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Zuordnungen begegnen uns andauernd in der Mathematik und auch im Alltag müssen wir unterbewusst ständig mit Zuordnungen umgehen können. Ein Beispiel dafür ist die gefahrene Strecke und die dafür benötigte Zeit. Das Verständnis von Zuordnungen ist daher ein vorrangiges Ziel im Mathematikunterricht. In dieser Unterrichtseinheit sollen die Schülerinnen und Schüler Zuordnungen selbst entdecken, Eigenschaften beschreiben und eigenständig gestalten. Die vorgestellte Unterrichtseinheit ist nach dem Unterrichtskonzept des Deeper Learnings von Anne Sliwka und Britta Klopsch konzipiert und nach den drei Phasen des Deeper Learning-Modells aufgebaut. Weitere Informationen bietet das Workbook für Lehrkräfte: Deeper Learning gestalten (Beigel, Klopsch & Sliwka, 2023) der Deutschen Telekom Stiftung, das am Ende der Einheit verlinkt ist und kostenlos zur Verfügung steht. Die Schülerinnen und Schüler bauen in dieser Unterrichtseinheit fachliches Wissen auf und entwickeln Handlungsmöglichkeiten ko-kreativ und ko-konstruktiv. Übergeordnetes Ziel ist das Erlernen der 4Ks und der 21. Century Skills sowie die Entwicklung in Co-Agency von Mastery, Kreativität und Identität. Was sind Zuordnungen und wie kann man diese (mathematisch) erfassen? In der Phase I "Instruktion und Aneignung“ wird im Rahmen des gemeinsamen Unterrichts unter Anleitung der Lehrkraft eine Grundlage aufgebaut. Dazu gehört vor allem die mathematische Beschreibung von Zuordnungen. Diese umfasst die grafische Darstellung und die Beschreibung mittels Formeln. Erprobt wird dies an diversen Beispielen. In einem weiteren Schritt erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler in selbst gewählten Kleingruppen, was proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind. Eventuell kann hier auch die Lehrkraft Unterstützung leisten. In der Phase II "Ko-Konstruktion und Ko-Kreation" erarbeiten die Schülerinnen und Schüler authentische Lernprodukte wie Lernplakate, in denen sie ihr neuerworbenes Wissen zu Zuordnungen darstellen. Je nach zeitlichem Rahmen können diese Lernprodukte in einem Vortrag vermittelt werden. Wichtig sind hierbei die Eigenständigkeit der Lernenden-Gruppen in ihrer Wissensaneignung. Die Lehrkraft unterstützt mit Materialangeboten und kleinen Hilfestellungen, soll aber nicht die vordergründige Rolle als Wissensvermittler einnehmen. Wesentliches Kernstück der Einheit ist die Phase III die „authentische Leistung “. Die Lernenden wenden ihr Wissen kreativ an und erstellen ein Lernprodukt, welches präsentiert wird und als Mitmachangebot zu verstehen ist. Dies kann entweder in Form eines Escape-Rooms oder in einem selbst durchgeführten Experiment zum Thema Zuordnungen geschehen. Die Lernenden erstellen im Escape Room im Idealfall unterschiedlich anspruchsvolle Rätsel, die mit dem Wissen aus den vorherigen Phasen gelöst werden können. In diesem Zusammenhang wird eine möglichst kreative und stringente Rahmengeschichte entworfen und ansprechend gestaltet. Die Escape Rooms können im Anschluss mit der Klasse gespielt werden. Die andere Möglichkeit zielt darauf ab, einen Zusammenhang aus der realen Welt zum Thema Zuordnungen experimentell zu untersuchen. Hier ist die Anbindung an die Naturwissenschaften von großer Bedeutung, um den Aufbau und die Auswertung der Ergebnisse formalisiert durchzuführen. Das Arbeitsblatt besteht aus fünf verschiedenen Materialien für die Phasen I-III: Einstiegsaufgabe zu Zuordnungen Lernplakat Test zur Überprüfung des Wissens aus den Lernplakaten Aufgabenstellungen zur authentischen Lernleistung und Bewertungskriterien sowie Protokoll Bewertung des Projekts