Unterrichtsmaterialien zum Thema "Mathematik"

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Dynamische Mathematiksoftware

Fachartikel

... Dieser Fachartikel zum Thema "Dynamische Mathematik" zeigt die Möglichkeiten auf, die sich durch die Nutzung dynamischer Mathematiksoftware ergeben. Neben Visualisierungen, die mit traditionellen Medien ...

  • Mathematik
  • Primarstufe

Kurvendiskussion: Ganzrationale Funktionen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zu ganzrationalen Funktionen festigen die Schülerinnen und Schüler mithilfe dynamischer Übungsblätter die Lerninhalte der Kurvendiskussion.Im Gegensatz zu vielen dynamischen Arbeitsblättern dienen die hier vorgestellten Materialien nicht der Erarbeitung neuer Inhalte, sondern der Vertiefung und Veranschaulichung von bereits erarbeitetem Wissen. Der Übungsprozess ist dabei weitgehend individualisiert, bietet aber auch zahlreiche Möglichkeiten für soziale Interaktionen und wird permanent unterstützt durch grafische Veranschaulichungen.Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen ein. können Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen. können den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen. vertiefen die Herleitung von Ortskurven. wiederholen grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können kooperieren und sozial interagieren. Durch das in die dynamischen Übungsblätter integrierte Bedienfeld können die Schülerinnen und Schüler direkt auf die dynamische Grafik "zugreifen", den dargestellten Ausschnitt verändern sowie Punkte und Graphen ergänzen. In der Hilfsfunktion werden die Handhabung des Bedienfeldes und die Funktionseingabe ausführlich erläutert. Durch Klicken auf den Schalter des grau hinterlegten Bedienfelds (hier Funktionsgraph-Schalter = obere Buttonreihe, mittleres Icon mit "G f " und rotem Graphen) und anschließend in die dynamische Grafik wird das Funktionseingabefenster aufgerufen. Die Lernenden können nun eigenständig Graphen zu berechneten Funktionen ergänzen und so zum Beispiel die Ableitungsfunktion darstellen. Die wichtigsten Funktionen sollten vor Unterrichtsbeginn kurz wiederholt werden. Mithilfe der dynamischen Grafik können (und sollen) bereits vor dem Berechnen Vermutungen über die mögliche Lösung entwickelt werden. Zum Beispiel können Art und Anzahl von Extremwerten in Abhängigkeit vom Scharparameter vorhergesagt werden. Dadurch werden die nachfolgenden Rechnungen intrinsisch motiviert. Berechnete Graphen können nachträglich in der dynamischen Grafik ergänzt werden. Dadurch ist es möglich, zahlreiche Zwischen- und Endergebnisse zu kontrollieren. Soll zum Beispiel die Berechnung einer Ableitung verifiziert oder verworfen werden, wird überprüft, ob diese das Monotonieverhalten des Ausgangsgraphen richtig wiedergibt. Die Lernenden überprüfen hier zum Beispiel, ob bei den Maxima oder Minima des Ausgangsgraphen bei der Ableitungsfunktion Nullstellen mit Vorzeichenwechsel vorliegen oder ob der Ausgangsgraph einen Wendepunkt besitzt - falls die Ableitungsfunktion ein Maximum oder Minimum aufweist. Aus der Arbeit mit den Übungsblättern resultiert eine harmonisch in den Übungsprozess integrierte Wiederholung von grundlegenden Zusammenhängen. Die Materialien bieten also mehr als Rückmeldungen im Sinne von "richtig" oder "falsch". Schülerinnen und Schüler müssen zur Verifizierung ihrer Ergebnisse eigene Überlegungen anstellen. Dabei bieten sich vielfältige Gelegenheiten zur Kooperation und zu sozialen Interaktionen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Die Exponentialfunktion und die "Unendlichkeitsmaschine"

