Mit der individuellen Berechnung des ökologischen Fußabdrucks können Lernende ihren persönlichen Ressourcenverbrauch feststellen. In der Verbindung mit einem WebGIS lassen sich vergleichende Untersuchungen zum ökologischen Potenzial und zur ökologischen Reserve anstellen. Schließlich sollen Möglichkeiten der Reduzierung des Verbrauchs erarbeitet und diskutiert werden. Der ökologische Fußabdruck stellt eine Methode zur Berechnung des Ressourcenverbrauches dar. Dabei werden fünf Lebensbereiche angesprochen und der damit verbundene Ressourcenverbrauch nach einer recht komplizierten Rechnung in ein Flächenmaß, den globalen Hektar gha, umgerechnet. Je nach ökologischem Potenzial kann ermittelt werden, ob man über oder unter den gebotenen Verhältnissen lebt. Global gesehen stehen 1,8 gha zur Verfügung, der derzeitige ökologische Fußabdruck beträgt aber 2,2 gha. Dabei zeigt sich aber, dass es große regionale Unterschiede sowohl im Angebot als auch im Verbrauch von Ressourcen auf der Erde gibt. Mehrere interaktive Online-Angebote zur Berechnung lassen den eigenen Lebensstil messen und führen zu der Erkenntnis, dass dieser mehr oder weniger deutlich über dem für Deutschland errechneten Potenzial von 1,9 gha liegt. Dort bleibt der Unterricht aber nicht stehen, vielmehr lernen die Schülerinnen und Schüler anhand praktikabler Vorschläge, wie sie ihren Ressourcenverbrauch senken und damit zu einem nachhaltigeren Lebensstil beitragen können. Somit wird dem Gedanken ?Global denken, lokal handeln? in beispielhafter Weise entsprochen. Im ersten Schritt sollten die Schülerinnen und Schüler anhand eines Arbeitstextes in die Thematik einsteigen. Anschließend können mit WebGIS Sachsen auf thematischen Karten vorhandene Daten landesweit und global eingeordnet und mit dem landesspezifischen ökologischen Potenzial vergleichen werden. Dabei wird schnell deutlich, dass wir mit unserem Lebensstil mehr Fläche benötigen, als zur Verfügung steht. Wie nachhaltig ist mein Verhalten? Mit dem ökologischen Fußabdruck lernen die Schülerinnen und Schüler eine Möglichkeit kennen, eigenes Verhalten auf seine Nachhaltigkeit hin zu bewerten und zu diskutieren. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen Inhalt und Einflussgrößen des ökologischen Fußabdrucks sowie Grenzen der Aussagekraft kennen lernen. ihren eigenen ökologischen Fußabdruck bestimmen. regionale Unterschiede im ökologischen Potenzial und den ökologische Reserven erkennen. Möglichkeiten und Maßnahmen eines nachhaltigeren Lebensstils kennen lernen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen WebGIS als Informationsquelle und zum Anfertigen thematischer Karten nutzen. Multiple-Choice-Tests durchführen. aus weiteren Online-Angeboten Informationen gewinnen. Um eine effektive Arbeitsweise zu ermöglichen, sollten sich zunächst die Lernenden mithilfe eines Arbeitstextes wesentliche Inhalte erarbeiten. Den Schülerinnen und Schülern muss bewusst gemacht werden, dass es sich hier um eine wissenschaftliche Methode handelt, die nach klar definierten Grenzwerten aufgestellt worden ist. Daher ist die Diskussion über die Grenzen der Methode notwendig und wird durch den Arbeitsauftrag auf dem Arbeitsblatt auch angeregt. Für die Berechnung des persönlichen ökologischen Fußabdrucks stehen mehrere Angebote im Internet zur Verfügung. Die Schülerinnen und Schüler sollten den Begriff der Nachhaltigkeit kennen. Auch sollten sie über Grundkenntnisse im Umgang mit einem WebGIS verfügen. Die Arbeit mit dem Karteneditor stellt für die meisten Lernenden keine Schwierigkeit dar. Zur Unterstützung können auch die Hinweise zur Kartengestaltung aus der Unterrichtseinheit "Globale Entwicklungsunterschiede differenzieren" genutzt werden. Voraussetzungen und Tipps zur Nutzung des Karteneditors Hier finden Sie Hinweise zu den technischen und inhaltlichen Voraussetzungen der Unterrichtseinheit sowie zur Nutzung des Karteneditors des "WebGIS Sachsen". Teil1 (Arbeitsblatt 1) Erläuterung des Begriffes biologische Kapazität und dessen Abgrenzung zum ökologischen Fußabdruck unter Nutzung der gegebenen Textquelle Erstellung einer thematischen Karte zur globalen Verteilung des ökologischen Potenzials Diskussion der Karte (WebGIS) Ermittlung der Zusammensetzung des ökologischen Fußabdrucks Recherche nach Argumenten gegen das Konzept Ermittlung des persönlichen ökologischen Fußabdrucks mittels eines Online-Rechners Vergleich und Diskussion der ermittelten Werte mit dem Durchschnittswert für Deutschland Hinführung zum Ländervergleich durch die Auswertung der Weltkarte zum ökologischen Fußabdruck (WebGIS) Die Fragestellung, inwieweit der ökologische Fußabdruck mit dem ökologischen Potenzial vereinbar ist, führt zur ökologischen Reserve. Erstellung der thematischen Karte zur ökologischen Reserve (WebGIS) Diskussion der Ergebnisse Hinführung zur Notwendigkeit von Maßnahmen für eine nachhaltigere Entwicklung im Sinne der Absenkung des persönlichen Verbrauchs Diskussion zu persönlichen Handlungsänderungen und deren Begrenztheit Technische Voraussetzungen Mit den standardmäßigen Sicherheitseinstellungen des Browsers ist "WebGIS Sachsen" meist nicht vollständig nutzbar. Der Karteneditor läuft als Popup. Popups sind in den Browsereinstellungen jedoch meist gesperrt. Daher müssen im Vorfeld des Unterrichts in den Browser-Menüs Popups zugelassen werden. Außerdem muss im Browser JavaScript aktiviert sein. Funktionen des WebGIS-Dienstes kennen lernen Damit die Lernenden eine differenziertere Skalierung mithilfe des "WebGIS Sachsen" selbstständig durchführen können, müssen vorher wesentliche Eigenschaften des Karteneditors gemeinsam oder selbstständig mit der Online-Hilfe des WebGIS-Dienstes erarbeitet werden. Dies könnte auch zu Hause erfolgen. Nach erfolgter Registrierung bei "WebGIS Sachsen" können Karten auf dem sächsischen Bildungsserver gespeichert werden (über einen Klick auf das Diskettensymbol in der oberen Werkzeugleiste des WebGIS kommen Sie zum Anmeldeformular). Auch diese Funktion wird in der Online-Hilfe des WebGIS-Dienstes erläutert. Somit kann wertvolle Unterrichtszeit gespart werden. Nach der Erstellung der eigenen Legenden sollte die inhaltliche Arbeit zu Entwicklungsunterschieden der Erde erfolgen. Die prinzipiellen Funktionalitäten des WebGIS sind auf den WebGIS-Sachsen-Seiten in Form einer Kurzanleitung als PDF-Datei abrufbar. 1. Weltkarte aufrufen Rufen Sie auf der "WebGIS Sachsen"-Homepage den Online-Dienst zum Thema "Regionale Disparitäten auf der Erde" auf. 2. Karteneditor aufrufen Klicken Sie in der oberen Werkzeugleiste auf das Symbol des Karteneditors (rotes, gelbes und grünes Quadrat). Es wird die vorgegebene Legende dargestellt. 3. Legende nach eigenen Kriterien verändern In dem Fenster des Karteneditors können Sie nun die Klassen sowie die Zahl der Klassen verändern. Achten Sie darauf, dass in der Skalierung keine Lücken in den Werten entstehen! Länder, die in diese Lücken fallen, werden in der neuen Karte nicht dargestellt. Um dies zu verhindern, sollte der Maximalwert der unteren Klasse (mathematisch mit "kleiner als" definiert) der Minimalwert der nächst höheren Klasse (mathematisch mit "größer/gleich als" definiert) sein. 4. Kartentitel eingeben Der von Ihnen in das entsprechende Feld eingegebene neue Kartentitel erscheint über der Legende in der neu erstellten Karte. 5. "Neue Legende erstellen" und "Neue Karte erstellen" Wichtig: Soll die erstellte Karte von den Schülerinnen und Schüler zu Hause oder zu einem späteren Zeitpunkt im Unterricht weiter bearbeitet und verändert werden, muss als letzter Schritt "Neue Karte erstellen" angeklickt werden. Die neue Karte erscheint dann im Ordner "Eigene Karten" im WebGIS-Browserfenster. Nur die in diesem Ordner abgelegten Karten können nach einer Registrierung gespeichert werden. Alle anderen Veränderungen der Legenden werden mit dem Schließen des Browsers gelöscht.

Dateien im MP3-Format sind heutzutage sehr verbreitet. Dass hinter MP3 jede Menge interessante Mathematik steht, ist vielen nicht bewusst. Wer kennt nicht MP3-Dateien? Mit ihnen ist es möglich, große Mengen von Musik auf kleinstem Raum zu speichern und wieder abzuspielen: denn mit MP3 kann man den Speicherplatz, den man benötigt, um eine Audiodatei zu speichern, auf einen Bruchteil reduzieren. Auf modernen MP3-Playern von der Größe einer Streichholzschachtel ist es möglich, bis zu 200.000 Minuten Musik (das entspricht 130 Tagen) zu speichern. Diese Unterrichtseinheit soll einige der Prinzipien, auf denen MP3 basiert, näher beleuchten und allgemein verständlich darstellen. Dies umfasst biologische, physikalische und mathematische Aspekte. Ausgehend von verschiedenen Hörbeispielen zur Einführung werden die mathematischen Grundlagen betrachtet, die hinter der Zerlegung von Frequenzen liegen. Prinzip von MP3 und Grundlagen Wie lassen sich große Datenmengen von Video- und Audiodateien im MP3-Format platzsparend speichern? Was hört das menschliche Ohr - und was nicht? Die Grenzen des menschlichen Gehörs und welche Rolle dabei der verdeckende Schall und der verdeckte Schall spielen. Prinzip der Multiskalenanalyse Zerlegt man musikalische Töne in ihre Einzelfrequenzen, müssen ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachtet werden. Multiskalenanalyse mithilfe von Rechteckschwingungen Tonsignale lassen sich auch in Rechteckschwingungen zerlegen, deren Skala zunehmend gröber wird. Huffman-Codierung Um in MP3 die verbliebenen Informationen effizient abzuspeichern, nutzt man die Huffman-Codierung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Prinzipien, auf denen MP3 basiert, kennen lernen. ein grundlegendes Verständnis für das Hören von Tönen und Klängen entwickeln. einige Grenzen des menschlichen Gehörs kennen lernen. das Prinzip der Zerlegung eines Klanges in Einzelfrequenzen am Beispiel einer Multiskalenanalyse nachvollziehen. Thema MP3 - ein Beispiel für angewandte Mathematik im Alltag Autoren Dr. Anton Schüller, Prof. Dr. Ulrich Trottenberg, Dr. Roman Wienands Fach Mathematik, Physik, Biologie oder Differenzierungsbereich Mathematik/Naturwissenschaft Zielgruppe ab Klasse 8 oder im Rahmen eines Projektkurses in der Oberstufe Zeitraum 3 bis 4 Stunden oder im Rahmen einer Projektwoche Technische Voraussetzungen Computer mit Soundkarte, Software zur Wiedergabe von Audio- und Videodateien im avi-Format, zum Beispiel Windows Media Player oder Real Player MP3 ist eine Abkürzung von MPEG Audio Layer 3, wobei MPEG für Moving Picture Experts Group steht, die 1988 gegründet wurde, um einen Standard für die effiziente Kodierungvon Videocodes zu entwickeln. MP3 basiert auf dem Prinzip, dass nur der Anteil von einem Musikstück gespeichert werden muss, den das menschliche Ohr auch hören kann. Dies mag auf den ersten Blick ein wenig überraschend klingen. Hören wir denn nicht alles, was in einem Musikstück enthalten ist? Tatsächlich ist das menschliche Ohr nicht in der Lage, alle Details, die in einem Musikstück enthalten sind, wahrzunehmen. Zur Einführung in das Thema eignet sich das Zeigen der Audio-Video-Datei audio_video_kompression.avi. Hier wird gleichzeitig an einem visuellen und auditiven Beispiel demonstriert, wie sich die Qualität von Bildern und Musik verändert, wenn man die zugehörigen Dateien immer weiter komprimiert. Bei der Datenkompression bleibt die Qualität für die menschliche Wahrnehmung zunächst erhalten und man spart große Mengen Speicherplatz. Irgendwann werden jedoch die Qualitätsverluste bemerkbar. Komprimiert man dann immer noch weiter, so verschlechtert sich die Qualität dramatisch. Wieso können wir überhaupt das hören, was jemand sagt, der einige Meter von uns entfernt ist? Der Grund hierfür ist das physikalische Phänomen des Schalls. Schall entsteht, weil die Moleküle eines Mediums (zum Beispiel Luft) zum Schwingen gebracht werden. Dadurch stoßen sie an benachbarte Moleküle, bringen auch diese ins Schwingen und so weiter. Abb. 1 (bitte anklicken) zeigt eine Animation der Molekülbewegungen. Solch eine (mechanische) Schwingung breitet sich in festen, flüssigen oder gasförmigen Stoffen wellenförmig aus. Schall breitet sich als sogenannte Longitudinalwellen aus, also immer parallel zur Ausbreitungsrichtung. Die Animation in Abb. 2 (bitte anklicken) verdeutlicht dies. Entsteht ein Ton dadurch, dass eine Gruppe von Molekülen ganz regelmäßig hin und her schwingt, beispielsweise 400 mal pro Sekunde, so sagen wir auch, der Ton hat eine Frequenz von 400 Hertz, das heisst die Schwingung erfolgt 400 mal pro Sekunde. Das menschliche Ohr kann nur Töne wahrnehmen, die zwischen etwa 16 und 20.000 Hertz liegen. Ist c die Schallgeschwindigkeit in einem Medium, f die Frequenz einer Schallwelle (das heißt einer sich wellenförmig ausbreitenden Schwingung) und λ (sprich lambda) die Wellenlänge, so gilt c = λ * f Sind zwei dieser drei Größen bekannt, so kann man die dritte hiermit berechnen. Je weiter die Moleküle in der Luft hin und her schwingen, desto lauter ist der Ton. Die Lautstärke beschreibt also den Unterschied zwischen Berg und Tal der Schwingung. Geräusche haben keine exakt bestimmbare Tonhöhe mehr. Sie sind nichtperiodische Schallereignisse, die durch Überlagerungen vieler Schwingungen unterschiedlicher Frequenz mit rasch wechselnder Amplitude entstehen. Mit anderen Worten: "Der Unterschied von Ton/Klang zu Geräusch ist in der Regelmäßigkeit der Schwingung zu finden. Bei einem Geräusch ist die Schwingbewegung der Luft sehr ungleichmäßig, bei Tönen dagegen handelt es sich um immer wiederkehrende gleichförmige Luftbewegungen". Alles, was wir hören, besteht aus Überlagerungen von Schwingungen, die sich in einem Medium wie der Luft wellenförmig ausbreiten. Diese wellenförmige Ausbreitung bedeutet physikalisch gesehen, dass das menschliche Ohr Druckschwankungen wahrnimmt, die aus einer Überlagerung von Schwingungen unterschiedlichster Frequenzen resultieren. Diese Druckschwankungen führen zu einem entsprechenden Schwingen des Trommelfells. Das menschliche Ohr ist wiederum imstande, dieses Schwingen des Trommelfells über Sinneshaare im Innenohr, die auf unterschiedliche Frequenzen spezialisiert sind, in einzelne Tonfrequenzen zu zerlegen und als Nervenreize an das Gehirn weiterzuleiten. Diese werden dann vom Gehirn als Töne, Klänge und Geräusche interpretiert. Grenzen des menschlichen Gehörs: Abb. 3 zeigt Hörschwelle, Schmerzgrenze, Musik- und Sprachwahrnehmbarkeit in Abhängigkeit von der Frequenz. Nach rechts ist die Frequenz und nach oben die Lautstärke (in der Maßeinheit "Dezibel") aufgetragen. Man beachte dabei, dass "Dezibel" eine logarithmische Maßeinheit ist. Wegen log 1 = 0 bedeutet 0 Dezibel gerade nicht, dass völlige Stille herrscht. In Abb. 4 werden die Grenzen des menschlichen Gehörs deutlich: Die Hörschwelle wird angehoben durch die Anwesenheit von Tönen mit einer Frequenz von 1 kHz und verschiedenen Lautstärken (in jeweils unterschiedlichen Farben dargestellt). mp3 macht sich zunutze, dass die akustischen Informationen, die das menschliche Ohr überhaupt nicht wahrnehmen kann, auch nicht abgespeichert werden müssen. Für MP3 müssen also die Tonsignale wieder in die einzelnen Frequenzen zerlegt werden, aus denen sie zusammengesetzt sind. Anschließend werden die Anteile, die für das menschliche Gehör ohnehin nicht wahrnehmbar sind, aus der Frequenzdarstellung entfernt, denn nur die hörbaren Anteile müssen überhaupt gespeichert werden. In den Videoclips wird demonstriert, wie MP3 funktioniert. An diesen Hörbeispielen wird deutlich, dass man im MP3-Format nur einen kleinen Teil der ursprünglichen Frequenzen zu speichern braucht. Den überwiegenden Rest der Informationen kann man weglassen, ohne dass das menschliche Ohr einen Unterschied zur Originalversion wahrnimmt. Die Töne im weißen Bereich des dritten Beispiels (musikbeispiel_orig_minus_mp3.avi) werden in der Originalversion durch andere dominantere Töne überdeckt und werden somit im Gesamtzusammenhang des Musikstücks nicht wahrgenommen. Erst wenn die dominanten Töne wegfallen, werden die restlichen Töne für das menschliche Ohr hörbar. Musikalische Töne bestehen aus einer Überlagerung einer Vielzahl von Schwingungen. Wie zuvor bereits erläutert, sind nur die Schwingungen mit Frequenzen zwischen etwa 20 und 20.000 Hertz für den Menschen hörbar. Der Faktor zwischen den niedrigsten und den höchsten hörbaren Frequenzen beträgt damit immerhin 1.000 = 10³, also 3 Zehnerpotenzen. Wenn wir also musikalische Töne wieder in die darin enthaltenen Einzelfrequenzen zerlegen wollen, müssen wir ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachten. Da die Frequenzen in einem bestimmten Medium wie der Luft in direktem Zusammenhang mit den zugehörigen Wellenlängen stehen (wie in der Gleichung zu Prinzip von MP3 und Grundlagen ), können wir ganz analog auch sagen, wir