Ziel dieser Unterrichtseinheit ist es, einen Einblick in die mathematische Modellierung zu erlangen. Dies geschieht in einer Lernumgebung mit digitalen Hilfsmitteln. Zentraler Inhalt ist die Ermittlung der Evakuierungsdauer eines Gebäudes, indem die Analyse von Einflussfaktoren auf das Evakuierungsergebnis fokussiert wird.In dieser Unterrichtseinheit mit Arbeitsheft tauchen Lernende in ein komplexes mathematisches Projekt ein: Die Modellierung einer Gebäude-Evakuierung. Dabei sollen sie erkennen, dass es mithilfe mathematischer Modellierungen möglich ist, Vorhersagen (über die Welt) zu treffen, ohne diese erst kost- oder zeitspielig zu erproben. Den Schülerinnen und Schülern wird zunächst eine fertige Modellierung in einer digitalen Lernumgebung, deren Ergebnis sie zunächst nur nachvollziehen und rechnerisch überprüfen, zur Verfügung gestellt. Ausgehend von diesem Modell können die Lernenden selbständig Änderungen an den Szenarien vornehmen, indem sie etwa die Breite von Gängen und Türen verändern oder andere Annahmen über die durchschnittliche Laufgeschwindigkeit treffen. Der Einfluss dieser Variablen auf das Ergebnis soll festgehalten und im weiteren Verlauf analysiert werden. Während dieser Analyse werden Kennzahlen zu den Änderungen identifiziert und berechnet. Diese werden anschließend benutzt, um verschiedene Optionen zur Verbesserung der Evakuierbarkeit des betrachteten Gebäudes zu bewerten und daran anschließend eine datenbasierte Entscheidung für ein Maßnahmenpaket an Verbesserungen zu treffen. Indem die Schülerinnen und Schüler analysieren und bewerten, erleben sie, dass die Ergebnisse mathematischer Modellierungen nur so gut sein können wie die benutzten Annahmen und Modelle. Zentrales Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Fähigkeiten zur Enttarnung unrealistischer Situationen zu erhalten und so etablierte Simulationen in anderen Wissenschaftsbereichen (Klimawandel, Pandemien et cetera) besser einschätzen zu können. Das Thema "Mathematische Modellierungen" im Unterricht Komplexe Simulationen bestimmen die wissenschaftliche Erkenntnisgewinnung in vielen Bereichen. So stützen sich etwa die Empfehlungen in der Corona-Pandemie und Maßnahmen zum Klimaschutz wesentlich auf Computer-Simulationen. Die Validität derartiger Simulationen wird in der öffentlichen Wahrnehmung immer wieder hinterfragt oder sogar grundlos negiert. Dieses Arbeitsheft hilft Lernenden zu verdeutlichen, wie ein Erkenntniserwerb mithilfe geeigneter Simulationen möglich ist und wie auf der Grundlage von – simulierten – Daten Entscheidungen getroffen werden können. Exemplarisch verdeutlicht wird das am Beispiel der Gebäude-Evakuierung. Didaktische Analyse Das Beispiel wurde gewählt, da Annahmen ohne größere domänenbezogene Kenntnisse evaluiert werden können. Zudem ist das Thema durch seinen Alltagsbezug motivierend und Ergebnisse können unkompliziert im schulischem Rahmen experimentell überprüft beziehungsweise erprobt werden – etwa im Rahmen einer regelmäßig stattfindenden Evakuierungsübung. Darüber hinaus kann dieses Thema auch in weiteren Unterrichtseinheiten wieder aufgegriffen werden. Beispielhaft wären hier die Auswertung von mathematischen Ergebnissen mit statistischen Methoden oder die Formulierung komplexer Algorithmen, etwa zum Fluchtverhalten, zu nennen. Entsprechende Arbeitshefte zu diesen Themenbereichen sind in Kürze ebenfalls auf der Projekt-Webseite zu finden. Methodische Analyse Das Arbeitsheft zur Unterrichtseinheit ist so konzipiert, dass die Lernenden schrittweise begleitet werden. Ausgehend von Leitfragen und Vorüberlegungen wird das zentrale Modell motiviert und eingeführt. Vorstrukturierte Leitaufgaben, die schrittweise selbstständiger und offener werden, begleiten die Schülerinnen und Schüler in ihrem Lernprozess und ermöglichen der Lehrkraft, sich auf die Rolle als Lernbegleiterin oder Lernbegleiter zu fokussieren und auf individuelle Probleme einzugehen. Aus diesem Grund gilt die Eigenständigkeit der Lernenden bei der Bearbeitung der Aufgaben als Voraussetzung. Daher wird die Bearbeitung des Arbeitsheftes primär für Schülerinnen und Schüler ab Klasse 10 bis 13 empfohlen. Alle weiteren Inhalte werden im Arbeitsheft eingeführt. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Die Umgebung kann vollständig aus dem Browser (Firefox, Chrome, Safari, Opera, Edge, et cetera) heraus benutzt werden. Sie benötigt einen Bildschirm mit hinreichend großer Auflösung (mindestens 1024 mal 768). Weitere Voraussetzungen oder Kenntnisse sind nicht erforderlich. Die Funktionalität der Umgebung wird im Arbeitsheft beschrieben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihre Modellierungsfähigkeit anhand eines komplexen Beispiels. überprüfen Annahmen mathematischer Modellierungen kritisch. ordnen Ergebnisse mathematischer Modellierungen kritisch ein. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler benutzen eine vorgegebene, digitale Simulation als Unterstützung bei der Modellierung. erkennen die Relevanz automatisierter Prozesse bei komplexen Modellierungsaufgaben. hinterfragen Chancen und Risiken digitaler Simulationen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verstärken ihre Teamkompetenz durch die gemeinsame Arbeit an mathematischen Problemen. kommunizieren über die Herangehensweise und Lösungen mathematischer Probleme. präsentieren und begründen ihre Ergebnisse und Herangehensweisen in einem Vortrag. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler benutzen mathematische Denk- und Arbeitsweisen, um Phänomene der realen Welt zu beschreiben und zu erklären. benutzen mathematische Modelle und daraus gewonnene Daten zur Lösung komplexer Probleme der realen Welt. setzen mathematische Technologien reflektiert ein, um schnell und zielgerichtet Daten zu generieren.

Wie viel Kreppband und wie viele Sprühdosen werden benötigt, um das Logo einer bekannten Sportfirma an die Wand zu sprühen? In dieser Unterrichtseinheit geht es darum, mithilfe der mathematischen Modellierung den Umfang und den Flächeninhalt von Trapezen in einem Anwendungszusammenhang zu bestimmen. Viele Logos von Marken und Firmen bestehen aus geometrischen Formen. Ebenso ein Logo, welches Inhalt dieser Unterrichtseinheit ist, denn es besteht aus drei Trapezen. Ziel der Stunde ist es, die Frage zu lösen, wie viel Kreppband und wie viele Sprühdosen benötigt werden, um das Logo an eine Wand sprühen zu können. Die Erarbeitung beziehungsweise die Herleitung der Formel für den Flächeninhalt orientiert sich nach dem EIS-Prinzip von Brunner, in der ein Lerninhalt auf enaktiver (handelnder), ikonischer (bildlicher) und symbolischer (formalisierter) Ebene behandelt wird. In der enaktiven Phase legen die Schülerinnen und Schüler in Einzelarbeit das Trapez aus dem zusätzlichen Material so an das deckungsgleiche Trapez auf dem Arbeitsblatt an, dass ein bereits bekanntes Viereck (Parallelogramm) entsteht. Dies führt zur ikonischen Ebene, in der die Schülerinnen und Schüler in Paararbeit mithilfe des Bildes Erkenntnisse für den Flächeninhalt gewinnen. Auf der symbolischen Ebene werden dann schließlich die Flächeninhalte berechnet und die Erkenntnisse in eine verallgemeinernde Formel übersetzt. Nachdem die Formel für den Flächeninhalt gesichert ist, haben die Schülerinnen und Schüler das nötige Werkzeug, um die Modellierung " Wie viel Kreppband und wie viele Sprühdosen werden benötigt, um das Logo an eine Wand zu sprühen? " selbstständig zu bearbeiten. In Paararbeit werden alle relevanten Informationen in mathematische Terme und Gleichungen übersetzt und anschließend gelöst. Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler können sich darüber hinaus in einem zweiten Arbeitsblatt mit alternativen Flächeninhaltsberechnungsmöglichkeiten auseinandersetzen. Umfang und Flächeninhalt von einem Trapez Hinter dem Logo einer Sportmarke verstecken sich Trapeze, deren Umfänge und Flächeninhalte berechnet werden sollen. Da die Formeln für die Schülerinnen und Schüler noch unbekannt sind, bildet die Herleitung dieser Formeln den inhaltsbezogenen mathematischen Kern der Stunde. Der Umfang ist im Vergleich zum Flächeninhalt einfach hergeleitet. Wie bei allen geometrischen Formen entspricht der Umfang einfach der Summe aller Seitenlängen. Das ist den Lernenden bereits von anderen geometrischen Formen bekannt, weshalb der Fokus auf der Herleitung des Flächeninhalts liegt. Diese Herleitung soll gelingen, indem die Fläche durch geschickte Ergänzung auf bereits bekannte Flächen zurückgeführt wird, wodurch die Formel für die relevante Fläche abgeleitet werden kann. Zwei deckungsgleiche Trapeze werden hier zu einem Parallelogramm geformt. Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man, indem man die Länge einer Grundseite mit der dazugehörigen Höhe multipliziert. Der Flächeninhalt des entstandenen Parallelogramms wird halbiert und es ergibt sich die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. Didaktisch-methodische Analyse Methodisch ist die Unterrichtsstunde nach dem EIS-Prinzip mit Think-Pair-Share aufgebaut. Diese Herangehensweise bedient alle Lerntypen, da neben dem haptischen Arbeiten auch bildlich gearbeitet wird. Die erste Phase findet in Einzelarbeit statt, damit alle Lernenden nach dem Stundeneinstieg aktiviert bleiben und in die anschließende Paararbeit eigene Gedanken mitnehmen können. Durch die Paararbeit findet eine lernförderliche Kommunikation statt, die zum Formalisieren führt. Durch den problemorientierten Stundeneinstieg und das Lösen des Kreppband- und Sprühdosenproblems im zweiten Teil der Stunde findet eine automatische Binnendifferenzierung durch die mathematische Modellierung statt. Vorkenntnisse und Vorbereitung Die Schülerinnen und Schüler sollten die Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms kennen, um diese Unterrichtseinheit zielgerecht bearbeiten zu können. Für die Vorbereitung muss das Arbeitsmaterial von der Lehrkraft ausgedruckt und ausgeschnitten werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler leiten selbstständig die Flächeninhaltsformel des Trapezes her. wenden die Flächeninhaltsformel im Modellierungskreislauf ab. bestimmten selbständig aus ihren mathematischen Ergebnissen eine reale Lösung für den Sachzusammenhang. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stellen ihre Überlegungen ihren Mitschülerinnen und Mitschülern nachvollziehbar vor. lernen durch Paar- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team.

