Unterrichtsmaterialien zum Thema "Differenzialrechnung"

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12 Treffer zu "Differenzialrechnung"
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Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit werden Extremwertprobleme als direkte Anwendung der Kurvendiskussion mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive 5.0 behandelt.Extremwertprobleme der einfachsten Form begegnen Schülerinnen und Schülern erstmals in der Sekundarstufe I im Zusammenhang mit der Behandlung quadratischer Funktionen sowie bei der Behandlung des Scheitelpunkts und der Scheitelpunktsform. In der Regel bringen die Lernenden nur schwache Extremwertkenntnisse mit in die Oberstufe. Eine Behandlung der einfachen Extremwertprobleme in der Jahrgangsstufe 11 kann zwar auch mit Unterrichtsgesprächen oder mit dem grafikfähigen Taschenrechner erfolgen. Das CAS Derive 5.0 bietet jedoch insbesondere durch die Möglichkeit der Kommentierung von Lösungen und Lösungswegen und dem gleichzeitig geöffneten Rechen- und Grafikfenster einen eindeutigen Mehrwert bei der Verfolgung der Lernziele. Durch seine 2D-Grafiken verhilft Derive zu sehr anschaulichen und diskutablen Lösungen.Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Auf dieser Seite finden Sie eine Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen der Unterrichtseinheit "Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0" Die Schülerinnen und Schüler bestimmen gegebene Größen. leiten Zielfunktionen aus gegebenen Größen her. bestimmen Extremstellen der Zielfunktionen und wenden das Verfahren der Kurvendiskussion an (notwendige Bedingung für Extremstellen). diskutieren und interpretieren gewonnene Lösungen. lösen einfache Extremwertprobleme. 1. Größen isolieren, Probleme erkennen, Lösungsstrategien entwickeln Nachdem die Schülerinnen und Schüler sich mit der Aufgabe vertraut gemacht haben, werden die gegebenen und gesuchten Größen isoliert und in der Datei zusammengestellt. Mithilfe aller Lernenden werden zunächst die Probleme (zwei verschiedene, noch unbekannte Variable) und danach die Lösungsstrategien (Isolation einer Variablen durch Ausdruck in Abhängigkeit von einer der anderen Größen) gemeinsam erarbeitet und fixiert. 2. Berechnung und Umstellung von Ausgangs- und Zielfunktion Nach gelungener Isolation und Erarbeitung der Strategie lösen die SchülerInnen die Ausgangsfunktion nach einer Variablen auf und setzen diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein. Die Berechnung und Umstellung der Ausgangsfunktion sowie der Zielfunktion können die Lernenden nicht am Rechner durchführen - dies muss manuell erledigt werden. 3. Erarbeitung einer kommentierten Lösung Nach den beiden ersten Schritten arbeiten die Lernenden zu zweit an die Rechner. Nun geht es zunächst darum, mithilfe des CAS eine übersichtliche und mit Kommentaren versehene Lösung zu erarbeiten. Mit Derive 5.0 ist dies Dank der Möglichkeit zur Eingabe von Texten in die Dateien sehr gut möglich. 4. Extremwertbestimmung Die Schülerinnen und Schüler bestimmen mit Derive 5.0 die Extremstellen und diskutieren am Graphen die gewonnene(n) Lösung(en). In der Regel erhalten sie zwei mögliche Lösungen, wovon eine entweder negativ ist oder unter die Randextrema fällt und somit nicht in Frage kommt. 5. Ergebnispräsentation Die Lernenden stellen ihre gewonnenen Lösungen den anderen Arbeitsgruppen per Beamer vor. Besonders übersichtliche und gut strukturierte Lösungen werden für alle ausgedruckt oder die Dateien werden allen zur Verfügung gestellt. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler zwei Aufgaben. Die Arbeitsaufträge sowie die mit Derive 5.0 erstellten Musterlösungen stehen als Download zur Verfügung. Falls Sie über keine Derive-Lizenz verfügen, können Sie sich anhand von Screenshots einen Eindruck von den Möglichkeiten der Software verschaffen. Aufgabe 1: Dreieck "Die Funktion f(x) = x^4-6x^2+8 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingefügt werden. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck und wie lauten seine Eckpunkte?" Aufgabe 2: Zylinder "Eine zylindrische Dose mit einem Oberflächeninhalt von 1 dm^2 soll ein maximales Volumen haben. Wie sind die Größen h und b zu wählen?" Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler zwei Aufgaben. Die Arbeitsaufträge sowie die mit Derive 5.0 erstellten Musterlösungen stehen als Download zur Verfügung. Falls Sie über keine Derive-Lizenz verfügen, können Sie sich anhand von Screenshots einen Eindruck von den Möglichkeiten der Software verschaffen. Aufgabe 1: Dreieck "Die Funktion f(x) = x^4-6x^2+8 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingefügt werden. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck und wie lauten seine Eckpunkte?" Aufgabe 2: Zylinder "Eine zylindrische Dose mit einem Oberflächeninhalt von 1 dm^2 soll ein maximales Volumen haben. Wie sind die Größen h und b zu wählen?"

