Dieses Video veranschaulicht, wie verschiedene Atomorbitale aus Eigenzuständen des Drehoperators hervorgehen. Wie werden die Elektronen im Atom von Chemikern beschrieben? Die sogenannten Atomorbitale werden als Visualisierung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Atom eingeführt. Im Video zu sehen sind die Orte maximaler Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das s- p- und d-Orbital. Hinter dieser Wahrscheinlichkeit liegt allerdings die unsichtbare, interferenzfähige Schwingung in der Quantendimension, hier visualisiert durch ein drehendes Rad. Dem s-Orbital liegt die Schwingung ohne Knotenlinie zugrunde. Dem p-Orbital liegt die Schwingung mit einer Knotenlinie zugrunde, also l =1. Im Video wird der Zusammenhang zum p-Orbital genauer betrachtet. Schneidet man den Raum wie eine Zwiebel auf, ergeben sich viele Kugelschalen. Die Knotenlinie wird im Raum zu einer Knotenebene. Die maximale Schwingungsamplitude nimmt bei sehr großem Abstand zum Atomkern wieder ab. In der Chemie wird nicht die gesamte Schwingung im Raum dargestellt, sondern nur der Ort maximaler Aufenthaltswahrscheinlichkeit, was den Orten mit größter Schwingungsamplitude entspricht. So ergibt sich diese Darstellung des p-Orbitals. Dies gilt auch für alle weiteren Orbitale: Die Knotenlinien werden aus der Quantendimension in die Atomorbitale im Raum sozusagen vererbt und lassen sich dort wiederentdecken! Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird ein mögliches Schwingungsmuster auf der Kugeloberfläche am Beispiel einer halben, gespiegelten Seifenblase untersucht. Zur Klassifikation von Spektren in einer Dimension gibt es ein zentrales Merkmal: die Anzahl von Knotenpunkten. Dieses Konzept soll nun auf zweidimensionale Schwingungen übertragen werden, um Schwingungen auf einer Kugeloberfläche zu untersuchen. Schwingende Kugeln kann man ganz einfach erzeugen: Seifenblasen. Um die Schwingung sichtbar zu machen, nehme man eine Halbkugel. Auf einem Vibrationsgenerator kann man diese Halbkugel zum Schwingen bringen. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

Das Video zeigt den Aufbau des Periodensystems mit dem Modell der Quantenorgel. Die Elemente im Periodensystem sind nach der Anzahl von Elektronen angeordnet. Das Bohr'sche Atommodell liefert uns keine griffige Erklärung für die Anzahl der Elektronen in den jeweiligen Perioden oder Schalen. Aber was ist mit dem Modell der Schwingungsmoden von Elektronen in der Quantendimension? Lässt sich das Periodensystem mit dem Abzählen von Knotenlinien erklären? Das Video versucht sich an einer Erklärung mithilfe eines Modells der Quantenporgel: Dabei ordnet man möglichen Schwingungszustände den Tasten einer Orgel zu. Die Orgelmanuale entsprechen den Energieniveaus n =1, 2, 3 und so weiter. Ein Elektron kann einen bestimmten Schwingungszustand anregen - die Taste ist dann sozusagen gedrückt und die entsprechende Schwingung ist aktiv. Zwei Elektronen drücken - mindestens - zwei Tasten, und je mehr Elektronen vorhanden sind, desto mehr Tasten werden gedrückt. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video werden die Grundschwingungen, die auf einer Kugeloberfläche möglich sind, beschrieben. Hierzu werden Knotenlinien gezählt, gespiegelt und gedreht. Das Spektrum der schwingenden Saite besteht aus Vielfachen der Grundfrequenz f0. Diese einzelnen Schwingungsmoden können durch die Anzahl von Knotenpunkten klassifiziert werden. Insgesamt ergeben sich auf der Kugeloberfläche (2l+1) mögliche Schwingungsmoden mit l Knotenlinien. Ausgehend von der einfachsten Schwingung lassen sich durch Hinzufügen von weiteren Knotenlinien und deren Drehungen alle möglichen Grundmoden auf der zweidimensionalen Kugeloberfläche erzeugen. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird das Frequenzspektrum der Gitarrensaite durch die Anzahl von Knotenpunkten in den Schwingungsmoden beziehungsweise stehenden Wellen auf der schwingenden Saite erklärt. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Frequenzspektrum der Schallwelle und der Schwingung auf der Saite? Stehende Wellen bilden sich, wenn das Vielfache einer halben Wellenlänge auf der schwingenden Saite Platz hat. Im einfachsten Fall haben wir nur zwei Knotenpunkte am Rand und einen Schwingungsbauch, das ist der Grundton. Der erste Oberton hat einen Knotenpunkt mehr als der Grundton, der zweite zwei, und so weiter. Bei Verdopplung der Frequenz halbiert sich die Wellenlänge relativ zum Grundton, bei Verdreifachung ergibt sich ein Drittel der Wellenlänge, und so geht das weiter für alle Vielfachen der Frequenz des Grundtons. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird der Übergang von klassischen Drehoperatoren zu Quantenoperatoren diskutiert und sowie die Bedeutung des Planck'schen Wirkungsquantums für die Quantenphysik herausgestellt. Kerzen und Spiegel stehen als Sinnbild für Zustände und Operatoren. Besonders symmetrische Zustände sind ihr eigenes Spiegelbild; sie befinden sich genau in der Mitte und teilen die Spiegelebene. Alle anderen Zustände werden nicht auf sich selbst gespiegelt, sondern treten paarweise auf. In diesem Fall kann nur eine ungerade Anzahl von Zuständen existieren: einer - drei - fünf - und so weiter. Das Video betrachtet den Fall von sieben Zuständen genauer. Hier gibt es insgesamt l=3 azimutale Knotenlinien, im symmetrischsten Fall drei waagerechte. Die Knotendrehoperatoren drehen eine waagerechte Knotenlinie in die Senkrechte und erzeugen aus dem Zustand m=0 den Zustand m=+1 mit einer rechtsdrehenden Knotenlinie; im Spiegelbild m=-1 mit einer linksdrehenden Knotenlinie. Nochmaliges Anwenden des Knotendrehoperators dreht noch eine Knotenlinie aus der Waagerechten in die Senkrechte. Nochmaliges Anwenden führt zu den Zuständen, bei denen alle Knotenlinien sich rechts, beziehungsweise links um die z-Achse drehen. Mehr waagerechte Knotenlinien gibt es nicht - eine weitere Anwendung der Knotendrehoperatoren führt zur Null. Damit sind alle möglichen Schwingungszustände auf der Kugeloberfläche in drei Dimensionen vorgestellt. Sie lassen sich klassifizieren bezüglich des Dz-Operators, zu dem alle hier gezeigten Zustände Eigenzustände sind. Die Knotendrehoperatoren d plus / d minus drehen Knotenlinien aus der Waagerechten in die Senkrechte und erzeugen so aus dem Zustand m den Zustand m+ eins / m- eins. Ausgehend von den symmetrischsten Eigenzuständen des Dz Operators auf der Spiegelebene ergeben sich alle weiteren Eigenzustände durch das Anwenden der Knotendrehoperatoren. In dem bis hierher gezeigten Bild von Operatoren und Zuständen auf der Kugeloberfläche gibt es noch einen freien Parameter. Verändert man den Abstand zwischen den Zuständen und deren Spiegelbildern, bleibt alles andere wie gehabt bestehen. Dieser Abstand lässt sich also beliebig wählen, ohne die Symmetrie zwischen den Eigenzuständen zu zerstören. Für klassische Operatoren auf der Kugeloberfläche hat dieser Abstand Delta keine tiefere Bedeutung und ist je nach Anwendung unterschiedlich. In der Quantenphysik liegt hier des Pudels Kern: Dieser Abstand ist eine universelle Naturkonstante: ℏ, also 10-34 Joulesekunden. Dieser Wert ist absolut unveränderlich und gilt auf der Erde genauso wie im Sonnenkern oder in einem Schwarzen Loch. Beim Übergang zur Quantenphysik werden die Operatoren also "nur" skaliert, die eigentliche Schwierigkeit für die Physik liegt eher in der Interpretation dieser Skalierung als in der mathematischen Struktur. Vergleicht man Operatoren und Zustände auf der Kugeloberfläche in der Quantenphysik und im klassischen Fall, so ist bei der Quantenphysik der Abstand zwischen den Zuständen eine universelle Naturkonstante, im klassischen Fall beliebig. Wie sieht es mit den Zuständen aus? In beiden Fällen können die Eigenzustände als Schwingungen auf der Kugeloberfläche, und somit durch Anzahl und Position von Knotenlinien klassifiziert werden. Hier der Fall l=2, m=0. Aber es gibt einen entscheidenden Unterschied: In der klassischen Physik sind die Schwingungszustände direkt beobachtbare, reale Schwingungen auf einer Kugeloberfläche, wie zum Beispiel eine schwingende Seifenhaut. In der Quantenphysik handelt es sich um eine nicht direkt beobachtbare Schwingung, die man als Wurzel aus einer Wahrscheinlichkeit, beziehungsweise als Wellenfunktion interpretieren kann. Schneidet man die Kugel auf, erhält man im klassischen Fall die Schwingung auf einer Kreislinie zurück - aber in der Quantendimension erhält man einen Ausschnitt aus einer komplexen Wellenfunktion. Die Operatoren Lz, L+ und L- tragen aus historischen Gründen in der Quantenmechanik den Namen Drehimpulsoperatoren. Mehr Gemeinsamkeiten als die physikalische Einheit Joulesekunde haben diese Operatoren mit dem klassischen Drehimpuls aber nur in sehr wenigen Spezialfällen. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video wird das Pauli-Prinzip visualisiert, wodurch die Stabilität der Elemente erklärt werden kann. Alle Quantenzustände haben ihren Ursprung in der Spiegelebene. Das Video zeigt, wie die Spinzustände up und down erzeugt werden. Kombinierte Zustände mit zwei Spins können erzeugt werden, indem man den Doppelpfeil auf die jeweilige Position des ersten Spins verschiebt. Es ergeben sich die vier Kombinationen up/up, up/down, down/up und down/down. Für ein tieferes Verständnis von Zwei-Spin-Zuständen, und allgemein Mehr-Teilchen-Quantenphysik, spielen Symmetrien unter Vertauschung eine wesentliche Rolle. Solchen Symmetrien begegnet man auch bei klassischen Schwingungszuständen: Erinnern wir uns an die Tasse mit Henkel. Durch Spiegelung an der gezeigten Ebene am Henkel geht der Zustand mit Schwingungsbauch am Henkel in sich selber über, der Zustand mit Schwingungsknoten am Henkel aber in sein Negatives. Unter Vertauschung von A mit B ergibt sich also entweder Symmetrie - AB plus - oder Antisymmetrie, AB minus. Symmetrie oder Antisymmetrie unter Vertauschung von A und B findet sich als Prinzip bei Zwei-Teilchen Zuständen wieder: Denn die Kombinationen aus zwei ununterscheidbaren Spins überlagern zu gemeinsamen Schwingungsmoden, die entweder symmetrisch oder antisymmetrisch unter Vertauschung der Spins A und B sind. Die drei symmetrischen Spinkombinationen werden als Triplett bezeichnet; die antisymmetrische als Singulett. Der gesamte Zwei-Elektronen-Zustand besteht aus einem Orts- und einem Spinzustand. Das symmetrische Spintriplett kombiniert mit dem antisymmetrischen Ortszustand, und das antisymmetrische Spinsingulett mit dem symmetrischen Ortszustand. Dies ist das Pauli-Prinzip: Der Zustand von zwei Elektronen A und B muss insgesamt antisymmetrisch sein! Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.

In diesem Video werden Symmetrien von stehenden Wellen in der Kaffeetasse diskutiert. Mit einer einfachen Kaffeetasse lassen sich interessante Varianten zu Chladnischen Klangfiguren erzeugen. Schlägt man mit einem Löffel die Tasse an unterschiedlichen Stellen an, erzeugt dies höhere oder tiefere Töne. Entscheidend hierfür ist der Winkel zwischen der Position des Henkels und dem Anschlagsort des Löffels. Im Bild stehender Wellen kann das Phänomen verdeutlicht werden. Am Tassenrand bildet sich eine stehende Welle, im einfachsten Fall entsprechen vier Schwingungsbäuche beziehungsweise zwei Wellenlängen dem Tassenrand. Wenn ein Schwingungsbauch am Henkel entsteht, schwingt mehr Masse, daher wird die Frequenz kleiner und der Klang wird tiefer. Bildet sich am Henkel ein Schwingungsknoten, schwingt weniger Masse, daher wird die Frequenz größer und der Klang wird höher. Anhand geeigneter Visualisierung stehender Wellen wird diese Theorie im Video bewiesen. Das hier vorgestellte Video ist Teil des Projektes "U2: Quantenspiegelungen" vom Institut für Didaktik der Physik der Universität Münster. Mathematisch fundierte Visualisierungen eröffnen Schritt für Schritt einen Zugang zu moderner Atomphysik – vom Wasserstoffatom bis zum Periodensystem der Elemente.