Auf der Basis digitalisierter Fotoplatten aus der Sammlung der Sternwarte Sonneberg (Thüringen) erstellen und interpretieren die Schülerinnen und Schüler Lichtkurven veränderlicher Sterne. Und natürlich werden Veränderliche auch im Original beobachtet.Die bereits 1926 gestartete "Sonneberger Himmelsüberwachung" (Sky Patrol) beruht auf der Idee des deutschen Astronoms Paul Guthnick (1879-1947), den gesamten nördlichen Sternenhimmel per Astrofotografie zu überwachen. Nach mehr als 80 Jahren fotografischer Überwachung des Himmels lagern mehr als 275.000 Fotoplatten im Sonneberger Archiv - der zweitgrößten Sammlung der Welt - die die Geschichte des Lichtwechsels der bei etwa 50 Grad nördlicher Breite sichtbaren Himmelsobjekte (bis zur 14. Größenklasse) dokumentieren. Diese ?Chronik des Sternenhimmels? ist ein einmaliger Datenschatz, der noch viele Geheimnisse in sich birgt. Auf seiner Basis erstellen Schülerinnen und Schüler Lichtkurven eines veränderlichen Sterns vom Mira-Typ. Sie vergleichen diese mit Daten von Amateurastronomen aus dem Internet und planen eigene Beobachtungen von Mira und Algol. Das eigene Tun, die Arbeit mit Originaldaten und das Erfolgserlebnis sollen die Motivation und das Interesse an den Naturwissenschaften und der Mathematik fördern.Die an der Sternwarte Sonneberg seit 2004 durchgeführte Digitalisierung von Fotoplatten der Sonneberger Himmelsüberwachung eröffnet die Möglichkeit, Himmelsaufnahmen an jedem Computer "in die Hand zu nehmen" und Veränderlichenforschung in jeder Schule zu betreiben. Für das hier vorgestellte Projekt stellte die Sternwarte eine Auswahl der Plattenscans zur Verfügung. Das Projekt basiert auf didaktischen Materialien, die im Rahmen des Projektes Wissenschaft in die Schulen! entwickelt wurden. Der Einsatz der Argelander Stufenschätzmethode wurde im Rahmen eines Astronomiekurses der deutschen Schülerakademie (Thema: "Lichtsignale aus dem All - Veränderliche Sterne", Marburg 2005) und bei Lehrerfortbildungen (Sonneberg 2004, MNU Karlsruhe 2006) erfolgreich getestet. Methoden, Fertigkeiten und Computereinsatz Im Rahmen des Projektes wird die Nutzung des Computers als nützliches Werkzeug auf vielfältige Art gefördert. In der Astronomie beginnt (fast alles) mit der Beobachtung Mit Sternkarten oder Planetariumsprogrammen werden Positionen und Sichtbarkeiten von Veränderlichen bestimmt. Der Lichtwechsel von Veränderlichen Lichtkurvendiagramme und Ursachen der Veränderlichkeit von Sternen werden vorgestellt und mithilfe einfacher Modelle erklärt. Der fotografierte Himmel Original-Fotoplatten aus dem Sonneberger Archiv werden untersucht. Ein Veränderlicher wird aufgespürt und Helligkeitsschätzungen werden vorbereitet. Die Argelander Stufenschätzmethode Aus 23 Stufenschätzungen erstellen die Schülerinnen und Schüler eine beispielhafte Lichtkurve des Veränderlichen R Cassiopeia. Der Veränderliche R Cassiopeia Auf der Basis von 83 Schätzfeldern werden das Stufenwert-Helligkeit-Diagramm und die Lichtkurve von R Cas dargestellt (Millimeterpapier oder Tabellenkalkulation). Was uns die Lichtkurve verrät Lichtkurven von R Cassiopeia werden interpretiert und verglichen. Details zu den Mira-Sternen und den Ursachen ihres Lichtwechsels werden berichtet. Rückkehr zur Beobachtung: Mira und Algol Die Schülerinnen und Schüler planen die Beobachtung der Veränderlichen Sterne Mira und Algol. Die Schülerinnen und Schüler sollen basierend auf digitalisierten Fotoplatten der Sternwarte Sonneberg die Lichtkurve eines veränderlichen Sterns erstellen und dabei die Argelander Stufenschätzmethode anwenden. eine wissenschaftliche Arbeitsweise erleben, die über Jahrzehnte im Zentrum der Forschungsarbeit vieler Sternwarten stand. sich mit der Messfehlerproblematik auseinandersetzen. die Typen Veränderlicher Sterne kennen lernen und die Ursachen der Veränderlichkeit verstehen. Veränderliche Sterne beobachten. Schätzmethode und Messfehlerproblematik Das hier vorgestellte Projekt knüpft an verschiedene "Wissensbereiche" an und trainiert vielfältige Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler. Ein zentraler Punkt ist die Vermittlung einer grundlegenden Methode zur Helligkeitsbestimmung von Sternen - der Argelander Stufenschätzmethode. Hierbei wird das Prinzip der Relativmessung angewandt und verdeutlicht. Die Funktion des Auges als "Messinstrument" rückt ins Bewusstsein der Schülerinnen und Schüler. Die Subjektivität des Augenmaßes ist gut geeignet, die Messfehlerproblematik (subjektive Fehler) zu belegen. Physikalisch-mathematische Denkweisen Die Frage nach den Ursachen des Lichtwechsels der Sterne bedarf physikalischer und mathematischer Denkweisen. Das Projektergebnis ist eine Lichtkurve, die den zeitlichen Verlauf der Sternhelligkeit präsentiert. Diese Kurve gilt es zu interpretieren, wobei grundlegende Begriffe wie Periode und Amplitude genutzt werden müssen. Mustererkennung und Datenauthentizität Es sei auch erwähnt, dass die Arbeit mit Bildern von Sternfeldern die Fähigkeit der Mustererkennung schult. Der Umgang mit wissenschaftlichen Originaldaten vermittelt Authentizität, die wichtig für die "Anerkennung" des in der Schule Gelernten ist, und ist zudem ein Motivationsfaktor für die Schülerinnen und Schüler. Der Computereinsatz spielt in dem Projekt eine zentrale Rolle. Die zu untersuchenden Sternfelder liegen als Bilddateien vor, wobei die Helligkeitsstufen der Sterne am Bildschirm geschätzt werden können. Weitere Daten können über das Internet (Sternwarte Sonneberg) abgerufen werden. Die Datenauswertung kann durch Excel oder andere Tabellenkalkulationsprogramme unterstützt werden. Zur Interpretation der Ergebnisse kann auf so genannte Lichtkurvengeneratoren zurückgegriffen werde, die aus Daten von verschiedenen Amateurbeobachtern Lichtkurven für viele Veränderliche erstellen. Zur Veranschaulichung der Ursachen der Veränderlichkeit eignen sich Animationen. Zur Planung der Beobachtung von Veränderlichen werden Planetariumsprogramme, Datumsrechner (Umrechnung zwischen Julianischem und Gregorianischem Datum) und verschiedene Informationsseiten (zum Beispiel vorausberechnete Maxima und Minima von bestimmten Veränderlichen) aus dem Internet genutzt. Einstieg und Motivation Die Lernenden sind mit der Definition eines Stern und den Sternbild- und Sternbezeichnungen bereits vertraut. Sie erfahren, dass es im Sternbild Walfisch einen Stern mit dem Namen Mira gibt, was "Die Wunderbare" bedeutet. Per Beamer oder Overheadfolie wird eine historische Karte des Sternbildes gezeigt und gefragt, warum der Stern so heißen könnte. Recherche Die Jugendlichen recherchieren Informationen zu Mira im Internet oder nutzen ausgelegte Printmaterialien (Bücher, Artikel). Sie lernen, dass bestimmte Sterne ihre Helligkeit auch in kurzen Zeiträumen ändern und können diese Zeiträume von langfristigen Änderungen, die mit der Sternentwicklung zusammen hängen, abgrenzen. Erste Bekanntschaft mit den Veränderlichen Die Schülerinnen und Schüler suchen mithilfe detaillierter Sternkarten oder eines Planetariumsprogramms die Positionen der Veränderlichen Sterne Omikron Ceti (Mira), Beta Persei, Delta Cephei, Alpha Orionis und Beta Lyrae auf und tragen diese in die unbeschriftete Sternkarte des Arbeitsblattes ein (sternkarte_veraenderliche.pdf). Sie bestimmen die Jahreszeiten, in denen diese Sterne am Abendhimmel gut zu beobachten sind. Dies kann wiederum mit einem Planetariumsprogramm oder mit einer einfachen drehbaren Sternkarte erfolgen. Die Jugendlichen werden aufgefordert, die zum Zeitpunkt des Projektes beobachtbaren "Originale" auch am Abendhimmel - einzeln oder mit der Gruppe - aufzusuchen. Definition der Veränderlichen Veränderliche Sterne ändern ihre Helligkeit im Laufe der Zeit (Millisekunden bis Jahrhunderte). Die Amplituden liegen zwischen 0,001 und 20 Größenordnungen (mag = magnitudo, Scheinbare Helligkeit). In diesem Sinne ist auch unsere Sonne ein Veränderlicher Stern (11 Jahre, 0,004 mag = 0,4 Prozent). Historisches Der erste Veränderliche wurde im Jahre 1596 durch den in Ostfriesland lebenden Pfarrer David Fabricius entdeckt. Er beobachtete im Sternbild Cetus (Walfisch) einen Stern, den er Monate später nicht mehr und nach weiteren Monaten wieder deutlich sehen konnte. Er nannte diesen Stern Mira (lateinisch "Die Wunderbare"). Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts wurden lediglich 16 weitere Veränderliche gefunden. Erst nachdem man begann, den Himmel zu durchmustern um Sternkataloge zu erstellen, stieg die Zahl der zufälligen Entdeckungen von veränderlichen Sternen. Nach der Einführung der Fotografie in die astronomische Beobachtung hatte man eine Methode zur systematischen Veränderlichensuche, bei der sich in Deutschland die Sonneberger Sternwarte besondere Verdienste erwarb. Die Zahl der bekannten Veränderlichen stieg sprunghaft an. Bis 1968 wurden etwa 10.000 Objekte entdeckt (bis heute etwa 11.000). Printmedien zum Thema "Veränderliche Sterne" für die Recherche (alternativ oder zusätzlich zur Internetrecherche) alternativ zum Planetariumsprogramm eine detaillierte Sternkarte eine drehbare Sternkarte Mira und die Veränderlichen - Ergebnissicherung Die Ergebnisse der Vorstunde (Position von Veränderlichen auf der Sternkarte und ihre Beobachtbarkeit) werden per Schülerdemonstration kurz vorgestellt (vergleiche Ergebnisblatt "sternkarte_veraenderliche_ergebnisse.pdf"; Präsentation per Beamer oder Overhead-Folie). Nach der Zusammenfassung der "Eckdaten" der Mira-Veränderlichkeit (die Helligkeit von Mira schwankt mit einer Periode von etwa 331 Tagen zwischen der 2. und der 9. Größenklasse) führt das Unterrichtsgespräch zu der Forderung nach einem Hilfsmittel zur Vorhersage. In einem Lehrervortrag werden die Größe "Scheinbare Helligkeit", die Julianische Tageszählung und Lichtkurven vorgestellt. Einzelne Schülerinnen und Schüler zeichnen Lichtkurven an die Tafel, die die zeitlichen Verläufe der scheinbaren Helligkeiten folgender Objekte wiedergeben: Stern mit konstanter Helligkeit Mondbedeckung eines Sterns "Sinkender Stern" (Lichtschwächung durch die Atmosphäre) Typen Veränderlicher Sterne Animationen von verschiedenen Veränderlichen (Cepheiden, Algol-Veränderliche, Eruptive Veränderliche) werden per Beamer präsentiert und Lichtkurven an der Tafel vorgegeben. Die Lernenden ordnen diesen Lichtkurven die in den Animationen dargestellten Typen veränderlicher Sterne zu. In einem Lehrervortrag wird mithilfe von Vergleichen und Analogien ein grobes Bild der physikalischen Hintergründe des Lichtwechsels vermittelt. Variable stjerner: Animationen Animationen und Informationen von Erling Poulsen auf der Website des Rundetaarn-Observatoriums in Dänemark. Veränderlichentypen und die Ursache des Lichtwechsels Die Aufzeichnung des Lichtwechsels der Veränderlichen zeigt, dass es verschiedene Gruppen von Sternen mit ähnlichem Verlauf der Lichtkurve gibt. Heute kennt man viele verschiedene Typen veränderlicher Sterne, die sich entsprechend der Hauptursache ihrer Veränderlichkeit drei Familien zuordnen lassen: den pulsierenden Veränderlichen (zum Beispiel Mira-Sterne, Cepheiden), den eruptiven Veränderlichen (zum Beispiel Novae und Supernovae) und den Bedeckungsveränderlichen (zum Beispiel Algol-Sterne). Pulsationssterne "Normale" Sterne verhalten sich wie eine Schaukel auf einem Spielplatz, die nur einmal angeschoben wurde - ihre Schwingung endet schnell infolge der Dämpfung. Pulsationssterne haben einen "Ventilmechanismus", der dafür sorgt, dass die Schwingung durch regelmäßige Energiezufuhr (Strahlungsenergie) aufrechterhalten wird. Eruptive Veränderliche Ursache sind schnelle Fusionsreaktionen (lokal oder global), etwa vergleichbar mit einem gleichmäßig brennenden Feuer, in das schnell entzündlicher Brennstoff gegeben wird oder das eine Temperatur erreicht hat, bei der ein bestimmter Stoff plötzlich zu brennen anfängt. Bedeckungsveränderliche Bedeckt der kleinere Stern eines Doppelsternsystems einen Teil des größeren oder helleren Sterns des Systems, ergibt sich ein schmales Minimum in der Lichtkurve. Wenn der kleinere hinter den größeren Stern gerät, beobachtet man ein weiteres, weniger tiefes Minimum der