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Einführung der Eulerschen Zahl

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zur Einführung der Eulerschen Zahl bestimmen und begründen die Schülerinnen und Schüler mithilfe eines Java-Applets und rechnerischer Umformungen die Ableitung der Exponentialfunktion analytisch und zugleich anschaulich.Die barometrische Höhenformel, das Bevölkerungswachstum und der Zerfall von Bierschaum: Als Einstieg in diese Unterrichtseinheit wurden Wachstums- und Zerfallsvorgänge durch die Behandlung von anwendungsorientierten und alltagsbezogenen Aufgaben aufgegriffen. Dies diente zum einen dazu, dass die Schülerinnen und Schüler lernten und übten, Funktionsterme für Exponentialfunktionen aufzustellen. Zum anderen sollten sie erkennen, welche Bedeutung der Wachstumsfaktor und der Streckfaktor für den Grafen einer Exponentialfunktion haben.Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei". "Geh weg oder ich differenzier dich!" Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e". Die Schülerinnen und Schüler können für Exponentialfunktionen der Form f(x) = ca x anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen. können den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern. können analytisch und geometrisch begründen, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss. können eine geeignete Basis a bestimmen, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt. kennen die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion. Exponentialfunktionen sind in der Sekundarstufe II ein von den Schülerinnen und Schülern dankbar aufgenommenes Thema. Kommt man doch dabei nach der Behandlung der gebrochen-rationalen "Kurvendiskutiererei" endlich wieder zu Funktionen, die die Lehrkraft mit anschaulichen Anwendungsinhalten füllen kann. Man sollte dabei jedoch die Balance zwischen reinen Anwendungen und analytischen Begründungen bewahren. So ist es wichtig, die Bedeutung der einzelnen "Faktoren" einer Exponentialfunktion immer wieder mit grafischen Inhalten zu füllen. Zu diesem Zweck haben die Lernenden zunächst Exponentialfunktionen zu verschiedenen Inhalten aufstellen und lösen müssen (barometrische Höhenformel, Bevölkerungswachstum, Zerfall von Bierschaum - entnommen aus diversen Lehrbüchern). Als Einstieg in die Ableitung der Exponentialfunktion haben die Schülerinnen und Schüler eine Folie mit dem wohl ältesten Mathematikerwitz, "Geh weg oder ich differenzier dich!", zu sehen bekommen und sollten sich zu dieser Aussage äußern. Dabei wurden zum Beispiel folgende Vermutungen genannt: "Die Exponentialfunktion muss wohl eine besondere Funktion sein." "Die Funktion kann man nicht differenzieren." "Man kann die Funktion unendlich oft differenzieren." Die Schülerinnen und Schüler sollten zunächst der Vermutung nachgehen, dass man die Exponentialfunktion nicht ableiten könne. Mithilfe des TI-83-Taschenrechners leiteten sie verschiedene Exponentialfunktionen ab und erkannten, dass diese Vermutung nicht zutreffen kann (Arbeitsblatt, siehe Download auf der Startseite des Artikels). Dann sollte die Sekantensteigung für eine Exponentialfunktion der Form f(x) = a x aufgestellt werden, wobei die Sekante durch die Punkte P (x / a x ) und Q (x+h / a x+h ) verläuft. Nach einigen analytischen Umformungen, die wegen der Nichtpräsenz der Potenzgesetze immer wieder schwer fielen, stießen die Lernenden auf den Streckfaktor, der bei den bisher mit dem Taschenrechner bestimmten Ableitungen festlegt, welchen Schnittpunkt der Graf der jeweils abgeleiteten Exponentialfunktion mit der y-Achse hat und der dafür sorgt, dass manche Grafen abgeleiteter Exponentialfunktion oberhalb beziehungsweise unterhalb der Ausgangsfunktionen liegen. Den Lernenden war dann aber relativ schnell klar, dass hinter der Aussage "Geh weg oder ich differenzier dich!" noch mehr stecken muss. Schließlich konnte man die Ableitung einer Exponentialfunktion bestimmen. So