Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten die "goldene Regel der Mechanik" am Beispiel der schiefen Ebene mit einem dynamischen GeoGebra-Applet.?Maschine (griechisch mechane, Werkzeug), in der Technik ein Gerät zur Änderung der Stärke oder Richtung einer angewandten Kraft.? Gemäß diesem Lexikoneintrag ist ein als Rampe dienendes Brett die wohl einfachste Maschine der Welt. Denn um ein Bierfass über eine Rampe auf die Ladefläche eines LKW zu rollen, ist nur ein Bruchteil der Gewichtskraft des Fasses erforderlich. Doch leider ist im Leben nichts umsonst: Die Krafteinsparung muss man auf anderem Weg bezahlen. Wie? Das herauszufinden, ist Aufgabe der Schülerinnen und Schüler in dieser auf ein Computerexperiment gestützten Unterrichtseinheit. Und dabei springt zum Schluss noch ein wichtiges physikalisches (Abfall-)Produkt heraus, nämlich das aus Kraft und Weg: die Arbeit. Gestaltung und Einsatz der Materialien im Unterricht Fachliche Voraussetzungen sowie Hinweise zum Einsatz des virtuellen Experimentes (Eigenständige Bearbeitung ohne vorherige Behandlung im Unterricht, Vertiefung und Festigung, prägnante Wiederholung in höheren Jahrgangsstufen). Vorteile der Computersimulation und fachliche Hinweise Das virtuelle Experiment ermöglicht auch in großen Klassen selbstständiges Experimentieren und eine zeitsparende Konzentration auf die Auswertung und die Ergebnissicherung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Zerlegung der Gewichtskraft in Normal- und Hangabtriebskraft bei der schiefen Ebene wiederholen. die Aufnahme und das korrekte Eintragen von Messdaten in eine Messtabelle planen und üben. erkennen und mathematisch begründen können, dass der Steigungswinkel und die Hangabtriebskraft nicht proportional sind. erkennen und über die Produktgleichheit mathematisch begründen können, dass Hangabtriebskraft und zurückgelegter Weg zur Überwindung eines bestimmten Höhenunterschieds indirekt proportional sind (bei konstanter Gewichtskraft). die "goldene Regel der Mechanik" verstehen, formulieren und erklären können. die Vorgehensweise zur Einführung einer neuen physikalischen Größe verstehen. Kenntnisse der direkten beziehungsweise indirekten Proportionalität von Größen mit Quotienten- beziehungsweise Produktgleichheit der Wertepaare bilden die mathematischen Voraussetzungen für den Kurs. Kräftezerlegung und -parallelogramm sollten bereits bekannt sein, können aber mit dem Applet am Beispiel der schiefen Ebene noch einmal interaktiv wiederholt werden. Für das computergestützte Experiment bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: Eigenständige Bearbeitung des Computerexperimentes ohne vorherige Behandlung im Unterricht Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht durchgeführten Experimentes, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe prägnante Wiederholung des Stoffs in höheren Jahrgangsstufen Im Idealfall arbeiten ein bis zwei Schülerinnen und Schüler selbstständig an einem Computer. Das Experiment kann natürlich auch mit einem Beamer in einem fragend-entwickelnden Unterricht oder einem Lehrervortrag präsentiert werden. Zum Einstieg: erst "austoben lassen", dann "anleiten" Erfahrungsgemäß entdecken die Schülerinnen und Schüler bei einer selbständigen Bearbeitung des Computerexperimentes sehr schnell alleine die Bedienungsmöglichkeiten des Applets und erkennen, welche unabhängigen Objekte bewegt werden können, so dass auf ausführliche Bedienungshinweise verzichtet werden kann. Zu Beginn der Stunde hat sich bei computergestützten Unterrichtseinheiten eine "Austobphase" bewährt, in der die Lernenden etwa fünf Minuten lang einfach alle Knöpfe und Regler eines Programms ausprobieren dürfen, bevor sie dann (nach einem "Reset") zielgerecht die einzelnen Arbeitsanweisungen befolgen. Prägnante Texte Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen eigenständigen Hefteintrag zu erleichtern. Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden keine Hyperlinks eingesetzt. Hilfestellung zur Messtabelle In der Unterrichtspraxis zeigen sich oft Probleme der Schülerinnen und Schüler beim systematischen Anlegen der Messtabellen, insbesondere fehlende Sorgfalt bei der Notation von gerundeter Maßzahl und der Einheit physikalischer Größen. Als Hilfestellung sind deshalb die Tabellenstrukturen auf dem Arbeitsblatt vorgegeben. Die Computersimulation erlaubt auch bei Mangel an Versuchsmaterialien in Klassen mit mehr als 30 Lernenden selbstständiges Experimentieren. Auch lauern selbst bei simpel anmutenden Experimenten, wie dem zur schiefen Ebene, systematische Messfehler, die das Erkennen der gewünschten physikalischen Gesetzmäßigkeiten erschweren. Ein solches "Lernen aus Fehlern" ist didaktisch populär und durchaus sinnvoll, jedoch bei gegebenem Stoffdruck leider zeitlich oft nicht möglich. Das virtuelle Experiment umgeht diese systematischen Messfehler und erlaubt eine zeitsparende Konzentration auf die Auswertung des Experiments und die Sicherung der Ergebnisse für den Unterrichtsfortgang. Die Schülerinnen und Schüler können das Experiment jederzeit (zum Beispiel zur Prüfungsvorbereitung) zu Hause wiederholen. Das Beispielprotokoll einer Messung kann direkt aus dem Browser ausgedruckt und als Kontrolle verwendet werden. Die Goldene Regel der Mechanik Mit der Zuordnung Steigungswinkel - Hangabtriebskraft lernen die Schülerinnen und Schüler einen nichtproportionalen Zusammenhang von Größen kennen. Um spätere Unstimmigkeiten (zum Beispiel beim Begriff der Spannenergie oder des Wirkungsgrades) zu vermeiden, sind die präzisen Voraussetzungen der "Goldenen Regel der Mechanik" zu beachten: die Kraft ist konstant und wirkt längs des Weges, Reibungskräfte bleiben unberücksichtigt. Die Schülerinnen und Schüler sollten deshalb neben der saloppen Form "Was man an Kraft spart, muss man an Weg zulegen." auch den exakten Wortlaut der "Goldene Regel der Mechanik" formulieren können. Anschauliche Beispiele Für die "Goldene Regel" bei der schiefen Ebene bieten sich im Anschluss an die Erarbeitung viele veranschaulichende Beispiele zur Einübung des Gelernten an: Rampe für Rollstuhlfahrer, Zahnradbahn (zur Problematisierung der Reibung), Serpentinen, oder die Schraube als aufgewickelte schiefe Ebene. Zugang zum abstrakten Energiebegriff Aus der Konstanz des Produkts aus Kraft und Weg erwächst für Schülerinnen und Schüler erfahrungsgemäß leicht verständlich die Definition mechanischer Arbeit, welche dann wiederum einen guten Zugang zum abstrakten Energiebegriff bietet. Dieses in der Unterrichtspraxis bewährte Vorgehen erlaubt auch frühzeitig gut operationalisierbare Prüfungsaufgaben, die aufgrund der vielen geforderten Leistungserhebungen bei wachsenden Klassenstärken und nur einer oder zwei Wochenstunden notwendig sind.

In dieser Doppelstunde zum Thema "Uhrzeit" und "Zeitmessung" steht ein körperbetonter und spielerisch-kreativer Umgang innerhalb des Mathematik- und Sachunterrichts im Mittelpunkt. Ansätze aus dem Tanz ermöglichen es den Lernenden, das Unterrichtsthema durch einen körperlichen Zugang zu erfahren. Die Schülerinnen und Schüler erschließen sich die Logik und Funktionsweise der Uhr durch einfache Bewegungsspiele, um so "tanzend die Uhr zu lernen". "Flitzer-Spiel": tanzend die Uhr lernen Die Funktionsweise der Uhrzeit wird in einem "Flitzer-Spiel" durch die Schülerinnen und Schüler nachgestellt. Es gibt feste Spielregeln, die alle Kinder verstehen und anwenden können. Jede Schülerin und jeder Schüler hat eine bestimmte Rolle (Zeiger, Zahl, Gong) und entwickelt dazu eine tänzerische Bewegung, die die Charakterisierung der Uhrzeit unterstützt. Die Rollen werden so verteilt, dass alle Kinder mit eingebunden werden können – teilweise auch entsprechend ihrer Neigungen und Talente (sportlich / musikalisch / kognitiv / kreativ). Dieses Spiel wird zunächst als "Basisversion" erlernt und in der folgenden Unterrichtsstunde durch komplexere Regeln entsprechend der Funktionsweise der Uhr ergänzt. Vorbereitung Die Unterrichtsreihe kann von einer Lehrkraft mit Spaß an Bewegung sowie Lust am freien Tanzen allein durchgeführt werden. Erfahrung im kreativen Umgang mit Bewegung und Musik sind von Vorteil. Es empfiehlt sich, einen Tänzer beziehungsweise eine Tänzerin oder einen Tanzpädagogen beziehungsweise eine Tanzpädagogin unterstützend hinzuzuziehen. Die Unterrichtseinheit findet in einem Bewegungsraum statt. Am besten eignet sich eine Turnhalle (Feldlinien können gut als Uhr-Umrandung genutzt werden). Benötigtes Material Schwungtuch laminierte Zahlen 1 bis 12 auf der Vorderseite, 13 bis 24 auf der Rückseite. Alle Zahlen sind mit einer Schnur versehen, deren beide Enden an der Oberkante befestigt sind, sodass man sich die Nummer umhängen kann. Markierungen auf dem Boden für die Zahlen (Reifen, Punkte, Seile) Gong kurzes und langes Schwert (beispielsweise eine Holzlatte oder ein Besenstiel) Trommel und Schlägel für die zweite Unterrichtsstunde Musikanlage für die zweite Unterrichtsstunde Uhrzeiten und Zeiträume durch körperliche Bewegung und Spiel erfahren Die Uhrzeiten zu lesen wird in der Grundschule gelernt. Das Thema ist für die Kinder von großer praktischer Bedeutung und im Alltag eines jeden Kindes relevant. Für die Durchführung dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Uhrzeit und Zeitmessung" brauchen die Kinder keine besonderen Vorkenntnisse oder Fähigkeiten, abgesehen von einem normalen sozialen Spielverhalten. Didaktisch-methodische Analyse Durch die systematische Abfolge des Uhrzeit-Spiels und wiederkehrende choreografische Elemente werden die Struktur eines Ziffernblattes der Uhr und der Lauf der Zeiger deutlich gemacht. Die Kinder lernen kognitiv komplexe Inhalte durch körperliche Erfahrung und emotionsbasierende Spiele. Abfolgen werden durch Erfolgserlebnisse und die damit verbundene Freude gefestigt. Die Praxis zeigt, dass das Erlernen der Uhrzeit auf rein kognitiver Ebene anhand eines Arbeitsmaterials in zweidimensionaler Struktur bei Kindern keinen Erfolg bringen muss. Richtungsunsicherheiten und strukturelle Unsicherheiten können bei Kindern zum fehlerhaften Erlesen der Uhrzeit führen. Deswegen sind die tänzerische Bewegung und das Laufen von Zeiträumen in dieser Unterrichtseinheit tragend. Der Körper lernt und führt durch, sodass die Kinder kognitiv davon profitieren können. Strukturelle Verständnisschwierigkeiten beim Ablesen der Uhr können durch ein sinngebendes Spiel mit Wiederholungen, Spaß und Rhythmus auf ästhetischer Ebene gefestigt werden. Das Spielen in der Klassengemeinschaft, im Gruppenensemble, macht sehr schnell deutlich, ob die Abläufe funktionieren und somit verstanden werden. Das Üben über den Körper ist kindgerecht und spielerisch. Trotzdem werden die Inhalte durch die Spielstruktur angewandt, geübt und somit verstanden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand eines Bewegungsspiels die Uhr zu lesen. erkennen die strukturellen Spielaspekte und übertragen diese auf den Gegenstand der Zeitmessung. bilden körperlich die rhythmischen Wiederholungen ab und werden anhand dieser tänzerischen Elemente in ihrem Ausdrucksvermögen sowie in ihrem Körperbewusstsein gestärkt. entwickeln eine eigene Bewegungsabfolge und werden dadurch zum kreativen Schaffen angeregt. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen die Bedeutung ihrer Einzelaufgabe im Ablauf des Spiels in Bezug auf vor- und nachfolgende Kinder. fügen sich rhythmisch in das Gruppengeschehen ein. erkennen die Gesamtheit der Abfolgen im Uhrzeit-Spiel und unterstützen dieses mit Engagement.

