Unterrichtsmaterialien zum Thema "Wahrscheinlichkeitsrechnung"

Schülerinnen und Schüler testen das Phänomen der Serien von gleichen Würfelzahlen mit einer Excel-Simulation und erarbeiten eine rekursive Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse.Wie wahrscheinlich ist es, beim 100maligen Würfeln mindestens viermal die gleiche Zahl hintereinander zu werfen? Vielen Menschen scheint das "kein Zufall mehr" zu sein und am Würfel oder am Zufallsgenerator stimmt vielleicht etwas nicht, wenn so ein Ereignis eintritt. Ist es bei einem Laplace-Würfel aber wirklich so selten? Dies können begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 8 mit den hier vorgestellten Aufgaben und Materialien untersuchen. Einsatz von Excel Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst selbst Zufallszahlen erzeugen. Sie simulieren Würfelserien und diskutieren ihre Beobachtungen (serien_beim_wuerfeln_aufgaben.rtf). Die Excel-Tabellenblätter "serien_beim_wuerfeln.xls" zur Simulation von Würfelserien und zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit können von der Lehrkraft vorgegeben oder von den Schülerinnen und Schülern selbst in ähnlicher Weise erstellt werden. Wenn den Lernenden das gebrauchsfertige Tabellenblatt zur Verfügung gestellt wird, sollte zuvor diskutiert werden, was dort sinnvollerweise zu berechnen ist. Gegebenenfalls erfolgt eine Einführung in die Arbeit mit der Exceltabelle durch die Lehrperson. Für die vorgegebenen Blätter gilt: Auf dem Tabellenblatt "Würfelsimulation" wird pro Spalte hundertmal gewürfelt. In der Spalte danach wird gezählt, ob viermal die gleiche Zahl hintereinander gefallen ist. In Zeile 121 werden die Anzahlen der 4er-Serien ermittelt und schließlich wird gezählt, wie groß die Häufigkeit von "mindestens eine Viererserie" ist. Auf dem anderen Tabellenblatt werden die Wahrscheinlichkeiten rekursiv für 4er- und 5er-Serien jeweils auf zwei Arten ermittelt. Rekursionsformel gesucht! Dem Wunsch nach einer einfachen Formel, mit der die gesuchten Wahrscheinlichkeit zu berechnen sind, kann nicht nachgekommen werden. Daher müssen die Schülerinnen und Schüler mit der Idee vertraut gemacht werden, nach einer rekursiven Formel zu suchen. Sie sollen dies zunächst selbstständig tun. Gegebenenfalls kann die Lehrperson Tipps geben, zum Beispiel darauf hinweisen, die Anzahl der Würfe zunächst klein zu halten. Man könnte auch die Anzahl der Wiederholungen kleiner machen ("zweimal die gleiche Zahl hintereinander" oder "dreimal"). Außerdem könnte statt Würfeln ein wiederholter Münzwurf betrachtet werden (bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse). Auf solche Vorgaben kann auch im Nachhinein die gefundene Rekursionsformel abgeändert werden. Realität und Simulation Als Test, ob ihre Formel wirklich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet, können die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse mit den Werten der Excel-Simulation vergleichen und bekommen so einen gewissen Anhaltspunkt für die Richtigkeit ihrer Formel. Bei der Simulation sehen sie aber auch, dass durchaus gewisse Schwankungen auftreten können (die Werte für die Häufigkeit, wie oft eine 4er- Serie auftritt, schwanken oft zwischen 25 und 40 von 100).Die Schülerinnen und Schüler sollen Zufallszahlen in einem Excel-Tabellenblatt erzeugen können. Simulationen von Zufallsexperimenten durchführen und auswerten können. eine rekursive Funktion zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten verstehen und eventuell sogar selbst erstellen können. rekursive Funktionen mithilfe einer Tabellenkalkulation auswerten. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

Wen wird es erwischen? Der hier vorgestellte “digitale Prüfungskandidaten-Auswahlautomat” soll im Rahmen des Stochastikunterrichts in der Themeneinheit “Gesetz der großen Zahlen” eingesetzt werden. Die Lernenden diskutieren und analysieren die Sinnhaftigkeit eines solchen Instruments. Die Thematik eignet sich auch sehr gut für die Gestaltung einer Vertretungsstunde.In der Unterrichtsplanung ist das Stichwort "mündliche Leistungserhebung" deutlich vermerkt - aber welche Schülerin oder welchen Schüler wähle ich heute aus? Es gilt, über das gesamte Schuljahr gesehen, gerechte Entscheidungen zu treffen. Läge es da nicht nahe, ein kleines Computerprogramm zu entwickeln, welches per Zufall eine "gerechte" Entscheidung gewährleistet? Ob es dabei wirklich gerecht zugehen kann, sollen die Lernenden in der hier vorgestellten Unterrichtsstunde hinterfragen. Dabei diskutieren sie in der Regel sehr kontrovers über den Sinn oder Unsinn einer solchen Vorgehensweise. Für die Verifikation beziehungsweise Falsifikation ihrer formulierten Hypothesen wird eine Excel-Arbeitsmappe eingesetzt, mit deren Hilfe die Ergebnisse einer beliebigen Anzahl von Kandidaten-Wahlen simuliert werden können. Sollten die Schülerinnen und Schüler über Programmierkenntnisse verfügen, können sie in einer zweiten Stunde auch eigene Simulationsumgebungen entwerfen.Die mit dem hier verwendeten Auswahlprogramm erzielten Simulationsergebnisse (und natürlich auch der gesunde Menschenverstand) zeigen, dass man sich in der Regel bei der Bestimmung einer Kandidatin oder eines Kandidaten für eine mündliche Leistungserhebung auf sein pädagogisches Gespür verlassen und keine zufallsbestimmte Auswahl betreiben sollte Relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Stichprobenumfang Bei der Frage nach der Gerechtigkeit eines digitalen Auswahlautomaten muss das Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli berücksichtigt werden. Der für ein gerechtes Verfahren erforderliche Stichprobenumfang kann in einem Schulhalbjahr nicht erreicht werden. Arbeitsmaterialien Hier können Sie sich den Prüfungskandidaten-Auswahlautomaten und eine Excel-Arbeitsmappe zur Simulation einer beliebigen Anzahl von Kandidaten-Wahlen herunterladen. Außerdem finden Sie hier mögliche Aufgabenstellungen für Ihre Schülerinnen und Schüler. Internetadresse Der Computer soll's bestimmen Weitere Hinweise zur Gestaltung der Stunde, zu dem mathematischen Hintergrund sowie mit der Excel-Arbeitsmappe erzielte Simulationsergebnisse (Screenshots samt Kommentar) finden Sie auf dieser Seite des Autors. http://www.gym-pforta.bildung-lsa.de/tschoedel/mathematik/wen_wird_es_heute_erwischen/index.htm Die Schülerinnen und Schüler sollen an einem Beispiel die alltägliche Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen kennen lernen. die Begriffe relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit klar voneinander abgrenzen können. die Problematik von Zufallsversuchen mit sehr geringen Stichprobenumfängen erfahren. propädeutisch auf Testverfahren vorbereitet werden. wissen, dass Computer Folgen von Zufallszahlen produzieren können. erkennen, dass man mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen auch Simulationen durchführen kann. Thema Der digitale Prüfungskandidaten-Auswahlautomat - ein sinnvolles Instrument? Autor Thomas Schödel Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 8 Zeitraum 1 Unterrichtstunde (bei Entwurf einer eigenen Simulationsumgebung wird eine weitere Stunde benötigt) Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin bzw. Schüler, Laptop, Beamer Planung Verlaufsplan Prüflings-Auswahlautomat zur Unterrichtseinheit Zufall mit dem Computer - geht das überhaupt? Dr. E. Malitte; Modellbildung, Computer und Mathematikunterricht Verlag Franzbecker 2000 Bei alltäglichen Problemstellungen ist man nur allzu leicht geneigt, die Begriffe "relative Häufigkeit" und "Wahrscheinlichkeit" synonym zu verwenden. Ein schwerwiegender Fehler, dessen Folgen auch an diesem Beispiel deutlich werden. Sollte eine Lehrerin oder ein Lehrer tatsächlich mithilfe eines Zufallsgenerators die Auswahl des Prüflings vornehmen, kann es durchaus vorkommen, dass am Ende eines Schuljahrs große "Ungerechtigkeiten" zutage treten. Der Verdacht, dass diese auf die mangelnde Qualität der in der Software implementierten