Unterrichtsmaterialien zum Thema "Analysis"

Im diesem Kurs lernen Schülerinnen und Schüler, wie man die Umkehrfunktion zu einem vorgegebenen Funktionsterm rechnerisch bestimmt und wie man den Graph einer Umkehrfunktion zu einem vorgegebenen Funktionsgraphen zeichnet, ohne den Funktionsterm zu kennen.Im Video "Einfache Grenzwerte berechnen" wird das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion untersucht, bei der nicht die Regel von de l'Hospital angewendet werden muss.In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, wie sie zu einem vorgegebenen Funktionsterm die Umkehrfunktion rechnerisch bestimmen. Die Umkehrfunktion, auch inverse Funktion genannt, soll zu einem vorgegebenen Wert y angeben, welches x im Funktionsterm von f eingesetzt werden muss, damit f(x)=y gilt. Im ersten Schritt wird die vorgegebene Gleichung nach x aufgelöst. Bei diesem Ergebnis werden im Anschluss x und y vertauscht und die Standardbezeichnung für die Umkehrfunktion eingeführt: f-1. Dieses Video verdeutlicht, wie sich der Graph der Umkehrfunktion aus der ursprünglichen Funktion entwickelt. Dazu wird die Umkehrfunktion ausgehend von einem vorgegebenen Funktionsgraphen zeichnerisch ermittelt, ohne dass der eigentliche Funktionsterm bekannt ist. Diese Methode veranschaulicht die rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion und verdeutlicht, was eine Umkehrfunktion eigentlich ist. Die Schülerinnen und Schüler lernen, den Graphen der Umkehrfunktion Schritt für Schritt durch Spiegelung des ursprünglichen Funktionsgraphen an der Achse y=x zu erzeugen: Spiegelachse einzeichnen, auffällige Punkte spiegeln und Spiegelpunkte zu einer Kurve verbinden. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen zu untersuchen. Erklärt wird die Bestimmung einfacher Grenzwerte am Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion, bei der aber noch nicht die Regel von de l’Hospital angewendet werden muss. Da Zähler und Nenner nicht gleichzeitig gegen null oder unendlich streben, wird das Verhalten der Funktion im Unendlichen bestimmt, indem zunächst die Grenzwerte der einzelnen Teilterme berechnet werden, um im nächsten Schritt den Grenzwert des gesamten Terms zu berechnen. Der zum Video gehörige Lösungscoach stellt die Rechenregeln für Grenzwerte übersichtlich zusammen.

Dieser Videokurs behandelt einen Kernbereich des Abiturstoffs: die wichtigsten Anwendungen der Ableitung. Dazu gehört, eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen und das Krümmungsverhalten sowie die Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen.Dieses Video zeigt am Beispiel einer verketteten Funktion (Logarithmusfunktion verkettet mit einer ganzrationalen Funktion), wie man das Monotonieverhalten einer Funktion untersucht. Es gibt an, in welchen Bereichen eine Funktion steigt oder fällt. Da die 1. Ableitung den Steigungsverlauf einer Funktion beschreibt, wird die Funktion im ersten Schritt abgeleitet. Danach werden die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmt, um anschließend mit einer Vorzeichentabelle darzustellen, in welchen Bereichen die Funktion streng monoton steigend oder fallend ist. Aufgaben, bei denen die Hochpunkte und Tiefpunkte oder auch nur die zugehörigen Extremstellen bestimmt werden müssen, sind praktisch Bestandteil jeder Abiturprüfung. Im Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie mithilfe einer Monotonieuntersuchung lokale Extrema einer Funktion bestimmen können. Der Lösungscoach stellt übersichtlich dar, was ein lokales Minimum beziehungsweise Maximum ist. Dieses Video zeigt, wie man mithilfe der 2. Ableitung das Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchen kann. Dazu gehören die Bestimmung aller Wendepunkte sowie die Bestimmung aller Bereiche, in denen die Funktion linksgekrümmt beziehungsweise rechtgekrümmt ist. Mithilfe der Nullstelle(n) und einer Vorzeichentabelle werden alle relevanten Informationen ermittelt und übersichtlich dargestellt.