Dateien im MP3-Format sind heutzutage sehr verbreitet. Dass hinter MP3 jede Menge interessante Mathematik steht, ist vielen nicht bewusst. Wer kennt nicht MP3-Dateien? Mit ihnen ist es möglich, große Mengen von Musik auf kleinstem Raum zu speichern und wieder abzuspielen: denn mit MP3 kann man den Speicherplatz, den man benötigt, um eine Audiodatei zu speichern, auf einen Bruchteil reduzieren. Auf modernen MP3-Playern von der Größe einer Streichholzschachtel ist es möglich, bis zu 200.000 Minuten Musik (das entspricht 130 Tagen) zu speichern. Diese Unterrichtseinheit soll einige der Prinzipien, auf denen MP3 basiert, näher beleuchten und allgemein verständlich darstellen. Dies umfasst biologische, physikalische und mathematische Aspekte. Ausgehend von verschiedenen Hörbeispielen zur Einführung werden die mathematischen Grundlagen betrachtet, die hinter der Zerlegung von Frequenzen liegen. Prinzip von MP3 und Grundlagen Wie lassen sich große Datenmengen von Video- und Audiodateien im MP3-Format platzsparend speichern? Was hört das menschliche Ohr - und was nicht? Die Grenzen des menschlichen Gehörs und welche Rolle dabei der verdeckende Schall und der verdeckte Schall spielen. Prinzip der Multiskalenanalyse Zerlegt man musikalische Töne in ihre Einzelfrequenzen, müssen ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachtet werden. Multiskalenanalyse mithilfe von Rechteckschwingungen Tonsignale lassen sich auch in Rechteckschwingungen zerlegen, deren Skala zunehmend gröber wird. Huffman-Codierung Um in MP3 die verbliebenen Informationen effizient abzuspeichern, nutzt man die Huffman-Codierung. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Prinzipien, auf denen MP3 basiert, kennen lernen. ein grundlegendes Verständnis für das Hören von Tönen und Klängen entwickeln. einige Grenzen des menschlichen Gehörs kennen lernen. das Prinzip der Zerlegung eines Klanges in Einzelfrequenzen am Beispiel einer Multiskalenanalyse nachvollziehen. Thema MP3 - ein Beispiel für angewandte Mathematik im Alltag Autoren Dr. Anton Schüller, Prof. Dr. Ulrich Trottenberg, Dr. Roman Wienands Fach Mathematik, Physik, Biologie oder Differenzierungsbereich Mathematik/Naturwissenschaft Zielgruppe ab Klasse 8 oder im Rahmen eines Projektkurses in der Oberstufe Zeitraum 3 bis 4 Stunden oder im Rahmen einer Projektwoche Technische Voraussetzungen Computer mit Soundkarte, Software zur Wiedergabe von Audio- und Videodateien im avi-Format, zum Beispiel Windows Media Player oder Real Player MP3 ist eine Abkürzung von MPEG Audio Layer 3, wobei MPEG für Moving Picture Experts Group steht, die 1988 gegründet wurde, um einen Standard für die effiziente Kodierungvon Videocodes zu entwickeln. MP3 basiert auf dem Prinzip, dass nur der Anteil von einem Musikstück gespeichert werden muss, den das menschliche Ohr auch hören kann. Dies mag auf den ersten Blick ein wenig überraschend klingen. Hören wir denn nicht alles, was in einem Musikstück enthalten ist? Tatsächlich ist das menschliche Ohr nicht in der Lage, alle Details, die in einem Musikstück enthalten sind, wahrzunehmen. Zur Einführung in das Thema eignet sich das Zeigen der Audio-Video-Datei audio_video_kompression.avi. Hier wird gleichzeitig an einem visuellen und auditiven Beispiel demonstriert, wie sich die Qualität von Bildern und Musik verändert, wenn man die zugehörigen Dateien immer weiter komprimiert. Bei der Datenkompression bleibt die Qualität für die menschliche Wahrnehmung zunächst erhalten und man spart große Mengen Speicherplatz. Irgendwann werden jedoch die Qualitätsverluste bemerkbar. Komprimiert man dann immer noch weiter, so verschlechtert sich die Qualität dramatisch. Wieso können wir überhaupt das hören, was jemand sagt, der einige Meter von uns entfernt ist? Der Grund hierfür ist das physikalische Phänomen des Schalls. Schall entsteht, weil die Moleküle eines Mediums (zum Beispiel Luft) zum Schwingen gebracht werden. Dadurch stoßen sie an benachbarte Moleküle, bringen auch diese ins Schwingen und so weiter. Abb. 1 (bitte anklicken) zeigt eine Animation der Molekülbewegungen. Solch eine (mechanische) Schwingung breitet sich in festen, flüssigen oder gasförmigen Stoffen wellenförmig aus. Schall breitet sich als sogenannte Longitudinalwellen aus, also immer parallel zur Ausbreitungsrichtung. Die Animation in Abb. 2 (bitte anklicken) verdeutlicht dies. Entsteht ein Ton dadurch, dass eine Gruppe von Molekülen ganz regelmäßig hin und her schwingt, beispielsweise 400 mal pro Sekunde, so sagen wir auch, der Ton hat eine Frequenz von 400 Hertz, das heisst die Schwingung erfolgt 400 mal pro Sekunde. Das menschliche Ohr kann nur Töne wahrnehmen, die zwischen etwa 16 und 20.000 Hertz liegen. Ist c die Schallgeschwindigkeit in einem Medium, f die Frequenz einer Schallwelle (das heißt einer sich wellenförmig ausbreitenden Schwingung) und λ (sprich lambda) die Wellenlänge, so gilt c = λ * f Sind zwei dieser drei Größen bekannt, so kann man die dritte hiermit berechnen. Je weiter die Moleküle in der Luft hin und her schwingen, desto lauter ist der Ton. Die Lautstärke beschreibt also den Unterschied zwischen Berg und Tal der Schwingung. Geräusche haben keine exakt bestimmbare Tonhöhe mehr. Sie sind nichtperiodische Schallereignisse, die durch Überlagerungen vieler Schwingungen unterschiedlicher Frequenz mit rasch wechselnder Amplitude entstehen. Mit anderen Worten: "Der Unterschied von Ton/Klang zu Geräusch ist in der Regelmäßigkeit der Schwingung zu finden. Bei einem Geräusch ist die Schwingbewegung der Luft sehr ungleichmäßig, bei Tönen dagegen handelt es sich um immer wiederkehrende gleichförmige Luftbewegungen". Alles, was wir hören, besteht aus Überlagerungen von Schwingungen, die sich in einem Medium wie der Luft wellenförmig ausbreiten. Diese wellenförmige Ausbreitung bedeutet physikalisch gesehen, dass das menschliche Ohr Druckschwankungen wahrnimmt, die aus einer Überlagerung von Schwingungen unterschiedlichster Frequenzen resultieren. Diese Druckschwankungen führen zu einem entsprechenden Schwingen des Trommelfells. Das menschliche Ohr ist wiederum imstande, dieses Schwingen des Trommelfells über Sinneshaare im Innenohr, die auf unterschiedliche Frequenzen spezialisiert sind, in einzelne Tonfrequenzen zu zerlegen und als Nervenreize an das Gehirn weiterzuleiten. Diese werden dann vom Gehirn als Töne, Klänge und Geräusche interpretiert. Grenzen des menschlichen Gehörs: Abb. 3 zeigt Hörschwelle, Schmerzgrenze, Musik- und Sprachwahrnehmbarkeit in Abhängigkeit von der Frequenz. Nach rechts ist die Frequenz und nach oben die Lautstärke (in der Maßeinheit "Dezibel") aufgetragen. Man beachte dabei, dass "Dezibel" eine logarithmische Maßeinheit ist. Wegen log 1 = 0 bedeutet 0 Dezibel gerade nicht, dass völlige Stille herrscht. In Abb. 4 werden die Grenzen des menschlichen Gehörs deutlich: Die Hörschwelle wird angehoben durch die Anwesenheit von Tönen mit einer Frequenz von 1 kHz und verschiedenen Lautstärken (in jeweils unterschiedlichen Farben dargestellt). mp3 macht sich zunutze, dass die akustischen Informationen, die das menschliche Ohr überhaupt nicht wahrnehmen kann, auch nicht abgespeichert werden müssen. Für MP3 müssen also die Tonsignale wieder in die einzelnen Frequenzen zerlegt werden, aus denen sie zusammengesetzt sind. Anschließend werden die Anteile, die für das menschliche Gehör ohnehin nicht wahrnehmbar sind, aus der Frequenzdarstellung entfernt, denn nur die hörbaren Anteile müssen überhaupt gespeichert werden. In den Videoclips wird demonstriert, wie MP3 funktioniert. An diesen Hörbeispielen wird deutlich, dass man im MP3-Format nur einen kleinen Teil der ursprünglichen Frequenzen zu speichern braucht. Den überwiegenden Rest der Informationen kann man weglassen, ohne dass das menschliche Ohr einen Unterschied zur Originalversion wahrnimmt. Die Töne im weißen Bereich des dritten Beispiels (musikbeispiel_orig_minus_mp3.avi) werden in der Originalversion durch andere dominantere Töne überdeckt und werden somit im Gesamtzusammenhang des Musikstücks nicht wahrgenommen. Erst wenn die dominanten Töne wegfallen, werden die restlichen Töne für das menschliche Ohr hörbar. Musikalische Töne bestehen aus einer Überlagerung einer Vielzahl von Schwingungen. Wie zuvor bereits erläutert, sind nur die Schwingungen mit Frequenzen zwischen etwa 20 und 20.000 Hertz für den Menschen hörbar. Der Faktor zwischen den niedrigsten und den höchsten hörbaren Frequenzen beträgt damit immerhin 1.000 = 10³, also 3 Zehnerpotenzen. Wenn wir also musikalische Töne wieder in die darin enthaltenen Einzelfrequenzen zerlegen wollen, müssen wir ganz unterschiedliche Frequenz-Skalen betrachten. Da die Frequenzen in einem bestimmten Medium wie der Luft in direktem Zusammenhang mit den zugehörigen Wellenlängen stehen (wie in der Gleichung zu Prinzip von MP3 und Grundlagen ), können wir ganz analog auch sagen, wir müssen ganz unterschiedliche Skalen von Wellenlängen betrachten. Eine derartige Multiskalenanalyse ist durchaus nicht ungewöhnlich, wenn man die Eigenschaften von Objekten beobachten oder analysieren will. Anhand von zwei Beispielen wird das Prinzip der Multiskalenanalyse verdeutlicht. Im ersten Beispiel wird eine Multiskalenanalyse durch fortgesetzte Mittelwertbildung für eine gegebene Zahlenfolge durchgeführt. Im zweiten Beispiel betrachten wir die Zerlegung eines Tonsignals in sogenannte Wavelets, was der Zerlegung in Rechteckschwingungen entspricht. Wir betrachten als Beispiel folgende Zahlenfolge von Quadratzahlen: 0 1 4 9 16 25 36 49. Fassen wir die Zahlen in Paare zusammen und bilden die Mittelwerte dieser Paare, so erhalten wir die Folge 0,5 6,5 20,5 42,5. Fassen wir diese Zahlen ebenfalls wieder zu Paaren zusammen und bilden die Mittelwerte der Paare, so erhalten wir die Folge 3,5 31,5. Für dieses Zahlenpaar haben wir den Mittelwert 17,5. Wir haben jetzt die ursprüngliche Zahlenfolge in mehrere Skalen von Mittelwerten überführt: Um von einer Mittelwertskala wieder zur vorhergehenden zu gelangen, benötigen wir die Abweichungen der Mittelwerte von den zugehörigen Werten auf der vorigen Skala: 17,5 - 14 = 3,5 beziehungsweise 17,5 + 14 = 31,5 Entsprechend auf der nächstgröberen Skala: 3,5 - 3 = 0,5 3,5 + 3 = 6,5 31,5 - 11 = 20,5 31,5 + 11 = 42,5 Ganz analog können wir auch von der feineren Skala von Mittelwerten zu unserer ursprünglichen Folge zurückkehren: Die gröbste Skala von Mittelwerten und diese Abweichungen können wir uns wie in folgendem Schema merken. Hier ist zusätzlich die ursprüngliche Zahlenfolge nochmals mit aufgeführt: Zu den ursprünglichen Zahlen zurück kommen wir jetzt, indem wir den Mittelwert auf der gröbsten Skala und die entsprechenden gespeicherten Abweichungen auf allen feineren Skalen einfach addieren. Ein Beispiel: Annäherung an die Funktion durch Balken Um Tonsignale in Rechteckschwingungen unterschiedlicher Frequenzen zu zerlegen, können wir ganz analog vorgehen. Abb. 9 zeigt links eine Funktion, die wir in Rechteckschwingungen zerlegen wollen. Da wir den Funktionsverlauf in der Praxis oft nicht genau kennen, sondern nur an bestimmten Werten messen, nähern wir die Funktion durch die einzelnen Messwerte an. Diese Messwerte werden durch die gefärbten Balken wiedergegeben. Multiskalenanalyse in beide Richtungen möglich Auf der rechten Seite der Abbildung 9 ist der umkreiste Ausschnitt der Funktion vergrößert dargestellt. Wir erläutern das Prinzip unserer Multiskalenanalyse im Folgenden anhand dieses Ausschnitts. Vergröberung der Skalen Die linke Skizze in Abb. 10 zeigt, dass wir wie im vorangegangenen Abschnitt bei der Prinzip der Multiskalenanalyse wieder Mittelwerte der gemessenen Funktionswerte bilden, um auf die nächstgröbere Skala zu kommen. Dieses Vorgehen können wir fortsetzen, um auf gröbere Skalen zu kommen. Die mittlere Grafik von Abb. 10 zeigt den Mittelwert auf der entsprechenden nächstgröberen Skala. Verfeinerung der Skalen Aber auch die andere Richtung ist denkbar: Zurück zur feinen Skala der Funktion können wir wieder kommen, indem wir wieder die Abweichungen zum Mittelwert hinzu addieren. So erhalten wir wieder die ursprünglichen Messwerte der Funktion zurück. Betrachten wir jetzt die rechte Seite in dieser Abbildung genauer, so stellen wir fest, dass wir tatsächlich unseren Funktionsausschnitt in eine Folge von Rechteckschwingungen zerlegt haben. Abweichungen entsprechen der Rechteckschwingung Dabei sind wir ganz genauso vorgegangen wie bei der Multiskalenanalyse unserer Zahlenfolge im vorangegangenen Abschnitt ( Prinzip der Multiskalenanalyse ). Die Zahlenfolge dort können wir auch auffassen als Messwerte für die Funktion f(x) = x 2 . Daher haben wir auch dort bereits eine Zerlegung dieser Funktion in Rechteckschwingungen durchgeführt. Dies wird deutlich, wenn wir die Abweichungen auf den einzelnen Skalen nochmals genauer betrachten. Wir stellen dabei fest, dass je zwei dieser Abweichungen den gleichen Betrag haben, sich aber im Vorzeichen unterscheiden; so können z.B. die Werte ?3 und +3 auf der zweitfeinsten Skala von Abweichungen als eine Rechteckschwingung (der Höhe 3) aufgefasst werden. Prinzip der Codierung Wie bereits zu Beginn dieser Unterrichtseinheit erwähnt wurde, kann das menschliche Ohr insbesondere in polyphoner Musik (wenn viele Töne gleichzeitig erklingen und sich überlagern) viele Informationen nicht wahrnehmen. Daher werden die unhörbaren Anteile in MP3 nur ungenau gespeichert. Zusätzlich wird eine weitere Reduktion des zu speichernden Datenvolumens dadurch erreicht, dass man eine sogenannte Huffman-Codierung verwendet. Die Idee der Huffman-Codierung lässt sich am Beispiel der Codierung eines Textes einfach beschreiben: In einem Text kommen Buchstaben unterschiedlich häufig vor, in der deutschen Sprache beispielsweise das "e" viel häufiger als das "y". Deshalb verwendet man einen sehr kurzen Code für häufig vorkommende Buchstaben, längeren Code hingegen für Buchstaben, die nur selten vorkommen. Gleichzeitig ist aus einer Huffman-Codierung die ursprüngliche Information schnell, eindeutig und exakt reproduzierbar. Beispiele für Codierungen Ein Beispiel für eine derartige Codierung ist das Morsealphabet. Ein negatives Beispiel ist hingegen das Tippen einer SMS. Hier muss für häufig verwendete Buchstaben wie zum Beispiel "e" oder "n" zweimal gedrückt werden. Übertragen auf die Musik bedeutet dies: Meist besteht das ungenau zu speichernde Frequenzspektrum aus wenigen großen und vielen (also häufiger vorkommenden) kleinen Werten (Quantisierungswerte). Die Huffman-Codierung sorgt dann dafür, dass die digitalisierte Darstellung dieses Tons nur sehr wenig Speicherplatz einnimmt. Im Zusammenhang mit mp3 reduziert die Huffman-Codierung den Speicherplatz spürbar. Helmut Neunzert Einführungsvortrag auf dem Kongress Mathematik in der Praxis, Berlin, März 2009.

In dieser Unterrichtseinheit zum "Rucksackproblem" befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit diesem als Beispiel von NP-vollständigen Problemen sowie anderen, daran angelehnten (teils offenen) Aufgaben. NP-vollständige Probleme sind nicht gerade einfach zu verstehen. Das dazu zählende Rucksackproblem können Lernende zwar nicht in allen Facetten nachvollziehen, die grundlegende Fragestellung können sie aber sehr wohl verstehen. In vielen "einfachen" Fragestellungen geht es um Aspekte, die NP-vollständige Probleme berühren. Die Lösung solcher Aufgaben erfordert jedoch oft ein hohes Maß an mathematischen Kompetenzen, die im modernen Mathematikunterricht verstärkt gefordert werden sollen. Die Aufgaben: Von Frachträumen, Stromautobahnen und Einfahrten Bei den hier vorgestellten Aufgaben zum Rucksackproblem fehlen gelegentlich "Angaben". Die Lernenden sollen durch mathematische Argumentation und Modellierung diese Lücken mit Werten füllen, damit sie mathematische Lösungen für die Rucksackprobleme finden und mit entsprechenden mathematischen Ausdrücken formulieren und vorstellen können. Oft sind die Lösungen der an das Rucksackproblem angelehnten Fragestellungen nicht eindeutig, weil sie unterschiedliche Argumentationen zulassen. Dabei geht es zum Beispiel darum, den Frachtraum eines Transportflugzeugs effektiv zu nutzen, neue "Stromautobahnen" ökonomisch zu planen oder eine Einfahrt mit möglichst geringen Kosten zu bepflastern. Die Lösungsideen Es liegt in der Natur der Sache, dass zu diesen teils offenen Aufgaben (die diskussionsanregend wirken) keine kompletten Lösungen vorgegeben werden können (und sollen). Stattdessen werden hier "Lösungsideen" vorgestellt, die die richtigen Impulse geben. Die Aufgaben können - mit den hier ebenfalls vorgestellten Erweiterungen für höhere Klassenstufen - von Klasse 5 bis in die Oberstufe hinein verwendet werden. Einsatz im Unterricht Jede Teilaufgabe in Anlehnung an das Rucksackproblem wird mit den Lernenden vor der Bearbeitung ausführlich besprochen. So soll mathematische Argumentation und Kommunikation schon im Vorfeld der Lösungen erfolgen. Danach stellen die Lernenden ihre Lösungen im Plenum vor. Sie können die Rucksackprobleme auch außerhalb des Unterrichts bearbeiten. Die Materialien sind so konzipiert, dass sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen auch zum Selbststudium verwendet werden können. Eine Vorstellung der Ergebnisse im Unterricht ist jedoch wünschenswert. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. verwenden mathematische Darstellungen. gehen mit mathematischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. kommunizieren mathematisch. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien), vor allem beim Vorstellen der Lösungen. zeigen im Rahmen der Teamarbeit Hilfsbereitschaft. zeigen durch einige offene Fragestellungen Engagement und Motivation. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

Schülerinnen und Schüler werten mithilfe von Daten des Hubble-Weltraumteleskops die Perioden und scheinbaren Helligkeiten von Cepheiden-Veränderlichen in der Galaxie M100 aus und ermitteln so deren Entfernung. Die Helligkeit der Delta-Cephei-Sterne variiert periodisch. Eine bestimmte Periodenlänge entspricht dabei einer ganz bestimmten mittleren Strahlungsleistung. Diese wiederum ergibt zusammen mit der scheinbaren Helligkeit die Entfernung. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die Entfernungsskala mithilfe von solchen Cepheiden geeicht wurde, deren Entfernung auf ganz unabhängige Weise ermittelt werden kann. In diesem Zusammenhang spielt die in der Unterrichtseinheit Die Entfernung der Supernova SN 1987A bestimmte Entfernung zur Supernova in der Großen Magellanschen Wolke eine Schlüsselrolle: In dieser findet man nämlich sehr viele veränderliche Sterne vom Typ Delta Cephei, deren Entfernungsskala mithilfe der Supernova mit bisher nicht gekannter Präzision geeicht werden kann. Neben den Arbeitsmaterialien und Aufgabenstellungen für die Schülerinnen und Schüler steht im Downloadbereich auch eine Handreichung für Lehrkräfte mit weiteren ausführlichen Informationen zur Verfügung. Obwohl in den Details durchaus kompliziert, sind die Prinzipien der Entfernungsbestimmungen einfach genug, um von Schülerinnen und Schülern der Oberstufe verstanden und angewandt werden zu können. Aus der Mathematik werden in dieser Unterrichtseinheit lediglich Kenntnisse über den dekadischen Logarithmus vorausgesetzt. Die kosmische Entfernungsskala Methoden der Entfernungsbestimmung: Schülerinnen und Schüler erklimmen zwei Stufen der kosmischen Entfernungsleiter. Informationen und Materialien zur Entfernungsberechnung von M100 Wie entsteht der Lichtwechsel der Cepheiden-Veränderlichen? Welche Eigenschaften machen sie zu Entfernungsindikatoren? Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Ursachen des Lichtwechsels von Delta-Cephei-Sternen. werten Lichtkurven von Cepheiden aus und bestimmen mithilfe dieser "Standard-Kerzen" die Entfernung von M100. werden dazu angeregt, den Namensgeber der Cepheiden im Sternbild Kepheus oder andere Cepheiden selbst zu beobachten. Freedman, W.L., Madore, B.F., Mould, J.R. und andere (1994): Distance to the Virgo cluster galaxy M100 from Hubble Space Telescope observations of Cepheids, Nature 371 (1994), Seite 757-762. Gaposhkin, S. I. (1970): The Large Magellanic Cloud: Its Topography of 1830 Variable Stars, Smithsonian Institution Astrophysical Observatory Special Report Nr. 310, Cambridge (MA) 1970. Für die nähere Umgebung: Radarechos und trigonometrische Parallaxe Vergleichsweise kleine Entfernungen, wie die innerhalb unseres Sonnensystems, lassen sich aus der Laufzeit von Radarechos ermitteln. Für die Sterne der näheren Sonnenumgebung ist die Methode der trigonometrischen Parallaxe anwendbar. Sie beruht auf der Messung der Verschiebung dieser Sterne gegenüber sehr viel weiter entfernten Sternen, wenn man sie von verschiedenen Positionen der Erdbahn aus beobachtet. Dieser Effekt ist vergleichbar mit der Erfahrung, dass man ein und dasselbe Objekt einer Landschaft aus einem fahrenden Zug heraus auf dauernd wechselnde Punkte am Horizont projiziert. Erscheint, von einem Stern aus gesehen, die große Halbachse der Erdbahn unter einem Winkel von einer Bogensekunde, so hat er eine Entfernung von einem Parsec (1 Parsec = 3,26 Lichtjahre). Bei viel weiter entfernten Objekten kommen andere Methoden zur Entfernungsbestimmung in Betracht: Vergleich der wahren (etwa in Parsec gemessenen) Größe der Objekte mit dem Winkeldurchmesser, unter dem sie dem Betrachter erscheinen. Vergleich der absoluten Helligkeit (oder Leuchtkraft) der Objekte mit der scheinbaren Helligkeit, die sie für den Beobachter haben. Beide Methoden sind dadurch gekennzeichnet, dass sie aus einer relativ leicht zu bewältigenden und einer schwierigen Aufgabenstellung bestehen. Scheinbare Helligkeiten und Winkeldurchmesser sind der Messung direkt zugänglich. Aussagen über die Leuchtkraft oder die wahre Größe von Himmelsobjekten sind viel schwieriger zu treffen und erfordern in der Regel ein tiefes Verständnis der physikalischen Natur dieser Objekte. In zwei Projekten lernen die Schülerinnen und Schüler ein Beispiel für je eine der Methoden zur Bestimmung großer Entfernungen kennen. Nachdem zuvor in der Unterrichtseinheit Die Entfernung der Supernova SN 1987A (siehe auch Fosbury, 1994) das erste Verfahren praktiziert wurde, kommt in dem hier vorgestellten Projekt die zweite Methode zum Einsatz: der Vergleich von scheinbarer und absoluter Helligkeit bei Delta-Cephei-Sternen zur Entfernungsbestimmung der Spiralgalaxie M100 im Virgo-Galaxienhaufen. Dabei hat die Durchsichtigkeit des Messprinzips gegenüber der erreichten Genauigkeit aus didaktischen Gründen den Vorrang. "Standard-Kerzen" im All Veränderliche Sterne vom Typ Delta Cephei sind sehr zuverlässige Entfernungsindikatoren, da man durch die Beobachtung ihres regelmäßigen Lichtwechsels zuerst auf ihre Leuchtkraft und dann aus dieser und der scheinbaren Helligkeit auf ihre Entfernung schließen kann. Zu jeder Lichtwechselperiode gehört nämlich eine ganz bestimmte mittlere Leuchtkraft, denn je größer ein Stern ist (je mehr Masse er hat), desto leuchtkräftiger ist er und desto länger braucht er für eine Pulsation. Der Lichtwechsel der Cepheiden mit Perioden bis zu einhundert Tagen ist durch einen raschen Anstieg zum Helligkeitsmaximum und einen vergleichsweise langsamen Abfall zum Minimum gekennzeichnet (Abb. 1). Freie Elektronen verursachen einen Strahlungsstau Cepheiden sind massereiche und leuchtekräftige Sterne, die bereits ein fortgeschrittenes Stadium ihrer Entwicklung erreicht haben, obwohl sie - absolut gesehen - noch jung sind. Ihre Atmosphären, in denen Helium ein wesentlicher Bestandteil ist, befinden sich nicht im hydrostatischen Gleichgewicht. Infolge hoher Temperaturen liegt das Helium normalerweise bereits in einfach ionisierter Form vor. Wenn die Strahlung aus dem Sterninnern den Heliumatomen auch ihr zweites Elektron entreißt, sind viele freie Elektronen vorhanden, die sich mit ihrer großen Beweglichkeit der Strahlung in den Weg stellen und einen Strahlungsstau verursachen. Expansion verschafft Abkühlung Der Strahlungsstau kann sich entladen, indem der Stern expandiert und dabei abkühlt. Bei der Abkühlung können die Heliumkerne viele Elektronen wieder einfangen, so dass die Strahlung wieder besser entweichen kann. Die Gravitation beginnt zu dominieren und veranlasst den Stern zu schrumpfen. Dann beginnt der Zyklus von neuem. Die Unterrichtseinheit basiert auf Daten des Hubble-Weltraumteleskops, das Cepheiden-Veränderliche im Sternenmeer von M100 aufstöberte und deren Zyklen dokumentierte. Abb. 2 zeigt drei zu verschiedenen Zeitpunkten aufgenommene Bilder eines Cepheiden, dessen Daten in dieser Übung verwendet werden. Der Stern befindet sich in einem Sternentstehungsgebiet in einem der Spiralarme der Galaxie im Zentrum der - auf dem großen Bild nur scheinbar leeren - Region des kleinen Kastens. Während des Projektes zur Entfernungsbestimmung bietet es sich an - soweit dies der Stand des Sternbildes Kepheus ermöglicht - den Namenspatron der Cepheiden-Veränderlichen, Delta Cephei, selbst ins Visier zu nehmen. Der 892 Lichtjahre entfernte Stern ist ein gelber Überriese und schwankt mit einer Periode von etwa 5,4 Tagen in seiner scheinbaren Helligkeit zwischen den Größenklassen +3,6 und +4,6. Schülerinnen und Schüler können mit der Argelander-Stufenschätzmethode selbst eine Lichtkurve des Sterns erstellen. Die Methode wird in der folgenden Unterrichtseinheit von Dr. Olaf Fischer aus Freiburg ausführlich vorgestellt:

Im literaturgeschichtlichen Unterricht im Fach Deutsch kommt der Epoche der Aufklärung eine große Bedeutung zu. Um diese Epoche verstehen zu können, muss etwas weiter in die gesamteuropäische, geistesgeschichtliche Entwicklung geblickt werden. So kommen in dieser Unterrichtseinheit zunächst der Brite John Locke und der Franzose Descartes zu Wort, die großen Einfluss auf die Aufklärung hatten. Danach werden Vertreter der Aufklärung in Deutschland vorgestellt und ihre Wirkung auf die deutsche Literatur betrachtet. In dieser Unterrichtseinheit nähern sich die Schülerinnen und Schüler mittels Online-Recherchen und Online-Textarbeit den Gedanken und den (Vor-)Denkern der Aufklärung an. Die auszuhändigenden Arbeitsmaterialien enthalten Linkverweise, auf Basis derer die Lernenden Informationen suchen und finden. Ergänzende Tipps motivieren Sie und die Schülerinnen und Schüler zur Weiterarbeit mit erweitertem Medieneinsatz. Stundenskizzen zur Unterrichtseinheit "Die literarische Epoche der Aufklärung" Diese Stundenskizzen eignen sich für den Einsatz nacheinander ebenso wie für die punktuelle Nutzung. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen einige Wurzeln der europäischen Aufklärung kennen. gewinnen Einsicht in den europäischen Zusammenhang der geistesgeschichtlichen Entwicklung im 18. Jahrhundert. erkennen Lessings dramentheoretische Leistung gegenüber verschiedenen Vorläufern. entdecken Immanuel Kant als einen herausragenden Vertreter des "Volkes der Dichter und Denker". Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten mithilfe des Computers und Internets Aufgaben und Arbeitsblätter zur Literaturgeschichte des 18. Jahrhunderts. nutzen das Internet als Recherchemedium. Die Vorstellung weiterer Vertreter der Aufklärung kann in Form von Kurzreferaten erfolgen. Dabei wären Leben und Werk folgender Dichter und Denker lohnenswerte Untersuchungsgegenstände: Barthold Hinrich Brockes Christian Fürchtegott Gellert Georg Christoph Lichtenberg Christoph Martin Wieland Thomas Hobbes' Gedanken zur Entstehung des Staates und zur Rechtfertigung des absoluten Herrschers bilden die Grundlage für die absolutistischen Herrschaftssysteme im Europa des 18. Jahrhunderts. Im Zeitalter der Aufklärung rechtfertigen seine Theorien die totale Unterwerfung unter den Monarchen jedenfalls so lange, wie dieser die ihm zugedachten Aufgaben erfüllt. Hobbes war Hauslehrer, Mathematiker und Philosoph. Er war ein Vertreter des Materialismus und des Determinismus. Sein Hauptwerk war "Leviathan oder Stoff, Form und Gewalt eines bürgerlichen und kirchlichen Staats". Seine negative Einstellung gegenüber dem ursprünglichen Menschen begründet sich in den politischen Unruhen seiner Zeit. Die Ideen vom "Krieg aller gegen alle" und vom relativ starken Staat "Leviathan" könnten hier ihren Ausgang genommen haben. Zeitbedarf: etwa 45 Minuten Bildimpuls Als Motivation dienen Abbildungen des Philosophen und seiner "Erfindung", des Leviathan, wie er vom Titelbild seines berühmtesten Werkes über die Welt herrscht (Arbeitsblatt 01). Eine Analyse der Machtinsignien des Leviathans zeigt, dass dieser sowohl weltliche als auch kirchliche Macht in sich vereint. Textarbeit Mit der Frage, wie es zur Erfindung einer solchen Gestalt kommen konnte, werden zwei Auszüge aus Hobbes' Werk Der Leviathan (Arbeitsblatt 01) gelesen. Über das Leben im Staat Leviathan können die Schülerinnen und Schüler in einem Forum diskutieren, in Rollenspielen Pro und Contra des Lebens dort gegenüberstellen oder aus diesem Staat heraus einen Dialog mit der gegenwärtigen Gesellschaft führen. Internetrecherche Wenn noch Zeit bleibt, ergänzen die Schülerinnen und Schüler mithilfe einer kurzen Recherche im Internet die fehlenden Daten im Lebenslauf Hobbes'. Am 5. April_________________ wurde Thomas Hobbes in_________________ geboren. Er unternahm mehrere Europa-Reisen. 1640-1651 lebte er in _________________. 