In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Winkel" erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler die Begriffe und die Eigenschaften verschiedener Winkel anhand von Videos und festigen ihr Wissen in Übungsaufgaben. Diese Unterrichtseinheit rund um das Zeichnen, Messen und Erkennen von Winkeln im Mathematik-Unterricht basiert auf dem Prinzip des selbstgesteuerten Lernens . Auf Grundlage zweier Erklärvideos erfahren die Lernenden, was ein Winkel ist und wie man sie bezeichnet (Nullwinkel, spitzer Winkel, rechter Winkel, stumpfer Winkel, gestreckter Winkel, überstumpfer Winkel und Vollwinkel). Sie erkennen dabei, welche Arten es gibt und wie man Winkel misst und zeichnet. Sie verstehen Winkel als spezifische geometrische Figur . Die Einheit dient daher als Einführung in das Thema "Winkel" im Unterricht. Darauf aufbauend erhalten die Lernenden ein Übungsheft mit Aufgaben, in dem sie das erworbene Wissen anwenden, erweitern und festigen können. Die Einheit gliedert sich inhaltlich in zwei Module: Im ersten Modul lernen die Schülerinnen und Schüler Winkel kennen und erfahren, wie sie diese messen und zeichnen können. Im zweiten Modul beschäftigen Sie sich mit Winkeln an Geraden. Sie lernen Stufenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel und Nebenwinkel kennen. Vorkenntnisse Diese Einheit basiert auf dem Prinzip des selbstgesteuerten Lernens und setzt ein gewisses Maß an Selbstständigkeit und Eigenverantwortung voraus. Für die inhaltliche Umsetzung sind für die jeweiligen Lernmodule folgende Voraussetzungen relevant: Bestimmung der Begriffe Scheitelpunkt, Schenkel, Winkel (griechische Buchstaben). Ebenso ist das Benennen und Zeichnen verschiedener Winkelarten relevant (Lernmodul 1). Bei den Winkeln an Geraden stehen die Begriffe Neben-, Scheitel-, Wechsel- und Stufenwinkel im Fokus (Lernmodul 2). In diesem Zusammenhang setzen die Schülerinnen und Schüler das Wissen aus Lernmodul 1 ein. Didaktische und methodische Analyse Das Übungsheft ist das Kernelement, um Begriffe und Eigenschaften zu üben und zu erarbeiten. Geometrische Inhalte erfassen sich, indem beispielsweise das Zeichnen wie ein "Handwerk" verstanden wird. Hierbei ist das Üben ein zentraler Bestandteil. Die Erklärvideos führen die Schülerinnen und Schüler an dieses Üben heran. Die Übungsphase kann auch über mehrere Stunden oder Wochen im Rahmen eines Wochenplans gestreckt werden. Die Lernenden arbeiten dabei in den Übungsphasen an den Lernmodulen wöchentlich nach einem eigenem Zeitplan. Die Lehrkraft klärt in den Plenumsphasen mit den Lerngruppen die Themen- und Aufgabenstellung des jeweiligen Lernmoduls. Es empfiehlt sich, mehrere solcher Phasen in einer Woche anzubieten, sodass die Lernenden in der Schule oder zu Hause an den Aufgaben arbeiten können. Die Erklärvideos bedienen sich an Elementen aus dem Übungsheft, damit ein Wiedererkennungswert für die Schülerinnen und Schüler gewährleistet werden kann. Verknüpfungen zu vorherigen Themen (unter anderem allgemeine geometrische Begriffe wie Punkt, Strecke, Gerade, Fläche) müssen im Vorfeld auf andere Weise abgedeckt werden. Das vorliegende Material ist als Einstieg beziehungsweise zur Wiederholung und Vertiefung des Themas gedacht. Daher bietet es sich an, zusätzlich zum Übungsheft auf weitere Übungsformate und Aufgaben zurückzugreifen. Das kann beispielsweise über Aufgaben aus dem Mathematik-Buch oder über Lernapps erfolgen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen Winkel kennen. nutzen das Grundprinzip des Messens. berechnen Winkelgrößen. unterscheiden verschiedene Winkeltypen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler suchen, verarbeiten und bewahren Inhalte und Materialien auf. setzen digitale Werkzeuge zum Lösen von Problemen ein. erarbeiten sich Eigenschaften von Winkeln durch Videos. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler kommunizieren sachlich. bearbeiten Aufgaben gemeinsam. halten sich an Absprachen sowie Vereinbarungen und nehmen Rücksicht aufeinander.

In dieser Unterrichtseinheit zum Themenbereich Lagebeziehungen wird beschrieben, wie Grundschullehrkräfte die App "Winkel-Farm" nutzen können, um den Begriff des Winkelfeldes schrittweise einzuführen. Die App und ihr möglicher Unterrichtseinsatz wurden im Rahmen einer Dissertation entwickelt und in einer Grundschulklasse der vierten Klassenstufe erprobt. Der Beitrag entstand im Kontext des von der Deutschen Telekom Stiftung geförderten Programms "Digitales Lernen Grundschule".Mit der App "Winkel-Farm" können Winkelfelder auf anschauliche Weise eingeführt werden. Auf Basis der Betrachtung von Sichtfeldern werden Bestandteile von Winkelfeldern erarbeitet und schrittweise zur dahinter liegenden Mathematik abstrahiert. Ziel dieser Unterrichtseinheit für den Grundschulunterricht ist es, Schülerinnen und Schüler dazu zu befähigen, Winkelfelder zu beschreiben und mit diesen mathematisch zu operieren. Durch konkrete Aufgabenstellungen werden die Schülerinnen und Schüler angeregt, in der App verschiedene Handlungen auszuführen. Anschließend werden diese Handlungen diskutiert und verallgemeinert. Zur App "Winkel-Farm" In der App "Winkel-Farm" ist eine Farm mit Tieren und Menschen dargestellt, die die User ein- und ausschalten können. Je nachdem, ob diese ihre Augen offen oder geschlossen halten, wird ihr Sichtfeld farbig dargestellt. Sowohl die Lebewesen als auch der Hintergrund können verschoben und gedreht werden. Außerdem ist es möglich, über die Tabelle die Reihenfolge der Tiere zu verändern. Des Weiteren können Nutzerinnen und Nutzer in den Winkelfeld-Modus umschalten. Dann werden die Tiere und Menschen nur noch blass dargestellt und ihre Sichtfelder werden deutlich erkennbar als Winkelfelder aufgeführt. Auch diese kann man über ihren Scheitelpunkt verschieben und um den Scheitelpunkt drehen. Abhängig vom Modus kann man Scheitelpunkt und Schenkel an- oder ausschalten und die Sichtbarkeit der Tiere und Menschen beziehungsweise der Gestaltungselemente (wie Grasbüschel, Teich und so weiter) verändern. Didaktisch-methodische Analyse In den im Unterrichtsablauf dargestellten Phasen 1 ("Sichtfelder beschreiben") und 3 ("Sichtfelder vergleichen") führen die Schülerinnen und Schüler verschiedene Handlungen aus. In der ersten Phase geschieht dies noch vorwiegend im Modus der Tiere und Menschen, in der dritten Phase vermehrt im Winkelfeld-Modus. Die App führt die Schülerinnen und Schüler also schrittweise durch den Abstraktionsprozess und ermöglicht dabei stets eine Interaktion mit der realen Winkelsituation. Anschließend werden diese Handlungen diskutiert und verallgemeinert: Was zeichnet sie aus? Wie kann damit die Situation besonders gut beschrieben werden? Dies führt zu einer abstrakteren Sichtweise und ein mathematischer Begriff wird aufgebaut (Phase 2 "Bestandteile von Winkelfeldern") beziehungsweise es wird mit ihm mathematisch operiert (Phase 4 "Operieren mit Winkelfeldern"). Dabei wird auch darauf eingegangen, inwiefern die App die Handlungen der Schülerinnen und Schüler beeinflusst hat und wie dies mit dem mathematischen Begriff in Zusammenhang steht. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Sichtfelder von realen Lebenwesen und vergleichen diese miteinander. lernen, reale Winkelsituationen zu analysieren sowie in einem weiteren Schritt zu kontextualisieren und abstrahieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen Tablets zur Bearbeitung von Aufgaben in einer App. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler halten sich an die Regeln, die für den Umgang mit Tablets im Unterricht von der Lehrkraft vorgegeben wurden. diskutieren und reflektieren ihre Handlungsergebnisse in der Gruppe.

