Unterrichtsmaterialien zum Thema "GEONExT"

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11 Treffer zu "GEONExT"
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Kurvendiskussion: Ganzrationale Funktionen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zu ganzrationalen Funktionen festigen die Schülerinnen und Schüler mithilfe dynamischer Übungsblätter die Lerninhalte der Kurvendiskussion.Im Gegensatz zu vielen dynamischen Arbeitsblättern dienen die hier vorgestellten Materialien nicht der Erarbeitung neuer Inhalte, sondern der Vertiefung und Veranschaulichung von bereits erarbeitetem Wissen. Der Übungsprozess ist dabei weitgehend individualisiert, bietet aber auch zahlreiche Möglichkeiten für soziale Interaktionen und wird permanent unterstützt durch grafische Veranschaulichungen.Die ganzrationalen Funktionen bilden häufig den Einstieg in die Kurvendiskussion. Diese Unterrichtseinheit behandelt typische Standardaufgaben. Ihre Umsetzung in Form dynamischer Übungsblätter ermöglicht einen individualisierten, experimentellen und eigenaktiven Lösungsprozess. Technische Hinweise und Didaktik Tipps und Screenshots zur Nutzung der Bedienfelder und Informationen zum didaktischen Konzept der dynamischen Übungsblätter Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen ein. können Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte berechnen. können den Einfluss eines Parameters auf eine Kurvenschar erkennen. vertiefen die Herleitung von Ortskurven. wiederholen grundlegende Zusammenhänge kontinuierlich. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können kooperieren und sozial interagieren. Durch das in die dynamischen Übungsblätter integrierte Bedienfeld können die Schülerinnen und Schüler direkt auf die dynamische Grafik "zugreifen", den dargestellten Ausschnitt verändern sowie Punkte und Graphen ergänzen. In der Hilfsfunktion werden die Handhabung des Bedienfeldes und die Funktionseingabe ausführlich erläutert. Durch Klicken auf den Schalter des grau hinterlegten Bedienfelds (hier Funktionsgraph-Schalter = obere Buttonreihe, mittleres Icon mit "G f " und rotem Graphen) und anschließend in die dynamische Grafik wird das Funktionseingabefenster aufgerufen. Die Lernenden können nun eigenständig Graphen zu berechneten Funktionen ergänzen und so zum Beispiel die Ableitungsfunktion darstellen. Die wichtigsten Funktionen sollten vor Unterrichtsbeginn kurz wiederholt werden. Mithilfe der dynamischen Grafik können (und sollen) bereits vor dem Berechnen Vermutungen über die mögliche Lösung entwickelt werden. Zum Beispiel können Art und Anzahl von Extremwerten in Abhängigkeit vom Scharparameter vorhergesagt werden. Dadurch werden die nachfolgenden Rechnungen intrinsisch motiviert. Berechnete Graphen können nachträglich in der dynamischen Grafik ergänzt werden. Dadurch ist es möglich, zahlreiche Zwischen- und Endergebnisse zu kontrollieren. Soll zum Beispiel die Berechnung einer Ableitung verifiziert oder verworfen werden, wird überprüft, ob diese das Monotonieverhalten des Ausgangsgraphen richtig wiedergibt. Die Lernenden überprüfen hier zum Beispiel, ob bei den Maxima oder Minima des Ausgangsgraphen bei der Ableitungsfunktion Nullstellen mit Vorzeichenwechsel vorliegen oder ob der Ausgangsgraph einen Wendepunkt besitzt - falls die Ableitungsfunktion ein Maximum oder Minimum aufweist. Aus der Arbeit mit den Übungsblättern resultiert eine harmonisch in den Übungsprozess integrierte Wiederholung von grundlegenden Zusammenhängen. Die Materialien bieten also mehr als Rückmeldungen im Sinne von "richtig" oder "falsch". Schülerinnen und Schüler müssen zur Verifizierung ihrer Ergebnisse eigene Überlegungen anstellen. Dabei bieten sich vielfältige Gelegenheiten zur Kooperation und zu sozialen Interaktionen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Eine Reise ins "Flächenland" mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Die geometrische Humoreske „Flächenland“ ist ein in viele Richtungen interpretierbares Gedankenexperiment und unter Mathematikern längst ein Klassiker. Mithilfe der dynamischen Geometriesoftware GEONExT erschließen Schülerinnen und Schüler den mathematischen Hintergrund von Textauszügen aus dem Roman.Der Mathematiker und Schulleiter Edwin Abbott (1838 - 1926) veröffentlichte 1884 unter einem Pseudonym den Roman "Flatland - A Romance of Many Dimensions". In der Gesellschaftssatire berichtet ein Quadrat von den Verhältnissen in Flächenland, von seinen Erfahrungen mit der dritten Dimension oder der Begegnung mit dem König von Linienland. Flächenland bietet sich für Flächenland - fächerverbindend (Mathematik-Portal) an und kann im Rahmen des Einsteinjahres als Gleichnis für die Existenz physikalischer Dimensionen dienen, die wir nicht wahrnehmen können. In der hier vorgestellten Lernumgebung werden einige Textabschnitte des im Franzbecker Verlag erschienenen Romans mit beweglichen Konstruktionen illustriert, die mit der dynamischen Geometriesoftware GEONExT erzeugt wurden. Die interaktiven Java-Applets ermöglichen ein eigenverantwortliches, selbstständiges und kooperatives Arbeiten sowie einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den mathematischen Inhalten des Romans. Tipps für den Einsatz im Unterricht und Lösungsvorschläge Hier finden Sie Lösungen für die mathematischen Arbeitsaufträge der Lernumgebung und Hinweise für den fächerverbindenden Unterricht. Die Schülerinnen und Schüler sollen den mathematischen Hintergrund des Romans "Flächenland" erschließen. geometrische Situationen von verschiedenen Perspektiven aus betrachten. ihre Kenntnisse über Vielecke aktivieren beziehungsweise erweitern. ein Bewusstsein für die Bedeutung von Dimensionen entwickeln. Der Roman "Flächenland" ("Flatland - A romance of many dimensions") des Briten Edwin A. Abbott erschien 1884 in England. Er zählt längst zu den Klassikern der Science-Fiction-Literatur, ist aber eigentlich eine geometrische Humoreske, die als Gesellschaftssatire und als Plädoyer für die Freiheit des Denkens verstanden werden kann. Die Erzählung thematisiert die Situation des Denkers, der eine neue, riskante Sicht auf die Welt wagt - in einer Gesellschaft, die diese Perspektive (noch) nicht nachvollziehen kann und will. Physikalisch gesehen kann der Roman auch als Gleichnis für die Entdeckung der für uns schwer vorstellbaren "Raumzeit" dienen. Die Parabel von Flächenland zeigt, dass es Dimensionen gibt, die wir zwar nicht wahrnehmen oder anschaulich verstehen, die aber dennoch existieren können. Ein altes Quadrat, Bewohner der fiktiven 2D-Welt "Flächenland", erzählt von seiner zweidimensionalen Welt, in dem Dreiecke, Vierecke und Kreise leben, die bestimmte, genau definierte und geordnete Funktionen und Kompetenzen haben, und von dem Besuch einer Kugel aus der 3D-Welt. Diese zunächst unerklärliche Erscheinung löst bei den einfachen Bewohnern von Flächenland Verwirrung und Panik aus. Dem cleveren und neugierigen Quadrat gelingt jedoch die Kommunikation mit der Kugel, es macht Reisen in das eindimensionale "Linienland" und das dreidimensionale "Raumland" und begreift das Prinzip der Dimensionen. Zurück in der