Dieser Videokurs für den Mathematik-Unterricht der Oberstufe zeigt, wie anhand der Eigenschaften eines Funktionsgraphen auf den zugehörigen Funktionsterm geschlossen werden kann.Es werden zunächst elementare Themen wie Streckung und Verschiebung behandelt. Im Anwendungsvideo "Funktionsterme den passenden Graphen zuordnen" wird dieses Wissen benutzt, um zu entscheiden, welcher Funktionsgraph zu welchem Funktionsterm gehört.In diesem Video erfahren die Schülerinnen und Schüler, wie sich die Verschiebung eines Funktionsgraphen auf den Funktionsterm auswirkt. Auf Basis einer vorgegebenen quadratischen Funktion, deren Graph in positive x-Richtung und in positive y-Richtung verschoben wird, soll der Funktionsterm des so entstandenen Graphen bestimmt werden. In diesem Video erfahren die Schülerinnen und Schüler, wie sich die Verschiebung eines Funktionsgraphen auf den Funktionsterm auswirkt. Auf Basis einer vorgegebenen quadratischen Funktion, deren Graph in positive x-Richtung und in positive y-Richtung verschoben wird, soll der Funktionsterm des so entstandenen Graphen bestimmt werden. Nacheinander werden horizontale und vertikale Verschiebungen in den Funktionsterm eingebaut und gezeigt, wie der neue Funktionsgraph aus dem ursprünglichen hervorgeht. Wie einem Funktionsterm der passende Funktionsgraph zugeordnet wird, zeigt dieses Video. Gegeben sind vier Funktionsterme und vier Funktionsgraphen, die einander zugeordnet werden sollen. Unter Berücksichtigung des Wissens über Funktionstypen und ihre Funktionsgraphen sowie über Spiegelung, Streckung und Verschiebung wird diese Aufgabe Schritt für Schritt gelöst.

In diesem Kurs lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie die Regel von de l'Hospital zur Grenzwertberechnung anwenden und wie sie senkrechte, waagrechte und schräge Asymptoten einer Funktion bestimmen.In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, Grenzwerte mithilfe der Regel von de l'Hospital zu bestimmen. Man benötigt sie, um die Grenzwerte von gebrochenrationalen Zahlen zu bestimmen, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig gegen null oder gegen unendlich streben. Dieses Video zeigt, wie senkrechte und waagrechte Asymptoten einer Funktion bestimmt werden. Die Bestimmung der senkrechten Asymptoten erfolgt über die Untersuchung der Funktion auf Definitionslücken. Für die waagerechten Asymptoten werden im Lösungscoach zwei Möglichkeiten vorgestellt: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Methode über die Untersuchung des Verhaltens der Funktion im Unendlichen und über die einfachere, aber weniger anschauliche Methode der Überprüfung von Zähler- und Nennergrad. Der zum Video passende Lösungscoach ergänzt noch die Methode zur Bestimmung schräger Asymptoten und veranschaulicht die Bedeutung der verschiedenen Asymptoten am Funktionsgraph.

... In diesem Video-Kurs für den Mathematik-Unterricht zum Themenkomplex Analysis in der Oberstufe dreht sich alles um die Begriffe Ableitung, Steigung und Tangenten.Die Schülerinnen und Schüler lernen, was ...

Der Videokurs "Basiswissen der Integralrechnung" behandelt eine der wichtigsten mathematischen Kompetenzen in der Oberstufe und im Abitur.Die Schülerinnen und Schüler erlernen, was eine Stammfunktion ist und wie die Stammfunktionen der fünf wichtigsten Standardfunktionen lauten. Damit und mithilfe der Integrationsregeln, die im Video "Verschachtelte Funktionen integrieren" erläutert werden, lassen sich auch kompliziertere Funktionen integrieren. Im Video "Bestimmte Integrale berechnen" lernen die Schülerinnen und Schüler einen Klassiker der Integralrechnung kennen: die Berechnung der Flächenbilanz eines Graphen mit der x-Achse.Eine Stammfunktion zu einer vorgegebenen Funktion zu bilden ist eine Basiskompetenz der Integralrechnung. Was eine Stammfunktion überhaupt ist und wie die einfachsten Standardfunktionen integriert werden, ist Thema dieses Videos. Der Lösungscoach stellt die fünf wichtigsten Standardfunktionen mit ihren Stammfunktionen übersichtlich zusammen. Dieses Video zeigt, wie zusammengesetzte Funktionen mithilfe der Integrationsregeln integriert werden. Der im Video vorliegende Beispielterm ist eine Differenz zweier einfacher Funktionen, nämlich einer Potenzfunktion und der Sinusfunktion. Integriert wird mithilfe der Summenregel. Zunächst werden die Stammfunktionen der einzelnen Bausteine bestimmt, die dann im letzten Schritt über die Summenregel wieder zusammengeführt werden. Der zum Video passende Lösungscoach gibt einen Überblick über die wichtigsten Integralregeln und ihre Anwendung. Ein bestimmtes Integral zu berechnen bedeutet, die Flächenbilanz zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse zu ermitteln. Dieser Standardfall der Flächenberechnung wird im Abitur erwartet. Es wird vorausgesetzt, dass die Stammfunktionen der wichtigsten Standardfunktionen bekannt sind und dass die gängigsten Integrationsregeln angewendet werden können. Anhand eines vorgegebenen Funktionsterms soll die Fläche berechnet werden, die sein Graph mit der x-Achse einschließt. Um die Aufgabe zu lösen, muss ein geeignetes Integral aufgestellt und berechnet werden.

