Diese Unterrichtseinheit thematisiert den ersten indirekten Nachweis von Gravitationswellen im Jahr 1974 durch Messung der Umlaufdauer eines Pulsars in einem Binärsystem. Die Ergebnisse stimmen mit großer Genauigkeit mit den Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein überein. Zwei Neutronensterne, einer davon ist ein Pulsar, umrunden sich auf stark elliptischen Bahnen. Dieses System stellt ein ideales Testlabor für die Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie dar, wobei zwei relativistische Effekte besonders stark zutage treten - zum einen die Drehung der Bahnellipse des Pulsars (Periastrondrehung) und zum anderen die Verringerung der Umlaufdauer des Pulsars aufgrund der Abstrahlung von Gravitationswellen. Beide Effekte werden in dieser Unterrichtseinheit thematisiert, wobei der Schwerpunkt auf dem Thema Gravitationswellen liegt. Die Lernenden berechnen mithilfe des dritten Keplergesetzes und Ergebnissen der Relativitätstheorie Umlaufzeiten und Abstände des Pulsars und erhalten so einen quantitativen Eindruck, wie das Doppelsternsystem im Laufe der Zeit aufgrund der Abstrahlung von Gravitationsenergie schrumpft. Zudem wird die beeindruckende Übereinstimmung der Messergebnisse mit den theoretischen Berechnungen deutlich. Das Thema Gravitationswellen berührt verschiedene Inhalte der Oberstufenphysik. Insbesondere sind Themen wie Gravitation, Kreisbewegungen und das Michelson-Interferometer von besonderer Relevanz – aber auch Grundkenntnisse der Physik Schwarzer Löcher und Neutronensterne spielen für das Verständnis des Phänomens Gravitationswellen eine wichtige Rolle. In den Lehrplänen ist die Allgemeine Relativitätstheorie und ihre Folgerungen gar nicht oder nur ansatzweise enthalten. Dennoch bieten viele schulinterne Curricula durchaus Möglichkeiten für die Bearbeitung besonderer Themen. Gut lässt sich die Thematik auch in Astronomie-Kursen der Oberstufe, Projektkursen oder Arbeitsgemeinschaften einbauen. Die Berechnungen zu Gravitationswellen beruhen auf der Allgemeinen Relativitätstheorie, was im schulischen Kontext im Detail nicht thematisiert werden kann. Stattdessen wird den Lernenden eine graphische Darstellung der originalen Messergebnisse präsentiert, über die die theoretische Vorhersagekurve aus der Allgemeinen Relativitätstheorie gelegt wurde. So wird die beeindruckende Übereinstimmung zwischen Theorie und Messung sichtbar. Die weiteren Berechnungen der Lernenden beruhen aber auf den Formeln der klassischen Physik (unter anderem drittes Gesetz von Kepler), wobei ein Wert (Zeitinkrement) aus der relativistischen Rechnung Verwendung findet. Methodische Analyse Ein Ziel dieser Unterrichtseinheit besteht darin, den Lernenden zu vermitteln, dass sie mithilfe oberstufenüblicher Inhalte aus Mathematik und Physik in der Lage sind, sich bestimmten Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein zu nähern. Dies gelingt im Fall der Periastron-Verschiebung der Bahnellipse durch die Verwendung einer Computersimulation. Für die Berechnung der Umlaufdauer und des Abstandes der beiden Neutronensterne sowie des Energieverlustes aufgrund von Gravitationswellen werden Formeln der klassischen Physik (Newton) und ein Zahlenwert aus der Allgemeinen Relativitätstheorie bereitgestellt. Mithilfe von Daten aus Originalveröffentlichungen zur Physik des Neutronensternsystem PSR1913+16 sind die Schülerinnen und Schüler dann in der Lage, wichtige Größen des Systems vorauszuberechnen und mit der Prognose aus der Allgemeinen Relativitätstheorie zu vergleichen. Vorkenntnisse Die Lernenden sollten mit dem Gravitationsgesetz Newtons und der Physik der Kreisbewegungen vertraut sein und über Kenntnisse zu den Keplergesetzen verfügen. Die Berechnungen erfordern einen sicheren Umgang mit dem Taschenrechner, insbesondere die Behandlung von hohen Zehnerpotenzen und Zahlen mit vielen Nachkommastellen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… erkennen, dass die Drehung der Bahnellipse den Vorhersagen der Relativitätstheorie entspricht. berechnen physikalische Größen mit komplexen Formeln. werten Messwerte aus. interpretieren und bewerten Versuchsergebnisse. erklären physikalische Phänomene und Versuchsanordnungen im Sachzusammenhang. stellen die wissenschaftliche Bedeutung von physikalischen Erkenntnissen heraus. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die im Video dargestellten physikalischen Inhalte nach Relevanz filtern und strukturiert wiedergeben, sowie Informationen gezielt herausstellen. können Texte in gedruckter und digitaler Form (Internet) auf bestimmten Fragestellungen hin untersuchen und die relevanten Informationen herausarbeiten. recherchieren fachbezogen im Internet. arbeiten mit einer Computersimulation. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten konstruktiv und kooperativ in Paar- oder Gruppenarbeit. diskutieren in Paar- oder Gruppenarbeit und äußern dabei ihre Meinung unter Nutzung ihrer fachlichen Kenntnisse. stellen Ergebnisse der Paar- und Gruppenarbeit angemessen und verständlich im Plenum dar.

Diese Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit den "Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie", einem von mehreren Themen, mit denen Albert Einstein im Jahr 1905 - auch sein "annus mirabilis" genannt - die Welt der Physik völlig verändert hat. Seine revolutionären Gedanken und Überlegungen zu verschiedenen Bereichen der Physik haben die bis dahin geltenden Gesetzmäßigkeiten teilweise auf den Kopf gestellt. Bis zum heutigen Tag sind Einsteins Erkenntnisse für viele Menschen nur schwer zu verstehen, auch wenn sie in Teilen mit mathematischen Grundkenntnissen gut nachvollziehbar sind.Ausgehend von Einsteins Postulaten - dem Relativitätsprinzip und dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit - werden die Schüler und Schülerinnen in Gedankenbeispielen auf die Gesetzmäßigkeiten der Speziellen Relativitätstheorie hingeführt. Dabei werden die unter den Namen Zeitdilatation und Längenkontraktion bekannten Gesetze detailliert hergeleitet. Geeignete Übungsaufgaben ergänzen die Theorie und zeigen, dass teilweise schwer verständliche Zusammenhänge Realität sind, auch wenn davon im Alltagsleben nichts zu spüren ist. Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie Die revolutionären Erkenntnisse von Albert Einstein waren die Grundlage, um die bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts geltenden Erkenntnisse der Physik auf den Prüfstand zu stellen. Insbesondere die Spezielle Relativitätstheorie macht es möglich, dass wir heute ganz selbstverständlich mit einem Navigationssystem im Auto unterwegs sind, das uns mit großer Präzision an unser Ziel bringt. Vorkenntnisse Vorkenntnisse von Lernenden können nur insoweit vorausgesetzt werden, dass der Name Albert Einstein bekannt und mit komplizierten und revolutionären Veränderungen in der Physik verbunden ist. Konkrete Kenntnisse sind jedoch nicht zu erwarten, weil das zugehörige physikalischen Wissen selbst im Rahmen der gymnasialen Oberstufe nur eingeschränkt vermittelt werden kann. Didaktische Analyse Die Erkenntnisse aus der Speziellen Relativitätstheorie können den Lernenden in Form von einfach gehaltenen Beispielen gut vermittelt werden. So können die Vorgänge bei hohen Relativgeschwindigkeiten - beispielsweise in Beschleunigeranlagen - ebenso gut eingeordnet werden wie bei hypothetischen Reisen zu fernen Sternen oder Galaxien. Methodische Analyse Einfache und etwas schwierigere Übungsaufgaben sollen die zunächst nicht gerade leicht zu verstehenden Zusammenhänge bei der Speziellen Relativitätstheorie den Schülerinnen und Schülern näherbringen. Ein tieferes Einsteigen in die komplizierte Thematik setzt ein hohes Maß an mathematischen Kenntnissen voraus, die am Gymnasium nur eingeschränkt vermittelt werden können. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wissen um die Zusammenhänge bei der Speziellen Relativitätstheorie. können die Begriffe "Zeitdilatation" und "Längenkontraktion" beschreiben und herleiten. können die Bedeutung der Speziellen Relativitätstheorie für die Entwicklung technischer Großprojekte einordnen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten, Hintergründe und Kommentare im Internet. können die Inhalte von Videos, Clips und Animationen auf ihre sachliche Richtigkeit hin überprüfen und einordnen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Partner- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. setzen sich mit den Ergebnissen der Mitschülerinnen und Mitschülern auseinander und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erwerben genügend fachliches Wissen, um mit anderen Lernenden, Eltern, Freunden wertfrei diskutieren zu können.

Diese Unterrichtseinheit thematisiert die Berechnung der rätselhaften Drehung der Ellipsenachse des Planeten Merkur (Periheldrehung) sowie den Nachweis der Laufzeitverlängerung von Radarimpulsen zum Planeten Venus aufgrund der Raumzeit-Krümmung. Beide Experimente waren für die Bestätigung der Vorhersagen Albert Einsteins von großer Bedeutung. In dieser Unterrichtseinheit erfahren die Schülerinnen und Schüler, dass die minimale Drehung der Merkurellipse allein durch Störeffekte benachbarter Himmelskörper nicht erklärt werden kann, denn ein kleiner Betrag dieser Ellipsendrehung von 43 Bogensekunden pro Jahrhundert blieb lange Zeit völlig rätselhaft. Erst Albert Einstein konnte aus dem Formalismus seiner neuen Gravitationstheorie genau diese fehlende Winkeldifferenz herleiten. Dies war der erste "Beweis" der Allgemeinen Relativitätstheorie, dieser komplexen und völlig neuartigen Theorie, die Albert Einstein über viele Jahre hinweg erarbeitet hatte und 1915 zur Veröffentlichung frei gab. Ihre Schülerinnen und Schüler berechnen die Drehung der Ellipsenachse des Planeten Merkur und im Weiteren auch die eines Sterns, der das supermassive Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße umrundet. Aufgrund der großen Masse des Schwarzen Lochs fällt die relativistische Drehung dort deutlich stärker aus und stimmt mit der Vorhersage der Relativitätstheorie bestens überein. Eine weitere, historisch wichtige Bestätigung der Relativitätstheorie stellt das Experiment des Astronomen Irvin Shapiro aus dem Jahr 1970 dar. Shapiro konnte mithilfe von Laufzeitmessungen von Radarimpulsen, die er zum Planeten Venus schickte, die Raumzeit-Krümmung in der Umgebung der Sonne bestätigen. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist nicht Inhalt der Physik-Lehrpläne. Dies liegt sicher daran, dass es sich um eine mathematisch ausgesprochen komplexe und abstrakte Theorie handelt, deren Möglichkeiten der Vereinfachung und Veranschaulichung Grenzen gesetzt sind. Dennoch lässt sich die Bedeutung dieser neuen Gravitationstheorie durchaus im Unterricht thematisieren, wobei sich die historischen "Beweise" der Theorie besonders eignen, da diese im schulischen Kontext gut zugänglich sind. In diesem Beitrag werden zwei dieser bedeutsamen Bestätigungen der Allgemeinen Relativitätstheorie thematisiert. Die Periheldrehung der Merkurellipse (1915) und die Shapiro-Zeitverzögerung. Beide Effekte hängen eng mit der Raumzeit-Krümmung zusammen, die vor allem im zweiten Arbeitsblatt zum Shapiro-Delay eine gewisse Veranschaulichung erfährt. Die beiden Arbeitsblätter beginnen jeweils mit einem Informationstext, woran sich dann konkrete Rechenaufgaben anschließen. Dazu sollen die Lernenden mithilfe vorgegebener Formeln aus der Relativitätstheorie bestimmte Effekte und Werte der Periheldrehung der Shapiro-Verzögerung berechnen und sie dann mit den Messungen der damaligen Zeit vergleichen und bewerten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… lernen das Problem der Periheldrehung von Planetenellipsen kennen und erfahren, dass die Allgemeine Relativitätstheorie dieses Phänomen exakt beschreibt und berechnet. berechnen die Drehung der Ellipsenachsen der Merkurbahn und des Sterns S2, der das galaktische Zentrum umrundet. vergleichen und bewerten die Messergebnisse mit ihren Berechnungen. erkennen, dass die Formeln der Relativitätstheorie die Messergebnisse reproduzieren können. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… können Texte in gedruckter und digitaler Form nach bestimmten Fragestellungen hin untersuchen. die relevanten Informationen herausarbeiten. arbeiten mit einer Computersimulation. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… arbeiten konstruktiv und kooperativ in Paar- oder Gruppenarbeit. diskutieren in Paar- oder Gruppenarbeit und äußern dabei ihre Meinung unter Nutzung ihrer fachlichen Kenntnisse. stellen Ergebnisse der Paar- und Gruppenarbeit angemessen und verständlich im Plenum dar.

