In dieser Unterrichtseinheit zum "Rucksackproblem" befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit diesem als Beispiel von NP-vollständigen Problemen sowie anderen, daran angelehnten (teils offenen) Aufgaben. NP-vollständige Probleme sind nicht gerade einfach zu verstehen. Das dazu zählende Rucksackproblem können Lernende zwar nicht in allen Facetten nachvollziehen, die grundlegende Fragestellung können sie aber sehr wohl verstehen. In vielen "einfachen" Fragestellungen geht es um Aspekte, die NP-vollständige Probleme berühren. Die Lösung solcher Aufgaben erfordert jedoch oft ein hohes Maß an mathematischen Kompetenzen, die im modernen Mathematikunterricht verstärkt gefordert werden sollen. Die Aufgaben: Von Frachträumen, Stromautobahnen und Einfahrten Bei den hier vorgestellten Aufgaben zum Rucksackproblem fehlen gelegentlich "Angaben". Die Lernenden sollen durch mathematische Argumentation und Modellierung diese Lücken mit Werten füllen, damit sie mathematische Lösungen für die Rucksackprobleme finden und mit entsprechenden mathematischen Ausdrücken formulieren und vorstellen können. Oft sind die Lösungen der an das Rucksackproblem angelehnten Fragestellungen nicht eindeutig, weil sie unterschiedliche Argumentationen zulassen. Dabei geht es zum Beispiel darum, den Frachtraum eines Transportflugzeugs effektiv zu nutzen, neue "Stromautobahnen" ökonomisch zu planen oder eine Einfahrt mit möglichst geringen Kosten zu bepflastern. Die Lösungsideen Es liegt in der Natur der Sache, dass zu diesen teils offenen Aufgaben (die diskussionsanregend wirken) keine kompletten Lösungen vorgegeben werden können (und sollen). Stattdessen werden hier "Lösungsideen" vorgestellt, die die richtigen Impulse geben. Die Aufgaben können - mit den hier ebenfalls vorgestellten Erweiterungen für höhere Klassenstufen - von Klasse 5 bis in die Oberstufe hinein verwendet werden. Einsatz im Unterricht Jede Teilaufgabe in Anlehnung an das Rucksackproblem wird mit den Lernenden vor der Bearbeitung ausführlich besprochen. So soll mathematische Argumentation und Kommunikation schon im Vorfeld der Lösungen erfolgen. Danach stellen die Lernenden ihre Lösungen im Plenum vor. Sie können die Rucksackprobleme auch außerhalb des Unterrichts bearbeiten. Die Materialien sind so konzipiert, dass sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen auch zum Selbststudium verwendet werden können. Eine Vorstellung der Ergebnisse im Unterricht ist jedoch wünschenswert. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. verwenden mathematische Darstellungen. gehen mit mathematischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. kommunizieren mathematisch. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien), vor allem beim Vorstellen der Lösungen. zeigen im Rahmen der Teamarbeit Hilfsbereitschaft. zeigen durch einige offene Fragestellungen Engagement und Motivation. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Fibonacci-Zahlen lernen die Schülerinnen und Schüler die Fibonacci-Folge kennen. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können.Im Unterricht werden meist nur Funktionen und Integrale behandelt. Folgen und Reihen spielen – wenn überhaupt – eine untergeordnete Rolle. Dabei ermöglichen sie wichtige mathematische Betrachtungen, die den Lernenden auch nach der Schulzeit noch oft begegnen werden. Die Einfachheit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen ist eine gute Motivation, im Unterricht auch einen Blick auf Folgen und Reihen zu werfen. Die Zahlen lassen interessante Grenzwertbetrachtungen zu - ebenfalls die Formel von Moivre-Binet, die in diesem Zusammenhang auftaucht. Die Beweisidee der vollständigen Induktion wird als wichtige Beweismethode erklärt und angewendet. Ein kurzer Blick über die Inhalte der Schulmathematik hinaus rundet die Unterrichtseinheit ab. Warum die Behandlung von Folgen und Reihen sinnvoll ist Dass für große x-Werte die Funktionswerte f(x) gegen einen endlichen Wert streben, wird den Lernenden häufig vermittelt. Folgen werden im Unterricht dagegen selten erörtert. Einen kurzen Einblick erhält man, wenn das Integral über einer Funktion im ersten Quadraten durch Rechtecke angenähert wird. Dabei ist es wichtig den Grenzwert zu bestimmen, falls die Breite der Rechtecke gegen Null und somit die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich geht. Oft wird nur in diesem Zusammenhang kurz über Folgen und Reihen gesprochen. Viele Alltagsbetrachtungen können jedoch durch Folgen und Reihen verständlicher beschrieben werden. Als Beispiel betrachtet man ein monatliches Ansparen eines festen oder flexiblen Betrages, der in Abhängigkeit zur Anzahl der Monate beschrieben werden kann. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Leonardo da Pisa (etwa 1170-1240), auch Fibonacci genannt, war Rechenmeister in Pisa und gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Neben den nach ihm benannten Zahlen sollen die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit vor allem die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen lernen. Der Funktionsbegriff sowie die Idee der Stamm- und Integralfunktion ist ihnen bereits bekannt. Sollen sie auch erste Erfahrungen mit Folgen und Reihen machen, so ist im ersten Abschnitt der Unterrichtseinheit eine Ergänzung nötig, denn die hier bereitgestellten Materialien setzen voraus, dass auch diese Begriffe bereits bekannt sind. Die Arbeitsblätter vermitteln, dass auch Folgen und Reihen analoge Betrachtungen zu Grenzwerten zulassen. Die Art der Annäherung an einen Grenzwert von beiden Seiten ist eine Besonderheit. Zum Abschluss wird ein Begriff aus der Mathematik vorgestellt, der über den Lehrplan hinaus einen Blick in die Welt der Mathematik bietet: Nachbarbrüche. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

Ziel dieser Unterrichtseinheit ist es, einen Einblick in die mathematische Modellierung zu erlangen. Dies geschieht in einer Lernumgebung mit digitalen Hilfsmitteln. Zentraler Inhalt ist die Ermittlung der Evakuierungsdauer eines Gebäudes, indem die Analyse von Einflussfaktoren auf das Evakuierungsergebnis fokussiert wird.In dieser Unterrichtseinheit mit Arbeitsheft tauchen Lernende in ein komplexes mathematisches Projekt ein: Die Modellierung einer Gebäude-Evakuierung. Dabei sollen sie erkennen, dass es mithilfe mathematischer Modellierungen möglich ist, Vorhersagen (über die Welt) zu treffen, ohne diese erst kost- oder zeitspielig zu erproben. Den Schülerinnen und Schülern wird zunächst eine fertige Modellierung in einer digitalen Lernumgebung, deren Ergebnis sie zunächst nur nachvollziehen und rechnerisch überprüfen, zur Verfügung gestellt. Ausgehend von diesem Modell können die Lernenden selbständig Änderungen an den Szenarien vornehmen, indem sie etwa die Breite von Gängen und Türen verändern oder andere Annahmen über die durchschnittliche Laufgeschwindigkeit treffen. Der Einfluss dieser Variablen auf das Ergebnis soll festgehalten und im weiteren Verlauf analysiert werden. Während dieser Analyse werden Kennzahlen zu den Änderungen identifiziert und berechnet. Diese werden anschließend benutzt, um verschiedene Optionen zur Verbesserung der Evakuierbarkeit des betrachteten Gebäudes zu bewerten und daran anschließend eine datenbasierte Entscheidung für ein Maßnahmenpaket an Verbesserungen zu treffen. Indem die Schülerinnen und Schüler analysieren und bewerten, erleben sie, dass die Ergebnisse mathematischer Modellierungen nur so gut sein können wie die benutzten Annahmen und Modelle. Zentrales Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Fähigkeiten zur Enttarnung unrealistischer Situationen zu erhalten und so etablierte Simulationen in anderen Wissenschaftsbereichen (Klimawandel, Pandemien et cetera) besser einschätzen zu können. Das Thema "Mathematische Modellierungen" im Unterricht Komplexe Simulationen bestimmen die wissenschaftliche Erkenntnisgewinnung in vielen Bereichen. So stützen sich etwa die Empfehlungen in der Corona-Pandemie und Maßnahmen zum Klimaschutz wesentlich auf Computer-Simulationen. Die Validität derartiger Simulationen wird in der öffentlichen Wahrnehmung immer wieder hinterfragt oder sogar grundlos negiert. Dieses Arbeitsheft hilft Lernenden zu