In dieser Unterrichtseinheit berechnen die Lernenden mit digitalen Hilfsmitteln die Wahrscheinlichkeit für den Achtelfinaleinzug von Deutschland bei der Fußballweltmeisterschaft 2022 mithilfe von Sportwetten. Das Ziel des Materials ist es, die Aufgabe mithilfe von Modellierungstätigkeiten zu lösen und dadurch die Kompetenz des mathematischen Modellierens zu stärken.In dieser Unterrichtseinheit wird die Wahrscheinlichkeit eines Achtelfinaleinzugs von Deutschland bei der Fußball-WM 2022 in Katar bestimmt. Als Ansatzpunkte werden dazu die Wettquoten von Sportwettenanbietern verwendet. Es handelt sich um eine Modellierungsaufgabe, bei der die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Unterrichtseinheit die verschiedenen Teilschritte des mathematischen Modellierens durchlaufen. Die Lernenden werden schrittweise durch die Aufgabe geführt und erarbeiten sich damit Stück für Stück die Lösung der Aufgabe selbstständig. Unterstützt werden sie dabei von einer digitalen Lernumgebung, die Informationstexte, Aufgabenstellungen und Zusatzmaterialien wie GeoGebra-Simulationen und Vorlagen für Tabellenkalkulationen enthält. Zusätzlich erhalten die Lernenden ein Aufgabenheft, in dem sie die Aufgaben schriftlich bearbeiten können. Im Laufe der Unterrichtseinheit wird die Ausgangssituation der Aufgabenstellung zunächst analysiert, vereinfacht und anschließend in das mathematische Modell eines zweistufigen Zufallsexperiments übersetzt. Danach werden die beiden Stufen des Zufallsexperiments getrennt voneinander betrachtet und entsprechende mathematische Überlegungen angestellt. Ein entscheidender Aspekt der mathematischen Überlegungen ist die Übersetzung der Wettquoten in Wahrscheinlichkeiten, wobei im Zuge dessen Begriffe wie Pseudowahrscheinlichkeiten und gewinnbereinigte Wahrscheinlichkeiten eingeführt und voneinander abgegrenzt werden. Anschließend werden in mehreren Teilschritten unter Verwendung der ersten und zweiten Pfadregel und dem Satz über bedingte Wahrscheinlichkeiten schließlich die verschiedenen Probabilitäten berechnet, die schlussendlich zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit des Achtelfinaleinzugs zusammengefasst werden. Zuletzt wird die Aufgabenlösung und damit das erstellte Modell durch den Vergleich mit der bei Sportwettenanbietern angegebenen Wettquote kritisch hinterfragt, was den Modellierungsprozess abschließt. Neben den bereits beschriebenen mathematischen Inhalten werden auch kombinatorische Überlegungen beim Aufstellen der Baumdiagramme angestellt sowie digitale Kompetenzen durch die Verwendung der Simulationen und Tabellenkalkulationen gestärkt. Ziel der Unterrichtseinheit ist es somit, die Modellierungskompetenz und die digitalen Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler zu stärken, wodurch wichtige Aspekte der Bildungsstandards aufgegriffen werden. Das Thema "Mathematisch modellieren" im Unterricht Mathematische Modellierungen erlangen im Kontext interdisziplinärer Aufgaben- und Fragestellungen zunehmende Bedeutung, da zur Beantwortung mathematischer Fragestellungen Realsituationen zunächst in entsprechende Modelle übersetzt werden müssen, bevor eine Aufgabenlösung erfolgen kann. In der vorgestellten Unterrichtseinheit kann die Modellierungskompetenz auf erhöhtem Niveau durch die Bearbeitung einer komplexen, realitätsnahen Aufgabenstellung gefördert werden. Dafür wurde die vorgestellte digitale Lernumgebung auf Grundlage von erprobten und in der Literatur beschriebenen Konzepten für Unterrichtsreihen und Projekttage erstellt, da durch diese der Modellierungsprozess bei Schülerinnen und Schülern schrittweise angeleitet werden kann. Didaktisch-methodische Analyse Durch die vorgestellte digitale Lernumgebung wird die Modellierungskompetenz von Schülerinnen und Schülern gefördert. Sie durchlaufen während der Bearbeitung der Aufgabenstellung die in den KMK-Bildungsstandards geforderten und beschriebenen Teilschritte der mathematischen Modellierung, wodurch die Kompetenz insgesamt gestärkt wird. Um den ebenfalls in den Bildungsstandards geforderten Aspekt der Digitalisierung aufzugreifen, werden in der digitalen Lernumgebung Simulationen und Tabellenkalkulationen verwendet. Die Simulationen helfen zusätzlich, die erarbeiteten Sachverhalte darzustellen und zu visualisieren. Insbesondere die schnelle und einfache Erstellung von Baumdiagrammen mithilfe von Schiebereglern stellt einen enormen Vorteil dar, da nicht die zeichnerische Umsetzung, sondern die Mathematik im Vordergrund steht. Die Verwendung der Tabellenkalkulationen zeigt den Lernenden Chancen von digitalen Programmen in Bezug auf Datensätze auf und erleichtert den Umgang mit diesen. Die vorgestellte und praktisch erprobte Modellierungsaufgabe behandelt Sportwetten als thematischen Schwerpunkt, da dieses Thema einen großen Alltagsbezug für die Lernenden aufweist. Durch die Präsenz des Themas bei Schülerinnen und Schülern steigt die Motivation der Bearbeitung, da die Relevanz der Fragestellung deutlich wird. Dies wurde bei mehreren Durchführungen mit Lernenden im Rahmen des Mathematik-Labors, einem außerschulischen Lernort, beobachtet. Hier bearbeiteten Schülerinnen und Schüler im Rahmen von Workshops und Modellierungstagen erfolgreich die vorgestellte Modellierungsaufgabe. Methodisch wurde eine digitale Lernumgebung erstellt, welche die Lernenden selbstständig zu Hause oder bei entsprechender technischer Ausstattung (Vorhandensein von genügend vielen digitalen Endgeräten) in der Schule verwenden können. Innerhalb der Lernumgebung liegen verschiedenen Kapitel vor, die schrittweise von den Lernenden bearbeitet werden können. Der Vorteil besteht darin, dass alle Schülerinnen und Schüler in ihrem eigenen Tempo arbeiten können und damit der Kompetenzaufbau sichergestellt wird. Zusätzlich werden über entsprechende PopUp-Fenster Hilfestellungen bereitgestellt. Insgesamt ist sowohl eine selbstständige als auch eine durch die Lehrkraft angeleitete Verwendung möglich. Die Bearbeitung der Aufgaben kann, je nach Unterrichtssetting und Ausstattung, entweder in Einzel- oder in Paararbeit erfolgen. Paararbeit hat den Vorteil, dass zusätzlich die Kommunikationskompetenz gestärkt wird. Außerdem kann sich die Einbringung unterschiedlicher Ideen positiv auf den Modellierungsprozess auswirken. Weiterhin ist auch eine Verwendung in der Schule oder zu Hause möglich, sodass die digitale Lernumgebung auch für virtuelle Unterrichtsformen verwendet werden kann. Vorkenntnisse von Lehrenden und Lernenden Bei der digitalen Lernumgebung handelt es sich um eine moodle-basierte Anwendung auf der kostenfreien und öffentlich zugänglichen Webseite "OpenWueCampus". Zur Bearbeitung der Lernumgebung können sich Lehrende und Lernende unter Verwendung eines Gastzugangs mit entsprechendem Passwort (MMS_Sportwetten!) in den zugehörigen Kurs einschreiben. Dort kann dann das Material bearbeitet werden, wobei keine speziellen Kenntnisse zur Bearbeitung notwendig sind. Die GeoGebra-Simulationen sind direkt in die Lernumgebung eingebunden und erfordern nur die Bedienung von Schiebereglern und Text-Werkzeugen. Bei der Bearbeitung der Tabellenkalkulation sind grundlegende Kenntnisse, wie die Rechnung mit Zellenbezügen hilfreich. Dies wird aber auch innerhalb der Lernumgebung nochmals erklärt. Insgesamt können Lehrkräfte die digitale Lernumgebung ohne Vorkenntnisse in den Unterricht einbauen, da alle Simulationen bereits vollständig eingebettet sind und nicht mehr angepasst werden müssen. Schülerinnen und Schüler benötigen technisch ebenfalls keine Vorkenntnisse. Inhaltlich wird die Kenntnis über Zufallsexperimente, Baumdiagramme, die Pfadregeln und die bedingte Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt. In der digitalen Lernumgebung werden sowohl Vorlagen für Tabellenkalkulationen in GeoGebra als auch in Excel verwendet. Der Hintergrund dafür ist, dass für die komplexen Rechnungen und Verknüpfungen die grundlegenden Funktionen der GeoGebra-Tabellenkalkulation nicht ausreichen, weshalb dafür das umfangreichere Programm Excel verwendet wird. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Damit für die Lernenden ein möglichst großer Lerngewinn und Kompetenzaufbau durch die Lernumgebung erfolgen kann, sollen Lehrende die digitale Lernumgebung als innovative Lehrmethode reflektiert in ihren Unterricht einbauen können. Dazu sollen digitale Endgeräte mit Internetzugang zur Verfügung stehen und die Lernumgebung vor Verwendung erprobt werden (3.1 Lehren). Wichtig zur erfolgreichen Implementierung der digitalen Lernumgebung in den Unterricht ist, dass sichergestellt wird, dass alle Lernenden Zugang zu den erforderlichen digitalen Endgeräten mit Internetzugang haben. Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler bei der Handhabung unterstützt werden, damit unterschiedliche Voraussetzungen und Vorkenntnisse kein Hindernis in der Benutzung der digitalen Endgeräte und der digitalen Lernumgebung darstellen. Beide Punkte sollen von Lehrenden sichergestellt werden (5.1 Zugang und Inklusion). Lehrende sollen die Differenzierungsmöglichkeiten, die in der digitalen Lernumgebung in Form von optionalen Hilfestellungen zur Verfügung gestellt werden, geeignet und zielführend in ihren Unterricht einbauen können (5.2 Differenzierung und Personalisierung). Weiterhin sollen Lehrende verschiedene Lernformen (kooperatives und selbstreguliertes Lernen) und Kompetenzerwerbsprozesse (Informations- und Medienkompetenz) der Lernenden, die durch die Lernumgebung initiiert werden, unterstützen und fördern. Dazu müssen sie die Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Medienkompetenz unter anderem bei der Analyse und Verarbeitung von Datensätzen mit digitalen Hilfsmitteln wie Simulationen und Tabellenkalkulationsprogrammen unterstützen. Aus diesem Grund sollen auch Lehrende Kompetenzen in diesen Bereichen aufweisen (3.3 Kooperatives Lernen, 3.4 Selbstreguliertes Lernen, 6.1 Informations- und Medienkompetenz). Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Modellierungskompetenz durch Bearbeitung der stochastischen Sportwetten-Modellierung. vertiefen ihre fachliche Kompetenz in den Bereichen der bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Baumdiagramme und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Pfadregeln. interpretieren Sportwettenquoten unter mathematischen Gesichtspunkten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler analysieren und interpretieren den Datensatz der Sportwettenquoten vor dem Hintergrund der Notwendigkeit für die gegebene Aufgabenstellung. erkennen den Mehrwert der Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen bei der Bearbeitung von Datensätzen. übersetzen ihre mathematischen Überlegungen in die bereitgestellten GeoGebra-Simulationen und nutzen die Simulationen zur Visualisierung von komplexen Inhalten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich bei der Bearbeitung der Aufgabenstellung gegenseitig. beschreiben ihr Vorgehen bei der Aufgabenlösung dem Partner oder der Partnerin und argumentieren hinsichtlich der Vereinfachung der Situation und der Plausibilität der Modellierung. dokumentieren Lösungen schriftlich und stellen sie verständlich dar. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler reflektieren das aufgestellte Modell und die daraus gewonnenen Ergebnisse kritisch. verwenden Daten und Informationen zur Aufgabenlösung zielgerichtet. erkennen den Nutzen von digitalen Medien bei der Visualisierung von und dem Umgang mit Datensätzen. lernen die mathematische Modellierung als Möglichkeit zur Bearbeitung interdisziplinärer Fragestellungen kennen. Literaturhinweise Die Materialien wurden auf Grundlage folgender Publikationen erstellt: Siller, H.-S., Maaß, J. (2009). Fußball EM mit Sportwetten. In: Brinkmann, A., Oldenburg, R. (Hrsg.). Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 14 (S. 95–112), Franzbecker: Hildesheim. Maaß, J., Siller, H.-S. (2015). Wettbetrug – ein aktuelles und realitätsbezogenes Thema zum mathematischen Modellieren. In: Maaß, J., Siller, H.-S. (Hrsg.). Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 2, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 79–85), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-05003-0_1 Siller, H.-S.; Habeck, D.; Salih, A.; Fefler, W. (2015). Sportwetten und Großereignisse als Chance für den Mathematikunterricht. Praxis der Mathematik in der Schule, Nr. 66, 57. Jg. (Dezember 2015), S. 42–46. Habeck, D., Siller, H.-S. (2017). Die 3-Punkte-Regel bei Fußballturnieren mathematisch analysiert – oder: Warum es wahrscheinlicher ist die Hauptrunde mit 5 Punkten anstatt mit 6 Punkten zu erreichen. In: Stochastik in der Schule. Heft 3, S. 2–7. Siller, H.-S., Maaß, J. (2018). Fußball EM mit Sportwetten. In: Siller, H.-S., Greefrath, G., Blum, W. (Hrsg.): Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 4, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 343–356), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-17599-3_25

In dieser Unterrichtseinheit sollen sich die Schülerinnen und Schüler die zentralen Inhalte zum Thema Geschäftsprozesse selbstständig erarbeiten, um ihre Kenntnisse dann in einer konkreten Handlungssituation anzuwenden. Nachdem die betriebliche Organisationslehre lange von Betrachtungen der Aufbauorganisation geprägt war, hat sich mit dem Einzug von Wertkette und Prozesskostenrechnung der Fokus auf die Ablauforganisation verlagert. Betriebswirtschaftliche Zusammenhänge werden an Prozessen festgemacht und so ein vernetztes Verständnis betrieblicher Abläufe als Basis von Optimierungen gefördert. Nach Internet-Recherchen werden die Lernenden in dieser Einheit mit einer betrieblichen Handlungssituation aus dem Funktionsbereich Beschaffung und Lagerung konfrontiert. Sie sind aufgefordert, für einen Jeansproduzenten eine Ablaufstudie durchzuführen, um die Teilprozesse der Lagerhaltung zu erfassen und zu optimieren. Die Kenntnisse werden verfeinert, geübt und vertieft. Im Rahmen betrieblicher Problemstellungen verwenden die Lernenden ereignisgesteuerte Prozessketten (EPK) zur Modellierung. So bietet es sich an, die Geschäftsprozesse EDV-basiert abzubilden. Die Bestimmung von Prozesskosten bietet Ansatzpunkte, um von der Ist-Beschreibung zum optimierten Soll-Prozess zu gelangen. Das didaktische Verlaufsmodell des Lernarrangements ist eine handlungsorientierte Lernschleife, in die eine Lernspirale eingebettet ist. Die Lernspirale gliedert das Thema in Arbeitsinseln, welche einzeln in mehrstufigen EVA-Aktivitäten bearbeitet werden. Die Verwendung der Lernspirale erlaubt die wiederholte Beschäftigung mit dem Lerngegenstand unter Nutzung verschiedener Sozialformen (Einzelarbeit, Partnerarbeit, Plenum) und Sinneskanäle. Das selbstständige Erarbeiten der Inhalte steigert die Akzeptanz und verbessert die Nachhaltigkeit des Lernens. Die Schülerinnen und Schüler sind im Rahmen des vorgegebenen Lernkorridors selbst für ihren Lernprozess verantwortlich und bestimmen in der Einzel- wie Teamarbeitsphase individuell ihr Lerntempo. Unterrichtsablauf und Einsatz der Materialien Hier erfahren Sie mehr über den Aufbau und den Ablauf der Unterrichtsstunden sowie den Einsatz der Arbeitsmaterialien. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre kognitive Kompetenz erweitern, indem sie auf Basis von Sachinformationen erarbeiten, welche Merkmale einen Geschäftsprozess ausmachen. ihre Analysekompetenz schulen, indem sie eine Textanalyse durchführen, notwendige Informationen auswählen und zur Modellierung des Lagerhaltungsprozesses anwenden. ihre Abstraktionskompetenz fördern, indem sie eine komplexe betriebliche Realität im Modell abbilden. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Fähigkeit entwickeln, Informationen zu recherchieren, eine gezielte Auswahl von Quellen vorzunehmen und die wesentlichen Aspekte aufzubereiten. ihre Präsentations- und Visualisierungskompetenz erweitern, indem sie ein Plakat gestalten und dieses unter Zuhilfenahme von Moderationstechniken darlegen. ihre Selbsterschließungskompetenz schulen, indem sie im Rahmen des Lernarragements eine Problemlösung erarbeiten. Thema Der Geschäftsprozess der Warenlagerung in der Public Jeans GmbH Autor Dr. Christoph Dolzanski Fach Wirtschaftslehre, Lernbereiche: Marktorientierte Geschäftsprozesse, Lagerhaltung Zielgruppe Berufsschule (Industriekaufleute), Höhere Berufsfachschule Zeitrahmen 3 Unterrichtsstunden; plus weitere Lerneinheiten je nach Lerngruppe und Integration in die didaktische Planung Technische Voraussetzungen Computer, Internet, Plakate, Metaplankarten, Moderationswände Planung Verlaufsplan Geschäftsprozesse Der Themeneinstieg konfrontiert die Schülerinnen und Schüler mit aktuellen Problemen der Lagerorganisation. Die Beschreibung der Lageraufgaben in der Public Jeans GmbH lässt dabei erahnen, dass die Geschäftsleitung zu Recht Handlungsbedarf in der Organisation der Lagerwirtschaft sieht. Die Klasse erhält den Arbeitsauftrag, der drei Arbeitsphasen enthält, die sukzessive durchlaufen werden. Es empfiehlt sich, die Arbeitsphasen einzeln an die Lerngruppe zu geben. Lernspirale Stufe 1 Die Schülerinnen und Schüler arbeiten zunächst alleine und recherchieren im Internet zum Thema Geschäftsprozesse. Alternativ kann an dieser Stelle mit einem Lehrbuch gearbeitet werden. Die Lernenden sichten die Informationen und halten wichtige Details in Stichpunkten fest. Lernspirale Stufe 2 In dieser Phase wird in Tandems gearbeitet. Die Lernenden tauschen sich über ihre bisherigen Ergebnisse aus und klären Begriffe oder offene Fragen. Im Anschluss diskutieren sie über die gefundenen Merkmale und einigen sich auf jene, die sie im nächsten Schritt auf einem Plakat darstellen wollen. In jedem Team wird ein Plakat erstellt, das wesentliche Aspekte der Geschäftsprozesse beinhaltet. Die Plakate bieten den Vorteil, dass die Inhalte für die weiteren Arbeiten visualisiert und im Raum präsent sind. Zwischenergebnisse und erste Reflexionen Einzelne Plakate werden von ausgewählten Teams präsentiert. Die Lernenden können sich im Plenum nochmals mit den Merkmalen von Geschäftsprozessen befassen. In dieser Phase können die Ergebnisse miteinander verglichen und der Prozess bis zur Auswahl bestimmter Merkmale thematisiert werden. Die Schülerinnen und Schüler sind aufgefordert, die Ergebnisse zu kommentieren und eventuell zu ergänzen. Alle Plakate werden im Klassenraum aufgehängt, um für die weiteren Arbeitsphasen verfügbar zu sein. Methodische Aspekte der Präsentation und Visualisierung können bei Bedarf an dieser Stelle reflektiert werden. Lernspirale Stufe 3 Nun werden zwei Teams zu einer Arbeitsgruppe zusammengeführt und jede Gruppe überlegt, welche Tätigkeiten zu organisieren sind. In diesem Arbeitsschritt kann auch auf ein Lehrbuch zurückgegriffen oder an Auszügen von Lagerhaltungsprozessen systemanalytisch gearbeitet werden. Die Lernenden halten die Teilprozesse und Tätigkeiten schriftlich fest und erstellen Metaplankarten. Diese dienen im Anschluss dazu, den Geschäftsprozess der Lagerhaltung zu modellieren. Mithilfe einer Moderationswand wird der erarbeitete Geschäftsprozess visualisiert. Präsentieren und hinterfragen Im Anschluss stellen alle Gruppen ihr Geschäftsprozessmodell vor. Die Ergebnisse werden verglichen und die fachwissenschaftlichen Inhalte der Handlungsprodukte mittels Reflexionsfragen thematisiert. Die Schülerinnen und Schüler haben in diesem Prozess erneut die Möglichkeit, ihre Geschäftsprozesse zu ergänzen. Sie arbeiten an der logischen Abfolge der Teilprozesse und erstellen die Vernetzung der Prozessbestandteile, soweit dies noch nicht vorgenommen wurde. Reflektieren und überarbeiten Die Lernenden reflektieren ihre Handlungsprodukte und setzen sich mit der Frage auseinander, was der Einzelne im Hinblick auf die Modellierung von Geschäftsprozessen gelernt hat. In einer weiteren Arbeitsphase verfeinern und ergänzen die Schülerinnen und Schüler den modellierten Geschäftsprozess um weitere Aspekte wie Organisationseinheiten oder notwendige Daten. Abhängig vom Kompetenz- und Entwicklungsstand kann das Lernarrangement verändert werden. So besteht die Möglichkeit, mit der Modellierung des Geschäftsprozesses zu beginnen und danach die Fachbegriffe und Merkmale zu erarbeiten. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, den didaktischen Ansatz des systemanalytischen Vorgehens aus der Informatik aufzugreifen und die Lerngruppe mit einem modellierten Geschäftsprozess zu konfrontieren. Dieser wird von den Schülerinnen und Schülern analysiert und in seine Bestandteile zerlegt. Im Anschluss werden die Fachinhalte erarbeitet, um die Ergebnisse auf andere Kontexte anwenden zu können. Eine dritte Variante besteht darin, die Teilprozesse, Aktivitäten und Symbole des Prozesses vorgefertigt auszuteilen, um die Lernenden mit diesen Vorgaben den Geschäftsprozess modellieren zu lassen. In einem weiteren Schritt werden dann die fachinhaltlichen Aspekte erarbeitet. Blank, A., Hagel, H. (et. al): Ausbildung im Industriebetrieb, 1. Ausbildungsjahr, Troisdorf: Bildungsverlag EINS, 2007. Bayer, U., Feist, T. (et. al): Handeln im Industriebetrieb, Grundstufe, Haan-Gruiten: Europa-Lehrmittel, 2003. Mattes, W.: Methoden für den Unterricht, 75 kompakte Übersichten für Lehrende und Lernende, Schöningh: Braunschweig, Paderborn und Darmstadt, 2002.

