Unterrichtsmaterialien zum Thema "Analysis"

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40 Treffer zu "Analysis"
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Quadratische Funktionen interaktiv erarbeiten

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Funktionen" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler diesen Funktionstyp über dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden, und interaktiven Übungen, die mit der Software HotPotatoes angefertigt wurden.Quadratische Funktionen folgen im Lehrplan auf die linearen Funktionen. Während dort nur zwei Parameter Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, spielen bei quadratischen Funktionen drei Parameter eine Rolle. Die folgende Unterrichtseinheit zeigt auf, wie der Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen von Schülerinnen und Schülern mithilfe interaktiver Arbeitsblätter weitgehend eigenständig und durch einen experimentellen Zugang erarbeitet werden kann. An die Erarbeitung schließen sich Lernkontrollen in Form von Lückentexten, Zuordnungsübungen, Kreuzworträtseln und eines Quiz an.Die Arbeit mit dynamischen und interaktiven Arbeitsblättern ermöglicht den Schülerinnen und Schülern im Sinne einer Handlungsorientierung ein experimentelles Herangehen an mathematische Fragestellungen und ein eigenständiges Entdecken von Gesetzmäßigkeiten. Die Lernenden können dabei in ihrem individuellen Lerntempo vorangehen und Übungsmöglichkeiten im Rahmen einer gesetzten Zeitspanne beliebig oft nutzen. Sie erhalten eine unmittelbare Rückmeldung über ihren persönlichen Lernerfolg und üben ihre Stärken und Schwächen selbst einzuschätzen, ohne unter ständiger Beobachtung durch die Lehrkraft zu stehen. Durch dynamische Geometriesoftware lässt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter besser veranschaulichen als durch das Skizzieren einiger ausgewählter Funktionsgraphen im Heft. Die experimentelle Herangehensweise kann auch weniger abstrakt denkende Schülerinnen und Schüler motivieren, die sonst im Unterricht eher zurückhaltend sind. Außerdem trägt sie zu einem besseren Verständnis von Funktionen bei. Unterrichtsablauf Die Voraussetzungen für die Durchführung der skizzierten Unterrichtseinheit, der genaue Ablauf und die Einbeziehung der genannten Medien wird beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e heraus. erkennen, dass der Parameter e eine Verschiebung der Normalparabel nach oben/unten bewirkt. erfassen, dass der Parameter d eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts/links zur Folge hat. begreifen, dass der Vorfaktor a eine Streckung/Stauchung der Normalparabel impliziert. lernen ein Beispiel für eine quadratische Funktion aus der Umwelt kennen. können die gewonnen Erkenntnisse auf neue Situationen und Fragestellungen anwenden. Voraussetzung für die Durchführung der beschriebenen Unterrichtseinheit ist ein genügend großer Computerraum, sodass die Lernenden einzeln oder höchstens zu zweit die Aufgabenstellungen bearbeiten können. Nur so kann ein individueller Lernprozess ermöglicht werden. Auf den Rechnern sollte ein aktueller Internet-Browser und