Unterrichtsmaterialien zum Thema "Trigonometrie"

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Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Fourier-Analyse (nach J.B.J. Fourier, 1768-1830) auf experimentelle Art und Weise kennen. Mit der Methode können komplexe Schwingungen, wie sie in der Musik und in der Physik vorkommen, in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden.Nach der Einführung in das Thema der trigonometrischen Funktionen und insbesondere der Sinusfunktion arbeiten die Schülerinnen und Schüler weitgehend selbstständig am Computer. Mit dynamischen Arbeitsblättern, die mithilfe der kostenlosen Software GeoGebra erstellt wurden, finden sie heraus, wie sich die Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel auf eine Sinusschwingung auswirken. Anschließend werden diese Erfahrungen dazu genutzt, Sinusschwingungen gezielt zu beeinflussen, um eine experimentelle Art der Fourier-Analyse durchzuführen. Die dynamischen Arbeitsblätter enthalten auch Erklärungen und Informationen aus der Physik und der Musik, wodurch sie sich für den fächerübergreifenden Unterricht eignen. Da in der Musik Hörerfahrungen nicht fehlen dürfen, stellen neun Hörbeispiele eine direkte Verbindung zur Musik her. Die Hörbeispiele stehen in unmittelbarem Bezug zu den Aufgabenstellungen und vermitteln einen direkten Zusammenhang zwischen den dynamischen Konstruktionen und den musikalischen Entsprechungen. So üben die Schülerinnen und Schüler nicht nur den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, sondern lernen auch deren Bedeutung für die Physik und die Musik kennen. Tipps zum Unterrichtsverlauf Anregungen für den fächerübergreifenden Unterricht und zum selbstständigen, erforschenden Lernen sowie Hinweise zur Bedeutung des "klassischen" Heftes Hintergrundinfos für Lehrkräfte und Experimentiervorschläge Allgemeine Informationen zur Herleitung einer Sinusschwingung und zu Schwebungen sowie Vorschläge zu musikalischen Experimenten mit dem Klavier und der Blocklöte Die Schülerinnen und Schüler festigen den Umgang mit der Sinusfunktion, ihrer Gleichung und ihren Parametern. beeinflussen mithilfe der Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel eine Sinusfunktion gezielt. erkennen die Sinusschwingung als ein Bindeglied der Fächer Mathematik, Physik und Musik. lernen durch die Hörbeispiele eine direkte Verbindung zwischen den Unterrichtsfächern Musikerziehung und Mathematik kennen. kennen die mathematischen Entsprechungen der Begriffe "Tonhöhe" und "Lautstärke". kennen den Aufbau eines Tons durch Überlagerung seiner Partialtöne. lernen das Phänomen der Schwebung kennen. sind mit dem Prinzip der Fourier-Analyse vertraut und kennen Anwendungsgebiete. Mit der Fourier-Analyse können komplexe Schwingungen in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden. Jede dieser Teilschwingungen besitzt dabei die Form einer Sinusschwingung und lässt sich als Graph einer Sinusfunktion der Form mit den Parametern Amplitude a , Frequenz f und Nullphasenwinkel phi sub~0~~ darstellen. Um eine komplexe periodische Schwingung in ihre Einzelkomponenten zu zerlegen, wendet man das Verfahren der Harmonischen Analyse an. Nach ihrem Entdecker, dem französische Physiker und Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) wird diese Methode auch Fourier-Analyse genannt. Fourier zeigte, dass sich jede beliebige periodische Schwingung eindeutig als Summe von endlich oder unendlich vielen Sinusschwingungen darstellen lässt, deren Frequenzen in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen. Die mathematische Durchführung einer Fourier-Analyse ist relativ anspruchsvoll. Man benötigt dafür Kenntnisse über den Umgang mit trigonometrischen Funktionen, Summen und Integralen, sowie mit komplexen Zahlen. Daher eignet sie sich nicht direkt für den Unterricht. Um den Schülerinnen und Schülern aber das Prinzip einer Fourier-Analyse näher zu bringen, genügt es, diese auf experimentelle Weise durchzuführen. Dies wird durch die hier verwendeten dynamischen Arbeitsmaterialien ermöglicht. Musik Anwendungen der Fourier-Analyse findet man sowohl in der Musik, als auch in der Physik und dem alltäglichen Umgang mit Radio, CD-Player und Fernseher. In der Musik nutzt man diese Methode zum Beispiel zur Analyse von Klängen. Dabei nimmt man die Klänge mit einem Mikrophon auf und setzt den Schwingungsverlauf mithilfe eines Analog-Digital-Wandlers in mathematisch erfassbare Zahlenwerte um. Derartige digitalisierte Schwingungsverläufe können dann zum Beispiel auf