Die Würfel sind gefallen - Zufallsexperimente mit Excel
Unterrichtseinheit
In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Zufallsexperimente berechnen die Schülerinnen und Schüler die absoluten und relativen Häufigkeiten der Augensummen beim Werfen zweier Würfel mit dem Spiele-Klassiker Monopoly und einer Excel-Simulation des Zufallsexperimentes.Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik erscheinen den Schülerinnen und Schülern in der Jahrgangsstufe 12 zunächst als willkommene Abwechslung zur "ewigen Kurvendiskutiererei". Die Akzeptanz lässt jedoch schnell nach, da nur wenig als gegeben oder gar als Regel dingfest gemacht werden kann - Stochastik erscheint den Lernenden schnell als zu diffus. Ihr Trumpf ist dennoch die Realitätsnähe und der Bezug zum Alltag. So wurde diese Unterrichtseinheit bereits in der Praxis erproblt, indem in einem Grundkurs das gesamte Thema mit empirischen Untersuchungen zum Roulette sowie zu Karten- oder auch Brettspielen mit Würfeln (Monopoly) durchgespielt wurde. Die Schülerinnen und Schüler erhielten ihre Arbeitsaufträge und die Excel-Datei zur Prüfung einer Hypothese durch Simulation von Zufallsversuchen über den virtuellen Klassenraum von lo-net, dem Lehrer-Online-Netzwerk. Diese "coole" Art des Unterrichtens hatte sich in diesem Mathematikkurs bereits bewährt und kam bei den Lernenden gut an.Der Mathematik hängt in der Sekundarstufe II allzu häufig der Ruf der toten Materie, der einsamen und mühsamen Berechnungen an - Schülerinnen und Schüler fragen häufig: "Was bringt mir das?" und "Wofür brauche ich das?". Daher ist es wichtig zu zeigen, dass Mathematik durchaus realitätsnahe Aspekte aufweist. Gerade mit der Stochastik kann man dabei wieder Schülerinnen und Schüler motivieren, die man in der Kurvendiskussion vielleicht schon abgehängt zu haben glaubte oder die sich selbst bereits aufgegeben hatten. Erstaunlicherweise ist es immer wieder gerade diese Schülergruppe, die bei realitätsnahen Szenarien zu unerwarteten Spitzenleistungen aufläuft. "Monopoly-real" und virtuelles Würfeln mit Excel Die Schülerinnen und Schüler stellen eine Hypothese auf, welche Augenzahlen beim Werfen zweier Würfel am häufigsten zu erwarten sind, testen diese beim Monopoly-Spiel empirisch und bestätigen Sie schließlich mithilfe einer Excel-Simulation. Excel-Vorkenntnisse Falls die Schülerinnen und Schüler keine Excel-Vorkenntnisse haben, sollten Sie ihnen eine Einführung in das Programm nicht vorenthalten. Die Lernenden besitzen meist nämlich keine Vorstellung, welch vielfältige Möglichkeiten Excel bietet. Als Einführung in das Programm haben die Schülerinnen und Schüler im Rahmen einer Doppelstunde wichtige "stochastische" Funktionen, wie zum Beispiel der Gebrauch der F9-Taste (Simulation), kennen gelernt. Entwicklung der Hypothese und Realexperiment Beim realen "Würfeln mit zwei Würfeln und Zählen der Augenzahl" ging es darum, empirisch die Hypothese zu bestätigen, die die Schülerinnen und Schüler zu Beginn des Unterrichts aufgestellt haben: Sie erwarteten, dass die Augenzahlen 6, 7 oder 8 im Rahmen eines 30-maligen Würfelns am häufigsten fallen würden, da diese aus den meisten Kombinationsmöglichkeiten gebildet werden können. Die Schülerinnen und Schüler spielten dann in mehreren Gruppen Monopoly. Sie protokollieren zur Prüfung ihrer Hypothese alle Würfe und bestimmten die absolute und relative Häufigkeit der Ereignisse "die Augensumme 6 wird gewürfelt", "die Augensumme 7 wird gewürfelt" oder die "Augensumme 8 wird gewürfelt". Die Lernenden erkannten, dass die Spielentwickler bei den Abständen von Feldern, auf denen man etwas bezahlen oder tun muss (zum Beispiel eine Ereigniskarte ziehen), offensichtlich statistische Phänomene ins Kalkül gezogen haben: So landet man zum Beispiel vom Start oder vom Gefängnis aus besonders häufig auf einem Gemeinschafts- oder Ereignisfeld. Simulation von Zufallsexperimenten mit Excel Augenzahlen beim Würfeln Mit einer Excel-Datei (wuerfelexperiment.xls), die den Lernenden im Dateiaustausch des virtuellen Klassenraums von lo-net zur Verfügung gestellt wurde, haben die Schülerinnen und Schüler ihre Zufallsversuche in größerem Maßstab fortgesetzt. Dazu haben sie die Datei heruntergeladen