Mit der ersten Tabellenkalkulation VisiCalc für den Apple II begann 1979 der Siegeszug des Personalcomputers. Tabellenkalkulationen sind sehr mächtige Werkzeuge, die nicht nur mit Zahlen rechnen und Texte verarbeiten, sondern auch Daten verwalten und visualisieren können. Die Einsatzfelder für den Unterricht reichen von der Schulverwaltung über den kaufmännischen Unterricht bis hin zum naturwissenschaftlich-technischen Bereich. Mit Tabellenkalkulationen kann man Notenlisten aufstellen und berechnen, Stundenpläne erstellen, Rechnungen schreiben, Buchbestände verwalten, Daten präsentieren, einfache Formeln berechnen oder komplizierte Auswertungen vornehmen. Wenn das Tabellenblatt einmal vorbereitet ist, lässt sich dies alles sehr schnell und ohne mathematischen oder programmiertechnischen Ballast umsetzen. Für viele dieser Aufgaben gibt es Spezialprogramme, die leichter bedienbar und auf ihrem Gebiet leistungsfähiger sind, aber auch Geld und Einarbeitungszeit kosten. Dagegen sind Tabellenkalkulationen vielseitiger, leicht erlernbar und gleichzeitig in ihren Grundfunktionen ausgereift, ihre Kenntnis ist somit langfristig nützlich. Welche Tabellenkalkulation man verwendet, spielt für Schulen keine große Rolle, da sich die großen Programme in ihren Grundfunktionen kaum unterscheiden. Dabei stellen Tabellenkalkulationen kaum Ansprüche an die Hardware und sind für alle Betriebssysteme kostenlos verfügbar, zum Beispiel OpenCalc als Teil von OpenOffice. Zellen und Bezüge Eine Tabellenkalkulation besteht aus tabellenförmig angeordneten Zellen. Jede Zelle hat eine eindeutige Adresse, zum Beispiel C5 . Der Inhalt einer Zelle kann aus Zahlen, Text oder Funktionen (Formeln) bestehen. Eine Zahl ist pro Zelle einsetzbar, wobei diese sich vielfältig präsentieren, zum Beispiel als Datum oder Zeit. Die Texte können ähnlich wie in einer Textverarbeitung formatiert werden, wenn auch mit Einschränkungen. Funktionen verarbeiten die Inhalte (Texte oder Zahlen) aus anderen Zellen. Es werden zahlreiche mathematische, logische und textliche Funktionen angeboten, die beliebig kombiniert werden können und so jede Auswertung ermöglichen. Die Schreibweise der Funktionen lehnt sich an die manuell gewohnte Schreibweise an und wird durch Assistenten unterstützt. Sie ist leicht erlernbar. Rechnungen und Darstellung Die Berechnungen erfolgen automatisch. Sobald ein Eingangswert geändert wird, passen sich alle abhängigen Ergebnisse sofort an. Alle Zahlen und Rechenergebnisse können in verschiedenen Diagrammtypen visualisiert werden. Auch die Diagramme reagieren sofort auf Änderung der Daten. Allzweckprogramm Über die Zellen können weitere Elemente gelegt werden, zum Beispiel Diagramme, Bilder, Zeichnungen, Flussdiagramme, ClipArts, WordArts, Formeln aus dem Formeleditor, Java-Applets et cetera. Die Entwicklung der "großen" Tabellenkalkulationen tendiert zu Allzweckprogrammen. Aktuelle Versionen können schon Musik- und Filmdateien einbinden und abspielen. Auf den folgenden drei Unterseiten werden die verschiedenen Möglichkeiten des Einsatzes der Tabellenkalkulation im Unterricht dargestellt. Zu den einzelnen Bereichen und Funktionen werden Beispiele aus der Unterrichtspraxis benannt und verlinkt. Merkmale und Unterrichtseinsatz (1) Inhalt: Kombination von Zahlen, Texten und Daten; Tabellenstruktur; Funktionen Merkmale und Unterrichtseinsatz (2) Inhalt: Vorbereitete Tabellenblätter; Serienweise und iterative Berechnungen durch Kopieren von Funktionen Merkmale und Unterrichtseinsatz (3) Inhalt: Diagramme; Tabellenblätter als Standard; Plakate drucken; Weitere Funktionen Unterrichtseinheiten Hier finden Sie eine Übersicht der Unterrichtseinheiten aus den verschiedenen Portalen bei Lehrer-Online zum Einsatz von Tabellenkalkulationen. Das Wort Tabellenkalkulation deutet auf Rechnen mit Zahlen und Datenbanken hin. Tabellenkalkulationen können aber auch Texte verarbeiten und Daten visualisieren. Keine dieser Fähigkeiten ist so ausgeprägt wie auf diese Funktionalitäten spezialisierte Programme, aber für viele Zwecke und Anwendungen ausreichend. Wenn eine Kombination der Fähigkeiten gefragt ist, die an Textverarbeitung oder Datenbank keine hohen Ansprüche stellt, oder Berechnungen im Spiel sind, ist in aller Regel eine Tabellenkalkulation zu bevorzugen. So entfallen auch der Einarbeitungsaufwand und die Kosten für mehrere spezielle Programme. Rechnungen: Mit einer Tabellenkalkulation können Sie Briefkopf und Rechnungstext schreiben, Preise aus einer Preisliste übernehmen und Bruttopreise, umsatzabhängige Rabatte oder Rechnungsbeträge errechnen und zuletzt alles ausdrucken. Klassenverwaltung: Legen Sie eine Klassenliste in einer Tabellenkalkulation an. Daraus können Sie automatisch Listen für Noten, Sammelbestellungen, Schülerzusatzversicherungen oder ähnliches erstellen. In die Notenliste müssen Sie nur noch Noten und die Gewichtungsfaktoren eingeben, die Durchschnitte ermittelt die Tabellenkalkulation. Sie können auch die zu den Verrechnungspunkten gehörigen Notenpunkte aus einer anderen Tabelle heraussuchen. Mit ihrer tabellarischen Struktur sind Tabellenkalkulationen wie geschaffen für alle Formen von Tabellen, Listen, Formularen oder ähnliches (siehe Abbildung 1). Dabei ist man nicht an das strenge rechteckige Raster gebunden, sondern kann es durch Zusammenfassen von Zellen verbergen. Gegenüber Tabellen in Textverarbeitungen sind Tabellenkalkulationen unproblematischer zu handhaben und in ihrer Größe kaum beschränkt. Sie können Daten aus anderen Tabellen übernehmen, nummerieren, sortieren, Zellen inhaltsabhängig automatisch einfärben oder aussortieren, Verrechnungspunkte in Notenpunkte ummünzen, Postleitzahlen mit dem Ortsnamen ergänzen und die Daten auswerten beziehungsweise weiter verarbeiten. Dabei sind die Ausdrucke von Tabellenkalkulationen nicht auf die Blattgröße des Druckers beschränkt. Stundenpläne, Raumbelegungspläne, Klassenlisten, Notenlisten Bestandslisten, Preislisten Kalender Formulare Mit Funktionen oder Formeln sind hier Anweisungen zur Verarbeitung von Zahlen und Texten gemeint, die eine Tabellenkalkulation verstehen kann. Sie sind nicht zu verwechseln mit Formeln, die mit einem Formeleditor für den Ausdruck gesetzt werden. Solche Formeln kann man zwar auch in eine Tabellenkalkulation einbinden, aber sie können von ihr nicht gelesen werden. Gängige Tabellenkalkulationen bieten ein umfangreiches Repertoire an Funktionen zur Verarbeitung von Zahlen, Texten und Daten zur Verfügung. Dazu gehören: Betriebswirtschaftliche und naturwissenschaftlich-mathematische Formeln (zum Beispiel Zins, Abschreibung, Winkelfunktionen, Matrizenrechnung, Statistik) Logische Entscheidungen (zum Beispiel wenn .. dann .. sonst ..): Viele Funktionen von Tabellenkalkulationen machen ihre Tätigkeit von Bedingungen abhängig, denn nur so können Auswertungen wirklich flexibel sein. Funktionen zur Manipulation von Texten: Während eine Textverarbeitung eigentlich nur das Aussehen eines Textes verändert, behandelt eine Tabellenkalkulation Texte als Zeichenketten, die zerstückelt und zusammengesetzt werden können. Für ein Sprachübersetzungsprogramm wird es nicht reichen, aber eine Anrede an das Geschlecht des Adressaten anzupassen, ist möglich. Funktionen von Datum und Zeit: Tabellenkalkulationen können auch mit Datum und Zeit rechnen. Dies kann für eine Lohnabrechnung genutzt werden. Funktionen zum Anlegen und Auslesen von Datenbanken. Wenn eine Funktion nicht vorhanden ist, kann sie aus den vorhandenen Funktionen kombiniert werden. Der Komplexität der Kombinationen sind kaum Grenzen gesetzt. Alle Funktionen können Eingabewerte aus anderen Zellen verarbeiten. Wird ein Eingabewert