Unterrichtsmaterialien zum Thema "Algebra"

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57 Treffer zu "Algebra"
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Die Exponentialfunktion und die "Unendlichkeitsmaschine"

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Exponentialfunktion wird das virtuelle 3D-Modell einer von Leonardo da Vinci (1452-1519) entworfenen Unendlichkeitsmaschine vorgestellt, die die Motivation der Lernenden steigern soll, sich mit der Exponentialfunktion auseinanderzusetzen.Kennen Sie die Unendlichkeitsmaschine von Leonardo da Vinci? Das Genie hat die Getriebekonstruktion mit zahlreichen ineinander greifenden Zahnrädern als Symbol der Ewigkeit entworfen. Wenn sich das erste Zahnrad des Getriebeeingangs einmal pro Sekunde dreht, würde das letzte Zahnrad am Getriebeausgang etwa eine Billion Jahre für eine Umdrehung benötigen. In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen der Unendlichkeitsmaschine und der Exponentialfunktion kennen. Mithilfe einer Exceldatei werden verschiedene Unendlichkeitsmaschinen analysiert, um danach interaktive Übungen durchzuführen.In der Unterrichtseinheit kommt eine interaktive Lernumgebung zum Einsatz. Wenn die Schülerinnen und Schüler die Arbeit mit dynamischen Arbeitsblättern nicht gewohnt sind, hat sich eine Einführung der Materialien per Beamer bewährt. Auch der Umgang mit einem VRML-Plugin sollte über den Beamer demonstriert werden. Hinweise zur Technik und zum Unterrichtsverlauf Das 3D-Modell der Unendlichkeitsmaschine soll die Motivation der Lernenden steigern, sich mit der Exponentialfunktion auseinanderzusetzen. Realschule Die Schülerinnen und Schüler lernen im Lernbereich "Funktionale Zusammenhänge" Potenzfunktionen mit der Gleichung y = a* x n kennen. lernen Exponentialfunktionen mit der Gleichung y = c* a x kennen. üben die Nutzung von Funktionsplottern. Gymnasium Die Schülerinnen und Schüler gewinnen im Lernbereich "Wachstumsvorgänge und periodische Vorgänge" Einblick in verschiedene Wachstums- und Zerfallsprozesse. verstehen die Begriffe unbeschränktes Wachstum (zum Beispiel linear und exponentiell) und beschränktes Wachstum (zum Beispiel logistisch). übertragen ihre Kenntnisse auf Exponentialfunktionen und auf Wachstumsvorgänge. nutzen die exponentielle Regression unter Verwendung von Hilfsmitteln. lernen im Lernbereich "Funktionale Zusammenhänge" Potenzfunktionen mit der Gleichung y = a* x n und Exponentialfunktionen mit der Gleichung y = c* a x kennen. Die Lernumgebung ist als interaktive Webseite angelegt und wird nach dem Download mit der Datei "index.htm" gestartet. Die dreidimensionale Darstellung der Unendlichkeitsmaschine wurde durch die objektorientierte Programmiersprache VRML (Virtual Reality Modeling Language) umgesetzt. Das zur Nutzung der 3D-Darstellung erforderliche Plugin blaxxun Contact kann kostenlos aus dem Internet heruntergeladen werden. Nach dem Installieren des Plugins können die World-Dateien (WRL), die die VRML-Inhalte enthalten, im Browser angezeigt werden. Mit einem Rechtsklick in die 3D-Darstellung öffnet sich ein Kontextmenü, über das man verschiedene Funktionen aufrufen kann (Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken). Motivation und Einstieg Ein digitales 3D-Modell der Unendlichkeitsmaschine, das aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet werden kann, soll die Schülerinnen und Schüler motivieren, sich mit der Exponentialfunktion zu beschäftigen. Zum besseren Verständnis erfolgt die Analyse der ersten Unendlichkeitsmaschine mithilfe eines vorbereiteten Excel-Arbeitsblatts ("unendlichkeitsmaschine.xls"; Bestandteil des Downloadpakets "unendlichkeitsmaschine.zip"). Dies sorgt für die Offenlegung des Zusammenhangs zwischen der Unendlichkeitsmaschine und der Exponentialfunktion y = a* n x - inklusive der Möglichkeiten der Veränderung des Funktionsverlaufes über die Einflussfaktoren Umlaufdauer (a) und Zahnraduntersetzung (n). Dynamische Arbeitsblätter Nach der einleitenden Funktionsanalyse - die Einführung der Unendlichkeitsbedingung soll den Schülerinnen und Schülern den Modellbildungscharakter der Übung näher bringen - beginnt die eigentliche Aufgabe: die Bearbeitung von dynamischen Arbeitsblättern mit interaktiven Übungen. Eingegebene Antworten werden auf Richtigkeit überprüft, so dass die Lernenden stets ein Feedback über den Erfolg ihrer Bemühungen erhalten. Differenzierung Der letzte Aufgabenteil der Lernumgebung soll der Binnendifferenzierung während der Bearbeitung der Aufträge dienen. Schülerinnen und Schüler, die mit der Bearbeitung der vorgegebenen Aufgaben fertig sind, können anschließend selbstständig im Netz auf die Suche nach weiteren Unendlichkeitsmaschinen gehen, von diesen die Übersetzung (Zähne der Zahnräder zählen) ermitteln und die Erfüllung der Unendlichkeitsbedingung (Stufen der Unendlichkeitsmaschinen) bestimmen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Diophantische Gleichungen mit Stammbrüchen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Stammbrüche suchen die Schülerinnen und Schüler ausgehend einer bekannten mathematischen Erzählung über den arabischen Kaufmann und sein Erbe Stammbrüche, deren Summe den Wert Eins ergibt.Bei der Suche nach den Stammbrüchen werden einfache Zahlenzusammenhänge erarbeitet. Auch der Spaß an Zahlen steht beim spielerischen Finden von Lösungen im Vordergrund. Ausblicke erfolgen so, dass neue Schreibweisen und Methoden der Mathematik vorgestellt werden. Die Arbeitseinheit lässt sich in Arbeitsgruppen oder -kreisen außerhalb des Unterrichts realisieren. Die Arbeitsblätter sind Grundlage für ein selbstgesteuertes Lernen, bei dem die Schülerinnen und Schüler Schritt für Schritt Hilfestellungen erhalten, um die Problemlösungen selbst zu erarbeiten. Die Arbeitsblätter mit Aufgaben und Lösungen werden den Lernenden sukzessive ausgehändigt. Sie können auch zur Gestaltung eines Schul- oder Regionalwettbewerbs genutzt werden. Empfehlenswert sind dabei Rücksprachemöglichkeiten, um den Schülerinnen und Schülern Hilfen und Rückmeldemöglichkeiten geben zu können.Die Schülerinnen und Schüler sollen in dieser Unterrichtseinheit ein Programm schreiben, das nach einer vorgegebenen Zahl von Stammbrüchen sucht, deren Summe den Wert Eins ergibt. Dabei soll die Anzahl von Stammbrüchen veränderlich sein beziehungsweise für verschiedene Anzahlen verschiede Programmroutinen erarbeitet werden. Die Lernenden bemerken dabei, dass moderne Rechner trotz ihrer enormen Geschwindigkeit noch lange Rechenzeiten für die Bewältigung dieser Aufgaben benötigen. Das macht ihnen die Notwendigkeit optimaler Algorithmen bewusst. Einstieg Sensibilisierung für das mathematische Problem Diese Geschichte kann der Gruppe vorgestellt und danach mit den Schülerinnen und Schülern erörtert werden. Alternativ kann den Lernenden die Geschichte auch mit dem Arbeitsblatt 01 ausgehändigt werden. Über das Gespräch, ob nicht auch andere Testamente mit anderen Zahlen von zu vererbenden Kamelen und auch anderen Anzahlen von Söhnen möglich sind, sollen die Schülerinnen und Schüler für das mathematische Problem sensibilisiert werden. So soll der Kern der Geschichte aus mathematischer Sicht aufgearbeitet werden. Vom Kaufmann, seinen Söhnen und seinen Kamelen "Es lebte in Arabien ein alter Vater, der drei Söhne und 17 Kamele hatte. Als der Greis sein Ende nahen fühlte, versammelte er die Söhne um sich und sprach zu ihnen: "Alles, was ich euch hinterlasse, sind meine Kamele. Teilt sie so, dass der Älteste die Hälfte, der Mittlere ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel erhält." Kaum war dies verkündet, da