In dieser Unterrichtseinheit wird das Nikolausfest als Kontext für die Erarbeitung von Funktionsgleichungen aus zwei Punkten einer Geraden genutzt. Dazu kommt die kostenlose Mathematiksoftware GeoGebra zum Einsatz, mit der ein direkter Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Graphen der Funktion visualisiert werden kann.Die Lernenden sollen dem Nikolaus, der wahlweise für den jeweiligen Jahresanlass zum Beispiel auch als Schneemann oder Osterhase abgeändert werden kann, bei seinen Problemstellungen behilflich sein. Die Schülerinnen und Schüler sollen am Beispiel des Nikolaushauses das Aufstellen linearer Funktionen vertiefen und mit Definitions- und Wertemengen arbeiten. Durch die eigenständige Überprüfung der Arbeitsergebnisse mit GeoGebra werden Erfolgserlebnisse und das Vertrauen in die eigenen mathematischen Fähigkeiten bei den Lernenden gestärkt.Die Software GeoGebra bietet die Möglichkeit einen direkten Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Graphen der Funktion zu visualisieren. Änderungen an der Funktionsgleichung im Algebrafenster wirken sich in Echtzeit auf den Funktionsgraphen im Geometriefenster aus. Ebenso ist es möglich, durch manuelle Verschiebung von Funktionsgraphen mit der Maus, die Auswirkung auf die Funktionsgleichung zu beobachten. Zusätzlich bietet GeoGebra den Vorteil, dass es auch für die Lernenden kostenlos verfügbar ist und eine Client-Installation durch den Einsatz von Java-Applets bei Vorhandensein einer Java-Runtime-Umgebung (Standard) entfällt. Unterrichtsablauf Die Aufteilung in Partnergruppen und der Einsatz der Materialien werden hier detailliert für die skizzierte Unterrichtseinheit beschrieben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben und vertiefen das Aufstellen linearer Funktionsgleichungen aus zwei Punkten einer Geraden. festigen ihre Kompetenz, lineare Funktionen aufzustellen und mit Definitions- und Wertemengen zu arbeiten. erfahren, dass ein Werk (in diesem Falle das Nikolaushaus) aus Bausteinen einzelner Teams entstehen kann und somit ihre Erfahrungen zu arbeitsteiligen Prozessen erweitern. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Fähigkeiten im Umgang mit der dynamischen Mathematik-Software GeoGebra und erkennen und bewerten die Vorteile. Als Einstieg in den Unterricht dient der Auftritt des Nikolauses, der die Lernenden um Unterstützung beim Bau seines neuen Nikolaushauses bittet. Er hat das Problem, dass seine Architekten mit der Skizze nichts anfangen können und eine mathematische Beschreibung erwarten. Es ist davon auszugehen, dass die Schülerinnen und Schüler dem Nikolaus, der positive Assoziationen aus der Kindheit hervorruft, gerne helfen. Positiv verstärkend wirkt auch die Situationskomik, wenn die Lehrkraft als Nikolaus die Klasse betritt. Es kann natürlich auch eine andere Identifikationsfigur gewählt werden, dann müssen allerdings die Arbeitsmaterialien darauf abgestimmt werden. Der Nikolaus verlässt die Klasse und die Lehrkraft kommt zurück in den Klassenraum und lässt sich das Problem nochmals von den Schülerinnen und Schülern beschreiben. Die Lernenden sollen erkennen, dass dem Nikolaus mit linearen Funktionen geholfen werden kann. Ihre Vorgehensweise halten sie an der Tafel fest. Die Teams für die Partnerarbeit werden nach dem Zufallsprinzip zusammen gesetzt. Die Erfahrung mit eventuell unbekannten Partnern zusammenzuarbeiten ist wichtig, da die Auszubildenden auch im späteren Berufsleben häufig so agieren müssen. In der Partnerarbeit werden die Lernenden die Aufgabe intensiver analysieren und bearbeiten. Pro Paar wird nur ein Aufgabenblatt verteilt, wobei Abstimmungen mit arbeitsgleichen Teams möglich sind. Sollten Paare bei der Bearbeitung wesentlich schneller voranschreiten, so können weitere Strecken des Nikolaushauses berechnet werden. Nach der Arbeitsphase präsentieren die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse am Overhead-Projektor und diskutieren sie im Plenum. Vier Präsentationen werden durchgeführt, wobei die arbeitsgleichen Teams die zusätzliche Schwerpunktaufgabe der Ergebnisüberprüfung übernehmen. Danach geben die Teams ihre Funktionsgleichungen und die dazugehörigen Intervalle in den Lehrerrechner ein. Die Lernenden können beobachten, wie sich das Haus vom Nikolaus aus Einzelergebnissen aufbaut. Abschließend wird die arbeitsteilige Vorgehensweise unter Einsatz der dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra gemeinsam diskutiert. Als Hausaufgabe sind durch die Schülerinnen und Schüler die Abszissen- und Ordinatenschnittpunkte ihrer Geraden unter D = R zu berechnen. Die Stunde abschließend könnte sich der Nikolaus für die Hilfe der Klasse mit Schokoladennikoläusen bedanken.

