Die Existenz der tropischen Regenwälder ist akut bedroht. Anhand eines spannenden Krimispiels setzen sich Schülerinnen und Schüler ab der 7. Klasse mit dem Ökosystem Regenwald und der Vernetzung mit unserer Lebens- und Konsumwelt auseinander. Die Vielfalt der Lebewesen, die unsere Erde bewohnen, ist überwältigend. Knapp 1,5 Millionen Pflanzen- und Tierarten sind uns bekannt. Wissenschaftlichen Schätzungen zufolge leben auf der Erde aber sogar mindestens 5 Millionen Arten. Über zwei Dritteln davon bieten die tropischen Regenwälder Schutz und Nahrung - doch die Existenz der artenreichsten natürlichen Lebensräume ist akut bedroht. Die Gesamtfläche der Regenwälder, die noch vor weniger als einem Jahrhundert mehr als ein Zehntel der Landfläche der Erde bedeckten, ist inzwischen auf die Hälfte dessen geschrumpft. Durchschnittlich werden pro Jahr weitere zwölf Millionen Hektar abgeholzt. Die Vernichtung der tropischen Regenwälder ist eine der Hauptursachen für das katastrophale Ausmaß des Artensterbens auf unserem Planeten. Denn durch die Vernichtung der Wälder haben wir gleichzeitig auch den dramatischen Rückgang an Arten zu verzeichnen. Durch menschlichen Einfluss werden derzeit jährlich ungefähr 30.000 Pflanzen- und Tierarten ausgelöscht. Die Unterrichtseinheit Tatort Tropenwald führt die Schülerinnen und Schüler in der Rolle als Ermittler in einem Krimi spielend-entdeckend an die Themen Tropenwaldschutz und Erhaltung der Biodiversität heran. In Kleingruppen untersuchen sie Schritt für Schritt die komplizierte Vernetzung zwischen menschlichem Leben und der Existenz der Tropenwälder als Lebensraum für Millionen von Pflanzen- und Tierarten. Ebenso setzen sie sich mit sozialpolitisch und gesellschaftlich relevanten Bereichen auseinander. Im Fokus der Recherche stehen auch die unterschiedlich motivierten Interessensgruppen am Regenwald vor Ort - etwa Grundbesitzer, einheimische Volksstämme, Kleinbauern und die globale Großindustrie. Sie hinterfragen Produktion und Konsum in den Industrienationen und deren Auswirklungen auf den Bestand des tropischen Regenwalds. Interessant ist dabei auch, welche Rolle Journalisten in diesem "Mordfall" spielen. Hintergrundinformationen und Vorbemerkungen Hintergrundinformationen zum Themenkomplex Regenwald sowie Bemerkungen zu zentralen Ansätzen der Unterrichtseinheit sind hier kurz zusammengefasst. Inhalt und Ablauf des Krimispiels Der Mitmach-Krimi verfolgt einen handlungs- und erfahrungsorientierten Ansatz. Detailliertere Informationen zur Umsetzung im Unterricht finden Sie hier. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erwerben Wissen über das Ökosystem Regenwald, seine Bedrohung und über den Schutz des Regenwaldes und können dieses Wissen anwenden. stellen eine Verbindung zwischen dem Regenwald und unserem Alltag in Deutschland her und hinterfragen diese kritisch. sind in der Lage, Verständnis für globale Vernetzungen und Abhängigkeiten zu entwickeln. erlangen Entscheidungs- und Bewertungsfähigkeit und entwickeln selbst Maßnahmen, die zum Schutz des Regenwaldes beitragen. Gestaltungskompetenz Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, individuelle und kulturelle Leitbilder zu reflektieren. können das eigene Handeln als kulturell bedingt und veränderbar wahrnehmen. entwickeln eigenständige Handlungsalternativen. können die eigene Meinung äußern, akzeptieren andere Standpunkte und arbeiten kooperativ im Team. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können verschiedenartige Medien wie Texte, Tabellen und Grafiken hinsichtlich relevanter Informationen auswerten. setzen Informationen aus verschiedenen Medien miteinander in Verbindung. lernen, diese Informationen in anderen medialen Darstellungsformen wiederzugeben und zusammenzufassen. Materialien von OroVerde Der Mitmachkrimi "Tatort Regenwald" für den Unterricht ist Lehrmaterial, das die Tropenwaldstiftung OroVerde konzipiert und herausgegeben hat. Neben dem Krimispiel gibt es außerdem Materialien für die Grundschule (3./4. Klasse, "Schokolade wächst auf Bäumen?!"), für die 5. und 6. Klasse ("Warum regnet es im Regenwald?") und für Schülerinnen und Schüler ab der 8. Klasse ("Geist ist geil!" - Werbung und Natur). Projektträger ist OroVerde, die Stiftung zur Rettung der Tropenwälder. In Addition zum Pilotprojekt "Weil wir es wert sind" entstanden die Materialien für den Unterricht. Jugendliche für Natur, Umwelt und BNE begeistern Das OroVerde-Projekt "Weil wir es wert sind" startete im Jahr 2009 und setzte sich zum Ziel, junge Menschen - vor allem Schülerinnen und Schüler an Hauptschulen - für die Themen Natur, Umwelt und nachhaltige Entwicklung zu begeistern. Kern des Pilotprojekts sind eigenständige Kampagnen und Schülerfirmen von Jugendlichen, die aus den schulischen Aktivitäten rund um das Thema Schutz des Tropenwalds hervorgehen. Der Titel "Weil wir es wert sind" soll dabei bewusst zur Stärkung des Selbstwertgefühls der Jugendlichen beitragen. Auch der Austausch von Meinungen untereinander wird gefördert. Eigene Kampagnen zum Thema Regenwald Mit Unterstützung von Expertinnen und Experten aus der Praxis entwickeln die Schülerinnen und Schüler eigene Kampagnen zum Thema Regenwald. Die Umsetzung und Gestaltung wurde zudem filmisch festgehalten und zu einem Motivationsfilm zusammengestellt. Gemeinsam mit den Materialien kann dieser Film sowie der OroVerde-KlimaClip (für jüngere Jahrgänge, siehe Internet-Links) im Unterricht eingesetzt werden. Aus dem Gleichgewicht geraten Das komplexe biologische System des tropischen Regenwalds hält sich selbst im Gleichgewicht. Durch die Vielfalt und Anpassungsfähigkeit seiner Flora und Fauna können äußere Eingriffe und Störungen natürlicher Art ausgeglichen werden. Dieses Stabilisierungsvermögen ist allerdings begrenzt. Zu starke Eingriffe in den Regenwald und seine Artenvielfalt führen zu einem Kollaps des "Systems Regenwald" und wegen dessen immenser ökologischer Bedeutung letztendlich zur Vernichtung unserer Lebensgrundlagen. Lösungsansatz: Umdenken und Armut in der Dritten Welt bekämpfen Ein bedeutender Lösungsansatz liegt darin, dass Menschen ihre Kultur, Lebensstil und die alltäglichen Gewohnheiten hinterfragen und umweltschädigende Muster erkennen, um ihr Verhalten nachhaltig zu ändern. Dies gilt für Industrie- wie Entwicklungsländer gleichermaßen. Als eine weitere Ursache sehen Experten die Massenarmut in den Entwicklungsländern an. Etwa zwei Milliarden Menschen in den Ländern der Dritten Welt sind auf Holz als Hauptenergieträger angewiesen. Tropenwaldschutz bedeutet darüber hinaus auch Klimaschutz, denn 17 Prozent der weltweiten CO2-Emissionen resultieren aus der Vernichtung der Tropenwälder. Genau hier setzt die Bildung für nachhaltige Entwicklung an. Mehr Hintergrundinfos zum Thema gibt es unter dem Punkt "Internetadressen". Schon für Erwachsene ist es eine Herausforderung, die Bedeutung des tropischen Regenwaldes für das Leben und unseren Alltag in den Industrieländern nachzuzeichnen. Für Kinder und Jugendliche stellt diese Thematik ein inhaltlich derart komplexes Verbindungsgeflecht dar, dass sie im konventionellen, fragend-entwickelnden Unterricht von der Fülle der Inhalte schnell überfordert sind. Deshalb bedient sich "Tatort Tropenwald" einer Methode, die die Neugier der Jugendlichen weckt und das selbstständige Entdecken und Erforschen fördert. Somit kann eine individuelle Meinungsbildung aller Schülerinnen und Schüler herausgefordert und gefördert werden. Im Sinne der durch BNE proklamierten Förderung von Gestaltungskompetenz können nur diejenigen handeln und gestalten, die zuvor eigene Standpunkte und Lösungsansätze entwickelt haben. Krimispiel Das Krimispiel als erste Hauptphase der Einheit ist so konzipiert, dass sich die Schülerinnen und Schüler in Kleingruppen selbstständig Lösungswege erarbeiten. Sie recherchieren aus unterschiedlichen Blickwinkeln, bis sie den oder die Akteure, die schwere Verbrechen an der Umwelt begehen, dingfest machen. Sie entscheiden dabei selbst, welchen Weg sie verfolgen. Reflektion In der zweiten großen Phase (Vertiefung und Auswertung) geht es darum, die erfahrenen Beziehungen und Wechselwirkungen rund um den tropischen Regenwald gemeinsam im Plenum zu reflektieren. So kristalisiert sich für alle ein Gesamtbild des "Falls" heraus. Das Opfer: ein deutscher Journalist Bei dem Opfer im Krimi handelt es sich um einen deutschen Journalisten namens Peter Zimmermann. Er war für eine Reportage zum Thema "Die Bedrohung der Regenwälder" in Brasilien unterwegs. Sein Leichnam wurde am Rande einer Lichtung entdeckt. Zentrale Fragestellungen Die Fragen, die sich den Schülerinnen und Schülern in der Rolle der Ermittelnden nun stellen, sind unter anderem: Welche Missstände wollte Peter Zimmermann in seiner Reportage aufdecken? Welche heiße Spur hat er verfolgt? Gibt es Netzwerke und Zusammenhänge, deren Aufdecken verhindert werden sollte? Sind allein seine Arbeit oder seine Recherchen die Ursache für seinen Tod? Schülerinnen und Schüler folgen Spuren In Kleingruppen folgen die Ermittlerteams verschiedenen Spuren und werden so Schritt für Schritt an eine Lösung des Falls herangeführt. Jede Spur fußt auf Aussagen von Beteiligten. Die Lernenden folgen den Spuren, indem sie die jeweiligen Aussagen aufmerksam lesen und eigenständig entscheiden, wen es für die Lösung des Falls als nächstes zu befragen gilt. Alle Kleingruppen erhalten detaillierte Informationen zur Ausgangslage und zudem einzelne "Fundstücke", die als Hinweise dienen und die Ermittlungen vorantreiben. Der Übersichtlichkeit und der Veranschaulichung des Ermittlungsfortschritts halber halten die Schülerinnen und Schüler aufgedeckte Verbindungen in einem Netzdiagramm fest. Die Vernetzungen und Abhängigkeiten, die die Jugendlichen auf diese forschend-entdeckende Art aufspüren, entsprechen den tatsächlichen Vernetzungen unserer Alltagswelt. Dieser Aspekt tritt in der Nachbereitung des Krimispiels in den Vordergrund. Vorbereitung Zunächst sollten eine Weltkarte an der Wand