Unterrichtsmaterialien zum Thema "Geometrie"

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Satzgruppe des Pythagoras

Unterrichtseinheit

Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit basiert auf interaktiven Webseiten mit dynamischen GeoGebra-Applets. Sie schaffen Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und das Verständnis erleichtern.Wie hoch darf ein Schrank höchstens sein, damit man ihn noch durch Kippen aufstellen kann, ohne dass er an der Decke kratzt? Wie weit kann man von einem 30 Meter hohen Ausguck eines Schiffs bei klarer Sicht auf das Meer sehen? Welchen Weg beschreibt ein in einem fahrenden Zug senkrecht nach oben steigender Lichtblitz, wenn man ihn vom Bahnhof aus betrachtet? Bei der Lösung dieser Probleme stößt man auf Dreiecke. Es sind nicht irgendwelche Dreiecke. Es sind Dreiecke mit einem 90°-Winkel: rechtwinklige Dreiecke. Das, was man wissen will, ist eine Seitenlänge dieser Dreiecke. Ausgerechnet die unbekannte Seitenlänge. Doch mit wenigen Tricks kann man aus den bekannten Stücken des Dreiecks die unbekannten berechnen. Damit beschäftigten sich schon die Pythagoräer etwa 500 vor Christus, ja schon über 1.000 Jahre zuvor kannten die Babylonier diese Tricks. Und wer sie kennt, kann auch obige Fragen beantworten...Bei den dynamischen GeoGebra-Applets können die Nutzerinnen und Nutzer mithilfe der Maus oder der Tastatur am Computer die Zeichnungen und Konstruktionen kontinuierlich verändern und so bestimmte Fragestellungen dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Sachverhalten. Kurze Kontrollaufgaben mit einblendbaren Lösungen dienen der Lernzielkontrolle. Einsatz im Unterricht Fachliche Voraussetzungen sowie Hinweise zu den Einsatzmöglichkeiten des Online-Kurses und zur Gestaltung der Arbeitsmaterialien. Unterrichten mit Beamer - Praxiserfahrungen Sowohl der Unterricht an der Tafel als auch mit dem Beamer bietet jeweils Vorteile, die nicht in jedem Fall kombinierbar sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck sicher beherrschen. den "Kathetensatz" (mithilfe der Ähnlichkeit) beweisen, formulieren und anwenden können aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat konstruieren können. den "Satz des Pythagoras" (mithilfe des Kathetensatzes) beweisen, formulieren und (insbesondere an Körpern) anwenden können. andere Beweise und die "verallgemeinerte Form" des "Satzes von Pythagoras" kennen lernen. den Umkehrsatz des "Satzes von Pythagoras" formulieren und anwenden können. den "Höhensatz" aus den vorausgehenden Sätzen herleiten, formulieren und anwenden können. Thaleskreis und Ähnlichkeitssätze Erforderliche mathematische Voraussetzungen für den Kurs sind Kenntnis des Thaleskreis und der Ähnlichkeitssätze, die zum Beweis des Kathetensatzes herangezogen werden. Diese Vorkenntnisse werden in der Unterrichtseinheit kurz wiederholt. Deduktive Herleitung Mit dem Kathetensatz kann dann leicht algebraisch oder anschaulich geometrisch der Satz des Pythagoras bewiesen werden. Aus diesen beiden Sätzen resultiert dann wiederum (aus einem einfachen linearen Gleichungssystem) der Höhensatz. Bei dieser Vorgehensweise lernen die Schülerinnen und Schüler unter Anwendung bekannter algebraischer und geometrischer Fertigkeiten das Prinzip der deduktiven Herleitung neuer Sätze kennen. Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras bietet eine gute Gelegenheit, die Problematik von Satz und Umkehrsatz zu vertiefen. Mit einfachen Berechnungen an Körpern soll auch das räumliche Vorstellungsvermögen geschult werden. Für diese Unterrichtseinheit bieten sich verschiedene Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der mathematischen Sachverhalte während der Neudurchnahme im Unterricht inklusive Hefteintrag selbstständige Vertiefung und Festigung des bereits im Unterricht behandelten Stoffes, eventuell in Übungsstunden oder als Hausaufgabe Wiederholung und Zusammenfassung zurückliegender Lerninhalte (beispielsweise vor Prüfungen) Selbstständiges Erarbeiten Der Text der Webseiten wurde bewusst prägnant gehalten, um einen selbstständigen Hefteintrag zu erleichtern. (Merk-)Sätze sind (wie im Tafel-Unterricht) rot eingerahmt. Wichtige Formeln oder weiterführende Begriffe sind farblich hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet (siehe Abb. 1, zur Vergrößerung bitte anklicken). Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Die Kontrollaufgaben sind kurz und einfach zu bearbeiten, um die Lernenden durch ein schnelles und erfolgreiches Fortkommen zu motivieren. Die Antworten der Kontrollfragen können durch Anklicken der blauen Satz- oder Rechenzeichen angezeigt werden. In nachfolgenden oder begleitenden Übungen sollte der Schwierigkeitsgrad mit reorganisatorischen und Transferaufgaben erhöht werden. Erarbeitung Schritt-für-Schritt Ein großer Vorteil des Unterrichtens an der Tafel, nämlich ein aus dem fragend-entwickelnden Unterricht flexibles, sukzessiv entstehendes Tafelbild, geht bei Präsentationen mit dem Computer verloren. Mit Hilfe von auf Java-Script-Code basierenden Einblendungen wird dieses Defizit zum Teil ausgeglichen. Ergebnisse und Lösungen werden so nicht vorweg projiziert, sondern können nach gemeinsamer Erarbeitung präsentiert werden. Diese Möglichkeit der animierten Wiedergabe ist mit gängiger Präsentationssoftware wie Impress oder Powerpoint leichter realisierbar. Leider gestaltet sich hier jedoch die Einbindung von Java-Applets in Folien als problematisch. Außerdem können Webseiten - unabhängig von Präsentationssoftware und Betriebssystem - online und damit von Schülerinnen und Schülern auch zu Hause verwendet werden. (Tipp: Taste F11 zur Vollbild-Darstellung der Webseiten). Beamereinsatz und Tafelunterricht Die dynamischen Arbeitsblätter könnten parallel zum Tafelunterricht eingesetzt werden, was sich jedoch in der Praxis in engen Klassenzimmern mit mehr als 30 Schülerinnen und Schülern leider oft als sehr umständlich erweist. Die für den Beamer erforderliche Projektionsfläche liegt meist hinter der Tafel. Die Computerräume wiederum sind meist nicht für den Tafelunterricht ausgelegt. Ein in der Praxis nicht immer leicht zu realisierender Kompromiss ist das Abwechseln von Unterrichtsstunden mit Beamer zur Einführung und Fixierung der Inhalte und Übungsstunden mit Tafel zur Einübung und Festigung des Gelernten anhand von Aufgaben zum Beispiel aus dem begleitenden Lehrbuch.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Shapes - Formen und Farben im Englischunterricht

Unterrichtseinheit

Die Unterrichtseinheit "Shapes" verbindet den Englisch- und Mathematik-Unterricht, indem die Schülerinnen und Schüler geometrische Formen in englischer Sprache kennenlernen und ein shape-book am Computer erstellen.Geometrische Formen wie Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis, Oval und Stern haben einen konkreten Bezug zur Umwelt der Grundschulkinder. Sie können gezeichnet, gebastelt, angefasst und beschrieben werden und bieten daher neue Aspekte für die Vermittlung und den Gebrauch der englischen Sprache.Auf vielen Ebenen und Lernkanälen, beschreibend und gestaltend, befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Unterrichtsthema "Formen" und können dabei ihre Fremdsprachenkenntnisse und ihr mathematisches Verständnis anwenden und weiterentwickeln sowie ihre Medienkompetenz erweitern. Ablauf der Unterrichtssequenz Ausgehend von konkretem Material zum Anfassen werden die geometrischen Formen auf Englisch beschrieben, ihre Namen eingeführt sowie geübt und am Computer als Formencollage gestaltet. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen die englischen Namen für geometrische Grundformen kennen. beschreiben am Computer erstellte Grundformen und ihre Farben, Seiten- und Eckenzahl auf Englisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit einem Textverarbeitungsprogramm Formen. färben diese Formen ein. fügen einen kurzen beschreibenden Text hinzu. speichern die Seite ab beziehungsweise drucken sie aus. Die Lehrkraft präsentiert den Kindern im Sitzkreis verschiedene geometrische Formen, die aus buntem Papier ausgeschnitten wurden. Quadrate, Rechtecke, Dreiecke, Rauten, Kreise, Ovale und Sterne werden nach Farbe, Größe oder Anzahl der Ecken sortiert. Dabei wird das bereits bekannte Wortmaterial reaktiviert (zum Beispiel "colours") oder neu eingeführt (bei uns: "sides", "corners") - zunächst ohne die englischen Namen der geometrischen Formen zu nennen: What's the colour of this form? How many corners does this form have? Einführung der englischen Namen Die Lehrkraft zeigt auf eine flashcard und nennt die darauf abgebildeten geometrischen Formen mit ihrem englischen Namen: Look, this is a square / rectangle / circle / oval / star / diamond ... Übungen zum Verständnis schließen sich an, zum Beispiel: Show me the circle / blue square / ... Point at the blue oval / red diamond / ... Swap the red square and the blue rectangle. Put the green diamond on your table. Colour dictation Nach der Arbeit mit den flashcards erhalten die Kinder ein Arbeitsblatt für ein so genanntes colour dictation. Die Formen auf dem Arbeitsblatt werden in der angegebenen Farbe ausgemalt. Colour the square green. Colour the rectangle yellow. Üben der Aussprache Vokabeln werden im Englischunterricht der Primarstufe fast immer durch Vor- und Nachsprechen im Chor eingeübt. Damit werden auch diejenigen Kinder eingebunden, die