In dieser Unterrichtseinheit wird am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent gezeigt, wie sich Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsmaterialien die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können.Eigenschaften von Potenzfunktionen anhand ihrer Graphen eigenständig zu entdecken und Funktionsgleichungen zu interpretieren ist eine interessante Alternative zur herkömmlichen Einführung der Potenzfunktion. Die dafür notwendige experimentelle Umgebung, die Lernende im Erkenntnisprozess unterstützt und begleitet, wird mithilfe von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisiert. Die Kombination von Übungen am Computer und schriftlicher Zusammenfassungen schafft eine neue und interessante Unterrichtsform. Am Beispiel der Einführung in die Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponent soll aufgezeigt werden, wie Schülerinnen und Schüler sich die Eigenschaften dieser Funktionen durch Experimentieren und Beobachten erarbeiten können. Durch die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen werden sie in die Lage versetzt, sich ihrem eigenen Lerntempo entsprechend mit den Eigenschaften von Potenzfunktionen aktiv auseinander zu setzen. Die inhaltliche Aufbereitung der einzelnen interaktiven dynamischen Arbeitsblätter bietet eine Vorstrukturierung der zu erarbeitenden Unterrichtsinhalte. So leitet die Unterteilung in geradzahlige und ungeradzahlige Exponenten sowie die Vorgabe von jeweils neun zu prüfenden Aussagen zu zielgerichtetem Experimentieren an und unterstützt den individuellen Lernprozess. Die Zahl n als Exponent steht im Folgenden in allen Funktionsgleichungen stets für eine natürliche Zahl. Voraussetzungen und Hinweise zu den Materialien Inhaltliche und technische Voraussetzungen sowie allgemeine Hinweise zum Aufbau und zur Nutzung der Online-Arbeitsblätter Unterrichtsverlauf Hinweise zur Nutzung der einzelnen Arbeitsblätter mit Screenshots Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. erkennen, dass die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x -n für gerade und ungerade Exponenten unterschiedlich sind und diese benennen können. können den Einfluss des Parameters a in der Funktionsgleichung y = ax -n auf den Verlauf des Graphen beschreiben. können anhand vorgegebener Graphen deren Gleichung ermitteln. Inhaltliche Voraussetzungen Das hier vorgestellte Übungskonzept setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler Begriffe wie etwa Funktion, Definitionsmenge und Wertemenge bereits kennen und über grundlegende Kenntnisse zum Thema Symmetrien von Funktionsgraphen verfügen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Die Bedienung aller Online-Arbeitsblätter ist identisch und ermöglicht somit nach einer kurzen Einführung durch die Lehrkraft ein selbstständiges Arbeiten der Schülerinnen und Schüler. Bei allen Arbeitsblättern wird beim Seitenstart der dynamische Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die in der linken Spalte des Arbeitsblatts stehenden 18 Aussagen überprüfen und die zutreffenden jeweils per Mausklick auswählen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Zur Lösungsfindung können sie mit dem Schieberegler n unterschiedliche Funktionsgraphen erzeugen. Wenn die Schülerinnen und Schüler der Ansicht sind, alle Eigenschaften gefunden zu haben, so können sie ihre Lösung mit einem Klick auf den Button "Auswertung" überprüfen lassen. Je nach Richtigkeit und Vollständigkeit der Schülerbeobachtung wird ein entsprechendes Pop-up-Fenster erzeugt. Sind alle Eigenschaften richtig zugeordnet erscheint die Bestätigung: "Ausgezeichnet! Das hast du sehr gut gemacht! Du hast beide Fälle richtig bearbeitet." (Abb. 2a)." Wurde hingegen keiner der beiden Fälle richtig bearbeitet, erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Leider beide Fälle falsch! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2b). Hat eine Schülerin oder ein Schüler einen der beiden Fälle, zum Beispiel "n ist gerade", richtig analysiert und den Fall "n ist ungerade" falsch oder unvollständig beschrieben, so erscheint im Pop-up-Fenster die Meldung: "Schade! Nur ein Fall ist richtig erkannt! Versuche es noch einmal!" (Abb. 2c). Bei den Rückmeldungen auf unvollständige oder falsche Eingaben erfolgt keine detaillierte Fehleranalyse. Die Schülerinnen und Schüler werden dadurch gezwungen, alle Aussagen erneut auf ihre Richtigkeit zu überprüfen und ihre Beobachtungen zu präzisieren. Funktionen mit der Gleichung y = ax n In einem weiteren Schritt schließt sich im Unterricht die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax n zu Grunde liegt. Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken) sind identisch zum vorhergehenden. Das dynamische Element besitzt zusätzlich einen Schieberegler für den Parameter a. Neben dem Graphen zur Funktion y = ax n wird der Graph zur Funktionsgleichung y = x n dynamisch erzeugt und grau eingezeichnet. Dadurch lassen sich die Veränderungen der Graphen, die durch den Parameter a veranlasst werden, gezielt beobachten. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht wieder darin, die Eigenschaften der Funktionen zu finden. Funktionen mit der Gleichung y = x -n Die Konzeption der zweiten Unterrichtsstunde orientiert sich am Verlauf der vorhergehenden. Nach einer kurzen Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse anhand der dort angefertigten Folie erfolgt eine Einführung in die Funktionsweise des Arbeitsblatts (Abb. 4) durch die Lehrkraft. Die Schülerinnen und Schüler experimentieren dann wieder eigenständig, um die Eigenschaften der vorliegenden Funktionen zu erkunden. Im Anschluss werden die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten im Arbeitsblatt "hefteintrag_2.pdf" festgehalten. Die Zuordnung der vier Funktionsgraphen im PDF-Arbeitsblatt kann wieder in Partnerarbeit als Element einer Ergebnissicherung verwendet werden. Funktionen mit der Gleichung y = ax -n Es schließt sich im weiteren Verlauf der Unterrichtsstunde die Betrachtung von Funktionsgraphen an, denen die Gleichung y = ax -n zu Grunde liegt (Abb. 5). Aufbau und Funktionsweise des Arbeitsblatts sind im Wesentlichen wieder identisch zum vorhergehenden. Zusätzlich besitzt das dynamische Element des Arbeitsblatts einen Schieberegler für den Parameter a. Der Graph zur Funktionsgleichung y = x -n wird ebenfalls wieder erzeugt und grau eingezeichnet. Haben die Schülerinnen und Schüler die Eigenschaften gefunden, können sie erneut ihre Angaben mit einem Klick auf den Button "Auswertung" prüfen lassen. Graphen werden Funktionsgleichungen zugeordnet Mit den Übungen der dritten Unterrichtsstunde können die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse bezüglich der Eigenschaften von Potenzfunktionen weiter vertiefen und auf unterschiedliche Graphen anwenden. Das dynamische Arbeitsblatt (Abb. 6) weist die gewohnte Zweiteilung auf. In der linken Spalte sind zwölf Funktionsgleichungen vorgegeben. Beim Seitenstart oder nach dem Klick auf den Button "Neue Aufgabe" wird in der rechten Spalte des Arbeitsblatts der Graph einer Potenzfunktion erzeugt. Dabei kann zur Lösungsfindung ein Punkt auf dem jeweiligen Graphen bewegt werden, dessen Koordinaten fortlaufend aktualisiert und angezeigt werden. Die Aufgabe der Schülerinnen und Schüler besteht darin, die richtige Gleichung für den gezeichneten Graphen anzugeben, in dem sie diese per Mausklick aus den gegebenen Gleichungen auswählen. Nach einem Klick auf den Button "Auswertung" erhält die Schülerin oder der Schüler eine der Eingabe entsprechende Rückmeldung. Differenzierte Auskunft über Schülerleistungen Die Rückmeldung gibt dabei neben der Bewertung der Schülerlösung zusätzlich Auskunft darüber, wie viele Lösungsversuche die Schülerin oder der Schüler für die aktuelle Aufgabe benötigt hat, wie viele Versuche insgesamt unternommen wurden und wie viele Aufgaben bisher gelöst wurden. Die beobachtende Lehrkraft erhält so einen schnellen Überblick über die Leistungsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler. Schriftliches Formulieren, um Kenntnisse zu festigen und zu vertiefen An diese Übung am Computer schließt sich wieder eine Zusammenfassung mit einer herkömmlichen Übung an. Dabei kommt das Arbeitsblatt "potenzfunktionen_quiz.pdf" zum Einsatz. Auch hier sollen Funktionsgraphen Funktionsgleichungen zugeordnet werden. Doch sollten die Schülerinnen und Schüler nun zusätzlich schriftlich festhalten, an welchen Besonderheiten des Graphen sie die Funktionsgleichung bestimmt haben. Das schriftliche Formulieren von gewonnenen Erkenntnissen ist nach einer am Computer durchgeführten Übung immer notwendig, damit sich die Lernenden mit der den Aufgaben zu Grunde liegenden Struktur auseinandersetzen und so ihre Kenntnisse weiter festigen und vertiefen können.

In dieser Unterrichtseinheit zu linearen Funktionen setzen sich die Lernenden mit dem mathematischen Funktionsbegriff auseinander und wenden ihn in einer anschaulichen Fragestellung aus der Fernerkundung an. Dabei erarbeiten sie Möglichkeiten zur Korrektur verzerrter Scannerbilder mithilfe einer linearen Funktion. Die Materialien sind auf Deutsch und auf Englisch verfügbar und somit auch im englisch-bilingualen Unterricht einsetzbar.Zentrales Element dieser Lerneinheit zu linearen Funktionen ist das Beispiel eines Flugzeugs, das für Scanneraufnahmen über eine Landschaft fliegt und durch eine Windböe vom geraden Kurs abkommt. Die dadurch auf dem Scannerbild entstandene Verzerrung können die Schülerinnen und Schüler durch eine Funktion korrigieren. Zusätzlich zum Verständnis der mathematischen Inhalte lernen die Schülerinnen und Schüler auch Aspekte der Fernerkundung kennen. Das Projekt "Fernerkundung in Schulen" (FIS) des Geographischen Institutes der Universität Bonn beschäftigt sich mit den Möglichkeiten zur Einbindung des vielfältigen Wirtschafts- und Forschungszweiges der Satellitenfernerkundung in den naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei entstehen neben klassischen Materialien auch Anwendungen für den computergestützten Unterricht.Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Aufgaben und die Mechanismen einfacher linearer Funktionen zu verstehen. Durch die praktische Anwendung sollen mögliche Verständnisbarrieren frühzeitig überwunden werden und den Lernenden ein klarer Bezug der mathematischen Inhalte zu realen Situationen aufgezeigt werden, in diesem Fall zur rechnerischen Entzerrung von Scannerbildern. Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Moduls das Verständnis für den Sinn und die Charakteristik von einfachen Funktionen festigen, bevor es lehrplangemäß zur Vertiefung dieser Thematik kommt. Es ist jedoch denkbar, Themen wie den Aufbau einer Funktionsgleichung oder die Herleitung einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten eines Graphen an das Modul anzulehnen und sich im regulären Unterricht sukzessive die Werkzeuge zur Lösung des Moduls zu erarbeiten. Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Funktionsbegriff ist zentrale Aufgabe des Moduls. Zusätzlich lernen die Schülerinnen und Schüler Aspekte der Fernerkundung kennen. Einführung in das Computermodul Das interaktive Modul "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" gliedert sich in ein Startmenü, eine Einleitung und den in drei Bereiche unterteilten Aufgabenteil. Aufgabenteil im Computermodul Hier wird der Aufgabenteil mit den drei Bereichen Analyse, Funktion und Entzerrung des interaktiven Moduls "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" genauer beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler können die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen. stellen einen klaren Bezug zwischen den mathematischen Inhalten und der realen Situation her. kennen die Struktur eines digitalen Bildes und können sie auf die Problemstellung übertragen. formulieren die Anforderung an eine Funktion, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. verstehen den Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes. Nach der Weiterleitung in diesen Bereich sind in der linken Navigationsleiste drei Felder zu erkennen, über welche die Bereiche 1, 2 und 3 frei anwählbar sind. Im Aufgabenteil sollen die Schülerinnen und Schüler den Kern des Problems der Driftverzerrung erfassen und können nun interaktiv arbeiten. Bereich 1: Analyse Hier stehen den Lernenden zwei Bilder zur Verfügung. Ein unverzerrtes Vergleichsbild und das verzerrte Bild, welches im Laufe der Vorgeschichte entstanden ist. Aufgabe ist es die Unterschiede in den Bildern genau zu definieren. Dabei hilft ihnen ein Tool, mit dessen Hilfe sie in beiden Bildern einen Bildausschnitt vergrößern können. Der Button "Aufgaben" öffnet ein Feld mit den drei innerhalb dieses Bereichs zu lösenden Aufgabenstellungen. Im linken Bereich ist ein Schema abgebildet, welches alle für die Lösung der Aufgaben relevanten Angaben enthält (Abbildung 3, bitte auf den Platzhalter klicken). Ziel ist es, eine Aussage über die Anzahl der Bildspalten treffen zu können, um die die erste und die letzte Bildzeile im verzerrten Bild versetzt sind. Dazu muss der Betrag in Meter, um den das Flugzeug am Ende der Aufnahme abgewichen ist, in Pixel umgerechnet werden. Der Betrag in Bildspalten y, um den die erste, also oberste Bildzeile x versetzt ist, wird als Punkt A in das Graphenmodul auf der rechten Seite eingegeben. Punkt B setzt sich aus dem Versatz der letzten, also untersten, Bildzeile x2 um die Anzahl der Bildspalten y2 zusammen. Bei den Berechnungen wird eine Genauigkeit von zwei Nachkommastellen als ausreichend betrachtet. Dieser Bereich dient der Überprüfung der aufgestellten Funktion. Sie kann unten links in die Felder eingetragen werden. Der Button "Bild entzerren" versetzt die Bildzeilen des verzerrten Bildes entsprechend der eingegebenen Funktion. Die richtige Funktionsgleichung führt auch zum richtigen Ergebnis. Zur Überprüfung ist links noch einmal das verzerrte Bild dargestellt. Der Button mit den entgegengesetzten Pfeilen bietet die Möglichkeit, das unverzerrte Kontrollbild einzublenden. In diesem Bereich kann zum besseren Verständnis der Vorgänge auch experimentiert werden. Grundsätzlich führt eine erhöhte Steigung des durch die Funktionsgleichung beschriebenen Graphen zu einer stärkeren Verzerrung. Der y-Achsenabschnitt beschreibt einen Versatz des Bildes in positive oder negative Richtung. Das Programm beachtet dabei nur diskrete Werte. Kommastellen werden gerundet. So findet die Verschiebung nur in ganzen Pixelwerten statt. Stunde 1 Stundenziel: Der fernerkundliche Hintergrund soll verstanden werden und die Überleitung zur mathematischen Fragestellung durchgeführt werden. Feinziele (FZ): FZ 1: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen können. FZ 2: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Struktur eines digitalen Bildes kennen und auf die Problemstellung übertragen können. FZ 3: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Anforderung an eine Funktion formulieren, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Medien / Dateien Einführung Erläuterungen zur Fernerkundung; Abbildungen zur Entstehung von Scannerbildern; Verdeutlichung über den Startbildschirm des Computermoduls Unterrichtsgespräch Folien 1 und 2; Computer und Beamer; Startbildschirm des Computermoduls Problematisierung Einführung der Problemstellung Gruppenarbeit Computer, Punkt "Einführung" im Computermodul Erarbeitung Schülerinnen und Schüler verdeutlichen sich die Verzerrung anhand der Aufgabenstellungen im Bereich "Analyse". Gruppenarbeit Computer, Punkt "Analyse" im Computermodul Bündelung Zusammenfassen der Erkenntnisse Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Analyse" im Computermodul Stunde 2 Stundenziel: Eine lineare Funktion soll aufgestellt werden, mit deren Hilfe das verzerrte Bild entzerrt werden kann. Feinziele (FZ): FZ 1: Die Schülerinnen und Schüler sollen denn Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes verstehen. Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Medien / Dateien Einführung Wiederholung der am Ende der letzten Stunde formulierten Anforderung an die Funktion Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Analyse" im Computermodul Problematisierung 1. Es ist noch nicht bekannt, um wie viele Pixel die Bildreihen maximal verschoben sind. 2. Die Funktion selber ist noch nicht bekannt. 3. Die Funktion muss auf das Bild angewendet werden. Gruppenarbeit Computer, Punkt "Funktion" im Computermodul Erarbeitung Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich anhand der Aufgabenstellungen im Bereich "Funktion" die Funktion und testen sie im Bereich "Entzerrung". Gruppenarbeit Computer, Punkte "Funktion" und "Entzerrung" im Computermodul Bündelung Zusammenfassen der Erkenntnisse, auch durch die Möglichkeit mithilfe beliebiger Funktionen das Bild zu verzerren Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Entzerrung" im Computermodul Um den Kern der Problematik im Modul erfassen zu können, ist eine kurze Erklärung notwendig, denn die hier behandelte Verzerrung ist nur charakteristisch für Scannerbilder. Die Beispiele aus den Hintergrundinformationen und vor allem die interaktive Animation am Anfang des Moduls sollen hier behilflich sein. Folie 1 zeigt klar den Unterschied zwischen einem normalen Luftbild und einem Scannerbild auf. Um zu verdeutlichen, wo die Vorteile eines Scannerbildes liegen, kann Folie 2 gezeigt werden. Die Unterrichtseinheit "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" bedient sich der Möglichkeiten des Computers, um die Thematik durch Animation und Interaktion nachhaltig zu vermitteln. Darüber hinaus ist die durchgeführte Bildkorrektur nur mithilfe eines Rechners durchführbar. Ein Umstand, der den Schülerinnen und Schülern das Medium Computer nicht als reines Informations- und Unterhaltungsgerät, sondern auch als Werkzeug näher bringt. Das Modul ist ohne weiteren Installationsaufwand lauffähig. Es wird durch Ausführen der Datei "FIS_Pixel auf Abwegen.exe" gestartet. Dazu ist ein Adobe Flash Player notwendig. Der erste Bereich des Computermoduls "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" wird nach dem Start automatisch geladen. Die Animation verdeutlicht die Arbeitsweise eines flugzeuggestützten Scanners. Das Flugzeug scannt dabei eine Landoberfläche ab, gleichzeitig wird auf der rechten Seite der gescannte Bildbereich Reihe für Reihe, der aktuellen Flugzeugposition entsprechend, aufgebaut. Abbildung 1 verdeutlicht dies (Platzhalter bitte anklicken). Die mittig angeordneten Pfeile dienen der Beeinflussung des Flugverhaltens. Das gescannte Bild reagiert dabei auf die ausgelösten Manöver und die entstandene Verzerrung wird angezeigt. Wird eine Seitwärtsbewegung ausgelöst, erscheint ein Button. Ein Klick auf den Button "Driftverzerrung bearbeiten" leitet über zum nächsten Menüpunkt. Zur Anpassung der Animation an geringere Rechnerleistung kann die Qualität mithilfe des Buttons im oberen linken Fensterbereich angepasst werden. Der zweite Bereich bietet eine animierte Einführung, in der ein Flugzeug über eine Landschaft fliegt. Abbildung 2 gibt einen Eindruck dieser Animation (bitte auf den Platzhalter klicken). Eine semi-fiktionale Geschichte erzählt kurz, wie es zur Situation der Driftverzerrung gekommen ist, die es auf mathematischem Weg zu lösen gilt. Die "Weiter"-und "Zurück"-Buttons navigieren durch die beiden Abschnitte dieses Bereichs und leiten zum dritten Bereich, dem Aufgabenteil, weiter.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Potenzfunktionen ordnen die Schülerinnen und Schüler mithilfe interaktiver Arbeitsblätter in eigenständiger Arbeit Funktionsgleichungen und Graphen einander zu. Sie erkennen Potenzfunktionen und tragen diese in ein interaktives Koordinatensystem. Schließlich können sie auch Wurzelfunktionen erkennen.Mit den in dieser Unterrichtseinheit genutzten Materialien (Hot-Potatoes-Übung, Multiple-Choice-Verfahren, interaktives Koordinatensystem) erweitern die Schülerinnen und Schüler den Funktionsbegriff auf die Potenzfunktionen. Fünf Arbeitsblätter bieten Möglichkeiten und Anreize, das im Unterricht vorbesprochene Thema eigenständig einzuüben und Kenntnisse zu vertiefen. Die Interaktivität der Materialien ermutigt die Schülerinnen und Schüler dabei zum selbstständigen Arbeiten und Entdecken. Voraussetzungen Für die Nutzung der interaktiven Arbeitsblätter ist das Plugin Java Runtime Environment erforderlich (kostenloser Download aus dem Internet). Zudem müssen interaktive Webinhalte zugelassen sein (Browser mit aktiviertem Javascript). Die Arbeit mit dem hier verwendeten interaktiven Koordinatensystem muss den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein (siehe Unterrichtseinheiten Direkte Proportionalität und Indirekte Proportionalität). Ist die Klasse die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt, empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers. 1. Zuordnen verschiedener Funktionsformen Das Arbeitsblatt enthält eine Hot-Potatoes-Übung, bei der die Schülerinnen und Schüler die Zuordnung verschiedener Funktionsformen erlernen sollen. Aus einer vorgegebenen Liste können die Lernenden die jeweils passende Antwort auswählen. 