angebracht und Klebepunkte bereit gestellt werden. Die Aussagen der Beteiligten und der Zeugen sowie die Handouts "Ausgangslage" und "Fundstücke" werden gemäß der Kleingruppeneinteilung vervielfältigt. Die Lösung sollte groß kopiert oder vergrößert über Beamer oder Projektor präsentiert werden. Nun können Aufsteller oder Schilder für die Ermittlungsgruppen (A, B, C, D oder 1, 2, 3, 4) bereit gestellt werden. Jedes Ermittlungsteam benötigt Karteikarten, am besten in drei verschiedenen Farben. Um die Situation etwas realitätsnaher zu gestalten können auch Detektivutensilien zum Einsatz kommen, auch das Anspielen der "Tatort"-Titelmusik als musikalische Krimi-Untermalung bietet sich an. Die Quizfragen Diese Fragen sollen an der Tafel stehen. Achtung: die Tafel zunächst zugeklappt lassen! Wer war der Täter? Wie kam es zum Tod von Peter Zimmermann? Wieso war Peter Zimmermann in Brasilien? Was hat die Ölgesellschaft mit den Indianern von Nova Verde zu tun? Warum roden die Bauern der Agrargesellschaft den Regenwaldb nicht mehr illegal? Was hat Indonesien mit dem Fall zu tun? Wieso gehört der Großgrundbesitzer Rutloff zum Kreis der Verdächtigen? Jedes Ermittlerteam arbeitet eigenständig an dem Fall. Jeder Hinweis verbirgt weitere Hinweise. Dazu nennen die Ermittler der Lehrkraft Name und Adresse desjenigen Zeugen, den sie befragen möchten. So erhalten Sie weitere Informationen, mit denen sie eigenständig weiter ermitteln können. Hinweise und Zeugenaussagen können nur nacheinander eingeholt werden, gleichzeitig zu zwei Personen zu gehen ist nicht erlaubt. Zu jeder Person ist nur eine Aussage vorhanden. Das heißt, die Personen können nicht mehrmals befragt werden. Jedes Team benennt einen Protokollanten. Er oder sie notiert, was der Gruppe bei Spuren und Aussagen wichtig erscheint oder auch Spuren, die das Team erst einmal nicht verfolgt. Diese Kategorisierung kann anhand der verschiedenfarbigen Karteikarten erfolgen. Der Fall gilt als gelöst, wenn das Ermittlerteam am Ende den Täter und seinen Aufenthaltsort nennen kann und zudem vier der sieben Quizfragen richtig beantwortet hat. Um zur Lösung zu gelangen, müssen die Ermittlerteams auf jeden Fall über das Nachrichtenmagazin "Ficus" sowie über "Karla Mertens" und die "Forschungsstation" gehen. Das Lösungsschaubild befindet sich in der Materialmappe. Bei jeder Zeugenaussage sind mögliche verfolgbare Spuren mit Name und Adresse angegeben. Bei älteren Schülerinnen und Schülern oder starken Lerngruppen sollte auf diese Hilfe im Sinne der Differenzierung in Sachen Anspruch verzichtet werden. Um als Lehrkraft ein besseres Gefühl für die Spielsituation und für mögliche Fragen der Schülerinnen und Schüler zu bekommen, ist es ratsam, das Krimispiel vorher selbst einmal zu testen. Da jedes Schüler-Ermittlerteam unterschiedliche Wege zur Lösung des Falls einschlagen kann und dadurch am Ende möglicherweise nicht alle Gruppen sämtliche Ermittlungsfelder durchwandert haben, ist es bei der Auswertung wichtig, den Fall in seiner ganzen Komplexität zu präsentieren - für alle Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Es empfiehlt sich, das Lösungsschaubild zu vergößern und die Lösung über Beamer oder Projektor zu zeigen. Anhand dieser Übersicht kann jedes Ermittlerteam nun präsentieren, wie es zur Lösung des Falls kam oder erklären, wo es Schwierigkeiten gab. Gibt es vielleicht auch einen Ermittlungsstrang, den keines der Teams ausgewählt hat? Nun werden die Quizfragen gemeinsam besprochen. Die Übersicht und die Quizfragen verdeutlichen, dass der Krimi verschiedene Themenfelder rund um den Tropenwald aufgreift: Holz, Bodenschätze, Landwirtschaft und Besonderheiten des Regenwalds. Durch die Aussage von Dr. Ortega lässt sich auch das Themenfeld Klima festhalten. Als erste Aufgabe sammeln die Schülerinnen und Schüler nun gemeinsam mit dem Partner oder der Partnerin (oder auch im Plenum, an der Tafel), welche Informationen im Krimi zu den einzelnen Themenfeldern geliefert wurden. Abschließend und im Hinblick auf eine Vertiefung der Themen des Krimispiels in den folgenden Stunden überlegen die Schülerinnen und Schüler, was der Regenwald und die Themen des Krimis mit unserem Alltag in Deutschland zu tun haben könnten. Die Themen Holz, Bodenschätze, Landwirtschaft und Besonderheiten des Regenwalds können nach der Durchführung des Krimispiels in den Folgestunden vertiefend behandelt werden. Zu jedem Thema findet sich in der Materialmappe ein Arbeitsblatt. Alle Arbeitsblätter können mit einer oder mehreren Karteikarten kombiniert werden. So entstehen für die Vertiefungsphase dieser Einheit Arbeitspakete für alle vier inhaltlichen Schwerpunkte, anhand derer die Schülerinnen und Schüler einen Zusammenhang zwischen unserer Konsum- und Lebensweise und der Bedrohung des Regenwalds herstellen können. Material 1: Rinderwahn am Amazonas Themen sind die Problematik der Viehzucht am Amazonas und Besonderheiten des tropischen Nährstoffkreislaufs. Kombinationsmöglichkeit: Karteikarte 1 "Vom Regen in die Traufe" Material 2: Wieviel wiegt eine Cola-Dose? Hier wird der ökologische Rucksack einer Cola-Dose thematisiert. Welchen Rohstoff- und Ressourcenverbrauch beinhaltet diese Form der Getränkeverpackung? Kombinationsmöglichkeit: Karteikarten 2 "David gegen Goliath" und 3 "Die Dose aus dem Regenwald" Material 3: Der Tropenholz-Test Wie erkenne ich Tropenholz und wie unterscheidet es sich von einheimischem Holz? Kombiniert mit der Karteikarte 4 "Heiße Ware Tropenholz" und dem Flyer "Runter vom Holzweg" kann der reale Hintergrund des Krimis - eine Recherche des Fernsehmagazins "Monitor" zu Regenwaldholz in Bundesgebäuden - erforscht werden. Material 4: Stockwerkaufbau im Regenwald Themen sind der Stockwerkbau und der kleine Wasserkreislauf im Regenwald. Gemeinsam mit den Karteikarten 5 ("Warum regnet es im Regenwald?"), 6 ("Sie können nicht ohne einander.") und 7 ("Regenwald in Gefahr!") kümmern sich die Jugendlichen mit dem Materialpaket 4 um die Besonderheiten des Regenwalds. Die Jugendlichen bearbeiten in Gruppen jeweils eines der vier Arbeitspakete. Anschließend stellen sie ihre Ergebnisse eigenständig zusammen und den Mitschülerinnen und Mitschülern vor. Besonders nachhaltig ist auch eine Aufbereitung in Form von Plakaten und Wandzeitungen, die innerhalb einer Projektwoche ausgestellt oder öffentlich präsentiert werden können.

Die hier vorgestellten spielerischen Versuche zur Auftrennung gängiger Faserstift-Farben und die folgende wissenschaftlich exakte Identifizierung von Inhaltsstoffen gängiger Schmerztabletten mithilfe von Referenzsubstanzen sind der Garant für eine hohe Motivation der Lernenden. Modellierungen mit Excel veranschaulichen den Begriff des multiplikativen Gleichgewichts bei der Chromatographie.Die Experimente zur Chromatographie verdeutlichen die Bedeutung der Trennmethode und geben Denkanstöße zu anderen Themenbereichen - bis hin zur DNA-Analyse oder dem Nachweis von toxischen Verunreinigungen oder Fremdsubstanzen in Modedrogen. Vor den praktischen Übungen werden mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (hier Excel) die Verteilungsvorgänge bei der Dünnschichtchromatographie (Austauschvorgänge zwischen mobiler und fester Phase) mathematisch modelliert und grafisch dargestellt. Die Lernenden verstehen die Verteilungsvorgänge mithilfe des Computers als ?Zeichen- und Rechenknecht?. In der Unterrichtseinheit verbinden sich somit am Computer entwickelte Modellvorstellungen mit greifbaren Versuchsergebnissen. 1. Stunde: Chromatographie - eine revolutionäre Technik Allgemeine Hinweise zur Dünnschichtchromatographie 2. Stunde: Mathematische Simulation der multiplikativen Verteilung Mit Excel-Dateien wird die multiplikative Verteilung von zwei zu trennenden Stoffen berechnet und in Diagrammform dargestellt. 3. Stunde: Chromatographie von Farbstoffgemischen Einstieg in die Chromatographie-Praxis: Hier finden Sie Hinweise zur Durchführung, Ergebnisbeispiele und eine ausführliche Versuchsanleitung für die Lernenden. 4. Stunde: Chromatographie von Schmerzmitteln Die Schülerinnen und Schüler analysieren die Bestandteile eines Schmerzmittels und nutzen das Internet, um die Medikamenten-Marke zu bestimmen. Weitere Versuchsvorschläge und Anregungen Experimente zur Trennung von Pflanzenfarbstoffen Die Schülerinnen und Schüler sollen die Verteilung von Farbstoffen mithilfe einer vorgegebenen Excel-Datei bei unterschiedlichen Verteilungskoeffizienten simulieren und die Auswirkungen an der Excel-Grafik ablesen. an einigen Beispielen die zugrunde liegende Excel-Rechenanweisungen zur Konzentrationsberechnung nachvollziehen. experimentell sauber arbeiten und Versuchsprotokolle führen können. in einem Versuch zur Trennung von Farbstoffgemischen erleben, dass die Dünnschichtchromatographie überraschende Ergebnisse liefert. in einem Versuch zur Trennung von Schmerzmitteln die Komponenten einer Schmerztablette identifizieren und mithilfe von Internetrecherchen einem Markennamen zuordnen oder die Auswahl der in Frage kommenden Produkte eingrenzen. weitere Versuche durchführen (Trennung von Paprika-, Curry- und Blattfarbstoffen). Das Wort "Chromatographie" (aus dem Griechischen) bedeutet "mit Farbe schreiben" (chroma = Farbe, graphein = schreiben). In der Chemie fasst man unter diesem Begriff keine Maltechnik, sondern eine Reihe von Techniken zur analytischen Trennung von Stoffen zusammen: Papier-, Dünnschicht-, Gaschromatographie und noch weitere moderne Methoden. Die Chromatographie war und ist für die Naturstoff- und Biochemie von sehr großer Bedeutung, da man mit ihr Stoffgemische sehr leicht trennen und die Bestandteile identifizieren kann. Erwin Chargaff hat zum Beispiel mithilfe chromatographischer Techniken einen wesentlichen Beitrag zur Strukturaufklärung der DNA geleistet. In modernen Labors werden Chromatographien automatisiert durchgeführt und per Computer ausgewertet. Feste Phase Bei der Dünnschicht-Chromatographie benutzt man eine feste Phase auf einem Trägermaterial (Alufolie, Plastikfolie