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Albert Einsteins gilt als nicht gerade leicht verständlich. Interaktive Applets können durch die dynamische Darstellung der geometrischen Zusammenhänge das Verständnis jedoch erheblich erleichtern.Der hier vorgestellte Online-Kurs zur Speziellen Relativitätstheorie, der mit dem österreichischen Bildungssoftware Preis L@rnie 2005 ausgezeichnet wurde, bietet eine übersichtliche und detaillierte Einführung. Schülerinnen und Schülern wird durch viele interaktive Elemente ein aktiv-entdeckender Zugang zu den physikalischen Sachverhalten ermöglicht. Phänomene wie Längenkontraktion, Zeitdilatation oder Geschwindigkeitsaddition werden dabei anschaulich dargestellt und die Ergebnisse der Berechnungen innerhalb der dynamischen Konstruktion angezeigt. Der Einsatz der mit der kostenfreien dynamischen Geometriesoftware GeoGebra entwickelten Applets schafft Visualisierungsmöglichkeiten, die mit Papier, Bleistift und traditionellen Konstruktionswerkzeugen im Heft und an der Tafel nicht realisierbar sind. Trotz der Vorteile des Computers als Rechen- und Zeichenknecht sollte im Unterricht auf die Übung händischer Konstruktionen nicht verzichtet werden.Der Onlinekurs besteht (zurzeit) aus 25 HTML-Seiten mit 13 interaktiven GeoGebra-Applets. Eine ausführliche Besprechung der Kursinhalte würde den hier gegebenen Rahmen sprengen. Aus diesem Grund beschränken wir uns auf allgemeine Hinweise zum Einsatz der Materialien. Generell eignet sich der Online-Kurs zum Einzelstudium, als Ergänzung des traditionellen Unterrichts oder als zusammenfassende Wiederholung des Unterrichtsthemas. Abhängig von dem zur Verfügung stehenden Zeitrahmen bewährt sich neben der Nutzung der Applets ein händisches Rechnen von Aufgabenstellungen, zum Beispiel im Bereich der Längenkontraktion oder der Zeitdilatation. Anschließend können die Ergebnisse mit den interaktiven Arbeitsblättern des Online-Kurses verglichen werden, um die Einsicht zu vertiefen. Auch bei einer intensiveren Auseinandersetzung mit den Minkowski-Diagrammen sollte ein händisches Konstruieren oder ein Konstruieren am Computer durch die Schülerinnen und Schüler angestrebt werden. Gestaltung, Nutzung und Inhalte des SRT-Kurses Hier finden Sie Hinweise zur formalen Aufbereitung der GeoGebra-Applets, zur Nutzung des Online-Kurses sowie eine Übersicht der einzelnen Kapitel und Unterkapitel. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie kennen. die Galilei-Transformation rechnerisch und grafisch anwenden und interpretieren können. Raum-Zeit-Diagramme konstruieren und interpretieren können. die Lorentz-Transformation rechnerisch und grafisch anwenden und interpretieren können. die wichtigsten Phänomene der SRT wie Längenkontraktion und Zeitdilatation angeben und interpretieren können. Geschwindigkeiten relativistisch addieren können. die relativistische Massenzunahme wiedergeben und in Beispielen anwenden können. die Beziehung von Masse und Energie in Einsteins berühmter Äquivalenzformel deuten und die Abhängigkeit der Gesamtenergie und der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit beschreiben können. die Äquivalenz von Masse und Energie und die Möglichkeiten der Anwendung verstehen. Thema Online-Kurs "Spezielle Relativitätstheorie" mit GeoGebra Autor Andreas Lindner Fach Physik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4-6 Stunden (bei Vertiefung entsprechend mehr) Technische Voraussetzungen Internetbrowser, Java Runtime (JRE Version 1.4 oder höher, kostenfrei); die Mathematiksoftware GeoGebra ist zum Betrachten der Arbeitsblätter nicht Voraussetzung, kann aber zum Erstellen eigener Konstruktionen kostenfrei aus dem Internet heruntergeladen werden. Das Kernstück der Unterrichtseinheit sind die so genannten Minkowski-Diagramme, graphische Darstellungen für die Koordinaten eines Ereignisses, wobei die Koordinaten in einem ruhenden Bezugssystem (zum Beispiel einem Bahnhof) und in einem bewegten Bezugssystem (zum Beispiel einem fahrenden Zug) angegeben werden. Durch Variieren der Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen können die Schülerinnen und Schüler die Effekte der Relativitätstheorie untersuchen und studieren (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken, dann öffnet sich der Screenshot). Beim Design der Applets wurde darauf geachtet, dass bei den Aufgabenstellungen die zu verändernden Objekte farblich mit den jeweiligen Begriffen im Fließtext übereinstimmen, um die Zuordnungen optisch zu unterstreichen und die Arbeit zu erleichtern. Durch die Interaktivität der Applets können die Benutzerinnen und Benutzer die Phänomene im Bereich der Fast-Lichtgeschwindigkeit studieren, wobei die rechnerischen Ergebnisse in der Konstruktion über veränderliche Formeln abgelesen werden können. Der Online-Kurs zur Speziellen Relativitätstheorie gliedert sich in die folgenden Kapitel und Unterkapitel: Axiome Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie Galilei-Transformation Klassische Physik: Grundlagen der klassischen Mechanik Galilei-Transformation: interaktives Applet und Transformationstabelle Weltlinien: Bilderfolge (Animation) Raum-Zeit-Diagramme: interaktives Applet Verbesserung: Erweiterung der Galilei-Transformation samt Herleitung Lorentz-Transformation Transformationstabelle Minkowski-Diagramme Diagramme: interaktives Applet Konstruktion: Erläuterungen zur Konstruktion Zeitdilatation I -> I': interaktives Applet mit Berechnung I' -> I: interaktives Applet mit Berechnung Längenkontraktion I -> I': interaktives Applet mit Berechnung I' -> I: interaktives Applet mit Berechnung Ereignisse Interaktives Applet E = mc² Masse: formale Herleitung und interaktives Applet mit Berechnung Energie: formale Herleitung und interaktives Applet mit Berechnung Übungen Zurzeit werden nur zwei Übungen angeboten (Längenkontraktion, Ereignis). Zusätzliche Informationen, zum Beispiel zur Durchführung des Michelson-Morley-Experiments und seinem Ergebnis, zu den Beweggründen Einsteins, die Axiome so und nicht anders zu formulieren, zur Relativität der Gleichzeitigkeit, zum Zwillingsparadoxon et cetera, sind nicht Inhalte des hier vorgestellten Kurses und müssen bei Bedarf von der Lehrkraft zur Verfügung gestellt oder aufbereitet werden. Entsprechende Quellen haben wir für Sie zusammengestellt:

Die Unterrichtseinheit zum Thema "Äquivalenz von Masse und Energie" beschäftigt sich mit der vielleicht bedeutendsten Entdeckung von Albert Einstein im Jahr 1905. Im Rahmen seiner Herleitungen zur Speziellen Relativitätstheorie hat er die vermutlich berühmteste und bekannteste Formel der Physikgeschichte abgeleitet: E=m×c². Diese einfach aussehende Formel wurde für die Physik des 20. Jahrhunderts - und darüber hinaus - von fundamentaler Bedeutung. So hat sie es ermöglicht, zum einen die Vorgänge in der Sonne bei ihrer Energieerzeugung mit der bisher noch nicht realisierten Anwendung zur Energieproduktion auf der Erde zu erklären, zum anderen die im Jahr 1938 von Otto Hahn und seinen Mitarbeitern entdeckte Kernspaltung zur Energiegewinnung in Atomkraftwerken zu nutzen. Die berühmte Formel sollte auch Schülerinnen und Schülern "bekannt" sein, wenngleich die Tragweite der einfach aussehenden Formel nur den wenigsten geläufig sein dürfte. Die Herleitung der Formel über die bereits bekannten Fakten der Speziellen Relativitätstheorie wird für viele Lernenden eine große Herausforderung sein, der nur die mathematisch Versiertesten problemlos werden folgen können. Die Äquivalenz von Masse und Energie ist aber für das Verständnis vieler physikalischen Vorgänge so wichtig, dass man die Herleitung mit einem gut nachvollziehbaren Endergebnis trotzdem durchführen sollte. Äquivalenz von Masse und Energie Die im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie besprochene Äquivalenz von Masse und Energie mit der schon seit Jahrzehnten realisierten Energieerzeugung durch Kernspaltung und der mit Hochdruck beforschten Energieerzeugung durch Kernfusion (Stichwort ITER) wird auch in den Unterrichtseinheiten zur Kernphysik von grundlegender Bedeutung werden - und aufgrund der ungelösten Probleme mit der Lagerung der dabei entstehenden (langlebigen) radioaktiven Folgeprodukte für viel Diskussion sorgen. Für den Unterricht sollten Lehrkräfte deshalb gut vorbereitet sein, um auf kritische Fragen das Für und Wider dieser Formen der Energieerzeugung sachkompetent erklären zu können. Vorkenntnisse Grobe Vorkenntnisse von Lernenden können in gewisser Weise vorausgesetzt werden, da die Thematik aufgrund der berühmten Formel ansatzweise bekannt sein wird. Konkrete Kenntnisse sind jedoch nicht zu erwarten, weil dazu das physikalische Wissen um die Vorgänge in der Speziellen Relativitätstheorie kaum bekannt und somit erst herzuleiten ist. Didaktische Analyse Bei der Behandlung des Themas sollte man die Schülerinnen und Schüler darauf hinweisen, dass trotz des sowohl bei Kernspaltung als auch Kernfusion auftretenden radioaktiven Gefährdungspotentiales diese Art der Energieerzeugung klimaneutral abläuft, ohne die Umwelt mit Schadstoffen zu belasten. Im Rahmen des Unterrichts kann gut gezeigt werden, dass die Masse-Energie-Äquivalenz im Alltagsleben kaum bemerkt werden wird, aber trotzdem bei jeder Energieumwandlung auftritt. Deshalb ist es sehr wichtig, den Lernenden zu vermitteln, welche Bedeutung der berühmten Formel im atomaren Bereich zukommt – in der Forschung (zum Beispiel am CERN in Genf), in der Energieerzeugung, aber auch in der gigantischen Energiefreisetzung bei Kernwaffen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wissen um die weitreichende Bedeutung der speziellen Relativitätstheorie und dem daraus abgeleiteten Prinzip der Äquivalenz von Masse und Energie. können nachvollziehen, wie man die Formel E=m×c² herleitet. kennen die unterschiedlichen Möglichkeiten zur Energieerzeugung infolge der Äquivalenz von Masse und Energie. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten, Hintergründe und Kommentare im Internet. können die Inhalte von Videos, Clips und Animationen auf ihre sachliche Richtigkeit hin überprüfen und einordnen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Partner- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. setzen sich mit den Ergebnissen der Mitschülerinnen und Mitschüler auseinander und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erwerben genügend fachliches Wissen, um mit den anderen Lernenden, Eltern, Freunde wertfrei diskutieren zu können.

Die hier vorgestellte Lerneinheit zur Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie nutzt interaktive Webseiten mit dynamischen GeoGebra-Applets. Animierte Simulationen aus der Lernumgebung bieten Visualisierungsmöglichkeiten, die auf dem Papier und an der Tafel nicht realisierbar sind und die das Verständnis erleichtern.Die Grundzüge der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) basieren auf einer einfachen Formel. Nein, nicht E = mc², sondern v = s/t. Ausgehend von zwei einfachen Annahmen lieferten revolutionäre Gedankenexperimente über die Laufzeit von Licht, gemessen von zueinander bewegten Beobachtern, verblüffende neue Erkenntnisse über Raum und Zeit. Und mithilfe des guten alten Pythagoras (Link zur Lernumgebung "Die Satzgruppe des Pythagoras" des Autors bei Geogebra.org) sind auch die zugehörigen Formeln für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion schnell hergeleitet. In der Lernumgebung zur Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie können Lehrende und Schülerinnen und Schüler mithilfe der Maus am Monitor Darstellungen und Konstellationen kontinuierlich verändern. Bestimmte Fragestellungen lassen sich so dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den physikalischen Sachverhalten. So wird die Relativität der Gleichzeitigkeit am Beispiel der Beobachtung eines Lichtblitzes erkundet, der in der Mitte einer fliegenden Rakete gezündet wird. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs können die Lernenden dabei variieren. Kinematik der SRT - prägnant und kompakt Weder für die Lehrkraft noch für die interessierten Schülerinnen und Schüler ist es befriedigend, wenn Formeln vom Himmel fallen, insbesondere wenn es um die populäre Relativitätstheorie geht. Andererseits sehen zeitlich knapp kalkulierte Lehrpläne meist nur eine Mitteilung oder einen Hinweis auf die Gleichungen der Zeitdilatation oder der Längenkontraktion vor. Intention der hier vorgestellten interaktiven Lerneinheit ist es daher, die Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie möglichst prägnant und kompakt zu erläutern, ohne auf die Herleitung der zugehörigen Formeln zu verzichten. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dabei auch, dass mathematische Grundkenntnisse fundamental, ja hier sogar ausreichend sind, um zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Die erarbeiteten Formeln sollten in Anwendungsaufgaben (beispielsweise Durchqueren der Atmosphäre von Myonen oder Reise zu ?-Centauri) gefestigt werden. In der Unterrichtspraxis führte die Lerneinheit stets automatisch zu Diskussionen, die auf das Zwillingsparadoxon, das Hafele-Keating-Experiment und die Kausalitätsproblematik abzielten und von der Lehrkraft aufgenommen werden konnten. Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT Auf diese Weise erhalten die Lernenden trotz der Einschränkungen des alltäglichen Unterrichtbetriebs einen über bloße Mitteilungen hinausgehenden Einblick in die SRT, der als Basis für weiterführende, eigenständige Forschungen und als Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT dienen kann. Einsatzmöglichkeiten und Aufbau der Materialien Die Konzeption der Texte, Zusatzinformationen, Lösungen und die Interaktivität der Lernumgebung werden hier skizziert. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Postulate der Speziellen Relativitätstheorie verstehen. die Notwendigkeit einer präzisen Definition von Ort und Zeit eines Ereignisses einsehen. die Relativität der Gleichzeitigkeit als zwingende Konsequenz der Postulate erkennen. die Formel für die Zeitdilatation herleiten und anwenden können. die Formel für die Längenkontraktion herleiten und anwenden können. die Zitate aus Originalarbeiten richtig deuten und dem Gelernten zuordnen können. Für die Lerneinheit bieten sich zwei Einsatzmöglichkeiten an: begleitende dynamische Visualisierung der Erklärung von Einsteins Gedankenexperimenten während der Neudurchnahme im Unterricht selbstständige, aktiv-entdeckende Erarbeitung des (eventuell bereits im Unterricht thematisierten) Stoffes Texte und Zusatzinformationen Der erläuternde Text wurde bewusst möglichst prägnant gehalten, um eine zügige Erarbeitung und Fixierung im Heft zu erleichtern. Per Klick auf die kleinen Notizblock-Symbole können Kästen mit Zitaten aus den Originalarbeiten von Galileo Galilei (1564-1642) oder Albert Einstein (1879-1955) oder auch weiterführende Erläuterungen ein- und ausgeblendet werden. Dabei wird ein direkter Bezug des behandelten Stoffs zu den originalen Ausführungen hergestellt (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Einige Begriffe sind farblich hervorgehoben. Zeigt man mit der Maus auf sie, werden eine kurze Definition oder Zusatzinformationen eingeblendet. Sparsamer Einsatz von Hyperlinks Zur Gewährleistung eines möglichst linearen Lernablaufs wurden Hyperlinks nur sehr sparsam eingesetzt. Lediglich die Problematik der Abgrenzung von Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit und Relativität der Gleichzeitigkeit in unterschiedlichen Inertialsystemen wurde in verlinkte Unterkapitel ausgelagert. Lösungen Per Klick auf blaue Satz- oder Gleichheitszeichen werden Lösungen zu Fragen oder mathematischen Herleitungen angezeigt. Interaktivität - Animationen und Reglerjustierung Auf eine Bedienungsanleitung der Applets wurde verzichtet. Erfahrungsgemäß werden die interaktiven Möglichkeiten bei einer ernsthaften Beschäftigung mit den Animationen von Schülerinnen und Schülern leicht selbst entdeckt. Der kleine Abspielknopf (meist links unten) in den Applets erlaubt eine kontinuierliche Animation der Darstellungen. Für das Einstellen bestimmter Konstellationen erweist sich aber auch die manuelle Justierung durch die Schieberegler in den Applets als hilfreich. Parameter oder Einblendungen können jederzeit auch während der Animation verändert werden.