Zufallsgeneratoren zurückzuführen sei, ist unbegründet. Über den Aufbau und die Güte dieser Zufallsgeneratoren kann man beispielsweise in dem Artikel "Zufall mit dem Computer - geht das überhaupt?" von Malitte nachlesen (siehe Zusatzinformationen). Vielmehr gilt es das Gesetz der großen Zahlen nach Bernoulli zu beachten, welches besagt: "Mit zunehmendem Stichprobenumfang strebt die relative Häufigkeit h n (A), mit der das Ereignis A eintritt, gegen die Eintrittswahrscheinlichkeit P(A)." Erst bei sehr großen Stichprobenumfängen kann somit berechtigt von der Wahrscheinlichkeit auf die Häufigkeit bestimmter Ereignisse geschlossen werden. Ein Stichprobenumfang von beispielsweise 90 Leistungserhebungen (pro Klasse und Schuljahr) ist somit viel zu klein, als dass per Zufall eine gerechte Auswahl an Prüfungskandidaten vorgenommen werden kann. Bezieht man in die Forderung nach Gerechtigkeit auch noch das Auftreten von Zweier- und Dreierserien mit ein (ein Lernender wird zwei- oder dreimal nacheinander per Zufall ausgewählt), so muss der Stichprobenumfang schon sehr groß gewählt werden. Die Auswertung der Experimente in der Simulationsumgebung (Excel-Arbeitsmappe) zeigen, dass selbst ein Stichprobenumfang von 100.000 Tests noch zu klein gewählt ist. Erst bei größeren Stichprobenumfängen (etwa 300.000 Leistungskontrollen) geht es mit großer Wahrscheinlichkeit "gerecht" zu. Damit das Programm auf eine Namensliste der Schülerinnen und Schüler einer Klasse zugreifen kann, ist mit einem Texteditor (zum Beispiel Notepad) eine Namensliste als Textdatei zu erstellen (txt-Dateiendung). Nach der Eingabe eines Namens (nur Vorname oder Vorname Nachname) ist ein Zeilenumbruch einzufügen (zum Beispiel durch Drücken der Enter-Taste). Zur Einbindung der txt-Datei in das Programm ist nach dem Programmstart der Button "Klassenliste laden" zu drücken. In dem sich öffnenden Explorerfenster kann die zuvor abgespeicherte Datei aufgesucht und ausgewählt werden. Nach dem Klick auf den Start-Button wird jetzt per Zufall einer der vorhandenen Einträge aus der txt-Datei ausgewählt. Um die Spannung zu erhöhen, ist vor der Einblendung des ermittelten Namens eine Warteschleife von drei Sekunden eingebaut. Mithilfe der Excel-Arbeitsmappe lässt sich die Wahl der einzelnen Klassenmitglieder bei einer bestimmten Anzahl von Leistungserhebungen simulieren. Die verwendete Arbeitsmappe enthält ein Makro. Damit dieses aktiviert werden kann, muss in Excel unter Extras/Optionen/Sicherheit der Button "Makrosicherheit" angeklickt werden. Die Sicherheitsstufe ist auf "Mittel" zu reduzieren. Tippen Sie dann in das Feld "B1" der Excel-Arbeitsmappe die Zahl der gewünschten Leistungserhebungen ein. Die Lernenden können folgende Fragen beantworten und ihre Ergebnisse mithilfe der Arbeitsmaterialien (Auswahlautomat und Excel-Arbeitsmappe) überprüfen und diskutieren: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dein Name ausgewählt werden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dein Name zweimal (dreimal) direkt nacheinander ausgewählt wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt eine Schülerin oder ein Schüler deiner Klasse zweimal (dreimal) direkt nacheinander ausgewählt wird?

Laut Gordon Moore verdoppelt sich die Anzahl von Transistoren auf einem Chip alle zwei Jahre. In dieser Einheit entscheiden Schülerinnen und Schüler, welche Variante des Mooreschen Gesetzes zutrifft, und formulieren "das Gesetz" als Funktion.Das Stundenthema ist exemplarisch für die Untersuchung exponentiell verlaufender Funktionen. In informationstechnisch orientierten Bildungsgängen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit aktuellen Entwicklungen in der Hardwaretechnik von Computern. Die Untersuchung des Mooreschen Gesetzes ermöglicht es, das zukünftige Innovationstempo in diesem Bereich auf der Basis der Entwicklung in den vergangenen vier Jahrzehnten besser beurteilen zu können.Bei der Stunde handelt es sich um eine Anwendungsstunde, in der die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse über Exponentialfunktionen einsetzen, um eine sprachlich formulierte Aussage, das Moore'sche Gesetz, in eine gleichbedeutende mathematische Aussage zu "übersetzen". Anhand der Eigenschaften von Exponentialfunktionen ziehen sie Rückschlüsse auf die Gültigkeit der zugrunde liegenden Aussagen. Ablauf des Unterrichts und Einsatz der Materialien Die Anzahl der Transistoren auf einem Chip verdoppelt sich "alle 18 Monate" schreibt golem.de, "... jedes Jahr" behauptet webopedia.com und bei wikipedia.org heißt es: "alle zwei Jahre". Die Schülerinnen und Schüler überführen einen rein sprachlich formulierten Sachverhalt in eine mathematische Aussage, indem sie die Eigenschaften exponentieller Funktionen überprüfen und anwenden. werden darin gefördert, Excel als geeignetes Hilfsmittel zur Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung zielgerichtet einzusetzen. Sie kennen die dafür nötigen Funktionen, setzen sie zielgerichtet ein und können die programmtypische Ergebnisdarstellung richtig interpretieren. üben die mathematisch korrekte sprachliche Beschreibung mathematischer Sachverhalte. Thema Überprüfung des Mooreschen Gesetzes Autor Edgar Dartenne Fach Mathematik Zielgruppe informationstechnisch orientierte Bildungsgänge Zeitraum eine Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer für zwei Personen, MS Excel Planung Verlaufsplan Mooresches Gesetz Sozialform Da die Schülerinnen und Schüler vorwiegend am PC arbeiten, bietet sich als Sozialform die Partnerarbeit an. Zur Lösung der gestellten Aufgabe wurde das Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel gewählt. Die Lehrkraft sollte auf die Zusammensetzung der Schülerpaare Einfluss nehmen und -in Bezug auf die Erfahrung mit dem Programm Excel- heterogene Gruppen bilden. Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler Die Excel-Funktion "Trendlinie" sollte den Schülerinnen und Schülern ebenso bekannt sein wie die Euler'sche Zahl, die in der Bestimmung der Funktionsgleichung durch Excel auftritt. Bei dem im Unterricht verwendeten Begriff des durchschnittlichen jährlichen Wachstums handelt es sich um das Wachstum der Trendlinie. Da die Trendlinie aber die ihr zugrunde liegende Funktion approximiert (Excel berechnet den so genannten "Pearsonschen Korrelationskoeffizienten"), sollte der Begriff zum einfacheren Verständnis eingeführt sein. Anschließendes Stundenthema Sowohl die Trendlinien-Funktion von Excel als auch andere gängige Rechenverfahren zur Bestimmung des Wachstumsfaktors bilden den Verlauf des tatsächlichen Wachstums der Transistoranzahl nur annähernd nach. Dies ist in der Tatsache begründet, dass das vorhandene Datenmaterial weder konstante Änderungsraten noch gleichlange Zeitintervalle aufweist. Eine Thematisierung dieser Problematik kann in einer der folgenden Stunden erfolgen. Einstieg und Problematisierung Die Lehrkraft präsentiert den Schülerinnen und Schülern zwei PC-Prozessoren mit der Angabe des Herstelljahrs und der Anzahl der darin befindlichen Transistoren. Er schließt die Frage an: Worum geht es heute? Anschließend legt er eine Folie auf, die "Moores Gesetz" in drei verschiedenen Versionen zeigt. Daran schließt sich die Frage an: "Welche der drei Aussagen ist denn nun richtig? Wie können wir die Gültigkeit der Aussage überprüfen?" Erarbeitung Die Schülerinnen und Schüler stellen die drei Versionen des Moore'schen Gesetzes in einem Diagramm dar, ermitteln mit der Trendlinienfunktion die zugehörigen Wachstumsfaktoren und entscheiden, welche Version der Vorhersage von Moore gültig ist. Präsentation Ein oder zwei Schülerpaare ergänzen ein vorbereitetes Plakat und erläutern ihre Lösung. Unterstützend wird der Excel-Bildschirm der jeweiligen Schülerpaare auf die Wand projiziert. Diskussion und Sicherung Schließlich erfolgt eine Plenumsdiskussion über die präsentierten Ergebnisse. Die Sicherung erfolgt in Form von Teilsicherungen während der Diskussion der einzelnen Schülerergebnisse.