In dieser Unterrichtseinheit zu den Beziehungen zwischen Neben- und Scheitelwinkeln üben die Schülerinnen und Schüler anhand von dynamischen Arbeitsblättern das mathematische Argumentieren.Die in der Erarbeitungsphase der Unterrichtseinheit "Neben- und Scheitelwinkel" genutzten dynamischen Java-Applets und die variablen Aufgabenstellungen der Anwendungs- und Differenzierungsphase wurden mit der kostenlosen dynamischen Mathematiksoftware GeoGebra erstellt. Diese Software eignet sich durch ihr Konzept, algebraische mit geometrischen Elementen zu verbinden, ausgezeichnet, um interaktive dynamische Lernumgebungen zu erstellen. Einführung, Zusammenfassung und Beweis Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten die Zusammenhänge von Neben- und Scheitelwinkeln an sich schneidenden Geraden. Vertiefende Übungen Einsatz weiterer interaktiver Übungen zur Festigung und zur Unterrichtsdifferenzierung (drei sich schneidende Geraden, zusätzliche Halbgeraden). Motivation durch herausfordernde Aufgaben Begabte Schülerinnen und Schüler werden in einem spielerischen Wettkampf durch Knobelaufgaben herausgefordert. Die Schüler und Schülerinnen erkennen, dass sich Nebenwinkel zu 180 Grad ergänzen. erkennen, dass Scheitelwinkel maßgleich sind. erkennen, dass durch ein Winkelmaß alle vier Winkelmaße festgelegt sind. können ihre Kenntnisse über Neben- und Scheitelwinkel auf unterschiedliche Problemstellungen anwenden. Fachliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits erste Kenntnisse über Winkel und deren Größe und Bezeichnung besitzen. Beispielhafte Aufgaben für die Grundlegung dieser Kenntnisse finden sich auf der Webseite des Autors. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit selbst beinhaltet vier Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss Java 1.4.2 (oder höher) auf den Rechnern installiert und Javascript aktiviert sein. Aufbau und Funktion des Arbeitsblatts Das erste Arbeitsblatt dient der Erarbeitung der Zusammenhänge von Neben- und Scheitelwinkeln an sich schneidenden Geraden. Es beinhaltet zwei unterschiedliche Elemente. Zum einen eine mit GeoGebra erzeugte, dynamische geometrische Darstellung, zum anderen eine interaktive Aufgabenstellung: Anhand der dynamischen Darstellung sollen die Schülerinnen und Schüler vorgegebene Aussagen über Neben- und Scheitelwinkel per Klick als richtig oder falsch kennzeichnen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Auswahl der Aussagen beinhaltet zum einen ganz konkrete Aussagen, wie zum Beispiel "Misst alpha = 75 Grad, so ist beta doppelt so groß", deren Wahrheitsgehalt anhand eines speziellen Beispiels ermittelt werden kann. Ferner gibt es Aussagen, wie "beta und delta sind immer gleich groß", deren Wahrheitsgehalt zwar durch zahlreiche Beispiele belegt, aber letztlich ohne mathematischen Beweis nicht verifiziert werden kann. In zwei der Aussagen werden Sonderfälle der Beziehung zwischen Neben- und Scheitelwinkeln angesprochen: Wenn ein Winkel 90 Grad misst, sind alle vier Winkel maßgleich. Misst ein Winkel 60 Grad, so ist sein Nebenwinkel doppelt so groß. Auswertung Haben die Schülerinnen und Schüler alle Aussagen mithilfe des dynamischen Arbeitsblatts untersucht, so können sie nach dem Ankreuzen der wahren Aussagen mit einem Klick auf den Button "Auswertung" ihre Resultate überprüfen lassen. Sind alle richtigen Aussagen gefunden, wird dies in einem Popup-Fenster bestätigt und unterhalb der dynamischen Zeichnung erscheint eine Zusammenfassung. Abschluss der Erarbeitungsphase Im nächsten Unterrichtsschritt stellt ein Schülerpaar im Plenum anhand des per Beamer projizierten Online-Arbeitsblatts sein Ergebnis vor. Die Lernenden sind dabei angehalten, ihre Ergebnisse zu begründen und etwaige Rückfragen ihrer Mitschüler zu beantworten. Auf dem "klassischen" Arbeitsblatt (neben_scheitelwinkel.pdf) werden nun die Bezeichnungen Neben- und Scheitelwinkel festgehalten und der allgemeine Beweis der Zusammenhänge ergänzt. Die Schülerinnen und Schüler übernehmen diesen Eintrag in ihr Arbeitsblatt. Damit ist die erste Phase der Unterrichtsstunde - die erarbeitende Phase - abgeschlossen. Fortführung des Themas Das Thema Neben- und Scheitelwinkel ist allerdings damit noch nicht als abgeschlossen anzusehen, da mit der Formulierung und dem Beweis des Zusammenhangs keineswegs sichergestellt ist, dass die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang verstanden haben und dessen Bedeutung abschätzen können. Um das zu gewährleisten, sollten sich eine Reihe von unterschiedlichen Übungen anschließen, anhand derer die Kenntnisse vertieft und kontrolliert werden können. Eine erste Übung stellen die Aufgaben des Arbeitsblattes dar (siehe arbeitsblatt_neben_scheitelwinkel.pdf). Sie können im Anschluss an die erste Unterrichtsphase in Partnerarbeit bearbeitet werden. Bei der sich anschließenden Besprechung im Plenum sollte die Lehrkraft darauf achten, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungen stets begründen. Diese Verbalisierung dient der Strukturierung eigener Gedanken und der Einübung mathematischer Argumentationen. Allgemeine Betrachtungen Dem interaktiven Arbeitsblatt mit der ersten variablen Übungsaufgabe (Online-Arbeitsblatt 2) liegt folgende Aufgabenidee zu Grunde: Drei sich schneidende Geraden erzeugen sechs Winkel (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken). Zwei der zugehörigen Winkelmaße sind gegeben. Durch die Verwendung dreier Geraden soll den Lernenden verdeutlicht werden, dass sich die Erkenntnisse über Neben- und Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden auf andere geometrische Gegebenheiten übertragen und so allgemeiner betrachten lassen. Highscore-Liste als Anreiz zur Fehlerkorrektur Die Aufgabe für die Schülerinnen und Schüler besteht beim zweiten Online-Arbeitsblatt darin, die mit alpha, beta und delta bezeichneten Winkelmaße zu berechnen. Nach der Eingabe der entsprechenden Werte können die Lernenden durch einen Klick auf den Button "Ergebnis prüfen" ihre Eingaben prüfen lassen und bekommen eine entsprechende Rückmeldung. Dabei können durch Betätigen des Buttons "Aufgabe stellen" beliebig viele weitere Aufgaben gleichen Typs erzeugt werden. Der Hinweis, dass es nur dann Punkte gibt, wenn Fehler verbessert werden, soll einen Anreiz schaffen, Fehler zu korrigieren. Der Spiel- und Wettbewerbscharakter der interaktiven Übung - Erzielen von Punkten und deren Speicherung in einer Highscore-Liste - stellt eine zusätzliche Motivation dar, mehrere Aufgaben dieses Typs zu bearbeiten. Die Zweischneidigkeit von Routineaufgaben Eine Aufgabe, die von allen Schülerinnen und Schülern gleich gut bearbeitet und gelöst werden kann, wird von leistungsstärkeren sehr schnell als langweilig und niveaulos empfunden. Unterrichtsstörungen sind nicht selten die Konsequenz dieser Unterforderung. Andererseits schaffen "Routineaufgaben" von der oben beschriebenen Art für schwächere Schülerinnen und Schüler eine Möglichkeit, Selbstbestätigung in einem Fach zu erfahren, dem sie bislang emotional eher ablehnend gegenüber standen. Unterrichtsdifferenzierung als mögliche Problemlösung Eine Möglichkeit zur Lösung dieses unterrichtlichen Problems stellt die innere Differenzierung dar, bei der man versucht, innerhalb einer Klasse die Leistungsunterschiede teilweise dadurch aufzufangen, dass eine gewisse Variation des Lernangebots (inhaltliche Differenzierung) durch unterschiedliche Motivierungen oder Aufgabenstellungen bereitgestellt wird. Wie sich solch eine inhaltliche Differenzierung durch den Einsatz von interaktiven dynamischen Arbeitsblättern realisieren lässt, soll an den noch folgenden zwei Übungen aufgezeigt werden. Eine mögliche Variation der obigen Aufgabenstellung ergibt sich durch die Verwendung einer zusätzlichen Halbgeraden in Online-Arbeitsblatt 3 (Abb. 3, Platzhalter bitte anklicken). Diese Aufgabenstellung durchbricht die bisherige Vorstellung, dass es immer Paare gleicher Winkelmaße gibt. Additiver und multiplikativer Vergleich Da es gerade in der Unterstufe zum Teil ganz erhebliche Leistungsunterschiede bei Schülerinnen und Schülern gibt, kann es vorkommen, dass auch die Aufgaben von Online-Arbeitsblatt 3, so interessant sie für einen Großteil der Klasse sind, begabte Schülerinnen und Schüler nicht herausfordern. Deshalb sollten neben diesen Aufgaben mit expliziten Winkelmaßangaben auch Aufgabenstellungen verwendet werden, bei denen lediglich die Beziehungen zwischen zwei Nebenwinkeln gegeben ist. Dabei bieten sich zwei unterschiedliche Aufgabentypen an: Additiver Vergleich Beispielaufgabe: "Welche Nebenwinkel alpha und beta erfüllen die Bedingung beta = alpha + 88 Grad?" Multiplikativer Vergleich Beispielaufgabe: "Für welche Nebenwinkel alpha und beta gilt beta = 2 alpha?" Durch die Angabe des Größenunterschieds sind beide Winkel festgelegt. Abb. 4 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt das Beispiel einer Aufgabenstellung mit additivem Vergleich. Mit dem Button "Auswertung" können die gefundenen und eingegebenen Winkelmaße überprüft und mit dem Button "neue Aufgabe" weitere Aufgaben mit additivem oder multiplikativem Vergleich erzeugt werden. Laut Aufgabenstellung ist nicht etwa beta das gesuchte Winkelmaß, sondern alpha und delta sind zu berechnen. Hilfestellungen Die für Lernende der Unterstufe doch sehr anspruchsvollen Aufgaben von Online-Arbeitsblatt 4 können in der Regel ohne Hilfestellungen nicht bewältigt werden. Daher bietet das interaktive Arbeitsblatt die Möglichkeit, verschiedene Lösungshinweise einzublenden. Wird dabei der "Hinweise"-Button das erste Mal betätigt, so wird der Texthinweis "Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°" eingeblendet und gleichzeitig der Hinweis visuell dadurch unterstützt, dass der rote Winkelbogen des gestreckten Winkels eingezeichnet wird. Reicht dem Lernenden dieser erste Hinweis nicht aus, so können weitere Hinweise durch das erneute Betätigen des "Hinweise"-Buttons angefordert werden (siehe Abb. 4). Die Aufgabe selbst wird dabei aber abschließend nicht gelöst. Spiel- und Wettbewerbssituation als Motivation Je mehr Hilfen die Lernenden verwenden, desto weniger Punkte erzielen sie. Daher werden sie in einer sportlichen Wettbewerbssituation anstreben, möglichst viele Punkte dadurch zu erreichen, dass sie so wenig Hilfen wie möglich in Anspruch nehmen. Sie werden daher versuchen, die algebraischen Argumentationsschemata für additive und multiplikative Vergleiche zu verinnerlichen. In einer normal strukturierten Klasse wird sich in der Übungs- und Differenzierungsphase ein komplett anderer Unterricht ergeben. Schülerinnen und Schüler werden nach ihren jeweiligen Interessen und Leistungsvermögen an unterschiedlichen Aufgaben arbeiten. Da bei allen interaktiven Übungen die Lernenden durch Rückmeldungen beziehungsweise Hilfen unterstützt werden, muss die Lehrkraft keine Bewertungen oder Korrekturen vornehmen. Die Aufgabe der Lehrkraft besteht vielmehr darin, die Schülerinnen und Schüler zu beobachten. Die angezeigten Punkte geben Aufschluss über die Arbeitsweise und den Erfolg der einzelnen Schülergruppen. Die Lehrkraft sollte alle Schülerinnen und Schüler ermutigen, sich jeweils mit Aufgaben der nächsten Anforderungsstufe zu beschäftigen. Hausaufgaben finden sich dazu in allen zugelassenen Schulbüchern. Sollten die im verwendeten Arbeitsblatt enthaltenen Aufgaben nicht verwendet worden sein, so können auch diese als Hausaufgabe gestellt werden.