eine CD gebrannt werden, wobei sie beim Abspielen als Überlagerung von Sinusschwingungen verschiedener Frequenzen reproduziert werden. Physik In der Physik wird die Fourier-Analyse unter anderem eingesetzt, um zeitabhängige Vorgänge in harmonische Schwingungen zu zerlegen. Zum Beispiel nützt man dies um die Eigenfrequenzen eines Messgerätes zu berechnen. Denn um eine Verzerrung des Messvorgangs durch die Resonanzen der Eigenfrequenzen zu umgehen, darf das Messgerät keine Eigenfrequenzen innerhalb des Messbereichs aufweisen. Auch bei Radio und Fernsehen kommt die Fourier-Analyse zum Einsatz. Hier müssen die Signale erst digitalisiert und in ihre Einzelkomponenten zerlegt werden, bevor sie mit einer Trägerwelle gesendet werden können. Treten bei der anschließenden Überlagerung der Einzelfrequenzen Störungen auf, so sind sie zum Beispiel im Fernsehen als Bildstörungen wahrnehmbar. Dies tritt unter anderem auf, wenn Moderatoren Kleidungsstücke mit sehr feinen Streifen tragen und kann als flimmernde Bildstörung wahrgenommen werden. Der Verlaufsplan Schwingungen stellt eine Anregung dar und kann natürlich an die jeweiligen Unterrichtsbedingungen angepasst werden. Im Idealfall stehen Ihnen die für jeden Block vorgeschlagenen Unterrichtsstunden hintereinander zur Verfügung. Dies lässt sich eventuell durch das Tauschen von Unterrichtsstunden mit den Kolleginnen und Kollegen erreichen. Ist dies nicht der Fall, können die Blöcke auch in aufeinander folgenden Mathematikstunden behandelt werden. Die Arbeitsblätter können auch im Rahmen von Hausübungen zu Ende bearbeitet werden, damit alle Schülerinnen und Schüler beim nächsten Unterrichtsblock auf dem gleichen Wissensstand sind. Falls nicht alle über einen heimischen Internetanschluss verfügen, lassen sich die Hausübungen auch in Partner- oder Kleingruppenarbeit erledigen. Beim Abspielen der Hörbeispiele ist die Verwendung von Kopfhörern zu empfehlen, da sich die Lernenden sonst gegenseitig stören würden. Dynamische Arbeitsblätter "Schwingungen in Musik und Mathematik" Um mit den interaktiven Applets arbeiten zu können, benötigen Sie Java (Version 1.4.2 oder höher). Die Unterrichtsmaterialien eignen sich für den fächerübergreifenden Unterricht zwischen den Fächern Mathematik, Musikerziehung und Physik. Sie können in Zusammenarbeit mit den entsprechenden Fachlehrkräften zu einem Projekt ausgebaut oder ergänzt werden. So könnte Ihnen zum Beispiel die Musiklehrerin oder der Musiklehrer bei der Durchführung der beiden angeführten musikalischen Experimente in Block 2 (siehe Verlaufsplan Schwingungen und Hintergrundinfos für Lehrkräfte und Experimentiervorschläge ) behilflich sein, während die Physiklehrkraft Experimente zur Veranschaulichung von mechanischen Schwingungen durchführen könnte (Fadenpendel, Stimmgabeln, gekoppelte Pendel, ... ). Selbstständiges und erforschendes Lernen Durch die Kombination der dynamischen Arbeitsblätter mit den Hörbeispielen erleben die Schülerinnen und Schüler eine direkte Verbindung zwischen den Fächern Mathematik und Musik. So werden Informationen aus ganz verschiedenen Fachbereichen gesammelt und miteinander verknüpft. In dieser Unterrichtseinheit geschieht dies vor allem durch selbstständiges und erforschendes Lernen. Durch das Experimentieren mit den Materialien können im individuellen Lerntempo Erfahrungen gesammelt werden, welche in den Plenumsphasen mit den Mitschülern diskutiert und bestätigt werden können. Ergebnissicherung: Das Heft ist unentbehrlich! Zur Ergebnissicherung dient das Heft. Das schriftliche Festhalten der Beobachtungen und Erkenntnisse ermöglicht eine bessere Strukturierung der Ergebnisse und ein späteres Nachvollziehen des Unterrichtsgeschehens. Außerdem kann man als Lehrkraft so die Arbeitsfortschritte einzelner Schülerinnen und Schüler einsehen und gegebenenfalls unterstützend eingreifen. So wird gewährleistet, dass möglichst alle die Lernziele erreichen und vom Unterricht profitieren. Die grafische Darstellung einer harmonischen Schwingung lässt sich von der gleichförmigen Kreisbewegung ableiten, indem man diese auf eine normal zur Rotationsachse liegende Ebene projiziert, in der ein rechtwinkliges Koordinatensystem liegt. Bewegt sich ein Punkt P auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius r , so lässt sich jedem Phasenwinkel phi im Intervall von 0 bis 2 pi der Wert der zugehörigen Auslenkung y zuordnen. Diese Werte werden entlang der Ordinaten-Achse eines Koordinatensystems aufgetragen, wodurch eine Sinuskurve entsteht. Für dieses Experiment