In dieser Unterrichtseinheit zu Geometrie betrachten die Lernenden Größen wie den Flächeninhalt und den Umfang der geometrischen Figuren Rechteck, Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Kreissektor. Mithilfe von GeoGebra lassen sich die Berechnungsideen sehr anschaulich darstellen. In der Geometrie werden zur Beschreibung von Flächen Größen wie der Flächeninhalt und der Umfang betrachtet. In dieser Unterrichtseinheit erstellen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra dynamisches Material zu Rechtecken, Parallelogrammen, Dreiecken, Trapezen und Kreissektoren sowie dessen geometrische Zusammenhänge für Flächeninhalte und Umfänge. Zuvor haben sie stets die Möglichkeit an sehr anschaulichen vorbereiteten GeoGebra-Dateien zu experimentieren, um Erfahrungen zu sammeln und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Durch die Möglichkeit, schnell Änderungen vornehmen zu können, werden die Lernenden angeregt, selbst Fragestellungen zu ermitteln. Die Schülerinnen und Schüler entdecken außerdem Möglichkeiten, mithilfe von GeoGebra die Anschaulichkeit zu erhöhen. Lehrpläne sehen es vor, dass Schülerinnen und Schüler Flächeninhalte unterschiedlicher geometrischer Figuren ihrer Lebenswelt vergleichen, messen und schätzen. Mit GeoGebra lassen sich derartige Figuren einfach erstellen. Die Schülerinnen und Schüler können sich die Zusammenhänge für Fläche und Umfang für die grundlegenden Formen selbst erarbeiten und visualisieren, so dass ein besseres Verständnis für verschiedene Problemlösestrategien (beispielsweise Zerlegen, Auslegen von fremden Formen mit bekannten Flächentypen) entsteht, diese verwendet und eingeübt werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen Probleme mathematisch und stellen diese am Rechner dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren. analysieren und reflektieren ihre erstellten GeoGebra Dateien. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). arbeiten im Team und geben Hilfestellungen. stoßen durch offene Fragestellungen auf neue Ideen und zeigen Engagement und Motivation.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Fibonacci-Zahlen lernen die Schülerinnen und Schüler die Fibonacci-Folge kennen. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können.Im Unterricht werden meist nur Funktionen und Integrale behandelt. Folgen und Reihen spielen – wenn überhaupt – eine untergeordnete Rolle. Dabei ermöglichen sie wichtige mathematische Betrachtungen, die den Lernenden auch nach der Schulzeit noch oft begegnen werden. Die Einfachheit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen ist eine gute Motivation, im Unterricht auch einen Blick auf Folgen und Reihen zu werfen. Die Zahlen lassen interessante Grenzwertbetrachtungen zu - ebenfalls die Formel von Moivre-Binet, die in diesem Zusammenhang auftaucht. Die Beweisidee der vollständigen Induktion wird als wichtige Beweismethode erklärt und angewendet. Ein kurzer Blick über die Inhalte der Schulmathematik hinaus rundet die Unterrichtseinheit ab. Warum die Behandlung von Folgen und Reihen sinnvoll ist Dass für große x-Werte die Funktionswerte f(x) gegen einen endlichen Wert streben, wird den Lernenden häufig vermittelt. Folgen werden im Unterricht dagegen selten erörtert. Einen kurzen Einblick erhält man, wenn das Integral über einer Funktion im ersten Quadraten durch Rechtecke angenähert wird. Dabei ist es wichtig den Grenzwert zu bestimmen, falls die Breite der Rechtecke gegen Null und somit die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich geht. Oft wird nur in diesem Zusammenhang kurz über Folgen und Reihen gesprochen. Viele Alltagsbetrachtungen können jedoch durch Folgen und Reihen verständlicher beschrieben werden. Als Beispiel betrachtet man ein monatliches Ansparen eines festen oder flexiblen Betrages, der in Abhängigkeit zur Anzahl der Monate beschrieben werden kann. Hinweise zum Einsatz im Unterricht Leonardo da Pisa (etwa 1170-1240), auch Fibonacci genannt, war Rechenmeister in Pisa und gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Neben den nach ihm benannten Zahlen sollen die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit vor allem die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen lernen. Der Funktionsbegriff sowie die Idee der Stamm- und Integralfunktion ist ihnen bereits bekannt. Sollen sie auch erste Erfahrungen mit Folgen und Reihen machen, so ist im ersten Abschnitt der Unterrichtseinheit eine Ergänzung nötig, denn die hier bereitgestellten Materialien setzen voraus, dass auch diese Begriffe bereits bekannt sind. Die Arbeitsblätter vermitteln, dass auch Folgen und Reihen analoge Betrachtungen zu Grenzwerten zulassen. Die Art der Annäherung an einen Grenzwert von beiden Seiten ist eine Besonderheit. Zum Abschluss wird ein Begriff aus der Mathematik vorgestellt, der über den Lehrplan hinaus einen Blick in die Welt der Mathematik bietet: Nachbarbrüche. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Fibonacci-Zahlen kennen. erkennen die Analogie von Folgen und Reihen zur Idee von Funktion und Integral. lernen die Beziehung zwischen Goldenem Schnitt und Fibonacci-Zahlen kennen. können die Beweismethode der vollständigen Induktion durchführen. können mathematisch argumentieren und Probleme mathematisch lösen. können mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). zeigen Hilfsbereitschaft bei der Teamarbeit. zeigen Engagement und Motivation durch einige offene Fragestellungen. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

Dateien im MP3-Format sind heutzutage sehr verbreitet. Dass hinter MP3 jede Menge interessante Mathematik steht, ist vielen nicht bewusst. Wer kennt nicht MP3-Dateien? Mit ihnen ist es möglich, große Mengen von Musik auf kleinstem Raum zu speichern und wieder abzuspielen: denn mit MP3 kann man den Speicherplatz, den man benötigt, um eine Audiodatei zu speichern, auf einen Bruchteil reduzieren. Auf modernen MP3-Playern von der Größe einer Streichholzschachtel ist es möglich, bis zu 200.000 Minuten Musik (das entspricht 130 Tagen) zu speichern. Diese Unterrichtseinheit soll einige der Prinzipien, auf denen MP3 basiert, näher beleuchten und allgemein verständlich darstellen. Dies umfasst biologische, physikalische und mathematische Aspekte. Ausgehend von verschiedenen Hörbeispielen zur Einführung werden die mathematischen Grundlagen betrachtet, die hinter der Zerlegung von Frequenzen liegen. Prinzip von MP3 und Grundlagen Wie lassen sich große Datenmengen von Video- und Audiodateien im MP3-Format platzsparend speichern? Was hört das menschliche Ohr - und was nicht? Die Grenzen des menschlichen Gehörs und welche Rolle dabei der verdeckende Schall und der verdeckte Schall spielen. Prinzip der Multiskalenanalyse Zerlegt man musikalische Töne in