Unterrichtsmaterialien zum Thema "Modellierung"

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Netzplantechnik

Unterrichtseinheit

Die Unterrichtseinheit "Netzplantechnik" führt in die Grundlagen dieses grafischen Verfahrens ein. Die Schülerinnen und Schüler analysieren Abläufe und stellen sie mithilfe eines Netzplans dar.Die Netzplantechnik bezeichnet ein grafisches Verfahren, um variable Abläufe zu planen, zu analysieren und zu steuern. Vor allem in der Projekt- und Terminplanung finden Netzpläne ihre Anwendung. Beim Einsatz der Netzplantechnik durchdenken Schülerinnen und Schüler komplexe Projekte vollständig, erkennen Abhängigkeiten und bilden diese verschiedenen Informationen dann in einem Netzplan ab. Dabei machen sie ihre ersten theoretischen Erfahrungen im Projekt-Management und werden darüber hinaus auf den Umgang mit Projekt-Management-Software vorbereitet, die in der Regel auf Netzplänen basiert. Bei der Netzplantechnik handelt es sich um eine Reihe von Verfahren zur Analyse, Beschreibung, Planung und Steuerung von Abläufen auf der Grundlage der Graphentheorie. In der folgenden Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Critical Path Methode (CPM) kennen. Sie arbeiten dort mit Vorgangspfeilnetzplänen, bei denen die Vorgänge und ihre Beziehung untereinander als Pfeile und die Ereignisse als Knoten dargestellt werden. Bevor die Netzplantechnik bei betrieblichen Problemen Anwendung findet, wird das Verfahren im übersichtlichen Bereich einfacher Kochrezepte geübt. Der frühe Einstieg in praktische Übungen ist für das Konzept des Unterrichts zentral.Den Schülerinnen und Schülern fällt der Einstieg in die Netzplantechnik in der Regel nicht leicht. Die Theorie wirkt anfangs komplex. Besonders die mathematischen Formeln, mit denen die einzelnen Begriffe in der Fachliteratur erklärt werden, erschweren den Zugang. Deshalb ist es sinnvoll, den Theorieteil auf das Nötigste zu beschränken und zügig zu den praktischen Übungen überzugehen. Der Einstieg erfolgt über einfache und bekannte Probleme aus Alltagssituationen, hier am Beispiel überschaubarer Kochrezepte. Haben die Schülerinnen und Schüler ihre ersten Netzpläne entworfen, ist das System in der Regel schnell verstanden. Jetzt kann man sie dazu anleiten, ihre Netzpläne übersichtlicher zu gestalten, denn die einzelnen Vorgänge sollten sich so wenig wie möglich kreuzen. Aber auch der ein oder andere Scheinvorgang ist nicht mehr nötig, wenn man den Vorgang direkt in den entsprechenden Ereignisknoten münden lässt.Die Schülerinnen und Schüler erkennen die Eignung der Netzplantechnik zur Abbildung und Steuerung komplexer Projekte. erstellen aus gegebenen Informationen einen Netzplan und ermitteln die Pufferzeiten sowie den kritischen Pfad eines Projektes. durchdenken komplexe Projekte systematisch und steuern den Projektablauf beim Auftreten von Problemen adäquat.