vor allem das kostenlose Plugin Java Runtime Environment installiert sein, damit die mit GeoGebra erstellten dynamischen Arbeitsblätter (Applets) genutzt werden können. Um den organisatorischen Aufwand zu minimieren, empfiehlt es sich, die selbst erstellten Arbeitsblätter auf einem Webserver abzulegen und diese dann von den Lernenden via Internetzugang herunterladen zu lassen. Ein entsprechendes Beispiel findet man auf der Kommunikationsplattform der ARS-Limburg. Die bereitgestellten Dateien können aber auch lokal mithilfe eines Datenträgers auf jeden Rechner geladen werden. Ferner ist für eine der fakultativen Übungen am Ende das Tabellenkalkulationsprogramm MS-Excel erforderlich. Vor der Durchführung der Lerneinheit sollte die quadratische Funktion zunächst definiert und die charakteristischen Eigenschaften der Funktionsgraphen (Parabeln) an einigen Beispielen herausgearbeitet werden. So könnte man den Schülerinnen und Schülern neben der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x² zwei bis drei weitere Funktionsgleichungen vorgeben und die zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Die Lernenden erkennen bereits hier, dass das Markenzeichen einer quadratischen Funktion der Parabelbogen ist und dass dieser unterschiedliche Lagen im Koordinatensystem einnehmen kann. Zur besseren Verankerung und Steigerung der Motivation kann auch ein Bezug zu Parabeln in der Umwelt (Brücken, Wurfbahn, et cetera) hergestellt werden und einige Beispiele können gezeigt werden. Nun erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partner- beziehungsweise Einzelarbeit etappenweise die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e. Hierzu öffnen Sie jeweils ein mit GeoGebra erstelltes dynamisches Arbeitsblatt. Mithilfe eines Schiebereglers können sie die Größe der jeweiligen Parameter ändern und beobachten, wie sich der Verlauf des Funktionsgraphen und die Funktionsgleichung verändern. Der detaillierte Ablauf geht aus dem Quadratische Funktionen hervor. Am Ende jedes Arbeitsblattes befindet sich ein Lückentext, der vervollständigt und zur Ergebnissicherung ins Heft übertragen werden muss. Die Lernenden haben so die Gelegenheit, Zusammenhänge zwischen Funktionsterm und -graph experimentell und weitgehend eigenständig zu entdecken. Die gewonnenen Erkenntnisse müssen im Anschluss jeweils in einer interaktiven, mit Hot Potatoes erstellten Übungseinheit auf andere Situationen übertragen werden. Die Schülerinnen und Schüler können dabei individuell nach ihrem eigenen Lerntempo vorgehen. Durch die unmittelbare Rückmeldung erhalten sie Aufschluss über ihren Lernstand und können bei Bedarf eine Übung mehrfach durchlaufen. Nachdem die Bedeutung der Parameter erarbeitet wurde, können die Schülerinnen und Schüler in einer abschließenden Übungseinheit ihr Wissen über quadratische Funktionen in zwei Lückentexten, zwei Zuordnungsübungen, einem Kreuzworträtsel und einem Quiz noch einmal unter Beweis stellen. Außerdem sollen die Anpassung einer Funktion an einen vorgegeben Brückenbogen durchgeführt werden.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Flächenberechnung mit TurboPlot