Dieses Unterrichtsmaterial vermittelt Basiswissen zum Thema Kurvendiskussion. Sie baut auf dem Stoff der Mittelstufe auf und vermittelt Grundkenntnisse und Grundbegriffe der Kurvendiskussion.Behandelt werden die elementaren Grundfertigkeiten, noch ohne Integralrechnen und Ableiten. Die Schülerinnen und Schüler lernen, die Nullstellen und den Definitionsbereich einer Funktion zu bestimmen und eine Funktion auf Symmetrie zu untersuchen. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler am Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion, wie Nullstellen berechnet werden, indem der komplette Funktionsterm gleich null gesetzt wird. Der dazugehörige Lösungscoach liefert eine Übersicht über die Methoden der Nullstellenbestimmung bei den drei Funktionstypen ganzrationale Funktion, Logarithmusfunktion und gebrochenrationale Funktion. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler am Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion, den maximalen Definitionsbereich über eine Ungleichung zu bestimmen (Bedingung: Nenner darf nicht null werden). Der zum Video passende Lösungscoach gibt eine Übersicht über die drei Funktionstypen mit eingeschränktem Definitionsbereich: Brüche, Wurzelfunktionen und Logarithmusfunktionen und stellt die Bedingungen für die Definitionsbereiche übersichtlich zusammen. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, Funktionen auf Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen. Erklärt wird für beide Symmetriearten jeweils der rechnerische Nachweis über die Bedingungen f(−x)=f(x) für Achsensymmetrie und f(−x)=−f(x)) für Punktsymmetrie sowie die graphische Bedeutung.

Der Videokurs für den Mathematik-Unterricht der Oberstufe stellt eine Strategie zur Lösung von Gleichungssystemen vor und zeigt, wie man Geradengleichungen bestimmt, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor vorgegeben sind.Eine der wichtigsten Basistechniken in der Geometrie ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, welches in diesem Videokurs thematisiert wird. Das lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten ist das am einfachsten zu lösende Gleichungssystem und ist den Schülerinnen und Schülern bereits aus der Mittelstufe bekannt. Ein Standardverfahren, das sicher zur Lösung führt, ist das Gauß’sche Eliminationsverfahren. Im Video wird anhand einer Beispielaufgabe gezeigt, wie ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 3 Gleichungen gelöst wird. Der Lösungscoach fasst die Schritte übersichtlich zusammen und behandelt darüber hinaus den Fall eines Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten. Das Video zeigt, wie ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten durch Rückführung auf Zeilenstufenform gelöst wird. Jede lineare Gleichung mit 3 Unbekannten stellt eine Ebene im dreidimensionalen Raum dar, das heißt, die Lösungen einer solchen Gleichung sind die Koordinaten der Punkte auf einer Ebene. Die Lösung eines solchen Gleichungssystems mit 3 Unbekannten sind dann gemeinsame Punkte aller beteiligten Ebenen. Ein Klassiker in der Geometrie ist die Bestimmung einer Geradengleichung. Im einfachsten Fall sind ein Punkt und ein Richtungsvektor schon vorgegeben. Die Beispielaufgabe des Videos zeigt, wie man eine Parametergleichung in Punkt-Richtungs-Form aufstellt, für die die relevanten Angaben schon in der Aufgabenstellung enthalten sind. Die Aufgabe wird in einen Sachzusammenhang eingebettet, bei dem ermittelt werden soll, auf welcher Gerade ein Lichtstrahl verläuft.