oder Glasplatte), an der die zu untersuchenden Stoffe getrennt werden. Die feste Phase kann zum Beispiel Cellulose, Aluminiumoxid oder Kieselgel sein. Sie ist sehr fein und gleichmäßig auf dem Trägermaterial verteilt. Mobile Phase: Das Laufmittel Die flüssige Phase bewegt sich durch Kapillarkräfte durch die feste Phase und transportiert dabei die Stoffe des Substanzgemisches. Auftragung der Substanzproben Auf die Dünnschichtchromatographie-Folie trägt man mithilfe einer Kapillare die Proben punktförmig entlang einer Startlinie auf und lässt sie eintrocknen. Nach dem Auftragen der Proben stellt man die Folie aufrecht in einen Chromatographie-Tank, der gerade soviel von der mobilen (flüssigen) Phase enthält, dass die Startlinie mit den aufgetragenen Proben einen halben Zentimeter oberhalb des Flüssigkeitsspiegels liegt. Durch Kapillarkräfte beginnt die mobile Phase durch die feste Phase zu wandern und zieht dabei die Substanzproben mit sich. Während der Chromatographie stellt sich entlang der Laufstrecke ständig ein neues Gleichgewicht ein zwischen der Lösung des Stoffes (in der mobilen Phase) und der Adsorption des Stoffes (an die stationäre Phase). Nimmt man die Folie aus dem Gefäß und trocknet sie, so befindet sich der "Fleck" jeder Komponente der Probe auf einer ganz bestimmten Höhe des Chromatogramms (wobei sich die Farbstoffmengen der mobilen und der stationären Phase nach der Trocknung der Folie an jedem Ort jeweils addieren). Die Trennung kommt dadurch zustande, dass sich die Substanzen verschieden gut in der mobilen Phase lösen und weitertransportiert werden. verschieden fest an die feste Phase angelagern (Adsorption). Der Rf-Wert Je besser sich eine Substanz im wandernden Lösungsmittel löst und je kleiner ihre Affinität zum Trägermaterial ist, desto schneller und weiter wird sie mit dem Lösungsmittel wandern. Daraus ergibt sich als eine charakteristische Größe der Rf-Wert ("Ratio of front") der Substanz (Wanderungsstrecke der Substanz / gesamte Wanderungsstrecke des Lösungsmittels). Der maximale Rf-Wert beträgt somit 1, meist liegt er deutlich darunter. Er hängt von der chemischen Struktur der Substanz, vom Trägermaterial und vom Lösungsmittelgemisch ab (Kammmersättigung und konstante Versuchstemperatur werden vorausgesetzt). Jonas Hostettler vom Departement Chemie der Universität Basel hat ein kleines Simulationsprogramm entwickelt und für die Veröffentlichung zur Verfügung gestellt. Es eignet sich sehr gut als Ergänzung zu den eher trockenen Erklärungen der Vorgänge bei der multiplen Verteilung (Beamerpräsentation, Nutzung am heimischen Rechner oder im Computerraum). In dem ZIP-Ordner "dc_simulation_verteilung" (siehe unten) finden Sie die Datei "Verteilung.htm", mit der Sie das Programm per Mausklick starten (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Weisen Sie Ihre Schülerinnen und Schülern darauf hin, dass in den Reagenzgläsern die untere (grüne) Phase der stationären Phase, die obere (blaugrüne) Phase der mobilen Phase, also dem Fließ- oder Laufmittel, entspricht. Um die Simulation starten zu können, müssen für die beiden zu trennenden Stoffe Verteilungskoeffizienten (v) Werte eintragen werden. Mit dem Wert für "i" geben Sie die Zahl der im ersten Schritt zu simulierenden Trennschritte vor. Durch den Klick auf "Rechne!" wird dann das multiplikative Gleichgewicht für eine entsprechende Zahl von Reagenzgläsern berechnet. Die Konzentrationen der Stoffe werden als Balkendiagramme dargestellt. Dabei werden leider nur die Konzentrationen in der mobilen Phase (grün) berücksichtigt. Durch Klick auf "i+1" wird jeweils ein weiterer Trennschritt berechnet. (Aus programmiertechnischen Gründen startet die Software bei i-Werten, die größer sind als eins, jeweils beim "letzten" Trennschritt.) Die Excel-Dateien können zur Unterstützung des Unterrichtsgespräches eingesetzt werden. Dazu sind lediglich ein Präsentationsrechner und ein Beamer erforderlich. Machen Sie sich mit den Simulationen vor der Verwendung im Unterricht vertraut. Verwenden Sie am besten die Verteilungskoeffizienten 0,5 für den roten und blauen Farbstoff - hier werden die Zahlenreihen am verständlichsten. Die Funktionen und Eigenschaften der beiden Excel-Simulationen werden in den folgenden Abschnitten dargestellt. Darstellung der multiplikativen Verteilung Mit der Datei "1_multiplikative_verteilung_5_schritte.xls" (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken) wird eine Stofftrennung (rechnerisch) mit nur fünf Trennschritten simuliert: Die Konzentrationen eines roten und eines blauen Farbstoffs in der mobilen und der stationären Phase werden rechnerisch und grafisch dargestellt. Die Konzentrationen und die Verteilungskoeffizienten der Stoffe (rote Zahlen = roter Farbstoff, blaue Zahlen = blauer Farbstoff) lassen sich ändern. Die Ergebnisse werden jeweils in einer Grafik ("Multiple Verteilung - stationäre und mobile Phase") dargestellt, die sich den eingegeben Werten automatisch anpasst. In der Spalte B steht "GG" für die Einstellung des Gleichgewichtes, der nach rechts gerichtete Pfeil für das "Vorrücken" der Fließmittelfront. Variation der Verteilungskoeffizienten In den Feldern L2 und L4 (siehe Abb. 3) können die Verteilungskoeffizienten geändert werden (Werte zwischen 0 und 1). Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten. Diese Felder geben an, zu welchen Anteilen die beiden Stoffe in die mobile Phase übergehen: In Feld D6 steht dann der Anteil roten Farbstoffs, der in die mobile Phase übergeht (0,25 entspricht 25 Prozent), im Feld G6 der Anteil roten Farbstoffs, den die stationäre Phase in dem jeweiligen Schritt absorbiert (1 - 0,25 = 0,75; also 75 Prozent). Um den Inhalt der Felder D6 und G6 brauchen Sie sich nicht zu kümmern - ihre Werte richten sich nach der Eingabe in L2 und L4 (Vorgabe der Verteilungskoeffizienten). Stoffmengen In den Feldern E2 und E4 (Abb. 3) können die Stoffmengen variiert werden. Werte unter zehn liefern im Graphen zu flache Kurven und werden nicht angenommen. Wie werden die Berechnungen durchgeführt? Die gelb unterlegten Felder (siehe Abb. 4 und Abb. 5) enthalten die Stoffmengen der mobilen Phase, die blau unterlegten enthalten die absorbierten Anteile der stationären Phase. Vor dem Weiterwandern der mobilen Phase, also hinter der Fließmittelfront, findet eine Gleichgewichtseinstellung statt (Abb. 4). Nach der Gleichgewichtseinstellung wandert die mobile Phase weiter - zunächst ohne erneute Gleichgewichtseinstellung (Abb. 5). Danach findet wieder eine Gleichgewichtseinstellung statt und das Fließmittel wandert wieder eine Zelle weiter - und so geht es weiter, bis fünf Trennschritte simuliert sind. Ganz unten in der Tabelle (Zeile 48 und 49, siehe Abb. 2) werden die Stoffmengen der stationären und der mobilen Phase für jeden Farbstoff und jede Zelle addiert. Diese Werte erscheinen in der Grafik. Natürlich sind fünf Trennschritte noch zu wenig, um eine scharfe Trennung der Farbstoffe zu simulieren. Dies ist mit der zweiten Excel-Datei möglich (2_multiplikative_verteilung_stat _mobil_10_schritte.xls), die zehn Trennschritte simuliert (Abb. 6, Platzhalter bitte anklicken). Dabei werden die Verteilungen in der stationären und mobilen Phase - im Unterschied zur ersten Simulation - zusammengefasst. Dies ist im Vergleich zur ersten Simulation ein Vorteil: dort müssen bei der Betrachtung der Trennschritte die Stoffmengen der mobilen und der stationären Phase jeweils addiert werden. Wieder gilt: Rote Zahlen gelten für den roten, blaue für den blauen Farbstoff. Wie funktioniert diese "Zusammenfassung" der Stoffmengen in der stationären und mobilen Phase? Betrachten wir in Abb. 7 das oval markierte Feld E14. Wir wollen gerade die Teilchenmengen berechnen, die im dritten Trennschritt anfallen. E14 wird mit zwei Teilchenmengen "versorgt": Von der Zelle davor kommt der Anteil an Substanz hinzu, der in ihr in die mobile Phase übergegangen ist ("C12*D6", also das Produkt der Werte aus den Zellen C12 und D6) und weitertransportiert wird (grüner Pfeil). Zusätzlich kommt der Inhalt der Zelle hinzu, der von der stationären Phase festgehalten (E12*G6) und nicht weiter transportiert wird (roter Pfeil). Für eine detaillierte und mehr schrittweise Betrachtung der Einzelvorgänge ist die Excel-Datei mit den fünf Schritten geeigneter - besonders für jüngere Lernende. Erfahrungsgemäß verstehen Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums (ab Klasse 10) die gekoppelten Vorgänge in der Excel-Simulation mit zehn Schritten gut - zumal das zweite Excel-Arbeitblatt auch noch eine Grafik zeigt, die nur fünf Trennschritte darstellt (in Abb. 6 nicht dargestellt): man erkennt im Vergleich mit dem oberen Diagramm (zehn Trennschritte) deutlich den Unterschied, der sich mit der steigenden Zahl der Trennschritte einstellt. Hier noch zwei wichtige Hinweise: Sie können sich bei geöffneter Excel-Datei die verwendeten Formeln anzeigen lassen. Klicken Sie auf "Extras", "Formelüberwachung", "Formelüberwachungsmodus". Der "Klick-Rückweg" führt zur normalen Tabellendarstellung zurück. Beim Schließen der Excel-Datei sollten die vorgenommenen Änderungen nicht gespeichert werden (Abb. 8). So bleibt der Originalzustand der Simulationen erhalten. Im Rahmen einer Projektarbeit können die Schülerinnen und Schüler - je nach Interesse und Fähigkeiten - in selbständiger Arbeit das mathematische Modell zur multiplikativen Verteilung mit einer objekt-orientierten Programmiersprache wir zum Beispiel Visual Basic "automatisieren". So lassen sich über Hundert Trennschritte in einer "Schleife" berechnen. Die Diagramme der Auftrennung werden so erheblich klarer und aussagekräftiger. Mit der Dünnschichtchromatographie kann man Farbstoffgemische auftrennen und zeigen, dass eine scheinbar einfarbige Lösung oder die Farbe eines Faserschreibers oft aus vielen Einzelkomponenten unterschiedlicher Farbe besteht. Die Auftrennung verschiedenfarbiger Faserschreiber liefert - abhängig von der Herstellerfirma und der Farbe - optisch eindrucksvolle