Unterrichtsmaterialien zum Thema "Vektorrechnung"

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Vektoraddition – Gesamtkraft mehrerer Kräfte

Unterrichtseinheit

Mit einer interaktiven Simulation erlernen Schülerinnen und Schüler spielend die Bestimmung der Summenkraft aus mehreren Einzelkräften.Die Unterrichtseinheit dient dem Einstieg in die Vektoraddition am Beispiel von Kräften im Physikunterricht der Klasse 8. In der genutzten Simulation lassen sich Beträge, Richtungen und Zahl der Einzelkräfte variieren. Per Mausklick führt die Simulation dann die erforderlichen Parallelverschiebungen der Kraftpfeile aus und zeichnet anschließend den Pfeil für die Gesamtkraft.Sie haben den Begriff der Kraft als vektorielle Größe eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler wissen, dass zu einer Kraft sowohl der Betrag als auch die Richtung und die Orientierung längs der Richtung gehören. Sie haben bereits erläutert, wie sich zwei Kräfte zu einer Gesamtkraft zusammensetzen lassen, sehen aber in den Augen der Klasse immer noch jenes Flackern, welches untrüglich ein gewisses Maß an Unverständnis signalisiert. Dann ist der Zeitpunkt für den Einsatz dieser Unterrichtsstunde gekommen! Vereinbaren Sie für die nächste Physikstunde ein Treffen im Computerraum. "Freies Spielen" mit der Simulation Es ist wichtig, dass jede Schülerin und jeder Schüler einen eigenen PC zur Verfügung hat, weil sonst der gemeinsame Lernfortschritt nicht garantiert ist. Im einfachsten Fall gehen Sie auf die Website von PhET und lassen die Schülerinnen und Schüler mit der Simulation "spielen".Die Schülerinnen und Schüler lernen mit der Simulation zur Vektoraddition das Vorgehen bei der Bestimmung der Summenkraft kennen. üben das Anfertigen von Zeichnungen zur Bestimmung der Summenkraft am Computer.