Unterrichtseinheit

Die Schülerinnen und Schüler entdecken in einer Doppelstunde am Beispiel der Berechnung von Blumenbeetgrößen den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und dem Verfahren der Integration. Da die Berechnung verschiedener Ober- und Untersummen arbeits- und zeitintensiv ist, wird bei der Visualisierung die kostenlose Software TurboPlot als „Zeichenknecht“ eingesetzt.Zu Beginn des Unterrichts wird zunächst auf grundlegende mathematische Kenntnisse aus dem Bereich der Flächenberechnung zurückgegriffen, mit deren Hilfe dreieckige Flächengrößen ermittelt werden. Durch eine gezielte Anweisung zur Berechnung der bestimmten Integrale können die Schülerinnen und Schüler schließlich eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße formulieren. Im Rahmen der Flächenberechnung eines nicht linear umrandeten Blumenbeetes erfolgt anschließend die Verallgemeinerung der Thematik auf nichtlineare Funktionen. Dabei wird der Schwerpunkt auf die Visualisierung gelegt, um den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration zu verdeutlichen. Auf dessen konkrete mathematische Herleitung wird jedoch verzichtet. Dies kommt dem Unterricht in Grundkursen und Lernenden mit schwächerem Leistungsniveau entgegen.Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen.Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Zu Beginn der Doppelstunde werden die Schülerinnen und Schüler anhand eines Plakats sowie durch einen kurzen Lehrervortrag mit einer Problemstellung konfrontiert: Sie sollen die Flächengrößen verschiedener Blumenbeete berechnen. Nachdem in einem Unterrichtsgespräch Möglichkeiten zur Messung der Flächengröße genannt worden sind und die Berechnung von Dreiecksflächen thematisiert wurde, setzen sich die Lernenden in arbeitsteiliger Gruppenarbeit mit der konkreten Berechnung von zwei dreieckigen Flächen auseinander. Diese ermitteln sie zunächst mithilfe ihrer Kenntnisse aus der Sekundarstufe I. Anschließend werden sie dazu angeleitet, das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion zu berechnen. Anhand des Vergleichs der beiden Ergebnisse formulieren sie dann eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Die Lernenden erhalten zur Gruppenarbeit eines der beiden Arbeitsblätter und je Gruppe eine Skizze der Blumenbeete. Die Musterlösungen können Sie sich hier ebenfalls herunterladen. Im Anschluss an eine kurze Präsentation der Ergebnisse mithilfe von Plakaten am Ende der ersten Stunden und dem Austausch der Vermutungen der Gruppen bezüglich des Zusammenhangs zwischen Integral und Flächeninhalt wird die Berechnung des Sonnenblumenbeetes, das durch eine Parabel begrenzt wird, thematisiert. Mithilfe des in der ersten Stunde gelernten Verfahrens sollen die Lernenden zunächst gemeinsam die zugehörige quadratische Funktion integrieren und eine Vermutung über die Größe der Fläche äußern. Um die Vermutung jedoch zu bestätigen, wird die Problematik der Flächenberechnung anhand des Funktionsgraphen einer Funktion vierter Ordnung verallgemeinert. Fragend-entwickelnd werden hierzu Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Veranschaulichung der Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien schrittweise verdeutlicht wird. Bevor das Integral unter der Parabelfläche ausgerechnet wird, wird die Folie mit der Fläche gezeigt und die Funktion angegeben. Dann berechnen die Schüler gemeinsam das bestimmte Integral und äußern die Vermutung über die Fläche (tafelbild_sonnenblumenbeet.pdf). Die Grafen (grafen.pdf) werden dann mithilfe von Folien nacheinander auf den OHP gelegt, um die Annäherung der Ober- und Untersummen an die Fläche zu verdeutlichen und die Begriffe zu erläutern. Zur wertmäßigen Bestätigung der Vermutung setzen sich die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit mit der quadratischen Funktion auseinander, durch die das dritte bearbeitete Blumenbeet (Begrenzung durch eine Parabel) abgegrenzt wird (partnerarbeit_turboplot.pdf). Hierzu wird die Software TurboPlot eingesetzt (partnerarbeit_turboplot_anleitung.pdf; siehe auch Internetadresse), in welche die Lernenden die Funktionsgleichung eingeben und sich dann schrittweise verschiedene Unter- und Obersummen anzeigen lassen. Bei TurboPlot handelt es sich um ein kostenloses Programm aus dem Internet. Da die explizite Berechnung verschiedener Ober- und Untersummen mit hohem Rechenaufwand verbunden ist und viel Unterrichtszeit in Anspruch nehmen würde, wird in dieser Phase, in der der Schwerpunkt auf Visualisierung liegt, die Software als Zeichenknecht eingesetzt. Die Sozialform der Partnerarbeit wird hierbei verwendet, damit sich die Lernenden im Umgang mit der Software unterstützen und ihre Beobachtungen diskutieren. Die mithilfe von TurboPlot gemachten Beobachtungen werden auf Arbeitsblättern festgehalten und können anschließend im Rahmen einer kurzen Präsentationsphase mithilfe von Folienabschnitten verglichen werden. Hierbei soll insbesondere die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen führen und den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral begründen (partnerarbeit_turboplot.pdf). Zur allgemeinen Formulierung und Einführung der mathematischen Schreibweise des bestimmten Integrals wird am Ende ein kurzer Lückentext im Klassengespräch ergänzt (partnerarbeit_turboplot.pdf, Seite 3). Abschließend erhalten die Schülerinnen und Schüler eine Übungsaufgabe, die zur Vertiefung des Erlernten dient (arbeitsblatt_vertiefung.pdf).