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Exponentialfunktion wird das virtuelle 3D-Modell einer von Leonardo da Vinci (1452-1519) entworfenen Unendlichkeitsmaschine vorgestellt, die die Motivation der Lernenden steigern soll, sich mit der Exponentialfunktion auseinanderzusetzen.Kennen Sie die Unendlichkeitsmaschine von Leonardo da Vinci? Das Genie hat die Getriebekonstruktion mit zahlreichen ineinander greifenden Zahnrädern als Symbol der Ewigkeit entworfen. Wenn sich das erste Zahnrad des Getriebeeingangs einmal pro Sekunde dreht, würde das letzte Zahnrad am Getriebeausgang etwa eine Billion Jahre für eine Umdrehung benötigen. In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen der Unendlichkeitsmaschine und der Exponentialfunktion kennen. Mithilfe einer Exceldatei werden verschiedene Unendlichkeitsmaschinen analysiert, um danach interaktive Übungen durchzuführen.In der Unterrichtseinheit kommt eine interaktive Lernumgebung zum Einsatz. Wenn die Schülerinnen und Schüler die Arbeit mit dynamischen Arbeitsblättern nicht gewohnt sind, hat sich eine Einführung der Materialien per Beamer bewährt. Auch der Umgang mit einem VRML-Plugin sollte über den Beamer demonstriert werden. Hinweise zur Technik und zum Unterrichtsverlauf Das 3D-Modell der Unendlichkeitsmaschine soll die Motivation der Lernenden steigern, sich mit der Exponentialfunktion auseinanderzusetzen. Realschule Die Schülerinnen und Schüler lernen im Lernbereich "Funktionale Zusammenhänge" Potenzfunktionen mit der Gleichung y = a* x n kennen. lernen Exponentialfunktionen mit der Gleichung y = c* a x kennen. üben die Nutzung von Funktionsplottern. Gymnasium Die Schülerinnen und Schüler gewinnen im Lernbereich "Wachstumsvorgänge und periodische Vorgänge" Einblick in verschiedene Wachstums- und Zerfallsprozesse. verstehen die Begriffe unbeschränktes Wachstum (zum Beispiel linear und exponentiell) und beschränktes Wachstum (zum Beispiel logistisch). übertragen ihre Kenntnisse auf Exponentialfunktionen und auf Wachstumsvorgänge. nutzen die exponentielle Regression unter Verwendung von Hilfsmitteln. lernen im Lernbereich "Funktionale Zusammenhänge" Potenzfunktionen mit der Gleichung y = a* x n und Exponentialfunktionen mit der Gleichung y = c* a x kennen. Die Lernumgebung ist als interaktive Webseite angelegt und wird nach dem Download mit der Datei "index.htm" gestartet. Die dreidimensionale Darstellung der Unendlichkeitsmaschine wurde durch die objektorientierte Programmiersprache VRML (Virtual Reality Modeling Language) umgesetzt. Das zur Nutzung der 3D-Darstellung erforderliche Plugin blaxxun Contact kann kostenlos aus dem Internet heruntergeladen werden. Nach dem Installieren des Plugins können die World-Dateien (WRL), die die VRML-Inhalte enthalten, im Browser angezeigt werden. Mit einem Rechtsklick in die 3D-Darstellung öffnet sich ein Kontextmenü, über das man verschiedene Funktionen aufrufen kann (Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken). Motivation und Einstieg Ein digitales 3D-Modell der Unendlichkeitsmaschine, das aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet werden kann, soll die Schülerinnen und Schüler motivieren, sich mit der Exponentialfunktion zu beschäftigen. Zum besseren Verständnis erfolgt die Analyse der ersten Unendlichkeitsmaschine mithilfe eines vorbereiteten Excel-Arbeitsblatts ("unendlichkeitsmaschine.xls"; Bestandteil des Downloadpakets "unendlichkeitsmaschine.zip"). Dies sorgt für die Offenlegung des Zusammenhangs zwischen der Unendlichkeitsmaschine und der Exponentialfunktion y = a* n x - inklusive der Möglichkeiten der Veränderung des Funktionsverlaufes über die Einflussfaktoren Umlaufdauer (a) und Zahnraduntersetzung (n). Dynamische Arbeitsblätter Nach der einleitenden Funktionsanalyse - die Einführung der Unendlichkeitsbedingung soll den Schülerinnen und Schülern den Modellbildungscharakter der Übung näher bringen - beginnt die eigentliche Aufgabe: die Bearbeitung von dynamischen Arbeitsblättern mit interaktiven Übungen. Eingegebene Antworten werden auf Richtigkeit überprüft, so dass die Lernenden stets ein Feedback über den Erfolg ihrer Bemühungen erhalten. Differenzierung Der letzte Aufgabenteil der Lernumgebung soll der Binnendifferenzierung während der Bearbeitung der Aufträge dienen. Schülerinnen und Schüler, die mit der Bearbeitung der vorgegebenen Aufgaben fertig sind, können anschließend selbstständig im Netz auf die Suche nach weiteren Unendlichkeitsmaschinen gehen, von diesen die Übersetzung (Zähne der Zahnräder zählen) ermitteln und die Erfüllung der Unendlichkeitsbedingung (Stufen der Unendlichkeitsmaschinen) bestimmen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I