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Berufsschule digital

Dossier

Über das Projekt "Berufsschule digital" Wie können der digitale Wandel und seine Herausforderungen auch im berufsschulischen Sektor gemeistert werden? Was müssen berufliche Schulen jungen Menschen für ein Leben und Arbeiten in der digitalisierten Welt vermitteln? Wie kann ihnen das möglichst gut gelingen und welche Fortbildungsmaßnahmen benötigen Lehrkräfte dafür? Fragen wie diesen ging die Deutsche Telekom Stiftung mit einem Netzwerk bestehend aus zehn berufsbildenden Schulen nach. Besonderes Augenmerk lag dabei auf Aspekten, die verallgemeinerbar sind und von anderen Schulen für die eigene digitale Schulentwicklung übernommen werden können. Das Vorhaben wurde wissenschaftlich begleitet vom Institut für Informationsmanagement Bremen GmbH (ifib) in Kooperation mit dem Institut Technik und Bildung an der Universität Bremen (ITB). Konzepte für digitales Lehren, Lernen und Arbeiten Welche berufsübergreifenden und berufsspezifischen digitalen Kompetenzen müssen Berufsschülerinnen und -schüler ewerben? Welche Bedingungen benötigen berufliche Schulen und deren Lehrkräfte, um digitale Medien gewinnbringend in ihren Unterricht und ihren Schulalltag einbinden zu können? Antworten finden Sie in den Fachartikeln in diesem Themendossier, das die Ergebnisse des Projekts "Berufsschule digital" zusammenfasst und veranschaulicht. Die Schulen des Netzwerks haben die hier zur Verfügung stehenden Materialien in einem Peerreview-Prozess im Hinblick auf ihren Gebrauchswert begutachtet. Auch Schulen, Schulleitungen und Lehrkräfte, die nicht Teil des Schulnetzwerkes aus dem Projekt sind, sollen durch die Materialien befähigt werden, die Projektergebnisse in ihre Prozesse der Schulentwicklung und Schulorganisation zu übertragen und gewinnbringend in ihren eigenen Schulalltag zu integrieren.

  • Fächerübergreifend
  • Lehrerbildung und Schulentwicklung

H5P: Interaktive Übungen im Unterricht

Dossier

Mit der kostenfreien und quelloffenen Software H5P können Lehrerinnen und Lehrer eigene interaktive Lehr- und Lerninhalte erstellen, wie zum Beispiel Quizze , Zeitstrahle , Memories , Drag and Drop-Aufgaben , Bilderrätsel und Lückentexte . Die unterschiedlichen Inhalte lassen sich miteinander kombinieren, sodass vielfältige Online-Bildungsmaterialien entstehen. Die interaktiven Übungen können einfach per Link oder QR-Code mit den Schülerinnen und Schülern geteilt werden, damit diese mithilfe der Übungen ihren Wissensstand nachhaltig festigen und individuell gefördert werden können. Beim Lösen der interaktiven H5P-Aufgaben werden die Lernenden von Konsumentinnen und Konsumenten zu interaktiven Nutzerinnen und Nutzern und fördern ihre Medienkompetenz. Grundschulkinder beispielsweise trainieren die Ausführung unterschiedlicher Computerfunktionen wie Drag-and-Drop und gewinnen Sicherheit in der Verwendung von Maus und Tastatur. Aber auch Schülerinnen und Schüler an weiterführenden Schulen erfahren mithilfe der interaktiven Übungen das Internet als Lernmedium und werden dabei gleichzeitig zum autonomen Lernen befähigt. In diesem Themendossier bündeln wir für Sie H5P-Anwendungsbeispiele für den Fachunterricht in der Grundschule sowie in den Sekundarstufen und der beruflichen Bildung . Die interaktiven Übungen sind nach Fächern und Schulformen sortiert.

  • Fächerübergreifend
  • Mediennutzung und Medienkompetenz: Problemlösen und Handeln