Resultate. Dabei kann zum Beispiel untersucht werden, welcher Herstellerfirma ein Faserschreiber zuzuordnen ist. Abb. 9 zeigt einige Ergebnisse aus Schülerversuchen. Die Betrachtung der getrockneten Chromatogramme unter langwelligem UV-Licht (UV-Lampe nicht auf die Augen richten beziehungsweise in die Lampe hineinsehen, im Idealfall Schutzbrillen verwenden!) zeigt - je nach Fabrikat und Farbe - schwach fluoreszierende Zusatzstoffe, die im Tageslicht die Brillanz der Farben erhöhen. Bereitgestellt werden müssen die Dünnschichtchromatographie-Folien (siehe "dc_versuch_1_farbstoffe.pdf"), Trennkammern mit Deckeln, eine Flasche mit vorbereitetem Fließmittel, ein Trichter, weiche Bleistifte (zur Markierung der Folien) und eventuell eine UV-Lampe mit umschaltbarem Wellenlängenbereich. Das verwendete Laufmittel enthält Acetonitril (siehe "dc_versuch_1_farbstoffe.pdf"). Es liefert in kurzer Zeit sehr gute Trennerfolge und ist für Schülerversuche noch zugelassen. Führen Sie den Versuch nur in einem gut ziehenden Abzug durch. Nach der Chromatographie wird Fließmittel aus den Gefäßen durch einen Trichter ins Vorratsgefäß zurückgegeben. Die Filter werden seitlich an die Gefäße gestellt und unter dem Abzug getrocknet. Achten Sie bei längerer Lagerung des Laufmittels auf den pH-Wert - er sollte bei etwa 7,0 liegen. Farbstifte bringen die Schülerinnen und Schüler mit. Achten Sie jedoch darauf, dass keine Permanentstifte verwendet werden. Als Lehrkräfte müssen wir bei den weiteren Versuchen dieser Unterrichtseinheit immer wieder auf die exakten Vorbereitungen zurückgreifen und uns darauf verlassen können, dass die Schülerinnen und Schüler selbstständig die Folien vorbereiten, die Stoffe auftragen und die Trennung sorgfältig durchführen können. Achten Sie bei diesem ersten Versuch daher besonders auf folgende Punkte: Sind alle Folien ordnungsgemäß vorbereitet? Sind auf den Folien Farbe und Fabrikat der Farbstifte vermerkt? Sind die Folien mit dem Namen der Arbeitsgruppe beschriftet? Weiß jede Arbeitsgruppe, welches Gefäß und welche Folie zu ihr gehört? Werden die Farbtupfer nicht zu dick aufgebracht? Zu viel Farbstoff führt zu verschmierten Flecken, daher gilt: Weniger ist mehr! Beim Auftragen der Proben lieber mehrmals tüpfeln - Proben dabei zwischendurch trocknen lassen. Lassen die Schülerinnen und Schüler die Folie einfach in die Chromatographiekammer fallen? Tauchen die Farbtupfer nicht in das Fließmittel ein? Vergleichen die Lernenden die Trennergebnisse mit anderen Arbeitsgruppen? Nach dem spielerischen Einsteig wird nun eine anspruchsvollere Aufgabe wissenschaftlich exakt bearbeitet. Die Datei "dc_versuch 2_schmerzmittel.pdf" (siehe unten) liefert neben einer Liste mit den benötigten Materialien eine genaue Versuchsvorschrift - von der Vorbereitung der Folie bis hin zur Auswertung der Ergebnisse unter UV-Licht (Abb. 10). Zeigen Sie den Schülerinnen und Schülern vor Versuchsbeginn die weißen Substanzen in Reinform (Acetylsalicylsäure, Coffein, Paracetamol; Sie benötigen diese Stoffe bei der Chromatoghraphie auch als Referenzsubstanzen). Sie werden gleich die Problematik erkennen, dass weiße (oder farblose) Stoffe auf dem weißen Folienbelag bei Tageslicht nicht sichtbar sind. Bei der Frage nach Möglichkeiten zum Nachweis "unsichtbarer" Substanzen können die Schülerinnen und Schüler - spätestens nach dem Hinweis auf die Geldscheinprüfung - die Begriffe UV-Licht oder Fluoreszenz ins Spiel bringen. Bitte halten Sie die vorgegebenen Stoff- und Lösungsmittelmengen ein - sie sind erprobt (siehe "dc_versuch 2_schmerzmittel.pdf"). Aspirin (Acetylsalicylsäure) in methanolischer Lösung sollte nicht zu lange aufbewahrt werden oder gar mit Luftfeuchtigkeit in Kontakt kommen. Es findet eine langsame Hydrolyse beziehungsweise Umesterung statt. Die entstehende Salicylsäure erzeugt im Chromatogramm oberhalb des Aspirins einen diffusen, blau fluoreszierenden Fleck, der sehr störend ist. Verwenden Sie daher nur frisch zubereitete Aspirinlösungen. Verwenden Sie als Analysenprobe möglichst Schmerztabletten, die entweder alle drei Vergleichssubstanzen oder mindestens zwei davon enthalten. Führen Sie den Versuch nur unter einem gut ziehenden Abzug durch und beachten Sie die Brennbarkeit der Lösungsmittel! Die Markierung der Lösungsmittelfront muss sofort nach der Entnahme der Folie aus dem Chromatographiegefäß erfolgen, sonst ist sie nicht mehr eindeutig erkennbar. Betrachten Sie nur völlig trockene Folien unter UV-Licht. Richten Sie die Lampe nie auf Augen. Weisen Sie die Schülerinnen und Schüler dauf hin, nie in die Lampe zu blicken (im Idealfall Schutzbrillen verwenden). Bei der Betrachtung der Folien unter UV-Licht (254 nm) fluoresziert die weiße Trägersubstanz durch ihren Fluoreszensfarbstoff grünlich. Farblose Substanzen, die nicht fluoreszieren, schwächen die Fluoreszens des Trägermaterials und machen sich als "dunkle Flecken" bemerkbar. Die Schülerinnen und Schüler umfahren diese Flecken der aufgetrennten Substanzen vorsichtig mit einem weichen Bleistift. Besonders intensive Flecke werden schraffiert. Dabei ist darauf zu achten, dass die weiße Schicht der Folie nicht beschädigt wird. Achten Sie auch darauf, dass die Gruppen ihre Markierungen bei Tageslicht kontrollieren und noch einmal mit dem Erscheinungsbild unter UV-Licht vergleichen, bevor sie die Lampe verlassen: Wurde auch kein Fleck vergessen? Wurden besonders intensive Flecken schraffiert? Dies sind die Voraussetzung für klare Aussagen: Was sind die Rf-Werte für die Referenzsubstanzen Aspirin, Coffein und Paracetamol? Welche "Flecke" mit gleichem Rf-Wert sieht man bei der Schmerzmittelprobe? Abb. 11 zeigt das Ergebnis der Auswertung eines Schülerversuchs (a: Ergebnis unter UV-Licht; b: beschriftete Originalfolie). Die Schülerinnen und Schüler zeigen sich überrascht, wenn zum Beispiel bei einer Gruppe ein "Fleck" auftaucht, der keiner Referenzsubstanz zugeordnet werden kann. Eine "heimliche" Zugabe von 100 mg Ibuprofen zur Lösung der Analysenprobe liefert einen solchen "Rätselfleck", der zu weiterführenden Überlegungen anregen und die Bedeutung der Chromatographie als einfache Methode zum Aufspüren von Verunreinigungen verdeutlichen soll: Um welchen Stoff (welche Verunreinigung) kann es sich handeln? Welche wirksamen (rezeptfreien) Substanzen zur Schmerzbekämpfung gibt es sonst noch? Wie könnte man die unbekannte Substanz identifizieren? Die Schülerinnen und Schüler können die Aufgabe erhalten, die Zusammensetzung gängiger Schmerztabletten im Internet zu recherchieren und zumindest eine Auswahl der für die Zuordnung ihrer Probe in Frage kommenden Präparate zu erstellen. Erfahrungsgemäß erweisen sie sich dabei als sehr findig! Die Schülerinnen und Schüler sollen nun auf der Basis ihrer experimentellen Erfahrungen die benötigten Geräte selbst zusammenstellen (Hilfestellung durch die Lehrkraft), die Chemikalien und Proben besorgen und den Versuch eigenverantwortlich durchführen und auswerten. Die Anleitungen zu den folgenden drei Experimenten (Trennung von Paprika-, Curry- und Blattfarbstoffen) sind daher nicht mehr so ausführlich. Gegebenenfalls können die Lernenden auch noch weitere Anleitungen recherchieren und Experimente durchführen. Beachten Sie bei den hier vorgeschlagenen Pflanzenfarbstoff-Chromatographien folgende Punkte: Frische Ausgangsmaterialien Besonders beim Paprikapulver ist darauf zu achten, dass es frisch ist und nicht längere Zeit Luft und Licht ausgesetzt wurde. Feuergefährliches Fließmittel Besondere Vorsicht ist bei der Entwicklung der Chromatogramme geboten. Dies sollte nur im gut ziehenden Abzug erfolgen. Verwenden Sie hier keine offenen Flammen, keine heißen Gegenstände und keine Handys (Fotoblitz)! Um die Entzündung feuergefährlicher Lösungsmittel auszuschließen, fotografieren Sie die Chromatogramme nie unter dem Abzug. Lichtempfindliche Substanzen Die Entwicklung der Chromatogramme findet sowieso im Abzug statt - daher dürfte Licht- oder gar Sonneneinstrahlung dabei kein Thema sein. Nach dem Trocknen sollten die Chromatogramme lichtgeschützt aufbewahrt werden. Paprikafarbstoffe Abb. 12 zeigt ein Chromatogramm von Paprika-Farbstoffen. Je nach Paprikasorte können auch weniger Banden erzielt werden. Die hier verwendeten Paprika-Früchte stammten aus Ungarn. Curry- beziehungsweise Curcuma-Farbstoffe Bei der chromatographischen Analyse von Curcuma sollten sich fünf Flecke ergeben: drei gelbe (Rf-Werte 0,17, 0,29 und 0,46) und zwei blau fluoreszierende (Rf-Werte 0,25 und 0,54). Bei Currypulver erhält man mindestens einen intensiv orangefarbigen Fleck und drei gelbe Flecke mit kleineren Rf-Werten. Die aufgetrennten Blattfarbstoffe (Abb. 13) unterscheiden sich farblich teilweise nur durch Nuancen: Carotine (goldgelb) Phaeophytin (olivgrün) Chlorophyll a (blaugrün) Chlorophyll b (gelbgrün) Lutein (graugelb) Violaxanthin (gelb) Neoxanthin (gelb) Im Unterricht kann die Dünnschichtchromatographie auch als Möglichkeit zum Nachweis von Verunreinigungen beziehungsweise Fremdsubstanzen bei illegalen Modedrogen wie Exstacy oder Speed thematisiert werden - mit dem ausdrücklichen Hinweis, dass diese toxischen Fremdsubstanzen oft einen beträchtlichen Anteil der Droge ausmachen, teils absichtlich zugegeben werden und andere bei der Herstellung unvermeidbar als Nebenprodukte entstehen, die weder bekannt noch toxikologisch geprüft sind. Die Abnehmerinnen und Konsumenten der Drogen sind daher Versuchskaninchen, um deren Gesundheit und die Spätfolgen (Krebs, cerebrale Effekte, persönlichkeitsverändernde Wirkungen) sich niemand kümmert. Die Vermeidung oder Beseitigung gesundheitsschädlicher Nebenprodukte hätte Zeit-, Substanz- und damit Einnahmeverluste der "Produzenten", Dealerinnen und Dealer zur Folge. "Cash" ist deren Maxime, das erhebliche gesundheitliche und psychische "Restrisiko" tragen allein die Abnehmer und Konsumentinnen. Dieser Aspekt ist als Übergang oder Anknüpfungspunkt zu einer fachübergreifenden Unterrichtseinheit zum Thema "Suchtstoffe und Drogen" gut geeignet.