Heimat versucht das Quadrat, von seinen Erlebnissen und Erkenntnissen zu berichten, wird aber von den Priestern, die das Wissen über die Existenz der dritten Dimension dem Volk vorenthalten wollen, bedroht und von deren Justizgewalt ins Gefängnis gebracht. Der Roman "Flächenland" (1884) von Edwin A. Abbott Infos zum Inhalt des Romans auf der Website der Humboldt-Gesellschaft. Flatland - A romance of many dimensions Die englischsprachige Ausgabe des Romans mit Illustrationen des Autors im Internet. Mit der Lernumgebung werden Textausschnitte aus dem Roman Flächenland mit interaktiven Java-Applets illustriert. Jede HTML-Seite enthält Arbeitsaufträge zum mathematischen Hintergrund der jeweiligen Textpassage. Die Schülerinnen und Schüler gewinnen so einen vertieften Zugang zur Mathematik, die der Erzählung zugrunde liegt. Sie arbeiten idealerweise einzeln oder in Partnerarbeit mit der Lernumgebung am Computer. Dabei dient ihnen ihr Heft als Medium, um die Aufträge zu bearbeiten beziehungsweise um Ideen, Überlegungen und Ergebnisse schriftlich festzuhalten. Religion/Ethik Die Lernumgebung kann im Rahmen eines fachübergreifenden/fächerverbindenden Unterrichts sehr schön in die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit "Flächenland - Unterricht gegen eindimensionales Denken" integriert werden (zum Beispiel zwischen den Modulen 3 - "Dimensionen" - und 4 - "Das Quadrat begegnet der Kugel"). Diese Unterrichtseinheit befindet sich im Lehrer-Online-Fachportal Religion/Ethik: Flächenland - Unterricht gegen eindimensionales Denken In der zweidimensionalen Welt eines kleinen Quadrates lässt sich einiges über Raum und Zeit lernen, über Dimensionen und über ein- und mehrdimensionales Denken in einer ganz besonderen Gesellschaft. Die Frauen in Flächenland Der Abschnitt der GEONExT-Lernumgebung Über die Frauen Flächenlands sollte mit der Aufarbeitung dieses Themas im Rahmen des Moduls 6 der Unterrichtseinheit Flächenland - Unterricht gegen eindimensionales Denken verbunden werden. Frauen haben in Flächenland die Form gerader Linien. Von vorne betrachtet erscheinen sie daher als Punkt, sind also praktisch unsichtbar. Für die Flächenländer stellen sie eine große Gefahr dar - Frontalzusammenstöße mit Frauen enden tödlich. Diese unterliegen deshalb "zum Schutze der Bürger" einer besonderen Gesetzgebung, die sie diskriminiert, mit tödlichen Strafen bedroht und ihnen ein normales, gleichberechtigtes Leben unmöglich macht. Der satirische Charakter der Erzählung ist in diesem Kapitel nicht zu übersehen. Die Schülerinnen und Schüler sollen Parallelen zur Situation der Frauen in Flächenland und in unserer Welt suchen und diskutieren.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Dynamische Mathematiksoftware erlaubt Visualisierungsmöglichkeiten, die mit Papier und Bleistift oder an der Tafel nicht realisierbar sind. Durch einfaches Ziehen mit der Maus lassen sich geometrische Figuren kontinuierlich variieren, einzelne Objekte können bei derartigen Bewegungen Spuren auf der Zeichenfläche (Ortskurven) hinterlassen.Die in dieser Unterrichtseinheit verwendete Lernumgebung nutzt diese Werkzeuge und bietet die Basis für einen aktiv-entdeckenden Zugang zur Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion, bei dem die Schülerinnen und Schüler weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen dabei auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt.Beim Aufbau der Differentialrechnung stehen in der Regel Potenz- und Polynomfunktionen am Anfang, die Schülerinnen und Schüler bestimmen Ableitungen, indem sie den Differenzialquotienten als Grenzwert explizit berechnen. Bei der Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist dieser Weg relativ aufwändig. Er erfordert trigonometrische und algebraische Umformungen, die in der Regel von der Lehrkraft in wohl durchdachter Reihenfolge vorgeführt und von den Schülerinnen und Schülern bestenfalls nachvollzogen werden, die allerdings zum Verständnis für das Wesen der Ableitung wenig beitragen. Deshalb erscheint insbesondere bei den trigonometrischen Funktionen ein experimenteller und entdeckender Zugang zur Ableitung sinnvoll und für die Schülerinnen und Schüler besonders einprägsam. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion experimentell entdecken. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 11. bis 12. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java2-Unterstützung, Java Runtime Environment Software GEONExT (kostenloser Download) 1. Schritt Die Schülerinnen und Schüler erhalten zunächst den Auftrag, den Graphen der Sinusfunktion f(x) = sin x in ihr Heft zu zeichnen (zum Beispiel mit einer Schablone) und an selbst gewählten Stellen die Steigung graphisch zu bestimmen, um sich einen ersten Überblick über den Verlauf der Ableitung zu verschaffen. Dabei ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit dem Nachbarn. 2. Schritt Die auf der Folgeseite der Lernumgebung angebotene GEONExT-Konstruktion dient der Visualisierung des Sachverhalts und der Ergebniskontrolle. 3. Schritt Im dritten Schritt hinterlässt ein Punkt beim dynamischen Variieren der Konfiguration als Spur den Graphen der Ableitungsfunktion. Experimentell entsteht die Erkenntnis: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. (Natürlich ist dies kein strenger Beweis; ein solcher könnte folgen oder hier auch entfallen.) Ableitung der Kosinusfunktion und Ergebnissicherung Analog können die Schülerinnen und Schüler auf den weiteren Seiten die Ableitung der Kosinusfunktion entdecken (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Zur Ergebnissicherung enthält die Lernumgebung ein Blatt im PDF- sowie im MS-Word-Format, das die Kernresultate zusammenfasst und gleichzeitig den Beweis der Ergebnisse mittels Berechnung des Differenzialquotienten wiedergibt. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, dass Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. GEONExT-Homepage Auf der GEONExT-Website können Sie die Software für Linux, Mac OS X und Windows herunterladen. Aufgaben als Bausteine des Mathematikunterrichts Ein Großteil des Denkens und Arbeitens von Schülerinnen und Schülern im Fach Mathematik wird durch Aufgaben bestimmt - sei es in Form von Schulübungen, Hausaufgaben oder Prüfungen. Aufgaben bieten Impulse zur Erforschung von Neuem, sie dienen dem Üben, Vertiefen, Vernetzen und sie sind Werkzeuge zur Leistungsmessung. Aufgaben besitzen damit ein erhebliches Potenzial, um Veränderungen im Mathematikunterricht anzustoßen. Natürlich können Aufgabenstellungen nicht alles leisten. Sie sind allenfalls Bausteine im Mathematikunterricht, die von der Lehrerin oder vom Lehrer als Architekten und Baumeister in ein größeres Ganzes eingefügt werden müssen. Es kommt entscheidend darauf an, wie mit Aufgaben umgegangen wird beziehungsweise wie die Beschäftigung mit Mathematik generell angelegt ist (siehe folgende Absätze zu Modul 8 und Modul 9). Selbständiges, eigenverantwortliches und kooperatives Arbeiten Für die Konzeption dynamischer Arbeitsblätter bedeutet dies, dass mit den Aufträgen an die Schülerinnen und Schüler vor allem Freiräume für selbständiges, eigenverantwortliches, aber auch kooperatives Arbeiten und Lernen geschaffen werden sollten. Einerseits sind die Aufträge so zu formulieren, dass die Schülerinnen und Schüler das zugrunde liegende Problemfeld eigenständig und ohne ständige weitere Anweisungen durch die Lehrkraft erkunden können, andererseits sollten mit den Aufgabenstellungen Felder für Kreativität und individuelle Lernwege eröffnet werden. In diesem Spannungsfeld zwischen Führen und Loslassen der Schülerinnen und Schüler bewegt sich jede Lehrkraft, die Arbeitsaufträge - insbesondere zu dynamischer Mathematik - konzipiert. Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Weitere Informationen zu Modul 1 auf der SINUS-Transfer-Website Schulisches Lernen ist in einen sozialen Kontext eingebunden. Auch wenn die Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsblättern auf den ersten Blick am Bildschirm tätig sind, sind die Mitschülerinnen und Mitschüler (sowie die Lehrkraft) unersetzliche Lernpartner. Dynamische Arbeitsblätter sind keine Medien zum Selbstlernen! Sie bieten Schülerinnen und Schülern Anstöße, um in Partner- oder Kleingruppenarbeit Mathematik zu erforschen und zu entdecken. Sie müssen Beobachtungen und Ideen gemeinsam diskutieren, sich auf ihren individuellen Lernwegen wechselseitig unterstützen und schließlich gewonnene Ergebnisse im Klassenteam präsentieren und einordnen. Ein derart kooperatives Lernen trägt damit nicht nur zu einem abwechslungsreichen Unterricht bei, sondern unterstützt vor allem den Aufbau sozialer Kompetenzen sowie fachliche Lernprozesse. Aufgaben für kooperatives Arbeiten Weitere Informationen zu Modul 8 auf der SINUS-Transfer-Website Dynamische Arbeitsblätter ermöglichen eigene Lernwege Lernen ist ein aktiver Konstruktionsprozess. Wissen kann nicht von der Lehrkraft in die Schülerköpfe gefüllt werden, sondern muss von den Schülerinnen und Schülern durch Eigentätigkeit konstruiert werden. Aufgabe der Lehrkraft ist es, Bedingungen zu schaffen, unter denen diese Aktivität am besten stattfinden kann. Dynamische Arbeitsblätter bieten hierzu einen geeigneten Rahmen. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, sich eigenständig mit den Problemstellungen und Arbeitsaufträgen auseinander zu setzen und eigene Lernwege zu gehen. Dabei können sie ihr Lerntempo weitgehend selbst steuern und sind für ihren Lernfortschritt maßgeblich selbst verantwortlich. Binnendifferenzierung Dynamische Arbeitsblätter bieten auch ein geeignetes Mittel zur Binnendifferenzierung: Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler können sich der eigenständigen Erarbeitung komplexerer Problemstellungen widmen, die Lehrkraft besitzt die Möglichkeit, sich gezielt der Förderung Leistungsschwächerer zuzuwenden. Verantwortung für das eigene Lernen stärken Weitere Informationen zu Modul 9 auf der SINUS-Transfer-Website

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Parameter in der Sinusfunktion mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Dynamische Mathematiksoftware ermöglicht im Bereich des Arbeitens mit Funktionen neuartige Zugänge und Verständnismöglichkeiten. Ein integriertes Computeralgebrasystem erlaubt es, Funktionsgraphen in geometrische Konstruktionen zu integrieren. Graphen werden so am Bildschirm "beweglich", sie können durch die Variation von Parametern kontinuierlich deformiert oder verschoben werden.Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Entwicklung allgemeiner Einsichten Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen. Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel. In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: " Wird im Funktionsterm f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht. Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern ist nicht zu unterschätzen. Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph, wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Die Schülerinnen und Schüler entdecken Zusammenhänge experimentell und fixieren ihre Ergebnisse. Diese werden dann im Plenum präsentiert. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken. Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Parameter in der Sinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download) Experimentell-entdeckendes Lernen mit dynamischen Arbeitsblättern Anhand der Lernumgebung entdecken die Schülerinnen und Schüler aktiv-handelnd die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion. Mit der Maus lassen sich Schieberegler verändern und dadurch die Parameterwerte in den Termen der folgenden Funktionen einstellen: f(x) = a sin(x) f(x) = sin(bx) f(x) = sin(x+c) f(x) = sin(x) + d f(x) = a sin(b(x+c)) + d Der zugehörige Funktionsgraph verändert sich dabei kontinuierlich. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt einen Screenshot aus der Lernumgebung. Auf diese Weise erschließen die Schülerinnen und Schüler experimentell den Zusammenhang zwischen Parameterwerten im Funktionsterm und der Gestalt sowie dem Verlauf des zugehörigen Graphen. In dieser Unterrichtsphase bieten sich vor allem kooperative Arbeitsformen, wie etwa Partnerarbeit, an. Hefteinträge verhindern ein oberflächliches "Durchklicken" Die Schülerinnen und Schüler sind auch gefordert, eigenständig einen Hefteintrag zur Thematik zu gestalten. Am Bildschirm wird experimentiert und parallel dazu sollen die Schülerinnen und Schüler Beobachtungen und Ergebnisse schriftlich fixieren. Ein derartiges Arbeiten im Heft hilft, die Thematik sorgfältig zu durchdringen und die Gedanken zu ordnen und zu strukturieren. Zudem soll dadurch verhindert werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler nur oberflächlich mit den beweglichen Konstruktionen am Bildschirm befassen, dass sie die Seiten wie bei einem Computerspiel austesten, ohne zum eigentlichen mathematischen Gehalt vorzudringen. Die Aufforderung, Beobachtungen und Überlegungen aufzuschreiben, verlangsamt den Prozess des "Durchklickens" und schafft für die Schülerinnen und Schüler damit den Zeitrahmen, der für Lernprozesse unentbehrlich ist. Reden über Mathematik, Sprechen vor einer Gruppe Haben sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit der Thematik der Lernumgebung befasst, schließt sich in natürlicher Weise ein Gedankenaustausch im Klassenplenum an. Die Arbeitsgruppen stellen ihre Überlegungen und Ergebnisse den Mitschülerinnen und Mitschülern vor. Auf den ersten Blick stehen dabei der Austausch und die Diskussion der erarbeiteten mathematischen Resultate im Vordergrund. Gleichzeitig trainieren die Schülerinnen und Schüler aber auch das Reden über Mathematik, das Präsentieren eigener Ergebnisse sowie das Sprechen vor einer Gruppe. Zusammenfassung der Ergebnisse Nachdem die Schülerinnen und Schüler den Themenkreis auf eigenen Wegen intensiv erkundet haben, kann die Unterrichtssequenz zu einem Abschluss gebracht werden, indem die Schülerresultate unter der fachkundigen Leitung der Lehrkraft zu einem Gesamtergebnis zusammengefasst beziehungsweise erweitert werden. Die Schülerinnen und Schüler sind dann "reif" für eine fundierte Ergebnissicherung, die mathematische Konventionen, den stofflichen Rahmen und curriculare Vorgaben berücksichtigt. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, das Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. GEONExT-Homepage Auf der GEONExT-Website können Sie die Software für Linux, Mac OS X und Windows herunterladen. Aufgaben als Bausteine des Mathematikunterrichts Ein Großteil des Denkens und Arbeitens von Schülerinnen und Schülern im Fach Mathematik wird durch Aufgaben bestimmt - sei es in Form von Schulübungen, Hausaufgaben oder Prüfungen. Aufgaben bieten Impulse zur Erforschung von Neuem, sie dienen dem Üben, Vertiefen, Vernetzen und sie sind Werkzeuge zur Leistungsmessung. Aufgaben besitzen damit ein erhebliches Potenzial, um Veränderungen im Mathematikunterricht anzustoßen. Natürlich können Aufgabenstellungen nicht alles leisten. Sie sind allenfalls Bausteine im Mathematikunterricht, die von der Lehrerin oder vom Lehrer als Architekten und Baumeister in ein größeres Ganzes eingefügt werden müssen. Es kommt entscheidend darauf an, wie mit Aufgaben umgegangen wird beziehungsweise wie die Beschäftigung mit Mathematik generell angelegt ist (siehe folgende Absätze zu Modul 8 und Modul 9). Selbständiges, eigenverantwortliches und kooperatives Arbeiten Für die Konzeption dynamischer Arbeitsblätter bedeutet dies, dass mit den Aufträgen an die Schülerinnen und Schüler vor allem Freiräume für selbständiges, eigenverantwortliches, aber auch kooperatives Arbeiten und Lernen geschaffen werden sollten. Einerseits sind die Aufträge so zu formulieren, dass die Schülerinnen und Schüler das zugrunde liegende Problemfeld eigenständig und ohne ständige weitere Anweisungen durch die Lehrkraft erkunden können, andererseits sollten mit den Aufgabenstellungen Felder für Kreativität und individuelle Lernwege eröffnet werden. In diesem Spannungsfeld zwischen Führen und Loslassen der Schülerinnen und Schüler bewegt sich jede Lehrkraft, die Arbeitsaufträge - insbesondere zu dynamischer Mathematik - konzipiert. Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Weitere Informationen zu Modul 1 auf der SINUS-Transfer-Website Schulisches Lernen ist in einen sozialen Kontext eingebunden. Auch wenn die Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsblättern auf den ersten Blick am Bildschirm tätig sind, sind die Mitschülerinnen und Mitschüler (sowie die Lehrkraft) unersetzliche Lernpartner. Dynamische Arbeitsblätter sind keine Medien zum Selbstlernen! Sie bieten Schülerinnen und Schülern Anstöße, um in Partner- oder Kleingruppenarbeit Mathematik zu erforschen und zu entdecken. Sie müssen Beobachtungen und Ideen gemeinsam diskutieren, sich auf ihren individuellen Lernwegen wechselseitig unterstützen und schließlich gewonnene Ergebnisse im Klassenteam präsentieren und einordnen. Ein derart kooperatives Lernen trägt damit nicht nur zu einem abwechslungsreichen Unterricht bei, sondern unterstützt vor allem den Aufbau sozialer Kompetenzen sowie fachliche Lernprozesse. Aufgaben für kooperatives Arbeiten Weitere Informationen zu Modul 8 auf der SINUS-Transfer-Website Dynamische Arbeitsblätter ermöglichen eigene Lernwege Lernen ist ein aktiver Konstruktionsprozess. Wissen kann nicht von der Lehrkraft in die Schülerköpfe gefüllt werden, sondern muss von den Schülerinnen und Schülern durch Eigentätigkeit konstruiert werden. Aufgabe der Lehrkraft ist es, Bedingungen zu schaffen, unter denen diese Aktivität am besten stattfinden kann. Dynamische Arbeitsblätter bieten hierzu einen geeigneten Rahmen. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, sich eigenständig mit den Problemstellungen und Arbeitsaufträgen auseinander zu setzen und eigene Lernwege zu gehen. Dabei können sie ihr Lerntempo weitgehend selbst steuern und sind für ihren Lernfortschritt maßgeblich selbst verantwortlich. Binnendifferenzierung Dynamische Arbeitsblätter bieten auch ein geeignetes Mittel zur Binnendifferenzierung: Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler können sich der eigenständigen Erarbeitung komplexerer Problemstellungen widmen, die Lehrkraft besitzt die Möglichkeit, sich gezielt der Förderung Leistungsschwächerer zuzuwenden. Verantwortung für das eigene Lernen stärken Weitere Informationen zu Modul 9 auf der SINUS-Transfer-Website

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Einführung der Sinusfunktion mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Eine mithilfe der kostenlosen Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht einen dynamischen Einstieg in die trigonometrischen Funktionen.Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten den Einstieg in die Sinusfunktion weitgehend eigenständig und kooperativ. Dynamische Arbeitsblätter helfen dabei, die jeweilige Problem- oder Aufgabenstellung zu veranschaulichen. Ein virtuelles Experiment zur Pendelbewegung stellt den Anwendungsbezug her. Wenn die Sinusfunktion im Unterricht eingeführt wird, geschieht dies meist durch Angabe des Funktionsterms, Erstellen einer Wertetabelle und die anschließende Zeichnung des Funktionsgraphen. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Screenshots Der Einsatz dynamischer Mathematik fördert selbständiges oder kooperatives Arbeiten sowie die Individualisierung des Unterrichts. Einführung der Sinusfunktion - Dynamische Arbeitsblätter Zur Nutzung der dynamischen Materialien benötigen Sie das kostenlose Plugin Java Runtime Environment . Die Schülerinnen und Schüler sollen die Darstellung von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis wiederholen. die Darstellung des Bogenmaßes am Einheitskreis wiederholen. eine Einführung und Definition der Sinusfunktion erarbeiten. die Bedeutung der Sinusfunktion für die Beschreibung von Schwingungsvorgängen erkennen. eigenständig und kooperativ mathematische Zusammenhänge erarbeiten und dokumentieren. Thema Einführung der Sinusfunktion Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 bis 10 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Intuitiver Zugang Wenn die Sinusfunktion im Unterricht eingeführt wird, geschieht dies meist durch Angabe des Funktionsterms, Erstellen einer Wertetabelle und die anschließende Zeichnung des Funktionsgraphen. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Selbstständiges oder kooperatives Arbeiten Die Schülerinnen und Schülern können sich den Stoff weitgehend selbständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit) erarbeiten. Die Lehrkraft gibt dabei nur Hilfestellungen, falls dies nötig ist. Individualisierung des Unterrichts Das Experiment am Ende der Lernumgebung stellt eine Ergänzung dar, die nicht von jedem Schüler unbedingt bearbeitet werden muss. Dieser Aufbau individualisiert die Unterrichtsstunde und berücksichtigt die unterschiedlichen Lerntempi der Schülerinnen und Schüler. Ergebnissicherung im Heft Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten die Definition und einige grundlegende Eigenschaften der Sinusfunktion eigenständig und experimentell. Die Erkenntnisse und Beobachtungen sind dabei jeweils im Heft zu dokumentieren. In der folgenden Stunde werden die Ergebnisse zusammengetragen, verglichen, diskutiert und ergänzt. Einheitskreis und Sinusfunktion Zunächst werden anhand einer dynamischen Darstellung des Einheitskreises (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) Sinus, Cosinus und Tangens wiederholt. Auch das Bogenmaß wird veranschaulicht. Durch Verschiebung eines Punktes auf dem Einheitskreis entsteht die Sinusfunktion und die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass jedem Winkel sein Sinuswert zugeordnet ist. Danach ist es möglich, die Funktion zu definieren, eine Wertetabelle zu erstellen und den Graphen zu zeichnen. Auch einige grundlegende Eigenschaften können hier bereits erarbeitet werden. Pendelbewegung als Experiment Das letzte Arbeitsblatt enthält eine Simulation zur Pendelbewegung und bietet damit eine Anwendung aus der Physik (Abb. 2). Die Schülerinnen und Schüler sollen nun das zuvor Gelernte auf die beobachtete Pendelbewegung übertragen und erkennen, dass sich eine Sinusfunktion ergibt, wenn man die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit darstellt. Da diese Zusatzaufgabe für das Verständnis der Definition der Sinusfunktion nicht zwingend notwendig ist, muss sie nicht unbedingt von der ganzen Klasse behandelt werden. Sie stellt vielmehr einen zeitlichen Puffer für diejenigen Schülerinnen und Schüler dar, die die vorhergehenden Aufgaben zügig bearbeiten konnten.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Parabeln mit dynamischen Arbeitsblättern

Unterrichtseinheit

Eine mithilfe der frei erhältlichen Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht es den Schülerinnen und Schülern, sich intensiv mit geometrischen und algebraischen Aspekten zum Thema Parabeln auseinander zu setzen.Die Lerneinheit gliedert sich in acht Kapitel zum Thema Parabeln. Die ersten drei dynamischen Arbeitsblätter befassen sich mit der Konstruktion der Parabel und ihrer Bedeutung als Graph einer quadratischen Funktion. In fünf weiteren dynamischen Arbeitsblättern werden Parabeln als Ortslinien besonderer Punkte betrachtet: Berührkreismittelpunkte, Punkte, die bei einer Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke entstehen, Inkreismittelpunkte bei symmetrischen Trapezen, Punkte bei einer Strahlensatzkonstruktion und Höhenschnittpunkte bei flächengleichen Dreiecken.Die Lerneinheit berücksichtigt das individuelle Lerntempo der Schülerinnen und Schüler. Zu Beginn jedes Kapitels steht ein geometrisches Experiment, das zu einem neuen Begriff oder zur Entdeckung neuer Eigenschaften hinführt. Es ermöglicht somit den Lernenden, sich aktiv am Lernprozess zu beteiligen. Wichtige Erkenntnisse sollen sie dabei in ihr Heft notieren. Im zweiten Abschnitt jedes Kapitels wird jeweils eine Brücke zur Algebra geschlagen, indem die Lernenden jetzt unter Zuhilfenahme eines Koordinatensystems das Problem rechnerisch durchdringen sollen. Der Einsatz dynamischer Arbeitsblätter erlaubt das Vorgehen nach dem Ich-Du-Wir-Prinzip (zuerst: individueller Zugang, dann Partnerarbeit, schließlich Präsentation und Zusammenfassung der Ergebnisse im Klassenplenum) wie es auch in der Unterrichtseinheit Lineare Funktionen interaktiv erkunden beschrieben ist. Technische Hinweise und Inhalte der Unterrichtseinheit Bei der Arbeit mit der Lernumgebung ist eigenständiges Arbeiten und Entdecken ebenso gefordert wie der Austausch mit den Mitschülern. Weitere dynamische Arbeitsblätter zu Parabeln Hier finden Sie Erläuterungen zu weiteren dynamischen Arbeitsblättern dieser Lernumgebung. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen können, wie eine Parabel geometrisch definiert ist. erkennen können, welcher Zusammenhang zwischen der Parabelkonstruktion und der quadratischen Funktion besteht. erfahren können, wie man über eine Verhältnisgleichung, die auf einer geometrischen Konstruktion beruht, zu einer punktweisen Parabelkonstruktion gelangen kann (Parabel als Ortslinie einer dynamischen Konstruktion). den Umgang mit quadratischen Funktionen festigen können (zum Beispiel Aufstellen der Funktionsgleichung, Berechnung des Scheitels, Einfluss des Formfaktors). Thema Parabeln mit dynamischen Arbeitsblättern Autor Dr. Wolfgang Neidhardt Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 I beziehungsweise 10 II/III (Realschule) beziehungsweise Klasse 9 (Gymnasium) Zeitraum jeweils circa eine Unterrichtsstunde für jede der acht Lernumgebungen Technische Voraussetzungen Rechner mit Internetzugang für die Einzel-, Partner- oder Kleingruppenarbeit, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, das Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage . Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. 1. Brennpunkt, Leitlinie, quadratische Funktion Zunächst werden die Schülerinnen und Schüler an die geometrische Definition der Parabel herangeführt (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die folgenden beiden Aufgaben 3 und 4 dienen dazu, aus den geometrischen Eigenschaften die Gleichung der Parabel zu ermitteln. Dabei sollen die Lernenden die Parabeln mithilfe einer dynamischen Konstruktion zeichnen und anschließend in einem Koordinatensystem berechnen. 2. Parabeln aus Rauten Für diesen Abschnitt sollte man zuvor das Kapitel "Brennpunkt, Leitlinie, quadratische Funktion" durchgearbeitet haben. Eine veränderbare Raute kann eine Parabel erzeugen. Dass wirklich eine Parabel entsteht, kann man wieder aus der Brennpunkt-Leitlinien-Eigenschaft ersehen oder nach Einführung eines Koordinatensystems nachrechnen. Voraussetzung für diese Unterrichtseinheit ist die Kenntnis des Satzes von Pythagoras. Die abschließende Parabelkonstruktion mithilfe von vier Kreisen in Aufgabe 6 lässt sich durch das zuvor Gelernte begründen. Die Schülerinnen und Schüler sollen hier die Konstruktion auch selbst (mit Zirkel und Lineal) in ihren Heften nochmals nachvollziehen. 3. Warum überhaupt Brennpunkt? Für diesen Abschnitt benötigt man Kenntnisse aus dem vorigen Kapitel (Parabeln aus Rauten). Da die Tangente Winkelhalbierende in der Raute ist, wird auch der Außenwinkel durch die Senkrechte halbiert. Damit kann man den Schülerinnen und Schülern das Prinzip des Parabolspiegels klar machen: Lässt man parallel zur Symmetrieachse Licht auf eine Parabel fallen, so werden die Strahlen so reflektiert, dass sie sich im Brennpunkt treffen. Die reflektierten Strahlen laufen entlang einer Seite der begleitenden Raute. 4. Berührkreise Die Ortskurve der Mittelpunkte des Berührkreise eines Kreises und seines Durchmessers liegt anscheinend auf einer Parabel. Die Schülerinnen und Schüler sollen nach Einführung eines Koordinatensystems die Ortskurvengleichung aufstellen und nachrechnen, dass es sich dabei um eine quadratische Funktion handelt. Nötig sind auch hier wieder Kenntnisse über den Satz des Pythagoras. In Verallgemeinerung wird abschließend die Ortskurve abhängig vom (variablen) Kreisradius bestimmt. Unterstützt werden die Berechungen jeweils durch dynamische Darstellungen der Berührkreise und ihrer Mittelpunkte. 5. Parabeln und der Höhensatz Voraussetzung ist hier die Kenntnis des Höhensatzes aus der Satzgruppe des Pythagoras. Dieser wird anfänglich anhand einer dynamischen Zeichnung wiederholt. Eine "merkwürdige" Dreieckskonstruktion soll von den Lernenden zunächst analysiert werden und führt bei Aufgabe 3 zur Vermutung, dass man als Spur von P den Graph einer quadratischen Funktion erhält. In den folgenden Aufgaben wird das Dreieck in einem Koordinatensystem betrachtet und die Ortskurve und weitere quadratische Funktionen berechnet. 6. Parabeln aus symmetrischen Trapezen Zunächst experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit beliebigen symmetrischen Trapezen und gelangen zu der Einsicht, dass es solche mit und ohne Inkreis gibt. Dann werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, die Ähnlichkeit von drei Dreiecken in einem halben Trapez zu begründen. Um die Gleichung der Ortskurve des Eckpunktes D zu erhalten, wird auch hier wieder ein Koordinatensystem zugrunde gelegt (siehe Abb. 2). Verallgemeinerung: Schließlich können mittels der Trapezkonstruktion Parabeln mit variablem Formfaktor erzeugt und berechnet werden. 7. Parabeln mithilfe des Strahlensatzes Die erste Aufgabe ist dazu da, den Strahlensatz zu wiederholen. Die dynamische Darstellung erlaubt es, alle möglichen Situationen (X- und V-Figur) zu erzeugen. In der zweiten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler beobachten und erklären, wie diese besondere Strahlensatzkonstruktion zustande gekommen ist. Durch Rückgängigmachen und Wiederherstellen lässt sich die Konstruktion genau analysieren. Damit sind die Lernenden in der Lage, eine Gleichung zwischen den auftretenden Größen aufzustellen (Ausnutzung des Strahlensatzes). Bei Aufgabe 3 werden x und y in ein Koordinatensystem übertragen - somit lässt sich die Ortslinie einer Parabel erzeugen. Abschließend folgt eine Aufgabe, die es ermöglicht, eine Parabel mit einem Scheitel verschieden von (0,0) zu zeichnen. Dazu muss der Scheitel zunächst berechnet werden. 8. Parabeln aus flächengleichen Dreiecken Auch die Ortskurve des Höhenschnittpunkts P in Dreiecken, deren Grundlinie g und Höhe h auf g konstant sind, ist eine Parabel. Schülerinnen und Schüler entdecken dies anhand einer ersten dynamischen Konstruktion. Zudem lassen sich bei variablem h Parabeln mit unterschiedlicher Öffnung erzeugen. Über die Betrachtung ähnlicher Dreiecke ist es möglich, die Gleichung der Ortskurve von P zu bestimmen. Eine weitere Aufgabe ermöglicht es, durch Variieren der Höhe eine (verschobene) Normalparabel zu erzeugen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Kreis und Kreisgebiete - eine Einführung

Unterrichtseinheit

Eine mithilfe der kostenlosen Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht einen dynamischen Einstieg in die Themenbereiche „Kreis“ und „Kreisgebiete“.Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten den Einstieg in dieses Thema weitgehend eigenständig, eventuell auch kooperativ in Partnerarbeit. Die Lehrkraft gibt dabei nur Hilfestellungen, falls dies nötig ist. Dynamische Arbeitsblätter helfen dabei, die jeweilige Problem- oder Aufgabenstellung zu veranschaulichen. Wenn der Kreis und die Kreisgebiete im Unterricht eingeführt werden, sind in der Regel nur Zirkel und Lineal im Einsatz. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Die einzelnen Arbeitsblätter ermöglichen unseren Schülerinnen und Schülern die Aneignung von Wissen und Erkenntnissen unter Berücksichtigung individueller Lerngeschwindigkeiten. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Der Einsatz dynamischer Arbeitsblätter ermöglicht eine stärkere Individualisierung des Unterrichts und erlaubt ebenso Partnerarbeit. Die Schülerinnen und Schüler sollen Punkte auf eine vorgeschriebene Weise anordnen können. die gemeinsame Eigenschaft aller Punkte auf der Kreislinie erkennen und beschreiben können. die gemeinsame Eigenschaft aller Punkte im Kreisinneren erkennen und beschreiben können. die gemeinsame Eigenschaft aller Punkte im Kreisäußeren erkennen und beschreiben können. Thema Kreis und Kreisgebiete - eine Einführung Autoren Werner Heubeck, Edgar Höniger Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Rechner mit Internetzugang für die Einzel-, Partner- oder Kleingruppenarbeit, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Edgar Höniger studierte Mathematik und Physik für das Lehramt an Realschulen und ist seit 1975 Lehrer an der Alexander-von-Humboldt-Realschule in Bayreuth (Bayern). Seit 1998 ist er einen Tag pro Woche für die Mitarbeit am Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität Bayreuth abgeordnet. Die Kreislinie Während manche Lehrbücher auch unter Verwendung von dynamischer Mathematik-Software bei diesem Thema gleich die gemeinsame Eigenschaft aller Punkte auf einer Kreislinie dazu benutzen, um ebendiese Eigenschaft zu erarbeiten, setzt diese Lernumgebung in einem früheren Stadium an: Aus vielen verschiedenen Strecken mit unterschiedlicher Länge aber gemeinsamem Anfangspunkt erzeugen die Schülerinnen und Schüler zunächst gleich lange (Abb. 1). Die Überprüfung mit einer bereit liegenden Kreislinie liefert ihnen dann die Erkenntnis: "Die Endpunkte gleich langer Strecken mit gemeinsamem Anfangspunkt liegen auf einer Kreislinie." Auch der Fachausdruck "konzentrische Kreise", wie er beispielsweise auch fachübergreifend für die Darstellung bestimmter Magnetfelder in der Physik verwendet wird, könnte dabei einfließen. Die Kreisbahn Auf einem weiteren Blatt dieser Lernumgebung erfahren die Schülerinnen und Schüler, dass auch die Umkehrung richtig ist: "Alle Punkte auf einer Kreislinie sind gleich weit von deren Mittelpunkt entfernt." Das Kreisinnere Auf der nächsten Seite der Lernumgebung sollen die Schülerinnen und Schüler selbständig oder gemeinsam mit dem Banknachbarn (der Banknachbarin) Vermutungen zum Thema "Kreisinneres" notieren. Die betreffende Lehrkraft führt dann die Einzelvorschläge zusammen ("Ich-Du-Wir-Prinzip" nach Peter Gallin). Das Kreisäußere Die letzte Seite dieser Lernumgebung gehört zum Thema "Kreisäußeres". Die Aktionen verlaufen analog zur vorhergehenden Seite. Wer schneller fertig ist, bearbeitet Aufgaben aus dem Lehrbuch. Ergebnissicherung im Arbeitsblatt Die Schülerinnen und Schüler ergänzen das Arbeitsblatt laufend durch Zeichnungen und Wortbeiträge. Unterrichtsverlauf Als Zeitraum bieten sich zwei Unterrichtsstunden an: 1. Die Kreislinie: Eigenschaften und Übungen dazu aus dem Buch. 2. Das Kreisinnere/ -äußere und Übungen dazu aus dem Buch. Denkbar ist aber auch, dass die Lehrkraft zunächst mit der Klasse beide Unterrichtseinheiten im Computerraum in einer Unterrichtsstunde abhandelt. In einer zweiten Stunde im Klassenzimmer folgen dann die Übungen dazu. Hinweis In manchen Bundesländern ist die Darstellung von geometrischen Ortslinien und Ortsbereichen in der Mengenschreibweise im Lehrplan vorgeschrieben. Dieses Thema ist nicht Gegenstand der Lernumgebung. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, dass Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. Edgar Höniger studierte Mathematik und Physik für das Lehramt an Realschulen und ist seit 1975 Lehrer an der Alexander-von-Humboldt-Realschule in Bayreuth (Bayern). Seit 1998 ist er einen Tag pro Woche für die Mitarbeit am Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität Bayreuth abgeordnet.

  • Informatik  / Mathematik
  • Sekundarstufe I

Parameter linearer Funktionen mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Eine mithilfe der kostenfreien Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht die dynamische Erarbeitung der Bedeutung der Parameter linearer Funktionen.Die hier vorgestellten Materialien ermöglichen es, den Einfluss der Parameter m und t auf die Lage der Geraden mit der Gleichung y = mx + t experimentell zu entdecken. Hierbei verstärkt die Dynamik die Anschaulichkeit entscheidend und trägt so zu einem erleichterten und vertieften Verständnis dieses Funktionstyps bei. Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mithilfe eines dynamischen Arbeitsblatts den Stoff weitgehend selbstständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit). Die Lehrerin oder der Lehrer tritt dabei in den Hintergrund und greift nur unterstützend beziehungsweise Impuls gebend ein. Die in den Aufgaben immer wieder verlangte Dokumentation von Erkenntnissen und Ergebnissen trainiert das Verbalisieren und Fixieren mathematischer Kontexte. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Der Einsatz dynamischer Mathematik fördert selbstständiges oder kooperatives Arbeiten sowie die Individualisierung des Unterrichts. Die Schülerinnen und Schüler sollen den Einfluss des Parameters t auf die Lage der Geraden erarbeiten. den Schnittpunkt einer Geraden mit der y-Achse bestimmen. erkennen, dass der Parameter m die Steigung der Geraden bestimmt. einüben, rechnerisch zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. mathematische Zusammenhänge eigenständig und kooperativ erarbeiten und dokumentieren. Thema Parameter linearer Funktionen Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Ideale Veranschaulichung Wird der Einfluss der Parameter m und t auf die Lage von Graphen linearer Funktionen an der Tafel oder auf Folie entwickelt, so werden meist mehrere Graphen mit unterschiedlichen Parameterwerten in ein Koordinatensystem eingetragen. Dabei ergibt sich immer das Problem, dass zu viele Graphen die Darstellung unübersichtlich erscheinen lassen. Sind jedoch wenig Graphen eingezeichnet, so ist der Einfluss des jeweiligen Parameters nur noch schwer erfassbar. Dieses Dilemma wird durch die dynamische Darstellung aufgelöst und es entsteht eine ideale Veranschaulichung linearer Funktionen und ihrer Parameter (siehe Abb. 1 bis 3 unten). Selbstständiges oder kooperatives Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich mithilfe eines dynamischen Arbeitsblatts den Stoff weitgehend selbstständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit). Die Lehrerin oder der Lehrer tritt dabei in den Hintergrund und greift nur unterstützend beziehungsweise Impuls gebend ein. Die in den Aufgaben immer wieder verlangte Dokumentation von Erkenntnissen und Ergebnissen trainiert das Verbalisieren und Fixieren mathematischer Kontexte. Individualisierung des Unterrichts Durch den bewusst offen gehaltenen Umfang der Übung am Ende des dynamischen Arbeitsblatts wird das jeweilige Lerntempo der Schülerinnen und Schüler berücksichtigt. Daraus resultiert eine Individualisierung des Unterrichts. Der Parameter t Zunächst verändern die Schülerinnen und Schüler den Parameter t und stellen fest, dass damit eine Parallelverschiebung des Graphen einher geht (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Durch die Bestimmung mehrerer Schnittpunkte von Graphen mit der y-Achse und dem Vergleich mit der zugehörigen Geradengleichung erkennen die Lernenden, dass die allgemeinen Koordinaten dieses Schnittpunkts (0/t) lauten. Der Parameter m Anschließend wird der Parameter m untersucht. Dabei wird deutlich, dass damit die Steigung des Graphen festgelegt wird. Viele Schülerinnen und Schüler entdecken auch, dass der Neigungswinkel der Geraden von m abhängt. Durch den Spurmodus des Java-Applets wird veranschaulicht (Abb. 2), dass die Gerade - bei einer Veränderung von m - um den Schnittpunkt mit der y-Achse gedreht wird beziehungsweise dass dieser Schnittpunkt von m unabhängig ist. Anwendung des Gelernten Abschießend folgen Übungen, in denen die Schülerinnen und Schüler das neu erworbene Wissen anwenden müssen. Da die Punkte B und C dieselbe x-Koordinate haben (Abb. 3), kann kein Graph gefunden werden, der durch sie verläuft. Dadurch wird die Definition von Funktionen als eindeutige Zuordnung wiederholt. Der Umfang dieser Übungen ist nicht begrenzt, so dass auch leistungsstarke Schülerinnen und Schüler ausreichend Möglichkeiten haben, Aufgaben zu bearbeiten.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Reflexion am ebenen Spiegel mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Dynamische Geometriesoftware ist im Unterricht über die Grenzen der Mathematik hinaus einsetzbar. Diese Unterrichtseinheit zeigt dies an einem Beispiel aus der geometrischen Optik.Die Konstruktion von Strahlengängen wird in der Regel mit konventionellen Mitteln - also mit Papier und Bleistift - erarbeitet. Der Einsatz dynamischer Geometriesoftware bietet gerade in der geometrischen Optik eine sinnvolle Ergänzung: Ist der Konstruktionsweg einmal verstanden, können mithilfe des Computers in kurzer Zeit viele verschiedene Fälle durchspielt werden. Zur Sicherung der Ergebnisse werden Bildschirminhalte mithilfe eines kostenlosen Grafikprogramms dokumentiert - eine Fertigkeit, von der Ihre Schülerinnen und Schüler themen- und fachunabhängig weiter profitieren werden. Vorbereitung der Unterrichtseinheit Kenntnisstand der Lernenden, technische Voraussetzungen, Infos zu GEONExT. Unterrichtsverlauf Kurze Beschreibung des Unterrichtsverlaufs mit Hinweisen und Links zu hilfreichen Tools (GIMP, lo-net). Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Reflexionsgesetzes beschreiben können, wie ein Bild durch Reflexion am ebenen Spiegel entsteht. in der verwendeten GEONExT-Konstruktion die Elemente Einfallswinkel, Ausfallwinkel, Gegenstand und Bild zuordnen können. mithilfe des Arbeitsblattes ein einfaches Konstruktionsverfahren für die Bildentstehung am ebenen Spiegel erarbeiten. die Ergebnisse mit einem Bildbearbeitungsprogramm, zum Beispiel dem kostenlosen GIMP, dokumentieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen mithilfe des Reflexionsgesetzes beschreiben können, wie ein Bild durch Reflexion am ebenen Spiegel entsteht. in der verwendeten GEONExT-Konstruktion die Elemente Einfallswinkel, Ausfallwinkel, Gegenstand und Bild zuordnen können. mithilfe des Arbeitsblattes ein einfaches Konstruktionsverfahren für die Bildentstehung am ebenen Spiegel erarbeiten. die Ergebnisse mit einem Bildbearbeitungsprogramm, zum Beispiel dem kostenlosen GIMP, dokumentieren. Thema Reflexion am ebenen Spiegel mit GEONExT Autor Dr. Karl Sarnow Fach Physik Zielgruppe Klasse 8 Zeitraum 1 Stunde Voraussetzungen idealerweise pro Schülerin oder Schüler ein Rechner; Internetbrowser, Java Runtime Environment , GEONExT (kostenloser Download aus dem Netz), Bildbearbeitungssoftware (zum Beispiel GIMP) Die Schülerinnen und Schüler können offline oder online mit dem HTML-Arbeitsblatt arbeiten, in das die GEONExT-Applikation eingebettet ist. Voraussetzung ist, dass auf den Rechnern die benötigte Java-Abspielumgebung installiert ist. Falls dies nicht der Fall ist, bleibt das GEONExT-Applet in der Online-Version des Arbeitsblattes (siehe Internetadresse) für Sie unsichtbar. Mithilfe des Screenshots (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) können sich aber auch (Noch-)Nicht-GEONExTler einen Eindruck von dem Applet machen. Das Reflexionsgesetz ist den Schülerinnen und Schülern bekannt. Sie haben ein Experiment durchgeführt und herausgefunden, dass am ebenen Spiegel das Gesetz "Einfallswinkel gleich Ausfallwinkel" gilt und wissen, wie man den Einfallswinkel misst. Nach dem Versuch haben Sie das Protokoll der Messung als Hausaufgabe aufgegeben und kontrollieren in der folgenden Stunde die Ausführung. Dann haben Sie darauf hingewiesen, dass jeder einen Spiegel von zu Hause kennt und ihn zu einem bestimmten Zweck benutzt: Sich selbst im Spiegel zu sehen. Aber wie entsteht das Bild, welches sich scheinbar hinter dem (undurchsichtigen) Spiegel befindet? Zunächst werden noch einmal die Grundlagen jedes Sehens wiederholt: Es muss Licht in das Auge gelangen. Licht, welches von dem zu sehenden Gegenstand ausgeht. Wenn nun unser eigenes Gesicht der zu sehende Gegenstand ist, kann man sich vorstellen, dass das Licht von unserem Gesicht "eigentlich" nicht in unser Auge gelangen kann, welches selbst Teil unseres Gesichtes ist. Aber wenn das Licht vom Spiegel reflektiert wird, kann unser Auge das von unserem eigenen Gesicht kommende Licht sehen. Sie haben den Anknüpfungspunkt für diese Unterrichtseinheit erreicht und beenden die Stunde mit dem Auftrag, sich zur nächsten Stunde vor dem Computerraum zu versammeln, um herauszufinden, wie es eigentlich funktioniert, dass man einen Gegenstand von vor dem Spiegel scheinbar im beziehungsweise "hinter" dem Spiegel sehen kann. In Ihrer Stundenvorbereitung testen Sie, ob auf den Schülerrechnern das Arbeitsblatt der Unterrichtseinheit mitsamt seiner GEONExT-Komponente aufgerufen werden kann. Voraussetzung ist natürlich, dass auf den Rechnern GEONExT einschließlich der benötigten Java-Abspielumgebung installiert ist. Beides können Sie sich kostenlos bei Lehrer-Online herunterladen: GEONExT als Download Allgemeine Infos zur dynamischen Mathematiksoftware GEONExT samt Downloadmöglichkeit. Wenn das digitale Arbeitsblatt funktionstüchtig ist, brauchen Sie keine weiteren Maßnahmen zur Vorbereitung zu treffen. Falls das GEONExT-Applet jedoch seinen Dienst verweigert, ist vermutlich der installierte Proxy-Server Schuld und sie müssen den Arbeitsauftrag zusammen mit dem GEONExT-Archiv herunterladen (spiegel_arbeitsblatt.zip) und in Ihrem persönlichen public_html-Verzeichnis installieren. Fragen Sie gegebenenfalls ihren Systemoperator, wie das geht. Dann können Sie die URL des Arbeitsblattes auf dem schuleigenen Webserver aufrufen lassen. Sollten Sie an einer Schule ohne Linux-Kommunikationsserver tätig sein, dann entpacken Sie das Archiv in einem von allen lesbaren Verzeichnis. Auch hier kann der Systemoperator die notwendigen Hinweise geben. Falls an Ihrer Schule kein Neztwerk existiert, kommt auf Sie die Aufgabe zu, das Material auf jedem Rechner zu installieren. Wichtig ist eine hinreichende Zahl von Computern, damit die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Partnerarbeit arbeiten können. Als Lehrkraft sollten Sie alle Arbeitsanweisungen zum Applet mindestens einmal selbst mit GEONExT durchgeführt zu haben. Für den Umgang mit der Geometriesoftware gibt auf der GEONExT-Website ausführliche Starthilfen und Tutorials. GEONExT-Homepage Zahlreiche Infos zur dynamischen Mathematik und Möglichkeiten zum Download der Software sowie Tutorials und Unterrichtsmaterialien. Die Schülerinnen und Schüler betreten den Raum, schalten die Geräte ein und loggen sich ein. Sie haben die URL des Arbeitsblattes im Internet oder in Ihrem Intranet beziehungsweise den Ort des Verzeichnisses, wo sich das Arbeitsblatt befindet, an die Tafel geschrieben und fordern die Lernenden auf, die Seite in den Browser zu laden. Es tritt vermutlich zunächst das übliche kreative Chaos ein: Ein Teil der Klasse hat die Seite bereits gefunden, der andere hat sich vertippt und findet die Fehler nicht. Dann ist die Zeit gekommen, die Bearbeitung des Arbeitsauftrages zu verlangen. Falls ein Beamer zur Verfügung steht, sollte damit das Arbeitsblatt zwecks Erläuterung präsentiert werden. Lassen Sie die Arbeitsanweisung solange per Beamer sichtbar, bis auch die letzten Schülerinnen Schüler die URL gefunden haben und die Arbeitsanweisung mit dem Applet auf dem Monitor sehen. Nach dem klar ist, was zu tun ist, gehen Sie herum und helfen gegebenenfalls. Die Lernenden benötigen zur Bearbeitung Papier und Schreibstift. Am Ende der Stunde können die Schülerinnen und Schüler "frei spielen", also Gegenstand und Reflexionspunkte positionieren um zu sehen, was passiert, wenn man etwas verändert. Ihre Hilfen sollten sich dabei darauf konzentrieren, die Konstruktionselemente von GEONExT zu demonstrieren (Beamer). Achten Sie in Ihrem Zeitplan darauf, dass die Gruppe der schnellen Schülerinnen und Schüler auf jeden Fall das in den Arbeitsaufträgen geforderte Bildschirmfoto anfertigt. Sie können dann notfalls Ausdrucke der Grafik an Lernende austeilen, die es in der knappen Zeit nicht geschafft haben, die Konstruktion vom Bildschirm abzubilden. Alle Lernenden sollen ein eigenes Protokoll anfertigen. Auch die Handhabung des Bildbearbeitungsprogramms (zum Beispiel des kostenlosen GIMP) will schließlich gelernt sein. Dies ist zwar kein primäres Ziel dieser Unterrichtseinheit, ist für die Schülerinnen und Schüler als Übung aber auch für andere Unterrichtsstunden und Fächer sehr nützlich, in denen immer wieder Bildschirminhalte für Dokumentationen benötigt werden. Ausführliche Information zur Nutzung von GIMP finden hier: Um ein Foto der Konstruktionen zu erstellen, ist man jedoch nicht auf GIMP angewiesen. Es können auch die "screenshot-Funktion" (Menüpunkt "Zeichenfläche") oder die Funktion "Exportieren im png-Format" des Programms GEONExT verwendet werden. Nachbereitung Die sich an die Bearbeitung des Applets im Computerraum anschließende Stunde wird zur Kontrolle des Protokolls verwendet. Achten Sie darauf, wo unrichtige oder unverständliche Formulierungen darauf hindeuten, dass der zu erarbeitende Sachverhalt nicht richtig verstanden wurde. Wenn möglich, halten Sie die Schülerinnen und Schüler auch dazu an, die Protokolle mit dem Computer auszuführen. Bieten Sie den Lernenden auch an, das digitale Arbeitsblatt samt Applet zu Hause noch einmal aufzurufen und selbstständig damit zu arbeiten. Gegebenenfalls stellen Sie die Materialien auf Diskette zur Verfügung oder ermöglichen den Lernenden den Download aus einem virtuellen Klassenraum bei lo-net, dem Lehrer-Online-Netzwerk.

  • Astronomie  / Physik
  • Sekundarstufe I