Leuchtkraft. Die Leuchtkraft der beiden Sterne selbst ist konstant. Der "Mechanismus" entspricht dem Prinzip einer Sonnenfinsternis. Die im Unterricht gezeigten Animationen zu den Veränderlichentypen finden Sie auf der Seite zu den Variable stjerner des Rundetaarn-Observatoriums in Dänemark. Vorkenntnisse Die Schülerinnen und Schüler sind mit der Betrachtung und Bearbeitung digitaler Bilder und im Umgang mit der verwendeten Bildbearbeitungs-Software vertraut. Untersuchung einer Fotoplatte Den Lernenden wird der digitalen Scann der "Platte 300300" aus dem Sonneberger Plattenarchiv aus dem Jahr 1966 vorgestellt (Präsentation per Beamer). Diese Platte zeigt unter anderem das Sternbild Cassiopeia. Die Jugendlichen verbinden am Rechner in Partnerarbeit die hellsten Sterne dieses Sternbildes miteinander (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) und vergleichen das Sternbild mit einer Darstellung auf einer Sternenkarte. Bevor die Arbeit mit den Sternfeldaufnahmen beginnt, müssen die Schülerinnen und Schüler für die "Bildprobleme" sensibilisiert werden. Auch die Orientierung auf der Himmelsaufnahme stellt eine Herausforderung dar. In Partnerarbeit und im Unterrichtsgespräch werden folgende Fragen beantwortet: Woraus kann auf die Sternhelligkeiten geschlossen werden? (Größe und Schwärzung der Scheibchen) Die Schwärzungsscheibchen der Sterne verändern ihr Aussehen mit zunehmendem Abstand vom Plattenzentrum. Wie verändern sie sich und wie lässt sich das erklären? (beste Abbildung auf optischer Achse; mit größer werdendem Abstand wird insbesondere der Astigmatismus wirksam) Untersuchung von "Platte 300308": Wann wurde diese Platte aufgenommen? Was fällt auf dieser Fotoplatte auf? (14. Oktober 1966; die Fotoplatte zeigt einen kleinen Kometen, siehe Abb. 2) Die Ergebnisse werden an der Tafel oder auf einer Folie gesichert. Den Jugendlichen soll bewusst werden, dass ein Archiv von Himmelsaufnahmen eine "Chronik der Geschichte des Sternhimmels" darstellt und dass Sternfeldaufnahmen als Grundlage für die Bestimmung von Lichtkurven genutzt werden können. Aufspüren des Veränderlichen R Cassiopeia Die Lernenden erleben, dass durch den Wechsel zwischen verschiedenen Aufnahmen ein und desselben Sternfeldes Helligkeitsänderungen "ins Auge springen". Zur Erleichterung der Arbeit wird dafür das interessierende Sternfeld (Schätzfeld) aus der digitalen Fotoplatte am Computer ausgeschnitten. Die resultierenden Bilder werden dann mit geeigneter Software "zum Laufen" gebracht (zum Beispiel mit einem GIF-Animator oder durch den schnellen Bildwechsel mit dem Windows Bildbetrachter Image Viewer). Das Ergebnis ist eine kleine Animation, mit deren Hilfe der Veränderliche "R Cas" (ein Mira-Stern), aufgespürt wird (siehe "r_cas_neg.mov"). Vorbereitung der Helligkeitsschätzung Die Schülerinnen und Schüler schneiden aus der Aufnahme "fotoplatte_300308.jpg" den im Bild "fotoplatte_300296_teil.jpg" gezeigten Bildausschnitt um R Cas herum aus und beschriften den Veränderlichen sowie die Vergleichssterne A, B, und C. Abb. 3 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Schätzfelder aus "fotoplatte_300296_teil.jpg" (oben) und "fotoplatte_300307_teil.jpg" (unten). Es handelt sich um zwei Aufnahmen, die in geringem zeitlichen Abstand aufgenommen wurden. Der Helligkeitswechsel von R Cassiopeia (R) ist deutlich zu erkennen. Historischer Einstieg Im Rahmen eines kurzen Lehrervortrags wird berichtet, dass Mitte des 19. Jahrhunderts Friedrich Wilhelm Argelander (1799-1875) seine Methode zur Helligkeitsbestimmung von Sternen entwickelte, die eine systematische Katalogisierung der Sternhelligkeiten ermöglichte. Damit versetzte er auch die Amateurastronomen in die Lage, Helligkeitsänderungen bei Sternen festzustellen und sich in die astronomische Forschungsarbeit einzubringen. Erstellung der Lichtkurve Die Argelander Stufenschätzmethode wird vorgeführt und dann gleich anhand projizierter Sternfeldbilder (siehe Abb. 4 und "stufenschaetzmethode_einfuehrung.pdf") in Zweiergruppen geübt. Die Lehrkraft führt die Präsentation "stufenschaetzmethode_einfuehrung.pdf" per Beamer vor und die Schülerinnen und Schüler schätzen und notieren die Ergebnisse in einer Tabelle (tabelle_r_cas_stufenschaetzung_leer.pdf). Ziel der beiden Unterrichtsstunden ist die beispielhafte Erstellung einer Lichtkurve aus 23 Stufenschätzungen des Veränderlichen R Cassiopeia (R Cas). Es soll noch keine Interpretation der Ergebnisse vorgenommen werden. Die verwendeten Daten werden im folgenden Abschnitt des Projektes, ergänzt durch viele neue Daten, erneut vorkommen. Die Schülerinnen und Schüler sollen dann bewusst diese Sternfelder noch einmal schätzen, um zu erleben, dass subjektive Fehler mit Erfahrung, Tagesform und vielen anderen Faktoren zu tun haben. Schätzungsfelder - Auswertung mit oder ohne Computer Den Schülerinnen und Schülern stehen 83 Schätzfelder des Gebietes um den Stern R Cassiopeia zur Verfügung. Im Rahmen der Auswertung dieser "Rohdaten" können die Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler bei der Nutzung des Computers als Werkzeug intensiv geschult werden. So bietet sich beim Schätzen der Helligkeiten am Bildschirm der Windows Bildbetrachter Image Viewer als Instrument an, das es sehr einfach macht, von einem Schätzungsfeld zum nächsten zu wechseln. Die Schätzungsfelder werden dabei stets auf Bildschirmgröße geweitet. Die Stufenschätzung kann - bei Mangel an Computern - wie beim Einstieg in die Argelander Methode (4. und 5. Stunde) auch frontal am Projektionsbild im gut verdunkelten Raum durchgeführt werden. Alternativ können die Helligkeiten auch auf Ausdrucken der Plattenausschnitte geschätzt werden. Auswertung der Daten per Tabellenkalkulation Excel oder andere Tabellenkalkulations-Software erlauben das praktische Einfügen von Datenkolonnen per "Copy" und "Paste". Sie ermöglichen auch eine automatisierte Berechnung der Helligkeiten aus den Stufenwerten (siehe "mappe_auswertung.xls"). Hierbei kann die zuvor mit Excel bestimmte Formel der Regressionsgeraden im Stufenwert-Helligkeit-Diagramm genutzt werden. Abb. 5 zeigt die von den Schülerinnen und Schülern ermittelte Lichtkurve des Veränderlichen R Cas. 7. Stunde Die Jugendlichen praktizieren die Argelander Stufenschätzmethode am Computerbildschirm oder anhand von Ausdrucken der Schätzungsfelder. 8. Stunde Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Stufendifferenzen, berechnen Mittelwerte, korrigieren die Stufenwerte und ermitteln endgültige Stufenwerte. 9. Stunde Die Lernenden ermitteln Stufenwerte für die Vergleichssterne, zeichnen das Stufenwert-Helligkeit-Diagramm (Millimeterpapier oder Tabellenkalkulation) und bestimmen mit diesem aus den Stufenwerten die Helligkeiten. Sie zeichnen die Lichtkurve auf Millimeterpapier oder mithilfe eines Tabellekalkulations-Programms. Alternativ zur Auswertung mit Excel oder einem anderen Tabellenkalkulationsprogramm können auch Taschenrechner und Millimeterpapier zum Einsatz kommen. Die folgenden Begriffe und Phänomene müssen den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein, um die physikalischen Hintergründe des Pulsationsmechanismus von Mira-Sternen zu verstehen: gedämpfte, ungedämpfte und erzwungene Schwingungen Kompression und Expansion von Gas Wärme und Wärmeenergie Ionisation und Ionisationsenergie Energietransport durch Strahlung Absorption Interpretation der Lichtkurve von R Cas Die Jugendlichen zeichnen eine Ausgleichskurve durch ihre Datenpunkte, beschreiben den Kurvenverlauf, ermitteln die Periodendauer von R Cas (etwa 430,5 Tage) und bestimmen anhand der Lichtkurve den Variablentyp (Mira-Stern). Sie erzeugen mithilfe eines Online-Lichtkurvengenarators eine Vergleichslichtkurve auf der Basis der Daten von geübten Amateurbeobachtern. Die Übereinstimmung wirkt sehr motivierend. Gemeinsamkeiten, aber auch Unterschiede werden beschrieben und erörtert: Die Verläufe sind sehr ähnlich, die Helligkeitsbereiche unterscheiden sich jedoch. Dies liegt daran, dass die Sonneberger Daten fotografisch gewonnen wurden, die Amateurdaten aber auf Augenbeobachtungen basieren. Die Empfindlichkeit der fotografischen Emulsion über der Wellenlänge ist etwas anders als die des Auges. Mira-Sterne und ihr Lichtwechsel Der die Stunde abschließende Lehrervortrag zu Mira-Sternen und dem Zustandekommen ihrer Pulsationen erfordert die oben genannten physikalischen Vorkenntnisse. Mira ist ein Roter Riese vom Spektraltyp M. Mira selbst hat einen mittleren Durchmesser von etwa 550 Millionen Kilometern. Der Stern würde damit das Sonnensystem bis hin zum Planetoidengürtel ausfüllen. Die wahre mittlere Sterngröße ist jedoch kleiner, denn eine den Stern umgebende Wolke aus Molekülen täuscht ein größeres Ausmaß vor. "Die Wunderbare" im Walfisch repräsentiert das Endstadium eines Sterns von der Masse unserer Sonne. Der Pulsationsmechanismus von Mira Die Pulsation ist mit einer ungedämpften Schwingung vergleichbar. Dieser Mechanismus funktioniert nur, wenn Energie im richtigen Schwingungszustand (in der richtigen Phase) zugeführt wird. Ein anschauliches Bild dafür bietet eine Spielplatz-Schaukel: Die Schwingung der Schaukel bleibt erhalten, wenn man sie bei der "Auswärtsbewegung" anschiebt. So muss auch der Hülle eines schwingenden Sterns Energie zugeführt werden, wenn sie expandiert. (Wärme-)Energie kann im Stern nur durch Strahlung zugeführt werden. Dazu ist es erforderlich, dass der Stern bei Kompression "undurchsichtiger" wird, das heißt, Strahlungswärme "tankt", die dann bei der Expansion treibend (entdämpfend) frei werden kann. In "normalen" (nicht veränderlichen) Sternen sind die Verhältnisse gerade umgekehrt, so dass Schwingungen schnell ausgedämpft werden. In Riesensternen kann dieser Fall aber in der richtigen Tiefe eintreten. Weitere Details In Mira sind die Bedingungen für die Ionisation von Wasserstoff (Temperatur und Druck) in genau der Tiefe gegeben, die für die Aufrechterhaltung des Pulsationsmechanismus erforderlich ist. Da die Sternmaterie größtenteils aus Wasserstoff besteht (im Zentrum eines Sterns ist in der Endphase seines "Lebens" zwar nur noch Helium oder Kohlenstoff vorhanden, aber rundherum bleibt viel Wasserstoff übrig, der nicht zum Fusionieren kommt) und dessen Ionisationsenergie hoch ist, wird dabei viel Energie gespeichert, die bei der Expansion massiv frei wird. Mira-Sterne pulsieren weitaus stärker als Cepheiden. Ihre starke Helligkeitsänderung beruht auch auf der periodischen Entstehung von absorbierenden Molekülen im Außenbereich. Allgemeine Hinweise Mira soll nun gezielt mit bloßem Auge gesichtet werden (Beobachtungszeit: Herbst und Winter). Dazu ist es wichtig, die Zeit des Maximums und Minimums zu kennen. Diese Zeiten können im Internet recherchiert werden. Mit der Kenntnis des Lichtkurvenverlaufs (hier wird der Einfachheit halber eine Lichtkurve von R Cas zu Grunde gelegt) können die Jugendlichen nun auch den Zeitraum abschätzen, innerhalb dessen die Helligkeit von Mira unterhalb der 6. Größenklasse liegt (Wissenstransfer). Das Julianische Datum findet nochmals Anwendung, indem es ins bürgerliche (gregorianische) Datum umgerechnet werden muss. Ein anderes Beobachtungsprojekt betrifft den Bedeckungsveränderlichen Algol im Sternbild Perseus. Dieser Stern bietet die Möglichkeit, den Helligkeitsabfall innerhalb einiger Stunden mit bloßem Auge zu verfolgen. Dies können die Schülerinnen und Schüler auch an der Lichtkurve ersehen. Damit man das Minimum optimal beobachten kann, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein: möglichst kein Mondlicht während des Minimums möglichst große Höhe über dem Horizont günstige Abendzeit Zusammen mit astronomischen Grundkenntnissen sind hier die planerischen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler gefordert. Ausblickend lässt sich das für R Cas gegebene Sternfeld (27 Grad mal 27 Grad) nach weiteren Veränderlichen durchforsten. Die Plattendaten können beim Autor dieses Artikels, Dr. Olaf Fischer, angefragt werden. Es besteht auch die Möglichkeit einer Verlängerung der Messreihe für R Cas durch weitere Daten. Hier sollte eventuell entstandenes Schülerinteresse weitere Nahrung finden können.