Mikroelektronik im Unterricht

Dossier

Die Mikroelektronik spielt in der immer moderner werdenden Welt eine zunehmend wichtige Rolle. Mikroelektronik ist in (fast) allen elektronischen Geräten enthalten: zum Beispiel in Smartphones, Monitoren, Schultaschenrechnern, WLAN-Radios, Bluetooth-Lautsprechern, elektronischen Küchen- oder Körperwaagen oder Displays mit Anzeigen von Zug- oder Bus-Verspätungen. In Computern und Smartphones befinden sich Mikroprozessoren , die alle möglichen Berechnungen durchführen können. Für konkrete Anwendungen gibt es außerdem flexible Mikrocontroller und spezielle anwendungsspezifische integrierte Schaltungen. Alle Bausteine der Prozessoren und Controller werden auf Mikrochips vereint. Die Bedeutung des Mikroelektronik-Chipdesigns beziehungsweise der Hardware-Entwicklung soll mit dieser Themensammlung auch Schülerinnen und Schülern im Unterricht vermittelt werden. Lehrkräfte finden hier also Informationen, Anregungen und Unterrichtsmaterialien zur Einführung in die Mikroelektronik . Ergänzend stehen Arbeitsblätter und Unterrichtsanregungen zu mit der Mikroelektronik verwandten Unterrichtsthemen wie der Halbleiterphysik zur Verfügung. Die Materialien sind im MINT-Unterricht der Sekundarstufen einsetzbar, zum Beispiel in den Fächern Physik, Informatik oder Technik. Schülerwettbewerb "INVENT a CHIP" Herausgeber dieser Themensammlung ist der Verband der Elektrotechnik Elektronik und Informationstechnik e. V. (VDE). Dieser setzt sich seit vielen Jahren für die praxisorientierte Nachwuchsförderung ein, mit dem Ziel junge Menschen für Zukunftstechnologien zu gewinnen. Mit zahlreichen Initiativen weckt der VDE Begeisterung für Technik und engagiert sich für eine moderne Ingenieursausbildung. Eine herausragende Initiative der Nachwuchsförderung stellt der Schülerwettbewerb "INVENT a CHIP" dar, der seit 2006 vom VDE jährlich durchgeführt wird, gefördert vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) und mit wissenschaftlicher Unterstützung des Instituts für Mikroelektronische Systeme der Uni Hannover (IMS). Zielgruppe des Wettbewerbs sind Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufen 9 bis 13 , die über ihre Lehrkräfte beziehungsweise den Unterricht erreicht werden sollen.

  • Fächerübergreifend
  • MINT: Mathematik, Informatik, Naturwissenschaften und Technik

Mit der elektronischen Patientenakte in die Zukunft: Digitalisierung…

Dossier

Digitalisierungsprozesse im Gesundheitswesen begleiten Die Digitalisierung ist im Gesundheitswesen längst angekommen und wird in den kommenden Jahren weiter an Bedeutung gewinnen. Mit der Einführung der elektronischen Patientenakte (ePA) für alle ab Januar 2025 entstehen neue, komplexe Anforderungen an die digitale Kompetenz von Fachkräften im Gesundheitsbereich. Besonders Auszubildende stehen vor der Herausforderung, sich frühzeitig mit der Nutzung digitaler Systeme auseinanderzusetzen, die künftig fester Bestandteil ihres Berufsalltags sein werden. Die Berufsschule legt dafür die entscheidende Grundlage: Durch die gezielte thematische Einbindung der ePA in den Unterricht wird den angehenden Gesundheitsfachkräften praxisnahes Wissen vermittelt, das sie sicher an den Umgang und die Nutzung elektronischer Gesundheitsdaten von Patientinnen und Patienten heranführt. Das Erlernen des Umgangs mit der ePA vermittelt nicht nur technische Kompetenzen, sondern schult auch den verantwortungsvollen Umgang mit Datenschutz und Datensicherheit – zentrale Themen im digitalen Gesundheitswesen. Damit begleiten die Berufsschulen aktiv den Digitalisierungsprozess und fördern zukunftsorientierte Kompetenzen bei den Fachkräften von morgen. Materialien zur elektronischen Patientenakte Das Themendossier bietet Materialien, die sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der ePA abdecken und gezielte Anwendungsmöglichkeiten im Unterricht aufzeigen. Die Unterrichtseinheiten wurden in Zusammenarbeit mit Fachleuten aus dem Gesundheitswesen entwickelt, um den Lernenden praxisnah und anschaulich die Funktionsweise, Nutzung und Bedeutung der ePA zu vermitteln. Sie sind so konzipiert, dass die Lernenden die Möglichkeit haben, das theoretische Wissen sofort in praxisorientierten Übungen anzuwenden, individuelle Herausforderungen zu identifizieren und in Gruppen- und Paararbeit Lösungsstrategien zu entwickeln. Ein zusätzlicher Fortbildungskurs richtet sich speziell an Lehrkräfte in Berufsschulen und bietet Einblicke in die Funktionsweise und den Nutzen der ePA sowie Impulse für die Thematisierung im Unterricht. Der Kurs befähigt Lehrkräfte entsprechend, die ePA mit schülerorientierten Methoden in den Unterricht zu integrieren. Damit werden sie in ihrer Rolle gestärkt, Digitalisierungskompetenzen gezielt zu fördern. Die Materialien werden kostenfrei vom Bundesministerium für Gesundheit zur Verfügung gestellt. Die Materialien stehen unter der Creative Commons Lizenz CC BY-NC-ND 4.0 (Namensnennung – nicht kommerziell – keine Bearbeitung), was bedeutet, dass sie nicht verändert weitergegeben werden dürfen, es sei denn, das BMG stimmt einer Veränderung vor Weitergabe im Einzelfall zu, zum Beispiel bei notwendigen Anpassungen an die Rechtslage.