ihre Einzelfrequenzen, müssen ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachtet werden. Multiskalenanalyse mithilfe von Rechteckschwingungen Tonsignale lassen sich auch in Rechteckschwingungen zerlegen, deren Skala zunehmend gröber wird. Huffman-Codierung Um in MP3 die verbliebenen Informationen effizient abzuspeichern, nutzt man die Huffman-Codierung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Prinzipien, auf denen MP3 basiert, kennen lernen. ein grundlegendes Verständnis für das Hören von Tönen und Klängen entwickeln. einige Grenzen des menschlichen Gehörs kennen lernen. das Prinzip der Zerlegung eines Klanges in Einzelfrequenzen am Beispiel einer Multiskalenanalyse nachvollziehen. Thema MP3 - ein Beispiel für angewandte Mathematik im Alltag Autoren Dr. Anton Schüller, Prof. Dr. Ulrich Trottenberg, Dr. Roman Wienands Fach Mathematik, Physik, Biologie oder Differenzierungsbereich Mathematik/Naturwissenschaft Zielgruppe ab Klasse 8 oder im Rahmen eines Projektkurses in der Oberstufe Zeitraum 3 bis 4 Stunden oder im Rahmen einer Projektwoche Technische Voraussetzungen Computer mit Soundkarte, Software zur Wiedergabe von Audio- und Videodateien im avi-Format, zum Beispiel Windows Media Player oder Real Player MP3 ist eine Abkürzung von MPEG Audio Layer 3, wobei MPEG für Moving Picture Experts Group steht, die 1988 gegründet wurde, um einen Standard für die effiziente Kodierungvon Videocodes zu entwickeln. MP3 basiert auf dem Prinzip, dass nur der Anteil von einem Musikstück gespeichert werden muss, den das menschliche Ohr auch hören kann. Dies mag auf den ersten Blick ein wenig überraschend klingen. Hören wir denn nicht alles, was in einem Musikstück enthalten ist? Tatsächlich ist das menschliche Ohr nicht in der Lage, alle Details, die in einem Musikstück enthalten sind, wahrzunehmen. Zur Einführung in das Thema eignet sich das Zeigen der Audio-Video-Datei audio_video_kompression.avi. Hier wird gleichzeitig an einem visuellen und auditiven Beispiel demonstriert, wie sich die Qualität von Bildern und Musik verändert, wenn man die zugehörigen Dateien immer weiter komprimiert. Bei der Datenkompression bleibt die Qualität für die menschliche Wahrnehmung zunächst erhalten und man spart große Mengen Speicherplatz. Irgendwann werden jedoch die Qualitätsverluste bemerkbar. Komprimiert man dann immer noch weiter, so verschlechtert sich die Qualität dramatisch. Wieso können wir überhaupt das hören, was jemand sagt, der einige Meter von uns entfernt ist? Der Grund hierfür ist das physikalische Phänomen des Schalls. Schall entsteht, weil die Moleküle eines Mediums (zum Beispiel Luft) zum Schwingen gebracht werden. Dadurch stoßen sie an benachbarte Moleküle, bringen auch diese ins Schwingen und so weiter. Abb. 1 (bitte anklicken) zeigt eine Animation der Molekülbewegungen. Solch eine (mechanische) Schwingung breitet sich in festen, flüssigen oder gasförmigen Stoffen wellenförmig aus. Schall breitet sich als sogenannte Longitudinalwellen aus, also immer parallel zur Ausbreitungsrichtung. Die Animation in Abb. 2 (bitte anklicken) verdeutlicht dies. Entsteht ein Ton dadurch, dass eine Gruppe von Molekülen ganz regelmäßig hin und her schwingt, beispielsweise 400 mal pro Sekunde, so sagen wir auch, der Ton hat eine Frequenz von 400 Hertz, das heisst die Schwingung erfolgt 400 mal pro Sekunde. Das menschliche Ohr kann nur Töne wahrnehmen, die zwischen etwa 16 und 20.000 Hertz liegen. Ist c die Schallgeschwindigkeit in einem Medium, f die Frequenz einer Schallwelle (das heißt einer sich wellenförmig ausbreitenden Schwingung) und λ (sprich lambda) die Wellenlänge, so gilt c = λ * f Sind zwei dieser drei Größen bekannt, so kann man die dritte hiermit berechnen. Je weiter die Moleküle in der Luft hin und her schwingen, desto lauter ist der Ton. Die Lautstärke beschreibt also den Unterschied zwischen Berg und Tal der Schwingung. Geräusche haben keine exakt bestimmbare Tonhöhe mehr. Sie sind nichtperiodische Schallereignisse, die durch Überlagerungen vieler Schwingungen unterschiedlicher Frequenz mit rasch wechselnder Amplitude entstehen. Mit anderen Worten: "Der Unterschied von Ton/Klang zu Geräusch ist in der Regelmäßigkeit der Schwingung zu finden. Bei einem Geräusch ist die Schwingbewegung der Luft sehr ungleichmäßig, bei Tönen dagegen handelt es sich um immer wiederkehrende gleichförmige Luftbewegungen". Alles, was wir hören, besteht aus Überlagerungen von Schwingungen, die sich in einem Medium wie der Luft wellenförmig ausbreiten. Diese wellenförmige Ausbreitung bedeutet physikalisch gesehen, dass das menschliche Ohr Druckschwankungen wahrnimmt, die aus einer Überlagerung von Schwingungen unterschiedlichster Frequenzen resultieren. Diese Druckschwankungen führen zu einem entsprechenden Schwingen des Trommelfells. Das menschliche Ohr ist wiederum imstande, dieses Schwingen des Trommelfells über Sinneshaare im Innenohr, die auf unterschiedliche Frequenzen spezialisiert sind, in einzelne Tonfrequenzen zu zerlegen und als Nervenreize an das Gehirn weiterzuleiten. Diese werden dann vom Gehirn als Töne, Klänge und Geräusche interpretiert. Grenzen des menschlichen Gehörs: Abb. 3 zeigt Hörschwelle, Schmerzgrenze, Musik- und Sprachwahrnehmbarkeit in Abhängigkeit von der Frequenz. Nach rechts ist die Frequenz und nach oben die Lautstärke (in der Maßeinheit "Dezibel") aufgetragen. Man beachte dabei, dass "Dezibel" eine logarithmische Maßeinheit ist. Wegen log 1 = 0 bedeutet 0 Dezibel gerade nicht, dass völlige Stille herrscht. In Abb. 4 werden die Grenzen des menschlichen Gehörs deutlich: Die Hörschwelle wird angehoben durch die Anwesenheit von Tönen mit einer Frequenz von 1 kHz und verschiedenen Lautstärken (in jeweils unterschiedlichen Farben dargestellt). mp3 macht sich zunutze, dass die akustischen Informationen, die das menschliche Ohr überhaupt nicht wahrnehmen kann, auch nicht abgespeichert werden müssen. Für MP3 müssen also die Tonsignale wieder in die einzelnen Frequenzen zerlegt werden, aus denen sie zusammengesetzt sind. Anschließend werden die Anteile, die für das menschliche Gehör ohnehin nicht wahrnehmbar sind, aus der Frequenzdarstellung entfernt, denn nur die hörbaren Anteile müssen überhaupt gespeichert werden. In den Videoclips wird demonstriert, wie MP3 funktioniert. An diesen Hörbeispielen wird deutlich, dass man im MP3-Format nur einen kleinen Teil der ursprünglichen Frequenzen zu speichern braucht. Den überwiegenden Rest der Informationen kann man weglassen, ohne dass das menschliche Ohr einen Unterschied zur Originalversion wahrnimmt. Die Töne im weißen Bereich des dritten Beispiels (musikbeispiel_orig_minus_mp3.avi) werden in der Originalversion durch andere dominantere Töne überdeckt und werden somit im Gesamtzusammenhang des Musikstücks nicht