In dieser Unterrichtseinheit entdecken die Schülerinnen und Schüler die Ästhetik der Mathematik, indem sie künstlerische Bilder durch zur leicht verständlichen Aufgabenstellung "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" herstellen. Sie vermittelt viel Mathematik und bereitet Lernenden erfahrungsgemäß viel Freude, weil man sehr schön experimentell arbeiten kann.Die Aufgabe "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" gelingt den Schülerinnen und Schülern auf verschiedenste Weise: per Hand und mit dem Computer, zum Beispiel mithilfe dynamischer Geometriesoftware, mit Computeralgebrasystemen oder Animationssoftware. Die Bearbeitung des Themas bietet vielfältige Variationsmöglichkeiten: Man kann zum Beispiel dazu übergehen, sehr viele Kreise durch mehrere Punkte zu zeichnen. Dabei wird insbesondere der Moiré-Effekt wirksam. Wenn man statt Kreisen andere geometrische Formen als Grundfiguren nutzt (zum Beispiel Strecken, Vierecke, Funktionsgraphen) lassen sich mathematische Kunstwerke produzieren, die ästhetische Aspekte der Mathematik erfahrbar machen.Die Problemstellung und ihre Fortführungen sind in unterschiedlichen Ausprägungen von Klasse 7 bis hin zum Abitur interessant und herausfordernd. Das Thema kann in den normalen Unterricht an verschiedenen Stellen eingebettet werden (zum Beispiel beim Lehrplaninhalt "Kreise" oder in der Analytischen Geometrie). Als Arbeitsform hat sich die Einzel- oder Partnerarbeit bewährt. Eine besondere Relevanz gewinnt die Problematik durch die experimentellen Arbeitsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Relationstypen, auch mit unterschiedlicher Software. Dazu kommen die sich anbietenden Aufgabenvariationen, die dann ein weites Feld von Mathematik eröffnen können. Auch algebraische und analytische Kenntnisse und Fähigkeiten kommen dabei immer wieder zum Tragen, etwa bei der Berechnung von Abbildungen wie Drehungen, zum Beispiel mit Matrizen. Abb. 1 liefert eine Übersicht der didaktischen Aspekte der Unterrichtseinheit.Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Kompetenzen zum Umgang mit digitalen Werkzeugen. schulen ihre Kreativität und die Fähigkeit zur Aufgabenvariation. erleben ästhetische Aspekte der Mathematik. erkennen Verknüpfungen zu Moiré-Bildern. entwickeln Animationsstrategien. nutzen die Konzepte "Mehrfachanwendung" und "Arbeiten mit Modulen". arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Lehmann, Eberhard Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht, Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra, Berlin 2007 ( Infos im Netz ) Lehmann, Hergen; Lehmann, Eberhard Programmsystem Animato, Animationsprogramm, Anwendungen, Berlin 2007 ( Infos zur Software )

Im Rahmen einer dreiteiligen Unterrichtssequenz soll eine komplexe AJAX-unterstützte Web-2.0-Anwendung handlungsorientiert entwickelt werden.Als Beispiel dient das Spiel Tic Tac Toe, das nach erfolgreicher Implementierung der Anwendung von jeweils zwei Spielenden an beliebigen Computern über das Internet gespielt werden kann. Zielgruppe der Unterrichtssequenz ist die Oberstufe eines Bildungsganges für Informationstechnische Assistentinnen und Assistenten. Bei dem Lerngegenstand handelt es sich um eine typische Web-2.0-Anwendung. Sie ist für die Schülerinnen und Schüler der Zielgruppe praktisch relevant, weil die Bedeutung von AJAX-unterstützten Webanwendungen in der Informationstechnik in Zukunft weiter zunehmen wird.Die Schülerinnen und Schüler sind bereit und in der Lage, eine komplexe Webanwendung zu implementieren, indem sie moderne Internet-Technologien und Software-Werkzeuge zielorientiert miteinander kombinieren und anwenden. Sie orientieren sich bei der Entwicklung an dem Model-View-Controller-Prinzip, um das Datenmodell der Anwendung von der Benutzerschnittstelle zu trennen. Dreiteilung der Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler sollen die Demoanwendung weitgehend selbstständig reproduzieren. Der gesamte Entwicklungsprozess wird in drei Hauptabschnitte gegliedert, die sich im Wesentlichen an der MVC-Architektur orientieren (Teil 1 behandelt die Ansicht, Teil 2 das Modell und Teil 3 die Steuerung). Auf diesem Wege werden sich die Schülerinnen und Schüler das Wesen und die Merkmale der Model-View-Controller-Architektur sukzessive selbstständig erschließen. AJAX I: Realisierung der grafischen Benutzerschnittstelle Der erste Teil der dreiteiligen Unterrichtssequenz befasst sich mit der Erstellung der aktiven grafischen Benutzerschnittstelle mithilfe von XHTML, CSS und JavaScript. AJAX II: Implementierung der serverseitigen Komponenten Der zweite Teil der AJAX-Unterrichtssequenz hat die serverseitigen Elemente der Anwendung zum Thema. AJAX III: Clientseitige Funktionen Der dritte und letzte Teil der Unterrichtsreihe beschäftigt sich mit den clientseitigen Funktionen der Webanwendung. Häusliche Entwicklungsarbeit Um das Projekt zu einem erfolgreichen Ergebnis zu führen, ist es unabdingbar, dass sich die Schülerinnen und Schüler auch zu Hause mit dem Projekt befassen. In der Praxis bedeutet das, dass im wöchentlichen Unterricht lediglich die Grundlage für die häusliche Entwicklungsarbeit der jeweils folgenden Woche gelegt wird. Nützlich ist dabei, wenn die Lerngruppe auch während dieser Zeit Gelegenheit hat, Fragen zu stellen und Probleme zu diskutieren (etwa via E-Mail oder mithilfe einer Lernplattform wie Moodle . Es ist unerlässlich, dass für die Unterrichtsgespräche ein gemeinsames Vokabular zur Verfügung steht, das sowohl Lehrkraft als auch Schülerinnen und Schüler sicher beherrschen. Insbesondere handelt es sich dabei um die folgenden Begriffe: Klassen, Objekte, Attribute und Methoden Der Punktoperator zum programmatischen Zugriff auf Attribute und Methoden eines Objekts Ereignisse (Events) und Ereignis-Behandlungsroutinen (Event Handler) Darüber hinaus ist es erforderlich, dass die Schülerinnen und Schüler über praktische Kenntnisse in der prozeduralen Programmierung (vorzugsweise mit C) verfügen. Elemente und Begriffe wie die folgenden dürfen keine Fremdwörter sein, sondern sollten von den Schülerinnen und Schülern aktiv für die Implementierung von Algorithmen angewendet werden können. Datentypen, globale oder lokale Variablen, Wertzuweisungen Arrays Funktionen for-, while- und do-, while-Schleifen if-, else if-, else- und switch-/case-Kontrollstrukturen Diese Kenntnisse stellen eine notwendige Grundlage für die erfolgreiche Arbeit mit JavaScript und PHP im Rahmen der gesamten Unterrichtssequenz dar. Demoversion Eine Demoversion liegt vor und muss vor Beginn der Unterrichtssequenz auf dem Lehrerarbeitsplatz funktionsfähig installiert sein. Dazu gehört auch die weiter unten beschriebene Entwicklungssoftware. Zeitplanung Insgesamt orientiert sich der Unterricht am Modell der vollständigen Handlung . Besonders für die verschiedenen Planungsphasen (Beschaffung und Konfiguration der Entwicklungswerkzeuge, Analyse der Funktionalitäten der Demoanwendung) sollte hinreichend viel Zeit eingeplant werden. Entwicklung und Implementierung der Webanwendung Die folgenden Ausführungen, Informations- und Arbeitsblätter sind der Versuch, die Entwicklung und Implementierung der Webanwendung sowohl fachlich als auch didaktisch in möglichst folgerichtige Schritte aufzuteilen, so dass die Anwendung von den Lernenden innerhalb von etwa 40 Unterrichtsstunden programmiert werden kann. In Hinblick auf die Zweckmäßigkeit der gewählten Aufteilung kann es durchaus unterschiedliche Meinungen geben. Da der gesamte, weitgehend kommentierte Quellcode der getesteten und funktionsfähigen Demoanwendung vorliegt, kann jederzeit von dem vorgeschlagenen Weg abgewichen werden. Lehrkraft als Berater Unabdingbar ist allerdings, dass die Lehrperson den Code und die Funktionsweise der Demoanwendung sehr gut kennt, um den Lernenden nötigenfalls Hinweise und Hilfestellungen geben zu können. Freier Aufbau der Implementierungen möglich Es ist dagegen nicht notwendig, dass die Schülerinnen und Schüler den Code der Demoanwendung 1:1 reproduzieren. Sowohl serverseitig als auch clientseitig sind, bedingt durch den Sprachumfang von JavaScript und PHP, viele unterschiedliche Implementierungen denkbar.

Auch in dieser Unterrichtseinheit lösen die Schülerinnen und Schüler mithilfe der Entwicklungsumgebung Delphi, die sie bereits selbstständig erkundet haben, im Modellunternehmen Info Tec GmbH ein betriebswirtschaftliches Problem.Die Stunde basiert auf einer betrieblichen Handlungssituation im Modellunternehmen Info Tec GmbH. Die Schülerinnen und Schüler befinden sich wieder in der Situation, als Programmierer ein betriebswirtschaftliches Problem zu lösen. Die Lernenden greifen dazu auf die Entwicklungsumgebung von Delphi zurück, die sie bereits selbstständig erkundet haben. Sie lernen dabei sukzessive Komponenten und Ereignisse kennen. Um ihre Fertigkeiten zu entwickeln, sollen sie selbstständig Mitschriften anfertigen, die Merksätze zur Programmierung sowie wichtige Informationen in tabellarischen Übersichten (Objekt, Eigenschaft, Reaktion, Ereignisse und Reaktionen, Übersicht von Eigenschaften et cetera) beinhalten, um beim Programmieren eine Gedächtnisstütze zu haben. Die Lernenden sind in der heutigen Stunde mit einer betrieblichen Situation konfrontiert, in der für eine Problemstellung eine Problemlösung zu erarbeiten ist, bei der bis dato unbekannte Befehle (Case-Anweisung) sinnvoll einzusetzen sind.Die Stunde basiert auf didaktischen Prinzipien der Handlungsorientierung sowie dem Prinzip des eigenverantwortlichen Arbeitens und Lernens (EVA). Entsprechend den Fähigkeiten sind die selbstständigen Erarbeitungsprozesse ergänzt um die Vorgabe notwendiger Fachinhalte. Als didaktische Elemente der Informatik liegt dem Unterricht eine Kombination aus programmiersprachlichem Zugang und einem Zugang über die Lern- und Programmierumgebung (Objektorientierung) zugrunde. Fortsetzung des Kommentars Das Prinzip der Schülerselbsttätigkeit ist Ziel, wird aber auf die aktuelle Leistungsfähigkeit abgestimmt. Unterrichtsverlauf und Arbeitsaufträge Hier finden Sie eine detaillierte Übersicht über den Unterrichtsverlauf und den Einsatz der Materialien. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre kognitive Kompetenz, indem sie auf Basis unterschiedlicher Leittexte erarbeiten, wie Fallunterscheidungen in einem Programm mit einer bestimmten Syntax lösbar sind. sensibilisieren sich dafür, eine bestimmte Syntax zur Umsetzung von Auswahlstrukturen im Rahmen von Problemstellungen sinnvoll einzusetzen. wenden Fachwissen aufgabenbezogen an, das in unterschiedlichen betrieblichen Kontexten von Bedeutung ist (Zinsstaffel, Rabattsystem, Boni et cetera) trainieren ihre Anwendungskompetenz, indem sie das allgemeine Vorgehen zur Problemlösung mittels Algorithmen einsetzen. festigen ihre Anwendungskompetenz im Hinblick auf den Umgang mit einer objektorientierten Entwicklungsumgebung sowie der Erstellung von Struktogrammen. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler schulen ihr Textverständnis, indem sie Informationen selektieren und strukturieren. erweitern ihre IT-Methodenkompetenz, indem sie Problemstellungen analysieren, mittels Editor als Struktogramm abbilden und mithilfe einer Programmiersprache realisieren. entwickeln ihre Selbsterschließungskompetenz, denn sie ist aufgefordert, im Rahmen des Lernarragements eine Problemlösung zu erarbeiten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler fördern durch Präsentation und Diskussion der Arbeitsergebnisse personale Kompetenzen wie Ausdrucksfähigkeit, freies Sprechen und Auftreten in einer Gruppe. Thema Die Verwendung der Case-Anweisung zur Lösung eines betriebswirtschaftlichen Problems in Delphi. Autor Christoph Dolzanski Fach Datenverarbeitung, Lernbereich: Algorithmen und Datenstrukturen, elementare Kontrollstrukturen (Verzweigung und Auswahl) codieren Zielgruppe Wirtschaftsgymnasium Jahrgangsstufe 12, Höhere Berufsfachschule Datenverarbeitung, Berufsschule Zeitrahmen mindestens 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen PC, Beamer, MS-Word, Delphi-Entwicklungsumgebung, Struktogrammeditor (Strukted32), Internet-Zugang für Recherchen bei Bedarf Planung Verlaufsplan Die Verwendung der Case-Anweisung Weitgehende Selbstständigkeit ermöglichen Um den individuellen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler zu entsprechen, sind die selbstständigen Erarbeitungsprozesse ergänzt um die Vorgabe notwendiger Fachinhalte. Das Prinzip der Schülerselbsttätigkeit ist Ziel, wird aber auf die aktuelle Leistungsfähigkeit abgestimmt. Programmiersprachlicher Zugang Als didaktische Elemente der Informatik liegen dem Unterricht eine Kombination aus programmiersprachlichem Zugang und einem Zugang über die Lern- und Programmierumgebung (Objektorientierung) zugrunde. Dem programmiersprachlichen Zugang entsprechend werden zunächst einfache und dann komplexere Sprachstrukturen eingeführt. Die gewählten Problemstellungen sind einfach. Sie bedürfen einer geringen Modellbildung, so dass die analytischen Fertigkeiten nicht überfordert werden. Dadurch entsteht der Nachteil, dass die praktische Relevanz der Aufgabenstellung geringer ausgeprägt ist und Sprachkenntnisse "auf Vorrat" erworben werden ("totes Wissen"). Vorteil des Vorgehens ist eine systematische Unterrichtsgliederung sowie ein erleichterter Zugang für die Schülerinnen und Schüler, die das schrittweise Erlernen aus dem Fremdsprachenunterricht kennen. Objektorientierung Der Rückgriff auf Merkmale des lern- und programmierumgebungsbezogenen Zugangs ist logische Konsequenz der objektorientierten Entwicklungsumgebung. Sie erlaubt die Verwendung von Objekten und Operatoren, die im Sinne eines Baukastens bereits als Elemente vorhanden und verwendbar sind. Die Codierung steht am Ende der Programmentwicklung. Unterstützung durch die Lehrkraft Das Vorgehen orientiert sich in starkem Maß an den kognitiven Voraussetzungen der Lernenden. Durch die Verwendung vorhandener Komponenten entstehen leistungsfähige Programme mit professionellem Aussehen, die Erfolgserlebnisse gewährleisten. Dabei ist der Nachteil, dass die Tiefe der vermittelten Informatikkenntnisse beschränkt bleibt, für die fokussierten Lerngruppen vertretbar. Das Problem unterschiedlicher Vorkenntnisse kann teilweise gelöst werden. Durch das Wirken der Lernenden als Lernbegleiter ist dieser Tatbestand abgemildert. Insbesondere die Tatsache, dass sich diese Form der Programmierung harmonisch mit den elementaren kognitiven Prozessen beim Denken, Erkennen und Problemlösen im menschlichen Gehirn vereinbaren lässt, spricht für das Vorgehen. Die auftretenden Schwierigkeiten bieten die Möglichkeit, gezielt Fragen aufzuwerten und sich damit auf dem Weg zur selbstgesteuerten und selbstverantwortlichen Informationsaufnahme zu entwickeln. Die Schülerinnen und Schüler sind für ihren Lernprozess verantwortlich und bestimmen in den Arbeitsphasen individuell ihr Lerntempo. Die Lernenden sind mit einer betrieblichen Handlungssituation konfrontiert, für die sie eigenständig eine Problemlösung erarbeiten. Erster Schritt des Handlungsmodells Die Schülerinnen und Schüler versetzen sich in eine betriebliche Handlungssituation, in der sie als Programmierer in einem bekannten Betrieb tätig sind. Die Vorstellung, auch bei schönstem Wetter intensiv arbeiten zu müssen, wird die Lernenden stören. Das Vorgehen ist geeignet, in der Unterrichtseröffnung die Lernbereitschaft der Schülerinnen und Schüler zu aktivieren. Sie werden im Sinne einer Problementfaltung dafür sensibilisiert, dass programmgestützte Werkzeuge zur Erledigung betrieblicher Aufgaben hilfreich sind. Zweiter Schritt des Handlungsmodells Die Partnerteams erhalten ihre Arbeitsaufträge und suchen und erproben geeignete Lösungen. Zunächst befasst sich jeder mit der Aufgabenstellung und den Informationen. Durch Diskussion der Vorgehensweise und der Lösungen im Team sowie dem Hinweis auf unterstützende Informationen werden Unsicherheiten reduziert und kreative Lösungen gefördert. Auftretende Schwierigkeiten und Fragen können festgehalten und im Plenum geklärt werden. In dieser Phase sind die Lernenden stark auf sich gestellt. Das Erleben von Unsicherheiten und Schwierigkeiten ist ein wichtiger Lernanlass, der nicht durch zu frühes Eingreifen verhindert werden soll. Wenn ein Team nicht mehr weiter weiß, kann der Lehrer in dieser Phase aktiv eingreifen und weitere Informationen zur Verfügung stellen. Dritter Schritt des Handlungsmodells Die Problemstellung wird im Plenum präsentiert. Es bietet sich an, zwei Teams die Ergebnisse vorstellen zu lassen. Die anderen Teams fungieren dann als Kontrollgruppen, die entsprechende Ergänzungen anbringen. Fragen und Schwierigkeiten beim Lösen der Problemstellungen können in diesem Schritt geklärt werden. Vierter Schritt des Handlungsmodells Auf Basis der gemachten Erfahrungen und der erworbenen Fähigkeiten werden Merkmale für das zielorientierte Vorgehen bei der Lösung der Problemstellung herausgearbeitet. Dabei steht das Festhalten von Kriterien, die der Vermeidung von Fehlern dienen, vor dem Anspruch auf Vollständigkeit der Handlungsanweisung. Diese Aufzeichnung kann dann bei nachfolgenden Aufgabenstellungen ergänzt und angepasst werden. Fünfter Schritt des Handlungsmodells Im fünften Schritt geht es darum, die gewonnenen Einsichten in praxisbezogenen Kontexten umzusetzen. Dies soll in einer folgenden Unterrichtsstunde aufgegriffen werden. Die Lernenden erhalten auf Basis der Handlungssituation dieser Unterrichtseinheit eine weitere Problemstellung, die sie in Delphi umsetzen. Der betriebswirtschaftliche Hintergrund der Fragestellung erlaubt einen Perspektivenwechsel und ermöglicht es, den fachübergreifenden Aspekt des Themas aufzugreifen.

Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper, der einzigen regelmäßigen "Vielflächner", deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke gleicher Eckenzahl sind. Es hat seit Urzeiten die Aufmerksamkeit von Künstlern und Philosophen gefunden und ist bis heute im Fokus solcher Aufmerksamkeit geblieben. Immer noch gibt es Neues an diesem Körper zu entdecken.Symmetrien üben nicht nur einen großen ästhetischen Reiz aus, sie sind auch in der Natur - der belebten wie der unbelebten - von fundamentaler Bedeutung. Ordnung und Chaos, Symmetrie und Symmetriebrechung sind Grundkategorien in der Wahrnehmung unserer Welt. Das Periodensystem der Elemente, die Postulierung von Quarks als Grundbausteine der Materie, die Entstehung der Welt durch den Urknall - all dies sind wissenschaftliche Ergebnisse, an deren Zustandekommen Betrachtungen der Symmetrie entscheidenden Anteil hatten. So stellt Lisa Randall, theoretische Physikerin, fest: "Der Begriff Symmetrie hat für die Physiker einen heiligen Klang."In den heutigen, an den Bildungsstandards orientierten Lehrplänen, taucht "Symmetrie" als Leitidee auf. Hier wird gefordert, Symmetrien an Körpern und ebenen Figuren zu untersuchen. Dies kann in Bezug auf die platonischen Körper auf sehr unterschiedlichen Anforderungsniveaus erfolgen: Vom Herstellen eines Dodekaeders mit Papier und Schere im 5. Schuljahr über die Berechnung von Streckenlängen, Abständen und Winkeln mit Mitteln der Trigonometrie (Klasse 10) bis hin zu Untersuchungen seiner Symmetriegruppe in der Sekundarstufe II ergeben sich zahlreiche Möglichkeiten. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind Materialien und Werkzeuge sowie Vorschläge zur Erarbeitung des Themas zusammengetragen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, welche primären Symmetrien ein Dodekaeder besitzt und ausgehend davon elementare Größen des Dodekaeders bestimmen können. erkennen, dass aus einer Abbildung beziehungsweise aus Daten des Dodekaeders Abbilder oder Daten der restlichen vier platonischen Körper abgeleitet werden können. erkennen, dass es außer Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder keine anderen regulären Polyeder geben kann. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems (oder geometrischer 3D-Software) Untersuchungen zu den Symmetriegruppen der platonischen Körper durchführen können. Thema Symmetrien des Dodekaeders (und anderer platonischer Körper) Autor Rolf Monnerjahn Fach Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Sekundarstufe I Zeitraum 7-9 Stunden Technische Voraussetzungen Computeralgebrasystem (MuPAD) oder dynamische 3D-Software Voraussetzungen Für den Unterricht in Mittel- und Oberstufe sollte entweder ein Computeralgebrasystem (hier verwendet: MuPAD) oder Dynamische Geometriesoftware für 3D-Konstruktionen zur Verfügung stehen, da so Symmetrien noch besser veranschaulicht werden können als durch reale Modelle - wobei auf letztere aber keinesfalls verzichtet werden soll. Das Dodekaeder sollte im Sinne eines Spiralcurriculums an mehreren Stellen Objekt des Mathematikunterrichts sein: In der Orientierungsstufe als interessanter Körper, mit dem Schülerinnen und Schüler sich konkret handelnd auseinandersetzen: Herstellen von Kantengerüst und Faltmodell. In der Mittelstufe als Gegenstand trigonometrischer Berechnungen (Winkel und Streckenlängen). In der Oberstufe als Objekt entdeckenden Untersuchens im Hinblick auf Symmetrien und Beziehungen zu den anderen platonischen Körpern und zu den archimedischen Körpern. Arbeit mit realen Modellen Grundlage jeglicher theoretischer Beschäftigung mit den platonischen Körpern sollte ein praktisches, handlungsorientiertes Herangehen durch Herstellung von Flächen- und Kantenmodellen sein. Auch die Symmetrien der platonischen Körper sollten auf der Grundlage der Arbeitsmaterialien zunächst praktisch erkundet werden: durch Rotation der Körpermodelle und Zerschneiden der Kartonmodelle, so dass durch Auflegen auf einen ebenen Spiegel die Vervollständigung des Körpers durch die Spiegelung erfahrbar wird. Die Darstellung der Körper und der Vollzug von Kongruenztransformationen sollten in Einzel- oder Partnerarbeit durch Handhabung eines CAS oder dynamischer 3D-Geometriesoftware erfolgen. Zusammengesetzte Kongruenzabbildungen wie etwa die Drehspiegelung sind praktisch nicht realisierbar, wohl aber mit derartiger Software deutlich zu veranschaulichen. Das hier beigegebene PDF-Dokument (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf) stellt eine Auswahl von Berechnungen und Abbildungen bereit, die mit MuPAD erarbeitet wurden. Es ist als Ideensammlung, zusammenfassende Darstellung und Anregung für den Umgang mit einem CAS gedacht. Einzel-, Partner- und Projektarbeit Die Unterrichtseinheit eignet sich vor allem zur Vertiefung von im Kernunterricht erworbenem faktischen und prozeduralen Wissen und sollte daher in Formen von Einzel-, Partner- und Projektarbeit organisiert werden. Dodekaeder und platonische Körper bieten als Unterrichtsobjekt den Vorteil, dass von einfachsten bis zu höchsten Ansprüchen gestufte Problemstellungen möglich sind. Nachfolgend werden Vorschläge für Arbeitsaufträge formuliert und thematischen Blöcken zugeordnet. 1. Die Darstellung der platonischen Körper Die Eckpunktdaten der platonischen Körper nach geeignetem Einzeichnen rechtwinkliger Dreiecke in Schrägbilddarstellungen (Arbeitsblatt 11) sind durch Anwendung der Trigonometrie zu berechnen, Kantenlängen, In- und Umkugelradius, Winkel zwischen Kanten und Winkel zwischen Flächen sind zu bestimmen. 2. Symmetrien der platonischen Körper Hier sind die Spiegelungen, Rotationen und aus Spiegelungen und Rotationen zusammengesetzten Kongruenzabbildungen zu bestimmen, die die platonischen Körper in sich selbst abbilden. Damit über diese Abbildungen Aussagen formuliert werden können, sind in den beigegebenen Arbeitsblättern 1 bis 5 auf die Netze der platonischen Körper die Durchstoßpunkte der Drehachsen aufgezeichnet, Mittellinien, Mittelsenkrechte und Diagonalen der Seitenflächen eingezeichnet, alle Eckpunkte und Flächen durchnummeriert und damit benennbar. Für das Tetraeder ist im Begleitmaterial die vollständige Symmetrietabelle beigegeben (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf). Für Ikosaeder und Dodekaeder ist es nicht sinnvoll, die vollständige Symmetrietabelle zu erarbeiten, wohl aber ausgewählte, vor allem zusammengesetzte Kongruenzabbildungen exemplarisch herauszugreifen. 3. Symmetrie als Grundlage von Emergenz Die fünf platonischen Körper sind durch Symmetrie und Dualität aufeinander bezogen. Dualität heißt, dass Hexa- und Oktaeder, Dodeka- und Ikosaeder jeweils durch Zuordnung von Ecken zu Flächenmitten aufeinander bezogen sind. Verbindet man die Flächenmitten eines Dodekaeders, so erhält man ein Ikosaeder, und verbindet man umgekehrt die Flächenmitten eines Ikosaeders, so erhält man ein Dodekaeder. Auch der Würfel ist durch Konstruktion (Aufbringen eines "Walmdachs" auf jede Fläche) zu einem Dodekaeder umzuwandeln (Arbeitsblätter 6,7, Video dodeca_cubus.wmv). Das Dodekaeder erlaubt durch seine umfassende Symmetrie die regulären Polygone Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck und Zehneck mehrfach aus seiner räumlichen Darstellung "herauszulesen". Diese Polygone und die Polyeder sind in die Schrägbilder der platonischen Körper durch Verbinden von Ecken, Flächen- und Kantenmitten, Diagonalenmitten einzuzeichnen (Arbeitsblatt 11). Hier ist Staunen angebracht: Aus einer Konstruktion, die lediglich auf einer Figur mit Winkeln von 108° und fünf Seiten gleicher Länge beruht, gehen - sozusagen als Dreingabe - Dreiecke, Quadrate, andere Fünfecke, Sechsecke, Zehnecke und völlig unterschiedliche Körper hervor! 4. Gesetzmäßigkeiten an den platonischen Körpern Dass es nicht mehr als fünf platonische Körper geben kann (Euklid), dass für ihre Graphen der Euler'sche Polyedersatz (e + f - 2 = k) gilt, dass nur für das Oktaeder ein Euler'scher Rundweg ("Abschreiten" aller Kanten ohne Wiederholung) existiert, sind leicht zu beweisende Gesetzmäßigkeiten. Das Aufsuchen Hamilton'scher Rundwege ("Abschreiten" aller Ecken ohne Wiederholung) ist eine ohne Überforderung realisierbare Erkundungsaufgabe (Arbeitsblatt 12). 5. Archimedische Körper Verzichtet man auf die Forderung, dass der Körper nur von gleichartigen regulären Vielecken begrenzt sein soll, ergeben sich 13 weitere Körper, die archimedischen, bei denen aber auch alle Kanten die gleiche Länge haben. Sie gehen zum Teil durch Abstumpfung der Ecken aus den platonischen Körpern hervor (siehe Arbeitsblatt 11). 6. Polyedersterne Errichtet man auf den Begrenzungsflächen der platonischen Körper Pyramiden, so erhält man Polyedersterne. Es ist eine reizvolle Bastelarbeit, solche Sterne herzustellen, indem man beispielsweise die Pyramidennetze zu den in den Arbeitsblättern 1 bis 5 vorgegebenen Polyedernetzen konstruiert und die Pyramiden auf die Polyederflächen aufklebt. Arbeitsblätter Die Netze aller platonischen Körper sind hier als Schnittbogen herunterzuladen (1-5). Den Netzen sind die Nummerierungen der Ecken und Flächen sowie alle Symmetrieachsen und drehsymmetrischen Zentren der Flächen aufgedruckt. Zusätzlich ist ein Schnittbogen zur Herstellung eines Umstülpmodells Hexaeder - Dodekaeder beigegeben (6, 7). Zwei Arbeitsblätter zeigen die Zentralprojektion des Dodekaeders in verschiedenen Ansichten (10) und die zentralprojektiven Darstellungen aller platonischen Körper (11). Dabei wurden zu jeder Kante Drittelungs- und Halbierungspunkte eingezeichnet, so dass die dualen Körper und die Abstumpfungen eingezeichnet werden können. Ein Arbeitsblatt zeigt die Graphen der platonischen Körper (12), womit Hamilton'sche und Euler'sche Rundwege gesucht werden können. Monnerjahn, Rolf MuPAD im Mathematikunterricht, Verlag Cornelsen, ISBN 978-3-06-000089-0 Zum Einarbeiten in die Handhabung des CAS MuPAD Adam, Paul und Wyss, Arnold Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, ISBN 3-7725-0965-7

Die hier vorgestellten Bausteine sind keine starre Unterrichtseinheit, sondern können auch in Wiederholungsphasen oder in besonderen Unterrichtsformen (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungen genutzt werden. Der Funktionenplotter Kurvenprofi wird dabei als Punkt- und Streckenplotter verwendet.Lange bevor Funktionen im Unterricht thematisiert werden, finden in den Klassen 5 und 6 Übungen im Koordinatensystem statt. So werden Punkte eingezeichnet und abgelesen, Spiegelungen und Verschiebungen vorgenommen und die Eigenschaften von Vierecken angewendet. Dies geschieht durch eine Beschränkung auf Punkte, Geraden, Strecken und eventuell Kreise. Der Computer bietet dabei die Möglichkeit, Schaubilder schnell anzufertigen, Vermutungen zu entwickeln und diese zu überprüfen. So sehr wir uns saubere Koordinatensysteme wünschen - wie viele davon kann eine Schülerin oder ein Schüler in einer Stunde zeichnen? Wie viel Zeit bleibt dann noch für die eigentliche Mathematik? Von diesem Problem befreit uns der Computer als Rechen- und Zeichenknecht. Er schafft Raum für das Experimentieren und ermöglicht eine schnelle Kontrolle der Ergebnisse (zum Beispiel Verwechselung von x- und y-Koordinate). Zudem müssen Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit am Rechner nie fürchten, Falsches in ihren Heften zu ?verewigen?.Computer-Algebra-Systeme (CAS) sind für den Einsatz in Klasse 5 und 6 in ihrer Bedienung zu aufwändig. Ihre Möglichkeiten der graphischen Darstellung fallen gegenüber ihren sonstigen Fähigkeiten oft stark ab. Maßstabsgerechte Zeichnungen und interaktive Elemente (zum Beispiel Punkte, Strecken, Parametervariation, Tangenten, Krümmungskreise) sind - wenn überhaupt - nur mit Programmieraufwand zu erreichen. Funktionenplotter rechnen dagegen nur eingeschränkt oder gar nicht algebraisch. Sie sind auf Funktionsdarstellungen ausgerichtet und in der graphischen Darstellung den CAS oft überlegen, können aber selten für Punkte und Strecken verwendet werden. Dies habe ich zum Anlass genommen, für den von mir entwickelten Funktionenplotter Kurvenprofi Aufgaben zu erarbeiten, die diese Lücke schließen. Mit dem Kurvenprofi steht den Schülerinnen und Schülern nach einer kurzen Einarbeitungsphase ein Werkzeug zur Verfügung, dass in der gesamten Schulzeit bis zum Abitur für fast alle Probleme der zweidimensionalen Graphen eingesetzt werden kann. Einsatz der Arbeitsmaterialien Die Unterrichtsbausteine eignen sich für eine vielfältige Nutzung in Partnerarbeit. Arbeitsblätter und Kurvenprofi-Dateien Materialien und Screenshots zu den Themen "Straßen und Häuser", "Parallel und Senkrecht", "Vierecke" und "Schmetterlinge". Die Schülerinnen und Schüler sollen die Orientierung im Koordinatensystem erlernen. Punkte durch zwei Koordinaten angeben können. ihre Kenntnisse zur Benennung und zu den Eigenschaften verschiedener Vierecke vertiefen. die Eigenschaft "parallel" als Gleichheit der abgezählten Wege erkennen und anwenden. die Eigenschaft "senkrecht" als eine bestimmte Änderung des abgezählten Weges erkennen und anwenden. erkennen, dass Punkte im Koordinatensystem auch durch andere Angaben (Winkel, Länge) festgelegt werden können. Thema Übungen im Koordinatensystem mit Kurvenprofi Autor Ulrich Strautz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 und 6 Zeitraum etwa 1 Stunde pro Aufgabenblatt Technische Vorraussetzungen Windows-Rechner Software Kurvenprofi (kostenfrei für private Nutzung, Schullizenz 50 €) oder andere Funktionenplotter Die Beispielaufgaben für den Einsatz von Funktionenplottern stellen keine starre Unterrichtsreihe dar. Es handelt sich um Bausteine, die auch als Wiederholungseinheiten in Vertretungsstunden oder in besonderen Formen des Unterrichts (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungsformen genutzt werden und viele Diskussionsanreize bieten können. Die hier vorgestellten Aufgaben sind grundsätzlich für eine Partnerarbeit konzipiert. Diese Arbeitsform ist nicht nur wegen der äußeren Rahmenbedingungen (technische Ausstattung der Schule) oft vorgegeben, sondern auch sehr hilfreich, einen inhaltlichen Austausch der Schülerinnen und Schüler über die Aufgabenstellungen anzuregen. Häufig werden spielerische Elemente verwendet, die erreichen sollen, dass nach der gemeinsamen Problemlösungsphase die Fähigkeiten beider Partner gesichert werden, zum Beispiel durch einen Rollenwechsel. Alle Aufgaben, die in diesem Artikel vorgestellt werden, lassen sich außer mit dem Kurvenprofi mit sämtlichen Funktionenplottern umsetzen, die Punkte und Strecken zeichnen können. Für die Nutzung der entsprechenden KRV-(Kurvenprofi-)Dateien müssen Sie jedoch das Programm Kurvenprofi installieren. Dies steht Lehrkräften, Schülerinnen und Schülern für die private Nutzung kostenfrei zur Verfügung, eine Schullizenz ist für 50 € zu haben. Unter Hilfe/Beispiele/Einführung finden Sie im Programm eine leicht verständliche Einweisung. Die Schülerinnen und Schüler üben in den ersten Aufgaben die Bedienung des Programms, das Ablesen und Zeichnen von Punkten und Strecken sowie die Orientierung im Koordinatensystem. Dabei werden die Kenntnisse über die Koordinaten der Punkte wiederholt. Es zeigt sich hier schnell, dass das Schaubild bei einer Verwechselung der beiden Koordinaten unerwartete Ergebnisse zeigt, die schnell bemerkt, diskutiert und behoben werden können. "Das Haus vom Nikolaus" erfordert planvolles Handeln durch eine kleine Skizze und die Überlegung, in welcher Reihenfolge die Punkte abgelaufen werden. Zur inneren Differenzierung kann gefordert werden, nur eine festgelegte Anzahl der Punkte (einen durchgängigen Streckenzug) zu verwenden. Die Anregung, die Farben und Stricharten zu ändern, puffert unterschiedliche Bearbeitungszeiten ab. Mit dem Abzählen der x- und y-Änderungen erkennen die Schülerinnen und Schüler eine weitere Möglichkeit, die Eigenschaft "parallel" nachzuweisen oder parallele Strecken zu zeichnen. Zunächst werden in verschiedenen Übungen durch die Strecken bestimmte Abschnitte angeboten. Die letzten Aufgaben erfordern das Suchen geeigneter Punkte auf einer Geraden. Möglicherweise kann an dieser Stelle im Rahmen der Binnendifferenzierung schon von einigen Schülerinnen und Schülern die Nichteindeutigkeit der Pfeile durch Verdoppelung, Verdreifachung und weitere Vervielfachungen herausgearbeitet werden. Entsprechend wurde die Untersuchung der Eigenschaft "senkrecht" angelegt, wobei die vorangegangenen Aufgaben unter der geänderten Fragestellung gelöst werden sollen. Die Festigung des über die Eigenschaften "parallel" und "senkrecht" Gelernten geschieht in den Aufgaben zu Vierecken. Nach einer spielerischen Vorübung zu Koordinaten werden die Eigenschaften bestimmter Vierecke benötigt, um Figuren durch Änderung einzelner Punkte in vorgegebene Vierecke zu verwandeln und später Streckenzüge zu Vierecken zu ergänzen. Obwohl der Begriff des Steigungsdreiecks nicht verwendet wurde, haben die Schülerinnen und Schüler eine Idee gewonnen, die in späteren Unterrichtsreihen vielleicht mit Rückgriff auf diese Übungen leicht auf die Gerade und deren Senkrechte übertragen werden kann. Für den Fall, dass in Klasse 6 die Winkel und die negativen Zahlen behandelt wurden, bietet das Blatt "Schmetterlinge" eine spielerische Übung im Raten von Winkelgrößen und Längen. Auf höherem Niveau reift die Erkenntnis, dass ein Punkt im Koordinatensystem auch durch Angabe des Winkels und der Länge eindeutig festgelegt werden kann. Dabei wird der Begriff der Polarkoordinaten nicht genannt. (Welche Schülerinnen und Schüler finden heraus, dass Winkel und Länge eines Punktes nicht eindeutig sind?) Durch viele der hier vorgestellten Aufgaben ziehen sich Anknüpfungspunkte an spätere Themen. Explizit zu nennen sind die Steigung, die Steigung einer Senkrechten, Polarkoordinaten, aber auch die negativen Zahlen, die im Gegensatz zum üblicherweise eingeführten Koordinatensystem schon in Form der vier Quadranten auftreten. Durch leichte Variation der Aufgaben können diese auch in späteren Unterrichtsreihen als Einstiege verwendet werden. Wie schnell ragt ein Viereck in einen anderen Quadranten und bietet damit einen Unterrichtsanlass zur Zahlbereichserweiterung? Die hier vorgestellten Arbeitsblätter sind Bestandteil einer Aufgabensammlung für die Klassen 5-10, die auf der Kurvenprofi -Website in verschiedenen Formaten bereit steht (unter "Downloads").

Das Analysis-Material zur Abiturvorbereitung besteht aus einer Lernendenversion mit klaren, rezeptartigen Anleitungen und einer ergänzenden Lehrkäfteversion. Gemeinsam führen sie durch die zentralen Kompetenzen der Analysis und fördern systematisch das Verständnis für Ableitungen, Kurvenverhalten, Extremwerte, Gleichungen, Flächenberechnungen und weitere grundlegende Themen. Im Mittelpunkt steht die Fähigkeit, mathematische Methoden gezielt auszuwählen, korrekt anzuwenden und sicher im Kontext zu deuten. Das vorliegende Unterrichtsmaterial basiert auf einer klar strukturierten Lernendenversion , die zentrale Inhalte der Analysis in Form leicht zugänglicher "Kochrezepte" vermittelt. Diese Rezepte führen die Lernenden Schritt für Schritt durch wesentliche Kompetenzbereiche wie Ableitungen, Tangenten und Normalen, Monotonie, Krümmung, Extrem- und Wendestellen, Gleichungsverfahren sowie Flächenberechnung mit bestimmten Integralen. Die Lernendenversion legt besonderen Wert auf Transparenz und Nachvollziehbarkeit: Jede Einheit beginnt mit einem klar formulierten Ziel, gefolgt von den notwendigen "Zutaten", bevor ein präzises Vorgehen exemplarisch demonstriert wird. Ergänzt wird dies durch dreistufige Übungsformate, die unterschiedliche Anforderungsniveaus bedienen und eine individuelle Förderung ermöglichen. Die strukturierte Darstellung hilft den Schülerinnen und Schülern, komplexe mathematische Verfahren zu verstehen, Zusammenhänge zu erkennen und Lösungswege eigenständig zu reproduzieren. Das Material fördert somit nicht nur das reine Rechnen, sondern insbesondere die kompetente Auswahl geeigneter Methoden , etwa bei der Frage, wann ein Verfahren wie Substitution, Wurzelziehen oder die Mitternachtsformel sinnvoll ist. In der Lehrkraftversion werden diese Inhalte durch didaktische Hinweise, typische Fehlerquellen, alternative Erklärwege und vollständige Musterlösungen ergänzt. Dadurch eignet sich das Material sowohl für den regulären Unterricht als auch für Vertiefungsphasen, individuelle Förderung und die Vorbereitung auf Klausuren oder das Abitur. Die enge Verzahnung von Lernendenversion und Lehrkraftband ermöglicht ein konsistentes, lernwirksames Arbeiten und unterstützt den kompetenzorientierten Unterricht der gymnasialen Oberstufe. Das Analysis-Material ist kompetenzorientiert aufgebaut und unterstützt Schülerinnen und Schüler gezielt bei der Abiturvorbereitung. Die "Rezept"-Struktur bietet klare, transparente Lösungswege und macht mathematische Denk- und Entscheidungsprozesse nachvollziehbar, ohne den fachlichen Anspruch zu reduzieren. Methodisch folgt jedes Arbeitsblatt einem klaren Dreischritt aus Ziel, Vorgehen und Übung. Dies erleichtert die Strukturierung komplexer Inhalte und fördert das bewusste Auswählen geeigneter mathematischer Verfahren. Die dreistufigen Übungsformate ermöglichen binnendifferenziertes Arbeiten und eignen sich für heterogene Lerngruppen, individuelle Förderung sowie selbstständige Lernphasen. Ein zentraler Schwerpunkt liegt auf der Verknüpfung von Rechenverfahren, Graphen und inhaltlicher Deutung. Die Schülerinnen und Schüler lernen, mathematische Ergebnisse sicher zu interpretieren und im Kontext von Sachproblemen zu nutzen. Die ergänzende Lehrkraftversion bietet didaktische Hinweise, typische Fehlerquellen und vollständige Musterlösungen. Dadurch ist das Material flexibel im Unterricht, in Vertiefungsphasen und in der gezielten Abiturvorbereitung einsetzbar und unterstützt einen transparenten, lernwirksamen Unterricht in der gymnasialen Oberstufe. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler analysieren Funktionen hinsichtlich Ableitung, Monotonie, Krümmungsverhalten, Extrem- und Wendepunkten sowie Flächenberechnungen und weitere Themen der Analysis. wählen geeignete mathematische Verfahren zur Lösung von Gleichungen, Optimierungsproblemen, trigonometrischen Fragestellungen und weitere Themen der Analysis aus und begründen ihre Wahl. deuten mathematische Ergebnisse sicher im Graphen und im Kontext von Sachproblemen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden Taschenrechner und CAS zur Kontrolle von Ableitungen, Funktionsgraphen und Integralen. arbeiten sicher mit digitalen Arbeitsmaterialien (PDF/Word) und nutzen digitale Werkzeuge zur graphischen Darstellung und Selbstkontrolle. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erklären Rechenwege nachvollziehbar und entwickeln dadurch kommunikative Klarheit im mathematischen Austausch. übernehmen Verantwortung für ihren Lernprozess, indem sie Rezeptschritte gemeinsam überprüfen und kooperative Lösungsstrategien entwickeln.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema trigonometrische Funktionen wird die Sinusfunktion fächerübergreifend als Schwingungsfunktion eingeführt. Darauf aufbauend kann die Trigonometrie als Anwendungsbereich behandelt werden.Die Winkelfunktionen werden üblicherweise am Dreieck oder Einheitskreis definiert. Phänomenbetrachtungen oder Experimente sind die Ausnahme und tauchen, wenn überhaupt, erst als Anwendung auf. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit wird die Sinusfunktion dagegen aus der Anwendung heraus als Schwingungsfunktion eingeführt. Die Trigonometrie erscheint als Nebenprodukt dieser Schwingungsfunktion. Dabei können Computeralgebrasysteme, einfache Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets zur schnellen Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler "spielen" dabei mit den Parametern Amplitude, Periodenlänge oder Frequenz, während die Folgen ihrer Experimente am Bildschirm dynamisch dargestellt und analysiert werden können. Mühsame und langwierige Zeichnungen bleiben ihnen erspart. Das Ziel dieser Einführung ist es, ohne größeren Zeitaufwand die vorgegebenen Lernziele auf einem neuen Weg zu erreichen und dabei ein besseres Verständnis der Sinusfunktion als Schwingungsfunktion zu vermitteln.Im herkömmlichen Unterricht wird der Sinus über Streckenverhältnisse im Dreieck eingeführt. Die Sinusfunktion wird mehr oder weniger als Erweiterung der Definitionsmenge plausibel gemacht. Dabei hat die Funktion eine sehr wichtige und auch anschauliche Anwendung: Die Beschreibung periodischer Vorgänge. Die Addition zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied kann zunächst hörbar erfahren werden (zum Beispiel durch das Überblasen zweier ähnlich gefüllter Flaschen oder mithilfe der klassischen Stimmgabeln aus der Physik). Danach experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit einem Funktionenplotter oder einem vergleichbaren digitalen Werkzeug. Unterrichtsverlauf "Sinusfunktion" Zunächst wird als periodischer Vorgang die Sonnenaufgangskurve untersucht. Rein harmonische Schwingungen werden dann mithilfe des Computers betrachtet. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Bedeutung der Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verschiedener Perioden und Amplituden. erhören über das physikalische Phänomen Schwebung ein Additionstheorem. Untersuchung periodischer Vorgänge Nachdem die Schülerinnen und Schüler mit der Beschreibung der Natur durch Potenzfunktionen bereits mehr oder weniger vertraut sind, sollen als neue Funktionsklasse nicht gleich die Sinusfunktionen, sondern erst einmal beliebige periodische Vorgänge untersucht werden. Direkt am Phänomen können Amplitude und Periodenlänge als wichtigste Begriffe erfahren werden (Experimentvorschläge finden Sie auf den Arbeitsblättern 1 und 2). Dabei erscheint mir das Wort Periodenlänge (und nicht Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer) für die Beschreibung der Periode im Mathematikunterricht als am besten geeignet. Hier legt man sich nicht schon im Voraus auf zeitliche Perioden fest. Der Frequenzbegriff ist vom mathematischen Standpunkt aus erst einmal nicht nötig. Auch auf den Begriff der Winkelgeschwindigkeit verzichte ich, auch wenn seine konsequente Verwendung durchaus denkbar ist. Phasenunterschiede sind für das Phänomen an sich primär nicht von großer Bedeutung und werden deshalb vorerst nicht behandelt. Daher wird auch nur die Sinusfunktion und nicht zusätzlich auch noch die Kosinusfunktion eingeführt. Die Sonnenaufgangskurve als nichtphysikalisches Sicherungselement Die Begriffe Amplitude und Periodenlänge sollen erst hinreichend gesichert werden, bevor sich die harmonische Schwingungsfunktion als wichtigste periodische Funktion herauskristallisiert. Dazu eignen sich insbesondere Experimente aus der Akustik. Hier kann man Amplitude und Periodenlänge direkt hören und mit dem Oszilloskop sogar sichtbar machen. Als nichtphysikalische Sicherungselemente bieten sich insbesondere tages- und jahreszeitliche Perioden an. Ich habe mich für die Änderung der Sonnenaufgangszeit im Laufe des Jahres entschieden, weil dieses Problem zum Beispiel im Herbst höchst aktuell und schülernah ist. Die Sonnenaufgangskurve weicht zwar mit zunehmender geographischer Breite von einer Sinuskurve ab, diese Abweichungen betragen in Deutschland jedoch weniger als fünf Prozent. Definition der Funktion Erst nach der beschriebenen Einführung wird die Kreisbewegung ins Spiel gebracht und es erfolgt eine Beschränkung auf die rein harmonischen Schwingungen. Das