  • Fächerübergreifend
  • Berufs- und Arbeitswelt

Audio-Arbeit in der Schule

Dossier

Neben den klassischen Hörbüchern sind heute es heute vor allem Podcasts , mit denen auditive Medienprodukte Einzug in den Alltag von Kindern und Jugendlichen halten. Im Netz tummeln sich immer mehr Medienangebote, die ausschließlich über die Ohren wahrgenommen werden. Solche Hörmedien sind aus dem Alltag nicht mehr wegzudenken. Unterwegs begegnet man kaum noch Heranwachsenden ohne Kopfhörer auf oder in den Ohren. An die Lebenswelt der Kinder und Jugendlichen anknüpfend hat die Audio-Arbeit das Potenzial vielseitig in den Unterricht eingebunden zu werden. Und die Arbeit mit Audio-Quellen bereichert den Unterricht nicht nur in motivatorischer Hinsicht : Die Schulung des Hörverstehens ist in den Fremdsprachen ein zentraler Bestandteil der unterrichtlichen Arbeit. Bereits in der Grundschule wird großer Wert auf das bewusste Hören und seine Bedeutung für Schreib- und Lesekompetenzen gelegt. In den Naturwissenschaften kann die Akustik als ein eigenes Themenfeld bearbeitet werden. Kurz: Der Bereich "Audio" hat eine nicht zu unterschätzende Relevanz für alle Schulfächer und -stufen. Dank der digitalen Medien vergrößern sich die Möglichkeiten, Audio-Arbeit zu betreiben, enorm. Anregungen für den Einsatz im Unterricht Dabei kommen auch die Möglichkeiten für Ihre Schülerinnen und Schüler nicht zu kurz, selbst aktiv und vor allem kreativ zu werden und eigene Audio-Produkte zu erstellen. Dieses Themendossier bündelt Ihnen beispielsweise Fachartikel rund um das Thema Audio-Arbeit. Thematisiert werden unter anderem die Vorteile von Audio-Projekten oder ihre Lernziele . Außerdem finden Sie verschiedene Möglichkeiten, wie sich Audio-Projekte in der Grundschule aber auch in den Sekundarstufen I und II im Unterricht umsetzen lassen. So stellen wir Ihnen Möglichkeiten vor, wie die Produktion von Podcasts im Mathematik- oder Fremdsprachenunterricht gewinnbringend eingesetzt werden kann. Mit Audio-Arbeit die Medienkompetenz stärken Zudem bietet die Arbeit mit Audio-Produkten die Möglichkeit gleich mehrere Bereiche der Medienkompetenz entsprechend der KMK-Strategie Bildung in der digitalen Welt zu fördern. Dabei steht bei einem entsprechenden Einsatz von Hörmedien im Unterricht vor allem der "Kompetenzbereich Analysieren und Reflektieren" im Mittelpunkt. Durch eine handlungsorientierte Durchführung von Audio-Projekten wird er durch die Bereiche "Produzieren und Präsentieren" , "Problemlösen und Handeln" sowie "Kommunizieren und Kooperieren" ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler lernen Audio-Produktionen zu planen, den Vorgaben entsprechend umzusetzen und sie gegebenenfalls vor ihren Mitschülerinnen und Mitschülern zu präsentieren. Nebenbei setzen sie sich bei der Umsetzung des Projekts mit verschiedenen benötigten Programmen auseinander.

  • Fächerübergreifend
  • Mediennutzung und Medienkompetenz: Produzieren und Präsentieren