wahrgenommen. Erst wenn die dominanten Töne wegfallen, werden die restlichen Töne für das menschliche Ohr hörbar. Musikalische Töne bestehen aus einer Überlagerung einer Vielzahl von Schwingungen. Wie zuvor bereits erläutert, sind nur die Schwingungen mit Frequenzen zwischen etwa 20 und 20.000 Hertz für den Menschen hörbar. Der Faktor zwischen den niedrigsten und den höchsten hörbaren Frequenzen beträgt damit immerhin 1.000 = 10³, also 3 Zehnerpotenzen. Wenn wir also musikalische Töne wieder in die darin enthaltenen Einzelfrequenzen zerlegen wollen, müssen wir ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachten. Da die Frequenzen in einem bestimmten Medium wie der Luft in direktem Zusammenhang mit den zugehörigen Wellenlängen stehen (wie in der Gleichung zu Prinzip von MP3 und Grundlagen ), können wir ganz analog auch sagen, wir müssen ganz unterschiedliche Skalen von Wellenlängen betrachten. Eine derartige Multiskalenanalyse ist durchaus nicht ungewöhnlich, wenn man die Eigenschaften von Objekten beobachten oder analysieren will. Anhand von zwei Beispielen wird das Prinzip der Multiskalenanalyse verdeutlicht. Im ersten Beispiel wird eine Multiskalenanalyse durch fortgesetzte Mittelwertbildung für eine gegebene Zahlenfolge durchgeführt. Im zweiten Beispiel betrachten wir die Zerlegung eines Tonsignals in sogenannte Wavelets, was der Zerlegung in Rechteckschwingungen entspricht. Wir betrachten als Beispiel folgende Zahlenfolge von Quadratzahlen: 0 1 4 9 16 25 36 49. Fassen wir die Zahlen in Paare zusammen und bilden die Mittelwerte dieser Paare, so erhalten wir die Folge 0,5 6,5 20,5 42,5. Fassen wir diese Zahlen ebenfalls wieder zu Paaren zusammen und bilden die Mittelwerte der Paare, so erhalten wir die Folge 3,5 31,5. Für dieses Zahlenpaar haben wir den Mittelwert 17,5. Wir haben jetzt die ursprüngliche Zahlenfolge in mehrere Skalen von Mittelwerten überführt: Um von einer Mittelwertskala wieder zur vorhergehenden zu gelangen, benötigen wir die Abweichungen der Mittelwerte von den zugehörigen Werten auf der vorigen Skala: 17,5 - 14 = 3,5 beziehungsweise 17,5 + 14 = 31,5 Entsprechend auf der nächstgröberen Skala: 3,5 - 3 = 0,5 3,5 + 3 = 6,5 31,5 - 11 = 20,5 31,5 + 11 = 42,5 Ganz analog können wir auch von der feineren Skala von Mittelwerten zu unserer ursprünglichen Folge zurückkehren: Die gröbste Skala von Mittelwerten und diese Abweichungen können wir uns wie in folgendem Schema merken. Hier ist zusätzlich die ursprüngliche Zahlenfolge nochmals mit aufgeführt: Zu den ursprünglichen Zahlen zurück kommen wir jetzt, indem wir den Mittelwert auf der gröbsten Skala und die entsprechenden gespeicherten Abweichungen auf allen feineren Skalen einfach addieren. Ein Beispiel: Annäherung an die Funktion durch Balken Um Tonsignale in Rechteckschwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu zerlegen, können wir ganz analog vorgehen. Abb. 9 zeigt links eine Funktion, die wir in Rechteckschwingungen zerlegen wollen. Da wir den Funktionsverlauf in der Praxis oft nicht genau kennen, sondern nur an bestimmten Werten messen, nähern wir die Funktion durch die einzelnen Messwerte an. Diese Messwerte werden durch die gefärbten Balken wiedergegeben. Multiskalenanalyse in beide Richtungen möglich Auf der rechten Seite der Abbildung 9 ist der umkreiste Ausschnitt der Funktion vergrößert dargestellt. Wir erläutern das Prinzip unserer Multiskalenanalyse im Folgenden anhand dieses Ausschnitts. Vergröberung der Skalen Die linke Skizze in Abb. 10 zeigt, dass wir wie im vorangegangenen Abschnitt bei der Prinzip der Multiskalenanalyse wieder Mittelwerte der gemessenen Funktionswerte bilden, um auf die nächstgröbere Skala zu kommen. Dieses Vorgehen können wir fortsetzen, um auf gröbere Skalen zu kommen. Die mittlere Grafik von Abb. 10 zeigt den Mittelwert auf der entsprechenden nächstgröberen Skala. Verfeinerung der Skalen Aber auch die andere Richtung ist denkbar: Zurück zur feinen Skala der Funktion können wir wieder kommen, indem wir wieder die Abweichungen zum Mittelwert hinzu addieren. So erhalten wir wieder die ursprünglichen Messwerte der Funktion zurück. Betrachten wir jetzt die rechte Seite in dieser Abbildung genauer, so stellen wir fest, dass wir tatsächlich unseren Funktionsausschnitt in eine Folge von Rechteckschwingungen zerlegt haben. Abweichungen entsprechen der Rechteckschwingung Dabei sind wir ganz genauso vorgegangen wie bei der Multiskalenanalyse unserer Zahlenfolge im vorangegangenen Abschnitt ( Prinzip der Multiskalenanalyse ). Die Zahlenfolge dort können wir auch auffassen als Messwerte für die Funktion f(x) = x 2 . Daher haben wir auch dort bereits eine Zerlegung dieser Funktion in Rechteckschwingungen durchgeführt. Dies wird deutlich, wenn wir die Abweichungen auf den einzelnen Skalen nochmals genauer betrachten. Wir stellen dabei fest, dass je zwei dieser Abweichungen den gleichen Betrag haben, sich aber im Vorzeichen unterscheiden; so können z.B. die Werte ?3 und +3 auf der zweitfeinsten Skala von Abweichungen als eine Rechteckschwingung (der Höhe 3) aufgefasst werden. Prinzip der Codierung Wie bereits zu Beginn dieser Unterrichtseinheit erwähnt wurde, kann das menschliche Ohr insbesondere in polyphoner Musik (wenn viele Töne gleichzeitig erklingen und sich überlagern) viele Informationen nicht wahrnehmen. Daher werden die unhörbaren Anteile in MP3 nur ungenau gespeichert. Zusätzlich wird eine weitere Reduktion des zu speichernden Datenvolumens dadurch erreicht, dass man eine sogenannte Huffman-Codierung verwendet. Die Idee der Huffman-Codierung lässt sich am Beispiel der Codierung eines Textes einfach beschreiben: In einem Text kommen Buchstaben unterschiedlich häufig vor, in der deutschen Sprache beispielsweise das "e" viel häufiger als das "y". Deshalb verwendet man einen sehr kurzen Code für häufig vorkommende Buchstaben, längeren Code hingegen für Buchstaben, die nur selten vorkommen. Gleichzeitig ist aus einer Huffman-Codierung die ursprüngliche Information schnell, eindeutig und exakt reproduzierbar. Beispiele für Codierungen Ein Beispiel für eine derartige Codierung ist das Morsealphabet. Ein negatives Beispiel ist hingegen das Tippen einer SMS. Hier muss für häufig verwendete Buchstaben wie zum Beispiel "e" oder "n" zweimal gedrückt werden. Übertragen auf die Musik bedeutet dies: Meist besteht das ungenau zu speichernde Frequenzspektrum aus wenigen großen und vielen (also häufiger vorkommenden) kleinen Werten (Quantisierungswerte). Die Huffman-Codierung sorgt dann dafür, dass die digitalisierte Darstellung dieses Tons nur sehr wenig Speicherplatz einnimmt. Im Zusammenhang mit mp3 reduziert die Huffman-Codierung den Speicherplatz spürbar. Helmut Neunzert Einführungsvortrag auf dem Kongress Mathematik in der Praxis, Berlin, März 2009.

