Unterrichtsmaterialien zum Thema "Statistik"

  • Schulstufe
  • Klassenstufe
  • Schulform
  • Fach
  • Materialtyp
  • Quelle 4
    zurücksetzen
Sortierung nach Datum / Relevanz
Kacheln     Liste

Der digitale "Prüfungskandidaten-Auswahlautomat"

Unterrichtseinheit

Wen wird es erwischen? Der hier vorgestellte “digitale Prüfungskandidaten-Auswahlautomat” soll im Rahmen des Stochastikunterrichts in der Themeneinheit “Gesetz der großen Zahlen” eingesetzt werden. Die Lernenden diskutieren und analysieren die Sinnhaftigkeit eines solchen Instruments. Die Thematik eignet sich auch sehr gut für die Gestaltung einer Vertretungsstunde.In der Unterrichtsplanung ist das Stichwort "mündliche Leistungserhebung" deutlich vermerkt - aber welche Schülerin oder welchen Schüler wähle ich heute aus? Es gilt, über das gesamte Schuljahr gesehen, gerechte Entscheidungen zu treffen. Läge es da nicht nahe, ein kleines Computerprogramm zu entwickeln, welches per Zufall eine "gerechte" Entscheidung gewährleistet? Ob es dabei wirklich gerecht zugehen kann, sollen die Lernenden in der hier vorgestellten Unterrichtsstunde hinterfragen. Dabei diskutieren sie in der Regel sehr kontrovers über den Sinn oder Unsinn einer solchen Vorgehensweise. Für die Verifikation beziehungsweise Falsifikation ihrer formulierten Hypothesen wird eine Excel-Arbeitsmappe eingesetzt, mit deren Hilfe die Ergebnisse einer beliebigen Anzahl von Kandidaten-Wahlen simuliert werden können. Sollten die Schülerinnen und Schüler über Programmierkenntnisse verfügen, können sie in einer zweiten Stunde auch eigene Simulationsumgebungen entwerfen.Die mit dem hier verwendeten Auswahlprogramm erzielten Simulationsergebnisse (und natürlich auch der gesunde Menschenverstand) zeigen, dass man sich in der Regel bei der Bestimmung einer Kandidatin oder eines Kandidaten für eine mündliche Leistungserhebung auf sein pädagogisches Gespür verlassen und keine zufallsbestimmte Auswahl betreiben sollte Relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Stichprobenumfang Bei der Frage nach der Gerechtigkeit eines digitalen Auswahlautomaten muss das Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli berücksichtigt werden. Der für ein gerechtes Verfahren erforderliche Stichprobenumfang kann in einem Schulhalbjahr nicht erreicht werden. Arbeitsmaterialien Hier können Sie sich den Prüfungskandidaten-Auswahlautomaten und eine Excel-Arbeitsmappe zur Simulation einer beliebigen Anzahl von Kandidaten-Wahlen herunterladen. Außerdem finden Sie hier mögliche Aufgabenstellungen für Ihre Schülerinnen und Schüler. Internetadresse Der Computer soll's bestimmen Weitere Hinweise zur Gestaltung der Stunde, zu dem mathematischen Hintergrund sowie mit der Excel-Arbeitsmappe erzielte Simulationsergebnisse (Screenshots samt Kommentar) finden Sie auf dieser Seite des Autors. http://www.gym-pforta.bildung-lsa.de/tschoedel/mathematik/wen_wird_es_heute_erwischen/index.htm Die Schülerinnen und Schüler sollen an einem Beispiel die alltägliche Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen kennen lernen. die Begriffe relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit klar voneinander abgrenzen können. die Problematik von Zufallsversuchen mit sehr geringen Stichprobenumfängen erfahren. propädeutisch auf Testverfahren vorbereitet werden. wissen, dass Computer Folgen von Zufallszahlen produzieren können. erkennen, dass man mithilfe von Tabellenkalkulationsprogrammen auch Simulationen durchführen kann. Thema Der digitale Prüfungskandidaten-Auswahlautomat - ein sinnvolles Instrument? Autor Thomas Schödel Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 8 Zeitraum 1 Unterrichtstunde (bei Entwurf einer eigenen Simulationsumgebung wird eine weitere Stunde benötigt) Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin bzw. Schüler, Laptop, Beamer Planung Verlaufsplan Prüflings-Auswahlautomat zur