schloss er die Augen, und die Söhne konnten ihn nicht mehr darauf aufmerksam machen, dass sein letzter Wille offenbar unvollstreckbar sei. Siebzehn ist doch eine störrische Zahl und lässt sich weder durch zwei noch durch drei und schon gar nicht durch neun teilen! Doch der letzte Wille des Vaters ist jedem braven Araber heilig. Da kam zum Glück ein weiser Pilger auf seinem Kamel daher geritten, der sah die Ratlosigkeit der drei Erben und bot ihnen seine Hilfe an. Sie trugen ihm den verzwickten Fall vor, und der Weise riet lächelnd, sein eigenes Kamel zu den hinterlassenen zu stellen und die gesamte Herde nach dem letzten Willen des Vaters zu teilen, und siehe da - der Älteste bekam neun der Tiere, der Mittlere sechs, der Jüngste zwei, das waren eben die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel, und auf dem Kamel, das übrig blieb, ritt der Weise - denn es war das seine - lächelnd davon." (Quelle: Manfred Börgens, Mathematische Probleme, FH Gießen-Friedberg) Die Aufgabe Nachdem die Idee der Geschichte gefunden und das mathematische Problem fixiert ist, sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig Lösungen für andere Anzahlen von Söhnen (und Kamelen) finden. Das Finden sämtlicher Lösungen kann für ein, zwei oder drei Söhne noch von Hand erfolgen. Danach soll mit dem Computer simuliert werden - die Anzahl von Möglichkeiten "explodiert" mit der Zahl der Erben! Bei sieben Söhnen ist es kaum noch möglich mit einer einfachen Simulationen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu bestimmen.Die Schülerinnen und Schülern beweisen einfache Gleichungen. arbeiten selbstorganisiert. setzen Algorithmen in einfache Programmroutinen um. lernen ein einfach klingendes und somit leicht verständliches mathematisches Problem kennen, dessen gesamte Lösung aber noch aussteht. gewinnen in diesem Zusammenhang Einblick in Abschätzungen. Sensibilisierung für das mathematische Problem Diese Geschichte kann der Gruppe vorgestellt und danach mit den Schülerinnen und Schülern erörtert werden. (Alternativ kann den Lernenden die Geschichte auch mit dem Arbeitsblatt "stammbrueche_ab_1.rtf" ausgehändigt werden.) Über das Gespräch, ob nicht auch andere Testamente mit anderen Zahlen von zu vererbenden Kamelen und auch anderen Anzahlen von Söhnen möglich sind, sollen die Schülerinnen und Schüler für das mathematische Problem sensibilisiert werden. So soll der Kern der Geschichte aus mathematischer Sicht aufgearbeitet werden. Vom Kaufmann, seinen Söhnen und seinen Kamelen "Es lebte in Arabien ein alter Vater, der drei Söhne und 17 Kamele hatte. Als der Greis sein Ende nahen fühlte, versammelte er die Söhne um sich und sprach zu ihnen: "Alles, was ich euch hinterlasse, sind meine Kamele. Teilt sie so, dass der Älteste die Hälfte, der Mittlere ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel erhält." Kaum war dies verkündet, da schloss er die Augen, und die Söhne konnten ihn nicht mehr darauf aufmerksam machen, dass sein letzter Wille offenbar unvollstreckbar sei. Siebzehn ist doch eine störrische Zahl und lässt sich weder durch zwei noch durch drei und schon gar nicht durch neun teilen! Doch der letzte Wille des Vaters ist jedem braven Araber heilig. Da kam zum Glück ein weiser Pilger auf seinem Kamel daher geritten, der sah die Ratlosigkeit der drei Erben und bot ihnen seine Hilfe an. Sie trugen ihm den verzwickten Fall vor, und der Weise riet lächelnd, sein eigenes Kamel zu den hinterlassenen zu stellen und die gesamte Herde nach dem letzten Willen des Vaters zu teilen, und siehe da - der Älteste bekam neun der Tiere, der Mittlere sechs, der Jüngste zwei, das waren eben die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel, und auf dem Kamel, das übrig blieb, ritt der Weise - denn es war das seine - lächelnd davon." (Quelle: Manfred Börgens, Mathematische Probleme , FH Gießen-Friedberg) Nachdem die Idee der Geschichte gefunden und das mathematische Problem fixiert ist, sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig Lösungen für andere Anzahlen von Söhnen (und Kamelen) finden. Das Finden sämtlicher Lösungen kann für ein, zwei oder drei Söhne noch von Hand erfolgen. Danach soll mit dem Computer simuliert werden - die Anzahl von Möglichkeiten "explodiert" mit der Zahl der Erben! Bei sieben Söhnen ist es kaum noch möglich mit einer einfachen Simulationen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu bestimmen. Falls Sie Probleme mit den RTF-Dateien haben sollten: das Download-Paket auf der Startseite des Artikels enthält alle Arbeitsblätter auch im PDF-Format.

  • Informatik  / Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Lineare Funktionen interaktiv erkunden

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Lineare Funktionen werden durch den Einsatz interaktiver Webseiten die mathematischen Fähigkeiten ausgebildet, Sachverhalte grafisch darzustellen sowie Sachverhalte aus Graphen abzulesen und zu interpretieren. Auf diese Grundfertigkeit wird in unserer modernen Lebenswelt zurückgegriffen und sollte daher auch in einen zeitgemäßen Mathematikunterricht eingehen.In der Verbindung von Alltagssituationen mit dem Thema Lineare Funktionen soll den Schülerinnen und Schülern in dieser Unterrichtseinheit durch den Einsatz von interaktiven Webseiten ein eigenständiger Wissenserwerb ermöglicht werden. Die Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Mitarbeit des Autors am SINUS-Transfer -Projekt. Sie soll insbesondere aufzeigen, wie Zielsetzungen von SINUS-Transfer durch die Unterstützung von webbasierten Arbeitsblättern umgesetzt werden können.Die Unterrichtseinheit basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die Interaktivität möglich wird, muss jedoch Javascript im Browser aktiviert sein. Die Inhalte der Webseiten sind so konzipiert, dass eine Behandlung der Linearen Funktionen als Voraussetzung zur Bearbeitung der Aufgaben nicht zwingend notwendig ist. Die Aufgaben können sogar als Baustein für den Einstieg in die Thematik Lineare Funktion verwendet werden. Interaktive Arbeitsblätter Die grafische Darstellung der bei Regen steigenden Wasserhöhe in einer Regentonne in Abhängigkeit von der Zeit ist das Thema des ersten interaktiven Arbeitsblattes, das in dieser Unterrichtseinheit zum Einsatz kommt. Wird das Arbeitsblatt für den Einstieg in das Themengebiet "Lineare Funktionen" verwendet, kann hier propädeutisch der Begriff der Steigung erarbeitet werden. Kommt das Online-Arbeitsblatt erst im Verlauf des Themas zum Einsatz, so kann der mathematisch erarbeitete Begriff der Steigung mit neuer anschaulicher Bedeutung gefüllt werden. In dem darauf folgenden zweiten interaktiven Arbeitsblatt sind unterschiedliche Preisangebote eines Kartbahnbetreibers grafisch dargestellt. Es ermöglicht den Schülerinnen und Schülern, die eben erworbenen Kenntnisse in einem neuen Aufgabenumfeld anzuwenden und sich in einem Wettbewerb mit den Mitschülern zu messen. Das "ICH-DU-WIR"-Prinzip Das methodische Konzept der Schweizer Didaktiker Peter Gallin und Urs Ruf zeigt einen Weg zur nachhaltigen Anregung individueller Lernprozesse auf. Unterrichtsverlauf Hinweise zum Verlauf des Unterrichts und zum Einsatz der Arbeitsmaterialien (Arbeits- und Hausaufgabenblatt, Online-Arbeitsblätter) Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler ordnen Texte grafischen Darstellungen zu. entnehmen und interpretieren Informationen aus grafischen Darstellungen. erstellen selbstständig Texte zu grafischen Darstellungen. entwerfen eigene grafische Darstellungen zu Sachverhalten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lösen Aufgaben auf interaktiven Arbeitsblättern am Computer. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit einem Partner oder einer Partnerin zusammen. Die Bearbeitung der Regentonnen-Aufgabe ist nach dem Dreischritt "ICH-DU-WIR" aufgebaut. Dies ist ein methodisches Konzept, das auf die beiden Schweizer Didaktiker Peter Gallin und Urs Ruf zurückgeht. Es zeigt einen Weg auf, wie das Lernen in der Schule organisiert und strukturiert werden kann, um individuelle Lernprozesse nachhaltig anzuregen. Dabei sind die einzelnen Elemente ICH, DU und WIR wie folgt zu verstehen: ICH bedeutet individuelles Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler machen sich in dieser Phase eigenständig mit der Problemstellung der Regentonnen-Aufgabe vertraut, stellen Bezüge zum individuellen Vorwissen her und versuchen selbstständig, Zusammenhänge zu erkennen und Lösungen zu finden. Dabei ist darauf zu achten, dass keine Kommunikation unter den Schülerinnen und Schülern erfolgt. DU bedeutet Lernen mit dem Partner Nach der Bearbeitung der Aufgaben in Einzelarbeit tauschen sich die Schülerinnen und Schüler mit ihrer Partnerin oder ihrem Partner aus. Sie erklären sich abwechselnd ihre Ideen und Lösungsvorschläge, vergleichen diese miteinander oder vollziehen die Gedanken des anderen nach. So kann das eigene Wissen vertieft werden. In Partnerarbeit wird weiter an der vollständigen Lösung gearbeitet. WIR bedeutet Kommunikation im Klassenverband Im Rahmen dieser Phase können die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungen im Klassenplenum präsentieren. Sollten noch Unklarheiten hinsichtlich der Aufgabenlösung bestehen, werden diese hier diskutiert. Die Lehrkraft präsentiert den Sachverhalt mithilfe des Online-Arbeitsblattes per Beamer (siehe Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) und gibt das Arbeitsblatt (arbeitsblatt_regentonne.pdf) an die Schülerinnen und Schüler aus. Diese sollen dann die zehn darauf formulierten Aufgaben ohne Verwendung des Computers in Einzelarbeit bearbeiten. Im Anschluss daran vergleichen sie mit ihrer Partnerin oder ihrem jeweiligen Partner die gefundenen Ergebnisse, stellen Gemeinsamkeiten fest oder diskutieren unterschiedliche Standpunkte. Die individuelle Korrektur der Aufgaben erfolgt dann nicht durch die Lehrkraft, sondern durch den Einsatz von Online-Arbeitsblatt 1. Die Schülerinnen und Schüler rufen erst jetzt die entsprechende Webseite auf, bearbeiten die einzelnen Aufgaben und überprüfen so ihre bisherigen Ergebnisse. Dabei kann es durchaus sein, dass sie ihre Lösungen neu überdenken müssen. Der Computer dient hier als Kontrollinstrument, das zu weiterer Diskussion des Sachverhalts anregen kann. In dieser Phase des Unterrichts sollte es die Lehrkraft vermeiden, sich in die Diskussion der Schülerinnen und Schüler einzuschalten. Ihre Aufgabe besteht ausschließlich im Beobachten, nicht im Bewerten. Die Lehrkraft projiziert die einzelnen Aufgaben des interaktiven Web-Arbeitsblattes zur Regentonne per Beamer. Dazu erläutert jeweils eine Schülerin oder ein Schüler ihre beziehungsweise seine gefundenen Lösungen vor der Klasse. Nun sind die Schülerinnen und Schüler selbst aufgefordert, in Partnerarbeit Texte zu bestehenden Graphen sowie eigene Graphen und dazugehörige Texte zu verfassen. Um eine sich anschließende Diskussion im Klassenverband anschaulich zu gestalten, sollte die Lehrkraft Folien mit den Aufgaben an die einzelnen Teams ausgeben. Anhand dieser Folien kann eine fundierte Bewertung der Ergebnisse erfolgen. Bei der Bearbeitung des interaktiven Arbeitsblattes zur Kartbahn (siehe Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken) sollen die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Preisangebote drei farbigen Graphen zuordnen und anschließend unterschiedliche Aufgaben bearbeiten. Mithilfe des Buttons "Wertung" wird die Eingabe geprüft und Punkte werden vergeben. Mit "Neu fragen" werden neue Aufgaben gestellt. Als besonderer Anreiz besteht dabei die Möglichkeit, die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eintragen zu lassen. Die Unterrichtsstunde beendet die Hausaufgabenstellung (kartbahn_hausaufgabe.pdf), die sich an den zuletzt gestellten Aufgaben des Web-Arbeitsblattes 2 orientiert. Darüber hinaus sollen die Zusammenhänge der Aufgabenstellung, die dem Web-Arbeitsblatt 2 zugrunde liegt, verbalisiert werden. Einsatz motivierender Medien Aufgaben spielen für die Motivierung des Lernens und für ein verständnisvolles Erschließen, Üben und Vertiefen von Wissen eine zentrale Rolle im Mathematikunterricht. Deshalb besteht gerade in der Weiterentwicklung von Aufgabenstellungen und der Form ihrer Bearbeitung ein beträchtliches Potenzial zur weiteren Optimierung des Mathematikunterrichts. Im Rahmen dieser Weiterentwicklung von Aufgaben und Aufgabenumfeldern sollte auch der Einsatz moderner, die Schülerinnen und Schüler motivierender Medien berücksichtigt werden. Spannungsfeld zwischen freiem Arbeiten und Orientierung des Unterrichts Interaktive Arbeitsblätter können durch die Variation von Aufgabenstellungen Lernräume für selbstständiges, eigenverantwortliches und kooperatives Lernen schaffen. Dabei ist jedoch stets das Spannungsfeld zwischen freiem, unabhängigem Arbeiten und der gezielten Orientierung des Unterrichts zu beachten. Einerseits sollten die Schülerinnen ein Aufgabenfeld selbstständig erkunden und so ihr eigenes Wissen und dessen Grenzen ausloten können, andererseits aber auch Rückhalt und Orientierung auf ihrem Lernweg finden. Bei der Erstellung von interaktiven webbasierten Arbeitsblättern gilt es, beides zu berücksichtigen. Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Weitere Informationen zu Modul 1 auf der SINUS-Transfer-Website Unterricht als aktives Geschehen Lehrerzentriertes Unterrichten, das die Schülerinnen und Schüler in einer passiven Rolle des Wissensempfängers belässt, kann sehr leicht zu nachlassendem Interesse am Lerngegenstand führen. Kooperative Arbeitsformen hingegen veranlassen die Schülerinnen und Schüler, zu argumentieren, Gedachtes sprachlich verständlich zu fassen und die Perspektive des jeweils Anderen einzunehmen. Damit wird Unterricht zu einem aktiven Geschehen, das Raum für Entdeckungen aber auch Fragen lässt. Darüber hinaus kann kooperatives Lernen nach dem "ICH-DU-WIR"-Prinzip die Schülerinnen und Schüler beim Aufbau sozialer Kompetenzen unterstützen. Diskutieren, Unterstützen, Präsentieren Der Einsatz von interaktiven webbasierten Arbeitsblättern kann dazu beitragen, ein produktives, motivierendes Arbeitsklima zu schaffen. Der Unterricht erhält zudem ein neues Gestaltungselement und kann somit abwechslungsreicher organisiert werden. Aufgabe der Lehrkraft bleibt es, dafür Sorge zu tragen, dass die Schülerinnen und Schüler nicht allein vor dem Computer bleiben, sondern ihre Beobachtungen und Lösungsideen gemeinsam diskutieren, sich wechselseitig unterstützen und ihre Ergebnisse im Klassenverband präsentieren und diskutieren können. Der vorgelegte Unterrichtsentwurf soll hier eine Anregung bieten. Aufgaben für kooperatives Arbeiten Weitere Informationen zu Modul 8 auf der SINUS-Transfer-Website Üben muss mehr sein als die Anwendung von Routinen Im Mathematikunterricht werden die Schülerinnen und Schüler häufig mit anspruchsvollen Inhalten und komplexen Problemstellungen konfrontiert. Erkenntnis- und Lernfortschritte werden sie nur dann erzielen, wenn sie systematisch und konzentriert vorgehen. Um die notwendige Sicherheit zu gewinnen, muss das neu erworbene Wissen ständig wiederholt und auf unterschiedliche Aufgabenstellungen angewandt und somit geübt werden. Effektives Üben muss dabei über ein bloßes Anwenden von Routinen hinausgehen. Mehr Freiheit durch digitale Medien Der Einsatz von interaktiven Arbeitsblättern zum Interpretieren von unterschiedlichen Graphen kann Möglichkeiten für ein solches Üben bieten. Selbstständiges, nicht ständig durch die Lehrkraft kontrolliertes Bearbeiten von Aufgaben, bei dem der Hinweis auf fehlerhafte Lösungen nicht "öffentlich" wird, stärkt die Schülerinnen und Schüler im Hinblick auf ihr eigenes, selbstverantwortetes Lernen. Ein solches Arbeiten gibt den Schülerinnen und Schülern eine größere Freiheit beim Wissenserwerb, aber auch mehr Verantwortung für das eigene Lernen. Verantwortung für das eigene Lernen stärken Weitere Informationen zu Modul 9 auf der SINUS-Transfer-Website

