Nullstellen ganzrationaler Funktionen in Netbook-Klassen
Unterrichtseinheit
Mobile Medien erweitern die methodischen Möglichkeiten des Unterrichts. Am Beispiel der Kurvendiskussion wird aufgezeigt, wie sich Netbooks in den Unterricht integrieren lassen.Die Vorteile von Netbooks für den schulischen Einsatz liegen auf der Hand: Sie sind klein, leicht und deutlich preiswerter als herkömmliche Laptops. Die vorliegende Unterrichtseinheit zeigt Einsatzmöglichkeiten digitaler Medien für den Mathematikunterricht, ohne dass dafür der Computerraum aufgesucht werden muss. Vielmehr dienen die Netbooks dazu, im eigenen Klassenraum die fachlichen Inhalte mithilfe digitaler Medien noch anschaulicher zu vermitteln. Hintergrund Einordnung der Unterrichtseinheit in den schulischen Kontext mit einer Verkürzung der Gymnasialzeit auf acht Jahre Unterrichtsverlauf 1. bis 3. Stunde Die ersten Stunden dienen dazu, dass sich die Lernenden beim ersten Einsatz von Netbooks mit den Geräten vertraut machen können. Unterrichtsverlauf 4. bis 6. Stunde Die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades werden mit wxMaxima untersucht und anschließend mit dem konventionellen Ansatz begründet. Unterrichtsverlauf 7. Stunde Thema der letzten Stunde ist die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit wxMaxima. Das Ergebnis wird im Nullstellensatz zusammengefasst. Die Schülerinnen und Schüler sollen die mathematischen Inhalte der Kurvendiskussion erfassen und anwenden können. die mathematische Software (GeoGebra, wxMaxima) bedienen können. die verschiedene Software entsprechend ihrer Vorteile unterscheiden und zielgerichtet einsetzen können. Thema Nullstellen ganzrationaler Funktionen in Netbook-Klassen Autor Dr. Karl Sarnow Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 im G8 Zeitraum 7 Stunden Technische Voraussetzungen Netbooks, Mathematiksoftware GeoGebra und wxMaxima (beides kostenfrei erhältlich) Hintergrund Einordnung der Unterrichtseinheit in den schulischen Kontext mit einer Verkürzung der Gymnasialzeit auf acht Jahre Unterrichtsverlauf 1. bis 3. Stunde Die ersten Stunden dienen dazu, dass sich die Lernenden beim ersten Einsatz von Netbooks mit den Geräten vertraut machen können. Unterrichtsverlauf 4. bis 6. Stunde Die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades werden mit wxMaxima untersucht und anschließend mit dem konventionellen Ansatz begründet. Unterrichtsverlauf 7. Stunde Thema der letzten Stunde ist die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit wxMaxima. Das Ergebnis wird im Nullstellensatz zusammengefasst. Einbeziehung neuer Technologien Die Einführung des G8 bringt erhebliche Umstrukturierungen des Mathematikunterrichts mit sich. Ein einfaches Zusammenstreichen von Themen kommt ebenso wenig in Frage, wie einfaches belassen und komprimieren der vorhandenen Themen. Stattdessen ist eine altersgemäße Umstrukturierung erforderlich, die, um eine inhaltliche Verflachung zu vermeiden, neuste Technologie in den Unterricht einbeziehen muss, um die zeitlichen Verluste bei der G8 Einführung durch Anwendung neuester Lerntechnologie zu kompensieren. Neueste Lerntechnologie bedeutet im wesentlichen den Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologie in einer den Schülerinnen und Schülern jederzeit und selbstverständlich zur Verfügung stehenden Inkarnation. Dieser Grundsatz impliziert die Verwendung mobiler Computer, welche die Lernenden stets bei sich tragen. Erst mit der Einführung kostengünstiger Netbooks ist dieser Grundsatz aber realistisch zu erfüllen: Computerräume versus heimische Computer Computerräume scheitern an der Diskrepanz zwischen häuslicher und schulischer Installation. Zu Hause ist der schülereigene Computer, wenn er denn vorhanden ist, aufs Spielen ausgerichtet. Jeder Versuch, schulische Software einheitlich zur Verfügung zu stellen, scheitert an der fehlenden Systemhomogenität, selbst dann, wenn offene Software benutzt wird, bei der Kosten- oder Lizenzfragen in den Hintergrund treten: Schülerinnen und Schüler benutzen ein anderes Betriebsystem als in der Schule. Das zur Verfügung gestellte Softwaresystem