müssen ganz unterschiedliche Skalen von Wellenlängen betrachten. Eine derartige Multiskalenanalyse ist durchaus nicht ungewöhnlich, wenn man die Eigenschaften von Objekten beobachten oder analysieren will. Anhand von zwei Beispielen wird das Prinzip der Multiskalenanalyse verdeutlicht. Im ersten Beispiel wird eine Multiskalenanalyse durch fortgesetzte Mittelwertbildung für eine gegebene Zahlenfolge durchgeführt. Im zweiten Beispiel betrachten wir die Zerlegung eines Tonsignals in sogenannte Wavelets, was der Zerlegung in Rechteckschwingungen entspricht. Wir betrachten als Beispiel folgende Zahlenfolge von Quadratzahlen: 0 1 4 9 16 25 36 49. Fassen wir die Zahlen in Paare zusammen und bilden die Mittelwerte dieser Paare, so erhalten wir die Folge 0,5 6,5 20,5 42,5. Fassen wir diese Zahlen ebenfalls wieder zu Paaren zusammen und bilden die Mittelwerte der Paare, so erhalten wir die Folge 3,5 31,5. Für dieses Zahlenpaar haben wir den Mittelwert 17,5. Wir haben jetzt die ursprüngliche Zahlenfolge in mehrere Skalen von Mittelwerten überführt: Um von einer Mittelwertskala wieder zur vorhergehenden zu gelangen, benötigen wir die Abweichungen der Mittelwerte von den zugehörigen Werten auf der vorigen Skala: 17,5 - 14 = 3,5 beziehungsweise 17,5 + 14 = 31,5 Entsprechend auf der nächstgröberen Skala: 3,5 - 3 = 0,5 3,5 + 3 = 6,5 31,5 - 11 = 20,5 31,5 + 11 = 42,5 Ganz analog können wir auch von der feineren Skala von Mittelwerten zu unserer ursprünglichen Folge zurückkehren: Die gröbste Skala von Mittelwerten und diese Abweichungen können wir uns wie in folgendem Schema merken. Hier ist zusätzlich die ursprüngliche Zahlenfolge nochmals mit aufgeführt: Zu den ursprünglichen Zahlen zurück kommen wir jetzt, indem wir den Mittelwert auf der gröbsten Skala und die entsprechenden gespeicherten Abweichungen auf allen feineren Skalen einfach addieren. Ein Beispiel: Annäherung an die Funktion durch Balken Um Tonsignale in Rechteckschwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu zerlegen, können wir ganz analog vorgehen. Abb. 9 zeigt links eine Funktion, die wir in Rechteckschwingungen zerlegen wollen. Da wir den Funktionsverlauf in der Praxis oft nicht genau kennen, sondern nur an bestimmten Werten messen, nähern wir die Funktion durch die einzelnen Messwerte an. Diese Messwerte werden durch die gefärbten Balken wiedergegeben. Multiskalenanalyse in beide Richtungen möglich Auf der rechten Seite der Abbildung 9 ist der umkreiste Ausschnitt der Funktion vergrößert dargestellt. Wir erläutern das Prinzip unserer Multiskalenanalyse im Folgenden anhand dieses Ausschnitts. Vergröberung der Skalen Die linke Skizze in Abb. 10 zeigt, dass wir wie im vorangegangenen Abschnitt bei der Prinzip der Multiskalenanalyse wieder Mittelwerte der gemessenen Funktionswerte bilden, um auf die nächstgröbere Skala zu kommen. Dieses Vorgehen können wir fortsetzen, um auf gröbere Skalen zu kommen. Die mittlere Grafik von Abb. 10 zeigt den Mittelwert auf der entsprechenden nächstgröberen Skala. Verfeinerung der Skalen Aber auch die andere Richtung ist denkbar: Zurück zur feinen Skala der Funktion können wir wieder kommen, indem wir wieder die Abweichungen zum Mittelwert hinzu addieren. So erhalten wir wieder die ursprünglichen Messwerte der Funktion zurück. Betrachten wir jetzt die rechte Seite in dieser Abbildung genauer, so stellen wir fest, dass wir tatsächlich unseren Funktionsausschnitt in eine Folge von Rechteckschwingungen zerlegt haben. Abweichungen entsprechen der Rechteckschwingung Dabei sind wir ganz genauso vorgegangen wie bei der Multiskalenanalyse unserer Zahlenfolge im vorangegangenen Abschnitt ( Prinzip der Multiskalenanalyse ). Die Zahlenfolge dort können wir auch auffassen als Messwerte für die Funktion f(x) = x 2 . Daher haben wir auch dort bereits eine Zerlegung dieser Funktion in Rechteckschwingungen durchgeführt. Dies wird deutlich, wenn wir die Abweichungen auf den einzelnen Skalen nochmals genauer betrachten. Wir stellen dabei fest, dass je zwei dieser Abweichungen den gleichen Betrag haben, sich aber im Vorzeichen unterscheiden; so können z.B. die Werte ?3 und +3 auf der zweitfeinsten Skala von Abweichungen als eine Rechteckschwingung (der Höhe 3) aufgefasst werden. Prinzip der Codierung Wie bereits zu Beginn dieser Unterrichtseinheit erwähnt wurde, kann das menschliche Ohr insbesondere in polyphoner Musik (wenn viele Töne gleichzeitig erklingen und sich überlagern) viele Informationen nicht wahrnehmen. Daher werden die unhörbaren Anteile in MP3 nur ungenau gespeichert. Zusätzlich wird eine weitere Reduktion des zu speichernden Datenvolumens dadurch erreicht, dass man eine sogenannte Huffman-Codierung verwendet. Die Idee der Huffman-Codierung lässt sich am Beispiel der Codierung eines Textes einfach beschreiben: In einem Text kommen Buchstaben unterschiedlich häufig vor, in der deutschen Sprache beispielsweise das "e" viel häufiger als das "y". Deshalb verwendet man einen sehr kurzen Code für häufig vorkommende Buchstaben, längeren Code hingegen für Buchstaben, die nur selten vorkommen. Gleichzeitig ist aus einer Huffman-Codierung die ursprüngliche Information schnell, eindeutig und exakt reproduzierbar. Beispiele für Codierungen Ein Beispiel für eine derartige Codierung ist das Morsealphabet. Ein negatives Beispiel ist hingegen das Tippen einer SMS. Hier muss für häufig verwendete Buchstaben wie zum Beispiel "e" oder "n" zweimal gedrückt werden. Übertragen auf die Musik bedeutet dies: Meist besteht das ungenau zu speichernde Frequenzspektrum aus wenigen großen und vielen (also häufiger vorkommenden) kleinen Werten (Quantisierungswerte). Die Huffman-Codierung sorgt dann dafür, dass die digitalisierte Darstellung dieses Tons nur sehr wenig Speicherplatz einnimmt. Im Zusammenhang mit mp3 reduziert die Huffman-Codierung den Speicherplatz spürbar. Helmut Neunzert Einführungsvortrag auf dem Kongress Mathematik in der Praxis, Berlin, März 2009.

In dieser Unterrichtseinheit zu Satelliten setzen sich die Lernenden anhand der Fernerkundung mit dem Thema Optik auseinander. Dabei erkennen sie die Zusammenhänge zwischen elektromagnetischem Spektrum, Reflexion, Absorption und der Entstehung von Satellitenbildern. Die Materialien sind auf Deutsch und auf Englisch verfügbar und somit auch im englisch-bilingualen Unterricht einsetzbar. Die hier vorgestellte Lerneinheit erläutert die Funktionsweise eines Satelliten, der das von der Erdoberfläche reflektierte Licht zur Bildaufnahme nutzt und dabei auch Wellenlängen jenseits des sichtbaren Lichts einbezieht. Zusätzlich zum Verständnis der physikalischen Inhalte lernen die Schülerinnen und Schüler auf diese Weise auch Aspekte der Fernerkundung kennen. Eine "Vermittlerfigur" in Form eines virtuellen Professors begleitet die Lernenden bei der Erforschung des elektromagnetischen Spektrums. Das Projekt "Fernerkundung in Schulen" (FIS) des Geographischen Institutes der Universität Bonn beschäftigt sich mit den Möglichkeiten zur Einbindung des vielfältigen Wirtschafts- und Forschungszweiges der Satellitenfernerkundung in den naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei entstehen neben klassischen Materialien auch Anwendungen für den computergestützten Unterricht. Die Unterrichtseinheit "Was sieht ein Satellit? Dem Unsichtbaren auf der Spur" beschäftigt sich mit dem Themenkomplex Optik und geht dabei vor allem auf Reflexion, Absorption und die Wellenlängen des elektromagnetischen Spektrums ein. Durch den Bezug zur Satellitenbild-Fernerkundung werden diese drei Bereiche miteinander verknüpft und ergänzt. Zunächst soll an einem einfachen Beispiel die Charakterisierung verschiedener Objekte hinsichtlich ihrer unterschiedlichen Reflexions- und Absorptionseigenschaften untersucht werden. Weiterführend soll das gesammelte Wissen auf den Satelliten übertragen werden, so dass die Funktionsweise eines Satelliten verstanden wird. Als dritter Punkt wird dann neben der Betrachtung des sichtbaren Lichts der erweiterte Bereich des elektromagnetischen Spektrums (infrarotes Licht) mit einbezogen. Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Zusammenhänge zwischen elektromagnetischem Spektrum, Reflexion, Absorption sowie Aufnahme und Entstehung von Satellitenbildern zu verstehen. Aufbau des Computermoduls Das interaktive Modul "Was sieht ein Satellit?" gliedert sich in eine Einleitung und zwei darauf aufbauende Bereiche. Inhalte des Computermoduls Hier wird der Aufgabenteil mit den drei Bereichen Einleitung, Satellit und "unsichtbares" Licht genauer beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler lernen Reflexionseigenschaften unterschiedlicher Objekte kennen. können die Begriffe "Reflexion" und "Absorption" erklären und unterscheiden. können den Zusammenhang zwischen Objektfarbe und Reflexionseigenschaften erklären. lernen das elektromagnetische Spektrum kennen und verstehen, dass es neben dem sichtbaren Licht noch andere Wellenlängenbereiche gibt. können die Grundlagen der Umwandlung der Reflexionswerte in Bildinformationen beschreiben. können die Entstehung von Falschfarbenbildern beschreiben. Reflexion und Absorption - Alles was wir sehen Einführung in die Thematik, Zusammenhang zwischen Reflexion und Absorption So funktioniert ein Satellit Entstehung von Satellitenbildern anhand des unterschiedlichen Reflexionsverhaltens der Erdoberfläche Dem Unsichtbaren auf der Spur Elektromagnetisches Spektrum Beginn Die Unterrichtseinheit bedient sich der Möglichkeiten des Computers, um die Thematik der Satellitenbilder durch Animation und Interaktion nachhaltig zu vermitteln. Darüber hinaus sind die durchgeführten Analysen und Manipulationen des Satellitenbildes nur mithilfe eines Rechners durchführbar - ein Umstand, der den Lernenden den Computer nicht als reines Informations- und Unterhaltungsgerät, sondern auch als Werkzeug näher bringt. Das Modul ist ohne weiteren Installationsaufwand lauffähig. Es wird durch Ausführen der Datei Reflexion_Startmanager.exe gestartet. Allgemeine Hinweise Das Computermodul besteht aus drei Bereichen, die aufeinander aufbauen. Zu Beginn ist die gelbe Navigationsleiste am linken Rand noch leer. Erst nach Bestehen eines kleinen Tests am Ende jeder Einheit wird das Icon für den jeweiligen Bereich sichtbar, so dass man später über die Navigationsleiste wieder dorthin zurück gelangen kann. Jeder Bereich enthält einen Aufgabenteil mit Fragestellungen. So können die Schülerinnen und Schüler den Kern des Problems erfassen, durch den Test überprüfen und damit interaktiv arbeiten. Der erste Teil des Moduls wird nach dem Start automatisch geladen. In einem kurzen Einführungstext erfahren die Schülerinnen und Schüler, was sie in dem Modul erkunden und lernen sollen. Sie können interaktive Versuche durchführen, indem sie am Bildschirm das Reflexionsverhalten verschiedener Gegenstände beobachten. Die Fragen unter "Aufgaben" geben Hinweise, worauf dabei zu achten ist. Als Abschluss des Modulteils ist das Bestehen eines kleinen Multiple Choice-Tests erforderlich. Satellit Im zweiten Bereich "So funktioniert ein Satellit" wird das unterschiedliche Reflexionsverhalten von Gegenständen auf die Landschaft übertragen. Mit dem Vorwissen aus der Einführung können die Schülerinnen und Schüler nun diesen Aufgabenteil im Zweiergespräch diskutieren. Abschließend wird das Verständnis wieder mit einem kleinen Quiz überprüft. Sind alle Fragen richtig beantwortet, wird man zum dritten Teil weitergeleitet. Unsichtbares Licht Im dritten Teil ("Dem Unsichtbaren auf der Spur") können die Schülerinnen und Schüler die vorangegangenen Inhalte auf ein echtes Satellitenbild übertragen. Auch hier sind sie aufgefordert, sich in Zweiergruppen auszutauschen und die Fragestellungen am Computer interaktiv zu bearbeiten. Nach richtiger Beantwortung der Testfragen fasst der virtuelle Professor die Erkenntnisse abschließend noch einmal kurz zusammen. Reflexion Im ersten Teil des Lernmoduls werden die Schülerinnen und Schüler zunächst in die Thematik der Reflexion eingeführt. Nachdem sie das Lernprogramm starten, sehen sie zunächst eine relativ dunkle Bildschirmoberfläche. Um die Bedeutung des Lichts hervorzuheben, werden die Lernenden zunächst aufgefordert das Licht anzuschalten. Erst nach Einschalten aller relevanten Geräte (Licht, Kamera und Bildschirm) funktioniert der Versuch. Die Kamera lässt sich mit dem Mauszeiger ansteuern und entlang der Schiene hin- und herbewegen. Indem die Schülerinnen und Schüler mit dem virtuellen Professor spielerisch einen Versuch durchführen, erfahren sie, wie verschieden die Objekte auf dem Tisch - ein Kaktus, eine Chilischote, ein Hühnerei und eine schwarze Arbeitsunterlage - das Licht der Lampe reflektieren. Auf dem Bildschirm können sie nachvollziehen, in welchem Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts ein Objekt sehr viel beziehungsweise sehr wenig reflektiert. So können die Lernenden den Zusammenhang zwischen Objektfarbe und Höhe der Reflexion in den verschiedenen Wellenlängenbereichen herleiten. Absorption Um den Begriff der Absorption näher zu verdeutlichen, ist als Besonderheit eine schwarze Arbeitsunterlage integriert. Die Lernenden sollen zu der Frage angeregt werden, warum auf dem Bildschirm keine Ausschläge zu erkennen sind, wenn sich die Kamera über der Arbeitsunterlage befindet. Die Fragen, die sich unter "Aufgabe" finden, geben Arbeitshinweise zur Versuchsdurchführung (Abbildung 2, zum Vergrößern anklicken). Zur Überprüfung und Festigung des Gelernten ist ein Test integriert, den man über einen Button unten rechts im Bild erreicht (Box mit Fragezeichen). Aufnahme der Erdoberfläche Im zweiten Modulteil soll das Wissen aus dem virtuellen Labor übertragen werden. Ziel ist es, grundsätzlich die Funktionsweise eines Satelliten zu verstehen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass Satelliten die Erdoberfläche ähnlich aufnehmen wie zuvor die Kamera die Gegenstände auf dem Tisch im Labor. Ein Satellit misst vergleichbar einer Kamera beziehungsweise eines Spektroradiometers die von der Erdoberfläche reflektierte Strahlung. Darüber hinaus sollen die Schülerinnen und Schüler erfahren, dass die gemessenen Reflexionssignale zu Bildinformation verarbeitet werden können. Die Moduloberfläche des zweiten Teils zeigt zu Beginn eine skizzierte Landschaft über die ein Satellit hinweg fliegt (Abbildung 3). Am Boden zeigt ein rotes Quadrat an, welchen Ausschnitt der Satellit aktuell aufnimmt. Visualisierung Die Lernenden können mit dem Button "Bild übertragen" den aktuellen Ausschnitt der Landschaft visualisieren. Zur Förderung der visuellen Kompetenzen sowie der Sprachkompetenzen werden die Schülerinnen und Schüler dazu aufgefordert die Landschaft zu charakterisieren. Die Bilddarstellung erfolgt im rechten Teil des Bildschirmfensters über ein Farbbild und drei Grauwertbilder. Neben dem Farbbild wird für die Wellenlängenbereiche Blau, Grün und Rot das jeweilige Grauwertbild eingeblendet. Links neben den Bildern ist als zusätzliche Informationsquelle ein Diagramm integriert, in welchem für jedes Bildpixel die Höhe der Reflexion in den drei Wellenlängenbereichen angezeigt wird. Abschließend sollen sich die Lernenden mit der Frage beschäftigen, wie ein Satellit Bilder der Erdoberfläche erzeugt und wie ein Farbbild entsteht. Dritter Bereich: "unsichtbares" Licht Elektromagnetisches Spektrum Im dritten und letzten Teil des Lernmoduls erfolgt eine Erweiterung in der Betrachtung des elektromagnetischen Spektrums: Lernende können sich darüber informieren, dass das Spektrum auch aus weiteren Wellenlängenbereichen besteht. Einige dieser Bereiche des elektromagnetischen Spektrums können vom Satelliten bei der Bilderzeugung zusätzlich genutzt werden. Farbige Satellitenbilder Entsprechend enthält der dritte Modulteil statt einer schematischen Landschaftsskizze ein hochaufgelöstes Satellitenbild als Grundlage. Ähnlich wie im vorherigen Kapitel kann ein Bild übertragen und visualisiert werden. Der Unterschied besteht darin, dass neben den drei Wellenlängenbereichen des sichtbaren Lichts ein vierter Kanal aus dem Bereich des Infraroten Lichts zur Verfügung steht. Die Lernenden können somit aus den vier Kanälen drei auswählen und zur Erstellung eines Farbbildes jedem Kanal eine der Farben Rot, Grün oder Blau zuweisen (Abbildung 4). Durch Mausklick in das Farbbild am rechten oberen Bildschirmrand werden die Reflexionswerte für die einzelnen Wellenlängenbereiche angezeigt. Sie erscheinen als Kurve im elektromagnetischen Spektrum am oberen Bildschirmrand. Über die Kombination der Informationen sollen die Lernenden sich mit dem Begriff Falschfarbenbild auseinandersetzen und erklären können, warum zum Beispiel bei der Kanalkombination Infrarot - Rot - Grün die Vegetationsflächen im Farbbild rot dargestellt werden.