2. Erkennen von Potenzfunktionen Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand dieses Arbeitsblattes lernen, mehreren vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies erfolgt in Form einer Multiple-Choice-Übung. 3. Darstellung von Potenzfunktionen (I) Mit diesem Arbeitsblatt sollen die Schülerinnen und Schüler üben, Wertetabellen für Potenzfunktionen zu berechnen und die erhaltenen Werte in ein interaktives Koordinatensystem einzuzeichnen. 4. Darstellung von Potenzfunktionen (II) Dieses Arbeitsblatt ist vom Prinzip her so aufgebaut wie Arbeitsblatt 3. Der Unterschied besteht darin, dass hier die Funktion einer anderen Form behandelt wird. Es kommen nun auch gespiegelte (negative) sowie gestreckte und gestauchte Potenzfunktionen ins Spiel. 5. Funktionsgleichungen mit gebrochenen Exponenten Mithilfe dieses Arbeitsblattes sollen die Schülerinnen und Schüler erlernen, verschiedenen vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen mit gebrochenem Exponenten den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies geschieht im Multiple-Choice-Verfahren.Die Schülerinnen und Schüler können Potenzfunktionen erkennen und in ein Koordinatensystem einzeichnen. können Potenzfunktionen mithilfe von Funktionsplottern darstellen. beherrschen das Berechnen von Wertetabellen für Potenzfunktionen. erarbeiten den Einfluss des Koeffizienten a auf den Verlauf der Potenzfunktionen y = f(x) = ax. können Wurzelfunktionsgraphen erkennen und beschreiben. Für die Nutzung der interaktiven Arbeitsblätter ist das Plugin Java Runtime Environment erforderlich (kostenloser Download aus dem Internet). Zudem müssen interaktive Webinhalte zugelassen sein (Browser mit aktiviertem Javascript). Die Arbeit mit dem hier verwendeten interaktiven Koordinatensystem muss den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein (siehe Unterrichtseinheiten Direkte Proportionalität und Indirekte Proportionalität ). Ist die Klasse die Arbeit mit interaktiven Arbeitsblättern noch nicht gewohnt, empfiehlt sich der Einsatz eines Beamers. Das Arbeitsblatt enthält eine Hot-Potatoes-Übung, bei der die Schülerinnen und Schüler die Zuordnung verschiedener Funktionsformen erlernen sollen. Aus einer vorgegebenen Liste können die Lernenden die jeweils passende Antwort auswählen. Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand dieses Arbeitsblattes lernen, mehreren vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies erfolgt in Form einer Multiple-Choice-Übung. Mit diesem Arbeitsblatt sollen die Schülerinnen und Schüler üben, Wertetabellen für Potenzfunktionen zu berechnen und die erhaltenen Werte in ein interaktives Koordinatensystem einzuzeichnen. Dieses Arbeitsblatt ist vom Prinzip her so aufgebaut wie Arbeitsblatt 3. Der Unterschied besteht darin, dass hier die Funktion einer anderen Form behandelt wird. Es kommen nun auch gespiegelte (negative) sowie gestreckte und gestauchte Potenzfunktionen ins Spiel. Mithilfe dieses Arbeitsblattes sollen die Schülerinnen und Schüler erlernen, verschiedenen vorgegebenen Potenzfunktionsgleichungen mit gebrochenem Exponenten den entsprechenden Graphen im Koordinatensystem zuzuordnen. Dies geschieht im Multiple-Choice-Verfahren.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Quadratische Funktionen" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler diesen Funktionstyp über dynamische Arbeitsblätter, die mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt wurden, und interaktiven Übungen, die mit der Software HotPotatoes angefertigt wurden.Quadratische Funktionen folgen im Lehrplan auf die linearen Funktionen. Während dort nur zwei Parameter Einfluss auf den Kurvenverlauf nehmen, spielen bei quadratischen Funktionen drei Parameter eine Rolle. Die folgende Unterrichtseinheit zeigt auf, wie der Einfluss der Parameter auf den Verlauf des Graphen von Schülerinnen und Schülern mithilfe interaktiver Arbeitsblätter weitgehend eigenständig und durch einen experimentellen Zugang erarbeitet werden kann. An die Erarbeitung schließen sich Lernkontrollen in Form von Lückentexten, Zuordnungsübungen, Kreuzworträtseln und eines Quiz an.Die Arbeit mit dynamischen und interaktiven Arbeitsblättern ermöglicht den Schülerinnen und Schülern im Sinne einer Handlungsorientierung ein experimentelles Herangehen an mathematische Fragestellungen und ein eigenständiges Entdecken von Gesetzmäßigkeiten. Die Lernenden können dabei in ihrem individuellen Lerntempo vorangehen und Übungsmöglichkeiten im Rahmen einer