Dieser Artikel beschreibt, wie der rechnerische und zeichnerische Aufwand für die Erstellung und Interpretation von Minkowski-Diagrammen im Physikunterricht mithilfe des „Rechen- und Zeichenknechtes Computer“ reduziert, somit der inhaltlichen Diskussion mehr Zeit gewidmet und der Umgang mit einem CAS geübt werden kann.Will man Aufgaben zur Relativitätstheorie mithilfe des Minkowski-Diagramms zeichnerisch bearbeiten, so müssen Parallelen gezeichnet und deren Schnittpunkte mit Achsen oder anderen Geraden bestimmt werden. Je nach Sorgfalt sind die damit erzielten Werte brauchbar oder kaum brauchbar. Eine rechnerische Kontrolle ist auf jeden Fall angebracht. Warum überträgt man dann die Arbeit nicht gleich dem Computer?! Die Genauigkeit seiner Zeichnungen ist kalkulierbar, für die rechnerische Kontrolle der Ergebnisse steht er ebenfalls zur Verfügung und gleichzeitig lernen die Schülerinnen und Schüler ihre anderweitig erworbenen mathematischen Kenntnisse oder auch den Umgang mit entsprechender Mathematiksoftware anzuwenden. Ein geeignetes Werkzeug kann zum Beispiel ein Computeralgebrasysteme wie Derive sein.Die hier beschriebene Unterrichtseinheit setzt voraus, dass der Unterricht zur Relativitätstheorie bereits bis hin zu den Minkowski-Diagrammen gediehen ist. Auch eine zeichnerische Umsetzung ist schon durchgeführt worden, so dass die ersten Teile der Unterrichtseinheit aus physikalischer Sicht eine Wiederholung sind. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler reichlich Übung im Umgang mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive haben, obwohl dies nicht schaden könnte. Lehrkräften, die im Umgang mit Derive noch nicht so geübt sind, wird die Erstellung von Minkowski-Diagrammen mithilfe einer Anleitung im PDF-Format Schritt für Schritt erläutert. Die an die Schülerinnen und Schüler gestellten Anforderungen sind auch von einem Grundkurs zu bewältigen. Wenn man den letzten Teil der Unterrichtseinheit mit der Behandlung der Erhaltungssätze sehr ausführlich behandeln möchte, dann benötigt man zu den in der Kurzinformation angegebenen 10-12 Stunden noch etwa vier zusätzliche Unterrichtstunden. Vorgeschlagen wird eine Mischung aus lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem und schülerzentriertem Unterricht. Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 1) Typische Probleme der Speziellen Relativitätstheorie (Stunde 1 bis 8) Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 2) Betrachtung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie (Stunde 9 und 10 beziehungsweise 9 bis 12) Die Schülerinnen und Schüler sollen das Computeralgebrasystem Derive als universelles mathematisches Werkzeug kennen lernen. mit Derive eine Anleitung für die Erzeugung von Minkowski-Diagrammen entwickeln. Aufgaben aus der Relativitätstheorie sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Derive lösen können. die Bedeutung von Minkowski-Diagrammen erkennen. erkennen, dass die Erhaltungssätze der Mechanik in der Relativitätstheorie eine neue Bedeutung bekommen. Thema Minkowski-Diagramme mit Derive Autor Rainer Wonisch Fach Physik Zielgruppe Jahrgangstufe 12 oder 13, Grund- oder Leistungskurs Zeitraum 10-12 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Beamer (Lehrerdemonstration), Rechner in aus reichender Anzahl für Partner- oder Gruppenarbeit Software Derive Sie erklären am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) die Schritte zur Erzeugung eines Minkowski-Diagramms mit t' - und x' -Achse, aber ohne deren Einteilung. Ich schlage den Wert 0,5 c für die Relativgeschwindigkeit vor, da das Diagramm dabei relativ übersichtlich bleibt. Sie blenden den Beamer aus und fordern die Schülerinnen und Schüler auf, ein solches Diagramm selbst zu erzeugen. Falls es unbedingt nötig ist, geben Sie Hilfestellungen. Ansonsten lassen Sie die Jugendlichen sich selbst helfen. Sie wiederholen zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die Erstellung der Achseneinteilung für die t' -Achse. Bei der Umsetzung in die Sprache von Derive geben Sie eine mögliche Lösung an, falls die Schülerinnen und Schüler nicht durch die Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht selbst einen brauchbaren Vorschlag machen. Die Jugendlichen erhalten den Auftrag, die Rasterpunkte für die t' -Achse und außerdem für die x' -Achse einzuzeichnen. Wenn alle fertig sind, lassen Sie eine Schülerin oder einen Schüler aus einer Arbeitsgruppe den Lösungsweg seiner Gruppe am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) erklären. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x-t -System einzuzeichnen. Warten Sie, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x'-t' -System einzuzeichnen. Diesmal werden Sie wahrscheinlich nicht warten können, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Helfen Sie bei den Gruppen, deren Ideen am weitesten fortgeschritten sind, und benutzen Sie die Mitglieder dieser Gruppen dann als Multiplikatoren. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe auch minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Gegeben seien zwei Inertialsysteme S und S'. S' bewegt sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit v = 0,5 c. Aufgabe 1.1 Im System S sind verschiedene Ereignisse gegeben. A (3Ls/1s); B (3Ls/2s); C (3Ls/3s) Bestimme für die Ereignisse A, B, C die Ereigniskoordinaten im System S' zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms. Beschreibe Deine Vorgehensweise. Während der jetzt folgenden intensiven Diskussionen unter den Schülerinnen und Schülern "verraten" Sie einer Gruppe, dass ein Schieberegler eingesetzt werden kann. Dann warten Sie ab, ob sich diese Möglichkeit herumspricht. Wenn die Jugendlichen diese Möglichkeit schon kennen, wird es etwas weniger spannend sein. Zum Abschluss lassen Sie die verschiedenen Ansätze vortragen. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Aufgabe 1.2 Im System S' bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' = 0,5 c. Wie groß ist seine Geschwindigkeit u im System S? (zeichnerische Lösung) Wenn genügend Lösungen vorhanden sind, lassen Sie eine Gruppe ihre Vorgehensweise erklären. Sie stellen, je nach Situation, entweder für zu Hause oder für den Unterricht die Aufgabe, die wesentlichen Schritte für die Erstellung eines Minkowski-Diagramms mit Derive als Arbeitsanweisung zusammenzustellen. (Ein mögliches Ergebnis finden Sie unter Punkt 10: minkowski_diagramm.dfw beziehungsweise minkowski_derive.pdf ) Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Aufgabe 2 Ein Raumschiff mit v = 0,8 c sendet (aus seiner Sicht) jede Sekunde ein Funksignal aus. In welchem zeitlichen Abstand werden diese Signale im System S registriert? Kläre diese Frage zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms und zusätzlich rechnerisch. Ein allgemeines Aufstöhnen wird die Antwort sein, da Sie in gemeiner Weise eine andere Relativgeschwindigkeit gewählt haben. Sichten Sie gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern die bei Schritt 9 erstellten Arbeitsanweisungen und verallgemeinern Sie die beste Anweisungsfolge so, dass man mit ihrer Hilfe für jeden Wert von v mit einigen Mausklicks das gewünschte Minkowski-Diagramm erzeugen kann. Eine mögliche Lösung für die Anweisungsfolge mit Kommentaren finden Sie in der Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw . Für die Bearbeitung von Aufgabe 2 stellen Sie im Derive-Ausdruck #2 die richtige Geschwindigkeit ein und erzeugen dann mithilfe der Derive-Anweisungen das entsprechende Minkowski-Diagramm. Die Datei kann dann, unter neuem Namen gespeichert, für die weitere Bearbeitung fortgesetzt werden. Für die grafische Lösung von Aufgabe 2 müssen wegen der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem Parallelen zu t = -x durch mindestens zwei Rasterpunkte auf der t' - oder der x' -Achse gezeichnet werden. Die Differenz der Schnittwerte mit der t -Achse ist der gesuchte Zeitunterschied. Die Schülerinnen und Schüler werden vermutlich konkrete Zahlenwerte für die Punkte auf der t' -Achse benutzen. Man kann aber auch allgemein mit den Komponenten der Punkte P arbeiten. Wie man auf die Komponenten eines Vektors zugreifen kann, erläutert der folgende Auszug aus der Derive-Hilfe: "Mit dem Infixoperator SUB kann man ein Element aus einem Vektor oder einer Matrix herausgreifen. Wenn v ein Vektor ist, liefert v SUB n das n-te Element von v. Als Alternative zum Schreiben von SUB in der Eingabezeile, kann dieser Operator durch einen Klick auf das Abwärts-Pfeil-Zeichen auf der Mathematik-Symbolleiste eingegeben werden. Im Algebra-Fenster werden tiefer gestellte Indizes in der Standard-Index-Notation angezeigt. Zum Beispiel wird [a, b, c, d] SUB 2 angezeigt als und weiter vereinfacht zu b." Das Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Richtungs-Form ist der eleganteste Weg. Wenn die Jugendlichen diese Form nicht kennen oder verdrängt haben, müssen Sie einen kurzen mathematischen Einschub machen. Daraus ergibt sich ein Signalabstand von 3 Sekunden. Rechnerisch erhält man die Werte für t , in dem man für x den Wert 0 einsetzt. Entweder für ein Beispiel: oder für eine Folge von Werten: Benutzt wurde in beiden Fällen die Substitution für eine Variable. Sie erreichen diese Möglichkeit über Vereinfachen > Variablen-Substitution . Aufgabe 3 Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Gegeben seien die beiden Inertialsysteme S und S' mit der Relativgeschwindigkeit v. Im System S' wird das folgende Experiment durchgeführt: Zwei Körper gleicher Masse bewegen sich mit gleichem Betrag der Geschwindigkeiten aufeinander zu. Zum Zeitpunkt t' = 2 s treffen sie sich völlig unelastisch an der Stelle x' = 0, so dass sie vereint liegen bleiben. Es sei Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S'. Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S. Versuche auch eine zeichnerische Lösung. Die Schülerinnen und Schüler werden sofort fragen, welchen Wert sie für die Relativgeschwindigkeit v benutzen sollen. Stellen Sie es ihnen einfach frei. Für Ihre eigene Bearbeitung schlage ich v = 0,6 c vor. Es ergibt sich also u' sub~1~~ = 0,6 c ; u' sub~2~~ = 0,6 c . Die Weltlinien beider Körper im System t'-x' werden bis zum Zusammentreffen gezeichnet. Mithilfe der Musteranweisungsfolge (siehe Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw ) kann man das entsprechende Minkowski-Diagramm zeichnen. Endpunkt für die beiden Weltlinien soll der Punkt (0,2) auf der t' -Achse sein: Zwei Sekunden vorher war der sich in +x' -Richtung bewegende Körper an einer um 2Ls 0.6 in Richtung der -x' -Achse liegendem Ort gewesen. #14 und mit konkreten Werten #15 beschreiben Ausgangspunkt und Endpunkt im Minkowski-Diagramm: Für den sich in -x' -Richtung bewenden Körper gelten analog die beiden folgenden Ausdrücke: Auch wenn die Schülerinnen und Schüler ohne Ihre Hilfe dieses Ergebnis erzielt haben, werden sie misstrauisch sein, ob es überhaupt richtig sein kann. Dazu sieht es zu ungewohnt aus. Falls Sie es nicht von vorn herein schon gemacht haben sollten, dann führen Sie den Versuch auf einer Fahrbahn (am besten einer Luftkissenbahn) vor und bitten die Jugendlichen, für beide Körper das s-t -Diagramm zu zeichnen. Und zwar in der Form, in der sie früher solche Diagramme gezeichnet haben und zusätzlich mit vertauschten Achsen, wie bei den Minkowski-Diagrammen. Danach wird man den Ergebnissen nicht mehr ganz so misstrauisch gegenüber stehen. Die Geschwindigkeit der beiden Körper im System S kann aus den von Derive berechneten Werten der Anfangs- und Endpunkte der beiden Weltlinien bestimmt werden. Die folgenden Derive-Ausdrücke liefern das Ergebnis: Daraus ergeben sich die Geschwindigkeiten: Für die Geschwindigkeiten im System S' gilt laut Voraussetzungen der Aufgabe Formulierung des Impulssatzes für das System S': Daraus ergibt sich da die beiden Massen auf jeden Fall gleich sind. Formulierung des Impulssatzes für das System S: Setzt man die Zahlen des Beispieles ein, so erhält man: Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Fragen Sie die Schülerinnen und Schüler nach Erklärungshypothesen. Mögliche Hypothesen sind: Die berechneten Werte für u sub~1~~ und u sub~2~~ sind falsch. Bei hohen Geschwindigkeiten bleibt die Masse nicht konstant. Der Impulssatz gilt nicht bei hohen Geschwindigkeiten. Alle diese Hypothesen führen zu einer intensiven, weiterführenden Betrachtung: Die erste lässt sich durch Anwendung der Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten kontrollieren. Die zweite Hypothese beruht auf Kenntnissen der Schülerinnen und Schüler, die sie populärwissenschaftlichen Zeitschriften oder Fernsehsendungen entnommen haben. Die dritte Hypothese lässt sich mithilfe der Überlegungen zu Hypothese 2 kontrollieren. Untersuchung von Hypothese 1 Für die Untersuchung der ersten Hypothese erscheint folgende mehrgleisige Vorgehensweise sinnvoll: Die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten wird gemeinsam im Unterricht aus der Verallgemeinerung des Beispieles der Aufgabe 1.2 hergeleitet. Eine alternative Herleitung aus den Lorentztransformationen wird als Kurzreferat vergeben. Zur Herleitung mithilfe von Derive können Sie die für Aufgabe 1 erstellte Derive-Datei weiter benutzen. Öffnen Sie die Datei und gehen dann wie folgt vor. Zuerst heben Sie die Festlegungen für u' und v auf: Wir wählen wieder t' = 2 s. Man erhält die Weltlinie des sich mit u' bewegenden Körpers durch vektorielle Addition der Weltlinie des Systems t'-x' von 0 bis 2 s und einer Parallelen zur x' -Achse, deren Länge durch die Geschwindigkeit u' bestimmt ist. Bestimmung des Rasterpunktes auf der t'-Achse: Der Ortsvektor zum entsprechenden Punkt auf der x' -Achse muss auf die richtige Länge gebracht werden: Die beiden Ortsvektoren werden addiert: Die Geschwindigkeit u erhält man, indem man die erste Komponente des Vektors ( x -Wert) durch die zweite Komponente ( t -Wert) dividiert: Vereinfacht man diesen Ausdruck, so erhält man die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten: In Nicht-Derive-Schreibweise erhält man die bekannte Formel: Nachdem auch das Kurzreferat gehalten wurde, kann man mit der Formel die Ergebnisse für u sub~1~~ und u sub~2~~ bestätigen. Damit ist Hypothese 1 zu verwerfen. Untersuchung von Hypothese 2 Zur Überprüfung der zweiten Hypothese lassen Sie die Schülerinnen und Schüler die folgende Internetseite studieren. Dort findet sich eine Bestätigung der Hypothese mit: Untersuchung von Hypothese 3 Verbleibt noch die dritte Hypothese. Lassen Sie die Jugendlichen die Impulse vor und nach dem Stoß unter Berücksichtigung der obigen Formel berechnen. Mit Derive könnte das folgendermaßen aussehen: Offensichtlich stimmt hier irgendetwas nicht. Entweder ist die Rechnung falsch oder der Impulssatz gilt nicht oder er kann so nicht angewendet werden. Wenn Sie kein Buch für die Schülerinnen und Schüler haben, das dieses Problem zu lösen hilft, dann lassen Sie die folgende Seite aus dem Internet bearbeiten. Sie ist sehr übersichtlich und verwendet das auch hier eingesetzte Beispiel. Die Darstellung ist zwar etwas allgemeiner aber dennoch gut verständlich. Zur Kontrolle des Verständnisses kann man dann die Rechung auf das hier vorgestellte Zahlenbeispiel anwenden. Relativistische Energie und Ruheenergie Infos auf der Website des Zentralen Informatikdienstes (Außenstelle Physik) der Uni Wien.