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Steckbriefaufgaben im virtuellen Klassenraum

Unterrichtseinheit

Die so genannten Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) bilden das Gegenstück zur klassischen Kurvendiskussion. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit nutzten die Lernenden den virtuellen Klassenraum bei lo-net. Dieser wurde intensiv als Dateiaustauschbörse und Forum für gegenseitige Hilfestellungen genutzt und hat durch die "coole" Art des Unterrichts das Kursklima positiv beeinflusst.Das Thema Steckbriefaufgaben begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe I in Form des Lösens linearer Gleichungssysteme sowie in der Sekundarstufe II bei der Bestimmung von Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen. Die ?Kurvendiskussion rückwärts? stellt eine Anwendung der Schemata der Kurvendiskussion dar. In der Regel zeigen sich die Lernenden beim Aufstellen der Gleichungen beziehungsweise beim Lösen der linearen Gleichungssysteme motiviert. Mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad stoßen sie jedoch an ihre Grenzen. Um die damit verbundene Frustration zu vermeiden, hat ein Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 ab dem Beginn des Schuljahres einen virtuellen Klassenraum bei lo-net genutzt, in dem außerhalb der Unterrichtszeit Probleme diskutiert und Dateien ausgetauscht werden konnten.Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Steckbriefaufgaben werden von den Lernenden zunächst als angenehm und wenig kompliziert empfunden, stoßen allerdings mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad auf immer mehr Ablehnung. Um die daraus resultierende Frustration möglichst weit hinauszuzögern, konnten die Schülerinnen und Schüler des Kurses neben dem klassischen Klassenraum außerhalb der Unterrichtszeit den virtuellen Klassenraum bei lo-net nutzen (siehe Internetadresse). Dieser diente den Lernenden von Anfang an als Dateiaustauschbörse, als Archiv für Arbeitsblätter und als Forum für gegenseitige Hilfestellungen und den Austausch von Lösungsstrategien. Im Zuge der geforderten und zunehmenden Selbstständigkeit bildet dieser Aspekt ein unbedingtes "Muss" im Unterricht. Die Einrichtung des virtuellen Klassenraums hat sich in diesem Zusammenhang sehr bewährt: Wie man an den Forumsbeiträgen sehen kann (Abb. 1 - Platzhalter bitte anklicken), wurde er nahezu täglich benutzt. Die im Dateiaustausch abgelegten Arbeitsmaterialien zur Unterrichtsvorbereitung und -nachbereitung wurden von den Lernenden regelmäßig abgeholt. Um möglichst viele verschiedene Aufgaben lösen und möglichst viele Gleichungssysteme aufstellen zu können, haben die Schülerinnen und Schüler für drei Unterrichtsstunden in verschiedenen Gruppen gearbeitet, die ihre Ergebnisse im virtuellen Klassenraum den anderen zur Verfügung stellten. Bei den anwendungsorientierten Aufgaben hatten die Lernenden Probleme, die richtige Information aus einer Abbildung herauszufiltern oder einen richtigen Ansatz zu finden. Im Unterrichtsgespräch konnten diese Probleme in der Regel behoben werden. Im virtuellen Klassenraum war die Hilfe dazu etwas dürftig. Häufig lösten im Chat geäußerte Lösungsmöglichkeiten auch "kleine Streits" aus. Insgesamt hat das virtuelle Klassenzimmer das Unterrichtsklima sehr positiv beeinflusst. Grafikfähiger Taschenrechner und CAS Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit konnten die Schülerinnen und Schüler auf ihren eigenen grafikfähigen Taschenrechner (TI-83) zurückgreifen. Damit wurden die aufgestellten Gleichungssysteme mithilfe der Matrixfunktion gelöst und am Graphen direkt überprüft. Zum anderen konnten die Lernenden die Gleichungssysteme mit dem Computeralgebrasystems (CAS) Derive lösen und parallel dazu die Graphen darstellen lassen. Kritischer Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner Die Schülerinnen Schüler überprüften ihre vom Taschenrechner gelieferten Ergebnisse auf dem klassischen Rechenweg und kamen dabei zu erstaunlichen Ergebnissen: In vielen Fällen stimmten die berechneten Werte nicht mit denen des Taschenrechners überein oder die Ergebnisse verschiedener Taschenrechner wichen voneinander ab. Dies brachte zwar einige Verwirrung, förderte aber auch den nötigen kritischen Umgang mit technischen Rechenwerkzeugen. Dieser ging schließlich so weit, dass die Schülerinnen und Schüler kaum noch mit dem Taschenrechner gearbeitet und die Aufgaben nur noch auf klassischem Wege gelöst haben. Die Lernenden bestimmen unter anderem die Funktionsgleichungen eines Brückenbogens und der Flugbahn eines Leichtathleten. Die beiden Arbeitsblätter können Sie sich hier einzeln herunterladen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Das Mooresche Gesetz als Exponentialfunktion

