Mit einer interaktiven Lernumgebung auf der Basis der Tabellenkalkulation Excel erkunden Schülerinnen und Schüler die Monte-Carlo-Methode zur Bestimmung von Flächeninhalten. Ein integriertes Hilfesystem unterstützt die Lernenden beim selbstständigen und kooperativen Arbeiten. Die Monte-Carlo-Methode ist in den vierziger Jahren des 20. Jahrhunderts im Rahmen des Manhattan-Projekts entstanden, um die zufällige Diffusion von Neutronen in spaltbarem Material zu simulieren. Bei der Namensgebung der Methode stand tatsächlich das weltberühmte Casino in Monte-Carlo Pate, denn die ersten Tabellen von Zufallszahlen hat man aus den Ergebnissen der Roulettspiele, die in diesem Casino regelmäßig ausgehängt wurden, gewonnen. Bei der Monte-Carlo-Methode handelt es sich um numerische Verfahren, die mithilfe von Zufallszahlen mathematische Probleme lösen beziehungsweise simulieren. So können Probleme, die deterministischer Art sind, zum Beispiel Berechnungen von Integralen, Berechnung von Summen, im Rahmen einer stochastischen Genauigkeit (Gesetz der großen Zahlen) näherungsweise gelöst werden. Problemstellungen, die probabilistischer Natur sind, zum Beispiel Warteschlangenprobleme, Lagerhaltungskosten, Versicherungsprobleme, können dagegen nur simuliert werden. Im Folgenden wird die Monte-Carlo-Methode genutzt, um Problemstellungen zum Thema Flächeninhalt näherungsweise zu lösen. Voraussetzungen, Ablauf der Unterrichtseinheit, Materialien Die vorliegende Lerneinheit ist zum selbstständigen Arbeiten am Computer konzipiert. Das individuelle Lernen wird durch verschiedene interaktive Elemente unterstützt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Monte-Carlo-Methode erläutern können. den Flächeninhalt eines Kreises mit der Monte-Carlo-Methode näherungsweise berechnen können. erkennen, dass durch die Erhöhung der Anzahl der Zufallspunkte die Wahrscheinlichkeit für das Abweichen des approximativ berechneten Ergebnisses vom algebraisch berechneten Ergebnis abnimmt. mithilfe der Monte-Carlo-Methode den Flächeninhalt unter einer Parabel approximieren können. mithilfe einer Tabellenkalkulation Monte-Carlo-Methoden rechnerisch durchführen können. Thema Bestimmung von Flächeninhalten mit der Monte-Carlo-Methode Autor Thomas Borys Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Einzelarbeit) Software Microsoft Excel Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menu "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Als Lernvoraussetzungen sind grundlegende Kenntnisse im Umgang mit einer Tabellenkalkulation notwendig, wie zum Beispiel die Eingabe von Rechenoperationen. Weiterführende Kenntnisse, wie das Erzeugen von Zufallszahlen, werden nicht vorausgesetzt. Diese können selbstständig erarbeitet werden. Erarbeitung der notwendigen Kenntnisse im Umgang mit EXCEL Auf der Start-Seite der interaktiven Lerneinheit werden die Schülerinnen und Schüler nach ihren Excel-Kenntnissen gefragt. Je nach Antwort werden sie mit Hyperlinks weiter geleitet. Nach entsprechender Auswahl können die Schülerinnen und Schüler die Eingabe von Zufallszahlen und die Eingabe von Wenn-Funktionen erlernen beziehungsweise bereits Bekanntes vertiefen. Auch steht eine weitere zielorientierte Übung zur Verfügung Zentrale Problemstellung Die Einführung in die Monte-Carlo-Methode erfolgt an Hand der näherungsweisen Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises mit einem Radius Eins. Dazu steht den Schülerinnen und Schülern ein ausführliches Aufgabenblatt zur Verfügung. Unterstützt werden sie unter anderem durch ein interaktives Schaubild, nach dem Erzeugen der Zufallspunkte erscheinen diese auch im Schaubild. Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten Zur weiteren Vertiefung der Monte-Carlo-Methode stehen noch sechs weitere Aufgabenblätter zur Verfügung. Die ersten beiden Aufgabenblätter vertiefen die näherungsweise Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises. Des Weiteren wird der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis thematisiert. Die beiden folgenden Arbeitsblätter behandeln die Thematik "Flächeninhalt unter einer Geraden", wobei auch hier der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis möglich ist. Die letzten beiden Aufgabenblätter geben schon einen kleinen Einblick in die Integralrechnung, denn die Schülerinnen und Schüler sollen den Flächeninhalt unter einer Parabel bestimmen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). An dieser Stelle wird die Notwendigkeit der Monte-Carlo-Methode richtig plastisch: Die Lernenden sind durch diese Methode in der Lage, einen Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, den sie algebraischen noch nicht berechnen können. Makros aktivieren Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menü "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Dateien mit und ohne Blattschutz Die erste Tabelle (monte_carlo.xls) ist so angelegt, dass die Lehrperson diese komplett ändern kann. Allerdings können auch die Lernenden Dinge verändern, die sie eigentlich nicht ändern sollten. Die zweite Tabelle (monte_carlo_schutz.xls) ist mit dem für Excel üblichen Blattschutz teilweise geschützt, das heißt die Schülerinnen und Schüler können nur auf gewissen Feldern Eintragungen vornehmen, die nicht geschützt sind. Dopfer, G., Reimer, R. Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht, Klett Verlag, Stuttgart 1995 Engel, A. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1, Klett Studienbücher, Stuttgart 1973 Hermann, D. Monte-Carlo-Integration, in: Stochastik in der Schule, 12 (1), 1992, Seite 18-27

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung müssen sich laut Theorie ja mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Aber wie geht das? Eine andere interessante Frage lautet: Wie kann man die komplexen Lösungen einer quadratischen Gleichung sichtbar machen? Der Blick über den reellen Tellerrand schafft dabei eine neue Sicht auf die Lösungen von Gleichungen.Quadratische Funktionen mit reellen Koeffizienten haben in R zwei Nullstellen, eine doppelte oder gar keine Nullstelle. Diese Lösungen kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren, falls diese reell existieren. GeoGebra zeigt, wie es geht. Die analytische Bestätigung dieser Konstruktion stellt sich als sinnvolle algebraische Aufgabe. Im komplexen Zahlenbereich hingegen hat laut Hauptsatz der Algebra eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen (inklusive doppelte Nullstelle), die man im Funktionsgraphen aber nicht zu sehen bekommt, wenn sie komplex sind.Auf zwei verschiedene Arten sollen diese komplexen Lösungen sichtbar gemacht werden. Zum Einsatz kommen dabei die frei zugänglichen Mathematik-Programme GeoGebra und wxMaxima. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind die Voraussetzungen und die verwendeten Materialien für diese Unterrichtseinheit genauer beschrieben. Anregungen und Erweiterungen Weitere Vorschläge zu Anwendungen mit höhergradigen Polynomen sind hier aufgeführt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die Problematik der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bewältigen. das Rechnen mit komplexen Zahlen üben. Funktionen mit zwei Variablen und deren Darstellung als Flächen im Raum kennen lernen. den Einsatz von Funktionen und Ortslinien in GeoGebra trainieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen im Umgang mit verschiedenen Software-Programmen vertraut werden. die Mathematiksoftware wxMaxima anwenden. die Mathematiksoftware GeoGebra anwenden. Thema Quadratische Gleichung Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin und Schüler, die (kostenfreie) Software GeoGebra und wxMaxima sollte installiert sein. Literatur Richard Courant, Herbert Robbins Was ist Mathematik?, 5. Auflage Springer 2000, ISBN 3-540-63777-X, Seite 204 Inhaltliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler können quadratische Gleichungen ohne Mühe lösen. Sie verstehen das Konzept der komplexen Zahlen und können mit ihnen rechnen, etwa den Betrag oder das Einsetzen in einen quadratischen Term. Die Lernenden kennen den Hauptsatz der Algebra und verstehen seine Bedeutung für die Lösbarkeit von Gleichungen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf dem Rechner installiert und Javascript aktiviert sein. Nachdem im komplexen Zahlenbereich eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen hat, sollen diese komplexen Lösungen auf zwei verschiedene Arten sichtbar gemacht werden: Mit der komplexen Funktion wird ein Kreis in eine aufgefaltete Bildkurve transformiert, die dynamisch zu den Lösungen führt. Der Real- beziehungsweise Imaginärteil der zugehörigen komplexen Funktion wird als Fläche im Raum dargestellt. Damit erhält man die Nullstellen in 3D-Ansicht. Kreiskonstruktion Die Methode der Konstruktion der reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung wird mit GeoGebra demonstriert. Der Nachweis kann dann analytisch erfolgen. Das Arbeitsblatt ist als GeoGebra- und HTML-Datei verfügbar. Funktionen als Flächen im Raum Hier werden Funktionen mit zwei Variablen mithilfe von wxMaxima räumlich dargestellt. Der Aufwand mit wxMaxima hält sich dabei in Grenzen, vorausgesetzt, der Umgang mit dieser Software ist entsprechend eingeübt. Die grafische Umsetzung erlaubt Rotationen und somit die Betrachtung der Flächen von allen Seiten. Der Einsatz eines CAS-Programms erspart den manuell sehr mühsamen Weg komplexer Berechnungen, was die Konzentration der Schülerinnen und Schüler auf die theoretischen Zusammenhänge erhöht. Die wesentlichen Sachinhalte bestehen darin, dass der Realteil beziehungsweise der Imaginärteil einer komplexen Funktion je eine Fläche im Raum darstellt. Ein Beispiel sehen Sie in Abb. 1 (bitte zur Vergrößerung anklicken). Ihr Schnitt mit der xy-Ebene liefert die Spuren, auf denen die Lösungen liegen müssen. Sie ergeben sich tatsächlich als Schnitt dieser Spuren. Mit dem Betrag der komplexen Funktion ändert sich nichts am Funktionswert Null, es pointiert aber die Veranschaulichung der Nullstellen. Anwendung des Fundamentalsatzes Ein anderes Konzept ist die topologisch dynamische Umsetzung und Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra mit GeoGebra. Dabei wird ein Punkt P(a,b) mittels der Transformation f(x+iy) auf P' abgebildet. Zunächst soll man den Punkt P so verschieben, dass P' im Ursprung liegt, P stellt dann die Lösung dar. Systematische Untersuchung der Ebene Das für Arbeitsblatt 4 beschriebene Unterfangen ist eher mühsam, wenn man gar keine Ahnung von der Lösung hat, weil man ja die ganze Ebene durchsuchen muss. Es liegt also nahe, eine Kreislinie mit sich änderndem Radius zu wählen, um die Ebene systematisch zu durchwandern. Dies mögen Schülerinnen und Schüler selber überlegen oder aber man stellt das Arbeitsblatt 5 zur Verfügung. Legt man also P auf einen Kreis mit Radius r, so ist dessen Bild eine geschlossene Kurve. Während P den Kreis einmal durchläuft, macht der Bildpunkt P' in der Bildkurve so viele Umläufe, wie der Grad von f beträgt. Der Radius des Kreises ist nun so einzustellen, dass die Bildkurve durch den Ursprung geht. Anschließend dreht man den Punkt solange im Kreis, bis P' im Ursprung liegt. Zeichnerische Konstruktion Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kann man etwa auf die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks zu sprechen kommen. Nullstellenkonstruktion Die Nullstellenkonstruktion im Komplexen funktioniert natürlich auch mit höhergradigen Polynomen, sowohl die Entfaltung mittels Kreistransformation in entsprechende Bildkurven als auch die Flächendarstellung im Raum. Konkret bieten sich primitive Kreisteilungsgleichungen der Form z n - 1 = 0 an. Eine solche Standardgleichung n.ten Grades hat genau n komplexe Lösungen. Das Schöne daran ist, dass diese alle auf einem Einheitskreis liegen und ein regelmäßiges n-Eck darstellen. Exemplarisch seien hier eine Kreisteilungsgleichung 3. und eine 5. Grades präsentiert.