  • Physik
  • Sekundarstufe I

Drehung von Vektoren mit GeoGebra

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Drehung von Vektoren" ermöglichen interaktive dynamische Arbeitsblätter den Schülerinnen und Schülern einen eigenständigen Zugang zu mathematischen Inhalten. Durch Experimentieren und systematisches Probieren gelangen sie zum Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Ur- und Bildvektor bei der Drehung um 90 beziehungsweise -90 Grad.Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit "Drehung von Vektoren mit GeoGebra" bietet neben einer mit GeoGebra entwickelten geometrischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung eine javascript-basierte algebraische Übungsmöglichkeit zur Unterrichtsdifferenzierung. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende Motivation während der Übungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler ihre erreichte Punktezahl in eine Highscore-Liste eintragen können. Die Grundlage der Unterrichtseinheit bilden fünf interaktive Online-Arbeitsblätter, die es ermöglichen, Geometrie und Algebra in neuer Art und Weise miteinander zu verbinden.Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits Kenntnisse von der Koordinatendarstellung eines Vektors besitzen. Ferner sollte die Abbildung durch Drehung grundlegend im Unterricht behandelt worden sein. Die Unterrichtseinheit basiert auf HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamische Veranschaulichung realisiert werden kann, muss Java 1.4 (oder höher) auf den Rechnern installiert sein. Unterrichtsverlauf Beschreibung der Unterrichtsstunden und Hinweise zum Einsatz der Materialien (Online-Materialien, Arbeitsblätter, Hausaufgaben) Die Schülerinnen und Schüler entdecken durch systematisches Probieren, Veranschaulichung und schrittweise Abstraktion den Zusammenhang von Urvektorkoordinaten und Bildvektorkoordinaten bei der Drehung um 90 beziehungsweise -90 Grad selbstständig. können die gewonnenen Erkenntnisse auf unterschiedliche Aufgaben anwenden. Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts Mit dem Button "Aufgabe erstellen" werden die Koordinaten eines beliebigen Vektors erzeugt. Im dynamischen Arbeitsblatt kann nun dieser Vektor durch Bewegen des Punktes P gezeichnet werden. Anschließend kann dieser Vektor gedreht und die Koordinaten des Bildvektors können abgelesen werden. Diese Koordinaten werden dann in das vorgesehene Feld auf der Webseite eingetragen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Richtigkeit der Eingabe wird dann mit dem Button "Werte prüfen" kontrolliert. Erarbeitungsphase Nach der Erklärung der Funktionsweise des dynamischen Online-Arbeitsblatts sollen die Schülerinnen und Schüler nun in einem ersten Schritt die auf diese Weise gelösten Aufgaben auf dem von der Lehrkraft vorbereiteten und ausgegebenen Arbeitsblatt (vektoren_drehung_ab1.pdf) festhalten. Beim Lösen der Aufgaben durch Veranschaulichung sollen sie herausfinden, welcher allgemeine Zusammenhang zwischen den Koordinaten der Vektoren besteht und diesen auf der Rückseite ihres Arbeitsblatts mit Bleistift schriftlich mit eigenen Worten fixieren. In einem zweiten Schritt sollen sie dann die Aufgaben ohne Veranschaulichung lösen, indem sie ihre vorher gefundene Regel anwenden und damit verifizieren oder falsifizieren. Expertenvortrag und Zusammenfassung Im nächsten Unterrichtsschritt stellt eine Schülerin oder ein Schüler den gefundenen allgemeinen Zusammenhang in einem Expertenvortrag den Mitschülern vor. Die Lehrkraft fixiert die Ergebnisse auf einer Folie, die dem Arbeitsblatt der Schülerinnen und Schüler entspricht. Im Anschluss daran übernehmen alle Schülerinnen und Schüler diesen Eintrag. Differenzierung und Vertiefung Nun folgt eine Vertiefung durch Variation der Aufgabenstellung. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Aufgaben des zweiten dynamischen Arbeitsblatts (Abb. 2) bearbeiten. Dessen Funktionsweise entspricht der des vorhergehenden. Eine Einführung durch die Lehrkraft entfällt damit. Schwächere und Schülerinnen und Schüler können in dieser Umgebung weitere Übungen auf dem Schwierigkeitsniveau der Einführungsaufgaben lösen oder weiter die Veranschaulichung nutzen. Im Rahmen des Differenzierungsprozesses kann die Lehrkraft in diesem Unterrichtsabschnitt schwächere Schülerinnen und Schüler individuell fördern oder deren Arbeitsweise gezielt beobachten. Wettbewerb Am Ende der Stunde steht ein rund fünfminütiger Wettbewerb, bei dem nach einem Neustart von Online-Arbeitsblatt 2 derjenige der Sieger ist, der die meisten Punkte erreicht. Als besonderer Anreiz besteht dabei die Möglichkeit, die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eintragen zu lassen. Hausaufgabe Die Hausaufgabe findet sich auf einem vorbereiteten Blatt (vektoren_drehung_hausaufgabe.pdf), das an die Schülerinnen und Schüler ausgegeben wird. Die Aufgaben orientieren sich dabei an den zuletzt gelösten Aufgaben. Die Stellung und Vorbesprechung der Hausaufgabe beenden die Unterrichtsstunde. Lernende, die über einen Internetzugang verfügen, können die Unterrichtsstunde zu Hause nacharbeiten und sich die in der nächsten Unterrichtsstunde eingesetzten Materialien ansehen. Einführung und Übung Das Vorgehen gleicht bis zum Wettbewerb der Unterrichtsstunde zur Drehung um 90 Grad. Dabei werden die Online-Arbeitsblätter 3 und 4 eingesetzt. Wettbewerb Da der Verlauf der Unterrichtsstunden identisch ist, gelangen die Schülerinnen und Schüler in sehr viel kürzerer Zeit zum allgemeinen Zusammenhang. Daher steht am Ende der 2. Unterrichtsstunde ein rund zehnminütiger Wettbewerb, bei dem ein Arbeitsblatt zum Einsatz kommt, das bei der Aufgabenstellung auch den Drehwinkel variiert und somit eine neue Anforderung stellt (Abb. 3). Da die Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt ist, genügt ein Hinweis der Lehrkraft, dass nun auch der Drehwinkel zwischen 90 und -90 Grad variiert. Auch hier können die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eingetragen werden. Hausaufgabe Die Hausaufgabe findet sich wieder auf dem vorbereiteten Blatt, das bereits in der vorausgegangenen Unterrichtsstunde an die Schülerinnen und Schüler ausgegeben wurde.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Vorstoß in die vierte Dimension – der Hyperwürfel