E-Learning zu Hause: Lernen und Kommunizieren trotz Unterrichtsausfall

Dossier

Digitales Lernen gewinnt immer mehr an Bedeutung. Die Digitalisierung prägt nicht nur unsere Lebenswelt, sie verändert auch die Wissensvermittlung und das Lernen. Dank des DigitalPakt Schule sind Schulen, Lehrkräfte und Schülerinnen und Schüler heute mit digitalen Endgeräten – und noch viel wichtiger – mit Know-How ausgestattet, sodass das Lehren und Lernen optimal unterstützt wird. Die Ausstattung mit digitalen Endgeräten bietet auch die Möglichkeit, von zu Hause aus zu Unterrichten oder zu Lernen. Lehrerinnen und Lehrer können beispielsweise Wochenpläne zusammenstellen, falls sie eine Klassenfahrt betreuen oder eine Fortbildung besuchen. Außerdem bieten sich mit digitaler Unterstützung unzählige Möglichkeiten, das Format "Hausaufgabe" neu zu denken. Mit unseren Materialien, Anregungen und Angeboten wollen wir Sie und Ihre Schülerinnen und Schüler beim Lernen zu Hause unterstützen. Unsere Unterrichtsideen fördern eigenverantwortliches Arbeiten und sind flexibel einsetzbar. Schulen in Deutschland verfügen über ganz unterschiedliche technische Voraussetzungen, um online kommunizieren, Material bereitstellen und Feedback geben zu können. Um auch die Lernenden zu unterstützen, die bisher wenig oder keine Erfahrungen in diesem Bereich haben, bieten wir beispielsweise niedrigschwellige interaktive Übungen für verschiedene Schulformen und -fächer an. Die Schülerinnen und Schüler können durch E-Learning bereits erarbeitete Inhalte festigen, neues Wissen erarbeiten und direkte Rückmeldung durch PC, Tablet oder Smartphone erhalten. Darüber hinaus bietet unser Classroom Manager Premium-Mitgliedern die Möglichkeit, sämtliche Inhalte von Lehrer-Online sowie Dateien aus dem eigenen Material-Fundus und Links zu Online-Angeboten gebündelt an einem Ort zu speichern und Schülerinnen und Schülern zur Verfügung zu stellen. Selbstverständlich erfordert eigenverantwortliches Lernen im Home-Office ein besonderes Maß an Selbstdisziplin sowie grundlegende Medienkompetenz der Schülerinnen und Schüler. Viele Klassen sind allerdings bereits mit der Arbeit an Wochenplänen vertraut, sodass Lehrkräfte Aufgaben im "Remote-Unterricht" per E-Mail verschicken und entsprechende Arbeitsblätter oder Aufgaben online zur Verfügung stellen können. Die Fachartikel in diesem Dossier informieren Lehrerinnen und Lehrer deshalb über die Möglichkeiten, die digitalisiertes Lernen unter anderem mit Lern-Management-Systemen bietet, um Ersatz-Klassenräume zu schaffen, Wissen zu organisieren und gleichzeitig mit kooperativen Lehr- und Lernmethoden zu arbeiten.

  • Fächerübergreifend
  • Schulrecht, Schulorganisation, Schulentwicklung

Die Gewinnverteilung bei einer OHG

Unterrichtseinheit

Mit der hier vorgestellten Stunde lernen Schülerinnen und Schüler der Höheren Berufsfachschule eine Einsatzmöglichkeit des PCs zu betriebswirtschaftlichen Fragen kennen. Durch die praxisbezogene Anwendung wird die Motivation zum PC-Einsatz gesteigert. Das Fach Rechnungswesen wird ebenfalls berührt. Das Thema dieser Stunde lautet "Gewinnverteilung einer OHG mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms". Formal ist es durch den Lehrplan für die zweijährige Höhere Berufsfachschule in Nordrhein-Westfalen im Punkt "Rechtliche Rahmenordnung für betriebliche Entscheidungsträger und Entscheidungen" mit dem Unterpunkt "Rechtsformen der Unternehmung" legitimiert. Die Gewinnverteilung unter den Gesellschaftern einer Offenen Handelsgesellschaft wird den Schülerinnen und Schülern während einer kaufmännischen Ausbildung oder bei späteren kaufmännischen Tätigkeiten wieder begegnen. Einsatz der Unterrichtsmaterialien Die Gewinnverteilung unter den Gesellschaftern einer Offenen Handelsgesellschaft wird den Schülerinnen und Schülern während einer kaufmännischen Ausbildung oder bei späteren kaufmännischen Tätigkeiten wieder begegnen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die gesetzliche Regelung auf ein konkretes Beispiel anwenden und mithilfe von MS Excel die Gewinnverteilung vornehmen. Gründe für die Möglichkeit zum Wechsel von der gesetzlichen zur vertraglichen Regelung erkennen und benennen. die verschiedenen anzuwendenden Funktionen von MS Excel für diese Aufgabe anwenden und auffrischen. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen im Umgang mit dem PC weiter geschult werden. ihre zu präsentierenden Ergebnisse übersichtlich gestalten. ihre Ergebnisse vor der Klasse darstellen. Förderung des problemlösenden Denkens Als Einstieg wird folgende Situation vorgegeben: Zum Geschäftsjahresende ergeht der Auftrag an die Verwaltung, die Gewinnverteilung für die fiktive Wolfgang Bauer OHG vorzunehmen. Die Schülerinnen und Schüler machen sich aufgrund dieses Falls darüber Gedanken, wie eine Gewinnverteilung unter den Gesellschaftern einer OHG aussieht. Im Tafelbild wird festgehalten, welche Daten sie dafür benötigen: die Höhe des Gewinns den Gesellschaftsvertrag die betreffenden Gesetzestexte die Kapitalanteile der Gesellschafter Die Schülerinnen und Schüler sollen im Verlauf dieser Stunde die Unzulänglichkeiten der gesetzlichen Regelung wahrnehmen und eine vertragliche Regelung als Möglichkeit erkennen. Didaktische Reduktion Die gesetzliche Regelung zur Gewinnverteilung ist nicht schwer zu verstehen. Problematischer wird die Abänderung in die vertragliche Regelung. Schwierigkeiten können - bei rudimentären Vorkenntnissen in Excel - bei der Erstellung der Formeln entstehen. Die Berechnung eines Verlustes sowie die Herabsetzung des Prozentanteils auf die Kapitaleinlage im Falle eines zu niedrigen Jahresgewinns werden in dieser Stunde nicht thematisiert. Außerdem wird auf das Recht von Privatentnahmen nicht eingegangen.