wird von den Schülerinnen und Schülern nicht beherrscht, unabhängig von den möglichen verschiedenen Konzepten (komplett bootfähiges System, Sammlung von freier Software, die lediglich installiert werden muss, und so weiter). Schülerinnen und Schüler sind oft nicht in der Lage, die verwendete Software zu installieren. Laptops Laptops scheitern an der zu großen Masse und dem Volumen der Geräte. Reine Laptopklassen wären hinsichtlich der Größe und des Gewichts der Laptops nur vertretbar, wenn die Schülerinnen und Schüler keine Bücher oder andere konventionelle Lernmittel zu transportieren hätten. Dass der gesamte Unterrichtsbetrieb aber "buchlos" organisiert werden kann ist eher eine Illusion von Utopisten als ernsthafte Vorstellung von im Unterricht stehenden Kolleginnen und Kollegen. Vorteile von Netbooks Netbooks sind klein und leicht und nur mit der nötigsten Hardware ausgestattete Laptopvarianten. Ihnen fehlt eine Festplatte, die durch einen Speicherchip ersetzt wurde. Dazu bieten sie eine Vielzahl von Schnittstellen, mit denen sie unter anderem leicht in ein Funknetz eingebunden werden können. Ein großzügig dimensionierter Akku erlaubt einen dem Taschenrechner ähnliche Verfügbarkeit. Sie besitzen sowohl das äußerliche Format als auch das Gewicht und die Haptik eines mittleren Schulbuchs. Sie passen also problemlos in einen gewöhnlichen Schulranzen. Diese Kompatibilität mit dem Schulalltag macht sie zu Werkzeugen des Durchbruchs beim Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnik (IuK) in der Schule, insbesondere im Mathematikunterricht der 10. Klassen des G8, bei dem wie dargelegt ein Rationalisierungsproblem besteht. Die Funktionalität erlaubt problemlos einen grafikfähigen Taschenrechner (GTR) inklusive der CAS-Varianten (Computer Algebra System) zu ersetzen. Mithin erhöhen Netbooks die physische Schülerbelastung nur minimal, bei erheblichem Nutzen in der Anwendung. IuK-Voraussetzungen Alle Schülerinnen und Schüler verfügen über dasselbe Netbook mit derselben Software. Im konkreten Fall wurden Intel Classmate Netbooks mit vorinstallierter Software (Ubuntu Linux, GeoGebra, Geonext und wxMaxima) verwendet, die vom Verein Schulen ans Netz e. V. im Rahmen des Projektes "Naturwissenschaften entdecken!" zur Verfügung gestellt wurden. Die Verwendung von Linux-Netbooks und fehlendem root-Passwort hat den Vorteil, dass die Lernenden die Rechner nicht manipulieren können. Erfahrungsberichte von Laptopklassen haben gezeigt, dass ein sinnvoller Unterrichtseinsatz privater Laptops nur möglich ist, wenn neben der privaten Partition auf der Festplatte eine weitere "Schulpartition" unter Linux vorhanden ist, die ausschließlich von der Lehrkraft verwaltbar ist. Diese Erfahrung mit Laptopklassen und privaten Laptops sollte unbedingt auf Netbookklassen übertragen werden. Wegen der Größe der Netbooks muss aber im Regelfall auf eine Dualboot Umgebung (wahlweise Windows oder Linux) verzichtet werden. Deshalb die dringende Empfehlung, Netbooks ähnlich wie GTR anzusehen: für die Schülerinnen und Schüler nicht veränderbar. Das lässt sich problemlos mit den preiswerten Linux-Netbooks realisieren. Mathematische Voraussetzung Ganzrationale Funktionen sind in der Klasse bekannt. Hier geht es zunächst darum, dass die Lernenden sich mit den Netbooks und den Besonderheiten des Betriebssystems vertraut machen. Dies beinhaltet insbesondere das Einloggen und die Passwortbenutzung, das Auffinden von Software im Menü sowie die Anpassung von Netzwerkparametern an die Klassen- und Schulgegebenheiten. Folgende Zielsetzung soll nach der ersten Stunde erreicht sein: Software Nach Unterrichtsende soll jede Schülerin und jeder Schüler die für die Unterrichtseinheit erforderliche Software (in diesem Fall GeoGebra und wxMaxima) auf dem eigenen Gerät auffinden und starten können. Netzwerkumgebung Die Einbindung der schulischen Netzwerkumgebung muss abgeschlossen sein (Erreichbarkeit des Netzwerkdruckers, des Internet und persönlicher Speicherbereiche). Diese dynamische Mathematiksoftware wird eingesetzt, um Graphen zu zeichnen und Ergebnisse der Kurvendiskussion darzustellen: Zeichnen eines Funktionsgraphen: Funktion [Funktionsterm, Untere Grenze, Obere Grenze] Einzeichnen eines Punktes auf dem Graphen: Das Punktmenü ist aktiviert und ein Mausklick auf den Graph platziert dort einen Gleiterpunkt. Dessen Koordinaten können abgelesen werden und entsprechend den Ergebnissen der Kurvendiskussion manuell (das heisst durch Korrektur der Koordinaten) nachgebessert werden. Möglichkeit der Ordnung durch Farbgebung (zum Beispiel alle Extrema rot, alle Wendepunkte blau, und so weiter) und Namensgebung Mit dieser Software lassen sich komplexe Termumformungen realisieren: expand: Ausmultiplizieren von Klammern factor: Ausklammern von Faktoren solve: Lösung von Gleichungen Als Hausaufgabe kann die Bearbeitung des Arbeitsblattes mit eigenen Beispielen dienen. Folgende Anwendungen sind denkbar: Den Funktionsgraph einer quadratischen Funktion mit GeoGebra zeichnen und Gleiter positionieren Einen Klammerterm mit wxMaxima ausmultiplizieren Ein Polynom 3. Grades ausklammern lassen. Hierbei wird darauf Wert gelegt, dass das Ergebnis mindestens einen Faktor ergibt. Eine quadratische Gleichung lösen Erarbeitung von Funktionseigenschaften am Beispiel der Funktion Zeichnen des Funktionsgraphen im angegebenen Bereich Zoomen und Bewegen der Arbeitsfläche für eine sinnvolle Darstellung des Funktionsgraphen Erzeugen eines Punktes auf dem Graphen Bewegung des Punktes auf dem Graphen mit der Maus. Die Koordinaten werden im Kontrollfenster angezeigt Fragestellung: Gibt es bemerkenswerte Punkte? Welche? Als Ergebnis sollten der Hochpunkt, der Tiefpunkt und die Nullstellen mindestens herauskommen, eventuell mit noch unklarer Bezeichnung. Problem dabei: Jede und jeder hat etwas andere Koordinaten. Anzeige der einzelnen Ergebnisse am Beamer: Ausgewählte Schülerinnen und Schüler präsentieren "ihren" besonderen Punkt. Der oder die ausgewählte Lernende kommt mit seinem Netbook zum Lehrerarbeitsplatz und steckt den Beamerstecker in seinen Netbookanschluss. Anschließend sehen alle Schülerinnen und Schüler das Ergebnis und markieren den gezeigten Punkt in ihrem eigenen Graphen. Auf diese Weise werden alle Hoch-/Tiefpunkte und Nullstellen gesammelt. Alle Lernenden haben am Ende der Stunde den Graphen der Funktion und alle interessanten Punkte gesammelt. Es ist sinnvoll, die Punkte systematisch umzubenennen (zum Beispiel A bis Z von links nach rechts), damit später alle wissen über welchen Punkt wir reden. Abspeichern des Arbeitsergebnisses Hausaufgabe: Wiederhole die Aufgaben im Arbeitsblatt dieser Stunde mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades deiner Wahl. Problematisieren Zu Beginn wird das Arbeitsergebnis der dritten Stunde aufgerufen und die Hausaufgaben der vergangenen Stunde besprochen. Es stellt sich heraus, dass jeder und jede etwas abweichende Koordinaten für verschiedene Punkte haben. Als Lösungsvorschlag wird angeregt, eine exakte Definition aufzustellen, die durch "Rechnung" gefunden wird. Definition Nullstellen: Definition Hochpunkt: Rechts und links von diesem Punkt sind die Funktionswerte kleiner. Definition Tiefpunkt: Rechts und links von diesem Punkt sind die Funktionswerte größer. Fokussieren auf Nullstellen In dieser Stunde liegt der Fokus auf Nullstellen. Die Besprechung von Hoch- und Tiefpunkt sollte für spätere Stunden zurückgestellt werden. Bisher wurden nur Gleichungen 1. und 2. Grades gelöst. In diesem Fall steht die Lösung einer Gleichung 3. Grades auf dem Unterrichtsplan. Verschiedene Lösungsansätze sind hier möglich: Konventioneller Ansatz mit Versuch der Reduktion auf bekannte Lösungsverfahren (Ausklammern von x) CAS-Ansatz. Wichtig: wenn der CAS-Ansatz benutzt wird, muss der konventionelle Ansatz nachgeschoben werden, damit die Hintergrundinformation nicht verloren geht. Dazu starten die Schülerinnen und Schüler das Programm wxMaxima. Dann lösen sie eine Gleichung dritten Grades mit dem Befehl: Das Ergebnis ist zu interpretieren: Korrektur der Punktkoordinaten für die Nullstellen (Punkte A, C, E) im Arbeitsergebnis von GeoGebra und Abspeichern der Datei. Hausaufgabe Als Hausaufgabe ist denkbar, dass die Schülerinnen