  • Wirtschaftsinformatik
  • Sekundarstufe II

Projekt Funktionsplotter

Unterrichtseinheit

Ziel des Projekts ist die objektorientierte Programmierung eines einfachen Funktionsplotters in Java. Dieser soll Funktionsterme, die über ein Textfeld eingegeben werden, in einem Koordinatensystem mit skalierbaren Achsen darstellen können.Schülerinnen und Schüler sollen einen Plotter entwickeln, mit dem ganzrationale, gebrochenrationale und Potenzfunktionen dargestellt werden können. Die Aufgabenstellung schließt die Entwicklung eines Termparsers ein. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der engen Korrespondenz der Syntaxdiagramme mit der Implementierung der Klassen. Das hier vorgestellte Material richtet sich an erfahrende Informatiklehrerinnen und -lehrer. Es stellt die Sachanalyse dar und schlägt didaktische Reduktionen und einen Aufbau für die Unterrichtseinheit vor. Die enthaltenen Diagramme und Quelltexte sind auch für den Einsatz im Unterricht konzipiert. Realisierung überschaubarer Lösungen in Unterrichtsblöcken Die Entwicklung eines Interpreters oder Parsers, der auf einer kontextfreien Grammatik basiert, ist ein lohnendes, aber auch schwieriges Unterfangen. Dies gilt umso mehr, wenn man sich zum Ziel setzt, dass die Schülerinnen und Schüler wesentlich Teile selbst erarbeiten können. Der Aufbau soll einem genetischen Weg folgen. Ausgehend von einfachen Problemstellungen sollen kleine überschaubare Lösungen realisiert werden, die in einem Unterrichtsblock umgesetzt werden können. Diese Teillösungen können schrittweise zu immer komplexeren Lösungen erweitert werden. Vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten Die Vorteile und der Nutzen von algorithmischen Lösungen und objektorientierter Programmierung werden unmittelbar erfahrbar. Durch vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten wird auch den weniger leistungsstarken Schülerinnen und Schülern ein Zugang zur Materie ermöglicht. Leistungsstarke Lernende oder Teilgruppen können komplexere Aufgabenstellungen bearbeiten, deren Lösungen in das Projekt integriert werden. Von Vorteil ist hier zweifellos, dass der behandelte Gegenstand allen Schülerinnen und Schülern vertraut ist. Themenübersicht und Materialien Die Inhalte der Programmierungsziele werden kurz vorgestellt. Die jeweiligen Quelltexte und eine ausführliche Dokumentation können Sie hier einzeln herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Syntaxregeln für den Aufbau von Termen finden und formulieren können. rekursiv aufgebaute Syntaxdiagramme lesen und erstellen können. eine kontextfreie Grammatik formulieren und nutzen lernen. die Rekursion als mächtiges Programmierkonzept kennen und nutzen lernen. die Struktur "Stapel" entwickeln, kennen und nutzen lernen. geeignete Klassenstrukturen entwickeln und die entsprechenden Klassen codieren. Thema Objektorientierte Programmierung eines Termparsers und Funktionsplotters in Java Autor Karl Georg Kristin Fach Informatik Zielgruppe Sekundarstufe II; vorauszusetzen sind Erfahrungen im objektorientierten Programmieren Zeitraum 5-10 Doppelstunden, je nach angestrebter Komplexität der Lösung Technische Voraussetzungen Computer-Arbeitsplätze in ausreichender Zahl (im Idealfall Partnerarbeit) Software Java Runtime Environment (kostenfreier Download), Entwicklungsumgebung BlueJ (Freeware) oder eine andere Entwicklungsumgebung für Java 1. Konstante Grenzen Das Programm stellt den Graphen einer Funktion auf einem Panel dar. Das Panel wird in einem Frame auf dem Monitor angezeigt. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der linken unteren Ecke. Die Achsen haben feste Größen. 2. Flexible Grenzen Die Einteilung und Lage der Koordinatenachsen wird durch die Anfangs- und Endwerte der Achsen angegeben. Die Koordinatenachsen werden ebenfalls gezeichnet. 3. Achsenbeschriftung Die Beschriftung der Achsen erfolgt nach dem Grundsatz, dass zwei Markierungen höchstens 80 Pixel auseinander sein sollen und mindestens einen Abstand von 30 Pixeln haben dürfen. 1. Summen und Produkte Erlaubte Terme dürfen zu Beginn nur Ziffern, die Variable x, Plus- und Multiplikationszeichen enthalten. 2. Geklammerte Ausdrücke Sollen auch Terme verarbeitet werden können, die Klammerausdrücke enthalten, muss die Syntax erweitert werden. 3. Subtraktion und Division Die Subtraktion einer Zahl wird ersetzt durch die Addition des negativen Werts der Zahl. Ein Minuszeichen vor einem Summanden führt dazu, dass der Wert des Summanden ins Negative verkehrt wird. Eine Sonderstellung nehmen dabei Vorzeichen ein, die nicht einem Summanden folgen, sondern vor einem Term stehen. 4. Potenzrechnung Um Potenzen verarbeiten zu können wird die Syntax erneuet erweitert. Als Basen und Exponenten sind Variablen, Konstanten oder eingeklammerte Terme zugelassen. Am Ende der Unterrichtseinheit werden die Teile des Projekts zusammengeführt und der Funktionsplotter erhält noch eine interaktive Oberfläche. In dem Dokument (dokumentation_plotter.pdf) finden Sie weitere und ausführliche Informationen zu den oben kurz vorgestellten Programmierzielen, die in einem Unterrichtsblock umgesetzt werden sollen.