In der Unterrichtseinheit zum Thema "Kreise im gleichseitigen Dreieck" stellen die Schülerinnen und Schüler geometrische Betrachtungen zum Einbeschreiben in Dreiecken an und erarbeiten die algebraische Berechnung von Radien und Flächen.Der Inkreis eines Dreiecks wird durch Konstruktion bereits in Klasse 7 thematisiert. Mit den Mitteln der Algebra und Ideen aus der Geometrie lassen sich für einen Kreis der Radius und somit die Fläche bestimmen. Mit diesem Unterrichtsmaterial können sich die Schülerinnen und Schüler aber darüber hinaus nun erarbeiten, welche Folgen es hat, wenn man nicht nur einen, sondern 3, 6, 10 oder mehr kongruente Kreise in ein gleichseitiges Dreieck einbeschreibt. Dabei können selbstständig Hilfeleistungen zur Lösungsfindung herangezogen werden. Das Thema "Kreise im gleichseitigen Dreieck" im Unterricht Kennenlernen von irrationalen Wurzeln – Kennenlernen des Satzes von Pythagoras: irrationale Zahlen bei Längenbetrachtungen erscheinen in unterschiedlichen Kontexten. Schon die Diagonale in einem Quadrat lässt sich nur mit Hilfe der Wurzel aus 2 exakt bestimmen. Aber Wurzeln treten bei Längenbetrachtungen in vielen Figuren auf. Zum Erarbeiten von Endergebnissen ist oft auch ein sicherer Umgang mit Wurzeln nötig. Vorkenntnisse Die Formeln zur Berechnung von Kreis- und Dreiecksflächen sind bekannt. Wiederholt werden besondere Linien im Dreieck und deren Bedeutung. Der Satz des Pythagoras sowie die Bedeutung von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck sind nötig, auch wenn manche Überlegungen mit Hilfe der Ähnlichkeit gelöst werden können. Ein sicherer Umgang mit Wurzeln und Termen wird vorausgesetzt und geübt. Didaktische Analyse Gelingt es den Schülerinnen und Schülern Teilfiguren zu erkennen? Während der Umgang mit Termen zur Berechnung von Flächen für die Lernenden eine Selbstverständlichkeit sein sollte, treten häufig Schwierigkeiten auf, passende Teilstücke in einer Fragestellung zu entdecken. Oft genügt der Hinweis auf wenige Hilfslinien, sodass den Schülerinnen und Schülern ein anderer Blick auf das Problem gelingt. Ein Teil der Lerngruppe benötigt mehr Hilfen, dem anderen fällt diese Einteilungen leicht. Mit dem vorgestellten Problem können leistungsstarke Schülerinnen und Schüler anspruchsvollere Probleme bearbeiten. Die Vorstellung der Lösung wird aber auch den schwächeren Schülerinnen und Schülern verständlich sein, vor allem da sie sich mit ähnlichen Fragenstellungen beschäftigen konnten. Dadurch, dass sich alle Schülerinnen und Schüler mit der Thematik auseinandergesetzt haben, wird ihnen das Endergebnis – egal ob sie schwierige Fragen selbst oder nur die Einstiegsaufgaben gemeistert haben – plausibel erscheinen. Methodische Analyse Wenn ein Schüler oder eine Schülerin nicht mehr weiter kommt, können unterschiedliche kurze Hilfeleistungen auf den Arbeitsblättern gegeben werden. Vieles sollen die Schülerinnen und Schüler allein oder in Partnerarbeit lösen. So kann sehr individuelle spezielle Unterstützung erfolgen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren und modellieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. arbeiten mit mathematischen Darstellungen kommunizieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einem dynamischen Geometrie-System. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation viele Werte bestimmt und darstellt. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in der Gruppenarbeit ein. geben zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten Unterstützung und fragen nach individuellen Hilfen von anderen.

Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit basiert auf interaktiven Webseiten mit dynamischen GeoGebra-Applets. Sie schaffen Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern. Wie hoch darf ein Schrank höchstens sein, damit man ihn noch durch Kippen aufstellen kann, ohne dass er an der Decke kratzt? Wie weit kann man von einem 30 Meter hohen Ausguck eines Schiffs bei klarer Sicht auf das Meer sehen? Welchen Weg beschreibt ein in einem fahrenden Zug senkrecht nach oben steigender Lichtblitz, wenn man ihn vom Bahnhof aus betrachtet? Bei der Lösung dieser Probleme stößt man auf Dreiecke. Es sind nicht irgendwelche Dreiecke. Es sind Dreiecke mit einem 90°-Winkel: rechtwinklige Dreiecke. Das, was man wissen will, ist eine Seitenlänge dieser Dreiecke. Ausgerechnet die unbekannte Seitenlänge. Doch mit wenigen Tricks kann man aus den bekannten Stücken des Dreiecks die unbekannten berechnen. Damit beschäftigten sich schon die Pythagoräer etwa 500 vor Christus, ja schon über 1.000 Jahre zuvor kannten die Babylonier diese Tricks. Und wer sie kennt, kann auch obige Fragen beantworten... Bei den dynamischen GeoGebra-Applets können die Nutzerinnen und Nutzer mithilfe der Maus oder der Tastatur am Computer die Zeichnungen und Konstruktionen kontinuierlich verändern und so bestimmte Fragestellungen dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der Lernzielkontrolle. Einsatz im Unterricht Fachliche Voraussetzungen sowie Hinweise zu den Einsatzmöglichkeiten des Online-Kurses und zur Gestaltung der Arbeitsmaterialien. Unterrichten mit Beamer - Praxiserfahrungen Sowohl der Unterricht an der Tafel als auch mit dem Beamer bietet jeweils Vorteile, die nicht in jedem Fall kombinierbar sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck sicher beherrschen. den "Kathetensatz" (mithilfe der Ähnlichkeit) beweisen, formulieren und anwenden können aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat konstruieren können. den "Satz des Pythagoras" (mithilfe des Kathetensatzes) beweisen, formulieren und (insbesondere an Körpern) anwenden können. andere Beweise und die "verallgemeinerte Form" des "Satzes von Pythagoras" kennen lernen. den Umkehrsatz des "Satzes von Pythagoras" formulieren und anwenden können. den "Höhensatz" aus den vorausgehenden Sätzen herleiten, formulieren und anwenden können. Thaleskreis und Ähnlichkeitssätze Erforderliche mathematische Voraussetzungen für den Kurs sind Kenntnis des Thaleskreis und der Ähnlichkeitssätze, die zum Beweis des Kathetensatzes herangezogen werden. Diese Vorkenntnisse werden in der Unterrichtseinheit kurz wiederholt. Deduktive Herleitung Mit dem Kathetensatz kann dann leicht algebraisch oder anschaulich geometrisch der Satz des Pythagoras bewiesen werden. Aus diesen beiden Sätzen resultiert dann wiederum (aus einem einfachen linearen Gleichungssystem) der Höhensatz. Bei dieser Vorgehensweise lernen die Schülerinnen und Schüler unter Anwendung bekannter algebraischer und geometrischer Fertigkeiten das Prinzip der deduktiven Herleitung neuer Sätze kennen. Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras bietet eine gute Gelegenheit, die Problematik von Satz und Umkehrsatz zu vertiefen. Mit einfachen Berechnungen an Körpern soll auch das räumliche Vorstellungsvermögen geschult werden. Für diese Unterrichtseinheit bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Neudurchnahme im Unterricht inklusive Hefteintrag selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffes, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (beispielsweise vor Prüfungen) Selbstständiges Erarbeiten Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. (Merk-)Sätze sind (wie im Tafel-Unterricht) rot eingerahmt. Wichtige Formeln oder weiterführende Begriffe sind farblich hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (siehe Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Lernenden durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. Die Antworten der Kontrollfragen können durch Anklicken der blauen Satz- oder Rechenzeichen angezeigt werden. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Erarbeitung Schritt-für-Schritt Ein großer Vorteil des Unterrichtens an der Tafel, nämlich ein aus dem fragend-entwickelnden Unterricht flexibles, sukzessiv entstehendes Tafelbild, geht bei Präsentationen mit dem Computer verloren. Mit Hilfe von auf Java-Script-Code basierenden Einblendungen wird dieses Defizit zum Teil ausgeglichen. Ergebnisse und Lösungen werden so nicht vorweg projiziert, sondern können nach gemeinsamer Erarbeitung präsentiert werden. Diese Möglichkeit der animierten Wiedergabe ist mit gängiger Präsentationssoftware wie Impress oder Powerpoint leichter realisierbar. Leider gestaltet sich hier jedoch die Einbindung von Java-Applets in Folien als problematisch. Außerdem können Webseiten - unabhängig von Präsentationssoftware und Betriebssystem - online und damit von Schülerinnen und Schülern auch zu Hause verwendet werden. (Tipp: Taste F11 zur Vollbild-Darstellung der Webseiten). Beamereinsatz und Tafelunterricht Die dynamischen Arbeitsblätter könnten parallel zum Tafelunterricht eingesetzt werden, was sich jedoch in der Praxis in engen Klassenzimmern mit mehr als 30 Schülerinnen und Schülern leider oft als sehr umständlich erweist. Die für den Beamer erforderliche Projektionsfläche liegt meist hinter der Tafel. Die Computerräume wiederum sind meist nicht für den Tafelunterricht ausgelegt. Ein in der Praxis nicht immer leicht zu realisierender Kompromiss ist das Abwechseln von Unterrichtsstunden mit Beamer zur Einführung und Fixierung der Inhalte und Übungsstunden mit Tafel zur Einübung und Festigung des Gelernten anhand von Aufgaben zum Beispiel aus dem begleitenden Lehrbuch.

In dieser Unterrichtseinheit wird die e-Funktion mit ihren wichtigen Eigenschaften und Anwendungen in der Differential- und Integralrechnung untersucht. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Aufgaben zur Ableitung und Integration der e-Funktion, beschäftigen sich mit der Kurvendiskussion und lernen spezielle Anwendungen aus der höheren Differentialrechnung kennen. Die e-Funktion hat viele besondere Eigenschaften. Der erste Teil der Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit der Ableitung der Funktion und zeigt deren Bedeutung, auch für andere Exponentialfunktionen. Im zweiten Teil der Einheit werden diese besonderen Eigenschaften bezüglich der Ableitung und der Integration geübt. Eine wichtige Aufgabe in der Differentialrechnung stellt die Kurvendiskussion dar. In einigen Aufgaben werden neben der Durchführung ausführlicher Kurvendiskussionen weitere besondere Eigenschaften der e-Funktion erarbeitet. Hierzu zählen Grenzwertbetrachtungen. Der letzte Teil der Unterrichtseinheit zeigt die Bedeutung der e-Funktion für die Wissenschaft an ausgewählten Beispielen. Da beim Auftreten der e-Funktion neben anderen Funktionstypen häufig algebraisch unlösbare Gleichungen auftreten, wird viel mit GeoGebra gearbeitet, damit mit Näherungen bestimmte Fragen beantwortet werden können. Die Besonderheit der Ableitung der e-Funktion wird erarbeitet. Ebenso die Ableitungen für andere Exponentialfunktionen. Bei der Anwendung der Ableitungs- und Integrationsregel werden auch andere Funktionstypen mit eingebracht und die Regeln wiederholt. Nach einer Zusammenstellung der Punkte einer Kurvendiskussion werden diese an Beispielen abgearbeitet. Hierbei werden weitere Besonderheiten der e-Funktion vorgestellt. Mit Blick auf die höhere Differentialrechnung erfahren die Lernenden die Bedeutung der Differentialgleichung und lernen das Auftreten in der e-Funktion in einigen wissenschaftlichen Bereichen kennen. Beim Aufgabenniveau wird gestreut, sodass neben wichtigen Grundlagen auch anspruchsvolle Lösungen erarbeitet werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler erkennen die besondere Ableitungseigenschaft der e-Funktion. lernen weitere Besonderheiten der e-Funktion im Rahmen von Kurvendiskussionen kennen und bekommen einen Einblick in die Grenzen der Berechenbarkeit. erhalten Einblick in "höhere Differentialrechnung" mit Differentialgleichungen und Beispielen der Anwendung der e-Funktion in besonderen Zusammenhängen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler experimentieren mit GeoGebra-Dateien zur Visualisierung. erstellen eigene GeoGebra-Dateien. Analysieren und Reflektieren. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern ihr Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). arbeiten in Paararbeit zusammen.