gesetzten Zeitspanne beliebig oft nutzen. Sie erhalten eine unmittelbare Rückmeldung über ihren persönlichen Lernerfolg und üben ihre Stärken und Schwächen selbst einzuschätzen, ohne unter ständiger Beobachtung durch die Lehrkraft zu stehen. Durch dynamische Geometriesoftware lässt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter besser veranschaulichen als durch das Skizzieren einiger ausgewählter Funktionsgraphen im Heft. Die experimentelle Herangehensweise kann auch weniger abstrakt denkende Schülerinnen und Schüler motivieren, die sonst im Unterricht eher zurückhaltend sind. Außerdem trägt sie zu einem besseren Verständnis von Funktionen bei. Unterrichtsablauf Die Voraussetzungen für die Durchführung der skizzierten Unterrichtseinheit, der genaue Ablauf und die Einbeziehung der genannten Medien wird beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e heraus. erkennen, dass der Parameter e eine Verschiebung der Normalparabel nach oben/unten bewirkt. erfassen, dass der Parameter d eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts/links zur Folge hat. begreifen, dass der Vorfaktor a eine Streckung/Stauchung der Normalparabel impliziert. lernen ein Beispiel für eine quadratische Funktion aus der Umwelt kennen. können die gewonnen Erkenntnisse auf neue Situationen und Fragestellungen anwenden. Voraussetzung für die Durchführung der beschriebenen Unterrichtseinheit ist ein genügend großer Computerraum, sodass die Lernenden einzeln oder höchstens zu zweit die Aufgabenstellungen bearbeiten können. Nur so kann ein individueller Lernprozess ermöglicht werden. Auf den Rechnern sollte ein aktueller Internet-Browser und vor allem das kostenlose Plugin Java Runtime Environment installiert sein, damit die mit GeoGebra erstellten dynamischen Arbeitsblätter (Applets) genutzt werden können. Um den organisatorischen Aufwand zu minimieren, empfiehlt es sich, die selbst erstellten Arbeitsblätter auf einem Webserver abzulegen und diese dann von den Lernenden via Internetzugang herunterladen zu lassen. Ein entsprechendes Beispiel findet man auf der Kommunikationsplattform der ARS-Limburg. Die bereitgestellten Dateien können aber auch lokal mithilfe eines Datenträgers auf jeden Rechner geladen werden. Ferner ist für eine der fakultativen Übungen am Ende das Tabellenkalkulationsprogramm MS-Excel erforderlich. Vor der Durchführung der Lerneinheit sollte die quadratische Funktion zunächst definiert und die charakteristischen Eigenschaften der Funktionsgraphen (Parabeln) an einigen Beispielen herausgearbeitet werden. So könnte man den Schülerinnen und Schülern neben der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x² zwei bis drei weitere Funktionsgleichungen vorgeben und die zugehörigen Graphen zeichnen lassen. Die Lernenden erkennen bereits hier, dass das Markenzeichen einer quadratischen Funktion der Parabelbogen ist und dass dieser unterschiedliche Lagen im Koordinatensystem einnehmen kann. Zur besseren Verankerung und Steigerung der Motivation kann auch ein Bezug zu Parabeln in der Umwelt (Brücken, Wurfbahn, et cetera) hergestellt werden und einige Beispiele können gezeigt werden. Nun erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Partner- beziehungsweise Einzelarbeit etappenweise die Bedeutung der Parameter a, d und e in f(x) = a(x - d)² + e. Hierzu öffnen Sie jeweils ein mit GeoGebra erstelltes dynamisches Arbeitsblatt. Mithilfe eines Schiebereglers können sie die Größe der jeweiligen Parameter ändern und beobachten, wie sich der Verlauf des Funktionsgraphen und die Funktionsgleichung verändern. Der detaillierte Ablauf geht aus dem Quadratische Funktionen hervor. Am Ende jedes Arbeitsblattes befindet sich ein Lückentext, der vervollständigt und zur Ergebnissicherung ins Heft übertragen werden muss. Die Lernenden haben so die Gelegenheit, Zusammenhänge zwischen Funktionsterm und -graph experimentell und weitgehend eigenständig zu entdecken. Die gewonnenen Erkenntnisse müssen im Anschluss jeweils in einer interaktiven, mit Hot Potatoes erstellten Übungseinheit auf andere Situationen übertragen werden. Die Schülerinnen und Schüler können dabei individuell nach ihrem eigenen Lerntempo vorgehen. Durch die unmittelbare Rückmeldung erhalten sie Aufschluss über ihren Lernstand und können bei Bedarf eine Übung mehrfach durchlaufen. Nachdem die Bedeutung der Parameter erarbeitet wurde, können die Schülerinnen und Schüler in einer abschließenden Übungseinheit ihr Wissen über quadratische Funktionen in zwei Lückentexten, zwei Zuordnungsübungen, einem Kreuzworträtsel und einem Quiz noch einmal unter Beweis stellen. Außerdem sollen die Anpassung einer Funktion an einen vorgegeben Brückenbogen durchgeführt werden.

Die Schülerinnen und Schüler entdecken in einer Doppelstunde am Beispiel der Berechnung von Blumenbeetgrößen den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und dem Verfahren der Integration. Da die Berechnung verschiedener Ober- und Untersummen arbeits- und zeitintensiv ist, wird bei der Visualisierung die kostenlose Software TurboPlot als „Zeichenknecht“ eingesetzt.Zu Beginn des Unterrichts wird zunächst auf grundlegende mathematische Kenntnisse aus dem Bereich der Flächenberechnung zurückgegriffen, mit deren Hilfe dreieckige Flächengrößen ermittelt werden. Durch eine gezielte Anweisung zur Berechnung der bestimmten Integrale können die Schülerinnen und Schüler schließlich eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße formulieren. Im Rahmen der Flächenberechnung eines nicht linear umrandeten Blumenbeetes erfolgt anschließend die Verallgemeinerung der Thematik auf nichtlineare Funktionen. Dabei wird der Schwerpunkt auf die Visualisierung gelegt, um den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration zu verdeutlichen. Auf dessen konkrete mathematische Herleitung wird jedoch verzichtet. Dies kommt dem Unterricht in Grundkursen und Lernenden mit schwächerem Leistungsniveau entgegen.Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen.Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Zu Beginn der Doppelstunde werden die Schülerinnen und Schüler anhand eines Plakats sowie durch einen kurzen Lehrervortrag mit einer Problemstellung konfrontiert: Sie sollen die Flächengrößen verschiedener Blumenbeete berechnen. Nachdem in einem Unterrichtsgespräch Möglichkeiten zur Messung der Flächengröße genannt worden sind und die Berechnung von Dreiecksflächen thematisiert wurde, setzen sich die Lernenden in arbeitsteiliger Gruppenarbeit mit der konkreten Berechnung von zwei dreieckigen Flächen auseinander. Diese ermitteln sie zunächst mithilfe ihrer Kenntnisse aus der Sekundarstufe I. Anschließend werden sie dazu angeleitet, das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion zu berechnen. Anhand des Vergleichs der beiden Ergebnisse formulieren sie dann eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Die Lernenden erhalten zur Gruppenarbeit eines der beiden Arbeitsblätter und je Gruppe eine Skizze der Blumenbeete. Die Musterlösungen können Sie sich hier ebenfalls herunterladen. Im Anschluss an eine kurze Präsentation der Ergebnisse mithilfe von Plakaten am Ende der ersten Stunden und dem Austausch der Vermutungen der Gruppen bezüglich des Zusammenhangs zwischen Integral und Flächeninhalt wird die Berechnung des Sonnenblumenbeetes, das durch eine Parabel begrenzt wird, thematisiert. Mithilfe des in der ersten Stunde gelernten Verfahrens sollen die Lernenden zunächst gemeinsam die zugehörige quadratische Funktion integrieren und eine Vermutung über die Größe der Fläche äußern. Um die Vermutung jedoch zu bestätigen, wird die Problematik der Flächenberechnung anhand des Funktionsgraphen einer Funktion vierter Ordnung verallgemeinert. Fragend-entwickelnd werden hierzu Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Veranschaulichung der Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien schrittweise verdeutlicht wird. Bevor das Integral unter der Parabelfläche ausgerechnet wird, wird die Folie mit der Fläche gezeigt und die Funktion angegeben. Dann berechnen die Schüler gemeinsam das bestimmte Integral und äußern die Vermutung über die Fläche (tafelbild_sonnenblumenbeet.pdf). Die Grafen (grafen.pdf) werden dann mithilfe von Folien nacheinander auf den OHP gelegt, um die Annäherung der Ober- und Untersummen an die Fläche zu verdeutlichen und die Begriffe zu erläutern. Zur wertmäßigen Bestätigung der Vermutung setzen sich die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit mit der quadratischen Funktion auseinander, durch die das dritte bearbeitete Blumenbeet (Begrenzung durch eine Parabel) abgegrenzt wird (partnerarbeit_turboplot.pdf). Hierzu wird die Software TurboPlot eingesetzt (partnerarbeit_turboplot_anleitung.pdf; siehe auch Internetadresse), in welche die Lernenden die Funktionsgleichung eingeben und sich dann schrittweise verschiedene Unter- und Obersummen anzeigen lassen. Bei TurboPlot handelt es sich um ein kostenloses Programm aus dem Internet. Da die explizite Berechnung verschiedener Ober- und Untersummen mit hohem Rechenaufwand verbunden ist und viel Unterrichtszeit in Anspruch nehmen würde, wird in dieser Phase, in der der Schwerpunkt auf Visualisierung liegt, die Software als Zeichenknecht eingesetzt. Die Sozialform der Partnerarbeit wird hierbei verwendet, damit sich die Lernenden im Umgang mit der Software unterstützen und ihre Beobachtungen diskutieren. Die mithilfe von TurboPlot gemachten Beobachtungen werden auf Arbeitsblättern festgehalten und können anschließend im Rahmen einer kurzen Präsentationsphase mithilfe von Folienabschnitten verglichen werden. Hierbei soll insbesondere die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen führen und den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral begründen (partnerarbeit_turboplot.pdf). Zur allgemeinen Formulierung und Einführung der mathematischen Schreibweise des bestimmten Integrals wird am Ende ein kurzer Lückentext im Klassengespräch ergänzt (partnerarbeit_turboplot.pdf, Seite 3). Abschließend erhalten die Schülerinnen und Schüler eine Übungsaufgabe, die zur Vertiefung des Erlernten dient (arbeitsblatt_vertiefung.pdf).