verdeutlichen, wie ein Erkenntniserwerb mithilfe geeigneter Simulationen möglich ist und wie auf der Grundlage von – simulierten – Daten Entscheidungen getroffen werden können. Exemplarisch verdeutlicht wird das am Beispiel der Gebäude-Evakuierung. Didaktische Analyse Das Beispiel wurde gewählt, da Annahmen ohne größere domänenbezogene Kenntnisse evaluiert werden können. Zudem ist das Thema durch seinen Alltagsbezug motivierend und Ergebnisse können unkompliziert im schulischem Rahmen experimentell überprüft beziehungsweise erprobt werden – etwa im Rahmen einer regelmäßig stattfindenden Evakuierungsübung. Darüber hinaus kann dieses Thema auch in weiteren Unterrichtseinheiten wieder aufgegriffen werden. Beispielhaft wären hier die Auswertung von mathematischen Ergebnissen mit statistischen Methoden oder die Formulierung komplexer Algorithmen, etwa zum Fluchtverhalten, zu nennen. Entsprechende Arbeitshefte zu diesen Themenbereichen sind in Kürze ebenfalls auf der Projekt-Webseite zu finden. Methodische Analyse Das Arbeitsheft zur Unterrichtseinheit ist so konzipiert, dass die Lernenden schrittweise begleitet werden. Ausgehend von Leitfragen und Vorüberlegungen wird das zentrale Modell motiviert und eingeführt. Vorstrukturierte Leitaufgaben, die schrittweise selbstständiger und offener werden, begleiten die Schülerinnen und Schüler in ihrem Lernprozess und ermöglichen der Lehrkraft, sich auf die Rolle als Lernbegleiterin oder Lernbegleiter zu fokussieren und auf individuelle Probleme einzugehen. Aus diesem Grund gilt die Eigenständigkeit der Lernenden bei der Bearbeitung der Aufgaben als Voraussetzung. Daher wird die Bearbeitung des Arbeitsheftes primär für Schülerinnen und Schüler ab Klasse 10 bis 13 empfohlen. Alle weiteren Inhalte werden im Arbeitsheft eingeführt. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Die Umgebung kann vollständig aus dem Browser (Firefox, Chrome, Safari, Opera, Edge, et cetera) heraus benutzt werden. Sie benötigt einen Bildschirm mit hinreichend großer Auflösung (mindestens 1024 mal 768). Weitere Voraussetzungen oder Kenntnisse sind nicht erforderlich. Die Funktionalität der Umgebung wird im Arbeitsheft beschrieben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler vertiefen ihre Modellierungsfähigkeit anhand eines komplexen Beispiels. überprüfen Annahmen mathematischer Modellierungen kritisch. ordnen Ergebnisse mathematischer Modellierungen kritisch ein. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler benutzen eine vorgegebene, digitale Simulation als Unterstützung bei der Modellierung. erkennen die Relevanz automatisierter Prozesse bei komplexen Modellierungsaufgaben. hinterfragen Chancen und Risiken digitaler Simulationen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verstärken ihre Teamkompetenz durch die gemeinsame Arbeit an mathematischen Problemen. kommunizieren über die Herangehensweise und Lösungen mathematischer Probleme. präsentieren und begründen ihre Ergebnisse und Herangehensweisen in einem Vortrag. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler benutzen mathematische Denk- und Arbeitsweisen, um Phänomene der realen Welt zu beschreiben und zu erklären. benutzen mathematische Modelle und daraus gewonnene Daten zur Lösung komplexer Probleme der realen Welt. setzen mathematische Technologien reflektiert ein, um schnell und zielgerichtet Daten zu generieren.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen. Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.

In dieser Unterrichtseinheit berechnen die Lernenden mit digitalen Hilfsmitteln die Wahrscheinlichkeit für den Achtelfinaleinzug von Deutschland bei der Fußballweltmeisterschaft 2022 mithilfe von Sportwetten. Das Ziel des Materials ist es, die Aufgabe mithilfe von Modellierungstätigkeiten zu lösen und dadurch die Kompetenz des mathematischen Modellierens zu stärken.In dieser Unterrichtseinheit wird die Wahrscheinlichkeit eines Achtelfinaleinzugs von Deutschland bei der Fußball-WM 2022 in Katar bestimmt. Als Ansatzpunkte werden dazu die Wettquoten von Sportwettenanbietern verwendet. Es handelt sich um eine