Unterrichtsmaterialien zum Thema "Analysis"

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Differentialgleichungen mit Ableitungsübungen für den Mathe-Unterricht

Unterrichtseinheit

In der Einheit "Differentialgleichungen" betrachten und interpretieren die Lernenden die Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen. Bei den aufzustellenden Funktionstermen und Übungsaufgaben stehen Bezüge zur Realität im Mittelpunkt, um Ableitungsregeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besser zu verstehen."Ableiten geht doch nach Schema F!" — Schnell wird beim Ableiten von Funktionen in den Hintergrund gestellt, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion besitzt. Diese Veränderung von Werten findet eine große Bedeutung im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, die eine Verbindung zwischen Funktionen und deren Ableitungen herstellen. Und das häufig in einem Kontext, den Schülerinnen und Schüler auch aus ihrer Erfahrungswelt in anderem Zusammenhang kennen. Ein wichtiger Aspekt sind hier Zunahmen und Abnahmen, die im Unterricht meist nur eine Anwendung bei linearer und exponentieller Veränderung finden können. Mit einfachen Differentialgleichungen lassen sich aber auch andere Veränderungen betrachten. Umfangreiches Wiederholen wird durch Betrachtungen zum Aufstellen unter anderem von Regressionsgeraden, Umgang mit einer Tabellenkalkulation und Grenzwerten abgeschlossen. Das Thema Differentialgleichungen im Unterricht Die Kenntnis von Ableitungsregeln und deren Anwendungen stellt ein wichtiges Fundament der Infinitesimalrechnung dar. Übungsanwendungen im Zusammenhang mit realen Bezügen sollen in der Unterrichtseinheit dazu dienen, Regeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besseren zu verstehen. Aspekte über dieses Ableiten hinaus (zum Beispiel Lösen von Gleichungssystemen, Aufstellen von Funktionstermen) runden die Einheit ab. Vorkenntnisse Die Ableitungsregeln werden teilweise kurz wiederholt. Ein Erarbeiten der Regeln findet nicht statt, sodass diese als Voraussetzungen gelten. Ein sicherer Umgang mit Termen und dem Lösen von Gleichungssystemen wird geübt. Beim Auswerten von Daten sind Kenntnisse einer Tabellenkalkulation nötig. Didaktisch-methodische Analyse "Steigung einer Funktion" – Das ist die häufigste Antwort von Lernenden auf die Frage, worin die Bedeutung der Ableitung besteht. Allerdings beschreiben Funktionen häufig reale Zusammenhänge. Und bei diesen realen Gegebenheiten ist der Aspekt, dass die Ableitung die Veränderung einer Größe beschreibt, für den Schüler oder die Schülerin sehr verständlich. Der Begriff hat hier einen viel engeren Bezug zu der Erfahrungswelt. In Differentialgleichungen werden Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen beschrieben. Die Übungen sind neben dem Abarbeiten von Ableitungsregeln darauf ausgelegt, dass oft die Interpretation der Gleichung wichtig ist. Es erfolgt kein Erarbeiten von Lösungsverfahren für Differentialgleichungen (oder spezielle Integrationsverfahren, nur ein Einblick in partielle Integration und Integration durch Substitution). Neben Ableitungsübungen finden auch Anwendungen zum Anpassen von Vorschriften statt. Abhängig vom Umfang der Wiederholungen können auch nur einzelne Arbeitsblätter für den Unterricht herangezogen werden. Die Unterlagen eignen sich auch für ein Selbststudium. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch (K1). lösen Probleme mathematisch (K2). modellieren mathematisch (K3). gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um (K5). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler werden sicherer im Umgang mit einer Tabellenkalkulation (bei Bearbeitung der Aspekte zu Bevölkerungszahlen zur Anpassung von Funktionen). Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in die Gruppenarbeit ein (etwa zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten). werten Daten kritisch aus. fragen andere nach Hilfe und/oder geben anderen Hilfeleistung.