geändert, passen sich die Ergebnisse aller abhängigen Funktionen sofort an (Abbildung 2 bitte anklicken). Das gilt auch für die Diagramme, die Ein- und Ausgangswerte grafisch darstellen. Man kann also Tabellenblätter erstellen, in denen sehr komplexe Auswertungen sofort nach Eintrag der Eingangsdaten erfolgen. Wenn diese Tabellenblätter vorbereitet sind, können die Schülerinnen und Schüler ohne umfangreiche Mathe- und Programmierkenntnisse sehr einfach und schnell viele Auswertungen vornehmen. Die Tabellenblätter lassen sich so schützen, dass Lernende keine Formeln löschen können. Notenlisten mit Berechnung der Durchschnittsnote: Dabei ist es auch möglich, die Noten zu gewichten, die schlechteste Note aus der Wertung zu nehmen oder ähnliches. Statistik: Auswertung normalverteilter Messreihen nach allen denkbaren Gesichtspunkten. Eine Stärke von Tabellenkalkulation sind gleich bleibende Berechnungen mit wechselnden Eingangsdaten. Neben der händischen Änderung der Eingangsdaten kann man Formeln auch leicht kopieren. Je nach Art der Adressierung können die Eingangsdaten aus feststehenden oder fortlaufenden Zellen entnommen werden. Die fortlaufenden Zellen können einer Tabelle entstammen, zum Beispiel einer Preisliste oder Zahlenreihe, die man automatisch erzeugt. Man kann auch iterative Verfahren durchführen, indem man die Ergebnisse der jeweils letzten Formel als Eingangswert für die neue Formel verwendet. (Abbildung 3 bitte anklicken, Animation zur Darstellung eines Funktionsverlaufs) Kopierte Formeln mit Eingangswerten aus Zahlenreihen kann man verwenden, um viele Punkte eines Funktionsverlaufes zu berechnen und anschließend grafisch darzustellen. Kopierte Formeln mit Eingangswerten aus Tabellen sind geeignet, um Bruttopreise zu einer langen Liste von Nettopreisen zu berechnen. Mit iterativen Formeln kann man Zinseszinsen berechnen, Nullstellen ermitteln, Populationsdynamiken simulieren, Differentialgleichungen näherungsweise lösen oder ähnliches. Die iterative Zinseszinsberechnung mit sehr einfachen Formeln öffnet dem Lernenden das Tor zur Welt der numerischen Mathematik und ermöglicht neue Ansätze im Unterricht. Mit Tabellenkalkulationen können Daten auch visualisiert werden. Geboten werden vor allem die in geschäftlichen Bereichen üblichen Darstellungen. Säulen (zum Beispiel für Histogramme oder Paretodiagramme) Balken (zum Beispiel für Gantt-Diagramme) Linien Kreise (zum Beispiel für Tortendiagramme) Punkte (zum Beispiel für Streudiagramme) Netze (zum Beispiel für Radarbilder) 6.2. Graphen und Funktionsverläufe XY-Wertepaare können als Punkte oder als Linienzüge dargestellt werden. Da die Wertepaare schnell durch Kopieren einer Funktion erzeugt werden können, eignen sich Tabellenkalkulationen gut, um Funktionsverläufe darzustellen. Mit XY-Wertepaaren und Linienzügen können mit etwas Aufwand viele weitere grafische Darstellungen erzeugt werden, zum Beispiel: Spannungs-Dehnungs-Diagramme Zustandsdiagramme von Zweistofflegierungen grafische Lösungen von Statikaufgaben T,s-Diagramm von Wasser Die Vorteile von Tabellen sind so offensichtlich, dass viele Programme Daten als Tabellenblätter im- und exportieren können oder sogar in Tabellenblättern verwalten. Hier wird meistens das Format von MS-Excel verwendet, weil es den größten Verbreitungsgrad hat. MS-Outlook kann seine Adressdaten als Tabellenblatt exportieren. Das CAD-Programm Inventor von Autodesk kann Konstruktionsdaten in Excel-Tabellen verwalten. So ist es möglich, eine Konstruktion, die einmal erstellt wurde, durch Änderung der Maße innerhalb der Excel-Tabelle in verschieden Baugrößen zu konstruieren. Wenn große Tabellen ausgedruckt werden, teilen Tabellenkalkulationen die Tabellen in für den Drucker handliche Größen. Das klappt nicht nur mit Tabellen, sondern unter anderem auch mit eingefügten Bildern. Man kann also mit gewöhnlichen Druckern große Plakate erzeugen, die man allerdings zusammenkleben muss. Wem dies alles noch nicht genügt, dem stellen die gängigen Tabellenkalkulationen noch zusätzliche Hilfen in Form von Zirkelbezügen, Szenarien, Mehrfachbezügen, Pivottabellen und nicht zuletzt vielseitige Makrosprachen zur Verfügung.

Der Einsatz der Mittelwertfunktion bei der Tabellenkalkulation bildet eine Grundlage in den kaufmännischen Berufen. Daher bietet sich die Durchführung dieser Unterrichtseinheit in kaufmännischen Berufsschulklassen, der Berufsvorbereitung und in der Sekundarstufe II an. Nachdem die Schülerinnen und Schüler die Grundlagen der Tabellenkalkulation, wie Menüaufbau und Formatierung, sowie einige Funktionen wie Addition, Multiplikation und Summenfunktion gelernt haben, wird im Unterricht mit der Mittelwertfunktion die Berücksichtigung verschiedener Fälle innerhalb einer Formel erarbeitet. Die Tabellenkalkulation hat für kaufmännische Ausbildungsberufe und den Bürobereich eine wichtige Bedeutung. Die Mittelwertfunktion wird in verschiedenen Kontexten alltäglich zur Lösung vieler Probleme angewendet. Der fachliche Schwerpunkt besteht in der Erarbeitung und Anwendung der Mittelwertfunktion. Methodisch steht zunächst die Arbeit mit dem Computer (Tabellenkalkulation) und dann die Präsentation der Ergebnisse im Vordergrund. Auf eine Kombination von mehreren Funktionen (zum Beispiel Bildung einer Summe aus mehreren Durchschnittswerten) wird aus Gründen der Reduktion verzichtet. Die Relevanz des Themas ergibt sich aus der Tatsache, dass die Mittelwertfunktion zur Lösung vieler Probleme, insbesondere zur Berechnung von Kennzahlen, verwendet wird. Unterrichtsablauf Die didaktisch-methodischen Überlegungen beinhalten den Einsatz der Arbeitsmaterialien, die auch im tabellarischen Verlaufsplan eingesehen werden können. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Syntax der Mittelwertfunktion erarbeiten und Anwendungsmöglichkeiten erkennen und diese bei entsprechenden Problemfällen anwenden. die Mittelwertfunktion auf neue Problemstellungen übertragen. ihre Präsentationsfähigkeit entwickeln, beziehungsweise erweitern. durch die praktische Arbeit beim Erstellen einer Tabelle ihre Computerkenntnisse verbessern. Thema Mittelwertfunktion in der Tabellenkalkulation Autor Marius Mucyn Fach Wirtschaftsinformatik, Organisationslehre Zielgruppe kaufmännische Berufsschule, Berufsvorbereitung, Höhere Handelsschule, Wirtschaftsgymnasium Zeitumfang 1 Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen ein Computer für 2 Schülerinnen und Schüler, Tabellenkalkulatinsprogramm, Beamer Planung Mittelwertfunktion in Excel Die Problemstellung ist aus dem beruflichen Alltag der fiktiven Mediaworld e.K. gewählt. Das Beispiel kann auch im Hinblick auf eine andere Produktpalette variiert werden. Die Einstiegsfolie wird den Lernenden gezeigt und soll zum Gespräch anregen. Die Lehrkraft moderiert die Beschreibungen und die Diskussion. In Einzelarbeit sollen sich die Schülerinnen und Schüler über die Mittelwertfunktion informieren. In dieser Unterrichtsstunde wird mit MS-Excel gearbeitet. Es kann natürlich auch eine andere Tabellenkalkulationssoftware (zum Beispiel StarOffice- oder OpenOffice-Calc) gewählt werden. In diesem Fall müssen die Arbeitsblätter darauf abgestimmt werden. Im Anschluss an die Einzelarbeit erarbeiten die Lernenden die Syntax der Mittelwertfunktion im Plenum. Die Ergebnisse werden an der Tafel fixiert. Im Anschluss daran wird die Funktion auf die Problemstellung der Einstiegsfolie übertragen. Am Computer sollen die Lernenden dann die Funktion und die Werte in MS-Excel erstellen. Am Ende der Stunde sollen die Ergebnisse präsentiert werden. Ein oder mehrere Schülerinnen und Schüler tragen die Lösungen vor, die dann auf dem Aufgabenblatt festgehalten werden.