Unterrichtseinheit Zufall mit dem Computer - geht das überhaupt? Dr. E. Malitte; Modellbildung, Computer und Mathematikunterricht Verlag Franzbecker 2000 Bei alltäglichen Problemstellungen ist man nur allzu leicht geneigt, die Begriffe "relative Häufigkeit" und "Wahrscheinlichkeit" synonym zu verwenden. Ein schwerwiegender Fehler, dessen Folgen auch an diesem Beispiel deutlich werden. Sollte eine Lehrerin oder ein Lehrer tatsächlich mithilfe eines Zufallsgenerators die Auswahl des Prüflings vornehmen, kann es durchaus vorkommen, dass am Ende eines Schuljahrs große "Ungerechtigkeiten" zutage treten. Der Verdacht, dass diese auf die mangelnde Qualität der in der Software implementierten Zufallsgeneratoren zurückzuführen sei, ist unbegründet. Über den Aufbau und die Güte dieser Zufallsgeneratoren kann man beispielsweise in dem Artikel "Zufall mit dem Computer - geht das überhaupt?" von Malitte nachlesen (siehe Zusatzinformationen). Vielmehr gilt es das Gesetz der großen Zahlen nach Bernoulli zu beachten, welches besagt: "Mit zunehmendem Stichprobenumfang strebt die relative Häufigkeit h n (A), mit der das Ereignis A eintritt, gegen die Eintrittswahrscheinlichkeit P(A)." Erst bei sehr großen Stichprobenumfängen kann somit berechtigt von der Wahrscheinlichkeit auf die Häufigkeit bestimmter Ereignisse geschlossen werden. Ein Stichprobenumfang von beispielsweise 90 Leistungserhebungen (pro Klasse und Schuljahr) ist somit viel zu klein, als dass per Zufall eine gerechte Auswahl an Prüfungskandidaten vorgenommen werden kann. Bezieht man in die Forderung nach Gerechtigkeit auch noch das Auftreten von Zweier- und Dreierserien mit ein (ein Lernender wird zwei- oder dreimal nacheinander per Zufall ausgewählt), so muss der Stichprobenumfang schon sehr groß gewählt werden. Die Auswertung der Experimente in der Simulationsumgebung (Excel-Arbeitsmappe) zeigen, dass selbst ein Stichprobenumfang von 100.000 Tests noch zu klein gewählt ist. Erst bei größeren Stichprobenumfängen (etwa 300.000 Leistungskontrollen) geht es mit großer Wahrscheinlichkeit "gerecht" zu. Damit das Programm auf eine Namensliste der Schülerinnen und Schüler einer Klasse zugreifen kann, ist mit einem Texteditor (zum Beispiel Notepad) eine Namensliste als Textdatei zu erstellen (txt-Dateiendung). Nach der Eingabe eines Namens (nur Vorname oder Vorname Nachname) ist ein Zeilenumbruch einzufügen (zum Beispiel durch Drücken der Enter-Taste). Zur Einbindung der txt-Datei in das Programm ist nach dem Programmstart der Button "Klassenliste laden" zu drücken. In dem sich öffnenden Explorerfenster kann die zuvor abgespeicherte Datei aufgesucht und ausgewählt werden. Nach dem Klick auf den Start-Button wird jetzt per Zufall einer der vorhandenen Einträge aus der txt-Datei ausgewählt. Um die Spannung zu erhöhen, ist vor der Einblendung des ermittelten Namens eine Warteschleife von drei Sekunden eingebaut. Mithilfe der Excel-Arbeitsmappe lässt sich die Wahl der einzelnen Klassenmitglieder bei einer bestimmten Anzahl von Leistungserhebungen simulieren. Die verwendete Arbeitsmappe enthält ein Makro. Damit dieses aktiviert werden kann, muss in Excel unter Extras/Optionen/Sicherheit der Button "Makrosicherheit" angeklickt werden. Die Sicherheitsstufe ist auf "Mittel" zu reduzieren. Tippen Sie dann in das Feld "B1" der Excel-Arbeitsmappe die Zahl der gewünschten Leistungserhebungen ein. Die Lernenden können folgende Fragen beantworten und ihre Ergebnisse mithilfe der Arbeitsmaterialien (Auswahlautomat und Excel-Arbeitsmappe) überprüfen und diskutieren: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dein Name ausgewählt werden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dein Name zweimal (dreimal) direkt nacheinander ausgewählt wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt eine Schülerin oder ein Schüler deiner Klasse zweimal (dreimal) direkt nacheinander ausgewählt wird?