In der Einheit "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" soll den Lernenden ein Einblick in das Denken in Strukturen aus der Informatik an einem aus dem Alltag bekannten Problem mit Strichcodes nahegebracht werden.Strichcodes sind auf allen Produkten zu finden; an der Kasse werden über Strichcodes Produkten Preise zugeordnet. Aber wie viele verschiedene Strichcodes gibt es eigentlich? Da gewisse Bedingungen an die Folge von schwarzen und weißen Strichen zu stellen sind, eignen sich Automaten aus der Informatik als Mittel, um hier kombinatorische Fragestellungen zu lösen. Das Thema "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" im Unterricht Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe dieser Unterrichtseinheit Automaten kennenlernen. Sie üben sich außerdem im Umgang mit irrationalen Wurzeln und dem Satz des Pythagoras. Zudem gewinnen sie Einblick in die Lösung kombinatorischer Fragestellungen mit Automaten. Als Hilfsmittel wird dabei Excel (oder ein anderes Tabellenkalkulationsprogramm) verwendet. Vorkenntnisse Grundkenntnisse der Kombinatorik sind für diese Einheit nötig. Allerdings genügen hier schon die Kenntnis der Fakultät, so des Zählprinzips. Mithilfe dieser Grundlagen ist ein einfacher Einstieg in den Bereich möglich. Da Tabellenkalkulationen zur Bestimmung von Werten verwendet werden, sollte diese bekannt und der Umgang vertraut sein. Didaktische Analyse Gelingt es den Lernenden Darstellungen in Automaten in einer Tabellenkalkulation zu nutzen, um Anzahlen von Möglichkeiten zu bestimmen? Während das Mittel "Zustandsautomaten" den Schülerinnen und Schülern neu sein sollte, wird ihnen der Umgang mit Tabellenkalkulationen vertraut sein. Zustandsautomaten bei der bearbeitenden Fragestellungen sind leicht überblickbar. Deswegen eignet sich das Thema zum Kennenlernen dieses Mediums. Methodische Analyse Da die Schülerschaft viel in Anwesenheit der Lehrkraft erarbeiten soll, können Fragen zu verschiedenen Zeitpunkten möglich sein. Dies ist für Lernende motivierend, da sie wissen, dass ihnen bei Schwierigkeiten an der richtigen Stelle geholfen wird. Die Arbeiten außerhalb des Unterrichts werden in den darauffolgenden Stunden ausführlich besprochen, damit auch dort Rückmeldungen zu allen möglichen Schwierigkeiten erfolgen kann. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. verwenden mathematische Darstellungen und Darstellungen aus dem Fachbereich Informatik zu verwenden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation viele Werte bestimmen und darstellen kann. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in Gruppenarbeit ein. geben Hilfeleistungen und fragen nach individuellen Hilfen von anderen. Strichcodes im Alltag An jeder Einkaufskasse werden sie verwendet: Strichcodes. Die Kassiererin, die früher noch Preise in die Tastatur der Kasse eintippte, ist für viele Jugendliche eine Geschichte aus längst vergangener Zeit. In einer Discothek in Barcelona wird nicht mehr nur mit Barem bezahlt. Besucher können sich einen Chip implantieren lassen. Sobald sie eine Bestellung aufgeben, werden sie anhand ihres Chips erkannt und ihr Konto wird via Online-Banking belastet. Strichcodes - Folgen von schwarzen und weißen Strichen - codieren eindeutig, um welches Produkt beziehungsweise um welche Person es sich handelt. Wie viele Objekte können verschlüsselt werden? Aber wie viele verschiede Objekte kann man mit Codes verschlüsseln und wovon hängt diese Anzahl ab? Einen ersten Einblick liefert eine Reihe von schwarzen und weißen Feldern, wie sie in Abb. 1 dargestellt ist. Wenn nun zehn Felder verwendet werden - wie viele verschiedene Muster können entstehen, wenn nur die Farben schwarz und weiß verwendet werden dürfen? Die Antwort, 210, ist schnell gefunden. Jedes Feld hat zwei verschiedene Möglichkeiten. Jedes Feld kann beliebig an jedes Feld angehängt werden. Und deswegen ist pro Feld ein Faktor 2 zu berücksichtigen. Anforderungen an den Code Doch schon bei diesem einfachen Problem kommt schnell folgende Frage auf: Woran kann der Scanner, der die Abfolge schwarzer und weißer Felder entziffern soll, erkennen, ob es zwei oder drei schwarze Felder nebeneinander sind? Dasselbe Problem ergibt sich auch bei den weißen Feldern, denn die schwarzen Trennstriche zwischen den weißen Feldern treten bei Strichcodes nicht auf. Somit werden Bedingungen an den Code gestellt: Das erste und das letzte Feld müssen schwarz sein. Für die Zahl gleicher nebeneinanderliegender Felder muss eine Höchstgrenze festgelegt werden (zwei, drei, vier … ). Erweiterung Eine Erweiterung des Themas ergibt sich daraus, dass nicht nur "Schwarz und Weiß", sondern mehrere Farben für den Aufbau eines Codes zugelassen werden. Dass in diesem Zusammenhang die Fibonacci-Zahlen auftreten ist überraschend - weniger, dass mit Automaten und Zustandsübergängen Lösungen gefunden werden können. Und dass dabei Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel eine wunderbare Hilfe bieten, rundet die Thematik ab.