Diese Unterrichtseinheit thematisiert die Sonnenfinsternis-Expedition im Jahre 1919, welche die Lichtablenkung von Sternenlicht am Rand der Sonne vermessen konnte. Damit gelang eine erste experimentelle Bestätigung der Allgemeinen Relativitätstheorie, was Alberst Einstein zu großer Popularität verhalf. Fast 100 Jahre später stand die Relativitätstheorie erneut im Fokus öffentlichen Interesses, denn mit dem direkten Nachweis von Gravitationswellen konnte eine weitere, wichtige Vorhersage der Theorie betätigt werden. Die Materialien nehmen Bezug auf ein Erklärvideo aus der Mediathek der Lindauer Nobelpreisträgertagungen (Mini-Lectures). Zu diesem Video wurden zwei weitere Unterrichtseinheiten ausgearbeitet, welche die erste indirekte Bestätigung von Gravitationswellen mithilfe eines Pulsars (1974) sowie den ersten direkten Nachweis dieser Wellen mithilfe von Laser-Interferometern (2015) zum Inhalt haben. Die Unterrichtseinheit nimmt die historischen Sonnenfinsternis-Expeditionen von 1919 (Principe und Sobral) als Ausgangspunkt, um ein zentrales Phänomen moderner Physik und Astronomie zu untersuchen: die Ablenkung von Sternenlicht im Gravitationsfeld der Sonne. Die Lernenden verstehen, warum diese Messkampagne als Entscheidungsexperiment gilt: Während die klassische Physik nach Newton grundsätzlich eine Lichtablenkung nahe großer Massen erwartet, sagt die Allgemeine Relativitätstheorie eine deutlich stärkere Ablenkung voraus. Genau diese Differenz macht die Expedition wissenschaftlich so bedeutsam. Im Zentrum steht nicht nur das "Was", sondern das "Wie" wissenschaftlicher Erkenntnis: Die Schülerinnen und Schüler recherchieren Hintergründe, Ablauf und Ergebnisse der Expedition, ordnen Quellen ein und arbeiten heraus, welche Rolle Messbedingungen, Auswertung und Unsicherheiten spielen. Darauf aufbauend leiten sie zunächst die klassische Betrachtung her und berechnen anschließend die erwarteten Ablenkwinkel nach Newton und nach der relativistischen Näherungsformel. So wird sichtbar, wie klein der Effekt tatsächlich ist – und warum die damalige Messung trotz ihrer Eleganz methodisch anspruchsvoll bleibt. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der quantitative Auswertung: Mit Hilfe der Fernrohrbrennweite bestimmen die Lernenden Abbildungsmaßstäbe, berechnen die zu erwartende Verschiebung auf der Fotoplatte und werten Messdaten zu Sternpositionen grafisch aus. Abschließend diskutieren sie die Aussagekraft der Ergebnisse im Hinblick auf die Eingangshypothese und reflektieren, was ein "Beleg" in den Naturwissenschaften bedeutet. Als anschauliche Ergänzung wird das Gummituch-Modell genutzt, um die Idee der Raumzeitkrümmung und die "Linsenwirkung" von Massen niedrigschwellig zu visualisieren. Über den Einstieg mit einem Video zu Gravitationswellen wird zudem eine Brücke zu späteren Bestätigungen der Relativitätstheorie geschlagen und die Einheit in einen größeren physikalischen Kontext eingebettet. Die im Jahr 1919 durchgeführten Sonnenfinsternis-Expeditionen nach Principe (Westafrika) und Sobral (Brasilien) hatten den Charakter eines "Experimentum Crucis" – eines Entscheidungsexperiments. Auch die klassische Physik nach Newton sagt eine Ablenkung eines Lichtstrahls voraus, wenn dieser dicht an einer großen Masse, wie zum Beispiel die der Sonne, vorbeigeht. Einstein konnte aber aus seiner Allgemeinen Relativitätstheorie 1915 ausrechnen, dass die Lichtablenkung (in erster Näherung) doppelt so groß sein müsste, wie sie sich aus der klassischen Physik ergibt. Die experimentelle Bestimmung des Ablenkwinkels sollte also entscheiden, ob die Relativitätstheorie die allgemeingültige Beschreibung von Gravitation darstellt. Vom Standpunkt der Physikdidaktik stellt die damalige Situation ein Paradebeispiel dar, wie wissenschaftliche Erkenntnisse gewonnen und abgesichert werden. Die Materialien zu dieser Unterrichtseinheit sollen dies widerspiegeln. Die Idee, die Lichtablenkung mithilfe der Verschiebung der Sternpositionen bei einer Sonnenfinsternis nachzuweisen, ist bestechend einfach – die Durchführung allerdings aufgrund der extrem kleinen Effekte äußerst schwierig. Auch diese Problematik wird in den Arbeitsblättern thematisiert, indem die Lernenden berechnen, wie groß die Verschiebungen der Sternpositionen auf den Fotoplatten nach Einstein tatsächlich sein sollten. Nur so lässt sich ermessen, wie schwierig die Auswertung und Interpretation der Messungen seinerzeit waren. Methodische Analyse Ein Erklär-Plakat, das 1919 in einer populären Zeitschrift ( Illustrated London News) die physikalischen Hintergründe und Zusammenhänge der Expedition darstellte, dient den Schülerinnen und Schülern als Anlass, Informationen über die damalige Forschungsreise zu sammeln und zusammenzustellen. Aus heutiger Sicht ist es erstaunlich, wie gut man damals bereits in der Lage war, Wissenschaft journalistisch aufzuarbeiten und den Bürgern näher zu bringen. Im Weiteren rechnen die Lernenden den Ablenkwinkel am Sonnenrand konkret aus und werten die Positionen von sieben Sternen, die auf den Fotoplatten sichtbar wurden graphisch aus, um dann eine Entscheidung für oder wider die Hypothese von Einstein treffen zu können. Vorkenntnisse Die Lernenden sollten das Gravitationsgesetz von Newton kennen. Die Formel für die Lichtablenkung ist nicht schwierig und wird fertig angegeben. Allerdings stellt der Umgang mit den unterschiedlichen Begriffen bei der Berechnung von Winkeln (Bogensekunden, Grad, Radiant, Bogenmaß) die Schülerinnen und Schüler erfahrungsgemäß vor Probleme. Daher werden verhältnismäßig große Vorgaben diesbezüglich in den Materialien gemacht. Vermutlich ist aber auch Lehrkräfterhilfe an der einen oder anderen Stelle sinnvoll und notwendig. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… erkennen, dass die Allgemeine Relativitätstheorie von der klassischen Physik abweicht, sobald die gravitativ wirkenden Massen groß oder die Abstände zu diesen klein werden. berechnen physikalische Größen. werten Messwerte aus. interpretieren und bewerten Versuchsergebnisse. erklären physikalische Phänomene und Versuchsanordnungen im Sachzusammenhang. stellen die wissenschaftliche Bedeutung von physikalischen Erkenntnissen heraus. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… können die im Video dargestellten physikalischen Inhalte nach Relevanz filtern und strukturiert wiedergeben, sowie Informationen gezielt herausstellen. können Texte in gedruckter und digitaler Form (Internet) nach bestimmten Fragestellungen hin untersuchen und die relevanten Informationen herausarbeiten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten konstruktiv und kooperativ in Paar- oder Gruppenarbeit. diskutieren in Paar- oder Gruppenarbeit und äußern dabei ihre Meinung unter Nutzung ihrer fachlichen Kenntnisse. stellen Ergebnisse der Paar- und Gruppenarbeit angemessen und verständlich im Plenum dar.

Diese Unterrichtseinheit thematisiert den ersten erfolgreichen Nachweis von Gravitationswellen, der 2015 mithilfe zweier riesiger Laser-Interferometer in den USA gelang. Quelle des Ereignisses war die Verschmelzung zweier eng umeinanderkreisender Schwarzer Löcher in einer Entfernung von 1,3 Milliarden Lichtjahren. Die Arbeitsblätter zum ersten direkten Nachweis von Gravitationswellen bauen auf einem Erklärvideo aus der Mediathek der Lindauer Nobelpreisträgertagungen auf. Die Unterrichtsmaterialien können auf Deutsch und auf Englisch (für den englisch-bilingualen Unterricht) heruntergeladen werden. In dieser Unterrichtseinheit erarbeiten die Schülerinnen und Schüler einige wichtige physikalische Zusammenhänge des als sensationell eingestuften Beobachtungsergebnisses, das den ersten direkten Nachweis von Gravitationswellen darstellte. Thematisiert werden: die Umlauffrequenz, der Abstand und die Bahngeschwindigkeit der beiden Schwarzen Löcher, die Frequenz und die Amplitude der Gravitationswelle am Ort der Beobachtung sowie die Lokalisierung der Quelle am Himmel. Die Materialien sind so angelegt, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Rechenergebnisse stets mit den Daten aus den Originalveröffentlichungen zu dem Gravitationswellenereignis GW150914 vergleichen können. Sie erfahren dabei auch, dass die klassische Gravitationsphysik nach Newton bei der Beschreibung des vorliegenden Phänomens an ihre Grenzen stößt und die Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein durch den direkten Nachweis von Gravitationswellen eine weitere wichtige Bestätigung findet. Diese Unterrichtseinheit ist in Zusammenarbeit mit dem Kuratorium für die Tagungen der Nobelpreisträger in Lindau entstanden, das mit dem Nobelpreis ausgezeichnete Forschung Schülerinnen und Schülern, Studierenden sowie dem wissenschaftlichen Nachwuchs näherbringen möchte. Die Unterrichtseinheit ergänzt dabei das Materialangebot der Mediathek der Lindauer Nobelpreisträgertagungen um konkrete Umsetzungsvorschläge für die Unterrichtspraxis in den Sekundarstufen. Weitere Unterrichtseinheiten aus diesem Projekt finden Sie im Themendossier "Die Forschung der Nobelpreisträger im Unterricht" . Das Thema Gravitationswellen im Unterricht Das Thema Gravitationswellen berührt verschiedene Inhalte der Oberstufenphysik. Insbesondere sind Themen wie Gravitation, Kreisbewegungen und das Michelson-Interferometer von besonderer Relevanz – aber auch Grundkenntnisse der Physik Schwarzer Löcher und Neutronensterne spielen für das Verständnis des Phänomens Gravitationswellen eine wichtige Rolle. In den Lehrplänen sind die Allgemeine Relativitätstheorie und ihre Folgerungen gar nicht oder nur ansatzweise enthalten. Dennoch lassen viele schulinterne Curricula durchaus Luft für besondere Themen, wie zum Beispiel für dieses brandaktuelle Forschungsgebiet der Gravitationswellenastronomie. Gut lässt sich die Thematik in Astronomie-Kurse der Oberstufe, Projektkurse oder Arbeitsgemeinschaften einbauen. Vorkenntnisse Die Lernenden sollten mit dem Gravitationsgesetz Newtons und der Physik der Kreisbewegungen vertraut sein. Auch Begriffe aus der Wellenlehre wie Frequenz, Wellenlänge und Amplitude sollten bekannt sein. Astronomisches Grundwissen, auch zum Thema Schwarze Löcher (auch Schwarzschildradius), ist durchaus hilfreich; es kann aber durch Recherche oder Lehrerhilfe auch während der Bearbeitung der Unterrichtseinheit zum Nachweis von Gravitationswellen vermittelt werden. Dies gilt in ähnlicher Weise ebenso für den Aufbau und die Funktionsweise eines Michelson-Interferometers. Didaktische Analyse Die Berechnungen zu Gravitationswellen beruhen auf der Allgemeinen Relativitätstheorie. Da diese in der Regel schulisch nicht thematisiert wird, ist die Frage berechtigt, ob ein Thema wie Gravitationswellen im normalen Schulalltag überhaupt so umgesetzt werden kann, dass der Unterricht über eine rein qualitative Betrachtung hinausgeht. Die Materialien dieser Unterrichtseinheiten zeigen, dass dies möglich ist, denn viele Rechnungen lassen sich zunächst rein klassisch, also mit der Gravitationsphysik Newtons, durchführen. Dass sich an einigen Stellen, wie beispielsweise bei der Berechnung der Umlaufgeschwindigkeit der Schwarzen Löcher, dann eine deutliche Diskrepanz zu den Vorhersagen der Einstein‘schen Physik zeigt, ist didaktisch positiv zu werten. Es ist aber auch didaktisch vertretbar, fertige Formeln aus der Relativitätstheorie vorzugeben und die Schülerinnen und Schüler nur die entsprechenden Rechnungen durchführen zu lassen. Dies ist zum Beispiel bei der Berechnung der Gravitationswellen-Amplitude der Fall. So lernen die Schülerinnen und Schüler zum einen, dass die Relativitätstheorie das geeignete Handwerkzeug zur Beschreibung extremer physikalischer Verhältnisse zur Verfügung stellt. Zum anderen erfahren sie aber auch, dass ihre Kenntnisse der Mathematik und Physik aus der Oberstufe ausreichen, um sich den Vorhersagen der Theorie und den veröffentlichten Messdaten zu nähern. Methodische Analyse Ein Ziel dieser Unterrichtseinheit zum direkten Nachweis von Gravitationswellen besteht darin, dass die Lernenden erfahren, dass sie mithilfe oberstufenüblicher Inhalte aus Mathematik und Physik in der Lage sind, Erkenntnisse zum Gravitationswellenereignis GW150914 eigenständig herzuleiten und zu berechnen. So werden mithilfe der Newtonschen Physik Formeln für den Abstand und die Umlaufgeschwindigkeit zweier gleich schwerer, sich gegenseitig umkreisender Massen hergeleitet. Mithilfe der Gravitationswellenfrequenzen aus den Aufzeichnungen der LIGO-Interferometer können die Lernenden dann Ergebnisse für den Abstand und die Bahngeschwindigkeit der Schwarzen Löcher berechnen, mit den Angaben aus den Originalveröffentlichungen vergleichen und so die Möglichkeiten und Grenzen der klassischen Physik erkunden. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler leiten mithilfe von Gravitationsgesetz und Gesetzen der Kreisbewegung Formeln zum Abstand und zur Bahngeschwindigkeit her. berechnen physikalische Größen mit komplexen Formeln. werten Messwerte aus. interpretieren und bewerten Versuchsergebnisse. erklären physikalische Phänomene und Versuchsanordnungen im Sachzusammenhang. stellen die wissenschaftliche Bedeutung von physikalischen Erkenntnissen heraus. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die im Video dargestellten physikalischen Inhalte nach Relevanz filtern und strukturiert wiedergeben sowie Informationen gezielt herausstellen. können Texte in gedruckter und digitaler Form nach bestimmten Fragestellungen hin untersuchen und die relevanten Informationen herausarbeiten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten konstruktiv und kooperativ in Paar- oder Gruppenarbeit. diskutieren in Paar- oder Gruppenarbeit und äußern dabei ihre Meinung unter Nutzung ihrer fachlichen Kenntnisse. stellen Ergebnisse der Paar- und Gruppenarbeit angemessen und verständlich im Plenum dar. Hier können Sie sich das Video zur Unterrichtseinheit "Gravitationswellen: erster direkter Nachweis mit Interferometern" anschauen.

