Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Gewinnung von Einsichten in die mathematischen Grundlagen der Zentralperspektive. Zudem stehen auch ideengeschichtliche Aspekte im Vordergrund. Querverbindungen zwischen Wissenschaft und Kunst aufzuzeigen, ist in Lehrplänen ein oft genanntes Bildungsziel, das jedoch selten konkretisiert wird. Doch so befruchtend in der Geschichte der Disziplinen Kunst und Mathematik Berührungen und Begegnungen waren, so anregend können sie für den Unterricht sein. Sagt man von der Philosophie, sie sei "ihre Zeit in Gedanken gefasst" (Georg Wilhelm Friedrich Hegel), so kann man von der Kunst sagen, sie sei ihre Zeit in Bildern ausgedrückt. Die Beschäftigung mit der Zentralperspektive, insbesondere mit einer Betrachtung im kunsthistorischen Längsschnitt, gibt Zugriff auf Querverbindungen zwischen Mathematik, Kunst und Philosophie und legt offen, dass epochale Veränderungen nie Sache einer Wissenschaft oder der Gesellschaft allein waren, sondern als Strömung stattfanden, die alle Bereiche von Kultur und Zivilisation umfasste. Von Leonardo da Vincis Äußerung "Die erste Absicht des Malers ist, zu machen, dass eine ebene Fläche sich als ein erhabener [ ... ] Körper darstelle" bis zu Magrittes "Ich benutze die Malerei um das Denken sichtbar zu machen" erfolgt ein Paradigmenwechsel von der Nutzung der Möglichkeiten der Zentralperspektive zum Aufbau einer Illusion der Realität bis zur Nutzung ihrer Defizite zur Zerstörung dieser Illusion und des Aufbaus eines anderen Verständnisses von Realität. Der Unterricht sollte beim Thema Zentralperspektive die Gelegenheit nutzen, ideengeschichtliche Querverbindungen aufzuzeigen. Dieses Anliegen steht in den Materialien dieser Unterrichtseinheit im Vordergrund. Die Unterrichtseinheit ist zwar für den Einsatz in der Jahrgangstufe 11 konzipiert, die MuPAD-Animationen können jedoch durchaus schon unterstützend in den Klassen 7 oder 8 verwendet werden (Beamerpräsentation), in denen ein erster Zugang zum zentralperspektivischen Zeichnen vermittelt wird. Historische Entwicklung und Wandlung Von der Definition der handwerklichen Grundlagen in der Renaissance bis zur Benutzung der Zentralperspektive zur Offenlegung des Illusionären im 20. Jahrhundert Hinweise zum unterrichtlichen Einsatz Welche Einsichten können mithilfe des Computeralgebrasystems bei der experimentellen Annäherung an die Zentralperspektive gewonnen werden? Arbeitsmaterialien Alle Materialien der Unterrichtseinheit im Überblick Die Schülerinnen und Schüler sollen Abbildungseigenschaften der Zentralprojektion als Regeln der zentralperspektivischen Darstellung erkennen (Mathematik). Einblick in die Entwicklung der zentralperspektivischen Darstellung bei Künstlern von der Renaissance bis zur Moderne gewinnen (Bildende Kunst). Thema Nutzung von Eigenschaften der Zentralprojektion als Zeichenregeln zur Darstellung des Raumes in der Ebene Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum etwa 8-11 Stunden Technische Voraussetzungen Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Renaissance - Definition handwerklicher Grundlagen Die Anfänge der zentralperspektivischen Darstellung liegen in der Renaissance. Sie sind verbunden mit einer Hinwendung zum Diesseits nach der Jenseitsorientierung des Mittelalters. Anfänglich werden zentralperspektivische Elemente naiv und unkritisch verwendet: Kanten von Gebäuden, Fugen von Kacheln und ähnliches laufen in die angenommene Tiefe hinein schräg aufeinander zu, ohne sich an einem definierten Fluchtpunkt zu orientieren. In Italien stellen Künstler wie Leon Battista Alberti (1404-1472) und Filippo Brunelleschi (1377-1446), in Deutschland Albrecht Dürer (1471-1528), die zentralperspektivische Darstellung teilweise mithilfe der Mathematik auf eine gesicherte, aber eher noch als handwerklich zu bezeichnende Grundlage. Das Hilfsliniengerüst aus Fluchtlinien und Parallelen zum Bildrahmen genügt aus heutiger Sicht nur einfachen Objektanordnungen. 