benötigen Sie ein Klavier (Flügel oder Pianino). Es soll den Schülerinnen und Schülern verdeutlichen, dass jeder "natürliche" Ton durch die Überlagerung von Teiltönen (Partialtönen) entsteht. Drücken Sie (oder eine Schülerin oder ein Schüler) stumm die Taste des Tones C (in der großen Oktave). Betätigen Sie kurz und kräftig die Taste C 1 (in der Kontra-Oktave) und halten Sie die erste Taste währenddessen gedrückt. Lassen Sie die Klasse aufmerksam zuhören, was nach dem Auslassen der zweiten Taste passiert: Die Saite der Taste C wurde durch die tiefere Saite der Taste C 1 in Schwingung versetzt - der Ton C ist leise wahrnehmbar. Wiederholen Sie diesen Vorgang auch mit dem Stumm-drücken der Tasten c, g (beide in der kleine Oktave), c 1 , e 1 und g 1 (alle in der ersten Oktave). Dabei sind die entsprechenden Töne immer leiser und ihre Wahrnehmung wird somit schwieriger. Möglicherweise sind die letzten beiden Töne auch gar nicht mehr wahrnehmbar. Erklären Sie Ihren Schülerinnen und Schülern, dass jeder Ton des Klaviers durch Überlagerung seiner Partialtöne entsteht. Dies bedeutet für den Ton C 1 , dass er sich aus folgenden Tönen zusammensetzt: C 1 , C, G, c, e, g, b, c 1 , d 1 , e 1 , ... , wobei hier nur die ersten zehn Partialtöne aufgezählt sind. Theoretisch besteht ein natürlicher Ton aus unendlich vielen Partialtönen, wobei nur eine bestimmte Anzahl wahrnehmbar ist. Das Phänomen einer Schwebung tritt bei der Überlagerung zweier Sinusschwingungen gleicher Schwingungsrichtung mit ganzzahligen Frequenzen f sub~1~~ beziehungsweise f sub~2~~ und gleichem Nullphasenwinkel phi sub~0~~ auf. Der Einfachheit halber wählen wir dabei für den Nullphasenwinkel den Wert Null. Die Frequenzen dürfen dabei jedoch keine ganzzahligen Vielfachen voneinander sein. Ändert sich die Amplitude einer Schwingung periodisch, so nennt man dieses Phänomen in der Akustik eine Schwebung und ihre Frequenz Schwebungsfrequenz f sub~S~~. Liegt die Schwebungsfrequenz im Bereich zwischen 1 Hz und 8 Hz, so werden die einzelnen Schwebungen deutlich als Lautstärkeschwankungen wahrgenommen, was Musiker zum exakten Stimmen ihrer Instrumente nutzen. Stimmen die Amplituden A sub~1~~ und A sub~2~~ der beiden Sinusschwingungen überein, so spricht man von einer "vollkommenen Schwebung". Das heißt, die beiden Schwingungen löschen einander immer wieder aus und die Amplitude A sub~r~~ der resultierenden Schwingung schwankt zwischen den Werten 0 und A sub~1~~ + A sub~2~~. Besitzen die Amplituden der beiden Einzelschwingungen verschiedene Werte, so spricht man von einer "unvollkommenen Schwebung". Die Amplitude A sub~r~~ der resultierenden Schwingung schwankt dabei zwischen den Werten / A sub~1~~ - A sub~2~~ / und A sub~1~~ + A sub~2~~. Ein Klavierstimmer nützt die vielen Obertöne eines Klavierklanges um die Intervalle "rein" zu stimmen. Da die erste Oberschwingung eine doppelt so hohe Frequenz wie ihre Grundschwingung hat, klingt der erste Oberton genau eine Oktave höher als der Grundton. Bei einem einzeln erklingenden Ton nimmt das menschliche Ohr die auftretenden Partialtöne nicht getrennt, sondern als Klanggemisch wahr. Spielt der Klavierstimmer diesen Ton jedoch gleichzeitig mit dem etwas verstimmten Ton im Intervallabstand einer Oktave, so bilden sich Schwebungen zwischen der ersten Oberschwingung des tieferen und der Grundschwingung des höheren Tons. Durch die Veränderung der Saitenspannung lässt sich die Frequenz des höheren nun exakt an die des tieferen Tons anpassen, die Schwebung verschwindet und die Oktave klingt "rein". Für dieses Experiment benötigen Sie zwei Sopranblockflöten: Lassen Sie zwei Ihrer Schülerinnen oder Schüler kräftig denselben Ton auf den beiden Blockflöten spielen, zum Beispiel den Ton d 1 , bei dem auf der Vorderseite der Flöten lediglich das zweite Griffloch von oben verschlossen werden muss. Im Normalfall klingen die beiden Töne nun nicht "rein", da sie durch leicht unterschiedliche Frequenzen erzeugt werden. Ihre Schülerinnen und Schüler sollen nun versuchen, durch Veränderung des Anblasedrucks die Töne anzugleichen. Dabei hält ein Lernender den Luftstrom konstant (mittlere Lautstärke) während der andere seinen Anblasedruck variiert. Sobald die beiden Frequenzen übereinstimmen, klingt der Ton "rein", was deutlich hörbar ist. Das Angleichen der beiden Töne erfordert einige Sensibilität von den Schülerinnen und Schülern. Möglicherweise gibt es aber jemanden, der das Instrument gut beherrscht. Dies würde das "Reinstimmen" der beiden Blockflöten erheblich erleichtern.