  • Informatik / Wirtschaftsinformatik / Computer, Internet & Co.
  • Sekundarstufe II

Simulation von Straßenverkehr

Unterrichtseinheit

Wie die Erklärung zur Entstehung von Verkehrsstaus mit mathematischen Mitteln möglich ist, zeigt diese Unterrichtseinheit.Mobilität spielt insbesondere in der modernen Gesellschaft eine wichtige Rolle. Im Alltag sind damit jedoch häufig Verkehrsstaus verbunden. Aber Staus kosten Nerven, verschlingen Zeit und Energie und produzieren zudem überflüssige Schadstoffe. Häufig entstehen bei dichtem Verkehr sogenannte "Staus aus dem Nichts". Wie sie entstehen und was jeder einzelne Verkehrsteilnehmer dazu beitragen kann, sie zu verhindern, zeigen einfache algorithmische Modelle und entsprechende Experimente.Um Verkehr im Detail zu simulieren und zu erklären, wie Stau entsteht, wird das Modell der zellulären Automaten herangezogen. Die Idee wird zunächst am "Spiel des Lebens" eingeführt und anschließend auf ein einfaches Modell zur Verkehrssimulation übertragen. Durch den Alltagsbezug werden auch Lernende angesprochen, die der Mathematik eher skeptisch gegenüberstehen. Die beigefügten Computerprogramme wurden in Python erstellt und können optional zum eigenen Experimentieren und Beobachten eingesetzt werden. Das "Spiel des Lebens": Einführung in zelluläre Automaten Das Modell stammt aus der Biologie und simuliert über Generationen das Entstehen und Vergehen von Zellen. Zelluläre Automaten zur Verkehrssimulation Mit zellulären Automaten lässt sich auch der Straßenverkehr recht einfach und gut simulieren. Einführung eines Trödelfaktors Mehr Realitätsbezug durch die Einführung des "Trödelfaktors" in das Modell, denn der Verkehr bewegt sich nicht absolut gleichmäßig. Die Schülerinnen und Schüler lernen am Beispiel von zellulären Automaten, einfache Algorithmen zu verstehen, anzuwenden und einige ihrer Eigenschaften zu analysieren. lernen Möglichkeiten und Grenzen von einfachen Modellen zur Verkehrssimulation kennen. variieren Eingabedaten für vorgegebene Programme zur Verkehrssimulation systematisch (Verkehrsdichte) und erkennen dabei grundlegende Eigenschaften des Verkehrsflusses in Abhängigkeit von den Eingabedaten. erkennen, dass die durch den Trödelfaktor eingeführte Individualisierung des Verkehrs die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Staus erhöht. Modell aus der Biologie Um in das Prinzip der zellulären Automaten einzuführen, hat sich ein Einstieg über das sogenannte "Spiel des Lebens" bewährt, das 1970 von dem Mathematiker Conway entwickelt wurde. Dieses Modell hat einen völlig anderen Anwendungshintergrund (Biologie) als die Verkehrssimulation, benutzt aber ebenso wie diese einen zellulären Automaten. Zellentwicklung über Generationen Hier geht man aus von einem aus kleinen Quadraten (Zellen) bestehenden Gitter. Die Größe des Gitters kann frei gewählt werden (zum Beispiel 20 × 30 Zellen). Jede Zelle kann leben oder tot sein. Zu Beginn wird eine Anfangsgeneration lebender Zellen auf dem Spielfeld platziert. Die nächste Generation ergibt sich aus einigen einfachen Regeln. Auch diese Regeln entsprechen einem Algorithmus. Mathematisch entspricht das Entstehen jeder neuen Generation einem Iterationsschritt des durch die Regeln definierten Verfahrens. Populationen, die sich nicht (mehr) ändern, sind mathematisch gesehen Fixpunkte des Algorithmus. Bei Vorliegen einfacher Programmierkenntnisse können die (oder einige interessierte) Schülerinnen und Schüler das "Spiel des Lebens" auch selbst programmieren. Für diesen Fall empfiehlt sich der Hinweis, dass die Programmierung wesentlich einfacher ist, wenn man im Programm eine weitere (immer leere, hier gestrichelt dargestellte) Zellschicht rings um das eigentliche Spielfeld vorsieht, um eine Vielzahl sonst erforderlicher Fallunterscheidungen in Randnähe zu umgehen, wenn man die Anzahl der lebenden Nachbarzellen ermittelt. (Die Zellen am Rand oder in der Ecke des Spielfelds haben sonst im Programm weniger Nachbarn). Rahmenbedingungen Dazu wird eine Straße in einzelne Abschnitte einer festen Länge (zum Beispiel 7,50 m, was der Länge eines Autos plus einem Mindestabstand zu anderen Autos entspricht) aufgeteilt. Jeder solche Abschnitt ist eine Zelle. In unserem Modell können diese Abschnitte (oder Zellen) zu einem festen Zeitpunkt entweder genau ein Auto mit einer bestimmten momentanen Geschwindigkeit enthalten, oder sie sind leer. Jedes Auto hat eine individuelle Eigengeschwindigkeit, kann bei freier Strecke beschleunigen und hält bestimmte einfache Abstandsregeln zu dem vorausfahrenden Fahrzeug ein. (Mathematisch gesehen entsprechen diese Regeln bereits einem Algorithmus!) Wann kommt es zum Stau? Fahren jetzt alle Autos mit exakt der gleichen Geschwindigkeit und ist der Verkehr so dünn, dass genügend Abstand zu den jeweils vorausfahrenden Fahrzeugen besteht, entsteht kein Stau. Dies ändert sich jedoch, wenn man individuelle Abweichungen der Geschwindigkeiten zulässt, zum Beispiel durch die Einführung eines (zufallsgesteuerten) "Trödelfaktors" oder durch "Drängler", die beim Abbremsen des vorausfahrenden Fahrzeugs schärfer bremsen müssen, was sich zu einer Kettenreaktion mit anschließendem Stau aufschaukeln kann. Einspurige Ringstraße Wir betrachten eine einfache einspurige Ringstraße, auf der sich Autos nur in eine Richtung fortbewegen. Überholvorgänge und Gegenverkehr sind in dem Modell nicht enthalten. Diese Straße teilen wir in Zellen von 7,50 m Länge ein. Autos können sich in einem Zeitschritt nur um eine ganze Zahl von Zellen vorwärts bewegen. Geht man von einer Zeitschrittdauer von einer Sekunde aus, so entspricht eine Vorwärtsbewegung von einer Zelle pro Zeitschritt einer Geschwindigkeit von 7,5 m / 1s = 27 km/h. Einer Vorwärtsbewegung von 5 Zellen pro Sekunde entspricht dann einer Geschwindigkeit von 5 · 27 km/h = 135 km/h. Da dies in etwa der Richtgeschwindigkeit auf den deutschen Autobahnen entspricht, werden wir dies als Höchstgeschwindigkeit vmax ansetzen. Die Autos können sich also in jedem Zeitschritt um 0 bis 5 Zellen vorwärts bewegen. Ferner muss Kollisionsfreiheit garantiert sein, das heißt auf einer Zelle darf sich immer nur höchstens ein Fahrzeug befinden. Ablauf in drei Schritten Das einfachste Modell, das wir hier betrachten wollen, besteht in jedem Zeitschritt aus drei Teilschritten. In den ersten beiden Teilschritten wird die neue Geschwindigkeit des Fahrzeugs so ermittelt, dass Kollisionen verhindert werden. Erst im dritten Teilschritt bewegen sich die Fahrzeuge vorwärts: 1. Beschleunigen Jedes Fahrzeug erhöht seine Geschwindigkeit um 1 Zelle pro Zeiteinheit, bis es die Maximalgeschwindigkeit erreicht hat. 2. Bremsen Jedes Fahrzeug prüft, ob es mit der gerade berechneten Geschwindigkeit auf ein anderes Fahrzeug auffahren oder dieses überholen würde. Ist dies der Fall, so reduziert es seine Geschwindigkeit sofort so weit, dass eine Kollision vermieden wird. 3. Bewegen Jedes Fahrzeug bewegt sich einen Zeitschritt mit der aktuellen Geschwindigkeit vorwärts. Dies können wir in einem einfachen Algorithmus präzisieren. Wir haben i = 1,...,n Fahrzeuge. Jedes Fahrzeug hat eine individuelle Eigengeschwindigkeit v i . Die Höchstgeschwindigkeit ist v max = 5. Jeder der folgenden drei Teilschritte wird dann gleichzeitig für alle Fahrzeuge durchgeführt: 1. Beschleunigen v i = min {v i+1 ,v max } 2. Bremsen Falls v i > d(i, i+1), so reduziere v i auf v i = d(i, i+1). Hierbei ist d(i, i+1) die Anzahl der leeren Zellen zwischen Fahrzeug i und Fahrzeug i + 1. 3. Bewegen Jedes Fahrzeug i bewegt sich v i Zellen vorwärts. Das bisher dargestellte Modell kann bei einem höheren Verkehrsaufkommen Staus erzeugen. Auch das gleichzeitige Auftreten von Teilstrecken, auf denen mit hohen Geschwindigkeiten gefahren werden kann, und Teilstrecken, auf denen ein Stau entstanden ist, werden vom Modell dargestellt. Das völlig stationäre Verkehrsverhalten (Staus bewegen sich völlig gleichmäßig entgegen der Fahrtrichtung nach hinten fort) und das völlig gleichförmige Verhalten aller Fahrzeuge sind jedoch weit von der Realität entfernt. Herzu wird das Modell im nächsten Schritt noch erweitert. Das gleichförmige Verhalten im Modell entspricht nicht dem Verhalten, wie man es im realen Verkehr beobachten kann: Die Fahrzeuge bewegen sich in der Regel nicht alle mit der gleichen Geschwindigkeit und völlig gleichförmig vorwärts. Es gibt Überreaktionen beim Bremsen, welche die nachfolgenden Fahrzeuge ebenfalls zum heftigen Bremsen zwingen. Oft ist auch, gerade nach Staus oder bei auf Grün schaltenden Ampeln, ein verzögertes Beschleunigen zu beobachten. Ein derartiges Verhalten kann in unserem einfachen Modell durch die Einführung eines sogenannten Trödelfaktors nachgebildet werden. Der Algorithmus sieht dann folgendermaßen aus: 1. Beschleunigen vi = min {vi+1,vmax} 2. Bremsen Falls vi > d(i, i+1), so reduziere vi auf vi= d(i, i+1). Hierbei ist d(i, i+1) die Anzahl der leeren Zellen zwischen Fahrzeug i und Fahrzeug i + 1. 3. Trödeln Mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p wird die Geschwindigkeit vi um 1 reduziert: vi= max {vi-1,0} mit Wahrscheinlichkeit p 4. Bewegen Jedes Fahrzeug i bewegt sich vi Zellen vorwärts. Für p=0 erhalten wir wieder das ursprüngliche Modell. H.-J. Bungartz, S. Zimmer, M. Buchholz und D. Pflüger Modellbildung und Simulation. Springer-Verlag, 2009. K. Nagel und M. Schreckenberg A cellular automaton model for freeway traffic. Journal de Physique I, 2:2221-2229, Dezember 1992.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Systemdynamische Modellierung im Wirtschaftsunterricht

Fachartikel

... Die Modellierung komplexer dynamischer Systeme kann den Unterricht bereichern und die Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler zu vernetztem Denken in komplexen Zusammenhängen nachhaltig fördern.Um die komplexe ...

  • Wirtschaftslehre
  • Primarstufe