17. Jahrhundert - das solide mathematische Fundament Im 17. Jahrhundert gibt der französische Architekt und Mathematiker Gérard Desargues (1591-1661) der Zentralperspektive ein ausgereiftes mathematisches Fundament (in dem er übrigens die Euklidische Geometrie überschreitet). Künstler wagen sich jetzt auch an Darstellungen heran, die zwei Fluchtpunkte enthalten. 19. und 20. Jahrhundert - Technik, Offenlegung des Illusionären Ab dem 19. Jahrhundert wird die zentralperspektivische Darstellung eher für die technische Zeichnung bedeutsam als für die Kunst. Gleichwohl erlebt die Zentralperspektive eine Wiedererweckung im Surrealismus des 20. Jahrhunderts. Mit der Perfektion der künstlerischen zentralperspektivischen Darstellung ist aber ihre Überwindung hinsichtlich ihrer ideellen Ursprünge verbunden - sie wird nicht mehr zum Aufbau der Illusion von Wirklichkeit genutzt, sondern geradezu zur Offenlegung des Illusionären, beziehungsweise einer Realität hinter dem Augenscheinlichen. Etliche Künstler machen dabei vor allem Gebrauch von Effekten, die auf dem Verlust der Tiefeninformation bei der Zentralprojektion beruhen. Bruno Ernst, "Der Zauberspiegel des M.C. Escher", Köln 1994 Keine MuPAD-Grundkenntnisse erforderlich Für den Umgang mit dem in der Unterrichtseinheit MuPAD-Notebook (zentralperspektive.mn) müssen keine Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein, da nur fertige MuPAD-Prozeduren genutzt werden. Eine elementare Einführung in die Handhabung des Computeralgebrasystems MuPAD bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Fächerverbindend - Bildende Kunst und Mathematik Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit ist eine von zweien zu dieser Thematik. Sie widmet sich dem Thema eher aus der Sicht der Bildenden Kunst, während die andere mehr auf der Seite des Fachs Mathematik steht (siehe Unterrichtseinheit Abbildung des Raums in die Ebene - Zentralprojektion im Fachportal Mathematik). Die Fähigkeiten zur Interpretation einer zentralperspektivischen Darstellung fallen individuell gleichermaßen unterschiedlich aus wie die Fähigkeiten zur Herstellung einer zentralperspektivischen Zeichnung. Darauf muss der Unterricht sich einrichten. Es sollten einige Grundbegriffe vermittelt werden, damit sprachliche Äußerungen über zentralperspektivische Darstellungen eine Grundlage haben. Darüber hinaus sind aber vor allem die MuPAD-Darstellungen mit ihren manipulativen Möglichkeiten (MuPAD-Notebook "zentralperspektive.mn") dazu gedacht, sich dem Thema eher experimentell zu nähern. Wie weit dann Einsichten gewonnen werden - wie sie im folgenden Text zusammenfassend aufgezählt werden - ist dann Sache der einzelnen Schülerinnen und Schüler. Die Normale zur Projektionsebene durch den Augpunkt heißt Hauptsehstrahl. Der Schnittpunkt des Hauptsehstrahls mit der Projektionsebene heißt Hauptpunkt. Parallelenscharen von Geraden, die parallel zur Projektionsebene verlaufen, werden als Parallelenscharen abgebildet (die Parallelität bleibt erhalten; nicht erhalten bleibt allerdings der Abstand der Parallelen). Alle zur Projektionsebene nicht parallelen Parallelenscharen werden als Geradenbüschel abgebildet. Alle Schnittpunkte solcher Geradenbüschel heißen Fluchtpunkte. Der Schnittpunkt eines Geradenbüschels, das Bild einer zur Projektionsebene normalen Parallelenschar ist, ist der Hauptpunkt. Ist der Hauptpunkt Ursprung eines orthogonalen, dreiachsigen Koordinatensystems und ist die Projektionsebene die xz-Ebene, so heißt die xy-Ebene Horizontalebene. Alle Fluchtpunkte der Bilder von Parallelenscharen, die in zur Horizontalebene parallelen oder orthogonalen Ebenen liegen, liegen auf der Schnittgeraden von Horizontalebene und Projektionsebene (der x-Achse). Diese heißt Horizont. Je kleiner der Betrag des Winkels einer Geraden aus einer