In dieser Unterrichtseinheit für den Stochastikunterricht untersuchen die Schülerinnen und Schüler mit realen und virtuellen Galton-Brettern die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette und lernen die Binomialverteilung kennen.Zur Veranschaulichung des Ablaufs von Bernoulli-Ketten kann das nach dem britischen Naturforscher und Schriftsteller Sir Francis Galton (1822-1911) benannte Galton-Brett im Unterricht sehr gut verwendet werden. Grundlage dieser Veranschaulichung ist ein Gedankenexperiment, welches von einem Idealfall ausgeht, der mit realen Galton-Brettern jedoch nicht nachgebildet werden kann. "Idealere" Ergebnisse lassen sich aber durch den Einsatz von Simulationen erreichen, die zudem die Variation verschiedener Parameter ermöglichen. Hintergrundinformationen und Lernvorraussetzungen Mithilfe des Galton-Bretts wird die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette untersucht. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei die Binomialverteilung kennen. Als Einstieg in die Unterrichtseinheit bietet sich zunächst der Einsatz eines Lesetextes zum Galton-Brett an (Wer hat es konstruiert?, Wie funktioniert es?, Vergleich eines idealen mit einem realen Galton-Brett). Hier hat sich in meinem Unterricht das Lehrbuch "Mathematik Sekundarstufe II - Stochastik" bewährt (Verlag Volk und Wissen, ISBN: 3-06-001174-5, S. 145). Aber auch im Internet gibt es hilfreiche Informationsquellen (siehe Galton-Brett und Binomialverteilung). Bevor die Simulation des Galton-Bretts zum Einsatz kam, wurden im Unterricht folgende Inhalte erarbeitet: Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten Die Schülerinnen und Schüler lernten typische Beispiele sowie die Definition von Bernoulli-Experimenten und -Ketten kennen. Die Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette Der Satz über die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse in einer Bernoulli-Kette wurde behandelt und mit Anwendungsaufgaben vertieft. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg in einer Bernoulli-Kette war den Schülerinnen und Schülern vertraut. Realexperiment und Simulation Zunächst wird mit einem "Hardware-Galton-Brett" ein Zufallsexperiment durchgeführt und ausgewertet, zum Beispiel mit h (Anzahl der Hindernisreihen) = 6, n (Anzahl der fallenden Kugeln) = 100, p (Erfolgswahrscheinlichkeit) = 0,5. Danach wird die Simulationsumgebung per Beamer vorgestellt (n = 100; p = 0,5). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit das Arbeitsblatt und führen am Rechner Simulationen durch. Vorteile des virtuellen Galton-Bretts Der Einsatz der Softwareapplikation zum Galton-Brett sollte als Ergänzung und nicht als Ersatz zur Verwendung eines "Hardware-Galton-Bretts" dienen. Die Erfahrung, reale Kugeln entlang der symmetrisch aufgereihten Hindernisse fallen zu sehen (und zu hören), sollte den Schülerinnen und Schülern nicht vorenthalten werden. Dennoch bietet der Einsatz der Computersimulation einige Vorteile: Der Einsatz eines Galton-Bretts zur Veranschaulichung von Bernoulliketten basiert auf einem Gedankenexperiment, welches von idealen fallenden Kugeln und idealen Hindernissen ausgeht. "Hardware-Galton-Bretter" können diese Bedingungen nicht abbilden. Beim Einsatz einer entsprechenden Simulation ist deren Güte nur noch von der Qualität des implementierten Zufallszahlengenerators abhängig. In der Regel stehen für den Mathematikunterricht nur wenige Galton-Bretter zur Verfügung. Der Einsatz der Simulation bietet dagegen - eine ausreichende Anzahl von Computern vorrausgesetzt - allen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit experimentell tätig zu werden. Beim Einsatz eines "echten" Galton-Bretts ist die Anzahl der fallenden Kugeln durch die Baugröße und durch den für die Versuchsdurchführung benötigten Zeitraum begrenzt. Die Softwarelösung ermöglicht in kurzer Zeit die Simulation eines Versuches mit sehr großer Kugelanzahl. Galton-Bretter sind in der Regel nur für den Fall p = 0,5 zur Veranschaulichung von Bernoulli-Ketten geeignet. Beim Einsatz einer Simulationsumgebung kann der Wert für die Wahrscheinlichkeit p beliebig variiert werden. Der Einsatz eines virtuellen Galton-Bretts bietet die Möglichkeit, einen Zufallsversuch unter genau den gleichen Bedingungen zu reproduzieren (bei Verwendung der gleichen Zufallszahlen). Die Schülerinnen und Schüler lernen das Galton-Brett und das dahinter stehende Gedankenexperiment kennen. leiten anschaulich und zum Teil selbstständig die Bernoulli-Formel her. können die Bernoulli-Formel zur Lösung von Problemstellungen, die eine Modellierung durch eine Bernoulli-Kette zulassen, anwenden. erkennen, dass die Computersimulation eines Galton-Bretts idealere Ergebnisse liefert als ein herkömmliches Galton-Brett. wissen, dass auch eine Computersimulation nicht den Anforderungen gerecht werden kann, welche das Gedankenexperiment zum Galton-Brett stellt. Der Einsatz der Softwareapplikation zum Galton-Brett sollte als Ergänzung und nicht als Ersatz zur Verwendung eines "Hardware-Galton-Bretts" dienen. Die Erfahrung, reale Kugeln entlang der symmetrisch aufgereihten Hindernisse fallen zu sehen (und zu hören), sollte den Schülerinnen und Schülern nicht vorenthalten werden. Dennoch bietet der Einsatz der Computersimulation einige Vorteile: Der Einsatz eines Galton-Bretts zur Veranschaulichung von Bernoulliketten basiert auf einem Gedankenexperiment, welches von idealen fallenden Kugeln und idealen Hindernissen ausgeht. "Hardware-Galton-Bretter" können diese Bedingungen nicht abbilden. Beim Einsatz einer entsprechenden Simulation ist deren Güte nur noch von der Qualität des implementierten Zufallszahlengenerators abhängig. In der Regel stehen für den Mathematikunterricht nur wenige Galton-Bretter zur Verfügung. Der Einsatz der Simulation bietet dagegen - eine ausreichende Anzahl von Computern vorrausgesetzt - allen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit experimentell tätig zu werden. Beim Einsatz eines "echten" Galton-Bretts ist die Anzahl der fallenden Kugeln durch die Baugröße und durch den für die Versuchsdurchführung benötigten Zeitraum begrenzt. Die Softwarelösung ermöglicht in kurzer Zeit die Simulation eines Versuches mit sehr großer Kugelanzahl. Galton-Bretter sind in der Regel nur für den Fall p = 0,5 zur Veranschaulichung von Bernoulli-Ketten geeignet. Beim Einsatz einer Simulationsumgebung kann der Wert für die Wahrscheinlichkeit p beliebig variiert werden. Der Einsatz eines virtuellen Galton-Bretts bietet die Möglichkeit, einen Zufallsversuch unter genau den gleichen Bedingungen zu reproduzieren (bei Verwendung der gleichen Zufallszahlen). Mithilfe des Galton-Bretts wird die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette untersucht. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei die Binomialverteilung kennen. Als Einstieg in die Unterrichtseinheit bietet sich zunächst der Einsatz eines Lesetextes zum Galton-Brett an (Wer hat es konstruiert?, Wie funktioniert es?, Vergleich eines idealen mit einem realen Galton-Brett). Hier hat sich in meinem Unterricht das Lehrbuch "Mathematik Sekundarstufe II - Stochastik" bewährt (Verlag Volk und Wissen, ISBN: 3-06-001174-5, S. 145). Aber auch im Internet gibt es hilfreiche Informationsquellen (siehe Galton-Brett und Binomialverteilung ). Bevor die Simulation des Galton-Bretts zum Einsatz kam, wurden im Unterricht folgende Inhalte erarbeitet: Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten Die Schülerinnen und Schüler lernten typische Beispiele sowie die Definition von Bernoulli-Experimenten und -Ketten kennen. Die Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette Der Satz über die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse in einer Bernoulli-Kette wurde behandelt und mit Anwendungsaufgaben vertieft. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg in einer Bernoulli-Kette war den Schülerinnen und Schülern vertraut. Zunächst wird mit einem "Hardware-Galton-Brett" ein Zufallsexperiment durchgeführt und ausgewertet, zum Beispiel mit h (Anzahl der Hindernisreihen) = 6, n (Anzahl der fallenden Kugeln) = 100, p (Erfolgswahrscheinlichkeit) = 0,5. Danach wird die Simulationsumgebung per Beamer vorgestellt (n = 100; p = 0,5). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit das Arbeitsblatt und führen am Rechner Simulationen durch.