und Schüler ein Dossier über den Inhalt der letzten Stunden schreiben. Vertiefung der Ergebnisse der bisherigen Stunden Nun geht es darum, die Ergebnisse der bisherigen Stunden zu vertiefen. Das Ergebnis der Nullstellenbestimmung mit dem CAS soll durch den konventionellen Ansatz begründet werden: Das Problem dabei ist: Die Reduktion klappt nur, wenn x ausklammerbar ist. Mithilfe des CAS klappt es bei ganzrationalen Funktionen sehr häufig, muss aber überprüft werden, wenn man dem System nicht blind vertrauen will. Aber auch CAS geben auf. Ein Beispiel ist hier zu sehen: Die Bestätigung der 2. und 3. Lösung (x²-5x+5=0) erfolgt durch die pq-Formel: Abschließend erfolgt die Überprüfung der Äquivalenz von CAS-Lösung und pq-Formel durch Termumformung. Hausaufgabe Als Hausaufgabe sollen die Lernenden für zwei Funktionen die Nullstellen mit einem CAS herleiten und durch konventionelles Vorgehen überprüfen: Begründung der Linearfaktorzerlegung In dieser Stunde geht es um die Begründung der Linearfaktorzerlegung. Die Hausaufgaben werden gemeinsam überprüft. Gegebenenfalls kann ein Schüler oder eine Schülerin die eigene Arbeit am Beamer zeigen. Die konventionelle Nullstellenbestimmung wird die folgende Gleichungskette liefern, eventuell nicht ganz vollständig. Besonders der letzte Term ist im Folgenden wichtig. Einsetzen der gefundenen Nullstellen: Überprüfung an der zweiten Hausaufgabe: Hier fehlt der letzte Schritt. In wxMaxima wird der Klammerterm nun zerlegt: Das Ergebnis lautet: Also gilt: Auch hier gilt die Analogie mit den Nullstellen: Zusammenfassen der Arbeit Für die gefundenen ganzrationalen Funktionen 3. Grades gilt: Es gibt drei Nullstellen. Sind a und b gefunden, lässt sich die Funktion f als Produkt dreier Faktoren darstellen: Die drei Faktoren heißen Linearfaktoren. Das Produkt der drei Linearfaktoren heißt Linearfaktorzerlegung der Funktion f. Hausaufgabe Bestimme die Nullstellen folgender drei Funktionen und gib die Funktionsgleichung ohne Linearfaktorzerlegung an. Verallgemeinerung auf alle ganzrationalen Funktionen Die Besprechung der Hausaufgabe zeigt, dass die Linearfaktorzerlegung einer Funktion sehr einfach die Nullstellen erkennen lässt, die man der ausmultiplizierten Form nicht ansieht. wxMaxima Mit Hilfe von wxMaxima (CAS) lassen sich auch ganzrationale Funktionen mit einem Grad in die Linearfaktorzerlegung bringen. Hierzu dient der Befehl factor(Term). Aufgaben Stelle die Funktionen jeweils als Linearfaktorzerlegung dar und bestimme die Nullstellen. Benutze den factor(Funktionsterm)-Befehl: Es sollte anhand der Beispiele den Schülerinnen und Schülern möglich sein, die Erkenntnis zu formulieren, dass eine ganzrationale Funktion n. Grades höchstens n Nullstellen besitzen kann, da nicht mehr als n Linearfaktoren zur Verfügung stehen. Sollten weitere Beispiele erforderlich sein, kann die Lehrkraft mithilfe des expand-Befehls beliebige weitere Beispiele generieren. Zum Beispiel liefert der folgende Befehl den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den Nullstellen 1, 2 und 3: Nun bleibt die Frage, ob denn weniger als n Nullstellen möglich sind. Mit der im vorigen Absatz beschriebenen Methode generieren wir einige ganzrationale Funktionen, die den Sachverhalt klären: Zusammenfassung Die Zusammenfassung der Stunde bildet der Nullstellensatz: Eine ganzrationale Funktion n. Grades kann bis zu n Nullstellen besitzen. Hausaufgabe Als Hausaufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler Funktionen mit folgenden Eigenschaften finden: Wenn die Funktionsgleichung gefunden ist, soll der Graph mit GeoGebra gezeichnet und die gefundenen Nullstellen markiert werden. Ein Vergleich der Nullstellen in GeoGebra mit der Aufgabenstellung ist erforderlich. Hinweis Um die Stunden nicht zu sehr mit Frontalunterricht zu belasten, sollten die Stunden als Arbeitsaufträge formuliert sein. Als Abschluss der Unterrichtseinheit empfiehlt sich die Anfertigung eines Dossiers zum Thema Nullstellensatz. Die Schülerinnen und Schüler sollten animiert werden, die im Netbook vorhandene Textverarbeitung (im Regelfall OpenOffice.org) zu verwenden.