Die als Fixsterne bezeichneten Himmelsobjekte erweisen sich bei näherem Hinsehen durchaus nicht als ortsfest, sondern zeigen eine "Eigenbewegung". Für sonnennahe Sterne lässt sich diese Bewegung mit einfachen astrometrischen Methoden erfassen. Auch Astronomie-Neulinge können mit den hier zur Verfügung gestellten Materialien motivierende Ergebnisse erzielen. Zunächst werden einige Grundlagen zu den Themen sonnennahe Sterne, Himmelskoordinaten, Sternhelligkeiten und zum Begriff der Parallaxe erläutert. Diese sind notwendig zum Verständnis der darauf folgenden praktischen Übung: CCD-Bilder von Teegarden's Star, die im Abstand von einem Jahr aufgenommenen wurden, werden mit der kostenlosen Software Fitswork bearbeitet. Anschließend wird aus den Bildern die Positionsänderung des betrachteten Sterns ermittelt. Andreas Gerhardus und Steffen Straub haben das hier vorgestellte Verfahren zur Bestimmung der Eigenbewegung von Sternen während ihres Schülerpraktikums am Argelander-Institut für Astronomie der Universität Bonn unter Anleitung von Dr. Michael Geffert erlernt. Sie praktizierten die Methode am Beispiel von Teegarden's Star und erzielten gute und leicht nachvollziehbare Ergebnisse. Aus diesem Grund stellen wir hier das Projekt "Messung der Eigenbewegung von Teegarden's Star" astronomisch interessierten Lehrerinnen und Lehrern als Anregung für den eigenen Unterricht oder für die Bearbeitung in der Astronomie-AG vor. Die dafür benötigten CCD-Bilder wurden uns freundlicherweise von Dr. Michael Geffert zur Verfügung gestellt. Fachliche Voraussetzungen Zu Beginn der Unterrichtseinheit werden einige elementare astronomische Begriffe eingeführt, die im weiteren Verlauf hilfreich oder erforderlich sind. Bezugssystem und Positionsberechnung Der Berechnung der Eigenbewegung von Teegardens' Star auf der Grundlage von CCD-Bildern geht die Positionsbestimmung "unbewegter" Sterne eines Bezugssystems voraus. Darstellung der Ergebnisse und Fehlerbetrachtung Die Rektaszensions- und Deklinationskoordinaten von Teegarden's Star und eines Vergleichssterns ohne messbare Eigenbewegung werden in Diagrammen dargestellt. Die Schülerinnen und Schüler sollen verschiedene sonnennahe Sterne kennen lernen. die Begriffe Parallaxe und Eigenbewegung verstehen. aus CCD-Aufnahmen die Koordinaten von Sternen ermitteln. die Eigenbewegung von Teegarden's Star aus vorhandenen CCD-Aufnahmen bestimmen. Diagramme erstellen, in denen die ermittelte Eigenbewegung veranschaulicht wird. Um die Positionsbestimmung am Himmel zu ermöglichen, ist die Himmelskugel genauso wie die Erde in ein Gradnetz unterteilt (Abb. 1). Dieses Gradnetz ist fest mit der Himmelskugel verbunden, es rotiert also scheinbar. Den Längenkreisen auf der Erde entsprechen die Rektaszensionskreise am Himmel, den Breitenkreisen die Deklinationskreise. Erste Schritte zur Orientierung am Sternhimmel In diesem Artikel finden Sie weitere Informationen, Anregungen und Materialien zur Orientierung am Himmel. Deklination Die Deklination (DE) wird in Winkelgraden von -90 Grad bis +90 Grad gemessen. Weil bei der Bestimmung der Eigenbewegung von Sternen sehr kleine Winkel betrachtet werden, müssen die Schülerinnen und Schülern auch die Begriffe "Bogenminute" (1 Bogenminute = 1/60 Grad) und "Bogensekunde" (1 Bogensekunde = 1/60 Bogenminute) kennen. Rektaszension Die Rektaszension (RA) wird traditionell nicht in Grad sondern in Stunden, Minuten und Sekunden angegeben. Dabei entsprechen 360 Grad den 24 Stunden eines Tages und somit 15 Grad einer Stunde. Eine Minute in Rektaszension entspricht damit (15/60) = 0,25 Grad. Eine Sekunde in Rektaszension ist gleichbedeutend mit (15/3.600) = (1/240) Grad. Die Umrechnung der Rektaszension (RA = hh.mm.ss) in Winkelgrad erfolgt gemäß der Formel: Winkel (in Grad) = 15 [hh+(1/60)**mm+(1/3.600) ss] Hierbei stehen hh für Stunden, mm für Minuten und ss für Sekunden. Diese sind nicht mit Bogenminuten beziehungsweise Bogensekunden zu verwechseln. Die Bewegung der Erde um die Sonne hat zur Folge, dass ein erdnaher Stern im Verlauf eines Jahres seine scheinbare Position vor dem Hintergrund weit entfernter Fixsterne verändert. Dabei ist die Parallaxe des erdnahen Sterns definiert als halber Öffnungswinkel des Kegels, dessen Mantel der Sehstrahl von der Erde zum nahen Stern in einem Jahr festlegt. Abb.2 veranschaulicht die Verschiebung der scheinbaren Sternposition innerhalb eines halben Jahres. Aus der Parallaxe eines Sterns, die man mithilfe von Fotos bestimmt, die im Abstand von einem halben Jahr aufgenommen werden, lässt sich mit trigonometrischen Verfahren unter Kenntnis des Abstands Sonne-Erde die Entfernung des Sterns zur Sonne beziehungsweise zur Erde berechnen. Das Phänomen der Parallaxe kann man Schülerinnen und Schülern mit einem einfachen Experiment sehr gut veranschaulichen: Hält man einen Daumen in Augenhöhe und schließt abwechselnd das linke und das rechte Auge, so scheint der Daumen seine Position vor dem Hintergrund zu verändern. Dabei nimmt die Parallaxe mit zunehmender Entfernung des Daumens vom Auge ab. Im Gegensatz zur Parallaxe hat die Eigenbewegung eines Sterns ihre Ursache in einer tatsächlichen Veränderung des Sternenortes. Weil der Effekt der Eigenbewegung sehr klein ist, wird sie in Deklination und Rektaszension in Bogensekunden angegeben. Die Messung der Eigenbewegung von Sternen erfolgt mithilfe von Fotografien, die im Abstand von ganzzahligen Vielfachen eines Jahres aufgenommen werden. Abb. 3 zeigt ein Beispiel: Die beiden Bilder wurden im Abstand mehrerer Jahre aufgenommen. Deutlich ist die Positionsänderung des markierten Sterns vor dem Hintergrund zu erkennen. Die Erde befindet sich nach einem Jahr wieder am selben Ort. Deshalb wird das Ergebnis nicht durch die parallaxenbedingte Bewegung verfälscht. Scheinbare Helligkeit ( m ) Die scheinbare Helligkeit eines Sterns ist diejenige, die ein Beobachter auf der Erde registriert. Sie wird in Größenklassen oder Magnituden angegeben (Symbol: hochgestellter Kleinbuchstabe m). Dabei leuchten die Sterne umso schwächer, je höher ihre Größenklasse ist. Die Magnitudenskala ist logarithmisch eingeteilt: Ein Stern erster Größenklasse ist definitionsgemäß 100-mal lichtstärker als einer der sechsten Klasse. Weil nun 100 = 2,512 5 gilt, bedeutet eine Größenklasse Unterschied also ein Helligkeitsverhältnis von 2,512. Die scheinbare Helligkeit kann auch Werte annehmen, die kleiner als Null sind. Der Nullpunkt der Magnitudenskala entspricht der Helligkeit von Alpha Centauri, dem sonnennächsten Stern. Das menschliche Auge kann maximal Objekte bis zu einer scheinbaren Helligkeit der sechsten Größenklasse erkennen. Es ist zu beachten, dass die Lichtintensität der Sterne mit der Entfernung natürlich abnimmt. Absolute Helligkeit ( M ) Um Sternhelligkeiten besser vergleichen zu können, wurde die absolute Helligkeit eingeführt (Symbol: hochgestellter Großbuchstabe M). Darunter versteht man die Helligkeit eines Sterns, die auf der Erde wahrgenommen würde, wenn er sich in einer genormten Entfernung von 10 Parsec befände (1 Parsec = 3,3 Lichtjahre). Die folgende Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen scheinbarer Helligkeit m und absoluter Helligkeit M sowie der Entfernung r (in Parsec): m - M = -5 + 5 lg(r) Die Erarbeitung von Informationen zum Thema "Sonnennahe Sterne" eignet sich sehr gut zur selbstständigen Schülertätigkeit in Form einer Internet-Recherche. Dabei sollen Informationen über verschiedene sonnennahe Sterne zusammengetragen werden. Es ist empfehlenswert, den Lernenden unter anderem die drei sonnennächsten Sterne als Ziel der Recherche vorzugeben: Alpha Centauri Barnards Pfeilstern Wolf 359 Sirius und Teegarden's Star Weitere wichtige sonnennahe Sterne sind der bekannte Sirius (Fixstern mit der größten scheinbaren Helligkeit) auf Platz 6 und Teegarden's Star auf Platz 23 in der Entfernungsskala. Im Idealfall finden die Schülerinnen und Schüler auch heraus, warum Teegarden's Star bei seiner Entdeckung im Jahr 2003 für großes Aufsehen sorgte: Seine Entfernung wurde zunächst fälschlicherweise auf 7,5 Lichtjahre geschätzt, womit er der Stern mit der drittgeringsten Entfernung zur Sonne gewesen wäre. Die wichtigsten "Eckdaten" sonnennaher Sterne haben wir in dem Dokument "sonnennahe_sterne.pdf" zusammengestellt. Bei ihren Recherchen nach sonnennahen Sternen werden die Schülerinnen und Schüler häufig auf den Begriff "Roter Zwerg" stoßen. Dieser Begriff kann auch direkt als Rechercheziel vorgegeben werden. Lernende kann dieses Thema motivieren, sich auch über die Unterrichtseinheit hinaus mit der Astronomie zu beschäftigen. Die Größe von Roten Zwergen im Vergleich zu anderer Sternentypen veranschaulicht Abb. 4. Rote Zwerge zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus: Rote Zwerge sind sehr kleine Sterne. Die Kernfusion in ihrem Inneren ist nur schwach. Die rote Farbe entsteht, weil ihr Strahlungsmaximum im roten Spektralbereich liegt (Spektralklasse M). Die Oberflächentemperatur ist gering (2.200-3.800 Grad Kelvin; die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt etwa 5.800 Grad Kelvin). Rote Zwerge haben eine enorme Lebensdauer von bis zu 13 Milliarden Jahren. Etwa 70 Prozent der Sterne in der Milchstraße sind Rote Zwerge. Notwendigkeit eines Bezugssystems Zum prinzipiellen Nachweis der Eigenbewegung von Teegarden's Star ist zunächst die Festlegung eines Bezugssystems aus Sternen erforderlich, welche bekanntermaßen (Literaturangaben) eine