... G8-Lehrpläne sehen schon in Unter- und Mittelstufe Einblicke in die Kombinatorik und die Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Schülerinnen und Schüler der Klassen 10 und 11 in G9 werden erst im Grund- oder L ...

In dieser Unterrichtseinheit wird die beschreibende Statistik mithilfe des Computerprogramms GrafStat ("Grafik und Statistik") eingeführt. Die mit der Software erhobenen Daten dienen im weiteren Verlauf der Unterrichtsreihe als Datengrundlage (Urliste). Auf dieser Basis lernen die Schülerinnen und Schüler alle wichtigen und notwendigen Begriffe, statistischen Kennzahlen und mathematischen Vorstellungen der beschreibenden Statistik kennen.Die beschreibende Statistik begegnet den Schülerinnen und Schülern häufig erst in der Sekundarstufe II. Zu diesem Zeitpunkt verfügen sie über kein nennenswertes Vorwissen. Eine gewissenhafte und anschauliche Einführung in das Thema ist wichtig, da es sich im weiteren Verlauf der Oberstufe als beurteilende Statistik fortsetzt und dort auf entsprechende Grundlagen aufgebaut wird.GrafStat wird zu Beginn der Unterrichtsreihe primär als grafisches Aufbereitungsmittel eingesetzt. In der folgenden Phase, mit Beginn der Einführung und Berechnung statistischer Kennzahlen, dient das Programm hauptsächlich als Ergebnisüberprüfer. Ablauf der Unterrichtseinheit Die im folgenden beschriebenen sechs Abschnitte der Unterrichtseinheit decken die Einführung in die beschreibende Statistik thematisch komplett ab. Falls die Schülerinnen und Schüler mit der Software nicht vertraut sind, sollten Sie die Unterrichtsreihe mit einer zweistündigen Einführung zum Umgang mit GrafStat beginnen. 1. Erstellung des Fragebogens In meinem Unterricht erstellten die Schülerinnen und Schüler einen Fragebogen zum Thema "Wie medienkompetent sind die Schülerinnen und Schüler unserer Schule?". Für die Entwicklung des Formulars sollten etwa drei Unterrichtsstunden veranschlagt werden. 2. Erheben der Daten Die Daten wurden durch direkte Interviews bei einer Stichprobe von 200 Schülerinnen und Schüler erhoben und mit GrafStat erfasst. Bei der Durchführung der Interviews empfiehlt sich für die direkte Dateneingabe der Einsatz von Laptops. Der mit GrafStat erstellte Fragebogen kann aber auch als Web-Formular auf der Homepage der Schule ausgestellt und dort von den Befragten ausgefüllt werden. 3. Aufbereiten der Daten Welche Aussagen können anhand der Daten gemacht werden? Hier werden die Begriffe Urliste, Merkmal, Merkmalsausprägung sowie absolute und relative Häufigkeit eingeführt. 4. Grafische Aufbereitung Die Schülerinnen und Schüler stellen die erhobenen Daten als Histogramme (Stab-, Säulen- und Kreisdiagramme) dar. Der Schwerpunkt dieses Abschnitts, für den etwa ein bis zwei Unterrichtsstunden einkalkuliert werden sollten, liegt auf der Hinterfragung der Sinnhaftigkeit der verschiedenen Darstellungsarten. Manipulation und Fehlinterpretation statistischer Daten werden thematisiert. 5. Statistische Aufbereitung - Einführung statistischer Kennzahlen In diesem Abschnitt wird untersucht, welche Aussagekraft Mittelwert, Median und Abweichungen vom Mittel haben. Dabei bin ich so vorgegangen, dass zunächst die Ergebnisse zu einer Frage des Fragebogens als Histogramm dargestellt wurden, dessen Aussagekraft deutlich zu wünschen übrig ließ. Daran anknüpfend wird der aussagekräftigere Mittelwert eingeführt. Hier wird auch diskutiert, wann der Mittelwert eine gute Aussagekraft attestiert. Die berechneten Kennzahlen werden mithilfe von GrafStat grafisch und rechnerisch überprüft. Als Zeitaufwand sollten für diesen Abschnitt (die anderen statistischen Kennzahlen eingerechnet) etwa sechs bis acht Unterrichtsstunden eingeplant werden. 6. Was ist ein Boxplot-Diagramm? Für diesen letzten Abschnitt der Unterrichtsreihe sind etwa vier Stunden einzukalkulieren. Zusätzliche Themen Es sei darauf hingewiesen, dass man im Rahmen der Einführung in die beschreibende Statistik zusätzlich zu den genannten Themen auch noch das geometrische und harmonische Mittel, die lineare Regression und die Korrelation behandeln kann. Bei entsprechendem Zeitpuffer können diese Begriffe eingeführt und ausführlich thematisiert werden. In dieser Unterrichtsreihe haben sie jedoch eine eher untergeordnete Bedeutung. Bei einer Einführung in die beschreibende Statistik mithilfe eines grafikfähigen Taschenrechners sind diese Themen aber sicher notwendig und hinreichend thematisierbar.Die Schülerinnen und Schüler lernen die Begriffe Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägung, absolute und relative Häufigkeit sowie Urliste kennen. erstellen Histogramme (Kreis-, Säulen- und Stabdiagramm). bewerten Mittelwerte berechnen und deren Aussagekraft. berechnen die Aussagekraft des Medians erkennen und den Median einer Stichprobe (gerade/ungerade). erstellen Boxplot-Diagramme. berechnen die lineare und mittlere quadratische Abweichung sowie die Varianz und erkennen deren Bedeutung. In meinem Unterricht erstellten die Schülerinnen einen Fragebogen zum Thema "Wie medienkompetent sind die SchülerInnen unserer Schule?". Für die Entwicklung des Formulars sollten etwa drei Unterrichtsstunden veranschlagt werden. Die Daten wurden durch direkte Interviews bei einer Stichprobe von 200 SchülerInnen erhoben und mit GrafStat erfasst. Bei der Durchführung der Interviews empfiehlt sich für die direkte Dateneingabe der Einsatz von Laptops. Der mit GrafStat erstellte Fragebogen kann aber auch als Web-Formular auf der Homepage der Schule ausgestellt und dort von den Befragten ausgefüllt werden. Welche Aussagen können anhand der Daten gemacht werden? Hier werden die Begriffe Urliste, Merkmal, Merkmalsausprägung sowie absolute und relative Häufigkeit eingeführt. Die Schülerinnen stellen die erhobenen Daten als Histogramme (Stab-, Säulen- und Kreisdiagramme) dar. Der Schwerpunkt dieses Abschnitts, für den etwa ein bis zwei Unterrichtsstunden einkalkuliert werden sollten, liegt auf der Hinterfragung der Sinnhaftigkeit der verschiedenen Darstellungsarten. Manipulation und Fehlinterpretation statistischer Daten werden thematisiert. In diesem Abschnitt wird untersucht, welche Aussagekraft Mittelwert, Median und Abweichungen vom Mittel haben. Dabei bin ich so vorgegangen, dass zunächst die Ergebnisse zu einer Frage des Fragebogens als Histogramm dargestellt wurden, dessen Aussagekraft deutlich zu wünschen übrig ließ. Daran anknüpfend wird der aussagekräftigere Mittelwert eingeführt. Hier wird auch diskutiert, wann der Mittelwert eine gute Aussagekraft attestiert. Die berechneten Kennzahlen werden mithilfe von GrafStat grafisch und rechnerisch überprüft. Als Zeitaufwand sollten für diesen Abschnitt (die anderen statistischen Kennzahlen eingerechnet) etwa sechs bis acht Unterrichtsstunden eingeplant werden. Für diesen letzten Abschnitt der Unterrichtsreihe sind etwa vier Stunden einzukalkulieren. Es sei darauf hingewiesen, dass man im Rahmen der Einführung in die beschreibende Statistik zusätzlich zu den genannten Themen auch noch das geometrische und harmonische Mittel, die lineare Regression und die Korrelation behandeln kann. Bei entsprechendem Zeitpuffer können diese Begriffe eingeführt und ausführlich thematisiert werden. In dieser Unterrichtsreihe haben sie jedoch eine eher untergeordnete Bedeutung. Bei einer Einführung in die beschreibende Statistik mithilfe eines grafikfähigen Taschenrechners sind diese Themen aber sicher notwendig und hinreichend thematisierbar.