Relevanz des Themas Neben dem oben genannten Bezug zum Alltag und zu verschiedenen Sachsituationen ist auch die innermathematische Relevanz hervorzuheben. Die Arbeit mit Funktionen als eindeutige Zuordnungsvorschrift ist ein zentrales Element der Mathematik und aller Naturwissenschaften. Der Grundstein für dieses Verständnis wird im Thema Zuordnungen gelegt. Vorkenntnisse Die Unterrichtseinheit ist so konzipiert, dass die notwendigen fachlichen Kenntnisse in der Aneignungs- und Instruktionsphase den Schülerinnen und Schülern vermittelt werden. Hilfreich sind für die Lernenden Kenntnisse im Dreisatz und die Bedeutung einer Variablen. Didaktisch-methodische Analyse Diese Lerneinheit versucht, die Kompetenzen des Lehrplans zielsicher zu vermitteln und gleichzeitig den Schülerinnen und Schülern möglichst viele Gestaltungsfreiheiten zu lassen. Der Beginn (Phase I) lässt sich dabei am ehesten mit dem klassischen Unterricht vergleichen. Durch die Bewegungsabläufe, die die Lernenden idealerweise selbst durchführen und beschreiben, wird ein hoher Grad an Schülerinnen und Schüler-Aktivierung erreicht. Intuitiv entdecken sie damit die Bedeutung der Zuordnung "Weg à Zeit“. Gleichzeitig wird bereits auf die grafische Darstellung von Zuordnungen eingegangen. Es findet also bereits eine Modellierung statt. Weitere Beispiele und einzelne Übungsaufgaben festigen dieses Wissen zunächst. Etwas formalisierter sollen solche Zusammenhänge dann mit Formeln beschrieben werden, die sich vor dem Hintergrund der didaktischen Reduktion zunächst auf lineare Wachstumsvorgänge beschränken. Je nach zeitlichem Umfang können auch andere Vorgänge (etwa der Bremsweg) mit Formeln beschrieben werden. Hier sollte allerdings nicht zu viel vorgegriffen werden, sollten die Lernenden dies in Phase III untersuchen wollen. Darauffolgend erstellen die Schülerinnen und Schüler in selbst gewählten Kleingruppen Lernplakate zu Proportionalität und Antiproportionalität (Phase II). Hier wird die Lehrkraft nur bei inhaltlichen Nachfragen aktiv, um die individuelle Lernleistung nicht zu beeinträchtigen. Die Lernenden recherchieren eigenständig, organisieren sich in ihren Gruppen und wählen verständnisfördernde Beispiele. Damit alle Gruppenmitglieder aktiv sind, wird ein Aktivitätsprotokoll von der Gruppe ausgefüllt. Dies hat den zusätzlichen Vorteil, dass es bei den klassischen Streitigkeiten ("Ich habe am meisten gemacht.“) einen gemeinsamen Bezugspunkt, auch für die Bewertung, gibt. Durch das eigenständige Nutzen von mobilen Devices und die selbständige Recherche fördert man an dieser Stelle auch die Medienkompetenz. Nachdem die Lernplakate erstellt worden sind, soll eine Lernzielkontrolle stattfinden. Dies schafft eine Verbindlichkeit und bildet einen Grundstein für eine Bewertung. Es empfiehlt sich im Vorhinein den Lernenden in einer gemeinsamen Stunde die Möglichkeit zu geben, Fragen zu stellen. In der Phase III haben die Lernenden die Wahl zwischen zwei Projekten. Die Modellierungskompetenz wird vor allem bei der Erstellung des Escape Rooms gefördert. Hierbei muss eine Rahmengeschichte erstellt werden und reale Situationen werden in ein mathematisches Modell in Form einer Aufgabe beziehungsweise eines Rätsels übersetzt (Mathematisieren). Durch die Vorgabe, dass unterschiedlich schwierige Rätsel erstellt werden sollen, wird auch der Differenzierung innerhalb der Gruppe Rechnung getragen. Minimalziel ist die Erstellung eines Schnellhefters. Ein Lösungsblatt soll für die Lehrkraft erstellt werden. Bei dem Experiment müssen die Schülerinnen und Schüler einen Sachverhalt ihrer Wahl untersuchen. Alternativ kann die Untersuchung des Bremsweges vorgeschlagen werden. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich zunächst, wie man einen Versuch zur Prüfung von Proportionalität aufbaut, die Daten notiert und am Ende mathematisch auswertet. Die Lehrkraft kann beim Versuchsaufbau, beim Protokoll und so weiter Hilfestellungen geben. Bewertet wird die Leistung der Lernenden in Form eines bepunkteten Erwartungshorizonts. Eine Gewichtung kann anteilig von 55 Punkten berechnet werden. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler charakterisieren Zuordnungen und grenzen diese anhand ihrer Eigenschaften voneinander ab. beschreiben zu gegebenen Zuordnungen passende Sachsituationen. lösen innermathematische und alltagsnahe Probleme mithilfe von Zuordnungen auch mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und Multirepräsentationssysteme). Prozessbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler stellen eigene Fragen zu realen Situationen, die mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten beantwortet werden können. übersetzen reale Situationen in mathematische Modelle beziehungsweise wählen geeignete Modelle aus und nutzen geeignete Darstellungen. beziehen erarbeitete Lösungen auf die reale Situation, interpretieren diese als Antwort auf die Fragestellung und überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler führen Informationsrecherchen zielgerichtet durch und wenden dabei Suchstrategien an. filtern und strukturieren themenrelevante Informationen und Daten aus Medienangeboten, wandeln diese um und arbeiten sie auf. 21ft Century Skills Die Schülerinnen und Schüler arbeiten ko-konstruktiv und ko-kreativ bei der Erstellung ihrer Lernprodukte. hinterfragen die von ihnen bearbeiteten Materialien kritisch und bewerten die Qualität der Informationen. kommunizieren ihre Arbeitsergebnisse sach- und adressatengerecht in ihren Gruppen und vor der Schulgemeinschaft.

In dieser Unterrichtseinheit erkunden die Lernenden die faszinierende Welt der Quantenphysik und erfahren, dass der Zufall eine zentrale Rolle spielt. Anhand des Doppelspaltexperiments mit Elektronen wird erläutert, wie sich das Verhalten von Quantenobjekten nur noch durch Wahrscheinlichkeiten vorhersagen lässt und wie dies die klassische Physik revolutioniert hat. Die Lernenden sollen die Gesetzmäßigkeiten der normierten Wellenfunktion für Quantenobjekte nachvollziehen und Berechnungen hierzu ausführen. Lösungen zu den Übungsaufgaben stehen hierzu bereit. Die Hinführung zu dem durchaus schwierigen, weil unanschaulichen Thema "Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik" führt einmal mehr über den Doppelspaltversuch mit Elektronen . Der Versuch zeigt in großer Eindeutigkeit, wie sich die Elektronen nach dem Durchgang durch den Doppelspalt auf einem Nachweisschirm verteilen. Das aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus entstehende Interferenzmuster legt eine Auslegung an die Wellentheorie nahe. Den Lernenden muss hier allerdings verdeutlicht werden, dass die Wellenartigkeit mit den physikalischen Gesetzmäßigkeiten beispielsweise von Wasserwellen nichts zu tun hat. Vielmehr ordnet man Quantenobjekten eine Wahrscheinlichkeitswelle zu, was aber nichts anderes heißt, als dass man ein Quantenobjekt mit einer berechenbaren Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Ort finden kann. Die Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik Lange Zeit war sich die "Klassische Physik" sicher, dass alle Ereignisse unausweichlichen Gesetzmäßigkeiten folgen müssen – der Zufall wurde ausgeschlossen! Umso größer war die schockierende Wirkung zu Beginn des 20. Jahrhunderts, als sich in Versuchen zur sich entwickelnden