Unterrichtseinheit

Laut Gordon Moore verdoppelt sich die Anzahl von Transistoren auf einem Chip alle zwei Jahre. In dieser Einheit entscheiden Schülerinnen und Schüler, welche Variante des Mooreschen Gesetzes zutrifft, und formulieren "das Gesetz" als Funktion.Das Stundenthema ist exemplarisch für die Untersuchung exponentiell verlaufender Funktionen. In informationstechnisch orientierten Bildungsgängen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit aktuellen Entwicklungen in der Hardwaretechnik von Computern. Die Untersuchung des Mooreschen Gesetzes ermöglicht es, das zukünftige Innovationstempo in diesem Bereich auf der Basis der Entwicklung in den vergangenen vier Jahrzehnten besser beurteilen zu können.Bei der Stunde handelt es sich um eine Anwendungsstunde, in der die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse über Exponentialfunktionen einsetzen, um eine sprachlich formulierte Aussage, das Moore'sche Gesetz, in eine gleichbedeutende mathematische Aussage zu "übersetzen". Anhand der Eigenschaften von Exponentialfunktionen ziehen sie Rückschlüsse auf die Gültigkeit der zugrunde liegenden Aussagen. Ablauf des Unterrichts und Einsatz der Materialien Die Anzahl der Transistoren auf einem Chip verdoppelt sich "alle 18 Monate" schreibt golem.de, "... jedes Jahr" behauptet webopedia.com und bei wikipedia.org heißt es: "alle zwei Jahre". Die Schülerinnen und Schüler überführen einen rein sprachlich formulierten Sachverhalt in eine mathematische Aussage, indem sie die Eigenschaften exponentieller Funktionen überprüfen und anwenden. werden darin gefördert, Excel als geeignetes Hilfsmittel zur Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung zielgerichtet einzusetzen. Sie kennen die dafür nötigen Funktionen, setzen sie zielgerichtet ein und können die programmtypische Ergebnisdarstellung richtig interpretieren. üben die mathematisch korrekte sprachliche Beschreibung mathematischer Sachverhalte. Thema Überprüfung des Mooreschen Gesetzes Autor Edgar Dartenne Fach Mathematik Zielgruppe informationstechnisch orientierte Bildungsgänge Zeitraum eine Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer für zwei Personen, MS Excel Planung Verlaufsplan Mooresches Gesetz Sozialform Da die Schülerinnen und Schüler vorwiegend am PC arbeiten, bietet sich als Sozialform die Partnerarbeit an. Zur Lösung der gestellten Aufgabe wurde das Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel gewählt. Die Lehrkraft sollte auf die Zusammensetzung der Schülerpaare Einfluss nehmen und -in Bezug auf die Erfahrung mit dem Programm Excel- heterogene Gruppen bilden. Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler Die Excel-Funktion "Trendlinie" sollte den Schülerinnen und Schülern ebenso bekannt sein wie die Euler'sche Zahl, die in der Bestimmung der Funktionsgleichung durch Excel auftritt. Bei dem im Unterricht verwendeten Begriff des durchschnittlichen jährlichen Wachstums handelt es sich um das Wachstum der Trendlinie. Da die Trendlinie aber die ihr zugrunde liegende Funktion approximiert (Excel berechnet den so genannten "Pearsonschen Korrelationskoeffizienten"), sollte der Begriff zum einfacheren Verständnis eingeführt sein. Anschließendes Stundenthema Sowohl die Trendlinien-Funktion von Excel als auch andere gängige Rechenverfahren zur Bestimmung des Wachstumsfaktors bilden den Verlauf des tatsächlichen Wachstums der Transistoranzahl nur annähernd nach. Dies ist in der Tatsache begründet, dass das vorhandene Datenmaterial weder konstante Änderungsraten noch gleichlange Zeitintervalle aufweist. Eine Thematisierung dieser Problematik kann in einer der folgenden Stunden erfolgen. Einstieg und Problematisierung Die Lehrkraft präsentiert den Schülerinnen und Schülern zwei PC-Prozessoren mit der Angabe des Herstelljahrs und der Anzahl der darin befindlichen Transistoren. Er schließt die Frage an: Worum geht es heute? Anschließend legt er eine Folie auf, die "Moores Gesetz" in drei verschiedenen Versionen zeigt. Daran schließt sich die Frage an: "Welche der drei Aussagen ist denn nun richtig? Wie können wir die Gültigkeit der Aussage überprüfen?" Erarbeitung Die Schülerinnen und Schüler stellen die drei Versionen des Moore'schen Gesetzes in einem Diagramm dar, ermitteln mit der Trendlinienfunktion die zugehörigen Wachstumsfaktoren und entscheiden, welche Version der Vorhersage von Moore gültig ist. Präsentation Ein oder zwei Schülerpaare ergänzen ein vorbereitetes Plakat und erläutern ihre Lösung. Unterstützend wird der Excel-Bildschirm der jeweiligen Schülerpaare auf die Wand projiziert. Diskussion und Sicherung Schließlich erfolgt eine Plenumsdiskussion über die präsentierten Ergebnisse. Die Sicherung erfolgt in Form von Teilsicherungen während der Diskussion der einzelnen Schülerergebnisse.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Die magische Wand im Mathematikunterricht