sich alleine nicht trauen, in einer anderen Sprache zu sprechen. Hier einige methodische Vorschläge für das Vor- und Nachsprechen von Wörtern: Wörter nur flüstern. Immer lauter reden. Sprechen wie Micky Maus. Sprechen wie ein Roboter. Wörter ganz lang dehnen. Wörter in die hohle Hand sprechen. Wörter "stumm" sprechen. Wörtern "singen". Wörter als mehrfaches Echo nachsprechen. Clap your hands Die neuen Wörter sind als Bild- oder Wortkarte an der Tafel befestigt. Die Wörter werden im Chor gesprochen, nach jedem Wort wird dreimal in die Hände geklatscht. Im zweiten Durchgang klatschen die Kinder nur zweimal, im letzten Durchgang nur einmal zwischen den einzelnen Wörtern. Mithilfe eines Textverarbeitungsprogramms - bei uns Word - erstellen die Schülerinnen und Schüler die Formen als farbige Bilder und fügen jeweils einen kleinen beschreibenden Text hinzu. Die Sätze werden als Lückentext vorgegeben, so dass lediglich die Namen, Farben und Zahlen eingefügt werden müssen. Jeweils zwei Kinder arbeiten am Computer zusammen. Nach einer Einführung in das Word-Programm werden die Formen nach Anweisung erstellt und der kleine Text hinzugefügt. Anschließend wird das Blatt ausgedruckt in der English Corner an die Wand gehängt. Zügig arbeitende Schülerinnen und Schüler können ergänzende Aufgaben im Internet bearbeiten: storyplace Bei der englischsprachigen Online-Story "I spy shapes" geht es darum, möglichst viele geometrische Formen zu finden und anzuklicken. Alle Partnergruppen stellen ihr Blatt in der Klasse vor. Die erstellten Blätter können in Klassenstärke ausgedruckt und zu einem shape-book für jedes Kind geheftet werden. Ich habe zu diesem Thema zwei schöne englische Kinderbücher gefunden: Bear in a Square von Stella Blackstone und The Shape of Things von Dayle Dodds Auf die Bücher bin ich zufällig bei einem Büchertisch an unserer PH (Schwäbisch Gmünd) beim Stand der Elterninitiative Englisch Lesen gestoßen. Soweit ich informiert bin, ist diese Elterninitiative inzwischen auch online. Sorry, kenne leider die Internet-Adresse nicht. Gruß, Michaela Bin soeben bei einer Google-Suche über Elterninitiative Englisch Lesen auf deren Webseite gekommen: www.ahbooks.de. Die Damen sind sehr kundig und beraten gut. Michaela Schmid

  • Englisch
  • Primarstufe

Neben- und Scheitelwinkel - mit GeoGebra vertiefen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zu den Beziehungen zwischen Neben- und Scheitelwinkeln üben die Schülerinnen und Schüler anhand von dynamischen Arbeitsblättern das mathematische Argumentieren.Die in der Erarbeitungsphase der Unterrichtseinheit "Neben- und Scheitelwinkel" genutzten dynamischen Java-Applets und die variablen Aufgabenstellungen der Anwendungs- und Differenzierungsphase wurden mit der kostenlosen dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Diese Software eignet sich durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, ausgezeichnet, um interaktive dynamische Lernumgebungen zu erstellen. Einführung, Zusammenfassung und Beweis Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten die Zusammenhänge von Neben- und Scheitelwinkeln an sich schneidenden Geraden. Vertiefende Übungen Einsatz weiterer interaktiver Übungen zur Festigung und zur Unterrichtsdifferenzierung (drei sich schneidende Geraden, zusätzliche Halbgeraden). Motivation durch herausfordernde Aufgaben Begabte Schülerinnen und Schüler werden in einem spielerischen Wettkampf durch Knobelaufgaben herausgefordert. Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass sich Nebenwinkel zu 180 Grad ergänzen. erkennen, dass Scheitelwinkel maßgleich sind. erkennen, dass durch ein Winkelmaß alle vier Winkelmaße festgelegt sind. können ihre Kenntnisse über Neben- und Scheitelwinkel auf unterschiedliche Problemstellungen anwenden. Fachliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits erste Kenntnisse über Winkel und deren Größe und Bezeichnung besitzen. Beispielhafte Aufgaben für die Grundlegung dieser Kenntnisse finden sich auf der Webseite des Autors. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet vier Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Aufbau und Funktion des Arbeitsblatts Das erste Arbeitsblatt dient der Erarbeitung der Zusammenhänge von Neben- und Scheitelwinkeln an sich schneidenden Geraden. Es beinhaltet zwei unterschiedliche Elemente. Zum einen eine mit GeoGebra erzeugte, dynamische geometrische Darstellung, zum anderen eine interaktive Aufgabenstellung: Anhand der dynamischen Darstellung sollen die Schülerinnen und Schüler vorgegebene Aussagen über Neben- und Scheitelwinkel per Klick als richtig oder falsch kennzeichnen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Auswahl der Aussagen beinhaltet zum einen ganz konkrete Aussagen, wie zum Beispiel "Misst alpha = 75 Grad, so ist beta doppelt so groß", deren Wahrheitsgehalt anhand eines speziellen Beispiels ermittelt werden kann. Ferner gibt es Aussagen, wie "beta und delta sind immer gleich groß", deren Wahrheitsgehalt zwar durch zahlreiche Beispiele belegt, aber letztlich ohne mathematischen Beweis nicht verifiziert werden kann. In zwei der Aussagen werden Sonderfälle der Beziehung zwischen Neben- und Scheitelwinkeln angesprochen: Wenn ein Winkel 90 Grad misst, sind alle vier Winkel maßgleich. Misst ein Winkel 60 Grad, so ist sein Nebenwinkel doppelt so groß. Auswertung Haben die Schülerinnen und Schüler alle Aussagen mithilfe des dynamischen Arbeitsblatts untersucht, so können sie nach dem Ankreuzen der wahren Aussagen mit einem Klick auf den Button "Auswertung" ihre Resultate überprüfen lassen. Sind alle richtigen Aussagen gefunden, wird dies in einem Popup-Fenster bestätigt und unterhalb der dynamischen Zeichnung erscheint eine Zusammenfassung. Abschluss der Erarbeitungsphase Im nächsten Unterrichtsschritt stellt ein Schülerpaar im Plenum anhand des per Beamer projizierten Online-Arbeitsblatts sein Ergebnis vor. Die Lernenden sind dabei angehalten, ihre Ergebnisse zu begründen und etwaige Rückfragen ihrer Mitschüler zu beantworten. Auf dem "klassischen" Arbeitsblatt (neben_scheitelwinkel.pdf) werden nun die Bezeichnungen Neben- und Scheitelwinkel festgehalten und der allgemeine Beweis der Zusammenhänge ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen diesen Eintrag in ihr Arbeitsblatt. Damit ist die erste Phase der Unterrichtsstunde - die erarbeitende Phase - abgeschlossen. Fortführung des Themas Das Thema Neben- und Scheitelwinkel ist allerdings damit noch nicht als abgeschlossen anzusehen, da mit der Formulierung und dem Beweis des Zusammenhangs keineswegs sichergestellt ist, dass die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang verstanden haben und dessen Bedeutung abschätzen können. Um das zu gewährleisten, sollten sich eine Reihe von unterschiedlichen Übungen anschließen, anhand derer die Kenntnisse vertieft und kontrolliert werden können. Eine erste Übung stellen die Aufgaben des Arbeitsblattes dar (siehe arbeitsblatt_neben_scheitelwinkel.pdf). Sie können im Anschluss an die erste Unterrichtsphase in Partnerarbeit bearbeitet werden. Bei der sich anschließenden Besprechung im Plenum sollte die Lehrkraft darauf achten, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungen stets begründen. Diese Verbalisierung dient der Strukturierung eigener Gedanken und der Einübung mathematischer Argumentationen. Allgemeine Betrachtungen Dem interaktiven Arbeitsblatt mit der ersten variablen Übungsaufgabe (Online-Arbeitsblatt 2) liegt folgende Aufgabenidee zu Grunde: Drei sich schneidende Geraden erzeugen sechs Winkel (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken). Zwei der zugehörigen Winkelmaße sind gegeben. Durch die Verwendung dreier Geraden soll den Lernenden verdeutlicht werden, dass sich die Erkenntnisse über Neben- und Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden auf andere geometrische Gegebenheiten übertragen und so allgemeiner betrachten lassen. Highscore-Liste als Anreiz zur Fehlerkorrektur Die Aufgabe für die Schülerinnen und Schüler besteht beim zweiten Online-Arbeitsblatt darin, die mit alpha, beta und delta bezeichneten Winkelmaße zu berechnen. Nach der Eingabe der entsprechenden Werte können die Lernenden durch einen Klick auf den Button "Ergebnis prüfen" ihre Eingaben prüfen lassen und bekommen eine entsprechende Rückmeldung. Dabei können durch Betätigen des Buttons "Aufgabe stellen" beliebig viele weitere Aufgaben gleichen Typs erzeugt werden. Der Hinweis, dass es nur dann Punkte gibt, wenn Fehler verbessert werden, soll einen Anreiz schaffen, Fehler zu korrigieren. Der Spiel- und Wettbewerbscharakter der interaktiven Übung - Erzielen von Punkten und deren Speicherung in einer Highscore-Liste - stellt eine zusätzliche Motivation dar, mehrere Aufgaben dieses Typs zu bearbeiten. Die Zweischneidigkeit von Routineaufgaben Eine Aufgabe, die von allen Schülerinnen und Schülern gleich gut bearbeitet und gelöst werden kann, wird von leistungsstärkeren sehr schnell als langweilig und niveaulos empfunden. Unterrichtsstörungen sind nicht selten die Konsequenz dieser Unterforderung. Andererseits schaffen "Routineaufgaben" von der oben beschriebenen Art für schwächere Schülerinnen und Schüler eine Möglichkeit, Selbstbestätigung in einem Fach zu erfahren, dem sie bislang emotional eher ablehnend gegenüber standen. Unterrichtsdifferenzierung als mögliche Problemlösung Eine Möglichkeit zur Lösung