In dieser Unterrichtseinheit beschäftigen sich die Lernenden mit der Herausforderung, zukünftige Entwicklungen des Infektionsgeschehens zu modellieren. Alle Inhalte werden dabei in Form eines Gruppenpuzzles selbstständig erarbeitet. Mit passend zu den Arbeitsaufträgen entwickelten Videos, GeoGebra-Simulationen und zusätzlichen Input-Materialien durchlaufen die Lernenden eine naturwissenschaftlich-mathematische Modellierung. Insgesamt wird so die fächerübergreifende und interdisziplinäre Auseinandersetzung mit dem Thema Epidemiologie zum zentralen Unterrichtsgegenstand.Die Unterrichtseinheit ermöglicht es den Lernenden, einen naturwissenschaftlich-mathematischen Modellierungskreislauf über eine durch Arbeitsaufträge angeleitete Modellierung zu durchlaufen. Alle Materialien erhalten Sie über die Links am Ende der Seite. Ausgehend von den molekularbiologischen Grundlagen von SARS-CoV-2, dem Erreger der Krankheit COVID-19, welcher Auslöser einer weltweiten Pandemie ist, erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler im ersten Teil der Unterrichtseinheit alle notwendigen Modellierungsannahmen. Im zweiten Teil wird das exponentielle Wachstum zu Beginn einer Pandemie untersucht. Die sich daraus ergebenen Grenzen im Rückbezug auf die Realität führen zur Erweiterung der Modellierungsannahmen und zur Verbesserung hin zum sogenannten SIR-Modell, welches im Sinne einer "Black-Box" analysiert wird. Dadurch spielen die zugrundeliegenden Differentialgleichungen keine übergeordnete Rolle. Stattdessen treten die qualitative Auswertung und die Interpretation der Kurvenverläufe in Abhängigkeit der unterschiedlichen Parameter in den Vordergrund. Den Abschluss der Einheit bildet eine Diskussion zum Thema Impfen, in der alle erarbeiteten Ergebnisse miteinander vereint werden und eine mehr-perspektivische Betrachtung ermöglicht wird. Die Unterrichtseinheit zielt vorrangig darauf ab, das vielfältige Wirkungsgefüge eines komplexen Themengebiets – hier der Epidemiologie – zu erfassen. Durch die Kooperation mit anderen Fachdisziplinen im fächerübergreifenden Unterricht entsteht so ein manipulierbares Modell, aus welchem mathematische Ergebnisse gewonnen und anschließend in Bezug auf die Realität interpretiert werden können. Diese Schlussfolgerungen für zukünftiges Handeln sind maßgeblich, um perspektivisch eine nachhaltige Entwicklung voranzutreiben und dem Konzept einer Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE) gerecht zu werden. Grundsätzlich erfolgt die Bearbeitung der Aufgaben innerhalb einer Stammgruppe, bestehend aus vier Personen – nur einige Aufgaben werden in Paararbeit und im anschließenden Austausch der Gruppen von Expertinnen und Experten bearbeitet. Das Arbeitsheft führt dabei durch die Unterrichtseinheit, macht auf solche Wechsel der Sozialform aufmerksam und ermöglicht in Kombination mit den Tipps im Hilfeheft eine eigenständige Bearbeitung des Materials.Die Unterrichtseinheit ist in drei Arbeitshefte untergliedert, wobei pro Arbeitsheft in etwa eine Doppelstunde benötigt wird. Die Links zu allen Materialien finden Sie am Ende der Seite. Da es sich um eine Selbstlernumgebung handelt, die nur an wenigen Stellen zusätzliche Hilfe benötigt, können die Gruppen alle Arbeitshefte eigenständig und in ihrem eigenen Tempo nacheinander bearbeiten. Um den Modellierungscharakter der Lerneinheit besser hervorzuheben, werden die einzelnen Phasen an die Schritte der adaptierten Form des integrierten Modells der naturwissenschaftlich-mathematischen Modellierung von Meister und Upmeier zu Belzen (2018) (vgl. Abbildung 1) angelehnt. Eine ausführliche Version des Verlaufsplans lässt sich auch hier finden. Spätestens mit der Entdeckung von SARS-CoV-2 wurde der Epidemiologie als wissenschaftliche Disziplin eine neue Rolle in der Beurteilung des Infektionsgeschehens und des Verständnisses von Infektionskrankheiten zugeschrieben. Gleichzeitig konnte die bereits vor 2020 geäußerte Annahme, dass sich das Auftreten von Pandemien in Zukunft noch deutlich intensivieren würde, bestärkt werden. Die Gründe dafür sind vielfältig und es ist nicht verwunderlich, dass das Forschungsinteresse, Risiken zu identifizieren und Prognosen zu erstellen, wann und wo eine neue Infektionskrankheit auftreten könnte, eine vollkommen neue Gewichtung erhalten hat. Genau hier setzt die Unterrichtseinheit an und beschäftigt sich mit der Epidemiologie und den ihr zugrundeliegenden Modellen, mit dem Ziel, durch eine angeleitete naturwissenschaftlich-mathematische Modellierung den Infektionsverlauf von SARS-CoV-2 angemessen zu modellieren. In mehreren Zyklen wird hier das sogenannte SIR-Modell entwickelt. Es beschreibt mathematisch die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Gruppen mit definierten Gesundheitszuständen und stellt die Lernenden zunächst vor die Herausforderung, dieses Wirkungsgefüge und die Wechsel zwischen den Gesundheitszuständen (als Infektion und Genesung bezeichnet) im Sinne des systemischen Denkens zu erfassen. Neben dem fachspezifischen Wissen, welches in beiden Fächern vertieft oder erworben wird, werden durch den permanent eingeforderten Realitätsbezug auch spezielle Gestaltungskompetenzen (siehe BNE) adressiert. Sie sind essenziell bei der Übersetzung und Interpretation der Realität in ein Modell und umgekehrt und befähigen auch in Zukunft zur eigenständigen Durchdringung und Modellierung anderer komplexer Sachverhalte. Gleichzeitig lassen sich nur so Erklärungen für die Entwicklung der Fallzahlen finden und zukünftige Infektionsentwicklungen prognostizieren. Der fächerübergreifende Charakter der Lerneinheit zwischen Mathematik und Biologie (diese Verortung findet sich auch im Lehrplan wieder) fordert fachliche Vorkenntnisse aus beiden Fächern. Im Fach Biologie zählen dazu grundlegendes biologisches Wissen über die Zelle, die dort ablaufenden Prozesse (Transkription, Translation et cetera) sowie das Basiskonzept des Schlüssel-Schloss-Prinzips. Mathematisches Vorwissen wird im Bereich der Analysis und Differentialrechnung (Differenzenquotient, Steigung/Steigungsdreieck, Ableitung) und der rekursiven Berechnung von einzelnen Werten vorausgesetzt. Hinweise zu den Download-Materialien Arbeitsheft: Das Arbeitsheft enthält alle Arbeitsaufträge und leitet durch die Unterrichtseinheit. Eine Vierergruppe erhält zwei Arbeitshefte von Teil 1 und Teil 2. Diese unterscheiden sich nur in bestimmten Aufgaben voneinander und ermöglichen so die Bearbeitung der Lerneinheit als Gruppenpuzzle. Hilfeheft: Im Hilfeheft finden sich gestaffelte Hilfestellungen, die von den Lernenden eigenständig und nach Bedarf zu Rate gezogen werden können. Jede Vierergruppe erhält ein Hilfeheft Teil 1 und Teil 2. Weitere Printmaterialien: Diese finden sich alle im Materialordner im Downloadbereich der Station und werden für ihre Bearbeitung benötigt. Jede Gruppe erhält einen Satz aller Printmaterialien. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Einheit benötigen Die Lehrenden organisieren die digitale Teilhabe aller Lernenden und leiten sie an, die digitale Lerneinheit im Webbrowser aufzurufen und die dort bereits vorkonfigurierten Ressourcen zu nutzen. Sie gewährleisten außerdem, dass die Lernenden über alle erforderliche Vorkenntnisse und Fähigkeiten (sowohl digitale als auch nicht digitale) verfügen (2.3. Organisieren, Schützen und Teilen digitaler Ressourcen, 5.1. Digitale Teilhabe). Die Lerneinheit sollte von den Lehrenden sinnstiftend in den Unterricht eingebettet werden und dementsprechend einerseits unter Berücksichtigung der Lernziele, die ihren Ursprung im fächerübergreifenden Unterricht haben und andererseits des Kontextes der Epidemiologie behandelt werden. Die neu gewonnenen Erkenntnisse sollten zur besseren Integration der Lerneinheit im weiteren Unterrichtsverlauf erneut aufgegriffen, reflektiert und kritisch diskutiert werden. Dabei kann es hilfreich sein, diese Auseinandersetzung in neue Formate oder pädagogische Methoden zu integrieren (3.1. Lehren, 2.1. Auswahl digitaler Ressourcen). Während der Arbeitsphase begleiten die Lehrenden die Gruppenarbeiten und unterstützen die Lernenden auf verschiedenen Ebenen, sodass selbstgesteuertes Lernen, ein zielgerichteter Umgang mit den digitalen Elementen (vor allem den GeoGebra-Simulationen) und eine individuelle Bearbeitung (eigenes Niveau und eigenes Lerntempo) erreicht werden (3.2. Lernbegleitung, 3.4. Selbstgesteuertes Lernen, 5.2. Differenzierung und Individualisierung). Dazu zählt auch, die Kommunikation, die Teamarbeit und die kollaborative Nutzung der digitalen Medien innerhalb der unterschiedlichen Personenkonstellationen zu initiieren beziehungsweise zu fördern und die Lernenden somit bei Bedarf aktiv in die Arbeitsprozesse einzubinden. Dies gilt vor allem für die Aufgaben, in denen sich die Lernenden in der Stammgruppe über die in den Gruppen aus Expertinnen und Experten erarbeiteten Ergebnisse austauschen (3.2. Lernbegleitung, 3.3. Kollaboratives Lernen, 3.4. Selbstgesteuertes Lernen, 5.3. Aktive Einbindung der Lernenden). Digitale Medien werden in der Lerneinheit außerdem (von den Lehrenden) eingesetzt, um sich mit vielfältigen Herausforderungen aktiv und kreativ auseinandersetzen zu können. Dementsprechend werden sie zur Förderung der Kommunikation, der Zusammenarbeit in der Gruppe, zur Anregung von Diskussionen und damit zur gemeinsamen Lösungsfindung genutzt (5.3. Aktive Einbindung von Lernenden, 6.2. Digitale Kommunikation und Zusammenarbeit, 6.5. Digitales Problemlösen). Vermittelte Kompetenzen Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stellen die Epidemiologie als interdisziplinäres Fachgebiet dar, indem sie verschiedene Methoden dieses Gebietes anwenden. erläutern verschiedene Modelle, indem sie die mathematischen Eigenschaften, die Einflüsse verschiedener Parameter und die Zusammenhänge zwischen einzelnen Größen qualitativ untersuchen. interpretieren mathematisch gewonnene Ergebnisse durch Rückbezug zur Realität und initiieren so neue Modellierungszyklen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, die Informationen aus den zur Verfügung gestellten digitalen Materialien zu analysieren, interpretieren und zu nutzen. verarbeiten Informationen, Inhalte und vorhandene digitale Produkte weiter und integrieren diese in bestehendes Wissen. lernen GeoGebra als digitales Mathematikwerkzeug kennen und wenden es in vorgegebenen Aktivitäten zur qualitativen Betrachtung von Modellierungsprozessen an. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler dokumentieren Überlegungen, Lösungswege beziehungsweise Ergebnisse gemeinsam, stellen sie verständlich dar und präsentieren sie, auch unter Nutzung geeigneter Medien. erfahren (unter anderem durch die Konstellationen im Gruppenpuzzle), dass jede/jeder ihre/seine individuellen Stärken einbringen kann. reflektieren, dass gelungene Kooperation und Kommunikation zu einem gemeinsamen inhaltlichen Ergebnis führen können. 21st Century-Skills Die Schülerinnen und Schüler können Zusammenhänge qualitativ untersuchen, verbal und grafisch beschreiben und systematisieren. erschließen komplexe Themengebiete mithilfe von Gestaltungskompetenzen eigenständig. interpretieren Modelle und leiten Schlussfolgerungen für die Realität und zukünftiges Handeln ab. Literaturhinweise Meister, J. & Upmeier zu Belzen, A. (2018): Naturwissenschaftliche Phänomene mit Liniendiagrammen naturwissenschaftlich-mathematisch model-lieren. In: M. Hammann & M. Lindner (Hrsg.), Lehr- und Lernforschung in der Biologiedidaktik: Band 8. 2017 (S. 87–106). Studien Verlag, Halle-Wittenberg.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Modellbildung wird die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes genutzt, um mithilfe eines Realexperimentes und einer Simulationsumgebung den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren.Wie viele Tiere leben in einem definierten Gebiet? Diese Frage lässt sich gar nicht so einfach beantworten. Sie stellt sich zum Beispiel, wenn man prüfen möchte, ob natürliche oder vom Menschen verursachte Veränderungen Auswirkungen auf die Population einer bestimmten Spezies haben. Dann kommt man zumindest um ein Schätzen der aktuellen Bestandgröße nicht herum. Die dafür gängigen Verfahren beruhen auf Modellierungsprozessen, die sich auch im schulischen Kontext thematisieren lassen. Diese Unterrichtseinheit liefert dafür neben der Beschreibung eines Realexperimentes ("Bonbons aus einem Eimer fischen") eine kleine Simulation ("Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... "), mit der die Schülerinnen und Schüler das Fang-Wiederfang-Verfahren zur Schätzung einer virtuellen Hasenpopulation selbstständig und explorativ durchführen können.Für die Ermittlung von Schätzwerten zur Größe von Tierpopulationen stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung. Zu diesen zählt das Fang-Wiederfang-Verfahren (auch "capture-recapture-" oder "mark-recapture"-Verfahren). Der Name charakterisiert bereits das Wesen dieser Methode. In einem bestimmten Gebiet werden zu einem konkreten Zeitpunkt Individuen einer Spezies gefangen, gezählt und markiert. Zu späteren Zeitpunkten wird unter möglichst gleichen Bedingungen das Fangverfahren wiederholt (Wiederfang). Dabei wird neben der Gesamtzahl der gefangenen Individuen auch die Anzahl der davon markierten, also wiedergefangenen, Tiere ermittelt. Die Anzahl der durchgeführten Wiederfangverfahren kann variieren. In der Regel wird das Wiederfangverfahren einmal (2-Punktmethode) oder zweimal (3-Punktmethode) durchgeführt. Bei jedem Fang ist ein spezielles Markierungsmuster zu verwenden. Einen Schätzwert für die aktuelle Populationsgröße erhält man, wenn man die ermittelten Daten ins Verhältnis setzt. Realexperiment und Simulation Für den schulischen Kontext ist die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes ein gutes Beispiel, um den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren. Das zur Verfügung gestellte Arbeitsblatt soll den Schülerinnen und Schülern eine möglichst selbstständige Auseinandersetzung mit der Problematik ermöglichen. Das beschriebene Modellexperiment ("Bonbons aus einem Eimer fischen") erlaubt es, sich zunächst nichtvirtuell als "Fänger und Wiederfänger" im Klassenzimmer zu probieren. Für eine intensivere explorative Beschäftigung mit der Thematik wird die Simulationsumgebung "Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... " zur Verfügung gestellt, die das Durchführen des Fang-Wiederfang-Verfahrens in Abhängigkeit der Parameter Anzahl der vorhandenen Individuen (in diesem Fall Hasen) Anzahl der aufgestellten Fallen Anzahl der Wiederfänge in kurzer Zeit erlaubt. Eine kleine Gebrauchsanwesiung für die Installation und die Nutzung der Simulationsumgebung, ausgestattet mit vielen Screenshots, ermöglicht eine selbstständige Arbeit der Schülerinnen und Schüler mit dem Programm. Unterrichtsverlauf "Modellbildung zur Schätzung eines Populationsbestandes" Eine Variante der Unterrichtsdurchführung könnte darin bestehen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen einzuteilen (jeweils zwei bis drei Lernende pro Gruppe) und ihnen das Arbeitsblatt mit den Fragestellungen 1-3 zur Verfügung zu stellen. Den Lernenden wird ausreichend Zeit eingeräumt (etwa 15-20 Minuten), um sich mit der Problematik auseinander zu setzen. Nach der Diskussion der Vor- und Nachteile der von den Schülerinnen und Schülern entworfenen Lösungen kann (falls das Fang-Wiederfang-Verfahren nicht bereits erwähnt oder inhaltlich beschrieben wurde) als weitere Methode das Fang-Wiederfang-Verfahren vorgestellt und mithilfe des Wassereimer-Bonbon-Modells simuliert werden. Im Anschluss daran werden den Schülerinnen und Schülern die Aufgaben 4 bis 6 des Aufgabenblattes und die Simulationsumgebung mit der Bedienungsanleitung für das weitere explorative Arbeiten zur Verfügung gestellt. Die Sequenz endet mit einer Diskussion der gewonnenen Ergebnisse. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Bedeutung von Schätzverfahren für alltägliche Problemstellungen am Beispiel des Fang-Wiederfang-Verfahrens exemplarisch kennen. können den Modellcharakter des Fang-Wiederfang-Verfahrens erkennen und insbesondere die Grenzen dieses Modells beschreiben. erkennen, dass das Fang-Wiederfang-Verfahren mathematisch mithilfe von Verhältnisgleichungen beschrieben werden kann. erfahren, dass sich Zustände und Prozesse aus ihrem unmittelbaren Lebensumfeld, aus Natur und Technik, teilweise mit einfachen Mitteln (abstrakt) modellhaft veranschaulichen lassen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sich selbstständig unter Nutzung einer Dokumentation in die Arbeit mit der vorgegebenen Simulationsumgebung ein. können die gegebene Simulation explorativ zur Beantwortung auch selbst gestellter Fragen nutzen. erkennen, dass Simulationen als Mittel zum Erkenntnisgewinn dienen können. wissen, dass Simulationen als didaktische Mittel zur Veranschaulichung von ausgewählten Modellen eingesetzt werden können. Für den schulischen Kontext ist die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes ein gutes Beispiel, um den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren. Das zur Verfügung gestellte Arbeitsblatt soll den Schülerinnen und Schülern eine möglichst selbstständige Auseinandersetzung mit der Problematik ermöglichen. Das beschriebene Modellexperiment ("Bonbons aus einem Eimer fischen") erlaubt es, sich zunächst nichtvirtuell als "Fänger und Wiederfänger" im Klassenzimmer zu probieren. Für eine intensivere explorative Beschäftigung mit der Thematik wird die Simulationsumgebung "Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... " zur Verfügung gestellt, die das Durchführen des Fang-Wiederfang-Verfahrens in Abhängigkeit der Parameter Anzahl der vorhandenen Individuen (in diesem Fall Hasen) Anzahl der aufgestellten Fallen Anzahl der Wiederfänge in kurzer Zeit erlaubt. Eine kleine Gebrauchsanwesiung für die Installation und die Nutzung der Simulationsumgebung, ausgestattet mit vielen Screenshots, ermöglicht eine selbstständige Arbeit der Schülerinnen und Schüler mit dem Programm. Eine Variante der Unterrichtsdurchführung könnte darin bestehen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen einzuteilen (jeweils zwei bis drei Lernende pro Gruppe) und ihnen das Arbeitsblatt mit den Fragestellungen 1-3 zur Verfügung zu stellen. Den Lernenden wird ausreichend Zeit eingeräumt (etwa 15-20 Minuten), um sich mit der Problematik auseinander zu setzen. Nach der Diskussion der Vor- und Nachteile der von den Schülerinnen und Schülern entworfenen Lösungen kann (falls das Fang-Wiederfang-Verfahren nicht bereits erwähnt oder inhaltlich beschrieben wurde) als weitere Methode das Fang-Wiederfang-Verfahren vorgestellt und mithilfe des Wassereimer-Bonbon-Modells simuliert werden. Im Anschluss daran werden den Schülerinnen und Schülern die Aufgaben 4 bis 6 des Aufgabenblattes und die Simulationsumgebung mit der Bedienungsanleitung für das weitere explorative Arbeiten zur Verfügung gestellt. Die Sequenz endet mit einer Diskussion der gewonnenen Ergebnisse.