1651 wurde "_________________" veröffentlicht. Er starb am 4.12.1679 in_________________. Rezeption der Gedanken Hobbes' Bei entsprechendem unterrichtlichen Zusammenhang kann darauf hingewiesen werden, dass die Darstellung eines Herrschers in der Literatur (Saladin in Nathan der Weise, Hettore Gonzaga, Prinz von Guastalla in Emilia Galotti, Cato in Sterbender Cato) von den Gedanken Hobbes' beeinflusst ist. Der Mathematiker Rene Descartes ist vielen Schülerinnen und Schülern bereits aus dem Mathematikunterricht her bekannt. Nach ihm ist das "kartesische Koordinatensystem" benannt, mit dem in der Geometrie Punkte auf einer Fläche eindeutig definiert werden können. Der Gelehrte Descartes hat sich aber auch als Philosoph einen Namen gemacht, der nach unzweifelhaften Grundlagen des Denkens gesucht hat. Damit kann er als einer der Begründer des Rationalismus gelten, der die Aufklärung nachhaltig beeinflusst hat. Zeitbedarf: etwa 45 Minuten Bekanntes aktivieren: Koordinatensysteme Als Motivation dienen die Abbildungen zweier Koordinatensysteme, von denen die Schülerinnen und Schüler eines als kartesisches Koordinatensystem erkennen können. Angewandtes Koordinatensystem Um die Funktionalität dieses Systems zu verdeutlichen, kann der jeweilige Schulort auf Grund seiner Koordinaten auf einer Deutschlandkarte gesucht werden. Denkanstoß: "Cogito ergo sum" Der Satz Satz "Cogito ergo sum" wird an die Tafel geschrieben. In Klassen ohne Lateinkenntnisse muss er übersetzt werden. Gemeinsam diskutiert die Klasse über die Bedeutung des genannten Satzes (Was gilt für Menschen, die nicht denken: Ungeborene, Schlafende, Geisteskranke, Tote? Was passiert mit der Welt, wenn es keine denkenden Menschen mehr geben sollte?). Decartes' Denken nachvollziehen Mithilfe des Arbeitsblattes 02 werden einige biografische Daten und Grundlagen des Denkens Descartes' erarbeitet. Dazu kommt eine vorbereitete Grafik zum Einsatz, die von den Schülerinnen und Schülern stichpunktartig mit der Argumentationskette Descartes' ausgefüllt werden soll. Am Ende der Stunde kann die ausgefüllte Grafik präsentiert und im Gespräch weiter vertieft werden. Basierend auf der Argumentationskette Descartes kann eine Diskussion in einem Internet-Forum geführt werden. "Gottsched gab der Dichtung seiner Zeit, was ihr fehlte: Ordnung, Gesetz und Maß. Es waren freilich pedantische Regeln und starre Gesetze. Das Schöpferische der Kunst hatte in ihnen keinen Platz, und der Irrtum Gottscheds, daß Kunst nach Regeln ginge, hat ihm schon bald Ablehnung und Spott eingebracht. Aber auch dort, wo er das Wesen der Dichtung verkannte und seine irrtümlichen Auffassungen zäh verteidigte, diente er der Sache, indem er die kritischen Geister seiner Epoche provozierte ..." Quelle: Helmut Motekat, Ostpreußische Literaturgeschichte. München 1977. Zeitbedarf: etwa 45 Minuten Einstieg Als Motivation dient eine - nicht ganz ernst gemeinte - Grafik (Arbeitsblatt 03), in der deutlich wird, dass es in der Literatur keine einfachen Rezepte gibt. Biografie Gottscheds Mithilfe der Biografie Gottscheds im Projekt Gutenberg wird ein Lückentext zu Gottsched ausgefüllt. Darin ist auch seine wichtigste Veröffentlichung zur Poetik der Aufklärung zu finden. Diskussion Die Regeln seines "Versuchs einer critischen Dichtkunst vor die Deutschen" werden anschließend auf einem Arbeitsblatt in Form eines "Rezepts" geordnet und dadurch diskutiert. Literatur Benno von Wiese (Hg.) (1979): Deutsche Dramaturgie vom Barock bis zur Klassik. Tübingen: Max Niemeyer Verlag. Gotthold Ephraim Lessing gilt bis heute als der bedeutendste Aufklärer in der Literaturgeschichte und tritt als solcher vehement gegen Gottsched an. Er gilt zudem als der Erneuerer des deutschen Schauspiels. Er hinterließ eine Reihe bekannter und immer wieder gespielter Dramen, ermöglichte das so genannte bürgerliche Trauerspiel und formulierte grundlegende theoretische Reflexionen zur Dramatik und zur Literaturkritik, so in den Briefwechseln über das Trauerspiel (1756) und später in der Hamburgischen Dramaturgie (1767). Zeitbedarf: etwa 45 Minuten Einstieg Als Motivation dient eine Abbildung Lessings. Da es in vielen Orten "Lessingstraßen" gibt, kann auch eine diesbezügliche Frage das Interesse wecken: "Wer wohnt in der Lessingstraße?" "Was wissen Sie über den Namensgeber Ihrer Straße?" Textarbeit Im so genannten 17. Literaturbrief vom 16. Februar 1759 rechnete Lessing mit Gottsched ab. Der Text wird als Datei (Arbeitsblatt 04) zur Verfügung gestellt und abschnittweise mit zusammenfassenden Randglossen versehen. Auf diese Weise wird Lessings Argumentationsweise erschlossen. Diskussion Lessings Text eignet sich auch als Beispiel für verschiedene rhetorische Stilmittel. Ferner kann diskutiert werden, was aus dem Brief über die Zustände des Barocktheaters erschlossen werden kann und aus welchen Ursachen der Geschmack ("die Denkungsart") der Engländer, besonders Shakespeares, für das deutsche Theater besser ist als das "französierende". Bezug zu Nathan der Weise Falls die vorliegende Unterrichtseinheit in Verbindung mit der Klassenlektüre eines von Lessings Dramen, vorzugsweise dem "Nathan", steht, kann dort die Wirkung der Dramentheorie Lessings am konkreten Textbeispiel gezeigt werden. Die digitale Textfassung des " Nathan " können die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit am Computer bearbeiten. Dabei können Textstellen markiert, Passagen ausgetauscht oder ergänzt werden. Ziel dieser Arbeit kann sein, Lessings Einfluss zu markieren, zu reduzieren oder zu intensivieren. Im 18. Jahrhundert galt immer noch Aristoteles als der große Vordenker der Dramentheorie. Lessings Leistung auf dem Gebiet der Dramatik muss sich also an den bis dato gültigen theoretischen Grundsätzen messen lassen. Zeitbedarf: etwa 45 Minuten Als Motivation dient eine Abbildung des antiken Dramatikers Aristoteles. Als Wiederholung werden die Merkmale der Tragödie (drei Einheiten von Handlung, Ort und Zeit, Ständeklausel) nach Aristoteles im Lehrer-Schüler-Gespräch aufgefrischt. Die Wirkung der Tragödie nach Aristoteles wird anhand eines kurzen Textes (Arbeitsblatt 05) analysiert. Im Internet finden die Schülerinnen und Schüler über eine Google-Bildersuche sicherlich viele Fotos von Theateraufführungen, die die Merkmale der Tragödie deutlich machen. Geben Sie gern ein paar Tipps für die Recherche, beispielsweise Namen von Regisseuren, die traditionell inszenieren, oder Titel von Dramen, die sich als Beispiele eignen. Immanuel Kants Definition der Aufklärung ist gemeinhin bekannt und wird als Grundlage der Aufklärung verstanden. Tatsächlich hat Kant jedoch erst relativ spät, gleichsam als Gipfel der Aufklärung, seine klare Begriffsbestimmung formuliert. Auch wenn Kant auf die Literatur der Aufklärung kaum direkten Einfluss genommen hat, so stellt seine diesbezügliche Gedankenwelt ein wesentliches Bildungsgut dar. Die Kenntnis Kants wirkt sich auch positiv auf das Verständnis der Werke Schillers in Sturm und Drang und Klassik aus. Zeitbedarf: etwa 45 Minuten Quizshow Als Motivation werden im Stil einer TV-Quizshow einige Fragen zu Immanuel Kant gestellt (Arbeitsblatt 06). Noch spannender wird das Quiz, wenn Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern aus den gesammelten Fragen eine HotPotatoes -Übung erstellen. Textarbeit und passende Grafik Daran schließt sich die "Beantwortung der Frage: Was ist Aufklärung?", indem Kants Erklärung dazu im Internet gelesen und das entsprechende Arbeitsblatt ausgefüllt wird. Projekt Gutenberg: Beantwortung der Frage: Was ist Aufklärung? In dieser Sequenz sollen nur die ersten drei Absätze des Textes gelesen werden. Die äußerst klare Gedankenführung der Argumentation Kants wird noch verdeutlicht, indem die Schülerinnen und Schüler eine Grafik zu diesem Text in Stichpunkten ausfüllen. Der Lösungsvorschlag enthält Zitate aus Kants Text - es genügen bei der Arbeit aus Papier jedoch auch stichpunktartige eigene Formulierungen der Lernenden. Diskussion In diesem Zusammenhang sollen auch mögliche Konsequenzen für die Literatur diskutiert und in Stichpunkten fest gehalten werden. Lückentext mit Online-Arbeit Wenn am Schluss noch Zeit bleibt, wird ein Lückentext über Kants Biographie mithilfe eines Online-Lexikons ergänzt. Wikipedia: Biografie Kants Eine mögliche Recherchequelle für die letzte Aufgabe

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Fourier-Analyse (nach J.B.J. Fourier, 1768-1830) auf experimentelle Art und Weise kennen. Mit der Methode können komplexe Schwingungen, wie sie in der Musik und in der Physik vorkommen, in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden.Nach der Einführung in das Thema der trigonometrischen Funktionen und insbesondere der Sinusfunktion arbeiten die Schülerinnen und Schüler weitgehend selbstständig am Computer. Mit dynamischen Arbeitsblättern, die mithilfe der kostenlosen Software GeoGebra erstellt wurden, finden sie heraus, wie sich die Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel auf eine Sinusschwingung auswirken. Anschließend werden diese Erfahrungen dazu genutzt, Sinusschwingungen gezielt zu beeinflussen, um eine experimentelle Art der Fourier-Analyse durchzuführen. Die dynamischen Arbeitsblätter enthalten auch Erklärungen und Informationen aus der Physik und der Musik, wodurch sie sich für den fächerübergreifenden Unterricht eignen. Da in der Musik Hörerfahrungen nicht fehlen dürfen, stellen neun Hörbeispiele eine direkte Verbindung zur Musik her. Die Hörbeispiele stehen in unmittelbarem Bezug zu den Aufgabenstellungen und vermitteln einen direkten Zusammenhang zwischen den dynamischen Konstruktionen und den musikalischen Entsprechungen. So üben die Schülerinnen und Schüler nicht nur den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, sondern lernen auch deren Bedeutung für die Physik und die Musik kennen. Tipps zum Unterrichtsverlauf Anregungen für den fächerübergreifenden Unterricht und zum selbstständigen, erforschenden Lernen sowie Hinweise zur Bedeutung des "klassischen" Heftes Hintergrundinfos für Lehrkräfte und Experimentiervorschläge Allgemeine Informationen zur Herleitung einer Sinusschwingung und zu Schwebungen sowie Vorschläge zu musikalischen Experimenten mit dem Klavier und der Blocklöte Die Schülerinnen und Schüler festigen den Umgang mit der Sinusfunktion, ihrer Gleichung und ihren Parametern. beeinflussen mithilfe der Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel eine Sinusfunktion gezielt. erkennen die Sinusschwingung als ein Bindeglied der Fächer Mathematik, Physik und Musik. lernen durch die Hörbeispiele eine direkte Verbindung zwischen den Unterrichtsfächern Musikerziehung und Mathematik kennen. kennen die mathematischen Entsprechungen der Begriffe "Tonhöhe" und "Lautstärke". kennen den Aufbau eines Tons durch Überlagerung seiner Partialtöne. lernen das Phänomen der Schwebung kennen. sind mit dem Prinzip der Fourier-Analyse vertraut und kennen Anwendungsgebiete. Mit der Fourier-Analyse können komplexe Schwingungen in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden. Jede dieser Teilschwingungen besitzt dabei die Form einer Sinusschwingung und lässt sich als Graph einer Sinusfunktion der Form mit den Parametern Amplitude a , Frequenz f und Nullphasenwinkel phi sub~0~~ darstellen. Um eine komplexe periodische Schwingung in ihre Einzelkomponenten zu zerlegen, wendet man das Verfahren der Harmonischen Analyse an. Nach ihrem Entdecker, dem französische Physiker und Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) wird diese Methode auch Fourier-Analyse genannt. Fourier zeigte, dass sich jede beliebige periodische