dieses unterrichtlichen Problems stellt die innere Differenzierung dar, bei der man versucht, innerhalb einer Klasse die Leistungsunterschiede teilweise dadurch aufzufangen, dass eine gewisse Variation des Lernangebots (inhaltliche Differenzierung) durch unterschiedliche Motivierungen oder Aufgabenstellungen bereitgestellt wird. Wie sich solch eine inhaltliche Differenzierung durch den Einsatz von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisieren lässt, soll an den noch folgenden zwei Übungen aufgezeigt werden. Eine mögliche Variation der obigen Aufgabenstellung ergibt sich durch die Verwendung einer zusätzlichen Halbgeraden in Online-Arbeitsblatt 3 (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken). Diese Aufgabenstellung durchbricht die bisherige Vorstellung, dass es immer Paare gleicher Winkelmaße gibt. Additiver und multiplikativer Vergleich Da es gerade in der Unterstufe zum Teil ganz erhebliche Leistungsunterschiede bei Schülerinnen und Schülern gibt, kann es vorkommen, dass auch die Aufgaben von Online-Arbeitsblatt 3, so interessant sie für einen Großteil der Klasse sind, begabte Schülerinnen und Schüler nicht herausfordern. Deshalb sollten neben diesen Aufgaben mit expliziten Winkelmaßangaben auch Aufgabenstellungen verwendet werden, bei denen lediglich die Beziehungen zwischen zwei Nebenwinkeln gegeben ist. Dabei bieten sich zwei unterschiedliche Aufgabentypen an: Additiver Vergleich Beispielaufgabe: "Welche Nebenwinkel alpha und beta erfüllen die Bedingung beta = alpha + 88 Grad?" Multiplikativer Vergleich Beispielaufgabe: "Für welche Nebenwinkel alpha und beta gilt beta = 2 alpha?" Durch die Angabe des Größenunterschieds sind beide Winkel festgelegt. Abb. 4 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt das Beispiel einer Aufgabenstellung mit additivem Vergleich. Mit dem Button "Auswertung" können die gefundenen und eingegebenen Winkelmaße überprüft und mit dem Button "neue Aufgabe" weitere Aufgaben mit additivem oder multiplikativem Vergleich erzeugt werden. Laut Aufgabenstellung ist nicht etwa beta das gesuchte Winkelmaß, sondern alpha und delta sind zu berechnen. Hilfestellungen Die für Lernende der Unterstufe doch sehr anspruchsvollen Aufgaben von Online-Arbeitsblatt 4 können in der Regel ohne Hilfestellungen nicht bewältigt werden. Daher bietet das interaktive Arbeitsblatt die Möglichkeit, verschiedene Lösungshinweise einzublenden. Wird dabei der "Hinweise"-Button das erste Mal betätigt, so wird der Texthinweis "Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°" eingeblendet und gleichzeitig der Hinweis visuell dadurch unterstützt, dass der rote Winkelbogen des gestreckten Winkels eingezeichnet wird. Reicht dem Lernenden dieser erste Hinweis nicht aus, so können weitere Hinweise durch das erneute Betätigen des "Hinweise"-Buttons angefordert werden (siehe Abb. 4). Die Aufgabe selbst wird dabei aber abschließend nicht gelöst. Spiel- und Wettbewerbssituation als Motivation Je mehr Hilfen die Lernenden verwenden, desto weniger Punkte erzielen sie. Daher werden sie in einer sportlichen Wettbewerbssituation anstreben, möglichst viele Punkte dadurch zu erreichen, dass sie so wenig Hilfen wie möglich in Anspruch nehmen. Sie werden daher versuchen, die algebraischen Argumentationsschemata für additive und multiplikative Vergleiche zu verinnerlichen. In einer normal strukturierten Klasse wird sich in der Übungs- und Differenzierungsphase ein komplett anderer Unterricht ergeben. Schülerinnen und Schüler werden nach ihren jeweiligen Interessen und Leistungsvermögen an unterschiedlichen Aufgaben arbeiten. Da bei allen interaktiven Übungen die Lernenden durch Rückmeldungen beziehungsweise Hilfen unterstützt werden, muss die Lehrkraft keine Bewertungen oder Korrekturen vornehmen. Die Aufgabe der Lehrkraft besteht vielmehr darin, die Schülerinnen und Schüler zu beobachten. Die angezeigten Punkte geben Aufschluss über die Arbeitsweise und den Erfolg der einzelnen Schülergruppen. Die Lehrkraft sollte alle Schülerinnen und Schüler ermutigen, sich jeweils mit Aufgaben der nächsten Anforderungsstufe zu beschäftigen. Hausaufgaben finden sich dazu in allen zugelassenen Schulbüchern. Sollten die im verwendeten Arbeitsblatt enthaltenen Aufgaben nicht verwendet worden sein, so können auch diese als Hausaufgabe gestellt werden.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Volumen eines Quaders – mit Grundvorstellungen verbinden