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Serien von gleichen Würfelzahlen

Unterrichtseinheit

Schülerinnen und Schüler testen das Phänomen der Serien von gleichen Würfelzahlen mit einer Excel-Simulation und erarbeiten eine rekursive Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse.Wie wahrscheinlich ist es, beim 100maligen Würfeln mindestens viermal die gleiche Zahl hintereinander zu werfen? Vielen Menschen scheint das "kein Zufall mehr" zu sein und am Würfel oder am Zufallsgenerator stimmt vielleicht etwas nicht, wenn so ein Ereignis eintritt. Ist es bei einem Laplace-Würfel aber wirklich so selten? Dies können begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 8 mit den hier vorgestellten Aufgaben und Materialien untersuchen. Einsatz von Excel Die Schülerinnen und Schüler sollen zunächst selbst Zufallszahlen erzeugen. Sie simulieren Würfelserien und diskutieren ihre Beobachtungen (serien_beim_wuerfeln_aufgaben.rtf). Die Excel-Tabellenblätter "serien_beim_wuerfeln.xls" zur Simulation von Würfelserien und zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit können von der Lehrkraft vorgegeben oder von den Schülerinnen und Schülern selbst in ähnlicher Weise erstellt werden. Wenn den Lernenden das gebrauchsfertige Tabellenblatt zur Verfügung gestellt wird, sollte zuvor diskutiert werden, was dort sinnvollerweise zu berechnen ist. Gegebenenfalls erfolgt eine Einführung in die Arbeit mit der Exceltabelle durch die Lehrperson. Für die vorgegebenen Blätter gilt: Auf dem Tabellenblatt "Würfelsimulation" wird pro Spalte hundertmal gewürfelt. In der Spalte danach wird gezählt, ob viermal die gleiche Zahl hintereinander gefallen ist. In Zeile 121 werden die Anzahlen der 4er-Serien ermittelt und schließlich wird gezählt, wie groß die Häufigkeit von "mindestens eine Viererserie" ist. Auf dem anderen Tabellenblatt werden die Wahrscheinlichkeiten rekursiv für 4er- und 5er-Serien jeweils auf zwei Arten ermittelt. Rekursionsformel gesucht! Dem Wunsch nach einer einfachen Formel, mit der die gesuchten Wahrscheinlichkeit zu berechnen sind, kann nicht nachgekommen werden. Daher müssen die Schülerinnen und Schüler mit der Idee vertraut gemacht werden, nach einer rekursiven Formel zu suchen. Sie sollen dies zunächst selbstständig tun. Gegebenenfalls kann die Lehrperson Tipps geben, zum Beispiel darauf hinweisen, die Anzahl der Würfe zunächst klein zu halten. Man könnte auch die Anzahl der Wiederholungen kleiner machen ("zweimal die gleiche Zahl hintereinander" oder "dreimal"). Außerdem könnte statt Würfeln ein wiederholter Münzwurf betrachtet werden (bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse). Auf solche Vorgaben kann auch im Nachhinein die gefundene Rekursionsformel abgeändert werden. Realität und Simulation Als Test, ob ihre Formel wirklich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet, können die Schülerinnen und Schüler ihre Ergebnisse mit den Werten der Excel-Simulation vergleichen und bekommen so einen gewissen Anhaltspunkt für die Richtigkeit ihrer Formel. Bei der Simulation sehen sie aber auch, dass durchaus gewisse Schwankungen auftreten können (die Werte für die Häufigkeit, wie oft eine 4er- Serie auftritt, schwanken oft zwischen 25 und 40 von 100).Die Schülerinnen und Schüler sollen Zufallszahlen in einem Excel-Tabellenblatt erzeugen können. Simulationen von Zufallsexperimenten durchführen und auswerten können. eine rekursive Funktion zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten verstehen und eventuell sogar selbst erstellen können. rekursive Funktionen mithilfe einer Tabellenkalkulation auswerten. Hypothesen aufstellen und überprüfen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Schülerkolleg Pädagogik: Mediale Lebenswelt