In dieser Unterrichtseinheit zur Wenn-Funktion in der Tabellenkalkulation erlernen die Schülerinnen und Schüler anhand eines Fallbeispiels, wie verschiedene Fälle in Abhängigkeit einer Bedingung dargestellt werden können.Die Unterrichtseinheit "Wenn-Funktionen in der Tabellenkalkulation" bietet sich für die Durchführung in kaufmännischen Berufsschulklassen, in der Höheren Handelsschule und im Wirtschaftsgymnasium an. Nachdem die Schülerinnen und Schüler Grundlagen der Tabellenkalkulation mit Excel gelernt haben, wird im Unterricht mit der Wenn-Funktion die Berücksichtigung verschiedener Fälle innerhalb einer Formel erarbeitet. Mithilfe der einfachen Wenn-Funktion werden die Schülerinnen und Schüler in Abhängigkeit einer Bedingung zwei verschiedene Fälle unterscheiden. Aufbauend darauf werden sie mittels der verschachtelten Wenn-Funktion lernen, drei oder mehr Fälle zu berücksichtigen. Die Unterrichtseinheit baut auf dem Fallbeispiel auf, dass ein Unternehmen, die Paletto GmbH, seinen Kunden unter bestimmten Bedingungen Rabatte in unterschiedlicher Höhe gewährt. Die Rabattberechnung wird sukzessive verfeinert.Die Unterrichtseinheit "Wenn-Funktionen in der Tabellenkalkulation" dient dazu, die vorab erworbenen Kenntnisse im Bereich der Tabellenkalkulation zu erweitern und auf eine kaufmännische Problemstellung anzuwenden, die an Inhalte des Betriebswirtschaftslehre- beziehungsweise Rechnungswesenunterrichts anknüpft. Unterrichtsablauf "Wenn-Funktionen in der Tabellenkalkulation" Aufgabenbearbeitung am PC Zur Erarbeitung werden strukturierte Arbeitsblätter eingesetzt, da die Lerninhalte der Stunde zu komplex sind, als dass die Schülerinnen und Schüler die Problemlösung ohne eine schrittweise Anleitung bewältigen könnten. Zugleich schafft die Erarbeitung über Arbeitsblätter aber auch den für einen nachhaltigen Lerneffekt benötigten Freiraum, möglichst viel selbstständig am Computer auszuprobieren. Verbalisierung der Lerninhalte Um die Problemstellung, den jeweiligen Mengenrabatt mittels einer Wenn-Funktion zu ermitteln, lösen zu können, dient das fragend-entwickelnde Unterrichtsgespräch, da ein Teil der Schülerinnen und Schüler überfordert wäre, wenn sie die Wenn-Funktion und die mit ihr verbundene Auswahlstruktur nur unter Verwendung einer schriftlich fixierten Arbeitsanweisung eigenständig erarbeiten sollten. Die sprachliche Formulierung der Lösungsansätze lässt die Sachverhalte für die Schülerinnen und Schülern anschaulicher und nachvollziehbarer erscheinen. Ergebnispräsentation Die Präsentation der Ergebnisse der Einzel-/Partnerarbeit erfolgt unter Einsatz eines Beamers. Diese methodische Vorgehensweise garantiert für alle Schülerinnen und Schüler eine sehr anschauliche Präsentation, da sie die Lösung an der Leinwand direkt nachvollziehen können. Wiederholung in Heimarbeit Die Zusammenfassung und Verbalisierung der Einzel-/Partnerarbeitsergebnisse am white board soll den leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern insofern eine zusätzliche Hilfe sein, dass sie zu Hause die Thematik mittels ihrer schriftlichen Aufzeichnungen wiederholen können. Vertiefende Übungen Unter Reduktionsaspekten ist die Aufgabe so konstruiert, dass die Frage der Kopierfähigkeit der erarbeiteten Wenn-Funktionen nicht zwingend thematisiert werden muss, wenngleich absolute Zellbezüge (zum Beispiel bei der Bestellmenge) im Hinblick auf eventuell später zu vollziehende Änderungen innerhalb der Abrechnungstabelle sinnvoll erscheinen mögen. Eine Integration dieser Aspekte sollte in den nächsten Unterrichtsstunden im Rahmen vertiefender Übungsaufgaben erfolgen. Mehrfach verschachtelte Wenn-Funktion Die als didaktische Reserve gekennzeichnete Aufgabenstellung zur mehrfach verschachtelten Wenn-Funktion wird - je nach Leistungsstärke der Lerngruppe - entweder in derselben oder in der nachfolgenden Unterrichtseinheit eingesetzt.Die Schülerinnen und Schüler entwerfen anhand einer Ausgangssituation aus der Berufspraxis eine übersichtliche Tabelle mit Hilfe des Tabellenkalkulationsprogramms Excel. lernen die einfache Wenn-Funktion als Instrument für die Bearbeitung von zweiseitigen Auswahlentscheidungen kennen. erarbeiten die Syntax der einfachen Wenn-Funktion unter besonderer Berücksichtigung der Benutzung von Zelladressen zur Formulierung der Auswahlentscheidung. wenden die Wenn-Funktion zur Lösung einer berufnahen Problemstellung an. erkennen die verschachtelte Wenn-Funktion als Instrument für die Bearbeitung von komplexeren (mindestens dreiseitigen) Auswahlentscheidungen. ergänzen die vorhandene Abrechnungstabelle aufgrund einer vorgegebenen Fallsituation um zusätzliche Zeilen erweitern und um eine mehrfach verschachtelte Wenn-Funktion. setzen die verschachtelte Wenn-Funktion im Rahmen eines praxisnahen Fallbeispiels zur Problemlösung ein. Zur Erarbeitung werden strukturierte Arbeitsblätter eingesetzt, da die Lerninhalte der Stunde zu komplex sind, als dass die Schülerinnen und Schüler die Problemlösung ohne eine schrittweise Anleitung bewältigen könnten. Zugleich schafft die Erarbeitung über Arbeitsblätter aber auch den für einen nachhaltigen Lerneffekt benötigten Freiraum, möglichst viel selbstständig am Computer auszuprobieren. Um die Problemstellung, den jeweiligen Mengenrabatt mittels einer Wenn-Funktion zu ermitteln, lösen zu können, dient das fragend-entwickelnde Unterrichtsgespräch, da ein Teil der Schülerinnen und Schüler überfordert wäre, wenn sie die Wenn-Funktion und die mit ihr verbundene Auswahlstruktur nur unter Verwendung einer schriftlich fixierten Arbeitsanweisung eigenständig erarbeiten sollten. Die sprachliche Formulierung der Lösungsansätze lässt die Sachverhalte für die Schülerinnen und Schülern anschaulicher und nachvollziehbarer erscheinen. Die Präsentation der Ergebnisse der Einzel-/Partnerarbeit erfolgt unter Einsatz eines Beamers. Diese methodische Vorgehensweise garantiert für alle Schülerinnen und Schüler eine sehr anschauliche Präsentation, da sie die Lösung an der Leinwand direkt nachvollziehen können. Die Zusammenfassung und Verbalisierung der Einzel-/Partnerarbeitsergebnisse am white board soll den leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern insofern eine zusätzliche Hilfe sein, dass sie zu Hause die Thematik mittels ihrer schriftlichen Aufzeichnungen wiederholen können. Unter Reduktionsaspekten ist die Aufgabe so konstruiert, dass die Frage der Kopierfähigkeit der erarbeiteten Wenn-Funktionen nicht zwingend thematisiert werden muss, wenngleich absolute Zellbezüge (zum Beispiel bei der Bestellmenge) im Hinblick auf eventuell später zu vollziehende Änderungen innerhalb der Abrechnungstabelle sinnvoll erscheinen mögen. Eine Integration dieser Aspekte sollte in den nächsten Unterrichtsstunden im Rahmen vertiefender Übungsaufgaben erfolgen. Die als didaktische Reserve gekennzeichnete Aufgabenstellung zur mehrfach verschachtelten Wenn-Funktion wird - je nach Leistungsstärke der Lerngruppe - entweder in derselben oder in der nachfolgenden Unterrichtseinheit eingesetzt. Sigi Jakob - 20.06.07 Ich möchte hier ein ganz dickes Lob für die Autoren der Unterrichtseinheit "Wenn-Funktionen in der Tabellenkalkulation "aussprechen. Diese Einheit ist vorbildlich strukturiert, praxisbezogen und sofort umsetzbar - und dann auch noch die Lösungsblätter - da können alle Schulbücher eingepackt bleiben ;-) - ein Service auf dem "Silbertablett". Ich hoffe, dass möglichst viele Kollegen dies Einheiten nutzen werden, als moodle Admin unserer Schule stelle ich solche "Fundstellen" immer gleich ins Forum des "Lehrerzimmers". Die Arbeit von Lehrer online ist großartig!!!!!! Schöne Grüße aus Mannheim

In der Einheit "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" soll den Lernenden ein Einblick in das Denken in Strukturen aus der Informatik an einem aus dem Alltag bekannten Problem mit Strichcodes nahegebracht werden.Strichcodes sind auf allen Produkten zu finden; an der Kasse werden über Strichcodes Produkten Preise zugeordnet. Aber wie viele verschiedene Strichcodes gibt es eigentlich? Da gewisse Bedingungen an die Folge von schwarzen und weißen Strichen zu stellen sind, eignen sich Automaten aus der Informatik als Mittel, um hier kombinatorische Fragestellungen zu lösen. Das Thema "Fibonaccizahlen, Automaten und Strichcodes" im Unterricht Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe dieser Unterrichtseinheit Automaten kennenlernen. Sie üben sich außerdem im Umgang mit irrationalen Wurzeln und dem Satz des Pythagoras. Zudem gewinnen sie Einblick in die Lösung kombinatorischer Fragestellungen mit Automaten. Als Hilfsmittel wird dabei Excel (oder ein anderes Tabellenkalkulationsprogramm) verwendet. Vorkenntnisse Grundkenntnisse der Kombinatorik sind für diese Einheit nötig. Allerdings genügen hier schon die Kenntnis der Fakultät, so des Zählprinzips. Mithilfe dieser Grundlagen ist ein einfacher Einstieg in den Bereich möglich. Da Tabellenkalkulationen zur Bestimmung von Werten verwendet werden, sollte diese bekannt und der Umgang vertraut sein. Didaktische Analyse Gelingt es den Lernenden Darstellungen in Automaten in einer Tabellenkalkulation zu nutzen, um Anzahlen von Möglichkeiten zu bestimmen? Während das Mittel "Zustandsautomaten" den Schülerinnen und Schülern neu sein sollte, wird ihnen der Umgang mit Tabellenkalkulationen vertraut sein. Zustandsautomaten bei der bearbeitenden Fragestellungen sind leicht überblickbar. Deswegen eignet sich das Thema zum Kennenlernen dieses Mediums. Methodische Analyse Da die Schülerschaft viel in Anwesenheit der Lehrkraft erarbeiten soll, können Fragen zu verschiedenen Zeitpunkten möglich sein. Dies ist für Lernende motivierend, da sie wissen, dass ihnen bei Schwierigkeiten an der richtigen Stelle geholfen wird. Die Arbeiten außerhalb des Unterrichts werden in den darauffolgenden Stunden ausführlich besprochen, damit auch dort Rückmeldungen zu allen möglichen Schwierigkeiten erfolgen kann. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. verwenden mathematische Darstellungen und Darstellungen aus dem Fachbereich Informatik zu verwenden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation viele Werte bestimmen und darstellen kann. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in Gruppenarbeit ein. geben Hilfeleistungen und fragen nach individuellen Hilfen von anderen. Strichcodes im Alltag An jeder Einkaufskasse werden sie verwendet: Strichcodes. Die Kassiererin, die früher noch Preise in die Tastatur der Kasse eintippte, ist für viele Jugendliche eine Geschichte aus längst vergangener Zeit. In einer Discothek in Barcelona wird nicht mehr nur mit Barem bezahlt. Besucher können sich einen Chip implantieren lassen. Sobald sie eine Bestellung aufgeben, werden sie anhand ihres Chips erkannt und ihr Konto wird via Online-Banking belastet. Strichcodes - Folgen von schwarzen und weißen Strichen - codieren eindeutig, um welches Produkt beziehungsweise um welche Person es sich handelt. Wie viele Objekte können verschlüsselt werden? Aber wie viele verschiede Objekte kann man mit Codes verschlüsseln und wovon hängt diese Anzahl ab? Einen ersten Einblick liefert eine Reihe von schwarzen und weißen Feldern, wie sie in Abb. 1 dargestellt ist. Wenn nun zehn Felder verwendet werden - wie viele verschiedene Muster können entstehen, wenn nur die Farben schwarz und weiß verwendet werden dürfen? Die Antwort, 210, ist schnell gefunden. Jedes Feld hat zwei verschiedene Möglichkeiten. Jedes Feld kann beliebig an jedes Feld angehängt werden. Und deswegen ist pro Feld ein Faktor 2 zu berücksichtigen. Anforderungen an den Code Doch schon bei diesem einfachen Problem kommt schnell folgende Frage auf: Woran kann der Scanner, der die Abfolge schwarzer und weißer Felder entziffern soll, erkennen, ob es zwei oder drei schwarze Felder nebeneinander sind? Dasselbe Problem ergibt sich auch bei den weißen Feldern, denn die schwarzen Trennstriche zwischen den weißen Feldern treten bei Strichcodes nicht auf. Somit werden Bedingungen an den Code gestellt: Das erste und das letzte Feld müssen schwarz sein. Für die Zahl gleicher nebeneinanderliegender Felder muss eine Höchstgrenze festgelegt werden (zwei, drei, vier … ). Erweiterung Eine Erweiterung des Themas ergibt sich daraus, dass nicht nur "Schwarz und Weiß", sondern mehrere Farben für den Aufbau eines Codes zugelassen werden. Dass in diesem Zusammenhang die Fibonacci-Zahlen auftreten ist überraschend - weniger, dass mit Automaten und Zustandsübergängen Lösungen gefunden werden können. Und dass dabei Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel eine wunderbare Hilfe bieten, rundet die Thematik ab.