Schülerinnen und Schüler aus Südafrika, Griechenland und Deutschland fotografierten zur selben Zeit Mond, Jupiter und Saturn. Nachdem die Bilder über das Internet ausgetauscht worden waren, wurde die Mondparallaxe bestimmt und die Entfernung des Mondes von der Erde berechnet. Eine günstige Stellung des Mondes wurde genutzt, um in Kooperation mit Schulen in fernen Ländern die Mondentfernung zu bestimmen. Dazu wurde der Winkelabstand Jupiter-Saturn mit einem Jakobsstab gemessen. Der Winkelabstand des Mondes wurde mithilfe von Fotografien bestimmt, die zeitgleich an verschiedenen Orten (Neumünster, Thessaloniki, Johannesburg) aufgenommen, digital bearbeitet und ausgewertet wurden. Aus den ermittelten Werten wurde mithilfe des Sinussatzes die Entfernung der Erde zum Mond mit 372.500 Kilometern bestimmt. Der Literaturwert für die mittlere Entfernung beträgt 384.401 Kilometer. Das hier vorgestellte anspruchsvolle Projekt eignet sich für Astronomie-Arbeitsgemeinschaften und wurde vom Autor im Rahmen des SINUS-Programms in Schleswig-Holstein durchgeführt. Die Auswertung der Messdaten gelingt im Mathematik-Unterricht der 10. Klasse (Sinussatz). Das Thema ist Teil des Unterrichts zur Gravitation in Jahrgangstufe 11 (Mechanik). Die Aufgabe "Bestimme die Entfernung des Mondes" ist schnell formuliert, lässt sich aber nur mit relativ großem Aufwand lösen. Sie erfordert neben vielfältigem Wissen aus verschiedenen Gebieten auch handwerkliche und organisatorische Fähigkeiten und Fertigkeiten Vorbereitung und Softwaretipps Hinweise für die Suche nach Beobachtungspartnern und Tipps zur Softwarenutzung bei der Auswahl des Beobachtungstermins und der Bildbearbeitung Grundlagen und Winkelmessungen Geometrische Grundlagen und praktische Vorschläge zur Durchführung der Winkelmessungen Ergebnisse Vorschläge zur Auswertung der Fotografien und zur Berechnung der Entfernung von der Erde zum Mond Die Schülerinnen und Schüler sollen Kenntnisse über die Positionen und Bewegungen der Körper im Sonnensystem erwerben. ein ziemlich großes Dreieck vermessen. Fotografie für Messzwecke einsetzen lernen. verschiedene Winkelmessverfahren kennen lernen. Thema Messung der Mondentfernung durch Triangulation Autor Bernd Huhn Fach Physik, Astronomie Zielgruppe Astronomie-AGs, Schülerinnen und Schüler ab Klasse 10 Zeitraum Das komplette Projekt dauert sicher mehrere Monate. Wenn man auf vorhandene Fotos zurückgreift, geht es schneller, es verliert aber einen Teil seines Reizes. Technische Voraussetzungen "klassischer" Fotoapparat oder Digitalkamera, Stativ, Drahtauslöser, Winkelmessscheibe, Geodreieck, Kompass, Wasserwaage, Knetgummi, dünner Stab (z.B. Schaschlikspieß), Schiebelehre, doppelseitiges Klebeband, Globus, Telefon- und E-Mail-Anschluss Software, Literatur Bildbearbeitungsprogramm (Corel Photo-Paint, GIMP oder vergleichbare Software), Astronomie-Software wie KStars, XEphem (beide kostenlos), SkyMap, Skyplot oder Tabellenwerke, zum Beispiel das Kosmos Himmelsjahr (Franckh-Kosmos Verlags-GmbH) oder Ahnerts Kalender für Sternfreunde (Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft) Keller, Hans-Ulrich Kosmos Himmelsjahr, Franckh-Kosmos Verlags-GmbH, erscheint jährlich; alle wichtigen Infos zu Sonne, Mond und Sternen, den Planeten, Finsternissen und sonstigen Himmelsschauspielen sowie den "Monatsthemen" mit aktuellen und interessanten Beiträgen. Neckel, Thorsten; Montenbruck, Oliver Ahnerts Astronomisches Jahrbuch, Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, erscheint jährlich; in den Monatsübersichten wird unter anderem dargestellt, welchen Planeten und hellen Sternen der Mond begegnet und wie die Sichtbarkeitsbedingungen der Planeten sind. Soffel, Michael ; Müller, Jürgen Lasermessungen der Monddistanz, Sterne und Weltraum 7/1997, Seiten 646-651; Die Autoren erläutern das Messverfahren und stellen weit reichende Folgerungen dar, die man aus dem auf wenige Zentimeter genauen Messergebnis ziehen kann. Zimmermann, Otto Astronomisches Praktikum, Spektrum der Wissenschaft Verlag GmbH, ISBN 3-8274-1336-2 (2003); hier werden weitere Methoden zur Messung der Mondentfernung beschrieben (Erdschattendurchmesser auf dem Mond ,Änderung der Mondgröße mit der Höhe, parallaktische Libration, Sternbedeckungen durch den Mond) Gut geeignet für die Triangulation ist eine Kombination von Beobachtungsstandorten mit einer großen Differenz der geographischen Breiten und einer kleinen Differenz der geographischen Längen. Die erste Bedingung sichert eine große Basislänge, die zweite sorgt dafür, dass die fotografierte Himmelsgegend etwa zur gleichen Zeit an beiden Standorten möglichst hoch über dem Horizont steht. Wenn sich ein Standort in Deutschland befindet, sollte der zweite also idealerweise im Süden Afrikas liegen. Auch das östliche Südamerika kommt in Frage. Aufgeschlossene Kolleginnen und Kollegen findet man durch Nachfragen bei den deutschen Auslandsschulen: Bundesverwaltungsamt: Schulverzeichnis Auf der Website des BVA finden Sie das Schulverzeichnis der Zentralstelle für das Auslandsschulwesen. Für die vorbereitenden Verabredungen und den Austausch der Ergebnisse reicht der Kontakt per E-Mail. Zum Zeitpunkt der Aufnahmen selbst ist eine Telefonverbindung nützlich: Wenn der Himmel nur teilweise klar ist und "Wolkenlöcher" genutzt werden müssen, können kurzfristige Absprachen gewährleisten, dass die Aufnahmen möglichst zeitgleich entstehen. Alternativ können dafür auch Chat-Rooms genutzt werden. Für die Aufnahme muss sich der Mond in möglichst geringem Winkelabstand zu zwei hellen und sehr viel weiter entfernten Objekten am Himmel befinden. Günstig dafür ist eine Konjunktion von mindestens zwei der Planeten Venus, Mars, Jupiter und Saturn; der Mond sollte zwischen ihnen stehen. Die Mondphase ist nicht entscheidend; ein zunehmender Mond ist allerdings zu bevorzugen, wenn jüngere Schülerinnen und Schüler mitarbeiten sollen, da er vor Mitternacht kulminiert. Einen geeigneten Zeitpunkt findet man durch systematische Suche in entsprechenden Tabellenbüchern (Kosmos Himmeljahr, Ahnerts Astronomisches Jahrbuch) oder durch Verwendung eines Astronomieprogramms, das ein Planetarium simulieren kann: KStars Diese Software unterliegt der GNU General Public License (GPL) und steht kostenfrei zur Verfügung. XEphem Auf der Website des Clear Sky Institute ist auch dieses Programm kostenlos erhältlich. Skyplot Informationen und Bestellmöglichkeit zur Software auf der Website des Autors Frank P. Thielen. Skyplot ist für 30 € zu haben. SkyMap Die kommerzielle Software ist in der Lite-Version für etwa 37 € und in der Pro-Version für etwa 100 € zu haben. In dem hier beschriebenen Projekt wurden die beiden Planeten Jupiter und Saturn als "Fixpunkte" verwendet. Besser wäre natürlich die Verwendung von Sternen, weil sie der Forderung, unendlich weit entfernte Fixpunkte zu sein, besser entsprechen. Allerdings müssen die Sterne relativ dicht nebeneinander und nahe der Ekliptik stehen und auch noch hell genug sein. Gute Gelegenheiten für Aufnahmen mit Fixsternen bieten totale Mondfinsternisse. Der dann nur schwach beleuchtete Mond überstrahlt auch die schwächeren Sterne in seiner Umgebung nicht. Allerdings bietet sich diese Gelegenheit seltener, wodurch man mehr von günstigen Beobachtungsbedingungen abhängig ist. Probeaufnahmen In dem hier vorgestellten Projekt wurde eine klassische Kamera benutzt, natürlich kann auch eine Digitalkamera verwendet werden. Probeaufnahmen vor dem Aufnahmetermin sind anzuraten. Die Qualität der Aufnahmen sollte immer am Negativ oder an der Rohdatei beurteilt werden. Bildverwackelungen können durch die Nutzung eines Stativs und eines Drahtauslösers vermieden werden. Eine Nachführung ist nicht nötig. Für die spätere Auswertung der Fotos ist es wichtig, die Aufnahmezeitpunkte und die verwendete Zonenzeit zu notieren! Der Winkelabstand Jupiter-Saturn betrug bei unseren Messungen etwa 10 Grad. Dabei ist eine Brennweite von 15 Zentimetern beim Kleinbildformat 24 Millimeter mal 36 Millimeter optimal. Die Auflösung von Standardfilmen reicht völlig, unabhängig davon, ob Farb- oder Schwarz-Weiß-Filme verwendet werden. Verschiedene Belichtungszeiten bei jedem Aufnahmezeitpunkt Die Belichtungszeit soll so gewählt werden, dass die im Vergleich zum Mond lichtschwachen Planeten (oder Sterne) gerade sicher zu erkennen und der Mond nicht unnötig überbelichtet wird. Der Mondrand sollte auf den Bildern noch gut erkennbar sein. Belichtungszeiten zwischen 0,1 und 10 Sekunden sollten bei mittlerer Blende passen. Die Zeiten sind allerdings stark von den aktuellen Dunstverhältnissen und der lokalen Lichtverschmutzung abhängig. Daher ist es sinnvoll, zu jedem Aufnahmezeitpunkt immer mehrere Aufnahmen mit unterschiedlichen Belichtungszeiten zu machen. Lichtschwache und lichtstarke Objekte auf einem Bild? Wie in der Astronomie üblich, werden die Bildnegative bearbeitet, also dunkle Objekte vor hellem Hintergrund. Wenn die punktförmigen Objekte - zwei Planeten oder Sterne - auf den Fotografien sicher abgebildet sind, der Mondrand aber unscharf dargestellt ist, nutzt man ein Bildbearbeitungsprogramm um für die Auswertung der Bilder einen scharfen Mondrand zu erzeugen, ohne dabei die lichtschwachen Objekte zu verlieren. Dabei geht man in zwei Schritten vor. Retusche der lichtschwachen Planeten Zunächst werden die zentralen Pixel der Planetenbilder bei hoher Vergrößerung schwarz eingefärbt. Es reichen Quadrate von vier oder neun retuschierten Bildpunkten. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt ein Beispiel: S-01-03-1 zeigt das stark vergrößerte digitalisierte Bild des Planeten Jupiter aus der linken unteren Ecke des Bildes S-01-03. Darunter sieht man in s-01-03-2 das retuschierte Jupiterbild mit neun zentralen schwarzen Pixeln. Noch wichtiger ist die Retusche beim relativ schwachen Bild des Saturns rechts im oberen Drittel des Bildes S-01-03. Benutzt wurde das Programm Corel Photo-Paint, Version 6.0. "Scharfstellen" des Mondes Im zweiten Schritt wird die Helligkeit des gesamten Bildes angehoben und der Kontrast so verstärkt, dass der "echte" Mondrand scharf erscheint. Das ist dann der Fall, wenn der Mond hellgrau vor weißem Hintergrund erscheint und das Mondbild bei einer weiteren Anhebung der Helligkeit nicht mehr kleiner wird (Abb. 2, Platzhalter bitte anklicken). Mithilfe der Vorschaufunktion von Corel Photo-Paint lässt sich dies gut beurteilen. Anschließend kann der Kontrast des Bildes weiter erhöht werden, bis die Abbildung schwarze scharfe Objekte vor weißem Hintergrund zeigt. Alternativ zu kommerzieller Software kann auch das kostenfreie Bildbearbeitungsprogramm GIMP verwendet werden: Zwei Punkte A und B auf der Erde und der Mittelpunkt M des Mondes bilden ein Dreieck (Abb. 3). Die Längen der Strecken AM beziehungsweise BM sind gesucht. Um sie zu ermitteln, müssen wir drei Stücke dieses Dreiecks messen, ohne die Erde zu verlassen. Eines dieser Stücke muss eine Seitenlänge sein, dafür kommt nur die Länge der Strecke AB in Frage. Zwei Winkel sind also noch zu messen. Da die Messgenauigkeit der gesuchten Längen sehr empfindlich von dem Winkel pi mit dem Scheitelpunkt M abhängt, ist es unerlässlich, diesen direkt zu messen und ihn nicht etwa aus der Differenz 180 Grad - Winkel BAM - Winkel MBA zu errechnen, denn kleine relative Fehler bei den Messungen der Winkel BAM und MBA hätten einen großen relativen Fehler für den Wert von pi zur Folge. Leider können wir uns nicht auf den Mond begeben und von dort einfach die beiden Punkte A und B auf der Erde anpeilen. Wir können pi aber auch auf der Erde messen, denn er ist gleich der Winkeldifferenz der Richtungen, in denen der Mond von den beiden Punkten A und B aus gesehen erscheint, also gleich dem Winkel zwischen BM und der Parallele zu AM durch B. Er heißt daher auch Parallaxenwinkel (Abb. 3). Einer der beiden weiteren Winkel - BAM oder MBA - muss außerdem gemessen werden. Die Genauigkeit dieser Messung ist unkritisch für die Genauigkeit des Ergebnisses, besonders wenn der Wert des Winkels nahe 90 Grad liegt. Mithilfe des Sinussatzes ergeben sich die gesuchten Längen der Seiten MA oder MB. Um die Entfernung des Mondmittelpunktes vom Erdmittelpunkt und nicht von einem Punkt der Erdoberfläche zu erhalten, wäre weiterer Aufwand nötig. Dies erscheint angesichts der erzielbaren Messgenauigkeit jedoch nicht sinnvoll. Das Vorgehen sollte für Schülerinnen und Schüler, die gerade den Sinussatz am ebenen Dreieck verstanden haben, gut nachvollziehbar sein. Jüngere Schülerinnen und Schüler können die Anwendung des Sinussatzes möglicherweise durch eine Dreieckskonstruktion ersetzen, die aber sehr präzise sein muss, da der Parallaxenwinkel naturgemäß recht klein ist. Kenntnisse über astronomische Koordinatensysteme oder sphärische Trigonometrie sind nicht nötig. Es sollte Wert darauf gelegt werden, alle Schritte durch manuelle Tätigkeiten an einem räumlichen Modell (Globus mit aufgesetztem Horizontsystem, Mond in einiger Entfernung davon) zu veranschaulichen. Hinweise zur Aufnahme der Fotos Wir haben den Parallaxenwinkel pi auf fotografischem Weg gemessen. Ideal für die Auswertung ist ein Paar von zwei Aufnahmen des Mondes und der Hintergrundobjekte - hier Jupiter und Saturn -, die an den beiden Positionen A und B exakt zum gleichen Zeitpunkt gemacht werden. Wenn merklich Zeit zwischen den Aufnahmen liegt, weil zum Beispiel die Bewölkung an den Aufnahmestandorten dies erzwingt, könnte das Ergebnis durch die Bewegung des Mondes vor dem Hintergrund (etwa 15 Grad in 24 Stunden) verfälscht werden. Sollte diese Gefahr bestehen, so fotografiert man an einem oder an beiden Standorten mehrfach zu verschiedenen Zeitpunkten, etwa in jedem geeigneten Wolkenloch, und rekonstruiert dann jeweils die Position des Mondes für einen vereinbarten Zeitpunkt aus diesen Aufnahmeserien durch eine lineare Interpolation. Auswertung der Fotos Legt man zwei zeitgleich entstandene Bilder von den Standorten A und B so übereinander, dass die beiden Planetenbilder aufeinander liegen, so sind die Mondbilder gegeneinander verschoben. Diese Verschiebung kann man in den Parallaxenwinkel pi umrechnen, wenn man einen passenden Umrechnungsfaktor hat. Man erhält ihn aus einer Messung des Winkelabstandes delta der beiden Hintergrundobjekte am Himmel und dem Abstand ihrer Abbilder auf den auszuwertenden Fotos. Der Parallaxenwinkel ergibt sich dann per Dreisatz. Zur Kontrolle des Verfahrens kann man damit den Winkeldurchmesser des Mondes bestimmen: er muss etwa 0,5 Grad betragen. Messung des Winkels zwischen den Planeten Für die Messung des Winkels delta zwischen den Planeten Jupiter und Saturn haben wir in unserem Projekt einen improvisierten "Jakobsstab" benutzt (Abb. 4). Er besteht aus Stativmaterial und Längenmessgeräten aus der Physik-Sammlung. Das Durchblicksloch sollte möglichst klein sein. Man schaut durch die Öffnung und verschiebt die Markierungen auf dem Querstab so lange, bis die Peilung zu den Planeten passt. Dann lässt sich der Winkel delta messen beziehungsweise errechnen. Diese Winkelmessung sollte etwa zeitgleich mit den fotografischen Aufnahmen erfolgen. Messung von Azimut- und Höhenwinkel zum Aufnahmezeitpunkt Während wir zur Messung des Parallaxenwinkels pi mindestens zwei zeitgleich aufgenommene Fotografien von verschiedenen Standorten benötigen, kann der zweite Winkel im Dreieck an nur einem der Beobachtungsorte, zum Beispiel am Punkt A, ermittelt werden. Dazu bestimmt man die Position des Mondes im Horizontsystem (Azimut- und Höhenwinkel) zum Aufnahmezeitpunkt. Daraus lässt sich später der Winkel zwischen den Verbindungslinien zum Mond und zum zweiten Standort B mithilfe eines Globus ermitteln. Das kann man so machen: Man legt eine ebene, leichte und dünne Platte, zum Beispiel eine Winkelmessscheibe, wie sie für Schülerübungen in der Optik verwendet wird, horizontal ausgerichtet (Wasserwaage, Dosenlibelle, Untertasse voll Wasser ... ) auf eine feste Unterlage und markiert darauf mithilfe eines Kompasses die Nord-Süd-Richtung. Dabei muss unbedingt die lokale Missweisung beachtet werden, besonders wenn ein Partner im südlichen Afrika beteiligt ist. Dort erreicht nämlich die Missweisung auf Grund einer geomagnetischen Anomalie beträchtliche Werte. Durch ein Lot vom Himmelspol auf den Horizont oder mithilfe einer Landkarte und Landmarken am Horizont lässt sich das Ergebnis überprüfen. Nun befestigt man mit Knetgummi auf dieser Linie das Ende eines dünnen Stäbchens, zum Beispiel einen Schaschlik-Spieß, und richtet das Stäbchen genau auf den Mond, sodass es im Mondlicht keinen Schatten mehr wirft. Dann kann man den Höhenwinkel eta und den Azimutwinkel gamma mit einem Geodreieck messen (Abb. 5). Diese Messung muss man für jeden Aufnahmezeitpunkt wiederholen und protokollieren. Natürlich kann man für die Messungen von Azimut und Höhe auch einen vertikal stehenden Schattenstab benutzen. Dann lässt sich der Azimutwinkel direkt auf der Winkelmessscheibe ablesen. Der Höhenwinkel muss aus der Schattenlänge und der Stablänge berechnet oder an einem Faden von der Stabspitze zum Ende des Stabschattens abgelesen werden. Auch einen Theodolithen kann man verwenden, wenn man damit einen hinreichend großen Höhenwinkel messen kann. Rekonstruktion der Richtungen und Winkelmessung am Globus In einem letzten Schritt wird nun mit doppelseitigem Klebeband die Platte mit der Vorrichtung zur Bestimmung von Höhen- und Azimutwinkel auf einem Globus am Aufnahmeort A angeklebt. Auf den Ort A fällt der Fußpunkt A' des Stäbchens. Dann liegt die Platte in der Tangentialebene an den Globus in A, also in der Horizontebene von A (Abb. 6). Natürlich muss auch die Nord-Süd-Linie die Tangente an den Längenkreis durch A bilden. Wenn nun Azimut- und Höhenwinkel noch oder wieder passend eingestellt sind, so wird die Position des Mondes relativ zum Globus bei der Aufnahme reproduziert. Eine große "Schiebelehre" wird nun so angelegt, dass die Spitzen ihres "Schnabels" auf den Punkten A und B liegen. Ihre Kante bildet mit dem Stäbchen den gesuchten Winkel alpha, der nun mit einem Geodreieck gemessen werden kann (Abb. 7). Nicht notwendig, aber sehr sinnvoll ist es, auch am Ort B den Azimut- und den Höhenwinkel zum Aufnahmezeitpunkt zu messen und die Richtung zum Mond von Punkt B aus ebenfalls auf dem Globus zu rekonstruieren. Wenn diese Richtungen dann sehr voneinander abweichen, ist irgendwo ein Fehler passiert. Wir haben auf diese Weise die große Kompassmissweisung in Johannesburg "entdeckt". Bestimmung von Azimut- und Höhenwinkel aus Tabellendaten Falls Azimut- und Höhenwinkel nicht messbar sind, kann man sie aus Tabellenwerten der Mondephemeriden, der geographischen Breite und der Sternzeit des Aufnahmeortes rekonstruieren. Das gelingt - wenn auch etwas mühsam - mit den Formeln der sphärischen Geometrie. Zwar nicht so genau, aber anschaulicher und für Schülerinnen und Schüler nicht nur manuell begreifbarer, ist ein Kartonmodell. Abb. 8 zeigt die Mondposition (rotes Kügelchen) im Horizontsystem von Thessaloniki am 12. November 2000 um 20:00 Uhr Weltzeit. Dazu wurde auf der Horizontebene zunächst ein Sektor der Äquatorebene um den Winkel von 90 Grad minus geographische Breite gegenüber der Horizontebene