Die kostenfreie Planetarium-Software Stellarium und die hier bereit gestellten Materialien zum Basteln einer drehbaren Sternkarte bilden eine ideale Grundlage für den Einstieg in die Orientierung am Himmel. Viele Menschen, vor allem Kinder, sind vom Anblick des nächtlichen Sternenhimmels fasziniert. Nur wenige kennen jedoch die wichtigsten Sternbilder und die Möglichkeiten, deren Kommen und Gehen am Himmel zur räumlichen und zeitlichen Orientierung zu nutzen. Diese Unterrichtseinheit stellt Methoden und Materialien für eine solche Orientierung bereit. Im Unterricht entdecken die Schülerinnen und Schülern bei der spielerischen Arbeit mit der Software Stellarium die Sternbilder und die - je nach Jahreszeit und Beobachtungsort - unterschiedlichen Himmelsanblicke. Unterstützt von der drehbaren Sternkarte werden bei späteren Beobachtungen am realen Nachthimmel diese Aspekte wieder entdeckt. Mit älteren Schülerinnen und Schülern können sowohl mit Stellarium als auch mit drehbaren Sternkarten Betrachtungen zum äquatorialen Himmelskoordinatensystem angestellt werden. Stellarium Die Open Source Software Stellarium ist ein einfach zu bedienendes Hilfsmittel für erste Schritte zur Orientierung am Sternhimmel. Das Programm erlaubt es zum einen, die zufällige Anordnung der Sterne durch die bekannten Sternbilder mit der Merkhilfe "Sternbildlinien" zu strukturieren. Zum anderen ermöglicht es Stellarium, Veränderungen des sichtbaren Himmelsausschnitts in Abhängigkeit von der Beobachtungszeit und vom Beobachtungsort zu erkennen. Daneben kann Stellarium das in der Astronomie oft verwendete äquatoriale Himmelskoordinatensystem veranschaulichen. Die Drehbare Sternkarte zum selber Basteln Die Orientierung bei realen nächtlichen Himmelsbeobachtungen erfolgt zumeist nicht mittels Computer, sondern mit einer drehbaren Sternkarte. Eine solche Sternkarte wird von den Schülerinnen und Schülern im Verlauf der beschriebenen Unterrichtseinheit selbst hergestellt, ihre Handhabung wird geprobt, und die mit Stellarium gewonnenen Erkenntnisse werden am Original-Sternhimmel wieder entdeckt und nachvollzogen. "Trockenübungen" mit Stellarium Mithilfe von Stellarium "experimentieren" Schülerinnen und Schüler mit dem Himmel, lernen Sternbilder und das "bewegliche äquatoriale Koordinatensystem" der Himmelskugel kennen. Orientierung am Himmel mit der drehbaren Sternkarte Hier finden Sie Kopiervorlagen, mit denen Schülerinnen und Schüler eine eigene Sternkarte basteln können, sowie eine Bauanleitung und Hinweise zur Nutzung der Karte. Die Schülerinnen und Schüler sollen sich in die Planetarium-Software Stellarium einarbeiten. Sternbilder kennen lernen und diese später mit einer drehbaren Sternkarte am Abendhimmel wieder finden. den mit den Jahreszeiten wechselnden Himmelsanblick mit Stellarium entdecken und diesen Wechsel mit der drehbaren Sternkarte nachvollziehen. die Veränderung des Sternhimmels beim Wechsel des Beobachtungsortes erfahren. eine drehbare Sternkarte aus einfachen Vorlagen selbst herstellen. das Gradnetz des äquatorialen Koordinatensystems am Himmel kennen lernen. Thema Erste Schritte zur Orientierung am Sternhimmel Autor Peter Stinner Fächer Naturwissenschaften ("Nawi"), Geographie, Klassenprojekte Zielgruppe Klasse 5-10 Zeitraum etwa 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Computer für Einzel- und Partnerarbeit, im Idealfall Präsentationsrechner mit Beamer; Laminiergerät, Schere, Locheisen oder Lochzange (Durchmesser 4 mm) zur Herstellung drehbarer Sternkarten Software Stellarium (Planetarium-Software, kostenfreier Download) Den Tag zur Nacht machen Die Software Stellarium ist im Wesentlichen intuitiv bedienbar. Die wichtigsten Funktionen und die Menüsteuerung stellen wir Ihnen kurz im Bereich Fachmedien vor (siehe Stellarium ? ein virtuelles Planetarium für die Schule ). Nach dem Start zeigt Stellarium den der Systemzeit des Rechners entsprechenden Himmelsanblick. In der Schule wird dies normalerweise der Taghimmel sein. Die Sonne bewegt sich mit "realistischer" Geschwindigkeit, also sehr langsam. (Mehrfaches) Betätigen von Button 19 im unteren Menü der Software (Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken) beschleunigt die Himmelsbewegung. Mit Button 17 stellt man die Geschwindigkeit wieder auf "normal". Die Schülerinnen und Schüler werden sehen, wie Gestirne im Osten aufgehen, ihren Bahnbogen am Himmel beschreiben und im Westen untergehen. Mit Button 16 lässt sich dieser Vorgang rückwärts abspulen, Nummer 18 setzt den Himmelsanblick zurück auf die Systemzeit des Rechners. Zirkumpolarsterne im Visier Verkleinert man den Maßstab der Himmelsansicht (mit dem Scrollrad der Maus nach unten scrollen), dann erscheinen auch Sterne in größerer Höhe über dem Horizont. Die Schülerinnen und Schüler werden sehen, dass manche Sterne nie untergehen: die Zirkumpolarsterne. Bei unserer geographischen Breite von etwa 50 Grad sind dies alle die Sterne, die um weniger als 50 Grad vom Polarstern entfernt sind. Alles dreht sich um den Polarstern Um den kompletten sichtbaren Himmel darzustellen, scrollt man zunächst nach unten, bis das Bild sich nicht weiter verkleinert. Ziehen des Mauszeigers (bei gedrückter linker Maustaste!), ausgehend von der Bildschirmmitte um wenige Zentimeter nach unten, liefert dann die Projektion des gesamten Himmels auf einen Kreis. Man beschleunigt die Himmelsbewegung und erkennt sofort, dass der komplette Sternhimmel sich um einen über dem Nordhorizont befindlichen Stern dreht - den Polarstern. Der Polarstern ist entgegen landläufiger Meinung nicht der hellste Stern am Himmel und für Anfänger erst einmal gar nicht so leicht aufzufinden. Mithilfe der auffälligen Sternbilder Großer Wagen und Kassiopeia, die beide zirkumpolar und deshalb in jeder Nacht sichtbar sind, gelingt dies jedoch meist problemlos (Abb. 2). Der Polarstern weist in sehr guter Näherung die geographische Nordrichtung. Die Drehung der zirkumpolaren Sternbilder Kassiopeia und Großer Wagen wird sehr schön durch eine Animation bei Wikimedia Commons dargestellt, die auch als Grundlage für Abb. 2 verwendet wurde: Wikimedia Commons: Zirkumpolar ani.gif Animiertes GIF zur Bewegung der zirkumpolaren Sterne Sternbilder sind zufällige Anordnungen von Sternen im dreidimensionalen Raum, projiziert an die Oberfläche der scheinbaren "Himmelskugel". Sterne eines Sternbildes haben in der Regel ganz unterschiedliche Entfernungen von der Erde. Einige der wichtigsten Sternbilder begegneten uns oben bereits im Zusammenhang mit dem Aufsuchen des Polarsterns: Kassiopeia, Großer Wagen und Kleiner Wagen. Die beiden letzteren sind Teile der größeren Sternbilder Großer Bär und Kleiner Bär. Mit Button 1 in der unteren Menüleiste von Stellarium (siehe Abb. 1) lassen sich so genannte "Sternbildlinien" als Strukturierungs- und Merkhilfen einblenden. Button 2 liefert zusätzlich die Sternbildnamen und mit Nummer 3 kann man figürliche Darstellungen der Sternbilder einblenden. Der Wechsel der Jahreszeiten am Himmel Über den zweiten Button von oben in der linken Menüleiste (Abb. 3) kann man die Beobachtungszeit und damit den Himmelsanblick mit den Jahreszeiten variieren. Das unterschiedliche Aussehen des Sternenhimmels in verschiedenen Jahreszeiten, in denen verschiedene Konstellationen den Südhimmel dominieren, wird unmittelbar einsichtig: Frühling* Der Frühlingshimmel wird vom Sternbild Löwe geprägt. *Sommer* Das "Sommerdreieck" mit den hellsten Sternen aus Leier (Wega), Schwan (Deneb) und Adler (Atair) dominiert den Nachhimmel im Sommer. *Herbst* Die "Andromeda-Kette" mit dem "Pegasus-Quadrat" prägt den Anblick des Nachthimmels im Herbst. *Winter Neben dem Sternbild Orion sind die hellen Sterne des "Wintersechsecks" sehr auffällig (Capella im Fuhrmann, Aldebaran im Stier, Rigel im Orion, Sirius im Großen Hund, Prokyon im Kleinen Hund, Kastor und Pollux in den Zwillingen). Reise zu fernen Orten mit Stellarium Die Erklärung dieser jahreszeitlichen Änderungen erfordert einige Zeit und vertiefte Kenntnisse von Erdbahngeometrie und den Eigenschaften der Erdrotation. Hochinteressant ist es nun, die Schülerinnen und Schüler über geeignete Ortseingaben (oberes Icon in der linken Menüleiste, siehe Abb. 3) mit Stellarium in entfernte Länder - insbesondere solche der Südhalbkugel - "reisen" und sich vom dortigen Sternhimmel faszinieren zu lassen. Projiziert man das Gradnetz der Erde vom Erdmittelpunkt aus an die Himmelskugel, erhält man am Himmel das äquatoriale Koordinatensystem (Abb. 4). In Stellarium kann dieses der Himmelsdarstellung per Mausklick hinzugeschaltet werden (Button 4 der unteren Menüleiste, siehe Abb. 1). Das äquatoriale Koordinatensystem ist fest mit dem Himmel verbunden, rotiert also von der Erde aus gesehen um den Polarstern. Stellarium zeigt diese Rotation eindrucksvoll. Man spricht auch vom "beweglichen Äquatorialsystem". Die beiden Koordinaten heißen jetzt nicht mehr Länge und Breite, sondern Rektaszension (RA) und Deklination (DEC). Deklination Die Deklination wird wie auf der Erde in Winkelgraden von -90 Grad bis +90 Grad angegeben. Die Nulllinie der Deklinationsmessung ist der Himmelsäquator, also die zentrische Projektion des Erdäquators an die Himmelskugel. Rektaszension Die Rektaszension wird in Stunden und Minuten angegeben. Da 360 Grad in etwa 24 Stunden Rektaszension entsprechen, entspricht eine Stunde in Rektaszension einem Winkel von 15 Grad. Rektaszensionswerte steigen von West nach Ost. Der Nullpunkt der Rektaszensionsskala liegt im Sternbild Widder. Er ist der so genannte Frühlingspunkt, also der Punkt, in dem die Sonne zu Frühlingsbeginn am Himmel steht. Der Frühlingspunkt ist der Schnittpunkt vom Himmelsäquator mit der Ekliptik, der scheinbaren Bahn der Sonne am Himmel. Der zweite Schnittpunkt von Himmelsäquator und Ekliptik ist der Herbstpunkt. Zu den Zeitpunkten, an denen die Sonne in ihrem scheinbaren Lauf diese Schnittpunkte überquert, herrscht die Tagundnachtgleiche (Äquinoktium). Materialien Die Dateien "grundblatt_sternkarte.jpg", "deckblatt_sternkarte.jpg" und "planetenzeiger_sternkarte.jpg" sind für den Ausdruck auf DIN-A4-Papier beziehungsweise Folie ausgelegt. Die Grafiken sollten vor dem Ausdruck in ihren Größen nicht verändert werden, damit alle Teile später zusammen passen. Ausdrucken, Schneiden, Kleben und Laminieren Beim Erstellen einer drehbaren Sternkarte aus diesen Elementen gehen die Schülerinnen und Schüler wie folgt vor: Grundblatt Das Grundblatt wird auf gewöhnliches Papier farbig ausgedruckt und entlang des äußeren Kreises ausgeschnitten. Eine Laminierung (am besten mit 125 Mikrometer starkem Material) macht die Sternkarte feuchtigkeitsbeständig. Überstehende Laminierung schneidet man ab, lässt aber etwa fünf Millimeter über den äußeren Kreis des Grundblatts stehen. Deckblatt Das Deckblatt kopiert man auf möglichst kräftige, dicke Transparentfolie. Beide Teile werden längs der äußeren Begrenzungslinien ausgeschnitten und mit zweiseitigem Klebeband passgenau zusammengefügt. Dabei müssen sich die Teile knapp zwei Zentimeter überlappen. (Dafür hat sich zum Beispiel Doppelband-Fotostrip von Tesa bewährt.) Das Zusammenfügen der beiden Deckblattteile ist erfahrungsgemäß der einzige Bastelschritt, bei dem jüngere Schülerinnen und Schüler Hilfe benötigen. Planetenzeiger Die "Planetenzeiger" kopiert man ebenfalls auf Transparentfolie und schneidet den Ausdruck in die zehn vorgesehenen Streifen. Zur Versteifung werden die so erhaltenen Planetenzeiger laminiert. Montage der drehbaren Sternkarte Alle drei Teile werden nun mit einem Locheisen (Durchmesser vier Millimeter) oder einem ähnlichen Werkzeug gelocht und dann in der Reihenfolge Grundblatt-Deckblatt-Planetenzeiger mit einer Musterklammer oder einer Hohlniete drehbar verbunden. Beim Grundblatt geht das Loch genau durch den Polarstern in der Mitte, beim Deckblatt durch das Kreuz im Kreismittelpunkt und beim Planetenzeiger durch das "X" auf der Skala (etwa acht Millimeter oberhalb der 80-Grad-Marke). Einstellen von Datum und Uhrzeit Die PowerPoint-Präsentation "sternkarte_handhabung.ppt" erläutert das Einstellen der drehbaren Sternkarte nach Datum und Uhrzeit. Man dreht das Deckblatt so, dass das Datum auf dem Grundblatt und die Uhrzeit auf dem Deckblatt mit dem Zeitpunkt der Beobachtung übereinstimmen. Die PowerPoint-Präsentation zeigt dies beispielhaft für den 15. Juli um 24:00 Uhr und den 20. September um 01:00 Uhr. Der geschwärzte Teil des Deckblatts verdeckt nun den Teil des Sternenhimmels, der sich unter dem Horizont befindet, der also aktuell nicht sichtbar ist. Die beiden letzten PowerPoint-Folien illustrieren, wie die drehbare Sternkarte - je nach Beobachtungsrichtung - zu halten ist, damit der beobachtete Teil des Himmels genauso wie der entsprechende Bereich der Sternkarte orientiert ist. Simulationen mit der Sternkarte Eine "Reise" auf die Südhalbkugel der Erde (wie mit Stellarium) ist mit der drehbaren Sternkarte nicht möglich. Diese zeigt nur den Himmel für Orte mit etwa 50 Grad nördlicher Breite. Zwei Effekte, die die Schülerinnen und Schüler zuvor mit Stellarium kennen gelernt haben, können sie aber auch mit der drehbaren Sternkarte erneut simulieren: Himmelsdrehung Der sichtbare Himmelsausschnitt ändert sich beim Drehen des Deckblatts im Uhrzeigersinn, während man das Grundblatt fest hält. Man simuliert damit die scheinbare Himmelsdrehung. Wechsel der Jahreszeiten Dreht man nun das Grundblatt bei festem Deckblatt gegen den Uhrzeigersinn, dann erhält man einen Eindruck von der Änderung des sichtbaren Himmelsausschnitts im Laufe der Jahreszeiten. Unsere Sternkarte hat keine eigene Rektaszensionsskala. Jüngere Schülerinnen und Schüler würde dies nur verwirren. Es gibt aber einen eindeutigen Zusammenhang zwischen dem Rektaszensions-Wert eines Himmelsobjekts und dem Wert auf der Datumsskala des Sternkartengrundblatts. Dieser Zusammenhang ist in der Grafik "tabelle_umrechnung_RA_datum.jpg" in Tabellenform dargestellt. Will man diese Option nutzen, empfiehlt es sich einen Ausdruck der Tabelle vor dem Laminieren auf die Rückseite des Sternkarten-Grundblatts zu kleben. Zum Auffinden eines Himmelsobjekts nach Koordinaten stellt man zuerst den Planetenzeiger auf den Datumswert, der laut Tabelle dem Rektaszensionswert des Objekts entspricht. Beim Deklinationswert des Objekts auf dem Zeiger befindet sich dann das gesuchte Objekt auf der Sternkarte.