In dieser Unterrichtseinheit entdecken die Schülerinnen und Schüler die Ästhetik der Mathematik, indem sie künstlerische Bilder durch zur leicht verständlichen Aufgabenstellung "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" herstellen. Sie vermittelt viel Mathematik und bereitet Lernenden erfahrungsgemäß viel Freude, weil man sehr schön experimentell arbeiten kann.Die Aufgabe "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" gelingt den Schülerinnen und Schülern auf verschiedenste Weise: per Hand und mit dem Computer, zum Beispiel mithilfe dynamischer Geometriesoftware, mit Computeralgebrasystemen oder Animationssoftware. Die Bearbeitung des Themas bietet vielfältige Variationsmöglichkeiten: Man kann zum Beispiel dazu übergehen, sehr viele Kreise durch mehrere Punkte zu zeichnen. Dabei wird insbesondere der Moiré-Effekt wirksam. Wenn man statt Kreisen andere geometrische Formen als Grundfiguren nutzt (zum Beispiel Strecken, Vierecke, Funktionsgraphen) lassen sich mathematische Kunstwerke produzieren, die ästhetische Aspekte der Mathematik erfahrbar machen.Die Problemstellung und ihre Fortführungen sind in unterschiedlichen Ausprägungen von Klasse 7 bis hin zum Abitur interessant und herausfordernd. Das Thema kann in den normalen Unterricht an verschiedenen Stellen eingebettet werden (zum Beispiel beim Lehrplaninhalt "Kreise" oder in der Analytischen Geometrie). Als Arbeitsform hat sich die Einzel- oder Partnerarbeit bewährt. Eine besondere Relevanz gewinnt die Problematik durch die experimentellen Arbeitsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Relationstypen, auch mit unterschiedlicher Software. Dazu kommen die sich anbietenden Aufgabenvariationen, die dann ein weites Feld von Mathematik eröffnen können. Auch algebraische und analytische Kenntnisse und Fähigkeiten kommen dabei immer wieder zum Tragen, etwa bei der Berechnung von Abbildungen wie Drehungen, zum Beispiel mit Matrizen. Abb. 1 liefert eine Übersicht der didaktischen Aspekte der Unterrichtseinheit.Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Kompetenzen zum Umgang mit digitalen Werkzeugen. schulen ihre Kreativität und die Fähigkeit zur Aufgabenvariation. erleben ästhetische Aspekte der Mathematik. erkennen Verknüpfungen zu Moiré-Bildern. entwickeln Animationsstrategien. nutzen die Konzepte "Mehrfachanwendung" und "Arbeiten mit Modulen". arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Lehmann, Eberhard Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht, Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra, Berlin 2007 ( Infos im Netz ) Lehmann, Hergen; Lehmann, Eberhard Programmsystem Animato, Animationsprogramm, Anwendungen, Berlin 2007 ( Infos zur Software )

Bei der Suche nach idempotenten Zahlen werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge entdeckt. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler ab der 9. Jahrgangsstufe gedacht, die bereits Erfahrungen mit Tabellenkalkulation, CAS oder gar selbst geschriebenen Programmen besitzen und bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Suche nach so genannten idempotenten Zahlen, also nach Zahlen, deren Ziffernfolge bei all ihren Potenzen am Ende auftritt, wie zum Beispiel bei der 5 oder der 25. Das Problem wird sowohl praktisch (Programmierung, zum Beispiel mit Excel, Pascal und Maple) als auch theoretisch angegangen. Dabei werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge, wie etwa der Chinesische Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten, entdeckt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Programm schreiben und optimieren, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Natürlich bietet es sich auch an, die selbst entwickelten Programme zu testen und zu vergleichen ("Welches ist am schnellsten?"). Die abschließenden Aufgaben (Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen) sind bewusst offen gehalten und sollen die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas selbstständig zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit dem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Das Thema bietet sich eventuell auch für eine Facharbeit an. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Infos zum Einstieg in die Thematik und zum Schreiben eines Programms, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Materialien Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen einfache zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen. Fragestellungen mittels Tabellenkalkulationen, CAS und selbst geschriebenen Computerprogrammen bearbeiten. Modulo-Rechnen und den Chinesischen Restsatz kennen lernen. die Primfaktorzerlegungen wiederholen und durch Computerprogramme ausrechnen lassen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Idempotente Zahlen Autor Dr. Christian Groß Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 9, Mathematik-AG Zeitraum 4-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software CAS (Maple), Tabellenkalkulation (Excel), Programmierumgebung (zum Beispiel Pascal) Groß, Christian Idempotente (automorphe) Zahlen in q-Stellenwertsystemen, Mathematische Semesterberichte 52 (2005), Seite 127-151 Zu Beginn werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, die einfachsten idempotenten Zahlen zu suchen. Gestützt auf diese Beispiele sollen sie verschiedene zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen, zum Beispiel dass es genügt, die Endziffern der Quadrate zu untersuchen, oder dass mehrstellige idempotente Zahlen "Verlängerungen" von ein-, zwei-, dreistelligen idempotenten Zahlen sind. Diese Erkenntnis wird dann auch praktisch umgesetzt: Ein erstes Programm soll geschrieben werden, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Verlassen des Dezimalsystems Das Programm wird im Laufe der Unterrichtseinheit immer mehr ausgebaut und verbessert. Dazu werden die Lernenden in das Modulo-Rechnen eingeführt. Sie lernen den Chinesischen Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten kennen. Zur Vertiefung werden hier auch Tabellenkalkulationen und Computerprogramme eingesetzt (zum Beispiel Pascal). Auf dieser Stufe ist es dann auch angebracht, das gewohnte Dezimalsystem zu verlassen und die im Laufe der Schullaufbahn meist kaum erkundeten alternativen Stellenwertsysteme zu untersuchen. Wenn wir nicht mehr je 10 Einheiten bündeln (beziehungsweise modulo q=10 rechnen), sondern uns ins Zweier-, Sechser-, oder gar 36er-System wagen, stellen sich Fragen wie: Aus welchen Ziffern bestehen die Zahlen und welche Zahlen sind demzufolge idempotent? Optimierung des Programms Schritt für Schritt können die Schülerinnen und Schüler immer tiefer liegende Zusammenhänge erkunden. Sie erkennen die Bedeutung der Primfaktorzerlegung der Stellenwertbasis q und stoßen auf mengenalgebraische Fragestellungen: Auf wie viele Arten lässt sich die Menge aller Primfaktoren von q in zwei disjunkte Teilmengen zerlegen? Jeder solchen Zerlegung entspricht eine andere idempotente Zahl. Wie kann man durch Addition und Subtraktion von idempotenten Zahlen neue idempotente Zahlen gewinnen? All diese Erkenntnisse können zur Verbesserung der selbst geschriebenen Programme herangezogen werden. Selbstständige Entdeckungsreisen Je nach der zur Verfügung stehenden Zeit können am Ende auch noch Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen untersucht werden. Diese letzten Fragestellungen sind offener konzipiert und sollen die Lernenden ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Hinweise zur Nutzung Die drei PAS-Dateien sind die Pascal-Quellcodes von Programmen, die nach ein-, zwei-, beziehungsweise dreistelligen idempotenten Zahlen in q-Stellenwertsystemen suchen. Dabei wird jeweils abgefragt, in welchen Grenzen für q gesucht werden soll. Die EXE-Dateien sind die bereits kompilierten, lauffähigen Pascal-Programme, allerdings mit dem Unterschied, dass in diesen Programmen noch der ältere Name "automorphe Zahl" statt "idempotente Zahl" verwendet wird. Die Ausgabe der Programme erfolgt nicht direkt auf den Bildschirm, sondern in eine Textdatei, deren Namen am Anfang des Programms abgefragt wird (Eingabe zum Beispiel "xyz", wenn die Datei "xyz.txt" heißt). Achtung: Die Programme legen diese Textdatei nicht neu an, sondern öffnen sie nur. Genauer gesagt: Die Programme gehen davon aus, dass die Textdatei bereits im selben Verzeichnis existiert, in dem auch die Programme gespeichert sind. Also vorher neu anlegen! Das Maple-V-Worksheet berechnet N-stellige idempotente Zahlen (N = 50 ist voreingestellt, kann aber variiert werden). Hier muss der Stellenwert q explizit fixiert werden (voreingestellt ist q = 10, das heißt es wird nach idempotenten Dezimalzahlen gesucht). Ebenso muss die Endziffer a der idempotenten Zahl vorher bekannt sein und eingetragen werden (also 0, 1, 5 oder 6 für q = 10). Dann berechnet das Programm die diejenige N-stellige idempotente Zahl, deren letzte Ziffer a ist. Diese Zahl wird in Form einer Liste A ausgegeben, die von links nach rechts zu lesen ist. Zu Beispiel steht A = 5, 2, 6, 0, 9, ... für die (fünf-)stellige idempotente Dezimalzahl 90625.

