm, wenn um den Winkel alpha gedreht wird. Dies gilt für alle m. Alle hier gezeigten Zustände sind also Eigenzustände des Drehoperators um die z-Achse. Wenn wir aber einen dieser Zustände, zum Beispiel m=0, um die y-Achse drehen, dann ändert sich der Zustand; es ist also kein Eigenzustand bezüglich des Operators "Drehung um die y-Achse". Dies gilt ebenfalls für alle m. Zusammengefasst: Die Schwingungen auf der Kugeloberfläche in drei Dimensionen lassen sich durch die Anzahl l von azimutalen Knotenlinien klassifizieren. So ergeben sich alle möglichen reellen Eigenzustände des Drehoperators um die z-Achse. Eigenzustände lassen sich nur bezüglich Drehungen um eine Drehachse konstruieren, hier wählen wir die z-Achse. Diese Schwingungszustände auf der Kugel sind also nicht Eigenzustände bezüglich der Drehungen um die x- oder y-Achse. Aus diesen beiden Drehoperatoren Dx und Dy lassen sich aber zwei wichtige, neue Operatoren kombinieren, die sogenannten Knotendrehoperatoren. Deren Funktion wird im nächsten Lehrvideo beschrieben. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird das Phanömen von Schallschwebungen diskutiert. Beim Anschlagen zweier Stimmgabeln, die sich in ihrer Frequenz minimal unterscheiden, hört man eine sogenannte Schwebung. Das heißt, entlang der Zeitachse nimmt man Schwankungen hinsichtlich der Lautstärke der resultierenden Schallwelle wahr. Was ist durch Interferenz mit den Schallwellen der beiden Stimmgabeln geschehen? Ursprünglich haben sich Schallwelle 1 und Schallwelle 2 in der Frequenz unterschieden. Amplitude und Phase waren gleich. Bei der Kombination der beiden drehenden Räder zeigt sich, dass die unterschiedlichen Umdrehungsfrequenzen der Räder zu einer wachsenden Phasenverschiebung in Bezug auf die Zeit führen, was zu der periodischen Lautstärkeschwankung führt. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Lehrvideo werden die Begriffe Frequenz, Amplitude und Phase einer Schallwelle mithilfe eines drehenden Rades visualisiert. In der Fachliteratur wird das drehende Rad als Sinnbild für Frequenz, Amplitude und Phase einer Schwingung auch Zeigerformalismus genannt und ist für die Berechnung und Visualisierung von Schwingungen von großem Nutzen. Im Rad befindet sich ein Zeiger, der sich mit im Kreis dreht und dessen Länge dem Radius des Rades entspricht. Die Anzahl der Kreisumdrehungen pro Sekunde entspricht der Frequenz der Schallwelle. Der Radius entspricht der Amplitude der Schallwelle. Die Wellenlänge λ ergibt sich aus dem Verhältnis der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c und der Frequenz f. Indem man den roten Punkt auf der Welle betrachtet, kann dessen Position beziehungsweise die Phase der Welle beschrieben werden. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird über den Zusammenhang zwischen der Schallamplitude und der Schallintensität diskutiert. Die Schallwellen sind nicht direkt hörbar, sondern nur ihre Intensität. Worin liegt der wesentliche Unterschied zwischen der Amplitude der Schallwelle und der Schallintensität? Da es weniger als eine absolute Stille nicht gibt, kann die Schallintensität nur größer oder gleich Null sein. Die Schallintensität I ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Schallwelle. Durch das Quadrieren ist die Intensität stets größer oder gleich Null. Der Radius des drehenden Rades beziehungsweise die Amplitude entspricht somit der Wurzel aus der Schallintensität. Die schnellen Druck- und Dichteschwankungen, die die Stimmgabel erzeugt und beim Ohr ankommen, werden vom Gehirn nicht einzeln aufgelöst, sondern zeitlich gemittelt als Tonhöhe wahrgenommen. Bei der Berechnung der Schallintensität findet daher zusätzlich noch eine zeitliche Mittelung statt. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird die Interferenz der Schallwellen von zwei Stimmgabeln im Raum untersucht. Bei diesem Versuch werden zwei identische Stimmgabeln nacheinander angeschlagen. Die erzeugten Schallwellen beider Stimmgabeln überlagern sich bei ihrer Ausbreitung im Raum. Dort, wo ein Wellenberg auf einen anderen Wellenberg oder ein Wellental auf ein anderes Wellental trifft, verstärken sich die Wellenberge beziehungsweise Wellentäler. Das heißt, der Ton wird insgesamt lauter. Trifft Wellenberg auf Wellental, löschen sie sich gegenseitig aus und an dieser Stelle verebbt der Ton. Nun gibt es auf einer gedachten Verbindungslinie zwischen beiden Stimmgabeln ein besonderes Phänomen: die Überlagerung von einer rechts- und einer linkslaufenden Schallwelle, was man auch als "stehende Welle" bezeichnet. Im Abstand von je einer halben Wellenlänge bilden sich Knotenpunkte, an denen sich beide Schallwellen immer auslöschen. Dazwischen bilden sich Wellenbäuche, an denen beide Schallwellen sich maximal verstärken. Diese Knotenpunkte sind sozusagen Startpunkte für Knotenlinien auf der hier gezeigten Ebene und Knotenflächen im Raum. Überall auf diesen Knotenflächen im Raum löschen sich die Schallwellen aus. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird die Schallausbreitung einer einzelnen Stimmgabel im Raum untersucht. Dabei werden auch die Begriffe Amplitude und Frequenz von Schallwellen diskutiert. Beim Kammerton A schwingt die Stimmgabel 440 Mal pro Sekunde hin und her, die Frequenz ist also 440 Hz. Schwingt die Stimmgabel schwächer, verkleinern sich die Wellenberge und Täler. Das heißt, dass die maximale Auslenkung, die Amplitude, kleiner wird. Der Ton wird leiser. Die Wellenlänge λ bleibt gleich groß. Schwingt die Stimmgabel stärker, vergrößern sich die Wellenberge und Täler und damit die Amplitude. Der Ton wird lauter. Die Wellenlänge λ bleibt gleich groß. Ist die Stimmgabel schwerer, schwingt sie langsamer, das heißt die Frequenz nimmt ab und der Ton wird tiefer. Die Wellenlänge λ vergrößert sich. Ist die Stimmgabel leichter, schwingt sie schneller, die Frequenz nimmt zu und der Ton wird höher. Die Wellenlänge λ verkleinert sich. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Schallwelle von etwa 340 Meter pro Sekunde bleibt konstant. Dabei gilt: Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeít c=λ·f. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird die Interferenz von zwei Stimmgabeln im Raum durch zwei drehende Räder visualisiert. Wie lässt sich das "neue" Wellengebilde, das durch Interferenz der Schallwellen aus zwei Stimmgabeln erzeugt wird, für einen bestimmten Punkt im Raum mit Frequenz, Amplitude und Phase beschreiben? Dazu nimmt man für jede Schallwelle ein drehendes Rad. Nun überlagern sich am Punkt B zwei Schallwellen, was durch die Kombination von zwei Rädern dargestellt wird. Die Interferenz wird mathematisch als Summe beider Schallwellen bestimmt. Das entspricht der Vektoraddition der beiden Zeiger. Am Punkt B weisen beide Zeiger in die gleiche Richtung. Die Phasenverschiebung beträgt Null Grad. Die zwei Radien werden addiert und die Amplitude verdoppelt sich. Beide Schallwellen verstärken sich maximal und die konstruktive Interferenz ist durch die größere Lautstärke zu hören. Der Punkt B wandert weiter, sodass der Gangunterschied Delta eine halbe Wellenlänge