Am Beispiel von Karten zur Bevölkerungsentwicklung wird gezeigt, wie man aus vorhandenen Datensätzen mithilfe des Onlinedienstes "WebGIS Sachsen" eigene thematische Karten erstellen und speichern kann. Damit kann das Themenfeld Bevölkerungsentwicklung der Erde deutlich lernerorientierter unterrichtet werden, als dies allein mit klassischen Arbeitsmaterialien möglich ist.Webgestützte GIS dienen im Allgemeinen aufgrund ihrer eingeschränkten Funktionalität als reine "Info-GIS". Dies gilt jedoch nicht für das frei zugängliche "WebGIS Sachsen". Diese Unterrichtseinheit verdeutlicht exemplarisch wichtige Aspekte des Mehrwerts der Nutzung von WebGIS im Unterricht. Mit der Möglichkeit zum Erstellen eigener thematischer Karten wird hier eine "ur"geographische Arbeitsmethode geschult. Skalierungen, Farbschemata, Zeichnen - was normalerweise nur unter hohem Zeitaufwand mit Papier und Buntstiften zu machen ist, können Schülerinnen und Schüler jetzt komfortabel und selbstständig am Computer erledigen. Die eingesparte Zeit kann für eine kritische Diskussion des eigenen Entwurfs, aber auch für das eigentliche Ziel des Unterrichts effektiv genutzt werden: die inhaltliche Beschäftigung mit regionalen Unterschieden im Bevölkerungswachstum. Mit der Möglichkeit von "WebGIS Sachsen", Kartenentwürfe zu speichern, bleiben die Ergebnisse erhalten und können somit von den Lernenden zu Hause vorbereitet oder weiterentwickelt werden.Die Unterrichtseinheit ordnet sich in die Diskussion um das Wachstum der Weltbevölkerung ein. Den Schülerinnen und Schülern ist dabei schon bewusst, dass die Bevölkerung wächst. Prognosen können im Rahmen der Unterrichtseinheit Bevölkerungsentwicklung in China und Indien mit Excel thematisiert werden. Die zentrale Frage der hier vorgestellten Unterrichtseinheit ist, ob das Bevölkerungswachstum global überall gleich erfolgt. Diese Frage wird mit dem Erstellen und Auswerten einer thematischen Karte zur Wachstumsrate mithilfe des Onlinedienstes "WebGIS-Sachsen" beantwortet. WebGIS als Werkzeug: Erstellung eigener Karten Technische Voraussetzungen und Hinweise zur Nutzung des "WebGIS Sachsen", insbesondere zur Arbeit mit dem Karteneditor. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Arbeitsblätter Nachdem die theoretischen Voraussetzungen geschaffen wurden, wird eine thematische Weltkarte zur Wachstumsrate erstellt und ausgewertet. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen wesentliche Einflüsse auf die Bevölkerungsentwicklung eines Landes erkennen. die Begrenztheit der Zuverlässigkeit von Prognosen erkennen. einen eigenen Kartenentwurf zur Wachstumsrate der Länder im globalen Maßstab anfertigen. die so gewonnene thematische Karte unter dem Gesichtspunkt der Bevölkerungsentwicklung auswerten. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die Arbeit am Computer als kommunikative und interaktive Gruppenarbeit verstehen. die Nutzung eines Karteneditors beherrschen. einen Einblick in die Manipulierbarkeit von Karten gewinnen. ihre Diskursfähigkeit stärken. Kritik an eigenen Kartenentwürfen üben. Thema Karten zur Bevölkerungsentwicklung mit WebGIS erstellen Autor Jens Joachim Fach Geographie Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzung 1 Computer pro Arbeitsgruppe (2-3 Lernende), Beamer, Internetanschluss, Browser (Javascript und Popups müssen zugelassen sein) Mit den standardmäßigen Sicherheitseinstellungen des Browsers ist "WebGIS Sachsen" meist nicht vollständig nutzbar. Der Karteneditor läuft als Popup. Popups sind in den Browsereinstellungen jedoch meist gesperrt. Daher sollten bereits im Vorfeld des Unterrichts Popups in den Browsereinstellungen zugelassen werden. Damit die Lernenden im "WebGIS Sachsen" eine differenziertere Skalierung selbstständig durchführen können, müssen vorher wesentliche Eigenschaften des Karteneditors gemeinsam oder selbstständig mit der Online-Hilfe des WebGIS-Dienstes erarbeitet werden. Dies könnte auch zu Hause erfolgen. Nach erfolgter Registrierung bei "WebGIS Sachsen" können Karten auf dem sächsischen Bildungsserver gespeichert werden (über einen Klick auf das Diskettensymbol in der oberen Werkzeugleiste des WebGIS kommen Sie zum Anmeldeformular). Auch diese Funktion wird in der Online-Hilfe des WebGIS-Dienstes erläutert. Somit kann wertvolle Unterrichtszeit gespart werden. Die prinzipiellen Funktionalitäten des WebGIS sind auf den WebGIS-Sachsen-Seiten in Form einer Kurzanleitung als PDF-Datei abrufbar. WebGIS Sachsen Auf dem sächsischen Bildungsserver finden Sie den hier genutzten Online-Dienst zum Thema "Regionale Disparitäten auf der Erde". Anleitung zum WebGIS "Regionale Disparitäten der Erde" Hier werden die wichtigsten Funktionen und Angebote des Online-Dienstes kurz skizziert. 1. Karteneditor aufrufen Klicken Sie in der oberen Werkzeugleiste auf das Symbol des Karteneditors ("Ampel" aus rotem, gelbem und grünem Quadrat). Es erscheint ein "Blanko-Editor". 2. Indikator wählen Öffnen Sie das Pull-down-Menü zum Indikator und wählen Sie zum Beispiel den in dieser Unterrichtseinheit untersuchten Indikator "Wachstumsrate". Im Karteneditorfenster erscheint eine zu diesem Indikator vorgegebene Skalierung. 3. Festlegung der Skalierung und des Legendentextes Sie können in den entsprechenden Formularfenstern die Anzahl und die Art der Klassen verändern. Prinzipiell können Sie mit dem Karteneditor nach Festlegung der Klassenanzahl drei Skalierungsformen durchführen: Gleiche Menge Jeder Klasse wird die annähernd gleiche Anzahl von Elementen zugeordnet, im Fall der Wachstumsrate sind dies Staaten. Die Grenzen der Klassen sind daher nicht abstandsgleich, das heißt, die so gebildeten Klassen decken unterschiedlich große Wertebereiche ab. Gleiche Intervalle Die Werte werden entsprechend der angegebenen Klassenzahl arithmetisch aufgeteilt. Die Anzahl der Elemente, im Fall der Wachstumsrate also die Zahl der Länder pro Klasse, kann daher höchst unterschiedlich sein. Eigene Einteilung Nach der Wahl der entsprechenden Klassen können auch frei gewählte Einteilungen in die Formularfenster eingegeben werden. Dabei ist darauf zu achten, dass keine Lücken zwischen den Wertebereichen entstehen. Länder, die in diese Lücken fallen, werden in der neu generierten Karte nicht dargestellt. Um dies zu verhindern, sollte der Maximalwert (rechter Wert im Editorfenster) der unteren Klasse (mathematisch mit "kleiner als" definiert) der Minimalwert (linker Wert) der nächst höheren Klasse (mathematisch mit "größer/gleich als" definiert) sein. 4. Festlegung des Farbschemas Sie können über den entsprechenden Button einen Farbverlauf automatisch erzeugen oder die Farben einzeln bestimmen. Klicken Sie dazu in das jeweilige Farbfeld im Karteneditorfenster und dann auf die gewünschte Farbe in dem sich öffnenden Farbauswahlfenster. 5. Neue Karte erstellen, speichern und löschen Klicken Sie nun auf den Button "Neue Karte erstellen". Die neue Karte wird generiert und taucht im Ordner "Eigene Karten" auf. Veränderungen an der selbst erstellten und gespeicherten Karte lassen sich komfortabel durchführen. Nach dem erneuten Aufruf des Karteneditors können vorgenommene Veränderungen durch einen Klick auf den Button "Legende erneuern" abgeschlossen werden. Die veränderte Karte muss erneut auf dem Server gespeichert werden. Alle nicht gespeicherten Veränderungen der Legenden werden mit dem Schließen des Browsers gelöscht. Wenn die selbst erstellten Karten nicht mehr benötigt werden, können sie gelöscht werden. Klicken Sie dazu in der oberen Werkzeugleiste auf den Button "Karte entfernen": 6. Registrierung erforderlich! Nur die im Ordner "Eigene Karten" aufgeführten Karten lassen sich speichern. Um die eigene Karte dort speichern zu können, muss man sich bei "WebGIS Sachsen" registrieren. Die zeitliche Planung der Unterrichtseinheit hängt in erster Linie von den Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler im Umgang mit dem Computer und dem WebGIS sowie von dem geforderten Grad der Selbstständigkeit ab. Im Allgemeinen wird durch die Wochenstundenvorgabe der Schwerpunkt nicht auf die Erstellung der Karte gelegt werden können, so dass für die Erledigung dieser Aufgabe nicht mehr 30 Minuten in Anspruch genommen werden sollten. Zur Einsparung der kostbaren Unterrichtszeit kann die Karte von den Schülerinnen und Schülern auch bereits zu Hause vorbereitet werden. Die eigentliche Unterrichtszeit steht dann für die Interpretationen der Karte zur Verfügung. Vorüberlegungen Für die Erstellung und Auswertung einer Karte zur Bevölkerungsentwicklung sind theoretische Vorüberlegungen erforderlich. Diese werden mithilfe von Arbeitsblatt 1 angestellt (bevoelkerungsentwicklung_webgis_ab1.pdf). Die Bevölkerungsentwicklung eines Landes hängt in erster Linie von der natürlichen Bewegung und vom Migrationverhalten der Bevölkerung innerhalb und außerhalb des Landes ab. Während das Migrationsverhalten nur abgeschätzt werden kann, lassen sich durch den Vergleich von Geburten- und Sterbezahlen relativ genaue Aussagen zur natürlichen Bevölkerungsbewegung treffen. Die daraus gewonnene Wachstumsrate einer Bevölkerung lässt sich als Zusammenfassung visualisieren. Der im "WebGIS Sachsen" dafür verwendeten Datensatz beruht auf den von der Deutschen Stiftung Weltbevölkerung (DWS) herausgegeben Zahlen. Erstellen der Karte Die Erstellung der Karte erfolgt mithilfe von Arbeitsblatt 2 (bevoelkerungsentwicklung_webgis_ab2.pdf/.rtf). Da bei der Wachstumsrate der Abstand zwischen dem Minimal- und dem Maximalwert gering ist, sollte die Anzahl der Klassen nicht zu hoch gewählt werden. Auffällig ist, dass sich negative und positive Werte im Datensatz befinden. Der Rechner unterscheidet diese Feinheit in seinen automatischen Skalierungsmöglichkeiten nicht. Dieser Umstand gebietet hier, die Werte per Hand einzugeben und die Null als einen Grenzwert festzulegen. Diese wesentliche Grenze muss auch im gewählten Farbschema zum Ausdruck kommen. Ein Farbverlauf vom Minimum zum Maximum verbietet sich daher! "Manipulation" von Karten Mit der Wahl der Skalierung und der Farbschemata werden die Schülerinnen und Schüler schnell merken, dass man durch zu viele Klassen die Übersichtlichkeit verliert. Auch sollten im Farbschema für positive und negative Werte unterschiedliche Farben genutzt werden. Mehr als sieben Farbabstufungen sind nicht mehr unterscheidbar. Mit den Farben rot und grün setzt man bestimmte psychische Reaktionen in Kraft. Rot wird als Signalfarbe für Gefahr erkannt und zeigt in einer Karte etwas bedrohliches, die Farbe Grün dagegen steht für "gefahrlos". Insofern kann mit einer Karte trotz einer inhaltlich richtigen Darstellung der Zahlen mit dem verwendeten Farbschema ein Interpretationsansatz geliefert und der Betrachter der Karte somit manipuliert werden. Wenn genug Zeit zur Verfügung steht, können in diesem Zusammenhang auch andere "Verfälschungen" ausprobiert werden, wie zum Beispiel "geschickte" Skalierungen, die gewünschte Ländergruppen zusammenfassen. Karten aus dem Atlas oder der Tagespresse können in dieser Richtung hinterfragt werden. Diskussion Nach der Erstellung der eigenen Legenden erfolgt die inhaltliche Arbeit zu den globalen Entwicklungsunterschieden. Betrachtet man Teilräume der Erde, wie etwa Afrika, lassen sich in weiteren Stunden inhaltliche Vertiefungen vornehmen. Hier sei besonders auf die Ausnahme von Botswana verwiesen (siehe Unterrichtseinheit AIDS und Bevölkerungsentwicklung ).

Auf dieser Seite finden Sie Informationen und Anregungen für Ihren Astronomie- und Physik-Unterricht zum Themenkomplex Zeit und Relativitätstheorie (allgemeine und spezielle Relativitätstheorie). Wissenschaftliche Ergebnisse und Methoden können eine hohe Motivationskraft in sich tragen. Die in diesem Beitrag vorgeschlagenen Kontexte sind virtuelle Realitäten, generiert mit in der Astrophysik gebräuchlichen Visualisierungsmethoden. Ihr didaktischer Zweck in der Einstiegsphase besteht darin, Vorerfahrungen bei relativistischen Effekten zu schaffen, die das normale, klassisch geprägte Vorstellungsvermögen übersteigen. Das zentrale Problem bei solchen Visualisierungsmethoden ist die Darstellung dreidimensionaler Objekte auf einer zweidimensionalen Projektionsebene, die man sich als Filmleinwand oder Kamerabild vorstellen kann. Beim so genannten relativistischen Rendering werden Bilder schnell bewegter Objekte mit einer ruhenden Kamera beziehungsweise ruhende Objekte mit einer schnell bewegten Kamera aufgenommen. Wie relativistische, das heißt schnell bewegte, Objekte dem Betrachter erscheinen, kann gemäß den Gesetzen der Speziellen Relativitätstheorie berechnet werden. Neben der Längenkontraktion sind die endliche Laufzeit von Lichtsignalen und die Lichtaberration zwei Effekte, die die Geometrie solcher Abbildungen bestimmen. Schülerzentrierte Unterrichtsmethoden und kooperative Arbeitsformen Die Schülerinnen und Schüler sollen einige geometrische Effekte bei verschiedenen Fluggeschwindigkeiten der Kamera durch das Brandenburger Tor erkennen und in dieser Phase nur ansatzweise miteinander vergleichen - vorzugsweise als vorbereitende Hausaufgabe in Partner- oder Gruppenarbeit. Als Grundlage dienen das Arbeitsblatt (lorentz_modul_1_ab.pdf) sowie MPEG-Filme, die den Schülerinnen und Schülern für die Hausarbeit, zum Beispiel über den Dateiaustausch eines virtuellen Klassenraums von lo-net, dem Lehrer-Online-Netzwerk, zur Verfügung gestellt werden können. Neben dem "klassischen" Arbeitsblatt steht auch ein Online-Arbeitsblatt mit aktiven Links auf die Filme zur Verfügung. Filmsequenzen Die folgenden Abbildungen zeigen jeweils ein Einzelbild der Simulationsflüge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Kamera durch das stilisierte Brandenburger Tor. Zu jeder Geschwindigkeit steht ein komprimierter MPEG-Film zur Verfügung. Auf Details zu den Filmen werden wir zu einem späteren Zeitpunkt eingehen (siehe Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes ). Bei der Besprechung der Hausaufgabe wird unter anderem folgender Problemfragenkomplex entwickelt: Problemfrage 1.1 Warum sehen schnell bewegte Körper so aus wie in den Computersimulationen? Problemfrage 1.2 Welche Aussagen macht die Newtonsche Mechanik zu diesem Problem? Dieses Modul behandelt Standardstoff des Physikunterrichts. In der Diskussion der virtuellen Realitäten werden Szenen aus dem Alltag angesprochen, die physikalisch eine verwandte Problemstellung enthalten, wie zum Beispiel Koffer auf einem Rollband oder das Ablesen einer Hinweistafel von einem sich bewegenden Laufband aus, zum Beispiel im Flughafen. Zwischen bewegtem Objekt und bewegtem Beobachter (fliegender Kamera) wird differenziert. Ausgehend von der Fragestellung des Einstiegs (siehe Modul 1. Einstieg in das Thema ) wird folgende Problemfrage entwickelt: Wie kann die Bewegung beziehungsweise die Bahn eines sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Objektes bezüglich eines Koordinatensystems beschrieben werden? Als Lernvoraussetzung ist der Begriff des Inertialsystems notwendig. Ebenso das Relativitätsprinzip Galileis: Alle Inertialsysteme sind (bezüglich der Gesetze der Mechanik) gleichwertig. Als Zusatz kann Newtons Relativitätsprinzip angesprochen werden: "The motion of bodies included in a given space are the same among themselves, whether that space is at rest or moves uniformly forward in a straight line." Der Begriff der Gleichwertigkeit kann, je nach Vertiefungsabsicht, verschieden gefasst werden. Von Gleichwertigkeit sprechen wir, wenn grundlegende physikalische Gesetze in allen Inertialsystemen gleichermaßen gelten oder später formal mathematisch vertieft: Gesetze unter den Transformationen sind, die von einem Inertialsystem zu einem anderen Inertialsystem führen. Im Hinblick auf die spätere Ableitung der Lorentztransformation wird ein Ereignis in zwei Inertialsystemen beschrieben und die Galileitransformation als vermittelnde Abbildung eingeführt (Abb. 8, Platzhalter bitte anklicken). Die Grafik zeigt zwei Inertialsysteme S und S', die gegeneinander mit der Geschwindigkeit V bewegt sind. Der Punkt P = P(x, y, z) = P(x', y', z') bezeichnet ein Ereignis zur Zeit t . Mit x, y, z, t werde ein Ereignis im Inertialsystem S charakterisiert; das gleiche Ereignis werde in einem anderen Inertialsystem S' durch die Koordinaten x', y', z', t' beschrieben. V beschreibt die Relativgeschwindigkeit zwischen S und S'. In diesem Fall bewegt sich das System S' mit der Geschwindigkeit bezüglich System S in die positive Richtung der gemeinsamen x -Achsen. Keine Mathematisierung der Sachverhalte In diesem Abschnitt sollen die Schülerinnen und Schüler einen ersten Einblick in Laufzeiteffekte bei Beobachtungen von schnell bewegten Objekten erhalten. Da noch keine relativistischen Werkzeuge zur Verfügung stehen, wird rein klassisch argumentiert. Auf eine Mathematisierung der Sachverhalte wird in diesem Stadium weitgehend verzichtet. Die Arbeit mit den interaktiven Materialien (Online-Arbeitsblätter, Java-Applets) ermöglicht den Schülerinnen und Schülern eigene Beobachtungen. Verzicht auf Visualisierung inkorrekter klassischer Effekte Sowohl die in Modul 1. Einstieg in das Thema verwendeten Computerfilme als auch die für diesen Abschnitt empfohlenen Java-Applets zeigen die relativistische (zumindest