und die Simulation des 30-maligen Würfelns mit zwei Würfeln zehnmal simuliert (insgesamt sollte die Klasse etwa 7.000 Würfe simulieren). Das Arbeitsblatt mit entsprechenden Anweisungen (siehe Downloadbereich) wurde ebenfalls im Dateiaustausch des virtuellen Klassenraums hinterlegt.Die Schülerinnen und Schüler können am Beispiel des Würfelns die Begriffe Ergebnisraum, Ereignis und Zufallsgröße X kennen lernen und anwenden. können den Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit kennen und kombinatorisch begründen, warum sie beim Wurf zweier Würfel auf die Augenzahlen 6, 7 oder 8 setzen würden. können mithilfe von Excel einen Zufallsversuch simulieren und Auffälligkeiten erläutern. kennen die Begriffe Wahrscheinlichkeit und Laplace-Versuch. können das "Empirische Gesetz der großen Zahl" kennen und begründen. Falls die Schülerinnen und Schüler keine Excel-Vorkenntnisse haben, sollten Sie ihnen eine Einführung in das Programm nicht vorenthalten. Die Lernenden besitzen meist nämlich keine Vorstellung, welch vielfältige Möglichkeiten Excel bietet. Als Einführung in das Programm haben die Schülerinnen und Schüler im Rahmen einer Doppelstunde wichtige "stochastische" Funktionen, wie zum Beispiel der Gebrauch der F9-Taste (Simulation), kennen gelernt. Beim realen "Würfeln mit zwei Würfeln und Zählen der Augenzahl" ging es darum, empirisch die Hypothese zu bestätigen, die die Schülerinnen und Schüler zu Beginn des Unterrichts aufgestellt haben: Sie erwarteten, dass die Augenzahlen 6, 7 oder 8 im Rahmen eines 30-maligen Würfelns am häufigsten fallen würden, da diese aus den meisten Kombinationsmöglichkeiten gebildet werden können. Die Schülerinnen und Schüler spielten dann in mehreren Gruppen Monopoly. Sie protokollieren zur Prüfung ihrer Hypothese alle Würfe und bestimmten die absolute und relative Häufigkeit der Ereignisse "die Augensumme 6 wird gewürfelt", "die Augensumme 7 wird gewürfelt" oder die "Augensumme 8 wird gewürfelt". Die Lernenden erkannten, dass die Spielentwickler bei den Abständen von Feldern, auf denen man etwas bezahlen oder tun muss (zum Beispiel eine Ereigniskarte ziehen), offensichtlich statistische Phänomene ins Kalkül gezogen haben: So landet man zum Beispiel vom Start oder vom Gefängnis aus besonders häufig auf einem Gemeinschafts- oder Ereignisfeld. Augenzahlen beim Würfeln Mit einer Excel-Datei (wuerfelexperiment.xls), die den Lernenden im Dateiaustausch des virtuellen Klassenraums von lo-net zur Verfügung gestellt wurde, haben die Schülerinnen und Schüler ihre Zufallsversuche in größerem Maßstab fortgesetzt. Dazu haben sie die Datei heruntergeladen und die Simulation des 30-maligen Würfelns mit zwei Würfeln zehnmal simuliert (insgesamt sollte die Klasse etwa 7.000 Würfe simulieren). Das Arbeitsblatt mit entsprechenden Anweisungen (wuerfelexperiment.pdf) wurde ebenfalls im Dateiaustausch des virtuellen Klassenraums hinterlegt. Spielkarten Durch die Erfahrung und Erkenntnis aus dem Würfelspiel sensibilisiert, sollten die Schülerinnen und Schüler nun begründen, ob sie beim Ziehen von Karten aus einem Kartenspiel eher auf Bild oder auf As setzen würden. Die Antwort: Natürlich Bilder, denn davon sind mehr (12) vorhanden als Asse (4). Anhand einer Tabelle sollten die Schülerinnen und Schüler dann die relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse bestimmen. Auf diesem Wege haben sie das "Empirische Gesetz der großen Zahl" kennen gelernt. Eine spielerische und empirische Einführung der Stochastik in einem Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 steht keineswegs im Gegensatz zu einem oberstufengerechten Unterricht, der Selbstständigkeit und Eigenverantwortung fördern soll. Die Schülerinnen und Schüler haben viel aus dem Unterricht mitgenommen und sich bei der weiteren Behandlung des Unterrichtsstoffes als strategiereich und argumentativ "gefestigt" gezeigt. Es mussten hier wesentlich mehr Argumente gegen eine falsche, wenn auch gut begründete, Lösung gesetzt werden als noch in der Kurvendiskussion! Der Einsatz einer Excel-Simulation erwies sich als Gewinn: Stochastische Zufallsversuche konnten n-mal simuliert und dadurch sehr anschaulich gezeigt werden, was man zuvor bereits empirisch erfahren hatte.