beträgt. Beide Zeiger weisen nun in genau entgegen gesetzte Richtungen. Die Phasenverschiebung beträgt 180° Grad. Die Addition der beiden Zeiger ergibt Null. Die Amplitude der resultierenden Welle ist damit ebenfalls Null. Die destruktive Interferenz lässt sich hier als Stille wahrnehmen. Punkt B verschiebt sich noch einmal um eine halbe Wellenlänge, sodass beide Zeiger wieder in die gleiche Richtung weisen. Der akustische Effekt ist wieder eine Verdopplung der Amplitude. Die Phasenverschiebung beträgt 360 Grad und entspricht dem Gangunterschied von genau einer Wellenlänge δ gleich λ. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird das Frequenzgemisch in einer Schallwelle als Kombination mehrerer drehender Räder eingeführt. Mathematisch handelt es sich hierbei um die sogenannte Fourier-Transformation. In dieser Animation wird die Überlagerung einer ganz speziellen Anordnung drehender Räder beobachtet. Gegeben sei eine Grundfrequenz f, sowie die doppelte, dreifache, vierfache, fünffache und sechsfache dieser Grundfrequenz. Die Amplituden der einzelnen drehenden Räder sollen abnehmen wie ein Halb, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel, und ein Sechstel der Amplitude der Grundfrequenz f. Wie sieht der zeitliche Verlauf dieser Überlagerung aus? Drehen sich die einzelnen Räder mit den entsprechenden Frequenzen und Amplituden, ergibt sich eine Art Sägezahnwelle. Dieselbe Information lässt sich aber auch anders kodieren: Man betrachte die einzelnen drehenden Räder und deren Umdrehungsfrequenzen, beginnend mit dem Grundton mit der Frequenz f und der Amplitude r, also dem Radius dieses Rades. Dann werden die Amplituden der Vielfachen der Grundfrequenz ebenfalls aufgetragen. Man erhält das sogenannte Spektrum der Welle. Das Spektrum beschreibt, welche Frequenzen mit welchen Amplituden in der Welle vorhanden sind. Aus dem Spektrum kann der zeitliche Verlauf der Welle wieder rekonstruiert werden. Der mathematische Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Verlauf einer Welle sowie den Frequenzen und zugehörigen Amplituden ist die sogenannte Fourier-Transformation, benannt nach dem französischen Mathematiker Fourier. Heutzutage lassen sich am Computer Schallwellen sehr einfach auf ihren Frequenzgehalt hin untersuchen und somit die Welle entweder im zeitlichen Verlauf oder im sogenannten Frequenzraum beschreiben. Die Fourieranalyse gehört zu den wichtigsten Analysemethoden in den Naturwissenschaften. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird die Schallausbreitung einer einzelnen Stimmgabel im Raum mithilfe des drehenden Rades visualisiert. Dieses Video erläutert den Zusammenhang von Rad und Stimmgabel genauer. Die maximale Auslenkung der Stimmgabel gibt ein Maß für den Über- und/oder Unterdruck, den die Stimmgabel in der umgebenden Luft erzeugt. Hieraus ergibt sich die Amplitude beziehungsweise der Radius des Rades, der diese Druckschwankungen beschreiben soll. Schwingt die Stimmgabel schwächer, verkleinern sich die Druck- und Dichteschwankungen. Der Ton wird leiser. Die Amplitude wird niedriger, die Wellenlänge bleibt gleich groß. Schwingt die Stimmgabel stärker, vergrößern sich die Druck- und Dichteschwankungen. Der Ton wird lauter. Die Amplitude wird höher, die Wellenlänge bleibt gleich groß. Schwingt die Stimmgabel langsamer, verkleinert sich die Umdrehungsfrequenz des Zeigers. Der Ton klingt tiefer, die Wellenlänge vergrößert sich. Schwingt die Stimmgabel schneller, erhöht sich die Umdrehungsfrequenz des Zeigers. Der Ton klingt höher, die Wellenlänge verkleinert sich. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Lehrvideo wird demonstriert, wie mit einer LED die Schallintensität, die von einem Mikrophon aufgenommen wird, in ein Lichtsignal umgewandelt werden kann. Schallwellen sind nur hörbar, nicht sichtbar. Um Schall sichtbar zu machen, braucht man einen Lautsprecher, einen Frequenzgenerator und einen Verstärker. Wird der Ton aus dem Lautsprecher mit einem Mikrophon aufgenommen und das Signal über den Verstärker zu einer Lampe geleitet, dann ergibt die Helligkeit der Lampe ein Maß für die Lautstärke des Tons. Je weiter das Mikrophon von der Schallquelle entfernt wird, desto leiser ist der Ton und desto dunkler wird die Lampe. Ein Sinuston mit einer bestimmten Frequenz lässt sich symbolisch durch ein drehendes Rad darstellen - die Umdrehungsfrequenz entspricht der Schallfrequenz, der Radius der Schallamplitude. Durch das Mikrophon wird der Schall aufgenommen und über den Verstärker als elektrisches Signal zur Lampe geleitet. Die Lautstärke nimmt mit dem Abstand ab, der Radius des Rades wird daher immer kleiner. Aber wo ist denn nun die Welle? Um diese sichtbar zu machen, braucht man die sogenannte Phasendifferenz, also die Verschiebung des Zeigers, die sich aufgrund des Abstands vom Lautsprecher zum Mikrophon ergibt. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Dieses Video zeigt, wie mit einer LED das Bild einer sich im Raum ausbreitenden Schallwelle aufgenommen werden kann. Um Schallwellen sichtbar zu machen, braucht es die sogenannte Phasendifferenz, also die Verschiebung des Zeigers, die sich aufgrund des Abstands vom Lautsprecher zum Mikrophon ergibt. Je weiter sich die Schallwelle vom Lautsprecher entfernt hat, desto länger ist sie unterwegs und desto stärker hat sich die Phase verschoben, relativ zur Ausgangsphase der Schallwelle beim Lautsprecher. Mit einem einfachen Trick lässt sich diese Phasenverschiebung "einfrieren": Man kopiert das Ausgangssignal des Lautsprechers zu der Position von Lampe und Mikrophon, und addiert dieses zu dem Signal, welches das Mikrophon aufnimmt. Der Winkel zwischen den drehenden Rädern, also die Phasendifferenz, bleibt nun fest und ist auch bei der sich ausbreitenden Welle sozusagen eingefroren. Die Lampe leuchtet nun bei steigendem Abstand periodisch hell und dunkel, je nach Phasendifferenz der beiden drehenden Räder. Im Minimum, also bei einer Phasenverschiebung von einer halben Wellenlänge, stehen die drehenden Räder gerade entgegengesetzt. Im Maximum, also bei einer ganzen Wellenlänge Phasenverschiebung, zeigen sie in dieselbe Richtung. Die Phasenverschiebung wächst kontinuierlich, sodass Hell und Dunkel sich im Abstand einer halben Wellenlänge der Schallwelle abwechseln. Wedelt man mit dem Stab nach oben und unten, kann man die Schallwelle im Raum abtasten und man erhält in der Langzeitbelichtung ein Abbild von Minima und Maxima der Schallwelle! Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Unsere Umwelt besteht nicht nur aus einzelnen Atomen, sondern aus zusammenhängender Materie. Doch wie genau verbinden sich Atome miteinander? Die Filmsequenz zeigt am Beispiel von Wasserstoff die Entstehung einer Atombindung und erklärt in diesem Zusammenhang die Oktettregel. Auch größere Atome wie Sauerstoff können Elektronenpaarbindungen eingehen. Solche Teilchen, in denen Atome durch Elektronenpaarbindungen fest miteinander verknüpft sind, nennt man Moleküle. Neben der Einführung der Edelgaskonfiguration und dem Molekülbegriff wird am Ende der Filmsequenz auch genauer auf die Edelgase eingegangen.