Mathematik- und Informatik-Unterricht kombiniert: In der Einheit "Statistik meets Wahrscheinlichkeitsrechnung" werden in erster Linie mithilfe von Simulationen am PC Daten zu Zufallsexperimenten erfasst. Als Ergänzung werden Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet, um Erwartungswerte und andere Größen bei solchen Experimenten zu berechnen. Mit dem Vergleichen der Werte aus der Datensammlung mit den theoretischen berechneten Werten soll ein tieferes Verständnis für die Größen gefördert werden."Es gibt für alles eine App" - aber einige Fragen lassen sich oft nur mit Programmieren beantworten. Der PC erzeugt Zufallszahlen, mit welchen man reale Experimente simulieren kann. Hat man ein Grundverständnis für dieses Programmieren, kann man schnell eigene Experimente modellieren und anschließend simulieren. Der Informatik-Unterricht sieht den Umgang mit Tabellenkalkulationen und einer Programmiersprache vor. Damit lassen sich auch Zufallsexperimente simulieren. Im Mathematik-Unterricht werden auch Methoden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten erarbeitet. In der Unterrichtseinheit werden Zufallsexperimente simuliert. Der Vergleich mit Daten aus der berechnenden Statistik schließt sich den Simulationen an. So kann das Material einerseits im Informatik-Unterricht eingesetzt werden - die Berechnungen können vorgestellt werden, um den simulierten Wert mit berechnetem zu vergleichen -, andererseits in der Mathematik, um die berechneten Werte mit Ergebnissen aus der Simulation zu vergleichen. Ein tieferes Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs und der Größe des Erwartungswertes stellt sich ein. Das Thema "Statistik meets Wahrscheinlichkeitsrechnung" im Unterricht Digitalisierung wird immer wichtiger - in der Mathematik haben viele Möglichkeiten der Statistik leider wenig Raum im Lehrplan finden können, da diese sehr vielfältig sind. Um den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeiten der Statistik näher zu bringen, sollen hier relativ einfache Probleme erarbeitet werden. Das Anwenden der statistischen Methoden an eigenen Daten soll eine Motivation darstellen, die vorgestellten Größen besser kennen zu lernen. Vorkenntnisse Grundlagen im Umgang mit einer Tabellenkalkulation beziehungsweise einer Programmiersprache sollten vermittelt worden sein. Werden nur fertiggestellte Simulationen in den letzten Klassen des Mathematikunterrichts eingesetzt, können Erwartungswert und Standardabweichung mithilfe der Simulationen nähergebracht werden. Didaktische Analyse Dem Zufall begegnet man täglich. Viele Wahrscheinlichkeitsaussagen werden mithilfe messbarer Größen vorhergesagt. Mit einer Wahrscheinlichkeitsaussage möchte man eine relative Häufigkeit voraussagen. Wie gut gelingt das? Es ist nicht möglich, eine sehr große Anzahl von Versuchsdurchführungen in überschaubarer Zeit in echt durchzuführen - deswegen wird simuliert. Einen Einblick, wie man mit dem PC simuliert und was man aus diesen Daten machen kann, sollen die Themen zeigen. Kombination aus Informatik- und Mathematik-Unterricht Erarbeitet man mit der Programmierung Simulationen, kann die Lösung der Mathe Arbeitsblätter verwendet werden, um relative Häufigkeiten mit berechneten Werten zu vergleichen. Auch umgekehrt: Erarbeitet man die Wahrscheinlichkeitsberechnungen, kann man mit Lösungen der Simulationen die berechneten Werte durch relative Häufigkeiten bei Simulationen prüfen. Methodische Analyse Die Themen müssen nicht alle und nicht chronologisch abgearbeitet werden. Ziel der Art der Aufbereitung ist es, an Stellen im eigenen Unterricht mit einem "Thema" zu ergänzen. Für Lernende der Abschlussklassen werden die kurz vorgestellten Größen im Zusammenhang mit Zufallsgrößen möglicherweise als theoretische Konstrukte empfunden - mit der Verwendung vieler Daten (ohne im Detail zu verstehen, wie der Rechner diese erarbeitet) können diese Größe in ihrer Bedeutung nähergebracht werden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können mathematisch argumentieren (K1). Probleme mathematisch lösen (K2). mathematisch modellieren (K3). können mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik und Informatik umgehen (K5). modellieren und implementieren (Informatik). kommunizieren und kooperieren (Informatik). darstellen und interpretieren (Informatik). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher am PC mit einer Tabellenkalkulation. verstehen, wie eine Tabellenkalkulation oder der PC viele Werte bestimmen und darstellen kann. erlernen den Umgang mit einer Programmiersprache. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich bei der Erarbeitung und der Präsentation von Inhalten und Ergebnissen in die Gruppenarbeit ein. werten Daten kritisch aus und kommentieren diese. geben selbst Hilfestellung oder fragen andere nach Hilfe.

In der Einheit "Differentialgleichungen" betrachten und interpretieren die Lernenden die Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen. Bei den aufzustellenden Funktionstermen und Übungsaufgaben stehen Bezüge zur Realität im Mittelpunkt, um Ableitungsregeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besser zu verstehen."Ableiten geht doch nach Schema F!" — Schnell wird beim Ableiten von Funktionen in den Hintergrund gestellt, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion besitzt. Diese Veränderung von Werten findet eine große Bedeutung im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, die eine Verbindung zwischen Funktionen und deren Ableitungen herstellen. Und das häufig in einem Kontext, den Schülerinnen und Schüler auch aus ihrer Erfahrungswelt in anderem Zusammenhang kennen. Ein wichtiger Aspekt sind hier Zunahmen und Abnahmen, die im Unterricht meist nur eine Anwendung bei linearer und exponentieller Veränderung finden können. Mit einfachen Differentialgleichungen lassen sich aber auch andere Veränderungen betrachten. Umfangreiches Wiederholen wird durch Betrachtungen zum Aufstellen unter anderem von Regressionsgeraden, Umgang mit einer Tabellenkalkulation und Grenzwerten abgeschlossen. Das Thema Differentialgleichungen im Unterricht Die Kenntnis von Ableitungsregeln und deren Anwendungen stellt ein wichtiges Fundament der Infinitesimalrechnung dar. Übungsanwendungen im Zusammenhang mit realen Bezügen sollen in der Unterrichtseinheit dazu dienen, Regeln zu üben und die Bedeutung von Ableitungen besseren zu verstehen. Aspekte über dieses Ableiten hinaus (zum Beispiel Lösen von Gleichungssystemen, Aufstellen von Funktionstermen) runden die Einheit ab. Vorkenntnisse Die Ableitungsregeln werden teilweise kurz wiederholt. Ein Erarbeiten der Regeln findet nicht statt, sodass diese als Voraussetzungen gelten. Ein sicherer Umgang mit Termen und dem Lösen von Gleichungssystemen wird geübt. Beim Auswerten von Daten sind Kenntnisse einer Tabellenkalkulation nötig. Didaktisch-methodische Analyse "Steigung einer Funktion" – Das ist die häufigste Antwort von Lernenden auf die Frage, worin die Bedeutung der Ableitung besteht. Allerdings beschreiben Funktionen häufig reale Zusammenhänge. Und bei diesen realen Gegebenheiten ist der Aspekt, dass die Ableitung die Veränderung einer Größe beschreibt, für den Schüler oder die Schülerin sehr verständlich. Der Begriff hat hier einen viel engeren Bezug zu der Erfahrungswelt. In Differentialgleichungen werden Zusammenhänge zwischen Werten und deren Veränderungen in Gleichungen beschrieben. Die Übungen sind neben dem Abarbeiten von Ableitungsregeln darauf ausgelegt, dass oft die Interpretation der Gleichung wichtig ist. Es erfolgt kein Erarbeiten von Lösungsverfahren für Differentialgleichungen (oder spezielle Integrationsverfahren, nur ein Einblick in partielle Integration und Integration durch Substitution). Neben Ableitungsübungen finden auch Anwendungen zum Anpassen von Vorschriften statt. Abhängig vom Umfang der Wiederholungen können auch nur einzelne Arbeitsblätter für den Unterricht herangezogen werden. Die Unterlagen eignen sich auch für ein Selbststudium. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch (K1). lösen Probleme mathematisch (K2). modellieren mathematisch (K3). gehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um (K5). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler werden sicherer im Umgang mit einer Tabellenkalkulation (bei Bearbeitung der Aspekte zu Bevölkerungszahlen zur Anpassung von Funktionen). Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bringen sich in die Gruppenarbeit ein (etwa zur Erarbeitung und Vorstellung von Inhalten). werten Daten kritisch aus. fragen andere nach Hilfe und/oder geben anderen Hilfeleistung.