geneigt aufgeklebt. Auf der Äquatorebene sind aus gelbem Karton zwei orthogonal zueinander stehende Sektoren für den Stundenwinkel und die Deklination des Mondes befestigt. Die Deklination des Mondes (hier 18 Grad) erhält man aus einem astronomischen Jahrbuch (Kosmos Himmelsjahr, Ahnerts Astronomisches Jahrbuch), ebenso die Rektaszension (hier 4 h 08 min). Der Stundenwinkel ergibt sich dann aus der Beziehung Stundenwinkel = Sternzeit - Rektaszension. Mit der Sternzeit 1 h 01 min, die man ebenfalls einem Jahrbuch entnimmt und auf den Aufnahmeort und -zeitpunkt umrechnet, erhält man den Stundenwinkel von -3 h 07 min, wie in Abb. 8 näherungsweise abzulesen ist. Mit einem Geodreieck misst man nun Azimut- und Höhenwinkel im Horizontsystem. Das Kartonmodell kann man anstelle der Winkelmessscheibe mit dem Schaschlikstäbchen zur Auswertung auch direkt auf den Globus kleben. Prinzipiell macht man dabei allerdings einen kleinen Fehler: Die Angaben für Deklination und Rektaszension beziehen sich auf einen Beobachter im Erdmittelpunkt, während das Kartonmodell auf der Erdoberfläche sitzt. Der so ermittelte Winkel BAM wird also entsprechend verfälscht. Der Fehler dürfte aber angesichts der begrenzten Genauigkeit des Modells zu vernachlässigen sein. Die Länge der Dreiecksseite AB, das heißt die Entfernung zwischen den Beobachtungspunkten wird, wie in Abb. 7 gezeigt, mit einer großen Schiebelehre auf einem Globus ausgemessen und mithilfe des Globus-Maßstabes berechnet. Die Entfernung BM ergibt sich nun leicht aus dem Sinussatz: Es ist sinnvoll, an dieser Stelle weitere Werte für pi, alpha und die Länge von AB in die Berechnung der Mondentfernung einzusetzen und die Auswirkungen auf das Ergebnis zu diskutieren. Dabei sollte sich als kritische Größe der Parallaxenwinkel herausstellen. Beobachtungsnacht Um sicher auswertbares Fotomaterial zu erhalten, wurde die Begegnung des Mondes mit den Planeten Jupiter und Saturn im Abstand von vier Wochen in zwei Vollmondnächten dokumentiert. Am 12. November 2000 standen neun Kollegen in Brasilien, Südafrika, Griechenland und Deutschland mit ihren Schülerinnen und Schülern bereit, um den Mond und die beiden Planeten zu fotografieren. Allerdings spielte das Wetter nur in Thessaloniki und Johannesburg mit: Lediglich Max Ruf (Deutsche Schule Johannesburg) und Wolfgang Hofbauer (Deutsche Schule Thessaloniki) gelangen auswertbare Aufnahmen. Die folgenden vier Abbildungen zeigen je zwei Bilder von diesen Standorten. Das jeweils erste zeigt die Originalaufnahme mit den ergänzten Aufnahmedaten. In der jeweils zweiten Abbildung ist das digitalisierte Foto mit einem Bildbearbeitungsprogramm zu einer Schwarz-Weiß-Grafik verarbeitet worden. Der Grauton, bei dem die Entscheidung zwischen Schwarz und Weiß liegt, wurde dazu so gewählt, dass der Mondrand optimal zu erkennen ist. Damit die Planeten Jupiter und Saturn bei der Bildbearbeitung nicht verloren gingen, wurden diese vorher retuschiert. Winkelabstand und geographische Koordinaten Den Winkelabstand Jupiter-Saturn hat Max Ruf in Johannesburg zu delta = 10,5° gemessen. Die geographischen Koordinaten der Aufnahmeorte sind: Johannesburg: 26° 12' südlicher Breite, 28° 06' östlicher Länge Thessaloniki: 40° 36' nördlicher Breite, 23° 06' östlicher Länge Bilder aus Johannesburg Bilder aus Thessaloniki Bestimmung der Mondparallaxe am Bildschirm Abb. 13 zeigt eine Montage, in der die beiden Aufnahmen aus Abb. 10 und Abb. 12 so gedreht und zentrisch gestreckt wurden, dass die Verbindungsstrecken Jupiter-Saturn horizontal liegen und gleich lang sind. Nun können die Schülerinnen und Schüler die Mondparallaxe am Bildschirm mit der folgenden Anleitung ermitteln: Markiere auf dem Monitor mit einem abwaschbaren Folienschreiber die Positionen von Jupiter, Saturn und Mond aus der oberen Aufnahme. Verändere nicht die Position deines Kopfes! Schiebe das zweite Bild mithilfe der Scroll-Leiste auf dem Bildschirm in die Position, in der Jupiter und Saturn auf "ihren" Markierungen liegen. Zeichne den "zweiten Mond" auf den Bildschirm. Wenn die Scroll-Funktion zu grob arbeitet, kopiere das Bild zuerst auf eine leere neue Seite eines Webseiten-Editors oder eines Bildbearbeitungsprogramms. Verfahre dann so, wie oben beschrieben. Bestimme auf dem Bildschirm den Abstand Jupiter-Saturn und den Abstand der Mondbilder. Der Abstand Jupiter-Saturn entspricht einem Winkelabstand von [ ... ] Grad. Berechne per Dreisatz den Winkelabstand pi der beiden Mondbilder. Bestimmung der Mondparallaxe mithilfe von Ausdrucken Alternativ zu der beschriebenen Bestimmung der Mondparallaxe am Bildschirm können Ausdrucke der Bilder durch die entsprechende Funktion des Druckprogramms auf den gleichen Abstand Jupiter-Saturn gebracht werden. Man kann dazu auch einen Fotokopierer verwenden. Ein Bild wird auf eine Folie kopiert oder per Hand übertragen. Dann wird die Folie auf das zweite Bild gelegt und die Mondparallaxe wie zuvor beschrieben bestimmt. In der Physik-AG der IKS Neumünster haben wir die beiden Fotos vom 12. November 2000 aus Thessaloniki und Johannesburg ausgedruckt und übereinander gelegt. Jupiter und Saturn hatten dort einen Abstand von 171 Millimetern. Die beiden Mondpositionen lagen 18 Millimeter voneinander entfernt. Daraus ergab sich ein Parallaxenwinkel von pi = 10,5° (18 / 171) = 1,1°. Am großen Globus aus dem Erdkunde-Fachraum haben wir als nächstes die Richtung zum Mond von Thessaloniki aus mithilfe der Winkelmessscheibe rekonstruiert (Abb. 14a) und den Winkel Johannesburg-Thessaloniki-Mond zu 103 Grad gemessen. Gleichzeitig ergab sich der Abstand Johannesburg-Thessaloniki zu 36,4 Zentimetern bei einem Globusdurchmesser von 63,2 Zentimetern (Abb. 14b). Mit dem Erddurchmesser von 12.740 Kilometern konnten wir die wahre Entfernung JT Johannesburg-Thessaloniki errechnen: 12.740 km (36,4 / 63,2) = 7.340 km Um den Sinussatz anwenden zu können, benötigten wir noch den Winkel Mond-Johannesburg-Thessaloniki. Er betrug 180° - 103° - 1,1° = 75,9°. Nun konnten wir alles in den Sinussatz einsetzen und erhielten die Entfernung TM Thessaloniki-Mond: (sin 75,9° / sin 1,1°) 7.340 km = 372.500 km. Fertig (Abb. 15)! Später haben wir erfahren, dass der von uns benutzte Messwert von 85 Grad für den Azimutwinkel um 10 Grad zu groß war. Er beträgt nur 75 Grad. Dadurch muss mit einem kleineren Basiswinkel gerechnet werden. Da dieser nahe bei 90 Grad liegt, wo die Sinuskurve nur eine geringe Steigung hat, wirkt sich dieser Fehler aber kaum auf das Ergebnis aus. Der Mond liegt zwar - in astronomischen Maßstäben - vor unserer Haustür. Dennoch ist die in Zahlen gefasste Entfernung nicht mehr anschaulich. Hilfreicher sind für die Veranschaulichung sind grafische Darstellungen, wie zum Beispiel die folgenden, die uns der Amateur-Astronom Thomas Borowski freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat:

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Solarenergie kennen und wie diese genutzt werden kann, um Strom für den Verbrauch auf der Erde zu erzeugen. Solarenergie wird oft für Raumfahrtmissionen genutzt, da sie die einzige Energiequelle ist, die nicht mit dem Raumschiff gestartet werden muss und das Raumschiff mehrere Jahre lang mit Strom versorgen kann. In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler zwei physikalische Gesetze kennen, die das Design von Solarmodulen für Raumfahrtmissionen beeinflussen: das Abstandsgesetz (auch reziprokes Quadratgesetz oder quadratisches Entfernungsgesetz) und den Einfallswinkel. Die Lernenden führen zwei einfache Untersuchungen mit einer Photovoltaikzelle (Solarzelle) und einer Lichtquelle durch. Zuerst messen sie, wie sich die von den Solarzellen erzeugte Leistung mit der Entfernung von der Lichtquelle ändert und versuchen, das Abstandsgesetz für die Strahlungsintensität experimentell zu ermitteln. Die Lernenden führen dann ein zweites Experiment durch, um die Abhängigkeit der Leistung der Solarzelle vom Einfallswinkel zu untersuchen. Schließlich werden sie diese Konzepte auf echte ESA-Raumfahrtmissionen anwenden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen in dieser Unterrichtseinheit den Nutzen von Solarenergie und verstehen die Abläufe, die bei der Umwandlung von Lichtenergie in Strom stattfinden. Dabei wird die Bedeutung des Einfallwinkels der Sonneneinstrahlung behandelt und wie deren Intensität zu berechnen wird. Anschließend wird der Aufbau und die Funktionsweise einer Solarzelle behandelt. Um das Erlernte zu verinnerlichen und anzuwenden, werden daraufhin Experimente zu den Themen Abstandsgesetz und Einfallswinkel durchgeführt. Zudem werden eigene Stromkreisläufe mit Solarzellen gebaut. Dabei machen sich die Schülerinnen und Schüler sich mit der elektrischen Spannung, der Stromstärke, der Leistung und der Strahlungsintensität vertraut. Zuletzt werden die Anforderungen an die Solarenergie in der praktischen Anwendung bei Weltraummissionen untersucht. Altersgruppe: 14-18 Jahre Schwierigkeitsgrad: mittel Vorbereitungszeit: Eine Stunde Kosten: gering Die Schülerinnen und Schüler verstehen, was Strahlungsintensität ist und lernen sie zu berechnen. erfahren den Aufbau und die Funktionsweise von Solarzellen. lernen die Bedeutung des Einfallswinkels kennen und führen Experimente dazu durch. führen Experimente zum Abstandsgesetz durch. analysieren Daten und stellen diese graphisch dar. bauen und gestalten eigene Stromkreise mit Solarzellen. machen sich mit der elektrischen Spannung, der Stromstärke, der Leistung und der Strahlungsintensität vertraut. untersuchen die Anforderungen an Solarenergie bei ihrem Einsatz bei Weltallmissionen.

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen interaktiv die Gesetze der reibungsfreien Bewegung eines Körpers auf einer vertikalen Kreisbahn bei unterschiedlicher Gesamtenergie - vom Fadenpendel bis zum Looping.Winkelkoordinate, -geschwindigkeit und -beschleunigung sowie die aufzuwendende Radialkraft sind in einem Excel-Diagramm als Funktion der Zeit grafisch dargestellt. Durch kontinuierliche Veränderung des Parameters E (Summe aus kinetischer und potenzieller Energie) können die Diagramme dynamisch verformt und so die verschiedenen Bewegungsarten von der harmonischen Schwingung bis zum Looping beobachtet und analysiert werden. Die numerisch nach dem Halbschrittverfahren berechneten Diagramme, die man sonst im Unterricht und in der Literatur selten zu sehen bekommt, bieten einen beziehungsreichen Zugang zu vielen Aspekten der für die Jahrgangsstufe 11 vorgesehenen Lerninhalte.Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Rechner. Zentrales Medium ist neben der Excel-Datei das bereitgestellte Arbeitsblatt mit detaillierten Arbeitsaufträgen. Diese können je nach Intention und Umfang der Unterrichtseinheit auch nur teilweise eingesetzt oder auf verschiedene Abschnitte des Lehrplans verteilt werden. Wegen der Vielfalt der angesprochenen Themen (harmonische Schwingung, Energiesatz, beschleunigte Kreisbewegung, Kräftezerlegung, Newton'sche Grundgleichung F = ma und ihre prinzipielle Bedeutung für die Berechnung von Bewegungen) eignet sich das Material besonders zur vertiefenden Wiederholung oder für ein Projekt, in dem auch das numerische Verfahren und/oder fortgeschrittene Excel-Anwendungen thematisiert werden. Theoretischer Hintergrund, Realisierung in Excel, Einsatz des Materials im Unterricht Die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit der oben genannten kinematischen Größen mithilfe einer Excel-Tabelle bringt eine Reihe neuer Aspekte in den Unterricht, die hier erläutert werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Diagramme physikalisch interpretieren und darüber sachgerecht kommunizieren. die Gesetze der Kinematik, insbesondere der harmonischen Schwingung und der Kreisbewegung, den Energiesatz und das Prinzip der Kräftezerlegung anwenden. die Grenzen analytischer Methoden und den Vorteil numerischer Lösungen erfahren. das Halbschrittverfahren analysieren (optional). fortgeschrittene Anwendungen in Excel praktizieren (optional). Thema Vom Fadenpendel bis zum Looping - Bewegung auf einer vertikalen Kreisbahn mit Excel Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fächer Physik oder fächerübergreifendes Projekt (Physik/Informatik) Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3-6 Stunden Technische Voraussetzungen je 1 Rechner für 1-2 Lernende Software Microsoft Excel, ergänzend für die Lehrkraft: GeoGebra (kostenfreie Software) [1] Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer 1971 [2] Grehn/Krause Metzler Physik, 4. Auflage, Schroedel 2007 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Radialkraft Die Bewegung eines Körpers auf einer vertikalen Kreisbahn unter dem Einfluss der Erdanziehung (zum Beispiel in einer kreisförmigen Loopingbahn oder an einem Seil) wird im Unterricht gern als Anwendung der Gesetze der Kreisbewegung und des Energiesatzes behandelt. Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Radialkraft lassen sich in Abhängigkeit von der jeweiligen Position damit leicht berechnen. Zeitlicher Verlauf der kinematischen Größen Schwieriger ist die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit dieser Größen: Durch Zerlegung des Gewichts in eine radiale und eine tangentiale Komponente erhält man aus der Newton'schen Grundgleichung F = ma die Differenzialgleichung phi'' = -(g/r) sin(phi) für die gegen die Vertikale gemessene Winkelkoordinate phi . Die analytische Lösung führt auf ein elliptisches Integral, das nicht durch elementare Funktionen darstellbar ist [1]. Es muss daher ein numerisches Verfahren angewendet werden, um den zeitlichen Verlauf der kinematischen Größen im Diagramm darzustellen. Dies geschieht hier mithilfe des Halbschrittverfahrens, das zum Beispiel in [2] kurz beschrieben wird. Neben der Darstellung der kinematischen Größen in Diagrammen liefert dieses Verfahren auch eine numerische Bestimmung der Periodendauer T . Zusatzmaterial für Lehrpersonen Das "klassische" Berechnungsverfahren nach [1] kann mithilfe der GeoGebra-Datei "numerische_integration.ggb" nachvollzogen werden. Diagramme Die zum Download bereit gestellte Datei "vertikale_kreisbahn.xls" enthält die beiden Tabellenblätter "Diagramme" und "Berechnung". Bei den Diagrammen befindet sich ein Schieberegler, mit dem die Gesamtenergie E kontinuierlich von 0 bis 10 mgr verändert werden kann. Dieser Wert wird in der Berechnungstabelle übernommen. Der Kreisradius r ist auf 1 gesetzt und sollte nicht verändert werden. Die Schrittweite Delta_t des Halbschrittverfahrens ist auf vier Millisekunden voreingestellt. Sie kann nach Aufhebung des Blattschutzes verändert werden, um die Genauigkeit des Verfahrens zu analysieren. Berechnungstabelle Die eigentliche Berechnungstabelle enthält die Zeit t , die Winkelkoordinate phi , die Winkelgeschwindigkeit omega , die Winkelbeschleunigung alpha und die aufzuwendende Radialkraft, hier als Seilkraft F_Seil bezeichnet, die jedoch bei positivem Vorzeichen als nach außen gerichtete Stützkraft (zum Beispiel durch eine dünne Stange) interpretiert werden muss. Zusätzlich werden zur Darstellung der Bewegung für einige ausgewählte Punkte die kartesischen Koordinaten x und y berechnet. Berechnung und Visualisierung Für die Anfangsposition phi = 0 erhält man die Winkelgeschwindigkeit omega aus der Energie. Die übrigen Größen können aus phi direkt berechnet werden. Sodann werden sukzessive nach dem Halbschrittverfahren die nächsten Werte von omega und von phi und damit dann wieder die weiteren Größen berechnet. Es werden 750 Rechenschritte durchgeführt, so dass der Bewegungsverlauf während der ersten drei Sekunden in den auf der Tabelle basierenden Diagrammen dargestellt werden kann. Dies reicht für die Diskussion völlig aus. Die interaktive Arbeit mit den Diagrammen wird durch die Arbeitsaufträge in der Datei "vertikale_kreisbewegung.pdf" strukturiert. Den wesentlichen Teil bilden die Aufgaben zum physikalischen Inhalt: Die kontinuierliche Verformung der Kurven durch die Veränderung der Gesamtenergie E lässt sehr schön erkennen, wie sich aus einer anfänglich harmonischen Pendelschwingung ( E < < mgr ) allmählich eine nicht-harmonische Schwingung mit wachsender Periodendauer T entwickelt. wie für Ausschläge über 90 Grad die erforderliche Radialkraft das Vorzeichen wechselt (bei mgr < E < 2,5 mgr ). wie die Bewegung bei E = 2 mgr aus der Schwingung in einen Looping übergeht und dann für wachsende Werte von E bei abnehmender Umlaufzeit einer gleichförmigen Kreisbewegung immer ähnlicher wird. Die Arbeitsaufträge verlangen eine detaillierte Beschreibung und Interpretation dieser Beobachtungen. Daneben sind herkömmliche Aufgaben in das Arbeitsblatt integriert (Energiesatz, Kräfte bei der Kreisbewegung, harmonische Schwingung et cetera). Optional können zusätzliche Arbeitsaufträge zum Halbschrittverfahren und zu Excel zum Einsatz kommen. Letztere setzen fortgeschrittene Kenntnisse in Excel voraus und sind gegebenenfalls in einem fächerübergreifenden Projekt (Physik/Informatik) anzusiedeln. Während im physikalischen Teil nur mit den Diagrammen gearbeitet wird, werden hier Eingriffe in die Berechnungstabelle vorgenommen. Dazu empfiehlt es sich, vorher eine Kopie der Datei "vertikale_kreisbewegung.xls" anzufertigen, für die dann der Schreibschutz aufgehoben wird. [1] Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer 1971 [2] Grehn/Krause Metzler Physik, 4. Auflage, Schroedel 2007

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Sinus, Kosinus und Tangens" wird den Lernenden anhand von Java-Applets der Zusammenhang zwischen dem Winkel am Einheitskreis und den dazugehörigen trigonometrischen Funktionen schnell und verständlich nahe gebracht. Java-Applets ermöglichen Visualisierungs- und Darstellungsformen, die mit Papier und Bleistift, Tafel oder Folie, zu zeitaufwändig und kaum realisierbar sind. Beim Einsatz von Java-Applets lassen sich durch einfaches Ziehen mit der Maus geometrische Figuren und Winkelfunktionen zeichnen und beliebig verändern. Das in dieser Unterrichtseinheit verwendete Java-Applet von Walter Fendt ist ein sehr schönes Werkzeug, um den Lernenden den Zusammenhang zwischen dem Winkel am Einheitskreis und den dazugehörigen trigonometrischen Funktionen schnell und verständlich nahe zu bringen. Darüber hinaus lernen die Schülerinnen und Schüler selbstständig, entdeckend und kooperativ zu arbeiten. Bei Fehlern kann man einfach wieder von vorne beginnen. Bei der Einführung der Sinus- und der Kosinusfunktion sowie der Tangensfunktion stehen zu Beginn die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck im Mittelpunkt. Die Schülerinnen und Schüler lernen Berechnungen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen und entdecken hierbei die Zusammenhänge zwischen den Funktionen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Zusammenhang zwischen der Darstellung des Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und der dazugehörigem Graphen. benennen besondere Eigenschaften der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion. Eine Einführung der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion kann natürlich auch über das eigenhändige Zeichnen erfolgen. Da die Trigonometrie jedoch anspruchsvoll und anschaulich behandelt werden kann und soll, bringt der Einsatz des Java-Applets neben einer Auflockerung des Unterrichts auch einen klaren Zeit- und Erkenntnisgewinn: Die Lernenden erkennen nämlich die wesentlichen Zusammenhänge mithilfe des Applets sehr schnell und müssen sich nicht mit zeitaufwändigen Zeichnungen aufhalten, bei denen der Arbeitsaufwand in keinem günstigen Verhältnis zu den so erarbeiteten Ergebnissen steht. Darüber hinaus ist die Nutzung von Java-Applets äußerst einprägsam, so dass Sie in Ihrem Unterricht nicht darauf verzichten sollten! Bei passenden Aufgabenstellungen lernen die Schülerinnen und Schüler zudem, sich die Zusammenhänge zu erklären und sich gegenseitig zu überprüfen. 1. Schritt Die Schülerinnen und Schüler haben die Aufgabe erhalten, am Einheitskreis einen Winkel von 40 Grad, Sinus 40 Grad, Kosinus 40 Grad und Tangens 40 Grad einzuzeichnen. Dabei werden Sinus, Kosinus und Tangens farbig unterschieden. Grundlegende Eigenschaften werden dabei wiederholt. In einer Einführung wird dargestellt, dass Sinus, Kosinus und Tangens Funktionen am Einheitskreis darstellen. Dabei wird jedem Winkel ein Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet (analytische Definition). 2. Schritt Die Lernenden begeben sich (maximal) zu zweit an einen Rechner. Das Java-Applet wird gestartet. Die Schülerinnen und Schüler erhalten den Auftrag, Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis mithilfe der Maus darzustellen und dabei den Verlauf der Graphen zu beobachten. Erste Eindrücke sollen festgehalten sowie eine Skizze der Graphen angelegt werden. Als besondere Punkte sind dabei die Winkel 30 Grad, 60 Grad, 90 Grad, 120 Grad, 180 Grad und 270 Grad zu betrachten. 3. Schritt Die Lernenden beschreiben den Verlauf der Graphen und stellen fest, dass die Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch mit der Periode 360 Grad sind und dass Sinus- und Kosinusfunktion durch Verschiebung um 90 Grad auseinander hervorgehen. Die Tangensfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat eine Periode von 180 Grad. 4. Schritt Zur Ergebnissicherung werden die Graphen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion auf einem bereits zuvor erstellten Arbeitsblatt (siehe Download auf der Startseite des Artikels) zur Verfügung gestellt. Die Schülerinnen und Schüler tragen nun am Graphen die besonderen Punkte (siehe oben) ein und formulieren die Eigenschaften, die zuvor geäußert worden sind. Zusätzlich dazu müssen die Lernenden als Wiederholung den Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß (Pi) herstellen, um sich mit dem Arbeitsblatt erfolgreich auseinandersetzen zu können.