  • Rechnungswesen
  • Sekundarstufe II

Erfolgsermittlung auf dem Gewinn- und Verlustkonto

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit erlernen die Schülerinnen und Schüler das Buchen von Geschäftsfällen auf den Erfolgskonten, den Abschluss der Erfolgskonten sowie die Erfolgsermittlung auf dem Gewinn- und Verlustkonto.Der fachliche Schwerpunkt dieser Unterrichtsstunde liegt in der selbstständigen Erfolgsermittlung einer fiktiven Versicherungsagentur. Die Schülerinnen und Schüler lernen, dass der wirtschaftliche Erfolg ermittelt und dargestellt wird, indem man zu jedem Aufwands- und Ertragskonto den Saldo berechnet und diese Salden auf einem besonderen Konto, dem Gewinn- und Verlustkonto, gegenüberstellt. Die Lernenden üben die Buchführungs- und Abschlusstechnik ein und erfahren, dass die Salden der Aufwandskonten nur auf der Sollseite des Gewinn- und Verlustkontos (GuV-Kontos) und die Salden der Ertragskonten nur auf der Habenseite des GuV-Kontos stehen können. Voraussetzungen Die Lernenden verfügen idealerweise bereits über Fachkenntnisse zu den Grundsätzen ordnungsgemäßer Buchführung, dem Prinzip der doppelten Buchführung, Bestandsveränderungstypen und haben die Erfolgskonten kennengelernt. Ziele und Inhalt der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler sollen realisieren, dass der Saldo des Gewinn- und Verlust-Kontos den Erfolg einer Versicherungsagentur anzeigt. Die Klasse erhält einen Auszug an typischen Geschäftsfällen in einer Versicherungsagentur, welche die Lernenden entsprechend im Grund- und Hauptbuch buchen müssen. Bei der Auswahl der Geschäftsfälle wurde darauf geachtet, dass die Schülerinnen und Schüler die Provisionserträge als wesentliche Ertragsquelle einer Agentur ausmachen und erkennen, dass den wenigen Ertragskonten viele unterschiedliche Aufwandskonten gegenüberstehen.Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass man das Geschäftsergebnis eines Unternehmens nicht unmittelbar in der Bilanz erkennt, sondern dafür die Erstellung eines Gewinn- und Verlustkontos notwendig ist. buchen die Geschäftsfälle einer Versicherungsagentur, indem sie dafür die Buchungen im Grund- und Hauptbuch erstellen. stellen fest, dass die Salden der Aufwandskonten auf der Sollseite des Gewinn- und Verlustkontos und die Salden der Ertragskonten auf der Habenseite des GuV-Kontos stehen. ermitteln und beurteilen das Geschäftsergebnis einer Versicherungsagentur, indem sie das Gewinn- und Verlustkonto abschließen und das Ergebnis interpretieren.