Auf dieser Seite finden Sie Informationen und Anregungen für Ihren Astronomie- und Physik-Unterricht zum Themenkomplex Zeit und Relativitätstheorie (allgemeine und spezielle Relativitätstheorie). Wissenschaftliche Ergebnisse und Methoden können eine hohe Motivationskraft in sich tragen. Die in diesem Beitrag vorgeschlagenen Kontexte sind virtuelle Realitäten, generiert mit in der Astrophysik gebräuchlichen Visualisierungsmethoden. Ihr didaktischer Zweck in der Einstiegsphase besteht darin, Vorerfahrungen bei relativistischen Effekten zu schaffen, die das normale, klassisch geprägte Vorstellungsvermögen übersteigen. Das zentrale Problem bei solchen Visualisierungsmethoden ist die Darstellung dreidimensionaler Objekte auf einer zweidimensionalen Projektionsebene, die man sich als Filmleinwand oder Kamerabild vorstellen kann. Beim so genannten relativistischen Rendering werden Bilder schnell bewegter Objekte mit einer ruhenden Kamera beziehungsweise ruhende Objekte mit einer schnell bewegten Kamera aufgenommen. Wie relativistische, das heißt schnell bewegte, Objekte dem Betrachter erscheinen, kann gemäß den Gesetzen der Speziellen Relativitätstheorie berechnet werden. Neben der Längenkontraktion sind die endliche Laufzeit von Lichtsignalen und die Lichtaberration zwei Effekte, die die Geometrie solcher Abbildungen bestimmen. Schülerzentrierte Unterrichtsmethoden und kooperative Arbeitsformen Die Schülerinnen und Schüler sollen einige geometrische Effekte bei verschiedenen Fluggeschwindigkeiten der Kamera durch das Brandenburger Tor erkennen und in dieser Phase nur ansatzweise miteinander vergleichen - vorzugsweise als vorbereitende Hausaufgabe in Partner- oder Gruppenarbeit. Als Grundlage dienen das Arbeitsblatt (lorentz_modul_1_ab.pdf) sowie MPEG-Filme, die den Schülerinnen und Schülern für die Hausarbeit, zum Beispiel über den Dateiaustausch eines virtuellen Klassenraums von lo-net, dem Lehrer-Online-Netzwerk, zur Verfügung gestellt werden können. Neben dem "klassischen" Arbeitsblatt steht auch ein Online-Arbeitsblatt mit aktiven Links auf die Filme zur Verfügung. Filmsequenzen Die folgenden Abbildungen zeigen jeweils ein Einzelbild der Simulationsflüge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Kamera durch das stilisierte Brandenburger Tor. Zu jeder Geschwindigkeit steht ein komprimierter MPEG-Film zur Verfügung. Auf Details zu den Filmen werden wir zu einem späteren Zeitpunkt eingehen (siehe Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes ). Bei der Besprechung der Hausaufgabe wird unter anderem folgender Problemfragenkomplex entwickelt: Problemfrage 1.1 Warum sehen schnell bewegte Körper so aus wie in den Computersimulationen? Problemfrage 1.2 Welche Aussagen macht die Newtonsche Mechanik zu diesem Problem? Dieses Modul behandelt Standardstoff des Physikunterrichts. In der Diskussion der virtuellen Realitäten werden Szenen aus dem Alltag angesprochen, die physikalisch eine verwandte Problemstellung enthalten, wie zum Beispiel Koffer auf einem Rollband oder das Ablesen einer Hinweistafel von einem sich bewegenden Laufband aus, zum Beispiel im Flughafen. Zwischen bewegtem Objekt und bewegtem Beobachter (fliegender Kamera) wird differenziert. Ausgehend von der Fragestellung des Einstiegs (siehe Modul 1. Einstieg in das Thema ) wird folgende Problemfrage entwickelt: Wie kann die Bewegung beziehungsweise die Bahn eines sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Objektes bezüglich eines Koordinatensystems beschrieben werden? Als Lernvoraussetzung ist der Begriff des Inertialsystems notwendig. Ebenso das Relativitätsprinzip Galileis: Alle Inertialsysteme sind (bezüglich der Gesetze der Mechanik) gleichwertig. Als Zusatz kann Newtons Relativitätsprinzip angesprochen werden: "The motion of bodies included in a given space are the same among themselves, whether that space is at rest or moves uniformly forward in a straight line." Der Begriff der Gleichwertigkeit kann, je nach Vertiefungsabsicht, verschieden gefasst werden. Von Gleichwertigkeit sprechen wir, wenn grundlegende physikalische Gesetze in allen Inertialsystemen gleichermaßen gelten oder später formal mathematisch vertieft: Gesetze unter den Transformationen sind, die von einem Inertialsystem zu einem anderen Inertialsystem führen. Im Hinblick auf die spätere Ableitung der Lorentztransformation wird ein Ereignis in zwei Inertialsystemen beschrieben und die Galileitransformation als vermittelnde Abbildung eingeführt (Abb. 8, Platzhalter bitte anklicken). Die Grafik zeigt zwei Inertialsysteme S und S', die gegeneinander mit der Geschwindigkeit V bewegt sind. Der Punkt P = P(x, y, z) = P(x', y', z') bezeichnet ein Ereignis zur Zeit t . Mit x, y, z, t werde ein Ereignis im Inertialsystem S charakterisiert; das gleiche Ereignis werde in einem anderen Inertialsystem S' durch die Koordinaten x', y', z', t' beschrieben. V beschreibt die Relativgeschwindigkeit zwischen S und S'. In diesem Fall bewegt sich das System S' mit der Geschwindigkeit bezüglich System S in die positive Richtung der gemeinsamen x -Achsen. Keine Mathematisierung der Sachverhalte In diesem Abschnitt sollen die Schülerinnen und Schüler einen ersten Einblick in Laufzeiteffekte bei Beobachtungen von schnell bewegten Objekten erhalten. Da noch keine relativistischen Werkzeuge zur Verfügung stehen, wird rein klassisch argumentiert. Auf eine Mathematisierung der Sachverhalte wird in diesem Stadium weitgehend verzichtet. Die Arbeit mit den interaktiven Materialien (Online-Arbeitsblätter, Java-Applets) ermöglicht den Schülerinnen und Schülern eigene Beobachtungen. Verzicht auf Visualisierung inkorrekter klassischer Effekte Sowohl die in Modul 1. Einstieg in das Thema verwendeten Computerfilme als auch die für diesen Abschnitt empfohlenen Java-Applets zeigen die relativistische (zumindest geometrische) Realität. Es wird bewusst davon Abstand genommen, die Effekte der Newtonschen Mechanik bei hohen Geschwindigkeiten zu visualisieren, obwohl auch dazu Java-Applets existieren. Dies hat mehrere Gründe: Sowohl Retardierung als auch Aberration (Erläuterung der Begriffe siehe weiter unten) treten im klassischen und im relativistischen Fall auf, wenn auch mit unterschiedlicher Intensität. Bei einer Konstellation von ruhendem Objekt und nahezu darauf zu fliegender Kamera sind klassische und relativistische Laufzeiteffekte bis nahe an die Lichtgeschwindigkeit aufgrund der perspektivischen Darstellung trotz Lorentzkontraktion kaum zu unterscheiden, wenn man von der Bildgröße bei gleicher Kameraposition absieht. Die Größe des Bildes ist nicht nur abhängig vom momentanen Standort der Kamera, sondern auch von deren Geschwindigkeit und damit von der Lorentzkontraktion der Bildweite. Die Untersuchung der letzteren wird Gegenstand von Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes sein. Im relativistischen Fall sind die Beobachtungen für die Konstellationen "bewegte Kamera und ruhendes Objekt" sowie "ruhende Kamera und bewegtes Objekt" identisch. Insbesondere wenn die Unterrichtseinheit auf Level 1 absolviert werden soll, schaffen zusätzliche klassische Varianten virtueller Realitäten (un-)vermeidbare Verwirrung, da dann auch andere Anflug- beziehungsweise Vorbeiflugwinkel notwendig werden. Dies geht zu Lasten eines zügigen Fortschritts in Richtung der Ableitung der speziellen Lorentztransformation (Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). Die einzelnen Untermodule des Moduls 3 "Messen versus Beobachten" behandeln die folgenden Themen: Grundlagen zu Messen und Beobachten, Zentralperspektive, klassische Retardierung Frontaler Anflug auf ein Objekt, klassische Retardierung Seitlicher Vorbeiflug an einem Objekt, Aberration Für den hier präsentierten schnellen Weg zur algebraischen Herleitung der Lorentztransformation ist es nicht notwendig, zuvor einen Überblick über Längen- und Zeitmessverfahren zu geben. Allerdings ist zu empfehlen, diese Problematik später bei der Diskussion der Längenkontraktion aufzugreifen (im Anschluss an Modul 6.3 Längenkontraktion ). Eine Diskussion von Retardierungseffekten, das heißt Effekten, die auf der endlichen Laufzeit des Lichtes beruhen, ist allerdings unumgänglich, da diese infolge der Kameraposition beim Durchflug des Brandenburger Tores den Hauptbeitrag zu den beobachtbaren Formänderungen leisten. Retardierungseffekte treten immer auf, sowohl bei klassischer als auch bei relativistischer Betrachtung. Im klassischen Fall ist ihre Ausprägung davon abhängig, ob sich die Kamera oder das Objekt bewegt. Im relativistischen Fall gilt dies nicht, da die Form der Lorentztransformation genau dies als Folge von Einsteins zweitem Postulat (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, siehe auch Modul 4. Einsteins Traum - Kontext zu Einsteins zweitem Postulat ) "verhindert". Ausgehend von den virtuellen Realitäten des Einstiegs (siehe Modul 1. Einstieg in das Thema ) wird die scheinbare Formänderung des Brandenburger Tores als Funktion der Fluggeschwindigkeit und der Position der Kamera ins Bewusstsein gehoben. Daraus ergibt sich unter anderem die Frage nach der genauen Form und Größe des ruhenden Tores. Nach deren mehr oder weniger intensiven Behandlung - je nach angestrebtem Level - wird die Beobachtung eines den Gesetzen der klassischen Mechanik unterworfenen bewegten Objektes in das Zentrum des Interesses gerückt. Problemfrage 3.1.1 Welche Informationen können über die exakte Geometrie des Tores und der Kamera aus der perspektivischen Ansicht gewonnen werden, wenn die Kamera ruht oder sich mit geringer Geschwindigkeit ( V = 0,01 c ) bewegt? Problemfrage 3.1.2 Wie sieht ein Beobachter beziehungsweise eine Kamera ein fernes und relativ einfach geformtes Objekt, wie zum Beispiel einen Würfel? Messen und Beobachten Als Lernvoraussetzung ist die Kenntnis des Messvorganges als Vergleich mit einem Eichnormal notwendig. Es wird geklärt, dass Messen und Beobachten unterschiedlich sind: Von (Ab-)Messen sprechen wir, wenn die Koordinaten der Randpunkte eines Objektes, also im Prinzip dessen Umriss, gleichzeitig bestimmt werden. Von Beobachten sprechen wir, wenn wir ein Abbild eines Objektes betrachten, wie zum Beispiel ein Netzhautbild oder einen Kamerafilm. Dabei werden die Bildpunkte von Lichtstrahlen erzeugt, die gleichzeitig auf der Netzhaut oder dem Film eintreffen. Lösung von Problemfrage 3.1.1 Es wird mitgeteilt, dass die Tordurchflüge im Prinzip mit einer Lochkamera aufgenommen worden sind. Die Abbildungsgesetze der Lochkamera werden von den Schülerinnen und Schülern selbstständig memoriert und zur Ausmessung einiger Bilder in dem folgenden Online-Arbeitsblatt benutzt: Online-Arbeitsblatt Die Schülerinnen und Schüler werten Bilder der Simulationsflüge durch das Brandenburger Tor mit einem interaktivem Messtool aus. Das Messtool funktioniert nicht im Internetexplorer, bitte verwenden Sie einen anderen Browser (Firefox, Netscape, Mozilla, Konqueror, Opera, Safari). Lösung von Problemfrage 3.1.2 Aus den Überlegungen zum Problemkreis Messen wird gefolgert: Es gibt zwei Arten, die Position eines Objektes zu beschreiben. Die momentane Position der Oberfläche eines Objektes zum Zeitpunkt t sowie die retardierte Position, bei der die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes vom Objekt zum Beobachter mit zu berücksichtigen ist. Anschließend wird ein Würfel betrachtet, der mit der Geschwindigkeit V an einer Kamera vorbei fliegt, wobei eine Momentaufnahme gemacht werden soll. Dabei werden alle Lichtstrahlen erfasst, die gleichzeitig bei der Kamera eintreffen. Die dabei angestellten Betrachtungen sind auf dem Informationsblatt (lorentz_modul_3_1_info.pdf) zusammengefasst. Dieses Beispiel kann vertieft werden. Im klassischen Fall besitzt das Licht die Geschwindigkeit c nur im stationären Bezugssystem des Beobachters. Aufgrund des Galileischen Relativitätsprinzips besitzt von einem Objekt ausgehendes Licht unterschiedliche Geschwindigkeiten, zum Beispiel c + V in Bewegungsrichtung und c - V in der entgegen gesetzten Richtung. Das hier vorgestellte Beispiel sollte nach Einführung der Lorentzkontraktion unter relativistischen Gesichtspunkten erneut aufgegriffen werden (frühestens im Anschluss an Modul 6.3 Längenkontraktion ). Der Trick der unendlich weit entfernten Kamera in Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung hat Wesentliches verborgen beziehungsweise nicht geklärt. Die dem Beobachter beim Vorbeiflug zugewandte Seite des Würfels ist unverzerrt als ebene Fläche abgebildet worden. Dies ist bei endlichem Kameraabstand falsch, da streng genommen alle Punkte des Objektes unterschiedlich weit von der Blende der Kamera entfernt sind. Die unten verlinkten Applets rechnen relativistisch. Bei einem Anflug auf ein Objekt sind klassische und relativistische Rechnung aufgrund der Perspektive kaum zu unterscheiden. Der relativistische Fall ist bezüglich der Konstellationen "bewegte Kamera und ruhendes Objekt" sowie "ruhende Kamera und bewegtes Objekt" nicht unterscheidbar, das heißt ein Applet beschreibt beide Fälle, da kein gekachelter Boden als Referenz vorhanden ist. Die im Einstieg beobachtete Wölbung horizontaler und vertikaler Kanten beziehungsweise die Verbiegung von Flächen ist ein Rätsel geblieben. Um das Problem zu akzentuieren, können statt des Brandenburger Tores Java-Applets von einfachen Drahtgittermodellen betrachtet werden. Ein Anflug mit hoher Geschwindigkeit auf ein Quadrat stellt nochmals die Frage nach der Erklärung der Randwölbungen in den Raum. Es wird vorgeschlagen den Effekt der endlichen Lichtlaufzeit nur bei einem Stab zu besprechen, der sich gemäß der klassischen Mechanik mit seiner Breitseite auf eine Kamera zu bewegt, die sich mittig vor ihm befindet. Es genügt, die Diskussion auf die Stabenden zu beschränken. Von jedem Punkt der sichtbaren Stabseite fällt ein Lichtstrahl in die Kamera. Licht von der Stabmitte muss den kürzesten Weg und von den Stabenden den längsten Weg zurücklegen. Aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit, im klassischen Fall V + c (beziehungsweise im relativistischen Fall c ), muss Licht, das zum gleichen Zeitpunkt bei der Kamera eintrifft, zu unterschiedlichen Zeitpunkten ausgesandt worden sein, wenn sein Weg unterschiedlich lang ist. Die Überlegung verläuft völlig analog zu den Überlegungen des Beispiels in Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung , wo der Effekt der klassischen Retardierung bei einem vorbei fliegenden Würfel betrachtet worden ist. Punkte mit zunehmendem Abstand von der Stabmitte werden dem Betrachter daher weiter entfernt erscheinen, was insgesamt den Eindruck einer Stabwölbung erzeugt. Damit ist auch geklärt, weshalb die Stärke der Wölbung geschwindigkeits- und abstandsabhängig sein muss. Drahtrahmen Java-Applet zum frontalen Anflug auf einen quadratischen Rahmen (relativistisch). Zwei Linien Java-Applet zum frontalen Anflug auf zwei horizontale Linien (relativistisch). Gitter aus 9 Punkten Java-Applet zum frontalen Anflug auf ein Gitter aus neun Punkten (relativistisch). Die Rückseite des Brandenburger Tores ist grün eingefärbt. Obwohl die fliegende Kamera einen Öffnungswinkel von 60 Grad in horizontaler Richtung und 51,33 Grad in vertikaler Richtung besitzt, wird die grüne Rückseite der Pfeiler beim Durchflug mit hohen Geschwindigkeiten sichtbar (Abb. 9, Platzhalter bitte anklicken). Um den Einfluss von Retardierung und Aberration zu verdeutlichen, können Java-Applets mit Drahtgittermodellen eingesetzt werden. Unter Aberration versteht man den Effekt, dass zwei unterschiedlich schnell bewegte Beobachter ein und dasselbe Objekt nicht an seinem realen Ort wahrnehmen, sondern an zwei verschiedenen scheinbaren Orten, deren Lage von der jeweiligen Geschwindigkeit des Beobachters abhängt. Aberration tritt sowohl bei klassischer als auch relativistischer Rechnung auf. Ein Analogmodell dafür stellt zum Beispiel "Schnürlregen" dar. Wenn man im Regen steht, kommen die Tropfen bei Windstille genau senkrecht von oben. Fährt man jedoch mit dem Fahrrad im Regen, so scheinen die Tropfen von schräg vorne zu kommen, wobei der Winkel von der eigenen Geschwindigkeit abhängt. Erklärbar ist der Effekt dadurch, dass ein Objekt einer vorbei fliegenden Kamera Lichtstrahlen hinterher sendet, die die Flugbahn der Kamera kurz vor deren Blende schneiden und dann auf dem sich nähernden Kamerafilm auftreffen. Die Formel für den Aberrationswinkel wird hier weder angesprochen noch abgeleitet. Weitere allgemeine Informationen zum Thema Aberration finden Sie hier: Die bereits im Einstieg (Modul 1. Einstieg in das Thema ) beobachtete Sichtbarkeit der grünen Rückseite des Brandenburger Tores ist bisher nicht geklärt. Um das Problem zu vereinfachen, können statt des Tores einfache Drahtgittermodelle betrachtet werden. Die Visualisierung geschieht wiederum mithilfe von Java-Applets. Ein Anflug mit hoher Geschwindigkeit auf ein Quadrat stellt nochmals die Frage nach der Sichtbarkeit der Rückseite eines Objektes in den Raum. Die folgenden Java-Applets verdeutlichen sowohl die bereits bekannte Retardierung als auch die Aberration. Letztere wird aus Gründen der Elementarisierung im klassischen Fall nur im Ruhesystem des Drahtrahmens qualitativ erklärt. Eine Lochkamera bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit. Bestimmte Lichtstrahlen, die von der Rückseite des Drahtrahmens in Richtung der wegfliegenden Kamera ausgesandt werden und die Flugbahn vor der Kamera schneiden, werden durch die bewegte Blende dringen und dann vom Film "eingefangen". Eine Herleitung der Aberrationsformel erfordert eine genaue Berechnung des Auftreffpunktes des Lichtstrahls auf der Bildebene und kann in Level 3 frühestens im Anschluss an Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes in Angriff genommen werden. Drahtrahmen Java-Applet zum seitlichen Vorbeiflug an einem Quadrat (relativistisch). Zwei Drahtrahmen Java-Applet zum seitlichen Vorbeiflug an zwei Quadraten (relativistisch). Es ist üblich, der Begründung von Einsteins zweitem Postulat zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Unterricht einen Abschnitt über die verschiedenen historischen Methoden zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit voranzustellen (siehe Links und Literatur ), woraus das Postulat als Konsequenz von Messungen gefolgert wird. Diese saubere physikalische Fundierung ist allerdings an dieser Stelle der Unterrichtseinheit nicht zwingend notwendig, weshalb eine Alternative vorgeschlagen wird. Einstein schreibt selbst in seiner Biografie (Albert Einstein, Autobiographisches, 1946): "Nach zehn Jahren Nachdenkens fand ich ein Prinzip, auf das ich schon mit 16 Jahren gestoßen bin. Wenn ich einem Lichtstrahl mit Lichtgeschwindigkeit nacheile, so sollte ich diesen Lichtstrahl als ruhend wahrnehmen. So etwas scheint es aber nicht zu geben. Intuitiv klar schien es mir von vornherein, dass sich für einen solchen Beobachter alles nach denselben Gesetzen abspielen müsse wie für einen relativ zur Erde ruhenden Beobachter." Diese ursprünglich intuitive Erkenntnis war offensichtlich mit ein Anstoß zu Einsteins Postulat zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Wir werden sie in verfremdeter Form als Kontext zur Motivation des zweiten Postulats einsetzen (siehe unten). Die Originalformulierung der Einsteinschen Postulate, entnommen aus seiner Publikation von 1905, lautet: P1' Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden. P2' Jeder Lichtstrahl bewegt sich im "ruhenden" Koordinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit c , unabhängig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder bewegten Körper emittiert ist. Verständnis der Galileitransformation Kenntnis des Galileischen Relativitätsprinzips Wissen, dass Messungen einen konstanten Wert für die Geschwindigkeit des Lichtes liefern. Es wird ein Gedankenexperiment ("Einsteins Traum") vorgestellt, das anregen soll, die Konsequenzen der Galileitransformation zu durchdenken. Das Gedankenexperiment liefert den Anstoß zur Problemfrage in Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation , da die Galileitransformation dem experimentellen Resultat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit widerspricht. Einsteins Traum "Einstein sieht sich im Traum auf einem Lichtstrahl durch die Galaxis reiten. In der Hand hat er eine wundersame Lichtquelle, heller als tausend Sonnen, mit der er Lichtpulse aussenden kann. Als er einen langen Lichtpuls in Flugrichtung schickt, materialisiert sich auf diesem zweiten Strahl ein Spiegelbild von ihm selbst, Zweistein. Mit wehenden Haaren und Lichtquelle unter dem Arm, mit der Zweistein die Sterne anblinkt. Auch Zweistein blinkt irgendwann in Flugrichtung. Dreistein erscheint auf diesem Strahl ... " Die Schülerinnen und Schüler sollen überlegen, wie schnell das Licht aus der Lichtquelle von N-Stein ist. Modifizierung der Postulate für den Unterricht Für die Einsteinschen Postulate wird eine gegenüber der Originalformulierung modifizierte Form empfohlen. Sie werden als Lösung der Diskrepanz zwischen Messung und Konsequenzen der Galileitransformation betrachtet: P1 Alle Inertialsysteme sind bezüglich aller Gesetze der Physik gleichberechtigt. P2 Die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum hat immer und überall den konstanten Wert c . In der Speziellen Relativitätstheorie werden Beobachtungen untersucht, die von zwei verschiedenen Beobachtern gemacht werden, die bezüglich zueinander eine konstante Geschwindigkeit besitzen. Die einzig verwendbaren Bezugssysteme sind daher Inertialsysteme. In der Allgemeinen Relativitätstheorie spielen hingegen beschleunigte Bezugssysteme eine wichtige Rolle, da ihr Ziel die Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie ist. Die Raumzeit der klassischen Mechanik Newtons trägt eine affine Struktur, da eine gleichförmige Bewegung in jedem Inertialsystem als Gerade beschrieben wird (Gültigkeit des Trägheitssatzes). Infolge des ersten Postulates von Einstein (P1') (siehe Modul 4. Einsteins Traum - Kontext zu Einsteins zweitem Postulat ) muss also auch die neue Transformation der Speziellen Relativitätstheorie, die Lorentztransformation, eine affine Transformation sein. Postulat (P1') bestimmt die Gestalt dieser Transformation zwischen Inertialsystemen bis auf eine universelle Konstante völlig. Durch Postulat (P2') wird diese Konstante eindeutig festgelegt. Im Unterricht beschränkt man sich auf Inertialsysteme, die sich nur durch eine Relativbewegung unterscheiden, wie sie bereits in Modul 2. Die spezielle Galileitransformation eingeführt worden ist. Die Transformation zwischen Ereignissen ist in diesem Fall linear in x und t beziehungsweise x' und t' , was zur speziellen Lorentztransformation führt. Kenntnis des experimentell ermittelten konstanten Wertes der Lichtgeschwindigkeit Kenntnis des Begriffs der linearen Bewegung Fähigkeit zur mathematischen Beschreibung der Bahnkurve linearer Bewegungen Kenntnis des ersten Newtonschen Axioms (Trägheitssatz) Einsicht, dass die Annahme der Gültigkeit der Galileitransformation den Betrag der Lichtgeschwindigkeit vom gewählten Inertialsystem abhängig macht. Wissen, dass das Postulat (P1) die Gültigkeit des Relativitätsprinzips Galileis auf alle Gesetze der Physik erweitert. Das Gedankenexperiment "Einsteins Traum" aus Modul 4. Einsteins Traum - Kontext zu Einsteins zweitem Postulat liefert den Anlass, die Galileitransformation als modifizierungsbedürftig einzustufen, da alle Messungen die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bestätigen. Welche Form muss eine neue Transformation aufweisen? Man wird nur im oberen Leistungsbereich mit einem zweiparametrigen linearen Ansatz für die gesuchte Transformation starten und durch Widerspruchsbeweis zeigen, dass nur diese lineare Gestalt Postulat (P1) erfüllt und damit alle Transformationen von dieser Gestalt sein müssen. Wenn, wie es die Regel ist, die Zeit drängt, kann die Lehrkraft alternativ als Impuls die Frage nach der Transformation eines Ereignisses (x, t) durch folgenden Vorschlag initiieren: Diese Transformation muss eine gleichförmige Bewegung, wir wählen die einfachste Form, x = v t , in eine gleichförmige Bewegung überführen. Für zwei Zeitpunkte t 1 und t 2 gilt dann: Die Gleichförmigkeit ist für alle Zeiten t genau dann erhalten, wenn gilt. Damit ist ein korrekter Ansatz entwickelt. Ein Beispiel für eine Tafelanschrift zur Ableitung der Lorentztransformation liefert das folgende PDF. In den folgenden Ausführungen wird statt k das in der Literatur übliche gamma verwendet, was nur für einen höheren Leistungslevel zu empfehlen ist. Die Schülerinnen und Schüler sind mit den folgenden Inhalten vertraut: Ein Punktereignis wird im Bezugssystem S durch die Koordinaten (x, t) , genauer (x, y, z, t) , und im System S' durch die Koordinaten (x', t') , genauer (x', y', z', t') , beschrieben. Stimmen die Ursprünge der beiden Systeme S und S' zur Zeit t = t' = 0 überein, dann ist die Beziehung zwischen (x, t) und (x', t') durch die Lorentztransformation gegeben: wobei Welches Ergebnis liefert die Lorentztransformation bei Transformation eines (Punkt-)Ereignisses (x, t)? Es werden zwei verschiedene Punktereignisse betrachtet. Benötigt werden nur die Ergebnisse für Ereignis 1: Ereignis 2: Anschließend wird der räumliche und zeitliche Abstand der Ereignisse im System S' berechnet: Algebraisch ist damit auch die Relativität der Gleichzeitigkeit bewiesen: Für jeden Beobachter ist Gleichzeitigkeit eine Funktion des verwendeten Bezugssystems. Ein Verständnis für die Implikationen aus den Gleichungen (A1) und (A2) kann erst nach weiterer eingehender Diskussion erzielt werden. Dies soll in den beiden folgenden Modulen geschehen. Es wird der Spezialfall betrachtet, das heißt es werden zwei aufeinander folgende Ablesungen einer Uhr im System S mit den Ablesungen von zwei verschiedenen Uhren im System S' verglichen, weshalb das Problem der Synchronisation verschiedener Uhren angeschlossen werden sollte. Anmerkung zu Level 1 Hier wird analog zu Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation der Spezialfall neu gerechnet. Anmerkung zu Level 2 und 3 Es werden die Ergebnisse des Moduls 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation spezialisiert. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Lorentztransformation für die Messung von Zeitspannen? Eine Uhr ruhe im System S im Punkt Zwei verschiedene Ablesungen der Uhr definieren eine Zeitspanne und sollen als zwei Ereignisse angesehen werden: Ereignis 1: Ereignis 2: Die Zeitkoordinaten dieser Ereignisse für das System S', das relativ zu S die Geschwindigkeit V hat, sind im Prinzip bereits in Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation bestimmt worden. Falls 6.1 nicht behandelt worden ist, rechnet man analog dazu neu. Es ergibt sich also: woraus folgt womit eine Verknüpfung der entsprechenden Zeitintervalle in S und S' gefunden ist. Das Ergebnis wird durch Zahlenbeispiele vertieft. Es wird der Spezialfall betrachtet, das heißt es werden die Koordinaten der Endpunkte eines Stabes in System S' zur Zeit gleichzeitig bestimmt. Anmerkung zu Level 1 Hier wird analog zu Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation der Spezialfall neu gerechnet. Anmerkung zu Level 2 und 3 Es werden die Ergebnisse des Moduls 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation spezialisiert. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Lorentztransformation für die Messung von Längen? Die gleichzeitige Messung zur Zeit der Endpunkte eines Stabes in S', wird durch die zwei Punktereignisse und beschrieben, das heißt es gilt in S' Das gesuchte Ergebnis ergibt sich sofort für aus den allgemeinen Abstandsgleichungen (siehe Gleichungen (A1) und (A2) in Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation ): Falls Modul 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation nicht behandelt worden ist, rechnet man analog dazu neu. Angeschlossen werden sollte eine Diskussion der Messzeitpunkte in beiden Systemen, das heißt unter anderem, dass die Messung der Stabenden im System S nicht gleichzeitig stattfindet. Bisher sind bei den Auswertungen der virtuellen Realitäten aus Modul 1. Einstieg in das Thema (Flüge durch das Brandenburger Tor) wichtige Daten der Aufnahmen, wie Kameraposition und Bildgröße des Objektes, nicht bearbeitet worden. Ursache für unterschiedliche Bildgrößen bei gleicher Kameraposition und verschiedenen Anfluggeschwindigkeiten auf ein Objekt ist die Lorentzkontraktion der Bildweite. Dies bedeutet, dass die Projektionsebene näher an die Blende heran gerückt ist, was das Bild vergrößert. Im Lochkameramodell ist die Kamera lorentzkontrahiert. Die Schülerinnen und Schüler haben Modul 3.1 absolviert und kennen die Lorentzkontraktion (Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). Es wird den Schülerinnen und Schülern die Kameraposition des jeweils ersten - und bei Bedarf auch letzten - Bildes der Computerfilme zum Durchflug des Brandenburger Tores mitgeteilt (Tab. 1). Die Beobachtung, dass die Startbilder in der Größe recht ähnlich sind, führt direkt zu der Problemfrage. Tab. 1: Infos zur Bildauswertung Geschwindigkeit Kameraposition Startbild in LE (Längeneinheiten) Kameraposition Endbild in LE (Längeneinheiten) 0,01 c 70 -2 0,50 c 46 -2 0,90 c 24 -7 0,95 c 16 -12 0,99 c 8 -28 Warum sind unterschiedliche Startpositionen gewählt worden beziehungsweise warum sind bei den verschiedenen Flügen die Bilder des Tores bei identischer Kameraposition unterschiedlich groß? Hinweise zum Einsatz der Materialien Falls eine genügend schnelle Internetanbindung und genügend Speicherplatz vorhanden sind, kann die Lehrkraft die Originaleinzelbilddateien der Filme im Schulnetz zur Auswertung speichern. Andernfalls wird auf die interaktiven Online-Materialien zurückgegriffen, die ausgewählte und skalierte Einzelbilder zur Ausmessung am Bildschirm bereitstellen. Schon ein rein optischer Vergleich dieser Bilder zeigt die mit wachsender Geschwindigkeit abnehmende Größe des Tores. In beiden Fällen werden die in Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung beim Ausmessen von Bilddaten gewonnenen Erfahrungen genügen, um die Bildweite für einige Fälle zu berechnen. Ein Vergleich der erhaltenen Werte bestätigt die Lorentzkontraktion der Lochkamera (Bildweite). Online-Arbeitsblätter Die interaktiven Funktionen der Arbeitsblätter arbeiten nicht im Internetexplorer. Bitte verwenden Sie einen anderen Browser (Firefox, Netscape, Mozilla, Konqueror, Opera, Safari). Beachten Sie auch die Hinweise am Ende der Seiten zur Nutzung des Messtools. Brandenburger Tor 1 Kameraposition 8 LE (LE = Längeneinheiten) Brandenburger Tor 2 Kameraposition 16 LE Brandenburger Tor 3 Kameraposition 21,47 LE Die Schülerinnen und Schüler sollen ein Gefühl für das Wesen und die Eigenschaften der Zeit gewinnen, insbesondere die Begriffe Gleichzeitigkeit und Geschwindigkeit der Zeit näher kennen lernen. die Herkunft unseres natürlichen Zeitsystems (Jahr, Monat, Tag, Stunde, Minute) und den Begriff der Weltzeit verstehen. im Rahmen einer Gruppenarbeit zum Uhrenbau die Begriffe von Zeitmessung und Uhr durchleuchten und eigene weiterführende Ideen verwirklichen. mithilfe des Computers den Uhrenbau dokumentieren und den Mitschülerinnen und Mitschülern vorstellen (zum Beispiel mit einer PowerPoint-Präsentation). die Uhren testen und die Ergebnisse auswerten und beurteilen. einen kurzen Einblick in das Thema "Relativität der Zeit" erhalten, die mit einem Java-Applet veranschaulicht werden kann (Klasse 8). Thema Was ist Zeit? Wie messe ich sie? Autorinnen Ulrike Endesfelder, Kirsten Kalberla Fach Naturwissenschaften, Physik, Technik, Projektarbeit/Projekttag Zielgruppe Klasse 5-8 Zeitraum etwa 2 Doppelstunden Die Unterrichtseinheit zum Uhrenbau eignet sich für den Unterricht im Fach Naturwissenschaften oder Physik, aber zum Beispiel auch für Projekttage. Sie basiert auf einem Angebot der flowventure-Erlebnispädagogik. flowventure wurde im Rahmen der UN-Dekade "Bildung für nachhaltige Entwicklung" ausgezeichnet und bietet für Schulklassen kommerzielle Programme an (siehe Zusatzinformationen). Erste Doppelstunde Die Lernenden werden abwechslungsreich in die Thematik eingeführt und erstellen danach an Bastelstationen in Gruppenarbeit verschiedene Uhrenmodelle. Zweite Doppelstunde Nachdem jede Gruppe ihre Uhr vor der Klasse präsentiert hat, werden alle Uhren zeitgleich getestet. Die gesammelten Daten werden in Heimarbeit ausgewertet. Russell Standard Durch Raum und Zeit mit Onkel Albert: Eine Geschichte um Einstein und seine Theorie, Fischer Verlag (2005), ISBN-13: 978-3596800155 Urike Endesfelder ist Diplom Physikerin und Referentin bei flowventure-Erlebnispädagogik . Die Schülerinnen und Schüler sollen ohne experimentellen Beweis akzeptieren, dass die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter konstant ist (vor dieser Situation standen zunächst auch viele Naturwissenschaftler zur Zeit der Veröffentlichung der Relativitätstheorie). aus der vorgegebenen Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit geometrischen Überlegungen eine Gleichung für die Zeitdilatation herleiten (kann auch durch die Lehrerin oder den Lehrer vorgegeben werden). durch Anwendung dieser Gleichung die Auswirkung der Zeitdilatation erkennen und feststellen, dass diese bei "normalen" Geschwindigkeiten äußerst gering ist. Thema Die Einsteinsche Zeitdilatation Autor Manfred Amann Fach Physik Zielgruppe ab Klasse 10 Zeitraum 1-2 Stunden Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Einzel- oder Partnerarbeit), Internetanschluss, Java Runtime Environment , aktiviertes JavaSkript Gerald Kahan Einsteins Relativitätstheorie zum leichten Verständnis für jedermann 2004 Dumont-Verlag (Nachdruck) ISBN 3-8321-1852-7 Kahans Buch ist besser als so manche aktuelle Einsteinjahr-Literatur und sehr gut für interessierte Schülerinnen und Schüler mit mathematischen und physikalischen Grundkenntnissen geeignet. Nigel Calder Einsteins Universum 1980 Umschau-Verlag, Lizenzausgabe Deutscher Bücherbund Auch dieses Buch stellt in seinen Veranschaulichungen nach meinem Empfinden einen Großteil der aktuellen Einsteinliteratur in den Schatten, ist aber leider nur noch antiquarisch erhältlich, zum Beipsiel über amazon.de. Die Grundzüge der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) basieren auf einer einfachen Formel. Nein, nicht E = mc², sondern v = s/t. Ausgehend von zwei einfachen Annahmen lieferten revolutionäre Gedankenexperimente über die Laufzeit von Licht, gemessen von zueinander bewegten Beobachtern, verblüffende neue Erkenntnisse über Raum und Zeit. Und mithilfe des guten alten Pythagoras (Link zur Lernumgebung "Die Satzgruppe des Pythagoras" des Autors bei Geogebra.org) sind auch die zugehörigen Formeln für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion schnell hergeleitet. In der Lernumgebung zur Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie können Lehrende und Schülerinnen und Schüler mithilfe der Maus am Monitor Darstellungen und Konstellationen kontinuierlich verändern. Bestimmte Fragestellungen lassen sich so dynamisch verfolgen und überprüfen. Dies ermöglicht einen aktiv-entdeckenden Zugang zu den physikalischen Sachverhalten. So wird die Relativität der Gleichzeitigkeit am Beispiel der Beobachtung eines Lichtblitzes erkundet, der in der Mitte einer fliegenden Rakete gezündet wird. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs können die Lernenden dabei variieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Postulate der Speziellen Relativitätstheorie verstehen. die Notwendigkeit einer präzisen Definition von Ort und Zeit eines Ereignisses einsehen. die Relativität der Gleichzeitigkeit als zwingende Konsequenz der Postulate erkennen. die Formel für die Zeitdilatation herleiten und anwenden können. die Formel für die Längenkontraktion herleiten und anwenden können. die Zitate aus Originalarbeiten richtig deuten und dem Gelernten zuordnen können. Thema Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie Autor Claus Wolfseher Fach Physik Zielgruppe Oberstufe Zeitraum mindestens 5 Unterrichtsstunden oder freie Zeiteinteilung bei selbstständiger Bearbeitung außerhalb des Unterrichts Technische Voraussetzungen Internetbrowser mit aktiviertem JavaScript, Java Runtime (JRE Version 1.4 oder höher, kostenfrei) Kinematik der SRT - prägnant und kompakt Weder für die Lehrkraft noch für die interessierten Schülerinnen und Schüler ist es befriedigend, wenn Formeln vom Himmel fallen, insbesondere wenn es um die populäre Relativitätstheorie geht. Andererseits sehen zeitlich knapp kalkulierte Lehrpläne meist nur eine Mitteilung oder einen Hinweis auf die Gleichungen der Zeitdilatation oder der Längenkontraktion vor. Intention der hier vorgestellten interaktiven Lerneinheit ist es daher, die Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie möglichst prägnant und kompakt zu erläutern, ohne auf die Herleitung der zugehörigen Formeln zu verzichten. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dabei auch, dass mathematische Grundkenntnisse fundamental, ja hier sogar ausreichend sind, um zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Die erarbeiteten Formeln sollten in Anwendungsaufgaben (beispielsweise Durchqueren der Atmosphäre von Myonen oder Reise zu ?-Centauri) gefestigt werden. In der Unterrichtspraxis führte die Lerneinheit stets automatisch zu Diskussionen, die auf das Zwillingsparadoxon, das Hafele-Keating-Experiment und die Kausalitätsproblematik abzielten und von der Lehrkraft aufgenommen werden konnten. Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT Auf diese Weise erhalten die Lernenden trotz der Einschränkungen des alltäglichen Unterrichtbetriebs einen über bloße Mitteilungen hinausgehenden Einblick in die SRT, der als Basis für weiterführende, eigenständige Forschungen und als Anknüpfungspunkt für die Dynamik der SRT dienen kann. Einsatzmöglichkeiten und Aufbau der Materialien Die Konzeption der Texte, Zusatzinformationen, Lösungen und die Interaktivität der Lernumgebung werden hier skizziert. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie kennen. die Galilei-Transformation rechnerisch und grafisch anwenden und interpretieren können. Raum-Zeit-Diagramme konstruieren und interpretieren können. die Lorentz-Transformation rechnerisch und grafisch anwenden und interpretieren können. die wichtigsten Phänomene der SRT wie Längenkontraktion und Zeitdilatation angeben und interpretieren können. Geschwindigkeiten relativistisch addieren können. die relativistische Massenzunahme wiedergeben und in Beispielen anwenden können. die Beziehung von Masse und Energie in Einsteins berühmter Äquivalenzformel deuten und die Abhängigkeit der Gesamtenergie und der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit beschreiben können. die Äquivalenz von Masse und Energie und die Möglichkeiten der Anwendung verstehen. Thema Online-Kurs "Spezielle Relativitätstheorie" mit GeoGebra Autor Andreas Lindner Fach Physik Zielgruppe Jahrgangsstufe 12 Zeitraum 4-6 Stunden (bei Vertiefung entsprechend mehr) Technische Voraussetzungen Internetbrowser, Java Runtime (JRE Version 1.4 oder höher, kostenfrei); die Mathematiksoftware GeoGebra ist zum Betrachten der Arbeitsblätter nicht Voraussetzung, kann aber zum Erstellen eigener Konstruktionen kostenfrei aus dem Internet heruntergeladen werden. Der Onlinekurs besteht (zurzeit) aus 25 HTML-Seiten mit 13 interaktiven GeoGebra-Applets. Eine ausführliche Besprechung der Kursinhalte würde den hier gegebenen Rahmen sprengen. Aus diesem Grund beschränken wir uns auf allgemeine Hinweise zum Einsatz der Materialien. Generell eignet sich der Online-Kurs zum Einzelstudium, als Ergänzung des traditionellen Unterrichts oder als zusammenfassende Wiederholung des Unterrichtsthemas. Abhängig von dem zur Verfügung stehenden Zeitrahmen bewährt sich neben der Nutzung der Applets ein händisches Rechnen von Aufgabenstellungen, zum Beispiel im Bereich der Längenkontraktion oder der Zeitdilatation. Anschließend können die Ergebnisse mit den interaktiven Arbeitsblättern des Online-Kurses verglichen werden, um die Einsicht zu vertiefen. Auch bei einer intensiveren Auseinandersetzung mit den Minkowski-Diagrammen sollte ein händisches Konstruieren oder ein Konstruieren am Computer durch die Schülerinnen und Schüler angestrebt werden. Gestaltung, Nutzung und Inhalte des SRT-Kurses Hier finden Sie Hinweise zur formalen Aufbereitung der GeoGebra-Applets, zur Nutzung des Online-Kurses sowie eine Übersicht der einzelnen Kapitel und Unterkapitel. Fast alle Zugänge zur Lorentztransformation im Unterricht arbeiten mit einem exzessiven Vorlauf an geometrischen Betrachtungen von Minkowskidiagrammen. Dieser Beitrag stellt eine bedenkenswerte Alternative vor. Computergenerierte Bildsequenzen und Filme, die relativistische Effekte simulieren, bieten in Verbindung mit Java-Applets und interaktiven JavaScript-Messtools faszinierende Möglichkeiten, um nicht nur Interesse für dieses Teilgebiet der modernen Physik zu wecken, sondern auch Kernaussagen der Speziellen Relativitätstheorie anschaulich zu vermitteln. Die naive Annahme, dass bei hohen Geschwindigkeiten alle Körper nur lorentzkontrahiert erscheinen, wird durch einen simulierten Flug durch ein fiktives Brandenburger Tor widerlegt. Ein Klick auf die Grafik mit der gewohnten Ansicht des Gebäudes (oben links) zeigt weitere geometrische Effekte, die durch Retardierung und Lichtaberration zustande kommen. Schülernahe Erklärungen sind möglich. Der modulare Aufbau der Unterrichtseinheit, die in drei verschiedenen Level durchgeführt werden kann, bietet interessante methodische Differenzierungsmöglichkeiten. Eine kurze Übersicht liefert dieses Die Lorentztransformation - Fundament der SRT . Die Autorin dankt Prof. Dr. Hanns Ruder von der Theoretischen Astrophysik der Universität Tübingen und seinen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern, insbesondere Frau PD Dr. Ute Kraus und Herrn Thomas Müller, die die Originaldateien der Simulationsfilme für diese Unterrichtseinheit zur Verfügung gestellt zu haben. Da die Unterrichtseinheit inhaltlich einen weiten Bogen spannt, von der Galileitransformation über die Ableitung der Lorentztransformation bis hin zu Zeitdilatation und Längenkontraktion, beschränkt sich die folgende Liste auf Groblernziele, die jedoch levelabhängig (schnell, genauer, exakt) mit unterschiedlichen Feinlernzielen zu belegen und daher in unterschiedlicher Intensität zu realisieren sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Galileitransformation verstehen. das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik kennen (Galileisches Relativitätsprinzip). erkennen, dass die Galileitransformation modifizierungsbedürftig ist. in der Lage sein, die Position eines ruhenden Objektes aus ausgewähltem Datenmaterial zu bestimmen (Computersimulation: Virtuelle Realität des Durchfluges durch ein Tor mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit; siehe Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung ). Einblick in Retardierungseffekte gewinnen (Level 1: Modul 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung , Level 2 und 3: Module 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung und 3.2 Frontaler Anflug auf ein Objekt, klassische Retardierung ). Einblick in den Effekt der Lichtaberration erhalten (nur Level 3: Modul 3.3 Seitlicher Vorbeiflug an einem Objekt, Aberration ). wissen, das Einsteins erstes Postulat eine lineare Gestalt der speziellen Lorentztransformation (bezüglich x und t ) erzwingt (siehe Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). erkennen, wie die Postulate Einsteins in die Herleitung der speziellen Lorentztransformation eingehen (siehe Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). eine elementarisierte Ableitung der Lorentztransformation kennen (siehe Modul 5. Ableitung der speziellen Lorentztransformation ). die Begriffe Punktereignis, Abstand und Gleichzeitigkeit verstehen (nur Level 2 und 3: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation , 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion ). den Begriff des Raum-Zeit-Kontinuums verstehen (erkennen, das räumliche und zeitliche Abstände nicht als voneinander unabhängig angesehen werden können; Level 1: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation und 6.2 Zeitdilatation , Level 2 und 3: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation , 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion ). die Begriffe Längenkontraktion und Zeitdilatation kennen und die Fähigkeit erlangen, die entsprechenden mathematischen Relationen aus der speziellen Lorentztransformation herzuleiten (Level 1: Module 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion , Level 2 und 3: Module 6.1 Punktereignisse und ihre Transformation , 6.2 Zeitdilatation und 6.3 Längenkontraktion ). in der Lage sein, die Lorentzkontraktion einer schnell bewegten Kamera aus ausgewähltem Datenmaterial zu bestimmen (Computersimulation: Virtuelle Realität des Durchflugs durch ein Tor mit relativistischen Geschwindigkeiten; nur Level 3, Modul 6.4 Analyse der Bildgröße eines schnell bewegten Objektes ). Thema Die Lorentztransformation - Fundament der Speziellen Relativitätstheorie Autorin Dr. Sigrid M. Weber Fach Physik Zielgruppe Sek II Zeitraum variabel, je nach Vertiefung und medientechnischen Vorkenntnissen der Schülerinnen und Schüler; als Anhaltspunkt für Level 1: mindestens 6 Stunden plus Hausaufgabenphase (zur Bearbeitung der Aufgaben in Modul 1. Einstieg in das Thema und 3.1 Grundlagen, Zentralperspektive, klassische Retardierung ) Technische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl für Einzel oder Partnerarbeit, ggf. Beamer, Browser mit Java -Plugin und Plugin zum Abspielen von MP4-Filmen ( QuickTime Player ) sowie aktiviertem JavaSkript. Alternativ zu den Plugins: Plattformabhängige Applikationen zum Ausführen von Java-Applets (Java Engine mit Appletviewer) und zum Abspielen von MP4-Filmen ( QuickTime Player ). Unterrichtsplanung Das Die Lorentztransformation - Fundament der SRT verschafft Ihnen einen Überblick über die möglichen unterschiedlichen Anforderungsniveaus der Unterrichtseinheit, das sind die Level "schnell", "genauer", "exakt", sowie die in den jeweiligen Modulen eingesetzten digitalen Medien. Die Schülerinnen und Schüler sollen das Computeralgebrasystem Derive als universelles mathematisches Werkzeug kennen lernen. mit Derive eine Anleitung für die Erzeugung von Minkowski-Diagrammen entwickeln. Aufgaben aus der Relativitätstheorie sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Derive lösen können. die Bedeutung von Minkowski-Diagrammen erkennen. erkennen, dass die Erhaltungssätze der Mechanik in der Relativitätstheorie eine neue Bedeutung bekommen. Thema Minkowski-Diagramme mit Derive Autor Rainer Wonisch Fach Physik Zielgruppe Jahrgangstufe 12 oder 13, Grund- oder Leistungskurs Zeitraum 10-12 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Beamer (Lehrerdemonstration), Rechner in aus reichender Anzahl für Partner- oder Gruppenarbeit Software Derive; Infos zur Software finden Sie in der (debug link record:lo_unit_subpage:tx_locore_domain_model_unitsubpages:355022) im Mathematik-Portal von Lehrer-Online Die hier beschriebene Unterrichtseinheit setzt voraus, dass der Unterricht zur Relativitätstheorie bereits bis hin zu den Minkowski-Diagrammen gediehen ist. Auch eine zeichnerische Umsetzung ist schon durchgeführt worden, so dass die ersten Teile der Unterrichtseinheit aus physikalischer Sicht eine Wiederholung sind. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler reichlich Übung im Umgang mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive haben, obwohl dies nicht schaden könnte. Lehrkräften, die im Umgang mit Derive noch nicht so geübt sind, wird die Erstellung von Minkowski-Diagrammen mithilfe einer Anleitung im PDF-Format Schritt für Schritt erläutert. Die an die Schülerinnen und Schüler gestellten Anforderungen sind auch von einem Grundkurs zu bewältigen. Wenn man den letzten Teil der Unterrichtseinheit mit der Behandlung der Erhaltungssätze sehr ausführlich behandeln möchte, dann benötigt man zu den in der Kurzinformation angegebenen 10-12 Stunden noch etwa vier zusätzliche Unterrichtstunden. Vorgeschlagen wird eine Mischung aus lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem und schülerzentriertem Unterricht. Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 1) Typische Probleme der Speziellen Relativitätstheorie (Stunde 1 bis 8) Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 2) Betrachtung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie (Stunde 9 und 10 beziehungsweise 9 bis 12)

Dieser Artikel beschreibt, wie der rechnerische und zeichnerische Aufwand für die Erstellung und Interpretation von Minkowski-Diagrammen im Physikunterricht mithilfe des „Rechen- und Zeichenknechtes Computer“ reduziert, somit der inhaltlichen Diskussion mehr Zeit gewidmet und der Umgang mit einem CAS geübt werden kann.Will man Aufgaben zur Relativitätstheorie mithilfe des Minkowski-Diagramms zeichnerisch bearbeiten, so müssen Parallelen gezeichnet und deren Schnittpunkte mit Achsen oder anderen Geraden bestimmt werden. Je nach Sorgfalt sind die damit erzielten Werte brauchbar oder kaum brauchbar. Eine rechnerische Kontrolle ist auf jeden Fall angebracht. Warum überträgt man dann die Arbeit nicht gleich dem Computer?! Die Genauigkeit seiner Zeichnungen ist kalkulierbar, für die rechnerische Kontrolle der Ergebnisse steht er ebenfalls zur Verfügung und gleichzeitig lernen die Schülerinnen und Schüler ihre anderweitig erworbenen mathematischen Kenntnisse oder auch den Umgang mit entsprechender Mathematiksoftware anzuwenden. Ein geeignetes Werkzeug kann zum Beispiel ein Computeralgebrasysteme wie Derive sein.Die hier beschriebene Unterrichtseinheit setzt voraus, dass der Unterricht zur Relativitätstheorie bereits bis hin zu den Minkowski-Diagrammen gediehen ist. Auch eine zeichnerische Umsetzung ist schon durchgeführt worden, so dass die ersten Teile der Unterrichtseinheit aus physikalischer Sicht eine Wiederholung sind. Es wird nicht vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler reichlich Übung im Umgang mit dem Computeralgebrasystem (CAS) Derive haben, obwohl dies nicht schaden könnte. Lehrkräften, die im Umgang mit Derive noch nicht so geübt sind, wird die Erstellung von Minkowski-Diagrammen mithilfe einer Anleitung im PDF-Format Schritt für Schritt erläutert. Die an die Schülerinnen und Schüler gestellten Anforderungen sind auch von einem Grundkurs zu bewältigen. Wenn man den letzten Teil der Unterrichtseinheit mit der Behandlung der Erhaltungssätze sehr ausführlich behandeln möchte, dann benötigt man zu den in der Kurzinformation angegebenen 10-12 Stunden noch etwa vier zusätzliche Unterrichtstunden. Vorgeschlagen wird eine Mischung aus lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem und schülerzentriertem Unterricht. Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 1) Typische Probleme der Speziellen Relativitätstheorie (Stunde 1 bis 8) Vorschlag für den Unterrichtsverlauf (Teil 2) Betrachtung der Erhaltungssätze für Impuls und Energie (Stunde 9 und 10 beziehungsweise 9 bis 12) Die Schülerinnen und Schüler sollen das Computeralgebrasystem Derive als universelles mathematisches Werkzeug kennen lernen. mit Derive eine Anleitung für die Erzeugung von Minkowski-Diagrammen entwickeln. Aufgaben aus der Relativitätstheorie sowohl grafisch als auch rechnerisch mit Derive lösen können. die Bedeutung von Minkowski-Diagrammen erkennen. erkennen, dass die Erhaltungssätze der Mechanik in der Relativitätstheorie eine neue Bedeutung bekommen. Thema Minkowski-Diagramme mit Derive Autor Rainer Wonisch Fach Physik Zielgruppe Jahrgangstufe 12 oder 13, Grund- oder Leistungskurs Zeitraum 10-12 Stunden Technische Voraussetzungen Computer mit Beamer (Lehrerdemonstration), Rechner in aus reichender Anzahl für Partner- oder Gruppenarbeit Software Derive Sie erklären am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) die Schritte zur Erzeugung eines Minkowski-Diagramms mit t' - und x' -Achse, aber ohne deren Einteilung. Ich schlage den Wert 0,5 c für die Relativgeschwindigkeit vor, da das Diagramm dabei relativ übersichtlich bleibt. Sie blenden den Beamer aus und fordern die Schülerinnen und Schüler auf, ein solches Diagramm selbst zu erzeugen. Falls es unbedingt nötig ist, geben Sie Hilfestellungen. Ansonsten lassen Sie die Jugendlichen sich selbst helfen. Sie wiederholen zusammen mit den Schülerinnen und Schülern die Erstellung der Achseneinteilung für die t' -Achse. Bei der Umsetzung in die Sprache von Derive geben Sie eine mögliche Lösung an, falls die Schülerinnen und Schüler nicht durch die Erfahrungen aus dem Mathematikunterricht selbst einen brauchbaren Vorschlag machen. Die Jugendlichen erhalten den Auftrag, die Rasterpunkte für die t' -Achse und außerdem für die x' -Achse einzuzeichnen. Wenn alle fertig sind, lassen Sie eine Schülerin oder einen Schüler aus einer Arbeitsgruppe den Lösungsweg seiner Gruppe am Lehrercomputer (Demonstration per Beamer) erklären. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x-t -System einzuzeichnen. Warten Sie, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Geben Sie den Auftrag, die Gitterlinien für das x'-t' -System einzuzeichnen. Diesmal werden Sie wahrscheinlich nicht warten können, bis sich der Lösungsweg herumgesprochen hat. Helfen Sie bei den Gruppen, deren Ideen am weitesten fortgeschritten sind, und benutzen Sie die Mitglieder dieser Gruppen dann als Multiplikatoren. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe auch minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Gegeben seien zwei Inertialsysteme S und S'. S' bewegt sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit v = 0,5 c. Aufgabe 1.1 Im System S sind verschiedene Ereignisse gegeben. A (3Ls/1s); B (3Ls/2s); C (3Ls/3s) Bestimme für die Ereignisse A, B, C die Ereigniskoordinaten im System S' zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms. Beschreibe Deine Vorgehensweise. Während der jetzt folgenden intensiven Diskussionen unter den Schülerinnen und Schülern "verraten" Sie einer Gruppe, dass ein Schieberegler eingesetzt werden kann. Dann warten Sie ab, ob sich diese Möglichkeit herumspricht. Wenn die Jugendlichen diese Möglichkeit schon kennen, wird es etwas weniger spannend sein. Zum Abschluss lassen Sie die verschiedenen Ansätze vortragen. Sie stellen folgende Aufgabe (siehe minkowski_derive_einfuehrung.pdf ): Aufgabe 1.2 Im System S' bewegt sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' = 0,5 c. Wie groß ist seine Geschwindigkeit u im System S? (zeichnerische Lösung) Wenn genügend Lösungen vorhanden sind, lassen Sie eine Gruppe ihre Vorgehensweise erklären. Sie stellen, je nach Situation, entweder für zu Hause oder für den Unterricht die Aufgabe, die wesentlichen Schritte für die Erstellung eines Minkowski-Diagramms mit Derive als Arbeitsanweisung zusammenzustellen. (Ein mögliches Ergebnis finden Sie unter Punkt 10: minkowski_diagramm.dfw beziehungsweise minkowski_derive.pdf ) Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Aufgabe 2 Ein Raumschiff mit v = 0,8 c sendet (aus seiner Sicht) jede Sekunde ein Funksignal aus. In welchem zeitlichen Abstand werden diese Signale im System S registriert? Kläre diese Frage zeichnerisch mithilfe eines Minkowski-Diagramms und zusätzlich rechnerisch. Ein allgemeines Aufstöhnen wird die Antwort sein, da Sie in gemeiner Weise eine andere Relativgeschwindigkeit gewählt haben. Sichten Sie gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern die bei Schritt 9 erstellten Arbeitsanweisungen und verallgemeinern Sie die beste Anweisungsfolge so, dass man mit ihrer Hilfe für jeden Wert von v mit einigen Mausklicks das gewünschte Minkowski-Diagramm erzeugen kann. Eine mögliche Lösung für die Anweisungsfolge mit Kommentaren finden Sie in der Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw . Für die Bearbeitung von Aufgabe 2 stellen Sie im Derive-Ausdruck #2 die richtige Geschwindigkeit ein und erzeugen dann mithilfe der Derive-Anweisungen das entsprechende Minkowski-Diagramm. Die Datei kann dann, unter neuem Namen gespeichert, für die weitere Bearbeitung fortgesetzt werden. Für die grafische Lösung von Aufgabe 2 müssen wegen der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem Parallelen zu t = -x durch mindestens zwei Rasterpunkte auf der t' - oder der x' -Achse gezeichnet werden. Die Differenz der Schnittwerte mit der t -Achse ist der gesuchte Zeitunterschied. Die Schülerinnen und Schüler werden vermutlich konkrete Zahlenwerte für die Punkte auf der t' -Achse benutzen. Man kann aber auch allgemein mit den Komponenten der Punkte P arbeiten. Wie man auf die Komponenten eines Vektors zugreifen kann, erläutert der folgende Auszug aus der Derive-Hilfe: "Mit dem Infixoperator SUB kann man ein Element aus einem Vektor oder einer Matrix herausgreifen. Wenn v ein Vektor ist, liefert v SUB n das n-te Element von v. Als Alternative zum Schreiben von SUB in der Eingabezeile, kann dieser Operator durch einen Klick auf das Abwärts-Pfeil-Zeichen auf der Mathematik-Symbolleiste eingegeben werden. Im Algebra-Fenster werden tiefer gestellte Indizes in der Standard-Index-Notation angezeigt. Zum Beispiel wird [a, b, c, d] SUB 2 angezeigt als und weiter vereinfacht zu b." Das Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Richtungs-Form ist der eleganteste Weg. Wenn die Jugendlichen diese Form nicht kennen oder verdrängt haben, müssen Sie einen kurzen mathematischen Einschub machen. Daraus ergibt sich ein Signalabstand von 3 Sekunden. Rechnerisch erhält man die Werte für t , in dem man für x den Wert 0 einsetzt. Entweder für ein Beispiel: oder für eine Folge von Werten: Benutzt wurde in beiden Fällen die Substitution für eine Variable. Sie erreichen diese Möglichkeit über Vereinfachen > Variablen-Substitution . Aufgabe 3 Sie stellen nun die folgende Aufgabe: Gegeben seien die beiden Inertialsysteme S und S' mit der Relativgeschwindigkeit v. Im System S' wird das folgende Experiment durchgeführt: Zwei Körper gleicher Masse bewegen sich mit gleichem Betrag der Geschwindigkeiten aufeinander zu. Zum Zeitpunkt t' = 2 s treffen sie sich völlig unelastisch an der Stelle x' = 0, so dass sie vereint liegen bleiben. Es sei Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S'. Formuliere für diesen Vorgang den Impulserhaltungssatz im System S. Versuche auch eine zeichnerische Lösung. Die Schülerinnen und Schüler werden sofort fragen, welchen Wert sie für die Relativgeschwindigkeit v benutzen sollen. Stellen Sie es ihnen einfach frei. Für Ihre eigene Bearbeitung schlage ich v = 0,6 c vor. Es ergibt sich also u' sub~1~~ = 0,6 c ; u' sub~2~~ = 0,6 c . Die Weltlinien beider Körper im System t'-x' werden bis zum Zusammentreffen gezeichnet. Mithilfe der Musteranweisungsfolge (siehe Derive-Datei minkowski_diagramm.dfw ) kann man das entsprechende Minkowski-Diagramm zeichnen. Endpunkt für die beiden Weltlinien soll der Punkt (0,2) auf der t' -Achse sein: Zwei Sekunden vorher war der sich in +x' -Richtung bewegende Körper an einer um 2Ls 0.6 in Richtung der -x' -Achse liegendem Ort gewesen. #14 und mit konkreten Werten #15 beschreiben Ausgangspunkt und Endpunkt im Minkowski-Diagramm: Für den sich in -x' -Richtung bewenden Körper gelten analog die beiden folgenden Ausdrücke: Auch wenn die Schülerinnen und Schüler ohne Ihre Hilfe dieses Ergebnis erzielt haben, werden sie misstrauisch sein, ob es überhaupt richtig sein kann. Dazu sieht es zu ungewohnt aus. Falls Sie es nicht von vorn herein schon gemacht haben sollten, dann führen Sie den Versuch auf einer Fahrbahn (am besten einer Luftkissenbahn) vor und bitten die Jugendlichen, für beide Körper das s-t -Diagramm zu zeichnen. Und zwar in der Form, in der sie früher solche Diagramme gezeichnet haben und zusätzlich mit vertauschten Achsen, wie bei den Minkowski-Diagrammen. Danach wird man den Ergebnissen nicht mehr ganz so misstrauisch gegenüber stehen. Die Geschwindigkeit der beiden Körper im System S kann aus den von Derive berechneten Werten der Anfangs- und Endpunkte der beiden Weltlinien bestimmt werden. Die folgenden Derive-Ausdrücke liefern das Ergebnis: Daraus ergeben sich die Geschwindigkeiten: Für die Geschwindigkeiten im System S' gilt laut Voraussetzungen der Aufgabe Formulierung des Impulssatzes für das System S': Daraus ergibt sich da die beiden Massen auf jeden Fall gleich sind. Formulierung des Impulssatzes für das System S: Setzt man die Zahlen des Beispieles ein, so erhält man: Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Fragen Sie die Schülerinnen und Schüler nach Erklärungshypothesen. Mögliche Hypothesen sind: Die berechneten Werte für u sub~1~~ und u sub~2~~ sind falsch. Bei hohen Geschwindigkeiten bleibt die Masse nicht konstant. Der Impulssatz gilt nicht bei hohen Geschwindigkeiten. Alle diese Hypothesen führen zu einer intensiven, weiterführenden Betrachtung: Die erste lässt sich durch Anwendung der Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten kontrollieren. Die zweite Hypothese beruht auf Kenntnissen der Schülerinnen und Schüler, die sie populärwissenschaftlichen Zeitschriften oder Fernsehsendungen entnommen haben. Die dritte Hypothese lässt sich mithilfe der Überlegungen zu Hypothese 2 kontrollieren. Untersuchung von Hypothese 1 Für die Untersuchung der ersten Hypothese erscheint folgende mehrgleisige Vorgehensweise sinnvoll: Die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten wird gemeinsam im Unterricht aus der Verallgemeinerung des Beispieles der Aufgabe 1.2 hergeleitet. Eine alternative Herleitung aus den Lorentztransformationen wird als Kurzreferat vergeben. Zur Herleitung mithilfe von Derive können Sie die für Aufgabe 1 erstellte Derive-Datei weiter benutzen. Öffnen Sie die Datei und gehen dann wie folgt vor. Zuerst heben Sie die Festlegungen für u' und v auf: Wir wählen wieder t' = 2 s. Man erhält die Weltlinie des sich mit u' bewegenden Körpers durch vektorielle Addition der Weltlinie des Systems t'-x' von 0 bis 2 s und einer Parallelen zur x' -Achse, deren Länge durch die Geschwindigkeit u' bestimmt ist. Bestimmung des Rasterpunktes auf der t'-Achse: Der Ortsvektor zum entsprechenden Punkt auf der x' -Achse muss auf die richtige Länge gebracht werden: Die beiden Ortsvektoren werden addiert: Die Geschwindigkeit u erhält man, indem man die erste Komponente des Vektors ( x -Wert) durch die zweite Komponente ( t -Wert) dividiert: Vereinfacht man diesen Ausdruck, so erhält man die Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten: In Nicht-Derive-Schreibweise erhält man die bekannte Formel: Nachdem auch das Kurzreferat gehalten wurde, kann man mit der Formel die Ergebnisse für u sub~1~~ und u sub~2~~ bestätigen. Damit ist Hypothese 1 zu verwerfen. Untersuchung von Hypothese 2 Zur Überprüfung der zweiten Hypothese lassen Sie die Schülerinnen und Schüler die folgende Internetseite studieren. Dort findet sich eine Bestätigung der Hypothese mit: Untersuchung von Hypothese 3 Verbleibt noch die dritte Hypothese. Lassen Sie die Jugendlichen die Impulse vor und nach dem Stoß unter Berücksichtigung der obigen Formel berechnen. Mit Derive könnte das folgendermaßen aussehen: Offensichtlich stimmt hier irgendetwas nicht. Entweder ist die Rechnung falsch oder der Impulssatz gilt nicht oder er kann so nicht angewendet werden. Wenn Sie kein Buch für die Schülerinnen und Schüler haben, das dieses Problem zu lösen hilft, dann lassen Sie die folgende Seite aus dem Internet bearbeiten. Sie ist sehr übersichtlich und verwendet das auch hier eingesetzte Beispiel. Die Darstellung ist zwar etwas allgemeiner aber dennoch gut verständlich. Zur Kontrolle des Verständnisses kann man dann die Rechung auf das hier vorgestellte Zahlenbeispiel anwenden. Relativistische Energie und Ruheenergie Infos auf der Website des Zentralen Informatikdienstes (Außenstelle Physik) der Uni Wien.

In dieser Materialsammlung finden Sie Unterrichtsmaterialien rund um Energie und Impuls, die Newtonschen Gesetze, geradlinige Bewegungen, Wurf- und Kreisbewegungen, Gravitation sowie zu mechanischen Wellen und Schwingungen. Die von Isaac Newton bereits im 17. Jahrhundert abgeleitete klassische Mechanik mit ihren Teilgebieten " Kinematik " und "Dynamik" wird an allen Schularten unterrichtet und ist als Spezialfall sowohl in der Relativitätstheorie als auch in der Quantenmechanik enthalten. Die Kinematik beschreibt geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit und Bewegungen unter dem Einfluss von Beschleunigungen, ohne dabei Masse und Kräfte zu berücksichtigen; werden die Wirkungen von Masse und Kräften auf Bewegungen miteinbezogen, spricht man von Dynamik . Dabei wird das Kräftegleichgewicht bei ruhenden Körpern als Statik bezeichnet, während die Kinetik Krafteinwirkungen behandelt, die den Bewegungszustand verändern. Kräfte wie etwa Gewichtskräfte, Reibungskräfte, Antriebskräfte oder Bremskräfte spielen eine große Rolle. So wäre beispielsweise Fliegen mit einem Airbus A-380 (Startmasse 560 Tonnen) unmöglich, wenn nicht immense Antriebskräfte durch die Triebwerke an den Flügeln eine Auftriebskraft erzeugen würden, die sowohl das Abheben als auch einen Flug zu einem anderen Kontinent ermöglichen. Kräfte beeinflussen Bewegungen wie horizontale, schräge und senkrechte Würfe. Bei Kreisbewegungen entsteht gleichzeitig mit der sie erzeugenden Zentripetalkraft auch eine als Zentrifugalkraft wirkende Scheinkraft, die man etwa aus schnellen Kurvenfahrten mit dem Auto kennt. Aus Kräften folgen wichtige mechanische Größen wie Arbeit, potentielle und kinetische Energie sowie der Impuls mit den zugehörigen Energie- und Impulserhaltungssätzen , die eine Umwandlung verschiedener Größen ermöglichen. Mithilfe der Gesetze zur Gravitation lassen sich die Bewegungsabläufe in der Raumfahrt bis hin zu den Vorgängen bei Planetenumläufen um die Sonne oder anderen Abläufen im Weltall beschreiben. Schwingungen, die nach dem Zusammendrücken oder Dehnen einer Feder entstehen, lassen sich in ähnlicher Form beschreiben wie die Bewegungsabläufe nach Auslenkung eines Pendels – sie werden als mechanische Schwingungen mit den Spezialformen harmonische Schwingungen sowie freie, gedämpfte und erzwungene Schwingungen beschrieben. Wirft man hingegen einen Stein in ein ruhendes Gewässer, so kann man die Ausbreitung einer kreisförmigen Störung beobachten, was in der Physik als mechanische Welle bezeichnet wird.