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Subtraktion ganzer Zahlen mit GeoGebra

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zur Subtraktion ganzer Zahlen wird durch interaktive dynamische Arbeitsblätter eine Veranschaulichung der Subtraktion vermittelt. Die Mathematiksoftware GeoGebra kommt dabei zum Einsatz.Die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellte dynamische Veranschaulichung ermöglicht es Schülerinnen und Schülern, den Zusammenhang zwischen der Addition und der Subtraktion ganzer Zahlen und somit die Regel für die Subtraktion ganzer Zahlen durch angeleitetes, systematisches Probieren selbstständig zu finden. Die direkten Rückmeldungen des interaktiven Arbeitsblattes begleiten die Lernenden auf ihrem individuellen Lernweg, auf dem sie das Lerntempo und den Grad der Veranschaulichung selbst bestimmen. Sie gelangen so durch Veranschaulichung zu der Einsicht, dass man die Subtraktion ganzer Zahlen auf die Addition der Gegenzahl zurückführen kann. Einführung der Subtraktion ganzer Zahlen Hier finden Sie Hinweise zur Funktionsweise und zum Einsatz des dynamischen Arbeitsblattes zur Subtraktion ganzer Zahlen. Vertiefung, Individualisierung und Wettbewerb In der Phase der Anwendung und Vertiefung erfolgt eine Variation der Aufgabenstellungen mithilfe eines interaktiven Arbeitsblattes. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass zwischen der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen ein Zusammenhang besteht. erkennen, dass man die Subtraktion ganzer Zahlen durch die Addition der Gegenzahl ersetzen kann. können die gewonnenen Erkenntnisse auf unterschiedliche Aufgabenstellungen anwenden. Die Unterrichtseinheit basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamische Veranschaulichung realisiert werden kann, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Die folgenden Webseiten können in den Stunden vor der hier vorgestellten Unterrichtseinheit verwendet werden: realmath.de: Das Zahlenpfeilmodell der Subtraktion Die Lernenden sollen die Darstellung ganzer Zahlen mit Zahlenpfeilen und die Subtraktion von natürlichen Zahlen mithilfe des Zahlenpfeilmodells kennen. realmath.de: Der Begriff der Gegenzahl Der Begriff der Gegenzahl einer ganzen Zahl sollte vorbesprochen sein. Hier finden sich Aufgaben für die Einführung und die Grundlegung dieses Begriffs. realmath.de: Welche Zahl muss man zu ... addieren, um ... zu erhalten? Zur Hinführung auf die Subtraktion ganzer Zahlen sollte auf Additionsaufgaben dieser Art nicht verzichtet werden. Das erste Online-Arbeitsblatt dient zur Erarbeitung der Regel für die Subtraktion ganzer Zahlen. Mit dem Button "Aufgabe neu" wird eine entsprechende Aufgabe erzeugt. Die Aufgabe kann anschließend im dynamischen Arbeitsblatt mit den Elementen "Minuend" und "Subtrahend" eingestellt werden. Zeitgleich wird die entsprechende Subtraktion im Zahlenpfeilmodell erzeugt, und das Ergebnis kann abgelesen werden. Dieses wird in das vorgesehene Feld eingetragen. Der Button "Auswertung" dient zur Kontrolle des Ergebnisses. Ist das Ergebnis richtig, so wird die zu dieser Subtraktion gehörige Additionsaufgabe erzeugt. Dabei wird der Minuend zum ersten Summanden, das Ergebnis bleibt erhalten. Nun soll der fehlende zweite Summand in das freie Feld eingetragen werden. Damit wird die Subtraktion durch die Addition der Gegenzahl ersetzt. Mit dem Button "Kontrolle " wird die Eingabe überprüft. Erarbeitungsphase Die Schülerinnen und Schüler probieren, beobachten, ordnen, vermuten und sollen so Schritt für Schritt den Zusammenhang zwischen der Addition und der Subtraktion ganzer Zahlen erkennen. Dazu bearbeiten sie Aufgaben auf die oben angesprochene Weise und halten die Ergebnisse auf dem von der Lehrkraft bereitgestellten Notizblatt fest. Sie sind beim Lösen der Aufgaben durch die dynamische Veranschaulichung ferner aufgefordert, herauszufinden, wie die Subtraktion ganzer Zahlen durch eine zugehörige Addition ersetzt werden kann. Ihre Vermutung können sie dadurch verifizieren, dass sie Aufgaben lösen, ohne dabei die Veranschaulichung zu benutzen. Haben die Schülerinnen und Schüler eine Regel gefunden, so sollen sie diese schriftlich auf dem Notizblatt festhalten. Zusammenfassung Im nächsten Unterrichtsschritt stellen die Lernenden ihre Ideen für den gesuchten Zusammenhang vor. Zusammen mit den Wertungen und Kommentaren der Lehrkraft ergibt sich so das Arbeitsergebnis, das die Lehrkraft als Zusammenfassung auf einer Folie, die dem Arbeitsblatt der Schülerinnen und Schüler entspricht, festhält. Die Einträge werden von den Schülerinnen und Schülern in ihr Arbeitsblatt übernommen. Durch die zusätzlich auf dem Arbeitsblatt eingefügten Zahlenpfeildarstellungen wird noch einmal Schritt für Schritt der Prozess der Regelfindung für alle Schülerinnen und Schüler nachvollziehbar festgehalten. Anwendung Auf dem Schülerarbeitsblatt finden sich zusätzlich einige Aufgaben zur Subtraktion ganzer Zahlen. Diese können anschließend in Auswahl in Partner- oder Einzelarbeit bearbeitet und anschließend besprochen werden. Nicht bearbeitete Aufgabe können als Hausaufgabe verwendet werden. Anwendung mit Wettbewerb Nun folgt eine Phase der Anwendung und Vertiefung durch erste Übungsaufgaben. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Aufgaben des zweiten interaktiven Arbeitsblattes bearbeiten. Online-Arbeitsblatt 2: Übung zur Subtraktion ganzer Zahlen Interaktives Arbeitsblatt mit Variationen der Aufgabenstellungen auf realmath.de, der Website des Autors. Einfacher Aufbau des Arbeitsblattes Der Aufbau des interaktiven Arbeitsblattes ist gemäß der Altersstufe der Schülerinnen und Schüler einfach gehalten. Sie sind hier aufgefordert, das Ergebnis einer Subtraktion aus vier vorgegebenen Antworten auszuwählen. Ist das Ergebnis angeklickt, so kann durch Betätigung des Buttons "Auswertung" die Eingabe überprüft werden. Mit "Neu erstellen" wird per Zufallsgenerator eine neue Subtraktionsaufgabe erstellt. Individuelle Betreuung Im Rahmen der Individualisierung des Unterrichts, indem nun jeweils zwei Schülerinnen und Schüler Aufgaben in Partnerarbeit bearbeiten, kann die Lehrkraft die Arbeitsweise der Schülerinnen und Schüler gezielt beobachten. Die fortwährende Anzeige des erreichten Punktestandes und die Anzahl der bearbeiteten Aufgaben im interaktiven Arbeitsblatt ermöglicht der Lehrkraft, jederzeit zu erkennen, bei welchem Schülerpaar noch Schwierigkeiten bestehen. Hier kann sie gezielt helfen. Schülerinnen und Schüler, die mit den Aufgaben gut zurecht kommen, kann sie durch Lob und Anerkennung ermuntern, weitere Aufgaben zu bearbeiten und ihre Kenntnisse weiter zu vertiefen. Das interaktive Arbeitsblatt bietet zudem einen Wettbewerb, bei dem derjenige gewinnt, der am Ende die meisten Punkte erreicht. Da die Punkte in einer Bestenliste gespeichert werden, kann dies für Schülerinnen und Schüler eine besondere Motivation darstellen. Aufgaben zur Nachbereitung finden sich in allen zugelassenen Schulbüchern. Sollten die im verwendeten PDF-Arbeitsblatt enthaltenen Aufgaben nicht alle gelöst worden sein, so können auch diese als Hausaufgabe verwendet werden. Auf der Webseite des Autors finden sich für die nachfolgenden Unterrichtsstunden sechs weitere interaktive Übungen zur Subtraktion ganzer Zahlen. In der sich im Unterricht anschließenden Übungsphase kann hier die eine oder andere Aufgabe ausgewählt werden, um so die folgenden Unterrichtsstunden abwechslungsreich zu gestalten. realmath.de: Weitere Interaktive Übungen Für die Nutzung muss Javascript aktiviert sein.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Potenzfunktion - Graphen analysieren, Eigenschaften finden