In dieser Unterrichtseinheit zum Erweitern von Brüchen bieten interaktive Arbeitsblätter den Schülerinnen und Schülern einen experimentellen, anschaulichen und nachhaltigen Zugang zum grundlegenden Verständnis des Erweiterns von gemeinen Brüchen. In der vorliegenden Unterrichtseinheit werden die Grundlagen für das Erweitern von Brüchen geschaffen. Eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis des Erweiterns von gemeinen Brüchen ist die Einsicht, dass ein und dieselbe Zahl durch verschiedene wertgleiche Brüche dargestellt werden kann. Die geometrische Veranschaulichung des Erweiterns anhand der Verfeinerung der Unterteilung eines gegebenen Rechtecks wird mithilfe von GeoGebra realisiert und in den interaktiven Übungen zur Veranschaulichung genutzt. Neben der interaktiven Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung bietet die Unterrichtseinheit unterschiedliche interaktive Übungsmöglichkeiten zur Individualisierung und Differenzierung des Unterrichts. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende, Motivation während dieser Übungs- und Vertiefungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler die von Ihnen erreichte Punktzahl in eine Bestenliste eintragen können. Voraussetzungen Für den Einsatz der interaktiven Arbeitsblätter zum Erweitern von Brüchen müssen weder Lehrkräfte noch Schülerinnen und Schüler über spezielle digitale Kompetenzen verfügen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Darstellung von Bruchteilen anhand von unterteilten Rechtecken bereits kennen. Die Unterrichtseinheit selbst basiert auf acht interaktiven Arbeitsblättern zum Erweitern von Brüchen, die mit jedem Internet-Browser und auf allen digitalen Endgeräten dargestellt werden können. Funktionsweise des ersten interaktiven Arbeitsblattes Die erste interaktive Aufgabe gehört zum anschließenden Hefteintrag und dient zur Erarbeitung der Regel für das Erweitern von Brüchen (siehe Linkliste). Mit dem Button "neu" wird eine entsprechende Aufgabe erzeugt. Mit dem Schieberegler "Erweiterungszahl" oder den zugehörigen Pfeiltasten wird der blau dargestellte Bruchteil noch einmal unterteilt. Gleichzeitig wird der wertgleiche Bruch dargestellt. Die gesuchte Erweiterungszahl kann anschließend abgelesen werden. Das so gefundene Ergebnis wird in das vorgesehene Feld eingetragen. Der Button "prüfen" dient zur Kontrolle des Ergebnisses. Anstelle einer Einweisung in die Funktionalität des interaktiven Arbeitsblatts kann das bereitgestellte Erklärvideo verwendet werden. Visuelles Üben vor der Algebraisierung Die Bedeutung des ersten interaktiven Arbeitsblatts sollte nicht unterschätzt werden. Es dient zur Festigung der bisherigen Erarbeitung. Im Lernprozess sollte das Üben nicht sofort auf symbolischer Ebene angesetzt werden. Vielmehr ist es wichtig, dass vor der Übung auf der algebraischen Ebene die bildliche Ebene noch einmal vertieft wird. Dazu beinhaltet das Arbeitsblatt 1 unter "Aufgabe 1" die passende Übung. Üben auf unterschiedlichen Niveaustufen Das Arbeitsblatt 1 enthält drei weitere Aufgaben, anhand derer die Schülerinnen und Schüler das Erweitern ohne Veranschaulichung durchführen. Dabei kann die Lehrkraft überprüfen, ob die grundlegenden Kompetenzen für das Erweitern von Brüchen vorhanden sind. Bei "Aufgabe 2" soll ein Bruch mit einer vorgegebenen Zahl erweitert werden, bei "Aufgabe 3" soll anhand von zwei wertgleichen Brüchen die Erweiterungszahl angegeben werden. Die abschließende "Aufgabe 4" ist komplexer gehalten. Hier müssen die Lernenden sowohl die Erweiterungszahl erkennen als auch eine fehlende Zahl ergänzen. Sie bildet den Abschluss der Übungsphase 1 und leitet damit zu den Aufgaben mit höherem Niveau über. Das Arbeitsblatt 2 stellt dafür drei interaktive Übungen bereit. Bei "Aufgabe 1" sollen drei wertgleiche Brüche bestimmt werden. Bei "Aufgabe 2" werden zwei unterschiedliche Brüche erzeugt, die dann so zu erweitern sind, dass sie den gleichen Nenner besitzen. Hier wird bereits propädeutisch das Addieren und Subtrahieren von Brüchen eingeleitet. Schließlich sollen die Schülerinnen und Schüler bei "Aufgabe 3" ihre Kenntnisse auf einen Sachverhalt anwenden, in dem sie eine Perlenkette mit farbigen Perlen erzeugen. Lehrerrolle Da die Kontrolle der Lösungen digital durch den Computer stattfindet, kann die Lehrkraft eine beobachtende Rolle einnehmen. Sollten bei der Bearbeitung der Aufgaben schwächere Schülerinnen oder Schüler auf Schwierigkeiten stoßen, kann die Lehrkraft diese individuell betreuen und unterstützen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten selbstständig die Regel für das Erweitern von Brüchen. können die Regeln für das Erweitern von Brüchen verbal beschreiben. wenden ihre erworbenen Kenntnisse auf unterschiedliche Aufgaben an. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfassen und interpretieren Inhalte aus digitalen Informationsquellen. nutzen Medieninhalte und formulieren daraus eigene Hypothesen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stärken während der Paararbeit ihre Kommunikations- und Teamfähigkeit. können ihr Wissen im Austausch mit anderen auf erweiterte Fragestellungen anwenden.