Kerngedanke der hier vorgestellten Versuchsanordnung ist, dass mindestens zwei Schulen aus verschiedenen Regionen oder Ländern zusammenarbeiten, um die Flugbahn und Flughöhe der ISS im Rahmen einer Messreihe zu bestimmen.Das ISS-Triangulations-Experiment wurde im Rahmen der DLR-Initiative School in Space für die 10. Klasse und die Oberstufe konzipiert. Schülerinnen und Schüler ermitteln dabei selbstständig die Parameter Flugbahn, Flughöhe, Geschwindigkeit und die Umlaufzeit der ISS mit einfachen mathematischen Berechnungen und leichtem Gerät. Grundlagen sind die Trigonometrie und die Tatsache, dass die ISS unter bestimmten Bedingungen mit bloßem Auge am Himmel zu beobachten ist. Die Raumstation und die Partnerschulen bilden bei der zeitgleich durchgeführten Beobachtung ein imaginäres Dreieck (oder auch mehrere Dreiecke), dessen Winkel - und somit auch Seiten - auf Grundlage der Trigonometrie bestimmbar sind. Informationen zur Sichtbarkeit der ISS an Ihrem Standort können Sie über die vom DLR gehostete Website Heavens-Above ermitteln. Durch die Aufnahme von Messreihen an aufeinander folgenden Tagen (oder innerhalb mehrerer Tage) können Veränderung der Flughöhe nachgewiesen werden.Triangulation ist die Winkel- und Seitenlängen-Bestimmung unter Ausnutzung der bekannten geometrischen Beziehungen (Sinussatz, Cosinussatz und Tangens-Winkelbeziehung). Die Kenntnis und Beherrschung dieser Grundlagen wird für die Bearbeitung der Aufgaben vorausgesetzt. Die Beobachtungsorte zweier Partnerschulen und die ISS bilden bei beiden Methoden (Theodolit, Fotografie) das Dreieck, welches den Berechnungen zugrunde gelegt wird. Die Berechnungen gestalten sich aber aufgrund der Kugelgestalt der Erde etwas schwieriger. Ausführliche Informationen dazu finden Sie in dem Lehrerheft des DLR zum ISS-Schülerexperiment Triangulation, das von der Website School in Space als PDF heruntergeladen werden kann. Wann ist die ISS zu sehen? Die Sichtbarkeit der ISS kann mithilfe einer Website für jeden möglichen Beobachtungsstandort ermittelt werden. Durchführung des Experimentes Hinweise zur Durchführung der Messreihen und zur Nutzung von Arbeitsplattformen bei der Zusammenarbeit mit Partnerschulen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die ISS mit eigenen Augen beobachten und sich so ihrer Existenz bewusst werden. erkennen, dass Informationen aus der hochtechnisierten Raumfahrt hinterfragt und mit einfachen Mitteln überprüft werden können. aus den Gesetzen der Trigonometrie Algorithmen zur Berechnung der Flughöhe erstellen und so Methoden der Mathematik anwendungsorientiert einsetzen. auf der Grundlage trigonometrischer Konstruktionen einfache Beobachtungsinstrumente selber bauen und gegebenenfalls ein Teleskop ausrichten (Fotografieren der Raumstation). lernen, eine Messreihe zu planen, im Team zu organisieren und sich mit anderen Partnern zu koordinieren. Thema Untersuchung der ISS-Flugbahn Autor Dr. Winfried Schmitz, Dr. André Diesel Fächer Physik, Mathematik, Astronomie-AG Zielgruppe ab Klasse 10 Zeitraum etwa 6 Stunden Vorbereitungszeit (Theorie der Trigonometrie, Bau eines Theodoliten), ein AG-Treffen für die Durchführung einer Testmessungen, etwa eine Stunde für jede Beobachtung der Messreihe; es müssen mehrere Messreihen (an aufeinander folgenden Tagen oder innerhalb mehrerer Tage) aufgenommen werden, um eine Veränderung der Flughöhe nachweisen zu können. Technische Voraussetzungen Computer mit Internetzugang für die Ermittlung der Sichtbarkeitsdaten der ISS, Kompass; Material aus dem Baumarkt für den Bau des Theodoliten (zum Beispiel Holz und Schrauben), Bohrmaschine, Säge und Akku-Schrauber; alternativ: Teleskop mit Möglichkeit zur astronomischen Fotografie oder Digitalkamera mit großer Brennweite und manueller Belichtungszeit, Kamerastativ. Dr. André Diesel ist Diplom-Biologe und Fachredakteur für Naturwissenschaften, Mathematik und Geographie bei Lehrer-Online. Die ISS ist nur bei einem wolkenfreien oder leicht bewölkten Himmel und nur bei der Abend- oder Morgendämmerung sichtbar, wenn sie von der Sonne angestrahlt wird. Als Beobachtungszeitfenster kommen also nur etwa zwei Stunden vor Sonnenaufgang und zwei Stunden nach Sonnenuntergang in Frage. Informationen zur Sichtbarkeit der ISS an Ihrem Standort können über die Website Heavens-Above ermitteln. Dazu müssen Sie sich zunächst registrieren. Sie können dann die Koordinaten Ihrer Position oder mehrerer Beobachtungsorte eingeben (manuell oder per Menüauswahl), für die Sie dann die Sichtbarkeitsdaten der ISS oder von Satelliten, zum Beispiel Envisat, für die jeweils nächsten zehn Tage anzeigen lassen können; bei aktuellen Space-Shuttle-Missionen kann auch dessen Sichtbarkeit am eigenen Ort abgefragt werden. Auch zu Planeten und Kometen, finden Sie hier Informationen. Die Sichtbarkeitsdaten der ISS werden als Himmelskarte und als Tabelle ausgegeben (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Der rote Pfeil markiert die Flugrichtung der Station. Zudem erhält man auch eine detaillierte Sternenkarte des am höchsten über dem Horizont liegenden Flugbahnabschnittes (nicht dargestellt). Als besonderen Service kann man auch eine "Ground Track"-Karte (Subsatellitenbahn) abrufen, die die Flugbahn der ISS über der Erdoberfläche zeigt (Abb. 2). Vom Auftauchen über dem Horizont bis zum Untergang am gegenüberliegenden Horizont beschreibt die Raumstation eine Flugbahn, bei welcher der Höhenwinkel stetig zunimmt, bis ein Maximalwert erreicht ist. Dieser Maximalwert hängt von der relativen Nähe des Beobachtungspunktes zur Subsatellitenbahn ab. Die Subsatellitenbahn ist die Spur der Satellitenbahn in senkrechter Projektion auf die Erde. Je näher der Beobachtungspunkt und die Subsatellitenbahn zusammen liegen, desto größer sind die maximalen Höhenwinkel, die beim Vorbeiflug gemessen werden können. Zieht die Spur des Satelliten direkt über den Beobachtungspunkt hinweg, dann liegt das Maximum des Höhenwinkels bei 90 Grad. Der Winkel zwischen der Bahnebene eines Satelliten und der Äquatorebene wird als Inklination bezeichnet. Der Wendepunkt einer Satellitenbahn liegt in derjenigen geographischen nördlichen und südlichen Breite, die dem Zahlenwert der Bahnneigung, also dem Winkel der Satellitenbahn beim Äquatordurchgang, entspricht. Da die Flugbahn der ISS eine Inklination von 51,57 Grad aufweist, liegt ihr nördlicher und südlicher Wendepunkt in den Breiten von jeweils 51,57 Grad. Darüber hinaus ist eine Sichtbarkeit in höheren Breiten weiterhin gegeben, allerdings nur unter maximalen Höhenwinkeln, die kleiner als 90 Grad sind. Zur Beobachtung und Vermessung der Flugbahnparameter müssen die Schülerinnen und Schüler einen Theodolit bauen. Eine Anleitung dazu finden Sie im Lehrerheft des DLR zum Triangulationsexperiment. Ist der Zeitpunkt für die Beobachtung der ISS festgelegt, beginnen die Messungen im Team an den beiden Partnerschulen. Sind die Daten von allen Teammitgliedern korrekt erfasst worden, können die Berechnungen beginnen. Gleiches gilt für die Flughöhenbestimmung mithilfe eines Fotoapparats. Folgende Aufgaben müssen bewältigt werden: Messinstrumente nach Anleitung selber (auf)bauen ISS beobachten Messwerte erfassen Werte mit der Partnerschule austauschen Berechnungen durchführen Ergebnisse auswerten und gemeinsam mit der Partnerschule publizieren Bei der Beobachtung der ISS muss der Theodolit in Richtung der Partnerschule weisen. Ein Kompass ist daher unerlässlich. Im Verlauf der Messungen wird derjenige Zeitpunkt festgehalten, zu dem der Mittelpunkt der Erde, die eigene Schule, die Partnerschule und die ISS in einer Ebene liegen. Die Flughöhe der Raumstation kann auch durch Fotografieren des Überflugs von zwei verschiedenen Standorten bestimmt werden. Eine Beschreibung dieser Methode ist dem Lehrerheft des DLR zu entnehmen. Bei der Durchführung der Messreihen wird innerhalb von acht Wochen die ISS jeweils in zwei aufeinander folgenden Wochen abends beziehungsweise morgens kurz nach beziehungsweise kurz vor Sonnenaufgang beobachtet. In diesen Zeitraum gibt es jeweils etwa acht Tage mit günstigen Beobachtungskonstellationen. Die Messungen sind witterungsabhängig. Der Zeitaufwand pro Messung (Aufbau, Justierung, Messung, Abbau, Auswertung) beträgt etwa eine Stunde. Durch die Aufnahme von Messreihen an aufeinander folgenden Tagen (oder innerhalb mehrerer Tage) können Veränderungen der Flughöhe nachgewiesen werden. Gegebenenfalls kann auch registriert werden, dass die Flugbahn der ISS nach einem Besuch des Space-Shuttles durch dessen Triebwerke wieder angehoben wurde.