Quantenphysik – wie etwa dem Doppelspalt-Experiment mit Elektronen – der Zufall darin zeigte, dass sich der Ort des Auftreffens eines Elektrons auf einem Nachweisschirm nur mit Wahrscheinlichkeiten angeben ließ. Die daraufhin im Laufe der Jahre entwickelte mathematische Funktion, mit der sich die Welleneigenschaften von Teilchen wie dem Elektron beschreiben lassen, heißt Wellenfunktion . Die Wellenfunktion ist eine weitestgehend abstrakte Formel ohne anschauliche physikalische Bedeutung, weil sie sich nicht direkt beobachten lässt. Mit der Wellenfunktion lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, zum Beispiel ein Elektron an einer bestimmten Stelle zu finden. Quantenobjekte sind für die Schülerinnen und Schüler der Sek II physikalisches Neuland. Dies gilt insbesondere deshalb, weil sie versuchen müssen zu verstehen, dass Mikroobjekte wie Photonen oder Elektronen stets Teilchen als auch Wellenphänomene aufweisen – gleichzeitig aber weder das eine noch das andere sind! Alle Berechnungen und Einordnungen beruhen auf den Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die sich an bekannte Gleichungen der klassischen Wellenlehre anlehnen. Das Schwierige dabei ist, dass man den klassischen Wellenbegriff abstrakt sehen muss – die sogenannte Wahrscheinlichkeitswelle hat mit einer Welle nur insofern etwas zu tun, dass man die Verdichtungen und Verdünnungen beim Interferenzbild als Orte wahrnehmen kann, wo Quantenobjekte mit größerer oder kleinerer Wahrscheinlichkeit gefunden werden können. Vorkenntnisse Physikalische Vorkenntnisse von Lernenden sind in der Sek II in Form der Wellengleichungen aus der Mechanik und der Elektrodynamik bekannt. Die komplexe Thematik bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Quantenobjekten werden zahlreiche Fragen an die Lehrkräfte zur Folge haben. Der schwierige Stoff wird vor allem in Kursen der Sek II zum Einsatz kommen, die von Schülerinnen und Schülern mit guten mathematischen Kenntnissen ausgewählt werden. Didaktische Analyse Das Thema "Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik" sollte die Lernenden dahingehend sensibilisieren, sich für schwierige Themen zu interessieren, die bereits jetzt, aber auch in Zukunft den technischen Fortschritt dominieren werden. Methodische Analyse Mit der Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik werden die Lernenden mit einem im Detail sehr schwierigen Stoff in der Sek II konfrontiert. Deshalb sollte man bei der Vermittlung des Stoffes darauf achten, dass die Fakten mithilfe von anschaulichen Abbildungen, Animationen, entsprechenden Videos und ergänzenden Übungsaufgaben so präsentiert werden, dass die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten verstanden werden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Verhalten von Quantenobjekten nicht mit den ihnen bisher bekannten Abläufen aus der klassischen Physik beschrieben werden kann. können die Gesetzmäßigkeiten der normierten Wellenfunktion für Quantenobjekte nachvollziehen und Berechnungen ausführen. wissen um die Bedeutung der Quantenphysik für die weitere Forschung und der sich daraus ergebenden technischen Anwendungen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten und Hintergründe im Internet. können die Sachinhalte von Videos, Clips und Applets auf ihre Richtigkeit überprüfen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Paar- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. müssen sich mit den Ergebnissen anderer Gruppen auseinandersetzen und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erhalten eine gewisse Fachkompetenz, um mit anderen Lernenden, Eltern, Freunden etc. diskutieren zu können.