Diese fächerübergreifende Unterrichtseinheit zum Thema "Analytische Geometrie" nimmt Dürers Kupferstich MELENCOLIA I von 1514, das als "mathematischste" Arbeit des Renaissancekünstlers gilt, ins Visier. Vielfach wird in Besprechungen des Werks das darin enthaltene "Magische Quadrat" in den Vordergrund gestellt. Beeindruckender aber ist die bis ins Detail gehende geometrische Planung der Grafik im Dienst zunächst verborgener weltanschaulicher und autobiografischer Aussagen.Schon die Meraner Reformvorschläge (1905) nennen als anzustrebendes Ziel des Mathematikunterrichts "...endlich und vor allem die Einsicht in die Bedeutung der Mathematik für die moderne Kultur überhaupt." In den "Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss" ist zu lesen: "Mathematikunterricht ... ermöglicht ... folgende Grunderfahrungen: technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen". Die hier vorgeschlagene Unterrichtseinheit gibt Gelegenheit, eine solche Grunderfahrung am Beispiel eines Künstlers aufzunehmen, der sich selbst mindestens ebenso sehr als Mathematiker wie als Maler betrachtete. Von Dürer stammt übrigens auch das erste deutschsprachige Mathematikbuch. Voraussetzungen Eine erste Einführung in die Darstellungsmethode der Zentralperspektive sollte im Kunstunterricht vorausgegangen sein. Im Mathematikunterricht sollten im Rahmen der Themen "Zentrische Streckung" und "Ähnlichkeit" grundlegende Begriffe und Konstruktionsmethoden vermittelt sein. Vorgehen Die Unterrichtseinheit empfiehlt sich für eine fächerübergreifende Zusammenarbeit von Mathematik , Bildender Kunst und eventuell Religion mit projektorientierter Unterrichtsgestaltung. Schülerinnen und Schüler sollten angeleitet werden zu (beispielsweise) Recherchen zur Biografie Dürers, Grundeinstellungen des Humanismus, mathematischen Interessen und Aktivitäten Dürers, Ängsten und Konflikten im Zusammenhang mit historischen Ereignissen in Dürers Lebenszeit. Anschließend stellen sie die Ergebnisse ihrer Recherchen in Kurzreferaten oder in einer Wandzeitung vor. Ablauf Hinweise zum Unterrichtsverlauf "Dürers MELENCOLIA I" Hier sind unterrichtliche Voraussetzungen sowie Vorschläge zur Erarbeitung des Themas zusammengetragen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen, wie Dürer mit geometrischen Methoden (Streckenhalbierung, Diagonalen, Goldenes Rechteck, Goldener Schnitt, Zentralperspektive) den Bildaufbau in MELENCOLIA I konzipiert hat. analysieren, wie er durch Anordnen bildwichtiger Elemente auf Geraden weltanschauliche und auf sich selbst bezogene Aussagen formuliert hat. ziehen geometrische Konstruktionsmethoden, die in MELENCOLIA I angewendet wurden, nach. Materialien und Werkzeuge Alle Schüler sollten eine einigermaßen deutliche Kopie des Kupferstichs MELENCOLIA I ausgehändigt bekommen, deren Ränder nicht beschnitten sind. Im Internet ist beispielsweise hier eine solche zu finden. Darüber hinaus sollte ein Kunstdruck in DIN-A2-Größe vorhanden sein. Der Kupferstich ist sehr detailreich, und die Einzelheiten erschließen sich erst bei einer sehr deutlichen Reproduktion. Zur Ausführung der geometrischen Konstruktionen empfiehlt sich eine dynamische Geometriesoftware, die es zulässt, eine Abbildung der MELENCOLIA I in den Hintergrund zu legen, so dass zum Beispiel der Goldene Schnitt darüber konstruiert werden kann. Fachliche Voraussetzungen Bei geometrischer Analyse entdeckt man in der Flächenaufteilung der MELENCOLIA I Beispiele für stetige Teilungen (Goldener Schnitt, Goldenes Rechteck). Diese sind der Ähnlichkeitslehre zuzuordnen, und diese steht in Klasse 9/10 der allgemeinbildenden Schulen auf dem Lehrplan. Der Bildaufbau von MELENCOLIA I ist nach den Grundsätzen der Zentralperspektive gestaltet - hier sollten die Schülerinnen und Schüler über Vorkenntnisse verfügen (Regeln der zentralperspektivischen Darstellung, aber auch: orthogonale Projektionen eines Körpers). Historische/Kunsthistorische Recherche als arbeitsteilige Gruppenarbeit Man kann zwar den Ansprüchen des wohl bekanntesten Dürer-Deuters, Erich Panofski, nicht genügen, und alle denkbaren Beziehungen zu nationalen, epochalen, philosophischen und religiösen Hintergründen herstellen, aber man kann näherungsweise versuchen, den Horizont von Dürers Lebenswelt abzustecken. Dazu sind beispielsweise folgende Rechercheaufträge in Gruppen-/Partnerarbeit zu erteilen/anzubieten: Dürers Biografie Die Lernenden tragen die Lebensdaten und Hauptereignisse in Dürers Werdegang als Renaissancekünstler zusammen. Dürers Religiosität Dürer war geprägt von tiefer Spiritualität. In seinem Werk hat er zahlreiche religiöse Darstellungen (beispielsweise 16 Holzschnitte nach der Geheimen Offenbarung des Johannes, Rosenkranzfest, Die vier Apostel) geschaffen. Der Arbeitsauftrag soll eine Verbindung zwischen in der MELENCOLIA I dargestellten Objekten und Bibelworten herstellen, zum Beispiel durch Stichwortsuche in der Internet-Ausgabe der Bibel zu: Maß, Zahl, Gewicht / Tag - Nacht / Bogen / Braut / Leiter / Kind / Mühlstein / Engel / Stein. Politische und religiöse Konflikte in Dürers Epoche Hier sollte vor allem herausgearbeitet werden, dass vielfach in Deutschland religiös motivierte Aufstände gegen kirchliche und weltliche Obrigkeit aufbrachen (Reformation, Wiedertäufer, Bauernkriege), in denen sich aber auch Weltuntergangsängste und Besorgnis um den "wahren" Glauben dokumentierten. Wandel des Weltbilds - Humanismus Der Humanismus ist verbunden mit der in der Renaissance stattfindenden Rückbesinnung auf die (wiederentdeckten) Werke der römisch-griechischen Antike. Die Humanisten sehen in der freien Entfaltung der Persönlichkeit des Menschen durch Bildung die vorrangige Aufgabe. Verbunden ist dies mit einer Zuwendung zur Welt und damit zu den Naturwissenschaften einerseits und einer Kritik an kirchlichen Praktiken andererseits. Gewissensfreiheit und Menschenwürde sind Werte, die ihre historischen Wurzeln im Humanismus haben. Dürer als Mathematiker Albrecht Dürer war mathematischer Autodidakt, vor allem durch Selbststudium einer der ersten gedruckten Ausgaben von Euklids "Elementen". Unter seinen nachgelassenen Werken finden sich drei mathematische: Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt in Linien, Ebenen und ganzen Körpern (1525), Unterricht zur Befestigung der Stett, Schloß und Flecken (1527), Vier Bücher von menschlicher Proportion (1528) Melancholie - Krankheit, Sünde oder Preis der Kreativität Die Symptome der Melancholie sind relativ klar zu beschreiben. In der Renaissance hat sich vor dem Hintergrund der Zuschreibung antiker Autoren der