Unterrichtseinheit

Die Arbeit an einer medienorientierten Fragestellung soll Jugendlichen die Auseinandersetzung mit ihren Erfahrungen in einer von Medien bestimmten Umwelt ermöglichen. Insbesondere sollen die Aufmerksamkeit für Unterschiede im medialen Handeln und damit einhergehende Beweggründe gefördert werden.Die Schülerinnen und Schüler sammeln zunächst Ideen für Fragestellungen zur Thematik "(digitale) Medien im Alltag". Anhand von festgelegten Kriterien formulieren sie eine konkrete Fragestellung und planen eine Befragung. Die gewonnenen Daten analysieren und interpretieren die Jugendlichen unter Berücksichtigung der ursprünglichen Fragestellung und dokumentieren ihre Ergebnisse und Schlussfolgerungen in Form von Präsentationen. Selbstbestimmtes Arbeiten In Kooperation mit Lehrkräften entwickelten Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter des learning labs der Universität Duisburg Essen im Rahmen des Schülerkollegs Pädagogik ein Unterrichtskonzept, das Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit bietet, sich mit ihren Erfahrungen im Umgang mit digitalen Medien auseinanderzusetzen. Die Grundlage bildet ein medienpädagogisches Projekt in Anlehnung an die empirische Sozialforschung. Zu den einzelnen Projektabschnitten wurden Materialien entwickelt, die Schülerinnen und Schülern ein weitgehend selbstbestimmtes und -organisiertes Arbeiten ermöglichen. Alltagsbezug Im Zuge der regelmäßigen Durchführung der Unterrichtsprojekte haben sich die Schülerinnen und Schüler als sehr motiviert und engagiert gezeigt. Dabei wiesen die bearbeiteten Fragestellungen häufig Parallelen zu den in der alltäglichen Medienberichterstattung erörterten Aspekten auf. Ablauf der Unterrichtseinheit Ablauf der Unterrichtseinheit "Schülerkolleg" Hier wird der Ablauf der Unterrichtseinheit "Schülerkolleg Pädagogik" in einzelnen Schritten erläutert. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler gewinnen einen Einblick in die empirische Sozialforschung. erlernen Gesichtspunkte für die Erstellung von Fragebögen. lernen Grundlagen der Datenanalyse und -interpretation kennen. erlernen Präsentationsformen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler reflektieren ihr Nutzungsverhalten von digitalen Medien. entdecken Stärken und Schwächen verschiedener Medien. entwickeln einen kritischen Umgang mit Medien und der Berichterstattung über Medien. lernen den Einsatz digitaler Medien zur Auswertung und Ergebnissicherung kennen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erlernen das Arbeiten im Team. erproben selbstbestimmtes und ?organisiertes Lernen. Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten Zur Einführung stellt die Lehrkraft das Projekt im Plenum vor. Erste Einblicke in wissenschaftliches Arbeiten sowie den exemplarischen Ablauf eines Forschungsprojekts vermittelt das Arbeitsblatt 1. Ideensammlung Im nächsten Schritt erarbeiten die Schülerinnen und Schüler in Gruppenarbeit mögliche Ideen und Fragestellungen. Dabei können sich die Jugendlichen von ihrem persönlichen Interesse leiten lassen. Welche Themen finden sie relevant? Was wird gerade in der Öffentlichkeit diskutiert? Als Hilfestellung kann Arbeitsblatt 2 ausgeteilt werden. Ethisches Forschen Im Plenum werden zunächst die Grundregeln für die Durchführung der Datenerhebung besprochen. In Arbeitsblatt 3 liegt der Fokus vor allem auf den ethischen Standards für die Forschungsarbeit, die es bei der Durchführung des Projekts zu beachten gilt. Fragestellung und Fragebogen erarbeiten Die Jugendlichen erarbeiten in kleinen Gruppen zunächst eine zentrale Fragestellung, der sie nachgehen wollen. Darauf aufbauend wird der Fragebogen erstellt. Wie eine Forschungsfrage entwickelt werden kann und wie diese sich in einen Fragebogen umsetzen lässt, erfahren die Schülerinnen und Schüler in den Arbeitsblättern 4 und 5. Befragung durchführen Wurde der Fragebogen konzipiert, bietet es sich an, diesen zunächst zu testen. Dabei fallen kleine Fehler oft noch rechtzeitig auf. Anschließend kann die Befragung durchgeführt werden. Es sollte vorab genau geplant werden, wie viele Teilnehmerinnen und Teilnehmer befragt werden sollen, um eine ausreichende Anzahl an Fragebögen zur Hand zu haben. Daten übertragen und interpretieren Wurden alle Fragebögen verteilt und ausgefüllt, werden die Fragebögen zunächst kodiert, um anschließend alle Daten strukturiert in einer Tabelle erfassen zu können. In Arbeitsblatt 6 finden die Schülerinnen und Schüler hilfreiche Kodierungstipps. Ergebnisse interpretieren Bei der Ergebnisinterpretation geht es darum, die bei der Auswertung gewonnenen Zahlen auf die ursprüngliche Frage zu beziehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen herausfinden, was die Zahlen jeweils für ihre Grundfragestellung bedeuten (AB 7). Ergebnispräsentation Nachdem die Ergebnisse ausgewertet und interpretiert wurden, haben die Jugendlichen die Aufgabe, diese ansprechend zu dokumentieren. Dazu bieten sich verschiedene Möglichkeiten an: der Abstract, das wissenschaftliche Poster oder der wissenschaftliche Vortrag (AB 8, 9 und 10). Die Gestaltung der Ergebnispräsentation erfolgt in Gruppenarbeit, anschließend können die Arbeitsergebnisse im Plenum vorgestellt werden.