Einen Kredit aufnehmen und abschätzen können, ob die monatliche Rate nicht die eigenen finanziellen Möglichkeiten übersteigt und die Laufzeit überschaubar ist, sind mittlerweile Fähigkeiten, die zur Selbstständigkeit dazu gehören. Ausgangspunkt des Unterrichts ist das Vorhaben eines Bürokaufmanns, ein Auto zu erwerben, das zum Teil durch einen Kredit finanziert werden soll. Die Schülerinnen und Schüler stellen unter Verwendung grundlegender Formeln zunächst einen Tilgungsplan für diesen Kredit auf. Auf dieser Basis wird die (sehr lange) Laufzeit des Kredits ermittelt. Nach einer kritischen Reflexion des Kreditangebots werden unter Erarbeitung und Einsatz der Zielwertsuche Alternativen erarbeitet, um die Finanzierung des Autos sinnvoller zu gestalten. Mithilfe der Zielwertsuche soll ermittelt werden, auf wie viel Euro sich die monatliche Kreditrate erhöht, wenn die Laufzeit des Kredits auf ein akzeptables Maß reduziert wird. Zur Vertiefung soll mittels der Zielwertsuche weiterhin eruiert werden, welcher Kreditbetrag bei einer geringeren monatlichen Belastung unter der Prämisse aufgenommen wird, dass die verkürzte Kreditlaufzeit beibehalten wird. Die Unterrichtseinheit dient dazu, die vorab erworbenen Kenntnisse im Bereich der Tabellenkalkulation zu erweitern und zu vertiefen sowie auf eine komplexe Lernsituation anzuwenden, die an Inhalte des Betriebswirtschaftslehreunterrichts anknüpft. Einsatz der Materialien Die Unterrichtseinheit dient dazu, die vorab erworbenen Kenntnisse im Bereich der Tabellenkalkulation zu erweitern und zu vertiefen sowie auf eine komplexe Lernsituation anzuwenden, die an Inhalte des Betriebswirtschaftslehreunterrichts anknüpft. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen mittels grundlegender Excel-Formeln einen Kredit-Tilgungsplan in Form eines Annuitätenkredits aufstellen, mithilfe des entworfenen Tilgungsplans die Laufzeit des Kredits ermitteln, den Finanzierungsplan im Hinblick auf die Tilgungsdauer kritisch betrachten, die Methode der Zielwertsuche inklusive vorgeschriebener Syntax im Rahmen der Tabellenkalkulation mit Excel selbstständig erarbeiten, unter Anwendung der Zielwertsuche eine DV-gerechte Problemlösung für die Ausgangssituation entwickeln, die grundsätzliche Vorgehensweise bei der Zielwertsuche (Zielzelle, Zielwert, veränderbare Zelle) analysieren und verbal beschreiben, die Methode auf weitere Problemstellungen übertragen. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen zur Problemstellung erforderliche Informationen selbstständig analysieren. die Fähigkeit und Bereitschaft erweitern, selbstständig mit dem PC kaufmännische Probleme zu lösen. die in Einzel-/Partnerarbeit am PC entwickelte Lösung vor der Klasse aufzeigen und erläutern. eine Methode erlernen, für sich optimale Bedingungen eines Darlehens errechnen zu können. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen sich in der Teamarbeit gegenseitig unterstützen, sich während der Partnerarbeit und der Präsentation gegenseitig zuhören. Thema Anwendung der Zielwertsuche zur vereinfachten Bewertung von Tilgungsplänen mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel Autoren Ursula Hahn, Armin Hahn Fach Wirtschaftsinformatik, Organisationslehre, Informationswirtschaft Zielgruppe Kaufmännische Berufsschulklassen, Wirtschaftsgymnasium, Höhere Handelsschule Zeitraum eine Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen ein Computer pro Schüler, MS Excel Planung Zielwertsuche Armin Hahn ist am Berufskolleg des Rhein-Sieg-Kreises in Siegburg tätig. Durch die Vorgehensweise, die Zielwertsuche über ein an ihre Lebenswirklichkeit angelehntes Fallbeispiel - (Wie finanziert man am besten ein Auto?) - einzuführen, soll die Motivation der Schülerinnen und Schüler gesteigert werden. Der Einsatz von Arbeitsblättern, die neben dem Fallbeispiel und Arbeitsaufträgen die zur Lösung der Problemstellung benötigten Informationen enthalten, ermöglicht den Schülerinnen und Schülern eine weitgehend selbstständige Vorgehensweise. Zur Sicherung des Erlernten wird einerseits der gewählte Lösungsweg verbal erläutert, andererseits wird auf den OHP-Folien die Problemlösung schriftlich fixiert.

In einem Rechnungsformular ist das Kopieren von Formeln eine Routinearbeit. Schnell kann es hier allerdings zu Fehlern kommen. Diese zu vermeiden - darum geht es in dieser Unterrichtseinheit.Nachdem die Schülerinnen und Schüler im Rahmen des Unterrichts in Wirtschaftsinformatik (Fach Informationswirtschaft) Grundlagen der Tabellenkalkulation mit Excel erlernt haben, dient die Unterrichtseinheit dazu, Kenntnisse im Bereich der Tabellenkalkulation auf eine kaufmännische Problemstellung anzuwenden. Die Problematik des Kopierens von Zelladressen in Excel wird anhand der Situation "Automatisierung der Rechnungserstellung" erarbeitet.Die Unterrichtseinheit dient dazu, die vorab erworbenen Kenntnisse im Bereich der Tabellenkalkulation zu erweitern und auf eine kaufmännische Problemstellung anzuwenden, die an Inhalte des Betriebswirtschaftslehre- beziehungsweise Rechnungswesenunterrichts anknüpft. Unterrichtsablauf und Einsatz der Materialien Der Umgang mit Formeln, einfachen Funktionen und Formatierungen sollte den Schülerinnen und Schülern im Vorfeld bereits bekannt sein. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen unter Anwendung relativer Zellbezüge die PC-gestützte Rechnungserstellung automatisieren. die Konstruktionsweise absoluter Zellbezüge kennen lernen. den Unterschied in der Anpassung relativer und absoluter Zellbezüge beim Kopieren erkennen. mithilfe absoluter Zellbezüge eine kopierfähige Formel entwickeln. die Auswirkungen einer gemischten Zelladressierung beurteilen. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen Problemlösungen selbstständig und unmittelbar am PC erarbeiten. die Fähigkeit und Bereitschaft erweitern, selbstständig mit dem PC kaufmännische Probleme zu lösen. die in Einzel-/Partnerarbeit am PC entwickelte Lösung vor der Klasse aufzeigen und erläutern. Thema Kopieren von Zelladressen in Excel - erarbeitet anhand der Situation "Automatisierung der Rechnungserstellung" Autoren Armin Hahn, Ursula Hahn Fach Wirtschaftsinformatik, Organisationslehre, Informationswirtschaft Zielgruppe Kaufmännische Berufsschulklassen, Wirtschaftsgymnasium, Höhere Handelsschule Technische Voraussetzungen ein Computer pro Schüler mit MS Excel Planung Excel - Zellbezüge Armin Hahn ist am Berufskolleg des Rhein-Sieg-Kreises in Siegburg tätig. Strukturierung des Unterrichts Durch die Verwendung einer einheitlichen Datei und strukturierter Arbeitsmaterialien wird eine systematische Vorgehensweise gewährleistet. Gleichzeitig wird den Schülerinnen und Schülern durch den Einsatz eines Informationsblattes weitgehend selbstständiges Arbeiten ermöglicht. Die sich an die Erarbeitungs- und Vertiefungsphasen jeweils anknüpfenden Sicherungsphasen dienen einerseits der verbalen Erläuterung des gewählten Lösungswegs und andererseits einer schriftlichen Fixierung der Problemlösung. Dies erleichtert insbesondere leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern die Arbeit. Problemsituation Ausgangspunkt ist eine Rechnung, die aufgrund einer Bestellung von Büromöbeln an eine Kundin erstellt wird. Die Schülerinnen und Schüler geben zunächst einen verkauften Artikel in das Rechnungsformular ein und führen verschiedene Berechnungen (Rabatt, Nettobetrag, Umsatzsteuer, Bruttobetrag, Skonto) durch. Wegen des Verkaufs zweier weiterer Artikel werden anschließend die für den ersten Artikel erstellten Formeln nach unten kopiert. Hierbei ergeben sich Fehler, da Excel beim Kopieren einer Formel sämtliche Zellbezüge automatisch anpasst. Auf der Basis eines Informationsblattes erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig das korrekte Kopieren von Zellbezügen und wenden es auf das Fallbeispiel der Rechnungserstellung an. Die Durchführung dieser Unterrichtseinheit bietet sich sowohl in kaufmännischen Berufsschulklassen als auch im Wirtschaftsgymnasium sowie in der Höheren Handelsschule an.