Schwingung eindeutig als Summe von endlich oder unendlich vielen Sinusschwingungen darstellen lässt, deren Frequenzen in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen. Die mathematische Durchführung einer Fourier-Analyse ist relativ anspruchsvoll. Man benötigt dafür Kenntnisse über den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, Summen und Integralen, sowie mit komplexen Zahlen. Daher eignet sie sich nicht direkt für den Unterricht. Um den Schülerinnen und Schülern aber das Prinzip einer Fourier-Analyse näher zu bringen, genügt es, diese auf experimentelle Weise durchzuführen. Dies wird durch die hier verwendeten dynamischen Arbeitsmaterialien ermöglicht. Musik Anwendungen der Fourier-Analyse findet man sowohl in der Musik, als auch in der Physik und dem alltäglichen Umgang mit Radio, CD-Player und Fernseher. In der Musik nutzt man diese Methode zum Beispiel zur Analyse von Klängen. Dabei nimmt man die Klänge mit einem Mikrophon auf und setzt den Schwingungsverlauf mithilfe eines Analog-Digital-Wandlers in mathematisch erfassbare Zahlenwerte um. Derartige digitalisierte Schwingungsverläufe können dann zum Beispiel auf eine CD gebrannt werden, wobei sie beim Abspielen als Überlagerung von Sinusschwingungen verschiedener Frequenzen reproduziert werden. Physik In der Physik wird die Fourier-Analyse unter anderem eingesetzt, um zeitabhängige Vorgänge in harmonische Schwingungen zu zerlegen. Zum Beispiel nützt man dies um die Eigenfrequenzen eines Messgerätes zu berechnen. Denn um eine Verzerrung des Messvorgangs durch die Resonanzen der Eigenfrequenzen zu umgehen, darf das Messgerät keine Eigenfrequenzen innerhalb des Messbereichs aufweisen. Auch bei Radio und Fernsehen kommt die Fourier-Analyse zum Einsatz. Hier müssen die Signale erst digitalisiert und in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden, bevor sie mit einer Trägerwelle gesendet werden können. Treten bei der anschließenden Überlagerung der Einzelfrequenzen Störungen auf, so sind sie zum Beispiel im Fernsehen als Bildstörungen wahrnehmbar. Dies tritt unter anderem auf, wenn Moderatoren Kleidungsstücke mit sehr feinen Streifen tragen und kann als flimmernde Bildstörung wahrgenommen werden. Der Verlaufsplan Schwingungen stellt eine Anregung dar und kann natürlich an die jeweiligen Unterrichtsbedingungen angepasst werden. Im Idealfall stehen Ihnen die für jeden Block vorgeschlagenen Unterrichtsstunden hintereinander zur Verfügung. Dies lässt sich eventuell durch das Tauschen von Unterrichtsstunden mit den Kolleginnen und Kollegen erreichen. Ist dies nicht der Fall, können die Blöcke auch in aufeinander folgenden Mathematikstunden behandelt werden. Die Arbeitsblätter können auch im Rahmen von Hausübungen zu Ende bearbeitet werden, damit alle Schülerinnen und Schüler beim nächsten Unterrichtsblock auf dem gleichen Wissensstand sind. Falls nicht alle über einen heimischen Internetanschluss verfügen, lassen sich die Hausübungen auch in Partner- oder Kleingruppenarbeit erledigen. Beim Abspielen der Hörbeispiele ist die Verwendung von Kopfhörern zu empfehlen, da sich die Lernenden sonst gegenseitig stören würden. Dynamische Arbeitsblätter "Schwingungen in Musik und Mathematik" Um mit den interaktiven Applets arbeiten zu können, benötigen Sie Java (Version 1.4.2 oder höher). Die Unterrichtsmaterialien eignen sich für den fächerübergreifenden Unterricht zwischen den Fächern Mathematik, Musikerziehung und Physik. Sie können in Zusammenarbeit mit den entsprechenden Fachlehrkräften zu einem Projekt ausgebaut oder ergänzt werden. So könnte Ihnen zum Beispiel die Musiklehrerin oder der Musiklehrer bei der Durchführung der beiden angeführten musikalischen Experimente in Block 2 (siehe Verlaufsplan Schwingungen und Hintergrundinfos für Lehrkräfte und Experimentiervorschläge ) behilflich sein, während die Physiklehrkraft Experimente zur Veranschaulichung von mechanischen Schwingungen durchführen könnte (Fadenpendel, Stimmgabeln, gekoppelte Pendel, ... ). Selbstständiges und erforschendes Lernen Durch die Kombination der dynamischen Arbeitsblätter mit den Hörbeispielen erleben die Schülerinnen und Schüler eine direkte Verbindung zwischen den Fächern Mathematik und Musik. So werden Informationen aus ganz verschiedenen Fachbereichen gesammelt und miteinander verknüpft. In dieser Unterrichtseinheit geschieht dies vor allem durch selbstständiges und erforschendes Lernen. Durch das Experimentieren mit den Materialien können im individuellen Lerntempo Erfahrungen gesammelt werden, welche in den Plenumsphasen mit den Mitschülern diskutiert und bestätigt werden können. Ergebnissicherung: Das Heft ist unentbehrlich! Zur Ergebnissicherung dient das Heft. Das schriftliche Festhalten der Beobachtungen und Erkenntnisse ermöglicht eine bessere Strukturierung der Ergebnisse und ein späteres Nachvollziehen des Unterrichtsgeschehens. Außerdem kann man als Lehrkraft so die Arbeitsfortschritte einzelner Schülerinnen und Schüler einsehen und gegebenenfalls unterstützend eingreifen. So wird gewährleistet, dass möglichst alle die Lernziele erreichen und vom Unterricht profitieren. Die grafische Darstellung einer harmonischen Schwingung lässt sich von der gleichförmigen Kreisbewegung ableiten, indem man diese auf eine normal zur Rotationsachse liegende Ebene projiziert, in der ein rechtwinkliges Koordinatensystem liegt. Bewegt sich ein Punkt P auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius r , so lässt sich jedem Phasenwinkel phi im Intervall von 0 bis 2 pi der Wert der zugehörigen Auslenkung y zuordnen. Diese Werte werden entlang der Ordinaten-Achse eines Koordinatensystems aufgetragen, wodurch eine Sinuskurve entsteht. Für dieses Experiment benötigen Sie ein Klavier (Flügel oder Pianino). Es soll den Schülerinnen und Schülern verdeutlichen, dass jeder "natürliche" Ton durch die Überlagerung von Teiltönen (Partialtönen) entsteht. Drücken Sie (oder eine Schülerin oder ein Schüler) stumm die Taste des Tones C (in der großen Oktave). Betätigen Sie kurz und kräftig die Taste C 1 (in der Kontra-Oktave) und halten Sie die erste Taste währenddessen gedrückt. Lassen Sie die Klasse aufmerksam zuhören, was nach dem Auslassen der zweiten Taste passiert: Die Saite der Taste C wurde durch die tiefere Saite der Taste C 1 in Schwingung versetzt - der Ton C ist leise wahrnehmbar. Wiederholen Sie diesen Vorgang auch mit dem Stumm-drücken der Tasten c, g (beide in der kleine Oktave), c 1 , e 1 und g 1 (alle in der ersten Oktave). Dabei sind die entsprechenden Töne immer leiser und ihre Wahrnehmung wird somit schwieriger. Möglicherweise sind die letzten beiden Töne auch gar nicht mehr wahrnehmbar. Erklären Sie Ihren Schülerinnen und Schülern, dass jeder Ton des Klaviers durch Überlagerung seiner Partialtöne entsteht. Dies bedeutet für den Ton C 1 , dass er sich aus folgenden Tönen zusammensetzt: C 1 , C, G, c, e, g, b, c 1 , d 1 , e 1 , ... , wobei hier nur die ersten zehn Partialtöne aufgezählt sind. Theoretisch besteht ein natürlicher Ton aus unendlich vielen Partialtönen, wobei nur eine bestimmte Anzahl wahrnehmbar ist. Das Phänomen einer Schwebung tritt bei der Überlagerung zweier Sinusschwingungen gleicher Schwingungsrichtung mit ganzzahligen Frequenzen f sub~1~~ beziehungsweise f sub~2~~ und gleichem Nullphasenwinkel phi sub~0~~ auf. Der Einfachheit halber wählen wir dabei für den Nullphasenwinkel den Wert Null. Die Frequenzen dürfen dabei jedoch keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sein. Ändert sich die Amplitude einer Schwingung periodisch, so nennt man dieses Phänomen in der Akustik eine Schwebung und ihre Frequenz Schwebungsfrequenz f sub~S~~. Liegt die Schwebungsfrequenz im Bereich zwischen 1 Hz und 8 Hz, so werden die einzelnen Schwebungen deutlich als Lautstärkeschwankungen wahrgenommen, was Musiker zum exakten Stimmen ihrer Instrumente nutzen. Stimmen die Amplituden A sub~1~~ und A sub~2~~ der beiden Sinusschwingungen überein, so spricht man von einer "vollkommenen Schwebung". Das heißt, die beiden Schwingungen löschen einander immer wieder aus und die Amplitude A sub~r~~ der resultierenden Schwingung schwankt zwischen den Werten 0 und A sub~1~~ + A sub~2~~. Besitzen die Amplituden der beiden Einzelschwingungen verschiedene Werte, so spricht man von einer "unvollkommenen Schwebung". Die Amplitude A sub~r~~ der resultierenden Schwingung schwankt dabei zwischen den Werten / A sub~1~~ - A sub~2~~ / und A sub~1~~ + A sub~2~~. Ein Klavierstimmer nützt die vielen Obertöne eines Klavierklanges um die Intervalle "rein" zu stimmen. Da die erste Oberschwingung eine doppelt so hohe Frequenz wie ihre Grundschwingung hat, klingt der erste Oberton genau eine Oktave höher als der Grundton. Bei einem einzeln erklingenden Ton nimmt das menschliche Ohr die auftretenden Partialtöne nicht getrennt, sondern als Klanggemisch wahr. Spielt der Klavierstimmer diesen Ton jedoch gleichzeitig mit dem etwas verstimmten Ton im Intervallabstand einer Oktave, so bilden sich Schwebungen zwischen der ersten Oberschwingung des tieferen und der Grundschwingung des höheren Tons. Durch die Veränderung der Saitenspannung lässt sich die Frequenz des höheren nun exakt an die des tieferen Tons anpassen, die Schwebung verschwindet und die Oktave klingt "rein". Für dieses Experiment benötigen Sie zwei Sopranblockflöten: Lassen Sie zwei Ihrer Schülerinnen oder Schüler kräftig denselben Ton auf den beiden Blockflöten spielen, zum Beispiel den Ton d 1 , bei dem auf der Vorderseite der Flöten lediglich das zweite Griffloch von oben verschlossen werden muss. Im Normalfall klingen die beiden Töne nun nicht "rein", da sie durch leicht unterschiedliche Frequenzen erzeugt werden. Ihre Schülerinnen und Schüler sollen nun versuchen, durch Veränderung des Anblasedrucks die Töne anzugleichen. Dabei hält ein Lernender den Luftstrom konstant (mittlere Lautstärke) während der andere seinen Anblasedruck variiert. Sobald die beiden Frequenzen übereinstimmen, klingt der Ton "rein", was deutlich hörbar ist. Das Angleichen der beiden Töne erfordert einige Sensibilität von den Schülerinnen und Schülern. Möglicherweise gibt es aber jemanden, der das Instrument gut beherrscht. Dies würde das "Reinstimmen" der beiden Blockflöten erheblich erleichtern.