solchen Parallelenschar gegen die Projektionsebene ist, um so größer ist der Abstand des zugehörigen Fluchtpunkts vom Hauptpunkt (Grenzfall Parallelität zur Projektionsebene: der Abstand ist unendlich). Bei der Zentralprojektion bleibt die Größe einer Strecke nicht erhalten (es sei denn, sie liegt in der Projektionsebene selbst). Je größer der Abstand einer Strecke zur Projektionsebene (und zum Augpunkt) ist, desto kleiner wird ihre Bildstrecke. Bei Strecken, die parallel zur Projektionsebene liegen, bleiben Teilstreckenverhältnisse erhalten (in Abb. 1 durch die Farbgebung gelb-violett angedeutet). Die MuPAD-Prozedur "ZPszene(Augpunkt,Winkel)" erlaubt uns noch einen Schritt weiter zu gehen: Unter "Winkel" können (durch Komma getrennt) bis zu drei Winkel in Grad angegeben werden. Der zweite aufgezählte Winkel lässt die Szene um die x-Achse rotieren, so dass beobachtet werden kann, was geschieht, wenn man eine Fotokamera schräg nach oben auf Gebäude richtet: Vertikale, in der Wirklichkeit parallele Linien, laufen im Bild nach oben zusammen - die Parallelen im Gegenstandsbereich entfernen sich nach oben von der Projektionsebene, der wiedergegebene Abstand muss also immer kleiner werden. Es entstehen Fluchtpunkte außerhalb der Horizontgerade. Es gibt Ebenen, deren zentralperspektivisches Bild eine Gerade ist (alle Ebenen durch den Augpunkt; das Bild der Horizontalebene ist der Horizont). Es gibt Geraden, deren zentralperspektivisches Bild ein Punkt ist (alle Geraden durch den Augpunkt; das Bild des Sehstrahls ist der Hauptpunkt). Diese Feststellungen sind die Voraussetzung für die Darstellung so genannter "unmöglicher" Objekte (Abb. 2), aber auch für ungewollte Fehler in perspektivischen Darstellungen.

Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper, der einzigen regelmäßigen "Vielflächner", deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke gleicher Eckenzahl sind. Es hat seit Urzeiten die Aufmerksamkeit von Künstlern und Philosophen gefunden und ist bis heute im Fokus solcher Aufmerksamkeit geblieben. Immer noch gibt es Neues an diesem Körper zu entdecken.Symmetrien üben nicht nur einen großen ästhetischen Reiz aus, sie sind auch in der Natur - der belebten wie der unbelebten - von fundamentaler Bedeutung. Ordnung und Chaos, Symmetrie und Symmetriebrechung sind Grundkategorien in der Wahrnehmung unserer Welt. Das Periodensystem der Elemente, die Postulierung von Quarks als Grundbausteine der Materie, die Entstehung der Welt durch den Urknall - all dies sind wissenschaftliche Ergebnisse, an deren Zustandekommen Betrachtungen der Symmetrie entscheidenden Anteil hatten. So stellt Lisa Randall, theoretische Physikerin, fest: "Der Begriff Symmetrie hat für die Physiker einen heiligen Klang."In den heutigen, an den Bildungsstandards orientierten Lehrplänen, taucht "Symmetrie" als Leitidee auf. Hier wird gefordert, Symmetrien an Körpern und ebenen Figuren zu untersuchen. Dies kann in Bezug auf die platonischen Körper auf sehr unterschiedlichen Anforderungsniveaus erfolgen: Vom Herstellen eines Dodekaeders mit Papier und Schere im 5. Schuljahr über die Berechnung von Streckenlängen, Abständen und Winkeln mit Mitteln der Trigonometrie (Klasse 10) bis hin zu Untersuchungen seiner Symmetriegruppe in der Sekundarstufe II ergeben sich zahlreiche Möglichkeiten. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind Materialien und Werkzeuge sowie Vorschläge zur Erarbeitung des Themas zusammengetragen. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, welche primären Symmetrien ein Dodekaeder besitzt und ausgehend davon elementare Größen des Dodekaeders bestimmen können. erkennen, dass aus einer Abbildung beziehungsweise aus Daten des Dodekaeders Abbilder oder Daten der restlichen vier platonischen Körper abgeleitet werden können. erkennen, dass es außer Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder keine anderen regulären Polyeder geben kann. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems (oder geometrischer 3D-Software) Untersuchungen zu den Symmetriegruppen der platonischen Körper durchführen können. Thema Symmetrien des Dodekaeders (und anderer platonischer Körper) Autor Rolf Monnerjahn Fach Mathematik, Bildende Kunst Zielgruppe Sekundarstufe I Zeitraum 7-9 Stunden Technische Voraussetzungen Computeralgebrasystem (MuPAD) oder dynamische 3D-Software Voraussetzungen Für den Unterricht in Mittel- und Oberstufe sollte entweder ein Computeralgebrasystem (hier verwendet: MuPAD) oder Dynamische Geometriesoftware für 3D-Konstruktionen zur Verfügung stehen, da so Symmetrien noch besser veranschaulicht werden können als durch reale Modelle - wobei auf letztere aber keinesfalls verzichtet werden soll. Das Dodekaeder sollte im Sinne eines Spiralcurriculums an mehreren Stellen Objekt des Mathematikunterrichts sein: In der Orientierungsstufe als interessanter Körper, mit dem Schülerinnen und Schüler sich konkret handelnd auseinandersetzen: Herstellen von Kantengerüst und Faltmodell. In der Mittelstufe als Gegenstand trigonometrischer Berechnungen (Winkel und Streckenlängen). In der Oberstufe als Objekt entdeckenden Untersuchens im Hinblick auf Symmetrien und Beziehungen zu den anderen platonischen Körpern und zu den archimedischen Körpern. Arbeit mit realen Modellen Grundlage jeglicher theoretischer Beschäftigung mit den platonischen Körpern sollte ein praktisches, handlungsorientiertes Herangehen durch Herstellung von Flächen- und Kantenmodellen sein. Auch die Symmetrien der platonischen Körper sollten auf der Grundlage der Arbeitsmaterialien zunächst praktisch erkundet werden: durch Rotation der Körpermodelle und Zerschneiden der Kartonmodelle, so dass durch Auflegen auf einen ebenen Spiegel die Vervollständigung des Körpers durch die Spiegelung erfahrbar wird. Die Darstellung der Körper und der Vollzug von Kongruenztransformationen sollten in Einzel- oder Partnerarbeit durch Handhabung eines CAS oder dynamischer 3D-Geometriesoftware erfolgen. Zusammengesetzte Kongruenzabbildungen wie etwa die Drehspiegelung sind praktisch nicht realisierbar, wohl aber mit derartiger Software deutlich zu veranschaulichen. Das hier beigegebene PDF-Dokument (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf) stellt eine Auswahl von Berechnungen und Abbildungen bereit, die mit MuPAD erarbeitet wurden. Es ist als Ideensammlung, zusammenfassende Darstellung und Anregung für den Umgang mit einem CAS gedacht. Einzel-, Partner- und Projektarbeit Die Unterrichtseinheit eignet sich vor allem zur Vertiefung von im Kernunterricht erworbenem faktischen und prozeduralen Wissen und sollte daher in Formen von Einzel-, Partner- und Projektarbeit organisiert werden. Dodekaeder und platonische Körper bieten als Unterrichtsobjekt den Vorteil, dass von einfachsten bis zu höchsten Ansprüchen gestufte Problemstellungen möglich sind. Nachfolgend werden Vorschläge für Arbeitsaufträge formuliert und thematischen Blöcken zugeordnet. 1. Die Darstellung der platonischen Körper Die Eckpunktdaten der platonischen Körper nach geeignetem Einzeichnen rechtwinkliger Dreiecke in Schrägbilddarstellungen (Arbeitsblatt 11) sind durch Anwendung der Trigonometrie zu berechnen, Kantenlängen, In- und Umkugelradius, Winkel zwischen Kanten und Winkel zwischen Flächen sind zu bestimmen. 2. Symmetrien der platonischen Körper Hier sind die Spiegelungen, Rotationen und aus Spiegelungen und Rotationen zusammengesetzten Kongruenzabbildungen zu bestimmen, die die platonischen Körper in sich selbst abbilden. Damit über diese Abbildungen Aussagen formuliert werden können, sind in den beigegebenen Arbeitsblättern 1 bis 5 auf die Netze der platonischen Körper die Durchstoßpunkte der Drehachsen aufgezeichnet, Mittellinien, Mittelsenkrechte und Diagonalen der Seitenflächen eingezeichnet, alle Eckpunkte und Flächen durchnummeriert und damit benennbar. Für das Tetraeder ist im Begleitmaterial die vollständige Symmetrietabelle beigegeben (dodekaeder_juwel_der_symmetrie.pdf). Für Ikosaeder und Dodekaeder ist es nicht sinnvoll, die vollständige Symmetrietabelle zu erarbeiten, wohl aber ausgewählte, vor allem zusammengesetzte Kongruenzabbildungen exemplarisch herauszugreifen. 