Unterrichtseinheit

Mit dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Die magische Wand im Mathematikunterricht" gelingt ein spielerischer Jahresrückblick über die Schwerpunktthemen des Mathematikunterrichts in der Höheren Berufsfachschule (Unterstufe).Die Unterstufe liefert das mathematische Rüstzeug für die stärker auf kaufmännische Fragestellungen ausgerichtete Oberstufe. Die curricularen Vorgaben für die Höhere Handelsschule sehen die Behandlung folgender Schwerpunktthemen vor: Kaufmännisches Rechnen, darunter insbesondere: Verhältnisgleichungen und Dreisatz am Beispiel der Währungsrechnung, Prozent- und Zinsrechnung Lineare Funktionen und Gleichungen nebst linearer Gleichungssysteme Quadratische Funktionen und Gleichungen Potenzgesetze, sowie Rechnen mit Logarithmen In einer Stunde sollen im Rahmen eines Quiz' verschiedene Aufgaben aus den genannten Themenbereichen innerhalb einer festgesetzten Zeitdauer gelöst werden. Hinter der "magischen Wand", die per Beamer projiziert wird, verbergen sich die Aufgaben und Fragen, die die Schülerinnen und Schüler lösen müssen. Ich erstellte sie unter Zuhilfenahme der Entwicklungsumgebung "Visual Basic".Die Stunde, deren überwiegender Teil von konkurrierender Gruppenarbeit bestimmt wird, ist als Spielstunde konzipiert. Die Methode wurde gewählt, um der Stunde Dynamik zu verleihen. Der Lehrer nimmt die Rolle des Spielleiters ein. Die "Magische Wand" erstellte ich unter Zuhilfenahme der Entwicklungsumgebung "Visual Basic". Optisch wurde bei der Gestaltung des Spiels auf Analogien bekannter Quiz-Sendungen geachtet. Es ist davon auszugehen, dass dadurch die Spielregeln weitestgehend bekannt sind. Um die Durchgängigkeit des Spielverlaufs nicht zu gefährden, werden selbst bei einer falschen Lösung keine Lösungswege bekannt gegeben. Spielregeln Die magische Wand - Ein spielerischer Jahresrückblick über Themen des Mathematikunterrichts Die Schülerinnen und Schüler reflektieren schwerpunktmäßig die im Mathematikunterricht des vergangenen Schuljahres behandelten Themen und erkennen dabei ihren eigenen Wissenszuwachs. erfahren nochmals den praktischen Bezug der Stoffgebiete. werden durch Spaß am Spiel positiv für die Oberstufe motiviert. schulen die Fähigkeit, aus Texten mathematische Sachverhalte zu formulieren. Zunächst werden die allgemeinen Spielregeln erläutert und Schülergruppen gebildet. Die erste Antwortgruppe wird ausgelost. Anschließend wird das Recht zu antworten im Uhrzeigersinn vergeben. Die Schülerinnen und Schüler wählen selbst die Themen und lösen die Aufgaben; bei richtiger Antwort wird die volle Punktzahl vergeben. Die Punkte könnten zum Beispiel in Form von Punktscheinen verteilt, aber natürlich auch einfach an der Tafel notiert werden. Alle anderen Gruppen bewerten das Ergebnis. Bei richtiger Bewertung erhalten diese die halbe Punktzahl. Die Punkte könnten zum Beispiel in Form von Punktscheinen verteilt, aber natürlich auch einfach an der Tafel notiert werden. Die Gruppe mit den meisten Punkten hat gewonnen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Anwendung der Winkelfunktionen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit soll anhand einer komplexen Beispielaufgabe, verpackt in einer kleinen Geschichte, das Verständnis für Auswahl und Verwendung der Winkelfunktionen entwickelt werden. In gewerblich-technischen Ausbildungsberufen, in denen CNC gelehrt wird (Metall, Holz), gehören diese zu den theoretischen Grundlagen – genauso wie das Erfassen von technischen Zeichnungen und Koordinatensystemen.Bei diesem Online-Spiel müssen Sie dem Hahn Gaga dabei helfen, seinen Hühnerhof aus der Eierkrise zu heben, und zwar mit einem Schatz, den Sie selber finden und ausgraben müssen. Sie brauchen dafür lediglich einige Kenntnisse über die Winkelfunktionen, um die Schatzkarte zu verstehen. Aktien warten auf Sie - als Belohnung dafür, dass Sie das Rätsel lösen konnten. Die Hilfe auf der Internetseite besteht aus einer Formelsammlung und einem Modul, welches Sinus-, Cosinus- und Tangenswinkel berechnet. Die Eselsbrücke "GAGA Hühnerhof AktienGesellschaft", die die Dreiecksseiten Hypothenuse, Ankathete und Gegenkathete in den trigonometrischen Formeln visualisiert, war Anlass für die Rahmenstory als auch Inhalt einer Lerneinheit. Mit den neu erworbenen Kenntnissen lässt sich das Problem auf der Schatzkarte lösen. Der gefundene Wert ist ein Ort auf dem Koordinatensystem. Ein virtueller Spaten hebt den Schatz. Der Programmautor wird auf Wunsch benachrichtigt und schickt virtuelle Aktien zurück.In Berufsschulklassen, Bildungsmaßnahmen oder allgemeinbildenden Schulen bietet das Programm innerhalb einer Unterrichtsreihe zum Thema Winkelfunktionen die entsprechende Motivation nach einer theoretischen Einführung. Es kann sich im Unterricht oder in der Hausaufgabe ein Wettbewerb um Art und Schnelligkeit der Problemlösung ergeben. Vorteilhaft ist ein Ausdruck der Schatzkarte und die Verwendung eines Taschenrechners, da dann jedes Medium seine Stärken auspielt und der Lerneffekt nachhaltiger wirkt.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Einführung in die Differenzialrechnung mit Derive