In dieser Unterrichtseinheit zu linearen Funktionen setzen sich die Lernenden mit dem mathematischen Funktionsbegriff auseinander und wenden ihn in einer anschaulichen Fragestellung aus der Fernerkundung an. Dabei erarbeiten sie Möglichkeiten zur Korrektur verzerrter Scannerbilder mithilfe einer linearen Funktion. Die Materialien sind auf Deutsch und auf Englisch verfügbar und somit auch im englisch-bilingualen Unterricht einsetzbar.Zentrales Element dieser Lerneinheit zu linearen Funktionen ist das Beispiel eines Flugzeugs, das für Scanneraufnahmen über eine Landschaft fliegt und durch eine Windböe vom geraden Kurs abkommt. Die dadurch auf dem Scannerbild entstandene Verzerrung können die Schülerinnen und Schüler durch eine Funktion korrigieren. Zusätzlich zum Verständnis der mathematischen Inhalte lernen die Schülerinnen und Schüler auch Aspekte der Fernerkundung kennen. Das Projekt "Fernerkundung in Schulen" (FIS) des Geographischen Institutes der Universität Bonn beschäftigt sich mit den Möglichkeiten zur Einbindung des vielfältigen Wirtschafts- und Forschungszweiges der Satellitenfernerkundung in den naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufen I und II. Dabei entstehen neben klassischen Materialien auch Anwendungen für den computergestützten Unterricht.Ziel der Unterrichtseinheit ist es, Aufgaben und die Mechanismen einfacher linearer Funktionen zu verstehen. Durch die praktische Anwendung sollen mögliche Verständnisbarrieren frühzeitig überwunden werden und den Lernenden ein klarer Bezug der mathematischen Inhalte zu realen Situationen aufgezeigt werden, in diesem Fall zur rechnerischen Entzerrung von Scannerbildern. Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Moduls das Verständnis für den Sinn und die Charakteristik von einfachen Funktionen festigen, bevor es lehrplangemäß zur Vertiefung dieser Thematik kommt. Es ist jedoch denkbar, Themen wie den Aufbau einer Funktionsgleichung oder die Herleitung einer Funktionsgleichung aus zwei Punkten eines Graphen an das Modul anzulehnen und sich im regulären Unterricht sukzessive die Werkzeuge zur Lösung des Moduls zu erarbeiten. Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Funktionsbegriff ist zentrale Aufgabe des Moduls. Zusätzlich lernen die Schülerinnen und Schüler Aspekte der Fernerkundung kennen. Einführung in das Computermodul Das interaktive Modul "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" gliedert sich in ein Startmenü, eine Einleitung und den in drei Bereiche unterteilten Aufgabenteil. Aufgabenteil im Computermodul Hier wird der Aufgabenteil mit den drei Bereichen Analyse, Funktion und Entzerrung des interaktiven Moduls "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" genauer beschrieben. Die Schülerinnen und Schüler können die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen. stellen einen klaren Bezug zwischen den mathematischen Inhalten und der realen Situation her. kennen die Struktur eines digitalen Bildes und können sie auf die Problemstellung übertragen. formulieren die Anforderung an eine Funktion, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. verstehen den Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes. Nach der Weiterleitung in diesen Bereich sind in der linken Navigationsleiste drei Felder zu erkennen, über welche die Bereiche 1, 2 und 3 frei anwählbar sind. Im Aufgabenteil sollen die Schülerinnen und Schüler den Kern des Problems der Driftverzerrung erfassen und können nun interaktiv arbeiten. Bereich 1: Analyse Hier stehen den Lernenden zwei Bilder zur Verfügung. Ein unverzerrtes Vergleichsbild und das verzerrte Bild, welches im Laufe der Vorgeschichte entstanden ist. Aufgabe ist es die Unterschiede in den Bildern genau zu definieren. Dabei hilft ihnen ein Tool, mit dessen Hilfe sie in beiden Bildern einen Bildausschnitt vergrößern können. Der Button "Aufgaben" öffnet ein Feld mit den drei innerhalb dieses Bereichs zu lösenden Aufgabenstellungen. Im linken Bereich ist ein Schema abgebildet, welches alle für die Lösung der Aufgaben relevanten Angaben enthält (Abbildung 3, bitte auf den Platzhalter klicken). Ziel ist es, eine Aussage über die Anzahl der Bildspalten treffen zu können, um die die erste und die letzte Bildzeile im verzerrten Bild versetzt sind. Dazu muss der Betrag in Meter, um den das Flugzeug am Ende der Aufnahme abgewichen ist, in Pixel umgerechnet werden. Der Betrag in Bildspalten y, um den die erste, also oberste Bildzeile x versetzt ist, wird als Punkt A in das Graphenmodul auf der rechten Seite eingegeben. Punkt B setzt sich aus dem Versatz der letzten, also untersten, Bildzeile x2 um die Anzahl der Bildspalten y2 zusammen. Bei den Berechnungen wird eine Genauigkeit von zwei Nachkommastellen als ausreichend betrachtet. Dieser Bereich dient der Überprüfung der aufgestellten Funktion. Sie kann unten links in die Felder eingetragen werden. Der Button "Bild entzerren" versetzt die Bildzeilen des verzerrten Bildes entsprechend der eingegebenen Funktion. Die richtige Funktionsgleichung führt auch zum richtigen Ergebnis. Zur Überprüfung ist links noch einmal das verzerrte Bild dargestellt. Der Button mit den entgegengesetzten Pfeilen bietet die Möglichkeit, das unverzerrte Kontrollbild einzublenden. In diesem Bereich kann zum besseren Verständnis der Vorgänge auch experimentiert werden. Grundsätzlich führt eine erhöhte Steigung des durch die Funktionsgleichung beschriebenen Graphen zu einer stärkeren Verzerrung. Der y-Achsenabschnitt beschreibt einen Versatz des Bildes in positive oder negative Richtung. Das Programm beachtet dabei nur diskrete Werte. Kommastellen werden gerundet. So findet die Verschiebung nur in ganzen Pixelwerten statt. Stunde 1 Stundenziel: Der fernerkundliche Hintergrund soll verstanden werden und die Überleitung zur mathematischen Fragestellung durchgeführt werden. Feinziele (FZ): FZ 1: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Entstehung von Scannerbildern nachvollziehen können. FZ 2: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Struktur eines digitalen Bildes kennen und auf die Problemstellung übertragen können. FZ 3: Die Schülerinnen und Schüler sollen die Anforderung an eine Funktion formulieren, welche für die Lösung der Problemstellung notwendig ist. Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Medien / Dateien Einführung Erläuterungen zur Fernerkundung; Abbildungen zur Entstehung von Scannerbildern; Verdeutlichung über den Startbildschirm des Computermoduls Unterrichtsgespräch Folien 1 und 2; Computer und Beamer; Startbildschirm des Computermoduls Problematisierung Einführung der Problemstellung Gruppenarbeit Computer, Punkt "Einführung" im Computermodul Erarbeitung Schülerinnen und Schüler verdeutlichen sich die Verzerrung anhand der Aufgabenstellungen im Bereich "Analyse". Gruppenarbeit Computer, Punkt "Analyse" im Computermodul Bündelung Zusammenfassen der Erkenntnisse Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Analyse" im Computermodul Stunde 2 Stundenziel: Eine lineare Funktion soll aufgestellt werden, mit deren Hilfe das verzerrte Bild entzerrt werden kann. Feinziele (FZ): FZ 1: Die Schülerinnen und Schüler sollen denn Sinn und die Arbeitsweise von Funktionen anhand des zu entzerrenden Bildes verstehen. Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Medien / Dateien Einführung Wiederholung der am Ende der letzten Stunde formulierten Anforderung an die Funktion Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Analyse" im Computermodul Problematisierung 1. Es ist noch nicht bekannt, um wie viele Pixel die Bildreihen maximal verschoben sind. 2. Die Funktion selber ist noch nicht bekannt. 3. Die Funktion muss auf das Bild angewendet werden. Gruppenarbeit Computer, Punkt "Funktion" im Computermodul Erarbeitung Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich anhand der Aufgabenstellungen im Bereich "Funktion" die Funktion und testen sie im Bereich "Entzerrung". Gruppenarbeit Computer, Punkte "Funktion" und "Entzerrung" im Computermodul Bündelung Zusammenfassen der Erkenntnisse, auch durch die Möglichkeit mithilfe beliebiger Funktionen das Bild zu verzerren Unterrichtsgespräch Computer und Beamer, Punkt "Entzerrung" im Computermodul Um den Kern der Problematik im Modul erfassen zu können, ist eine kurze Erklärung notwendig, denn die hier behandelte Verzerrung ist nur charakteristisch für Scannerbilder. Die Beispiele aus den Hintergrundinformationen und vor allem die interaktive Animation am Anfang des Moduls sollen hier behilflich sein. Folie 1 zeigt klar den Unterschied zwischen einem normalen Luftbild und einem Scannerbild auf. Um zu verdeutlichen, wo die Vorteile eines Scannerbildes liegen, kann Folie 2 gezeigt werden. Die Unterrichtseinheit "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" bedient sich der Möglichkeiten des Computers, um die Thematik durch Animation und Interaktion nachhaltig zu vermitteln. Darüber hinaus ist die durchgeführte Bildkorrektur nur mithilfe eines Rechners durchführbar. Ein Umstand, der den Schülerinnen und Schülern das Medium Computer nicht als reines Informations- und Unterhaltungsgerät, sondern auch als Werkzeug näher bringt. Das Modul ist ohne weiteren Installationsaufwand lauffähig. Es wird durch Ausführen der Datei "FIS_Pixel auf Abwegen.exe" gestartet. Dazu ist ein Adobe Flash Player notwendig. Der erste Bereich des Computermoduls "Lineare Funktionen: Pixel auf Abwegen" wird nach dem Start automatisch geladen. Die Animation verdeutlicht die Arbeitsweise eines flugzeuggestützten Scanners. Das Flugzeug scannt dabei eine Landoberfläche ab, gleichzeitig wird auf der rechten Seite der gescannte Bildbereich Reihe für Reihe, der aktuellen Flugzeugposition entsprechend, aufgebaut. Abbildung 1 verdeutlicht dies (Platzhalter bitte anklicken). Die mittig angeordneten Pfeile dienen der Beeinflussung des Flugverhaltens. Das gescannte Bild reagiert dabei auf die ausgelösten Manöver und die entstandene Verzerrung wird angezeigt. Wird eine Seitwärtsbewegung ausgelöst, erscheint ein Button. Ein Klick auf den Button "Driftverzerrung bearbeiten" leitet über zum nächsten Menüpunkt. Zur Anpassung der Animation an geringere Rechnerleistung kann die Qualität mithilfe des Buttons im oberen linken Fensterbereich angepasst werden. Der zweite Bereich bietet eine animierte Einführung, in der ein Flugzeug über eine Landschaft fliegt. Abbildung 2 gibt einen Eindruck dieser Animation (bitte auf den Platzhalter klicken). Eine semi-fiktionale Geschichte erzählt kurz, wie es zur Situation der Driftverzerrung gekommen ist, die es auf mathematischem Weg zu lösen gilt. Die "Weiter"-und "Zurück"-Buttons navigieren durch die beiden Abschnitte dieses Bereichs und leiten zum dritten Bereich, dem Aufgabenteil, weiter.