Betriebliche Anschaffungskosten umfassen viele Faktoren und zu ihrer Berechnung muss weit mehr als der Erwerbswert einer Ware berücksichtigt werden. Die folgende Unterrichtsstunde umfasst die Erstellung eines Ermittlungsschemas unter Zuhilfenahme einer Tabellenkalkulation. Gemäß § 255 des Handelsgesetzbuches (HGB) bezeichnet man jene Aufwendungen als Anschaffungskosten, die ein Unternehmen leisten muss, "um einen Vermögensgegenstand zu erwerben und in einen betriebsbereiten Zustand zu versetzen". Auch die Kaufnebenkosten, wie die Aufwendungen für den Transport, werden hinzugerechnet. Voraussetzung einer Zurechnung der Anschaffungsnebenkosten zu den Anschaffungskosten ist dabei, dass diese Einzelkosten darstellen, das heißt sie müssen dem erworbenen Vermögensgegenstand einzeln zuzuordnen sein. Anschaffungspreisminderungen, wie Sofortrabatte oder Skonti, sind dagegen von den Anschaffungskosten abzusetzen. Die Ermittlung von Anschaffungskosten stellt eine gesetzliche Grundlage zur Erfassung von Vermögensgegenständen eines Unternehmens dar. Die diesbezügliche Arbeit mit Gesetzestexten und Tabellenkalkulationen sind für die angehenden Kaufleute eine Grundlage ihrer beruflichen Tätigkeit. Die Stunde dient dem Einstieg in den Themenbereich der Beschaffung. Der Schwerpunkt liegt darauf, die Anschaffungskosten gemäß dem HGB zu ermitteln. Um den thematischen Zugang zu erleichtern, werden exemplarisch mit Hilfe des entsprechenden Gesetzestextes die Anschaffungskosten eines Fallbeispiels ermittelt. Die Schülerinnen und Schüler erstellen dabei ein Schema, in welchem sie die gesetzlichen Vorgaben umsetzen und welches die Grundlage für weitere Unterrichtsstunden und Anwendungsaufgaben darstellt. Die Buchung der Anschaffungskosten sowie die Einführung der entsprechenden Konten werden in den Folgestunden vorgenommen. Unterrichtsablauf Der Ablauf der Unterrichtsstunde und die Einbindung der Materialien werden hier vom Einstieg bis zur Präsentation und Sicherung erläutert. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Anschaffungskosten von Warenwerten unter Berücksichtigung aller wesentlichen Faktoren zu bestimmen lernen. einen Gesetzestext lesen, verstehen und auf die konkrete Fallsituation anwenden können. die Gruppenarbeit zielgerichtet organisieren und Ergebnisse vor der Klasse präsentieren, um für den beruflichen Alltag ein sicheres Auftreten und freies Sprechen zu trainieren. ihre Kenntnisse aus der Datenverarbeitung nutzen, um eine Übersicht zur Ermittlung der Anschaffungskosten in MS-Excel zu erstellen. Thema Die Erstellung eines Ermittlungsschemas für die Anschaffungskosten gemäß § 255 (1) HGB mit Hilfe einer Tabellenkalkulation Autorin Jeanette Wortha Zielgruppe Kaufmännisch orientierte Bildungsgänge Fach BWL, Rechnungswesen Zeitumfang eine Unterrichtsstunde Technische Voraussetzungen ein Computer pro Schülergruppe, MS-Excel Planung Verlaufsplan Anschaffungskosten Bensch/Wachholz (2007): Praktische Fälle aus dem Rechnungswesen, 3. Auflage, Ludwigshafen. Hahn/Meyer (2006): Rechnungswesen Büroberufe, 6. Auflage, Troisdorf. Der thematische Einstieg erfolgt anhand einer Fallsituation aus dem beruflichen Alltag. Aus ihr ergibt sich die Frage, mit welchem Betrag die Waren einer Eingangsrechnung zu verbuchen sind, da zusätzlich zum Warenbeschaffungswert die Frachtkosten, Rabatte und die Umsatzsteuer aufgeführt sind. Die Erarbeitungsphase beginnt mit der Frage nach Informationsquellen zur Problemlösung. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten in Partnerarbeit und anhand des Gesetzestextes eine Excel-Übersicht zur Ermittlung der Anschaffungskosten. Eine Gruppe stellt ihre Ergebnisse vor, diese werden durch Fragen und Kommentare der anderen Gruppen ergänzt und gegebenenfalls korrigiert. Die Schülerinnen und Schüler sollen nun die Möglichkeit bekommen, ihre Ergebnisse auf den Arbeitsblättern und in der Excel-Übersicht zu ergänzen oder gegebenenfalls zu korrigieren. Als Hausaufgabe erhalten sie einen weiteren Beispielfall zur Ermittlung der Anschaffungskosten.

Mit einer interaktiven Lernumgebung auf der Basis der Tabellenkalkulation Excel erkunden Schülerinnen und Schüler die Monte-Carlo-Methode zur Bestimmung von Flächeninhalten. Ein integriertes Hilfesystem unterstützt die Lernenden beim selbstständigen und kooperativen Arbeiten. Die Monte-Carlo-Methode ist in den vierziger Jahren des 20. Jahrhunderts im Rahmen des Manhattan-Projekts entstanden, um die zufällige Diffusion von Neutronen in spaltbarem Material zu simulieren. Bei der Namensgebung der Methode stand tatsächlich das weltberühmte Casino in Monte-Carlo Pate, denn die ersten Tabellen von Zufallszahlen hat man aus den Ergebnissen der Roulettspiele, die in diesem Casino regelmäßig ausgehängt wurden, gewonnen. Bei der Monte-Carlo-Methode handelt es sich um numerische Verfahren, die mithilfe von Zufallszahlen mathematische Probleme lösen beziehungsweise simulieren. So können Probleme, die deterministischer Art sind, zum Beispiel Berechnungen von Integralen, Berechnung von Summen, im Rahmen einer stochastischen Genauigkeit (Gesetz der großen Zahlen) näherungsweise gelöst werden. Problemstellungen, die probabilistischer Natur sind, zum Beispiel Warteschlangenprobleme, Lagerhaltungskosten, Versicherungsprobleme, können dagegen nur simuliert werden. Im Folgenden wird die Monte-Carlo-Methode genutzt, um Problemstellungen zum Thema Flächeninhalt näherungsweise zu lösen. Voraussetzungen, Ablauf der Unterrichtseinheit, Materialien Die vorliegende Lerneinheit ist zum selbstständigen Arbeiten am Computer konzipiert. Das individuelle Lernen wird durch verschiedene interaktive Elemente unterstützt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Monte-Carlo-Methode erläutern können. den Flächeninhalt eines Kreises mit der Monte-Carlo-Methode näherungsweise berechnen können. erkennen, dass durch die Erhöhung der Anzahl der Zufallspunkte die Wahrscheinlichkeit für das Abweichen des approximativ berechneten Ergebnisses vom algebraisch berechneten Ergebnis abnimmt. mithilfe der Monte-Carlo-Methode den Flächeninhalt unter einer Parabel approximieren können. mithilfe einer Tabellenkalkulation Monte-Carlo-Methoden rechnerisch durchführen können. Thema Bestimmung von Flächeninhalten mit der Monte-Carlo-Methode Autor Thomas Borys Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Einzelarbeit) Software Microsoft Excel Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menu "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Als Lernvoraussetzungen sind grundlegende Kenntnisse im Umgang mit einer Tabellenkalkulation notwendig, wie zum Beispiel die Eingabe von Rechenoperationen. Weiterführende Kenntnisse, wie das Erzeugen von Zufallszahlen, werden nicht vorausgesetzt. Diese können selbstständig erarbeitet werden. Erarbeitung der notwendigen Kenntnisse im Umgang mit EXCEL Auf der Start-Seite der interaktiven Lerneinheit werden die Schülerinnen und Schüler nach ihren Excel-Kenntnissen gefragt. Je nach Antwort werden sie mit Hyperlinks weiter geleitet. Nach entsprechender Auswahl können die Schülerinnen und Schüler die Eingabe von Zufallszahlen und die Eingabe von Wenn-Funktionen erlernen beziehungsweise bereits Bekanntes vertiefen. Auch steht eine weitere zielorientierte Übung zur Verfügung Zentrale Problemstellung Die Einführung in die Monte-Carlo-Methode erfolgt an Hand der näherungsweisen Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises mit einem Radius Eins. Dazu steht den Schülerinnen und Schülern ein ausführliches Aufgabenblatt zur Verfügung. Unterstützt werden sie unter anderem durch ein interaktives Schaubild, nach dem Erzeugen der Zufallspunkte erscheinen diese auch im Schaubild. Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten Zur weiteren Vertiefung der Monte-Carlo-Methode stehen noch sechs weitere Aufgabenblätter zur Verfügung. Die ersten beiden Aufgabenblätter vertiefen die näherungsweise Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises. Des Weiteren wird der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis thematisiert. Die beiden folgenden Arbeitsblätter behandeln die Thematik "Flächeninhalt unter einer Geraden", wobei auch hier der Vergleich mit dem algebraischen Ergebnis möglich ist. Die letzten beiden Aufgabenblätter geben schon einen kleinen Einblick in die Integralrechnung, denn die Schülerinnen und Schüler sollen den Flächeninhalt unter einer Parabel bestimmen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). An dieser Stelle wird die Notwendigkeit der Monte-Carlo-Methode richtig plastisch: Die Lernenden sind durch diese Methode in der Lage, einen Flächeninhalt näherungsweise zu bestimmen, den sie algebraischen noch nicht berechnen können. Makros aktivieren Damit alle eingebauten Funktionen genutzt werden können, müssen bei Excel die Makros aktiviert werden. Vor dem Öffnen der Datei muss dazu im Menü "Extras/Optionen", auf der Registerkarte die Makrosicherheit mindestens auf "mittel" gestellt werden. Dateien mit und ohne Blattschutz Die erste Tabelle (monte_carlo.xls) ist so angelegt, dass die Lehrperson diese komplett ändern kann. Allerdings können auch die Lernenden Dinge verändern, die sie eigentlich nicht ändern sollten. Die zweite Tabelle (monte_carlo_schutz.xls) ist mit dem für Excel üblichen Blattschutz teilweise geschützt, das heißt die Schülerinnen und Schüler können nur auf gewissen Feldern Eintragungen vornehmen, die nicht geschützt sind. Dopfer, G., Reimer, R. Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht, Klett Verlag, Stuttgart 1995 Engel, A. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1, Klett Studienbücher, Stuttgart 1973 Hermann, D. Monte-Carlo-Integration, in: Stochastik in der Schule, 12 (1), 1992, Seite 18-27