Melancholie als Eigenschaft kreativer Menschen ein Wandel in ihrer Bewertung vollzogen. Weitere Arbeitsaufträge Weitere Arbeitsaufträge sind möglich, beispielsweise Zahlensymbolik oder religiöse Symbolik überhaupt betreffend, die Rezeption von Dürers MELENCOLIA I bei anderen bildenden Künstlern oder in der Literatur zu untersuchen. Vortrag und Wandzeitung Auf der Grundlage der Recherchenresultate erarbeiten die Schülerinnen und Schüler Kurzvorträge, die die wichtigsten Informationen zu den jeweiligen Recherchethemen enthalten. Die Resultate sollen als Thesenpapier zusammengefasst und in einer Wandzeitung - zusammen mit illustrierenden Abbildungen - der Klasse präsentiert werden. Geometrische Aktivitäten Mit dynamischer Geometriesoftware werden die Konstruktionen von Goldenem Schnitt und Goldenem Rechteck erarbeitet und nach diesen Proportionen vollzogene Objektanordnungen in MELENCOLIA I aufgesucht. Im Bild sind zu bestimmen: Fluchtlinien und Fluchtpunkt der zentralperspektivischen Darstellung, die Mittelpunkte von Regenbogen und Kugelumriss, der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Bodendreiecks von Dürers geheimnisvollem Polyeder. Von diesem sollte auch eine Skizzierung des Grundrisses versucht werden. Die Schülerinnen und Schüler können anschließend ein Kartonmodell des Polyeders anfertigen. Deas zugehörige Polyedernetz finden Sie im Arbeitsblatt melencolia_polyeder_netz.pdf. Kunsthistorische Analyse von Bildaussagen Mit dem Hinweis darauf, dass Dürer bildwichtige Elemente dadurch in Relation zueinander gesetzt hat, dass er sie oder ihre Mittelpunkte auf Geraden angeordnet hat, suchen Schülerinnen und Schüler nach solchen Geraden und versuchen sie als Aussagen zu interpretieren (im Sinn der Lernziele: bewusstes Wahrnehmen und Verwenden von Gestaltungsmitteln der Bildorganisation und deren Ausdrucksqualitäten sowie die Fähigkeit, Fachbegriffe der Werkbetrachtung in Bezug auf Absicht und Wirkung einsetzen zu können).

Die Unterrichtseinheit "Shapes" verbindet den Englisch- und Mathematik-Unterricht, indem die Schülerinnen und Schüler geometrische Formen in englischer Sprache kennenlernen und ein shape-book am Computer erstellen.Geometrische Formen wie Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis, Oval und Stern haben einen konkreten Bezug zur Umwelt der Grundschulkinder. Sie können gezeichnet, gebastelt, angefasst und beschrieben werden und bieten daher neue Aspekte für die Vermittlung und den Gebrauch der englischen Sprache.Auf vielen Ebenen und Lernkanälen, beschreibend und gestaltend, befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Unterrichtsthema "Formen" und können dabei ihre Fremdsprachenkenntnisse und ihr mathematisches Verständnis anwenden und weiterentwickeln sowie ihre Medienkompetenz erweitern. Ablauf der Unterrichtssequenz Ausgehend von konkretem Material zum Anfassen werden die geometrischen Formen auf Englisch beschrieben, ihre Namen eingeführt sowie geübt und am Computer als Formencollage gestaltet. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die englischen Namen für geometrische Grundformen kennen. beschreiben am Computer erstellte Grundformen und ihre Farben, Seiten- und Eckenzahl auf Englisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit einem Textverarbeitungsprogramm Formen. färben diese Formen ein. fügen einen kurzen beschreibenden Text hinzu. speichern die Seite ab beziehungsweise drucken sie aus. Die Lehrkraft präsentiert den Kindern im Sitzkreis verschiedene geometrische Formen, die aus buntem Papier ausgeschnitten wurden. Quadrate, Rechtecke, Dreiecke, Rauten, Kreise, Ovale und Sterne werden nach Farbe, Größe oder Anzahl der Ecken sortiert. Dabei wird das bereits bekannte Wortmaterial reaktiviert (zum Beispiel "colours") oder neu eingeführt (bei uns: "sides", "corners") - zunächst ohne die englischen Namen der geometrischen Formen zu nennen: What's the colour of this form? How many corners does this form have? Einführung der englischen Namen Die Lehrkraft zeigt auf eine flashcard und nennt die darauf abgebildeten geometrischen Formen mit ihrem englischen Namen: Look, this is a square / rectangle / circle / oval / star / diamond ... Übungen zum Verständnis schließen sich an, zum Beispiel: Show me the circle / blue square / ... Point at the blue oval / red diamond / ... Swap the red square and the blue rectangle. Put the green diamond on your table. Colour dictation Nach der Arbeit mit den flashcards erhalten die Kinder ein Arbeitsblatt für ein so genanntes colour dictation. Die Formen auf dem Arbeitsblatt werden in der angegebenen Farbe ausgemalt. Colour the square green. Colour the rectangle yellow. Üben der Aussprache Vokabeln werden im Englischunterricht der Primarstufe fast immer durch Vor- und Nachsprechen im Chor eingeübt. Damit werden auch diejenigen Kinder eingebunden, die sich alleine nicht trauen, in einer anderen Sprache zu sprechen. Hier einige methodische Vorschläge für das Vor- und Nachsprechen von Wörtern: Wörter nur flüstern. Immer lauter reden. Sprechen wie Micky Maus. Sprechen wie ein Roboter. Wörter ganz lang dehnen. Wörter in die hohle Hand sprechen. Wörter "stumm" sprechen. Wörtern "singen". Wörter als mehrfaches Echo nachsprechen. Clap your hands Die neuen Wörter sind als Bild- oder Wortkarte an der Tafel befestigt. Die Wörter werden im Chor gesprochen, nach jedem Wort wird dreimal in die Hände geklatscht. Im zweiten Durchgang klatschen die Kinder nur zweimal, im letzten Durchgang nur einmal zwischen den einzelnen Wörtern. Mithilfe eines Textverarbeitungsprogramms - bei uns Word - erstellen die Schülerinnen und Schüler die Formen als farbige Bilder und fügen jeweils einen kleinen beschreibenden Text hinzu. Die Sätze werden als Lückentext vorgegeben, so dass lediglich die Namen, Farben und Zahlen eingefügt werden müssen. Jeweils zwei Kinder arbeiten am Computer zusammen. Nach einer Einführung in das Word-Programm werden die Formen nach Anweisung erstellt und der kleine Text hinzugefügt. Anschließend wird das Blatt ausgedruckt in der English Corner an die Wand gehängt. Zügig arbeitende Schülerinnen und Schüler können ergänzende Aufgaben im Internet bearbeiten: storyplace Bei der englischsprachigen Online-Story "I spy shapes" geht es darum, möglichst viele geometrische Formen zu finden und anzuklicken. Alle Partnergruppen stellen ihr Blatt in der Klasse vor. Die erstellten Blätter können in Klassenstärke ausgedruckt und zu einem shape-book für jedes Kind geheftet werden. Ich habe zu diesem Thema zwei schöne englische Kinderbücher gefunden: Bear in a Square von Stella Blackstone und The Shape of Things von Dayle Dodds Auf die Bücher bin ich zufällig bei einem Büchertisch an unserer PH (Schwäbisch Gmünd) beim Stand der Elterninitiative Englisch Lesen gestoßen. Soweit ich informiert bin, ist diese Elterninitiative inzwischen auch online. Sorry, kenne leider die Internet-Adresse nicht. Gruß, Michaela Bin soeben bei einer Google-Suche über Elterninitiative Englisch Lesen auf deren Webseite gekommen: www.ahbooks.de. Die Damen sind sehr kundig und beraten gut. Michaela Schmid