geometrische) Realität. Es wird bewusst davon Abstand genommen, die Effekte der Newtonschen Mechanik bei hohen Geschwindigkeiten zu visualisieren, obwohl auch dazu Java-Applets existieren. Dies hat mehrere Gründe: Sowohl Retardierung als auch Aberration (Erläuterung der Begriffe siehe weiter unten) treten im klassischen und im relativistischen Fall auf, wenn auch mit unterschiedlicher Intensität. Bei einer Konstellation von ruhendem Objekt und nahezu darauf zu fliegender Kamera sind klassische und relativistische Laufzeiteffekte bis nahe an die Lichtgeschwindigkeit aufgrund der perspektivischen Darstellung trotz Lorentzkontraktion kaum zu unterscheiden, wenn man von der Bildgröße bei gleicher Kameraposition absieht. Die Größe des Bildes ist nicht nur abhängig vom momentanen Standort der Kamera, sondern auch von deren Geschwindigkeit und damit von der Lorentzkontraktion der Bildweite. Die Untersuchung der letzteren wird Gegenstand von Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes sein. Im relativistischen Fall sind die Beobachtungen für die Konstellationen "bewegte Kamera und ruhendes Objekt" sowie "ruhende Kamera und bewegtes Objekt" identisch. Insbesondere wenn die Unterrichtseinheit auf Level 1 absolviert werden soll, schaffen zusätzliche klassische Varianten virtueller Realitäten (un-)vermeidbare Verwirrung, da dann auch andere Anflug- beziehungsweise Vorbeiflugwinkel notwendig werden. Dies geht zu Lasten eines zügigen Fortschritts in Richtung der Ableitung der speziellen Lorentztransformation (Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). Die einzelnen Untermodule des Moduls 3 "Messen versus Beobachten" behandeln die folgenden Themen: Grundlagen zu Messen und Beobachten, Zentralperspektive, klassische Retardierung Frontaler Anflug auf ein Objekt, klassische Retardierung Seitlicher Vorbeiflug an einem Objekt, Aberration Für den hier präsentierten schnellen Weg zur algebraischen Herleitung der Lorentztransformation ist es nicht notwendig, zuvor einen Überblick über Längen- und Zeitmessverfahren zu geben. Allerdings ist zu empfehlen, diese Problematik später bei der Diskussion der Längenkontraktion aufzugreifen (im Anschluss an Modul 6.3 Längenkontraktion ). Eine Diskussion von Retardierungseffekten, das heißt Effekten, die auf der endlichen Laufzeit des Lichtes beruhen, ist allerdings unumgänglich, da diese infolge der Kameraposition beim Durchflug des Brandenburger Tores den Hauptbeitrag zu den beobachtbaren Formänderungen leisten. Retardierungseffekte treten immer auf, sowohl bei klassischer als auch bei relativistischer Betrachtung. Im klassischen Fall ist ihre Ausprägung davon abhängig, ob sich die Kamera oder das Objekt bewegt. Im relativistischen Fall gilt dies nicht, da die Form der Lorentztransformation genau dies als Folge von Einsteins zweitem Postulat (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, siehe auch Modul 4. Einsteins Traum - Kontext zu Einsteins zweitem Postulat ) "verhindert". Ausgehend von den virtuellen Realitäten des Einstiegs (siehe Modul 1. Einstieg in das Thema ) wird die scheinbare Formänderung des Brandenburger Tores als Funktion der Fluggeschwindigkeit und der Position der Kamera ins Bewusstsein gehoben. Daraus ergibt sich unter anderem die Frage nach der genauen Form und Größe des ruhenden Tores. Nach deren mehr oder weniger intensiven Behandlung - je nach angestrebtem Level - wird die Beobachtung eines den Gesetzen der klassischen Mechanik unterworfenen bewegten Objektes in das Zentrum des Interesses gerückt. Problemfrage 3.1.1 Welche Informationen können über die exakte Geometrie des Tores und der Kamera aus der perspektivischen Ansicht gewonnen werden, wenn die Kamera ruht oder sich mit geringer Geschwindigkeit ( V = 0,01 c ) bewegt? Problemfrage 3.1.2 Wie sieht ein Beobachter beziehungsweise eine Kamera ein fernes und relativ einfach geformtes Objekt, wie zum Beispiel einen Würfel? Messen und Beobachten Als Lernvoraussetzung ist die Kenntnis des Messvorganges als Vergleich mit einem Eichnormal notwendig. Es wird geklärt, dass Messen und Beobachten unterschiedlich sind: Von (Ab-)Messen sprechen wir, wenn die Koordinaten der Randpunkte eines Objektes, also im Prinzip dessen Umriss, gleichzeitig bestimmt werden. Von Beobachten sprechen wir, wenn wir ein Abbild eines Objektes betrachten, wie zum Beispiel ein Netzhautbild oder einen Kamerafilm. Dabei werden die Bildpunkte von Lichtstrahlen erzeugt, die gleichzeitig auf der Netzhaut oder dem Film eintreffen. Lösung von Problemfrage 3.1.1 Es wird mitgeteilt, dass die Tordurchflüge im Prinzip mit einer Lochkamera aufgenommen worden sind. Die Abbildungsgesetze der Lochkamera werden von den Schülerinnen und Schülern selbstständig memoriert und zur Ausmessung einiger Bilder in dem folgenden Online-Arbeitsblatt benutzt: Online-Arbeitsblatt Die Schülerinnen und Schüler werten Bilder der Simulationsflüge durch das Brandenburger Tor mit einem interaktivem Messtool aus. Das Messtool funktioniert nicht im Internetexplorer, bitte verwenden Sie einen anderen Browser (Firefox, Netscape, Mozilla, Konqueror, Opera, Safari). Lösung von Problemfrage 3.1.2 Aus den Überlegungen zum Problemkreis Messen wird gefolgert: Es gibt zwei Arten, die Position eines Objektes zu beschreiben. Die momentane Position der Oberfläche eines Objektes zum Zeitpunkt t sowie die retardierte Position, bei der die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes vom Objekt zum Beobachter mit zu berücksichtigen ist. Anschließend wird ein Würfel betrachtet, der mit der Geschwindigkeit V an einer Kamera vorbei fliegt, wobei eine Momentaufnahme gemacht werden soll. Dabei werden alle Lichtstrahlen erfasst, die gleichzeitig bei der Kamera eintreffen. Die dabei angestellten Betrachtungen sind auf dem Informationsblatt (lorentz_modul_3_1_info.pdf) zusammengefasst. Dieses Beispiel kann vertieft werden. Im klassischen Fall besitzt das Licht die Geschwindigkeit c nur im stationären Bezugssystem des Beobachters. Aufgrund des Galileischen Relativitätsprinzips besitzt von einem Objekt ausgehendes Licht unterschiedliche Geschwindigkeiten, zum Beispiel c + V in Bewegungsrichtung und c - V in der entgegen gesetzten Richtung. Das hier vorgestellte Beispiel sollte nach Einführung der Lorentzkontraktion unter relativistischen Gesichtspunkten erneut aufgegriffen werden (frühestens im Anschluss an Modul 6.3 Längenkontraktion ). Der Trick der unendlich weit entfernten Kamera in Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung hat Wesentliches verborgen beziehungsweise nicht geklärt. Die dem Beobachter beim Vorbeiflug zugewandte Seite des Würfels ist unverzerrt als ebene Fläche abgebildet worden. Dies ist bei endlichem Kameraabstand falsch, da streng genommen alle Punkte des Objektes unterschiedlich weit von der Blende der Kamera entfernt sind. Die unten verlinkten Applets rechnen relativistisch. Bei einem Anflug auf ein Objekt sind klassische und relativistische Rechnung aufgrund der Perspektive kaum zu unterscheiden. Der relativistische Fall ist bezüglich der Konstellationen "bewegte Kamera und ruhendes Objekt" sowie "ruhende Kamera und bewegtes Objekt" nicht unterscheidbar, das heißt ein Applet beschreibt beide Fälle, da kein gekachelter Boden als Referenz vorhanden ist. Die im Einstieg beobachtete Wölbung horizontaler und vertikaler Kanten beziehungsweise die Verbiegung von Flächen ist ein Rätsel geblieben. Um das Problem zu akzentuieren, können statt des Brandenburger Tores Java-Applets von einfachen Drahtgittermodellen betrachtet werden. Ein Anflug mit hoher Geschwindigkeit auf ein Quadrat stellt nochmals die Frage nach der Erklärung der Randwölbungen in den Raum. Es wird vorgeschlagen den Effekt der endlichen Lichtlaufzeit nur bei einem Stab zu besprechen, der sich gemäß der klassischen Mechanik mit seiner Breitseite auf eine Kamera zu bewegt, die sich mittig vor ihm befindet. Es genügt, die Diskussion auf die Stabenden zu beschränken. Von jedem Punkt der sichtbaren Stabseite fällt ein Lichtstrahl in die Kamera. Licht von der Stabmitte muss den kürzesten Weg und von den Stabenden den längsten Weg zurücklegen. Aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit, im klassischen Fall V + c (beziehungsweise im relativistischen Fall c ), muss Licht, das zum gleichen Zeitpunkt bei der Kamera eintrifft, zu unterschiedlichen Zeitpunkten ausgesandt worden sein, wenn sein Weg unterschiedlich lang ist. Die Überlegung verläuft völlig analog zu den Überlegungen des Beispiels in Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung , wo der Effekt der klassischen Retardierung bei einem vorbei fliegenden Würfel betrachtet worden ist. Punkte mit zunehmendem Abstand von der Stabmitte werden dem Betrachter daher weiter entfernt erscheinen, was insgesamt den Eindruck einer Stabwölbung erzeugt. Damit ist auch geklärt, weshalb die Stärke der Wölbung geschwindigkeits- und abstandsabhängig sein muss. Drahtrahmen Java-Applet zum frontalen Anflug auf einen quadratischen Rahmen (relativistisch). Zwei Linien Java-Applet zum frontalen Anflug auf zwei horizontale Linien (relativistisch). Gitter aus 9 Punkten Java-Applet zum frontalen Anflug auf ein Gitter aus neun Punkten (relativistisch). Die Rückseite des Brandenburger Tores ist grün eingefärbt. Obwohl die fliegende Kamera einen Öffnungswinkel von 60 Grad in horizontaler Richtung und 51,33 Grad in vertikaler Richtung besitzt, wird die grüne Rückseite der Pfeiler beim Durchflug mit hohen Geschwindigkeiten sichtbar (Abb. 9, Platzhalter bitte anklicken). Um den Einfluss von Retardierung und Aberration zu verdeutlichen, können Java-Applets mit Drahtgittermodellen eingesetzt werden. Unter Aberration versteht man den Effekt, dass zwei unterschiedlich schnell bewegte Beobachter ein und dasselbe Objekt nicht an seinem realen Ort wahrnehmen, sondern an zwei verschiedenen scheinbaren Orten, deren Lage von der jeweiligen Geschwindigkeit des Beobachters abhängt. Aberration tritt sowohl bei klassischer als auch relativistischer Rechnung auf. Ein Analogmodell dafür stellt zum Beispiel "Schnürlregen" dar. Wenn man im Regen steht, kommen die Tropfen bei Windstille genau senkrecht von oben. Fährt man jedoch mit dem Fahrrad im Regen, so scheinen die Tropfen von schräg vorne zu kommen, wobei der Winkel von der eigenen Geschwindigkeit abhängt. Erklärbar ist der Effekt dadurch, dass ein Objekt einer vorbei fliegenden Kamera Lichtstrahlen hinterher sendet, die die Flugbahn der Kamera kurz vor deren Blende schneiden und dann auf dem sich nähernden Kamerafilm auftreffen. Die Formel für den Aberrationswinkel wird hier weder angesprochen noch abgeleitet. Weitere allgemeine Informationen zum Thema Aberration finden Sie hier: Die bereits im Einstieg (Modul 1. Einstieg in das Thema ) beobachtete Sichtbarkeit der grünen Rückseite des Brandenburger Tores ist bisher nicht geklärt. Um das Problem zu vereinfachen, können statt des Tores einfache Drahtgittermodelle betrachtet werden. Die Visualisierung geschieht wiederum mithilfe von Java-Applets. Ein Anflug mit hoher Geschwindigkeit auf ein Quadrat stellt nochmals die Frage nach der Sichtbarkeit der Rückseite eines Objektes in den Raum. Die folgenden Java-Applets verdeutlichen sowohl die bereits bekannte Retardierung als auch die Aberration. Letztere wird aus Gründen der Elementarisierung im klassischen Fall nur im Ruhesystem des Drahtrahmens qualitativ erklärt. Eine Lochkamera bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit. Bestimmte Lichtstrahlen, die von der Rückseite des Drahtrahmens in Richtung der wegfliegenden Kamera ausgesandt werden und die Flugbahn vor der Kamera schneiden, werden durch die bewegte Blende dringen und dann vom Film "eingefangen". Eine Herleitung der Aberrationsformel erfordert eine genaue Berechnung des Auftreffpunktes des Lichtstrahls auf der Bildebene und kann in Level 3 frühestens im Anschluss an Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes in Angriff genommen werden. Drahtrahmen Java-Applet zum seitlichen Vorbeiflug an einem Quadrat (relativistisch). Zwei Drahtrahmen Java-Applet zum seitlichen Vorbeiflug an zwei Quadraten (relativistisch). Es ist üblich, der Begründung von Einsteins zweitem Postulat zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Unterricht einen Abschnitt über die verschiedenen historischen Methoden zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit voranzustellen (siehe Links und Literatur ), woraus das Postulat als Konsequenz von Messungen gefolgert wird. Diese saubere physikalische Fundierung ist allerdings an dieser Stelle der Unterrichtseinheit nicht zwingend notwendig, weshalb eine Alternative vorgeschlagen wird. Einstein schreibt selbst in seiner Biografie (Albert Einstein, Autobiographisches, 1946): "Nach zehn Jahren Nachdenkens fand ich ein Prinzip, auf das ich schon mit 16 Jahren gestoßen bin. Wenn ich einem Lichtstrahl mit Lichtgeschwindigkeit nacheile, so sollte ich diesen Lichtstrahl als ruhend wahrnehmen. So etwas scheint es aber nicht zu geben. Intuitiv klar schien es mir von vornherein, dass sich für einen solchen Beobachter alles nach denselben Gesetzen abspielen müsse wie für einen relativ zur Erde ruhenden Beobachter." Diese ursprünglich intuitive Erkenntnis war offensichtlich mit ein Anstoß zu Einsteins Postulat zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Wir werden sie in verfremdeter Form als Kontext zur Motivation des zweiten Postulats einsetzen (siehe unten). Die Originalformulierung der Einsteinschen Postulate, entnommen aus seiner Publikation von 1905, lautet: P1' Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden. P2' Jeder Lichtstrahl bewegt sich im "ruhenden" Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit c , unabhängig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder bewegten Körper emittiert ist. Verständnis der Galileitransformation Kenntnis des Galileischen Relativitätsprinzips Wissen, dass Messungen einen konstanten Wert für die Geschwindigkeit des Lichtes liefern. Es wird ein Gedankenexperiment ("Einsteins Traum") vorgestellt, das anregen soll, die Konsequenzen der Galileitransformation zu durchdenken. Das Gedankenexperiment liefert den Anstoß zur Problemfrage in Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation , da die Galileitransformation dem experimentellen Resultat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit widerspricht. Einsteins Traum "Einstein sieht sich im Traum auf einem Lichtstrahl durch die Galaxis reiten. In der Hand hat er eine wundersame Lichtquelle, heller als tausend Sonnen, mit der er Lichtpulse aussenden kann. Als er einen langen Lichtpuls in Flugrichtung schickt, materialisiert sich auf diesem zweiten Strahl ein Spiegelbild von ihm selbst, Zweistein. Mit wehenden Haaren und Lichtquelle unter dem Arm, mit der Zweistein die Sterne anblinkt. Auch Zweistein blinkt irgendwann in Flugrichtung. Dreistein erscheint auf diesem Strahl ... " Die Schülerinnen und Schüler sollen überlegen, wie schnell das Licht aus der Lichtquelle von N-Stein ist. Modifizierung der Postulate für den Unterricht Für die Einsteinschen Postulate wird eine gegenüber der Originalformulierung modifizierte Form empfohlen. Sie werden als Lösung der Diskrepanz zwischen Messung und Konsequenzen der Galileitransformation betrachtet: P1 Alle Inertialsysteme sind bezüglich aller Gesetze der Physik gleichberechtigt. P2 Die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum hat immer und überall den konstanten Wert c . In der Speziellen Relativitätstheorie werden Beobachtungen untersucht, die von zwei verschiedenen Beobachtern gemacht werden, die bezüglich zueinander eine konstante Geschwindigkeit besitzen. Die einzig verwendbaren Bezugssysteme sind daher Inertialsysteme. In der Allgemeinen Relativitätstheorie spielen hingegen beschleunigte Bezugssysteme eine wichtige Rolle, da ihr Ziel die Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie ist. Die Raumzeit der klassischen Mechanik Newtons trägt eine affine Struktur, da eine gleichförmige Bewegung in jedem Inertialsystem als Gerade beschrieben wird (Gültigkeit des Trägheitssatzes). Infolge des ersten Postulates von Einstein (P1') (siehe Modul 4. Einsteins Traum - Kontext zu Einsteins zweitem Postulat ) muss also auch die neue Transformation der Speziellen Relativitätstheorie, die Lorentztransformation, eine affine Transformation sein. Postulat (P1') bestimmt die Gestalt dieser Transformation zwischen Inertialsystemen bis auf eine universelle Konstante völlig. Durch Postulat (P2') wird diese Konstante eindeutig festgelegt. Im Unterricht beschränkt man sich auf Inertialsysteme, die sich nur durch eine Relativbewegung unterscheiden, wie sie bereits in Modul 2. Die spezielle Galileitransformation eingeführt worden ist. Die Transformation zwischen Ereignissen ist in diesem Fall linear in x und t beziehungsweise x' und t' , was zur speziellen Lorentztransformation führt. Kenntnis des experimentell ermittelten konstanten Wertes der Lichtgeschwindigkeit Kenntnis des Begriffs der linearen Bewegung Fähigkeit zur mathematischen Beschreibung der Bahnkurve linearer Bewegungen Kenntnis des ersten Newtonschen Axioms (Trägheitssatz) Einsicht, dass die Annahme der Gültigkeit der Galileitransformation den Betrag der