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit werden Extremwertprobleme als direkte Anwendung der Kurvendiskussion mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive 5.0 behandelt.Extremwertprobleme der einfachsten Form begegnen Schülerinnen und Schülern erstmals in der Sekundarstufe I im Zusammenhang mit der Behandlung quadratischer Funktionen sowie bei der Behandlung des Scheitelpunkts und der Scheitelpunktsform. In der Regel bringen die Lernenden nur schwache Extremwertkenntnisse mit in die Oberstufe. Eine Behandlung der einfachen Extremwertprobleme in der Jahrgangsstufe 11 kann zwar auch mit Unterrichtsgesprächen oder mit dem grafikfähigen Taschenrechner erfolgen. Das CAS Derive 5.0 bietet jedoch insbesondere durch die Möglichkeit der Kommentierung von Lösungen und Lösungswegen und dem gleichzeitig geöffneten Rechen- und Grafikfenster einen eindeutigen Mehrwert bei der Verfolgung der Lernziele. Durch seine 2D-Grafiken verhilft Derive zu sehr anschaulichen und diskutablen Lösungen.Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Auf dieser Seite finden Sie eine Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen der Unterrichtseinheit "Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0" Die Schülerinnen und Schüler bestimmen gegebene Größen. leiten Zielfunktionen aus gegebenen Größen her. bestimmen Extremstellen der Zielfunktionen und wenden das Verfahren der Kurvendiskussion an (notwendige Bedingung für Extremstellen). diskutieren und interpretieren gewonnene Lösungen. lösen einfache Extremwertprobleme. 1. Größen isolieren, Probleme erkennen, Lösungsstrategien entwickeln Nachdem die Schülerinnen und Schüler sich mit der Aufgabe vertraut gemacht haben, werden die gegebenen und gesuchten Größen isoliert und in der Datei zusammengestellt. Mithilfe aller Lernenden werden zunächst die Probleme (zwei verschiedene, noch unbekannte Variable) und danach die Lösungsstrategien (Isolation einer Variablen durch Ausdruck in Abhängigkeit von einer der anderen Größen) gemeinsam erarbeitet und fixiert. 2. Berechnung und Umstellung von Ausgangs- und Zielfunktion Nach gelungener Isolation und Erarbeitung der Strategie lösen die SchülerInnen die Ausgangsfunktion nach einer Variablen auf und setzen diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein. Die Berechnung und Umstellung der Ausgangsfunktion sowie der Zielfunktion können die Lernenden nicht am Rechner durchführen - dies muss manuell erledigt werden. 3. Erarbeitung einer kommentierten Lösung Nach den beiden ersten Schritten arbeiten die Lernenden zu zweit an die Rechner. Nun geht es zunächst darum, mithilfe des CAS eine übersichtliche und mit Kommentaren versehene Lösung zu erarbeiten. Mit Derive 5.0 ist dies Dank der Möglichkeit zur Eingabe von Texten in die Dateien sehr gut möglich. 4. Extremwertbestimmung Die Schülerinnen und Schüler bestimmen mit Derive 5.0 die Extremstellen und diskutieren am Graphen die gewonnene(n) Lösung(en). In der Regel erhalten sie zwei mögliche Lösungen, wovon eine entweder negativ ist oder unter die Randextrema fällt und somit nicht in Frage kommt. 5. Ergebnispräsentation Die Lernenden stellen ihre gewonnenen Lösungen den anderen Arbeitsgruppen per Beamer vor. Besonders übersichtliche und gut strukturierte Lösungen werden für alle ausgedruckt oder die Dateien werden allen zur Verfügung gestellt. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler zwei Aufgaben. Die Arbeitsaufträge sowie die mit Derive 5.0 erstellten Musterlösungen stehen als Download zur Verfügung. Falls Sie über keine Derive-Lizenz verfügen, können Sie sich anhand von Screenshots einen Eindruck von den Möglichkeiten der Software verschaffen. Aufgabe 1: Dreieck "Die Funktion f(x) = x^4-6x^2+8 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingefügt werden. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck und wie lauten seine Eckpunkte?" Aufgabe 2: Zylinder "Eine zylindrische Dose mit einem Oberflächeninhalt von 1 dm^2 soll ein maximales Volumen haben. Wie sind die Größen h und b zu wählen?" Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler zwei Aufgaben. Die Arbeitsaufträge sowie die mit Derive 5.0 erstellten Musterlösungen stehen als Download zur Verfügung. Falls Sie über keine Derive-Lizenz verfügen, können Sie sich anhand von Screenshots einen Eindruck von den Möglichkeiten der Software verschaffen. Aufgabe 1: Dreieck "Die Funktion f(x) = x^4-6x^2+8 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingefügt werden. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck und wie lauten seine Eckpunkte?" Aufgabe 2: Zylinder "Eine zylindrische Dose mit einem Oberflächeninhalt von 1 dm^2 soll ein maximales Volumen haben. Wie sind die Größen h und b zu wählen?"

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Vom Differenzen- zum Differenzialquotient

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Differenzialquotient wird die erste Ableitung mithilfe eines Java-Applets eingeführt. Die Verknüpfung zwischen grafischer Anschauung und Rechnung führt zu einem sicheren Umgang mit dem Differenzialquotienten.Grenzwerte von Folgen und Funktionen werden heute in der Regel - nach den Richtlinien - nur noch am Rande behandelt. Umso schwieriger ist es für die Lernenden zu begreifen, was ein Grenzwert einer Funktion überhaupt bedeutet und wie dieser graphisch anschaulich, geschweige denn mathematisch korrekt, angegeben werden kann. Beim Übergang vom Differenzenquotienten, also von der Sekantensteigung, zum Differenzialquotienten, also zur Tangentensteigung, kommt es deswegen auf eine möglichst genaue und zugleich verständliche Einführung an. Ein Java-Applet von Walter Fendt lieferte dabei in meinem Unterricht einen wertvollen Beitrag. Das Applet hatte eine Mittlerfunktion: Eine Aufgabenstellung zum Skiabfahrtslauf war der zentrale Aufhänger der Thematik, für die es galt, Ideen und Lösungen zu finden. Das Applet hat die Ideen graphisch veranschaulicht, den späteren Lösungsweg transparent gemacht und den Grenzwertprozess verdeutlicht.Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler können die Sekantensteigung berechnen. können den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen. können erläutern, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. können die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen. können den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen. Die Lernenden haben zu Beginn dieser Unterrichtseinheit den Grenzwertbegriff bei Funktionen kennen gelernt. Bereits hier ist sehr viel Wert auf Anschaulichkeit und eine analytisch einwandfreie Einführung gelegt worden. Das gewählte Einstiegsbeispiel (Geschwindigkeit beim Abfahrtslauf) ermöglichte den Schülerinnen und Schülern, aus einem einfachen Sachverhalt heraus ein anschauliches Beispiel für einen Grenzwert im Alltag zu finden. Durch die Wiederholung von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten wurden Funktionsbeispiele aus den vorangegangenen Schuljahren der Lernenden herangezogen, deren Grenzwert bestimmt wurde. Arbeitsblatt 1: Grenzwertbeispiel "Abfahrtslauf" Bei der Aufgabe des ersten Arbeitsblatts (arbeitsblatt_1_differentialquotient) kam es darauf an, bekannte mathematische Sachverhalte zu verknüpfen und nach bestimmten Strategien und Angaben zu ordnen. Die Schülerinnen und Schüler haben sich dazu zunächst klar machen müssen, worin der Unterschied zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit und der momentanen Geschwindigkeit besteht. Es wurden Ideen gesammelt, wie man bei der Lösung des Problems am besten vorgehen könne. Der sehr gute Ansatz, dass man die Sekantensteigungen in der Umgebung der halben Sekunde bestimmen müsse, um dann ungefähr die Geschwindigkeit nach einer halben Sekunde angeben zu können, wurde schnell gefunden und in der Folgestunde mithilfe des Java-Applets von Walter Fendt umgesetzt. Arbeitsblatt 2 und das Java-Applet Der Einsatz des Java-Applets brachte zwei wesentliche Vorteile mit sich: Zum einen konnten diejenigen Schülerinnen und Schüler in den Unterricht zurückgeholt werden, die die Idee aus der letzten Unterrichtsstunde nicht verstanden hatten. Zum anderen konnte anhand des Applets (mit einer zur Skiaufgabe ähnlichen Funktion) allen Lernenden deutlich gemacht werden, wie man vorgehen muss. Dass die Sekantensteigung in die Tangentensteigung übergeht, war dadurch den meisten Lernenden anschaulich klar. Ebenso war das weitere Vorgehen zum Lösen der Skiaufgabe rechnerisch nahezu klar. Der Ergebnissicherung und dem Erkenntnisgewinn diente das zweite Arbeitsblatt (arbeitsblatt_2_differentialquotient). In meinem Unterricht haben die Schülerinnen und Schüler online mit dem Applet gearbeitet. Die Applikation kann aber auch zur offline-Bearbeitung kostenlos aus dem Netz heruntergeladen werden. Die Lernenden haben zur Lösung des Skiproblems Sekantensteigungen bestimmt, anschließend den Grenzübergang zur Tangentensteigung durchgeführt und so den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen gelernt. Man darf dabei allerdings nicht erwarten, dass allen Schülerinnen und Schülern nach zwei oder drei Stunden bereits klar ist, wie ein Differentialquotient bestimmt wird. Dies muss vertiefend wiederholt und immer wieder grafisch verdeutlicht werden. Denn nur durch die Verknüpfung zwischen grafischer Anschauung und Rechnung (Lernen auf möglichst vielen Kanälen) kann ein fundierter und sicherer Umgang mit dem Differentialquotient gewährleistet werden.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Quadratische Funktionen interaktiv erarbeiten

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Funktionen" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler diesen Funktionstyp über dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden, und interaktiven Übungen, die mit der Software HotPotatoes angefertigt wurden.Quadratische Funktionen folgen im Lehrplan auf die linearen Funktionen. Während dort nur zwei Parameter Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, spielen bei quadratischen Funktionen drei Parameter eine Rolle. Die folgende Unterrichtseinheit zeigt auf, wie der Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen von Schülerinnen und Schülern mithilfe interaktiver Arbeitsblätter weitgehend eigenständig und durch einen experimentellen Zugang erarbeitet werden kann. An die Erarbeitung schließen sich Lernkontrollen in Form von Lückentexten, Zuordnungsübungen, Kreuzworträtseln und eines Quiz an.Die Arbeit mit dynamischen und interaktiven Arbeitsblättern ermöglicht den Schülerinnen und Schülern im Sinne einer Handlungsorientierung ein experimentelles Herangehen an mathematische Fragestellungen und ein eigenständiges Entdecken von Gesetzmäßigkeiten. Die Lernenden können dabei in ihrem individuellen Lerntempo vorangehen und Übungsmöglichkeiten im Rahmen einer gesetzten Zeitspanne beliebig oft nutzen. Sie erhalten eine unmittelbare Rückmeldung über ihren persönlichen Lernerfolg und üben ihre Stärken und Schwächen selbst einzuschätzen, ohne unter ständiger Beobachtung durch die Lehrkraft zu stehen. Durch dynamische Geometriesoftware lässt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter besser veranschaulichen als durch das Skizzieren einiger ausgewählter Funktionsgraphen im Heft. Die experimentelle Herangehensweise kann auch weniger abstrakt denkende Schülerinnen und Schüler motivieren, die sonst im Unterricht eher zurückhaltend sind. Außerdem trägt sie zu einem besseren Verständnis von Funktionen bei. Unterrichtsablauf Die Voraussetzungen für die Durchführung der skizzierten Unterrichtseinheit, der genaue Ablauf und die Einbeziehung der genannten Medien wird beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e heraus. erkennen, dass der Parameter e eine Verschiebung der Normalparabel nach oben/unten bewirkt. erfassen, dass der Parameter d eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts/links zur Folge hat. begreifen, dass der Vorfaktor a eine Streckung/Stauchung der Normalparabel impliziert. lernen ein Beispiel für eine quadratische Funktion aus der Umwelt kennen. können die gewonnen Erkenntnisse auf neue Situationen und Fragestellungen anwenden. Voraussetzung für die Durchführung der beschriebenen Unterrichtseinheit ist ein genügend großer Computerraum, sodass die Lernenden einzeln oder höchstens zu zweit die Aufgabenstellungen bearbeiten können. Nur so kann ein individueller Lernprozess ermöglicht werden. Auf den Rechnern sollte ein aktueller Internet-Browser und vor allem das kostenlose Plugin Java Runtime Environment installiert sein, damit die mit GeoGebra erstellten dynamischen Arbeitsblätter (Applets) genutzt werden können. Um den organisatorischen Aufwand zu minimieren, empfiehlt es sich, die selbst erstellten Arbeitsblätter auf einem Webserver, zum Beispiel lo-net, abzulegen und diese dann von den Lernenden via Internetzugang herunterladen zu lassen. Ein entsprechendes Beispiel findet man auf der Kommunikationsplattform der ARS-Limburg. Die bereitgestellten Dateien können aber auch lokal mithilfe eines Datenträgers auf jeden Rechner geladen werden. Ferner ist für eine der fakultativen Übungen am Ende das Tabellenkalkulationsprogramm MS-Excel erforderlich. Vor der Durchführung der Lerneinheit sollte die quadratische Funktion zunächst definiert und die charakteristischen Eigenschaften der Funktionsgraphen (Parabeln) an einigen Beispielen herausgearbeitet werden. So könnte man den Schülerinnen und Schülern neben der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x² zwei bis drei weitere Funktionsgleichungen vorgeben und die zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Die Lernenden erkennen bereits hier, dass das Markenzeichen einer quadratischen Funktion der Parabelbogen ist und dass dieser unterschiedliche Lagen im Koordinatensystem einnehmen kann. Zur besseren Verankerung und Steigerung der Motivation kann auch ein Bezug zu Parabeln in der Umwelt (Brücken, Wurfbahn, et cetera) hergestellt werden und einige Beispiele können gezeigt werden. Nun erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partner- beziehungsweise Einzelarbeit etappenweise die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e. Hierzu öffnen Sie jeweils ein mit GeoGebra erstelltes dynamisches Arbeitsblatt. Mithilfe eines Schiebereglers können sie die Größe der jeweiligen Parameter ändern und beobachten, wie sich der Verlauf des Funktionsgraphen und die Funktionsgleichung verändern. Der detaillierte Ablauf geht aus dem Quadratische Funktionen hervor. Am Ende jedes Arbeitsblattes befindet sich ein Lückentext, der vervollständigt und zur Ergebnissicherung ins Heft übertragen werden muss. Die Lernenden haben so die Gelegenheit, Zusammenhänge zwischen Funktionsterm und -graph experimentell und weitgehend eigenständig zu entdecken. Die gewonnenen Erkenntnisse müssen im Anschluss jeweils in einer interaktiven, mit Hot Potatoes erstellten Übungseinheit auf andere Situationen übertragen werden. Die Schülerinnen und Schüler können dabei individuell nach ihrem eigenen Lerntempo vorgehen. Durch die unmittelbare Rückmeldung erhalten sie Aufschluss über ihren Lernstand und können bei Bedarf eine Übung mehrfach durchlaufen. Nachdem die Bedeutung der Parameter erarbeitet wurde, können die Schülerinnen und Schüler in einer abschließenden Übungseinheit ihr Wissen über quadratische Funktionen in zwei Lückentexten, zwei Zuordnungsübungen, einem Kreuzworträtsel und einem Quiz noch einmal unter Beweis stellen. Außerdem sollen die Anpassung einer Funktion an einen vorgegeben Brückenbogen durchgeführt werden.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II