  • Astronomie  / Mathematik  / Physik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Zahnräder im Mathematikunterricht

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Zahnräder wird vorgestellt, wie das Computeralgebrasystem MuPAD zur Visualisierung von Modellen von Zahnrädern und einfachen Zahnradgetrieben genutzt werden kann. Ebene Drehungen werden dabei mithilfe der trigonometrischen Funktionen definiert.Im Kern des Mathematikunterrichts werden Anwendungen oft lediglich "erwähnt", um nachzuweisen, dass ein mathematisches Thema oder ein mathematisches Verfahren mit einer außermathematischen Bedeutung verbunden ist. Ein vertieftes Eingehen auf eine Anwendung führt dagegen zu Problemstellungen, die durch Anwendung mathematischer Kenntnisse aus anderen Teilgebieten der Mathematik oder durch erst zu erschließende neue Verfahren zu lösen sind. Das Zahnrad ist ein technisches Objekt, das in der Technikgeschichte relativ früh aufgetreten ist, mit Methoden der Mathematik weiterentwickelt wurde und nach wie vor im technisierten Alltag unverzichtbar ist. Um Modelle von Zahnrädern und einfachen Zahnradgetrieben zu entwickeln, wird das CAS MuPAD mit seinen hervorragenden Möglichkeiten der Visualisierung eingesetzt. Dabei wird transparent, welche Rolle die Mathematik bei der Konstruktion technischer Objekte und die Visualisierung bei der Analyse ihrer Funktion spielen kann.Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Listen, Sequenzgenerator). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen: Volk und Wissen, ISBN-13: 978-3-06-000089-0). Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz MuPAD-Notebook 1 zum Thema Zahnrad kann im Klassenunterricht genutzt werden. Die Notebooks 2 und 3 sollten Projektarbeiten besonders interessierter Schülerinnen und Schüler initiieren, die bereit sind, sich auf weiterführende Themen einzulassen. Die Schülerinnen und Schüler können Kenntnisse über Kreis und Drehung auf die Konstruktion von Zahnrädern anwenden. erkennen, dass ein "naiv" konstruiertes Zahnrad technische Mängel aufweist, die durch Anwendung weiterführender mathematischer Verfahren behoben werden können. Zirkel und Lineal sind als Werkzeuge mitunter wenig hilfreich Im propädeutischen Geometrieunterricht werden Kenntnisse über die Drehung bereits früh vermittelt. Abgesehen von dem Aufsuchen drehsymmetrischer Figuren in der Umwelt von Kindern und Jugendlichen ist der Unterricht hier jedoch kaum anwendungsbezogen. Die Ausführung von Drehabbildungen mit Zirkel und Lineal wird von Schülerinnen und Schülern in der Regel als umständlich und schwierig erlebt, viele verlieren bei der Konstruktion etwas aufwändigerer drehsymmetrischer Figuren schnell den Überblick. Computergestützte Konstruktion drehsymmetrischer Figuren Ab Klasse 10 stehen mit den trigonometrischen Grundfunktionen Möglichkeiten zur Beschreibung parametrisierter Kurven zur Verfügung und können computergestützt drehsymmetrische Figuren mit relativ geringem Aufwand konstruiert werden. Da die Thematik einerseits nicht im Kernbereich der Lehrpläne vorgesehen ist, andererseits der Einsatz eines CAS und die kontinuierliche Verfügbarkeit von Computern für eine Unterrichtsreihe auch nicht gerade Alltag sind, bezieht sich der Unterrichtsvorschlag auf einen Einsatz als Projektarbeit oder Referat. Unter den beigegebenen Materialien befinden sich drei MuPAD-Notebooks (MN-Dateien) als Arbeitsblätter und drei weitere um Beispiellösungen erweiterte Notebooks (L.MN-Dateien). Damit auch bei fehlender Verfügbarkeit von MuPAD ein Einblick in den Unterrichtsvorschlag möglich ist, werden die drei Arbeitsblätter mit Lösung auch als PDF-Datei angeboten (zahnraeder_aufgaben_loesungen.pdf). Da diese keinen Zugriff auf die mit MuPAD produzierten Animationen ermöglicht, werden diese als AVI-Dateien zum Download bereitgestellt (siehe unten). Für das Abspielen der Filme benötigen Sie einen geeigneten Player (zum Beispiel Windows Media Player). Den drei erwähnten MuPAD-Arbeitsblättern entsprechen drei Anspruchsstufen. Notebook 1 fordert - ausgehend von der Formulierung einer Drehabbildungsvorschrift für einen Punkt der Ebene - die Zeichnung eines Zahnrads mit trapezförmigem Zahnprofil nach Eingabe der Zahnzahl. Die Formulierung der Abbildungsvorschrift für die Drehung wird vorgegeben - die mathematische Herleitung verlangt den Rückgriff auf das Sinus-Additionstheorem. Notebook 1 könnte auch als im Klassenunterricht gemeinsam erarbeitete Aufgabenstellung genutzt werden, die einmündet in Einzel- oder Partnerarbeit mit der Zielsetzung Firmenlogos (zum Beispiel den Mercedesstern), Radfelgen verschiedener PKW-Modelle oder Geräte (zum Beispiel Sägeblätter, Steuerräder), also rotationssymmetrische Figuren, zu modellieren. Das zweite Notebook erweitert die Aufgabenstellung: Zwei Zahnräder sind zu einem Getriebe anzuordnen und ihr "Lauf" zu animieren. Dazu müssen "praktische" und ohne Einsatz anspruchsvoller Mathematik lösbare Probleme bearbeitet werden: Auf welchen Abstand müssen die Mittelpunkte der Zahnräder gesetzt werden? Mit welchem Winkel muss das zweite Zahnrad gegenüber dem ersten "verdreht" werden, damit die Zähne des zweiten in Zahnlücken des ersten Rades eingreifen? Welche Winkelgeschwindigkeiten müssen vorgegeben werden, damit sich die Zahnräder entsprechend ihrer Zahnzahl "Zahn um Zahn" drehen? Das dritte Notebook fordert zum "genauen Hinschauen" auf und zur technischen Bewertung der Ausstattung der Zahnräder mit trapezförmigem Zahnprofil. Den Film "verzahnung_trapez.avi" lasse man auf einem geeigneten Media-Player in Einzelbildern (Windows Media Player: Taste/Icon "nächstes Bild") ablaufen, um das Ineinandergreifen der Zähne im Detail zu beobachten. Die geeignete Zahnflanke im Sinne eines Ineinandergreifens der Zähne mit kontinuierlicher Last und des Aufeinanderabrollens der Zahnflanken wurde von Leonhard Euler 1765 mit der Evolvente gefunden (Film "evolvente.avi").