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Mittendreiecke und Mittenvierecke" erschließen sich die Schülerinnen und Schüler ausgehend von den Eigenschaften der Punktspiegelung und des Parallelogramms anhand dynamischer Konstruktionen die Zusammenhänge zwischen einem Dreieck und seinem Mittendreieck. Die analoge Thematik bei Vierecken gibt Anlass zu vielfältigen Forschungen und Entdeckungen in der Welt der Vierecke. Die Unterrichtseinheit "Mittendreiecke und Mittenvierecke" besteht aus zwei Teilen: Mit dem ersten Arbeitsblatt und den zugehörigen dynamischen Konstruktionen (hier mit Euklid DynaGeo) erkunden die Schülerinnen und Schüler Mittendreiecke. Indem sie wiederholt das Mittendreieck zum Mittendreieck einzeichnen, finden die Lernenden Gesetzmäßigkeiten, nach denen die Mittendreiecke immer kleiner werden. Anhand entsprechender Figuren entdecken sie, dass die Höhen des Mittendreiecks zugleich die Mittelsenkrechten des ursprünglichen Dreiecks sind und sich somit ebenfalls in genau einem Punkt schneiden. Mit dem zweiten Arbeitsblatt werden die Überlegungen auf Vierecke übertragen: Die Seitenmitten eines Vierecks bilden das Mittenviereck. Es ist immer ein Parallelogramm, unabhängig von der Form des Ausgangsvierecks. Welche besondere Form aber muss das Ausgangsviereck besitzen, damit das Mittenviereck etwa ein Rechteck, eine Raute oder ein Quadrat ist? Diese Problemstellungen lassen sich besonders gut mit dynamischer Geometriesoftware untersuchen. Die Lernenden können die zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten selbst entdecken und die Begründungen finden. Die vorliegende Unterrichtseinheit "Mittendreiecke und Mittenvierecke" ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Klassen 7 bis 9 konzipiert. Im regulären Mathematikunterricht können die Arbeitsblätter als Material zur Binnendifferenzierung genutzt werden. Dabei sollten die Schülerinnen und Schüler Zugang zu einem Computer mit dynamischer Geometriesoftware besitzen (Einzel- oder Partnerarbeit). Daneben bietet die Unterrichtseinheit aber auch eine geeignete Grundlage für Mathematik-Arbeitskreise, die sich speziell der Begabtenförderung widmen. Es empfiehlt sich, den Unterricht methodisch so zu gestalten, dass sich die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenständig in Kleingruppen mit den Arbeitsaufträgen und den dynamischen Konstruktionen befassen. Zur Zusammenschau und Sicherung der Ergebnisse bietet sich eine Phase der Präsentation und Diskussion aller Ideen und Resultate im Klassenplenum beziehungsweise im Arbeitskreis an. Die Schülerinnen und Schüler erkunden Problemstellungen mithilfe dynamischer Geometrie. begreifen Zusammenhänge zwischen Sätzen und deren Umkehrung. entwickeln Argumentationen und geometrische Beweise. übertragen gewonnene Ergebnisse durch Variieren erweitern und auf verwandte Situationen. arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ.

In dieser Unterrichtseinheit beschäftigen sich die Lernenden mit der Streuung von Sonnenstrahlung in der Atmosphäre: Warum ist der Himmel blau, aber Wolken sind weiß?Diese Unterrichtseinheit ist im Rahmen des Projektes Columbus Eye - Live-Bilder von der ISS im Schulunterricht entstanden. Das übergeordnete Projektziel besteht in der Erarbeitung eines umfassenden Angebots an digitalen Lernmaterialien für den Einsatz im Schulunterricht. Dieses Angebot umfasst interaktive Lerntools und Arbeitsblätter, die über ein Lernportal zur Verfügung gestellt werden.Die Unterrichtsmaterialien (siehe ZIP-Ordner) thematisieren die Streuung von Sonnenstrahlung in der Atmosphäre. Das Original einer ISS-Aufnahme des Lorentz-Stroms in Kanada wurde so bearbeitet, dass die Atmosphären-Einflüsse herausgerechnet worden sind. Anhand einer kleinen Interaktion werden die Rayleigh- und Mie-Streuung sowie der Zusammenhang zwischen Wellenlängen und Reflexionsverhalten thematisiert. Die Unterrichtseinheit ist aufgeteilt in drei Phasen, für die Sie hier Hinweise zur Umsetzung finden: Phase 1: In einem ersten Schritt soll ein Artikel der ARD-Wetter-Redaktion (siehe Arbeitsblätter) gelesen werden. Dieser verschafft den Schülerinnen und Schülern einen ersten groben Überblick über die Thematik. Im Anschluss kann entweder das Kanada-Video oder die Power-Point-Präsentation gezeigt werden. Beide Medien verdeutlichen die Auswirkungen von Streueffekten in der Atmosphäre. Hinweise zu den Materialien: Die Power-Point-Präsentation enthält hierzu eine kleine Flash-Interaktion. Um diese durchführen zu können, müssen die beiden Ordner "Flash" und "Flash_Images" auf einer Ebene mit der Power-Point-Datei liegen. Beim Öffnen ist nur ein schwarzes Rechteck zu sehen. Sobald man in den Präsentations-Modus geht, wird die Interaktion geladen. Steht kein Beamer zur Verfügung, kann auch das beigefügte PDF auf Folie kopiert werden. Aufgrund von Frage 2 sollte nicht explizit darauf hingewiesen werden, dass beim Kanada-Video die Rayleigh-Streuung die entscheidende Rolle spielt. Phase 2: Im Anschluss daran sollen die Schülerinnen und Schüler die Fragen auf dem Arbeitsblatt beantworten und den Lückentext ausfüllen. Der Lückentext fragt einerseits das Wissen aus dem Artikel der ARD-Wetter-Redaktion ab, andererseits vertieft und ergänzt er das Wissen über Rayleigh- und Mie-Streuung. Phase 3: Zur Vertiefung und Ergänzung des Wissens kann das Video aus der ARD-Sendung "Kopfball" gezeigt werden. Dieses Video veranschaulicht anhand von Experimenten den Einfluss von Rayleigh- und Mie-Streuung. Es ist eventuell sinnvoll, das Video zu sequenzieren, indem man das Video anhält. Die Schülerinnen und Schüler haben so direkt die Möglichkeit, zu den verschiedenen Experimenten Fragen zu stellen bzw. eigene Versuche durchzuführen. Hinweis zum Kopfball-Video: Die Darstellung des Sonnenunterganges ist nicht ganz richtig, da die Sonne nicht im Süden, sondern im Westen untergeht.Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Lichtstreuung in der Atmosphäre. können den Unterschied zwischen Rayleigh-Streuung und Mie-Streuung erläutern. verstehen die Zusammenhänge zwischen Wellenlänge und Streuung.

