Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e

Die Schülerinnen und Schüler entdecken interaktiv die analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktionen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II
  • 3-5 Stunden
  • Arbeitsblatt interaktiv
  • 1 Arbeitsmaterial

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ

f(x) = Cax untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors
k = f '(x)/f(x) eingeführt.

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Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren.
  • die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken.
  • diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen).
  • die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis).
  • die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen.
  • die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen.

Autor

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Dr. Hans-Joachim Feldhoff

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