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit für den Mathematikunterricht der Oberstufe wird der Hyperwürfel eingeführt, der die mathematische Verallgemeinerung von Objekten in mehr als drei Dimensionen verdeutlicht.Räumliche Dimensionen jenseits der drei erfahrbaren beflügeln unsere Phantasie, strapazieren aber die Vorstellungskraft. Dabei ist es aber eben nicht Sache des Vorstellungsvermögens, sondern eines Vollzugs mathematischer Verallgemeinerung, Objekte in mehr als den drei uns geläufigen Dimensionen zu beschreiben. In den BLK-Bildungsstandards sind mathematische Kompetenzen zu drei Anforderungsbereichen definiert: "Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern und Reflektieren." Im Hessischen Lehrplan (Mathematik für Erwachsenenschulen) ist zu lesen: "Charakteristisch für die Mathematik ist die stetige Suche nach Verallgemeinerung und begrifflicher Fundierung ... ". Die Verallgemeinerung ist Methode und Ziel der Mathematik. Ein Beispiel dafür, wie sie zu bedeutsamen Entdeckungen geführt hat, ist der so genannte letzte Satz Fermats (behauptet 1637, bewiesen 1993), der auf der Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras beruht. Das hier vorgestellte Projekt zum Vorstoß in die vierte Dimension ist für leistungsstarke und besonders interessierte Schülerinnen und Schüler konzipiert. Voraussetzungen Für den Umgang mit den im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" dargestellten Befehlssätzen müssen Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Wertzuweisung, Prozedurdefinition und -aufruf, Grafikkommandos). Eine elementare Einführung in die Handhabung des Computeralgebrasystems MuPAD bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Der Umgang mit Vektoren und Matrizen sollte geläufig sein. Die Technik des Verallgemeinerns Die Beschäftigung mit dem Hyperwürfel - einem "Würfel" aus der vierten Dimension - gibt vor allem Gelegenheit, die mathematische Technik des Verallgemeinerns im Übergang von R 1 , R 2 und R 3 zum R 4 konkret nachzuvollziehen. Das hier vorgestellte Projekt nimmt direkten Bezug auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit zur Zentralprojektion . Vierdimensionale Objekte und ihre Eigenschaften Expedition in den "großen Garten der Geometrie" "Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken." Dieser Satz von David Hilbert (1862-1943) verspricht neben der Freude an der Geometrie auch einen Reichtum an Themen, die sich bei Ausflügen in diesen Garten erschließen und die in der Schule ein projektorientiertes Vorgehen nahe legen. Die Darstellungen im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" sind gedacht als Impuls für ein selbstgesteuertes, tieferes Eindringen in die Beschreibung vierdimensionaler Objekte und deren Eigenschaften. Wegen der Herausforderung, die diese Thematik mit sich bringt, werden anstelle konkreter Aufgabenstellungen Projektvorschläge formuliert - dies auch unter dem Aspekt des damit verbundenen Arbeitsaufwands. Impuls mit Salvador Dali Die Begegnung mit dem Objekt dieser Unterrichtseinheit, dem Hyperwürfel, wird initiiert durch die Vorstellung des Gemäldes "Corpus Hypercubus" (Abb. 1, rechts) von Salvador Dali (1904-1989), der gesagt hat: "Mein ganzer Ehrgeiz auf dem Gebiet der Malerei besteht darin, die Vorstellungsbilder der konkreten Irrationalität mit der herrschsüchtigsten Genauigkeit sinnfällig zu machen." In diesem Satz deutet sich Dalis obsessiver Ehrgeiz an, durch technische Meisterschaft Welten auf der Leinwand geradezu zu erschaffen. Er hat sich an anaglyphen und anamorphen Darstellungen erfolgreich versucht und hätte allzu gern die Grenzen der Dreidimensionalität überschritten. Sein "Corpus Hypercubus" fällt in eine "nukleare Mystik" genannte Schaffensperiode. Der Hyperwürfel als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche Wieder einmal erschließt sich in dem Gemälde Dalis eine Beziehung zwischen religiöser Mystik und Mathematik und erinnert an die Aussage des Nicolaus von Cues (1401-1464): "Können wir uns dem Göttlichen auf keinem anderen Wege als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewissheit." Dalis Verwendung der dreidimensionalen Abwicklung des vierdimensionalen Hyperwürfels als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche ist geradezu sophistisch: Diese Abwicklung vollzieht sich im R 4 , lediglich das Ergebnis wird im R 3 sichtbar. Die Abwicklung selbst ist also nie unmittelbar zu beobachten, lässt sich nur letztendlich ebenfalls "metaphorisch", mittelbar erschließen - durch Vergleich mit der Abwicklung des dreidimensionalen Würfels in den R 2 oder durch