  • Informatik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Simulation eines Galton-Bretts im Stochastikunterricht

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit für den Stochastikunterricht untersuchen die Schülerinnen und Schüler mit realen und virtuellen Galton-Brettern die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette und lernen die Binomialverteilung kennen.Zur Veranschaulichung des Ablaufs von Bernoulli-Ketten kann das nach dem britischen Naturforscher und Schriftsteller Sir Francis Galton (1822-1911) benannte Galton-Brett im Unterricht sehr gut verwendet werden. Grundlage dieser Veranschaulichung ist ein Gedankenexperiment, welches von einem Idealfall ausgeht, der mit realen Galton-Brettern jedoch nicht nachgebildet werden kann. "Idealere" Ergebnisse lassen sich aber durch den Einsatz von Simulationen erreichen, die zudem die Variation verschiedener Parameter ermöglichen. Hintergrundinformationen und Lernvorraussetzungen Mithilfe des Galton-Bretts wird die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette untersucht. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei die Binomialverteilung kennen. Als Einstieg in die Unterrichtseinheit bietet sich zunächst der Einsatz eines Lesetextes zum Galton-Brett an (Wer hat es konstruiert?, Wie funktioniert es?, Vergleich eines idealen mit einem realen Galton-Brett). Hier hat sich in meinem Unterricht das Lehrbuch "Mathematik Sekundarstufe II - Stochastik" bewährt (Verlag Volk und Wissen, ISBN: 3-06-001174-5, S. 145). Aber auch im Internet gibt es hilfreiche Informationsquellen (siehe Galton-Brett und Binomialverteilung). Bevor die Simulation des Galton-Bretts zum Einsatz kam, wurden im Unterricht folgende Inhalte erarbeitet: Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten Die Schülerinnen und Schüler lernten typische Beispiele sowie die Definition von Bernoulli-Experimenten und -Ketten kennen. Die Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette Der Satz über die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse in einer Bernoulli-Kette wurde behandelt und mit Anwendungsaufgaben vertieft. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg in einer Bernoulli-Kette war den Schülerinnen und Schülern vertraut. Realexperiment und Simulation Zunächst wird mit einem "Hardware-Galton-Brett" ein Zufallsexperiment durchgeführt und ausgewertet, zum Beispiel mit h (Anzahl der Hindernisreihen) = 6, n (Anzahl der fallenden Kugeln) = 100, p (Erfolgswahrscheinlichkeit) = 0,5. Danach wird die Simulationsumgebung per Beamer vorgestellt (n = 100; p = 0,5). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit das Arbeitsblatt und führen am Rechner Simulationen durch. Vorteile des virtuellen Galton-Bretts Der Einsatz der Softwareapplikation zum Galton-Brett sollte als Ergänzung und nicht als Ersatz zur Verwendung eines "Hardware-Galton-Bretts" dienen. Die Erfahrung, reale Kugeln entlang der symmetrisch aufgereihten Hindernisse fallen zu sehen (und zu hören), sollte den Schülerinnen und Schülern nicht vorenthalten werden. Dennoch bietet der Einsatz der Computersimulation einige Vorteile: Der Einsatz eines Galton-Bretts zur Veranschaulichung von Bernoulliketten basiert auf einem Gedankenexperiment, welches von idealen fallenden Kugeln und idealen Hindernissen ausgeht. "Hardware-Galton-Bretter" können diese Bedingungen nicht abbilden. Beim Einsatz einer entsprechenden Simulation ist deren Güte nur noch von der Qualität des implementierten Zufallszahlengenerators abhängig. In der Regel stehen für den Mathematikunterricht nur wenige Galton-Bretter zur Verfügung. Der Einsatz der Simulation bietet dagegen - eine ausreichende Anzahl von Computern vorrausgesetzt - allen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit experimentell tätig zu werden. Beim Einsatz eines "echten" Galton-Bretts ist die Anzahl der fallenden Kugeln durch die Baugröße und durch den für die Versuchsdurchführung benötigten Zeitraum begrenzt. Die Softwarelösung ermöglicht in kurzer Zeit die Simulation eines Versuches mit sehr großer Kugelanzahl. Galton-Bretter sind in der Regel nur für den Fall p = 0,5 zur Veranschaulichung von Bernoulli-Ketten geeignet. Beim Einsatz einer Simulationsumgebung kann der Wert für die Wahrscheinlichkeit p beliebig variiert