klassische Experiment dazu ist die synchrone Projektion von Federpendel und Kreisbewegung eines Stiftes. Vor der Definition von sin(x) sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die harmonische Schwingungsfunktion keine Potenzfunktion sein kann. Das erste Mal in ihrer mathematischen Laufbahn können sie eine funktionale Abhängigkeit nicht aus den bekannten Rechenoperationen zusammenstellen. Eine neue Funktion muss definiert werden. Das hört sich einfacher an, als es ist, denn man bekommt bei einer solchen Definition sehr viele Freiheiten mit auf den Weg. Die Kurvenform ist zwar mehr oder weniger festgelegt, doch stehen die Achsenbeschriftungen noch völlig frei. Um hier zu steuern, werden die Schülerinnen und Schüler vorher in einem Arbeitsblatt die harmonische Schwingungskurve für eine Projektion eines Punktes auf einer Kreisbahn mit festem Radius genau zeichnen (Arbeitsblatt 4). Dadurch liegt es nahe, die neue Funktion im Bogenmaß zu definieren, nur der Radius sollte noch normiert werden. Argumente im Winkelmaß führte ich erst später ein. Um schnell von der Kreisbewegung zum Graphen der Sinusfunktion zu gelangen, bietet sich das Applet von Walter Fendt an (siehe externe Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Wer etwas mehr Zeit hat, kann seine Schülerinnen und Schüler natürlich auch auf die herkömmliche Art und Weise die Projektion des Einheitskreises mithilfe des oben genannten Arbeitsblattes durchführen lassen, diesmal allerdings vor dem Hintergrund einer echten Bewegung. Kartierung der Funktion Nach der Definition wird die Funktion zu Hause punktweise kartiert und erst anschließend mit der Taschenrechnertaste "sin" in Verbindung gebracht und als Ganzes möglichst genau gezeichnet. Damit die Schülerinnen und Schüler wirklich das Gefühl einer eigenen Definition haben, soll die Namensgebung sehr offen gestaltet werden. Ein weiterer Vorteil eines vorerst anderen Namens besteht darin, dass die Lernenden bei der Kartierung der Funktion nicht zum "Mogeln" mit dem Taschenrechner gedrängt werden. Einsatz des Computers Die "nackte" Sinusfunktion reicht zur Beschreibung der harmonischen Schwingungen noch nicht aus, sie muss verschoben, gestreckt und gestaucht werden. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler lernen, zu vorgegebenen Funktionen der Art f(x) = A sin(B x) + C den zugehörigen Funktionsgraphen skizzieren zu können und umgekehrt zu festen Periodenlängen, Amplituden und Verschiebungen die zugehörige Funktion nennen zu können. Phasenverschiebungen werden aus den genannten Gründen nur kurz behandelt. Bei dieser Vorgehensweise bietet es sich außerdem an, auch die Überlagerung von Schwingungen und damit das Additionstheorem am Phänomen der Schwebung zu erfahren. Die Lernenden sollen das Additionstheorem hören (langsame Amplitudenschwankungen bei ähnlicher Frequenz wie die Grundtöne) und dann mithilfe eines CAS, eines Funktionenplotters oder eines geeigneten Java-Applets den Funktionsgraphen ermitteln. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Darstellung einer Schwebung mit dem CAS Derive, die durch Addition von sin(12x) und sin(13x) entsteht (verwendbare Online-Materialien wie zum Beispiel Java-Applets finden Sie unter den externen Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Dabei werden die Begriffe Amplitude und Periodenlänge nochmals gesichert und gefestigt. Der Unterricht zur Trigonometrie basiert im Wesentlichen auf Aufgaben, bei dem es um Eigenschaften von Dreiecken geht. Die Einführung der Sinusfunktion bleibt ein Anhängsel. Erst in neuerer Zeit werden in Schulbüchern die periodischen Funktionen in diesem Zusammenhang besprochen. In dieser Unterrichteinheit soll der Spieß umgedreht werden: Die Sinusfunktion wird vor der Trigonometrie als logische Konsequenz aus der Untersuchung von Schwingungen eingeführt, die Trigonometrie folgt als praktische Anwendung. Dabei entstehen völlig neue Aufgabentypen, die die Vielfalt der Aufgabenkultur bereichern. In dieser Einheit sind dies einerseits komplexe Arbeitsblätter mit offenen Fragestellungen unter Einbeziehung des Computers, andererseits kleine Erkennungsaufgaben, wie man sie von den Parabeln kennt. Mathematik und Physik werden meist nur von Physiklehrkräften fächerübergreifend vermittelt. Damit vergeben die Mathematikerinnen und Mathematiker eine große Chance, Anschauliches mit rein Mathematischem zu verknüpfen. Mit dieser Unterrichtseinheit soll auch Nichtphysikern die Möglichkeit gegeben werden, fächerübergreifend zu arbeiten.

Auf dieser Seite haben wir Unterrichtseinheiten und Anregungen für Ihren Mathematik-Unterricht im Bereich Analysis zusammengestellt: Differenzialrechnung, komplexere Probleme der Differenzialrechnung und Integralrechnung. Auch Unterrichtsmaterialien für die Begabtenförderung im Mathematik-Unterricht finden Sie hier. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen einüben. Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen können. den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen können. die Herleitung von Ortskurven vertiefen. grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich wiederholen. kooperieren und sozial interagieren können. Thema Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Die Schülerinnen und Schüler sollen ganz- und gebrochen-rationale Funktionen sicher ableiten können. Funktionswerte berechnen können. Funktionsterme in einen Computer (hier: Mobiltelefon) eingeben. Geradengleichungen bestimmen können. zu einem Punkt des Graphen einer Funktion die Tangente und die Normale bestimmen können. ihr Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung selbst überprüfen. Thema Kurvendiskussionen, hier: Tangenten und Normalen mit Mobiltelefon-Unterstützung Autor Mirko König Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2-3 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Java-Mobiltelefon pro Person (MIDP 2.0, CLDC 1.1) Software Analysis mobil (JavaME-Programm), möglichst auf jedem Mobiltelefon der Lernenden zu installieren (Shareware, 10 € pro Einzellizenz); Lehrpersonen, die mit ihrem Kurs gemeinsam das Programm nutzen möchten, können sich für eine kostenlose Klassen-Lizenz an den Autor wenden: mail-at-analysismobil.com). Bei den Kurvendiskussionen müssen die Schülerinnen und Schüler das in der Analysis Gelernte anwenden und in komplexer Form umsetzen. Dabei geht einigen schon einmal der Überblick verloren, und es entstehen Fragen wie: "Muss ich jetzt f, f' oder f'' verwenden?". Dies lässt sich durch übersichtliche Schrittfolgen vermeiden. Kommen aber Anwendungsaufgaben wie die zu Tangenten und Normalen hinzu, kann die als erreicht geglaubte Sicherheit wieder schwinden. Hier können Visualisierungen helfen, die Ergebnisse zu kontrollieren. Von den Lernenden mit Bleistift und Millimeterpapier erstellte Graphen reichen hier oft noch nicht aus, da der Erfahrungsschatz an bereits gesehenen Funktionen und deren Graphen noch zu klein ist. Überdies hängt die Richtigkeit des Graphen direkt von den Rechenfertigkeiten ab. Ein Computerprogramm mit einer Funktionseingabe und einer grafischen Funktionsanzeige (Funktionsplotter) kann hier die Anschauung gut unterstützen und eine unabhängige Kontrolle bieten. Der Computer ist in dem hier vorgestellten Fall ein Mobiltelefon, ein Gerät, das die Schülerinnen und Schüler in der Regel ständig parat haben. Allgemeine Hinweise und Materialien Ausgangssituation, Motivation und Zielstellung, allgemeine Anmerkungen zum Softwareeinsatz und Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Steigung der Tangente an eine Funktion sowohl negativ als auch positiv sein kann. wissen, dass am "tiefsten" und "höchsten Punkt" des Grafen die Steigung gleich Null ist. erkennen, dass die Steigung der Tangenten einer Parabel, als Funktion abgetragen, eine Gerade ergibt. erkennen, dass die Steigung der Tangenten eines Polynoms dritten Grades, als Funktion abgetragen, eine Parabel ergibt. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung einer Funktion erkennen. Thema Steigung und Ableitung einer Funktion Autor Markus Hohenwarter Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Schülerin/Schüler Software Java (Version 1.4 oder höher, kostenfrei); GeoGebra zum Erstellen eigener dynamischer Arbeitsblätter (kostenloser Download aus dem Internet) Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits die erste Ableitung einfacher Polynome berechnen können. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem Internet Browser (zum Beispiel Internet Explorer, Netscape, Mozilla) betrachtet werden können. Damit auch die dynamischen Konstruktionen funktionieren, muss Java 1.4 (oder höher) installiert sein. Hinweise zum Einsatz der dynamischen Arbeitsblätter Falls Ihnen noch die erforderliche Java-Abspielumgebung fehlt, können Sie hier mithilfe von Screenshots einen ersten Eindruck von den Arbeitsblättern gewinnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen lernen. die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten erlernen. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden können. die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen lernen. aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen können (Kurvendiskussion rückwärts). Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den SchülerInnen wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Sekantensteigung berechnen können. den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen können. erläutern können, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen können. den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen können. Thema Vom Differenzen- zum Differenzialquotient Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 2 bis 3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer; optional: grafikfähiger Taschenrechner TI-83, OHP-Projektion für Taschenrechner Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen gegebene Größen bestimmen. Zielfunktionen aus gegebenen Größen herleiten. Extremstellen der Zielfunktionen bestimmen und das Verfahren der Kurvendiskussion anwenden (notwendige Bedingung für Extremstellen). gewonnene Lösungen diskutieren und interpretieren. einfache Extremwertprobleme lösen. Titel Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0 Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 6 Stunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner für zwei Lernende, Beamer Software Derive 5.0 Schullizenz, siehe Zusatzinformationen Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen Aufgaben und Musterlösungen Derive-Dateien und Screenshots Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen können. den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern können. analytisch und geometrisch begründen können, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. eine geeignete Basis a bestimmen können, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion kennen. Thema Einführung der Eulerschen Zahl Autorin Sandra Schmidtpott Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 2-3 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen 1 Rechner mit Internetanschluss für je 1-2 Lernende, Java Runtime Environment ; idealerweise Beamer, grafikfähiger Taschenrechner, OHP-Projektion für Taschenrechner, CAS Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". ?Geh weg oder ich differenzier dich!? Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler sollen den Begriff der Ober- und Untersumme kennen und anwenden. erkennen, dass bei einer sehr feinen Unterteilung der Intervalle Ober- und Untersumme gegeneinander konvergieren. erkennen, dass der Unterschied zwischen beiden beliebig klein wird (Grenzwertbegriff) und dass der Grenzwert der Ober- und Untersumme der Fläche unter dem Graphen entspricht. den Unterschied zwischen Integral und Fläche erklären. Integrale und Flächen berechnen. Die dynamischen Arbeitsblätter der Unterrichtseinheit können Sie von der GeoGebra-Homepage als ZIP-Datei herunterladen. Markus Hohenwarter ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik , Universität Salzburg. Sein Dissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden. Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten. den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken. die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen. die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat. sich in die TurboPlot-Software einarbeiten. mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen. abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen. Thema Flächenberechnung mit TurboPlot Fach Mathematik Autorin Sonja Kisselmann Zielgruppe Jahrgangsstufe 12, Grundkurs Zeitraum 2 Unterrichtsstunden Technische Voraussetzungen Ein Rechner pro zwei Lernende, Software TurboPlot (kostenloser Download aus dem Internet) Planung Verlaufsplan Flächenberechnung mit TurboPlot Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen. Hier können Sie sich Arbeitsblätter einzeln ansehen und herunterladen. Die jeweiligen Einsatzszenarien werden skizziert. Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration In arbeitsteiliger Gruppenarbeit setzen sich die Lernenden mit Dreiecksflächen auseinander, berechnen das bestimmte Integral der zugehörigen linearen Funktion und formulieren eine erste Vermutung über den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration. Unter- und Obersummen Die Lernenden setzen sich mit einem Blumenbeet auseinander, das durch eine Parabel begrenzt wird. Fragend-entwickelnd werden Möglichkeiten der Flächenberechnung erarbeitet, bevor die Bildung von Unter- und Obersummen mithilfe von Folien verdeutlicht wird. TurboPlot als zeitsparender Zeichenknecht Die Lernenden nutzen die Software TurboPlot, um zu einer Funktionsgleichung verschiedene Unter- und Obersummen zu visualisieren. Nach einer Präsentationsphase führt die Vervollständigung von Lückentexten zur Konkretisierung der Beobachtungen und begründet den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. Diese und andere Fragen werden im Kurs "Ein(-)Blick ins Chaos" auf mathematischer Grundlage erforscht. Intention des Kurses ist es, die Schülerinnen und Schüler in das Forschungsgebiet nichtlinearer, dynamischer Systeme einzuführen und verschiedene Aspekte der "Chaos-Theorie" und der damit verbundenen fraktalen Geometrie aufzuzeigen. Dabei werden mithilfe des Computers (Tabellenkalkulationen, Basic- und Pascal-Programme) Populationsdynamiken analysiert und daraus resultierende fraktale Mengen visualisiert. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen anhand repräsentativer Gleichungen Kerninhalte der Chaosforschung und erhalten somit eine Grundlage für weiterführende Studien und eigene Experimente. Besondere Bedeutung kommt dabei auch dem fächerübergreifenden Bildungs- und Erziehungsziel "Entwicklung von Weltbildern und Weltdeutung" zu. Der hier vorgestellte Kurs wurde schon mehrmals im Rahmen einer "Schülerakademie" (ein lehrplanunabhängiges Enrichment-Programm zur Förderung hochbegabter Gymnasiasten) durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Abgrenzung chaotischer Systeme vom schwachen beziehungsweise starken Kausalitätsprinzip erkennen. mit der Herleitung der logistischen Gleichung die Konzeption der Rückkopplung und Iteration verstehen. bereits in der Unter- und Mittelstufe erworbene mathematisch analytische Fertigkeiten auf die Diskussion der logistischen Gleichung anwenden können. verschiedene Darstellungsformen nichtlinearer Iterationen vergleichend interpretieren und selbst einfache Computerprogramme zur Analyse und Visualisierung erstellen können. Sensitivität, Transitivität und dicht liegende periodische Punkte als Kennzeichen chaotischer Systeme begreifen. Zusammenhänge nichtlinearer dynamischer Systeme und fraktaler Strukturen erkennen. über die philosophischen Aspekte des Determinismus beziehungsweise Indeterminismus und der Berechenbarkeit von Systemen nachdenken. Thema "Ein(-)Blick ins Chaos" - nichtlineare dynamische Systeme Autor Claus Wolfseher Fach Mathematik Zielgruppe ab Klasse 10, hochbegabte Schülergruppen (Mathematik-AG, Projektarbeit) Zeitraum abhängig von Behandlungstiefe 10 oder mehr Doppelstunden Technische Voraussetzungen Computer mit einfacher Programmierumgebung (zum Beispiel Basic, Pascal oder Java) und Tabellenkalkulationssystem (zum Beispiel "Calc" - siehe OpenOffice.org - oder Excel) Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können. einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können. ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können. selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren. in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Materialien und Literatur Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple; außerdem finden Sie hier Literaturtipps. Ausgehend von einer elementaren Konstruktion einer Mittelsenkrechten erzeugen die Schülerinnen und Schüler mithilfe von GeoGebra Geradenscharen, deren Hüllkurve eine Parabel zu sein scheint. Die Lernenden erarbeiten Schritt für Schritt den Beweis dieser Vermutung. Ihr Ergebnis können sie wiederum an der GeoGebra-Konstruktion überprüfen. Indem sie anschließend die allgemeine Gleichung einer Parabeltangente aufstellen, erkennen sie, dass die anfangs konstruierten Mittelsenkrechten gerade die Parabeltangenten sind. Mithilfe dieser Erkenntnisse lässt sich nun ein einfaches Verfahren zur Konstruktion von Parabeltangenten finden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Geradenscharen und deren Hüllkurve mithilfe eines dynamischen Arbeitsblattes erzeugen können. die Parabel als Ortskurve der konstruierten Mittelsenkrechten kennen lernen und die zugehörige Parabelgleichung aus den Konstruktionseigenschaften herleiten können. einen Zusammenhang mit den ihnen bekannten Parabeltangenten herstellen können. aus den gewonnen Erkenntnissen eine einfache Vorschrift zur Konstruktion einer Parabeltangente in einem vorgegebenen Punkt herleiten können. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Geradenscharen und Parabeln Autor Birgit Siebe Fach Mathematik Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik AG Zeitraum 3-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software Java-Plugin (Version 1.4 oder höher, kostenloser Download), GeoGebra (kostenloser Download) Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ f(x) = Ca x untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors k = f '(x)/f(x) eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler sollen Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren. die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken. diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen). die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis). die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen. die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen. Thema Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grund- oder Leistungskurs) Zeitraum 3-5 Stunden Technische Voraussetzungen je ein Computer für 1-2 Lernende Software Webbrowser mit aktiviertem Java, ergänzend (optional) das kostenlos erhältliche GeoGebra Selbstgesteuertes Lernen Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden. Modifizierbare Arbeitsblätter Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden. Optionale Beweise Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage (Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kurvendiskussion von Polynomen durchführen können. mit trigonometrischen Funktionen rechnen können. Linearkombinationen erstellen können. Interpolation durchführen können. algorithmisches Verständnis erwerben. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit GeoGebra lernen. den Umgang mit wxMaxima lernen. kleine Programmroutinen selbst erstellen können. Thema Tschebyscheff-Polynome Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin oder Schüler Software GeoGebra , wxMaxima (kostenloser Download) Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist, dass die Schülerinnen und Schüler Polynome und die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung kennen. Sie sollten über den Hauptsatz der Algebra und die Zerlegbarkeit von Polynomen laut Vieta Bescheid wissen. Grundlegendes Vorwissen über Matrizen und Determinanten wird benötigt und die Nutzung von GeoGebra und wxMaxima sollte keine Probleme bereiten. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Hier finden Sie verschiedene Zugänge und Aufgabenstellungen zu Tschebyscheff-Polynomen. Anregung und Erweiterung Eine Anregung zur Erweiterung des Themas bietet die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen. Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.

In dieser Unterrichtseinheit gestaltet jede Schülerin und jeder Schüler einen Karton als Sammelbox, in welchen jede Familie einer Schülerin oder eines Schülers kleinteiligen E-Schrott sammeln kann. Auch Ben aus der Bildergeschichte "Hilfe, die Mülltonne brennt" lernt das sorgsame Trennen und Sammeln von Akkus und Batterien, nachdem er anfänglich durch die unsachgemäße Entsorgung seines ferngesteuerten Polizeiautos einen Brand verursacht hat. Zunächst gestalten die Schülerinnen und Schüler mit verschiedenen Bastelmaterialien einen Karton, der zuhause als Sammelbox für kleinteiligen E-Schrott benutzt werden soll. Im weiteren Verlauf lernen sie, dass sich bestimmte Materialien bei unsachgemäßer Entsorgung entzünden und einen Brand verursachen können. Dies gilt insbesondere für den Rohstoff Lithium, der ein wichtiger Bestandteil von Batterien und Akkus ist. Eine kindgerechte Bildergeschichte, die von den Kindern zu Ende erzählt werden kann, veranschaulicht diese Gefahr. Bereits in der vorangegangenen Unterrichtseinheit waren die Schülerinnen und Schüler von ihrer Lehrkraft angeregt worden, zu überlegen, was alle Kinder der Klasse/AG tun können, um E-Schrott richtig zu entsorgen und den E-Schrott-Müllberg kleiner zu halten. Sie haben zudem einen Einblick in das Leben und Arbeiten von Kindern auf der E-Schrott-Müllhalde Agbogbloshie bei Accra (Ghana) erhalten, die an den giftigen Dämpfen erkranken. Außerdem kennen die Schülerinnen und Schüler nun aus den vorangegangenen Unterrichtseinheiten die Inhaltsstoffe und Metalle von E-Schrott. Sie wissen, wie wertvoll diese sind, aber auch wie giftig und gesundheitsschädlich. In dieser Unterrichtseinheit erfahren sie zudem anhand einer leicht verständlichen und kindgerechten Bildergeschichte, dass die unsachgemäße Entsorgung von Elektroschrott, z.B. im Hausmüll, eine Brandgefahr darstellen kann. Um vorsorgen zu können, dass solche Brände bei ihnen zuhause nicht entstehen, können die Schülerinnen und Schüler Verantwortung übernehmen, in dem sie selbst etwas tun. Sie erhalten in dieser Unterrichtseinheit deshalb den Auftrag, dass jedes Kind für seine Familie aus einem (Schuh-)Karton eine kleine Sammelstelle für unbrauchbare Batterien, Akkus, Handy und elektronische Klein-Geräte gestaltet. Durch den kreativen Auftrag und das „Tun mit den Händen“ entsteht eine emotionale Verbindung zu dem sachlichen Thema. Den Höhepunkt stellt ein Ausflug zu einer sehr großen Sammelstelle – einem Wertstoffhof/Recyclinghof – dar. Weitere Sachinformation für Lehrkräfte: Lithium und dessen Brandgefahr Lithium ist ein silberweißes, weiches Leichtmetall und ein wichtiger Bestandteil vieler Akkus. Akkus sind Batterien, die sich aufladen lassen. Es sind also Energiespeicher, die elektrische Geräte mit Strom versorgen. Weil sich Lithium entzünden kann, sind Batterien, Akkus und andere elektronische Gegenstände eine große Brandgefahr, wenn sie falsch entsorgt werden. Selbst kleine Batterien und Akkus von Spielzeug können sich in der heimischen Abfalltonne oder im Müllfahrzeug entzünden und dort einen Brand auslösen. Diese Art der Brände nimmt in Deutschland zu. Lithiumhaltige Batterien und Akkus haben im Vergleich zu Batterien und Akkus der älteren Generation viele Vorteile. Sie zeichnen sich besonders durch hohe Energiedichten (hohe Zellspannungen und Kapazitäten), eine kaum wahrnehmbare Selbstentladung bei normalen Raumtemperaturen und lange Lebensdauern aus. Nachteilig ist die Brandgefahr, die bei unsachgemäßer Entsorgung am Ende ihrer Lebensdauer von ihnen ausgehen kann. Lithiumhaltige Batterien und Akkus befinden sich regelmäßig in Laptops und Tablets, Smartphones und Handys, Kameras, in Fernsteuerungen und -bedienungen, kabellosen (in-ear-)Kopfhörern sowie oft auch deren Lade-Case, im Modellbau, in Spielzeug, in Werkzeugen, Drohnen, Haushalts- und Gartengeräten, E-Zigaretten sowie in medizinischen Geräten. Zudem sind sie in der Regel die Hauptenergiequelle der Elektromobilität bei E-Autos, E-Bikes, Pedelecs oder E-Scootern. Enthält das Produkt bereits einen integrierten Akku, handelt es sich mit hoher Wahrscheinlichkeit um einen Lithium-Ionen-Akku. Lithiumhaltige Batterien und Akkus sind oftmals an der freiwilligen Kennzeichnung „Li“ oder „Li-Ion“ für Lithium zu erkennen. Brände durch Lithium lassen sich schwer löschen. So entsteht ein Brand: Lithium-Ionen-Akkus können beim Laden hohen Temperaturen ausgesetzt sein. Wenn es dabei zu Schäden in der Schichtstruktur der eingesetzten Metalloxide kommt, kann es zu einer thermischen Reaktion kommen. Dabei werden hohe Energiemengen freigesetzt und es bildet sich elementarer Sauerstoff. Mit dem hohen Wärmeeintrag verdampft die Elektrolytflüs sigkeit und es bilden sich leicht brennbare Gase. Sobald sich diese Gase entzünden, brennt die Lithium-Ionen Zelle. Der Brand der ersten Zelle löst dabei einen sich selbst verstärkenden Prozess aus, der nur schwer zu stoppen ist. Da die Gehäuse der Batterien meist thermisch isoliert sind, erreicht Löschwasser den Brandherd häufig nicht. Fächerübergreifend lernen Die vorliegende Unterrichtseinheit mit der Gestaltung von Kartons als Sammelstellen für kleinteiligen Elektroschrott eignet sich auch gut, um in einer klassenübergreifenden Aktion verschiedene Unterrichtsfelder zu integrieren. Gerade in der Kooperation mit Lehrkräften für den Unterrichtsbereich Kunst gibt es kaum eine Grenze, um aus den mitgebrachten Kartons der Kinder mehrdimensionale Kunstwerke zu zaubern, die auch über das Bemalen und Bekleben der Boxen hinausgehen (können). Darüber hinaus bietet sich das inzwischen angeeignete Sachwissen über das Thema E-Schrott an, Fachgebiete wie z. B. Physik (Thema Feuer) oder Chemie (entzündliche Stoffe) sowie Heimatkunde (Wo befinden sich Wertstoffhöfe oder Rückgabestellen im Handel? Welche Geschäfte halten Sammelstellen für Batterien bereit?) einzubinden. Im Fach Philosophie/Ethik/Religion kann anhand der Bildergeschichte (Ben wirft sein kaputtes ferngesteuertes Auto in den Müll) das übergeordnete Thema „Wegwerfgesellschaft/Konsumgesellschaft“ aufgegriffen und mit den UN-Zielen/Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE) verknüpft werden. Fachliche und methodische Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler • greifen auf ihr vorhandenes Wissen zurück und erweitern es. • lernen Fachworte und neue Themenwelten kennen. • entwickeln einen konkreten Ansatz für eigenes umweltgerechtes Verhalten. • handeln und denken proaktiv. • erfassen einen komplexen Sachverhalt und geben ihn mit eigenen Worten wieder. • verbinden einen komplexen Sachverhalt mit kreativem Tun. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler • reflektieren ihre Ideen und kommunizieren sie. • sind fähig, einander zuzuhören. • entwickeln Begeisterungsfähigkeit und Eigeninitiative. • üben sich in gruppenspezifischen Interaktionen. • üben sich in der Rückmeldung anhand von Feedback-Regeln.