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Parameter in der Sinusfunktion mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Dynamische Mathematiksoftware ermöglicht im Bereich des Arbeitens mit Funktionen neuartige Zugänge und Verständnismöglichkeiten. Ein integriertes Computeralgebrasystem erlaubt es, Funktionsgraphen in geometrische Konstruktionen zu integrieren. Graphen werden so am Bildschirm "beweglich", sie können durch die Variation von Parametern kontinuierlich deformiert oder verschoben werden.Die hier vorgestellte Lernumgebung bietet die Grundlage für eine Unterrichtssequenz, in der die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d experimentell entdecken können. Insbesondere wird die Beziehung zwischen den Parameterwerten im Funktionsterm und dem Verlauf des zugehörigen Graphen sichtbar und damit erschließbar. Die Schülerinnen und Schüler können dabei weitgehend eigenverantwortlich, selbstständig und kooperativ arbeiten. Die dynamischen Arbeitsblätter und ihre Einsatzmöglichkeiten im Unterricht zeigen somit auf, wie Ziele von SINUS-Transfer mithilfe neuer Medien verfolgt und umgesetzt werden können (Modul 1: Weiterentwicklung der Aufgabenkultur; Modul 8: Aufgaben für kooperatives Arbeiten; Modul 9: Verantwortung für das eigene Lernen stärken). Die Grundlage dafür bildet das kostenlose Programm GEONExT. Es kann von der Grundschule bis zur Analysis der gymnasialen Oberstufe vielfältig und flexibel genutzt werden, als eigenständige Anwendung oder im Rahmen dynamischer Arbeitsblätter auf HTML-Basis. GEONExT wurde und wird an der Universität Bayreuth entwickelt. Die Entwicklung allgemeiner Einsichten Welche Bedeutung haben die Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion f(x) = a sin(b(x+c)) + d ? Wie wirken sich Veränderungen der Parameterwerte auf den Verlauf des Funktionsgraphen aus? In der Regel verläuft die Untersuchung derartiger Fragen so, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst für einige Parameterwerte Funktionsgraphen zeichnen. Derartige Bilder finden sich in allen gängigen Schulbüchern im entsprechenden Kapitel. In einem entscheidenden nachfolgenden Schritt kommt es allerdings darauf an, dass sich die Schülerinnen und Schüler allmählich von den konkreten Parameterwerten und konkreten Funktionsgraphen lösen und allgemeine Einsichten entwickeln wie etwa: " Wird im Funktionsterm f(x) = sin(bx) der Betrag von b größer, so wird die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht. Wird der Betrag von b kleiner, wird die Sinuskurve in x-Richtung auseinander gezogen." Dieser gedankliche Abstraktionsschritt von konkreten Zahlenwerten hin zu allgemeinen Parametern ist nicht zu unterschätzen. Dynamische Mathematiksoftware macht Prozesse sichtbar Die Schülerinnen und Schüler müssen anhand von Erfahrungen an einzelnen Graphen Vorstellungen über Veränderungsprozesse entwickeln, nämlich: Wie verändert sich der Funktionsgraph, wenn man den im Funktionsterm enthaltenen Parameter kontinuierlich variiert? An der Tafel oder auf Papier können bei der Beschäftigung mit derartigen Fragen immer nur einige wenige Graphen gezeichnet werden. Eine kontinuierliche Deformation und Verschiebung der Graphen bei Parametervariation ist mit traditionellen Unterrichtsmitteln allenfalls in der Vorstellung realisierbar. Die statischen Bilder an der Tafel und im Schülerheft gleichen dabei Momentaufnahmen eines dynamischen Prozesses. Dynamische Mathematiksoftware macht diese Prozesse sichtbar: Die kontinuierliche Variation der Parameter bewirkt kontinuierliche Streckungen und Verschiebungen der Graphen. Auf diese Weise treten die zu Grunde liegenden stetigen funktionalen Abhängigkeiten ausgesprochen deutlich hervor. Unterrichtsverlauf und technische Hinweise Die Schülerinnen und Schüler entdecken Zusammenhänge experimentell und fixieren ihre Ergebnisse. Diese werden dann im Plenum präsentiert. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Aufgaben für kooperatives Arbeiten, Verantwortung für das eigene Lernen stärken Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung von Parametern in der Sinusfunktion experimentell entdecken. Beziehungen zwischen Funktionstermen und Funktionsgraphen erschließen. weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten. Thema Parameter in der Sinusfunktion Autor Prof. Dr. Volker Ulm Fach Mathematik Zielgruppe 10. bis 11. Jahrgangsstufe Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software GEONExT (kostenloser Download) Experimentell-entdeckendes Lernen mit dynamischen Arbeitsblättern Anhand der Lernumgebung entdecken die Schülerinnen und Schüler aktiv-handelnd die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion. Mit der Maus lassen sich Schieberegler verändern und dadurch die Parameterwerte in den Termen der folgenden Funktionen einstellen: f(x) = a sin(x) f(x) = sin(bx) f(x) = sin(x+c) f(x) = sin(x) + d f(x) = a sin(b(x+c)) + d Der zugehörige Funktionsgraph verändert sich dabei kontinuierlich. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt einen Screenshot aus der Lernumgebung. Auf diese Weise erschließen die Schülerinnen und Schüler experimentell den Zusammenhang zwischen Parameterwerten im Funktionsterm und der Gestalt sowie dem Verlauf des zugehörigen Graphen. In dieser Unterrichtsphase bieten sich vor allem kooperative Arbeitsformen, wie etwa Partnerarbeit, an. Hefteinträge verhindern ein oberflächliches "Durchklicken" Die Schülerinnen und Schüler sind auch gefordert, eigenständig einen Hefteintrag zur Thematik zu gestalten. Am Bildschirm wird experimentiert und parallel dazu sollen die Schülerinnen und Schüler Beobachtungen und Ergebnisse schriftlich fixieren. Ein derartiges Arbeiten im Heft hilft, die Thematik sorgfältig zu durchdringen und die Gedanken zu ordnen und zu strukturieren. Zudem soll dadurch verhindert werden, dass sich die Schülerinnen und Schüler nur oberflächlich mit den beweglichen Konstruktionen am Bildschirm befassen, dass sie die Seiten wie bei einem Computerspiel austesten, ohne zum eigentlichen mathematischen Gehalt vorzudringen. Die Aufforderung, Beobachtungen und Überlegungen aufzuschreiben, verlangsamt den Prozess des "Durchklickens" und schafft für die Schülerinnen und Schüler damit den Zeitrahmen, der für Lernprozesse unentbehrlich ist. Reden über Mathematik, Sprechen vor einer Gruppe Haben sich die Schülerinnen und Schüler intensiv mit der Thematik der Lernumgebung befasst, schließt sich in natürlicher Weise ein Gedankenaustausch im Klassenplenum an. Die Arbeitsgruppen stellen ihre Überlegungen und Ergebnisse den Mitschülerinnen und Mitschülern vor. Auf den ersten Blick stehen dabei der Austausch und die Diskussion der erarbeiteten mathematischen Resultate im Vordergrund. Gleichzeitig trainieren die Schülerinnen und Schüler aber auch das Reden über Mathematik, das Präsentieren eigener Ergebnisse sowie das Sprechen vor einer Gruppe. Zusammenfassung der Ergebnisse Nachdem die Schülerinnen und Schüler den Themenkreis auf eigenen Wegen intensiv erkundet haben, kann die Unterrichtssequenz zu einem Abschluss gebracht werden, indem die Schülerresultate unter der fachkundigen Leitung der Lehrkraft zu einem Gesamtergebnis zusammengefasst beziehungsweise erweitert werden. Die Schülerinnen und Schüler sind dann "reif" für eine fundierte Ergebnissicherung, die mathematische Konventionen, den stofflichen Rahmen und curriculare Vorgaben berücksichtigt. Die Lernumgebung dieser Unterrichtseinheit besteht aus HTML-Seiten, die mit jedem gängigen Browser betrachtet werden können. Damit der Browser die dynamischen Konstruktionen anzeigen kann, benötigt er Java-Unterstützung. Bei Netscape ist dies beispielsweise automatisch erfüllt. Bei anderen Browsern (zum Beispiel Internet Explorer) kann es notwendig sein, das Java2 Runtime Environment der Firma Sun Microsystems nachträglich zu installieren. Vielfältige Möglichkeiten des Downloads finden Sie auf der GEONExT-Homepage. Für die Nutzung unter Windows bietet sich das im Bereich "Download" angebotene Installationspaket "GEONExT & Java2 Runtime Environment" an. GEONExT-Homepage Auf der GEONExT-Website können Sie die Software für Linux, Mac OS X und Windows herunterladen. Aufgaben als Bausteine des Mathematikunterrichts Ein Großteil des Denkens und Arbeitens von Schülerinnen und Schülern im Fach Mathematik wird durch Aufgaben bestimmt - sei es in Form von Schulübungen, Hausaufgaben oder Prüfungen. Aufgaben bieten Impulse zur Erforschung von Neuem, sie dienen dem Üben, Vertiefen, Vernetzen und sie sind Werkzeuge zur Leistungsmessung. Aufgaben besitzen damit ein erhebliches Potenzial, um Veränderungen im Mathematikunterricht anzustoßen. Natürlich können Aufgabenstellungen nicht alles leisten. Sie sind allenfalls Bausteine im Mathematikunterricht, die von der Lehrerin oder vom Lehrer als Architekten und Baumeister in ein größeres Ganzes eingefügt werden müssen. Es kommt entscheidend darauf an, wie mit Aufgaben umgegangen wird beziehungsweise wie die Beschäftigung mit Mathematik generell angelegt ist (siehe folgende Absätze zu Modul 8 und Modul 9). Selbständiges, eigenverantwortliches und kooperatives Arbeiten Für die Konzeption dynamischer Arbeitsblätter bedeutet dies, dass mit den Aufträgen an die Schülerinnen und Schüler vor allem Freiräume für selbständiges, eigenverantwortliches, aber auch kooperatives Arbeiten und Lernen geschaffen werden sollten. Einerseits sind die Aufträge so zu formulieren, dass die Schülerinnen und Schüler das zugrunde liegende Problemfeld eigenständig und ohne ständige weitere Anweisungen durch die Lehrkraft erkunden können, andererseits sollten mit den Aufgabenstellungen Felder für Kreativität und individuelle Lernwege eröffnet werden. In diesem Spannungsfeld zwischen Führen und Loslassen der Schülerinnen und Schüler bewegt sich jede Lehrkraft, die Arbeitsaufträge - insbesondere zu dynamischer Mathematik - konzipiert. Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Weitere Informationen zu Modul 1 auf der SINUS-Transfer-Website Schulisches Lernen ist in einen sozialen Kontext eingebunden. Auch wenn die Schülerinnen und Schüler mit dynamischen Arbeitsblättern auf den ersten Blick am Bildschirm tätig sind, sind die Mitschülerinnen und Mitschüler (sowie die Lehrkraft) unersetzliche Lernpartner. Dynamische Arbeitsblätter sind keine Medien zum Selbstlernen! Sie bieten Schülerinnen und Schülern Anstöße, um in Partner- oder Kleingruppenarbeit Mathematik zu erforschen und zu entdecken. Sie müssen Beobachtungen und Ideen gemeinsam diskutieren, sich auf ihren individuellen Lernwegen wechselseitig unterstützen und schließlich gewonnene Ergebnisse im Klassenteam präsentieren und einordnen. Ein derart kooperatives Lernen trägt damit nicht nur zu einem abwechslungsreichen Unterricht bei, sondern unterstützt vor allem den Aufbau sozialer Kompetenzen sowie fachliche Lernprozesse. Aufgaben für kooperatives Arbeiten Weitere Informationen zu Modul 8 auf der SINUS-Transfer-Website Dynamische Arbeitsblätter ermöglichen eigene Lernwege Lernen ist ein aktiver Konstruktionsprozess. Wissen kann nicht von der Lehrkraft in die Schülerköpfe gefüllt werden, sondern muss von den Schülerinnen und Schülern durch Eigentätigkeit konstruiert werden. Aufgabe der Lehrkraft ist es, Bedingungen zu schaffen, unter denen diese Aktivität am besten stattfinden kann. Dynamische Arbeitsblätter bieten hierzu einen geeigneten Rahmen. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, sich eigenständig mit den Problemstellungen und Arbeitsaufträgen auseinander zu setzen und eigene Lernwege zu gehen. Dabei können sie ihr Lerntempo weitgehend selbst steuern und sind für ihren Lernfortschritt maßgeblich selbst verantwortlich. Binnendifferenzierung Dynamische Arbeitsblätter bieten auch ein geeignetes Mittel zur Binnendifferenzierung: Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler können sich der eigenständigen Erarbeitung komplexerer Problemstellungen widmen, die Lehrkraft besitzt die Möglichkeit, sich gezielt der Förderung Leistungsschwächerer zuzuwenden. Verantwortung für das eigene Lernen stärken Weitere Informationen zu Modul 9 auf der SINUS-Transfer-Website

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II

Einführung der Sinusfunktion mit GEONExT

Unterrichtseinheit

Eine mithilfe der kostenlosen Mathematiksoftware GEONExT erstellte Lernumgebung ermöglicht einen dynamischen Einstieg in die trigonometrischen Funktionen.Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten den Einstieg in die Sinusfunktion weitgehend eigenständig und kooperativ. Dynamische Arbeitsblätter helfen dabei, die jeweilige Problem- oder Aufgabenstellung zu veranschaulichen. Ein virtuelles Experiment zur Pendelbewegung stellt den Anwendungsbezug her. Wenn die Sinusfunktion im Unterricht eingeführt wird, geschieht dies meist durch Angabe des Funktionsterms, Erstellen einer Wertetabelle und die anschließende Zeichnung des Funktionsgraphen. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Screenshots Der Einsatz dynamischer Mathematik fördert selbständiges oder kooperatives Arbeiten sowie die Individualisierung des Unterrichts. Einführung der Sinusfunktion - Dynamische Arbeitsblätter Zur Nutzung der dynamischen Materialien benötigen Sie das kostenlose Plugin Java Runtime Environment . Die Schülerinnen und Schüler sollen die Darstellung von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis wiederholen. die Darstellung des Bogenmaßes am Einheitskreis wiederholen. eine Einführung und Definition der Sinusfunktion erarbeiten. die Bedeutung der Sinusfunktion für die Beschreibung von Schwingungsvorgängen erkennen. eigenständig und kooperativ mathematische Zusammenhänge erarbeiten und dokumentieren. Thema Einführung der Sinusfunktion Autor Dr. Markus Frischholz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 9 bis 10 Zeitraum 1 Stunde Technische Voraussetzungen idealerweise ein Rechner pro Person, Browser mit Java-Unterstützung, Java Runtime Environment (kostenloser Download) Software Mit GEONExT (kostenloser Download) können Sie eigene dynamische Materialien erstellen. Zur