Modellierungsaufgabe, bei der die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Unterrichtseinheit die verschiedenen Teilschritte des mathematischen Modellierens durchlaufen. Die Lernenden werden schrittweise durch die Aufgabe geführt und erarbeiten sich damit Stück für Stück die Lösung der Aufgabe selbstständig. Unterstützt werden sie dabei von einer digitalen Lernumgebung, die Informationstexte, Aufgabenstellungen und Zusatzmaterialien wie GeoGebra-Simulationen und Vorlagen für Tabellenkalkulationen enthält. Zusätzlich erhalten die Lernenden ein Aufgabenheft, in dem sie die Aufgaben schriftlich bearbeiten können. Im Laufe der Unterrichtseinheit wird die Ausgangssituation der Aufgabenstellung zunächst analysiert, vereinfacht und anschließend in das mathematische Modell eines zweistufigen Zufallsexperiments übersetzt. Danach werden die beiden Stufen des Zufallsexperiments getrennt voneinander betrachtet und entsprechende mathematische Überlegungen angestellt. Ein entscheidender Aspekt der mathematischen Überlegungen ist die Übersetzung der Wettquoten in Wahrscheinlichkeiten, wobei im Zuge dessen Begriffe wie Pseudowahrscheinlichkeiten und gewinnbereinigte Wahrscheinlichkeiten eingeführt und voneinander abgegrenzt werden. Anschließend werden in mehreren Teilschritten unter Verwendung der ersten und zweiten Pfadregel und dem Satz über bedingte Wahrscheinlichkeiten schließlich die verschiedenen Probabilitäten berechnet, die schlussendlich zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit des Achtelfinaleinzugs zusammengefasst werden. Zuletzt wird die Aufgabenlösung und damit das erstellte Modell durch den Vergleich mit der bei Sportwettenanbietern angegebenen Wettquote kritisch hinterfragt, was den Modellierungsprozess abschließt. Neben den bereits beschriebenen mathematischen Inhalten werden auch kombinatorische Überlegungen beim Aufstellen der Baumdiagramme angestellt sowie digitale Kompetenzen durch die Verwendung der Simulationen und Tabellenkalkulationen gestärkt. Ziel der Unterrichtseinheit ist es somit, die Modellierungskompetenz und die digitalen Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler zu stärken, wodurch wichtige Aspekte der Bildungsstandards aufgegriffen werden. Das Thema "Mathematisch modellieren" im Unterricht Mathematische Modellierungen erlangen im Kontext interdisziplinärer Aufgaben- und Fragestellungen zunehmende Bedeutung, da zur Beantwortung mathematischer Fragestellungen Realsituationen zunächst in entsprechende Modelle übersetzt werden müssen, bevor eine Aufgabenlösung erfolgen kann. In der vorgestellten Unterrichtseinheit kann die Modellierungskompetenz auf erhöhtem Niveau durch die Bearbeitung einer komplexen, realitätsnahen Aufgabenstellung gefördert werden. Dafür wurde die vorgestellte digitale Lernumgebung auf Grundlage von erprobten und in der Literatur beschriebenen Konzepten für Unterrichtsreihen und Projekttage erstellt, da durch diese der Modellierungsprozess bei Schülerinnen und Schülern schrittweise angeleitet werden kann. Didaktisch-methodische Analyse Durch die vorgestellte digitale Lernumgebung wird die Modellierungskompetenz von Schülerinnen und Schülern gefördert. Sie durchlaufen während der Bearbeitung der Aufgabenstellung die in den KMK-Bildungsstandards geforderten und beschriebenen Teilschritte der mathematischen Modellierung, wodurch die Kompetenz insgesamt gestärkt wird. Um den ebenfalls in den Bildungsstandards geforderten Aspekt der Digitalisierung aufzugreifen, werden in der digitalen Lernumgebung Simulationen und Tabellenkalkulationen verwendet. Die Simulationen helfen zusätzlich, die erarbeiteten Sachverhalte darzustellen und zu visualisieren. Insbesondere die schnelle und einfache Erstellung von Baumdiagrammen mithilfe von Schiebereglern stellt einen enormen Vorteil dar, da nicht die zeichnerische Umsetzung, sondern die Mathematik im Vordergrund steht. Die Verwendung der Tabellenkalkulationen zeigt den Lernenden Chancen von digitalen Programmen in Bezug auf Datensätze auf und erleichtert den Umgang mit diesen. Die vorgestellte und praktisch erprobte Modellierungsaufgabe behandelt