... Würfel mit dem Spiele-Klassiker Monopoly und einer Excel-Simulation des Zufallsexperimentes.Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik erscheinen den Schülerinnen und Schülern in der Jahrgangsstufe 12 zunächst ...

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Binomialkoeffizient führen die Schülerinnen und Schüler im Kontext des Lottospielens eine etwas andere Art der Kurvendiskussion durch, die eine Verbindung zwischen der Analysis der Oberstufe und den Inhalten der Stochastik herstellt.Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, ob man einen eventuellen Jackpot-Gewinn bei der ("6 aus 49"-)Lotterie bei steigender Teilnehmerzahl umso wahrscheinlicher mit anderen Gewinnerinnen und Gewinnern teilen muss. Die mathematische Modellierung der Aufgabenstellung führt zu einem Funktionsterm, dessen Diskussion zu einem tieferen Verständnis von Exponentialfunktion und Binomialkoeffizient führt.Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses der Oberstufe oder im Rahmen eines W-Seminars (Wissenschaftspropädeutischen Seminars) geeignet, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Dabei werden das Urnenmodell beziehungsweise die hypergeometrische Verteilung und die Binomialverteilung als bekannt vorausgesetzt. Unterrichtsverlauf und Materialien Im ersten Teil sollen die Schülerinnen und Schüler eine zunächst intuitiv beantwortete Frage mathematisch begründen. Variation und Verallgemeinerung Der zweite Teil verallgemeinert die Fragestellung des ersten Teils und führt zu tiefer liegenden mathematischen Sachverhalten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die Fragestellung mathematisch mithilfe der hypergeometrischen Verteilung und der Binomialverteilung modellieren. können die Regel von l'Hospital kennen lernen und zur Grenzwertberechnung anwenden. können einen Graphen zeichnen und interpretieren. können Aussagen über vorteilhaftes Verhalten beim Lottospielen machen. erkennen den Binomialkoeffizienten "k aus n" als Polynom k-ten Grades in n. lernen das "Pascalsche Dreieck" kennen und verstehen es. lernen eine rekursive Funktionsschreibweise kennen. können mithilfe der Gaußschen Summenformel die Äquivalenz der rekursiven Definition und der Polynomschreibweise einer Funktion zeigen. lernen "Dreieckszahlen" kennen. verstehen, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als jedes Polynom. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Basieux, P. Die Welt als Roulette - Denken in Erwartungen, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg, 1995 Barth, F. et. al. Stochastik, Oldenbourg Schulbuchverlag, München, 7. verb. Auflage, 2001 Krengel, U. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg, Braunschweig, 3. erw. Auflage, 1991 Schätz, U. und Einsentraut, F. (Hrsg.) delta 11 - Mathematik für Gymnasien, C.C. Buchner Bamberg u. Duden Paetec Schulbuchverlag Berlin, 2009 Voraussetzungen und Einstieg Die Aufgabenstellung gliedert sich in zwei Teile, deren erster ("Konkrete Beantwortung der Fragestellung") die Schülerinnen und Schüler vom Lehrplan der 12. Jahrgangsstufe am Gymnasium abholt. Zum Einstieg und zur Motivation der Fragestellung können eventuell geeignete Zeitungsartikel genutzt werden (siehe Zusatzmaterialien, die einen Bezug zur Realität herstellen. Die schrittweise Modellierung des Problems in den Teilaufgaben 1.1 bis 1.6 gelingt unter der Voraussetzung, dass das "Ziehen mit Zurücklegen" und das "Ziehen ohne Zurücklegen", also die hypergeometrische und die Binomial-Verteilung, bereits bekannt sind. Variation und Verallgemeinerung Durch die Einführung der Regel von l'Hospital erschließt sich das mathematische Modell den bekannten Mechanismen einer Kurvendiskussion. Außerdem ermöglicht die "ungewohnte" Betrachtung des Binomialkoeffizienten als einer Funktion in n das Anknüpfen an vertraute Sachverhalte. Zu den Themen "Rekursion", "Pascalsches Dreieck" und "Dreieckszahlen" in den Teilaufgaben 2.6 bis 2.9 sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig im Internet oder in entsprechender Literatur nach Hintergründen und Bedeutung recherchieren. Zur Förderung des Verständnisses und zum Abschluss des Modellierungsprozesses wird zu den Ergebnissen der Teilaufgaben generell eine Interpretation beziehungsweise eine Versprachlichung eingefordert. Die Lernenden werden mit folgender Fragestellung konfrontiert: "Ist es wahrscheinlicher, dass es bei der ("6 aus 49"-) Lotterie mehr Jackpot-Gewinnerinnen und -gewinner gibt, wenn es mehr Teilnehmende gibt?" Diese Fragestellung soll diskutiert und zunächst intuitiv beantwortet werden. In der Regel wird sich schnell ein Konsens einstellen: Ja. Doch wie genau bleibt noch offen und zu untersuchen. Nach der Ermittlung der Trefferwahrscheinlichkeit für "r Richtige plus Zusatzzahl" sowie der Wahrscheinlichkeit dafür, dass k von insgesamt n Lotterie-Teilnehmerinnen und-teilnehmer r Richtige getippt haben, stellt sich das mathematische Gesamtmodell als eine Kombination aus hypergeometrischer und binomial-verteilter Formulierung dar. Nach einigen konkreten Berechnungen wird für Grenzwertbetrachtungen zum einen die (mittlerweile im Lehrplan oft nur noch optionale) Regel von l'Hospital und zum anderen die einfache, aber mächtige Identität für a > 0 eingeführt. Damit lassen sich alle Grenzwert- und Monotoniebetrachtungen durchführen. Anhand des Graphen für einen geeigneten Spezialfall werden die Schülerinnen und Schüler zur abschließenden Beantwortung der Ausgangsfrage geführt. Verallgemeinerung auf k erfolgreiche Teilnehmer Im zweiten Teil der Aufgabenstellung ("Variation und Verallgemeinerung") wird der Kontext mindestens zweier Jackpot-Gewinnerinnen oder -gewinner vom Ende des ersten Teils auf genau beziehungsweise mindestens k erfolgreiche Lotterie-Teilnehmende verallgemeinert. Nun wird für eine Diskussion des Funktionsterms allerdings ein tieferes Verständnis des Binomialkoeffizienten notwendig. Dazu wird dieser als Funktion in n betrachtet, auf den Bereich der reellen Zahlen verallgemeinert, exemplarisch graphisch dargestellt und berechnet. Hierbei stellen die Schülerinnen und Schüler fest, dass es sich im Grunde bei dem Symbol um nichts anderes als ein Polynom k-ten Grades in x handelt. Damit befinden sich die Lernenden wieder auf vertrautem Terrain aus Mittel- und Oberstufe. Pascalsches Dreieck Im Anschluss wird der Aufbau des Pascalschen Dreiecks bewiesen und gezeigt, dass sich die Werte der jeweiligen "Binomialkoeffizient-Polynome" für natürliche Argumente einfach in den Spalten beziehungsweise Diagonalen des Pascalschen Dreiecks ablesen lassen. Offensichtlich liefert das Pascalsche Dreieck aber auch jeweils eine Rekursionsformel für die einzelnen Polynome. Die Schülerinnen und Schüler lernen dieses andersartige Konzept zur Definition einer Funktion für den Spezialfall k=2 kennen und ermitteln mithilfe der Gaußschen Summenformel den Zusammenhang zwischen der rekursiven und der expliziten Darstellung. Dabei gibt es neben diesem algebraischen aber auch einen geometrischen Beweisweg über die so genannten Dreieckszahlen. Anwendung der Regel von l'Hospital Mithilfe der Regel von l'Hospital erhalten die Schülerinnen und Schüler nun Zugang zu einer mathematisch sehr gewichtigen