Die hier vorgestellten Bausteine sind keine starre Unterrichtseinheit, sondern können auch in Wiederholungsphasen oder in besonderen Unterrichtsformen (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungen genutzt werden. Der Funktionenplotter Kurvenprofi wird dabei als Punkt- und Streckenplotter verwendet.Lange bevor Funktionen im Unterricht thematisiert werden, finden in den Klassen 5 und 6 Übungen im Koordinatensystem statt. So werden Punkte eingezeichnet und abgelesen, Spiegelungen und Verschiebungen vorgenommen und die Eigenschaften von Vierecken angewendet. Dies geschieht durch eine Beschränkung auf Punkte, Geraden, Strecken und eventuell Kreise. Der Computer bietet dabei die Möglichkeit, Schaubilder schnell anzufertigen, Vermutungen zu entwickeln und diese zu überprüfen. So sehr wir uns saubere Koordinatensysteme wünschen - wie viele davon kann eine Schülerin oder ein Schüler in einer Stunde zeichnen? Wie viel Zeit bleibt dann noch für die eigentliche Mathematik? Von diesem Problem befreit uns der Computer als Rechen- und Zeichenknecht. Er schafft Raum für das Experimentieren und ermöglicht eine schnelle Kontrolle der Ergebnisse (zum Beispiel Verwechselung von x- und y-Koordinate). Zudem müssen Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit am Rechner nie fürchten, Falsches in ihren Heften zu ?verewigen?.Computer-Algebra-Systeme (CAS) sind für den Einsatz in Klasse 5 und 6 in ihrer Bedienung zu aufwändig. Ihre Möglichkeiten der graphischen Darstellung fallen gegenüber ihren sonstigen Fähigkeiten oft stark ab. Maßstabsgerechte Zeichnungen und interaktive Elemente (zum Beispiel Punkte, Strecken, Parametervariation, Tangenten, Krümmungskreise) sind - wenn überhaupt - nur mit Programmieraufwand zu erreichen. Funktionenplotter rechnen dagegen nur eingeschränkt oder gar nicht algebraisch. Sie sind auf Funktionsdarstellungen ausgerichtet und in der graphischen Darstellung den CAS oft überlegen, können aber selten für Punkte und Strecken verwendet werden. Dies habe ich zum Anlass genommen, für den von mir entwickelten Funktionenplotter Kurvenprofi Aufgaben zu erarbeiten, die diese Lücke schließen. Mit dem Kurvenprofi steht den Schülerinnen und Schülern nach einer kurzen Einarbeitungsphase ein Werkzeug zur Verfügung, dass in der gesamten Schulzeit bis zum Abitur für fast alle Probleme der zweidimensionalen Graphen eingesetzt werden kann. Einsatz der Arbeitsmaterialien Die Unterrichtsbausteine eignen sich für eine vielfältige Nutzung in Partnerarbeit. Arbeitsblätter und Kurvenprofi-Dateien Materialien und Screenshots zu den Themen "Straßen und Häuser", "Parallel und Senkrecht", "Vierecke" und "Schmetterlinge". Die Schülerinnen und Schüler sollen die Orientierung im Koordinatensystem erlernen. Punkte durch zwei Koordinaten angeben können. ihre Kenntnisse zur Benennung und zu den Eigenschaften verschiedener Vierecke vertiefen. die Eigenschaft "parallel" als Gleichheit der abgezählten Wege erkennen und anwenden. die Eigenschaft "senkrecht" als eine bestimmte Änderung des abgezählten Weges erkennen und anwenden. erkennen, dass Punkte im Koordinatensystem auch durch andere Angaben (Winkel, Länge) festgelegt werden können. Thema Übungen im Koordinatensystem mit Kurvenprofi Autor Ulrich Strautz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 und 6 Zeitraum etwa 1 Stunde pro Aufgabenblatt Technische Vorraussetzungen Windows-Rechner Software Kurvenprofi (kostenfrei für private Nutzung, Schullizenz 50 €) oder andere Funktionenplotter Die Beispielaufgaben für den Einsatz von Funktionenplottern stellen keine starre Unterrichtsreihe dar. Es handelt sich um Bausteine, die auch als Wiederholungseinheiten in Vertretungsstunden oder in besonderen Formen des Unterrichts (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungsformen genutzt werden und viele Diskussionsanreize bieten können. Die hier vorgestellten Aufgaben sind grundsätzlich für eine Partnerarbeit konzipiert. Diese Arbeitsform ist nicht nur wegen der äußeren Rahmenbedingungen (technische Ausstattung der Schule) oft vorgegeben, sondern auch sehr hilfreich, einen inhaltlichen Austausch der Schülerinnen und Schüler über die Aufgabenstellungen anzuregen. Häufig werden spielerische Elemente verwendet, die erreichen sollen, dass nach der gemeinsamen Problemlösungsphase die Fähigkeiten beider Partner gesichert werden, zum Beispiel durch einen Rollenwechsel. Alle Aufgaben, die in diesem Artikel vorgestellt werden, lassen sich außer mit dem Kurvenprofi mit sämtlichen Funktionenplottern umsetzen, die Punkte und Strecken zeichnen können. Für die Nutzung der entsprechenden KRV-(Kurvenprofi-)Dateien müssen Sie jedoch das Programm Kurvenprofi installieren. Dies steht Lehrkräften, Schülerinnen und Schülern für die private Nutzung kostenfrei zur Verfügung, eine Schullizenz ist für 50 € zu haben. Unter Hilfe/Beispiele/Einführung finden Sie im Programm eine leicht verständliche Einweisung. Die Schülerinnen und Schüler üben in den ersten Aufgaben die Bedienung des Programms, das Ablesen und Zeichnen von Punkten und Strecken sowie die Orientierung im Koordinatensystem. Dabei werden die Kenntnisse über die Koordinaten der Punkte wiederholt. Es zeigt sich hier schnell, dass das Schaubild bei einer Verwechselung der beiden Koordinaten unerwartete Ergebnisse zeigt, die schnell bemerkt, diskutiert und behoben werden können. "Das Haus vom Nikolaus" erfordert planvolles Handeln durch eine kleine Skizze und die Überlegung, in welcher Reihenfolge die Punkte abgelaufen werden. Zur inneren Differenzierung kann gefordert werden, nur eine festgelegte Anzahl der Punkte (einen durchgängigen Streckenzug) zu verwenden. Die Anregung, die Farben und Stricharten zu ändern, puffert unterschiedliche Bearbeitungszeiten ab. Mit dem Abzählen der x- und y-Änderungen erkennen die Schülerinnen und Schüler eine weitere Möglichkeit, die Eigenschaft "parallel" nachzuweisen oder parallele Strecken zu zeichnen. Zunächst werden in verschiedenen Übungen durch die Strecken bestimmte Abschnitte angeboten. Die letzten Aufgaben erfordern das Suchen geeigneter Punkte auf einer Geraden. Möglicherweise kann an dieser Stelle im Rahmen der Binnendifferenzierung schon von einigen Schülerinnen und Schülern die Nichteindeutigkeit der Pfeile durch Verdoppelung, Verdreifachung und weitere Vervielfachungen herausgearbeitet werden. Entsprechend wurde die Untersuchung der Eigenschaft "senkrecht" angelegt, wobei die vorangegangenen Aufgaben unter der geänderten Fragestellung gelöst werden sollen. Die Festigung des über die Eigenschaften "parallel" und "senkrecht" Gelernten geschieht in den Aufgaben zu Vierecken. Nach einer spielerischen Vorübung zu Koordinaten werden die Eigenschaften bestimmter Vierecke benötigt, um Figuren durch Änderung einzelner Punkte in vorgegebene Vierecke zu verwandeln und später Streckenzüge zu Vierecken zu ergänzen. Obwohl der Begriff des Steigungsdreiecks nicht verwendet wurde, haben die Schülerinnen und Schüler eine Idee gewonnen, die in späteren Unterrichtsreihen vielleicht mit Rückgriff auf diese Übungen leicht auf die Gerade und deren Senkrechte übertragen werden kann. Für den Fall, dass in Klasse 6 die Winkel und die negativen Zahlen behandelt wurden, bietet das Blatt "Schmetterlinge" eine spielerische Übung im Raten von Winkelgrößen und Längen. Auf höherem Niveau reift die Erkenntnis, dass ein Punkt im Koordinatensystem auch durch Angabe des Winkels und der Länge eindeutig festgelegt werden kann. Dabei wird der Begriff der Polarkoordinaten nicht genannt. (Welche Schülerinnen und Schüler finden heraus, dass Winkel und Länge eines Punktes nicht eindeutig sind?) Durch viele der hier vorgestellten Aufgaben ziehen sich Anknüpfungspunkte an spätere Themen. Explizit zu nennen sind die Steigung, die Steigung einer Senkrechten, Polarkoordinaten, aber auch die negativen Zahlen, die im Gegensatz zum üblicherweise eingeführten Koordinatensystem schon in Form der vier Quadranten auftreten. Durch leichte Variation der Aufgaben können diese auch in späteren Unterrichtsreihen als Einstiege verwendet werden. Wie schnell ragt ein Viereck in einen anderen Quadranten und bietet damit einen Unterrichtsanlass zur Zahlbereichserweiterung? Die hier vorgestellten Arbeitsblätter sind Bestandteil einer Aufgabensammlung für die Klassen 5-10, die auf der Kurvenprofi -Website in verschiedenen Formaten bereit steht (unter "Downloads").

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Binomialkoeffizient führen die Schülerinnen und Schüler im Kontext des Lottospielens eine etwas andere Art der Kurvendiskussion durch, die eine Verbindung zwischen der Analysis der Oberstufe und den Inhalten der Stochastik herstellt.Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, ob man einen eventuellen Jackpot-Gewinn bei der ("6 aus 49"-)Lotterie bei steigender Teilnehmerzahl umso wahrscheinlicher mit anderen Gewinnerinnen und Gewinnern teilen muss. Die mathematische Modellierung der Aufgabenstellung führt zu einem Funktionsterm, dessen Diskussion zu einem tieferen Verständnis von Exponentialfunktion und Binomialkoeffizient führt.Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses der Oberstufe oder im Rahmen eines W-Seminars (Wissenschaftspropädeutischen Seminars) geeignet, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Dabei werden das Urnenmodell beziehungsweise die hypergeometrische Verteilung und die Binomialverteilung als bekannt vorausgesetzt. Unterrichtsverlauf und Materialien Im ersten Teil sollen die Schülerinnen und Schüler eine zunächst intuitiv beantwortete Frage mathematisch begründen. Variation und Verallgemeinerung Der zweite Teil verallgemeinert die Fragestellung des ersten Teils und führt zu tiefer liegenden mathematischen Sachverhalten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die Fragestellung mathematisch mithilfe der hypergeometrischen Verteilung und der Binomialverteilung modellieren. können die Regel von l'Hospital kennen lernen und zur Grenzwertberechnung anwenden. können einen Graphen zeichnen und interpretieren. können Aussagen über vorteilhaftes Verhalten beim Lottospielen machen. erkennen den Binomialkoeffizienten "k aus n" als Polynom k-ten Grades in n. lernen das "Pascalsche Dreieck" kennen und verstehen es. lernen eine rekursive Funktionsschreibweise kennen. können mithilfe der Gaußschen Summenformel die Äquivalenz der rekursiven Definition und der Polynomschreibweise einer Funktion zeigen. lernen "Dreieckszahlen" kennen. verstehen, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als jedes Polynom. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Basieux, P. Die Welt als Roulette - Denken in Erwartungen, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg, 1995 Barth, F. et. al. Stochastik, Oldenbourg Schulbuchverlag, München, 7. verb. Auflage, 2001 Krengel, U. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg, Braunschweig, 3. erw. Auflage, 1991 Schätz, U. und Einsentraut, F. (Hrsg.) delta 11 - Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner Bamberg u. Duden Paetec Schulbuchverlag Berlin, 2009 Voraussetzungen und Einstieg Die Aufgabenstellung gliedert sich in zwei Teile, deren erster ("Konkrete Beantwortung der Fragestellung") die Schülerinnen und Schüler vom Lehrplan der 12. Jahrgangsstufe am Gymnasium abholt. Zum Einstieg und zur Motivation der Fragestellung können eventuell geeignete Zeitungsartikel genutzt werden (siehe Zusatzmaterialien, die einen Bezug zur Realität herstellen. Die schrittweise Modellierung des Problems in den Teilaufgaben 1.1 bis 1.6 gelingt unter der Voraussetzung, dass das "Ziehen mit Zurücklegen" und das "Ziehen ohne Zurücklegen", also die hypergeometrische und die Binomial-Verteilung, bereits bekannt sind. Variation und Verallgemeinerung Durch die Einführung der Regel von l'Hospital erschließt sich das mathematische Modell den bekannten Mechanismen einer Kurvendiskussion. Außerdem ermöglicht die "ungewohnte" Betrachtung des Binomialkoeffizienten als einer Funktion in n das Anknüpfen an vertraute Sachverhalte. Zu den Themen "Rekursion", "Pascalsches Dreieck" und "Dreieckszahlen" in den Teilaufgaben 2.6 bis 2.9 sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig im Internet oder in entsprechender Literatur nach Hintergründen und Bedeutung recherchieren. Zur Förderung des Verständnisses und zum Abschluss des Modellierungsprozesses wird zu den Ergebnissen der Teilaufgaben generell eine Interpretation beziehungsweise eine Versprachlichung eingefordert. Die Lernenden werden mit folgender Fragestellung konfrontiert: "Ist es wahrscheinlicher, dass es bei der ("6 aus 49"-) Lotterie mehr Jackpot-Gewinnerinnen und -gewinner gibt, wenn es mehr Teilnehmende gibt?" Diese Fragestellung soll diskutiert und zunächst intuitiv beantwortet werden. In der Regel wird sich schnell ein Konsens einstellen: Ja. Doch wie genau bleibt noch offen und zu untersuchen. Nach der Ermittlung der Trefferwahrscheinlichkeit für "r Richtige plus Zusatzzahl" sowie der Wahrscheinlichkeit dafür, dass k von insgesamt n Lotterie-Teilnehmerinnen und-teilnehmer r Richtige getippt haben, stellt sich das mathematische Gesamtmodell als eine Kombination aus hypergeometrischer und binomial-verteilter Formulierung dar. Nach einigen konkreten Berechnungen wird für Grenzwertbetrachtungen zum einen die (mittlerweile im Lehrplan oft nur noch optionale) Regel von l'Hospital und zum anderen die einfache, aber mächtige Identität für a > 0 eingeführt. Damit lassen sich alle Grenzwert- und Monotoniebetrachtungen durchführen. Anhand des Graphen für einen geeigneten Spezialfall werden die Schülerinnen und Schüler zur abschließenden Beantwortung der Ausgangsfrage geführt. Verallgemeinerung auf k erfolgreiche Teilnehmer Im zweiten Teil der Aufgabenstellung ("Variation und Verallgemeinerung") wird der Kontext mindestens zweier Jackpot-Gewinnerinnen oder -gewinner vom Ende des ersten Teils auf genau beziehungsweise mindestens k erfolgreiche Lotterie-Teilnehmende verallgemeinert. Nun wird für eine Diskussion des Funktionsterms allerdings ein tieferes Verständnis des Binomialkoeffizienten notwendig. Dazu wird dieser als Funktion in n betrachtet, auf den Bereich der reellen Zahlen verallgemeinert, exemplarisch graphisch dargestellt und berechnet. Hierbei stellen die Schülerinnen und Schüler fest, dass es sich im Grunde bei dem Symbol um nichts anderes als ein Polynom k-ten Grades in x handelt. Damit befinden sich die Lernenden wieder auf vertrautem Terrain aus Mittel- und Oberstufe. Pascalsches Dreieck Im Anschluss wird der Aufbau des Pascalschen Dreiecks bewiesen und gezeigt, dass sich die Werte der jeweiligen "Binomialkoeffizient-Polynome" für natürliche Argumente einfach in den Spalten beziehungsweise Diagonalen des Pascalschen Dreiecks ablesen lassen. Offensichtlich liefert das Pascalsche Dreieck aber auch jeweils eine Rekursionsformel für die einzelnen Polynome. Die Schülerinnen und Schüler lernen dieses andersartige Konzept zur Definition einer Funktion für den Spezialfall k=2 kennen und ermitteln mithilfe der Gaußschen Summenformel den Zusammenhang zwischen der rekursiven und der expliziten Darstellung. Dabei gibt es neben diesem algebraischen aber auch einen geometrischen Beweisweg über die so genannten Dreieckszahlen. Anwendung der Regel von l'Hospital Mithilfe der Regel von l'Hospital erhalten die Schülerinnen und Schüler nun Zugang zu einer mathematisch sehr gewichtigen Tatsache, nämlich dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz beziehungsweise jedes Polynom. Damit lässt sich nun auch die Ausgangsfrage allgemein sehr schnell beantworten. Graphen zur Veranschaulichung Zum Abschluss sehen die Schülerinnen und Schüler anhand von exemplarischen Graphen mittels eines Funktionsplotters (hierzu eignet sich zum Beispiel auch GeoGebra), wie sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit verhält und in welchem Bereich sich überhaupt erst Bezüge zur Realität anbieten (vergleiche Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anlicken). Auf die Thematisierung der für den Kontext kleiner Erfolgswahrscheinlichkeiten bei großer Stichprobe als gute Näherung geeigneten Poisson-Verteilung ("Verteilung der seltenen Ereignisse") wird verzichtet, da in erster Linie nicht das rein statistische Problem, sondern die Vernetzung von stochastischen/statistischen mit analytischen und algebraischen Inhalten im Vordergrund stehen soll. Fazit Die Schülerinnen und Schüler erhalten durch diese Lerneinheit die Möglichkeit, eine Verbindung zwischen der Analysis der Oberstufe und den Inhalten der Stochastik herzustellen. Zudem zeigt sich, dass neuartige Symbole (wie der Binomialkoeffizient) oder Schreibweisen (wie die rekursive Definition einer Funktion) durch geeignete Betrachtungsweise gar nicht mehr so neuartig sein müssen, sondern bereits bekannten Dingen entsprechen. Durch die zusätzliche Einführung einiger weniger Hilfsmittel (allgemeine Exponentialfunktion als e-Funktion, Regel von l'Hospital) erschließt sich so auch eine ungewohnte Funktion den oftmals schematisch verfolgten Argumenten der Kurvendiskussion.