werden. Der Einsatz eines virtuellen Galton-Bretts bietet die Möglichkeit, einen Zufallsversuch unter genau den gleichen Bedingungen zu reproduzieren (bei Verwendung der gleichen Zufallszahlen). Die Schülerinnen und Schüler lernen das Galton-Brett und das dahinter stehende Gedankenexperiment kennen. leiten anschaulich und zum Teil selbstständig die Bernoulli-Formel her. können die Bernoulli-Formel zur Lösung von Problemstellungen, die eine Modellierung durch eine Bernoulli-Kette zulassen, anwenden. erkennen, dass die Computersimulation eines Galton-Bretts idealere Ergebnisse liefert als ein herkömmliches Galton-Brett. wissen, dass auch eine Computersimulation nicht den Anforderungen gerecht werden kann, welche das Gedankenexperiment zum Galton-Brett stellt. Der Einsatz der Softwareapplikation zum Galton-Brett sollte als Ergänzung und nicht als Ersatz zur Verwendung eines "Hardware-Galton-Bretts" dienen. Die Erfahrung, reale Kugeln entlang der symmetrisch aufgereihten Hindernisse fallen zu sehen (und zu hören), sollte den Schülerinnen und Schülern nicht vorenthalten werden. Dennoch bietet der Einsatz der Computersimulation einige Vorteile: Der Einsatz eines Galton-Bretts zur Veranschaulichung von Bernoulliketten basiert auf einem Gedankenexperiment, welches von idealen fallenden Kugeln und idealen Hindernissen ausgeht. "Hardware-Galton-Bretter" können diese Bedingungen nicht abbilden. Beim Einsatz einer entsprechenden Simulation ist deren Güte nur noch von der Qualität des implementierten Zufallszahlengenerators abhängig. In der Regel stehen für den Mathematikunterricht nur wenige Galton-Bretter zur Verfügung. Der Einsatz der Simulation bietet dagegen - eine ausreichende Anzahl von Computern vorrausgesetzt - allen Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit experimentell tätig zu werden. Beim Einsatz eines "echten" Galton-Bretts ist die Anzahl der fallenden Kugeln durch die Baugröße und durch den für die Versuchsdurchführung benötigten Zeitraum begrenzt. Die Softwarelösung ermöglicht in kurzer Zeit die Simulation eines Versuches mit sehr großer Kugelanzahl. Galton-Bretter sind in der Regel nur für den Fall p = 0,5 zur Veranschaulichung von Bernoulli-Ketten geeignet. Beim Einsatz einer Simulationsumgebung kann der Wert für die Wahrscheinlichkeit p beliebig variiert werden. Der Einsatz eines virtuellen Galton-Bretts bietet die Möglichkeit, einen Zufallsversuch unter genau den gleichen Bedingungen zu reproduzieren (bei Verwendung der gleichen Zufallszahlen). Mithilfe des Galton-Bretts wird die Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette untersucht. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei die Binomialverteilung kennen. Als Einstieg in die Unterrichtseinheit bietet sich zunächst der Einsatz eines Lesetextes zum Galton-Brett an (Wer hat es konstruiert?, Wie funktioniert es?, Vergleich eines idealen mit einem realen Galton-Brett). Hier hat sich in meinem Unterricht das Lehrbuch "Mathematik Sekundarstufe II - Stochastik" bewährt (Verlag Volk und Wissen, ISBN: 3-06-001174-5, S. 145). Aber auch im Internet gibt es hilfreiche Informationsquellen (siehe Galton-Brett und Binomialverteilung ). Bevor die Simulation des Galton-Bretts zum Einsatz kam, wurden im Unterricht folgende Inhalte erarbeitet: Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten Die Schülerinnen und Schüler lernten typische Beispiele sowie die Definition von Bernoulli-Experimenten und -Ketten kennen. Die Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette Der Satz über die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse in einer Bernoulli-Kette wurde behandelt und mit Anwendungsaufgaben vertieft. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg in einer Bernoulli-Kette war den Schülerinnen und Schülern vertraut. Zunächst wird mit einem "Hardware-Galton-Brett" ein Zufallsexperiment durchgeführt und ausgewertet, zum Beispiel mit h (Anzahl der Hindernisreihen) = 6, n (Anzahl der fallenden Kugeln) = 100, p (Erfolgswahrscheinlichkeit) = 0,5. Danach wird die Simulationsumgebung per Beamer vorgestellt (n = 100; p = 0,5). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit das Arbeitsblatt und führen am Rechner Simulationen durch.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II, Sekundarstufe I

