Diophantische Gleichungen mit Stammbrüchen

Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema Stammbrüche suchen die Schülerinnen und Schüler ausgehend einer bekannten mathematischen Erzählung über den arabischen Kaufmann und sein Erbe Stammbrüche, deren Summe den Wert Eins ergibt.

  • Mathematik / Rechnen & Logik / Informatik / Wirtschaftsinformatik / Computer, Internet & Co.
  • Sekundarstufe I, Sekundarstufe II
  • offen (Arbeitsgruppen, Schulwettbewerbe)
  • Arbeitsblatt
  • 7 Arbeitsmaterialien

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Bei der Suche nach den Stammbrüchen werden einfache Zahlenzusammenhänge erarbeitet. Auch der Spaß an Zahlen steht beim spielerischen Finden von Lösungen im Vordergrund. Ausblicke erfolgen so, dass neue Schreibweisen und Methoden der Mathematik vorgestellt werden. Die Arbeitseinheit lässt sich in Arbeitsgruppen oder -kreisen außerhalb des Unterrichts realisieren. Die Arbeitsblätter sind Grundlage für ein selbstgesteuertes Lernen, bei dem die Schülerinnen und Schüler Schritt für Schritt Hilfestellungen erhalten, um die Problemlösungen selbst zu erarbeiten. Die Arbeitsblätter mit Aufgaben und Lösungen werden den Lernenden sukzessive ausgehändigt. Sie können auch zur Gestaltung eines Schul- oder Regionalwettbewerbs genutzt werden. Empfehlenswert sind dabei Rücksprachemöglichkeiten, um den Schülerinnen und Schülern Hilfen und Rückmeldemöglichkeiten geben zu können.

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die Schülerinnen und Schüler sollen in dieser Unterrichtseinheit ein Programm schreiben, das nach einer vorgegebenen Zahl von Stammbrüchen sucht, deren Summe den Wert Eins ergibt. Dabei soll die Anzahl von Stammbrüchen veränderlich sein beziehungsweise für verschiedene Anzahlen verschiede Programmroutinen erarbeitet werden. Die Lernenden bemerken dabei, dass moderne Rechner trotz ihrer enormen Geschwindigkeit noch lange Rechenzeiten für die Bewältigung dieser Aufgaben benötigen. Das macht ihnen die Notwendigkeit optimaler Algorithmen bewusst.

Einstieg

Sensibilisierung für das mathematische Problem

Diese Geschichte kann der Gruppe vorgestellt und danach mit den Schülerinnen und Schülern erörtert werden. Alternativ kann den Lernenden die Geschichte auch mit dem Arbeitsblatt 01 ausgehändigt werden. Über das Gespräch, ob nicht auch andere Testamente mit anderen Zahlen von zu vererbenden Kamelen und auch anderen Anzahlen von Söhnen möglich sind, sollen die Schülerinnen und Schüler für das mathematische Problem sensibilisiert werden. So soll der Kern der Geschichte aus mathematischer Sicht aufgearbeitet werden.

Vom Kaufmann, seinen Söhnen und seinen Kamelen

"Es lebte in Arabien ein alter Vater, der drei Söhne und 17 Kamele hatte. Als der Greis sein Ende nahen fühlte, versammelte er die Söhne um sich und sprach zu ihnen: "Alles, was ich euch hinterlasse, sind meine Kamele. Teilt sie so, dass der Älteste die Hälfte, der Mittlere ein Drittel und der Jüngste ein Neuntel erhält." Kaum war dies verkündet, da schloss er die Augen, und die Söhne konnten ihn nicht mehr darauf aufmerksam machen, dass sein letzter Wille offenbar unvollstreckbar sei. Siebzehn ist doch eine störrische Zahl und lässt sich weder durch zwei noch durch drei und schon gar nicht durch neun teilen! Doch der letzte Wille des Vaters ist jedem braven Araber heilig. Da kam zum Glück ein weiser Pilger auf seinem Kamel daher geritten, der sah die Ratlosigkeit der drei Erben und bot ihnen seine Hilfe an. Sie trugen ihm den verzwickten Fall vor, und der Weise riet lächelnd, sein eigenes Kamel zu den hinterlassenen zu stellen und die gesamte Herde nach dem letzten Willen des Vaters zu teilen, und siehe da - der Älteste bekam neun der Tiere, der Mittlere sechs, der Jüngste zwei, das waren eben die Hälfte, ein Drittel und ein Neuntel, und auf dem Kamel, das übrig blieb, ritt der Weise - denn es war das seine - lächelnd davon." (Quelle: Manfred Börgens, Mathematische Probleme, FH Gießen-Friedberg)

Die Aufgabe

Nachdem die Idee der Geschichte gefunden und das mathematische Problem fixiert ist, sollen die Schülerinnen und Schüler selbstständig Lösungen für andere Anzahlen von Söhnen (und Kamelen) finden. Das Finden sämtlicher Lösungen kann für ein, zwei oder drei Söhne noch von Hand erfolgen. Danach soll mit dem Computer simuliert werden - die Anzahl von Möglichkeiten "explodiert" mit der Zahl der Erben! Bei sieben Söhnen ist es kaum noch möglich mit einer einfachen Simulationen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten zu bestimmen.

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Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schülern

  • beweisen einfache Gleichungen.
  • arbeiten selbstorganisiert.
  • setzen Algorithmen in einfache Programmroutinen um.
  • lernen ein einfach klingendes und somit leicht verständliches mathematisches Problem kennen, dessen gesamte Lösung aber noch aussteht.
  • gewinnen in diesem Zusammenhang Einblick in Abschätzungen.

Autor

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Wolfgang Motzer

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