Projektion seiner Abwicklung in den R 3 . Beschreibung des Hyperwürfels Durch den Vergleich von Strecke, Quadrat und Würfel (Objekte in R 2 , R 3 und R 4 ) und durch den Versuch, die Frage zu beantworten, was mit jeder Dimension "dazukommt", sowie durch Abzählung der geometrischen Elemente der Figuren, wird zu einer Beschreibung des Hyperwürfels und seiner Eigenschaften hingeführt. Der durch Ortsvektoren seiner Eckpunkte und durch die Aufzählung seiner Kanten repräsentierte Hyperwürfel wird einer Zentralprojektion aus dem R 4 in den R 3 unterzogen. Um den Unterricht nicht durch neue, für den R 4 eigenständige Begriffsdefinitionen zu komplizieren, wird hier mit analogen Begriffen gearbeitet. Zum Beispiel wird der Begriff Augpunkt beibehalten, der Begriff Projektionsebene durch den Begriff Projektionsraum ersetzt.Die Schülerinnen und Schüler lernen die mathematische Methode der Verallgemeinerung am Beispiel des Umgangs mit zwei-, drei- und vierdimensionalen Vektoren und der Übertragung der Drehung aus dem R 3 (dreidimensionaler Vektorraum) in den R 4 kennen. können Abbildungen in unterschiedlichen Vektorräumen durch Matrizen beschreiben. können Eigenschaften von Quadrat, Würfel und Hyperwürfel beschreiben und erkennen ihre Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von der jeweiligen Dimensionalität. Expedition in den "großen Garten der Geometrie" "Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken." Dieser Satz von David Hilbert (1862-1943) verspricht neben der Freude an der Geometrie auch einen Reichtum an Themen, die sich bei Ausflügen in diesen Garten erschließen und die in der Schule ein projektorientiertes Vorgehen nahe legen. Die Darstellungen im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" sind gedacht als Impuls für ein selbstgesteuertes, tieferes Eindringen in die Beschreibung vierdimensionaler Objekte und deren Eigenschaften. Wegen der Herausforderung, die diese Thematik mit sich bringt, werden anstelle konkreter Aufgabenstellungen Projektvorschläge formuliert - dies auch unter dem Aspekt des damit verbundenen Arbeitsaufwands. Impuls mit Salvador Dali Die Begegnung mit dem Objekt dieser Unterrichtseinheit, dem Hyperwürfel, wird initiiert durch die Vorstellung des Gemäldes "Corpus Hypercubus" (Abb. 1, rechts) von Salvador Dali (1904-1989), der gesagt hat: "Mein ganzer Ehrgeiz auf dem Gebiet der Malerei besteht darin, die Vorstellungsbilder der konkreten Irrationalität mit der herrschsüchtigsten Genauigkeit sinnfällig zu machen." In diesem Satz deutet sich Dalis obsessiver Ehrgeiz an, durch technische Meisterschaft Welten auf der Leinwand geradezu zu erschaffen. Er hat sich an anaglyphen und anamorphen Darstellungen erfolgreich versucht und hätte allzu gern die Grenzen der Dreidimensionalität überschritten. Sein "Corpus Hypercubus" fällt in eine "nukleare Mystik" genannte Schaffensperiode. Der Hyperwürfel als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche Wieder einmal erschließt sich in dem Gemälde Dalis eine Beziehung zwischen religiöser Mystik und Mathematik und erinnert an die Aussage des Nicolaus von Cues (1401-1464): "Können wir uns dem Göttlichen auf keinem anderen Wege als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewissheit." Dalis Verwendung der dreidimensionalen Abwicklung des vierdimensionalen Hyperwürfels als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche ist geradezu sophistisch: Diese Abwicklung vollzieht sich im R 4 , lediglich das Ergebnis wird im R 3 sichtbar. Die Abwicklung selbst ist also nie unmittelbar zu beobachten, lässt sich nur letztendlich ebenfalls "metaphorisch", mittelbar erschließen - durch Vergleich mit der Abwicklung des dreidimensionalen Würfels in den R 2 oder durch Projektion seiner Abwicklung in den R 3 . Beschreibung des Hyperwürfels Durch den Vergleich von Strecke, Quadrat und Würfel (Objekte in R 2 , R 3 und R 4 ) und durch den Versuch, die Frage zu beantworten, was mit jeder Dimension "dazukommt", sowie durch Abzählung der geometrischen Elemente der Figuren, wird zu einer Beschreibung des Hyperwürfels und seiner Eigenschaften hingeführt. Der durch Ortsvektoren seiner Eckpunkte und durch die Aufzählung seiner Kanten repräsentierte Hyperwürfel wird einer Zentralprojektion aus dem R 4 in den R 3 unterzogen. Um den Unterricht nicht durch neue, für den R 4 eigenständige Begriffsdefinitionen zu komplizieren, wird hier mit analogen Begriffen gearbeitet. Zum Beispiel wird der Begriff Augpunkt beibehalten, der Begriff Projektionsebene durch den Begriff Projektionsraum ersetzt (siehe Abb. 1).

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II