Tatsache, nämlich dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenz beziehungsweise jedes Polynom. Damit lässt sich nun auch die Ausgangsfrage allgemein sehr schnell beantworten. Graphen zur Veranschaulichung Zum Abschluss sehen die Schülerinnen und Schüler anhand von exemplarischen Graphen mittels eines Funktionsplotters (hierzu eignet sich zum Beispiel auch GeoGebra), wie sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit verhält und in welchem Bereich sich überhaupt erst Bezüge zur Realität anbieten (vergleiche Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anlicken). Auf die Thematisierung der für den Kontext kleiner Erfolgswahrscheinlichkeiten bei großer Stichprobe als gute Näherung geeigneten Poisson-Verteilung ("Verteilung der seltenen Ereignisse") wird verzichtet, da in erster Linie nicht das rein statistische Problem, sondern die Vernetzung von stochastischen/statistischen mit analytischen und algebraischen Inhalten im Vordergrund stehen soll. Fazit Die Schülerinnen und Schüler erhalten durch diese Lerneinheit die Möglichkeit, eine Verbindung zwischen der Analysis der Oberstufe und den Inhalten der Stochastik herzustellen. Zudem zeigt sich, dass neuartige Symbole (wie der Binomialkoeffizient) oder Schreibweisen (wie die rekursive Definition einer Funktion) durch geeignete Betrachtungsweise gar nicht mehr so neuartig sein müssen, sondern bereits bekannten Dingen entsprechen. Durch die zusätzliche Einführung einiger weniger Hilfsmittel (allgemeine Exponentialfunktion als e-Funktion, Regel von l'Hospital) erschließt sich so auch eine ungewohnte Funktion den oftmals schematisch verfolgten Argumenten der Kurvendiskussion.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilungen lernen die Schülerinnen und Schüler über interaktive GeoGebra-Arbeitsblätter die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung kennen.Die Untersuchung von Binomialverteilungen B (n; p) bei wachsendem n führt über den integralen und lokalen Grenzwertsatz zur Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Mit ihr eröffnet sich den Lernenden ein weites Feld von Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik, in der Wirtschaft und den Sozialwissenschaften. Der hier vorgestellte Online-Kurs bietet eine variabel einsetzbare Methode, die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung zu lehren oder zu lernen. In nahezu jedem Lehrbuch werden zur Darlegung der Beweisidee der lokalen und integralen Näherungsformel von de Moivre-Laplace zahlreiche Histogramme und Dichtekurven präsentiert. Der Einsatz der mit der kostenfreien dynamischen Geometriesoftware GeoGebra entwickelten Applets schafft hier Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern.Erfahrungsgemäß entdecken die Schülerinnen und Schüler sehr schnell alleine die Bedienungsmöglichkeiten der Applets und erkennen, welche unabhängigen Objekte bewegt werden können, so dass auf ausführliche Bedienungshinweise verzichtet werden kann. Zu Beginn der Stunde hat sich bei computergestützten Unterrichtseinheiten eine "Austobphase" bewährt, in der die Lernenden etwa fünf Minuten lang einfach alle Knöpfe und Regler eines Programms ausprobieren dürfen, bevor sie dann (nach einem "Reset") zielgerecht die einzelnen Arbeitsanweisungen befolgen. Voraussetzungen Stochastische Vorkenntnisse Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt. Integralrechnung Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich. Einsatz im Unterricht Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen) Partnerarbeit oder Präsentation Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Materialien zur Binomial- und Normalverteilung Interaktive GeoGebra-Applets Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle. Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Aufgaben und Antworten Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Binomialverteilung. verstehen die Entstehung der standardisierten Dichtefunktion. können die integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace herleiten und anwenden. verstehen mit den Kenntnissen der Integralrechnung die Entstehung der Gaußschen Integralfunktion. verstehen die Herleitung der lokalen Näherungsformel und ihre Abgrenzung zur integralen Näherungsformel. können die lokale Näherungsformel anwenden. können die Entwicklung der Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung nachvollziehen und die Normalverteilung anwenden. erkennen die Bedeutung des Zentralen Grenzwertsatzes. Stochastische Vorkenntnisse Erforderliche mathematische Voraussetzung für den Kurs ist die Behandlung der Bernoulli-Kette und binomialverteilter Zufallsgrößen mit den grundlegenden Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Auch die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion mit Histogramm und Dichtefunktion sowie die Standardisierung von Zufallsgrößen sollten bekannt sein. Diese Vorkenntnisse werden im Online-Kurs noch einmal kurz als Vorbereitung für die folgenden Ausführungen wiederholt. Integralrechnung Neben diesen stochastischen Vorkenntnissen sind zur Behandlung der Gaußschen Integralfunktion und ihrer Eigenschaften auch Erfahrungen aus der Analysis, insbesondere der Integralrechnung, hilfreich. Für den Online-Kurs bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Behandlung im Unterricht selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffs, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (zum Beispiel vor Prüfungen) Partnerarbeit oder Präsentation Im Idealfall arbeiten die Schülerinnen und Schüler selbstständig in Einzel oder Partnerarbeit an einem Computer. Die Applets können natürlich auch mit einem Beamer oder im Computerraum durch Spiegelung des Lehrer-Bildschirms in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Interaktive GeoGebra-Applets Dynamische Arbeitblätter eröffnen neue Wege des Lehrens und Lernens. Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Maus ("Anfassen" von Punkten oder per Schieberegler) oder der Tastatur am Computer die Parameter der verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kontinuierlich verändern und so deren dynamische Entwicklung und Annäherung verfolgen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der eigenständigen Lernzielkontrolle. Textgestaltung, "Mouse-Over-Effekte" und Popups Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. Alle wichtigen Begriffe sind (wie im Tafel-Unterricht) rot hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (Mouse-Over-Effekt). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Aufgaben und Antworten Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Schülerinnen und Schüler durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Die Antworten auf die Kontrollfragen können durch Anklicken der abschließenden Frage- oder Ausrufezeichen angezeigt werden, was sich bei den Schülerinnen und Schülern schnell herumspricht. Hier muss an die Arbeitsdisziplin der Lernenden nach dem Motto "erst denken, dann klicken" appelliert werden.