In dieser Unterrichtseinheit berechnen die Lernenden mit digitalen Hilfsmitteln die Wahrscheinlichkeit für den Achtelfinaleinzug von Deutschland bei der Fußballweltmeisterschaft 2022 mithilfe von Sportwetten. Das Ziel des Materials ist es, die Aufgabe mithilfe von Modellierungstätigkeiten zu lösen und dadurch die Kompetenz des mathematischen Modellierens zu stärken.In dieser Unterrichtseinheit wird die Wahrscheinlichkeit eines Achtelfinaleinzugs von Deutschland bei der Fußball-WM 2022 in Katar bestimmt. Als Ansatzpunkte werden dazu die Wettquoten von Sportwettenanbietern verwendet. Es handelt sich um eine Modellierungsaufgabe, bei der die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Unterrichtseinheit die verschiedenen Teilschritte des mathematischen Modellierens durchlaufen. Die Lernenden werden schrittweise durch die Aufgabe geführt und erarbeiten sich damit Stück für Stück die Lösung der Aufgabe selbstständig. Unterstützt werden sie dabei von einer digitalen Lernumgebung, die Informationstexte, Aufgabenstellungen und Zusatzmaterialien wie GeoGebra-Simulationen und Vorlagen für Tabellenkalkulationen enthält. Zusätzlich erhalten die Lernenden ein Aufgabenheft, in dem sie die Aufgaben schriftlich bearbeiten können. Im Laufe der Unterrichtseinheit wird die Ausgangssituation der Aufgabenstellung zunächst analysiert, vereinfacht und anschließend in das mathematische Modell eines zweistufigen Zufallsexperiments übersetzt. Danach werden die beiden Stufen des Zufallsexperiments getrennt voneinander betrachtet und entsprechende mathematische Überlegungen angestellt. Ein entscheidender Aspekt der mathematischen Überlegungen ist die Übersetzung der Wettquoten in Wahrscheinlichkeiten, wobei im Zuge dessen Begriffe wie Pseudowahrscheinlichkeiten und gewinnbereinigte Wahrscheinlichkeiten eingeführt und voneinander abgegrenzt werden. Anschließend werden in mehreren Teilschritten unter Verwendung der ersten und zweiten Pfadregel und dem Satz über bedingte Wahrscheinlichkeiten schließlich die verschiedenen Probabilitäten berechnet, die schlussendlich zu der gesuchten Wahrscheinlichkeit des Achtelfinaleinzugs zusammengefasst werden. Zuletzt wird die Aufgabenlösung und damit das erstellte Modell durch den Vergleich mit der bei Sportwettenanbietern angegebenen Wettquote kritisch hinterfragt, was den Modellierungsprozess abschließt. Neben den bereits beschriebenen mathematischen Inhalten werden auch kombinatorische Überlegungen beim Aufstellen der Baumdiagramme angestellt sowie digitale Kompetenzen durch die Verwendung der Simulationen und Tabellenkalkulationen gestärkt. Ziel der Unterrichtseinheit ist es somit, die Modellierungskompetenz und die digitalen Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler zu stärken, wodurch wichtige Aspekte der Bildungsstandards aufgegriffen werden. Das Thema "Mathematisch modellieren" im Unterricht Mathematische Modellierungen erlangen im Kontext interdisziplinärer Aufgaben- und Fragestellungen zunehmende Bedeutung, da zur Beantwortung mathematischer Fragestellungen Realsituationen zunächst in entsprechende Modelle übersetzt werden müssen, bevor eine Aufgabenlösung erfolgen kann. In der vorgestellten Unterrichtseinheit kann die Modellierungskompetenz auf erhöhtem Niveau durch die Bearbeitung einer komplexen, realitätsnahen Aufgabenstellung gefördert werden. Dafür wurde die vorgestellte digitale Lernumgebung auf Grundlage von erprobten und in der Literatur beschriebenen Konzepten für Unterrichtsreihen und Projekttage erstellt, da durch diese der Modellierungsprozess bei Schülerinnen und Schülern schrittweise angeleitet werden kann. Didaktisch-methodische Analyse Durch die vorgestellte digitale Lernumgebung wird die Modellierungskompetenz von Schülerinnen und Schülern gefördert. Sie durchlaufen während der Bearbeitung der Aufgabenstellung die in den KMK-Bildungsstandards geforderten und beschriebenen Teilschritte der mathematischen Modellierung, wodurch die Kompetenz insgesamt gestärkt wird. Um den ebenfalls in den Bildungsstandards geforderten Aspekt der Digitalisierung aufzugreifen, werden in der digitalen Lernumgebung Simulationen und Tabellenkalkulationen verwendet. Die Simulationen helfen zusätzlich, die erarbeiteten Sachverhalte darzustellen und zu visualisieren. Insbesondere die schnelle und einfache Erstellung von Baumdiagrammen mithilfe von Schiebereglern stellt einen enormen Vorteil dar, da nicht die zeichnerische Umsetzung, sondern die Mathematik im Vordergrund steht. Die Verwendung der Tabellenkalkulationen zeigt den Lernenden Chancen von digitalen Programmen in Bezug auf Datensätze auf und erleichtert den Umgang mit diesen. Die vorgestellte und praktisch erprobte Modellierungsaufgabe behandelt Sportwetten als thematischen Schwerpunkt, da dieses Thema einen großen Alltagsbezug für die Lernenden aufweist. Durch die Präsenz des Themas bei Schülerinnen und Schülern steigt die Motivation der Bearbeitung, da die Relevanz der Fragestellung deutlich wird. Dies wurde bei mehreren Durchführungen mit Lernenden im Rahmen des Mathematik-Labors, einem außerschulischen Lernort, beobachtet. Hier bearbeiteten Schülerinnen und Schüler im Rahmen von Workshops und Modellierungstagen erfolgreich die vorgestellte Modellierungsaufgabe. Methodisch wurde eine digitale Lernumgebung erstellt, welche die Lernenden selbstständig zu Hause oder bei entsprechender technischer Ausstattung (Vorhandensein von genügend vielen digitalen Endgeräten) in der Schule verwenden können. Innerhalb der Lernumgebung liegen verschiedenen Kapitel vor, die schrittweise von den Lernenden bearbeitet werden können. Der Vorteil besteht darin, dass alle Schülerinnen und Schüler in ihrem eigenen Tempo arbeiten können und damit der Kompetenzaufbau sichergestellt wird. Zusätzlich werden über entsprechende PopUp-Fenster Hilfestellungen bereitgestellt. Insgesamt ist sowohl eine selbstständige als auch eine durch die Lehrkraft angeleitete Verwendung möglich. Die Bearbeitung der Aufgaben kann, je nach Unterrichtssetting und Ausstattung, entweder in Einzel- oder in Paararbeit erfolgen. Paararbeit hat den Vorteil, dass zusätzlich die Kommunikationskompetenz gestärkt wird. Außerdem kann sich die Einbringung unterschiedlicher Ideen positiv auf den Modellierungsprozess auswirken. Weiterhin ist auch eine Verwendung in der Schule oder zu Hause möglich, sodass die digitale Lernumgebung auch für virtuelle Unterrichtsformen verwendet werden kann. Vorkenntnisse von Lehrenden und Lernenden Bei der digitalen Lernumgebung handelt es sich um eine moodle-basierte Anwendung auf der kostenfreien und öffentlich zugänglichen Webseite "OpenWueCampus". Zur Bearbeitung der Lernumgebung können sich Lehrende und Lernende unter Verwendung eines Gastzugangs mit entsprechendem Passwort (MMS_Sportwetten!) in den zugehörigen Kurs einschreiben. Dort kann dann das Material bearbeitet werden, wobei keine speziellen Kenntnisse zur Bearbeitung notwendig sind. Die GeoGebra-Simulationen sind direkt in die Lernumgebung eingebunden und erfordern nur die Bedienung von Schiebereglern und Text-Werkzeugen. Bei der Bearbeitung der Tabellenkalkulation sind grundlegende Kenntnisse, wie die Rechnung mit Zellenbezügen hilfreich. Dies wird aber auch innerhalb der Lernumgebung nochmals erklärt. Insgesamt können Lehrkräfte die digitale Lernumgebung ohne Vorkenntnisse in den Unterricht einbauen, da alle Simulationen bereits vollständig eingebettet sind und nicht mehr angepasst werden müssen. Schülerinnen und Schüler benötigen technisch ebenfalls keine Vorkenntnisse. Inhaltlich wird die Kenntnis über Zufallsexperimente, Baumdiagramme, die Pfadregeln und die bedingte Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt. In der digitalen Lernumgebung werden sowohl Vorlagen für Tabellenkalkulationen in GeoGebra als auch in Excel verwendet. Der Hintergrund dafür ist, dass für die komplexen Rechnungen und Verknüpfungen die grundlegenden Funktionen der GeoGebra-Tabellenkalkulation nicht ausreichen, weshalb dafür das umfangreichere Programm Excel verwendet wird. Digitale Kompetenzen, die Lehrende zur Umsetzung der Unterrichtseinheit benötigen Damit für die Lernenden ein möglichst großer Lerngewinn und Kompetenzaufbau durch die Lernumgebung erfolgen kann, sollen Lehrende die digitale Lernumgebung als innovative Lehrmethode reflektiert in ihren Unterricht einbauen können. Dazu sollen digitale Endgeräte mit Internetzugang zur Verfügung stehen und die Lernumgebung vor Verwendung erprobt werden (3.1 Lehren). Wichtig zur erfolgreichen Implementierung der digitalen Lernumgebung in den Unterricht ist, dass sichergestellt wird, dass alle Lernenden Zugang zu den erforderlichen digitalen Endgeräten mit Internetzugang haben. Außerdem sollen die Schülerinnen und Schüler bei der Handhabung unterstützt werden, damit unterschiedliche Voraussetzungen und Vorkenntnisse kein Hindernis in der Benutzung der digitalen Endgeräte und der digitalen Lernumgebung darstellen. Beide Punkte sollen von Lehrenden sichergestellt werden (5.1 Zugang und Inklusion). Lehrende sollen die Differenzierungsmöglichkeiten, die in der digitalen Lernumgebung in Form von optionalen Hilfestellungen zur Verfügung gestellt werden, geeignet und zielführend in ihren Unterricht einbauen können (5.2 Differenzierung und Personalisierung). Weiterhin sollen Lehrende verschiedene Lernformen (kooperatives und selbstreguliertes Lernen) und Kompetenzerwerbsprozesse (Informations- und Medienkompetenz) der Lernenden, die durch die Lernumgebung initiiert werden, unterstützen und fördern. Dazu müssen sie die Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Medienkompetenz unter anderem bei der Analyse und Verarbeitung von Datensätzen mit digitalen Hilfsmitteln wie Simulationen und Tabellenkalkulationsprogrammen unterstützen. Aus diesem Grund sollen auch Lehrende Kompetenzen in diesen Bereichen aufweisen (3.3 Kooperatives Lernen, 3.4 Selbstreguliertes Lernen, 6.1 Informations- und Medienkompetenz). Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Modellierungskompetenz durch Bearbeitung der stochastischen Sportwetten-Modellierung. vertiefen ihre fachliche Kompetenz in den Bereichen der bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Baumdiagramme und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Pfadregeln. interpretieren Sportwettenquoten unter mathematischen Gesichtspunkten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler analysieren und interpretieren den Datensatz der Sportwettenquoten vor dem Hintergrund der Notwendigkeit für die gegebene Aufgabenstellung. erkennen den Mehrwert der Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen bei der Bearbeitung von Datensätzen. übersetzen ihre mathematischen Überlegungen in die bereitgestellten GeoGebra-Simulationen und nutzen die Simulationen zur Visualisierung von komplexen Inhalten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich bei der Bearbeitung der Aufgabenstellung gegenseitig. beschreiben ihr Vorgehen bei der Aufgabenlösung dem Partner oder der Partnerin und argumentieren hinsichtlich der Vereinfachung der Situation und der Plausibilität der Modellierung. dokumentieren Lösungen schriftlich und stellen sie verständlich dar. 21st Century Skills Die Schülerinnen und Schüler reflektieren das aufgestellte Modell und die daraus gewonnenen Ergebnisse kritisch. verwenden Daten und Informationen zur Aufgabenlösung zielgerichtet. erkennen den Nutzen von digitalen Medien bei der Visualisierung von und dem Umgang mit Datensätzen. lernen die mathematische Modellierung als Möglichkeit zur Bearbeitung interdisziplinärer Fragestellungen kennen. Literaturhinweise Die Materialien wurden auf Grundlage folgender Publikationen erstellt: Siller, H.-S., Maaß, J. (2009). Fußball EM mit Sportwetten. In: Brinkmann, A., Oldenburg, R. (Hrsg.). Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 14 (S. 95–112), Franzbecker: Hildesheim. Maaß, J., Siller, H.-S. (2015). Wettbetrug – ein aktuelles und realitätsbezogenes Thema zum mathematischen Modellieren. In: Maaß, J., Siller, H.-S. (Hrsg.). Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 2, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 79–85), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-05003-0_1 Siller, H.-S.; Habeck, D.; Salih, A.; Fefler, W. (2015). Sportwetten und Großereignisse als Chance für den Mathematikunterricht. Praxis der Mathematik in der Schule, Nr. 66, 57. Jg. (Dezember 2015), S. 42–46. Habeck, D., Siller, H.-S. (2017). Die 3-Punkte-Regel bei Fußballturnieren mathematisch analysiert – oder: Warum es wahrscheinlicher ist die Hauptrunde mit 5 Punkten anstatt mit 6 Punkten zu erreichen. In: Stochastik in der Schule. Heft 3, S. 2–7. Siller, H.-S., Maaß, J. (2018). Fußball EM mit Sportwetten. In: Siller, H.-S., Greefrath, G., Blum, W. (Hrsg.): Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 4, Realitätsbezüge im Mathematikunterricht (S. 343–356), Wiesbaden: Springer. DOI 10.1007/978-3-658-17599-3_25

Bei der Suche nach idempotenten Zahlen werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge entdeckt. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler ab der 9. Jahrgangsstufe gedacht, die bereits Erfahrungen mit Tabellenkalkulation, CAS oder gar selbst geschriebenen Programmen besitzen und bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Suche nach so genannten idempotenten Zahlen, also nach Zahlen, deren Ziffernfolge bei all ihren Potenzen am Ende auftritt, wie zum Beispiel bei der 5 oder der 25. Das Problem wird sowohl praktisch (Programmierung, zum Beispiel mit Excel, Pascal und Maple) als auch theoretisch angegangen. Dabei werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge, wie etwa der Chinesische Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten, entdeckt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Programm schreiben und optimieren, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Natürlich bietet es sich auch an, die selbst entwickelten Programme zu testen und zu vergleichen ("Welches ist am schnellsten?"). Die abschließenden Aufgaben (Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen) sind bewusst offen gehalten und sollen die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas selbstständig zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit dem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Das Thema bietet sich eventuell auch für eine Facharbeit an. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Infos zum Einstieg in die Thematik und zum Schreiben eines Programms, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Materialien Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen einfache zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen. Fragestellungen mittels Tabellenkalkulationen, CAS und selbst geschriebenen Computerprogrammen bearbeiten. Modulo-Rechnen und den Chinesischen Restsatz kennen lernen. die Primfaktorzerlegungen wiederholen und durch Computerprogramme ausrechnen lassen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Idempotente Zahlen Autor Dr. Christian Groß Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 9, Mathematik-AG Zeitraum 4-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software CAS (Maple), Tabellenkalkulation (Excel), Programmierumgebung (zum Beispiel Pascal) Groß, Christian Idempotente (automorphe) Zahlen in q-Stellenwertsystemen, Mathematische Semesterberichte 52 (2005), Seite 127-151 Zu Beginn werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, die einfachsten idempotenten Zahlen zu suchen. Gestützt auf diese Beispiele sollen sie verschiedene zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen, zum Beispiel dass es genügt, die Endziffern der Quadrate zu untersuchen, oder dass mehrstellige idempotente Zahlen "Verlängerungen" von ein-, zwei-, dreistelligen idempotenten Zahlen sind. Diese Erkenntnis wird dann auch praktisch umgesetzt: Ein erstes Programm soll geschrieben werden, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Verlassen des Dezimalsystems Das Programm wird im Laufe der Unterrichtseinheit immer mehr ausgebaut und verbessert. Dazu werden die Lernenden in das Modulo-Rechnen eingeführt. Sie lernen den Chinesischen Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten kennen. Zur Vertiefung werden hier auch Tabellenkalkulationen und Computerprogramme eingesetzt (zum Beispiel Pascal). Auf dieser Stufe ist es dann auch angebracht, das gewohnte Dezimalsystem zu verlassen und die im Laufe der Schullaufbahn meist kaum erkundeten alternativen Stellenwertsysteme zu untersuchen. Wenn wir nicht mehr je 10 Einheiten bündeln (beziehungsweise modulo q=10 rechnen), sondern uns ins Zweier-, Sechser-, oder gar 36er-System wagen, stellen sich Fragen wie: Aus welchen Ziffern bestehen die Zahlen und welche Zahlen sind demzufolge idempotent? Optimierung des Programms Schritt für Schritt können die Schülerinnen und Schüler immer tiefer liegende Zusammenhänge erkunden. Sie erkennen die Bedeutung der Primfaktorzerlegung der Stellenwertbasis q und stoßen auf mengenalgebraische Fragestellungen: Auf wie viele Arten lässt sich die Menge aller Primfaktoren von q in zwei disjunkte Teilmengen zerlegen? Jeder solchen Zerlegung entspricht eine andere idempotente Zahl. Wie kann man durch Addition und Subtraktion von idempotenten Zahlen neue idempotente Zahlen gewinnen? All diese Erkenntnisse können zur Verbesserung der selbst geschriebenen Programme herangezogen werden. Selbstständige Entdeckungsreisen Je nach der zur Verfügung stehenden Zeit können am Ende auch noch Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen untersucht werden. Diese letzten Fragestellungen sind offener konzipiert und sollen die Lernenden ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Hinweise zur Nutzung Die drei PAS-Dateien sind die Pascal-Quellcodes von Programmen, die nach ein-, zwei-, beziehungsweise dreistelligen idempotenten Zahlen in q-Stellenwertsystemen suchen. Dabei wird jeweils abgefragt, in welchen Grenzen für q gesucht werden soll. Die EXE-Dateien sind die bereits kompilierten, lauffähigen Pascal-Programme, allerdings mit dem Unterschied, dass in diesen Programmen noch der ältere Name "automorphe Zahl" statt "idempotente Zahl" verwendet wird. Die Ausgabe der Programme erfolgt nicht direkt auf den Bildschirm, sondern in eine Textdatei, deren Namen am Anfang des Programms abgefragt wird (Eingabe zum Beispiel "xyz", wenn die Datei "xyz.txt" heißt). Achtung: Die Programme legen diese Textdatei nicht neu an, sondern öffnen sie nur. Genauer gesagt: Die Programme gehen davon aus, dass die Textdatei bereits im selben Verzeichnis existiert, in dem auch die Programme gespeichert sind. Also vorher neu anlegen! Das Maple-V-Worksheet berechnet N-stellige idempotente Zahlen (N = 50 ist voreingestellt, kann aber variiert werden). Hier muss der Stellenwert q explizit fixiert werden (voreingestellt ist q = 10, das heißt es wird nach idempotenten Dezimalzahlen gesucht). Ebenso muss die Endziffer a der idempotenten Zahl vorher bekannt sein und eingetragen werden (also 0, 1, 5 oder 6 für q = 10). Dann berechnet das Programm die diejenige N-stellige idempotente Zahl, deren letzte Ziffer a ist. Diese Zahl wird in Form einer Liste A ausgegeben, die von links nach rechts zu lesen ist. Zu Beispiel steht A = 5, 2, 6, 0, 9, ... für die (fünf-)stellige idempotente Dezimalzahl 90625.