  • Rechnungswesen
  • Sekundarstufe II

Break-even-Point-Analyse

Unterrichtseinheit

Diese Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit der Break-even-Point-Analyse (Gewinnschwellenanalyse). Diese stellt sich für Schülerinnen und Schüler als fortgeschrittenes Thema im Reigen der Kosten- und Leistungsrechnung und hier im Speziellen der Deckungsbeitragsrechnung dar. Die Break-even-Point-Analyse bietet als Werkzeug im Rahmen eines entscheidungsorientierten Rechnungswesens die Möglichkeit, zentrale wirtschaftliche Begriffe (Kosten, Umsatz, Gewinn, Preis) in ihrer praxisorientierten Bedeutung zu verstehen und in einer didaktisch reduzierten ökonomischen Entscheidungssituation in ihrer Kombination zu erfahren. Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel aus dem Microsoft-Office-Paket bietet die exzellente Möglichkeit, betriebswirtschaftliche Zusammenhänge in einem didaktisch reduzierten Modell rechnerisch und grafisch und damit inhaltlich nachzuvollziehen. Im Sinne einer Was-wäre-wenn-Analyse können die Schülerinnen und Schüler im spielerischen Umgang mit den Faktoren Verkaufspreis, Beschäftigungsgrad und Ausbringungsmenge die Auswirkungen auf die Kosten, den Umsatz und Gewinn und damit den kritischen Punkt der Gewinnschwelle (Break-even-Point) erkennen. Sachanalytische Hinweise Der Break-even-Point kann rechnerisch durch einfache Gleichungen ermittelt werden. Unterrichtsablauf und Einsatz der Materialien Ein didaktisch reduziertes Fallbeispiel bildet den Kern dieser Unterrichtsstunde. Die Schülerinnen und Schüler wenden kostenrechnerische Kenntnisse zur Lösung einer betriebswirtschaftlichen Problemstellung an. erkennen Kosten, Erlös und Gewinn als wesentliche Erfolgsindikatoren eines marktwirtschaftlich orientierten Unternehmens. erfahren den Verkaufspreis, den Beschäftigungsgrad und die Kapazität als Wirkungsfaktoren. bestimmen den Break-even-Point in einem Ein-Produkt-Betrieb. nutzen eine Tabellenkalkulation als effektives Werkzeug zur Lösung einer betriebswirtschaftlichen und kostenrechnerischen Problemstellung. den Computer als Analyse- und Entscheidungsinstrument nutzen. Da die traditionelle Vollkostenrechnung primär auf die möglichst vollständige Erfassung der in einem Produktionsprozess anfallenden Kosten und deren Kontrolle zielt, ist sie nur bedingt geeignet, diese den hergestellten Produkten oder Leistungen (Kostenträger) verursachungsgerecht zuzuordnen. Eine undifferenzierte Verteilung aller Kosten (Einzel-, Gemeinkosten beziehungsweise fixe oder variable Kosten) auf die Produkte kann zu einer verfehlten Preis- und Sortimentspolitik in einem Unternehmen führen, da keine fundierten Preisuntergrenzen der Kostenträger ermittelt werden können. Einen anderen Weg geht die Deckungsbetragsrechnung durch die Teilung der Kosten in ihre variablen (K v ) und fixen (K f ) Teile, entsprechend der Gesamtkostenfunktion K(x) = K v + K f beziehungsweise analog der Stückkosten (k v ) orientierten Betrachtungsweise: K(x) = (k v * x) + K f , wobei x die Produktionsmenge ist. Ihr Ziel ist es, die Produkte zu identifizieren, die einen maximalen Beitrag zur Deckung der fixen Kosten beitragen. Ausgangspunkt der Überlegung ist die betriebswirtschaftliche Tatsache, dass "Gewinn = Umsatzerlöse - Kosten" ist. Eine Betrachtung des Verkaufspreises pro Stück und der Stückkosten führt zu der Erkenntnis, dass ein "Stückpreis > variable Stückkosten" zu einer positiven Deckungsspanne beiträgt, das heißt, an dem Produkt wird etwas "verdient": d = p - k v Berücksichtigt man in dieser Betrachtungsweise noch den Faktor Menge (x), so lässt sich nachvollziehen, dass mit jeder zusätzlich verkauften Mengeneinheit ein zusätzlicher Beitrag zur Deckung der fixen Kosten geleistet wird (D = d * x), da der gesamte Deckungsbeitrag (D) steigt. Dort, wo der Deckungsbeitrag gleich den Fixkosten ist, D = K f oder d * x = K f überschreitet das Unternehmen rechnerisch die Gewinnschwelle, den Break-even-Point [= K f / (p - k v )]. Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel aus dem Microsoft Office-Paket bietet die exzellente Möglichkeit diese skizzierten betriebswirtschaftlichen Zusammenhänge in einem didaktisch reduzierten Modell rechnerisch und grafisch und damit inhaltlich nachzuvollziehen. Im Sinne einer Was-wäre-wenn-Analyse können die Schülerinnen und Schüler im spielerischen Umgang mit den Faktoren Verkaufspreis, Beschäftigungsgrad und Ausbringungsmenge die Auswirkungen auf die Kosten, den Umsatz und Gewinn und damit den kritischen Punkt der Gewinnschwelle (Break-even-point) erkennen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die gewonnenen Kenntnisse in Verknüpfung mit ihrem bisherigen Know-how aus dem Bereich Tabellenkalkulation (einfache Formeln, WENN-Funktion, Diagrammerstellung) auf ein didaktisch reduziertes Fallbeispiel, das als Excel-Datei vorgelegt wird, anwenden. Nachdem die Schülerinnen und Schüler mit der Problemstellung vertraut gemacht wurden, bietet es sich an, dass sie sich die notwendigen Lösungen in Partnerarbeit erarbeiten. Als ‚roter Faden' für die Partnerarbeit dient ein Arbeitsblatt, das sukzessive die notwendigen Excel-Formeln entwickeln hilft und die Schülerinnen und Schüler bei der grafischen Auswertung der Tabelle unterstützt. Als Abschluss der Unterrichtseinheit sollte ein Lernteam seine Arbeitsergebnisse der gesamten Lerngruppe vorstellen und über Lernerfahrungen berichten.