ging man der Frage nach, ob es nicht vielleicht eine Funktion gäbe, die mit ihrer Ausgangsfunktion übereinstimmt. Wenn es eine solche Ableitung geben sollte, dann müsse der Streckfaktor gleich 1 sein beziehungsweise die Tangente an der Stelle x = 0 die Steigung 1 haben. Die Schülerinnen und Schüler sollten dann mit dem Taschenrechner experimentell eine geeignete Basis a finden, für die der Graf der Ableitungsfunktion mit dem Graf der Ausgangsfunktion übereinstimmt. Relativ schnell wurde dann die Zahl a = 2,71 entdeckt. Das Java-Applet hat das experimentelle Finden der Zahl e in jeder Hinsicht positiv unterstützt. Es muss aber ganz deutlich gesagt werden, dass das Applet von Franz Embacher und Petra Oberhuemer ein durchaus anspruchsvolles Tool ist! So wird von der Tangente f(x) = 1 + x (für die die Steigung an der Stelle x = 0 gleich 1 ist) ausgegangen. Die Veränderung der Sekanten bei veränderten Basen a wird dynamisch dargestellt. Dieser Sachverhalt ist manchen Schülerinnen und Schülern zunächst nicht klar gewesen. Eine gute und in jeder Hinsicht auch mathematisch eindeutige Vorbereitung ist hier erforderlich.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Dynamische Mathematiksoftware erlaubt Visualisierungsmöglichkeiten, die mit Papier und Bleistift oder an der Tafel nicht realisierbar sind. Durch einfaches Ziehen mit der Maus lassen sich geometrische Figuren kontinuierlich variieren, einzelne Objekte können bei derartigen Bewegungen Spuren auf der Zeichenfläche (Ortskurven) hinterlassen.Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt.Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) 1. Schritt Die Schülerinnen und Schüler erhalten zunächst den Auftrag, den Graphen der Sinusfunktion f(x) = sin x in ihr Heft zu zeichnen (zum Beispiel mit einer Schablone) und an selbst gewählten Stellen die Steigung graphisch zu bestimmen, um sich einen ersten Überblick über den Verlauf der Ableitung zu verschaffen. Dabei ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit dem Nachbarn. 2. Schritt Die auf der Folgeseite der Lernumgebung angebotene GEONExT-Konstruktion dient der Visualisierung des Sachverhalts und der Ergebniskontrolle. 3. Schritt Im dritten Schritt hinterlässt ein Punkt beim dynamischen Variieren der Konfiguration als Spur den Graphen der Ableitungsfunktion. Experimentell entsteht die Erkenntnis: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. (Natürlich ist dies kein strenger Beweis; ein solcher könnte folgen oder hier auch entfallen.) Ableitung der Kosinusfunktion und Ergebnissicherung Analog können die Schülerinnen und Schüler auf den weiteren Seiten die Ableitung der Kosinusfunktion entdecken (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Zur Ergebnissicherung enthält die Lernumgebung ein Blatt im PDF- sowie im MS-Word-Format, das die Kernresultate zusammenfasst und gleichzeitig den Beweis der Ergebnisse mittels Berechnung des Differenzialquotienten wiedergibt. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, dass Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. GEONExT-Homepage Auf der GEONExT-Website können Sie die Software für Linux, Mac OS X und Windows herunterladen. Aufgaben als Bausteine des Mathematikunterrichts Ein Großteil des Denkens und Arbeitens von Schülerinnen und Schülern im Fach Mathematik wird durch Aufgaben bestimmt - sei es in Form von Schulübungen, Hausaufgaben oder Prüfungen. Aufgaben bieten Impulse zur Erforschung von Neuem, sie dienen dem Üben, Vertiefen, Vernetzen und sie sind Werkzeuge zur Leistungsmessung. Aufgaben besitzen damit ein erhebliches Potenzial, um Veränderungen im Mathematikunterricht anzustoßen. Natürlich können Aufgabenstellungen nicht alles leisten. Sie sind allenfalls Bausteine im Mathematikunterricht, die von der Lehrerin oder vom Lehrer als Architekten und Baumeister in ein größeres Ganzes eingefügt werden müssen. Es kommt entscheidend darauf an, wie mit Aufgaben umgegangen wird