Das Rucksackproblem

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum "Rucksackproblem" befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit diesem als Beispiel von NP-vollständigen Problemen sowie anderen, daran angelehnten (teils offenen) Aufgaben. NP-vollständige Probleme sind nicht gerade einfach zu verstehen. Das dazu zählende Rucksackproblem können Lernende zwar nicht in allen Facetten nachvollziehen, die grundlegende Fragestellung können sie aber sehr wohl verstehen. In vielen "einfachen" Fragestellungen geht es um Aspekte, die NP-vollständige Probleme berühren. Die Lösung solcher Aufgaben erfordert jedoch oft ein hohes Maß an mathematischen Kompetenzen, die im modernen Mathematikunterricht verstärkt gefordert werden sollen. Die Aufgaben: Von Frachträumen, Stromautobahnen und Einfahrten Bei den hier vorgestellten Aufgaben zum Rucksackproblem fehlen gelegentlich "Angaben". Die Lernenden sollen durch mathematische Argumentation und Modellierung diese Lücken mit Werten füllen, damit sie mathematische Lösungen für die Rucksackprobleme finden und mit entsprechenden mathematischen Ausdrücken formulieren und vorstellen können. Oft sind die Lösungen der an das Rucksackproblem angelehnten Fragestellungen nicht eindeutig, weil sie unterschiedliche Argumentationen zulassen. Dabei geht es zum Beispiel darum, den Frachtraum eines Transportflugzeugs effektiv zu nutzen, neue "Stromautobahnen" ökonomisch zu planen oder eine Einfahrt mit möglichst geringen Kosten zu bepflastern. Die Lösungsideen Es liegt in der Natur der Sache, dass zu diesen teils offenen Aufgaben (die diskussionsanregend wirken) keine kompletten Lösungen vorgegeben werden können (und sollen). Stattdessen werden hier "Lösungsideen" vorgestellt, die die richtigen Impulse geben. Die Aufgaben können - mit den hier ebenfalls vorgestellten Erweiterungen für höhere Klassenstufen - von Klasse 5 bis in die Oberstufe hinein verwendet werden. Einsatz im Unterricht Jede Teilaufgabe in Anlehnung an das Rucksackproblem wird mit den Lernenden vor der Bearbeitung ausführlich besprochen. So soll mathematische Argumentation und Kommunikation schon im Vorfeld der Lösungen erfolgen. Danach stellen die Lernenden ihre Lösungen im Plenum vor. Sie können die Rucksackprobleme auch außerhalb des Unterrichts bearbeiten. Die Materialien sind so konzipiert, dass sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen auch zum Selbststudium verwendet werden können. Eine Vorstellung der Ergebnisse im Unterricht ist jedoch wünschenswert. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler argumentieren mathematisch. lösen Probleme mathematisch. modellieren mathematisch. verwenden mathematische Darstellungen. gehen mit mathematischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik um. kommunizieren mathematisch. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien), vor allem beim Vorstellen der Lösungen. zeigen im Rahmen der Teamarbeit Hilfsbereitschaft. zeigen durch einige offene Fragestellungen Engagement und Motivation. üben anhand verschiedener Schwierigkeitsgrade der Fragestellungen Selbstbeobachtung und Selbsteinschätzung.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II