Dieser Artikel beschreibt, wie der rechnerische und zeichnerische Aufwand für die Erstellung und Interpretation von Minkowski-Diagrammen im Physikunterricht mithilfe des „Rechen- und Zeichenknechtes Computer“ reduziert, somit der inhaltlichen Diskussion mehr Zeit gewidmet und der Umgang mit einem CAS geübt werden kann.Will man Aufgaben zur Relativitätstheorie mithilfe des Minkowski-Diagramms zeichnerisch bearbeiten, so müssen Parallelen gezeichnet und deren Schnittpunkte mit Achsen oder anderen Geraden bestimmt werden. Je nach Sorgfalt sind die damit erzielten Werte brauchbar oder kaum brauchbar. Eine rechnerische Kontrolle ist auf jeden Fall angebracht. Warum überträgt man dann die Arbeit nicht gleich dem Computer?! Die Genauigkeit seiner Zeichnungen ist kalkulierbar, für die rechnerische Kontrolle der Ergebnisse steht er ebenfalls zur Verfügung und gleichzeitig lernen die Schülerinnen und Schüler ihre anderweitig erworbenen mathematischen Kenntnisse oder auch den Umgang mit entsprechender Mathematiksoftware anzuwenden. Ein geeignetes Werkzeug kann zum Beispiel ein Computeralgebrasysteme wie Derive sein.Die hier beschriebene Unterrichtseinheit setzt voraus, dass der Unterricht zur Relativitätstheorie bereits bis hin zu den Minkowski-Diagrammen gediehen ist. Auch eine zeichnerische Umsetzung ist schon durchgeführt worden, so dass die ersten Teile der Unterrichtseinheit aus physikalischer Sicht eine Wiederholung sind. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler reichlich Übung im Umgang mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive haben, obwohl dies nicht schaden könnte. Lehrkräften, die im Umgang mit Derive noch nicht so geübt sind, wird die Erstellung von Minkowski-Diagrammen mithilfe einer Anleitung im PDF-Format Schritt für Schritt erläutert. Die an die Schülerinnen und Schüler gestellten Anforderungen sind auch von einem Grundkurs zu bewältigen. Wenn man den letzten Teil der Unterrichtseinheit mit der Behandlung der Erhaltungssätze sehr ausführlich behandeln möchte, dann benötigt man zu den in der Kurzinformation angegebenen 10-12 Stunden noch etwa vier zusätzliche Unterrichtstunden. Vorgeschlagen wird eine Mischung aus lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem und schülerzentriertem Unterricht. Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 1) Typische Probleme der Speziellen Relativitätstheorie (Stunde 1 bis 8) Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 2) Betrachtung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie (Stunde 9 und 10 beziehungsweise 9 bis 12) Die Schülerinnen und Schüler sollen das Computeralgebrasystem Derive als universelles mathematisches Werkzeug kennen lernen. mit Derive eine Anleitung für die Erzeugung von Minkowski-Diagrammen entwickeln. Aufgaben aus der Relativitätstheorie sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Derive lösen können. die Bedeutung von Minkowski-Diagrammen erkennen. erkennen, dass die Erhaltungssätze der Mechanik in der Relativitätstheorie eine neue Bedeutung bekommen. Thema Minkowski-Diagramme mit Derive Autor Rainer Wonisch Fach Physik Zielgruppe Jahrgangstufe 12 oder 13, Grund- oder Leistungskurs Zeitraum 10-12 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Beamer (Lehrerdemonstration), Rechner in aus reichender Anzahl für Partner- oder Gruppenarbeit Software Derive Sie erklären am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) die Schritte zur Erzeugung eines Minkowski-Diagramms mit t' - und x' -Achse, aber ohne deren Einteilung. Ich schlage den Wert 0,5 c für die Relativgeschwindigkeit vor, da das Diagramm dabei relativ übersichtlich bleibt. Sie blenden den Beamer aus und fordern die Schülerinnen und Schüler auf, ein solches Diagramm selbst zu erzeugen. Falls es unbedingt nötig ist, geben Sie Hilfestellungen. Ansonsten lassen Sie die Jugendlichen sich selbst helfen. Sie wiederholen zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die Erstellung der Achseneinteilung für die t' -Achse. Bei der Umsetzung in die Sprache von Derive geben Sie eine mögliche Lösung an, falls die Schülerinnen und Schüler nicht durch die Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht selbst einen brauchbaren Vorschlag machen. Die Jugendlichen erhalten den Auftrag, die Rasterpunkte für die t' -Achse und außerdem für die x' -Achse einzuzeichnen. Wenn alle fertig sind, lassen Sie eine Schülerin oder einen Schüler aus einer Arbeitsgruppe den Lösungsweg seiner Gruppe am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) erklären. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x-t -System einzuzeichnen. Warten Sie, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x'-t' -System einzuzeichnen. Diesmal werden Sie wahrscheinlich nicht warten können, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Helfen Sie bei den Gruppen, deren Ideen am weitesten fortgeschritten sind, und benutzen Sie die Mitglieder dieser Gruppen dann als Multiplikatoren. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe auch minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Gegeben seien zwei Inertialsysteme S und S'. S' bewegt sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit v = 0,5 c. Aufgabe 1.1 Im System S sind verschiedene Ereignisse gegeben. A (3Ls/1s); B (3Ls/2s); C (3Ls/3s) Bestimme für die Ereignisse A, B, C die Ereigniskoordinaten im System S' zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms. Beschreibe Deine Vorgehensweise. Während der jetzt folgenden intensiven Diskussionen unter den Schülerinnen und Schülern "verraten" Sie einer Gruppe, dass ein Schieberegler eingesetzt werden kann. Dann warten Sie ab, ob sich diese Möglichkeit herumspricht. Wenn die Jugendlichen diese Möglichkeit schon kennen, wird es etwas weniger spannend sein. Zum Abschluss lassen Sie die verschiedenen Ansätze vortragen. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Aufgabe 1.2 Im System S' bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' = 0,5 c. Wie groß ist seine Geschwindigkeit u im System S? (zeichnerische Lösung) Wenn genügend Lösungen vorhanden sind, lassen Sie eine Gruppe ihre Vorgehensweise erklären. Sie stellen, je nach Situation, entweder für zu Hause oder für den Unterricht die Aufgabe, die wesentlichen Schritte für die Erstellung eines Minkowski-Diagramms mit Derive als Arbeitsanweisung zusammenzustellen. (Ein mögliches Ergebnis finden Sie unter Punkt 10: minkowski_diagramm.dfw beziehungsweise minkowski_derive.pdf ) Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Aufgabe 2 Ein Raumschiff mit v = 0,8 c sendet (aus seiner Sicht) jede Sekunde ein Funksignal aus. In welchem zeitlichen Abstand werden diese Signale im System S registriert? Kläre diese Frage zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms und zusätzlich rechnerisch. Ein allgemeines Aufstöhnen wird die Antwort sein, da Sie in gemeiner Weise eine andere Relativgeschwindigkeit gewählt haben. Sichten Sie gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern die bei Schritt 9 erstellten Arbeitsanweisungen und verallgemeinern Sie die beste Anweisungsfolge so, dass man mit ihrer Hilfe für jeden Wert von v mit einigen Mausklicks das gewünschte Minkowski-Diagramm erzeugen kann. Eine mögliche Lösung für die Anweisungsfolge mit Kommentaren finden Sie in der Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw . Für die Bearbeitung von Aufgabe 2 stellen Sie im Derive-Ausdruck #2 die richtige Geschwindigkeit ein und erzeugen dann mithilfe der Derive-Anweisungen das entsprechende Minkowski-Diagramm. Die Datei kann dann, unter neuem Namen gespeichert, für die weitere Bearbeitung fortgesetzt werden. Für die grafische Lösung von Aufgabe 2 müssen wegen der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem Parallelen zu t = -x durch mindestens zwei Rasterpunkte auf der t' - oder der x' -Achse gezeichnet werden. Die Differenz der Schnittwerte mit der t -Achse ist der gesuchte Zeitunterschied. Die Schülerinnen und Schüler werden vermutlich konkrete Zahlenwerte für die Punkte auf der t' -Achse benutzen. Man kann aber auch allgemein mit den Komponenten der Punkte P arbeiten. Wie man auf die Komponenten eines Vektors zugreifen kann, erläutert der folgende Auszug aus der Derive-Hilfe: "Mit dem Infixoperator SUB kann man ein Element aus einem Vektor oder einer Matrix herausgreifen. Wenn v ein Vektor ist, liefert v SUB n das n-te Element von v. Als Alternative zum Schreiben von SUB in der Eingabezeile, kann dieser Operator durch einen Klick auf das Abwärts-Pfeil-Zeichen auf der Mathematik-Symbolleiste eingegeben werden. Im Algebra-Fenster werden tiefer gestellte Indizes in der Standard-Index-Notation angezeigt. Zum Beispiel wird [a, b, c, d] SUB 2 angezeigt als und weiter vereinfacht zu b." Das Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Richtungs-Form ist der eleganteste Weg. Wenn die Jugendlichen diese Form nicht kennen oder verdrängt haben, müssen Sie einen kurzen mathematischen Einschub machen. Daraus ergibt sich ein Signalabstand von 3 Sekunden. Rechnerisch erhält man die Werte für t , in dem man für x den Wert 0 einsetzt. Entweder für ein Beispiel: oder für eine Folge von Werten: Benutzt wurde in beiden Fällen die Substitution für eine Variable. Sie erreichen diese Möglichkeit über Vereinfachen > Variablen-Substitution . Aufgabe 3 Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Gegeben seien die beiden Inertialsysteme S und S' mit der Relativgeschwindigkeit v. Im System S' wird das folgende Experiment durchgeführt: Zwei Körper gleicher Masse bewegen sich mit gleichem Betrag der Geschwindigkeiten aufeinander zu. Zum Zeitpunkt t' = 2 s treffen sie sich völlig unelastisch an der Stelle x' = 0, so dass sie vereint liegen bleiben. Es sei Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S'. Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S. Versuche auch eine zeichnerische Lösung. Die Schülerinnen und Schüler werden sofort fragen, welchen Wert sie für die Relativgeschwindigkeit v benutzen sollen. Stellen Sie es ihnen einfach frei. Für Ihre eigene Bearbeitung schlage ich v = 0,6 c vor. Es ergibt sich also u' sub~1~~ = 0,6 c ; u' sub~2~~ = 0,6 c . Die Weltlinien beider Körper im System t'-x' werden bis zum Zusammentreffen gezeichnet. Mithilfe der Musteranweisungsfolge (siehe Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw ) kann man das entsprechende Minkowski-Diagramm zeichnen. Endpunkt für die beiden Weltlinien soll der Punkt (0,2) auf der t' -Achse sein: Zwei Sekunden vorher war der sich in +x' -Richtung bewegende Körper an einer um 2Ls 0.6 in Richtung der -x' -Achse liegendem Ort gewesen. #14 und mit konkreten Werten #15 beschreiben Ausgangspunkt und Endpunkt im Minkowski-Diagramm: Für den sich in -x' -Richtung bewenden Körper gelten analog die beiden folgenden Ausdrücke: Auch wenn die Schülerinnen und Schüler ohne Ihre Hilfe dieses Ergebnis erzielt haben, werden sie misstrauisch sein, ob es überhaupt richtig sein kann. Dazu sieht es zu ungewohnt aus. Falls Sie es nicht von vorn herein schon gemacht haben sollten, dann führen Sie den Versuch auf einer Fahrbahn (am besten einer Luftkissenbahn) vor und bitten die Jugendlichen, für beide Körper das s-t -Diagramm zu zeichnen. Und zwar in der Form, in der sie früher solche Diagramme gezeichnet haben und zusätzlich mit vertauschten Achsen, wie bei den Minkowski-Diagrammen. Danach wird man den Ergebnissen nicht mehr ganz so misstrauisch gegenüber stehen. Die Geschwindigkeit der beiden Körper im System S kann aus den von Derive berechneten Werten der Anfangs- und Endpunkte der beiden Weltlinien bestimmt werden. Die folgenden Derive-Ausdrücke liefern das Ergebnis: Daraus ergeben sich die Geschwindigkeiten: Für die Geschwindigkeiten im System S' gilt laut Voraussetzungen der Aufgabe Formulierung des Impulssatzes für das System S': Daraus ergibt sich da die beiden Massen auf jeden Fall gleich sind. Formulierung des Impulssatzes für das System S: Setzt man die Zahlen des Beispieles ein, so erhält man: Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Fragen Sie die Schülerinnen und Schüler nach Erklärungshypothesen. Mögliche Hypothesen sind: Die berechneten Werte für u sub~1~~ und u sub~2~~ sind falsch. Bei hohen Geschwindigkeiten bleibt die Masse nicht konstant. Der Impulssatz gilt nicht bei hohen Geschwindigkeiten. Alle diese Hypothesen führen zu einer intensiven, weiterführenden Betrachtung: Die erste lässt sich durch Anwendung der Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten kontrollieren. Die zweite Hypothese beruht auf Kenntnissen der Schülerinnen und Schüler, die sie populärwissenschaftlichen Zeitschriften oder Fernsehsendungen entnommen haben. Die dritte Hypothese lässt sich mithilfe der Überlegungen zu Hypothese 2 kontrollieren. Untersuchung von Hypothese 1 Für die Untersuchung der ersten Hypothese erscheint folgende mehrgleisige Vorgehensweise sinnvoll: Die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten wird gemeinsam im Unterricht aus der Verallgemeinerung des Beispieles der Aufgabe 1.2 hergeleitet. Eine alternative Herleitung aus den Lorentztransformationen wird als Kurzreferat vergeben. Zur Herleitung mithilfe von Derive können Sie die für Aufgabe 1 erstellte Derive-Datei weiter benutzen. Öffnen Sie die Datei und gehen dann wie folgt vor. Zuerst heben Sie die Festlegungen für u' und v auf: Wir wählen wieder t' = 2 s. Man erhält die Weltlinie des sich mit u' bewegenden Körpers durch vektorielle Addition der Weltlinie des Systems t'-x' von 0 bis 2 s und einer Parallelen zur x' -Achse, deren Länge durch die Geschwindigkeit u' bestimmt ist. Bestimmung des Rasterpunktes auf der t'-Achse: Der Ortsvektor zum entsprechenden Punkt auf der x' -Achse muss auf die richtige Länge gebracht werden: Die beiden Ortsvektoren werden addiert: Die Geschwindigkeit u erhält man, indem man die erste Komponente des Vektors ( x -Wert) durch die zweite Komponente ( t -Wert) dividiert: Vereinfacht man diesen Ausdruck, so erhält man die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten: In Nicht-Derive-Schreibweise erhält man die bekannte Formel: Nachdem auch das Kurzreferat gehalten wurde, kann man mit der Formel die Ergebnisse für u sub~1~~ und u sub~2~~ bestätigen. Damit ist Hypothese 1 zu verwerfen. Untersuchung von Hypothese 2 Zur Überprüfung der zweiten Hypothese lassen Sie die Schülerinnen und Schüler die folgende Internetseite studieren. Dort findet sich eine Bestätigung der Hypothese mit: Untersuchung von Hypothese 3 Verbleibt noch die dritte Hypothese. Lassen Sie die Jugendlichen die Impulse vor und nach dem Stoß unter Berücksichtigung der obigen Formel berechnen. Mit Derive könnte das folgendermaßen aussehen: Offensichtlich stimmt hier irgendetwas nicht. Entweder ist die Rechnung falsch oder der Impulssatz gilt nicht oder er kann so nicht angewendet werden. Wenn Sie kein Buch für die Schülerinnen und Schüler haben, das dieses Problem zu lösen hilft, dann lassen Sie die folgende Seite aus dem Internet bearbeiten. Sie ist sehr übersichtlich und verwendet das auch hier eingesetzte Beispiel. Die Darstellung ist zwar etwas allgemeiner aber dennoch gut verständlich. Zur Kontrolle des Verständnisses kann man dann die Rechung auf das hier vorgestellte Zahlenbeispiel anwenden. Relativistische Energie und Ruheenergie Infos auf der Website des Zentralen Informatikdienstes (Außenstelle Physik) der Uni Wien.