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Volumen eines Quaders werden den Schülerinnen und Schülern durch interaktive Arbeitsmaterialien vielfältige Möglichkeiten eröffnet, um die Grundvorstellungen zum Volumenbegriff zu entwickeln.Bevor im Unterricht die Formel für das Volumen eines Quaders formuliert wird, sollten den Lernenden vielfältige Möglichkeiten eröffnet werden, mit denen sie Grundvorstellungen zum Volumenbegriff entwickeln können. Interaktive Arbeitsblätter unterstützen das Ausbilden von Grundvorstellungen und fördern zugleich Kompetenzen hinsichtlich der Anwendung von Kenntnissen auf neue Problemstellungen. Die dynamischen Zeichnungen innerhalb der Web-Arbeitsblätter zur Exploration und Übung wurden mit GeoGebra realisiert. In der Explorationsphase können die Schülerinnen und Schüler einen zufällig erzeugten Quader mit Einheitswürfeln (cm³-Würfel) füllen. Neben dieser dynamischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung bietet die Unterrichtseinheit eine Übung zur Anwendung der erworbenen Kompetenzen. Dabei soll das Volumen eines Restkörpers berechnet werden, der entsteht, wenn aus einem Quader ein Würfel herausgeschnitten wird. Da alle Ergebnisse der Lernenden überprüft und Hilfestellungen angeboten werden, ist eine eigenständige und eigenverantwortliche Aneignung des mathematischen Sachverhalts möglich.Bei Unterrichtstunden im Computerraum kommt dem Hefteintrag eine Brückenfunktion zu. Einerseits sollte dieser nach Möglichkeit den Verlauf der Unterrichtstunde visuell widerspiegeln. Dazu können zum Beispiel die wesentlichen Schritte mithilfe von Screenshots, also Bildschirmbildern, festgehalten werden. Die so erzeugten Bilder rufen den Unterrichtsverlauf noch einmal ins Gedächtnis der Schülerinnen und Schüler. Andererseits sollten zentrale Unterrichtsinhalte zusammengefasst werden und so zur Bearbeitung von Aufgaben in den jeweiligen Schulbüchern überleiten. Interessierte Eltern erhalten ferner einen Eindruck von den Möglichkeiten, die ein Mathematikunterricht im Computerraum bietet. Technik, Inhalte und Funktionen der Arbeitsblätter Hier finden Sie Informationen zu den technischen Voraussetzungen und zum Aufbau der Seiten. Rückmeldungen der Lernumgebung unterstützen das selbstständige Lernen. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien In der ersten Unterrichtsstunde bestimmen Lernende experimentell das Quadervolumen. In der zweiten Stunde wenden sie ihr Wissen bei der Bestimmung von Restkörpervolumina an. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass jeder Quader mit Einheitswürfeln gefüllt werden kann. erkennen, dass die Anzahl dieser Einheitswürfel von der Länge, Breite und Höhe des Quaders abhängt. können die Anzahl von Einheitswürfeln ohne Veranschaulichung als Produkt aus Länge, Breite und Höhe ermitteln. können die erworbenen Kenntnisse auf das Volumen eines Würfels anwenden und so die Kubikzahlen finden. können das Volumen von Restkörpern durch Subtraktion der Volumina zweier Körper bestimmen. Das hier vorgestellte Unterrichtskonzept verlangt keinerlei besondere Kompetenz in Hinsicht auf eine spezielle Computersoftware. Es kann somit von jeder Lehrkraft und jedem Lernenden verwendet werden. Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet insgesamt drei HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla-Firefox) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Aufgabenstellungen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Der Aufbau der Web-Arbeitsblätter folgt einer einheitlichen Grundstruktur. Alle Arbeitsblätter sind in zwei Spalten unterteilt (siehe Abb. 1). In der linken Spalte finden sich Hinweise auf die Bedienung, wie etwa eingegebene Ergebnisse überprüft und neue Aufgaben erzeugt werden können. Ferner befinden sich hier die interaktiven Elemente sowie das Rückmeldefenster mit dem aktuellen Punktestand. In der rechten Spalte wird immer die jeweilige dynamische Zeichnung erzeugt und dargestellt. Bei allen interaktiven dynamischen Arbeitsblättern erhalten Schülerinnen und Schüler für richtig gelöste Aufgaben Punkte. Zusätzlich können die Lernenden die bei den jeweiligen Übungen erreichten Punkte in eine Bestenliste, die sogenannte Highscore-Liste, eintragen. Diese zusätzliche Funktion steht allen Nutzern ohne vorherige Anmeldung zur Verfügung. Sofern Lehrkräfte für die Schülerinnen und Schüler ihrer Schule eine zusätzliche schulinterne Bestenliste wünschen, reicht eine kurze Mitteilung an den Autor (a.meier@realmath.de), um diese zu erhalten. Für die beobachtende Lehrkraft bietet der angezeigte Punktestand eine gute Rückmeldung darüber, wie die Lernenden mit der Aufgabenlösung zurechtkommen. Der zentrale Gesichtspunkt der Unterrichtseinheit ist das Ausbilden von Grundvorstellungen zum Volumen eines Quaders. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass zur Bestimmung des Volumens die Anzahl von Einheitswürfeln (cm*³*-Würfel) von Bedeutung ist. Die dazu erstellte dynamische Lernumgebung ermöglicht es den Lernenden, einen zufällig erzeugten Ausgangsquader nach ihren eigenen Vorstellungen mit cm³-Würfel zu füllen. Dadurch wird offensichtlich, dass die Anzahl der cm³-Würfel von der jeweiligen Länge, Breite und Höhe des Quaders abhängt. Zudem wird der multiplikative Zusammenhang der Größen "Länge, Breite und Höhe" ersichtlich und dass es ohne Bedeutung ist, in welcher Reihenfolge die drei zugehörigen Maßzahlen multipliziert beziehungsweise in welcher Reihenfolge die Einheitswürfel erzeugt werden. Eines der wesentlichen Elemente interaktiver dynamischer Arbeitsblätter ist die Rückmeldung auf Schüleraktivitäten. Ist eine Aufgabe richtig gelöst, so beinhaltet diese eine positive Verstärkung, wie zum Beispiel "Ausgezeichnet! Alles richtig!". Wurde hingegen die Aufgabe fehlerhaft bearbeitet, so gibt es je nach Aufgabenstellung unterschiedliche Rückmeldungen. Dies kann einerseits die Ausgabe der richtigen Lösung sein, die die Schülerinnen und Schüler in die Lage versetzt, ihre Eingabe mit der korrekten Lösung zu vergleichen und so den gemachten Fehler einzuordnen. Ferner kann bei komplexeren Aufgaben die Rückmeldung neben der korrekten Lösung auch Teillösungen beinhalten, die als Impuls für die Suche nach der korrekten Aufgabenlösung dienen sollen. Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler werden Hilfen bereitgestellt, die diese bei ihren Überlegungen und Berechnungen unterstützen. Volumenformel finden und anwenden Nach einer kurzen Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven dynamischen Arbeitsblatts, bei der die Lehrkraft zeigt, wie durch Bewegen der roten Punkte auf den Quaderkanten die cm³-Würfel erzeugt werden können, sollen die Schülerinnen und Schüler das Volumen der jeweils zufällig erzeugten Quader ermitteln, eingeben und prüfen lassen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Lernenden werden im weiteren Verlauf der Unterrichtsstunde aufgefordert, die Aufgaben ohne Veranschaulichung zu lösen und so die von ihnen entdeckte Formel für das Quadervolumen zu prüfen. Anhand des PDF-Arbeitsblatts (quader_volumen_1.pdf) werden dann die unterschiedlichen Vorgehensweisen der Lernenden im Plenum diskutiert und die Volumenformel fixiert. Volumen des Würfels - Kubikzahlen finden Eine Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven dynamischen Arbeitsblatts kann entfallen, da der Aufbau des Arbeitsblatts (Abb. 2) dem vorherigen entspricht. Da sich die zu bestimmenden Volumenwerte eines Würfels bei gegebenen Kantenlängen von 1 Zentimeter bis 10 Zentimeter sehr rasch wiederholen, kann es lohnend sein, sich diese Werte zu notieren, um sie ständig verfügbar zu haben. Die zugehörigen Kubikzahlen können die Schülerinnen und Schüler abschließend im zweiten PDF-Arbeitsblatt (quader_volumen_2.pdf) festhalten. Sollte aus Zeitgründen diese Fixierung nicht mehr möglich sein, könnte dies auch eine mögliche Hausaufgabenstellung sein. Sicherung des Ausgangsniveaus Die für diese Unterrichtsstunde vorgesehene Übung baut auf den Erkenntnissen der vorausgehenden Stunde auf. Daher sollte anhand der in der vorherigen Unterrichtsstunde verwendeten Arbeitsblätter die Grundlagen zur Berechnung des Volumens eines Quaders und die Kubikzahlen wiederholt werden. Lösungswege finden, besprechen und anwenden Nach der Lehrereinführung in die Funktionsweise des interaktiven dynamischen Arbeitsblatts wird das Problem beschrieben. "Aus einem Quader wird an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten. Berechne das Volumen des Restkörpers V R " (Abb. 3). Der neue Begriff "Restkörper" wird durch die Lehrkraft geklärt. Anschließend sollen die Schülerinnen und Schüler die erste Aufgabe des dritten PDF-Arbeitsblatts (quader_volumen_3.pdf) in Partnerarbeit bearbeiten und Lösungsstrategien schriftlich fixieren. Auf die Diskussion der Ergebnisse folgt dann die Bearbeitung weiterer Aufgaben am Rechner. Die Schülerinnen und Schüler sollten jedoch immer ein Konzeptpapier für Rechnungen verwenden. Die zweite Aufgabe des Arbeitsblatts "quader_volumen_3.pdf" kann als Hausaufgabe verwendet werden. Rückmeldung auf falsche Eingaben Wird das Volumen eines Restkörpers falsch berechnet, so kann dies unterschiedliche Gründe haben. Zum einen kann das Volumen des Ausgangsquaders falsch ermittelt oder die Kantenlänge des herausgeschnittenen Würfels fehlerhaft abgelesen worden sein. Schließlich kann auch die Differenz aus den beiden Volumina nicht korrekt bestimmt worden sein. Um den Lernenden eine eigenständige Fehleranalyse zu ermöglichen, werden in der Rückmeldung detaillierte Angaben zur Berechnung gemacht und alle Teilergebnisse und Rechenschritte eingeblendet (Abb. 4).