3. Symmetrie als Grundlage von Emergenz Die fünf platonischen Körper sind durch Symmetrie und Dualität aufeinander bezogen. Dualität heißt, dass Hexa- und Oktaeder, Dodeka- und Ikosaeder jeweils durch Zuordnung von Ecken zu Flächenmitten aufeinander bezogen sind. Verbindet man die Flächenmitten eines Dodekaeders, so erhält man ein Ikosaeder, und verbindet man umgekehrt die Flächenmitten eines Ikosaeders, so erhält man ein Dodekaeder. Auch der Würfel ist durch Konstruktion (Aufbringen eines "Walmdachs" auf jede Fläche) zu einem Dodekaeder umzuwandeln (Arbeitsblätter 6,7, Video dodeca_cubus.wmv). Das Dodekaeder erlaubt durch seine umfassende Symmetrie die regulären Polygone Dreieck, Quadrat, Fünfeck, Sechseck und Zehneck mehrfach aus seiner räumlichen Darstellung "herauszulesen". Diese Polygone und die Polyeder sind in die Schrägbilder der platonischen Körper durch Verbinden von Ecken, Flächen- und Kantenmitten, Diagonalenmitten einzuzeichnen (Arbeitsblatt 11). Hier ist Staunen angebracht: Aus einer Konstruktion, die lediglich auf einer Figur mit Winkeln von 108° und fünf Seiten gleicher Länge beruht, gehen - sozusagen als Dreingabe - Dreiecke, Quadrate, andere Fünfecke, Sechsecke, Zehnecke und völlig unterschiedliche Körper hervor! 4. Gesetzmäßigkeiten an den platonischen Körpern Dass es nicht mehr als fünf platonische Körper geben kann (Euklid), dass für ihre Graphen der Euler'sche Polyedersatz (e + f - 2 = k) gilt, dass nur für das Oktaeder ein Euler'scher Rundweg ("Abschreiten" aller Kanten ohne Wiederholung) existiert, sind leicht zu beweisende Gesetzmäßigkeiten. Das Aufsuchen Hamilton'scher Rundwege ("Abschreiten" aller Ecken ohne Wiederholung) ist eine ohne Überforderung realisierbare Erkundungsaufgabe (Arbeitsblatt 12). 5. Archimedische Körper Verzichtet man auf die Forderung, dass der Körper nur von gleichartigen regulären Vielecken begrenzt sein soll, ergeben sich 13 weitere Körper, die archimedischen, bei denen aber auch alle Kanten die gleiche Länge haben. Sie gehen zum Teil durch Abstumpfung der Ecken aus den platonischen Körpern hervor (siehe Arbeitsblatt 11). 6. Polyedersterne Errichtet man auf den Begrenzungsflächen der platonischen Körper Pyramiden, so erhält man Polyedersterne. Es ist eine reizvolle Bastelarbeit, solche Sterne herzustellen, indem man beispielsweise die Pyramidennetze zu den in den Arbeitsblättern 1 bis 5 vorgegebenen Polyedernetzen konstruiert und die Pyramiden auf die Polyederflächen aufklebt. Arbeitsblätter Die Netze aller platonischen Körper sind hier als Schnittbogen herunterzuladen (1-5). Den Netzen sind die Nummerierungen der Ecken und Flächen sowie alle Symmetrieachsen und drehsymmetrischen Zentren der Flächen aufgedruckt. Zusätzlich ist ein Schnittbogen zur Herstellung eines Umstülpmodells Hexaeder - Dodekaeder beigegeben (6, 7). Zwei Arbeitsblätter zeigen die Zentralprojektion des Dodekaeders in verschiedenen Ansichten (10) und die zentralprojektiven Darstellungen aller platonischen Körper (11). Dabei wurden zu jeder Kante Drittelungs- und Halbierungspunkte eingezeichnet, so dass die dualen Körper und die Abstumpfungen eingezeichnet werden können. Ein Arbeitsblatt zeigt die Graphen der platonischen Körper (12), womit Hamilton'sche und Euler'sche Rundwege gesucht werden können. Monnerjahn, Rolf MuPAD im Mathematikunterricht, Verlag Cornelsen, ISBN 978-3-06-000089-0 Zum Einarbeiten in die Handhabung des CAS MuPAD Adam, Paul und Wyss, Arnold Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, ISBN 3-7725-0965-7