Unterrichtseinheit

Diese Unterrichtsreihe zum Thema Differenzialrechnung zeigt, wie mithilfe des Computer-Algebra-Systems (CAS) Derive Schülerinnen und Schüler die Begriffe und Sachverhalte der Differenzialrechnung erlernen und ein anwendungsbezogenes Verständnis entwickeln können. Die Reihe orientiert sich an dem Konzept des aktiven und selbstständigen Lernens. Das CAS leistet dabei einen enormen Beitrag.Das Thema Differenzialrechnung begegnet den Schülerinnen und Schülern erstmals in der Sekundarstufe II. Zu diesem Zeitpunkt verfügen die Schülerinnen und Schüler im günstigsten Fall über ein sehr geringes Vorwissen. Eine sorgfältige und gelungene Einführung der Differenzialrechnung ist von besonderer Bedeutung, da diese in der folgenden Jahrgangsstufe noch vertieft wird. Der Computer wird in dieser Unterrichtsreihe hauptsächlich als Zeichen- und Rechenknecht verwendet. Damit wird ein wichtiger Beitrag zum Aufbau der Kompetenz im Umgang mit neuen Medien geleistet. Darüber hinaus steht diese Reihe unter dem Aspekt des selbstständigen Lernens, das heißt, die Schülerinnen und Schüler müssen kreativ sein, ihre Problemlösefähigkeit entwickeln und das Gelernte auf andere Aufgaben transferieren.Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den Schülerinnen und Schüler wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Unterrichtsvorbereitung, -durchführung, -nachbereitung Infos zum Konzept dieser Unterrichtseinheit und zu den Vorzügen von Derive Themen und Arbeitsblätter Übersicht über die Materialien dieser Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler lernen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen. erlernen die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. können verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden. lernen die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen. können aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen (Kurvendiskussion rückwärts). Auswahl der Aufgaben Für diese Unterrichtseinheit wurden anschauliche Aufgaben aus dem Alltag der Schülerinnen und Schüler gewählt, die zugleich "mathematisierbar" und realistisch sind. Außerdem können die SchülerInnen die ausgewählten Aufgaben auch zu Hause - also ohne das Computerprogramm - lösen und üben. Eine ausgewogene Mischung zwischen Experimentieren, Probieren, Üben und Anwenden ist gewährleistet. Vorbereitung der Klasse Vor Beginn der Unterrichtsreihe sollen die Schülerinnen und Schüler eine zweistündige Einführung in das Programm erhalten, damit sie später die Aufgaben selbstständig bearbeiten können und in den Arbeitsphasen nicht durch unnötige Fragen den Unterricht stören. Es empfiehlt sich zudem, den Schülerinnen und Schülern eine kurze Anweisung oder Bedienungsanleitung an die Hand zu geben. Es ist sinnvoll, die während der Unterrichtsreihe einmal gebildeten Arbeitsgruppen an den Rechnern bestehen zu lassen. Die Gruppenzusammensetzung sollte dabei eine Mischung aus "Computercracks" und -neulingen gewährleisten. Die Schülerinnen und Schüler entdecken in der Regel sehr schnell die Fähigkeiten des Programms und arbeiten sich umgehend darin ein. Zur Kontrolle des Lernerfolgs ist es erforderlich, Unterrichtsstunden ohne den Rechner einzustreuen. Da die Schülerinnen und Schüler die Klausur ohne den Computer schreiben müssen, sollen Formalia des Aufschreibens (mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrem- und Wendestellen) und der Kurvendiskussion regelmäßig eingeübt werden. Die Schülerinnen und Schüler laden sich das Programm Derive zum Teil aus dem Internet auf den eigenen Rechner herunter. So ist ihnen möglich, die in der Unterrichtsstunde begonnenen Aufgaben zu Hause zu vollenden. Um jedoch dem Aspekt des Übens nachzukommen, ist dies eher eine Randerscheinung. In der Regel wenden die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen zu Hause an den Schulbuchaufgaben an. Die Ergebnisse der im Anschluss an diese Unterrichtsreihe geschriebenen Klausur zeigten, dass alle Lernziele erfolgreich umgesetzt wurden. Der Einsatz des Computerprogramms Derive lieferte dabei einen wertvollen Beitrag zu einem anwendungsorientierten und schülernahen Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Durch seine Nutzerfreundlichkeit ist das Programm auch sehr gut für Schülerinnen und Schüler geeignet, die bisher nur wenig Erfahrung im Umgang mit neuen Medien sammeln konnten. Durch den Einsatz des Computers als Rechen- und Zeichenknecht ließ sich viel Zeit sparen, die zusätzlich und sinnvoll in die Vermittlung des mathematischen Verständnisses investiert werden konnte. Der Einsatz des Computer-Algebra-Systems Derive hat sich im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II bereits bewährt. Zu den großen Vorteilen des Programms zählt insbesondere, dass man sowohl Zeichen- als auch Rechenmodus parallel nebeneinander auf dem Bildschirm anzeigen kann (ein Klick auf die linke Grafik vergrößert den Screenshot). Die Schülerinnen und Schüler haben in meinem Unterricht äußerst positiv und begeistert auf den Einsatz des Programms reagiert. Was nicht vergessen werden sollte Neben den aufgeführten charakteristischen Stellen einer Funktion sollte auch auf die übrigen charakteristischen Merkmale hingewiesen werden: Definitionsbereich und Nullstellen einer Funktion.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Analysis: Videos zu Grenzwerten und Umkehrfunktionen