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Der Pythagoras-Baum

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit erfahren die Schülerinnen und Schüler anhand dynamischer Java-Applets, welche geometrischen Figuren man mit dem Satz des Pythagoras erzeugen kann.Wer kennt ihn nicht, den berühmtesten und einprägsamsten Satz der Mathematik? Selbst wer von sich behauptet, in Mathematik schlecht gewesen zu sein, dem ist der Begriff "Satz des Pythagoras" immer noch vertraut. Was man aber alles mit dem Satz und der dazugehörigen geometrischen Figur anstellen kann, ahnen nur wenige. Ähnlich dem Prinzip der Wurzelschnecke, mit der man die Hypotenusen berechnen und die daraus entstehende Wurzelschnecke bis ins Unendliche bestimmen und zeichnen kann, weicht dieser Unterrichtsvorschlag einmal vom üblichen rechnerischen, pythagoreischen Weg ab und zeigt den Schülerinnen und Schülern, welche geometrischen Figuren man mit dem Satz des Pythagoras erzeugen kann. Das Java-Applet "Pythagoras Tree" stellt dabei eine echte Bereicherung des Unterrichts dar. Es veranschaulicht, was alles in der Mathematik steckt und wie scheinbar komplexe Gebilde auf einfache Regeln zurückgeführt werden können.Da dem Fach Mathematik allzu häufig der Ruf der "toten Materie" und das Flair mühsamer und einsamer Berechnungen anhängt, ist es sinnvoll, immer wieder Freiräume zu schaffen, in denen man als Lehrkraft zeigen kann, dass auch die Mathematik ästhetische Momente zu bieten hat. Es ist zwar klar, dass man nicht alle Schülerinnen und Schüler damit doch noch begeistern kann, aber zumindest sollte man es versuchen, den Zugang zur Mathematik auch auf diesem Wege zu bahnen. Grundlagen, Umgang mit dem Applet und Fazit Schülerinnen und Schüler werden die geometrische Figur des Pythagoras nach dieser Unterrichtsstunde so schnell nicht wieder vergessen. Die Schülerinnen und Schüler können den Satz des Pythagoras auf den Pythagoras-Baum anwenden. können die Entstehung des Pythagoras-Baum mit dem Satz des Pythagoras begründen. erkennen, dass die rechtwinkligen Dreiecke kongruent zueinander sind. Mathematik Beim Einsatz des Java-Applets hatten die Lernenden bereits den Kathetensatz und den Satz des Pythagoras mit den jeweils dazugehörigen geometrischen Figuren kennen gelernt. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck mithilfe des Satzes des Pythagoras wurden ebenfalls durchgeführt. English - no problem Dass die Instruktionen zur Arbeit mit dem Applet auf der Website in englischer Sprache verfasst sind, hat für den Einsatz im Unterricht kein Hindernis dargestellt. Im Gegenteil: Die Schülerinnen und Schüler waren eher begeistert vom Einsatz einer englischsprachigen Seite und haben sich bei Verständnisschwierigkeiten gegenseitig geholfen. Die Lernenden haben in Partnerarbeit an einem Rechner gearbeitet und das Applet zunächst frei und ohne Anweisung ausprobiert. Dabei haben sie den Punkt C (roter Punkt) verschoben und beschrieben, wie sich das rechtwinklige Dreieck, die dazugehörigen Katheten- und das Hypotenusenquadrat verändern. Die Funktion "Circle" habe ich als Lehrerin nur zu Beginn einmal einsetzen lassen, um die Eigenschaften des Satz des Thales zu wiederholen. Mit der Taste "Step up" wurde dann ein neues "Gebilde" erzeugt. Die Lernenden hatten zunächst Schwierigkeiten zu beschreiben, was genau passiert und nach welcher Gesetzmäßigkeit die neuen Dreiecke entstehen. Bei genauerer Betrachtung wurde dann aber schnell klar, dass die Ausgangskathetenquadrate zu den neuen Hypotenusenquadraten werden. Der Übersichtlichkeit halber aktivierten die Schülerinnen und Schüler selbstständig die Funktion "Paint", die die rechtwinkligen Dreiecke gelb und die Quadrate blau unterlegt. Nachdem das Konstruktionsprinzip klar war, haben einige Lernende bemerkt, dass der Pythagoras-Baum beziehungsweise die rechtwinkligen Dreiecke kongruent zueinander sind. Eine Eigenschaft, die natürlich auf dem Satz des Pythagoras beruht. Der Einsatz des Java-Applets als kleine "mathematische Spielerei am Rande" hat sich zweifellos gelohnt. Und das nicht nur, weil der Unterricht und die Mathematik so ein wenig aufgelockert wurden, sondern vor allem, weil der Pythagoras-Baum nach dem Applet-Einsatz die am häufigsten zu beobachtende Skizze auf den Rändern der Schülerhefte und auf den Löschblättern war. Die Schülerinnen und Schüler werden die geometrische Figur des Pythagoras im Unterrichts- und Schulalltag also nicht so schnell vergessen!

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I