Dieses magische Quadrat des Künstlers Eugen Jost hat es in sich: die Zahlen 1 bis 49 sind teilweise etwas verschlüsselt und symbolhaft dargestellt. Mit dem beigefügten kleinen Programm wird daraus eine nette Knobelei, die man auf Zeit spielt.Das Magische Quadrat ist Teil des Kalenders des Künstlers Eugen Jost, der zum Jahr der Mathematik erschienen ist und ein Dutzend bedeutsamer Themen der Mathematik aufgreift. In ästhetisch ansprechender Form wird hier die Kunst mit der Mathematik verbunden. Das hier dargestellte Dezember-Blatt ist als kleines elektronisches Ratespiel für den PC aufbereitet. Hierzu müssen die natürlichen Zahlen erraten werden, die hinter den Symbolen jeder Einzelzelle verborgen sind. Dazu tippt man die Lösungen in ein Eingabefeld. Ob die Eingabe richtig oder falsch ist, erfahren die Schülerinnen und Schüler auch durch akustische Signale. Für zusätzliche Spannung sorgt eine eingeblendete Stoppuhr. Auf die Plätze, fertig, los - die Zeit läuft!Das Programm ist im Grunde altersstufenunabhängig. Es ist ab der Klasse 5 einsetzbar, kann aber ebensogut auch bei älteren Schülerinnen und Schülen genutzt werden. Nutzung und Anpassung des magischen Quadrates Hier finden Sie Erläuterungen zur Funktionsweise des Programms sowie zur Möglichkeit der Darstellung eigener magischer Quadrate. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich magischen Quadraten auf spielerische Weise nähern. die grundsätzlichen Eigenschaften magischer Quadrate kennen lernen. Thema Magisches Quadrat digital Autoren Elfi Petterich Fach Mathematik, auch für Vertretungsstunden geeignet Zielgruppe ab Klasse 5 (für alle Klassenstufen als spielerische Ergänzung zu magischen Quadraten) Zeitraum weniger als 1 Stunde Technik Computerarbeitsplätze zur Nutzung des Computermoduls, Lautsprecher müssen aktiviert sein. Ein magisches Quadrat wird durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert: Die Summen der Elemente aus jeder Zeile sind gleich. Die Summen der Elemente aus jeder Spalte ergeben dieselbe Zahl. Die Summen in jeder der beiden Diagonalen ergeben ebenfalls diese Zahl. Nutzung des Programms Mit dem ausführenden Programm "Kalender.exe" öffnet sich das magische Quadrat von Eugen Jost. Die einzelnen Zellen können mit der Maus angeklickt werden, so dass sich ein Eingabefeld öffnet, in das ein Codewort eingetippt werden kann. Ziel ist es, herauszufinden, welche Zahl hinter den Zeichen und Symbolen jeder Zelle steckt. Bei richtiger Eingabe erscheint ein Bild mit der entsprechenden natürlichen Zahl, und es ertönt ein bestätigendes Signal. Bei falscher Eingabe bleibt das ursprüngliche Bild bestehen und es erfolgt eine entsprechende Tonsequenz. Eine Stoppuhr beginnt beim ersten Klick zu laufen und endet mit der letzten richtigen Eingabe. Außerdem wird die Anzahl der richtigen sowie falschen Eingaben angezeigt. Im Bedienfeld auf der linken Seite stehen die drei Buttons der Reihe nach für: Das Laden einer anderen Datei ("Laden") Startzustand wieder herstellen ("Neu") Adjustieren der Fenstergröße ("Größe", falls sie versehentlich verändert wurde) Mit dem Programm kann nicht nur Eugen Josts Quadrat angezeigt werden. Auch selbst erzeugte magische Quadrate lassen sich so visualisieren. Sie können unterschiedlich große Rechtecke und Quadrate mit verschiedenen Bildern erzeugen. Um das magische Quadrat zu modifizieren, muss man die Datei "default.cal" mithilfe eines Texteditors (zum Beispiel Notepad) umschreiben und unter neuem Namen speichern. Die "default.cal" Datei ist folgendermaßen aufgebaut: Die erste Zeile besteht aus Zeilenzahl und Spaltenzahl des Quadrats (in diesem Beispiel 7,7). Jede weitere Zeile beschreibt eine einzelne Zelle und ist nach folgendem Schema aufgebaut: bild1, bild2, sound1, sound2, lösung. "bild1" entspricht dem Pfad zur Bilddatei1 (wird zu Beginn angezeigt) "bild2" entspricht dem Pfad zur Bilddatei2 (erscheint nach richtiger Antwort) "sound1" ertönt, wenn die Antwort richtig ist "sound2" ertönt, wenn die Antwort falsch ist "lösung" gibt den Text (oder die Zahl) an, die die Benutzerin oder der Benutzer für die richtige Antwort eintippen muss. Das Programmm wurde in C++ mit Hilfe der Open Source Bibliothek QT erstellt. Zu beachten ist, dass JPEG-Dateien (.jpg) nicht richtig geladen werden können. Bitmap-Dateien (.bmp) oder PNG-Dateinen (.png) sind mit dem Programm kompatibel. Für die Sounds müssen WAVE-Dateien (.wav) verwendet werden.