zu vernachlässigende Eigenbewegung aufweisen. Dann ist zu entscheiden, ob Teegarden's Star sich relativ zu den Sternen des Bezugssystems messbar bewegt. Zum Ausschluss systematischer Fehler im Auswerteverfahren wird die an Teegarden's Star durchgeführte Prozedur zur Messung der Eigenbewegung zusätzlich an einem Vergleichsstern wiederholt, der gemäß der Literatur keine Eigenbewegung zeigen sollte. CCD-Bilder und Bildbearbeitung Die hier zum Download zur Verfügung gestellten CCD-Bilder ("einzelbilder.zip") sind - sortiert nach den Aufnahmezeitpunkten - auf vier Ordner verteilt. Alle Bilder sind bereits bezüglich Dunkelbildsubtraktion und Flat-Field korrigiert. Sie haben die in der Astronomie übliche Orientierung: Norden ist oben, Westen ist rechts. Die im Folgenden beschriebene Bildbearbeitungs- und Auswerteprozedur wird von den Lernenden für alle Bilder aus jedem der vier Ordner separat durchgeführt. Sämtliche Schritte der Bildbearbeitung erfolgen mit der kostenlosen Software Fitswork. Zur Rauschminderung und zum Ausgleich von Bildungenauigkeiten durch Luftunruhen werden alle Bilder eines Ordners aus "einzelbilder.zip", also alle Aufnahmen eines bestimmten Aufnahmedatums, addiert und zu einem Summenbild gemittelt. Dabei geht man wie folgt vor: Nach dem Start des Programms öffnet man die ersten beiden Bilder eines Ordners. Diese werden nun addiert: Dazu sucht man sich zwei gut erkennbare Sterne, die auf beiden Bilder vorhanden sind. Man markiert nun nacheinander in beiden Bildern den ersten Stern, indem man bei gedrückter linker Maustaste einen kleinen rechteckigen Rahmen um den Stern zieht. Beide Rahmen erscheinen in derselben Farbe. Man wiederholt die Prozedur in beiden Bildern für den zweiten Stern. Beide Sterne sollten möglichst weit auseinander liegen, denn sie dienen der punktgenauen Anpassung und Überlagerung beider Bilder. Abb. 5 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt den entsprechenden Screenshot: Die beiden als Fixpunkte der Bildausrichtung gewählten Sterne sind durch farbige Rechtecke markiert. Dann wählt man im Menüpunkt "Bearbeiten" den Unterpunkt "Bild addieren (mit Verschiebung)". Das jetzt angezeigte Bild ist die Summe der ersten beiden Bilder. Zu diesem Summenbild addiert man schrittweise alle weiteren Bilder des jeweiligen Ordners. Auf beschriebene Weise gewinnt man aus jedem der vier Ordner ein Summenbild. Nur auf diesen vier Summenbildern basiert die weitere Auswertung. Wer die Prozedur des Addierens auslassen möchte, findet die fertigen Summenbilder im Downloadpaket "summenbilder.zip". Die Aufnahmezeitpunkte der Bilder sind an den jeweiligen Dateinamen erkennbar. Koordinaten der Bezugssterne Nach der Bildaddition gilt es nun, die Positionen von Teegarden's Star und des Vergleichssterns im System der Bezugssterne zu bestimmen. Die Koordinaten der Bezugssterne 1 bis 6 (grüne Ziffern in Abb. 6) sind in den Tabellen des Dokuments "bezuggssterne_positionsbestimmung.pdf" zu finden. Orientierung der Bilder Alle Bilder der Downloadmaterialien sind so orientiert, dass die langen, horizontalen Seiten parallel zu den Deklinationskreisen am Himmel liegen. Die kurzen, vertikalen Seiten sind entsprechend parallel zu den Rektaszensionskreisen. In allen Bildern nimmt die Rektaszension von rechts nach links, also von West nach Ost, zu. Orientierung des Koordinatensystems bei Fitswork Damit die im Folgenden beschriebene Positionsberechnung für Teegarden's Star überschaubar wird, weist man jedem in die Berechnung eingehenden Stern zunächst die Pixelkoordinaten X und Y zu. Bei Fitswork hat das (X/Y)-Koordinatensystem seinen Ursprung in der linken oberen Bildecke. Die X-Achse ist nach rechts, die Y-Achse nach unten orientiert. Ermittlung der Pixelkoordinaten eines Sterns Die Ermittlung der Pixelkoordinaten eines Sterns verläuft in Fitswork wie folgt: Man bewegt den Cursor, der in Abb. 7 (Platzhalter bitte anklicken) als gelbes Kreuz dargestellt ist, im auszuwertenden Bild auf den betrachteten Stern. In diesem Fall ist "Vergleichsstern 6" aus Abb. 6 markiert. Am rechten Bildrand erscheint oben eine Vergrößerung des Bildausschnitts um die Cursorposition. Darunter werden die Intensitätsverteilungen dieses Ausschnitts in X- und Y-Richtung dargestellt. Im Textfeld darunter steht bei "max" die größte Pixelhelligkeit im Bild des betrachteten Sterns. Am unteren Rand des Fitswork-Fensters erscheinen ganz links die X- und Y-Koordinaten der aktuellen Cursorposition, sowie die Helligkeit des Pixels am Ort des Cursors. Man bewegt den Cursor vorsichtig innerhalb des Sterns, bis der in der rechten Leiste angegebene maximale Intensitätswert angezeigt wird. Die zugehörigen Cursorkoordinaten X und Y sind die Pixelkoordinaten des Sterns, die in die weitere Auswertung eingehen. Koordinatenbestimmung In zwei zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen Fotos werden die Positionen von Teegarden's Star im System unserer Bezugssterne bestimmt. Aus den unterschiedlichen Orten von Teegarden's Star schließt man dann auf die Geschwindigkeit seiner Eigenbewegung. Die Koordinaten von Teegarden's Star und von zwei Bezugssternen (siehe Abb. 7) werden im (X/Y)-Koordinatensystem der Software Fitswork - wie oben beschrieben - ermittelt. In Verbindung mit den Daten aus Tabelle 2 (siehe Datei "bezugssterne_positionsbestimmung.pdf") können dann die Koordinaten von Teegarden's Star im Rektaszension/Deklination-System berechnet werden. Der Vergleich der letzteren Koordinaten in beiden Bildern liefert in Verbindung mit dem Zeitintervall zwischen den beiden Aufnahmezeitpunkten für die Bilder die Geschwindigkeit der Eigenbewegung von Teegarden's Star. Auswertungsbeispiel Bei den Downloadmaterialien finden Sie ein detailliertes Auswertungsbeispiel (auswertung_beispiel.pdf). Die dargestellte Rechnung basiert auf den Summenbildern vom August der Jahre 2005 und 2007 und verwendet als Bezugssterne die Sterne 2 und 6 aus Abb. 6. Der so gewonnene Wert der Eigenbewegung (etwa 9 Bogensekunden pro Jahr) ist größer als der Literaturwert von 5,1 Bogensekunden pro Jahr. Auf diese Abweichung wird im Rahmen der "Fehlerbetrachtung" eingegangen. Vergleichsstern ohne Eigenbewegung Nach dem gleichen Verfahren bestimmt man die Positionen eines Vergleichssterns für die beiden relevanten Zeitpunkte. Wir schlagen dafür den in Abb. 6 entsprechend gekennzeichneten Stern vor. Er hat, wie alle Sterne im Bildfeld (außer Teegarden's Star), im Rahmen unserer Messgenauigkeit keine Eigenbewegung. Wenn sich für den Vergleichsstern aus beiden CCD-Bildern, die ja zu unterschiedlichen Zeiten aufgenommen wurden, mehr oder weniger die selben Koordinaten in Rektaszension und Deklination ergeben, ist davon auszugehen, dass das Auswerteverfahren fehlerfrei praktiziert wurde. Aufbau der Diagramme Damit man die ermittelte Eigenbewegung von Sternen direkt erkennen kann, werden die gemessenen Wertepaare (Messzeitpunkt/Rektaszension beziehungsweise Messzeitpunkt/Deklination) für Teegarden's Star und den Vergleichsstern in getrennten Diagrammen (für Rektaszension und für Deklination) aufgetragen. In jedem der Diagramme erscheinen vier Messpunkte für die vier verschiedenen Aufnahmezeiten (August 2005, August 2006, August 2007, Oktober 2007). Auf der X-Achse wird der Zeitraum von August 2005 bis Oktober 2007, und auf der Y-Achse jeweils die Rektaszension beziehungsweise Deklination in geeigneten Intervallen aufgetragen. Eigenbewegung von Teegarden's Star Die ersten drei Messpunkte für Teegarden's Star (Abb. 8) liegen in beiden Diagrammen nahezu auf einer Geraden. Das bedeutet, dass der Stern seine Position mit konstanter Geschwindigkeit verändert. Der vierte Messpunkt muss in den Diagrammen von dem erhaltenen linearen Graphen abweichen: Weil die ihm zugrunde liegenden Bilder statt im August im Oktober aufgenommen wurden, werden die Messwerte hier durch den Parallaxeneffekt verfälscht. Vergleichsstern ohne Eigenbewegung Beim Vergleichsstern (Abb. 9) liegen alle Messpunkte in beiden Diagrammen auf nahezu waagerechten Geraden. Der gewählte Vergleichsstern besitzt keine messbare Eigenbewegung. Dies gilt auch für den jeweils vierten Messpunkt, weil sich der Effekt der Parallaxe aufgrund der großen Entfernung des Sterns nicht bemerkbar macht. Während unseres Praktikums im Argelander-Institut für Astronomie in Bonn hatten wir genug Zeit für die Auswertung einer wesentlich größeren Datenmenge. Pro Aufnahmezeitpunkt mittelten wir bis zu 50 Einzelaufnahmen. Die Berechnungen der Koordinaten für Teegarden's Star wurden für jedes Summenbild auf der Basis mehrerer Paare von Bezugssternen durchgeführt. Bei sechs Bezugssternen gibt es für jeden Aufnahmezeitpunkt "sechs über zwei", also 15 Möglichkeiten. Wir verwendeten dazu die leider nicht kostenfreie Software Astroart. Als Mittelwert zahlreicher Einzelrechnungen ermittelten wir für die Eigenbewegung von Teegarden's Star einen Wert von 5 Bogensekunden pro Jahr. Dieser Wert kommt dem Literaturwert von 5,1 Bogensekunden pro Jahr recht nahe. Er ist durchaus mit den oben genannten 9 Bogensekunden pro Jahr verträglich, wenn man bedenkt, dass dieses Ergebnis nur auf einer von etwa 45 möglichen Auswertungen beruht. Um zuverlässigere Werte für die Eigenbewegung zu erhalten, ist also eine Vielzahl von Einzelrechnungen nach dem oben beschriebenen Verfahren durchzuführen. Die Ergebnisse der Einzelrechnungen sind dann zu mitteln. Hier setzt der erforderliche Zeitaufwand im Unterricht natürlich Grenzen.

