Unterrichtsmaterialien zum Thema "Computeralgebra"

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen.Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.

Mobile Medien erweitern die methodischen Möglichkeiten des Unterrichts. Am Beispiel der Kurvendiskussion wird aufgezeigt, wie sich Netbooks in den Unterricht integrieren lassen.Die Vorteile von Netbooks für den schulischen Einsatz liegen auf der Hand: Sie sind klein, leicht und deutlich preiswerter als herkömmliche Laptops. Die vorliegende Unterrichtseinheit zeigt Einsatzmöglichkeiten digitaler Medien für den Mathematikunterricht, ohne dass dafür der Computerraum aufgesucht werden muss. Vielmehr dienen die Netbooks dazu, im eigenen Klassenraum die fachlichen Inhalte mithilfe digitaler Medien noch anschaulicher zu vermitteln. Hintergrund Einordnung der Unterrichtseinheit in den schulischen Kontext mit einer Verkürzung der Gymnasialzeit auf acht Jahre Unterrichtsverlauf 1. bis 3. Stunde Die ersten Stunden dienen dazu, dass sich die Lernenden beim ersten Einsatz von Netbooks mit den Geräten vertraut machen können. Unterrichtsverlauf 4. bis 6. Stunde Die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades werden mit wxMaxima untersucht und anschließend mit dem konventionellen Ansatz begründet. Unterrichtsverlauf 7. Stunde Thema der letzten Stunde ist die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit wxMaxima. Das Ergebnis wird im Nullstellensatz zusammengefasst. Die Schülerinnen und Schüler sollen die mathematischen Inhalte der Kurvendiskussion erfassen und anwenden können. die mathematische Software (GeoGebra, wxMaxima) bedienen können. die verschiedene Software entsprechend ihrer Vorteile unterscheiden und zielgerichtet einsetzen können. Thema Nullstellen ganzrationaler Funktionen in Netbook-Klassen Autor Dr. Karl Sarnow Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 10 im G8 Zeitraum 7 Stunden Technische Voraussetzungen Netbooks, Mathematiksoftware GeoGebra und wxMaxima (beides kostenfrei erhältlich) Hintergrund Einordnung der Unterrichtseinheit in den schulischen Kontext mit einer Verkürzung der Gymnasialzeit auf acht Jahre Unterrichtsverlauf 1. bis 3. Stunde Die ersten Stunden dienen dazu, dass sich die Lernenden beim ersten Einsatz von Netbooks mit den Geräten vertraut machen können. Unterrichtsverlauf 4. bis 6. Stunde Die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades werden mit wxMaxima untersucht und anschließend mit dem konventionellen Ansatz begründet. Unterrichtsverlauf 7. Stunde Thema der letzten Stunde ist die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit wxMaxima. Das Ergebnis wird im Nullstellensatz zusammengefasst. Einbeziehung neuer Technologien Die Einführung des G8 bringt erhebliche Umstrukturierungen des Mathematikunterrichts mit sich. Ein einfaches Zusammenstreichen von Themen kommt ebenso wenig in Frage, wie einfaches belassen und komprimieren der vorhandenen Themen. Stattdessen ist eine altersgemäße Umstrukturierung erforderlich, die, um eine inhaltliche Verflachung zu vermeiden, neuste Technologie in den Unterricht einbeziehen muss, um die zeitlichen Verluste bei der G8 Einführung durch Anwendung neuester Lerntechnologie zu kompensieren. Neueste Lerntechnologie bedeutet im wesentlichen den Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologie in einer den Schülerinnen und Schülern jederzeit und selbstverständlich zur Verfügung stehenden Inkarnation. Dieser Grundsatz impliziert die Verwendung mobiler Computer, welche die Lernenden stets bei sich tragen. Erst mit der Einführung kostengünstiger Netbooks ist dieser Grundsatz aber realistisch zu erfüllen: Computerräume versus heimische Computer Computerräume scheitern an der Diskrepanz zwischen häuslicher und schulischer Installation. Zu Hause ist der schülereigene Computer, wenn er denn vorhanden ist, aufs Spielen ausgerichtet. Jeder Versuch, schulische Software einheitlich zur Verfügung zu stellen, scheitert an der fehlenden Systemhomogenität, selbst dann, wenn offene Software benutzt wird, bei der Kosten- oder Lizenzfragen in den Hintergrund treten: Schülerinnen und Schüler benutzen ein anderes Betriebsystem als in der Schule. Das zur Verfügung gestellte Softwaresystem wird von den Schülerinnen und Schülern nicht beherrscht, unabhängig von den möglichen verschiedenen Konzepten (komplett bootfähiges System, Sammlung von freier Software, die lediglich installiert werden muss, und so weiter). Schülerinnen und Schüler sind oft nicht in der Lage, die verwendete Software zu installieren. Laptops Laptops scheitern an der zu großen Masse und dem Volumen der Geräte. Reine Laptopklassen wären hinsichtlich der Größe und des Gewichts der Laptops nur vertretbar, wenn die Schülerinnen und Schüler keine Bücher oder andere konventionelle Lernmittel zu transportieren hätten. Dass der gesamte Unterrichtsbetrieb aber "buchlos" organisiert werden kann ist eher eine Illusion von Utopisten als ernsthafte Vorstellung von im Unterricht stehenden Kolleginnen und Kollegen. Vorteile von Netbooks Netbooks sind klein und leicht und nur mit der nötigsten Hardware ausgestattete Laptopvarianten. Ihnen fehlt eine Festplatte, die durch einen Speicherchip ersetzt wurde. Dazu bieten sie eine Vielzahl von Schnittstellen, mit denen sie unter anderem leicht in ein Funknetz eingebunden werden können. Ein großzügig dimensionierter Akku erlaubt einen dem Taschenrechner ähnliche Verfügbarkeit. Sie besitzen sowohl das äußerliche Format als auch das Gewicht und die Haptik eines mittleren Schulbuchs. Sie passen also problemlos in einen gewöhnlichen Schulranzen. Diese Kompatibilität mit dem Schulalltag macht sie zu Werkzeugen des Durchbruchs beim Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnik (IuK) in der Schule, insbesondere im Mathematikunterricht der 10. Klassen des G8, bei dem wie dargelegt ein Rationalisierungsproblem besteht. Die Funktionalität erlaubt problemlos einen grafikfähigen Taschenrechner (GTR) inklusive der CAS-Varianten (Computer Algebra System) zu ersetzen. Mithin erhöhen Netbooks die physische Schülerbelastung nur minimal, bei erheblichem Nutzen in der Anwendung. IuK-Voraussetzungen Alle Schülerinnen und Schüler verfügen über dasselbe Netbook mit derselben Software. Im konkreten Fall wurden Intel Classmate Netbooks mit vorinstallierter Software (Ubuntu Linux, GeoGebra, Geonext und wxMaxima) verwendet, die vom Verein Schulen ans Netz e. V. im Rahmen des Projektes "Naturwissenschaften entdecken!" zur Verfügung gestellt wurden. Die Verwendung von Linux-Netbooks und fehlendem root-Passwort hat den Vorteil, dass die Lernenden die Rechner nicht manipulieren können. Erfahrungsberichte von Laptopklassen haben gezeigt, dass ein sinnvoller Unterrichtseinsatz privater Laptops nur möglich ist, wenn neben der privaten Partition auf der Festplatte eine weitere "Schulpartition" unter Linux vorhanden ist, die ausschließlich von der Lehrkraft verwaltbar ist. Diese Erfahrung mit Laptopklassen und privaten Laptops sollte unbedingt auf Netbookklassen übertragen werden. Wegen der Größe der Netbooks muss aber im Regelfall auf eine Dualboot Umgebung (wahlweise Windows oder Linux) verzichtet werden. Deshalb die dringende Empfehlung, Netbooks ähnlich wie GTR anzusehen: für die Schülerinnen und Schüler nicht veränderbar. Das lässt sich problemlos mit den preiswerten Linux-Netbooks realisieren. Mathematische Voraussetzung Ganzrationale Funktionen sind in der Klasse bekannt. Hier geht es zunächst darum, dass die Lernenden sich mit den Netbooks und den Besonderheiten des Betriebssystems vertraut machen. Dies beinhaltet insbesondere das Einloggen und die Passwortbenutzung, das Auffinden von Software im Menü sowie die Anpassung von Netzwerkparametern an die Klassen- und Schulgegebenheiten. Folgende Zielsetzung soll nach der ersten Stunde erreicht sein: Software Nach Unterrichtsende soll jede Schülerin und jeder Schüler die für die Unterrichtseinheit erforderliche Software (in diesem Fall GeoGebra und wxMaxima) auf dem eigenen Gerät auffinden und starten können. Netzwerkumgebung Die Einbindung der schulischen Netzwerkumgebung muss abgeschlossen sein (Erreichbarkeit des Netzwerkdruckers, des Internet und persönlicher Speicherbereiche). Diese dynamische Mathematiksoftware wird eingesetzt, um Graphen zu zeichnen und Ergebnisse der Kurvendiskussion darzustellen: Zeichnen eines Funktionsgraphen: Funktion [Funktionsterm, Untere Grenze, Obere Grenze] Einzeichnen eines Punktes auf dem Graphen: Das Punktmenü ist aktiviert und ein Mausklick auf den Graph platziert dort einen Gleiterpunkt. Dessen Koordinaten können abgelesen werden und entsprechend den Ergebnissen der Kurvendiskussion manuell (das heisst durch Korrektur der Koordinaten) nachgebessert werden. Möglichkeit der Ordnung durch Farbgebung (zum Beispiel alle Extrema rot, alle Wendepunkte blau, und so weiter) und Namensgebung Mit dieser Software lassen sich komplexe Termumformungen realisieren: expand: Ausmultiplizieren von Klammern factor: Ausklammern von Faktoren solve: Lösung von Gleichungen Als Hausaufgabe kann die Bearbeitung des Arbeitsblattes mit eigenen Beispielen dienen. Folgende Anwendungen sind denkbar: Den Funktionsgraph einer quadratischen Funktion mit GeoGebra zeichnen und Gleiter positionieren Einen Klammerterm mit wxMaxima ausmultiplizieren Ein Polynom 3. Grades ausklammern lassen. Hierbei wird darauf Wert gelegt, dass das Ergebnis mindestens einen Faktor ergibt. Eine quadratische Gleichung lösen Erarbeitung von Funktionseigenschaften am Beispiel der Funktion Zeichnen des Funktionsgraphen im angegebenen Bereich Zoomen und Bewegen der Arbeitsfläche für eine sinnvolle Darstellung des Funktionsgraphen Erzeugen eines Punktes auf dem Graphen Bewegung des Punktes auf dem Graphen mit der Maus. Die Koordinaten werden im Kontrollfenster angezeigt Fragestellung: Gibt es bemerkenswerte Punkte? Welche? Als Ergebnis sollten der Hochpunkt, der Tiefpunkt und die Nullstellen mindestens herauskommen, eventuell mit noch unklarer Bezeichnung. Problem dabei: Jede und jeder hat etwas andere Koordinaten. Anzeige der einzelnen Ergebnisse am Beamer: Ausgewählte Schülerinnen und Schüler präsentieren "ihren" besonderen Punkt. Der oder die ausgewählte Lernende kommt mit seinem Netbook zum Lehrerarbeitsplatz und steckt den Beamerstecker in seinen Netbookanschluss. Anschließend sehen alle Schülerinnen und Schüler das Ergebnis und markieren den gezeigten Punkt in ihrem eigenen Graphen. Auf diese Weise werden alle Hoch-/Tiefpunkte und Nullstellen gesammelt. Alle Lernenden haben am Ende der Stunde den Graphen der Funktion und alle interessanten Punkte gesammelt. Es ist sinnvoll, die Punkte systematisch umzubenennen (zum Beispiel A bis Z von links nach rechts), damit später alle wissen über welchen Punkt wir reden. Abspeichern des Arbeitsergebnisses Hausaufgabe: Wiederhole die Aufgaben im Arbeitsblatt dieser Stunde mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades deiner Wahl. Problematisieren Zu Beginn wird das Arbeitsergebnis der dritten Stunde aufgerufen und die Hausaufgaben der vergangenen Stunde besprochen. Es stellt sich heraus, dass jeder und jede etwas abweichende Koordinaten für verschiedene Punkte haben. Als Lösungsvorschlag wird angeregt, eine exakte Definition aufzustellen, die durch "Rechnung" gefunden wird. Definition Nullstellen: Definition Hochpunkt: Rechts und links von diesem Punkt sind die Funktionswerte kleiner. Definition Tiefpunkt: Rechts und links von diesem Punkt sind die Funktionswerte größer. Fokussieren auf Nullstellen In dieser Stunde liegt der Fokus auf Nullstellen. Die Besprechung von Hoch- und Tiefpunkt sollte für spätere Stunden zurückgestellt werden. Bisher wurden nur Gleichungen 1. und 2. Grades gelöst. In diesem Fall steht die Lösung einer Gleichung 3. Grades auf dem Unterrichtsplan. Verschiedene Lösungsansätze sind hier möglich: Konventioneller Ansatz mit Versuch der Reduktion auf bekannte Lösungsverfahren (Ausklammern von x) CAS-Ansatz. Wichtig: wenn der CAS-Ansatz benutzt wird, muss der konventionelle Ansatz nachgeschoben werden, damit die Hintergrundinformation nicht verloren geht. Dazu starten die Schülerinnen und Schüler das Programm wxMaxima. Dann lösen sie eine Gleichung dritten Grades mit dem Befehl: Das Ergebnis ist zu interpretieren: Korrektur der Punktkoordinaten für die Nullstellen (Punkte A, C, E) im Arbeitsergebnis von GeoGebra und Abspeichern der Datei. Hausaufgabe Als Hausaufgabe ist denkbar, dass die Schülerinnen und Schüler ein Dossier über den Inhalt der letzten Stunden schreiben. Vertiefung der Ergebnisse der bisherigen Stunden Nun geht es darum, die Ergebnisse der bisherigen Stunden zu vertiefen. Das Ergebnis der Nullstellenbestimmung mit dem CAS soll durch den konventionellen Ansatz begründet werden: Das Problem dabei ist: Die Reduktion klappt nur, wenn x ausklammerbar ist. Mithilfe des CAS klappt es bei ganzrationalen Funktionen sehr häufig, muss aber überprüft werden, wenn man dem System nicht blind vertrauen will. Aber auch CAS geben auf. Ein Beispiel ist hier zu sehen: Die Bestätigung der 2. und 3. Lösung (x²-5x+5=0) erfolgt durch die pq-Formel: Abschließend erfolgt die Überprüfung der Äquivalenz von CAS-Lösung und pq-Formel durch Termumformung. Hausaufgabe Als Hausaufgabe sollen die Lernenden für zwei Funktionen die Nullstellen mit einem CAS herleiten und durch konventionelles Vorgehen überprüfen: Begründung der Linearfaktorzerlegung In dieser Stunde geht es um die Begründung der Linearfaktorzerlegung. Die Hausaufgaben werden gemeinsam überprüft. Gegebenenfalls kann ein Schüler oder eine Schülerin die eigene Arbeit am Beamer zeigen. Die konventionelle Nullstellenbestimmung wird die folgende Gleichungskette liefern, eventuell nicht ganz vollständig. Besonders der letzte Term ist im Folgenden wichtig. Einsetzen der gefundenen Nullstellen: Überprüfung an der zweiten Hausaufgabe: Hier fehlt der letzte Schritt. In wxMaxima wird der Klammerterm nun zerlegt: Das Ergebnis lautet: Also gilt: Auch hier gilt die Analogie mit den Nullstellen: Zusammenfassen der Arbeit Für die gefundenen ganzrationalen Funktionen 3. Grades gilt: Es gibt drei Nullstellen. Sind a und b gefunden, lässt sich die Funktion f als Produkt dreier Faktoren darstellen: Die drei Faktoren heißen Linearfaktoren. Das Produkt der drei Linearfaktoren heißt Linearfaktorzerlegung der Funktion f. Hausaufgabe Bestimme die Nullstellen folgender drei Funktionen und gib die Funktionsgleichung ohne Linearfaktorzerlegung an. Verallgemeinerung auf alle ganzrationalen Funktionen Die Besprechung der Hausaufgabe zeigt, dass die Linearfaktorzerlegung einer Funktion sehr einfach die Nullstellen erkennen lässt, die man der ausmultiplizierten Form nicht ansieht. wxMaxima Mit Hilfe von wxMaxima (CAS) lassen sich auch ganzrationale Funktionen mit einem Grad in die Linearfaktorzerlegung bringen. Hierzu dient der Befehl factor(Term). Aufgaben Stelle die Funktionen jeweils als Linearfaktorzerlegung dar und bestimme die Nullstellen. Benutze den factor(Funktionsterm)-Befehl: Es sollte anhand der Beispiele den Schülerinnen und Schülern möglich sein, die Erkenntnis zu formulieren, dass eine ganzrationale Funktion n. Grades höchstens n Nullstellen besitzen kann, da nicht mehr als n Linearfaktoren zur Verfügung stehen. Sollten weitere Beispiele erforderlich sein, kann die Lehrkraft mithilfe des expand-Befehls beliebige weitere Beispiele generieren. Zum Beispiel liefert der folgende Befehl den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den Nullstellen 1, 2 und 3: Nun bleibt die Frage, ob denn weniger als n Nullstellen möglich sind. Mit der im vorigen Absatz beschriebenen Methode generieren wir einige ganzrationale Funktionen, die den Sachverhalt klären: Zusammenfassung Die Zusammenfassung der Stunde bildet der Nullstellensatz: Eine ganzrationale Funktion n. Grades kann bis zu n Nullstellen besitzen. Hausaufgabe Als Hausaufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler Funktionen mit folgenden Eigenschaften finden: Wenn die Funktionsgleichung gefunden ist, soll der Graph mit GeoGebra gezeichnet und die gefundenen Nullstellen markiert werden. Ein Vergleich der Nullstellen in GeoGebra mit der Aufgabenstellung ist erforderlich. Hinweis Um die Stunden nicht zu sehr mit Frontalunterricht zu belasten, sollten die Stunden als Arbeitsaufträge formuliert sein. Als Abschluss der Unterrichtseinheit empfiehlt sich die Anfertigung eines Dossiers zum Thema Nullstellensatz. Die Schülerinnen und Schüler sollten animiert werden, die im Netbook vorhandene Textverarbeitung (im Regelfall OpenOffice.org) zu verwenden.

Schülerinnen und Schüler untersuchen eigenständig mit den vielfältigen Experimentiermöglichkeiten eines Remotely Controlled Laboratory (RCL) die Beugung am Gitter.Beugung und Interferenz ist ein zentrales Standardthema in der gymnasialen Oberstufe, bei dem ein experimenteller Zugang erforderlich und besonders lohnend ist: Die Beugung von Licht ist kein Alltagsphänomen, da sich Beugungserscheinungen nur mit hinreichend kohärentem Licht und an Objektstrukturen mit Abmessung in der Größenordnung der Lichtwellenlänge beobachten lassen. Beobachtbare Beugungserscheinungen wie zum Beispiel Farberscheinungen an einer CD/DVD werden von Schülerinnen und Schülern häufig nicht als erklärungsbedürftig angesehen, da ihnen Anknüpfungsmöglichkeiten an physikalisches Alltagswissen fehlen. Die Unterrichtseinheit nutzt die vielfältigen Experimentiermöglichkeiten des RCLs "Beugung und Interferenz" und dass Schülerinnen und Schüler mit dem RCL auch zuhause Realexperimente durchführen können.Als Extremfall lässt sich die Wellenoptik in der gymnasialen Oberstufe auf die Thematisierung von Maxima/Minima des idealen Doppelspalts und Gitters mit verschwindend kleinen Spaltbreiten reduzieren. Annäherungen an diesen Extremfall sind in Grundkursen, aufgrund von Zeitmangel oder von zu wenigen Beugungsobjekten, zu beobachten. Gerade aber bei der Beugung am Gitter beziehungsweise am N-fach-Spalt (N größer/gleich 1) bietet sich bei kleinen Beugungswinkeln wegen der näherungsweise einfachen Abhängigkeiten des Beugungsmusters von mehreren anschaulichen geometrischen Größen (Wellenlänge, Spaltanzahl, Spaltbreite, Spaltabstand) ein breiterer experimenteller Zugang mit der Vielzahl an Beugungsobjekten des RCLs an. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien Lernvoraussetzungen, Unterrichtsverlauf, Steckbrief des RCLs "Beugung und Interferenz" und Materialien zur Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler sollen qualitative und quantitative Zusammenhänge zwischen Wellenlänge/Beugungsobjektgeometrie und der Intensitätsverteilung des Beugungsmusters untersuchen. durch eigenständiges hypothesengeleitetes Experimentieren Interesse an der Erklärung und mathematischen Beschreibung der Beugung entwickeln. die mathematische Beschreibung der Beugung am Gitter mithilfe des Zeigermodells verstehen. die Modulation des Beugungsmusters mit der Intensitätsverteilung des Einzelspalts erkennen. mit einem Computeralgebrasystem oder Tabellenkalkulationsprogramm experimentelle und theoretische Daten miteinander vergleichen. Thema Beugung am Gitter Autor Sebastian Gröber Fach Physik Zielgruppe Sekundarstufe II Zeitraum 6-8 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Internetanschluss in der Schule oder Zuhause, javafähiger Browser Software Zur Darstellung und Auswertung von Messdaten: Tabellenkalkulationsprogramm (zum Beispiel Excel), Computeralgebrasystem (zum Beispiel Maple ) oder ein spezielles Datenanalyseprogramm (zum Beispiel Origin ) für die Hochschule Die Unterrichtseinheit stellt für eine flexiblere Verwendbarkeit in Kursen der Oberstufe (Einsatz in Grundkursen sowie in großen, leistungsschwächeren oder stark heterogenen Leistungskursen) einen Kompromiss zwischen lehrergelenkterem und freierem Experimentieren der Schülerinnen und Schüler dar: Lehrergelenkteres Experimentieren In klassischer Weise wird zuerst der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge/Beugungsobjektgeometrie und den Maxima/Minima des Beugungsmusters durch Beobachten und Vermessen des Beugungsmusters mit einer Zentimeterskala behandelt. Anschließend wird die Abhängigkeit der Intensitätsverteilung des Beugungsmusters quantitativ durch Messungen mit einem Lichtsensor behandelt. Es wird jeweils vom Qualitativen zum Quantitativen und nach dem Schema Experiment - Theorie - Vergleich Experiment/Theorie vorgegangen. Freieres Experimentieren Bei leistungsstärkeren Kursen, inhaltlich guter Vorbereitung des Themas (siehe Lernvoraussetzungen) und fachmethodisch geschulter Lerngruppe können einzelne Schülerinnen und Schüler oder Schülergruppen im RCL ohne inhaltliche, fachmethodische oder messtechnische Vorgaben Zusammenhänge erkennen und diese untersuchen, dokumentieren, präsentieren und diskutieren. Wünschenswert sind folgende Lernvoraussetzungen: Beschreibung der Überlagerung von Schwingungen im Zeigermodell Interferenz mechanischer Wellen (Interferenz zweier Kreiswellen in der Wellenwanne, Gangunterschied und Phasendifferenz zwischen Wellen, Bedingungen für Maxima und Minima) Intensität mechanischer Wellen (Intensität proportional zum Amplitudenquadrat) Eingeführtes Tabellenkalkulationsprogramm (zum Beispiel Excel) oder Computeralgebrasystem (zum Beispiel MuPAD oder Maple) zum Vergleich experimenteller und theoretischer Daten Analogie/Vergleich zwischen Doppelspaltexperiment mit Licht und Interferenz zweier kreisförmiger Wasserwellen Qualitative und quantitative Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Wellenlänge/Beugungsobjektgeometrie und Maxima/Minima des Beugungsmusters Qualitative und quantitative Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Wellenlänge/Beugungsobjektgeometrie und Intensitätsverteilung des Beugungsmusters Test zur Bestimmung der Geometrie unbekannter Beugungsobjekte und klassische Rechenaufgaben Versuchsaufbau Abb. 1 und Abb. 2 zeigen den beschrifteten Versuchsaufbau des RCLs "Beugung und Interferenz". Abb. 3 zeigt die Laborseite mit Webcambildern und dem Bedienfeld. Qualitative und quantitative Messungen zum Zusammenhang zwischen Wellenlänge, Spaltanzahl, Spaltbreite, Spaltabstand und Intensitätsverteilung des Beugungsmusters Quantitative Untersuchung des Auflösungsvermögens eines Gitters Bestimmung der Geometrie unbekannter Beugungsobjekte Anzahl der Beugungsobjekte Etwa 150 Beugungsobjekte ermöglichen vielfältige experimentelle Möglichkeiten zur Untersuchung der Beugung und ein eigenständigeres Experimentieren der Schülerinnen und Schüler. Qualität der Beugungsmuster Elektronenlithographisch hergestellte Beugungsobjekte erzeugen hochwertige und ästhetische Beugungsmuster. Ferngesteuerter Beugungsobjektwechsel Ein schneller und direkter Vergleich von Beugungsmustern ist durch den ferngesteuerten Beugungsobjektwechsel und die Speicherung von Bildern der Beugungsmuster möglich. Mehrere Messmethoden Je nach Lernstand der Gruppe kann unter drei Messmethoden "Qualitatives Beobachten und Vergleichen von Beugungsmustern", "Vermessung des Beugungsmusters mit Zentimeterskala" und "Intensitätsmessung mit Lichtsensor" gewählt werden. Seltene Schulexperimente Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Wellenlänge (fünf Laser) und Beugungswinkel und des Zusammenhangs zwischen Anzahl der Spalte und Höhe/Breite der Intensitätsmaxima; quantitative Untersuchung des Auflösungsvermögens eines Gitters. Modulation des Beugungsmusters Die Geometrie der Beugungsobjekte wurde so gewählt, dass das mit der Intensitätsverteilung des Spalts modulierte Beugungsmuster gut beobachtet werden kann. Intensitätsverlauf des Beugungsmusters - Experiment und Theorie Simulationen erlauben keinen direkten Vergleich zwischen experimentellen und theoretischen Daten des Intensitätsverlaufs von Beugungsmustern (kein Datenimport, keine anpassbare x- und y-Achse). Besser geeignet sind in zunehmendem Maße an Schulen in Mathematik und Physik eingesetzte Computeralgebrasysteme (CAS) wie zum Beispiel MuPAD. Im RCL als TXT-Datei abgespeicherte Messdaten einer Intensitätsmessung lassen sich mit entsprechenden Befehlen importieren und gemeinsam mit dem theoretischen Intensitätsverlauf in einem Diagramm darstellen und vergleichen. Die MuPAD-Datei "vergleich_experiment_theorie.mn" (Abb. 4) erlaubt den Vergleich experimenteller und theoretischer Daten des Intensitätsverlauf des Beugungsmusters eines Gitters. Die Datei "animation_intensitaetsverteilung.mn" erlaubt die Animation des theoretischen Intensitätsverlaufs anhand jeweils eines Parameters (Wellenlänge, Spaltanzahl, Spaltbreite, Spaltabstand oder Abstand Beugungsobjekt-Schirm). Die Wellenoptik lässt sich in der gymnasialen Oberstufe durchaus auf die Thematisierung von Maxima/Minima des idealen Doppelspalts und Gitters mit verschwindend kleinen Spaltbreiten reduzieren - allerdings mit negativen Folgen für die Anschlussfähigkeit des erworbenen Wissens. Annäherungen an diesen Extremfall sind in Grundkursen, aufgrund von Zeitmangel oder von zu wenigen verfügbaren Beugungsobjekten, zu beobachten. Ein auf experimentellen Erfahrungen basierendes gefestigtes Grundlagenwissen zur Beugung und Interferenz ist Voraussetzung für ein Verständnis weiterführender Themen in Schule und Hochschule: Physikorientierte Themen zum Beispiel Auflösungsvermögen optischer Instrumente, Fourieroptik, Röntgenbeugung, Kristallographie Naturbezogene Themen zum Beispiel farbige Flügel von Schmetterlingen, Kränze um Sonne oder Mond, Farberscheinung am Spinnennetz, Interferenzerscheinungen beim Regenbogen Anwendungsorientierte Themen zum Beispiel Holographie, Gitterspektrometer Sebastian Gröber et al.: Beugung und Interferenz als RCL Artikel in "Praxis der Naturwissenschaften - Physik in der Schule" (PdN-PhiS) 1/58 (2008), Seite 43-47, Aulis Verlag Deubner Sebastian Gröber et al.: Beugung und Interferenz als RCL Konferenzbeitrag auf der DPG-Frühjahrstagung 2007 (Download per "rcl_beugung_und_interferenz.zip" auf der Startseite der Unterrichtseinheit)

Die so genannten Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) bilden das Gegenstück zur klassischen Kurvendiskussion. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit nutzten die Lernenden den virtuellen Klassenraum bei lo-net. Dieser wurde intensiv als Dateiaustauschbörse und Forum für gegenseitige Hilfestellungen genutzt und hat durch die "coole" Art des Unterrichts das Kursklima positiv beeinflusst.Das Thema Steckbriefaufgaben begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe I in Form des Lösens linearer Gleichungssysteme sowie in der Sekundarstufe II bei der Bestimmung von Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen. Die ?Kurvendiskussion rückwärts? stellt eine Anwendung der Schemata der Kurvendiskussion dar. In der Regel zeigen sich die Lernenden beim Aufstellen der Gleichungen beziehungsweise beim Lösen der linearen Gleichungssysteme motiviert. Mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad stoßen sie jedoch an ihre Grenzen. Um die damit verbundene Frustration zu vermeiden, hat ein Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 ab dem Beginn des Schuljahres einen virtuellen Klassenraum bei lo-net genutzt, in dem außerhalb der Unterrichtszeit Probleme diskutiert und Dateien ausgetauscht werden konnten.Die Lernenden arbeiteten während der Unterrichtseinheit motiviert und konzentriert. Als großes Plus hat sich die Arbeit am heimischen Rechner mit dem virtuellen Klassenraum von lo-net erwiesen. Dies hat nicht nur das Klima im Kurs nachhaltig positiv beeinflusst, sondern auch eine neue, "coole" Art des Unterrichts mit sich gebracht. Denn wo trifft man schon mal eine Lehrkraft im Chat oder wird von der Lehrerin dazu aufgefordert, Ergebnisse vor dem Unterricht den anderen zugänglich zu machen? Erfahrungen mit dem virtuellen Klassenraum Der Austausch von Hilfestellungen, Materialien Ergebnissen und Meinungen im virtuellen Klassenraum fördert die Selbstständigkeit der Schülerinnen und Schüler. Rechen- und Datenverarbeitungswerkzeuge, Arbeitsblätter Zur Bearbeitung der Steckbriefaufgaben konnten das CAS Derive sowie grafikfähige Taschenrechner (TI-83) verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen anhand gegebener Informationen und Eigenschaften eine Funktionsgleichung bestimmen können. aus den gegebenen (notwendigen) Bedingungen der Funktion das Gleichungssystem aufstellen können. das aufgestellte Gleichungssystem mithilfe des TI-83, mithilfe von Derive beziehungsweise durch Additions-, Subtraktions- und Einsetzungsverfahren lösen können. Thema Steckbriefaufgaben (Kurvendiskussion rückwärts) Fach Mathematik Autorin Sandra Schmidtpott Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 (Grundkurs) Zeitraum 4-6 Unterrichtsstunden grafikfähiger Taschenrechner (optional) TI-83, OHP-Projektion Derive (optional) ein Rechner pro zwei Lernende, idealerweise Beamer virtueller Klassenraum Einrichtung eines virtuellen Klassenraums durch die Lehrkraft bei lo-net (siehe Internetadresse), Zugriff der Lernenden außerhalb des Unterrichts auf Rechner mit Internetanschluss Die Steckbriefaufgaben werden von den Lernenden zunächst als angenehm und wenig kompliziert empfunden, stoßen allerdings mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad auf immer mehr Ablehnung. Um die daraus resultierende Frustration möglichst weit hinauszuzögern, konnten die Schülerinnen und Schüler des Kurses neben dem klassischen Klassenraum außerhalb der Unterrichtszeit den virtuellen Klassenraum bei lo-net nutzen (siehe Internetadresse). Dieser diente den Lernenden von Anfang an als Dateiaustauschbörse, als Archiv für Arbeitsblätter und als Forum für gegenseitige Hilfestellungen und den Austausch von Lösungsstrategien. Im Zuge der geforderten und zunehmenden Selbstständigkeit bildet dieser Aspekt ein unbedingtes "Muss" im Unterricht. Die Einrichtung des virtuellen Klassenraums hat sich in diesem Zusammenhang sehr bewährt: Wie man an den Forumsbeiträgen sehen kann (Abb. 1 - Platzhalter bitte anklicken), wurde er nahezu täglich benutzt. Die im Dateiaustausch abgelegten Arbeitsmaterialien zur Unterrichtsvorbereitung und -nachbereitung wurden von den Lernenden regelmäßig abgeholt. Um möglichst viele verschiedene Aufgaben lösen und möglichst viele Gleichungssysteme aufstellen zu können, haben die Schülerinnen und Schüler für drei Unterrichtsstunden in verschiedenen Gruppen gearbeitet, die ihre Ergebnisse im virtuellen Klassenraum den anderen zur Verfügung stellten. Bei den anwendungsorientierten Aufgaben hatten die Lernenden Probleme, die richtige Information aus einer Abbildung herauszufiltern oder einen richtigen Ansatz zu finden. Im Unterrichtsgespräch konnten diese Probleme in der Regel behoben werden. Im virtuellen Klassenraum war die Hilfe dazu etwas dürftig. Häufig lösten im Chat geäußerte Lösungsmöglichkeiten auch "kleine Streits" aus. Insgesamt hat das virtuelle Klassenzimmer das Unterrichtsklima sehr positiv beeinflusst. Grafikfähiger Taschenrechner und CAS Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit konnten die Schülerinnen und Schüler auf ihren eigenen grafikfähigen Taschenrechner (TI-83) zurückgreifen. Damit wurden die aufgestellten Gleichungssysteme mithilfe der Matrixfunktion gelöst und am Graphen direkt überprüft. Zum anderen konnten die Lernenden die Gleichungssysteme mit dem Computeralgebrasystems (CAS) Derive lösen und parallel dazu die Graphen darstellen lassen. Kritischer Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner Die Schülerinnen Schüler überprüften ihre vom Taschenrechner gelieferten Ergebnisse auf dem klassischen Rechenweg und kamen dabei zu erstaunlichen Ergebnissen: In vielen Fällen stimmten die berechneten Werte nicht mit denen des Taschenrechners überein oder die Ergebnisse verschiedener Taschenrechner wichen voneinander ab. Dies brachte zwar einige Verwirrung, förderte aber auch den nötigen kritischen Umgang mit technischen Rechenwerkzeugen. Dieser ging schließlich so weit, dass die Schülerinnen und Schüler kaum noch mit dem Taschenrechner gearbeitet und die Aufgaben nur noch auf klassischem Wege gelöst haben. Die Lernenden bestimmen unter anderem die Funktionsgleichungen eines Brückenbogens und der Flugbahn eines Leichtathleten. Die beiden Arbeitsblätter können Sie sich hier einzeln herunterladen.

Dieser Artikel beschreibt, wie der rechnerische und zeichnerische Aufwand für die Erstellung und Interpretation von Minkowski-Diagrammen im Physikunterricht mithilfe des „Rechen- und Zeichenknechtes Computer“ reduziert, somit der inhaltlichen Diskussion mehr Zeit gewidmet und der Umgang mit einem CAS geübt werden kann.Will man Aufgaben zur Relativitätstheorie mithilfe des Minkowski-Diagramms zeichnerisch bearbeiten, so müssen Parallelen gezeichnet und deren Schnittpunkte mit Achsen oder anderen Geraden bestimmt werden. Je nach Sorgfalt sind die damit erzielten Werte brauchbar oder kaum brauchbar. Eine rechnerische Kontrolle ist auf jeden Fall angebracht. Warum überträgt man dann die Arbeit nicht gleich dem Computer?! Die Genauigkeit seiner Zeichnungen ist kalkulierbar, für die rechnerische Kontrolle der Ergebnisse steht er ebenfalls zur Verfügung und gleichzeitig lernen die Schülerinnen und Schüler ihre anderweitig erworbenen mathematischen Kenntnisse oder auch den Umgang mit entsprechender Mathematiksoftware anzuwenden. Ein geeignetes Werkzeug kann zum Beispiel ein Computeralgebrasysteme wie Derive sein.Die hier beschriebene Unterrichtseinheit setzt voraus, dass der Unterricht zur Relativitätstheorie bereits bis hin zu den Minkowski-Diagrammen gediehen ist. Auch eine zeichnerische Umsetzung ist schon durchgeführt worden, so dass die ersten Teile der Unterrichtseinheit aus physikalischer Sicht eine Wiederholung sind. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler reichlich Übung im Umgang mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive haben, obwohl dies nicht schaden könnte. Lehrkräften, die im Umgang mit Derive noch nicht so geübt sind, wird die Erstellung von Minkowski-Diagrammen mithilfe einer Anleitung im PDF-Format Schritt für Schritt erläutert. Die an die Schülerinnen und Schüler gestellten Anforderungen sind auch von einem Grundkurs zu bewältigen. Wenn man den letzten Teil der Unterrichtseinheit mit der Behandlung der Erhaltungssätze sehr ausführlich behandeln möchte, dann benötigt man zu den in der Kurzinformation angegebenen 10-12 Stunden noch etwa vier zusätzliche Unterrichtstunden. Vorgeschlagen wird eine Mischung aus lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem und schülerzentriertem Unterricht. Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 1) Typische Probleme der Speziellen Relativitätstheorie (Stunde 1 bis 8) Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 2) Betrachtung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie (Stunde 9 und 10 beziehungsweise 9 bis 12) Die Schülerinnen und Schüler sollen das Computeralgebrasystem Derive als universelles mathematisches Werkzeug kennen lernen. mit Derive eine Anleitung für die Erzeugung von Minkowski-Diagrammen entwickeln. Aufgaben aus der Relativitätstheorie sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Derive lösen können. die Bedeutung von Minkowski-Diagrammen erkennen. erkennen, dass die Erhaltungssätze der Mechanik in der Relativitätstheorie eine neue Bedeutung bekommen. Thema Minkowski-Diagramme mit Derive Autor Rainer Wonisch Fach Physik Zielgruppe Jahrgangstufe 12 oder 13, Grund- oder Leistungskurs Zeitraum 10-12 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Beamer (Lehrerdemonstration), Rechner in aus reichender Anzahl für Partner- oder Gruppenarbeit Software Derive Sie erklären am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) die Schritte zur Erzeugung eines Minkowski-Diagramms mit t' - und x' -Achse, aber ohne deren Einteilung. Ich schlage den Wert 0,5 c für die Relativgeschwindigkeit vor, da das Diagramm dabei relativ übersichtlich bleibt. Sie blenden den Beamer aus und fordern die Schülerinnen und Schüler auf, ein solches Diagramm selbst zu erzeugen. Falls es unbedingt nötig ist, geben Sie Hilfestellungen. Ansonsten lassen Sie die Jugendlichen sich selbst helfen. Sie wiederholen zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die Erstellung der Achseneinteilung für die t' -Achse. Bei der Umsetzung in die Sprache von Derive geben Sie eine mögliche Lösung an, falls die Schülerinnen und Schüler nicht durch die Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht selbst einen brauchbaren Vorschlag machen. Die Jugendlichen erhalten den Auftrag, die Rasterpunkte für die t' -Achse und außerdem für die x' -Achse einzuzeichnen. Wenn alle fertig sind, lassen Sie eine Schülerin oder einen Schüler aus einer Arbeitsgruppe den Lösungsweg seiner Gruppe am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) erklären. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x-t -System einzuzeichnen. Warten Sie, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x'-t' -System einzuzeichnen. Diesmal werden Sie wahrscheinlich nicht warten können, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Helfen Sie bei den Gruppen, deren Ideen am weitesten fortgeschritten sind, und benutzen Sie die Mitglieder dieser Gruppen dann als Multiplikatoren. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe auch minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Gegeben seien zwei Inertialsysteme S und S'. S' bewegt sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit v = 0,5 c. Aufgabe 1.1 Im System S sind verschiedene Ereignisse gegeben. A (3Ls/1s); B (3Ls/2s); C (3Ls/3s) Bestimme für die Ereignisse A, B, C die Ereigniskoordinaten im System S' zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms. Beschreibe Deine Vorgehensweise. Während der jetzt folgenden intensiven Diskussionen unter den Schülerinnen und Schülern "verraten" Sie einer Gruppe, dass ein Schieberegler eingesetzt werden kann. Dann warten Sie ab, ob sich diese Möglichkeit herumspricht. Wenn die Jugendlichen diese Möglichkeit schon kennen, wird es etwas weniger spannend sein. Zum Abschluss lassen Sie die verschiedenen Ansätze vortragen. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Aufgabe 1.2 Im System S' bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' = 0,5 c. Wie groß ist seine Geschwindigkeit u im System S? (zeichnerische Lösung) Wenn genügend Lösungen vorhanden sind, lassen Sie eine Gruppe ihre Vorgehensweise erklären. Sie stellen, je nach Situation, entweder für zu Hause oder für den Unterricht die Aufgabe, die wesentlichen Schritte für die Erstellung eines Minkowski-Diagramms mit Derive als Arbeitsanweisung zusammenzustellen. (Ein mögliches Ergebnis finden Sie unter Punkt 10: minkowski_diagramm.dfw beziehungsweise minkowski_derive.pdf ) Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Aufgabe 2 Ein Raumschiff mit v = 0,8 c sendet (aus seiner Sicht) jede Sekunde ein Funksignal aus. In welchem zeitlichen Abstand werden diese Signale im System S registriert? Kläre diese Frage zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms und zusätzlich rechnerisch. Ein allgemeines Aufstöhnen wird die Antwort sein, da Sie in gemeiner Weise eine andere Relativgeschwindigkeit gewählt haben. Sichten Sie gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern die bei Schritt 9 erstellten Arbeitsanweisungen und verallgemeinern Sie die beste Anweisungsfolge so, dass man mit ihrer Hilfe für jeden Wert von v mit einigen Mausklicks das gewünschte Minkowski-Diagramm erzeugen kann. Eine mögliche Lösung für die Anweisungsfolge mit Kommentaren finden Sie in der Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw . Für die Bearbeitung von Aufgabe 2 stellen Sie im Derive-Ausdruck #2 die richtige Geschwindigkeit ein und erzeugen dann mithilfe der Derive-Anweisungen das entsprechende Minkowski-Diagramm. Die Datei kann dann, unter neuem Namen gespeichert, für die weitere Bearbeitung fortgesetzt werden. Für die grafische Lösung von Aufgabe 2 müssen wegen der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem Parallelen zu t = -x durch mindestens zwei Rasterpunkte auf der t' - oder der x' -Achse gezeichnet werden. Die Differenz der Schnittwerte mit der t -Achse ist der gesuchte Zeitunterschied. Die Schülerinnen und Schüler werden vermutlich konkrete Zahlenwerte für die Punkte auf der t' -Achse benutzen. Man kann aber auch allgemein mit den Komponenten der Punkte P arbeiten. Wie man auf die Komponenten eines Vektors zugreifen kann, erläutert der folgende Auszug aus der Derive-Hilfe: "Mit dem Infixoperator SUB kann man ein Element aus einem Vektor oder einer Matrix herausgreifen. Wenn v ein Vektor ist, liefert v SUB n das n-te Element von v. Als Alternative zum Schreiben von SUB in der Eingabezeile, kann dieser Operator durch einen Klick auf das Abwärts-Pfeil-Zeichen auf der Mathematik-Symbolleiste eingegeben werden. Im Algebra-Fenster werden tiefer gestellte Indizes in der Standard-Index-Notation angezeigt. Zum Beispiel wird [a, b, c, d] SUB 2 angezeigt als und weiter vereinfacht zu b." Das Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Richtungs-Form ist der eleganteste Weg. Wenn die Jugendlichen diese Form nicht kennen oder verdrängt haben, müssen Sie einen kurzen mathematischen Einschub machen. Daraus ergibt sich ein Signalabstand von 3 Sekunden. Rechnerisch erhält man die Werte für t , in dem man für x den Wert 0 einsetzt. Entweder für ein Beispiel: oder für eine Folge von Werten: Benutzt wurde in beiden Fällen die Substitution für eine Variable. Sie erreichen diese Möglichkeit über Vereinfachen > Variablen-Substitution . Aufgabe 3 Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Gegeben seien die beiden Inertialsysteme S und S' mit der Relativgeschwindigkeit v. Im System S' wird das folgende Experiment durchgeführt: Zwei Körper gleicher Masse bewegen sich mit gleichem Betrag der Geschwindigkeiten aufeinander zu. Zum Zeitpunkt t' = 2 s treffen sie sich völlig unelastisch an der Stelle x' = 0, so dass sie vereint liegen bleiben. Es sei Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S'. Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S. Versuche auch eine zeichnerische Lösung. Die Schülerinnen und Schüler werden sofort fragen, welchen Wert sie für die Relativgeschwindigkeit v benutzen sollen. Stellen Sie es ihnen einfach frei. Für Ihre eigene Bearbeitung schlage ich v = 0,6 c vor. Es ergibt sich also u' sub~1~~ = 0,6 c ; u' sub~2~~ = 0,6 c . Die Weltlinien beider Körper im System t'-x' werden bis zum Zusammentreffen gezeichnet. Mithilfe der Musteranweisungsfolge (siehe Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw ) kann man das entsprechende Minkowski-Diagramm zeichnen. Endpunkt für die beiden Weltlinien soll der Punkt (0,2) auf der t' -Achse sein: Zwei Sekunden vorher war der sich in +x' -Richtung bewegende Körper an einer um 2Ls 0.6 in Richtung der -x' -Achse liegendem Ort gewesen. #14 und mit konkreten Werten #15 beschreiben Ausgangspunkt und Endpunkt im Minkowski-Diagramm: Für den sich in -x' -Richtung bewenden Körper gelten analog die beiden folgenden Ausdrücke: Auch wenn die Schülerinnen und Schüler ohne Ihre Hilfe dieses Ergebnis erzielt haben, werden sie misstrauisch sein, ob es überhaupt richtig sein kann. Dazu sieht es zu ungewohnt aus. Falls Sie es nicht von vorn herein schon gemacht haben sollten, dann führen Sie den Versuch auf einer Fahrbahn (am besten einer Luftkissenbahn) vor und bitten die Jugendlichen, für beide Körper das s-t -Diagramm zu zeichnen. Und zwar in der Form, in der sie früher solche Diagramme gezeichnet haben und zusätzlich mit vertauschten Achsen, wie bei den Minkowski-Diagrammen. Danach wird man den Ergebnissen nicht mehr ganz so misstrauisch gegenüber stehen. Die Geschwindigkeit der beiden Körper im System S kann aus den von Derive berechneten Werten der Anfangs- und Endpunkte der beiden Weltlinien bestimmt werden. Die folgenden Derive-Ausdrücke liefern das Ergebnis: Daraus ergeben sich die Geschwindigkeiten: Für die Geschwindigkeiten im System S' gilt laut Voraussetzungen der Aufgabe Formulierung des Impulssatzes für das System S': Daraus ergibt sich da die beiden Massen auf jeden Fall gleich sind. Formulierung des Impulssatzes für das System S: Setzt man die Zahlen des Beispieles ein, so erhält man: Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Fragen Sie die Schülerinnen und Schüler nach Erklärungshypothesen. Mögliche Hypothesen sind: Die berechneten Werte für u sub~1~~ und u sub~2~~ sind falsch. Bei hohen Geschwindigkeiten bleibt die Masse nicht konstant. Der Impulssatz gilt nicht bei hohen Geschwindigkeiten. Alle diese Hypothesen führen zu einer intensiven, weiterführenden Betrachtung: Die erste lässt sich durch Anwendung der Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten kontrollieren. Die zweite Hypothese beruht auf Kenntnissen der Schülerinnen und Schüler, die sie populärwissenschaftlichen Zeitschriften oder Fernsehsendungen entnommen haben. Die dritte Hypothese lässt sich mithilfe der Überlegungen zu Hypothese 2 kontrollieren. Untersuchung von Hypothese 1 Für die Untersuchung der ersten Hypothese erscheint folgende mehrgleisige Vorgehensweise sinnvoll: Die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten wird gemeinsam im Unterricht aus der Verallgemeinerung des Beispieles der Aufgabe 1.2 hergeleitet. Eine alternative Herleitung aus den Lorentztransformationen wird als Kurzreferat vergeben. Zur Herleitung mithilfe von Derive können Sie die für Aufgabe 1 erstellte Derive-Datei weiter benutzen. Öffnen Sie die Datei und gehen dann wie folgt vor. Zuerst heben Sie die Festlegungen für u' und v auf: Wir wählen wieder t' = 2 s. Man erhält die Weltlinie des sich mit u' bewegenden Körpers durch vektorielle Addition der Weltlinie des Systems t'-x' von 0 bis 2 s und einer Parallelen zur x' -Achse, deren Länge durch die Geschwindigkeit u' bestimmt ist. Bestimmung des Rasterpunktes auf der t'-Achse: Der Ortsvektor zum entsprechenden Punkt auf der x' -Achse muss auf die richtige Länge gebracht werden: Die beiden Ortsvektoren werden addiert: Die Geschwindigkeit u erhält man, indem man die erste Komponente des Vektors ( x -Wert) durch die zweite Komponente ( t -Wert) dividiert: Vereinfacht man diesen Ausdruck, so erhält man die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten: In Nicht-Derive-Schreibweise erhält man die bekannte Formel: Nachdem auch das Kurzreferat gehalten wurde, kann man mit der Formel die Ergebnisse für u sub~1~~ und u sub~2~~ bestätigen. Damit ist Hypothese 1 zu verwerfen. Untersuchung von Hypothese 2 Zur Überprüfung der zweiten Hypothese lassen Sie die Schülerinnen und Schüler die folgende Internetseite studieren. Dort findet sich eine Bestätigung der Hypothese mit: Untersuchung von Hypothese 3 Verbleibt noch die dritte Hypothese. Lassen Sie die Jugendlichen die Impulse vor und nach dem Stoß unter Berücksichtigung der obigen Formel berechnen. Mit Derive könnte das folgendermaßen aussehen: Offensichtlich stimmt hier irgendetwas nicht. Entweder ist die Rechnung falsch oder der Impulssatz gilt nicht oder er kann so nicht angewendet werden. Wenn Sie kein Buch für die Schülerinnen und Schüler haben, das dieses Problem zu lösen hilft, dann lassen Sie die folgende Seite aus dem Internet bearbeiten. Sie ist sehr übersichtlich und verwendet das auch hier eingesetzte Beispiel. Die Darstellung ist zwar etwas allgemeiner aber dennoch gut verständlich. Zur Kontrolle des Verständnisses kann man dann die Rechung auf das hier vorgestellte Zahlenbeispiel anwenden. Relativistische Energie und Ruheenergie Infos auf der Website des Zentralen Informatikdienstes (Außenstelle Physik) der Uni Wien.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Gewinnung von Einsichten in die mathematischen Grundlagen der Zentralperspektive. Zudem stehen auch ideengeschichtliche Aspekte im Vordergrund.Querverbindungen zwischen Wissenschaft und Kunst aufzuzeigen, ist in Lehrplänen ein oft genanntes Bildungsziel, das jedoch selten konkretisiert wird. Doch so befruchtend in der Geschichte der Disziplinen Kunst und Mathematik Berührungen und Begegnungen waren, so anregend können sie für den Unterricht sein. Sagt man von der Philosophie, sie sei "ihre Zeit in Gedanken gefasst" (Georg Wilhelm Friedrich Hegel), so kann man von der Kunst sagen, sie sei ihre Zeit in Bildern ausgedrückt. Die Beschäftigung mit der Zentralperspektive, insbesondere mit einer Betrachtung im kunsthistorischen Längsschnitt, gibt Zugriff auf Querverbindungen zwischen Mathematik, Kunst und Philosophie und legt offen, dass epochale Veränderungen nie Sache einer Wissenschaft oder der Gesellschaft allein waren, sondern als Strömung stattfanden, die alle Bereiche von Kultur und Zivilisation umfasste.Von Leonardo da Vincis Äußerung "Die erste Absicht des Malers ist, zu machen, dass eine ebene Fläche sich als ein erhabener [ ... ] Körper darstelle" bis zu Magrittes "Ich benutze die Malerei um das Denken sichtbar zu machen" erfolgt ein Paradigmenwechsel von der Nutzung der Möglichkeiten der Zentralperspektive zum Aufbau einer Illusion der Realität bis zur Nutzung ihrer Defizite zur Zerstörung dieser Illusion und des Aufbaus eines anderen Verständnisses von Realität. Der Unterricht sollte beim Thema Zentralperspektive die Gelegenheit nutzen, ideengeschichtliche Querverbindungen aufzuzeigen. Dieses Anliegen steht in den Materialien dieser Unterrichtseinheit im Vordergrund. Die Unterrichtseinheit ist zwar für den Einsatz in der Jahrgangstufe 11 konzipiert, die MuPAD-Animationen können jedoch durchaus schon unterstützend in den Klassen 7 oder 8 verwendet werden (Beamerpräsentation), in denen ein erster Zugang zum zentralperspektivischen Zeichnen vermittelt wird. Historische Entwicklung und Wandlung Von der Definition der handwerklichen Grundlagen in der Renaissance bis zur Benutzung der Zentralperspektive zur Offenlegung des Illusionären im 20. Jahrhundert Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz Welche Einsichten können mithilfe des Computeralgebrasystems bei der experimentellen Annäherung an die Zentralperspektive gewonnen werden? Arbeitsmaterialien Alle Materialien der Unterrichtseinheit im Überblick Die Schülerinnen und Schüler sollen Abbildungseigenschaften der Zentralprojektion als Regeln der zentralperspektivischen Darstellung erkennen (Mathematik). Einblick in die Entwicklung der zentralperspektivischen Darstellung bei Künstlern von der Renaissance bis zur Moderne gewinnen (Bildende Kunst). Thema Nutzung von Eigenschaften der Zentralprojektion als Zeichenregeln zur Darstellung des Raumes in der Ebene Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum etwa 8-11 Stunden Technische Voraussetzungen Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Renaissance - Definition handwerklicher Grundlagen Die Anfänge der zentralperspektivischen Darstellung liegen in der Renaissance. Sie sind verbunden mit einer Hinwendung zum Diesseits nach der Jenseitsorientierung des Mittelalters. Anfänglich werden zentralperspektivische Elemente naiv und unkritisch verwendet: Kanten von Gebäuden, Fugen von Kacheln und ähnliches laufen in die angenommene Tiefe hinein schräg aufeinander zu, ohne sich an einem definierten Fluchtpunkt zu orientieren. In Italien stellen Künstler wie Leon Battista Alberti (1404-1472) und Filippo Brunelleschi (1377-1446), in Deutschland Albrecht Dürer (1471-1528), die zentralperspektivische Darstellung teilweise mithilfe der Mathematik auf eine gesicherte, aber eher noch als handwerklich zu bezeichnende Grundlage. Das Hilfsliniengerüst aus Fluchtlinien und Parallelen zum Bildrahmen genügt aus heutiger Sicht nur einfachen Objektanordnungen. 17. Jahrhundert - das solide mathematische Fundament Im 17. Jahrhundert gibt der französische Architekt und Mathematiker Gérard Desargues (1591-1661) der Zentralperspektive ein ausgereiftes mathematisches Fundament (in dem er übrigens die Euklidische Geometrie überschreitet). Künstler wagen sich jetzt auch an Darstellungen heran, die zwei Fluchtpunkte enthalten. 19. und 20. Jahrhundert - Technik, Offenlegung des Illusionären Ab dem 19. Jahrhundert wird die zentralperspektivische Darstellung eher für die technische Zeichnung bedeutsam als für die Kunst. Gleichwohl erlebt die Zentralperspektive eine Wiedererweckung im Surrealismus des 20. Jahrhunderts. Mit der Perfektion der künstlerischen zentralperspektivischen Darstellung ist aber ihre Überwindung hinsichtlich ihrer ideellen Ursprünge verbunden - sie wird nicht mehr zum Aufbau der Illusion von Wirklichkeit genutzt, sondern geradezu zur Offenlegung des Illusionären, beziehungsweise einer Realität hinter dem Augenscheinlichen. Etliche Künstler machen dabei vor allem Gebrauch von Effekten, die auf dem Verlust der Tiefeninformation bei der Zentralprojektion beruhen. Bruno Ernst, "Der Zauberspiegel des M.C. Escher", Köln 1994 Keine MuPAD-Grundkenntnisse erforderlich Für den Umgang mit dem in der Unterrichtseinheit MuPAD-Notebook (zentralperspektive.mn) müssen keine Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein, da nur fertige MuPAD-Prozeduren genutzt werden. Eine elementare Einführung in die Handhabung des Computeralgebrasystems MuPAD bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Fächerverbindend - Bildende Kunst und Mathematik Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit ist eine von zweien zu dieser Thematik. Sie widmet sich dem Thema eher aus der Sicht der Bildenden Kunst, während die andere mehr auf der Seite des Fachs Mathematik steht (siehe Unterrichtseinheit Abbildung des Raums in die Ebene - Zentralprojektion im Fachportal Mathematik). Die Fähigkeiten zur Interpretation einer zentralperspektivischen Darstellung fallen individuell gleichermaßen unterschiedlich aus wie die Fähigkeiten zur Herstellung einer zentralperspektivischen Zeichnung. Darauf muss der Unterricht sich einrichten. Es sollten einige Grundbegriffe vermittelt werden, damit sprachliche Äußerungen über zentralperspektivische Darstellungen eine Grundlage haben. Darüber hinaus sind aber vor allem die MuPAD-Darstellungen mit ihren manipulativen Möglichkeiten (MuPAD-Notebook "zentralperspektive.mn") dazu gedacht, sich dem Thema eher experimentell zu nähern. Wie weit dann Einsichten gewonnen werden - wie sie im folgenden Text zusammenfassend aufgezählt werden - ist dann Sache der einzelnen Schülerinnen und Schüler. Die Normale zur Projektionsebene durch den Augpunkt heißt Hauptsehstrahl. Der Schnittpunkt des Hauptsehstrahls mit der Projektionsebene heißt Hauptpunkt. Parallelenscharen von Geraden, die parallel zur Projektionsebene verlaufen, werden als Parallelenscharen abgebildet (die Parallelität bleibt erhalten; nicht erhalten bleibt allerdings der Abstand der Parallelen). Alle zur Projektionsebene nicht parallelen Parallelenscharen werden als Geradenbüschel abgebildet. Alle Schnittpunkte solcher Geradenbüschel heißen Fluchtpunkte. Der Schnittpunkt eines Geradenbüschels, das Bild einer zur Projektionsebene normalen Parallelenschar ist, ist der Hauptpunkt. Ist der Hauptpunkt Ursprung eines orthogonalen, dreiachsigen Koordinatensystems und ist die Projektionsebene die xz-Ebene, so heißt die xy-Ebene Horizontalebene. Alle Fluchtpunkte der Bilder von Parallelenscharen, die in zur Horizontalebene parallelen oder orthogonalen Ebenen liegen, liegen auf der Schnittgeraden von Horizontalebene und Projektionsebene (der x-Achse). Diese heißt Horizont. Je kleiner der Betrag des Winkels einer Geraden aus einer solchen Parallelenschar gegen die Projektionsebene ist, um so größer ist der Abstand des zugehörigen Fluchtpunkts vom Hauptpunkt (Grenzfall Parallelität zur Projektionsebene: der Abstand ist unendlich). Bei der Zentralprojektion bleibt die Größe einer Strecke nicht erhalten (es sei denn, sie liegt in der Projektionsebene selbst). Je größer der Abstand einer Strecke zur Projektionsebene (und zum Augpunkt) ist, desto kleiner wird ihre Bildstrecke. Bei Strecken, die parallel zur Projektionsebene liegen, bleiben Teilstreckenverhältnisse erhalten (in Abb. 1 durch die Farbgebung gelb-violett angedeutet). Die MuPAD-Prozedur "ZPszene(Augpunkt,Winkel)" erlaubt uns noch einen Schritt weiter zu gehen: Unter "Winkel" können (durch Komma getrennt) bis zu drei Winkel in Grad angegeben werden. Der zweite aufgezählte Winkel lässt die Szene um die x-Achse rotieren, so dass beobachtet werden kann, was geschieht, wenn man eine Fotokamera schräg nach oben auf Gebäude richtet: Vertikale, in der Wirklichkeit parallele Linien, laufen im Bild nach oben zusammen - die Parallelen im Gegenstandsbereich entfernen sich nach oben von der Projektionsebene, der wiedergegebene Abstand muss also immer kleiner werden. Es entstehen Fluchtpunkte außerhalb der Horizontgerade. Es gibt Ebenen, deren zentralperspektivisches Bild eine Gerade ist (alle Ebenen durch den Augpunkt; das Bild der Horizontalebene ist der Horizont). Es gibt Geraden, deren zentralperspektivisches Bild ein Punkt ist (alle Geraden durch den Augpunkt; das Bild des Sehstrahls ist der Hauptpunkt). Diese Feststellungen sind die Voraussetzung für die Darstellung so genannter "unmöglicher" Objekte (Abb. 2), aber auch für ungewollte Fehler in perspektivischen Darstellungen.

Diese Unterrichtsreihe zum Thema Differenzialrechnung zeigt, wie mithilfe des Computer-Algebra-Systems (CAS) Derive Schülerinnen und Schüler die Begriffe und Sachverhalte der Differenzialrechnung erlernen und ein anwendungsbezogenes Verständnis entwickeln können. Die Reihe orientiert sich an dem Konzept des aktiven und selbstständigen Lernens. Das CAS leistet dabei einen enormen Beitrag.Das Thema Differenzialrechnung begegnet den Schülerinnen und Schülern erstmals in der Sekundarstufe II. Zu diesem Zeitpunkt verfügen die Schülerinnen und Schüler im günstigsten Fall über ein sehr geringes Vorwissen. Eine sorgfältige und gelungene Einführung der Differenzialrechnung ist von besonderer Bedeutung, da diese in der folgenden Jahrgangsstufe noch vertieft wird. Der Computer wird in dieser Unterrichtsreihe hauptsächlich als Zeichen- und Rechenknecht verwendet. Damit wird ein wichtiger Beitrag zum Aufbau der Kompetenz im Umgang mit neuen Medien geleistet. Darüber hinaus steht diese Reihe unter dem Aspekt des selbstständigen Lernens, das heißt, die Schülerinnen und Schüler müssen kreativ sein, ihre Problemlösefähigkeit entwickeln und das Gelernte auf andere Aufgaben transferieren.Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Sachverhalte meist rein theoretisch kennen. In dieser Unterrichtsreihe wird der Versuch unternommen, unmittelbare Anschauung mit mathematischer Theorie zu verknüpfen. Den Schülerinnen und Schüler wird veranschaulicht, was es bedeutet, wenn die erste Ableitung gleich Null ist und was passiert, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist. Unterrichtsvorbereitung, -durchführung, -nachbereitung Infos zum Konzept dieser Unterrichtseinheit und zu den Vorzügen von Derive Themen und Arbeitsblätter Übersicht über die Materialien dieser Unterrichtseinheit Die Schülerinnen und Schüler lernen die Begriffe der mittleren Steigung und der mittleren Änderungsrate kennen. erlernen die Begriffe der momentanen Änderungsrate beziehungsweise des Differenzenquotienten. erkennen, dass der Differenzenquotient beziehungsweise die Ableitung die Steigung in einem Punkt angibt. können verschiedene Ableitungsregeln kennen und anwenden. lernen die Begriffe Monotonie, Hoch-, Tief- und Wendepunkte kennen. können aus vorgegebenen Eigenschaften eine Funktion bestimmen (Kurvendiskussion rückwärts). Auswahl der Aufgaben Für diese Unterrichtseinheit wurden anschauliche Aufgaben aus dem Alltag der Schülerinnen und Schüler gewählt, die zugleich "mathematisierbar" und realistisch sind. Außerdem können die SchülerInnen die ausgewählten Aufgaben auch zu Hause - also ohne das Computerprogramm - lösen und üben. Eine ausgewogene Mischung zwischen Experimentieren, Probieren, Üben und Anwenden ist gewährleistet. Vorbereitung der Klasse Vor Beginn der Unterrichtsreihe sollen die Schülerinnen und Schüler eine zweistündige Einführung in das Programm erhalten, damit sie später die Aufgaben selbstständig bearbeiten können und in den Arbeitsphasen nicht durch unnötige Fragen den Unterricht stören. Es empfiehlt sich zudem, den Schülerinnen und Schülern eine kurze Anweisung oder Bedienungsanleitung an die Hand zu geben. Es ist sinnvoll, die während der Unterrichtsreihe einmal gebildeten Arbeitsgruppen an den Rechnern bestehen zu lassen. Die Gruppenzusammensetzung sollte dabei eine Mischung aus "Computercracks" und -neulingen gewährleisten. Die Schülerinnen und Schüler entdecken in der Regel sehr schnell die Fähigkeiten des Programms und arbeiten sich umgehend darin ein. Zur Kontrolle des Lernerfolgs ist es erforderlich, Unterrichtsstunden ohne den Rechner einzustreuen. Da die Schülerinnen und Schüler die Klausur ohne den Computer schreiben müssen, sollen Formalia des Aufschreibens (mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrem- und Wendestellen) und der Kurvendiskussion regelmäßig eingeübt werden. Die Schülerinnen und Schüler laden sich das Programm Derive zum Teil aus dem Internet auf den eigenen Rechner herunter. So ist ihnen möglich, die in der Unterrichtsstunde begonnenen Aufgaben zu Hause zu vollenden. Um jedoch dem Aspekt des Übens nachzukommen, ist dies eher eine Randerscheinung. In der Regel wenden die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen zu Hause an den Schulbuchaufgaben an. Die Ergebnisse der im Anschluss an diese Unterrichtsreihe geschriebenen Klausur zeigten, dass alle Lernziele erfolgreich umgesetzt wurden. Der Einsatz des Computerprogramms Derive lieferte dabei einen wertvollen Beitrag zu einem anwendungsorientierten und schülernahen Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Durch seine Nutzerfreundlichkeit ist das Programm auch sehr gut für Schülerinnen und Schüler geeignet, die bisher nur wenig Erfahrung im Umgang mit neuen Medien sammeln konnten. Durch den Einsatz des Computers als Rechen- und Zeichenknecht ließ sich viel Zeit sparen, die zusätzlich und sinnvoll in die Vermittlung des mathematischen Verständnisses investiert werden konnte. Der Einsatz des Computer-Algebra-Systems Derive hat sich im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II bereits bewährt. Zu den großen Vorteilen des Programms zählt insbesondere, dass man sowohl Zeichen- als auch Rechenmodus parallel nebeneinander auf dem Bildschirm anzeigen kann (ein Klick auf die linke Grafik vergrößert den Screenshot). Die Schülerinnen und Schüler haben in meinem Unterricht äußerst positiv und begeistert auf den Einsatz des Programms reagiert. Was nicht vergessen werden sollte Neben den aufgeführten charakteristischen Stellen einer Funktion sollte auch auf die übrigen charakteristischen Merkmale hingewiesen werden: Definitionsbereich und Nullstellen einer Funktion.

In dieser Unterrichtseinheit werden Extremwertprobleme als direkte Anwendung der Kurvendiskussion mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive 5.0 behandelt.Extremwertprobleme der einfachsten Form begegnen Schülerinnen und Schülern erstmals in der Sekundarstufe I im Zusammenhang mit der Behandlung quadratischer Funktionen sowie bei der Behandlung des Scheitelpunkts und der Scheitelpunktsform. In der Regel bringen die Lernenden nur schwache Extremwertkenntnisse mit in die Oberstufe. Eine Behandlung der einfachen Extremwertprobleme in der Jahrgangsstufe 11 kann zwar auch mit Unterrichtsgesprächen oder mit dem grafikfähigen Taschenrechner erfolgen. Das CAS Derive 5.0 bietet jedoch insbesondere durch die Möglichkeit der Kommentierung von Lösungen und Lösungswegen und dem gleichzeitig geöffneten Rechen- und Grafikfenster einen eindeutigen Mehrwert bei der Verfolgung der Lernziele. Durch seine 2D-Grafiken verhilft Derive zu sehr anschaulichen und diskutablen Lösungen.Bei der Behandlung der Extremwertprobleme stellen sich für die Schülerinnen und Schüler häufig zwei Probleme: die Isolierung gegebener und gesuchter Größen aus der vorhandenen Textaufgabe und das Aufstellen der entsprechenden Zielfunktion. Eine gemeinsam erarbeitete Strategie zur Lösung dieser Probleme ist notwendig, um den Lernenden die nötige Sicherheit im Umgang mit diesem Bereich der Mathematik zu geben. Ein Grundproblem, das im Mathematikunterricht immer wieder auftaucht - und nicht nur im Rahmen dieser Unterrichtsreihe -, ist die "Versorgung" der Rechenschritte und Lösungen mit verständlichen nachvollziehbaren Kommentaren und Erläuterungen für die Lernenden. Das CAS Derive bietet die dazu nötigen Möglichkeiten. Die Aufgaben dieser Unterrichtseinheit konnten von allen Lernenden gut nachvollzogen werden. Erarbeitete Lösungen ließen sich sofort am Graphen der Zielfunktion, insbesondere in den Extrempunkten, überprüfen. Unterrichtsverlauf Auf dieser Seite finden Sie eine Beschreibung der einzelnen Unterrichtsphasen der Unterrichtseinheit "Einfache Extremwertprobleme mit Derive 5.0" Die Schülerinnen und Schüler bestimmen gegebene Größen. leiten Zielfunktionen aus gegebenen Größen her. bestimmen Extremstellen der Zielfunktionen und wenden das Verfahren der Kurvendiskussion an (notwendige Bedingung für Extremstellen). diskutieren und interpretieren gewonnene Lösungen. lösen einfache Extremwertprobleme. 1. Größen isolieren, Probleme erkennen, Lösungsstrategien entwickeln Nachdem die Schülerinnen und Schüler sich mit der Aufgabe vertraut gemacht haben, werden die gegebenen und gesuchten Größen isoliert und in der Datei zusammengestellt. Mithilfe aller Lernenden werden zunächst die Probleme (zwei verschiedene, noch unbekannte Variable) und danach die Lösungsstrategien (Isolation einer Variablen durch Ausdruck in Abhängigkeit von einer der anderen Größen) gemeinsam erarbeitet und fixiert. 2. Berechnung und Umstellung von Ausgangs- und Zielfunktion Nach gelungener Isolation und Erarbeitung der Strategie lösen die SchülerInnen die Ausgangsfunktion nach einer Variablen auf und setzen diesen Ausdruck in die Zielfunktion ein. Die Berechnung und Umstellung der Ausgangsfunktion sowie der Zielfunktion können die Lernenden nicht am Rechner durchführen - dies muss manuell erledigt werden. 3. Erarbeitung einer kommentierten Lösung Nach den beiden ersten Schritten arbeiten die Lernenden zu zweit an die Rechner. Nun geht es zunächst darum, mithilfe des CAS eine übersichtliche und mit Kommentaren versehene Lösung zu erarbeiten. Mit Derive 5.0 ist dies Dank der Möglichkeit zur Eingabe von Texten in die Dateien sehr gut möglich. 4. Extremwertbestimmung Die Schülerinnen und Schüler bestimmen mit Derive 5.0 die Extremstellen und diskutieren am Graphen die gewonnene(n) Lösung(en). In der Regel erhalten sie zwei mögliche Lösungen, wovon eine entweder negativ ist oder unter die Randextrema fällt und somit nicht in Frage kommt. 5. Ergebnispräsentation Die Lernenden stellen ihre gewonnenen Lösungen den anderen Arbeitsgruppen per Beamer vor. Besonders übersichtliche und gut strukturierte Lösungen werden für alle ausgedruckt oder die Dateien werden allen zur Verfügung gestellt. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler zwei Aufgaben. Die Arbeitsaufträge sowie die mit Derive 5.0 erstellten Musterlösungen stehen als Download zur Verfügung. Falls Sie über keine Derive-Lizenz verfügen, können Sie sich anhand von Screenshots einen Eindruck von den Möglichkeiten der Software verschaffen. Aufgabe 1: Dreieck "Die Funktion f(x) = x^4-6x^2+8 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingefügt werden. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck und wie lauten seine Eckpunkte?" Aufgabe 2: Zylinder "Eine zylindrische Dose mit einem Oberflächeninhalt von 1 dm^2 soll ein maximales Volumen haben. Wie sind die Größen h und b zu wählen?" Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit bearbeiteten die Schülerinnen und Schüler zwei Aufgaben. Die Arbeitsaufträge sowie die mit Derive 5.0 erstellten Musterlösungen stehen als Download zur Verfügung. Falls Sie über keine Derive-Lizenz verfügen, können Sie sich anhand von Screenshots einen Eindruck von den Möglichkeiten der Software verschaffen. Aufgabe 1: Dreieck "Die Funktion f(x) = x^4-6x^2+8 und die x-Achse schließen eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt eingefügt werden. Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck und wie lauten seine Eckpunkte?" Aufgabe 2: Zylinder "Eine zylindrische Dose mit einem Oberflächeninhalt von 1 dm^2 soll ein maximales Volumen haben. Wie sind die Größen h und b zu wählen?"

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Zykloiden erleben die Schülerinnen und Schüler Drehungen und experimentieren mit Zykloiden, dessen Parameter verändert werden.Als erlebte Bewegung bereitet die Drehung einer Drehung viel Spaß: Man beachte die vielfältigen Angebote solcher Bewegungen auf Jahrmärkten. Ihre Analyse erweist sich bei guten Grundkenntnissen in der Trigonometrie als nicht zu schwierig. Die Verkettung von Abbildungen ist durchaus ein Thema auch im Fundamentum der Mathematiklehrpläne, wird jedoch meist an eher trivialen und uninteressanten Beispielen erläutert. Zykloiden (Epi- und Hypozykloiden) sind da interessanter. Sie entstehen durch die Verkettung von Drehung und Translation oder von mehreren Drehungen. Die grafische Darstellung von Zykloiden wird als ästhetisch attraktiv empfunden und löst oft geradezu Begeisterung aus. Das Experimentieren mit der Darstellung von Zykloiden durch Verändern von Parametern in den Programmen, die ihre Ausgabe auf Computermonitoren bewirken, kann Schülerinnen und Schüler sehr faszinieren. Voraussetzungen Für den Umgang mit den im MuPAD-Notebook zum Thema Zykloiden dargestellten Befehlssätzen müssen Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Wertzuweisung, Prozeduraufruf). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Anwendungsbezüge Für Zykloiden sind Anwendungsbezüge rar. Einer ist jedoch auch als Thema der Allgemeinbildung bedeutsam: In der Geschichte der Astronomie unseres Sonnensystems war etwa 2000 Jahre lang ein Trugschluss Lehrmeinung. Wegen der Wahrnehmung scheinbar rückläufiger oder schleifenförmiger Bewegungen bei Planetenbahnaufzeichnungen glaubte man an eine zykloidenförmige Bewegung der Planeten selbst. Wie die beobachteten Bewegungen tatsächlich zu Stande kommen, ist Thema der Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik . Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz Vor dem Einsatz des Computeralgebrasystems kommen "echte" Spirographen zum Einsatz. Alle Materialien der Unterrichtseinheit können Sie hier auch einzeln herunterladen. Die Schülerinnen und Schüler können Zykloiden, Epizykloiden und Hypozykloiden als Verkettung zweier Abbildungen beschreiben und lernen sie als Beispiele für Kurven in Parameterdarstellung kennen (Mathematik). können den verschachtelten Aufruf von Funktionen und Prozeduren in Programmen ausführen (Informatik). Der Unterrichtsprozess kann bei diesem Thema geradezu idealtypisch die Phasen enaktiver, ikonischer und symbolischer Beschäftigung mit dem Unterrichtsgegenstand durchlaufen. In zwei den Videoclips (epi_zykloide_reell.wmv, hypo_zykloide_reell.wmv) wird gezeigt, wie die Entstehung von Epi- und Hypozykloiden mithilfe großer Zahnräder an der Wandtafel vollzogen wird (der Autor hat sie als "Straßenspirograph" über eine Internetquelle bezogen). Aber auch mit kleiner dimensionierten Produkten aus der Spielzeugindustrie (Spirographen) oder mit Zahnrädern aus Fischertechnik-Lernbaukästen (demonstriert in Fotos im MuPAD-Notebook zykloiden.mn) lassen sich konkrete Erfahrungen mit der Entstehung von Zykloiden gewinnen. Abstraktion Die Abstraktion beginnt mit der zeichnerischen Darstellung und mit der Auswahl von geometrischen Teilobjekten (Strecken, Punkte, Winkel) für die mathematische Beschreibung. Um den Kontext zum enaktiven Umgang möglichst eng zu halten, sind in dem MuPAD-Notebook (zykloiden.mn) die grafischen Darstellungen mit Fotos von Zahnrädern überlagert, mit denen die Zykloiden erzeugt wurden. Definition von Zykloiden Epi- und Hypozykloiden sind meist definiert als Rollkurven rutschfrei aufeinander abrollender Kreise. Hierbei legt das Fortschreiten des Berührungspunktes der beiden Kreise die Umdrehungsgeschwindigkeit des abrollenden Kreises fest. Doch auch eine weniger strenge Definition ist möglich, basierend auf der Vorstellung, dass um den Endpunkt eines rotierenden Balkens ein weiterer Balken mit einer willkürlichen Geschwindigkeit (also unabhängig von der Rotationsgeschwindigkeit seiner Achse) rotiert. Diese Vorstellung lag zum Beispiel der Beschreibung der Planetenbewegung durch Tycho Brahe zugrunde (siehe Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik ) Im ersten Fall sind also die Rotationsgeschwindigkeiten der verketteten Drehungen abhängig voneinander, im zweiten nicht. Modellierung konkreter Vorgänge Die Entstehung von Zykloiden wird hier als Modellierung eines konkreten Vorgangs (Abrollen von Zahnrädern) beschrieben. Daher ist es wichtig, das mathematische Modell wieder auf den realen Vorgang zurück zu beziehen, also die entstehende Zykloidenform abhängig von der Zahnzahl der verwendeten Zahnräder in Realität und Computergraphik zu vergleichen (so an einer Stelle im Notebook beispielhaft vollzogen). Die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen und deren Syntax werden in einem separaten Dokument dargestellt (zykloiden_mupad_befehle.pdf).

Bei der Suche nach idempotenten Zahlen werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge entdeckt.Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler ab der 9. Jahrgangsstufe gedacht, die bereits Erfahrungen mit Tabellenkalkulation, CAS oder gar selbst geschriebenen Programmen besitzen und bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Suche nach so genannten idempotenten Zahlen, also nach Zahlen, deren Ziffernfolge bei all ihren Potenzen am Ende auftritt, wie zum Beispiel bei der 5 oder der 25. Das Problem wird sowohl praktisch (Programmierung, zum Beispiel mit Excel, Pascal und Maple) als auch theoretisch angegangen. Dabei werden vielfältige algebraische und zahlentheoretische Zusammenhänge, wie etwa der Chinesische Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten, entdeckt.Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Programm schreiben und optimieren, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Natürlich bietet es sich auch an, die selbst entwickelten Programme zu testen und zu vergleichen ("Welches ist am schnellsten?"). Die abschließenden Aufgaben (Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen) sind bewusst offen gehalten und sollen die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas selbstständig zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit dem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen. Das Thema bietet sich eventuell auch für eine Facharbeit an. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Infos zum Einstieg in die Thematik und zum Schreiben eines Programms, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Materialien Hinweise zum Einsatz der Materialien Die Schülerinnen und Schüler sollen einfache zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen. Fragestellungen mittels Tabellenkalkulationen, CAS und selbst geschriebenen Computerprogrammen bearbeiten. Modulo-Rechnen und den Chinesischen Restsatz kennen lernen. die Primfaktorzerlegungen wiederholen und durch Computerprogramme ausrechnen lassen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Idempotente Zahlen Autor Dr. Christian Groß Fach Mathematik Zielgruppe begabte Schülerinnen und Schüler ab Klasse 9, Mathematik-AG Zeitraum 4-8 Stunden Technische Voraussetzungen möglichst ein Computer pro Person Software CAS (Maple), Tabellenkalkulation (Excel), Programmierumgebung (zum Beispiel Pascal) Groß, Christian Idempotente (automorphe) Zahlen in q-Stellenwertsystemen, Mathematische Semesterberichte 52 (2005), Seite 127-151 Zu Beginn werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, die einfachsten idempotenten Zahlen zu suchen. Gestützt auf diese Beispiele sollen sie verschiedene zahlentheoretische Zusammenhänge erkennen und begründen, zum Beispiel dass es genügt, die Endziffern der Quadrate zu untersuchen, oder dass mehrstellige idempotente Zahlen "Verlängerungen" von ein-, zwei-, dreistelligen idempotenten Zahlen sind. Diese Erkenntnis wird dann auch praktisch umgesetzt: Ein erstes Programm soll geschrieben werden, das nach idempotenten Zahlen mit immer mehr Stellen sucht. Verlassen des Dezimalsystems Das Programm wird im Laufe der Unterrichtseinheit immer mehr ausgebaut und verbessert. Dazu werden die Lernenden in das Modulo-Rechnen eingeführt. Sie lernen den Chinesischen Restsatz und seine Anwendungsmöglichkeiten kennen. Zur Vertiefung werden hier auch Tabellenkalkulationen und Computerprogramme eingesetzt (zum Beispiel Pascal). Auf dieser Stufe ist es dann auch angebracht, das gewohnte Dezimalsystem zu verlassen und die im Laufe der Schullaufbahn meist kaum erkundeten alternativen Stellenwertsysteme zu untersuchen. Wenn wir nicht mehr je 10 Einheiten bündeln (beziehungsweise modulo q=10 rechnen), sondern uns ins Zweier-, Sechser-, oder gar 36er-System wagen, stellen sich Fragen wie: Aus welchen Ziffern bestehen die Zahlen und welche Zahlen sind demzufolge idempotent? Optimierung des Programms Schritt für Schritt können die Schülerinnen und Schüler immer tiefer liegende Zusammenhänge erkunden. Sie erkennen die Bedeutung der Primfaktorzerlegung der Stellenwertbasis q und stoßen auf mengenalgebraische Fragestellungen: Auf wie viele Arten lässt sich die Menge aller Primfaktoren von q in zwei disjunkte Teilmengen zerlegen? Jeder solchen Zerlegung entspricht eine andere idempotente Zahl. Wie kann man durch Addition und Subtraktion von idempotenten Zahlen neue idempotente Zahlen gewinnen? All diese Erkenntnisse können zur Verbesserung der selbst geschriebenen Programme herangezogen werden. Selbstständige Entdeckungsreisen Je nach der zur Verfügung stehenden Zeit können am Ende auch noch Zusammenhänge zwischen den idempotenten Zahlen zu verschiedenen Stellenwertbasen untersucht werden. Diese letzten Fragestellungen sind offener konzipiert und sollen die Lernenden ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen. Hinweise zur Nutzung Die drei PAS-Dateien sind die Pascal-Quellcodes von Programmen, die nach ein-, zwei-, beziehungsweise dreistelligen idempotenten Zahlen in q-Stellenwertsystemen suchen. Dabei wird jeweils abgefragt, in welchen Grenzen für q gesucht werden soll. Die EXE-Dateien sind die bereits kompilierten, lauffähigen Pascal-Programme, allerdings mit dem Unterschied, dass in diesen Programmen noch der ältere Name "automorphe Zahl" statt "idempotente Zahl" verwendet wird. Die Ausgabe der Programme erfolgt nicht direkt auf den Bildschirm, sondern in eine Textdatei, deren Namen am Anfang des Programms abgefragt wird (Eingabe zum Beispiel "xyz", wenn die Datei "xyz.txt" heißt). Achtung: Die Programme legen diese Textdatei nicht neu an, sondern öffnen sie nur. Genauer gesagt: Die Programme gehen davon aus, dass die Textdatei bereits im selben Verzeichnis existiert, in dem auch die Programme gespeichert sind. Also vorher neu anlegen! Das Maple-V-Worksheet berechnet N-stellige idempotente Zahlen (N = 50 ist voreingestellt, kann aber variiert werden). Hier muss der Stellenwert q explizit fixiert werden (voreingestellt ist q = 10, das heißt es wird nach idempotenten Dezimalzahlen gesucht). Ebenso muss die Endziffer a der idempotenten Zahl vorher bekannt sein und eingetragen werden (also 0, 1, 5 oder 6 für q = 10). Dann berechnet das Programm die diejenige N-stellige idempotente Zahl, deren letzte Ziffer a ist. Diese Zahl wird in Form einer Liste A ausgegeben, die von links nach rechts zu lesen ist. Zu Beispiel steht A = 5, 2, 6, 0, 9, ... für die (fünf-)stellige idempotente Dezimalzahl 90625.

... Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht, Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra, Berlin 2007 ( Infos im Netz ) Lehmann, Hergen; Lehmann, Eberhard Programmsystem Animato ...

In dieser Unterrichtseinheit für den Mathematikunterricht der Oberstufe wird der Hyperwürfel eingeführt, der die mathematische Verallgemeinerung von Objekten in mehr als drei Dimensionen verdeutlicht.Räumliche Dimensionen jenseits der drei erfahrbaren beflügeln unsere Phantasie, strapazieren aber die Vorstellungskraft. Dabei ist es aber eben nicht Sache des Vorstellungsvermögens, sondern eines Vollzugs mathematischer Verallgemeinerung, Objekte in mehr als den drei uns geläufigen Dimensionen zu beschreiben. In den BLK-Bildungsstandards sind mathematische Kompetenzen zu drei Anforderungsbereichen definiert: "Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern und Reflektieren." Im Hessischen Lehrplan (Mathematik für Erwachsenenschulen) ist zu lesen: "Charakteristisch für die Mathematik ist die stetige Suche nach Verallgemeinerung und begrifflicher Fundierung ... ". Die Verallgemeinerung ist Methode und Ziel der Mathematik. Ein Beispiel dafür, wie sie zu bedeutsamen Entdeckungen geführt hat, ist der so genannte letzte Satz Fermats (behauptet 1637, bewiesen 1993), der auf der Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras beruht. Das hier vorgestellte Projekt zum Vorstoß in die vierte Dimension ist für leistungsstarke und besonders interessierte Schülerinnen und Schüler konzipiert. Voraussetzungen Für den Umgang mit den im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" dargestellten Befehlssätzen müssen Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Wertzuweisung, Prozedurdefinition und -aufruf, Grafikkommandos). Eine elementare Einführung in die Handhabung des Computeralgebrasystems MuPAD bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Der Umgang mit Vektoren und Matrizen sollte geläufig sein. Die Technik des Verallgemeinerns Die Beschäftigung mit dem Hyperwürfel - einem "Würfel" aus der vierten Dimension - gibt vor allem Gelegenheit, die mathematische Technik des Verallgemeinerns im Übergang von R 1 , R 2 und R 3 zum R 4 konkret nachzuvollziehen. Das hier vorgestellte Projekt nimmt direkten Bezug auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit zur Zentralprojektion . Vierdimensionale Objekte und ihre Eigenschaften Expedition in den "großen Garten der Geometrie" "Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken." Dieser Satz von David Hilbert (1862-1943) verspricht neben der Freude an der Geometrie auch einen Reichtum an Themen, die sich bei Ausflügen in diesen Garten erschließen und die in der Schule ein projektorientiertes Vorgehen nahe legen. Die Darstellungen im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" sind gedacht als Impuls für ein selbstgesteuertes, tieferes Eindringen in die Beschreibung vierdimensionaler Objekte und deren Eigenschaften. Wegen der Herausforderung, die diese Thematik mit sich bringt, werden anstelle konkreter Aufgabenstellungen Projektvorschläge formuliert - dies auch unter dem Aspekt des damit verbundenen Arbeitsaufwands. Impuls mit Salvador Dali Die Begegnung mit dem Objekt dieser Unterrichtseinheit, dem Hyperwürfel, wird initiiert durch die Vorstellung des Gemäldes "Corpus Hypercubus" (Abb. 1, rechts) von Salvador Dali (1904-1989), der gesagt hat: "Mein ganzer Ehrgeiz auf dem Gebiet der Malerei besteht darin, die Vorstellungsbilder der konkreten Irrationalität mit der herrschsüchtigsten Genauigkeit sinnfällig zu machen." In diesem Satz deutet sich Dalis obsessiver Ehrgeiz an, durch technische Meisterschaft Welten auf der Leinwand geradezu zu erschaffen. Er hat sich an anaglyphen und anamorphen Darstellungen erfolgreich versucht und hätte allzu gern die Grenzen der Dreidimensionalität überschritten. Sein "Corpus Hypercubus" fällt in eine "nukleare Mystik" genannte Schaffensperiode. Der Hyperwürfel als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche Wieder einmal erschließt sich in dem Gemälde Dalis eine Beziehung zwischen religiöser Mystik und Mathematik und erinnert an die Aussage des Nicolaus von Cues (1401-1464): "Können wir uns dem Göttlichen auf keinem anderen Wege als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewissheit." Dalis Verwendung der dreidimensionalen Abwicklung des vierdimensionalen Hyperwürfels als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche ist geradezu sophistisch: Diese Abwicklung vollzieht sich im R 4 , lediglich das Ergebnis wird im R 3 sichtbar. Die Abwicklung selbst ist also nie unmittelbar zu beobachten, lässt sich nur letztendlich ebenfalls "metaphorisch", mittelbar erschließen - durch Vergleich mit der Abwicklung des dreidimensionalen Würfels in den R 2 oder durch Projektion seiner Abwicklung in den R 3 . Beschreibung des Hyperwürfels Durch den Vergleich von Strecke, Quadrat und Würfel (Objekte in R 2 , R 3 und R 4 ) und durch den Versuch, die Frage zu beantworten, was mit jeder Dimension "dazukommt", sowie durch Abzählung der geometrischen Elemente der Figuren, wird zu einer Beschreibung des Hyperwürfels und seiner Eigenschaften hingeführt. Der durch Ortsvektoren seiner Eckpunkte und durch die Aufzählung seiner Kanten repräsentierte Hyperwürfel wird einer Zentralprojektion aus dem R 4 in den R 3 unterzogen. Um den Unterricht nicht durch neue, für den R 4 eigenständige Begriffsdefinitionen zu komplizieren, wird hier mit analogen Begriffen gearbeitet. Zum Beispiel wird der Begriff Augpunkt beibehalten, der Begriff Projektionsebene durch den Begriff Projektionsraum ersetzt.Die Schülerinnen und Schüler lernen die mathematische Methode der Verallgemeinerung am Beispiel des Umgangs mit zwei-, drei- und vierdimensionalen Vektoren und der Übertragung der Drehung aus dem R 3 (dreidimensionaler Vektorraum) in den R 4 kennen. können Abbildungen in unterschiedlichen Vektorräumen durch Matrizen beschreiben. können Eigenschaften von Quadrat, Würfel und Hyperwürfel beschreiben und erkennen ihre Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von der jeweiligen Dimensionalität. Expedition in den "großen Garten der Geometrie" "Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken." Dieser Satz von David Hilbert (1862-1943) verspricht neben der Freude an der Geometrie auch einen Reichtum an Themen, die sich bei Ausflügen in diesen Garten erschließen und die in der Schule ein projektorientiertes Vorgehen nahe legen. Die Darstellungen im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" sind gedacht als Impuls für ein selbstgesteuertes, tieferes Eindringen in die Beschreibung vierdimensionaler Objekte und deren Eigenschaften. Wegen der Herausforderung, die diese Thematik mit sich bringt, werden anstelle konkreter Aufgabenstellungen Projektvorschläge formuliert - dies auch unter dem Aspekt des damit verbundenen Arbeitsaufwands. Impuls mit Salvador Dali Die Begegnung mit dem Objekt dieser Unterrichtseinheit, dem Hyperwürfel, wird initiiert durch die Vorstellung des Gemäldes "Corpus Hypercubus" (Abb. 1, rechts) von Salvador Dali (1904-1989), der gesagt hat: "Mein ganzer Ehrgeiz auf dem Gebiet der Malerei besteht darin, die Vorstellungsbilder der konkreten Irrationalität mit der herrschsüchtigsten Genauigkeit sinnfällig zu machen." In diesem Satz deutet sich Dalis obsessiver Ehrgeiz an, durch technische Meisterschaft Welten auf der Leinwand geradezu zu erschaffen. Er hat sich an anaglyphen und anamorphen Darstellungen erfolgreich versucht und hätte allzu gern die Grenzen der Dreidimensionalität überschritten. Sein "Corpus Hypercubus" fällt in eine "nukleare Mystik" genannte Schaffensperiode. Der Hyperwürfel als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche Wieder einmal erschließt sich in dem Gemälde Dalis eine Beziehung zwischen religiöser Mystik und Mathematik und erinnert an die Aussage des Nicolaus von Cues (1401-1464): "Können wir uns dem Göttlichen auf keinem anderen Wege als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewissheit." Dalis Verwendung der dreidimensionalen Abwicklung des vierdimensionalen Hyperwürfels als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche ist geradezu sophistisch: Diese Abwicklung vollzieht sich im R 4 , lediglich das Ergebnis wird im R 3 sichtbar. Die Abwicklung selbst ist also nie unmittelbar zu beobachten, lässt sich nur letztendlich ebenfalls "metaphorisch", mittelbar erschließen - durch Vergleich mit der Abwicklung des dreidimensionalen Würfels in den R 2 oder durch Projektion seiner Abwicklung in den R 3 . Beschreibung des Hyperwürfels Durch den Vergleich von Strecke, Quadrat und Würfel (Objekte in R 2 , R 3 und R 4 ) und durch den Versuch, die Frage zu beantworten, was mit jeder Dimension "dazukommt", sowie durch Abzählung der geometrischen Elemente der Figuren, wird zu einer Beschreibung des Hyperwürfels und seiner Eigenschaften hingeführt. Der durch Ortsvektoren seiner Eckpunkte und durch die Aufzählung seiner Kanten repräsentierte Hyperwürfel wird einer Zentralprojektion aus dem R 4 in den R 3 unterzogen. Um den Unterricht nicht durch neue, für den R 4 eigenständige Begriffsdefinitionen zu komplizieren, wird hier mit analogen Begriffen gearbeitet. Zum Beispiel wird der Begriff Augpunkt beibehalten, der Begriff Projektionsebene durch den Begriff Projektionsraum ersetzt (siehe Abb. 1).