Die vorliegende Unterrichtseinheit richtet in einem multimedialen Ansatz den Blick auf alltägliche Dinge, die ihre Vorbilder in der Natur finden. Der Begriff Bionik kann so auch schon von Grundschulkindern nachvollzogen werden, wenn intensive Beobachtungen der Natur Zusammenhänge erschließen, die für technische Erfindungen genutzt werden können. Die meisten Kinder lieben es, sich mit Kletten zu bewerfen und freuen sich daran, wenn sie auf der Kleidung des anderen hängen bleiben. Und sie benutzen wie selbstverständlich Klettverschlüsse, ohne aber das eine mit dem anderen direkt in Verbindung zu bringen. Ausgehend von der Löwenzahn-Sendung "Bionik – Technik aus Natur" erfahren die Schülerinnen und Schüler, dass viele technische Errungenschaften schon funktionieren, seit es Leben auf der Erde gibt. Eine interaktive Lerneinheit führt die Kinder dabei durch die Welt der Bionik, in der Beispiele aus der Natur mit ihren technischen Umsetzungen in Verbindung gebracht werden. So entdecken die Kinder Vorbilder für das Schwimmen, Fliegen oder Fahren, und suchen als Forscherinnen und Forscher selbst nach technisch umsetzbaren Möglichkeiten natürlicher Vorbilder. Der Klettverschluss, Schwimmflossen, die Pinzette oder der Spielzeugbagger gehören zu den Dingen, die Kinder im Alltag selbstverständlich benutzen, ohne auch nur daran zu denken, dass sie, wie so viele technische Erfindungen, dank intensiver Beobachtung der Natur entstanden sind. Der Begriff Bionik wird den meisten unbekannt sein. Die vorliegende Unterrichtseinheit richtet in einem multimedialen Ansatz den Blick auf diese alltäglichen Dinge, die ihre Vorbilder in der Natur finden. Zur theoretischen und virtuellen Aufarbeitung des Themas ist das Internet ein ideales Medium. Es gibt eine Reihe kindgemäßer Seiten, die den Kindern Gelegenheit zum selbstständigen Erforschen geben. Hier wird aber insbesondere auf die Sendung "Bionik – Technik aus Natur" (ZDF tivi – Löwenzahn) zurückgegriffen, die als idealer Einstieg in das Thema dient. Für Kinder verständlich vermittelt sie wissenschaftliche Fakten und hat außerdem hohen Unterhaltungswert, so dass mit Spaß gelernt werden kann. Ausschnitte der Sendung können jederzeit als Video auf der Internetseite von ZDF tivi abgerufen werden. Vorbereitung und Inhalte der Lernumgebung Diese Seite bietet einige Hintergrundinformationen zum Thema Bionik und führt in die Nutzung der interaktiven Lernumgebung ein. Fachkompetenzen Sachunterricht Die Schülerinnen und Schüler lernen den Begriff Bionik kennen und können ihn erklären. erfahren, dass der Maler Leonardo da Vinci als erster Bioniker angesehen wird. erfahren, dass Otto Lilienthal als erster relativ erfolgreich den Vogelflug kopierte. lernen den Begriff Lotuseffekt kennen. erfahren, dass es mittlerweile Farben mit diesem Effekt gibt. entdecken besondere Eigenschaften verschiedener Tiere und setzen diese in Beziehung zu bestimmten Erfindungen. ordnen Tiere, Pflanzen und Erfindungen richtig zu. lernen Vorbilder der Natur beim Fliegen, Bauen, Schwimmen und Fahren kennen. stellen eigene Überlegungen zu besonderen Fähigkeiten von Tieren und möglichen Erfindungen an. Deutsch Die Schülerinnen und Schüler füllen eine Tabelle aus. entziffern Rätselschriften. unterscheiden richtige und falsche Aussagen. lösen ein Worträtsel (Suchsel). ordnen Wörter dem richtigen Oberbegriff zu. üben Fremdwörter mit der Endung -ik und erklären deren Bedeutungen. bilden Nomen aus Verben. schreiben eine Geschichte zur Libelle oder zum Eisbär und bauen einen vorgegebenen Satz richtig ein. üben Lernwörter für ein Diktat. Englisch Die Schülerinnen und Schüler lernen englische Wörter für einige der Vorbilder aus der Natur kennen und üben die Aussprache am Computer. Kunst Die Schülerinnen und Schüler bauen ein Papierflugzeug. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler schauen ein Video im Internet und entnehmen daraus Informationen. führen gezielte Recherchen im Internet durch und nutzen das World Wide Web als Informationsquelle. bearbeiten eine interaktive Lerneinheit am Computer und machen dabei Erfahrungen mit dem Prinzip der Verlinkung. führen interaktive Übungen durch (HotPotatoes-Zuordnung). führen ein interaktives Memo-Spiel durch. beantworten Quizfragen online. Sozialkompetenzen Die Schülerinnen und Schüler treffen Absprachen zur Benutzung der Computer-Arbeitsplätze. einigen sich partnerschaftlich über die Reihenfolge der Aufgaben. helfen sich gegenseitig. Fritz entdeckt unter seinem Bauwagen eine Pflanze, an deren Blätter kein Staubkorn hängen bleibt. So etwas müsste es auch für Wandfarbe oder für Kleidung geben. Fritz staunt nicht schlecht, als er herausfindet, dass eine ganze Wissenschaft solche Phänomene beobachtet – und kopiert! Unterirdisch buddeln wie ein Maulwurf, schwimmen wie ein Hai im Meer oder schweben wie der Löwenzahn-Samen? Geht nicht? Von wegen! Fritz entdeckt noch ganz andere fantastische Erfindungen, die der Mensch der Natur abgeguckt hat. Bionik, eine junge Wissenschaft? Der Begriff Bionik wurde 1960 auf einem Kongress in Dayton/Ohio von dem amerikanischen Luftwaffenmajor Jack E. Steel geprägt und setzt sich zusammen aus "Bio" für Biologie und -"nik" für Technik. Ziel dieser Wissenschaftsdisziplin ist es, für technische Verfahren Methoden zu verwenden, die in der Biologie ihren Ursprung haben. Auf allen Ebenen der Biologie lassen sich Erkenntnisse gewinnen, die in der Technik angewandt werden können. Dazu muss man die Natur nur sehr genau beobachten. Die noch relativ junge Wissenschaft hat ihren Ursprung in dem Bemühen Leonardo da Vincis, durch genaues Beobachten und Dokumentieren des Vogelfluges Hinweise zum Bau einer Flugmaschine zu gewinnen, der allerdings scheiterte. Weiter kam dagegen Otto Lilienthal, der durch das Studium des Storchenflügels dem Prinzip des Auftriebs auf die Spur kam und tatsächlich bis zu 250 Meter weit flog. Was uns Ratten beibringen können Bionik heute nutzt das riesige Potenzial der seit drei Milliarden Jahren andauernden Evolution der belebten Natur beim Haus-, Flugzeug- und Schiffsbau, bei der Konstruktion von Autos, in der Medizin oder zur Erleichterung des Alltags. So schärfen sich Rattenzähne von selber, weil die scharfe Kante der Vorderzähne härter ist als der Rest der Zähne. Nach diesem Vorbild wurden Messer für die Müllzerkleinerung gebaut. Die Libelle stand Pate beim Bau von Hubschraubern. Die Wasserjagdspinne besitzt ein Luftpolster durch viele kleine Härchen und wird deshalb nicht nass. Dieses Prinzip wurde bei der Herstellung von Tauchanzügen übernommen. Die Fähigkeit von Delfinen und Fledermäusen, Ultraschalllaute auszusenden und durch das Echo den Abstand zu Hindernissen zu bestimmen, wird unter anderem in der Schifffahrt und der Medizin genutzt. Immer schön sauber bleiben Ein weiteres spektakuläres Beispiel aus jüngster Forschung ist der so genannte Lotuseffekt verschiedener schmutzabweisender Pflanzen (Lotusblume, Kohl, Frauenmantel, Kapuzinerkresse). Ihre Blätter sind mit winzigen Noppen versehen, die wiederum mit noch kleineren Wachskristallen übersät sind. Wasser perlt an ihnen ab und nimmt Schmutzpartikel mit. Dieser Effekt wird mittlerweile unter anderem bei Fassadenfarbe oder Autolacken genutzt. Damit behandelte Wände und Autos reinigen sich bei jedem Regen von selber. Inhalte Die interaktive Lerneinheit besteht neben der Eingangsseite aus vier weiteren Hauptseiten (Bionik, Sprache, Patterns in Nature, Dies und das), zwei Unterseiten zur Ergebniskontrolle, sechs intern verlinkten interaktiven Übungen (HotPotatoes-Übungen, Memo-Spiel) und 25 externen Links. Die Arbeitsanweisungen auf den meisten Arbeitsblättern (außer bei Nummer 9 und 11) beziehen sich jeweils auf direkt aufrufbare Internetseiten, was natürlich einen Internetzugang voraussetzt. Diese Arbeitsblätter sind besonders gekennzeichnet (durch ein Computer-Icon), auch auf dem Deckblatt. Die internen Links dagegen können offline bearbeitet werden. Zeitlicher Ablauf Organisation des Unterrichts und Zeitraum der Arbeit hängen von der Anzahl der jeweils vorhandenen Computer-Arbeitsplätze ab und davon, ob sie in einem Netzwerk gemeinsamen Zugang zum Internet haben. Sinnvoll hat sich auf jeden Fall Partnerarbeit erwiesen, da sich so zum einen die Zahl der eventuell auf einen Computer wartenden Kinder halbiert und zum anderen die Partnerinnen und Partner sich gegenseitig unterstützen können. Als zusätzliches Angebot können im Bedarfsfall weitere Arbeitsblätter zur Verfügung gestellt werden, die die in der Lerneinheit angesprochenen Themen vertiefen: zum Beispiel Sachbücher zum Thema anschauen, weitere Aufgaben zu Nomen aus Verben, die zweite Geschichte schreiben lassen (zum Beispiel in Partnerarbeit: abwechselnd fügen die Partnerkinder jeweils einen neuen Satz an). Als Fachlehrerin oder Fachlehrer haben Sie aber auch die Möglichkeit, nur die Sachthemen zu behandeln und die Fächer Deutsch, Mathematik und Kunst auszuklammern, wenn der fächerübergreifende Ansatz aus stundenplantechnischen Gründen nicht oder nur sehr schwer durchführbar ist. Organisation des Ablaufs Wichtig ist außerdem die Organisation des Unterrichtsablaufs. Absprachen bezüglich der Computer-Nutzung müssen getroffen werden, da nicht alle Schülerinnen und Schüler gleichzeitig am Rechner sitzen können. Dabei sollten Vorschläge der Kinder aufgegriffen werden, weil sie erfahrungsgemäß die Einhaltung eigener Vorschläge auch selbst überprüfen. Außerdem ist festzulegen, ob die Arbeit als Partner- oder Gruppenarbeit erfolgen soll. Anschließend muss eine entsprechende Einteilung vorgenommen werden (freie Wahl, Zufallsprinzip durch Ziehen von Kärtchen oder von der Lehrkraft bestimmt). Es hat sich zudem bewährt, "Computer -Experten" zu wählen, die bei Schwierigkeiten mit dem Medium als erste Ansprechpartner fungieren sollen. So können die Kinder viele Fragen unter sich klären und selbstständig arbeiten. Die Kinder sollten an offene Unterrichtsformen gewöhnt sein. Kenntnisse im Umgang mit dem Internet sind nicht unbedingt nötig, da die Links direkt über die Lerneinheit angesteuert werden und keine Internetadressen eingegeben werden müssen. Erklären sollte man auf jeden Fall, dass die Rückkehr auf den heimischen Rechner über den Rückwärtspfeil des Browsers erfolgt. Jedes Kind heftet seine fertigen Arbeitsblätter und gelösten Aufgaben in einem Hefter ab, der nach Abschluss des Projekts eingesammelt und von der Lehrkraft überprüft werden kann.