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Modellbildung wird die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes genutzt, um mithilfe eines Realexperimentes und einer Simulationsumgebung den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren.Wie viele Tiere leben in einem definierten Gebiet? Diese Frage lässt sich gar nicht so einfach beantworten. Sie stellt sich zum Beispiel, wenn man prüfen möchte, ob natürliche oder vom Menschen verursachte Veränderungen Auswirkungen auf die Population einer bestimmten Spezies haben. Dann kommt man zumindest um ein Schätzen der aktuellen Bestandgröße nicht herum. Die dafür gängigen Verfahren beruhen auf Modellierungsprozessen, die sich auch im schulischen Kontext thematisieren lassen. Diese Unterrichtseinheit liefert dafür neben der Beschreibung eines Realexperimentes ("Bonbons aus einem Eimer fischen") eine kleine Simulation ("Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... "), mit der die Schülerinnen und Schüler das Fang-Wiederfang-Verfahren zur Schätzung einer virtuellen Hasenpopulation selbstständig und explorativ durchführen können.Für die Ermittlung von Schätzwerten zur Größe von Tierpopulationen stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung. Zu diesen zählt das Fang-Wiederfang-Verfahren (auch "capture-recapture-" oder "mark-recapture"-Verfahren). Der Name charakterisiert bereits das Wesen dieser Methode. In einem bestimmten Gebiet werden zu einem konkreten Zeitpunkt Individuen einer Spezies gefangen, gezählt und markiert. Zu späteren Zeitpunkten wird unter möglichst gleichen Bedingungen das Fangverfahren wiederholt (Wiederfang). Dabei wird neben der Gesamtzahl der gefangenen Individuen auch die Anzahl der davon markierten, also wiedergefangenen, Tiere ermittelt. Die Anzahl der durchgeführten Wiederfangverfahren kann variieren. In der Regel wird das Wiederfangverfahren einmal (2-Punktmethode) oder zweimal (3-Punktmethode) durchgeführt. Bei jedem Fang ist ein spezielles Markierungsmuster zu verwenden. Einen Schätzwert für die aktuelle Populationsgröße erhält man, wenn man die ermittelten Daten ins Verhältnis setzt. Realexperiment und Simulation Für den schulischen Kontext ist die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes ein gutes Beispiel, um den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren. Das zur Verfügung gestellte Arbeitsblatt soll den Schülerinnen und Schülern eine möglichst selbstständige Auseinandersetzung mit der Problematik ermöglichen. Das beschriebene Modellexperiment ("Bonbons aus einem Eimer fischen") erlaubt es, sich zunächst nichtvirtuell als "Fänger und Wiederfänger" im Klassenzimmer zu probieren. Für eine intensivere explorative Beschäftigung mit der Thematik wird die Simulationsumgebung "Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... " zur Verfügung gestellt, die das Durchführen des Fang-Wiederfang-Verfahrens in Abhängigkeit der Parameter Anzahl der vorhandenen Individuen (in diesem Fall Hasen) Anzahl der aufgestellten Fallen Anzahl der Wiederfänge in kurzer Zeit erlaubt. Eine kleine Gebrauchsanwesiung für die Installation und die Nutzung der Simulationsumgebung, ausgestattet mit vielen Screenshots, ermöglicht eine selbstständige Arbeit der Schülerinnen und Schüler mit dem Programm. Unterrichtsverlauf "Modellbildung zur Schätzung eines Populationsbestandes" Eine Variante der Unterrichtsdurchführung könnte darin bestehen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen einzuteilen (jeweils zwei bis drei Lernende pro Gruppe) und ihnen das Arbeitsblatt mit den Fragestellungen 1-3 zur Verfügung zu stellen. Den Lernenden wird ausreichend Zeit eingeräumt (etwa 15-20 Minuten), um sich mit der Problematik auseinander zu setzen. Nach der Diskussion der Vor- und Nachteile der von den Schülerinnen und Schülern entworfenen Lösungen kann (falls das Fang-Wiederfang-Verfahren nicht bereits erwähnt oder inhaltlich beschrieben wurde) als weitere Methode das Fang-Wiederfang-Verfahren vorgestellt und mithilfe des Wassereimer-Bonbon-Modells simuliert werden. Im Anschluss daran werden den Schülerinnen und Schülern die Aufgaben 4 bis 6 des Aufgabenblattes und die Simulationsumgebung mit der Bedienungsanleitung für das weitere explorative Arbeiten zur Verfügung gestellt. Die Sequenz endet mit einer Diskussion der gewonnenen Ergebnisse. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die Bedeutung von Schätzverfahren für alltägliche Problemstellungen am Beispiel des Fang-Wiederfang-Verfahrens exemplarisch kennen. können den Modellcharakter des Fang-Wiederfang-Verfahrens erkennen und insbesondere die Grenzen dieses Modells beschreiben. erkennen, dass das Fang-Wiederfang-Verfahren mathematisch mithilfe von Verhältnisgleichungen beschrieben werden kann. erfahren, dass sich Zustände und Prozesse aus ihrem unmittelbaren Lebensumfeld, aus Natur und Technik, teilweise mit einfachen Mitteln (abstrakt) modellhaft veranschaulichen lassen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sich selbstständig unter Nutzung einer Dokumentation in die Arbeit mit der vorgegebenen Simulationsumgebung ein. können die gegebene Simulation explorativ zur Beantwortung auch selbst gestellter Fragen nutzen. erkennen, dass Simulationen als Mittel zum Erkenntnisgewinn dienen können. wissen, dass Simulationen als didaktische Mittel zur Veranschaulichung von ausgewählten Modellen eingesetzt werden können. Für den schulischen Kontext ist die Modellierung zur Schätzung eines Populationsbestandes ein gutes Beispiel, um den Prozess der Modellbildung und die Qualität von Modellen zu diskutieren. Das zur Verfügung gestellte Arbeitsblatt soll den Schülerinnen und Schülern eine möglichst selbstständige Auseinandersetzung mit der Problematik ermöglichen. Das beschriebene Modellexperiment ("Bonbons aus einem Eimer fischen") erlaubt es, sich zunächst nichtvirtuell als "Fänger und Wiederfänger" im Klassenzimmer zu probieren. Für eine intensivere explorative Beschäftigung mit der Thematik wird die Simulationsumgebung "Wenn der Förster seine Hasen zählen will ... " zur Verfügung gestellt, die das Durchführen des Fang-Wiederfang-Verfahrens in Abhängigkeit der Parameter Anzahl der vorhandenen Individuen (in diesem Fall Hasen) Anzahl der aufgestellten Fallen Anzahl der Wiederfänge in kurzer Zeit erlaubt. Eine kleine Gebrauchsanwesiung für die Installation und die Nutzung der Simulationsumgebung, ausgestattet mit vielen Screenshots, ermöglicht eine selbstständige Arbeit der Schülerinnen und Schüler mit dem Programm. Eine Variante der Unterrichtsdurchführung könnte darin bestehen, die Schülerinnen und Schüler in Gruppen einzuteilen (jeweils zwei bis drei Lernende pro Gruppe) und ihnen das Arbeitsblatt mit den Fragestellungen 1-3 zur Verfügung zu stellen. Den Lernenden wird ausreichend Zeit eingeräumt (etwa 15-20 Minuten), um sich mit der Problematik auseinander zu setzen. Nach der Diskussion der Vor- und Nachteile der von den Schülerinnen und Schülern entworfenen Lösungen kann (falls das Fang-Wiederfang-Verfahren nicht bereits erwähnt oder inhaltlich beschrieben wurde) als weitere Methode das Fang-Wiederfang-Verfahren vorgestellt und mithilfe des Wassereimer-Bonbon-Modells simuliert werden. Im Anschluss daran werden den Schülerinnen und Schülern die Aufgaben 4 bis 6 des Aufgabenblattes und die Simulationsumgebung mit der Bedienungsanleitung für das weitere explorative Arbeiten zur Verfügung gestellt. Die Sequenz endet mit einer Diskussion der gewonnenen Ergebnisse.