Sportwetten als thematischen Schwerpunkt, da dieses Thema einen großen Alltagsbezug für die Lernenden aufweist. Durch die Präsenz des Themas bei Schülerinnen und Schülern steigt die Motivation der Bearbeitung, da die Relevanz der Fragestellung deutlich wird. Dies wurde bei mehreren Durchführungen mit Lernenden im Rahmen des Mathematik-Labors, einem außerschulischen Lernort, beobachtet. Hier bearbeiteten Schülerinnen und Schüler im Rahmen von Workshops und Modellierungstagen erfolgreich die vorgestellte Modellierungsaufgabe. Methodisch wurde eine digitale Lernumgebung erstellt, welche die Lernenden selbstständig zu Hause oder bei entsprechender technischer Ausstattung (Vorhandensein von genügend vielen digitalen Endgeräten) in der Schule verwenden können. Innerhalb der Lernumgebung liegen verschiedenen Kapitel vor, die schrittweise von den Lernenden bearbeitet werden können. Der Vorteil besteht darin, dass alle Schülerinnen und Schüler in ihrem eigenen Tempo arbeiten können und damit der Kompetenzaufbau sichergestellt wird. Zusätzlich werden über entsprechende PopUp-Fenster Hilfestellungen bereitgestellt. Insgesamt ist sowohl eine selbstständige als auch eine durch die Lehrkraft angeleitete Verwendung möglich. Die Bearbeitung der Aufgaben kann, je nach Unterrichtssetting und Ausstattung, entweder in Einzel- oder in Paararbeit erfolgen. Paararbeit hat den Vorteil, dass zusätzlich die Kommunikationskompetenz gestärkt wird. Außerdem kann sich die Einbringung unterschiedlicher Ideen positiv auf den Modellierungsprozess auswirken. Weiterhin ist auch eine Verwendung in der Schule oder zu Hause möglich, sodass die digitale Lernumgebung auch für virtuelle Unterrichtsformen verwendet werden kann. Vorkenntnisse von Lehrenden und Lernenden Bei der digitalen Lernumgebung handelt es sich um eine moodle-basierte Anwendung auf der kostenfreien und öffentlich zugänglichen Webseite "OpenWueCampus". Zur Bearbeitung der Lernumgebung können sich Lehrende und Lernende unter Verwendung eines Gastzugangs mit entsprechendem Passwort (MMS_Sportwetten!) in den zugehörigen Kurs einschreiben. Dort kann dann das Material bearbeitet werden, wobei keine speziellen Kenntnisse zur Bearbeitung notwendig sind. Die GeoGebra-Simulationen sind direkt in die Lernumgebung eingebunden und erfordern nur die Bedienung von Schiebereglern und Text-Werkzeugen. Bei der Bearbeitung der Tabellenkalkulation sind grundlegende Kenntnisse, wie die Rechnung mit Zellenbezügen hilfreich. Dies wird aber auch innerhalb der Lernumgebung nochmals erklärt. Insgesamt können Lehrkräfte die digitale Lernumgebung ohne Vorkenntnisse in den Unterricht einbauen, da alle Simulationen bereits vollständig eingebettet sind und nicht mehr angepasst werden müssen. Schülerinnen und Schüler benötigen technisch ebenfalls keine Vorkenntnisse. Inhaltlich wird die Kenntnis über Zufallsexperimente, Baumdiagramme, die Pfadregeln und die bedingte Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt. In der digitalen Lernumgebung werden sowohl Vorlagen für Tabellenkalkulationen in GeoGebra als auch in Excel verwendet. Der Hintergrund dafür ist, dass für die komplexen Rechnungen und Verknüpfungen die grundlegenden Funktionen der GeoGebra-Tabellenkalkulation nicht ausreichen, weshalb dafür das umfangreichere Programm Excel verwendet wird. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Damit für die Lernenden ein möglichst großer Lerngewinn und Kompetenzaufbau durch die Lernumgebung erfolgen kann, sollen Lehrende die digitale Lernumgebung als innovative Lehrmethode reflektiert in ihren Unterricht einbauen können. Dazu sollen digitale Endgeräte mit Internetzugang zur Verfügung stehen und die Lernumgebung vor Verwendung erprobt werden (3.1 Lehren). Wichtig zur erfolgreichen Implementierung der digitalen Lernumgebung in den Unterricht ist, dass sichergestellt wird, dass alle Lernenden Zugang zu den erforderlichen digitalen Endgeräten mit Internetzugang haben. Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler bei der Handhabung unterstützt werden, damit unterschiedliche Voraussetzungen und Vorkenntnisse kein Hindernis in der Benutzung der digitalen Endgeräte und der digitalen Lernumgebung darstellen. Beide Punkte sollen von Lehrenden sichergestellt werden (5.1 Zugang und Inklusion). Lehrende sollen die Differenzierungsmöglichkeiten, die in der digitalen Lernumgebung in Form von optionalen Hilfestellungen zur Verfügung gestellt werden, geeignet und zielführend in ihren Unterricht einbauen können (5.2 Differenzierung und Personalisierung). Weiterhin sollen Lehrende verschiedene Lernformen (kooperatives und selbstreguliertes Lernen) und Kompetenzerwerbsprozesse (Informations- und Medienkompetenz) der Lernenden, die durch die Lernumgebung initiiert werden, unterstützen und fördern. Dazu müssen sie die Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Medienkompetenz unter anderem bei der Analyse und Verarbeitung von Datensätzen mit digitalen Hilfsmitteln wie Simulationen und Tabellenkalkulationsprogrammen unterstützen. Aus diesem Grund sollen auch Lehrende Kompetenzen in diesen Bereichen aufweisen (3.3 Kooperatives Lernen, 3.4 Selbstreguliertes Lernen, 6.1 Informations- und Medienkompetenz). Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Modellierungskompetenz durch Bearbeitung der stochastischen Sportwetten-Modellierung. vertiefen ihre fachliche Kompetenz in den Bereichen der bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Baumdiagramme und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Pfadregeln. interpretieren Sportwettenquoten unter mathematischen Gesichtspunkten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler analysieren und interpretieren den Datensatz der Sportwettenquoten vor dem Hintergrund der Notwendigkeit für die gegebene Aufgabenstellung. erkennen den Mehrwert der Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen bei der Bearbeitung von Datensätzen. übersetzen ihre mathematischen Überlegungen in die bereitgestellten GeoGebra-Simulationen und nutzen die Simulationen zur Visualisierung von komplexen Inhalten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich bei der Bearbeitung der Aufgabenstellung gegenseitig. beschreiben ihr Vorgehen bei der Aufgabenlösung dem Partner oder der Partnerin und argumentieren hinsichtlich der Vereinfachung der Situation und der Plausibilität der Modellierung. dokumentieren Lösungen schriftlich und stellen sie verständlich dar. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler reflektieren das aufgestellte Modell und die daraus gewonnenen Ergebnisse kritisch. verwenden Daten und Informationen zur Aufgabenlösung zielgerichtet. erkennen den Nutzen von digitalen Medien bei der Visualisierung von und dem Umgang mit Datensätzen. lernen die mathematische Modellierung als Möglichkeit zur Bearbeitung interdisziplinärer Fragestellungen kennen. Literaturhinweise Die Materialien wurden auf Grundlage folgender Publikationen erstellt: Siller, H.-S., Maaß, J. (2009). Fußball EM mit Sportwetten. In: Brinkmann, A., Oldenburg, R. (Hrsg.). Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 14 (S. 95–112), Franzbecker: Hildesheim. Maaß, J., Siller, H.-S. (2015). Wettbetrug – ein aktuelles und realitätsbezogenes Thema zum mathematischen Modellieren. In: Maaß, J., Siller, H.-S. (Hrsg.). Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 2, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 79–85), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-05003-0_1 Siller, H.-S.; Habeck, D.; Salih, A.; Fefler, W. (2015). Sportwetten und Großereignisse als Chance für den Mathematikunterricht. Praxis der Mathematik in der Schule, Nr. 66, 57. Jg. (Dezember 2015), S. 42–46. Habeck, D., Siller, H.-S. (2017). Die 3-Punkte-Regel bei Fußballturnieren mathematisch analysiert – oder: Warum es wahrscheinlicher ist die Hauptrunde mit 5 Punkten anstatt mit 6 Punkten zu erreichen. In: Stochastik in der Schule. Heft 3, S. 2–7. Siller, H.-S., Maaß, J. (2018). Fußball EM mit Sportwetten. In: Siller, H.-S., Greefrath, G., Blum, W. (Hrsg.): Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 4, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 343–356), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-17599-3_25