Nutzung der hier angebotenen Arbeitsblätter ist die Software jedoch nicht erforderlich. Intuitiver Zugang Wenn die Sinusfunktion im Unterricht eingeführt wird, geschieht dies meist durch Angabe des Funktionsterms, Erstellen einer Wertetabelle und die anschließende Zeichnung des Funktionsgraphen. Demgegenüber ist der Zugang durch dynamische Arbeitsblätter intuitiver und experimenteller. Selbstständiges oder kooperatives Arbeiten Die Schülerinnen und Schülern können sich den Stoff weitgehend selbständig oder kooperativ (Einzel- oder Partnerarbeit) erarbeiten. Die Lehrkraft gibt dabei nur Hilfestellungen, falls dies nötig ist. Individualisierung des Unterrichts Das Experiment am Ende der Lernumgebung stellt eine Ergänzung dar, die nicht von jedem Schüler unbedingt bearbeitet werden muss. Dieser Aufbau individualisiert die Unterrichtsstunde und berücksichtigt die unterschiedlichen Lerntempi der Schülerinnen und Schüler. Ergebnissicherung im Heft Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten die Definition und einige grundlegende Eigenschaften der Sinusfunktion eigenständig und experimentell. Die Erkenntnisse und Beobachtungen sind dabei jeweils im Heft zu dokumentieren. In der folgenden Stunde werden die Ergebnisse zusammengetragen, verglichen, diskutiert und ergänzt. Einheitskreis und Sinusfunktion Zunächst werden anhand einer dynamischen Darstellung des Einheitskreises (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken) Sinus, Cosinus und Tangens wiederholt. Auch das Bogenmaß wird veranschaulicht. Durch Verschiebung eines Punktes auf dem Einheitskreis entsteht die Sinusfunktion und die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass jedem Winkel sein Sinuswert zugeordnet ist. Danach ist es möglich, die Funktion zu definieren, eine Wertetabelle zu erstellen und den Graphen zu zeichnen. Auch einige grundlegende Eigenschaften können hier bereits erarbeitet werden. Pendelbewegung als Experiment Das letzte Arbeitsblatt enthält eine Simulation zur Pendelbewegung und bietet damit eine Anwendung aus der Physik (Abb. 2). Die Schülerinnen und Schüler sollen nun das zuvor Gelernte auf die beobachtete Pendelbewegung übertragen und erkennen, dass sich eine Sinusfunktion ergibt, wenn man die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit darstellt. Da diese Zusatzaufgabe für das Verständnis der Definition der Sinusfunktion nicht zwingend notwendig ist, muss sie nicht unbedingt von der ganzen Klasse behandelt werden. Sie stellt vielmehr einen zeitlichen Puffer für diejenigen Schülerinnen und Schüler dar, die die vorhergehenden Aufgaben zügig bearbeiten konnten.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I

Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Sinus, Kosinus und Tangens" wird den Lernenden anhand von Java-Applets der Zusammenhang zwischen dem Winkel am Einheitskreis und den dazugehörigen trigonometrischen Funktionen schnell und verständlich nahe gebracht.Java-Applets ermöglichen Visualisierungs- und Darstellungsformen, die mit Papier und Bleistift, Tafel oder Folie, zu zeitaufwändig und kaum realisierbar sind. Beim Einsatz von Java-Applets lassen sich durch einfaches Ziehen mit der Maus geometrische Figuren und Winkelfunktionen zeichnen und beliebig verändern. Das in dieser Unterrichtseinheit verwendete Java-Applet von Walter Fendt ist ein sehr schönes Werkzeug, um den Lernenden den Zusammenhang zwischen dem Winkel am Einheitskreis und den dazugehörigen trigonometrischen Funktionen schnell und verständlich nahe zu bringen. Darüber hinaus lernen die Schülerinnen und Schüler selbstständig, entdeckend und kooperativ zu arbeiten. Bei Fehlern kann man einfach wieder von vorne beginnen. Java-Applets stellen in diesem Zusammenhang eine Vereinfachung und Erleichterung des Mathematikunterrichts dar: Nicht das rechnerische und zeichnerische Kalkül stehen im Vordergrund, sondern das Erkennen, Verstehen und Begreifen.Bei der Einführung der Sinus- und der Kosinusfunktion sowie der Tangensfunktion stehen zu Beginn die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck im Mittelpunkt. Die Schülerinnen und Schüler lernen Berechnungen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen und entdecken hierbei die Zusammenhänge zwischen den Funktionen. Mehrwert des Applets und Unterrichtsverlauf Warum Sie auf das Applet nicht verzichten sollten und wie Sie es im Zusammenhang mit einem Arbeitsblatt einsetzen können. Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Zusammenhang zwischen der Darstellung des Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis und der dazugehörigem Graphen. benennen besondere Eigenschaften der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I