Hier finden Sie Unterrichtseinheiten und Anregungen zum Unterricht mit digitalen Medien im Fach Mathematik zum Thema Geometrie. Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken. Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Parameter in der Sinusfunktion Autor Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download) Die Entwicklung allgemeiner Einsichten Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen. Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel. In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: " Wird im Funktionsterm f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht. Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern ist nicht zu unterschätzen. Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph, wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Die Schülerinnen und Schüler entdecken Zusammenhänge experimentell und fixieren ihre Ergebnisse. Diese werden dann im Plenum präsentiert. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten den Einstieg in die Sinusfunktion weitgehend eigenständig und kooperativ. Dynamische Arbeitsblätter helfen dabei, die jeweilige Problem- oder Aufgabenstellung zu veranschaulichen. Ein virtuelles Experiment zur Pendelbewegung stellt den Anwendungsbezug her. Wenn die Sinusfunktion im Unterricht eingeführt wird, geschieht dies meist durch Angabe des Funktionsterms, Erstellen einer Wertetabelle und die anschließende Zeichnung des Funktionsgraphen. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Darstellung von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis wiederholen. die Darstellung des Bogenmaßes am Einheitskreis wiederholen. eine Einführung und Definition der Sinusfunktion erarbeiten. die Bedeutung der Sinusfunktion für die Beschreibung von Schwingungsvorgängen erkennen. eigenständig und kooperativ mathematische Zusammenhänge erarbeiten und dokumentieren. Thema Einführung der Sinusfunktion Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 bis 10 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Zusammenhang zwischen der Darstellung des Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und der dazugehörigem Graphen erkennen. besondere Eigenschaften der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion benennen. Thema Einführung der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 und 10 Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, idealerweise Beamer Bei der Einführung der Sinus- und der Kosinusfunktion sowie der Tangensfunktion stehen zu Beginn die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck im Mittelpunkt. Die Schülerinnen und Schüler lernen Berechnungen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen und entdecken hierbei die Zusammenhänge zwischen den Funktionen. Mehrwert des Applets und Unterrichtsverlauf Warum Sie auf das Applet nicht verzichten sollten und wie Sie es im Zusammenhang mit einem Arbeitsblatt einsetzen können. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Definition des Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels als Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck kennen und anwenden. die x- und y-Koordinate eines Punktes P auf dem Einheitskreis bestimmen können. begründen können, warum beim rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis die Katheten als Sinus (alpha) und Cosinus (alpha) bezeichnet werden. für die Winkel 0° < alpha < 90° die entsprechenden Seitenverhältnisse berechnen. besondere Seitenverhältnisse (alpha = 0°, alpha = 90°, ... ) und die Periodizität der Funktionsgrafen angeben können. Thema Vom Dreieck zur Funktion - Einführung der trigonometrischen Funktionen mit GeoGebra Autoren Sandra Schmidtpott, Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9, zur Wiederholung auch Klasse 10 Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Rechner in ausreichender Zahl für die Partnerarbeit; die Nutzung der dynamischen GeoGebra-Arbeitsblätter erfordert Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei) Die Schülerinnen und Schüler mussten für den Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter nicht extra im Umgang mit dem Programm GeoGebra geschult werden. Lehrerinnen und Lehrern, die sich noch nicht mit GeoGebra auskennen, sei jedoch empfohlen, sich mit den Arbeitsblätter vor deren Einsatz im Unterricht gründlich vertraut zu machen, da die Schülerinnen und Schüler doch immer mehr entdecken, als man erwartet und dann entsprechende Fragen stellen. Durch den Einsatz der GeoGebra-Arbeitsblätter konnte dynamisch erklärt und veranschaulicht werden, wie die Funktionen entstehen und welche Eigenschaften sie besitzen. Über die Verwendung in Klasse 9 hinaus lassen sich die Materialien in Klasse 10 zur Wiederholung einsetzen, wenn die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen noch einmal aufgegriffen werden. Unterrichtsverlauf Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Er hat die dynamischen Arbeitsblätter zu dieser Unterrichtseinheit entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Kenntnisse zu den trigonometrischen Zusammenhängen im rechtwinkligen Dreieck selbstständig einschätzen lernen. erkannte Defizite im Bereich dieser Zusammenhänge selbstständig beheben. die trigonometrischen Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck auf unterschiedliche Aufgabenstellungen anwenden können. Thema Trigonometrie mit GeoGebra - ein variables Übungskonzept Autor Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe 9. und 10. Klasse Zeitraum 2-3 Stunden, je nach Unterrichtsintention Medien Internet Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Personen, Java Runtime Environment (kostenloser Download), Browser mit aktiviertem Javascript Unterrichtsplanung Verlaufsplan: Trigonometrie mit Geogebra Alle dynamischen Darstellungen der HTML-Seiten wurden mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Durch das Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, eignet sich dieses Programm sehr gut für die Erstellung interaktiver dynamischer Lernumgebungen. Für die reine Anwendung der hier vorgestellten Materialien ist die Software jedoch nicht nötig. Voraussetzungen, Einführung und Nutzung der Arbeitsblätter Auf die Warm-up-Phase mit Übungen zur Selbstkontrolle und Leistungsbestimmung erfolgt das eigenverantwortliche Aufarbeiten von Defiziten und die Festigung des Gelernten. Besonderheiten interaktiver Lernumgebungen Allgemeine Informationen zu den Vorteilen der Nutzung interaktiver Übungsumgebungen und ihrer Rolle als Elemente eines methodisch und medientechnisch abwechslungsreichen Mathematikunterrichts. Die Winkelfunktionen werden üblicherweise am Dreieck oder Einheitskreis definiert. Phänomenbetrachtungen oder Experimente sind die Ausnahme und tauchen, wenn überhaupt, erst als Anwendung auf. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit wird die Sinusfunktion dagegen aus der Anwendung heraus als Schwingungsfunktion eingeführt. Die Trigonometrie erscheint als Nebenprodukt dieser Schwingungsfunktion. Dabei können Computeralgebrasysteme, einfache Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets zur schnellen Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler "spielen" dabei mit den Parametern Amplitude, Periodenlänge oder Frequenz, während die Folgen ihrer Experimente am Bildschirm dynamisch dargestellt und analysiert werden können. Mühsame und langwierige Zeichnungen bleiben ihnen erspart. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verschiedener Perioden und Amplituden verstehen. über das physikalische Phänomen Schwebung ein Additionstheorem erhören. Thema Die Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen und Schwebungen Autor Stefan Burzin Fächer Mathematik, Physik (fächerübergreifend) Zielgruppe Klasse 10 Zeitraum 8 Stunden (je nach Vertiefung) Technische Voraussetzungen CAS (zum Beispiel Derive oder Maple), Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets (für die Applets benötigen Sie einen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment ); idealerweise Beamer Planung Sinusfunktion - Schwingungen und Schwebungen Im herkömmlichen Unterricht wird der Sinus über Streckenverhältnisse im Dreieck eingeführt. Die Sinusfunktion wird mehr oder weniger als Erweiterung der Definitionsmenge plausibel gemacht. Dabei hat die Funktion eine sehr wichtige und auch anschauliche Anwendung: Die Beschreibung periodischer Vorgänge. Die Addition zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied kann zunächst hörbar erfahren werden (zum Beispiel durch das Überblasen zweier ähnlich gefüllter Flaschen oder mithilfe der klassischen Stimmgabeln aus der Physik). Danach experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit einem Funktionenplotter oder einem vergleichbaren digitalen Werkzeug. Unterrichtsverlauf "Sinusfunktion" Zunächst wird als periodischer Vorgang die Sonnenaufgangskurve untersucht. Rein harmonische Schwingungen werden dann mithilfe des Computers betrachtet. Arbeitsmaterialien Experimente und alle Arbeitsblätter zu den Themen Sonnenaufgangszeiten, Frequenzen, Schwebungen und Sinusfunktionen im Überblick Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit der Sinusfunktion, ihrer Gleichung und ihren Parametern festigen. mithilfe der Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel eine Sinusfunktion gezielt beeinflussen. die Sinusschwingung als ein Bindeglied der Fächer Mathematik, Physik und Musik erkennen. durch die Hörbeispiele eine direkte Verbindung zwischen den Unterrichtsfächern Musikerziehung und Mathematik kennen lernen. die mathematischen Entsprechungen der Begriffe "Tonhöhe" und "Lautstärke" kennen. den Aufbau eines Tons durch Überlagerung seiner Partialtöne kennen. das Phänomen der Schwebung kennen lernen. mit dem Prinzip der Fourier-Analyse vertraut sein und Anwendungsgebiete kennen. Thema Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik Autorin Judith Preiner Fächer Mathematik, fächerübergreifend auch Musik, Physik Zielgruppe Gymnasium, Klasse 10; als experimentelle Idee zu den Trigonometrischen Funktionen auch Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 bis 8 Unterrichtsstunden für die Bearbeitung der Unterrichtsmaterialien; bei fächerübergreifendem Unterricht erweiterbar Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl mit Soundkarte und Software zum Abspielen von MP3-Dateien, Lautsprecher und Kopfhörer (für Einzel- oder Partnerarbeit), ein Computer mit Beamer (für Lehrerpräsentationen) Software Internet-Browser, Java (Version 1.4.2 oder höher) zur Bearbeitung der Applets Planung Verlaufsplan Schwingungen Sie können alle Arbeitsmaterialien (sieben dynamische Arbeitsblätter) und die umfangreiche Lehrerinformation ("Lexikon" zu den Fachbegriffen, Lösungen der Arbeitsaufträge und Unterrichtsanregungen) von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken. Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Parameter in der Sinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download) Die Entwicklung allgemeiner Einsichten Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen. Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel. In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: " Wird im Funktionsterm f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht. Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern ist nicht zu unterschätzen. Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph, wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Die Schülerinnen und Schüler entdecken Zusammenhänge experimentell und fixieren ihre Ergebnisse. Diese werden dann im Plenum präsentiert. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken