Eine objektorientierte Sichtweise erleichtert Schülerinnen und Schülern das Verständnis für Informatiksysteme. Deshalb erscheint es sinnvoll, Elemente der objektorientierten Modellierung bereits in den Anfangsunterricht Informatik aufzunehmen.Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet eine Einführung in die Idee der Objektorientierung. Die Schülerinnen und Schüler lernen die informatischen Begriffe und Inhalte ?Objekt?, ?Attribut?, ?Attributwert?, ?Methode? und ?Klasse? kennen. Dadurch erwerben sie ein produktunabhängiges Verständnis für Informatiksysteme mit hohem Transferpotenzial. Als Beispiel wird die Software GEONExT für dynamische Mathematik genutzt und objektorientiert modelliert. So entstehen fruchtbare Verbindungen zwischen den Fächern Informatik und Mathematik. Informatische Bildung Der Informatikdidaktiker Steffen Friedrich hat den Begriff der informatischen Bildung konkretisiert, indem er vier didaktische Leitlinien für den Informatikunterricht formulierte: Umgang mit Informationen Wirkprinzipien von Informatiksystemen Problemlösen mit Informatiksystemen Arbeiten mit Modellen Insbesondere sollen die Schülerinnen und Schüler Probleme erkennen, die mit Informatiksystemen gelöst werden können, die Fähigkeit erwerben, sich in die zielorientierte Nutzung von Informatiksystemen einzuarbeiten und Problemlösungen in Bezug auf ihre Relevanz und Effizienz bewerten. Dabei sollen sie einen Einblick in gesellschaftlich bedeutsame Anwendungen der Informations- und Kommunikationstechnologien erhalten, deren Chancen und Risiken erkennen und Bereitschaft zu verantwortungsvollem Umgang mit derartigen Systemen entwickeln. Sie erleben beim Arbeiten, dass Modellbildung ein zentrales Element des Problemlösens mit Informatiksystemen ist, lernen Modellierungstechniken kennen und sehen die Gültigkeitsgrenzen und die Kritikbedürftigkeit von Modellen ein. Modellierung von Informatiksystemen Im Anfangsunterricht Informatik kann die Arbeit mit Standardsoftware, etwa zum Gestalten von Grafiken, zum Verfassen von Texten, zum Verwalten von Daten oder zum elektronischen Versenden von Nachrichten im Mittelpunkt stehen. Dabei geht es neben dem Erwerb grundlegender Bedienerfertigkeiten auch und vor allem um ein tieferes Verständnis für die zugehörigen Strukturen, denen die Prinzipien der Objektorientierung zu Grunde liegen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Objekte identifizieren, deren Attribute und Methoden erkennen und die Objekte klassifizieren. Auf diese Weise entwickeln sie exemplarisch Modelle der Informatiksysteme, die ihnen ein übergeordnetes, produktunabhängiges und längerfristig nutzbares Verständnis für diese Art von Software ermöglichen. Unterrichtsverlauf und Stationen der Lernumgebung Die eingesetzte Lernumgebung besteht aus HTML-Seiten mit GEONExT-Applikationen und umfasst acht aufeinander aufbauende Stationen. Didaktische und technische Hinweise Tipps zur Binnendifferenzierung und zum Arbeiten mit dem Heft, um oberflächliches "Durchklicken" durch die Lernumgebung zu verhindern Die Schülerinnen und Schüler sollen die Idee der Objektorientierung kennen lernen. Informatiksysteme objektorientiert modellieren können. die Bedeutung der objektorientierten Sichtweise im Alltag erfahren. Thema Objektorientierte Modellierung mit GEONExT Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Informatik Zielgruppe Klasse 5-8 Zeitraum 10 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download auf der GEONExT-Homepage) Arbeiten mit einer computerbasierten Lernumgebung bedeutet keineswegs ausschließliches Arbeiten am Rechner. Ziel des Mediums Computer ist es, den Schülerinnen und Schülern informatische Inhalte näher zu bringen, im hier beschriebenen Unterrichtsbeispiel die objektorientierte Modellierung. Die entscheidenden Vorgänge laufen dabei nicht am Rechner, sondern im Kopf des Schülers ab, der beim Arbeiten kognitive Strukturen aufbaut. Hierfür bedarf es aber des Zusammenwirkens vieler unterrichtlicher Komponenten: Individuelles Arbeiten am Computer und auf Papier, die Kooperation mit den Mitschülern und das Unterrichtsgespräch im Klassenplenum beeinflussen und befruchten sich wechselseitig. Die Lernumgebung umfasst acht Stationen, die in der angegebenen Reihenfolge bearbeitet werden sollten, da sie aufeinander aufbauen. Station 1: GEONExT kennen lernen Die Schülerinnen und Schüler gewinnen einen ersten Zugang zu dem Informatiksystem. Sie experimentieren mit Punkten, Strecken, Geraden und Kreisen und fertigen damit eigene Zeichnungen an. Station 2: Eigenschaften erkunden Die Attribute der Objekte werden erkundet und ihre Attributwerte verändert. Am Beispiel eines Objekts "Punkt" fertigen die Schülerinnen und Schüler eigenständig eine Übersicht über gefundene Objekteigenschaften an und dringen damit in die Welt der Objektorientierung ein. Station 3: Vokabeln der Informatik Die Schülerinnen und Schüler und lernen die Fachbegriffe "Objekt", "Attribut", "Attributwert" und "Methode" anhand von GEONExT-Objekten kennen. Station 4: Vielecke Vielecke eröffnen neue Möglichkeiten beim Zeichnen von Bildern. Anhand eines Fünfecks werden die bislang gelernten Fachbegriffe wiederholt und vertieft. Station 5: Freie und abhängige Objekte Für ein tiefer gehendes Verständnis für dynamische Konstruktionen ist die Differenzierung zwischen freien und abhängigen Objekten sinnvoll. Die Lernenden erfahren insbesondere den Unterschied zwischen freien Punkten und Schnittpunkten. Station 6: Klassen Es zeigt sich, dass es zweckmäßig ist, gleichartige Objekte zu Klassen zusammenzufassen. Die erarbeiteten Begriffe der Objektorientierung werden auf vielfältige Bereiche aus der alltäglichen Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler übertragen (zum Beispiel Klasse "Fahrrad"). Station 7: Textfelder Mit Textfeldern lernen die Schülerinnen und Schüler eine neue Klasse kennen. Sie versehen Zeichnungen mit Beschriftungen und verändern deren Attributwerte. Speziell dynamische Textfelder zum Messen von Entfernungen und Winkeln stellen ein mächtiges Werkzeug zum quantitativen Arbeiten mit dynamischen Konstruktionen dar. Station 8: Weiter experimentieren Den Lernenden steht die vollständige GEONExT-Oberfläche zur Verfügung. Sie experimentieren insbesondere mit Parallelen, Senkrechten und Rechtecken. Das Speichern und Laden von Daten führt zu neuen Themenbereichen (Speichermedien, Pfad einer Datei, ... ). Durch den Export von Daten in andere Informatiksysteme (Textverarbeitung, Rastergrafikprogramm) ergeben sich vielfältige Verknüpfungen im informatischen Wissen der Schülerinnen und Schüler. Im Anfangsunterricht Informatik treten im Rahmen eigenständigen Arbeitens die unterschiedlichen Arbeitstempi der Lernenden besonders deutlich zu Tage. Hier machen sich insbesondere stark differierende Vorerfahrungen im Umgang mit Computern bemerkbar. Um derartige Unterschiede im Unterricht abzufangen, enthält die Lernumgebung Seiten, die sich speziell an schnellere, leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler wenden: Nicht jede Station muss von jedem Schüler bis zur letzten Seite bearbeitet werden. Die Kerngedanken befinden sich in der Regel auf den ersten Seiten der Stationen. Die Stationen 2 (Eigenschaften erkunden), 4 (Vielecke) und 5 (Freie und abhängige Objekte) besitzen auf ihrer letzten Seite einen Link "Vertiefung". Er führt jeweils zu einem Exkurs, der die Thematik der entsprechenden Station weiter vertieft. Die letzten beiden Stationen 7 (Textfelder) und 8 (Weiter experimentieren) besitzen eine gewisse Pufferfunktion. Sie können bei Zeitknappheit gekürzt und nur in Ausschnitten bearbeitet werden beziehungsweise schnelleren Schülerinnen und Schülern zu einer weiterführenden Beschäftigung mit GEONExT und anderen Informatiksystemen dienen. Allerdings lässt sich beim eigenständigen Arbeiten der Lernenden beobachten, dass einige nur deshalb "schnell" sind, weil sie die Stationen nur oberflächlich bearbeiten, ohne in die informatische Tiefe vorzudringen und ohne die schriftlichen Arbeiten gewissenhaft anzufertigen. Die Lehrkraft kann den Schülerinnen und Schülern dies durch geeignete Fragen zur Lernzielkontrolle vor Augen führen. Die Schülerinnen und Schüler werden in der Lernumgebung immer wieder aufgefordert, ihre Überlegungen und Ergebnisse eigenständig in ihr Heft zu notieren und Übersichten und Diagramme - etwa zur Darstellung der Eigenschaften von Objekten - auf Papier zu entwerfen. Ein derartiges Arbeiten im Heft hilft, die Thematik sorgfältig zu durchdringen und die Gedanken zu ordnen und zu strukturieren. Zudem soll dadurch verhindert werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler nur oberflächlich mit den beweglichen Konstruktionen am Bildschirm befassen, dass sie die Seiten wie bei einem Computerspiel austesten, ohne zum eigentlichen informatischen Gehalt vorzudringen. Die Aufforderung, Beobachtungen und Überlegungen aufzuschreiben, verlangsamt den Prozess des "Durchklickens" und schafft für die Schülerinnen und Schüler damit den Zeitrahmen, der für Lernprozesse unentbehrlich ist. Damit alle Schülerinnen und Schüler die erarbeiteten Ideen der Objektorientierung und die zugrunde liegenden Fachbegriffe dauerhaft und verbindlich Schwarz auf Weiß zur Verfügung haben, führen Links auf der jeweils letzten Seite der Stationen 3 und 6 zu zusammenfassenden Ergebnisblättern, die entweder mit Microsoft Word oder dem Adobe Reader angesehen und ausgedruckt werden können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, das Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. GEONExT-Homepage Auf der GEONExT-Website können Sie die Software für Linux, Mac OS X und Windows herunterladen.

Eine mithilfe der kostenfreien Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht die dynamische Erarbeitung der Bedeutung der Parameter linearer Funktionen. Die hier vorgestellten Materialien ermöglichen es, den Einfluss der Parameter m und t auf die Lage der Geraden mit der Gleichung y = mx + t experimentell zu entdecken. Hierbei verstärkt die Dynamik die Anschaulichkeit entscheidend und trägt so zu einem erleichterten und vertieften Verständnis dieses Funktionstyps bei. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mithilfe eines dynamischen Arbeitsblatts den Stoff weitgehend selbstständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit). Die Lehrerin oder der Lehrer tritt dabei in den Hintergrund und greift nur unterstützend beziehungsweise Impuls gebend ein. Die in den Aufgaben immer wieder verlangte Dokumentation von Erkenntnissen und Ergebnissen trainiert das Verbalisieren und Fixieren mathematischer Kontexte. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Der Einsatz dynamischer Mathematik fördert selbstständiges oder kooperatives Arbeiten sowie die Individualisierung des Unterrichts. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Einfluss des Parameters t auf die Lage der Geraden erarbeiten. den Schnittpunkt einer Geraden mit der y-Achse bestimmen. erkennen, dass der Parameter m die Steigung der Geraden bestimmt. einüben, rechnerisch zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. mathematische Zusammenhänge eigenständig und kooperativ erarbeiten und dokumentieren. Thema Parameter linearer Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Ideale Veranschaulichung Wird der Einfluss der Parameter m und t auf die Lage von Graphen linearer Funktionen an der Tafel oder auf Folie entwickelt, so werden meist mehrere Graphen mit unterschiedlichen Parameterwerten in ein Koordinatensystem eingetragen. Dabei ergibt sich immer das Problem, dass zu viele Graphen die Darstellung unübersichtlich erscheinen lassen. Sind jedoch wenig Graphen eingezeichnet, so ist der Einfluss des jeweiligen Parameters nur noch schwer erfassbar. Dieses Dilemma wird durch die dynamische Darstellung aufgelöst und es entsteht eine ideale Veranschaulichung linearer Funktionen und ihrer Parameter (siehe Abb. 1 bis 3 unten). Selbstständiges oder kooperatives Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mithilfe eines dynamischen Arbeitsblatts den Stoff weitgehend selbstständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit). Die Lehrerin oder der Lehrer tritt dabei in den Hintergrund und greift nur unterstützend beziehungsweise Impuls gebend ein. Die in den Aufgaben immer wieder verlangte Dokumentation von Erkenntnissen und Ergebnissen trainiert das Verbalisieren und Fixieren mathematischer Kontexte. Individualisierung des Unterrichts Durch den bewusst offen gehaltenen Umfang der Übung am Ende des dynamischen Arbeitsblatts wird das jeweilige Lerntempo der Schülerinnen und Schüler berücksichtigt. Daraus resultiert eine Individualisierung des Unterrichts. Der Parameter t Zunächst verändern die Schülerinnen und Schüler den Parameter t und stellen fest, dass damit eine Parallelverschiebung des Graphen einher geht (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Durch die Bestimmung mehrerer Schnittpunkte von Graphen mit der y-Achse und dem Vergleich mit der zugehörigen Geradengleichung erkennen die Lernenden, dass die allgemeinen Koordinaten dieses Schnittpunkts (0/t) lauten. Der Parameter m Anschließend wird der Parameter m untersucht. Dabei wird deutlich, dass damit die Steigung des Graphen festgelegt wird. Viele Schülerinnen und Schüler entdecken auch, dass der Neigungswinkel der Geraden von m abhängt. Durch den Spurmodus des Java-Applets wird veranschaulicht (Abb. 2), dass die Gerade - bei einer Veränderung von m - um den Schnittpunkt mit der y-Achse gedreht wird beziehungsweise dass dieser Schnittpunkt von m unabhängig ist. Anwendung des Gelernten Abschießend folgen Übungen, in denen die Schülerinnen und Schüler das neu erworbene Wissen anwenden müssen. Da die Punkte B und C dieselbe x-Koordinate haben (Abb. 3), kann kein Graph gefunden werden, der durch sie verläuft. Dadurch wird die Definition von Funktionen als eindeutige Zuordnung wiederholt. Der Umfang dieser Übungen ist nicht begrenzt, so dass auch leistungsstarke Schülerinnen und Schüler ausreichend Möglichkeiten haben, Aufgaben zu bearbeiten.

Hier finden Sie Unterrichtseinheiten und Anregungen zum Unterricht mit digitalen Medien im Fach Mathematik zum Thema Geometrie. Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken. Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Parameter in der Sinusfunktion Autor Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download) Die Entwicklung allgemeiner Einsichten Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen. Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel. In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: " Wird im Funktionsterm f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht. Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern ist nicht zu unterschätzen. Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph, wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Die Schülerinnen und Schüler entdecken Zusammenhänge experimentell und fixieren ihre Ergebnisse. Diese werden dann im Plenum präsentiert. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten den Einstieg in die Sinusfunktion weitgehend eigenständig und kooperativ. Dynamische Arbeitsblätter helfen dabei, die jeweilige Problem- oder Aufgabenstellung zu veranschaulichen. Ein virtuelles Experiment zur Pendelbewegung stellt den Anwendungsbezug her. Wenn die Sinusfunktion im Unterricht eingeführt wird, geschieht dies meist durch Angabe des Funktionsterms, Erstellen einer Wertetabelle und die anschließende Zeichnung des Funktionsgraphen. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Darstellung von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis wiederholen. die Darstellung des Bogenmaßes am Einheitskreis wiederholen. eine Einführung und Definition der Sinusfunktion erarbeiten. die Bedeutung der Sinusfunktion für die Beschreibung von Schwingungsvorgängen erkennen. eigenständig und kooperativ mathematische Zusammenhänge erarbeiten und dokumentieren. Thema Einführung der Sinusfunktion Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 bis 10 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Zusammenhang zwischen der Darstellung des Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und der dazugehörigem Graphen erkennen. besondere Eigenschaften der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion benennen. Thema Einführung der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 und 10 Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, idealerweise Beamer Bei der Einführung der Sinus- und der Kosinusfunktion sowie der Tangensfunktion stehen zu Beginn die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck im Mittelpunkt. Die Schülerinnen und Schüler lernen Berechnungen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen und entdecken hierbei die Zusammenhänge zwischen den Funktionen. Mehrwert des Applets und Unterrichtsverlauf Warum Sie auf das Applet nicht verzichten sollten und wie Sie es im Zusammenhang mit einem Arbeitsblatt einsetzen können. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Definition des Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels als Seitenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck kennen und anwenden. die x- und y-Koordinate eines Punktes P auf dem Einheitskreis bestimmen können. begründen können, warum beim rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis die Katheten als Sinus (alpha) und Cosinus (alpha) bezeichnet werden. für die Winkel 0° < alpha < 90° die entsprechenden Seitenverhältnisse berechnen. besondere Seitenverhältnisse (alpha = 0°, alpha = 90°, ... ) und die Periodizität der Funktionsgrafen angeben können. Thema Vom Dreieck zur Funktion - Einführung der trigonometrischen Funktionen mit GeoGebra Autoren Sandra Schmidtpott, Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9, zur Wiederholung auch Klasse 10 Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Rechner in ausreichender Zahl für die Partnerarbeit; die Nutzung der dynamischen GeoGebra-Arbeitsblätter erfordert Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei) Die Schülerinnen und Schüler mussten für den Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter nicht extra im Umgang mit dem Programm GeoGebra geschult werden. Lehrerinnen und Lehrern, die sich noch nicht mit GeoGebra auskennen, sei jedoch empfohlen, sich mit den Arbeitsblätter vor deren Einsatz im Unterricht gründlich vertraut zu machen, da die Schülerinnen und Schüler doch immer mehr entdecken, als man erwartet und dann entsprechende Fragen stellen. Durch den Einsatz der GeoGebra-Arbeitsblätter konnte dynamisch erklärt und veranschaulicht werden, wie die Funktionen entstehen und welche Eigenschaften sie besitzen. Über die Verwendung in Klasse 9 hinaus lassen sich die Materialien in Klasse 10 zur Wiederholung einsetzen, wenn die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen noch einmal aufgegriffen werden. Unterrichtsverlauf Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Er hat die dynamischen Arbeitsblätter zu dieser Unterrichtseinheit entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Kenntnisse zu den trigonometrischen Zusammenhängen im rechtwinkligen Dreieck selbstständig einschätzen lernen. erkannte Defizite im Bereich dieser Zusammenhänge selbstständig beheben. die trigonometrischen Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck auf unterschiedliche Aufgabenstellungen anwenden können. Thema Trigonometrie mit GeoGebra - ein variables Übungskonzept Autor Andreas Meier Fach Mathematik Zielgruppe 9. und 10. Klasse Zeitraum 2-3 Stunden, je nach Unterrichtsintention Medien Internet Technische Voraussetzungen mindestens ein Computer mit Internetzugang für je zwei Personen, Java Runtime Environment (kostenloser Download), Browser mit aktiviertem Javascript Unterrichtsplanung Verlaufsplan: Trigonometrie mit Geogebra Alle dynamischen Darstellungen der HTML-Seiten wurden mit der kostenlosen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Durch das Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, eignet sich dieses Programm sehr gut für die Erstellung interaktiver dynamischer Lernumgebungen. Für die reine Anwendung der hier vorgestellten Materialien ist die Software jedoch nicht nötig. Voraussetzungen, Einführung und Nutzung der Arbeitsblätter Auf die Warm-up-Phase mit Übungen zur Selbstkontrolle und Leistungsbestimmung erfolgt das eigenverantwortliche Aufarbeiten von Defiziten und die Festigung des Gelernten. Besonderheiten interaktiver Lernumgebungen Allgemeine Informationen zu den Vorteilen der Nutzung interaktiver Übungsumgebungen und ihrer Rolle als Elemente eines methodisch und medientechnisch abwechslungsreichen Mathematikunterrichts. Die Winkelfunktionen werden üblicherweise am Dreieck oder Einheitskreis definiert. Phänomenbetrachtungen oder Experimente sind die Ausnahme und tauchen, wenn überhaupt, erst als Anwendung auf. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit wird die Sinusfunktion dagegen aus der Anwendung heraus als Schwingungsfunktion eingeführt. Die Trigonometrie erscheint als Nebenprodukt dieser Schwingungsfunktion. Dabei können Computeralgebrasysteme, einfache Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets zur schnellen Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler "spielen" dabei mit den Parametern Amplitude, Periodenlänge oder Frequenz, während die Folgen ihrer Experimente am Bildschirm dynamisch dargestellt und analysiert werden können. Mühsame und langwierige Zeichnungen bleiben ihnen erspart. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verschiedener Perioden und Amplituden verstehen. über das physikalische Phänomen Schwebung ein Additionstheorem erhören. Thema Die Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen und Schwebungen Autor Stefan Burzin Fächer Mathematik, Physik (fächerübergreifend) Zielgruppe Klasse 10 Zeitraum 8 Stunden (je nach Vertiefung) Technische Voraussetzungen CAS (zum Beispiel Derive oder Maple), Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets (für die Applets benötigen Sie einen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment ); idealerweise Beamer Planung Sinusfunktion - Schwingungen und Schwebungen Im herkömmlichen Unterricht wird der Sinus über Streckenverhältnisse im Dreieck eingeführt. Die Sinusfunktion wird mehr oder weniger als Erweiterung der Definitionsmenge plausibel gemacht. Dabei hat die Funktion eine sehr wichtige und auch anschauliche Anwendung: Die Beschreibung periodischer Vorgänge. Die Addition zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied kann zunächst hörbar erfahren werden (zum Beispiel durch das Überblasen zweier ähnlich gefüllter Flaschen oder mithilfe der klassischen Stimmgabeln aus der Physik). Danach experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit einem Funktionenplotter oder einem vergleichbaren digitalen Werkzeug. Unterrichtsverlauf "Sinusfunktion" Zunächst wird als periodischer Vorgang die Sonnenaufgangskurve untersucht. Rein harmonische Schwingungen werden dann mithilfe des Computers betrachtet. Arbeitsmaterialien Experimente und alle Arbeitsblätter zu den Themen Sonnenaufgangszeiten, Frequenzen, Schwebungen und Sinusfunktionen im Überblick Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit der Sinusfunktion, ihrer Gleichung und ihren Parametern festigen. mithilfe der Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel eine Sinusfunktion gezielt beeinflussen. die Sinusschwingung als ein Bindeglied der Fächer Mathematik, Physik und Musik erkennen. durch die Hörbeispiele eine direkte Verbindung zwischen den Unterrichtsfächern Musikerziehung und Mathematik kennen lernen. die mathematischen Entsprechungen der Begriffe "Tonhöhe" und "Lautstärke" kennen. den Aufbau eines Tons durch Überlagerung seiner Partialtöne kennen. das Phänomen der Schwebung kennen lernen. mit dem Prinzip der Fourier-Analyse vertraut sein und Anwendungsgebiete kennen. Thema Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik Autorin Judith Preiner Fächer Mathematik, fächerübergreifend auch Musik, Physik Zielgruppe Gymnasium, Klasse 10; als experimentelle Idee zu den Trigonometrischen Funktionen auch Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 bis 8 Unterrichtsstunden für die Bearbeitung der Unterrichtsmaterialien; bei fächerübergreifendem Unterricht erweiterbar Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl mit Soundkarte und Software zum Abspielen von MP3-Dateien, Lautsprecher und Kopfhörer (für Einzel- oder Partnerarbeit), ein Computer mit Beamer (für Lehrerpräsentationen) Software Internet-Browser, Java (Version 1.4.2 oder höher) zur Bearbeitung der Applets Planung Verlaufsplan Schwingungen Sie können alle Arbeitsmaterialien (sieben dynamische Arbeitsblätter) und die umfangreiche Lehrerinformation ("Lexikon" zu den Fachbegriffen, Lösungen der Arbeitsaufträge und Unterrichtsanregungen) von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken. Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Parameter in der Sinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download) Die Entwicklung allgemeiner Einsichten Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen. Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel. In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: " Wird im Funktionsterm f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht. Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern ist nicht zu unterschätzen. Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph, wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Die Schülerinnen und Schüler entdecken Zusammenhänge experimentell und fixieren ihre Ergebnisse. Diese werden dann im Plenum präsentiert. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken

Auf dieser Seite haben wir Informationen und Anregungen für Ihren Astronomie- und Physik-Unterricht zum Thema Optik für Sie zusammengestellt. Die Optik (vom griech. opticos – "das Sehen betreffend") beschäftigt sich als Teilgebiet der Physik mit dem aus Photonen bestehenden Licht. Photonen werden gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus auch als Lichtteilchen bezeichnet, die je nach Beobachtung Teilcheneigenschaften oder Welleneigenschaften aufweisen können – man unterscheidet deshalb zwischen der geometrischen Optik und der Wellenoptik . Geometrische Optik In der geometrischen Optik wird Licht durch idealisierte (geradlinig gedachte) Lichtstrahlen angenähert. Dabei lässt sich der Weg des Lichtes (zum Beispiel durch optische Instrumente wie Lupe, Mikroskop, Teleskop, Brillen oder auch durch die Reflexion des Lichtes an einem Spiegel) durch Verfolgen des Strahlenverlaufes konstruieren; man spricht in diesem Zusammenhang auch von Strahlenoptik . Die dazu notwendigen Abbildungsgleichungen oder Linsengleichungen ermöglichen es, zum Beispiel den Brennpunkt einer optischen Linse zu bestimmen. Analog dazu kann auch die Brechung des Lichtes – beispielsweise durch eine Prisma – und die Aufspaltung in seine sichtbaren Anteile von violett bis rot ( Regenbogen-Farben ) mittels des Snelliu'schen Brechungsgesetzes beschrieben werden. Wellenoptik Die Wellenoptik beschäftigt sich mit der Wellennatur des Lichtes – dabei werde diejenigen Phänomene beschrieben, die durch die geometrische Optik nicht erklärt werden können. Bedeutende Elemente der Wellenoptik sind die Interferenz von sich überlagernden Wellenfronten, die Beugung beim Durchgang von Licht durch sehr kleine Spalten oder Kanten oder die Streuung von Licht an kleinen Partikeln, die in einem Volumen verteilt sind, die das Licht gerade durchdringt. Zudem kann die Wellenoptik auch Effekte beschreiben, die von der Wellenlänge des Lichtes bestimmt sind – man spricht in diesem Zusammenhang auch von Dispersion. Die häufig gestellte Frage "Warum ist der Himmel blau?" kann in diesem Zusammenhang erklärt werden. Oberflächlich auftretende Phänomene wie die Abgabe von Licht ( Lichtemission ) und die Aufnahme von Licht ( Lichtabsorption ) werden weitestgehend der Atom- und Quantenphysik (auch unter dem Begriff Quantenoptik ) zugeordnet. Die für den Unterricht an Schulen notwendigen Gesetze der Optik betreffen hingegen in erster Linie die Ausbreitung des Lichtes und sein Verhalten beim Durchqueren durchsichtiger Körper . Die hier vorgestellte Lerneinheit erläutert die Funktionsweise eines Satelliten, der das von der Erdoberfläche reflektierte Licht zur Bildaufnahme nutzt und dabei auch Wellenlängen jenseits des sichtbaren Lichts einbezieht. Zusätzlich zum Verständnis der physikalischen Inhalte lernen die Schülerinnen und Schüler auf diese Weise auch Aspekte der Fernerkundung kennen. Eine "Vermittlerfigur" in Form eines virtuellen Professors begleitet die Lernenden bei der Erforschung des elektromagnetischen Spektrums. Das Projekt FIS des Geographischen Institutes der Universität Bonn beschäftigt sich mit den Möglichkeiten zur Einbindung des vielfältigen Wirtschafts- und Forschungszweiges der Satellitenfernerkundung in den naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei entstehen neben klassischen Materialien auch Anwendungen für den computergestützten Unterricht. Die Schülerinnen und Schüler sollen Reflexionseigenschaften unterschiedlicher Objekte kennen lernen. die Begriffe "Reflexion" und "Absorption" erklären und unterscheiden können. den Zusammenhang zwischen Objektfarbe und Reflexionseigenschaften erklären können. das elektromagnetische Spektrum kennen und verstehen, dass es neben dem sichtbaren Licht noch andere Wellenlängenbereiche gibt. die Grundlagen der Umwandlung der Reflexionswerte in Bildinformationen beschreiben können. die Entstehung von Falschfarbenbildern beschreiben können. Thema Dem Unsichtbaren auf der Spur: was sieht ein Satellit? Autoren Dr. Roland Goetzke, Henryk Hodam, Dr. Kerstin Voß Fach Physik Zielgruppe Klasse 7 Zeitraum 3-4 Stunden Technische Ausstattung Adobe Flash-Player (kostenloser Download) Planung Dem Unsichtbaren auf der Spur Die Unterrichtseinheit "Dem Unsichtbaren auf der Spur" beschäftigt sich mit dem Themenkomplex Optik und geht dabei vor allem auf Reflexion, Absorption und die Wellenlängen des elektromagnetischen Spektrums ein. Durch den Bezug zur Satellitenbildfernerkundung werden diese drei Bereiche miteinander verknüpft und ergänzt. Zunächst soll an einem einfachen Beispiel die Charakterisierung verschiedener Objekte hinsichtlich ihrer unterschiedlichen Reflexions- und Absorptionseigenschaften untersucht werden. Weiterführend soll das gesammelte Wissen auf den Satelliten übertragen werden, so dass die Funktionsweise eines Satelliten verstanden wird. Als dritter Punkt wird dann neben der Betrachtung des sichtbaren Lichts der erweiterte Bereich des elektromagnetischen Spektrums (infrarotes Licht) mit einbezogen. Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Zusammenhänge zwischen elektromagnetischem Spektrum, Reflexion, Absorption sowie Aufnahme und Entstehung von Satellitenbildern zu verstehen. Aufbau des Computermoduls Das interaktive Modul gliedert sich in eine Einleitung und zwei darauf aufbauende Bereiche. Inhalte des Computermoduls Hier wird der Aufgabenteil mit den drei Bereichen Einleitung, Satellit und "Unsichtbares" Licht genauer beschrieben. Henryk Hodam studierte Geographie an der Universität Göttingen. In seiner Diplomarbeit setzte er sich bereits mit der didaktischen Vermittlung räumlicher Prozesse auseinander. Zurzeit arbeitet Herr Hodam als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Projekt "Fernerkundung in Schulen". Dr. Kerstin Voß ist Akademische Rätin am Geographischen Institut der Universität Bonn und leitet das Projekt "Fernerkundung in Schulen". Sie studierte Geographie an der Universität Bonn und schloss ihre Dissertation 2005 im Bereich Fernerkundung ab. Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Reflexionsgesetzes beschreiben können, wie ein Bild durch Reflexion am ebenen Spiegel entsteht. in der verwendeten GEONExT-Konstruktion die Elemente Einfallswinkel, Ausfallwinkel, Gegenstand und Bild zuordnen können. mithilfe des Arbeitsblattes ein einfaches Konstruktionsverfahren für die Bildentstehung am ebenen Spiegel erarbeiten. die Ergebnisse mit einem Bildbearbeitungsprogramm, zum Beispiel dem kostenlosen GIMP, dokumentieren. Thema Reflexion am ebenen Spiegel mit GEONExT Autor Dr. Karl Sarnow Fach Physik Zielgruppe Klasse 8 Zeitraum 1 Stunde Voraussetzungen idealerweise pro Schülerin oder Schüler ein Rechner; Internetbrowser, Java Runtime Environment , GEONExT (kostenloser Download aus dem Netz), Bildbearbeitungssoftware (zum Beispiel GIMP) Die Schülerinnen und Schüler können offline oder online mit dem HTML-Arbeitsblatt arbeiten, in das die GEONExT-Applikation eingebettet ist. Voraussetzung ist, dass auf den Rechnern die benötigte Java-Abspielumgebung installiert ist. Falls dies nicht der Fall ist, bleibt das GEONExT-Applet in der Online-Version des Arbeitsblattes (siehe Internetadresse) für Sie unsichtbar. Mithilfe des Screenshots (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) können sich aber auch (Noch-)Nicht-GEONExTler einen Eindruck von dem Applet machen. Bereits Philosophen der Antike wie Empedokles (494-434 v. Chr.), Aristoteles (384-322 v. Chr.) und Heron von Alexandria (zwischen 200 und 300 v. Chr.), stellten Überlegungen und Mutmaßungen zur Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit an. Johannes Kepler (1571-1630) und René Descartes (1596-1650) hielten die Lichtgeschwindigkeit für unendlich, erst Olaf Christensen Römer (1644-1710) gelang 1676 der Nachweis der Endlichkeit. Heute kann an vielen Schulen mit Demonstrationsexperimenten die immer noch faszinierende Frage nach der Geschwindigkeit des Lichts experimentell untersucht und beantwortet werden. Der Foucaultsche Drehspiegelversuch ist jedoch vorbereitungsaufwändig für die Lehrkraft und enttäuschend im beobachteten Effekt für die Schülerinnen und Schüler. Auf einer Messung der Phasenverschiebung eines modulierten Lichtsignals beruhende Versuche sind für Lernende nicht einfach zu verstehen. Das RCL "Lichtgeschwindigkeit" arbeitet daher mit einem modifizierten Leybold-Versuch nach der auch für Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I verständlichen Laufzeitmethode von Lichtimpulsen. Darüber hinaus können die Lernenden anhand selbst durchgeführter Messungen die Lichtgeschwindigkeit bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit als messtechnisches Problem erkennen. mit dem RCL "Lichtgeschwindigkeit" Messungen nach der Laufzeitmethode durchführen. aus Strecke-Zeit-Messwertpaaren möglichst genau die Lichtgeschwindigkeit bestimmen und den Messfehler abschätzen. sich mit geeigneten Materialien und Kenntnissen aus der geometrischen Optik und Mechanik weitere Bestimmungsmethoden (Olaf Christensen Römer, Hippolyte Fizeau, Jean Bernard Léon Foucault) erarbeiten und vortragen. eine Vorstellung von der Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit in der Physik gewinnen. Thema Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit Autor Sebastian Gröber Fach Physik Zielgruppe Sekundarstufe I (ab Klasse 10) und II Zeitraum Teil 1 für Sekundarstufe I oder II: 3 Stunden Teil 2 für Sekundarstufe II: 3 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Internetzugang und Beamer Software Zeichenprogramm (zum Beispiel Paint) zur Auswertung des Oszilloskopbildes, Tabellenkalkulationsprogramm (zum Beispiel Excel) zur Auswertung der Messdaten

Die Lernenden werden schrittweise an den Begriff der Raumkrümmung herangeführt. Sie erkennen, dass die Bahnen von Himmelskörpern in Gravitationsfeldern mithilfe des Modells einer gekrümmten Fläche sehr gut dargestellt werden können. Die Effekte der Raumkrümmung (Allgemeine Relativitätstheorie) lassen sich anschaulich mithilfe einer Gummimembrane demonstrieren, in deren Mitte eine schwere Kugel liegt, die die Fläche der Membrane eindellt. Eine kleine Kugel, die über diese Fläche rollt, wird durch die Mulde so beeinflusst, als würde sie von der großen Kugel angezogen werden. Solche Gummihaut-Modelle sind allerdings schwierig zu bauen. Das hier vorgestellte Computerprogramm simuliert eine solche deformierbare Fläche und ermöglicht die Darstellung der Bahnkurven einer kleinen Kugel, die über diese Fläche ?rollt?. Das hier vorgestellte Programm Raumkrümmung.exe ermöglicht die Erkundung von Auswirkungen der Flächenkrümmung auf die Bahn einer rollenden Kugel unter verschiedenen Parametereinstellungen (Tiefe der Mulde, Startposition und -geschwindigkeit der Kugel). Die Schülerinnen und Schüler können so schrittweise an den Begriff der Raumkrümmung herangeführt werden und erfahren, dass die bekannten Bahnen innerhalb von Gravitationsfeldern sehr gut durch die Vorstellung eines gekrümmten Raums (hier einer gekrümmten Fläche) anschaulich verstanden werden können. Das Programm wurde vom Autor mithilfe der Programmiersprache Delphi verfasst. Die Datei ist nach dem Herunterladen direkt ausführbar, muss also nicht installiert werden. Das simulierte Gummituch Das Programm zur Raumkrümmung ist eine sehr gute Alternative zum schwer herzustellenden "echten" Modell. Screenshots zeigen, was die Simulation kann. Einsatz der Simulation im Unterricht Hier finden Sie Beispielwerte für verschiedene Parameter, die in der Simulation unterschiedliche Bahnformen - Kreise, Ellipsen, Rosetten - erzeugen und Erläuterungen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erfahren, dass sich die abstrakte Idee eines dreidimensionalen, gekrümmten Raums mithilfe eines Gummimembranen-Modells veranschaulichen lässt. mithilfe der Computersimulation die didaktischen Möglichkeiten eines solchen Modells spielerisch erfassen. mit konkreten Daten die unterschiedlichsten Bahnkurven von Körpern in der Nähe großer Massen mit dem Computer simulieren. erkennen, dass Abweichungen vom klassischen Gravitationspotential zu rosettenförmigen Umlaufbahnen führen. Thema Raumkrümmung, Gravitation, Allgemeine Relativitätstheorie Autor Matthias Borchardt Fächer Physik (Kegelschnittbahnen, Allgemeine Relativitätstheorie), Astronomie (Gravitation); Physik- und Astronomie-AGs, Projektkurse (neue Oberstufe NRW) Zielgruppe ab Klasse 10 Zeitraum 1 Stunde (je nach Vertiefung flexibel) Technische Voraussetzungen Präsentationsrechner mit Beamer; gegebenenfalls Computer in ausreichender Anzahl für Einzel- oder Partnerarbeit Verzerrung von Raum und Zeit durch Massen Eine zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie (Albert Einstein, 1915) ist die Behauptung, dass Gravitation ein Effekt der sogenannten Raumkrümmung ist. Eine große Masse verzerrt in ihrer Umgebung Raum und Zeit derart, dass Körper, die sich an der Zentralmasse vorbeibewegen, abgelenkt oder sogar auf Ellipsen- oder Kreisbahnen gezwungen werden. Reduktion des gekrümmten Raums auf eine zweidimensionale Membrane Die Krümmung des Raums kann man sich anschaulich nicht vorstellen - dazu müsste man sich ein vierdimensionales Koordinatensystem denken, in das der dreidimensionale Raum eingebettet ist. Um dennoch eine gewisse Vorstellung von der Raumkrümmung zu gewinnen, wird häufig das sogenannte Gummituch-Modell verwendet. Eine Masse deformiert eine Gummimembrane derart, dass eine Mulde entsteht. Eine Kugel, die sich zuvor auf einer geraden Linie bewegt hat, wird durch diese Mulde abgelenkt - es scheint eine Kraft (Gravitation) von der Masse auszugehen, die die Mulde verursacht hat. In diesem Modell wird also der gekrümmte Raum auf eine zweidimensionale Membrane reduziert, die in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Dieses Modell kann viele Effekte der Raumkrümmung hervorragend demonstrieren, wie zum Beispiel die Ablenkung einer Masse von ihrer geraden Bahn oder die Entstehung von kreis- und ellipsenförmigen Umlaufbahnen. Das Modell als Simulation Die Herstellung eines großen, funktionstüchtigen Gummituch-Modells ist allerdings aufwändig und oft nur größeren naturwissenschaftlichen Museen oder Planetarien vorbehalten. Eine sehr gute Alternative bietet das hier vorgestellte Simulationsprogramm Raumkrümmung.exe. Visualisierung der Membran Das Programm stellt das Schrägbild einer Fläche dar, in deren Mitte sich eine Mulde erzeugen lässt. Die Tiefe dieser Deformation ist über den Schieberegler "Tiefe der Mulde" einstellbar (Abb. 1; zur Vergrößerung bitte anklicken). Die Bahnkurve einer rollenden Kugel wird direkt auf dieser Fläche durch eine gelbe Linie abgebildet. Startort und Startgeschwindigkeit der Kugel lassen sich ebenfalls einstellen. Für eine optimale Darstellung kann die Situation aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden. Die Fläche lässt sich in beliebige Richtungen drehen (Rotation der Darstellung um die drei Achsen) oder per Klick auf den Button "von oben" in der Aufsicht darstellen (Abb. 2; zur Vergrößerung bitte anklicken). Das Muldenprofil folgt dem Newtonschen Gravitationspotenzial, also einer Hyperbel. Dieses Hyperbelprofil wäre allerdings nach unten offen. Daher wurde es unten durch eine Kugelfläche abgeschlossen, die sich tangential an die Hyperbelfläche anschmiegt (Abb. 3). So ist gewährleistet, dass eine (simulierte) Kugel durch diese Mulde rollen kann, ohne ins Bodenlose zu stürzen. Allerdings kann das zuweilen auch zu überraschenden Bahnformen führen. Ein solcher Fall wird weiter unten dargestellt. Wenn das Programm geöffnet wird, ist das Schrägbild einer Fläche zu sehen, die in ihrer Mitte eingedellt ist. Mit dem Start-Button kann man nun die Kugel starten, die über diese Fläche rollen soll. Zunächst ist der Ort mit x = 160, y = -500 und die Geschwindigkeit mit vx = 0, vy = 2000 für die Startsituation eingestellt. Man sieht deutlich, dass der Weg der Kugel gekrümmt verläuft. Bewegung der Kugel auf einer geraden Linie Sinnvoll ist es nun, die Flächenkrümmung auf Null zu setzen, was durch den Schieberegler "Tiefe der Mulde" (unten rechts) zu bewerkstelligen ist. Sehr schön ist zu erkennen, dass der Weg der Kugel nun eine Gerade ist. Ellipsenförmige Bahn Stellen Sie nun wieder die Mulde her. Um eine geschlossene Bahn (Ellipse) der Kugel zu erzeugen, wählen Sie zum Beispiel: x = 140, y = 0 und vx = 0, vy = 2000. Kreisförmige Bahn Eine fast ideale Kreisbahn ergibt sich zum Beispiel bei x = 120, y = 0 und vx = 0, vy = 1800. Rosettenförmige Bahn Stellen Sie nun ein: x = 200, y = 0 und vx = 0, vy = 1200. Es entsteht wieder eine Ellipsenbahn. Wenn Sie nun die Geschwindigkeit geringfügig ändern, zum Beispiel auf vy = 1100, entsteht überraschenderweise keine Ellipse mehr, sondern eine rosettenförmige, ständig wandernde Bahn um die Mulde herum (Abb. 4). Die Rolle der Kugelfunktion am Boden der Mulde Der "Rosetteneffekt" wird dadurch verursacht, dass bei den gewählten Parametern die Bahn der Kugel die Hyperbelfläche verlässt und ein kurzes Stück über die Kugelfläche unten in der Mulde läuft. Da die Kugelfunktion deutlich von der Hyperbelfunktion und damit vom Newtonschen Gravitationspotenzial V(r) = - G • M/r abweicht, kann keine Kegelschnittbahn, in diesem Fall also keine Ellipse, mehr entstehen. Es ist ja gerade das Besondere, dass allein aus der Hyperbelform des Potenzials die Kegelschnittbahnen folgen - jede Abweichung von der Hyperbel führt zu einer völlig veränderten Bahnkurve. Möchte man den Schülerinnen und Schülern also geschlossene Kegelschnittbahnen demonstrieren, sollte man die Bahnkurve der Kugel nicht zu tief in die Mulde führen, jedenfalls nicht so tief, dass sie die untere Halbkugelfläche berührt. Andererseits kann es auch recht interessant und lehrreich sein, die Auswirkungen der Abweichung von der Hyperbelform zu demonstrieren. Periheldrehung der Merkurbahn Übrigens beruht die Periheldrehung der Merkurbahn, also die langsame Verschiebung der Ellipse, auf einer Abweichung von der Hyperbelform des Potenzials. In der Nähe großer Massen folgt das Potenzial nämlich nicht mehr der klassischen Physik, sondern muss durch die Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden. Vielfältige Einsatzmöglichkeiten Durch eine geschickte Wahl der Parameter ermöglicht das Programm Raumkrümmung.exe die Erzeugung der unterschiedlichsten Bahnen. Es bietet sich daher auch für ein spielerisches Erfassen der verschiedenen Situation durch die Schülerinnen und Schüler an. Zudem ist auch sehr gut geeignet, um zum Beispiel mithilfe eines Arbeitsblatts konkrete Situationen ausprobieren zu lassen. Die Schülerinnen und Schüler könnten so schrittweise an den Begriff der Raumkrümmung herangeführt werden und erfahren, dass die bekannten Bahnen innerhalb von Gravitationsfeldern sehr gut durch die Vorstellung eines gekrümmten Raums (hier einer gekrümmten Fläche) verstanden werden können. Auch am heimischen Rechner können die Lernenden mithilfe des kostenfreien Programms mit der Raumkrümmung "experimentieren". Anmerkung zu den Begriffen Raumkrümmung und Raumzeitkrümmung Im Sinne der Allgemeinen Relativitätstheorie sollte man bei der Beschreibung von Bahnkurven bewegter Körper eigentlich nicht den Begriff Raumkrümmung verwenden, sondern stattdessen von der Raumzeitkrümmung sprechen. Die Darstellung der Situation als gekrümmte Fläche (Gummituch) beinhaltet nämlich zwei starke Vereinfachungen: zum einen die Reduktion des dreidimensionalen Raumes auf zwei Dimensionen und zum anderen die Vernachlässigung der Zeitkomponente. Diese Vereinfachungen machen aber - gerade für jüngere Schülerinnen und Schüler- die Ideen der Relativitätstheorie begreifbar. In höheren Klassen sollte man jedoch auf diese didaktischen Reduzierungen hinweisen. Gedankenexperimente zu verschiedendimensionalen Räumen finden Sie auch in der Unterrichtseinheit Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT . In dem darin verwendeten Humoreske "Flächenland" von Edwin Abbott (1838-1926) werden unter anderem die Probleme eines alten Quadrats beschrieben, das das zweidimensionale Flächenland bewohnt und das von einer Kugel Besuch aus der dritten Dimension bekommt. Ausgewählte Aspekte des Romans werden mithilfe der dynamischen Mathematiksoftware GEONExT visualisiert.

In diesem fächerübergreifenden Unterrichtsprojekt gewinnen die Schülerinnen und Schüler anhand der Parabel "Flächenland" von Edwin A. Abbott grundlegende physikalische und ethisch-moralische Erkenntnisse. Das Buch kann zur Erhellung einiger fundamentaler Zusammenhänge beitragen.Kennen Sie Flächenland? Führen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler in die zweidimensionale Welt eines kleinen Quadrates und lassen Sie sie einiges über Raum und Zeit, über Dimensionen und über ein- und mehrdimensionales Denken in einer ganz besonderen Gesellschaft entdecken. Die Flächenland-Parabel von Edwin A. Abbott (1838-1926), eine Gesellschaftssatire aus dem viktorianischen England, dient in der hier vorgestellten Unterrichtseinheit als Basis für grundlegende physikalische und ethisch-moralische Erkenntnisse. Sie kann zur Erhellung einiger fundamentaler Zusammenhänge beitragen. "Flächenland" bietet sich dabei für fächerübergreifende Unterrichtsprojekte an. Unterrichtsverlauf und Arbeitsmaterialien Die Unterrichtseinheit ist modular aufgebaut, Sie können also beliebig Module weglassen, austauschen oder auch erweitern. Dennoch wird auf den folgenden Seiten ein Unterrichtsverlauf beschrieben, der als Vorschlag zu verstehen ist. Dabei findet ein allmählicher Übergang von dem rein physikalisch-mathematischen Verständnis der Dimensionen zu den sozialkritischen und ethischen Aspekten im Zusammenhang mit eindimensionalem Denken statt. Was ist Flächenland? Für alle, die den Roman noch nicht kennen: Eine Kurzfassung der Story und worum es in der Parabel eigentlich geht. Allgemeine Hinweise, Modul 1 bis 3 Der thematische Einstieg erfolgt über ein Experiment oder die Betrachtung von Stereogrammen. Die Schülerinnen und Schüler lernen den Roman kennen, zeichen und betrachten verschiedendimensionale Formen und klären den Begriff der "Dimension". Modul 4 bis 8 Die Schülerinnen und Schüler beschäftigen sich mit den Verständnisschwierigkeiten zwischen der Kugel und dem Quadrat, der Rolle der Frauen in Flächenland und der politischen Dimension von Vorurteilen. Schließlich schreiben sie eine eigene Geschichte. Fächerverbindender Unterricht - Beispiel Mathematik Der Flächenland-Roman bietet sich auf vielfältige Weise für fächerverbindende Ansätze an. Wie schön (und humorvoll) diese im Fach Religion/Ethik durchgeführte Unterrichtseinheit mit der Behandlung der mathematischen Inhalte des Romans verzahnt werden kann, zeigt der folgende Beitrag aus dem Fachportal Mathematik. Die dort vorgestellte Lernumgebung kann zum Beispiel zwischen den Modulen 3 (Dimensionen) und 4 (Das Quadrat begegnet der Kugel) zum Einsatz kommen. Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT Interaktive Applets, die mit der dynamischen Geometriesoftware GEONExT erzeugt wurden, veranschaulichen Schülerinnen und Schülern den mathematischen Hintergrund von Textpassagen aus dem Roman "Flächenland". Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren und verstehen das Prinzip der Dimensionen. definieren den Begriff "Dimension" im physikalisch-mathematischen und im philosophisch-ethischen Sinne. können die (teilweise gefahrvolle) Situation eines "freien" Denkers innerhalb einer engstirnigen Gesellschaft nachvollziehen. lernen das Entdecken neuer Perspektiven und einer neuen, ungewohnten Weltsicht als innovativ und wichtig für den Erkenntnisfortschritt einer Gesellschaft kennen. erkennen Zusammenhänge zwischen eindimensionalem Denken und Vorurteilen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Internet als Medium zur gezielten Recherche. lernen mit der Zeichenfunktion von Word (oder mit einer Geometriesoftware) umgehen. stellen eigene Beiträge ins Internet und diskutieren in einem Forum die Beiträge der Mitschülerinnen und Mitschüler. Der Roman "Flächenland" ("Flatland - A romance of many dimensions") des Briten Edwin A. Abbott erschien 1884 in England. Er zählt längst zu den Klassikern der Science-Fiction-Literatur, ist aber eigentlich eine geometrische Humoreske, ein in viele Richtungen lesbares und interpretierbares Gedankenexperiment, das als Gesellschaftssatire und als Plädoyer für die Freiheit des Denkens verstanden werden kann. Die Erzählung thematisiert die Situation des Denkers, der eine neue, riskante Sicht auf die Welt wagt - in einer Gesellschaft, die diese Perspektive (noch) nicht nachvollziehen kann und will. Physikalisch gesehen kann der Roman auch als Gleichnis für die Entdeckung der für uns schwer vorstellbaren "Raumzeit" dienen. Die Parabel von Flächenland zeigt, dass es Dimensionen gibt, die wir zwar nicht wahrnehmen oder anschaulich verstehen, die aber dennoch existieren können. Ein altes Quadrat, Bewohner der fiktiven 2D-Welt "Flächenland", erzählt von seinem zweidimensionalen Land, in dem Dreiecke, Vierecke und Kreise leben, die bestimmte, genau definierte und geordnete Funktionen und Kompetenzen haben, und von dem Besuch einer Kugel aus der 3D-Welt. Diese zunächst unerklärliche Erscheinung löst bei den einfachen Bewohnern von Flächenland Verwirrung und Panik aus. Dem cleveren und neugierigen Quadrat gelingt jedoch die Kommunikation mit der Kugel, es macht Reisen in das eindimensionale "Linienland" und das dreidimensionale "Raumland" und begreift das Prinzip der Dimensionen. Zurück in der Heimat versucht das Quadrat, von seinen Erlebnissen und Erkenntnissen zu berichten, wird aber von den Priestern, die das Wissen über die Existenz der dritten Dimension dem Volk vorenthalten wollen, bedroht und von deren Justizgewalt ins Gefängnis gebracht. Der Roman "Flächenland" (1884) von Edwin A. Abbott Infos zum Inhalt des Romans auf der Website der Humboldt-Gesellschaft. Flatland - A romance of many dimensions Die englischsprachige Ausgabe des Romans mit Illustrationen des Autors im Internet. Einige Punkte der Unterrichtseinheit setzen im Zusammenhang mit dem Thema Dimensionen einen recht hohen Abstraktionsgrad und auch ein gewisses geometrisches Grundverständnis voraus. Daher wird in diesen Modulen methodisch und inhaltlich zwischen jüngeren (Klasse 6 und 7) und älteren Schülerinnen und Schülern (Klasse 8 bis 10) unterschieden. Die Arbeitsblätter werden in diesen Fällen in zwei Varianten angeboten. Verschiedendimensionales auf dem Schulhof Besonders für jüngere Schülerinnen und Schüler ist es sicher sinnvoll und motivierend, den Unterschied zwischen ein- und mehrdimensionalen Verhältnissen physisch-räumlich zu erfahren. Deshalb schlagen wir hier einen praktischen Versuch auf dem Schulhof vor, der schnell und einfach zu realisieren ist und - ganz im Sinne eines beweglichen Verstandes - ein wenig Bewegung in den Unterricht bringt. Die Klasse wird dazu in vier Gruppen aufgeteilt, die jeweils die Eigenschaften von "Punkt-, Linien, Flächen- und Raumland" erfahren sollen. Arbeit mit Stereogrammen Eine andere Möglichkeit für den Einstieg in das Thema Dimensionen bieten die 3D-Effekte von Stereogrammen, mit deren Hilfe Schülerinnen und Schüler anschaulich erleben und verstehen können, was sich ändert, wenn sich an einem ganz bestimmten Punkt eine dritte Dimension öffnet und eine andere "Welt" zeigt. Die Stereogramme können einzeln oder zu zweit am Bildschirm betrachtet werden. Als Alternative bietet sich aber auch die Projektion ausgewählter Stereogramme per Beamer an. Dabei kann dem Ganzen noch eine sportliche Note gegeben werden: "Wer erkennt als erster das verborgene 3D-Bild?" Anhand von Texten aus dem Internet lernen die Schülerinnen und Schüler Flächenland kennen. Die Internetseiten geben einen Überblick über den Inhalt des Romans und führen direkt in die zweidimensionale Welt des Romanhelden, eines Quadrates, und seiner Mitbewohner ein. Hier geht es um die Lektüre der Kapitel 15 ("Einen Fremden aus Raumland betreffend") und 16 ("Wie der Fremde vergeblich versucht, mit Worten die Geheimnisse von Raumland zu enthüllen") aus der Erzählung "Flächenland" und die Umsetzung des Gelesenen in ein kurzes Rollenspiel. Dabei soll das Verständnis für die konsequent logische Argumentation der Kugel (der das zweidimensionale Quadrat aber nur theoretisch folgen kann) sichergestellt werden. Der vierten - für Nicht-Physiker und Nicht-Mathematiker schwer vorstellbaren - Dimension ist zur Vertiefung im Rahmen der Unterrichtseinheit ein eigenes Modul gewidmet, obwohl das Prinzip bereits in Modul 4 deutlich wurde. Der Transfertext aus "Alice im Wunderland" bietet an dieser Stelle Anknüpfungspunkte für den Deutschunterricht. Das 4. Romankapitel lautet "Über die Frauen". Da diese in Flächenland die Form gerader Linien haben, erscheinen sie von vorne als Punkt, sind also praktisch unsichtbar. Für die Flächenländer stellen sie daher eine große Gefahr dar - Frontalzusammenstöße mit ihnen enden tödlich. Die Frauen unterliegen deshalb "zum Schutze der Bürger" einer besonderen Gesetzgebung, die sie diskriminiert, mit tödlichen Strafen bedroht und ihnen ein normales, gleichberechtigtes Leben unmöglich macht. Der satirische Charakter der Erzählung ist in diesem Kapitel nicht zu übersehen. Die Parallelen zum fundamentalistisch verstandenen Islam sind offensichtlich, dennoch sollten die Schülerinnen und Schüler vor platten Gleichsetzungen gewarnt und zu vielfältigen Interpretationen der Parabel ermuntert werden (zumal Abbot zu seiner Zeit sicher eine etwas andere Perspektive hatte). In einer offenen Debatte könnten diverse Diskriminierungen und Randgruppenprobleme unserer heutigen Gesellschaft angesprochen werden, was zu Modul 7 überleiten könnte. Dieses Modul basiert auf einem relativ langen Text auf der Website von Martin Blumentritt zum Thema Die politische Dimension von Vorurteilen . Es ist deshalb nur für ältere Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe I (Klasse 8 bis 10) geeignet. Es empfiehlt sich gegebenenfalls, auf ein Detailverständnis des gesamten Textes zu verzichten und sich nach einer Globallektüre auf den ersten Teil zu konzentrieren, der dann mit den üblichen textanalytischen Verfahren erschlossen werden kann. Hier wird vorgeschlagen, mit Schlüsselwörtern zu arbeiten und ein Strukturskizze anzufertigen. Dafür könnte ein MindMap-Programm benutzt werden. Als kreative Aufgabe im Sinne einer Transferleistung soll von den Schülerinnen und Schülern ein eigener Text mit einer Situation entworfen werden, die mit derjenigen von Flächenland vergleichbar ist. Auch hier gibt es wieder Arbeitsblattvarianten für den Einsatz in Klasse 6 und 7 beziehungsweise Klasse 8 bis 10, wobei bei den älteren Schülerinnen und Schülern schon ein gewisses gesellschaftspolitisches Bewusstsein vorausgesetzt wird. Um die Schreibmotivation zu erhöhen, könnten die Texte im Internet veröffentlicht werden, zum Beispiel im Webspace eines virtuellen Klassenraums im Lehrer-Online-Netzwerk (lo-net). Mithilfe eines Homepagegenerators ist dies problemlos ohne HTML-Kenntnisse möglich. Im Forum des virtuellen Klassenraums können die Texte der Mitschülerinnen und Schüler kommentiert und diskutiert werden.

Auf dieser Seite haben wir Unterrichtseinheiten und Anregungen für Ihren Mathematik-Unterricht im Bereich Analysis zusammengestellt: Differenzialrechnung, komplexere Probleme der Differenzialrechnung und Integralrechnung. Auch Unterrichtsmaterialien für die Begabtenförderung im Mathematik-Unterricht finden Sie hier. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen einüben. Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen können. den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen können. die Herleitung von Ortskurven vertiefen. grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich wiederholen. kooperieren und sozial interagieren können. Thema Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Die Schülerinnen und Schüler sollen ganz- und gebrochen-rationale Funktionen sicher ableiten können. Funktionswerte berechnen können. Funktionsterme in einen Computer (hier: Mobiltelefon) eingeben. Geradengleichungen bestimmen können. zu einem Punkt des Graphen einer Funktion die Tangente und die Normale bestimmen können. ihr Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung selbst überprüfen. Thema Kurvendiskussionen, hier: Tangenten und Normalen mit Mobiltelefon-Unterstützung Autor Mirko König Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Java-Mobiltelefon pro Person (MIDP 2.0, CLDC 1.1) Software Analysis mobil (JavaME-Programm), möglichst auf jedem Mobiltelefon der Lernenden zu installieren (Shareware, 10 € pro Einzellizenz); Lehrpersonen, die mit ihrem Kurs gemeinsam das Programm nutzen möchten, können sich für eine kostenlose Klassen-Lizenz an den Autor wenden: mail-at-analysismobil.com). Bei den Kurvendiskussionen müssen die Schülerinnen und Schüler das in der Analysis Gelernte anwenden und in komplexer Form umsetzen. Dabei geht einigen schon einmal der Überblick verloren, und es entstehen Fragen wie: "Muss ich jetzt f, f' oder f'' verwenden?". Dies lässt sich durch übersichtliche Schrittfolgen vermeiden. Kommen aber Anwendungsaufgaben wie die zu Tangenten und Normalen hinzu, kann die als erreicht geglaubte Sicherheit wieder schwinden. Hier können Visualisierungen helfen, die Ergebnisse zu kontrollieren. Von den Lernenden mit Bleistift und Millimeterpapier erstellte Graphen reichen hier oft noch nicht aus, da der Erfahrungsschatz an bereits gesehenen Funktionen und deren Graphen noch zu klein ist. Überdies hängt die Richtigkeit des Graphen direkt von den Rechenfertigkeiten ab. Ein Computerprogramm mit einer Funktionseingabe und einer grafischen Funktionsanzeige (Funktionsplotter) kann hier die Anschauung gut unterstützen und eine unabhängige Kontrolle bieten. Der Computer ist in dem hier vorgestellten Fall ein Mobiltelefon, ein Gerät, das die Schülerinnen und Schüler in der Regel ständig parat haben. Allgemeine Hinweise und Materialien Ausgangssituation, Motivation und Zielstellung, allgemeine Anmerkungen zum Softwareeinsatz und Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch positiv sein kann. wissen, dass am "tiefsten" und "höchsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist. erkennen, dass die Steigung der Tangenten einer Parabel, als Funktion abgetragen, eine Gerade ergibt. erkennen, dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades, als Funktion abgetragen, eine Parabel ergibt. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen. Thema Steigung und Ableitung einer Funktion Autor Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin/Schüler Software Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei); GeoGebra zum Erstellen eigener dynamischer Arbeitsblätter (kostenloser Download aus dem Internet) Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer, Netscape, Mozilla) betrachtet werden können. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren, muss Java 1.4 (oder höher) installiert sein. Hinweise zum Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter Falls Ihnen noch die erforderliche Java-Abspielumgebung fehlt, können Sie hier mithilfe von Screenshots einen ersten Eindruck von den Arbeitsblättern gewinnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen lernen. die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten erlernen. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden können. die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen lernen. aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen können (Kurvendiskussion rückwärts). Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den SchülerInnen wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Sekantensteigung berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen können. erläutern können, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen können. den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen können. Thema Vom Differenzen- zum Differenzialquotient Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2 bis 3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer; optional: grafikfähiger Taschenrechner TI-83, OHP-Projektion für Taschenrechner Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen gegebene Größen bestimmen. Zielfunktionen aus gegebenen Größen herleiten. Extremstellen der Zielfunktionen bestimmen und das Verfahren der Kurvendiskussion anwenden (notwendige Bedingung für Extremstellen). gewonnene Lösungen diskutieren und interpretieren. einfache Extremwertprobleme lösen. Titel Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0 Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 Stunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner für zwei Lernende, Beamer Software Derive 5.0 Schullizenz, siehe Zusatzinformationen Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen Aufgaben und Musterlösungen Derive-Dateien und Screenshots Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen können. den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern können. analytisch und geometrisch begründen können, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. eine geeignete Basis a bestimmen können, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion kennen. Thema Einführung der Eulerschen Zahl Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner mit Internetanschluss für je 1-2 Lernende, Java Runtime Environment ; idealerweise Beamer, grafikfähiger Taschenrechner, OHP-Projektion für Taschenrechner, CAS Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". ?Geh weg oder ich differenzier dich!? Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler sollen den Begriff der Ober- und Untersumme kennen und anwenden. erkennen, dass bei einer sehr feinen Unterteilung der Intervalle Ober- und Untersumme gegeneinander konvergieren. erkennen, dass der Unterschied zwischen beiden beliebig klein wird (Grenzwertbegriff) und dass der Grenzwert der Ober- und Untersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. den Unterschied zwischen Integral und Fläche erklären. Integrale und Flächen berechnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen. Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Thema "Ein(-)Blick ins Chaos" - nichtlineare dynamische Systeme Autor Claus Wolfseher Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 10, hochbegabte Schülergruppen (Mathematik-AG, Projektarbeit) Zeitraum abhängig von Behandlungstiefe 10 oder mehr Doppelstunden Technische Voraussetzungen Computer mit einfacher Programmierumgebung (zum Beispiel Basic, Pascal oder Java) und Tabellenkalkulationssystem (zum Beispiel "Calc" - siehe OpenOffice.org - oder Excel) Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können. einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können. ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können. selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren. in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Materialien und Literatur Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple; außerdem finden Sie hier Literaturtipps. Ausgehend von einer elementaren Konstruktion einer Mittelsenkrechten erzeugen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra Geradenscharen, deren Hüllkurve eine Parabel zu sein scheint. Die Lernenden erarbeiten Schritt für Schritt den Beweis dieser Vermutung. Ihr Ergebnis können sie wiederum an der GeoGebra-Konstruktion überprüfen. Indem sie anschließend die allgemeine Gleichung einer Parabeltangente aufstellen, erkennen sie, dass die anfangs konstruierten Mittelsenkrechten gerade die Parabeltangenten sind. Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun ein einfaches Verfahren zur Konstruktion von Parabeltangenten finden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Geradenscharen und deren Hüllkurve mithilfe eines dynamischen Arbeitsblattes erzeugen können. die Parabel als Ortskurve der konstruierten Mittelsenkrechten kennen lernen und die zugehörige Parabelgleichung aus den Konstruktionseigenschaften herleiten können. einen Zusammenhang mit den ihnen bekannten Parabeltangenten herstellen können. aus den gewonnen Erkenntnissen eine einfache Vorschrift zur Konstruktion einer Parabeltangente in einem vorgegebenen Punkt herleiten können. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geradenscharen und Parabeln Autor Birgit Siebe Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik AG Zeitraum 3-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software Java-Plugin (Version 1.4 oder höher, kostenloser Download), GeoGebra (kostenloser Download) Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ f(x) = Ca x untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors k = f '(x)/f(x) eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren. die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken. diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen). die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis). die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen. die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen. Thema Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grund- oder Leistungskurs) Zeitraum 3-5 Stunden Technische Voraussetzungen je ein Computer für 1-2 Lernende Software Webbrowser mit aktiviertem Java, ergänzend (optional) das kostenlos erhältliche GeoGebra Selbstgesteuertes Lernen Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden. Modifizierbare Arbeitsblätter Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden. Optionale Beweise Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage (Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kurvendiskussion von Polynomen durchführen können. mit trigonometrischen Funktionen rechnen können. Linearkombinationen erstellen können. Interpolation durchführen können. algorithmisches Verständnis erwerben. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit GeoGebra lernen. den Umgang mit wxMaxima lernen. kleine Programmroutinen selbst erstellen können. Thema Tschebyscheff-Polynome Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin oder Schüler Software GeoGebra , wxMaxima (kostenloser Download) Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist, dass die Schülerinnen und Schüler Polynome und die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung kennen. Sie sollten über den Hauptsatz der Algebra und die Zerlegbarkeit von Polynomen laut Vieta Bescheid wissen. Grundlegendes Vorwissen über Matrizen und Determinanten wird benötigt und die Nutzung von GeoGebra und wxMaxima sollte keine Probleme bereiten. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Hier finden Sie verschiedene Zugänge und Aufgabenstellungen zu Tschebyscheff-Polynomen. Anregung und Erweiterung Eine Anregung zur Erweiterung des Themas bietet die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur.

Diese Unterrichtseinheit zeigt den Schülerinnen und Schülern die Bedeutung Einsteins für unsere Gesellschaft und insbesondere seine Spuren in der Literatur auf. Internetrecherchen, freie Textbearbeitung und kreative Schreibanlässe erleichtern es, sich mit der sonst eher trockenen Materie der historisch bedeutenden Persönlichkeit Einsteins auseinanderzusetzen. Im Fach Deutsch bietet sich eine ausführliche Behandlung von Dürrenmatts Drama Die Physiker an, das zur Standardlektüre im Unterricht gehört. In der hier vorgestellten Unterrichtseinheit wird jedoch nur ein kurzer Abschnitt dieses Werkes herausgegriffen. Darüber hinaus setzen sich die Schülerinnen und Schüler unter anderem mit einem Auszug aus Wolfgang Weyrauchs Hörspiel Die japanischen Fischer , mit Marie Luise Kaschnitz's Gedicht Hiroshima und Einsteins Brief an Franklin D. Roosevelt auseinander. Dabei spielt im Zusammenhang mit dem Einsatz der Atombombe in Hiroshima und Nagasaki die Frage nach der Verantwortung des Naturwissenschaftlers für die Anwendung seiner Erkenntnisse eine zentrale Rolle. Außerdem erstellen die Schülerinnen und Schüler einen Einsteinkalender, der im Klassenzimmer aufgehängt werden und der sie durch das Einsteinjahr begleiten soll. Jugendliche sollen im Einsteinjahr Einblick in das Leben und die Gedankenwelt des genialen Wissenschaftlers erhalten. Im Deutschunterricht geht es dabei nicht darum, wissenschaftliche Einsichten zu vermitteln, sondern die Bedeutung Einsteins für unsere Gesellschaft und insbesondere seine Spuren in der Literatur aufzuzeigen. Da das Einsteinjahr auch in anderen Fächern aufgegriffen wird (Ethik, Physik, Geschichte, ... ), ist eine fächerübergreifende Zusammenarbeit mit den in Frage kommenden Kolleginnen und Kollegen empfehlenswert. Für den Deutschunterricht bieten sich zum Beispiel fächerverbindende Ansätze zur Arbeit mit dem Roman Flächenland von Edwin Abbott an (siehe Unterricht gegen eindimensionales Denken im Fachportal Ethik und Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT im Fachportal Mathematik). Eine detaillierte Beschreibung der Themen der Unterrichtseinheit "Albert Einstein: Die Verantwortung der Physiker für die Bombe" finden Sie in der Projektbeschreibung im Downloadbereich. Die Schülerinnen und Schüler lernen die Biographie Albert Einsteins kennen. untersuchen die Beziehung zwischen dem Wandel des naturwissenschaftlichen Weltbildes und der Literatur. setzen sich mit der Frage nach der Verantwortung des Naturwissenschaftlers für die Anwendung seiner Erkenntnisse auseinander. In der hier vorgestellten Konzeption nimmt die Behandlung eines jeden Themas eine Unterrichtsstunde in Anspruch. Die Vorschläge können auch als flexible Module verwendet und müssen nicht zwingend komplett in der hier vorgeschlagenen Abfolge im Unterricht eingesetzt werden. Einzelnen Aspekte, wie zum Beispiel der Besprechung von Dürrenmatts Drama Die Physiker oder Wolfgang Weyrauchs Hörspiel Die japanischen Fischer , kann natürlich auch wesentlich mehr Zeit gewidmet werden. Im Zentrum des Deutschunterrichts stehen normalerweise Dichter und ihre Werke. Seltener kommen Philosophen zu Wort. Größen aus den Naturwissenschaften spielen im literaturbetonten Unterricht ab Jahrgangsstufe 10 nur eine untergeordnete Rolle. Dennoch wird immer wieder versucht, den Einfluss der allgemeinen Geschichte, der Philosophie und des Weltbildes einer Epoche auf die jeweilige Literatur herauszuarbeiten. Es ist daher sinnvoll, dem Menschen, der unser modernes Weltbild geprägt hat wie kein Zweiter, gerade im Deutschunterricht Aufmerksamkeit zu schenken. Ziel ist es, Albert Einstein als einen großen Denker des 20. Jahrhunderts auch aus nicht-physikalischer Sicht kennen zu lernen und seine Spuren in der Literatur zu untersuchen. Wer hat was gesagt? Um die Schülerinnen und Schüler in der Einstiegsphase zu motivieren, sollen sie zunächst eine Reihe von Aphorismen möglichen Autoren zuordnen. Zur Auswahl stehen neben Albert Einstein zum Beispiel Ronald Reagan, Dieter Bohlen oder Immanuel Kant. Die Bearbeitung der Aufgabe soll jedoch nicht viel Zeit in Anspruch nehmen, denn sie ist nicht mit Logik oder durch Wissen zu bewältigen! Sie ist hinterhältig, denn alle Denksprüche stammen von Albert Einstein. Die unterschiedlichen Themen, derer Einstein sich annimmt, zeigen seine Vielseitigkeit auf und machen neugierig auf den Kopf, der dahinter steckt. Zu seinem 50. Geburtstag, am 14. März 1929, erfuhr Einstein in einem Glückwunschschreiben des damaligen Ulmer Bürgermeisters, dass seine Geburtsstadt ihm zu Ehren eine Straße nach seinem Namen benannt habe. Mit Bezug auf diese Straße meinte Einstein in seinem Dankschreiben: "Von der nach mir benannten Straße habe ich schon gehört. Mein tröstlicher Gedanke war, dass ich ja nicht verantwortlich sei, was darin geschieht." Auch in anderen Städten wurden Straßen oder Schulen nach dem großen Physiker benannt. Den wenigsten Passanten dürfte jedoch bewusst sein, dass wir Albert Einstein ein völlig neues Weltbild verdanken. Als Einstieg in die Stunde dient das Foto des Straßenschildes "Albert-Einstein-Ring" (eine große Version befindet sich im Download-Paket auf der Startseite des Artikels), verknüpft mit der Frage nach der Bedeutung des Namensgebers für uns. Im Gespräch soll darauf hingelenkt werden, dass Einstein nach Newton unser physikalisches Weltbild grundlegend neu geprägt hat. Wie wirkt sich das jeweilige Weltbild auf die Literatur aus? Mit Sicherheit sind Dichter und Literaten keine Physiker, dennoch lassen sich gelegentlich Spuren des jeweils vorherrschenden Weltbildes und neuer naturwissenschaftlicher Entdeckungen in literarischen Werken finden. Am deutlichsten lässt sich der Wandel der Weltbilder durch einen Vergleich herausarbeiten. Zu diesem Zweck sollen die Schülerinnen und Schüler ein vorbereitetes Arbeitsblatt mit Informationen und Bildern aus dem Internet ergänzen. Dazu können unter anderem die unten (und auch auf dem Arbeitsblatt) angegebenen Webseiten dienen. Nach der Recherche und dem Einpflegen von Texten und Bildern in das Arbeitsblatt werden in kurzen Vorträgen die charakteristischen Merkmale des Newtonschen und des Einsteinschen Weltbildes vorgestellt. Die hier zum Download angebotene Datei enthält auch Lösungsvorschläge für die Lehrkraft. Friedrich Dürrenmatt hat Albert Einstein als Vorlage für sein Drama Die Physiker ausgewählt, da Einstein trotz seiner pazifistischen Überzeugung durch seine Empfehlung an den ameri-kanischen Präsidenten Franklin D. Roosevelt in den Bau der Atombombe verwickelt worden und in einen moralisches Dilemma geraten ist. Einstein wollte auf jeden Fall verhindern, dass Hitler-Deutschland vor den Alliierten in den Besitz einer einsatzfähigen Atombombe komme. Deren vernichtende Wirkung war ihm bei seinem Rat zum Bau einer amerikanischen Atombombe bewusst. Er hatte jedoch gehofft, durch die Unterstützung einer internationalen Verzichterklärung die Welt vor dem Einsatz von Atomwaffen bewahren zu können und deshalb seine Bedenken beiseite geschoben. Und das, obwohl gerade er die Verantwortung der Physiker gegenüber der Gesellschaft stets gesehen und sehr ernst genommen hat. Noch im hohen Alter kämpfte er für die Beteiligung von Wissenschaftlern an politischen Entscheidungen und für deren Mitspracherecht beim Einsatz der von ihnen konstruierten Waffen. Zudem gehörte er immer zu den Forschern, die die Öffentlichkeit über neue wissenschaftliche Entwicklungen und deren Bedeutung für die Gesellschaft informieren wollten. Die Schülerinnen und Schüler werden zunächst mit dem Brief Albert Einsteins an Roosevelt konfrontiert, in dem der Physiker größere Anstrengungen für die Entwicklung einer Atombombe vorschlägt. Der englische Text ist zunächst zu übersetzen. In Klassen mit weniger guten Englischkenntnissen kann eine deutsche Übersetzung vorbereitet werden. Das zweite Arbeitsblatt beschäftigt sich mit einem Auszug aus Dürrenmatts Drama Die Physiker . Das Stück - eine Standardlektüre des Deutschunterrichts - ist sicher eine ausführlichere Unterrichtseinheit wert. Im Rahmen dieses Beitrags wird jedoch lediglich an einem kurzen Textauszug der Aspekt der Verantwortung des Wissenschaftlers für seine Entdeckungen erarbeitet. Für die kreativen Aufgaben muss - je nach dem Arbeitstempo der Lerngruppe - eventuell eine zweite Stunde eingeplant werden. Nachdem die USA die Bewohner des Bikini-Atolls von der "Notwendigkeit" überzeugt hatten, ihre Heimat - angeblich nur vorübergehend - zu verlassen, begannen 1948 die Atombombentests auf den Marshall-Inseln. Obwohl Atomtests nicht direkt als Kriegshandlungen zu werten sind, dienen sie der Erforschung von Waffenwirkungen und damit einem möglichen späteren Einsatz gegen Menschen. Die Versuche hatten zum Teil verheerende Auswirkungen auf die Bevölkerung in der Nähe der Testgebiete, die durch den radioaktiven Fallout stark verstrahlt wurden. Wolfgang Weyrauch versucht in seinem Hörspiel Die japanischen Fischer die Situation der Menschen in der Nähe eines Testareals aufzuzeigen. Als stummer Impuls dient die Abbildung einer Atombombenexplosion ( Atompilz ). In einem kurzen Gespräch wird das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler über die Auswirkungen von Atombombenexplosionen auf den Menschen eruiert. Daran schließt sich die Frage nach dem Schicksal der Bevölkerung in den Testgebieten sowie in deren Nähe an. Die Schülerinnen und Schüler beschäftigen sich in zwei Gruppen mit den Folgen für die Südseebewohner. Während die erste mithilfe vorgegebener Internetseiten Daten und Fakten sammelt und daraus eine kurze Präsentation erstellt, liest die zweite einen kurzen Ausschnitt aus Weyrauchs Hörspiel Die japanischen Fischer und analysiert die Auswirkungen der Atomtests in der poetischen Darstellung. Ein Vergleich der Gruppenergebnisse schließt die Unterrichtsstunde ab. Der Schwerpunkt liegt darin, die Unterschiede in der Darstellung zwischen sachlicher, nicht-fiktionaler Sprache und poetischer Sprache herauszuarbeiten. Dabei geht es weniger um rein sprachlich-rhetorische Merkmale, sondern um den Grad des Wirklichkeitsbezugs "harter" Fakten einerseits und emotionaler Beteiligung andererseits. Weyrauchs Hörspiele Die japanischen Fischer und Das grüne Zelt können auch ausführlicher behandelt werden. Sie können komplett gelesen und eingehender analysiert, einzelne Szenen von Schülerinnen und Schülern gesprochen und als eigenes Hörspiel aufgezeichnet werden. Informationen zum Autor lassen sich im Internet recherchieren. Mit den Abwürfen der Atombomben über Hiroshima und Nagasaki hatte die Entdeckung der gewaltigen Energiemengen, die bei der Kernspaltung frei werden, und Einsteins Aufforderung an den Präsidenten Roosevelt, dieses Wissen zum Bau einer Bombe zu nutzen, katastrophale Folgen. Sicher ist der Tod Hunderttausender dem Physiker nicht persönlich anzulasten. Es ist aber eine Tatsache, dass durch die Anwendung von Erkenntnissen aus der an sich wertfreien Grundlagenforschung immer wieder neues, unsagbares Leid über die Menschen gebracht wurde. Es ist nicht Aufgabe der Lyrik anzuklagen und Schuld zuzuweisen. Aber in der Lyrik können das Gefühl der Ohnmacht und das schlechte Gewissen des Einzelnen thematisiert werden. Zum Einstieg in die Stunde kann der Song Hiroshima von der Gruppe Wishful Thinking gespielt werden. Ein Textauszug befindet sich auch auf dem Arbeitsblatt. Einige Takte des Stückes sind auch bei musicline.de zu hören. In dem Lied ist von einem Mann die Rede, der "einen Schatten geworfen hat". Dies erinnert an das schreckliche Phänomen, dass bei den Bombenexplosionen in Japan von den Menschen manchmal nur noch ein in eine Hauswand eingebrannter "Schatten" übrig geblieben ist, während der Körper verdampfte. Ein in dem Lied ungenannter Mann hat die tödliche Fracht nach Hiroshima gebracht. Zur Vorbereitung auf das Gedicht Hiroshima von Marie Luise Kaschnitz soll diskutiert werden, wie sich dieser Mensch heute fühlen mag, da ihm die Folgen des Waffeneinsatzes bekannt sind. Nach der stillen Lektüre des Gedichtes werden die Fragen des Arbeitsblattes bearbeitet. Als Die Grünen 1984 im Bundestag die Abschaltung aller Atomkraftwerke forderten, beriefen sie sich auf ein Zitat Einsteins: "Die entfesselte Gewalt des Atoms hat alles verändert, nur unsere Denkweise nicht, und so gleiten wir auf eine Katastrophe zu, die die Welt noch nicht gesehen hat." (Zitat nach Armin Hermann: Einstein. Der Weltweise und sein Jahrhundert. Eine Biographie. München u. Zürich: Piper 1994, S. 512). Allerdings war Einstein nicht grundsätzlich gegen die Ausbeutung der Kernenergie, sondern er hoffte auf eine friedliche Nutzung. Die Schülerinnen und Schüler rezipieren die Informationen der Arbeitsblattes in Gruppen und erarbeiten den fiktiven Verlauf einer Fernseh-Talkrunde, in der Einstein, Dürrenmatt, Weyrauch, Kaschnitz und Oppenheimer über die Verantwortung des Naturwissenschaftlers für die gesellschaftlichen und politischen Folgen seiner Erkenntnisse diskutieren. Die Sichtung der Informationen könnte bereits in der vorangehenden Stunde als Hausaufgabe gestellt werden. Die Ausarbeitung des Gesprächs dient dem Abschluss und der Sicherung der Ergebnisse der gesamten Unterrichtseinheit. Die hier zum Download angebotene Grafik stellt die Zusammenhänge zwischen Forschung, politischer Entwicklung und literarischer Aufarbeitung dar. Die Grafik kann als Materialgrundlage für eine zusätzliche Schülergruppe dienen oder auch als Kopiervorlage für eine OHP-Folie verwendet werden, mit deren Hilfe die Lehrkraft noch einmal die Bedeutung Einsteins für die verschiedenen literarischen Werke zusammenfasst. Friedrich Dürrenmatt Diogenes Verlag, 1998 ISBN 3-257-23047-8 Weyrauch Zwei Hörspiele Reclam ISBN 3-15-008256-0 Heinar Kipphardt Suhrkamp, 2002 ISBN 3-518-10064-5 Leiser Film, 61 Minuten Erwin Leiser Produktion, 1985