  • Rechnungswesen
  • Sekundarstufe II, Sekundarstufe I, Primarstufe, Berufliche Bildung, Spezieller Förderbedarf

Vom Lotto zum Pascalschen Dreieck

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Binomialkoeffizient führen die Schülerinnen und Schüler im Kontext des Lottospielens eine etwas andere Art der Kurvendiskussion durch, die eine Verbindung zwischen der Analysis der Oberstufe und den Inhalten der Stochastik herstellt.Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, ob man einen eventuellen Jackpot-Gewinn bei der ("6 aus 49"-)Lotterie bei steigender Teilnehmerzahl umso wahrscheinlicher mit anderen Gewinnerinnen und Gewinnern teilen muss. Die mathematische Modellierung der Aufgabenstellung führt zu einem Funktionsterm, dessen Diskussion zu einem tieferen Verständnis von Exponentialfunktion und Binomialkoeffizient führt.Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses der Oberstufe oder im Rahmen eines W-Seminars (Wissenschaftspropädeutischen Seminars) geeignet, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Dabei werden das Urnenmodell beziehungsweise die hypergeometrische Verteilung und die Binomialverteilung als bekannt vorausgesetzt. Unterrichtsverlauf und Materialien Im ersten Teil sollen die Schülerinnen und Schüler eine zunächst intuitiv beantwortete Frage mathematisch begründen. Variation und Verallgemeinerung Der zweite Teil verallgemeinert die Fragestellung des ersten Teils und führt zu tiefer liegenden mathematischen Sachverhalten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die Fragestellung mathematisch mithilfe der hypergeometrischen Verteilung und der Binomialverteilung modellieren. können die Regel von l'Hospital kennen lernen und zur Grenzwertberechnung anwenden. können einen Graphen zeichnen und interpretieren. können Aussagen über vorteilhaftes Verhalten beim Lottospielen machen. erkennen den Binomialkoeffizienten "k aus n" als Polynom k-ten Grades in n. lernen das "Pascalsche Dreieck" kennen und verstehen es. lernen eine rekursive Funktionsschreibweise kennen. können mithilfe der Gaußschen Summenformel die Äquivalenz der rekursiven Definition und der Polynomschreibweise einer Funktion zeigen. lernen "Dreieckszahlen" kennen. verstehen, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als jedes Polynom. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Basieux, P. Die Welt als Roulette - Denken in Erwartungen, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg, 1995 Barth, F. et. al. Stochastik, Oldenbourg Schulbuchverlag, München, 7. verb. Auflage, 2001 Krengel, U. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg, Braunschweig, 3. erw. Auflage, 1991 Schätz, U. und Einsentraut, F. (Hrsg.) delta 11 - Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner Bamberg u. Duden Paetec Schulbuchverlag Berlin, 2009 Voraussetzungen und Einstieg Die Aufgabenstellung gliedert sich in zwei Teile, deren erster ("Konkrete Beantwortung der Fragestellung") die Schülerinnen und Schüler vom Lehrplan der 12. Jahrgangsstufe am Gymnasium abholt. Zum Einstieg und zur Motivation der Fragestellung können eventuell geeignete Zeitungsartikel genutzt werden (siehe Zusatzmaterialien, die einen Bezug zur Realität herstellen. Die schrittweise Modellierung des Problems in den Teilaufgaben 1.1 bis 1.6 gelingt unter der Voraussetzung, dass das "Ziehen mit Zurücklegen" und das "Ziehen ohne Zurücklegen", also die hypergeometrische und die Binomial-Verteilung, bereits bekannt sind. Variation und Verallgemeinerung Durch die Einführung der Regel von l'Hospital erschließt sich das mathematische Modell den bekannten Mechanismen einer Kurvendiskussion. Außerdem ermöglicht die "ungewohnte" Betrachtung des Binomialkoeffizienten als einer Funktion in n das Anknüpfen an vertraute Sachverhalte. Zu den Themen "Rekursion", "Pascalsches Dreieck" und "Dreieckszahlen" in den Teilaufgaben 2.6 bis 2.9 sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig im Internet oder in entsprechender Literatur nach Hintergründen und Bedeutung recherchieren. Zur Förderung des Verständnisses und zum Abschluss des Modellierungsprozesses wird zu den Ergebnissen der Teilaufgaben generell eine Interpretation beziehungsweise eine Versprachlichung eingefordert. Die Lernenden werden mit folgender Fragestellung konfrontiert: "Ist es wahrscheinlicher, dass es bei der ("6 aus 49"-) Lotterie mehr Jackpot-Gewinnerinnen und -gewinner gibt, wenn es mehr Teilnehmende gibt?" Diese Fragestellung soll diskutiert und zunächst intuitiv beantwortet werden. In der Regel wird sich schnell ein Konsens einstellen: Ja. Doch wie genau bleibt noch offen und zu untersuchen. Nach der Ermittlung der Trefferwahrscheinlichkeit für "r Richtige plus Zusatzzahl" sowie der Wahrscheinlichkeit dafür, dass k von insgesamt n Lotterie-Teilnehmerinnen und-teilnehmer r Richtige getippt haben, stellt sich das mathematische Gesamtmodell als eine Kombination aus hypergeometrischer und binomial-verteilter Formulierung dar. Nach einigen konkreten Berechnungen wird für Grenzwertbetrachtungen zum einen die (mittlerweile im Lehrplan oft nur noch optionale) Regel von l'Hospital und zum anderen die einfache, aber mächtige Identität für a > 0 eingeführt. Damit lassen sich alle Grenzwert- und Monotoniebetrachtungen durchführen. Anhand des Graphen für einen geeigneten Spezialfall werden die Schülerinnen und Schüler zur abschließenden Beantwortung der Ausgangsfrage geführt. Verallgemeinerung auf k erfolgreiche Teilnehmer Im zweiten Teil der Aufgabenstellung ("Variation und Verallgemeinerung") wird der Kontext mindestens zweier Jackpot-Gewinnerinnen oder -gewinner vom Ende des ersten Teils auf genau beziehungsweise mindestens k erfolgreiche Lotterie-Teilnehmende verallgemeinert. Nun wird für eine Diskussion des Funktionsterms allerdings ein tieferes Verständnis des Binomialkoeffizienten notwendig. Dazu wird dieser als Funktion in n betrachtet, auf den Bereich der reellen Zahlen verallgemeinert, exemplarisch graphisch dargestellt und berechnet. Hierbei stellen die Schülerinnen und Schüler fest, dass es sich im Grunde bei dem Symbol um nichts anderes als ein Polynom k-ten Grades in x handelt. Damit befinden sich die Lernenden wieder auf vertrautem Terrain aus Mittel- und Oberstufe. Pascalsches Dreieck Im Anschluss wird der Aufbau des Pascalschen Dreiecks bewiesen und gezeigt, dass sich die Werte der jeweiligen "Binomialkoeffizient-Polynome" für natürliche Argumente einfach in den Spalten beziehungsweise Diagonalen des Pascalschen Dreiecks ablesen lassen. Offensichtlich liefert das Pascalsche Dreieck aber auch jeweils eine Rekursionsformel für die einzelnen Polynome. Die Schülerinnen und Schüler lernen dieses andersartige Konzept zur Definition einer Funktion für den Spezialfall k=2 kennen und ermitteln mithilfe der Gaußschen Summenformel den Zusammenhang zwischen der rekursiven und der expliziten Darstellung. Dabei gibt es neben diesem algebraischen aber auch einen geometrischen Beweisweg über die so genannten Dreieckszahlen. Anwendung der Regel von l'Hospital Mithilfe der Regel von l'Hospital erhalten die Schülerinnen und Schüler nun Zugang zu einer mathematisch sehr gewichtigen Tatsache, nämlich dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz beziehungsweise jedes Polynom. Damit lässt sich nun auch die Ausgangsfrage allgemein sehr schnell beantworten. Graphen zur Veranschaulichung Zum Abschluss sehen die Schülerinnen und Schüler anhand von exemplarischen Graphen mittels eines Funktionsplotters (hierzu eignet sich zum Beispiel auch GeoGebra), wie sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit verhält und in welchem Bereich sich überhaupt erst Bezüge zur Realität anbieten (vergleiche Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anlicken). Auf die Thematisierung der für den Kontext kleiner Erfolgswahrscheinlichkeiten bei großer Stichprobe als gute Näherung geeigneten Poisson-Verteilung ("Verteilung der seltenen Ereignisse") wird verzichtet, da in erster Linie nicht das rein statistische Problem, sondern die Vernetzung von stochastischen/statistischen mit analytischen und algebraischen Inhalten im Vordergrund stehen soll. Fazit Die Schülerinnen und Schüler erhalten durch diese Lerneinheit die Möglichkeit, eine Verbindung zwischen der Analysis der Oberstufe und den Inhalten der Stochastik herzustellen. Zudem zeigt sich, dass neuartige Symbole (wie der Binomialkoeffizient) oder Schreibweisen (wie die rekursive Definition einer Funktion) durch geeignete Betrachtungsweise gar nicht mehr so neuartig sein müssen, sondern bereits bekannten Dingen entsprechen. Durch die zusätzliche Einführung einiger weniger Hilfsmittel (allgemeine Exponentialfunktion als e-Funktion, Regel von l'Hospital) erschließt sich so auch eine ungewohnte Funktion den oftmals schematisch verfolgten Argumenten der Kurvendiskussion.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II
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