Schülerinnen und Schüler fotografieren den vom Kernschatten der Erde halb verfinsterten Mond und bearbeiten das Foto am Rechner. Die geometrische Auswertung liefert Daten für die Berechnung der Mondentfernung.Die hier vorgestellte Methode ermöglicht eine Abstandsbestimmung mit geringem Aufwand. Im Gegensatz zur Bestimmung der Mondentfernung per Triangulation benötigt man bei der Abstandsbestimmung mithilfe einer Mondfinsternis keine Partnerschule. Die Vorteile der Mondfinsternis-Methode werden allerdings mit einer anspruchsvolleren Theorie bezahlt, die an verschiedenen Stellen zum leichteren Verständnis für die Schülerinnen und Schüler etwas vereinfacht werden muss, wodurch die Ungenauigkeit der Messung etwas erhöht wird. Voraussetzungen Um die für die Entfernungsbestimmung benötigten Zusammenhänge verstehen zu können, müssen die Schülerinnen und Schüler die Geometrie der Mittelstufe beherrschen und Kenntnisse über die trigonometrischen Funktionen und das Lösen mathematischer Gleichungssysteme verinnerlicht haben. Einstieg und Motivation Der Mond ist ständiger Begleiter des Menschen. Schon kleine Kinder wenden ihren Blick häufig fasziniert dem Erdtrabanten zu, aber auch viele Jugendliche und Erwachsene können sich dem Bann des Mondes kaum entziehen. Vielfältig und über verschiedene Medien wird über den Mond und seine Eigenschaften informiert. Nur selten wird jedoch darüber berichtet, wie man zu diesen Informationen gelangt. Dies gilt auch für den Abstand des Mondes von der Erde. Allein die Frage "Wie misst man eigentlich mehrere hunderttausend Kilometer lange Strecken?" weckt bei vielen Schülerinnen und Schülern bereits das Interesse. Dies kann noch gesteigert werden, wenn es darum geht, die Entfernung des Mondes mit eigenen Mitteln zu bestimmen. Fotografieren, bearbeiten, auswerten Das mathematische Rüstzeug wird in fünf Etappen erarbeitet und angewendet. Bearbeitung und Auswertung einer Mondfotografie werden hier durch ein Beispiel veranschaulicht. Methodische und fachliche Hinweise Wodurch zeichnen sich die Mondfinsternis- und die Triangulationsmethode zur Entfernungsbestimmung aus? Wie messen Forscher die Entfernung zum Mond? Die Schülerinnen und Schüler sollen Kenntnisse über Planeten und Monde im Sonnensystem, deren Größenverhältnisse und deren Bewegungen erwerben oder auffrischen. Kenntnisse über Mond- und Sonnenfinsternisse und deren Entstehung erwerben oder auffrischen. mit trigonometrischen Funktionen und Gleichungen arbeiten können. den Umgang mit Bildbearbeitungssoftware kennen lernen und üben. ihre Fähigkeiten in der Handhabung einfacher Messinstrumente schulen. ihr räumliches Vorstellungsvermögen schulen. Thema Bestimmung der Mondentfernung mithilfe einer Mondfinsternis Autor Alexander Staidl Fächer Astronomie, Physik, Naturwissenschaften Zielgruppe ab Jahrgangsstufe 11 (bei guten Lerngruppen auch ab Klasse 10) Zeitraum Beobachtungszeit etwa 30-40 Minuten (es muss ein Foto geschossen werden); Theorie und Auswertung nehmen etwa 2-4 Stunden in Anspruch (je nach Lerngruppe und Unterrichtsmethodik) Technische Voraussetzungen Digitalkamera mit mindestens achtfachem Zoom oder ein kleines Teleskop, an das die Kamera angeschlossen werden kann; Stativ, Bildbearbeitungssoftware (zum Beispiel GIMP ) Überblick Da die Bestimmung des Mondabstandes mithilfe einer Mondfinsternis auf komplexen geometrischen und mathematischen Zusammenhängen basiert, werden die Lernenden schrittweise an das Thema herangeführt. Die folgende Gliederung hat sich dabei bewährt: 1. Mondfinsternisse Allgemeine Informationen: Wie kommen Mondfinsternisse zustande? 2. Der Winkelradius der Sonne Was ist ein Winkelradius? Wie kann man ihn messen? Welche Aussagen lassen sich daraus über den Kernschatten der Erde gewinnen? 3. Der Winkelradius des Mondes Wie kann man den Winkelradius des Mondes messen? Weshalb funktionieren die Methoden zur Messung des Winkelradius der Sonne (Schritt 2) hier nicht? 4. Winkelradius des Kern-Erdschattens in Mondentfernung Was versteht man darunter? Wie kann man ihn mithilfe einer Mondfinsternis bestimmen? 5. Berechnung des Mondabstandes Die bisherigen Erkenntnisse werden zusammengeführt und die Mondentfernung mithilfe der bei einer Finsternis aufgenommenen Fotos berechnet. Der Winkelradius des Erdschattens in Mondentfernung Für die Bestimmung des Winkelradius (Schritt 4) ist die Auswertung eines Fotos von einer Mondfinsternis entscheidend. Der Kernschatten, der während der Finsternis auf dem Mond zu sehen ist, lässt sich mit dem Winkeldurchmesser des Mondes vergleichen. Der halb verfinsterte Mond wird fotografiert Der gesamte Mond wird, während er etwa halb vom Kernschatten der Erde bedeckt ist, mit einer Vergrößerung beziehungsweise Auflösung fotografiert, die hoch genug ist, um Details der Finsternis erkennen zu können. Die Digitalkamera sollte über einen mindestens achtfachen optischen Zoom verfügen. Alternativ kann die Kamera auch an ein kleines Teleskop angeschlossen werden. Beim Fotografieren sollte auf jeden Fall ein Stativ verwendet werden. Abb. 1 (linke Teilabbildung) zeigt ein entsprechendes Ergebnis. Man sieht deutlich, dass sich der Kernschatten nicht scharf von dem Bereich des Halbschattens abgrenzt, sondern dass beide weich ineinander übergehen. Wenn man schon mal dabei ist … Bei der Gelegenheit bietet es sich natürlich auch an, den gesamten Verlauf der Mondfinsternis fotografisch zu dokumentieren, im Idealfall vom Beginn bis zu Ende der Verfinsterung. Auch, wenn dies zum Zwecke der Entfernungsbestimmung nicht erforderlich ist (dafür reicht ein einziges Foto aus), kann man mit dem ohnehin verwendeten Bildbearbeitungsprogramm den Verlauf des Ereignisses in einer kleinen Kollage sehr schön darstellen. Kontrastierung der Schattengrenze am Rechner Um den Winkelradius des Kernschattens möglichst exakt bestimmen zu können, muss die Grenze zwischen Kern- und Halbschattenbereich durch eine Verstärkung des Kontrastes hervorgehoben werden. Die ist mit den gängigen Bildbearbeitungsprogrammen einfach durchzuführen. In dem hier vorgestellten Beispiel wurde die kostenfreie Open Source Software GIMP verwendet. GIMP-Homepage Informationen zur kostenfreien Bildbearbeitungssoftware und Downloadmöglichkeit Bildbearbeitung mit GIMP Öffnet man mit dem Programm die Mondfoto-Datei, lässt sich die Grenze des Kernschattens durch den Schwellwerte-Regler im Farben-Menü hervorheben (Abb.1, Mitte). Unter der Voraussetzung, dass der scharfe Rand des Mondes nicht mit weißen Pixeln durchsetzt sein darf, stellt man den Regler so niedrig wie möglich ein. Je nach Geschmack kann man über das Farben-Menü und die Funktion "Invertieren" den Mond schwarz und den Hintergrund weiß darstellen (Abb.1, rechts). In dem Ergebnis kann man nun gut erkennen, dass der Kernschatten, den die kugelförmige Erde auf den Mond wirft, auf der Mondoberfläche tatsächlich kreisförmig abgebildet wird. Die Kreisbogenform der Schattengrenze ist durch die nachträgliche Bearbeitung deutlich besser auszuwerten. Projektion oder Ausdruck des bearbeiteten Mondbildes Das bearbeitete Bild kann nun vergrößert ausgedruckt oder auf eine Tafel projiziert werden. Ziel ist es, den auf der Tafel abgebildeten "Radius" des Mondes mit dem zu ermittelnden abgebildeten "Radius" des Kernschattens in Relation zu setzen - entweder auf Ausdrucken oder mithilfe des an die Tafel projizierten Bildes. Hieraus ergibt sich dann die Relation des Winkelradius des Mondes und des Kernschattens in Mondabstand, die sich im gleichen Verhältnis wie die Radien der Projektion teilen müssen. Geometrische Auswertung Abb. 2 veranschaulicht, wie man den Radius des Kernschattens bestimmt (A = Projektion des Kernschattenradius, E = Projektion des Mondradius). Die Konstruktion kann auch mit einem Vektorgrafikprogramm (zum Beispiel OpenOffice-Anwendung Draw) erzeugt werden. Zunächst wählt man drei Punkte, die auf dem Kreisbogen liegen (grün), und verbindet diese zu zwei Sekanten (rot). Anschließend werden die Mittelsenkrechten (blau) der Sekanten gebildet, die sich im Mittelpunkt des Kreises treffen. Damit ergibt sich der Radius A des abgebildeten Kernschattens durch den Abstand zwischen den grünen Punkten auf dem Kreisbogen und dem Schnittpunkt der blauen Mittelsenkrechten. Der Radius E des abgebildeten Mondes lässt sich über dessen leicht bestimmbaren Durchmesser berechnen. Aus Schritt 3 (siehe oben) ist der Winkelradius des Mondes epsilon bekannt. Gesucht ist der Winkelradius alpha des Kernschattens der Erde (in Mondentfernung). Wenn wir das Verhältnis alpha/epsilon kennen würden, könnten wir alpha direkt berechnen. Das Verhältnis alpha/epsilon ist nämlich genau so groß, wie das Verhältnis der Radien A/E auf dem Ausdruck (Abb. 2). Für die Bestimmung der Mondentfernung wird in schulischen Projekten meist die Methode der Triangulation benutzt (siehe Unterrichtseinheit Bestimmung der Mondentfernung durch Triangulation ). Dieses Verfahren erlaubt eine relativ exakte Bestimmung des Abstandes. Die Methode lässt sich in jeder Nacht durchführen, in der der Mond in Verbindung mit zwei hellen, weiter entfernten Objekten zu sehen ist (Planeten, helle Sterne), ist jedoch organisatorisch recht aufwändig: Partnerschulen müssen gefunden und die Messungen sehr exakt und gut koordiniert durchgeführt werden. Bei der Bestimmung der Mondentfernung mithilfe einer Mondfinsternis ist man dagegen von Partnerschulen unabhängig. Man benötigt jedoch zur rechten Stunde gute Sicht! Zwar sind für die Triangulations-Methode geeignete Konstellationen "haltbarer", jedoch ist der Anlass einer Mondfinsternis für Schülerinnen und Schüler sicher motivierender und spektakulärer als eine Konstellation "Mond und zwei Sterne". Die Wahl der Methode ist natürlich auch vom "Terminplan" der Himmelskörper abhängig. Je nach Jahreszeit ist es in Deutschland nicht unwahrscheinlich, dass das Wetter einen Strich durch die Planung macht. Tritt dieser Fall ein, kann dann auf die nächste Mondfinsternis warten, eine in naher Zukunft gelegene Konstellationen ausgucken, die für die Triangulationsmethode geeignet ist, oder auf Mondfinsternisfotos "aus der Konserve" zurückgreifen, die natürlich ohne eigene Beobachtung ausgewertet werden können. Dabei können auch verschiedene Fotos von verschiedenen Kleingruppen oder in Partnerarbeit ausgewertet werden. Wie sieht der Mittelwert der Ergebnisse aus und welche Gruppe war am nächsten am "offiziellen" Wert dran? Wie weit ist es nun zum Mond? Die Bahn des Mondes um die Erde ist nicht perfekt kreisförmig und die Entfernung daher nicht konstant. Vom Mittelwert (384.400 Kilometer) weicht die größte (405.500 Kilometer) und die kleinste Entfernung (etwa 363.200 Kilometer) um etwa 5,5 Prozent ab. Visualisierung Der Mond liegt zwar - in astronomischen Maßstäben - vor unserer Haustür. Dennoch ist die in Zahlen gefasste Entfernung nicht mehr anschaulich. Hilfreicher sind für die Veranschaulichung sind grafische Darstellungen, wie zum Beispiel die folgenden, die uns der Amateur-Astronom Thomas Borowski freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat: Wie und warum messen Forscher heute die Mondentfernung? Astronauten des Apollo-Programms hinterließen auf der Mondoberfläche einen Reflektor. Von der Erde aus werden kurze und intensive Laserblitze auf den Reflektor abgeschossen. Die Zeit zwischen dem "Schuss" und dem Eintreffen der Reflexion wird mit einer Atomuhr exakt gemessen. Mit dieser zentimetergenauen Methode konnte man feststellen, dass sich der Mond pro Jahr etwa um 3,8 Zentimeter von der Erde entfernt. Wegen den Gezeitenkräften findet ein fortlaufender Rotationsenergie- und Drehimpulstransfer von der rotierenden Erde zum Mond statt. Dieser Transfer bewirkt nicht nur die Abstandsvergrößerung des Mondes, sondern im gleichen Maße eine Verlangsamung der Erdrotation - die Tage dauern also immer länger! Aus kleinen Laufzeitänderungen, die von verschiedenen Messstationen auf der Erde registriert werden, sind Aussagen über die Kontinentaldrift möglich.

Diese Material-Sammlung bündelt Lehrvideos für den Mathematik-Unterricht. Dabei werden Aufgaben veranschaulicht wie zum Beispiel die Bestimmung einer Dreiecksfläche oder die Winkelberechnung eines Torschusses.