Hier finden Sie Unterrichtseinheiten und Anregungen zum Unterricht mit digitalen Medien im Fach Mathematik zum Thema Algebra: Rechnen in Zahlenbereichen, Zuordnungen, Gleichungen und Ungleichungen, lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen und Begabtenförderung. Das Wilhlem-Ostwald-Gymnasium nutzt ab der 8. Klasse Note- und Netbooks im Unterricht. So können die Kosten für teure CAS-Systeme gespart werden, die nur für den Mathematik-Unterricht genutzt werden könnten. Mit freier Software können die Schülerinnen und Schüler alle im Lehrplan geforderten Themen im Mathematikunterricht bearbeiten. Die Geräte können darüber hinaus aber auch in anderen Fächern eingesetzt werden. In diesem Webtalk stellt Henrik Lohmann eine Unterrichtsreihe vor, die exemplarisch zeigt, wie mobile Geräte und digitale Arbeitsmaterialien genutzt werden. Die Materialien zum Thema "Quadratische Gleichungen und Funktionen" stehen unten zum Download bereit. Thema Stationenlernen mit Netbooks: "Quadratische Gleichungen und Funktionen" Autor Henrik Lohmann Anbieter Universität Duisburg Essen - learning lab, MINTec Fächer Informatik, Mathematik Zielgruppe Sekundarstufe I und II, Material erprobt in Jahrgangsstufe 9 Technische Voraussetzungen Computer mit Geogebra und Maxima, Internetzugang mit Schulplattform Materialien zur Informationstechnischen Grundbildung Beiträge und Resultate aus den vielfältigen Aktivitäten des nationalen Excellence-Schulnetzwerks MINT-EC und seiner Netzwerkschulen werden in der Schriftenreihe "Materialien zur Informationstechnischen Grundbildung" zusammengeführt und veröffentlicht. In verschiedenen Themenclustern erarbeiten MINT-EC-Lehrkräfte und Schulleitungen Schul- und Unterrichtskonzepte, entwickeln diese weiter und nehmen dabei neue Impulse aus Wissenschaft und Forschung und aus aktuellen Herausforderungen der schulischen Praxis auf. Das learning lab der Universität Duisburg Essen befasst sich seit Jahren mit der Konzeption und Entwicklung innovativer Lösungen für das Lernen insbesondere mit digitalen Medien. Im IT-Cluster des MINT-EC arbeitet eine Gruppe von Schulleitung und Medienbeauftragten aus dem Netzwerk von über 180 Gymnasien bundesweit zusammen, um die Potentiale digitaler Medien für den Unterricht systematisch nutzbar zu machen. Die Kopiervorlagen lassen sich einfach und schnell individualisieren und an die jeweiligen schulischen Erfordernisse anpassen - und Sie gehen als Lehrkraft stets bestens gerüstet in Ihren Unterricht. Der Mathelehrer Algebra unterstützt Sie mit allem, was Sie zur Unterrichtsvorbereitung brauchen. Hier wird das gesamte Algebra-Wissen der Unter- und Mittelstufe vermittelt - und zwar vollständig vertont. 80 spannende Themenaufgaben helfen den Schülerinnen und Schülern, den Unterrichtsstoff zu begreifen. Druckbare Darstellungen und viele Beispiele machen den trockenen Algebra-Stoff zum leicht verständlichen Lernerlebnis. Die vielen Beispielaufgaben mit Lösungen schaffen abwechslungsreiche Übungsmöglichkeiten. Auch Eltern profitieren von der Lernsoftware - als Nachschlagewerk, Übungsquelle und Unterstützung beim gemeinsamen Lernen mit den Schülerinnen und Schülern. Empfehlen Sie als Mathelehrkraft den Eltern Ihrer Schülerinnen und Schüler diese Software, damit diese auch in ihren Familien die optimale Lernunterstützung erhalten. Die Mappe im praktischen DIN-A4-Format enthält: Lernsoftware für das Fach Algebra 133 Kopiervorlagen mit allen lehrplanrelevanten Themen Alle Kopiervorlagen zum Drucken und Editieren in elektronischer Form Auszeichnung: CLEVER 2009 für Mathelehrer Algebra! CLEVER ist das Prüfsiegel für empfehlenswerte Software, das die ZUM (Zentrale für Unterrichtsmedien) und die Redaktionsagentur S@M Multimedia Services gemeinsam herausgeben. Die hier vorgestellte dynamische Veranschaulichung wurde mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt und in eine interaktive Webseite eingebunden. Dies ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern zu probieren, zu beobachten und ihre Vermutungen einer Prüfung zu unterziehen. Direkte Rückmeldungen unterstützen die Lernenden auf dem Weg, die Rechenregeln für die Addition ganzer Zahlen zu finden, sowie bei der Anwendung und Festigung der erworbenen Kenntnisse. Durch den Einsatz interaktiver dynamischer Arbeitsblätter erfährt das selbstverantwortete Lernen eine methodische Bereicherung. Die Schülerinnen und Schüler sollen durch Experimentieren die unterschiedlichen Regeln für die Addition ganzer Zahlen selbstständig finden. die Regeln für die Addition ganzer Zahlen verbal beschreiben und die erworbenen Kenntnisse auf unterschiedliche Beispiele anwenden können. Thema Addition ganzer Zahlen Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5-6 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Lernende, Java Runtime Environment ( kostenloser Download ) Planung Addition ganzer Zahlen Die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellte dynamische Veranschaulichung ermöglicht es Schülerinnen und Schülern, den Zusammenhang zwischen der Addition und der Subtraktion ganzer Zahlen und somit die Regel für die Subtraktion ganzer Zahlen durch angeleitetes, systematisches Probieren selbstständig zu finden. Die direkten Rückmeldungen des interaktiven Arbeitsblattes begleiten die Lernenden auf ihrem individuellen Lernweg, auf dem sie das Lerntempo und den Grad der Veranschaulichung selbst bestimmen. Sie gelangen so durch Veranschaulichung zu der Einsicht, dass man die Subtraktion ganzer Zahlen auf die Addition der Gegenzahl zurückführen kann. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass zwischen der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen ein Zusammenhang besteht. erkennen, dass man die Subtraktion ganzer Zahlen durch die Addition der Gegenzahl ersetzen kann. die gewonnenen Erkenntnisse auf unterschiedliche Aufgabenstellungen anwenden können. Thema Subtraktion ganzer Zahlen mit GeoGebra Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5-6 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Lernende, Java Runtime Environment ( kostenloser Download ) Planung Verlaufsplan: Subtraktion ganzer Zahlen Die Schülerinnen und Schüler sollen im Lernbereich "Natürliche Zahlen" die Begriffe Teilbarkeit, Vielfache und Teiler sowie Mengen kennen (Klasse 5). im Wahlpflichtbereich "Wie die Menschen Zählen und Rechnen lernten" Einblick gewinnen in das Zählen und in die Schreibweisen von Zahlen in einem anderen Kulturkreis (Klasse 5). sich im Rahmen der Prüfungsvorbereitung mit den Begriffen Teiler- und Vielfachmengen sowie mit Stellenwertsystemen auseinandersetzen (Klasse 10). Thema Zahlen und Kalender der Maya Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 (natürliche Zahlen, Schreibweisen von Zahlen) Klasse 10 (Prüfungsvorbereitung) Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplätze in ausreichender Zahl (Einzel- oder Partnerarbeit) Einführung der Lernumgebung per Beamer Schülerinnen und Schüler der Klasse 5 sind den Einsatz interaktiver Arbeitsblätter oft noch nicht gewohnt. Daher sollte der Umgang damit zunächst von der Lehrperson per Beamer gezeigt werden. Auch die Steuerung einer VRML-Animation sollte demonstriert werden. Die 3D-Animationen der Lernumgebung zum Maya-Kalender sorgen für Anschaulichkeit und vereinfachen die Visualisierung von Aufgabenstellungen und Zusammenhängen. Alle animierten GIFs und Videos der Lernumgebung wurden vom Autor mithilfe des 3D-CAD-Programmes FluxStudio 2.0 erzeugt. Hinweise zum Einsatz der Übungen Ein Hinweis auf die Notwendigkeit einer korrekten Zahleneingabe bei den Übungen führt zu erhöhter Konzentration und damit zu weniger Frusterlebnissen. Diese entstehen, wenn Fragen inhaltlich richtig, aber formal fehlerhaft (zum Beispiel durch Leerstellen) in die Arbeitsblätter eingegeben werden. Die Angaben werden dann als falsch bewertet. Auch Partnerarbeiten zwischen Schülerinnen und Schülern mit guten Deutschkenntnissen und Lernenden, denen die deutsche Sprache schwer fällt (Integrationskinder), kann zur Vermeidung von Frusterlebnissen beitragen. Inhalte der Lernumgebung Schülerinnen und Schüler lernen die Maya-Ziffern kennen. Zahnrad-Modelle veranschaulichen die Kalenderzyklen bis hin zum "Long Count", der 2012 enden wird. Die Schülerinnen und Schüler sollen eigene Vorstellungen zu den verschiedenen Grundvorstellungen der Bruchzahlen entwickeln. ihre eigenen Vorstellungen von Bruchzahlen verbalisieren können. Bruchzahlen als wichtige Bestandteile in ihrer Umwelt identifizieren und Verständnis für Sinn und Bedeutung der einzelnen Aufgaben entwickeln. an die Bedeutung von Bruchzahlen intuitiv herangehen und ein eigenes Verständnis für diese entwickeln, ohne die Begriffe Zähler und Nenner zu benutzen. die Aufgaben nach Abschluss des jeweiligen Entdeckerarbeitsblattes selbst erarbeiten können. Thema Schulung der Grundvorstellung von Bruchzahlen Autor Katrin Hausmann unter Mithilfe von Thomas Borys Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 oder 6 Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Computerraum, Software: Excel Innerhalb der gesamten Anwendung wurde das Konzept verfolgt, zu den Grundvorstellungen spezielle Übungsaufgaben (im Hauptmenü grün gefärbt) und eine zugrunde liegende Erklärung - oder Entdeckungsseite (gelb gefärbt) - anzubieten. Die Entdeckungsseiten sollen für unerfahrene Schülerinnen und Schüler einen ersten Zugang liefern. Sie verfügen über ein Textfeld, in das die Lernenden ihre Beobachtungen und ersten Versuche zur Beschreibung der verschiedenen Grundvorstellungen der Bruchzahlen schreiben können. Die Texte können nach Ende der Bearbeitung von der Lehrkraft in dem Tabellenblatt "Beobachtungen" eingesehen werden. Damit die Excel-Arbeitsblätter richtig funktionieren, müssen Makros aktiviert sein und die Sicherheitsstufe auf "mittel" eingestellt werden. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Die interaktive Excel-Lernumgebung ermöglicht den Schülerinnen und Schülern ein selbstständiges Entdecken der Lerninhalte. Thomas Borys ist Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik. Er arbeitet als Studienrat im Hochschuldienst an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe am Institut für Mathematik und Informatik. Die Subtraktion gemischter Zahlen ist einer der Bereiche der Bruchrechnung, der sich durch eine hohe Fehlerquote bei Schülerinnen und Schülern auszeichnet. Grund dafür ist nicht selten die Tatsache, dass die Lernenden über unzureichende Grundvorstellungen verfügen. So ist es oftmals im Unterricht verwunderlich, dass Aufgaben wie zum Beispiel "1 minus 3/5", die allein auf der anschaulichen Ebene ohne jedes formale Rechenkalkül zu lösen wären, zu Fehlern führen. Die hier vorgestellte Lernumgebung möchte Wege aufzeigen, wie Schritt für Schritt Grundvorstellungen aufgebaut werden können, um Aufgaben des Typs "3 2/7 minus 1 4/7" auf der anschaulichen und bildlichen Ebene zu lösen. So erzeugte Grundvorstellungen können ein nachhaltiges Lernen fördern. Die Verwendung von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern unterstützt die Lernenden und ermöglicht ihnen einen individuellen und eigenständigen Zugang zu Grundvorstellungen. Alle dynamischen Darstellungen wurden mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, eignet sich diese Software in besonderer Weise, um algebraische Zusammenhänge dynamisch zu veranschaulichen. Die Schülerinnen und Schüler sollen natürliche Zahlen als Scheinbrüche in die Bruchzahlen einordnen können. Brüche von natürlichen Zahlen und gemischten Zahlen anschaulich und symbolisch subtrahieren können. die Subtraktion einer gemischter Zahl als Subtraktion einer natürlichen Zahl und eines Bruchs verstehen lernen. die Subtraktion gemischter Zahlen symbolisch ausführen können. Thema Gemischte Zahlen anschaulich subtrahieren Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6 Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen Mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Schülerinnen oder Schüler; für die Nutzung der dynamischen Materialien benötigen Sie das kostenlose Plugin Java Runtime Environment (Version 1.4 oder höher), Javascript muss aktiviert sein. Planung Gemischte Zahlen anschaulich subtrahieren Die geometrische Veranschaulichung des Erweiterns anhand der Verfeinerung der Unterteilung eines gegebenen Rechtecks wird mithilfe von GeoGebra realisiert. Neben der dynamischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung bietet die Unterrichtseinheit eine javascript-basierte algebraische Übungsmöglichkeit zur Individualisierung und Differenzierung des Unterrichts. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende, Motivation während dieser Übungs- und Vertiefungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler die von Ihnen erreichte Punktzahl in eine Bestenliste eintragen können. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass für eine Bruchzahl unterschiedliche Darstellungen möglich sind. durch Experimentieren das Erweitern eines Bruchs visuell erfahren. das Erweitern eines Bruchs durch das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl selbstständig entdecken. die erworbenen Kenntnisse über das Erweitern von Brüchen auf unterschiedliche Beispiele anwenden. Thema Erweitern von Brüchen - eine interaktive Einführung Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Lernende, Browser mit aktiviertem Javascript; Java Runtime Environment (kostenloser Download) Unterrichtsplanung Erweitern von Brüchen - eine interaktive Einführung In dieser Unterrichtseinheit werden drei unterschiedliche Übungsmöglichkeiten vorgestellt, mithilfe derer das Rechnen mit ganzen Zahlen vertieft werden kann. Anhand von zwei Übungen soll dabei zuerst das Ausgangsniveau gesichert werden. Darin werden noch einmal die Kenntnisse zur Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen auf einen aktuellen Stand gebracht. Durch die Verwendung von variablen Rechenbäumen werden in einem zweiten Schritt die Rechenarten miteinander verbunden. Abschließend wird das bereits im Bereich der Dezimalzahlen behandelte arithmetische Mittel in Verbindung mit dem Rechnen mit ganzen Zahlen aufgefrischt und in einen Anwendungskontext, der Ermittlung von Durchschnittstemperaturen, gestellt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Kenntnisse im Bereich der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen vertiefen. durch die Kombination von Grundrechenarten im Bereich der ganzen Zahlen Sicherheit im Rechnen erlangen. das arithmetische Mittel auf ganze Zahlen anwenden können. mithilfe des arithmetischen Mittels auf Ausgangswerte schließen können. Thema Ganze Zahlen - Grundrechenarten verbinden und anwenden Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6-7 Zeitraum circa 2-3 Stunden Medien Internet Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Schüler oder Schülerinnen; Software: Java , Version 1.4 oder höher, kostenfreier Download Interaktive dynamische Arbeitsblätter können durch die automatische Kontrolle der Ergebnisse und Rückmeldungen, die den Schülerinnen und Schülern eine eigenständige Fehleranalyse ermöglichen, einen wertvollen Beitrag zur Vertiefung der erworbenen Kenntnisse leisten. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Aufbau und Funktionsweise der interaktiven Arbeitsblätter werden erläutert. Die Lernenden können eigenständig mit ihnen arbeiten. Erste Unterrichtsstunde In der einführenden Stunde lösen die Lernenden Aufgaben zur Multiplikation und Addition positiver und negativer ganzer Zahlen. Zweite Unterrichtsstunde Anhand von variablen Rechenbäumen sollen die Schülerinnen und Schüler drei fehlende ganze Zahlen ermitteln. Dritte Unterrichtsstunde Das Rechnen mit positiven und negativen ganzen Zahlen wird in einen Anwendungskontext zur Ermittlung von Durchschnittstemperaturen gestellt. Bei der Einführung des Termbegriffs gilt es, Kontexte zu finden, die es den Schülerinnen und Schülern ermöglichen, Grundvorstellungen auszubilden. Die Länge eines Zugs ist abhängig von der Länge der Lokomotive und der Länge sowie der Anzahl der Waggons. Anhand dieses konkreten Kontexts werden in dieser Unterrichtseinheit die Begriffe Term und Termwert anschaulich eingeführt. Ein wesentliches Element dieser kontextorientierten Einführung ist die enge Verknüpfung von bildlicher, symbolischer und nummerischer Darstellung, die durch die Verwendung der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra möglich wird. Für die sich anschließende Übungsphase werden Aufgaben bereitgestellt, die ein individualisiertes und differenziertes Lernen ermöglichen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Länge eines Zugs von der Länge der Lokomotive, der Länge und der Anzahl der Waggons abhängt. erkennen, dass die Zuglänge, abhängig von der Anzahl der Waggons, mithilfe von Tabellen dargestellt werden kann. Einsicht gewinnen, dass Zuglängen mit Termen beschrieben werden können. Tabellen analysieren und fehlende Termwerte ergänzen können. ausgehend von tabellarischen Darstellungen Terme selbstständig entwickeln können. Thema Terme - eine kontextorientierte Einführung mit GeoGebra Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6-7 Zeitraum circa 2-3 Stunden Medien Internet Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Schülerinnen oder Schüler; Software: Java , Version 1.4 oder höher, kostenfreier Download Planung Terme - eine kontextorientierte Einführung mit GeoGebra Die Schülerinnen und Schüler sollen den Dreisatz für die direkte Proportionalität richtig anwenden. Wertetabellen richtig ausfüllen. Zuordnungsvorschriften der Form y=mx formulieren. das Eintragen von Wertepaaren in ein Koordinatensystem beherrschen. erkennen, dass die Graphen direkt proportionaler Zuordnungen ansteigende Geraden ergeben, die durch den Koordinatenursprung verlaufen. Thema Proportionalität Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6 Zeitraum 1-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplatz (am Besten ein Computer pro Kind), Browser mit aktiviertem Javascript Einsatzmöglichkeiten Die Unterrichtseinheit zielt in erster Linie auf das Übertragen von Werten aus einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem. Dazu können die interaktiven Übungen der Arbeitsblätter entweder nach der Behandlung des Themas im Unterricht zur selbstständigen Schülertätigkeit angeboten werden (eine Unterrichtsstunde), oder bereits für die Erarbeitung des Themas "Darstellung der direkten Proportionalität im Koordinatensystem" verwendet werden (drei Unterrichtsstunden). In Klasse 6 empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers, wenn die Kinder die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Dreisatzes für die indirekte Proportionalität richtig anwenden. Wertetabellen richtig ausfüllen können. Zuordnungsvorschriften der Form y=m/x formulieren können. das Eintragen von Wertepaaren in ein Koordinatensystem beherrschen. erkennen, dass die Graphen indirekt proportionaler Zuordnungen keine ansteigende Geraden mehr ergeben, sondern bestimmte Arten von Kurven: Hyperbeläste (ohne den Begriff zu kennen). Thema Indirekte Proportionalität Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 6 Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplatz (im Idealfall ein Computer pro Kind), Browser mit aktiviertem Javascript Einsatzmöglichkeiten und Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit zielt in erster Linie auf das Üben des Übertragens von Werten aus einer Wertetabelle in ein Koordinatensystem. Dazu können diese interaktiven Übungen bereits bei der Behandlung dieses Themas im Unterricht als selbstständige Schülertätigkeit angeboten werden. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die direkte Proportionalität bereits auf diese Weise bearbeitet wurde (siehe Unterrichtseinheit Direkte Proportionalität ). In Klasse 6 empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers, wenn die Kinder die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt sind. Die Verwendung webbasierter interaktiver Arbeitsblätter zum Thema Gleichungen und Ungleichungen ermöglicht Schülerinnen und Schülern in dieser Unterrichtseinheit einen neuen Umgang mit Fehlern. Die eingesetzten Online-Arbeitsblätter sind Bestandteil der umfangreichen Unterrichtsmaterialien von realmath.de . Bei der Bearbeitung des ersten Arbeitsblattes analysieren die Schülerinnen und Schüler die Hausaufgaben des fiktiven Geschwisterpaares Paul und Paula, suchen Fehler und beschreiben deren Ursachen. Anschließend begegnen sie in einem zweiten Online-Arbeitsblatt Aufgabenstellungen, bei denen sie ihre Fehleranalyse produktiv umsetzen können: Sie bauen ganz bewusst Fehler in Gleichungen ein, die ihre Partnerin oder ihr Partner dann korrigieren soll. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Mitarbeit am SINUS-Transfer -Projekt. Sie soll insbesondere aufzeigen, wie Zielsetzungen von SINUS-Transfer durch die Unterstützung webbasierter Arbeitsblätter umgesetzt werden können (Modul 3: Aus Fehlern lernen). Die Schülerinnen und Schüler sollen Fehler in bearbeiteten Gleichungen und Ungleichungen finden. Fehler und deren Ursachen beschreiben. das Wissen über Fehler kreativ und produktiv umsetzen. Thema Gleichungen und Ungleichungen - Fehler produktiv nutzen Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 7-8 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Ein Computer mit Internetzugang für je zwei Schülerinnen oder Schüler; Browser mit aktiviertem Javascript; Beamer Unterrichtsplanung Verlaufsplan Gleichungen und Ungleichungen der Unterrichtseinheit Das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen sowie das Inversions- und Distributivgesetz müssen bereits besprochen und an Beispielen behandelt worden sein. Die Unterrichtseinheit selbst basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Methodische Vorgehensweise Wie können die negativen Vorerfahrungen der Schülerinnen und Schüler mit dem Begriff ?Fehler? ins Positive gewendet werden? Unterrichtsverlauf "Gleichungen und Ungleichungen" Beschreibung der Unterrichtsphasen, Hinweise zum Einsatz der Arbeitsmaterialien und Screenshots der Online-Arbeitsblätter Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Aus Fehlern lernen - Schwerpunkt von SINUS-Modul 3 ist die Rehabilitierung des Fehlers als Lerngelegenheit. Zentrales Element dieser Lerneinheit ist das Beispiel eines Flugzeugs, das für Scanneraufnahmen über eine Landschaft fliegt und durch eine Windböe vom geraden Kurs abkommt. Die dadurch auf dem Scannerbild entstandene Verzerrung können die Schülerinnen und Schüler durch eine Funktion korrigieren. Zusätzlich zum Verständnis der mathematischen Inhalte lernen die Schülerinnen und Schüler auch Aspekte der Fernerkundung kennen. Das Projekt FIS des Geographischen Institutes der Universität Bonn beschäftigt sich mit den Möglichkeiten zur Einbindung des vielfältigen Wirtschafts- und Forschungszweiges der Satellitenfernerkundung in den naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei entstehen neben klassischen Materialien auch Anwendungen für den computergestützten Unterricht. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen können. einen klaren Bezug zwischen den mathematischen Inhalten und der realen Situation herstellen können. die Struktur eines digitalen Bildes kennen und auf die Problemstellung übertragen können. die Anforderung an eine Funktion formulieren, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. denn Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes verstehen. Thema Pixel auf Abwegen Autoren Dr. Kerstin Voß, Henryk Hodam Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8 Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Adobe Flash-Player (kostenloser Download) Planung Pixel auf Abwegen Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Aufgaben und die Mechanismen einfacher linearer Funktionen zu verstehen. Durch die praktische Anwendung sollen mögliche Verständnisbarrieren frühzeitig überwunden werden und den Lernenden ein klarer Bezug der mathematischen Inhalte zu realen Situationen aufgezeigt werden, in diesem Fall zur rechnerischen Entzerrung von Scannerbildern. Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Moduls vielmehr das Verständnis für den Sinn und die Charakteristik von einfachen Funktionen festigen, bevor es lehrplangemäß zur Vertiefung dieser Thematik kommt. Es ist jedoch denkbar, Themen wie den Aufbau einer Funktionsgleichung oder die Herleitung einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten eines Graphen an das Modul anzulehnen und sich im regulären Unterricht sukzessive die Werkzeuge zur Lösung des Moduls zu erarbeiten. Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Funktionsbegriff ist zentrale Aufgabe des Moduls. Zusätzlich lernen die Schülerinnen und Schüler Aspekte der Fernerkundung kennen. Einführung in die Thematik Das interaktive Modul gliedert sich in ein Startmenü, eine Einleitung und den in drei Bereiche unterteilten Aufgabenteil. Aufgabenteil im Computermodul Hier wird der Aufgabenteil mit den drei Bereichen Analyse, Funktion und Entzerrung genauer beschrieben. Henryk Hodam studierte Geographie an der Universität Göttingen. In seiner Diplomarbeit setzte er sich bereits mit der multimedialen Vermittlung räumlicher Prozesse auseinander. Zurzeit arbeitet Herr Hodam als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Projekt "Fernerkundung in Schulen". Um den Kern der Problematik im Modul erfassen zu können, ist eine kurze Erklärung notwendig, denn die hier behandelte Verzerrung ist nur charakteristisch für Scannerbilder. Die Beispiele aus den Hintergrundinformationen und vor allem die interaktive Animation am Anfang des Moduls sollen hier behilflich sein. Folie 1 zeigt klar den Unterschied zwischen einem normalen Luftbild und einem Scannerbild auf. Um zu verdeutlichen, wo die Vorteile eines Scannerbildes liegen, kann Folie 2 gezeigt werden. Die Unterrichtseinheit bedient sich der Möglichkeiten des Computers, um die Thematik durch Animation und Interaktion nachhaltig zu vermitteln. Darüber hinaus ist die durchgeführte Bildkorrektur nur mithilfe eines Rechners durchführbar. Ein Umstand, der den Schülerinnen und Schülern das Medium Computer nicht als reines Informations- und Unterhaltungsgerät, sondern auch als Werkzeug näher bringt. Das Modul ist ohne weiteren Installationsaufwand lauffähig. Es wird durch Ausführen der Datei "FIS_Pixel auf Abwegen.exe" gestartet. Dazu ist ein Adobe Flash Player notwendig. Der erste Bereich des Moduls wird nach dem Start automatisch geladen. Die Animation verdeutlicht die Arbeitsweise eines flugzeuggestützten Scanners. Das Flugzeug scannt dabei eine Landoberfläche ab, gleichzeitig wird auf der rechten Seite der gescannte Bildbereich Reihe für Reihe, der aktuellen Flugzeugposition entsprechend, aufgebaut. Abb. 1 verdeutlicht dies (Platzhalter bitte anklicken). Die mittig angeordneten Pfeile dienen der Beeinflussung des Flugverhaltens. Das gescannte Bild reagiert dabei auf die ausgelösten Manöver und die entstandene Verzerrung wird angezeigt. Wird eine Seitwärtsbewegung ausgelöst, erscheint ein Button. Ein Klick auf den Button "Driftverzerrung bearbeiten" leitet über zum nächsten Menüpunkt. Zur Anpassung der Animation an geringere Rechnerleistung kann die Qualität mithilfe des Buttons im oberen linken Fensterbereich angepasst werden. Der zweite Bereich bietet eine animierte Einführung, in der ein Flugzeug über eine Landschaft fliegt. Abb. 2 gibt einen Eindruck dieser Animation (bitte auf den Platzhalter klicken). Eine semi-fiktionale Geschichte erzählt kurz, wie es zur Situation der Driftverzerrung gekommen ist, die es auf mathematischem Weg zu lösen gilt. Die "Weiter"-und "Zurück"-Buttons navigieren durch die beiden Abschnitte dieses Bereichs und leiten zum dritten Bereich, dem Aufgabenteil, weiter. Die Besonderheit der Übungen mit interaktiven dynamischen Arbeitsblättern ist darin zu sehen, dass von Schülerinnen und Schülern erstellte Zeichnungen per Computer analysiert und bewertet werden. Somit muss sich die Lehrkraft nicht mehr mit der unmittelbaren Korrektur der Schülerarbeiten befassen, sondern kann sich in einer differenzierten Unterrichtssituation leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern zuwenden und diesen bei auftretenden Schwierigkeiten helfend und erklärend zur Seite stehen. Alle dynamischen Zeichnungen innerhalb der HTML-Seiten wurden mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, eignet sich diese Software in besonderer Weise, um interaktive dynamische Lernumgebungen zu erstellen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Steigung einer Geraden durch das Steigungsdreieck eindeutig festgelegt ist. die Gleichung von Ursprungsgeraden anhand der Steigung bestimmen können. Ursprungsgeraden nach einer gegebenen Gleichung zeichnen können. die Gleichung von Ursprungsgeraden aus den Koordinaten eines Punktes bestimmen können. Thema Steigung einer Geraden - mit GeoGebra entwickeln Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe 8. und 9. Klasse Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Lernende, Browser mit aktiviertem Javascript, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Planung Steigung einer Geraden - mit GeoGebra entwickeln In der Verbindung von Alltagssituationen mit dem Thema Lineare Funktionen soll den Schülerinnen und Schülern in dieser Unterrichtseinheit durch den Einsatz von interaktiven Webseiten ein eigenständiger Wissenserwerb ermöglicht werden. Die grafische Darstellung der bei Regen steigenden Wasserhöhe in einer Regentonne in Abhängigkeit von der Zeit ist das Thema des ersten interaktiven Arbeitsblattes (von der Website realmath.de ), das in dieser Unterrichtseinheit zum Einsatz kommt. Wird das Arbeitsblatt für den Einstieg in das Themengebiet "Lineare Funktionen" verwendet, kann hier propädeutisch der Begriff der Steigung erarbeitet werden. Kommt das Online-Arbeitsblatt erst im Verlauf des Themas zum Einsatz, so kann der mathematisch erarbeitete Begriff der Steigung mit neuer anschaulicher Bedeutung gefüllt werden. In dem darauf folgenden zweiten interaktiven Arbeitsblatt sind unterschiedliche Preisangebote eines Kartbahnbetreibers grafisch dargestellt. Es ermöglicht den Schülerinnen und Schülern, die eben erworbenen Kenntnisse in einem neuen Aufgabenumfeld anzuwenden und sich in einem Wettbewerb mit den Mitschülern zu messen. Die Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Mitarbeit des Autors am SINUS-Transfer -Projekt. Sie soll insbesondere aufzeigen, wie Zielsetzungen von SINUS-Transfer durch die Unterstützung von webbasierten Arbeitsblättern umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Schülerinnen und Schüler sollen Texte grafischen Darstellungen zuordnen. Informationen aus grafischen Darstellungen entnehmen und interpretieren. selbstständig Texte zu grafischen Darstellungen erstellen. eigene grafische Darstellungen zu Sachverhalten entwerfen. Thema Lineare Funktionen - grafische Darstellungen interaktiv erkunden Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8-9 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Ein Computer mit Internetzugang für je zwei Schülerinnen oder Schüler, Browser mit aktiviertem Javascript, Beamer, OHP Unterrichtsplanung Lineare Funktionen der Unterrichtseinheit Die Unterrichtseinheit basiert auf zwei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die Interaktivität möglich wird, muss jedoch Javascript im Browser aktiviert sein. Die Inhalte der Webseiten sind so konzipiert, dass eine Behandlung der Linearen Funktionen als Voraussetzung zur Bearbeitung der Aufgaben nicht zwingend notwendig ist. Die Aufgaben können sogar als Baustein für den Einstieg in die Thematik Lineare Funktion verwendet werden. Das ?ICH-DU-WIR?-Prinzip Das methodische Konzept der Schweizer Didaktiker Peter Gallin und Urs Ruf zeigt einen Weg zur nachhaltigen Anregung individueller Lernprozesse auf. Unterrichtsverlauf "Lineare Funktionen" Hinweise zum Verlauf des Unterrichts und zum Einsatz der Arbeitsmaterialien (Arbeits- und Hausaufgabenblatt, Online-Arbeitsblätter) Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand der Funktionsmaschine den Funktionsbegriff verinnerlichen. Zuordnungsvorschriften linearer Funktionen kennen und anwenden können. Zuordnungsvorschriften der Form y=mx+n formulieren können. das Ablesen von linearen Funktionen aus dem Koordinatensystem beherrschen. das Eintragen von linearen Funktionen in ein Koordinatensystem beherrschen. Achsenabschnitte als Hilfsmittel zur Darstellung linearer Funktionen erkennen. das grafische Lösen linearer Gleichungssysteme kennen lernen. Thema Lineare Funktionen - die Funktionsmaschine Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 7 oder 10 Zeitraum etwa 4 Stunden bei der Erarbeitung in Klasse 7; etwa 2 Stunden beim Einsatz als Prüfungskomplex in Klasse 10 Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplatz (im Idealfall ein Computer pro Schülerin/Schüler), Flash-Player (kostenloser Download aus dem Internet), Browser mit aktiviertem Javascript Die Unterrichtseinheit dient der Erarbeitung des Funktionsbegriffs. Da sehr viele Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben, den Funktionsbegriff zu verinnerlichen, wird gerade auf die anschauliche Darstellung der Funktion als Maschine, die Zahlen verändert, Wert gelegt. Das Modell der Funktionsmaschine hat sich in der Mathematik-Didaktik als sehr anschaulich und einprägsam für die Lernenden erwiesen. Die auf dem ersten Arbeitsblatt verwendete Animation soll einen Beitrag zur weiteren Erhöhung dieser Anschaulichkeit leisten! Damit die Animation richtig angezeigt wird, muss ein Flash-Player für den Browser installiert sein und interaktive Webinhalte müssen zugelassen werden. Einsatz der Materialien Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter, Links zu den Onlinematerialien und Screenshots. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung des Vorfaktors a in der Funktionsvorschrift f(x) = ax 2 + bx + c erkennen und benennen können. erkennen, dass ein negatives (positives) Vorzeichen des Vorfaktors b eine Verschiebung der Parabel nach rechts (links) bewirkt, vorausgesetzt der Vorfaktor a ist positiv (negativ). den Einfluss des Vorfaktors c auf die Lage der Parabel angeben können. anhand vorgegebener Funktionsvorschriften angeben können, wie die Parabel geöffnet und verschoben ist. Thema Untersuchung von Parabeln mit Excel Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zeitraum 1-2 Unterrichtsstunden (je nach Excel-Vorkenntnissen) Zielgruppe Klasse 9 technische Voraussetzungen Rechner in ausreichender Menge für Partnerarbeit, Beamer Software Excel Die Schülerinnen und Schüler sollen Quadratische Funktionen in der Normalform erkennen und zeichnen können. Quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform erkennen und zeichnen können. Quadratische Funktionen von der Scheitelpunktform in die Normalform überführen können und umgekehrt. das Lösen Quadratischer Gleichungen beherrschen. das Lösen von Sachaufgaben mittels Quadratischer Gleichungen beherrschen. Thema Quadratische Funktionen und Gleichungen Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 oder 10 Zeitraum 7 Stunden Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplätze, im Idealfall ein Rechner pro Person; Flash-Player , Java Runtime Environment , Browser mit aktiviertem Javascript, Excel (für die Nutzung einer Hilfedatei zur Lösung Quadratischer Gleichungen); im Idealfall Beamer Die Schülerinnen und Schüler sollen die Problematik der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bewältigen. das Rechnen mit komplexen Zahlen üben. Funktionen mit zwei Variablen und deren Darstellung als Flächen im Raum kennen lernen. den Einsatz von Funktionen und Ortslinien in GeoGebra trainieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen im Umgang mit verschiedenen Software-Programmen vertraut werden. die Mathematiksoftware wxMaxima anwenden. die Mathematiksoftware GeoGebra anwenden. Thema Quadratische Gleichung Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin und Schüler, die (kostenfreie) Software GeoGebra und wxMaxima sollte installiert sein. Auf zwei verschiedene Arten sollen diese komplexen Lösungen sichtbar gemacht werden. Zum Einsatz kommen dabei die frei zugänglichen Mathematik-Programme GeoGebra und wxMaxima. Unterrichtsverlauf "Nullstellen" Hier sind die Voraussetzungen und die verwendeten Materialien für diese Unterrichtseinheit genauer beschrieben. Anregungen und Erweiterungen Weitere Vorschläge zu Anwendungen mit höhergradigen Polynomen sind hier aufgeführt. Literatur Richard Courant, Herbert Robbins Was ist Mathematik?, 5. Auflage Springer 2000, ISBN 3-540-63777-X, Seite 204 Am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent soll aufgezeigt werden, wie Schülerinnen und Schüler sich die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können. Durch die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen werden sie in die Lage versetzt, sich ihrem eigenen Lerntempo entsprechend mit den Eigenschaften von Potenzfunktionen aktiv auseinander zu setzen. Die inhaltliche Aufbereitung der einzelnen interaktiven dynamischen Arbeitsblätter bietet eine Vorstrukturierung der zu erarbeitenden Unterrichtsinhalte. So leitet die Unterteilung in geradzahlige und ungeradzahlige Exponenten sowie die Vorgabe von jeweils neun zu prüfenden Aussagen zu zielgerichtetem Experimentieren an und unterstützt den individuellen Lernprozess. Die Zahl n als Exponent steht im Folgenden in allen Funktionsgleichungen stets für eine natürliche Zahl. Die Schüler und Schülerinnen sollen erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax n auf den Verlauf des Graphen beschreiben können. erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x -n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax -n auf den Verlauf des Graphen beschreiben können. anhand vorgegebener Graphen deren Gleichung ermitteln können. Thema Potenzfunktion - Graphen analysieren, Eigenschaften entdecken Autor Dr. Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 Zeitraum etwa 3 Stunden Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang und aktiviertem Javascript für je zwei Lernende, Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) Planung Potenzfunktion - Graphen analysieren Die Schülerinnen und Schüler sollen Potenzfunktionen erkennen und in ein Koordinatensystem einzeichnen können. Potenzfunktionen mithilfe von Funktionsplottern darstellen können. das Berechnen von Wertetabellen für Potenzfunktionen beherrschen. den Einfluss des Koeffizienten a auf den Verlauf der Potenzfunktionen y = f(x) = ax n erarbeiten. Wurzelfunktionsgraphen erkennen und beschreiben können. Thema Potenzfunktionen Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 Zeitraum 2 Stunden technische Voraussetzungen Computerarbeitsplätze, im Idealfall ein Rechner pro Person; Java Runtime Environment (kostenloser Download), Browser mit aktiviertem Javascript; eventuell Beamer Die Vorteile von Netbooks für den schulischen Einsatz liegen auf der Hand: Sie sind klein, leicht und deutlich preiswerter als herkömmliche Laptops. Die vorliegende Unterrichtseinheit zeigt Einsatzmöglichkeiten digitaler Medien für den Mathematikunterricht, ohne dass dafür der Computerraum aufgesucht werden muss. Vielmehr dienen die Netbooks dazu, im eigenen Klassenraum die fachlichen Inhalte mithilfe digitaler Medien noch anschaulicher zu vermitteln. Die Schülerinnen und Schüler sollen die mathematischen Inhalte der Kurvendiskussion erfassen und anwenden können. die mathematische Software (GeoGebra, wxMaxima) bedienen können. die verschiedene Software entsprechend ihrer Vorteile unterscheiden und zielgerichtet einsetzen können. Thema Nullstellen ganzrationaler Funktionen in Netbook-Klassen Autor Dr. Karl Sarnow Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 im G8 Zeitraum 7 Stunden Technische Voraussetzungen Netbooks, Mathematiksoftware GeoGebra und wxMaxima (beides kostenfrei erhältlich) Hintergrund Einordnung der Unterrichtseinheit in den schulischen Kontext mit einer Verkürzung der Gymnasialzeit auf acht Jahre Unterrichtsverlauf 1. bis 3. Stunde Die ersten Stunden dienen dazu, dass sich die Lernenden beim ersten Einsatz von Netbooks mit den Geräten vertraut machen können. Unterrichtsverlauf 4. bis 6. Stunde Die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades werden mit wxMaxima untersucht und anschließend mit dem konventionellen Ansatz begründet. Unterrichtsverlauf 7. Stunde Thema der letzten Stunde ist die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit wxMaxima. Das Ergebnis wird im Nullstellensatz zusammengefasst. Die Schülerinnen und Schüler sollen im Lernbereich "Funktionale Zusammenhänge" Potenzfunktionen mit der Gleichung y = a* x n kennen lernen. Exponentialfunktionen mit der Gleichung y = c* a x kennen lernen. die Nutzung von Funktionsplottern üben. Die Schülerinnen und Schüler sollen im Lernbereich "Wachstumsvorgänge und periodische Vorgänge" Einblick in verschiedene Wachstums- und Zerfallsprozesse gewinnen. die Begriffe unbeschränktes Wachstum (zum Beispiel linear und exponentiell) und beschränktes Wachstum (zum Beispiel logistisch) verstehen. ihre Kenntnisse auf Exponentialfunktionen und auf Wachstumsvorgänge übertragen. die exponentielle Regression unter Verwendung von Hilfsmitteln nutzen. im Lernbereich "Funktionale Zusammenhänge" Potenzfunktionen mit der Gleichung y = a * x n und Exponentialfunktionen mit der Gleichung y = c* a x kennen lernen. Thema Die Exponentialfunktion und die "Unendlichkeitsmaschine" Autor Jens Tiburski Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Computerarbeitsplätze in ausreichender Zahl (Einzel- oder Partnerarbeit), VRML-Plugin (blaxxun Contact, Cortona3D Viewer) In der Unterrichtseinheit kommt eine interaktive Lernumgebung zum Einsatz. Wenn die Schülerinnen und Schüler die Arbeit mit dynamischen Arbeitsblättern nicht gewohnt sind, hat sich eine Einführung der Materialien per Beamer bewährt. Auch der Umgang mit einem VRML-Plugin sollte über den Beamer demonstriert werden. Hinweise zur Technik und zum Unterrichtsverlauf Das 3D-Modell der Unendlichkeitsmaschine soll die Motivation der Lernenden steigern, sich mit der Exponentialfunktion auseinanderzusetzen. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Unterschied zwischen Linearen Funktionen und Exponentialfunktionen kennen. die Begriffe Wachstumsrate und Wachstumsfaktor kennen und anwenden können. den Unterschied zwischen Linearem Wachstum und Exponentiellem Wachstum (Zerfall) kennen und aus Anwendungsbezügen das entsprechende Wachstumsmodell bestimmen können. die Begriffe Anfangswert und Wachstums-(Zerfalls-)faktor kennen und anwenden können. den Einfluss des Wachstumsfaktors a beziehungsweise des Zerfallsfaktors 1/a auf den Graphen der Exponentialfunktion kennen. die Eigenschaften der Exponentialfunktionen kennen. verschiedene Wachstums-(Zerfalls-)faktoren bestimmen und Funktionsvorschriften angeben können. Thema Einführung der Exponentialfunktionen mit GeoGebra Autoren Sandra Schmidtpott, Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 Zeitraum 6-8 Unterrichtsstunden Technische Vorraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Partner- oder Kleingruppenarbeit), Beamer, GeoGebra, Java-Plugin Von der GeoGebra-Homepage können Sie die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit in zwei Paketen (ZIP-Archive) herunterladen: Das Bevölkerungsmodell von Malthus sowie die Materialien zur Verzinsung und Exponentialfunktion . Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen magische Quadrate als solche erkennen können. magische "4 x 4"-Quadrate auf weitere Eigenschaften hin untersuchen können. aus bereits bekannten magischen Quadraten neue erstellen können. ein magisches Geburtstagsquadrat erstellen können. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 16 erzeugen können (eine nicht ganz einfache Krönung der Arbeit). Thema Magische Quadrate Autorin Dr. Renate Motzer Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 5 Zeitraum 2-10 Stunden, je nachdem wie viele Fragestellungen bearbeitet werden Technische Voraussetzungen Computer mit Tabellenkalkulationssoftware (hier Microsoft Excel) Die vorliegende Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit magischen "4 mal 4"-Quadraten, wie sie von der Grundschule bis zur gymnasialen Oberstufe untersucht werden können. Schülerinnen und Schüler können sich oder Freunden ein magisches Geburtstagsquadrat errechnen, sobald ihnen negative Zahlen vertraut sind. Es sind auch schon gute Erfahrungen mit Lernenden in der Primarstufe gesammelt worden, die sich, so weit es bei ihren Daten nötig war, auch an negative Zahlen herangewagt haben. Für Schülerinnen und Schüler höherer Jahrgangsstufen gibt es weiterführende Aufgabenstellungen, die zum einen mit dem Lösen von Gleichungssystemen, zum anderen mit Matrizenaddition und skalarer Multiplikation zu tun haben. Oberstufenschülerinnen und -schüler können mit den Eigenschaften von Vektorräumen arbeiten. Auch in niedrigeren Jahrgangsstufen kann man sich mit manchen Vektorraumeigenschaften - ohne die zugehörigen Begrifflichkeiten - auseinandersetzen. Unterrichtsverlauf und Materialien Neben der Addition der Linearkombinationen von Grundquadraten können magische Quadrate auch auf anderen Wegen gefunden werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich magischen Quadraten auf spielerische Weise nähern. die grundsätzlichen Eigenschaften magischer Quadrate kennen lernen. Thema Magisches Quadrat digital Autoren Elfi Petterich Fach Mathematik, auch für Vertretungsstunden geeignet Zielgruppe ab Klasse 5 (für alle Klassenstufen als spielerische Ergänzung zu magischen Quadraten) Zeitraum weniger als 1 Stunde Technik Computerarbeitsplätze zur Nutzung des Computermoduls, Lautsprecher müssen aktiviert sein. Das Programm ist im Grunde altersstufenunabhängig. Es ist ab der Klasse 5 einsetzbar, kann aber ebensogut auch bei älteren Schülerinnen und Schülen genutzt werden. Nutzung und Anpassung des magischen Quadrates Hier finden Sie Erläuterungen zur Funktionsweise des Programms sowie zur Möglichkeit der Darstellung eigener magischer Quadrate.