Video

Im diesem Kurs lernen Schülerinnen und Schüler, wie man die Umkehrfunktion zu einem vorgegebenen Funktionsterm rechnerisch bestimmt und wie man den Graph einer Umkehrfunktion zu einem vorgegebenen Funktionsgraphen zeichnet, ohne den Funktionsterm zu kennen.Im Video "Einfache Grenzwerte berechnen" wird das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion untersucht, bei der nicht die Regel von de l'Hospital angewendet werden muss.In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, wie sie zu einem vorgegebenen Funktionsterm die Umkehrfunktion rechnerisch bestimmen. Die Umkehrfunktion, auch inverse Funktion genannt, soll zu einem vorgegebenen Wert y angeben, welches x im Funktionsterm von f eingesetzt werden muss, damit f(x)=y gilt. Im ersten Schritt wird die vorgegebene Gleichung nach x aufgelöst. Bei diesem Ergebnis werden im Anschluss x und y vertauscht und die Standardbezeichnung für die Umkehrfunktion eingeführt: f-1. Dieses Video verdeutlicht, wie sich der Graph der Umkehrfunktion aus der ursprünglichen Funktion entwickelt. Dazu wird die Umkehrfunktion ausgehend von einem vorgegebenen Funktionsgraphen zeichnerisch ermittelt, ohne dass der eigentliche Funktionsterm bekannt ist. Diese Methode veranschaulicht die rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion und verdeutlicht, was eine Umkehrfunktion eigentlich ist. Die Schülerinnen und Schüler lernen, den Graphen der Umkehrfunktion Schritt für Schritt durch Spiegelung des ursprünglichen Funktionsgraphen an der Achse y=x zu erzeugen: Spiegelachse einzeichnen, auffällige Punkte spiegeln und Spiegelpunkte zu einer Kurve verbinden. In diesem Video lernen Schülerinnen und Schüler, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen zu untersuchen. Erklärt wird die Bestimmung einfacher Grenzwerte am Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion, bei der aber noch nicht die Regel von de l’Hospital angewendet werden muss. Da Zähler und Nenner nicht gleichzeitig gegen null oder unendlich streben, wird das Verhalten der Funktion im Unendlichen bestimmt, indem zunächst die Grenzwerte der einzelnen Teilterme berechnet werden, um im nächsten Schritt den Grenzwert des gesamten Terms zu berechnen. Der zum Video gehörige Lösungscoach stellt die Rechenregeln für Grenzwerte übersichtlich zusammen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Analysis: Videos zu Monotonie und Krümmung

Video

Dieser Videokurs behandelt einen Kernbereich des Abiturstoffs: die wichtigsten Anwendungen der Ableitung. Dazu gehört, eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen und das Krümmungsverhalten sowie die Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen.Dieses Video zeigt am Beispiel einer verketteten Funktion (Logarithmusfunktion verkettet mit einer ganzrationalen Funktion), wie man das Monotonieverhalten einer Funktion untersucht. Es gibt an, in welchen Bereichen eine Funktion steigt oder fällt. Da die 1. Ableitung den Steigungsverlauf einer Funktion beschreibt, wird die Funktion im ersten Schritt abgeleitet. Danach werden die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmt, um anschließend mit einer Vorzeichentabelle darzustellen, in welchen Bereichen die Funktion streng monoton steigend oder fallend ist. Aufgaben, bei denen die Hochpunkte und Tiefpunkte oder auch nur die zugehörigen Extremstellen bestimmt werden müssen, sind praktisch Bestandteil jeder Abiturprüfung. Im Video lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie mithilfe einer Monotonieuntersuchung lokale Extrema einer Funktion bestimmen können. Der Lösungscoach stellt übersichtlich dar, was ein lokales Minimum beziehungsweise Maximum ist. Dieses Video zeigt, wie man mithilfe der 2. Ableitung das Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchen kann. Dazu gehören die Bestimmung aller Wendepunkte sowie die Bestimmung aller Bereiche, in denen die Funktion linksgekrümmt beziehungsweise rechtgekrümmt ist. Mithilfe der Nullstelle(n) und einer Vorzeichentabelle werden alle relevanten Informationen ermittelt und übersichtlich dargestellt.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II