beziehungsweise wie die Beschäftigung mit Mathematik generell angelegt ist (siehe folgende Absätze zu Modul 8 und Modul 9). Selbständiges, eigenverantwortliches und kooperatives Arbeiten Für die Konzeption dynamischer Arbeitsblätter bedeutet dies, dass mit den Aufträgen an die Schülerinnen und Schüler vor allem Freiräume für selbständiges, eigenverantwortliches, aber auch kooperatives Arbeiten und Lernen geschaffen werden sollten. Einerseits sind die Aufträge so zu formulieren, dass die Schülerinnen und Schüler das zugrunde liegende Problemfeld eigenständig und ohne ständige weitere Anweisungen durch die Lehrkraft erkunden können, andererseits sollten mit den Aufgabenstellungen Felder für Kreativität und individuelle Lernwege eröffnet werden. In diesem Spannungsfeld zwischen Führen und Loslassen der Schülerinnen und Schüler bewegt sich jede Lehrkraft, die Arbeitsaufträge - insbesondere zu dynamischer Mathematik - konzipiert. Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Weitere Informationen zu Modul 1 auf der SINUS-Transfer-Website Schulisches Lernen ist in einen sozialen Kontext eingebunden. Auch wenn die Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsblättern auf den ersten Blick am Bildschirm tätig sind, sind die Mitschülerinnen und Mitschüler (sowie die Lehrkraft) unersetzliche Lernpartner. Dynamische Arbeitsblätter sind keine Medien zum Selbstlernen! Sie bieten Schülerinnen und Schülern Anstöße, um in Partner- oder Kleingruppenarbeit Mathematik zu erforschen und zu entdecken. Sie müssen Beobachtungen und Ideen gemeinsam diskutieren, sich auf ihren individuellen Lernwegen wechselseitig unterstützen und schließlich gewonnene Ergebnisse im Klassenteam präsentieren und einordnen. Ein derart kooperatives Lernen trägt damit nicht nur zu einem abwechslungsreichen Unterricht bei, sondern unterstützt vor allem den Aufbau sozialer Kompetenzen sowie fachliche Lernprozesse. Aufgaben für kooperatives Arbeiten Weitere Informationen zu Modul 8 auf der SINUS-Transfer-Website Dynamische Arbeitsblätter ermöglichen eigene Lernwege Lernen ist ein aktiver Konstruktionsprozess. Wissen kann nicht von der Lehrkraft in die Schülerköpfe gefüllt werden, sondern muss von den Schülerinnen und Schülern durch Eigentätigkeit konstruiert werden. Aufgabe der Lehrkraft ist es, Bedingungen zu schaffen, unter denen diese Aktivität am besten stattfinden kann. Dynamische Arbeitsblätter bieten hierzu einen geeigneten Rahmen. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, sich eigenständig mit den Problemstellungen und Arbeitsaufträgen auseinander zu setzen und eigene Lernwege zu gehen. Dabei können sie ihr Lerntempo weitgehend selbst steuern und sind für ihren Lernfortschritt maßgeblich selbst verantwortlich. Binnendifferenzierung Dynamische Arbeitsblätter bieten auch ein geeignetes Mittel zur Binnendifferenzierung: Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler können sich der eigenständigen Erarbeitung komplexerer Problemstellungen widmen, die Lehrkraft besitzt die Möglichkeit, sich gezielt der Förderung Leistungsschwächerer zuzuwenden. Verantwortung für das eigene Lernen stärken Weitere Informationen zu Modul 9 auf der SINUS-Transfer-Website

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Steckbriefaufgaben im virtuellen Klassenraum

Unterrichtseinheit

Die so genannten Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) bilden das Gegenstück zur klassischen Kurvendiskussion. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit nutzten die Lernenden den virtuellen Klassenraum bei lo-net. Dieser wurde intensiv als Dateiaustauschbörse und Forum für gegenseitige Hilfestellungen genutzt und hat durch die "coole" Art des Unterrichts das Kursklima positiv beeinflusst.Das Thema Steckbriefaufgaben begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe I in Form des Lösens linearer Gleichungssysteme sowie in der Sekundarstufe II bei der Bestimmung von Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen. Die ?Kurvendiskussion rückwärts? stellt eine Anwendung der Schemata der Kurvendiskussion dar. In der Regel zeigen sich die Lernenden beim Aufstellen der Gleichungen beziehungsweise beim Lösen der linearen Gleichungssysteme motiviert. Mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad stoßen sie jedoch an ihre Grenzen. Um die damit verbundene Frustration zu vermeiden, hat ein Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 ab dem Beginn des Schuljahres einen virtuellen Klassenraum bei lo-net genutzt, in dem außerhalb der Unterrichtszeit Probleme diskutiert und Dateien ausgetauscht werden konnten.Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Steckbriefaufgaben werden von den Lernenden zunächst als angenehm und wenig kompliziert empfunden, stoßen allerdings mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad auf immer mehr Ablehnung. Um die daraus resultierende Frustration möglichst weit hinauszuzögern, konnten die Schülerinnen und Schüler des Kurses neben dem klassischen Klassenraum außerhalb der Unterrichtszeit den virtuellen Klassenraum bei lo-net nutzen (siehe Internetadresse). Dieser diente den Lernenden von Anfang an als Dateiaustauschbörse, als Archiv für Arbeitsblätter und als Forum für gegenseitige Hilfestellungen und den Austausch von Lösungsstrategien. Im Zuge der geforderten und zunehmenden Selbstständigkeit bildet dieser Aspekt ein unbedingtes "Muss" im Unterricht. Die Einrichtung des virtuellen Klassenraums hat sich in diesem Zusammenhang sehr bewährt: Wie man an den Forumsbeiträgen sehen kann (Abb. 1 - Platzhalter bitte anklicken), wurde er nahezu täglich benutzt. Die im Dateiaustausch abgelegten Arbeitsmaterialien zur Unterrichtsvorbereitung und -nachbereitung wurden von den Lernenden regelmäßig abgeholt. Um möglichst viele verschiedene Aufgaben lösen und möglichst viele Gleichungssysteme aufstellen zu können, haben die Schülerinnen und Schüler für drei Unterrichtsstunden in verschiedenen Gruppen gearbeitet, die ihre Ergebnisse im virtuellen Klassenraum den anderen zur Verfügung stellten. Bei den anwendungsorientierten Aufgaben hatten die Lernenden Probleme, die richtige Information aus einer Abbildung herauszufiltern oder einen richtigen Ansatz zu finden. Im Unterrichtsgespräch konnten diese Probleme in der Regel behoben werden. Im virtuellen Klassenraum war die Hilfe dazu etwas dürftig. Häufig lösten im Chat geäußerte Lösungsmöglichkeiten auch "kleine Streits" aus. Insgesamt hat das virtuelle Klassenzimmer das Unterrichtsklima sehr positiv beeinflusst. Grafikfähiger Taschenrechner und CAS Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit konnten die Schülerinnen und Schüler auf ihren eigenen grafikfähigen Taschenrechner (TI-83) zurückgreifen. Damit wurden die aufgestellten Gleichungssysteme mithilfe der Matrixfunktion gelöst und am Graphen direkt überprüft. Zum anderen konnten die Lernenden die Gleichungssysteme mit dem Computeralgebrasystems (CAS) Derive lösen und parallel dazu die Graphen darstellen lassen. Kritischer Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner Die Schülerinnen Schüler überprüften ihre vom Taschenrechner gelieferten Ergebnisse auf dem klassischen Rechenweg und kamen dabei zu erstaunlichen Ergebnissen: In vielen Fällen stimmten die berechneten Werte nicht mit denen des Taschenrechners überein oder die Ergebnisse verschiedener Taschenrechner wichen voneinander ab. Dies brachte zwar einige Verwirrung, förderte aber auch den nötigen kritischen Umgang mit technischen Rechenwerkzeugen. Dieser ging schließlich so weit, dass die Schülerinnen und Schüler kaum noch mit dem Taschenrechner gearbeitet und die Aufgaben nur noch auf klassischem Wege gelöst haben. Die Lernenden bestimmen unter anderem die Funktionsgleichungen eines Brückenbogens und der Flugbahn eines Leichtathleten. Die beiden Arbeitsblätter können Sie sich hier einzeln herunterladen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Tschebyscheff-Polynome