Eine objektorientierte Sichtweise erleichtert Schülerinnen und Schülern das Verständnis für Informatiksysteme. Deshalb erscheint es sinnvoll, Elemente der objektorientierten Modellierung bereits in den Anfangsunterricht Informatik aufzunehmen.Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet eine Einführung in die Idee der Objektorientierung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die informatischen Begriffe und Inhalte ?Objekt?, ?Attribut?, ?Attributwert?, ?Methode? und ?Klasse? kennen. Dadurch erwerben sie ein produktunabhängiges Verständnis für Informatiksysteme mit hohem Transferpotenzial. Als Beispiel wird die Software GEONExT für dynamische Mathematik genutzt und objektorientiert modelliert. So entstehen fruchtbare Verbindungen zwischen den Fächern Informatik und Mathematik. Informatische Bildung Der Informatikdidaktiker Steffen Friedrich hat den Begriff der informatischen Bildung konkretisiert, indem er vier didaktische Leitlinien für den Informatikunterricht formulierte: Umgang mit Informationen Wirkprinzipien von Informatiksystemen Problemlösen mit Informatiksystemen Arbeiten mit Modellen Insbesondere sollen die Schülerinnen und Schüler Probleme erkennen, die mit Informatiksystemen gelöst werden können, die Fähigkeit erwerben, sich in die zielorientierte Nutzung von Informatiksystemen einzuarbeiten und Problemlösungen in Bezug auf ihre Relevanz und Effizienz bewerten. Dabei sollen sie einen Einblick in gesellschaftlich bedeutsame Anwendungen der Informations- und Kommunikationstechnologien erhalten, deren Chancen und Risiken erkennen und Bereitschaft zu verantwortungsvollem Umgang mit derartigen Systemen entwickeln. Sie erleben beim Arbeiten, dass Modellbildung ein zentrales Element des Problemlösens mit Informatiksystemen ist, lernen Modellierungstechniken kennen und sehen die Gültigkeitsgrenzen und die Kritikbedürftigkeit von Modellen ein. Modellierung von Informatiksystemen Im Anfangsunterricht Informatik kann die Arbeit mit Standardsoftware, etwa zum Gestalten von Grafiken, zum Verfassen von Texten, zum Verwalten von Daten oder zum elektronischen Versenden von Nachrichten im Mittelpunkt stehen. Dabei geht es neben dem Erwerb grundlegender Bedienerfertigkeiten auch und vor allem um ein tieferes Verständnis für die zugehörigen Strukturen, denen die Prinzipien der Objektorientierung zu Grunde liegen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Objekte identifizieren, deren Attribute und Methoden erkennen und die Objekte klassifizieren. Auf diese Weise entwickeln sie exemplarisch Modelle der Informatiksysteme, die ihnen ein übergeordnetes, produktunabhängiges und längerfristig nutzbares Verständnis für diese Art von Software ermöglichen. Unterrichtsverlauf und Stationen der Lernumgebung Die eingesetzte Lernumgebung besteht aus HTML-Seiten mit GEONExT-Applikationen und umfasst acht aufeinander aufbauende Stationen. Didaktische und technische Hinweise Tipps zur Binnendifferenzierung und zum Arbeiten mit dem Heft, um oberflächliches "Durchklicken" durch die Lernumgebung zu verhindern Die Schülerinnen und Schüler sollen die Idee der Objektorientierung kennen lernen. Informatiksysteme objektorientiert modellieren können. die Bedeutung der objektorientierten Sichtweise im Alltag erfahren. Thema Objektorientierte Modellierung mit GEONExT Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Informatik Zielgruppe Klasse 5-8 Zeitraum 10 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download auf der GEONExT-Homepage) Arbeiten mit einer computerbasierten Lernumgebung bedeutet keineswegs ausschließliches Arbeiten am Rechner. Ziel des Mediums Computer ist es, den Schülerinnen und Schülern informatische Inhalte näher zu bringen, im hier beschriebenen Unterrichtsbeispiel die objektorientierte Modellierung. Die entscheidenden Vorgänge laufen dabei nicht am Rechner, sondern im Kopf des Schülers ab, der beim Arbeiten kognitive Strukturen aufbaut. Hierfür bedarf es aber des Zusammenwirkens vieler unterrichtlicher Komponenten: Individuelles Arbeiten am Computer und auf Papier, die Kooperation mit den Mitschülern und das Unterrichtsgespräch im Klassenplenum beeinflussen und befruchten sich wechselseitig. Die Lernumgebung umfasst acht Stationen, die in der angegebenen Reihenfolge bearbeitet werden sollten, da sie aufeinander aufbauen. Station 1: GEONExT kennen lernen Die Schülerinnen und Schüler gewinnen einen ersten Zugang zu dem Informatiksystem. Sie experimentieren mit Punkten, Strecken, Geraden und Kreisen und fertigen damit eigene Zeichnungen an. Station 2: Eigenschaften erkunden Die Attribute der Objekte werden erkundet und ihre Attributwerte verändert. Am Beispiel eines Objekts "Punkt" fertigen die Schülerinnen und Schüler eigenständig eine Übersicht über gefundene Objekteigenschaften an und dringen damit in die Welt der Objektorientierung ein. Station 3: Vokabeln der Informatik Die Schülerinnen und Schüler und lernen die Fachbegriffe "Objekt", "Attribut", "Attributwert" und "Methode" anhand von GEONExT-Objekten kennen. Station 4: Vielecke Vielecke eröffnen neue Möglichkeiten beim Zeichnen von Bildern. Anhand eines Fünfecks werden die bislang gelernten Fachbegriffe wiederholt und vertieft. Station 5: Freie und abhängige Objekte Für ein tiefer gehendes Verständnis für dynamische Konstruktionen ist die Differenzierung zwischen freien und abhängigen Objekten sinnvoll. Die Lernenden erfahren insbesondere den Unterschied zwischen freien Punkten und Schnittpunkten. Station 6: Klassen Es zeigt sich, dass es zweckmäßig ist, gleichartige Objekte zu Klassen zusammenzufassen. Die erarbeiteten Begriffe der Objektorientierung werden auf vielfältige Bereiche aus der alltäglichen Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler übertragen (zum Beispiel Klasse "Fahrrad"). Station 7: Textfelder Mit Textfeldern lernen die Schülerinnen und Schüler eine neue Klasse kennen. Sie versehen Zeichnungen mit Beschriftungen und verändern deren Attributwerte. Speziell dynamische Textfelder zum Messen von Entfernungen und Winkeln stellen ein mächtiges Werkzeug zum quantitativen Arbeiten mit dynamischen Konstruktionen dar. Station 8: Weiter experimentieren Den Lernenden steht die vollständige GEONExT-Oberfläche zur Verfügung. Sie experimentieren insbesondere mit Parallelen, Senkrechten und Rechtecken. Das Speichern und Laden von Daten führt zu neuen Themenbereichen (Speichermedien, Pfad einer Datei, ... ). Durch den Export von Daten in andere Informatiksysteme (Textverarbeitung, Rastergrafikprogramm) ergeben sich vielfältige Verknüpfungen im informatischen Wissen der Schülerinnen und Schüler. Im Anfangsunterricht Informatik treten im Rahmen eigenständigen Arbeitens die unterschiedlichen Arbeitstempi der Lernenden besonders deutlich zu Tage. Hier machen sich insbesondere stark differierende Vorerfahrungen im Umgang mit Computern bemerkbar. Um derartige Unterschiede im Unterricht abzufangen, enthält die Lernumgebung Seiten, die sich speziell an schnellere, leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler wenden: Nicht jede Station muss von jedem Schüler bis zur letzten Seite bearbeitet werden. Die Kerngedanken befinden sich in der Regel auf den ersten Seiten der Stationen. Die Stationen 2 (Eigenschaften erkunden), 4 (Vielecke) und 5 (Freie und abhängige Objekte) besitzen auf ihrer letzten Seite einen Link "Vertiefung". Er führt jeweils zu einem Exkurs, der die Thematik der entsprechenden Station weiter vertieft. Die