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit wird am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent gezeigt, wie sich Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsmaterialien die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können.Eigenschaften von Potenzfunktionen anhand ihrer Graphen eigenständig zu entdecken und Funktionsgleichungen zu interpretieren ist eine interessante Alternative zur herkömmlichen Einführung der Potenzfunktion. Die dafür notwendige experimentelle Umgebung, die Lernende im Erkenntnisprozess unterstützt und begleitet, wird mithilfe von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisiert. Die Kombination von Übungen am Computer und schriftlicher Zusammenfassungen schafft eine neue und interessante Unterrichtsform. Am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent soll aufgezeigt werden, wie Schülerinnen und Schüler sich die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können. Durch die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen werden sie in die Lage versetzt, sich ihrem eigenen Lerntempo entsprechend mit den Eigenschaften von Potenzfunktionen aktiv auseinander zu setzen. Die inhaltliche Aufbereitung der einzelnen interaktiven dynamischen Arbeitsblätter bietet eine Vorstrukturierung der zu erarbeitenden Unterrichtsinhalte. So leitet die Unterteilung in geradzahlige und ungeradzahlige Exponenten sowie die Vorgabe von jeweils neun zu prüfenden Aussagen zu zielgerichtetem Experimentieren an und unterstützt den individuellen Lernprozess. Die Zahl n als Exponent steht im Folgenden in allen Funktionsgleichungen stets für eine natürliche Zahl. Voraussetzungen und Hinweise zu den Materialien Inhaltliche und technische Voraussetzungen sowie allgemeine Hinweise zum Aufbau und zur Nutzung der Online-Arbeitsblätter Unterrichtsverlauf Hinweise zur Nutzung der einzelnen Arbeitsblätter mit Screenshots Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x -n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax -n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. können anhand vorgegebener Graphen deren Gleichung ermitteln. Inhaltliche Voraussetzungen Das hier vorgestellte Übungskonzept setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler Begriffe wie etwa Funktion, Definitionsmenge und Wertemenge bereits kennen und über grundlegende Kenntnisse zum Thema Symmetrien von Funktionsgraphen verfügen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Die Bedienung aller Online-Arbeitsblätter ist identisch und ermöglicht somit nach einer kurzen Einführung durch die Lehrkraft ein selbstständiges Arbeiten der Schülerinnen und Schüler. Bei allen Arbeitsblättern wird beim Seitenstart der dynamische Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die in der linken Spalte des Arbeitsblatts stehenden 18 Aussagen überprüfen und die zutreffenden jeweils per Mausklick auswählen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Zur Lösungsfindung können sie mit dem Schieberegler n unterschiedliche Funktionsgraphen erzeugen. Wenn die Schülerinnen und Schüler der Ansicht sind, alle Eigenschaften gefunden zu haben, so können sie ihre Lösung mit einem Klick auf den Button "Auswertung" überprüfen lassen. Je nach Richtigkeit und Vollständigkeit der Schülerbeobachtung wird ein entsprechendes Pop-up-Fenster erzeugt. Sind alle Eigenschaften richtig zugeordnet erscheint die Bestätigung: "Ausgezeichnet! Das hast du sehr gut gemacht! Du hast beide Fälle richtig bearbeitet." (Abb. 2a)." Wurde hingegen keiner der beiden Fälle richtig bearbeitet, erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Leider beide Fälle falsch! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2b). Hat eine Schülerin oder ein Schüler einen der beiden Fälle, zum Beispiel "n ist gerade", richtig analysiert und den Fall "n ist ungerade" falsch oder unvollständig beschrieben, so erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Nur ein Fall ist richtig erkannt! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2c). Bei den Rückmeldungen auf unvollständige oder falsche Eingaben erfolgt keine detaillierte Fehleranalyse. Die Schülerinnen und Schüler werden dadurch gezwungen, alle Aussagen erneut auf ihre Richtigkeit zu überprüfen und ihre Beobachtungen zu präzisieren. Funktionen mit der Gleichung y = ax n In einem weiteren Schritt schließt sich im Unterricht die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax n zu Grunde liegt. Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken) sind identisch zum vorhergehenden. Das dynamische Element besitzt zusätzlich einen Schieberegler für den Parameter a. Neben dem Graphen zur Funktion y = ax n wird der Graph zur Funktionsgleichung y = x n dynamisch erzeugt und grau eingezeichnet. Dadurch lassen sich die Veränderungen der Graphen, die durch den Parameter a veranlasst werden, gezielt beobachten. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht wieder darin, die Eigenschaften der Funktionen zu finden. Funktionen mit der Gleichung y = x -n Die Konzeption der zweiten Unterrichtsstunde orientiert sich am Verlauf der vorhergehenden. Nach einer kurzen Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse anhand der dort angefertigten Folie erfolgt eine Einführung in die Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 4) durch die Lehrkraft. Die Schülerinnen und Schüler experimentieren dann wieder eigenständig, um die Eigenschaften der vorliegenden Funktionen zu erkunden. Im Anschluss werden die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten im Arbeitsblatt "hefteintrag_2.pdf" festgehalten. Die Zuordnung der vier Funktionsgraphen im PDF-Arbeitsblatt kann wieder in Partnerarbeit als Element einer Ergebnissicherung verwendet werden. Funktionen mit der Gleichung y = ax -n Es schließt sich im weiteren Verlauf der Unterrichtsstunde die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax -n zu Grunde liegt (Abb. 5). Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts sind im Wesentlichen wieder identisch zum vorhergehenden. Zusätzlich besitzt das dynamische Element des Arbeitsblatts einen Schieberegler für den Parameter a. Der Graph zur Funktionsgleichung y = x -n wird ebenfalls wieder erzeugt und grau eingezeichnet. Haben die Schülerinnen und Schüler die Eigenschaften gefunden, können sie erneut ihre Angaben mit einem Klick auf den Button "Auswertung" prüfen lassen. Graphen werden Funktionsgleichungen zugeordnet Mit den Übungen der dritten Unterrichtsstunde können die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse bezüglich der Eigenschaften von Potenzfunktionen weiter vertiefen und auf unterschiedliche Graphen anwenden. Das dynamische Arbeitsblatt (Abb. 6) weist die gewohnte Zweiteilung auf. In der linken Spalte sind zwölf Funktionsgleichungen vorgegeben. Beim Seitenstart oder nach dem Klick auf den Button "Neue Aufgabe" wird in der rechten Spalte des Arbeitsblatts der Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Dabei kann zur Lösungsfindung ein Punkt auf dem jeweiligen Graphen bewegt werden, dessen Koordinaten fortlaufend aktualisiert und angezeigt werden. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht darin, die richtige Gleichung für den gezeichneten Graphen anzugeben, in dem sie diese per Mausklick aus den gegebenen Gleichungen auswählen. Nach einem Klick auf den Button "Auswertung" erhält die Schülerin oder der Schüler eine der Eingabe entsprechende Rückmeldung. Differenzierte Auskunft über Schülerleistungen Die Rückmeldung gibt dabei neben der Bewertung der Schülerlösung zusätzlich Auskunft darüber, wie viele Lösungsversuche die Schülerin oder der Schüler für die aktuelle Aufgabe benötigt hat, wie viele Versuche insgesamt unternommen wurden und wie viele Aufgaben bisher gelöst wurden. Die beobachtende Lehrkraft erhält so einen schnellen Überblick über die Leistungsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Schriftliches Formulieren, um Kenntnisse zu festigen und zu vertiefen An diese Übung am Computer schließt sich wieder eine Zusammenfassung mit einer herkömmlichen Übung an. Dabei kommt das Arbeitsblatt "potenzfunktionen_quiz.pdf" zum Einsatz. Auch hier sollen Funktionsgraphen Funktionsgleichungen zugeordnet werden. Doch sollten die Schülerinnen und Schüler nun zusätzlich schriftlich festhalten, an welchen Besonderheiten des Graphen sie die Funktionsgleichung bestimmt haben. Das schriftliche Formulieren von gewonnenen Erkenntnissen ist nach einer am Computer durchgeführten Übung immer notwendig, damit sich die Lernenden mit der den Aufgaben zu Grunde liegenden Struktur auseinandersetzen und so ihre Kenntnisse weiter festigen und vertiefen können.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Gleichungen und Ungleichungen - Fehler produktiv nutzen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Gleichungen und Ungleichungen" wird den Schülerinnen und Schülern durch interaktive, webbasierte Arbeitsmaterialien aufgezeigt, wie sie Fehler produktiv nutzen können.Der "Fehler" ist im Unterricht für viele Schülerinnen und Schüler ein mit negativen Assoziationen belegter Begriff. Wer Fehler macht, der kann etwas nicht. Dabei kann gerade im Mathematikunterricht ein nachhaltiger Lernerfolg erreicht werden, wenn man lernt, Fehler zu erkennen, ihre Ursachen zu beschreiben und das Wissen um Fehler produktiv umzusetzen. Die Verwendung webbasierter interaktiver Arbeitsblätter zum Thema Gleichungen und Ungleichungen ermöglicht Schülerinnen und Schülern in dieser Unterrichtseinheit einen neuen Umgang mit Fehlern. Die eingesetzten Online-Arbeitsblätter sind Bestandteil der umfangreichen Unterrichtsmaterialien von realmath.de . Bei der Bearbeitung des ersten Arbeitsblattes analysieren die Schülerinnen und Schüler die Hausaufgaben des fiktiven Geschwisterpaares Paul und Paula, suchen Fehler und beschreiben deren Ursachen. Anschließend begegnen sie in einem zweiten Online-Arbeitsblatt Aufgabenstellungen, bei denen sie ihre Fehleranalyse produktiv umsetzen können: Sie bauen ganz bewusst Fehler in Gleichungen ein, die ihre Partnerin oder ihr Partner dann korrigieren soll. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Mitarbeit am SINUS-Transfer -Projekt. Sie soll insbesondere aufzeigen, wie Zielsetzungen von SINUS-Transfer durch die Unterstützung webbasierter Arbeitsblätter umgesetzt werden können (Modul 3: Aus Fehlern lernen).Das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen sowie das Inversions- und Distributivgesetz müssen bereits besprochen und an Beispielen behandelt worden sein. Die Unterrichtseinheit selbst basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Methodische Vorgehensweise Wie können die negativen Vorerfahrungen der Schülerinnen und Schüler mit dem Begriff "Fehler" ins Positive gewendet werden? Unterrichtsverlauf "Gleichungen und Ungleichungen" Beschreibung der Unterrichtsphasen, Hinweise zum Einsatz der Arbeitsmaterialien und Screenshots der Online-Arbeitsblätter Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Aus Fehlern lernen - Schwerpunkt von SINUS-Modul 3 ist die Rehabilitierung des Fehlers als Lerngelegenheit. Die Schülerinnen und Schüler sollen Fehler in bearbeiteten Gleichungen und Ungleichungen finden. Fehler und deren Ursachen beschreiben. das Wissen über Fehler kreativ und produktiv umsetzen. Mit Fehlern produktiv umgehen Fehler wirken auf Schülerinnen und Schüler oft demotivierend, da sie häufig Fehler mit Versagen gleichsetzen. Diese negativen Vorerfahrungen gilt es ins Positive zu wenden, wenn Schülerinnen und Schüler lernen sollen, produktiv mit ihren Fehlern umzugehen. Lernen aus fremden Fehlern Dem Problem der Demotivation kann begegnet werden, wenn fremde und nicht eigene Fehler als Lerngegenstand herangezogen werden. Das erste interaktive Online-Arbeitsblatt dieser Unterrichtseinheit bedient sich einer solchen Ausgangslage: Die fiktiven Geschwister Paul und Paula kommen bei ihren Hausaufgaben zu unterschiedlichen Ergebnissen. Diese sollen nun von den Schülerinnen und Schülern analysiert und auf Fehler hin untersucht werden. Die Lernmotivation wird bei dem Online-Arbeitsblatt zusätzlich dadurch erhöht, dass die Suche nach fremden Fehlern als Wettbewerb organisiert ist, in dem die Lernenden Punkte sammeln. Da fremde Fehler auch immer Muster eigener Fehler beinhalten, kann das Analysieren und Beschreiben fremder Fehler zu einem Kompetenzzuwachs für den Umgang mit eigenen Fehlern führen. Fehler machen als Aufgabe Fehler machen ist erwünscht; besonders schöne Fehler bringen Anerkennung durch Mitschüler und Lehrkraft: Dies klingt beim ersten Hinhören für Schülerinnen und Schüler paradox. Doch man kann auch aus Fehlern lernen, wenn man diese ganz bewusst macht. In jedem Fehler stecken verwertbare Ansätze, und das Wissen um einen potentiellen Fehler trägt dazu bei, diesen selbst nicht mehr zu wiederholen. Das Problem Ein Problem beim Einsatz eines interaktiven webbasierten Arbeitsblattes in Verbindung mit Multiple-Choice-Aufgaben besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler einfach per Mausklick alle Möglichkeiten ausprobieren können, ohne sich mit der eigentlichen Problematik der Fehlersuche und der Fehleranalyse auseinander zu setzen. Dem gilt es, methodisch zu begegnen. Technischer Ansatz: Punkte als Anreiz Dies geschieht durch die Gestaltung des interaktiven Arbeitsblattes. Durch die Vergabe von Punkten für das Finden des Fehlers und Punktabzug bei falschen Entscheidungen werden die Schülerinnen und Schüler motiviert, konzentriert und nachhaltig zu arbeiten. Zudem werden die Aufgaben jeweils von einem Schülerpaar bearbeitet, so dass sich die Lernenden auch gegenseitig in ihrem Verhalten kontrollieren. Doch auch dies dürfte das Problem des willkürlichen Klickens noch nicht gänzlich lösen. Methodischer Ansatz: Bearbeitungsvariationen Die Bearbeitung der Aufgaben des Online-Arbeitsblattes geschieht daher in einem Dreierschritt. Zuerst bearbeiten die Schülerinnen und Schüler die Aufgaben am Computer. Anschließend bekommen sie eine Auswahl der Aufgaben mit den Fehlern noch einmal als herkömmliches Arbeitsblatt vorgelegt, verbunden mit der Aufforderung, die Fehler anzukreuzen und als vertiefendes Element den jeweiligen Fehler und dessen Ursache schriftlich zu beschreiben. Abschließend wird das Online-Arbeitsblatt erneut mit einem Beamer projiziert und die Schülerinnen und Schüler tragen im Klassenverband ihre jeweilige Fehleranalyse vor. Durch dieses Vorgehen wird eine nur oberflächliche Bearbeitung der Aufgaben nahezu ausgeschlossen. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Online-Arbeitsblatt 1 (siehe Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) in Partnerarbeit. Anschließend gibt die Lehrkraft das Arbeitsblatt aus. Hier sollen die Schülerinnen und Schüler die Aufgaben lösen und die Fehler sowie deren Ursachen schriftlich auf dem Arbeitsblatt festhalten. Dies geschieht ohne Verwendung des Online-Arbeitsblattes. Die Lehrkraft projiziert die einzelnen Aufgaben des interaktiven Online-Arbeitsblattes per Beamer. Dazu erläutert jeweils eine Schülerin oder ein Schüler vor der Klasse die Art des Fehlers und erklärt die richtigen Umformungen. Das zweite interaktive Online-Arbeitsblatt (Abb. 2) kann aufgrund der Programmierung variabel eingesetzt werden. Das Arbeitsblatt dient eigentlich dazu, Gleichungen durch Äquivalenzumformungen zu lösen. Nach jeder Umformung - egal welcher Art - kann diese durch einen Klick auf den Button "Umformungen prüfen" kontrolliert werden. Das Arbeitsblatt kann aber auch genutzt werden, um Fehler bewusst einzubauen. Dies war die in dieser Unterrichtseinheit durchgeführte Variante. Hier waren die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, in Partnerarbeit Fehler in die Aufgaben einzubauen. Die jeweilige Partnerin beziehungsweise der jeweilige Partner sollte diesen dann finden und korrigieren (Abb. 3). Die Lehrkraft startet Online-Arbeitsblatt 2 erneut und projiziert es per Beamer. Ausgewählte Schülerinnen oder Schüler tragen auf dem Lehrerrechner ihren Fehler ein und präsentieren diesen der Klasse. Die Mitschülerinnen und Mitschüler sind nun aufgefordert, den Fehler zu finden, ihn verbal zu beschreiben und zu verbessern. Die Hausaufgabe besteht darin, dass sich die Schülerinnen und Schüler selbst Aufgaben mit fehlerhaften Umformungen erstellen, diese auf eine leere Hausaufgaben-Folie schreiben und in der darauf folgenden Stunde präsentieren. Fehler als Lerngelegenheiten Wenn die von Schülerinnen und Schülern im Alltag erworbenen Vorstellungen und Deutungsmuster auf die stringenten und prozeduralen Vorstellungen des Mathematikunterrichts stoßen, entwickelt sich Lernen notwendigerweise auch als Prozess des Fehlermachens und der Fehlerkorrektur. Fehler sollten jedoch weniger als Versagen, sondern vielmehr als Lerngelegenheiten gesehen werden, die es zu nutzen und nicht zu verpassen gilt. Lernförderung statt Bewertung Obwohl Fehler immer individuell und im Einzelnen kaum prognostizierbar sind, gibt es gerade beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen häufig Regel-, aber auch Verständnisfehler. Fehler, die sich durch eine gemeinsame Fehlerlogik auszeichnen, sind für eine produktive Nutzung im Unterricht besonders geeignet. Dies setzt jedoch voraus, dass Fehlermachen im Unterricht ohne Bewertung und Beschämung erlaubt ist und adäquate Handlungsroutinen verfügbar sind, um mit Fehlern lernfördernd umgehen zu können. Kreatives Lernen Interaktive und flexibel im Unterricht einsetzbare Online-Arbeitsblätter eignen sich in diesem Zusammenhang sehr gut, um mit Fehlern spielerisch und kreativ umzugehen. Schülerinnen und Schüler können bei Anderen Fehler suchen und deren Ursache erforschen. Sie erfahren so, dass Fehler nicht nur bei Ihnen auftreten, sondern alltäglich sind. Zudem fördert dies die Einsicht, dass es sich lohnt, Fehler zu analysieren und zu verbessern. Darüber hinaus dürfen und sollen sie sogar in dieser Unterrichtseinheit Fehler machen. Für diese Aufgabenstellung bieten flexibel einsetzbare interaktive Arbeitsblätter Raum für einen ungezwungenen und produktiven Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht. Aus Fehlern lernen Weitere Informationen zu Modul 3 auf der SINUS-Transfer-Website

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Ganze Zahlen - Grundrechenarten verbinden und anwenden

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Ganze Zahlen" werden die Grundrechenarten mit ganzen Zahlen durch interaktive Arbeitsmaterialien eingeübt, indem die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verbunden werden.Nach einer Unterrichtsphase, in der die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit ganzen Zahlen getrennt betrachtet wurden, um die einzelnen Rechenregeln zu stabilisieren, ist es notwendig, die Grundrechenarten miteinander zu verbinden. Dabei sollten die bisher erworbenen Kenntnisse vertieft und auf Aufgaben in neuem Kontext angewandt werden. In dieser Unterrichtseinheit werden drei unterschiedliche Übungsmöglichkeiten vorgestellt, mithilfe derer das Rechnen mit ganzen Zahlen vertieft werden kann. Anhand von zwei Übungen soll dabei zuerst das Ausgangsniveau gesichert werden. Darin werden noch einmal die Kenntnisse zur Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen auf einen aktuellen Stand gebracht. Durch die Verwendung von variablen Rechenbäumen werden in einem zweiten Schritt die Rechenarten miteinander verbunden. Abschließend wird das bereits im Bereich der Dezimalzahlen behandelte arithmetische Mittel in Verbindung mit dem Rechnen mit ganzen Zahlen aufgefrischt und in einen Anwendungskontext, der Ermittlung von Durchschnittstemperaturen, gestellt.Interaktive dynamische Arbeitsblätter können durch die automatische Kontrolle der Ergebnisse und Rückmeldungen, die den Schülerinnen und Schülern eine eigenständige Fehleranalyse ermöglichen, einen wertvollen Beitrag zur Vertiefung der erworbenen Kenntnisse leisten. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Aufbau und Funktionsweise der interaktiven Arbeitsblätter werden erläutert. Die Lernenden können eigenständig mit ihnen arbeiten. Erste Unterrichtsstunde In der einführenden Stunde lösen die Lernenden Aufgaben zur Multiplikation und Addition positiver und negativer ganzer Zahlen. Zweite Unterrichtsstunde Anhand von variablen Rechenbäumen sollen die Schülerinnen und Schüler drei fehlende ganze Zahlen ermitteln. Dritte Unterrichtsstunde Das Rechnen mit positiven und negativen ganzen Zahlen wird in einen Anwendungskontext zur Ermittlung von Durchschnittstemperaturen gestellt. Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihre Kenntnisse im Bereich der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen. erlangen durch die Kombination von Grundrechenarten im Bereich der ganzen Zahlen Sicherheit im Rechnen. können das arithmetische Mittel auf ganze Zahlen anwenden. können mithilfe des arithmetischen Mittels auf Ausgangswerte schließen. Das hier vorgestellte Übungskonzept setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler die Grundrechenarten in Bezug auf die ganzen Zahlen und das arithmetische Mittel bereits kennen. Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet insgesamt bis zu acht HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Aufgabenstellungen bei den Übungen mit den Rechenbäumen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Beschreibung des Aufbaus der Arbeitsblätter Der Aufbau der Web-Arbeitsblätter folgt einer einheitlichen Grundstruktur. Alle Arbeitsblätter sind in zwei Spalten unterteilt (Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken). In der linken Spalte finden sich Hinweise auf die Bedienung, wie etwa eingegebene Ergebnisse überprüft beziehungsweise neue Aufgaben erzeugt werden können. Die eigentliche Aufgabestellung findet sich immer in der rechten Spalte des Arbeitsblatts. Diese beinhaltet die interaktiven Elemente sowie das Rückmeldefenster und den aktuellen Punktestand. Rückmeldungen als Ausgangspunkt für eine eigenständige Fehleranalyse Eines der zentralen Elemente interaktiver dynamischer Arbeitsblätter ist die Rückmeldung auf eine Schüleraktivität. Ist eine Aufgabe richtig gelöst, so beinhaltet diese eine positive Verstärkung, wie zum Beispiel "Ausgezeichnet!" oder "Das hast du sehr gut gemacht!". Wurde hingegen die Aufgabe fehlerhaft bearbeitet, so gibt es je nach Aufgabenstellungen unterschiedliche Rückmeldungen. Dies kann einerseits die Ausgabe der richtigen Lösung sein, die die Schülerinnen und Schüler in die Lage versetzt, ihre Eingabe mit der korrekten Lösung zu vergleichen und so den gemachten Fehler einzuordnen. Ferner kann bei komplexeren Aufgaben die Rückmeldung neben der korrekten Lösung auch einen möglichen Rechenweg beinhalten. So kommt gerade den Rückmeldungen im Hinblick auf den Umgang mit Fehlern eine zentrale Bedeutung zu. Eigene Fehler selbstständig zu analysieren und deren Ursachen zu erkennen, ermöglicht den Schülerinnen und Schülern auf diese Weise ein eigenständiges und eigenverantwortliches Lernen. "Fehler machen" wird in diesem Zusammenhang nicht als Versagen, sondern als Lernchance verstanden. Flexibilität interaktiver dynamischer Arbeitsblätter Bei der Konzeption der Arbeitsblätter ist als zweites wesentliches Element die flexible Verwendung der Arbeitsblätter von großer Bedeutung. Flexibel bedeutet hier einerseits, dass die Materialien wie in diesem Unterrichtsverlauf beschrieben verwendet werden können. Es ist aber auch möglich, nur einen Teil dieser Arbeitsblätter zu verwenden, da die einzelnen Übungen voneinander unabhängig sind. Flexibel bedeutet ferner, dass sich weder Lehrkräfte noch Schülerinnen und Schüler in die Handhabung einarbeiten müssen, sondern sie die Arbeitsblätter ohne jegliche zusätzliche Werkzeugkompetenz an beliebiger Stelle im Unterricht verwenden können. Nach einer kurzen Einführung durch die Lehrkraft in die Funktionsweise des Online-Arbeitsblatts sollen die Schülerinnen und Schüler aus sechs vorgegebenen ganzen Zahlen jeweils zwei auswählen, deren Produktwert maximal beziehungsweise minimal ist. Die Rückmeldung gibt auf falsche Eingaben zum einen die Produktwerte aus, die sich auf Grund der Schülereingaben ergeben, zum anderen auch die korrekten maximalen und minimalen Produktwerte. Auf eine Angabe der richtigen beiden Zahlen wird bewusst verzichtet. So müssen sich die Schülerinnen und Schüler mit den Rückmeldungen auseinandersetzen und die Ursachen ihres Fehlers selbst erforschen. Im Anschluss an die Bearbeitung der Aufgaben am Computer können die Lernenden die Aufgaben des zugehörigen PDF-Arbeitsblatts (grundrechenarten_verbinden_ab_1.pdf, Aufgaben 1 bis 5) lösen und die Ergebnisse und ihre zugehörigen Überlegungen im Klassenplenum vorstellen. Dabei können auch gemachte Fehler während der Arbeit am Computer thematisiert werden. Nach einer kurzen Erläuterung der Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts durch die Lehrkraft sollen die Schülerinnen und Schüler zwei ganze Zahlen finden, die durch ihren Summen- und Produktwert beschrieben sind. Die Rückmeldung gibt auf falsche Eingaben zum einen die beiden richtigen Zahlen aus. Daneben wird aber auch der Produkt- und Summenwert ausgegeben, der sich aus den Zahlen ergibt, die die Schülerin oder der Schüler eingegeben hat. Diese zusätzliche Angabe kann wieder der Ausgangspunkt einer Diskussion über vorgekommene Fehler sein. Die Unterrichtsstunde endet mit der Besprechung der Aufgaben des PDF-Arbeitsblatts (grundrechenarten_verbinden_ab_1.pdf, Aufgaben 6 bis 10), die als Hausaufgabe gegeben werden können. Eine interessante Hausaufgabenstellung in diesem Zusammenhang ergibt sich dann, wenn die Lernenden beschreiben sollen, welche Fehler bei der Bearbeitung der beiden Web-Arbeitsblätter (Online-Arbeitsblatt 1 und 2) auftreten können. So reflektieren sie noch einmal die Unterrichtsstunde und deren Inhalte. Nach der Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven Arbeitsblatts sollen die Schülerinnen und Schüler drei fehlende Ergebnisse in Rechenbäumen ermitteln. Die Übung beinhaltet variabel gestellte Aufgaben zu den Grundrechenarten. Die Rückmeldung gibt auf falsche Eingaben jeweils nur die richtigen Zahlenwerte aus. Dieser Aufgabentyp ist für leistungsschwächere Lernende gut geeignet, um Sicherheit im Umgang mit den Grundrechenarten in Bezug auf die ganzen Zahlen zu gewinnen. Das Erzielen von Punkten kann die Motivation für diese Schülergruppe noch zusätzlich hoch halten. Begabtere Schülerinnen und Schüler hingegen werden diese Übung rasch als langweilig empfinden. Für diese Gruppe gilt es, einen zusätzlichen Anreiz zu schaffen. Dynamische Arbeitsblätter bieten hier eine gute Möglichkeit, Unterricht zu differenzieren. Dies soll mit dem folgenden Beispiel verdeutlicht werden. Da die Bedienung des Arbeitsblatts identisch zum vorhergehenden ist, kann für die Gruppe der leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler auf eine Einführung verzichtet werden. Die Besonderheit der neuen Aufgabestellung ist darin zu sehen, dass nun nicht mehr Summen-, Differenz-, Produkt- oder Quotientenwerte ermittelt werden sollen, sondern je nach Aufgabestellung unterschiedliche Elemente aus Summen, Produkten, Differenzen oder Quotienten zu bestimmen sind. Die Rückmeldung gibt auf falsche Eingaben wieder jeweils nur die richtigen Zahlenwerte aus. Zusätzliche Motivation kann sich daraus ergeben, dass die Schülerinnen und Schüler dieser Gruppe abschließend aufgefordert werden, ihre Lösungsstrategie anhand einer Aufgabe auf dem zugehörigen PDF-Arbeitsblatt (grundrechenarten_verbinden_ab_2.pdf) der Klasse vorzustellen. Als Hausaufgabe können die im Unterricht nicht bearbeiteten Aufgaben des PDF-Arbeitsblatts gestellt werden. Grundaufgabe Mit der Übung in einer dritten Unterrichtsstunde können die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse bezüglich der Grundrechenarten mit ganzen Zahlen weiter vertiefen und auf eine Aufgabenstellung anwenden, die sie bereits in anderen Zahlbereichen bearbeitet haben. Anhand von vier vorgegebenen Temperaturen soll die Durchschnittstemperatur ermittelt werden. Die Lehrkraft kann anhand eines Beispiels des zugehörigen PDF-Arbeitsblatts (grundrechenarten_verbinden_ab_3.pdf) beispielhaft eine Aufgabe ansprechen und den Begriff des arithmetischen Mittels wiederholen. In der folgenden Übungsphase arbeiten die Lernenden weitgehend selbstständig. Die Rückmeldung gibt auf falsche Eingaben den zugehörigen Berechnungsweg und die richtige Lösung aus. Wie in der Unterrichtsstunde vorher, gibt es auch hier die Möglichkeit einer unterrichtlichen Differenzierung durch die Variation der Aufgabenstellung. Aufgabenvariationen Bei der zweiten Übung in diesem Zusammenhang sind die Durchschnittstemperatur und drei Messwerte gegeben. Die Schülerinnen und Schüler sollen den fehlenden vierten Messwert ermitteln. Inwieweit die Lehrkraft Hilfestellungen oder Anleitungen geben möchte, kann sie hier selbst entscheiden. Das zugehörige PDF-Arbeitsblatt stellt Aufgaben zur Verfügung, die beispielhaft bearbeitet werden können. Viel interessanter ist es meines Erachtens jedoch, die Lernenden selbstständig Lösungsstrategien für diesen Aufgabentyp finden zu lassen. Da die Rückmeldung neben der Bewertung der Schülerlösung zusätzlich Auskunft darüber gibt, wie viele Punkte die Schülerin oder der Schüler erreicht hat, kann sich die die Übung beobachtende Lehrkraft rasch einen Überblick über die Leistungsfähigkeit ihrer Schülerinnen und Schüler verschaffen. Für den weiteren Unterrichtsverlauf stehen bei Bedarf weitere Aufgabentypen zur Verfügung, bei denen zwei oder alle Messwerte bei vorgegebener Durchschnittstemperatur fehlen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I