Unterrichtseinheit

Innerhalb der Menge der Polynome besitzen die Tschebyscheff-Polynome einige interessante Eigenschaften und lohnen, dass man sie analysiert und ihre Kurven diskutiert. Sie spielen bei der sogenannten Gauß-Quadratur und bei der Interpolation eine wichtige Rolle. Mit dem Einsatz von GeoGebra und wxMaxima können Schülerinnen und Schüler dabei Aspekte studieren, die wegen des höheren Rechenaufwands manuell eher schwer zu bewältigen sind.Tschebyscheff-Polynome oder auch T-Polynome sind rekursiv beschreibbare Polynome, können aber auch explizit dargestellt werden. Sie eignen sich als orthogonale Basis für Polynomfunktionen, besitzen Nullstellen, die für die polynomiale Interpolation eine vorteilhafte Rolle spielen und stehen mit dem Satz von Moivre in Verbindung. All diese Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome bieten sich an, in der Sekundarstufe II behandelt zu werden. Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist, dass die Schülerinnen und Schüler Polynome und die Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung kennen. Sie sollten über den Hauptsatz der Algebra und die Zerlegbarkeit von Polynomen laut Vieta Bescheid wissen. Grundlegendes Vorwissen über Matrizen und Determinanten wird benötigt und die Nutzung von GeoGebra und wxMaxima sollte keine Probleme bereiten. Hinweise zur Durchführung im Unterricht Hier finden Sie verschiedene Zugänge und Aufgabenstellungen zu Tschebyscheff-Polynomen. Anregung und Erweiterung Eine Anregung zur Erweiterung des Themas bietet die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die Kurvendiskussion von Polynomen durchführen können. mit trigonometrischen Funktionen rechnen können. Linearkombinationen erstellen können. Interpolation durchführen können. algorithmisches Verständnis erwerben. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen den Umgang mit GeoGebra lernen. den Umgang mit wxMaxima lernen. kleine Programmroutinen selbst erstellen können. Es existiert ein formaler Zusammenhang zwischen T-Polynomen erster und zweiter Art: Ein Polynom wird auf der Basis von vorgegebenen Daten im Bereich [-1,1]x[-1,1] eingefangen. Für die T-Polynome gibt es verschiedene Arten von Zugängen und Formulierungen, die in diesem Rahmen aufgezeigt und erarbeitet werden. Die rekursive Struktur der T-Polynome erster und zweiter Art wird erarbeitet. Eine ausführliche Kurvendiskussion der Polynome stärkt den Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Die Eigenschaften der T-Polynome werden ausführlich diskutiert. Aus der Reihe der Anwendungsmöglichkeiten von T-Polynomen sei auf den Einsatz in der polynomialen Interpolation näher hingewiesen (Abb. 1). Wenn man eine Funktion mit einem Polynom interpolieren möchte und dabei äquidistante Stützstellen verwendet, dann zeigt sich, dass der Graph der Polynomfunktion zu den Intervallrändern hin zu oszillieren tendiert. Um dies zu vermeiden, ist es günstiger, in der Nähe der Intervallgrenzen die Stützstellen enger zu wählen. Dies leisten gerade die Nullstellen der T-Polynome, die auch als Tschebyscheff-Knoten bezeichnet werden. Möchte man also eine Funktion mit geeigneten Stützstellen möglichst gut approximieren, dann kann man bei Bedarf die Nullstellen auf ein beliebiges Intervall [a,b] umrechnen: Beispiel auf dem Intervall [-5,5]: Die äquidistanten Stützstellen sind {-5,-4,...,4,5} und führen zu einer oszillierenden polynomialen Interpolation. Die Tschebyscheff-Stützstellen lauten hingegen: Unter numerischer Integration versteht man die Berechnung eines bestimmten Integrals mithilfe einer Summe. Die Qualität einer solchen Quadratur besteht in der Genauigkeit, mit der das Integral angenähert wird. Die Gauss-Tschebyscheff-Quadratur bedient sich dabei der Nullstellen der T-Polynome in folgender Weise:

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit werden Extremwertprobleme als direkte Anwendung der Kurvendiskussion mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive 5.0 behandelt.Extremwertprobleme der einfachsten Form begegnen Schülerinnen und Schülern erstmals in der Sekundarstufe I im Zusammenhang mit der Behandlung quadratischer Funktionen sowie bei der Behandlung des Scheitelpunkts und der Scheitelpunktsform. In der Regel bringen die Lernenden nur schwache Extremwertkenntnisse mit in die Oberstufe. Eine Behandlung der einfachen Extremwertprobleme in der Jahrgangsstufe 11 kann zwar auch mit Unterrichtsgesprächen oder mit dem grafikfähigen Taschenrechner erfolgen. Das CAS Derive 5.0 bietet jedoch insbesondere durch die Möglichkeit der Kommentierung von Lösungen und Lösungswegen und dem gleichzeitig geöffneten Rechen- und Grafikfenster einen eindeutigen Mehrwert bei der Verfolgung der Lernziele. Durch seine 2D-Grafiken verhilft Derive zu sehr anschaulichen und diskutablen Lösungen.Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Auf dieser Seite finden Sie eine Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen der Unterrichtseinheit "Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0" Die Schülerinnen und Schüler bestimmen gegebene Größen. leiten Zielfunktionen aus gegebenen Größen her. bestimmen Extremstellen der Zielfunktionen und wenden das Verfahren der Kurvendiskussion an (notwendige Bedingung für Extremstellen). diskutieren und interpretieren gewonnene Lösungen. lösen einfache Extremwertprobleme.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Vom Differenzen- zum Differenzialquotient

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Differenzialquotient wird die erste Ableitung mithilfe eines Java-Applets eingeführt. Die Verknüpfung zwischen grafischer Anschauung und Rechnung führt zu einem sicheren Umgang mit dem Differenzialquotienten.Grenzwerte von Folgen und Funktionen werden heute in der Regel - nach den Richtlinien - nur noch am Rande behandelt. Umso schwieriger ist es für die Lernenden zu begreifen, was ein Grenzwert einer Funktion überhaupt bedeutet und wie dieser graphisch anschaulich, geschweige denn mathematisch korrekt, angegeben werden kann. Beim Übergang vom Differenzenquotienten, also von der Sekantensteigung, zum Differenzialquotienten, also zur Tangentensteigung, kommt es deswegen auf eine möglichst genaue und zugleich verständliche Einführung an. Ein Java-Applet von Walter Fendt lieferte dabei in meinem Unterricht einen wertvollen Beitrag. Das Applet hatte eine Mittlerfunktion: Eine Aufgabenstellung zum Skiabfahrtslauf war der zentrale Aufhänger der Thematik, für die es galt, Ideen und Lösungen zu finden. Das Applet hat die Ideen graphisch veranschaulicht, den späteren Lösungsweg transparent gemacht und den Grenzwertprozess verdeutlicht.Die Schülerinnen und Schüler haben zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 die Bestimmung der Steigung von Geraden geübt und damit die Sekantensteigung wiederholt. Parallel dazu haben sie den Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate kennen gelernt, um so den Weg für eine einfachere Behandlung der Differenzialrechnung in Anwendungszusammenhängen frei zu machen. Hinweise zum Einsatz der Arbeitsblätter und des Applets Das Verständnis der Thematik muss sukzessiv aufgebaut werden, um eine erfolgreiche Einführung in die Kurvendiskussion zu gewährleisten. Die Arbeitsblätter können Sie hier einzeln herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler können die Sekantensteigung berechnen. können den Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung grafisch begründen. können erläutern, warum die Differenz aus dem x-Wert des Punktes Q und dem x-Wert des Punktes P unendlich klein, aber niemals null wird. können die Tangentensteigung als erste Ableitung der Funktion im Punkt P (1 / 1) erkennen und rechnerisch bestimmen. können den Differenzialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten kennen und bestimmen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II