letzten beiden Stationen 7 (Textfelder) und 8 (Weiter experimentieren) besitzen eine gewisse Pufferfunktion. Sie können bei Zeitknappheit gekürzt und nur in Ausschnitten bearbeitet werden beziehungsweise schnelleren Schülerinnen und Schülern zu einer weiterführenden Beschäftigung mit GEONExT und anderen Informatiksystemen dienen. Allerdings lässt sich beim eigenständigen Arbeiten der Lernenden beobachten, dass einige nur deshalb "schnell" sind, weil sie die Stationen nur oberflächlich bearbeiten, ohne in die informatische Tiefe vorzudringen und ohne die schriftlichen Arbeiten gewissenhaft anzufertigen. Die Lehrkraft kann den Schülerinnen und Schülern dies durch geeignete Fragen zur Lernzielkontrolle vor Augen führen. Die Schülerinnen und Schüler werden in der Lernumgebung immer wieder aufgefordert, ihre Überlegungen und Ergebnisse eigenständig in ihr Heft zu notieren und Übersichten und Diagramme - etwa zur Darstellung der Eigenschaften von Objekten - auf Papier zu entwerfen. Ein derartiges Arbeiten im Heft hilft, die Thematik sorgfältig zu durchdringen und die Gedanken zu ordnen und zu strukturieren. Zudem soll dadurch verhindert werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler nur oberflächlich mit den beweglichen Konstruktionen am Bildschirm befassen, dass sie die Seiten wie bei einem Computerspiel austesten, ohne zum eigentlichen informatischen Gehalt vorzudringen. Die Aufforderung, Beobachtungen und Überlegungen aufzuschreiben, verlangsamt den Prozess des "Durchklickens" und schafft für die Schülerinnen und Schüler damit den Zeitrahmen, der für Lernprozesse unentbehrlich ist. Damit alle Schülerinnen und Schüler die erarbeiteten Ideen der Objektorientierung und die zugrunde liegenden Fachbegriffe dauerhaft und verbindlich Schwarz auf Weiß zur Verfügung haben, führen Links auf der jeweils letzten Seite der Stationen 3 und 6 zu zusammenfassenden Ergebnisblättern, die entweder mit Microsoft Word oder dem Adobe Reader angesehen und ausgedruckt werden können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, das Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. GEONExT-Homepage Auf der GEONExT-Website können Sie die Software für Linux, Mac OS X und Windows herunterladen.

Machen Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern einen kleinen Crashkurs zur Erarbeitung von Grundlagen der Fenstergestaltung mit Java. Das Ergebnis: die Simulation eines Pokerspiels!Beim Erlernen einer Programmiersprache werden anfangs viele grundlegende Ideen vermittelt - leider können die Schülerinnen und Schüler aber noch nicht viel "sehen". Das Erstellen von einfachen Fenstern mit Inhalten soll die Lernenden in dieser Unterrichtseinheit motivieren und ihnen Gelegenheit bieten, sich mit den Möglichkeiten der Layout-Gestaltung zu beschäftigen. Importieren von Klassen, überschreiben von Methoden, abstrakte Methoden: viele Elemente der objektorientierten Sprache Java lassen sich an einfachen Beispielen verstehen. Bei der Fenstergestaltung werden Elemente verwendet, die den Lernenden die Möglichkeit bieten, im Rahmen vorgegebener Methoden kreativ zu sein. Voraussetzungen und Inhalte der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler sind bereits mit grundlegenden Konzepten der objektorientierten Programmierung vertraut (Klassen und Objekte, Schleifen, bedingte Anweisungen). Durch den Import verschiedener Pakete soll ihnen verdeutlicht werden, welche vielfältigen Möglichkeiten das Klassenkonzept von Java bietet. Wie wertvoll es ist, vordefinierte Funktionen zu überschreiben, wird in vielen Beispielen deutlich. Eine wichtige Aufgabe der Informatik ist die Simulation realer Prozesse durch geeignete Abstraktionen. Am Beispiel des Pokerspiels sollen solche Modellierungen mit den Lernenden erarbeitet werden. Die Darstellung von Inhalten und Ergebnissen verschiedener Simulationen geschieht in verschiedenen Fenstern. Einfache Fenstertechniken werden durch das Kennenlernen eines EventListeners ergänzt. Um Ergebnisse und bestimmte Werte dauerhaft zu sichern, lernen die Schülerinnen und Schüler das Anlegen und Beschreiben von Dateien. Weitere Einsatzmöglichkeiten der Materialien Die Materialien der Unterrichtseinheit können auch in einem Ergänzungskurs verwendet werden - zahlreiche anschließende Fragestellungen sind denkbar. Zudem sind sie so konzipiert, dass interessierte Schülerinnen und Schüler sie - mit kleinen Änderungen und Ergänzungen - auch für ein Selbststudium nutzen können.Die Schülerinnen und Schüler sollen Probleme mathematisch abstrahieren können. mit den Elementen einer objektorientierten Programmiersprache Sachverhalte implementieren können. einfache Fenstertechniken kennen lernen und mit Java umsetzen können. EventListener kennen lernen und anwenden können. einen Einblick in das Speichern von Daten erhalten.

Beim Einkauf einer Ware werden bei Abnahme größerer Mengen bekanntlich Rabatte gewährt. Doch auch Lagerhaltungs- und Bestellkosten fallen ins Gewicht. Welche Menge gilt es also zu bestellen? Dass es unsinnig ist, riesige Mengen Kopierpapier und Radiergummis zu bestellen, führte schon "Herr Lohse" alias Loriot in "Pappa ante portas" vor. Dieser Filmausschnitt stellt daher einen ungewöhnlichen und amüsanten Einstieg in den Unterricht dar. Nachdem den Schülerinnen und Schülern die betriebswirtschaftliche Problemstellung vor Augen geführt wurde, heißt es, die Aufgabe angemessen lösen. Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie MS Excel kann dabei helfen. Dies Unterrichtseinheit ist eingebunden in eine Unterrichtsreihe zu Microsoft Excel. Unterrichtliche Umsetzung Die Schülerinnen und Schüler sollen das vorliegende betriebswirtschaftliche Problem erkennen und nachvollziehen. erkennen, dass die Aufgabe mit Excel komfortabel und zeitlich effizient zu lösen ist. zur Lösung des Problems ein mathematisches Modell erstellen. eine Wertetabelle mit den ihnen bekannten Excel-Hilfen (Formeln, Zellbezüge, Zellen kopieren) erstellen. das numerische und graphische Ergebnis im Hinblick auf das Ausgangsproblem interpretieren und transferieren. für die Approximation der Lösung sensibilisiert werden. Im Rahmen der Unterrichtsreihe "Arbeiten mit Microsoft Excel" wurden im Vorfeld folgende Inhalte behandelt: eine allgemeine Einführung in Excel Zellformatierungen Zellbezüge statistische Funktionen (Minimum, Maximum) Wenn-Dann-Funktionen Grafiken Das Thema der hier vorgestellten Stunde gehört inhaltlich zur Kurzreihe "Erstellen von Grafiken" in der Reihe "Arbeiten mit Microsoft Excel". Der Schwerpunkt der Stunde liegt in der kaufmännischen Bestimmung der optimalen Bestellmenge Kopierpapier mithilfe von Excel. Dazu ist zunächst die mathematische Modellierung des gewählten betriebswirtschaftlichen Beispiels notwendig. Es müssen Formeln in Abhängigkeit der variablen Bestellmenge aufgestellt werden. Diese lassen sich in Excel zur Erstellung einer Wertetabelle nutzen. Die graphische Darstellung beinhaltet einen Transfer des vorangegangenen Unterrichtsinhalts. Abschließend soll der Schnittpunkt der Graphen (Lager- und Bestellkostenfunktion) als optimale Bestellmenge interpretiert werden. Dies graphische Ablesen, aus betriebswirtschaftlicher Sicht durchaus hinreichend, birgt aus mathematischer Sicht die Gefahr von Ungenauigkeiten, welhalb man ein exaktes Ergebnis berechnet. Der Unterrichtsinhalt der Stunde wird durch die didaktische Jahresplanung für die Unterstufe des Wirtschaftsgymnasiums (Nordrhein-Westfalen) legitimiert.