Lichtgeschwindigkeit vom gewählten Inertialsystem abhängig macht. Wissen, dass das Postulat (P1) die Gültigkeit des Relativitätsprinzips Galileis auf alle Gesetze der Physik erweitert. Das Gedankenexperiment "Einsteins Traum" aus Modul 4. Einsteins Traum - Kontext zu Einsteins zweitem Postulat liefert den Anlass, die Galileitransformation als modifizierungsbedürftig einzustufen, da alle Messungen die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bestätigen. Welche Form muss eine neue Transformation aufweisen? Man wird nur im oberen Leistungsbereich mit einem zweiparametrigen linearen Ansatz für die gesuchte Transformation starten und durch Widerspruchsbeweis zeigen, dass nur diese lineare Gestalt Postulat (P1) erfüllt und damit alle Transformationen von dieser Gestalt sein müssen. Wenn, wie es die Regel ist, die Zeit drängt, kann die Lehrkraft alternativ als Impuls die Frage nach der Transformation eines Ereignisses (x, t) durch folgenden Vorschlag initiieren: Diese Transformation muss eine gleichförmige Bewegung, wir wählen die einfachste Form, x = v t , in eine gleichförmige Bewegung überführen. Für zwei Zeitpunkte t 1 und t 2 gilt dann: Die Gleichförmigkeit ist für alle Zeiten t genau dann erhalten, wenn gilt. Damit ist ein korrekter Ansatz entwickelt. Ein Beispiel für eine Tafelanschrift zur Ableitung der Lorentztransformation liefert das folgende PDF. In den folgenden Ausführungen wird statt k das in der Literatur übliche gamma verwendet, was nur für einen höheren Leistungslevel zu empfehlen ist. Die Schülerinnen und Schüler sind mit den folgenden Inhalten vertraut: Ein Punktereignis wird im Bezugssystem S durch die Koordinaten (x, t) , genauer (x, y, z, t) , und im System S' durch die Koordinaten (x', t') , genauer (x', y', z', t') , beschrieben. Stimmen die Ursprünge der beiden Systeme S und S' zur Zeit t = t' = 0 überein, dann ist die Beziehung zwischen (x, t) und (x', t') durch die Lorentztransformation gegeben: wobei Welches Ergebnis liefert die Lorentztransformation bei Transformation eines (Punkt-)Ereignisses (x, t)? Es werden zwei verschiedene Punktereignisse betrachtet. Benötigt werden nur die Ergebnisse für Ereignis 1: Ereignis 2: Anschließend wird der räumliche und zeitliche Abstand der Ereignisse im System S' berechnet: Algebraisch ist damit auch die Relativität der Gleichzeitigkeit bewiesen: Für jeden Beobachter ist Gleichzeitigkeit eine Funktion des verwendeten Bezugssystems. Ein Verständnis für die Implikationen aus den Gleichungen (A1) und (A2) kann erst nach weiterer eingehender Diskussion erzielt werden. Dies soll in den beiden folgenden Modulen geschehen. Es wird der Spezialfall betrachtet, das heißt es werden zwei aufeinander folgende Ablesungen einer Uhr im System S mit den Ablesungen von zwei verschiedenen Uhren im System S' verglichen, weshalb das Problem der Synchronisation verschiedener Uhren angeschlossen werden sollte. Anmerkung zu Level 1 Hier wird analog zu Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation der Spezialfall neu gerechnet. Anmerkung zu Level 2 und 3 Es werden die Ergebnisse des Moduls 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation spezialisiert. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Lorentztransformation für die Messung von Zeitspannen? Eine Uhr ruhe im System S im Punkt Zwei verschiedene Ablesungen der Uhr definieren eine Zeitspanne und sollen als zwei Ereignisse angesehen werden: Ereignis 1: Ereignis 2: Die Zeitkoordinaten dieser Ereignisse für das System S', das relativ zu S die Geschwindigkeit V hat, sind im Prinzip bereits in Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation bestimmt worden. Falls 6.1 nicht behandelt worden ist, rechnet man analog dazu neu. Es ergibt sich also: woraus folgt womit eine Verknüpfung der entsprechenden Zeitintervalle in S und S' gefunden ist. Das Ergebnis wird durch Zahlenbeispiele vertieft. Es wird der Spezialfall betrachtet, das heißt es werden die Koordinaten der Endpunkte eines Stabes in System S' zur Zeit gleichzeitig bestimmt. Anmerkung zu Level 1 Hier wird analog zu Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation der Spezialfall neu gerechnet. Anmerkung zu Level 2 und 3 Es werden die Ergebnisse des Moduls 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation spezialisiert. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Lorentztransformation für die Messung von Längen? Die gleichzeitige Messung zur Zeit der Endpunkte eines Stabes in S', wird durch die zwei Punktereignisse und beschrieben, das heißt es gilt in S' Das gesuchte Ergebnis ergibt sich sofort für aus den allgemeinen Abstandsgleichungen (siehe Gleichungen (A1) und (A2) in Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation ): Falls Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation nicht behandelt worden ist, rechnet man analog dazu neu. Angeschlossen werden sollte eine Diskussion der Messzeitpunkte in beiden Systemen, das heißt unter anderem, dass die Messung der Stabenden im System S nicht gleichzeitig stattfindet. Bisher sind bei den Auswertungen der virtuellen Realitäten aus Modul 1. Einstieg in das Thema (Flüge durch das Brandenburger Tor) wichtige Daten der Aufnahmen, wie Kameraposition und Bildgröße des Objektes, nicht bearbeitet worden. Ursache für unterschiedliche Bildgrößen bei gleicher Kameraposition und verschiedenen Anfluggeschwindigkeiten auf ein Objekt ist die Lorentzkontraktion der Bildweite. Dies bedeutet, dass die Projektionsebene näher an die Blende heran gerückt ist, was das Bild vergrößert. Im Lochkameramodell ist die Kamera lorentzkontrahiert. Die Schülerinnen und Schüler haben Modul 3.1 absolviert und kennen die Lorentzkontraktion (Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). Es wird den Schülerinnen und Schülern die Kameraposition des jeweils ersten - und bei Bedarf auch letzten - Bildes der Computerfilme zum Durchflug des Brandenburger Tores mitgeteilt (Tab. 1). Die Beobachtung, dass die Startbilder in der Größe recht ähnlich sind, führt direkt zu der Problemfrage. Tab. 1: Infos zur Bildauswertung Geschwindigkeit Kameraposition Startbild in LE (Längeneinheiten) Kameraposition Endbild in LE (Längeneinheiten) 0,01 c 70 -2 0,50 c 46 -2 0,90 c 24 -7 0,95 c 16 -12 0,99 c 8 -28 Warum sind unterschiedliche Startpositionen gewählt worden beziehungsweise warum sind bei den verschiedenen Flügen die Bilder des Tores bei identischer Kameraposition unterschiedlich groß? Hinweise zum Einsatz der Materialien Falls eine genügend schnelle Internetanbindung und genügend Speicherplatz vorhanden sind, kann die Lehrkraft die Originaleinzelbilddateien der Filme im Schulnetz zur Auswertung speichern. Andernfalls wird auf die interaktiven Online-Materialien zurückgegriffen, die ausgewählte und skalierte Einzelbilder zur Ausmessung am Bildschirm bereitstellen. Schon ein rein optischer Vergleich dieser Bilder zeigt die mit wachsender Geschwindigkeit abnehmende Größe des Tores. In beiden Fällen werden die in Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung beim Ausmessen von Bilddaten gewonnenen Erfahrungen genügen, um die Bildweite für einige Fälle zu berechnen. Ein Vergleich der erhaltenen Werte bestätigt die Lorentzkontraktion der Lochkamera (Bildweite). Online-Arbeitsblätter Die interaktiven Funktionen der Arbeitsblätter arbeiten nicht im Internetexplorer. Bitte verwenden Sie einen anderen Browser (Firefox, Netscape, Mozilla, Konqueror, Opera, Safari). Beachten Sie auch die Hinweise am Ende der Seiten zur Nutzung des Messtools. Brandenburger Tor 1 Kameraposition 8 LE (LE = Längeneinheiten) Brandenburger Tor 2 Kameraposition 16 LE Brandenburger Tor 3 Kameraposition 21,47 LE Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Gefühl für das Wesen und die Eigenschaften der Zeit gewinnen, insbesondere die Begriffe Gleichzeitigkeit und Geschwindigkeit der Zeit näher kennen lernen. die Herkunft unseres natürlichen Zeitsystems (Jahr, Monat, Tag, Stunde, Minute) und den Begriff der Weltzeit verstehen. im Rahmen einer Gruppenarbeit zum Uhrenbau die Begriffe von Zeitmessung und Uhr durchleuchten und eigene weiterführende Ideen verwirklichen. mithilfe des Computers den Uhrenbau dokumentieren und den Mitschülerinnen und Mitschülern vorstellen (zum Beispiel mit einer PowerPoint-Präsentation). die Uhren testen und die Ergebnisse auswerten und beurteilen. einen kurzen Einblick in das Thema "Relativität der Zeit" erhalten, die mit einem Java-Applet veranschaulicht werden kann (Klasse 8). Thema Was ist Zeit? Wie messe ich sie? Autorinnen Ulrike Endesfelder, Kirsten Kalberla Fach Naturwissenschaften, Physik, Technik, Projektarbeit/Projekttag Zielgruppe Klasse 5-8 Zeitraum etwa 2 Doppelstunden Die Unterrichtseinheit zum Uhrenbau eignet sich für den Unterricht im Fach Naturwissenschaften oder Physik, aber zum Beispiel auch für Projekttage. Sie basiert auf einem Angebot der flowventure-Erlebnispädagogik. flowventure wurde im Rahmen der UN-Dekade "Bildung für nachhaltige Entwicklung" ausgezeichnet und bietet für Schulklassen kommerzielle Programme an (siehe Zusatzinformationen). Erste Doppelstunde Die Lernenden werden abwechslungsreich in die Thematik eingeführt und erstellen danach an Bastelstationen in Gruppenarbeit verschiedene Uhrenmodelle. Zweite Doppelstunde Nachdem jede Gruppe ihre Uhr vor der Klasse präsentiert hat, werden alle Uhren zeitgleich getestet. Die gesammelten Daten werden in Heimarbeit ausgewertet. Russell Standard Durch Raum und Zeit mit Onkel Albert: Eine Geschichte um Einstein und seine Theorie, Fischer Verlag (2005), ISBN-13: 978-3596800155 Urike Endesfelder ist Diplom Physikerin und Referentin bei flowventure-Erlebnispädagogik . Die Schülerinnen und Schüler sollen ohne experimentellen Beweis akzeptieren, dass die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter konstant ist (vor dieser Situation standen zunächst auch viele Naturwissenschaftler zur Zeit der Veröffentlichung der Relativitätstheorie). aus der vorgegebenen Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit geometrischen Überlegungen eine Gleichung für die Zeitdilatation herleiten (kann auch durch die Lehrerin oder den Lehrer vorgegeben werden). durch Anwendung dieser Gleichung die Auswirkung der Zeitdilatation erkennen und feststellen, dass diese bei "normalen" Geschwindigkeiten äußerst gering ist. Thema Die Einsteinsche Zeitdilatation Autor Manfred Amann Fach Physik Zielgruppe ab Klasse 10 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Einzel- oder Partnerarbeit), Internetanschluss, Java Runtime Environment , aktiviertes JavaSkript Gerald Kahan Einsteins Relativitätstheorie zum leichten Verständnis für jedermann 2004 Dumont-Verlag (Nachdruck) ISBN 3-8321-1852-7 Kahans Buch ist besser als so manche aktuelle Einsteinjahr-Literatur und sehr gut für interessierte Schülerinnen und Schüler mit mathematischen und physikalischen Grundkenntnissen geeignet. Nigel Calder Einsteins Universum 1980 Umschau-Verlag, Lizenzausgabe Deutscher Bücherbund Auch dieses Buch stellt in seinen Veranschaulichungen nach meinem Empfinden einen Großteil der aktuellen Einsteinliteratur in den Schatten, ist aber leider nur noch antiquarisch erhältlich, zum Beipsiel über amazon.de. Die Grundzüge der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) basieren auf einer einfachen Formel. Nein, nicht E = mc², sondern v = s/t. Ausgehend von zwei einfachen Annahmen lieferten revolutionäre Gedankenexperimente über die Laufzeit von Licht, gemessen von zueinander bewegten Beobachtern, verblüffende neue Erkenntnisse über Raum und Zeit. Und mithilfe des guten alten Pythagoras (Link zur Lernumgebung "Die Satzgruppe des Pythagoras" des Autors bei Geogebra.org) sind auch die zugehörigen Formeln für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion schnell hergeleitet. In der Lernumgebung zur Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie können Lehrende und Schülerinnen und Schüler mithilfe der Maus am Monitor Darstellungen und Konstellationen kontinuierlich verändern. Bestimmte Fragestellungen lassen sich so dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den physikalischen Sachverhalten. So wird die Relativität der Gleichzeitigkeit am Beispiel der Beobachtung eines Lichtblitzes erkundet, der in der Mitte einer fliegenden Rakete gezündet wird. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs können die Lernenden dabei variieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Postulate der Speziellen Relativitätstheorie verstehen. die Notwendigkeit einer präzisen Definition von Ort und Zeit eines Ereignisses einsehen. die Relativität der Gleichzeitigkeit als zwingende Konsequenz der Postulate erkennen. die Formel für die Zeitdilatation herleiten und anwenden können. die Formel für die Längenkontraktion herleiten und anwenden können. die Zitate aus Originalarbeiten richtig deuten und dem Gelernten zuordnen können. Thema Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie Autor Claus Wolfseher Fach Physik Zielgruppe Oberstufe Zeitraum mindestens 5 Unterrichtsstunden oder freie Zeiteinteilung bei selbstständiger Bearbeitung außerhalb des Unterrichts Technische Voraussetzungen Internetbrowser mit aktiviertem JavaScript, Java Runtime (JRE Version 1.4 oder höher, kostenfrei) Kinematik der SRT - prägnant und kompakt Weder für die Lehrkraft noch für die interessierten Schülerinnen und Schüler ist es befriedigend, wenn Formeln vom Himmel fallen, insbesondere wenn es um die populäre Relativitätstheorie geht. Andererseits sehen zeitlich knapp kalkulierte Lehrpläne meist nur eine Mitteilung oder einen Hinweis auf die Gleichungen der Zeitdilatation oder der Längenkontraktion vor. Intention der hier vorgestellten interaktiven Lerneinheit ist es daher, die Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie möglichst prägnant und kompakt zu erläutern, ohne auf die Herleitung der zugehörigen Formeln zu verzichten. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dabei auch, dass mathematische Grundkenntnisse fundamental, ja hier sogar ausreichend sind, um zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Die erarbeiteten Formeln sollten in Anwendungsaufgaben (beispielsweise Durchqueren der Atmosphäre von Myonen oder Reise zu ?-Centauri) gefestigt werden. In der Unterrichtspraxis führte die Lerneinheit stets automatisch zu Diskussionen, die auf das Zwillingsparadoxon, das Hafele-Keating-Experiment und die Kausalitätsproblematik abzielten und von der Lehrkraft aufgenommen werden konnten. Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT Auf diese Weise erhalten die Lernenden trotz der Einschränkungen des alltäglichen Unterrichtbetriebs einen über bloße Mitteilungen hinausgehenden Einblick in die SRT, der als Basis für weiterführende, eigenständige Forschungen und als Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT dienen kann. Einsatzmöglichkeiten und Aufbau der Materialien Die Konzeption der Texte, Zusatzinformationen, Lösungen und die Interaktivität der Lernumgebung werden hier skizziert. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie kennen. die Galilei-Transformation rechnerisch und grafisch anwenden und interpretieren können. Raum-Zeit-Diagramme konstruieren und interpretieren können. die Lorentz-Transformation rechnerisch und grafisch anwenden und interpretieren können. die wichtigsten Phänomene der SRT wie Längenkontraktion und Zeitdilatation angeben und interpretieren können. Geschwindigkeiten relativistisch addieren können. die relativistische Massenzunahme wiedergeben und in Beispielen anwenden können. die Beziehung von Masse und Energie in Einsteins berühmter Äquivalenzformel deuten und die Abhängigkeit der Gesamtenergie und der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit beschreiben können. die Äquivalenz von Masse und Energie und die Möglichkeiten der Anwendung verstehen. Thema Online-Kurs "Spezielle Relativitätstheorie" mit GeoGebra Autor Andreas Lindner Fach Physik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4-6 Stunden (bei Vertiefung entsprechend mehr) Technische Voraussetzungen Internetbrowser, Java Runtime (JRE Version 1.4 oder höher, kostenfrei); die Mathematiksoftware GeoGebra ist zum Betrachten der Arbeitsblätter nicht Voraussetzung, kann aber zum Erstellen eigener Konstruktionen kostenfrei aus dem Internet heruntergeladen werden. Der Onlinekurs besteht (zurzeit) aus 25 HTML-Seiten mit 13 interaktiven GeoGebra-Applets. Eine ausführliche Besprechung der Kursinhalte würde den hier gegebenen Rahmen sprengen. Aus diesem Grund beschränken wir uns auf allgemeine Hinweise zum Einsatz der Materialien. Generell eignet sich der Online-Kurs zum Einzelstudium, als Ergänzung des traditionellen Unterrichts oder als zusammenfassende Wiederholung des Unterrichtsthemas. Abhängig von dem zur Verfügung stehenden Zeitrahmen bewährt sich neben der Nutzung der Applets ein händisches Rechnen von Aufgabenstellungen, zum Beispiel im Bereich der Längenkontraktion oder der Zeitdilatation. Anschließend können die Ergebnisse mit den interaktiven Arbeitsblättern des Online-Kurses verglichen werden, um die Einsicht zu vertiefen. Auch bei einer intensiveren Auseinandersetzung mit den Minkowski-Diagrammen sollte ein händisches Konstruieren oder ein Konstruieren am Computer durch die Schülerinnen und Schüler angestrebt werden. Gestaltung, Nutzung und Inhalte des SRT-Kurses Hier finden Sie Hinweise zur formalen Aufbereitung der GeoGebra-Applets, zur Nutzung des Online-Kurses sowie eine Übersicht der einzelnen Kapitel und Unterkapitel. Fast alle Zugänge zur Lorentztransformation im Unterricht arbeiten mit einem exzessiven Vorlauf an geometrischen Betrachtungen von Minkowskidiagrammen. Dieser Beitrag stellt eine bedenkenswerte Alternative vor. Computergenerierte Bildsequenzen und Filme, die relativistische Effekte simulieren, bieten in Verbindung mit Java-Applets und interaktiven JavaScript-Messtools faszinierende Möglichkeiten, um nicht nur Interesse für dieses Teilgebiet der modernen Physik zu wecken, sondern auch Kernaussagen der Speziellen Relativitätstheorie anschaulich zu vermitteln. Die naive Annahme, dass bei hohen Geschwindigkeiten alle Körper nur lorentzkontrahiert erscheinen, wird durch einen simulierten Flug durch ein fiktives Brandenburger Tor widerlegt. Ein Klick auf die Grafik mit der gewohnten Ansicht des Gebäudes (oben links) zeigt weitere geometrische Effekte, die durch Retardierung und Lichtaberration zustande kommen. Schülernahe Erklärungen sind möglich. Der modulare Aufbau der Unterrichtseinheit, die in drei verschiedenen Level durchgeführt werden kann, bietet interessante methodische Differenzierungsmöglichkeiten. Eine kurze Übersicht liefert dieses Die Lorentztransformation - Fundament der SRT . Die Autorin dankt Prof. Dr. Hanns Ruder von der Theoretischen Astrophysik der Universität Tübingen und seinen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern, insbesondere Frau PD Dr. Ute Kraus und Herrn Thomas Müller, die die Originaldateien der Simulationsfilme für diese Unterrichtseinheit zur Verfügung gestellt zu haben. Da die Unterrichtseinheit inhaltlich einen weiten Bogen spannt, von der Galileitransformation über die Ableitung der Lorentztransformation bis hin zu Zeitdilatation und Längenkontraktion, beschränkt sich die folgende Liste auf Groblernziele, die jedoch levelabhängig (schnell, genauer, exakt) mit unterschiedlichen Feinlernzielen zu belegen und daher in unterschiedlicher Intensität zu realisieren sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Galileitransformation verstehen. das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik kennen (Galileisches Relativitätsprinzip). erkennen, dass die Galileitransformation modifizierungsbedürftig ist. in der Lage sein, die Position eines ruhenden Objektes aus ausgewähltem Datenmaterial zu bestimmen (Computersimulation: Virtuelle Realität des Durchfluges durch ein Tor mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit; siehe Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung ). Einblick in Retardierungseffekte gewinnen (Level 1: Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung , Level 2 und 3: Module 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung und 3.2 Frontaler Anflug auf ein Objekt, klassische Retardierung ). Einblick in den Effekt der Lichtaberration erhalten (nur Level 3: Modul 3.3 Seitlicher Vorbeiflug an einem Objekt, Aberration ). wissen, das Einsteins erstes Postulat eine lineare Gestalt der speziellen Lorentztransformation (bezüglich x und t ) erzwingt (siehe Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). erkennen, wie die Postulate Einsteins in die Herleitung der speziellen Lorentztransformation eingehen (siehe Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). eine elementarisierte Ableitung der Lorentztransformation kennen (siehe Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). die Begriffe Punktereignis, Abstand und Gleichzeitigkeit verstehen (nur Level 2 und 3: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation , 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion ). den Begriff des Raum-Zeit-Kontinuums verstehen (erkennen, das räumliche und zeitliche Abstände nicht als voneinander unabhängig angesehen werden können; Level 1: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation und 6.2 Zeitdilatation , Level 2 und 3: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation , 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion ). die Begriffe Längenkontraktion und Zeitdilatation kennen und die Fähigkeit erlangen, die entsprechenden mathematischen Relationen aus der speziellen Lorentztransformation herzuleiten (Level 1: Module 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion , Level 2 und 3: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation , 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion ). in der Lage sein, die Lorentzkontraktion einer schnell bewegten Kamera aus ausgewähltem Datenmaterial zu bestimmen (Computersimulation: Virtuelle Realität des Durchflugs durch ein Tor mit relativistischen Geschwindigkeiten; nur Level 3, Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes ). Thema Die Lorentztransformation - Fundament der Speziellen Relativitätstheorie Autorin Dr. Sigrid M. Weber Fach Physik Zielgruppe Sek II Zeitraum variabel, je nach Vertiefung und medientechnischen Vorkenntnissen der Schülerinnen und Schüler; als Anhaltspunkt für Level 1: mindestens 6 Stunden plus Hausaufgabenphase (zur Bearbeitung der Aufgaben in Modul 1. Einstieg in das Thema und 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung ) Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl für Einzel oder Partnerarbeit, ggf. Beamer, Browser mit Java -Plugin und Plugin zum Abspielen von MP4-Filmen ( QuickTime Player ) sowie aktiviertem JavaSkript. Alternativ zu den Plugins: Plattformabhängige Applikationen zum Ausführen von Java-Applets (Java Engine mit Appletviewer) und zum Abspielen von MP4-Filmen ( QuickTime Player ). Unterrichtsplanung Das Die Lorentztransformation - Fundament der SRT verschafft Ihnen einen Überblick über die möglichen unterschiedlichen Anforderungsniveaus der Unterrichtseinheit, das sind die Level "schnell", "genauer", "exakt", sowie die in den jeweiligen Modulen eingesetzten digitalen Medien. Die Schülerinnen und Schüler sollen das Computeralgebrasystem Derive als universelles mathematisches Werkzeug kennen lernen. mit Derive eine Anleitung für die Erzeugung von Minkowski-Diagrammen entwickeln. Aufgaben aus der Relativitätstheorie sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Derive lösen können. die Bedeutung von Minkowski-Diagrammen erkennen. erkennen, dass die Erhaltungssätze der Mechanik in der Relativitätstheorie eine neue Bedeutung bekommen. Thema Minkowski-Diagramme mit Derive Autor Rainer Wonisch Fach Physik Zielgruppe Jahrgangstufe 12 oder 13, Grund- oder Leistungskurs Zeitraum 10-12 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Beamer (Lehrerdemonstration), Rechner in aus reichender Anzahl für Partner- oder Gruppenarbeit Software Derive; Infos zur Software finden Sie in der (debug link record:lo_unit_subpage:tx_locore_domain_model_unitsubpages:355022) im Mathematik-Portal von Lehrer-Online Die hier beschriebene Unterrichtseinheit setzt voraus, dass der Unterricht zur Relativitätstheorie bereits bis hin zu den Minkowski-Diagrammen gediehen ist. Auch eine zeichnerische Umsetzung ist schon durchgeführt worden, so dass die ersten Teile der Unterrichtseinheit aus physikalischer Sicht eine Wiederholung sind. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler reichlich Übung im Umgang mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive haben, obwohl dies nicht schaden könnte. Lehrkräften, die im Umgang mit Derive noch nicht so geübt sind, wird die Erstellung von Minkowski-Diagrammen mithilfe einer Anleitung im PDF-Format Schritt für Schritt erläutert. Die an die Schülerinnen und Schüler gestellten Anforderungen sind auch von einem Grundkurs zu bewältigen. Wenn man den letzten Teil der Unterrichtseinheit mit der Behandlung der Erhaltungssätze sehr ausführlich behandeln möchte, dann benötigt man zu den in der Kurzinformation angegebenen 10-12 Stunden noch etwa vier zusätzliche Unterrichtstunden. Vorgeschlagen wird eine Mischung aus lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem und schülerzentriertem Unterricht. Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 1) Typische Probleme der Speziellen Relativitätstheorie (Stunde 1 bis 8) Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 2) Betrachtung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie (Stunde 9 und 10 beziehungsweise 9 bis 12)

Schülerinnen und Schüler aus Südafrika, Griechenland und Deutschland fotografierten zur selben Zeit Mond, Jupiter und Saturn. Nachdem die Bilder über das Internet ausgetauscht worden waren, wurde die Mondparallaxe bestimmt und die Entfernung des Mondes von der Erde berechnet. Eine günstige Stellung des Mondes wurde genutzt, um in Kooperation mit Schulen in fernen Ländern die Mondentfernung zu bestimmen. Dazu wurde der Winkelabstand Jupiter-Saturn mit einem Jakobsstab gemessen. Der Winkelabstand des Mondes wurde mithilfe von Fotografien bestimmt, die zeitgleich an verschiedenen Orten (Neumünster, Thessaloniki, Johannesburg) aufgenommen, digital bearbeitet und ausgewertet wurden. Aus den ermittelten Werten wurde mithilfe des Sinussatzes die Entfernung der Erde zum Mond mit 372.500 Kilometern bestimmt. Der Literaturwert für die mittlere Entfernung beträgt 384.401 Kilometer. Das hier vorgestellte anspruchsvolle Projekt eignet sich für Astronomie-Arbeitsgemeinschaften und wurde vom Autor im Rahmen des SINUS-Programms in Schleswig-Holstein durchgeführt. Die Auswertung der Messdaten gelingt im Mathematik-Unterricht der 10. Klasse (Sinussatz). Das Thema ist Teil des Unterrichts zur Gravitation in Jahrgangstufe 11 (Mechanik). Die Aufgabe "Bestimme die Entfernung des Mondes" ist schnell formuliert, lässt sich aber nur mit relativ großem Aufwand lösen. Sie erfordert neben vielfältigem Wissen aus verschiedenen Gebieten auch handwerkliche und organisatorische Fähigkeiten und Fertigkeiten Vorbereitung und Softwaretipps Hinweise für die Suche nach Beobachtungspartnern und Tipps zur Softwarenutzung bei der Auswahl des Beobachtungstermins und der Bildbearbeitung Grundlagen und Winkelmessungen Geometrische Grundlagen und praktische Vorschläge zur Durchführung der Winkelmessungen Ergebnisse Vorschläge zur Auswertung der Fotografien und zur Berechnung der Entfernung von der Erde zum Mond Die Schülerinnen und Schüler sollen Kenntnisse über die Positionen und Bewegungen der Körper im Sonnensystem erwerben. ein ziemlich großes Dreieck vermessen. Fotografie für Messzwecke einsetzen lernen. verschiedene Winkelmessverfahren kennen lernen. Thema Messung der Mondentfernung durch Triangulation Autor Bernd Huhn Fach Physik, Astronomie Zielgruppe Astronomie-AGs, Schülerinnen und Schüler ab Klasse 10 Zeitraum Das komplette Projekt dauert sicher mehrere Monate. Wenn man auf vorhandene Fotos zurückgreift, geht es schneller, es verliert aber einen Teil seines Reizes. Technische Voraussetzungen "klassischer" Fotoapparat oder Digitalkamera, Stativ, Drahtauslöser, Winkelmessscheibe, Geodreieck, Kompass, Wasserwaage, Knetgummi, dünner Stab (z.B. Schaschlikspieß), Schiebelehre, doppelseitiges Klebeband, Globus, Telefon- und E-Mail-Anschluss Software, Literatur Bildbearbeitungsprogramm (Corel Photo-Paint, GIMP oder vergleichbare Software), Astronomie-Software wie KStars, XEphem (beide kostenlos), SkyMap, Skyplot oder Tabellenwerke, zum Beispiel das Kosmos Himmelsjahr (Franckh-Kosmos Verlags-GmbH) oder Ahnerts Kalender für Sternfreunde (Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft) Keller, Hans-Ulrich Kosmos Himmelsjahr, Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, erscheint jährlich; alle wichtigen Infos zu Sonne, Mond und Sternen, den Planeten, Finsternissen und sonstigen Himmelsschauspielen sowie den "Monatsthemen" mit aktuellen und interessanten Beiträgen. Neckel, Thorsten; Montenbruck, Oliver Ahnerts Astronomisches Jahrbuch, Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, erscheint jährlich; in den Monatsübersichten wird unter anderem dargestellt, welchen Planeten und hellen Sternen der Mond begegnet und wie die Sichtbarkeitsbedingungen der Planeten sind. Soffel, Michael ; Müller, Jürgen Lasermessungen der Monddistanz, Sterne und Weltraum 7/1997, Seiten 646-651; Die Autoren erläutern das Messverfahren und stellen weit reichende Folgerungen dar, die man aus dem auf wenige Zentimeter genauen Messergebnis ziehen kann. Zimmermann, Otto Astronomisches Praktikum, Spektrum der Wissenschaft Verlag GmbH, ISBN 3-8274-1336-2 (2003); hier werden weitere Methoden zur Messung der Mondentfernung beschrieben (Erdschattendurchmesser auf dem Mond ,Änderung der Mondgröße mit der Höhe, parallaktische Libration, Sternbedeckungen durch den Mond) Gut geeignet für die Triangulation ist eine Kombination von Beobachtungsstandorten mit einer großen Differenz der geographischen Breiten und einer kleinen Differenz der geographischen Längen. Die erste Bedingung sichert eine große Basislänge, die zweite sorgt dafür, dass die fotografierte Himmelsgegend etwa zur gleichen Zeit an beiden Standorten möglichst hoch über dem Horizont steht. Wenn sich ein Standort in Deutschland befindet, sollte der zweite also idealerweise im Süden Afrikas liegen. Auch das östliche Südamerika kommt in Frage. Aufgeschlossene Kolleginnen und Kollegen findet man durch Nachfragen bei den deutschen Auslandsschulen: Bundesverwaltungsamt: Schulverzeichnis Auf der Website des BVA finden Sie das Schulverzeichnis der Zentralstelle für das Auslandsschulwesen. Für die vorbereitenden Verabredungen und den Austausch der Ergebnisse reicht der Kontakt per E-Mail. Zum Zeitpunkt der Aufnahmen selbst ist eine Telefonverbindung nützlich: Wenn der Himmel nur teilweise klar ist und "Wolkenlöcher" genutzt werden müssen, können kurzfristige Absprachen gewährleisten, dass die Aufnahmen möglichst zeitgleich entstehen. Alternativ können dafür auch Chat-Rooms genutzt werden. Für die Aufnahme muss sich der Mond in möglichst geringem Winkelabstand zu zwei hellen und sehr viel weiter entfernten Objekten am Himmel befinden. Günstig dafür ist eine Konjunktion von mindestens zwei der Planeten Venus, Mars, Jupiter und Saturn; der Mond sollte zwischen ihnen stehen. Die Mondphase ist nicht entscheidend; ein zunehmender Mond ist allerdings zu bevorzugen, wenn jüngere Schülerinnen und Schüler mitarbeiten sollen, da er vor Mitternacht kulminiert. Einen geeigneten Zeitpunkt findet man durch systematische Suche in entsprechenden Tabellenbüchern (Kosmos Himmeljahr, Ahnerts Astronomisches Jahrbuch) oder durch Verwendung eines Astronomieprogramms, das ein Planetarium simulieren kann: KStars Diese Software unterliegt der GNU General Public License (GPL) und steht kostenfrei zur Verfügung. XEphem Auf der Website des Clear Sky Institute ist auch dieses Programm kostenlos erhältlich. Skyplot Informationen und Bestellmöglichkeit zur Software auf der Website des Autors Frank P. Thielen. Skyplot ist für 30 € zu haben. SkyMap Die kommerzielle Software ist in der Lite-Version für etwa 37 € und in der Pro-Version für etwa 100 € zu haben. In dem hier beschriebenen Projekt wurden die beiden Planeten Jupiter und Saturn als "Fixpunkte" verwendet. Besser wäre natürlich die Verwendung von Sternen, weil sie der Forderung, unendlich weit entfernte Fixpunkte zu sein, besser entsprechen. Allerdings müssen die Sterne relativ dicht nebeneinander und nahe der Ekliptik stehen und auch noch hell genug sein. Gute Gelegenheiten für Aufnahmen mit Fixsternen bieten totale Mondfinsternisse. Der dann nur schwach beleuchtete Mond überstrahlt auch die schwächeren Sterne in seiner Umgebung nicht. Allerdings bietet sich diese Gelegenheit seltener, wodurch man mehr von günstigen Beobachtungsbedingungen abhängig ist. Probeaufnahmen In dem hier vorgestellten Projekt wurde eine klassische Kamera benutzt, natürlich kann auch eine Digitalkamera verwendet werden. Probeaufnahmen vor dem Aufnahmetermin sind anzuraten. Die Qualität der Aufnahmen sollte immer am Negativ oder an der Rohdatei beurteilt werden. Bildverwackelungen können durch die Nutzung eines Stativs und eines Drahtauslösers vermieden werden. Eine Nachführung ist nicht nötig. Für die spätere Auswertung der Fotos ist es wichtig, die Aufnahmezeitpunkte und die verwendete Zonenzeit zu notieren! Der Winkelabstand Jupiter-Saturn betrug bei unseren Messungen etwa 10 Grad. Dabei ist eine Brennweite von 15 Zentimetern beim Kleinbildformat 24 Millimeter mal 36 Millimeter optimal. Die Auflösung von Standardfilmen reicht völlig, unabhängig davon, ob Farb- oder Schwarz-Weiß-Filme verwendet werden. Verschiedene Belichtungszeiten bei jedem Aufnahmezeitpunkt Die Belichtungszeit soll so gewählt werden, dass die im Vergleich zum Mond lichtschwachen Planeten (oder Sterne) gerade sicher zu erkennen und der Mond nicht unnötig überbelichtet wird. Der Mondrand sollte auf den Bildern noch gut erkennbar sein. Belichtungszeiten zwischen 0,1 und 10 Sekunden sollten bei mittlerer Blende passen. Die Zeiten sind allerdings stark von den aktuellen Dunstverhältnissen und der lokalen Lichtverschmutzung abhängig. Daher ist es sinnvoll, zu jedem Aufnahmezeitpunkt immer mehrere Aufnahmen mit unterschiedlichen Belichtungszeiten zu machen. Lichtschwache und lichtstarke Objekte auf einem Bild? Wie in der Astronomie üblich, werden die Bildnegative bearbeitet, also dunkle Objekte vor hellem Hintergrund. Wenn die punktförmigen Objekte - zwei Planeten oder Sterne - auf den Fotografien sicher abgebildet sind, der Mondrand aber unscharf dargestellt ist, nutzt man ein Bildbearbeitungsprogramm um für die Auswertung der Bilder einen scharfen Mondrand zu erzeugen, ohne dabei die lichtschwachen Objekte zu verlieren. Dabei geht man in zwei Schritten vor. Retusche der lichtschwachen Planeten Zunächst werden die zentralen Pixel der Planetenbilder bei hoher Vergrößerung schwarz eingefärbt. Es reichen Quadrate von vier oder neun retuschierten Bildpunkten. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt ein Beispiel: S-01-03-1 zeigt das stark vergrößerte digitalisierte Bild des Planeten Jupiter aus der linken unteren Ecke des Bildes S-01-03. Darunter sieht man in s-01-03-2 das retuschierte Jupiterbild mit neun zentralen schwarzen Pixeln. Noch wichtiger ist die Retusche beim relativ schwachen Bild des Saturns rechts im oberen Drittel des Bildes S-01-03. Benutzt wurde das Programm Corel Photo-Paint, Version 6.0. "Scharfstellen" des Mondes Im zweiten Schritt wird die Helligkeit des gesamten Bildes angehoben und der Kontrast so verstärkt, dass der "echte" Mondrand scharf erscheint. Das ist dann der Fall, wenn der Mond hellgrau vor weißem Hintergrund erscheint und das Mondbild bei einer weiteren Anhebung der Helligkeit nicht mehr kleiner wird (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken). Mithilfe der Vorschaufunktion von Corel Photo-Paint lässt sich dies gut beurteilen. Anschließend kann der Kontrast des Bildes weiter erhöht werden, bis die Abbildung schwarze scharfe Objekte vor weißem Hintergrund zeigt. Alternativ zu kommerzieller Software kann auch das kostenfreie Bildbearbeitungsprogramm GIMP verwendet werden: Zwei Punkte A und B auf der Erde und der Mittelpunkt M des Mondes bilden ein Dreieck (Abb. 3). Die Längen der Strecken AM beziehungsweise BM sind gesucht. Um sie zu ermitteln, müssen wir drei Stücke dieses Dreiecks messen, ohne die Erde zu verlassen. Eines dieser Stücke muss eine Seitenlänge sein, dafür kommt nur die Länge der Strecke AB in Frage. Zwei Winkel sind also noch zu messen. Da die Messgenauigkeit der gesuchten Längen sehr empfindlich von dem Winkel pi mit dem Scheitelpunkt M abhängt, ist es unerlässlich, diesen direkt zu messen und ihn nicht etwa aus der Differenz 180 Grad - Winkel BAM - Winkel MBA zu errechnen, denn kleine relative Fehler bei den Messungen der Winkel BAM und MBA hätten einen großen relativen Fehler für den Wert von pi zur Folge. Leider können wir uns nicht auf den Mond begeben und von dort einfach die beiden Punkte A und B auf der Erde anpeilen. Wir können pi aber auch auf der Erde messen, denn er ist gleich der Winkeldifferenz der Richtungen, in denen der Mond von den beiden Punkten A und B aus gesehen erscheint, also gleich dem Winkel zwischen BM und der Parallele zu AM durch B. Er heißt daher auch Parallaxenwinkel (Abb. 3). Einer der beiden weiteren Winkel - BAM oder MBA - muss außerdem gemessen werden. Die Genauigkeit dieser Messung ist unkritisch für die Genauigkeit des Ergebnisses, besonders wenn der Wert des Winkels nahe 90 Grad liegt. Mithilfe des Sinussatzes ergeben sich die gesuchten Längen der Seiten MA oder MB. Um die Entfernung des Mondmittelpunktes vom Erdmittelpunkt und nicht von einem Punkt der Erdoberfläche zu erhalten, wäre weiterer Aufwand nötig. Dies erscheint angesichts der erzielbaren Messgenauigkeit jedoch nicht sinnvoll. Das Vorgehen sollte für Schülerinnen und Schüler, die gerade den Sinussatz am ebenen Dreieck verstanden haben, gut nachvollziehbar sein. Jüngere Schülerinnen und Schüler können die Anwendung des Sinussatzes möglicherweise durch eine Dreieckskonstruktion ersetzen, die aber sehr präzise sein muss, da der Parallaxenwinkel naturgemäß recht klein ist. Kenntnisse über astronomische Koordinatensysteme oder sphärische Trigonometrie sind nicht nötig. Es sollte Wert darauf gelegt werden, alle Schritte durch manuelle Tätigkeiten an einem räumlichen Modell (Globus mit aufgesetztem Horizontsystem, Mond in einiger Entfernung davon) zu veranschaulichen. Hinweise zur Aufnahme der Fotos Wir haben den Parallaxenwinkel pi auf fotografischem Weg gemessen. Ideal für die Auswertung ist ein Paar von zwei Aufnahmen des Mondes und der Hintergrundobjekte - hier Jupiter und Saturn -, die an den beiden Positionen A und B exakt zum gleichen Zeitpunkt gemacht werden. Wenn merklich Zeit zwischen den Aufnahmen liegt, weil zum Beispiel die Bewölkung an den Aufnahmestandorten dies erzwingt, könnte das Ergebnis durch die Bewegung des Mondes vor dem Hintergrund (etwa 15 Grad in 24 Stunden) verfälscht werden. Sollte diese Gefahr bestehen, so fotografiert man an einem oder an beiden Standorten mehrfach zu verschiedenen Zeitpunkten, etwa in jedem geeigneten Wolkenloch, und rekonstruiert dann jeweils die Position des Mondes für einen vereinbarten Zeitpunkt aus diesen Aufnahmeserien durch eine lineare Interpolation. Auswertung der Fotos Legt man zwei zeitgleich entstandene Bilder von den Standorten A und B so übereinander, dass die beiden Planetenbilder aufeinander liegen, so sind die Mondbilder gegeneinander verschoben. Diese Verschiebung kann man in den Parallaxenwinkel pi umrechnen, wenn man einen passenden Umrechnungsfaktor hat. Man erhält ihn aus einer Messung des Winkelabstandes delta der beiden Hintergrundobjekte am Himmel und dem Abstand ihrer Abbilder auf den auszuwertenden Fotos. Der Parallaxenwinkel ergibt sich dann per Dreisatz. Zur Kontrolle des Verfahrens kann man damit den Winkeldurchmesser des Mondes bestimmen: er muss etwa 0,5 Grad betragen. Messung des Winkels zwischen den Planeten Für die Messung des Winkels delta zwischen den Planeten Jupiter und Saturn haben wir in unserem Projekt einen improvisierten "Jakobsstab" benutzt (Abb. 4). Er besteht aus Stativmaterial und Längenmessgeräten aus der Physik-Sammlung. Das Durchblicksloch sollte möglichst klein sein. Man schaut durch die Öffnung und verschiebt die Markierungen auf dem Querstab so lange, bis die Peilung zu den Planeten passt. Dann lässt sich der Winkel delta messen beziehungsweise errechnen. Diese Winkelmessung sollte etwa zeitgleich mit den fotografischen Aufnahmen erfolgen. Messung von Azimut- und Höhenwinkel zum Aufnahmezeitpunkt Während wir zur Messung des Parallaxenwinkels pi mindestens zwei zeitgleich aufgenommene Fotografien von verschiedenen Standorten benötigen, kann der zweite Winkel im Dreieck an nur einem der Beobachtungsorte, zum Beispiel am Punkt A, ermittelt werden. Dazu bestimmt man die Position des Mondes im Horizontsystem (Azimut- und Höhenwinkel) zum Aufnahmezeitpunkt. Daraus lässt sich später der Winkel zwischen den Verbindungslinien zum Mond und zum zweiten Standort B mithilfe eines Globus ermitteln. Das kann man so machen: Man legt eine ebene, leichte und dünne Platte, zum Beispiel eine Winkelmessscheibe, wie sie für Schülerübungen in der Optik verwendet wird, horizontal ausgerichtet (Wasserwaage, Dosenlibelle, Untertasse voll Wasser ... ) auf eine feste Unterlage und markiert darauf mithilfe eines Kompasses die Nord-Süd-Richtung. Dabei muss unbedingt die lokale Missweisung beachtet werden, besonders wenn ein Partner im südlichen Afrika beteiligt ist. Dort erreicht nämlich die Missweisung auf Grund einer geomagnetischen Anomalie beträchtliche Werte. Durch ein Lot vom Himmelspol auf den Horizont oder mithilfe einer Landkarte und Landmarken am Horizont lässt sich das Ergebnis überprüfen. Nun befestigt man mit Knetgummi auf dieser Linie das Ende eines dünnen Stäbchens, zum Beispiel einen Schaschlik-Spieß, und richtet das Stäbchen genau auf den Mond, sodass es im Mondlicht keinen Schatten mehr wirft. Dann kann man den Höhenwinkel eta und den Azimutwinkel gamma mit einem Geodreieck messen (Abb. 5). Diese Messung muss man für jeden Aufnahmezeitpunkt wiederholen und protokollieren. Natürlich kann man für die Messungen von Azimut und Höhe auch einen vertikal stehenden Schattenstab benutzen. Dann lässt sich der Azimutwinkel direkt auf der Winkelmessscheibe ablesen. Der Höhenwinkel muss aus der Schattenlänge und der Stablänge berechnet oder an einem Faden von der Stabspitze zum Ende des Stabschattens abgelesen werden. Auch einen Theodolithen kann man verwenden, wenn man damit einen hinreichend großen Höhenwinkel messen kann. Rekonstruktion der Richtungen und Winkelmessung am Globus In einem letzten Schritt wird nun mit doppelseitigem Klebeband die Platte mit der Vorrichtung zur Bestimmung von Höhen- und Azimutwinkel auf einem Globus am Aufnahmeort A angeklebt. Auf den Ort A fällt der Fußpunkt A' des Stäbchens. Dann liegt die Platte in der Tangentialebene an den Globus in A, also in der Horizontebene von A (Abb. 6). Natürlich muss auch die Nord-Süd-Linie die Tangente an den Längenkreis durch A bilden. Wenn nun Azimut- und Höhenwinkel noch oder wieder passend eingestellt sind, so wird die Position des Mondes relativ zum Globus bei der Aufnahme reproduziert. Eine große "Schiebelehre" wird nun so angelegt, dass die Spitzen ihres "Schnabels" auf den Punkten A und B liegen. Ihre Kante bildet mit dem Stäbchen den gesuchten Winkel alpha, der nun mit einem Geodreieck gemessen werden kann (Abb. 7). Nicht notwendig, aber sehr sinnvoll ist es, auch am Ort B den Azimut- und den Höhenwinkel zum Aufnahmezeitpunkt zu messen und die Richtung zum Mond von Punkt B aus ebenfalls auf dem Globus zu rekonstruieren. Wenn diese Richtungen dann sehr voneinander abweichen, ist irgendwo ein Fehler passiert. Wir haben auf diese Weise die große Kompassmissweisung in Johannesburg "entdeckt". Bestimmung von Azimut- und Höhenwinkel aus Tabellendaten Falls Azimut- und Höhenwinkel nicht messbar sind, kann man sie aus Tabellenwerten der Mondephemeriden, der geographischen Breite und der Sternzeit des Aufnahmeortes rekonstruieren. Das gelingt - wenn auch etwas mühsam - mit den Formeln der sphärischen Geometrie. Zwar nicht so genau, aber anschaulicher und für Schülerinnen und Schüler nicht nur manuell begreifbarer, ist ein Kartonmodell. Abb. 8 zeigt die Mondposition (rotes Kügelchen) im Horizontsystem von Thessaloniki am 12. November 2000 um 20:00 Uhr Weltzeit. Dazu wurde auf der Horizontebene zunächst ein Sektor der Äquatorebene um den Winkel von 90 Grad minus geographische Breite gegenüber der Horizontebene geneigt aufgeklebt. Auf der Äquatorebene sind aus gelbem Karton zwei orthogonal zueinander stehende Sektoren für den Stundenwinkel und die Deklination des Mondes befestigt. Die Deklination des Mondes (hier 18 Grad) erhält man aus einem astronomischen Jahrbuch (Kosmos Himmelsjahr, Ahnerts Astronomisches Jahrbuch), ebenso die Rektaszension (hier 4 h 08 min). Der Stundenwinkel ergibt sich dann aus der Beziehung Stundenwinkel = Sternzeit - Rektaszension. Mit der Sternzeit 1 h 01 min, die man ebenfalls einem Jahrbuch entnimmt und auf den Aufnahmeort und -zeitpunkt umrechnet, erhält man den Stundenwinkel von -3 h 07 min, wie in Abb. 8 näherungsweise abzulesen ist. Mit einem Geodreieck misst man nun Azimut- und Höhenwinkel im Horizontsystem. Das Kartonmodell kann man anstelle der Winkelmessscheibe mit dem Schaschlikstäbchen zur Auswertung auch direkt auf den Globus kleben. Prinzipiell macht man dabei allerdings einen kleinen Fehler: Die Angaben für Deklination und Rektaszension beziehen sich auf einen Beobachter im Erdmittelpunkt, während das Kartonmodell auf der Erdoberfläche sitzt. Der so ermittelte Winkel BAM wird also entsprechend verfälscht. Der Fehler dürfte aber angesichts der begrenzten Genauigkeit des Modells zu vernachlässigen sein. Die Länge der Dreiecksseite AB, das heißt die Entfernung zwischen den Beobachtungspunkten wird, wie in Abb. 7 gezeigt, mit einer großen Schiebelehre auf einem Globus ausgemessen und mithilfe des Globus-Maßstabes berechnet. Die Entfernung BM ergibt sich nun leicht aus dem Sinussatz: Es ist sinnvoll, an dieser Stelle weitere Werte für pi, alpha und die Länge von AB in die Berechnung der Mondentfernung einzusetzen und die Auswirkungen auf das Ergebnis zu diskutieren. Dabei sollte sich als kritische Größe der Parallaxenwinkel herausstellen. Beobachtungsnacht Um sicher auswertbares Fotomaterial zu erhalten, wurde die Begegnung des Mondes mit den Planeten Jupiter und Saturn im Abstand von vier Wochen in zwei Vollmondnächten dokumentiert. Am 12. November 2000 standen neun Kollegen in Brasilien, Südafrika, Griechenland und Deutschland mit ihren Schülerinnen und Schülern bereit, um den Mond und die beiden Planeten zu fotografieren. Allerdings spielte das Wetter nur in Thessaloniki und Johannesburg mit: Lediglich Max Ruf (Deutsche Schule Johannesburg) und Wolfgang Hofbauer (Deutsche Schule Thessaloniki) gelangen auswertbare Aufnahmen. Die folgenden vier Abbildungen zeigen je zwei Bilder von diesen Standorten. Das jeweils erste zeigt die Originalaufnahme mit den ergänzten Aufnahmedaten. In der jeweils zweiten Abbildung ist das digitalisierte Foto mit einem Bildbearbeitungsprogramm zu einer Schwarz-Weiß-Grafik verarbeitet worden. Der Grauton, bei dem die Entscheidung zwischen Schwarz und Weiß liegt, wurde dazu so gewählt, dass der Mondrand optimal zu erkennen ist. Damit die Planeten Jupiter und Saturn bei der Bildbearbeitung nicht verloren gingen, wurden diese vorher retuschiert. Winkelabstand und geographische Koordinaten Den Winkelabstand Jupiter-Saturn hat Max Ruf in Johannesburg zu delta = 10,5° gemessen. Die geographischen Koordinaten der Aufnahmeorte sind: Johannesburg: 26° 12' südlicher Breite, 28° 06' östlicher Länge Thessaloniki: 40° 36' nördlicher Breite, 23° 06' östlicher Länge Bilder aus Johannesburg Bilder aus Thessaloniki Bestimmung der Mondparallaxe am Bildschirm Abb. 13 zeigt eine Montage, in der die beiden Aufnahmen aus Abb. 10 und Abb. 12 so gedreht und zentrisch gestreckt wurden, dass die Verbindungsstrecken Jupiter-Saturn horizontal liegen und gleich lang sind. Nun können die Schülerinnen und Schüler die Mondparallaxe am Bildschirm mit der folgenden Anleitung ermitteln: Markiere auf dem Monitor mit einem abwaschbaren Folienschreiber die Positionen von Jupiter, Saturn und Mond aus der oberen Aufnahme. Verändere nicht die Position deines Kopfes! Schiebe das zweite Bild mithilfe der Scroll-Leiste auf dem Bildschirm in die Position, in der Jupiter und Saturn auf "ihren" Markierungen liegen. Zeichne den "zweiten Mond" auf den Bildschirm. Wenn die Scroll-Funktion zu grob arbeitet, kopiere das Bild zuerst auf eine leere neue Seite eines Webseiten-Editors oder eines Bildbearbeitungsprogramms. Verfahre dann so, wie oben beschrieben. Bestimme auf dem Bildschirm den Abstand Jupiter-Saturn und den Abstand der Mondbilder. Der Abstand Jupiter-Saturn entspricht einem Winkelabstand von [ ... ] Grad. Berechne per Dreisatz den Winkelabstand pi der beiden Mondbilder. Bestimmung der Mondparallaxe mithilfe von Ausdrucken Alternativ zu der beschriebenen Bestimmung der Mondparallaxe am Bildschirm können Ausdrucke der Bilder durch die entsprechende Funktion des Druckprogramms auf den gleichen Abstand Jupiter-Saturn gebracht werden. Man kann dazu auch einen Fotokopierer verwenden. Ein Bild wird auf eine Folie kopiert oder per Hand übertragen. Dann wird die Folie auf das zweite Bild gelegt und die Mondparallaxe wie zuvor beschrieben bestimmt. In der Physik-AG der IKS Neumünster haben wir die beiden Fotos vom 12. November 2000 aus Thessaloniki und Johannesburg ausgedruckt und übereinander gelegt. Jupiter und Saturn hatten dort einen Abstand von 171 Millimetern. Die beiden Mondpositionen lagen 18 Millimeter voneinander entfernt. Daraus ergab sich ein Parallaxenwinkel von pi = 10,5° (18 / 171) = 1,1°. Am großen Globus aus dem Erdkunde-Fachraum haben wir als nächstes die Richtung zum Mond von Thessaloniki aus mithilfe der Winkelmessscheibe rekonstruiert (Abb. 14a) und den Winkel Johannesburg-Thessaloniki-Mond zu 103 Grad gemessen. Gleichzeitig ergab sich der Abstand Johannesburg-Thessaloniki zu 36,4 Zentimetern bei einem Globusdurchmesser von 63,2 Zentimetern (Abb. 14b). Mit dem Erddurchmesser von 12.740 Kilometern konnten wir die wahre Entfernung JT Johannesburg-Thessaloniki errechnen: 12.740 km (36,4 / 63,2) = 7.340 km Um den Sinussatz anwenden zu können, benötigten wir noch den Winkel Mond-Johannesburg-Thessaloniki. Er betrug 180° - 103° - 1,1° = 75,9°. Nun konnten wir alles in den Sinussatz einsetzen und erhielten die Entfernung TM Thessaloniki-Mond: (sin 75,9° / sin 1,1°) 7.340 km = 372.500 km. Fertig (Abb. 15)! Später haben wir erfahren, dass der von uns benutzte Messwert von 85 Grad für den Azimutwinkel um 10 Grad zu groß war. Er beträgt nur 75 Grad. Dadurch muss mit einem kleineren Basiswinkel gerechnet werden. Da dieser nahe bei 90 Grad liegt, wo die Sinuskurve nur eine geringe Steigung hat, wirkt sich dieser Fehler aber kaum auf das Ergebnis aus. Der Mond liegt zwar - in astronomischen Maßstäben - vor unserer Haustür. Dennoch ist die in Zahlen gefasste Entfernung nicht mehr anschaulich. Hilfreicher sind für die Veranschaulichung sind grafische Darstellungen, wie zum Beispiel die folgenden, die uns der Amateur-Astronom Thomas Borowski freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat: